1 PROIECTAREA OPTIMAL A UNUI REDUCTOR ARMONIC1.1 Transmisii armonice1.1.1 Principiul de funcionareAngrenajul armonic a fost inventat n 1959 de C. W. Musser, iar la NewYork s-a realizat n 1960 primul reductor armonic. Principalul avantaj al unui reductor armonic este acela c, la mase foarte mici, poate realiza trepte de reducere foarte mari (pn la 320 pe o treapt). Acest avantaj a fcut ca reductoarele armonice s fie folosite n programele spaiale ale SUA nc din 1969 (la modulele lunare). Principiul de funcionare este prezentat n figura 1. Teoretic transmisiile armonice (cu deformator simplu) deriv dintr-o transmisie planetar cu roat central.3M

2 4

1

2 2 z21

M

z3 22M

3

1

51 bar portsatelit 2 satelit 3 roat solar (fix) 4 legtur elastic 5 arbore condus

1

a3M

b

c

1

2 2' 4

1

e 25M

21 2

3

1

2' satelit neted 2 coroan dinat

1 e

d3 1M

2 2'

zon deformat

252 coroan dinat deformabil

21 2

3

1

M

1 gFig.1

f

Se consider un angrenaj planetar (fig.1 a, b, c) a crui bar post satelit 1 se rotete cu viteza unghiular 1 n sensul indicat n figur. Aplicnd principiul suprapunerii efectelor i dnd ntregului ansamblu o micare de rotaie cu viteza unghiular (-1) se fixeaz astfel bara post satelit iar roata solar se va roti cu viteza unghiular (-1) determinnd rotirea satelitului 2 n acelai sens cu viteza unghiular 2 (fig.1 b, c). Presupunnd c ntre satelitul 2 i un arbore 5 exist o legtur elastic 4, micarea cu turaie 2 a satelitului 2 se transmite arborelui 5 (fig.1 a). Este evident c o astfel de transmisie este greu de realizat datorit excentricitii foarte mari. Un prim pas este de a se reduce excentricitatea folosind pentru aceasta o coroan dinat de dimensiuni mai mari 2 care este adus n angrenare cu roata solar 1 prin apsarea ei de ctre o rol neted 2 montat pe bara portsatelit 1 (fig.1 d, e). i n acest caz exist o excentricitate, mai mic, dar totui un impediment. Ideea final, concretizat n angrenajul armonic (fig.1 f, g) este aceea ca roata 2 s fie coaxial cu roata solar 1, dar roata 2 s fie deformabil, deformaie produs tocmai de rola 2. Evident pereii coroanei dinate trebuie s fie subiri i acesta este un motiv pentru care la nceput dantura folosit a fost cea triunghiular (fig.1 g) (n figura 1 c, e, g cercurile cu linie punct sunt cercurile de divizare ale celor dou roi dinate, 2 respectiv 3). Bara port satelit 1, mpreun cu rola 2 (pot fi i came cu bile) se numete generator de deformaie. Pentru realizarea unui grad de acoperire mai mare i pentru a realiza un echilibru la nivelul arborelui ntre forele radiale, respectiv tangeniale se folosesc generatoare de und (deformatoare) cu 2 sau 3 brae (fig.2 a, b). n felul acesta arborele pe care este montat coroana deformabil 2 este solicitat numai la torsiune.cmp de angrenare

z3 Ft1 2 Fr1 Ft1cmp de angrenare

z3 z2 2 1 z2

Fr1 1

aFig.2

b

Cu ct numrul de brae este mai mare, cu att vor fi simultan mai multe cmpuri de angrenare i ca urmare crete gradul de acoperire , pn la valori de 6 8. Aceasta este un alt mare avantaj al reductoarelor armonice.

