1 PROIECTAREA OPTIMALĂ A UNUI REDUCTOR ARMONIC 1.1 Transmisii armonice 1.1.1 Principiul de funcţionare Angrenajul armonic a fost inventat în 1959 de C. W. Musser, iar la New–York s-a realizat în 1960 primul reductor armonic. Principalul avantaj al unui reductor armonic este acela că, la mase foarte mici, poate realiza trepte de reducere foarte mari (până la 320 pe o treaptă). Acest avantaj a făcut ca reductoarele armonice să fie folosite în programele spaţiale ale SUA încă din 1969 (la modulele lunare). Principiul de funcţionare este prezentat în figura 1. Teoretic transmisiile armonice (cu deformator simplu) derivă dintr-o transmisie planetară cu roată centrală. 3 Fig.1 M a b z 3 e ω 1 zonă deformată ω 2 ω 1 ω 2 ω 1 ω 2 ω 1 ω 1 ω 1 ω 2 ω 2 ω 2 c d e f g 1 1 1 1 1 2 2 4 5 3 3 2 2' 4 5 2 3 3 2 2' 5 2 ω 2 z 2 1 – bară portsatelit 2 – satelit 3 – roată solară (fixă) 4 – legătură elastică 5 – arbore condus 2' – satelit neted 2 – coroană dinţată 2 – coroană dinţată deformabilă 1 M M M 3 M M M ω 1
Transcript
11 PROIECTAREA OPTIMALĂ A UNUI REDUCTOR ARMONIC
1.1 Transmisii armonice
1.1.1 Principiul de funcţionare
Angrenajul armonic a fost inventat în 1959 de C. W. Musser, iar la New–York s-a realizat în 1960 primul reductor armonic. Principalul avantaj al unui reductor armonic este acela că, la mase foarte mici, poate realiza trepte de reducere foarte mari (până la 320 pe o treaptă). Acest avantaj a făcut ca reductoarele armonice să fie folosite în programele spaţiale ale SUA încă din 1969 (la modulele lunare).
Principiul de funcţionare este prezentat în figura 1. Teoretic transmisiile armonice (cu deformator simplu) derivă dintr-o transmisie planetară cu roată centrală. 3
Fig.1
M
a b
z3
e
ω1
zonă deformată
ω2
ω1
ω2
ω1
ω2
ω1
ω1
ω1
ω2
ω2
ω2
c
d e
f g
1
1
1
1
1
2
2 4
5
3
32
2' 4
5 2
3
32
2'
5 2
ω2
z2
1 – bară portsatelit 2 – satelit 3 – roată solară (fixă)4 – legătură elastică 5 – arbore condus
2' – satelit neted 2 – coroană dinţată
2 – coroană dinţată deformabilă
1
MM
M
3
M
M
M
ω1
Se consideră un angrenaj planetar (fig.1 a, b, c) a cărui bară post satelit 1 se roteşte cu viteza unghiulară ω1 în sensul indicat în figură. Aplicând principiul suprapunerii efectelor şi dând întregului ansamblu o mişcare de rotaţie cu viteza unghiulară (-ω1) se fixează astfel bara post satelit iar roata solară se va roti cu viteza unghiulară (-ω1) determinând rotirea satelitului 2 în acelaşi sens cu viteza unghiulară ω2 (fig.1 b, c). Presupunând că între satelitul 2 şi un arbore 5 există o legătură elastică 4, mişcarea cu turaţie ω2 a satelitului 2 se transmite arborelui 5 (fig.1 a). Este evident că o astfel de transmisie este greu de realizat datorită excentricităţii foarte mari. Un prim pas este de a se reduce excentricitatea folosind pentru aceasta o coroană dinţată de dimensiuni mai mari 2 care este adusă în angrenare cu roata solară 1 prin apăsarea ei de către o rolă netedă 2’ montată pe bara portsatelit 1 (fig.1 d, e). Şi în acest caz există o excentricitate, mai mică, dar totuşi un impediment.
Ideea finală, concretizată în angrenajul armonic (fig.1 f, g) este aceea ca roata 2 să fie coaxială cu roata solară 1, dar roata 2 să fie deformabilă, deformaţie produsă tocmai de rola 2’. Evident pereţii coroanei dinţate trebuie să fie subţiri şi acesta este un motiv pentru care la început dantura folosită a fost cea triunghiulară (fig.1 g) (în figura 1 c, e, g cercurile cu linie punct sunt cercurile de divizare ale celor două roţi dinţate, 2 respectiv 3). Bara port satelit 1, împreună cu rola 2’ (pot fi şi came cu bile) se numeşte generator de deformaţie.
Pentru realizarea unui grad de acoperire mai mare şi pentru a realiza un echilibru la nivelul arborelui între forţele radiale, respectiv tangenţiale se folosesc generatoare de undă (deformatoare) cu 2 sau 3 braţe (fig.2 a, b). În felul acesta arborele pe care este montată coroana deformabilă 2 este solicitat numai la torsiune.
a b
câmp de angrenare
ω2
ω2
ω1 ω1
z3z3
z2 z2
câmp de angrenare
Ft1
Ft1
Fr1
Fr1
Fig.2
Cu cât numărul de braţe este mai mare, cu atât vor fi simultan mai multe câmpuri de angrenare şi ca urmare creşte gradul de acoperire ε, până la valori de 6 …8. Aceasta este un alt mare avantaj al reductoarelor armonice.
1.1.2 Elemente de cinematică
O problemă importantă este determinarea raportului de transmitere a unui angrenaj armonic (fig.1 f, e).
2
12,1 ω
ω=i (1)
Folosind principiul suprapunerii efectelor şi teorema lui Willis se imprimă întregului ansamblu o mişcare (-ω1). Elementul motor 1 devine fix (raportul de transmitere i23 va purta indicele superior 1 care va arăta că elementul 1 este fixat), iar angrenajul 2-3 devine angrenaj
ordinar, interior şi deci atunci când se va trece la raportul numărului de dinţi se va folosi semnul + (semnul ,,-‘’ este pentru angrenajul exterior): Avem deci:
2
3
1
2
1
12
13
12123 1
0 zzi +=
ωω
−=ω−ω−ω
=ω−ωω−ω
= (2)
Rezultă:
22
23
2
3
1
2 1zz
zzz
zz Δ
−=−
−=−=ωω (3)
şi folosind relaţia (1) se obţine
z
ziΔ
−=ωω
= 2
2
112 (4)
Semnul (-) din relaţia (4) arată că ω1 şi ω2 sunt de sensuri contrare (fig.1,e). La angrenajele interioare obişnuite Δz era limitat inferior. Aici această limită nu există, tocmai datorită deformaţiilor care apar în funcţionare şi de aceea Δz poate lua valori foarte mici, chiar Δz = 2. Cum numărul de dinţi z2 din motive tehnologice se limitează la aproximativ 6402 ≤z se observă că, cu o treaptă de reducere armonică, se poate realiza un raport de transmitere 320264012 =≤i . În continuare se va determina valoarea lui Δz în funcţie de tipul generatorului de undă. În figura 3,a este redată situaţia din figura 2,a. Se consideră că pentru roata 2 diametral opus unui dinte se află tot un dinte, adică z2 este număr par (există şi situaţia cu un număr impar de dinţi, caz în care diametral opus unui dinte avem un gol (fig.3,b)). În figura 3 roţile 2 s-au reprezentat nedeformate.
a b
z2
z3
a2
a3
b2
b3
Fig.3
Evident numărul de paşi dintre a2 şi b2 respectiv a3 şi b3 trebuie să fie un număr întreg. Notând cu p pasul pe cercurile de divizare (acelaşi pentru a putea realiza angrenarea) rezultă:
pkzpAba ⋅=⋅= 3
33 (5)
pkzpBba ⋅=⋅= 2
22 (6)
unde k este numărul de braţe al generatorului de undă (în cazul din figura 3 este vorba de un generator cu 2 braţe deci k = 2). Scăzând membru cu membru cele două relaţii de mai sus se obţine:
( ) ( )k
zzppBA 23 −⋅=⋅− (7)
Notând cu N diferenţa numărului de paşi dintre două câmpuri de angrenare succesive se obţine: BAN −= (8)
şi folosind notaţia din relaţia (3) ( )23 zzz −=Δ rezultă:
Nkz ⋅=Δ Se observă că, dacă N are valori mari, cele două roţi sunt diferite şi deci roata 2 trebuie să se
deformeze mult (caz nefavorabil). Din acest motiv se ia N = 1 şi atunci: kz =Δ (9)
Trebuie remarcat faptul că la o rotaţie completă fiecare punct al roţii 2 suferă k solicitări şi deci solicitarea principală este încovoierea cu oboseală. Pentru a reduce numărul de cicluri de solicitare o modalitate este aceea de a reduce numărul k de braţe al generatorului de undă. Acest lucru are însă ca efect scăderea gradului de acoperire.