1.1.2 Elemente de cinematicO problem important este determinarea raportului de transmitere a unui angrenaj armonic (fig.1 f, e). i1, 2 = 1 (1) 2 Folosind principiul suprapunerii efectelor i teorema lui Willis se imprim ntregului ansamblu o micare (-1). Elementul motor 1 devine fix (raportul de transmitere i23 va purta indicele superior 1 care va arta c elementul 1 este fixat), iar angrenajul 2-3 devine angrenaj

ordinar, interior i deci atunci cnd se va trece la raportul numrului de dini se va folosi semnul + (semnul ,,- este pentru angrenajul exterior): Avem deci: z 1 2 1 1 = = 1 2 = + 3 i23 = 2 (2) 3 1 1 0 1 z2 Rezult:z z z 2 z = 1 3 = 3 2 = 1 z2 z2 z2

(3)

i folosind relaia (1) se obine

i12 =

1 z = 2 2 z

(4)

Semnul (-) din relaia (4) arat c 1 i 2 sunt de sensuri contrare (fig.1,e). La angrenajele interioare obinuite z era limitat inferior. Aici aceast limit nu exist, tocmai datorit deformaiilor care apar n funcionare i de aceea z poate lua valori foarte mici, chiar z = 2. Cum numrul de dini z2 din motive tehnologice se limiteaz la aproximativ z 2 640 se observ c, cu o treapt de reducere armonic, se poate realiza un raport de transmitere i12 640 2 = 320 . n continuare se va determina valoarea lui z n funcie de tipul generatorului de und. n figura 3,a este redat situaia din figura 2,a. Se consider c pentru roata 2 diametral opus unui dinte se afl tot un dinte, adic z2 este numr par (exist i situaia cu un numr impar de dini, caz n care diametral opus unui dinte avem un gol (fig.3,b)). n figura 3 roile 2 s-au reprezentat nedeformate.

a3 a2 z2 b2 b3aFig.3

z3

b

Evident numrul de pai dintre a2 i b2 respectiv a3 i b3 trebuie s fie un numr ntreg. Notnd cu p pasul pe cercurile de divizare (acelai pentru a putea realiza angrenarea) rezult: z a3 b3 = A p = 3 p (5) k z a2 b2 = B p = 2 p (6) k unde k este numrul de brae al generatorului de und (n cazul din figura 3 este vorba de un generator cu 2 brae deci k = 2). Scznd membru cu membru cele dou relaii de mai sus se obine: ( A B ) p = p ( z3 z 2 ) (7) k

Notnd cu N diferena numrului de pai dintre dou cmpuri de angrenare succesive se obine: N = A B (8) i folosind notaia din relaia (3) (z = z3 z 2 ) rezult:

z = k N Se observ c, dac N are valori mari, cele dou roi sunt diferite i deci roata 2 trebuie s se deformeze mult (caz nefavorabil). Din acest motiv se ia N = 1 i atunci: z = k (9) Trebuie remarcat faptul c la o rotaie complet fiecare punct al roii 2 sufer k solicitri i deci solicitarea principal este ncovoierea cu oboseal. Pentru a reduce numrul de cicluri de solicitare o modalitate este aceea de a reduce numrul k de brae al generatorului de und. Acest lucru are ns ca efect scderea gradului de acoperire. n final se poate scrie (folosind relaia (4)) z (10) i12 = 1 = 2 2 k

1.1.3 Elemente constructive. Avantaje i dezavantajeDin punct de vedere constructiv exist o mare diversitate de soluii. n figura 4 este prezentat o construcie tipic de reductor armonic [9].

1

2

3

4

5

6 7 8

Fig.4 Reductor armonic1 - arbore de ieire; 2 - suport cu talp; 3 - carcas; 4 - element flexibil dinat; 5 - element rigid dinat; 6 - deformator; 7 - flan; 8 - arbore de intrare.

n figura 5 se prezint un detaliu constructiv al roii elastice. Se fac urmtoarele recomandri: s = (0,010,15)d (11) l > 2b (12) n cazul n care l < 2b angrenarea este defectuoas (fig.5, b linie ntrerupt). Pentru a nu avea roi de gabarite foarte mari modulele dinilor se iau mici (m = 0,25 2 mm). Alegerea modulului se va face innd cont de urmtoarele aspecte: dac z2 este un numr mare modulele trebuie s fie mici; trebuie corelat puterea de transmis cu modulul dinilor.