În final se poate scrie (folosind relaţia (4))
kzi 2
2
112 −=
ωω
= (10)
1.1.3 Elemente constructive. Avantaje şi dezavantaje
Din punct de vedere constructiv există o mare diversitate de soluţii. În figura 4 este prezentată o construcţie tipică de reductor armonic [9]. 1 2 3 4 5 6
7
8
Fig.4 Reductor armonic 1 - arbore de ieşire; 2 - suport cu talpă; 3 - carcasă; 4 - element flexibil dinţat;
5 - element rigid dinţat; 6 - deformator; 7 - flanşă; 8 - arbore de intrare.
În figura 5 se prezintă un detaliu constructiv al roţii elastice. Se fac următoarele recomandări:
s = (0,01…0,15)·d (11) l > 2·b (12)
În cazul în care l < 2·b angrenarea este defectuoasă (fig.5, b – linie întreruptă). Pentru a nu avea roţi de gabarite foarte mari modulele dinţilor se iau mici (m = 0,25 … 2 mm). Alegerea modulului se va face ţinând cont de următoarele aspecte:
dacă z2 este un număr mare modulele trebuie să fie mici; trebuie corelată puterea de transmis cu modulul dinţilor.
a b
d
l b
s
Fig.5
În ceea ce priveşte materialele pentru roata elastică ele trebuie să aibă următoarele proprietăţi: rezistenţă foarte bună la oboseală; limită de curgere înaltă.
Se folosesc de regulă oţeluri aliate (pentru arcuri, rulmenţi sau special elaborate). Principalele avantaje ale reductoarelor armonice sunt:
gama largă de utilizare (P = 0,1…100 kW); au rapoarte mari de transmitere la gabarite mici; greutate redusă (chiar şi faţă de planetare) de circa două ori mai mică (roata
elastică este foarte subţire); grad de acoperire ridicat (ε = 6…8) datorită existenţei câmpurilor multiple de
angrenare; capacitate portantă mare; posibilitatea echilibrării forţelor radiale şi tangenţiale (arborele roţii 2 este
supus numai la torsiune). Dezavantajele sunt:
manoperă importantă; precizie de prelucrare ridicată (deformaţiile sunt de ordinul modulului); necesită materiale speciale.
Domeniile de utilizare: roboţi; programele cosmice.
1.2 Proiectare optimală a unui reductor armonic
Fig.6 Ansamblul deformator, element flexibil şi roată rigidă
Deoarece ansamblul unui reductor armonic este format din puţine piese, la proiectarea optimală se va lua în considerare ansamblul format din cele trei elemente principale: deformator, element flexibil şi roata rigidă (fig.6). În cadrul problemei de proiectare optimală se urmăreşte minimizarea volumului elementului flexibil. Reducând volumul acestuia va scădea simţitor şi volumul întregului reductor armonic. O schiţa a elementului flexibil este prezentat în figura 7.