b

l s

d

aFig.5

b

n ceea ce privete materialele pentru roata elastic ele trebuie s aib urmtoarele proprieti: rezisten foarte bun la oboseal; limit de curgere nalt. Se folosesc de regul oeluri aliate (pentru arcuri, rulmeni sau special elaborate). Principalele avantaje ale reductoarelor armonice sunt: gama larg de utilizare (P = 0,1100 kW); au rapoarte mari de transmitere la gabarite mici; greutate redus (chiar i fa de planetare) de circa dou ori mai mic (roata elastic este foarte subire); grad de acoperire ridicat ( = 68) datorit existenei cmpurilor multiple de angrenare; capacitate portant mare; posibilitatea echilibrrii forelor radiale i tangeniale (arborele roii 2 este supus numai la torsiune). Dezavantajele sunt: manoper important; precizie de prelucrare ridicat (deformaiile sunt de ordinul modulului); necesit materiale speciale. Domeniile de utilizare: roboi; programele cosmice.

1.2 Proiectare optimal a unui reductor armonic

Fig.6 Ansamblul deformator, element flexibil i roat rigid

Deoarece ansamblul unui reductor armonic este format din puine piese, la proiectarea optimal se va lua n considerare ansamblul format din cele trei elemente principale: deformator, element flexibil i roata rigid (fig.6). n cadrul problemei de proiectare optimal se urmrete minimizarea volumului elementului flexibil. Reducnd volumul acestuia va scdea simitor i volumul ntregului reductor armonic. O schia a elementului flexibil este prezentat n figura 7.

1.2.1 Stabilirea funciei obiectivVarmFuncia obiectiv va fi deci volumul elementului flexibil (dorindu-se o minimizare a acestuia min ):

Varm

2 2 2 2 2 2 D0 + h L D0 (L h ) + DF B D0 B + d 2 (h3 h) d h3 (13) = 4 2 2 2 2 2

unde: Varm volumul elementului flexibil [mm3];

DF D0 h L B d h3

diametrul de divizare al elementului flexibil [mm]; diametrul interior al elementului flexibil [mm]; grosimea elementului flexibil [mm]; lungimea elementului flexibil [mm]; limea danturii [mm]; diametrul captului de arbore [mm]; grosimea peretelui lateral a elementului flexibil [mm];

Fig.7 Elementul flexibil

1.2.2 Realizarea programului de optimizarePentru proiectarea optimal a reductorului armonic s-a utilizat programul de simulare evoluionist Genesis, care s-a rulat cu o populaie format din 100000 de indivizi, folosind metoda clasamentului pentru atribuire a adaptabilitilor (fitness-ului). S-a simulat evoluia pe parcursul a 50 de generaii, cu o rat (probabilitate) a recombinrilor de 0,75 i o rat a mutaiilor de 0,1. Pe parcursul simulrii s-au atins mai multe optime locale cu valorile funciei obiectiv foarte apropiate, dar cu parametri diferii.

1.2.3 Datele de intrareCu ajutorul datelor de intrare T2 , x , n1 , N , kbrate , , rulment (valorile acestor mrimi sunt indicate n tabelul 1) se vor calcula: Turaia pe arborele de ieire: n (14) n2 = 1 [rot/min] x Puterea pe arborele de ieire: T n (15) P2 = 2 2 7 [kW] 3 10 Puterea pe arborele de intrare: P2 [kW] (16) P= 1 rulmentMomentul de torsiune pe arborele de intrare: 3 107 P 1 [Nmm] T1 = n1 Tabelul 1 Datele de intrare ale programului de proiectare optimal a reductorului armonic Notaie Semnificaie Valoare Unitate de msur

(17)