1.2.1 Stabilirea funcţiei obiectiv
Funcţia obiectiv va fi deci volumul elementului flexibil (dorindu-se o minimizare a acestuia ): min→armV
( )⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−−⋅+⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+−⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⋅
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅
π= 3
2
32
20
220
220
2)(
22224hdhhdBDBDhLDLhDV F
arm (13)
unde: – volumul elementului flexibil [mmarmV 3];
FD – diametrul de divizare al elementului flexibil [mm];
0D – diametrul interior al elementului flexibil [mm]; h – grosimea elementului flexibil [mm]; L – lungimea elementului flexibil [mm]; B – lăţimea danturii [mm]; d – diametrul capătului de arbore [mm];
3h – grosimea peretelui lateral a elementului flexibil [mm];
Fig.7 Elementul flexibil
1.2.2 Realizarea programului de optimizare Pentru proiectarea optimală a reductorului armonic s-a utilizat programul de simulare
evoluţionistă Genesis, care s-a rulat cu o populaţie formată din 100000 de indivizi, folosind metoda clasamentului pentru atribuire a adaptabilităţilor (fitness-ului). S-a simulat evoluţia pe parcursul a 50 de generaţii, cu o rată (probabilitate) a recombinărilor de 0,75 şi o rată a mutaţiilor de 0,1. Pe parcursul simulării s-au atins mai multe optime locale cu valorile funcţiei obiectiv foarte apropiate, dar cu parametri diferiţi.
1.2.3 Datele de intrare
Cu ajutorul datelor de intrare , 2T x , , , , 1n N bratek η , rulmentη (valorile acestor mărimi sunt indicate în tabelul 1) se vor calcula:
Turaţia pe arborele de ieşire:
xnn 1
2 = [rot/min] (14)
Puterea pe arborele de ieşire:
722
2 103 ⋅π⋅⋅
=nTP [kW] (15)
Puterea pe arborele de intrare:
rulment
PPη⋅η
= 21 [kW] (16)
Momentul de torsiune pe arborele de intrare:
π⋅⋅⋅
=1
17
1103n
PT [N·mm] (17)
Tabelul 1 Datele de intrare ale programului de proiectare optimală a reductorului armonic
Notaţie Semnificaţie Valoare Unitate de măsură
T2 Momentul de torsiune pe arborele de ieşire 862800 N·mm x Raportul de transmitere 140 n1 Turaţia arborelui de intrare 3000 rot/min N Număr întreg 1
kbrate Numărul de braţe al generatorului 2 ηrulment Randamentul unei perechi de rulmenţi 0,99 η Randamentul angrenajului armonic 0,85
Din condiţia geometrică de montaj a reductorului armonic, se recomandă [4], astfel
încât diferenţa dintre numerele de dinţi să fie egal cu numărul braţelor deformatorului. Relaţia care asigură condiţia de montaj şi care determină relaţia între numerele de dinţi este:
1=N
Nkzz brateFR ⋅=− (18)
Numărul de dinţi ai roţii rigide: xNkz brateR ⋅⋅= (19)
Numărul de dinţi ai roţii flexibile: ( )1−⋅⋅= xNkz brateR (20)
Elementele geometrice ale angrenajului se calculează fără deplasări de profil . Datele cunoscute sunt prezentate în tabelul 2. ( 0,0 == RF xx )
Tabelul 2 Elemente geometrice
Notaţie Semnificaţie Valoare Unitate de măsură
α Unghiul de profil de referinţă 20 grade ha
* Coeficientul capului dintelui de referinţă 1 c* Coeficientul jocului radial de referinţă 0,35 kh Coeficientul grosimii elementului flexibil sub dinţi genă mm h Grosimea elementului flexibil genă mm d Diametrul capătului de arbore 38 mm
Diametrul de divizare a elementului flexibil:
FF zmD ⋅= [mm] (22) Diametrul de divizare a roţii rigide:
RR zmD ⋅= [mm] (23) Diametrul de cap a elementului flexibil:
( )FaFaF xhzmd ⋅+⋅+⋅= ∗ 22 [mm] (24)
Diametrul de cap a roţii rigide: ( )RaRaR xhzmd ⋅+⋅−⋅= ∗ 22 [mm] (25)
Diametrul de fund a elementului flexibil: ( )∗∗ ⋅−⋅+⋅−⋅= cxhzmd FaFfF 222 [mm] (26)
Diametrul de fund a roţii flexibile: ( )∗∗ ⋅+⋅+⋅+⋅= cxhzmd RaRfR 222 [mm] (27)
Calculul angrenajului la presiune de contact nu diferă mult faţă de calculul angrenajelor obişnuite, dacă ambele roţi au profile evolventice iar roata armonică este danturată în stare deformată. Mărimile cunoscute sunt prezentate în tabelul 3.
Conform [4] efortul unitar de contact are formula:
kaR
FgMak i
iDB
CTCCC σ≤−
⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅=σ
122
1 [MPa] (42)
Coeficientul gradului de acoperire:
ε
=1
aC (43)
Coeficientul geometric:
α⋅α
=cossin
1gC (44)
Coeficientul de material:
))1()1((
2221
212
21
ν−⋅−ν−⋅⋅π⋅⋅
=EE
EECM (45)
Coeficientul de sarcină: BrdeF CCCCC ⋅⋅⋅= (46)
Raportul dintre numărul de dinţi a roţii rigide şi numărul de dinţi a elementului flexibil deformat:
e
R
zzi
2
= (47)
Tabelul 3
Notaţie Semnificaţie Valoare Unitate de măsură
Rν Coeficientul lui Poisson pentru roata rigidă 0,3
Fν Coeficientul lui Poisson pentru elementul flexibil 0,3
RE Modulul de elasticitate pentru roata rigidă 210000 MPa
FE Modulul de elasticitate pentru elementul flexibil 210000 MPa
eC Coeficient de exploatare 1,25
rC Coeficient de repartizare a sarcinii pe dinţi 1,6
dC Coeficient dinamic în transmisia armonică 1,1
BC Coeficient de repartizare a sarcinii pe dinţi 1,125 B Lăţimea danturii genă mm
Ckk _0σ Raportul dintre rezistenţa la oboseală a materialelor pentru ciclu pulsator şi coeficientul de siguranţă
1150 MPa
0cN Numărul de cicluri de solicitare 1000000 cicluri
LC Coeficientul de lubrifiere 0,95
RC Coeficientul de rugozitate 0,9
vC Coeficientul de viteză periferică 0,85
Rezultanta admisibilă la presiune de contact se determină cu relaţia [4]:
vRLDk
kka CCCC
C⋅⋅⋅⋅
σ=σ 0 [MPa] (48)
Coeficientul duratei de funcţionare:
6 0
C
cD N
NC = (49)
Numărul de cicluri:
2
1160
LLnkN bratec ⋅⋅⋅= [cicluri] (50)
Lungimea cercului de rostogolire a roţii rigide: 11 2 RL ⋅π⋅= [mm] (51)
Raza exterioară a roţii rigide:
21aRdR = [mm] (52)
Lungimea cercului de rostogolire al elementului flexibil:
1.2.6 Verificarea dinţilor la solicitarea de încovoiere
Pentru calculul de încovoiere se adoptă următoarea ipoteză: forţa normală de calcul se aplică pe muchia extremă a dintelui (fig.8). Efortul maxim de încovoiere se calculează cu formula [4]:
α⋅⋅⋅⋅⋅
=σcos
1
mByyCF FaFt
i [MPa] (55)
Fig.8 Solicitarea de încovoiere a dintelui
Elementele cunoscute sunt prezentate în tabelul 4.
Tabelul 4
Notaţie Semnificaţie Valoare Unitate de măsură
sk Coeficient de înălţime 2,1
1hk Coeficient de lăţime 1,25
ma Coeficient care ţine cont de tipul deformatorului 0,16
Cii _0σ Raportul dintre rezistenţa la încovoiere pentru un ciclu de solicitare pulsator la numărul de cicluri Nc şi coeficientul de siguranţă pentru solicitarea de încovoiere
315 MPa
σK Coeficientul concentratorului de tensiune 1,5
Coeficientul gradului de acoperire:
ε
=1
ay (56)
Unghiul echivalent:
2
π⋅=α m
ea [grade] (57)
Coeficientul de formă:
α⋅α⋅⋅
=coscos6
2s
ehF k
ky (58)
Forţa tangenţială:
R
t DTF 12 ⋅
= [N] (59)
Rezistenţa admisibilă la solicitarea de încovoiere se poate determina după recomandările normelor ISO cu relaţia: σ⋅⋅σ=σ KCDCiiai _0 [MPa] (60)
1.2.7 Verificarea roţii dinţate armonice la oboseală
Verificarea la oboseală se face pentru corpul roţii armonice. Aceasta se face în două secţiuni (fig.9).