T2 x n1 N kbrate rulment

Momentul de torsiune pe arborele de ieire Raportul de transmitere Turaia arborelui de intrare Numr ntreg Numrul de brae al generatorului Randamentul unei perechi de rulmeni Randamentul angrenajului armonic

862800 140 3000 1 2 0,99 0,85

Nmm rot/min

Din condiia geometric de montaj a reductorului armonic, se recomand N = 1 [4], astfel nct diferena dintre numerele de dini s fie egal cu numrul braelor deformatorului. Relaia care asigur condiia de montaj i care determin relaia ntre numerele de dini este: z R z F = kbrate N (18) Numrul de dini ai roii rigide:

z R = kbrate N xNumrul de dini ai roii flexibile:

(19) (20)

z R = kbrate N ( x 1)

Deplasarea radial maxim:

woe = 1,1 m N [mm]

(21)

1.2.4 Calculul elementelor geometriceElementele geometrice ale angrenajului se calculeaz (xF = 0, xR = 0) . Datele cunoscute sunt prezentate n tabelul 2.Tabelul 2 Elemente geometrice Notaie Semnificaie Valoare Unitate de msur

fr

deplasri

de

profil

ha* c* kh h d

Unghiul de profil de referin Coeficientul capului dintelui de referin Coeficientul jocului radial de referin Coeficientul grosimii elementului flexibil sub dini Grosimea elementului flexibil Diametrul captului de arbore

20 1 0,35gen gen

grade

38

mm mm mm

Diametrul de divizare a elementului flexibil: DF = m z F [mm] Diametrul de divizare a roii rigide:

(22) (23)

DR = m zR [mm]Diametrul de cap a elementului flexibil: d aF = m z F + 2 ha + 2 xF [mm]

(

)

(24) (25) (26) (27) (28)

Diametrul de cap a roii rigide:

d aR = m z R 2 ha + 2 xR [mm]

(

)

Diametrul de fund a elementului flexibil:

d fF = m z F 2 ha + 2 xF 2 c [mm]

(

)

Diametrul de fund a roii flexibile:

d fR = m z R + 2 ha + 2 xR + 2 c [mm]

(

)

Diametrul interior a elementului flexibil: D0 = d fF 2 k h [mm] Raza fibrei neutre pentru roata armonic: D h rn 0 = R + m xR m (ha c ) [mm] 2 2 Numrul de dini ai elementului flexibil n stare deformat: r z z2e = c max F rn 0 Diametrul de divizare a elementului flexibil deformat: d we = z2e m [mm] Diametrul de baz a elementului flexibil deformat: d b 2e = d we cos [mm]

(29)

(30)

(31) (32)

Raza de cap a roii rigide:m zR + m xR ha m [mm] 2 Raza de cap a elementului flexibil deformat: k ra 2 e = rc max + h + 2,25 m [mm] 2 Raza de baz a elementului flexibil deformat: d rb 2 e = b 2 e [mm] 2 Raza de baz a roii rigide: D rb1 = R cos [mm] 2 Distana axial: a1 = m [mm] ra1 =

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

Gradul de acoperire: ra22 e rb22 e ra21 rb2 + a1 sin 1 = m cos Diametrul elementului flexibil acolo unde grosimea peretelui este kh : (38)

D = D0 + 2 h [mm]Diametrul cercului pe care sunt aezate uruburile de fixare: d e = D 0,8 d [mm] Grosimea peretelui lateral al elementului flexibil: h3 = 2 kh [mm]

(39) (40) (41)

1.2.5 Verificarea dinilor la presiune de contactCalculul angrenajului la presiune de contact nu difer mult fa de calculul angrenajelor obinuite, dac ambele roi au profile evolventice iar roata armonic este danturat n stare deformat. Mrimile cunoscute sunt prezentate n tabelul 3. Conform [4] efortul unitar de contact are formula:

k = Ca C M C g Coeficientul gradului de acoperire:

2 T1 CF i 1 ka [MPa] 2 B DR i1

(42)

Ca =

(43)