Fig.9 Roata armonică
1.2.7.1 Verificarea elementului flexibil la oboseală în secţiunea cu grosimea peretelui k (secţiunea I) h
În cele ce urmează sunt prezentate formulele de calcul pentru verificarea la oboseală în secţiunea I iar în tabelul 5 sunt prezentate mărimile cunoscute.
Tabelul 5
Notaţie Semnificaţie Valoare Unitate de măsură
pC Coeficient de repartizare ne-uniformă a eforturilor pe secţiune 0,35
σψ Coeficient care depinde de material 0,125
τK Coeficientul concentratorului de tensiune 1,85
τψ Coeficient care depinde de material 0,1
1−σ Efortul unitar la un ciclu alternant simetric 500 MPa
Raza minimă a fibrei neutre în zona cu grosime : hk
oenc wrr ⋅−= 414,20min [mm] (61)
Raza maximă a fibrei neutre în zona cu grosime : hk
oenc wrr ⋅+= 414,20max [mm] (62)
Amplitudinea efortului unitar se calculează:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅
⋅=σ
hchc
Fhv rr
hE
max_min__
114
[MPa] (63)
Valoarea medie a efortului unitar încovoietor în fibrele exterioare se calculează:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⋅
⋅=σ
0maxmin_
2114 ncc
hFkhm rrr
kE [MPa] (64)
Coeficientul de siguranţă la încovoiere pentru grosimea : hk
khmkhv
kh Kc
__
1_ σ⋅ψ+σ⋅
σ=
σσ
−σ (65)
Efortul de forfecare datorat momentului de răsucire transmis:
hn
nhFoekhf kr
rkEw⋅⋅
⋅⋅⋅⋅=τ 2
0
0_ 4
2 [MPa] (66)
Efortul datorat deformării roţii armonice prin generator
hnp
khr krCT
⋅π⋅⋅⋅⋅
=τ 20
2_ 2
[MPa] (67)
Valoarea medie şi amplitudinea eforturilor unitare tangenţiale se calculează cu relaţii cunoscute, dacă se admite că au o variaţie pulsatoare: ( )khrkhfkhvkhm ____ 5,0 τ+τ⋅=τ=τ [MPa] (68)
Coeficientul de siguranţă la forfecare pentru grosimea : hk
khmkhv
kh Kc
__
1_ τ⋅ψ+τ⋅
τ=
ττ
−τ (69)
Coeficientul de siguranţă global pentru grosimea : hk
8,1...5,12
_2
_
___ ≤
+
⋅=
τσ
τσ
khkh
khkhkhob
cc
ccc (70)
1.2.7.2 Verificarea elementului flexibil la oboseală în secţiunea cu grosimea peretelui h (secţiunea II)
În continuare sunt prezentate formulele de calcul pentru verificarea la oboseală în secţiunea II.
Raza minimă a fibrei neutre în zona cu grosimea h (secţiunea II, figura 9):
( )27,01
22,11
0
0min
min_Dh
B
DkrLB
r
hc
hc+
+⋅−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅−
= [mm] (71)
Raza maximă a fibrei neutre în zona cu grosime h (secţiunea II, figura 9):
( )27,01
22,11
0
0max
max_Dh
B
DkrLB
r
hc
hc+
+⋅−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅−
= [mm] (72)
Coeficientul concentratorului de tensiune: στ ⋅= KK 8,0 (73)
Efortul de forfecare la un ciclu alternant simetric: 11 57,0 −− σ⋅=τ [MPa] (74)
Amplitudinea efortului unitar se calculează cu relaţia:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅
⋅=σ
hchc
Fhv rr
hEmax_min_
_11
4 [MPa] (75)
Valoarea medie a efortului unitar încovoietor în fibrele exterioare:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⋅
⋅=σ
0max_min__
2114 nhchc
Fhm rrr
hE [MPa] (76)
Coeficient de siguranţă la încovoiere pentru grosimea h:
hmhv
h Kc
__
1_ σ⋅ψ+σ⋅
σ=
σσ
−σ (77)
Efortul de forfecare datorat momentului de răsucire transmis:
Lr
rhEwn
nFoehf ⋅⋅
⋅⋅⋅⋅=τ 2
0
0_ 4
2 [MPa] (78)
Efortul datorat deformării roţii armonice prin generator:
hrC
T
nphr ⋅π⋅⋅⋅
⋅=τ 2
0
2_ 2
[MPa] (79)
Valoarea medie şi amplitudinea eforturilor unitare tangenţiale se calculează cu relaţii cunoscute, dacă se admite că au o variaţie pulsatoare: ( )hrhfhvhm ____ 5,0 τ+τ⋅=τ=τ [MPa] (80)
Coeficientul de siguranţă la forfecare pentru grosimea h:
hmhv
h Kc
__
1_ τ⋅ψ+τ⋅
τ=
ττ
−τ (81)
Coeficientul de siguranţă global pentru grosimea h:
8,1...5,12
_2
_
___ ≤
+
⋅=
τσ
τσ
hh
hhhob
cc
ccc (82)
1.2.8 Dimensionarea şi verificarea deformatorului de tip camă
Deformatorul cel mai potrivit pentru reductoarele armonice de putere este cel sub formă de camă peste care se montează un rulment flexibil (fig.10).
Acest tip de deformator asigură o formă impusă roţii flexibile, după o lege de variaţie dorită. El solicită uniform roata flexibilă, nu produce solicitări locale concentrate şi are randament bun. Cama peste care este montat rulmentul flexibil trebuie să asigure deformaţia roţii flexibile prin intermediul rulmentului flexibil. Profilul camei este o elipsă având semiaxa mare a şi semiaxa mică b. În continuare sunt prezentate formulele folosite pentru dimensionarea deformatorului precum şi
formulele pentru calculul durabilităţii rulmentului elastic. În tabelul 6 sunt prezentate mărimile cunoscute.
Fig.10 Deformatorul de tip camă
Tabelul 6
Notaţie Semnificaţie Valoare Unitate de măsură
bm Coeficient în funcţie de tipul rulmentului 1,3 ir Numărul de rânduri de bile 1
sf Factor de regim 1,25 mm
impushL _ Durabilitatea impusă 10000 ore p Factor de contact 3
Fk Coeficient care ţine seama de faptul că forţa Fr nu acţionează direct asupra rolei şi este deviată cu un unghi
0,8
μ Coeficientul de frecare ce depinde de calitatea suprafeţelor şi de felul ungerii 0,1
1K Constantă ce depinde de ughiul de profil α şi raportul de reducere 1,1452
2K Constantă ce depinde de ughiul de profil α şi raportul de reducere 0,2593
Grosimea inelului exterior:
wext Dinel ⋅= 2,0 [mm] (83)
Semiaxa mare a elipsei:
1max 2akDra hw
c −+
−= [mm] (84)
Semiaxa mică a elipsei:
1min 2akDrb hw
c −+
−= [mm] (85)
Circumferinţa elipsei pe care sunt aşezaţi bilele deformatorului conform aproximării Ramanujan:
În cazul deformatoarelor de tip camă forţa totală pe rulment va fi compusă din forţa datorată deformaţiilor elastice şi forţa cauzată de momentul [4]. defP 2T
Au fost alese şase variabile care descriu reductorul armonic (ansamblul format din elementul flexibil, deformator şi roata rigidă). Ataşarea unor intervale de căutare (cu specificarea numărului de căutare) la aceste variabile s-a dovedit a fi o problemă dificilă.
Tabelul 7 Genele problemei de proiectare optimală a reductorului armonic
Gena Denumire Domeniu Valori
k Număr de ordine { }15,...,0 42 L Lungimea elementului flexibil { }187,...,50 72 B Lăţimea danturii [ ]35,0...25,0 62 h Grosimea elementului flexibil [ ]6,3...5,0 52
hk Coeficientul grosimii elementului flexibil sub dinţi [ ]5,1...1 72
wD Diametrul bilei [ ]6,30...5 82
Prima variabilă k va fi un număr întreg între valorile 0÷15, valori ce reprezintă numărul de ordine a unui vector, vector care conţine modulele standardizate între valorile { . Variabila B se determină ca fiind 0,25÷0,35 din lungimea elementului flexibil. Variabila va fi (1...1,5)·h (h fiind grosimea elementului flexibil).
}1...18,0
hk
1.2.10 Identificarea restricţiilor
În cazul acestei probleme de optimizare s-au luat în considerare restricţii ce ţin cont de condiţiile de rezistenţa materialelor şi de condiţiile de montaj. Aceste restricţii sunt:
Restricţii legate de rezistenţa materialelor: R1 Verificarea dinţilor la presiune de contact:
011 ≤−σσ
=ak
kg (100)
R2 Verificarea dinţilor la solicitarea de încovoiere:
012 ≤−σσ
=ai
ig (101)
R3 Verificarea elementului flexibil la oboseală în zona de grosime h:
018,1
_3 ≤−=
hobcg (102)
R4 Verificarea elementului flexibil la oboseală în zona de grosime : hk
018,1
_4 ≤−=
khobcg (103)
R5 Verificarea durabilităţii rulmentului:
01_
5 ≤−=impush
h
LLg (104)
R6 Mărimea bilei:
018,11
6 ≤−⋅
=B
Dg w (105)
Condiţii de montaj: R7 Verificarea la montaj:
019,0 0
7 ≤−⋅
=D
dg e (106)
1.2.11 Rezultatele optimizării
Programul Genesis a fost rulat cu datele iniţiale de proiectare. Rezultatele simulării genetice sunt prezentate în tabelul 8.
În urma proiectării optimale s-au obţinut mai multe soluţii. Diferenţa între soluţii este destul de mică, modificându-se foarte puţin valorile câtorva variabile. Soluţia considerată cea mai bună (marcată cu fond diferit în tabelul 8) este aceea pentru care volumul elementului flexibil este minim.
Astfel valorile genelor vor fi: Modul standardizat:
5,0=h [mm] Grosimea peretelui elementului flexibil în zona dinţilor:
1=hk [mm]
Diametrul bilei deformatorului: 45,17=wD [mm]
Volumul obţinut în urma proiectării optimale: [mm410495,1 ⋅=armV 3]
În figurile 11 şi 12 sunt prezentate schiţele celor trei elemente principale: deformator, element flexibil şi roată rigidă.
Fig.11 Ansamblul deformator - element flexibil rezultat în urma proiectării optimale
1.2.12 Concluzii
Se pot formula următoarele concluzii: Obiectivul urmărit în această lucrare a fost obţinerea, prin proiectare optimală cu algoritmi
evolutivi, a unui reductor armonic cu volum minim pentru un set de date de intrare cunoscute.
S-a luat în considerare ansamblul format din cele trei elemente principale: deformator, element flexibil şi roata rigidă şi s-a urmărit minimizarea volumului elementului flexibil (reducându-se volumul acestuia se va reduce volumul întregului reductor armonic).
Prin proiectare optimală s-a găsit soluţia cea mai bună, soluţie care verifică condiţiile iniţiale.
Bibliografie
[1] Belcin, O., (2000): Mecanisme şi organe de maşini, organe de maşini, Vol. III, Ed. Risoprint, Cluj-Napoca.
[2] Belcin O., (2006): Organe de maşini. Rulmenţi şi pivoţi. Probleme rezolvate, Ed. Risoprint, Cluj-Napoca.
[3] Buzdugan, Gh., (1980): Rezistenţa materialelor, Ed. Tehnică, Bucureşti. [4] Chişiu, A. ş.a., (1981): Organe de maşini, E.D.P. Bucureşti. [5] Crudu, I., (1981): Atlas. Reductoare cu roţi dinţate, E.D.P. Bucureşti.
[6] Dali, A., (1981): Contribuţii la geometria, cinematica şi calculul de rezistenţă a angrenajelor cu elemente dinţate deformabile, Teză de doctorat, Cluj-Napoca.
[7] Frenal, M., (2007): Design of a harmonic drive for a high precision application, MSc Thesis, Cranfield University, 2007.
[8] Hulpe, Gh., (1980): Desen tehnic industrial, Lito. IPC-N, Cluj-Napoca. [9] Miloiu, G., Dudiţă, F., (1985): Transmisii mecanice moderne, Ed. Tehnică, Bucureşti. [10] Szekely, I., (1998): Raţionamente în teoria şi practica mecanismelor, Ed. U.T. Press, Cluj-