Coeficientul geometric:Cg = 1 sin cos

(44)

Coeficientul de material: CM = 2 E1 E2 2 ( E2 (1 1 ) E1 (1 2 )) 2 (45)

Coeficientul de sarcin:

CF = Ce Cd Cr CB

(46)

Raportul dintre numrul de dini a roii rigide i numrul de dini a elementului flexibil deformat: z (47) i= R z2 eTabelul 3 Notaie Semnificaie Valoare Unitate de msur

R F ER EF Ce Cr Cd CB B k 0 _ Ck

Coeficientul lui Poisson pentru roata rigid Coeficientul lui Poisson pentru elementul flexibil Modulul de elasticitate pentru roata rigid Modulul de elasticitate pentru elementul flexibil Coeficient de exploatare Coeficient de repartizare a sarcinii pe dini Coeficient dinamic n transmisia armonic Coeficient de repartizare a sarcinii pe dini Limea danturii Raportul dintre rezistena la oboseal a materialelor pentru ciclu pulsator i coeficientul de siguran Numrul de cicluri de solicitare Coeficientul de lubrifiere Coeficientul de rugozitate Coeficientul de vitez periferic

0,3 0,3 210000 210000 1,25 1,6 1,1 1,125gen

MPa MPa

mm MPa cicluri

1150 1000000 0,95 0,9 0,85

Nc0

CL CR Cv

Rezultanta admisibil la presiune de contact se determin cu relaia [4]: ka = k 0 CD CL CR Cv [MPa] Ck Coeficientul duratei de funcionare:CD = 6 N c0 NC L1 [cicluri] L2

(48)

(49)

Numrul de cicluri:N c = 60 kbrate n1

(50)

Lungimea cercului de rostogolire a roii rigide: L1 = 2 R1 [mm] Raza exterioar a roii rigide:d aR [mm] 2 Lungimea cercului de rostogolire al elementului flexibil: R1 =

(51)

(52)

L2 = 2 R2 [mm]Raza exterioar al elementului flexibil: R2 = d aF [mm] 2

(53)

(54)

1.2.6 Verificarea dinilor la solicitarea de ncovoierePentru calculul de ncovoiere se adopt urmtoarea ipotez: fora normal de calcul se aplic pe muchia extrem a dintelui (fig.8). Efortul maxim de ncovoiere se calculeaz cu formula [4]: F C y y i = t1 F a F [MPa] (55) B m cos

Fig.8 Solicitarea de ncovoiere a dintelui

Elementele cunoscute sunt prezentate n tabelul 4.Tabelul 4 Notaie Semnificaie Valoare Unitate de msur

ks k h1 ami 0 _ Ci

Coeficient de nlime Coeficient de lime Coeficient care ine cont de tipul deformatorului Raportul dintre rezistena la ncovoiere pentru un ciclu de solicitare pulsator la numrul de cicluri Nc i coeficientul de siguran pentru solicitarea de ncovoiere Coeficientul concentratorului de tensiune

2,1 1,25 0,16 315 1,5MPa

K

Coeficientul gradului de acoperire: ya = Unghiul echivalent:e = am [grade] 2

1

(56)

(57)

Coeficientul de form:yF =6 k h cos e k s2 cos 2 T1 [N] DR

(58)

Fora tangenial:Ft =

(59)

Rezistena admisibil la solicitarea de ncovoiere se poate determina dup recomandrile normelor ISO cu relaia: (60) ai = i 0 _ Ci C D K [MPa]

1.2.7 Verificarea roii dinate armonice la obosealVerificarea la oboseal se face pentru corpul roii armonice. Aceasta se face n dou seciuni (fig.9).

Fig.9 Roata armonic

1.2.7.1 Verificarea elementului flexibil la oboseal n seciunea cu grosimea peretelui k h (seciunea I)

n cele ce urmeaz sunt prezentate formulele de calcul pentru verificarea la oboseal n seciunea I iar n tabelul 5 sunt prezentate mrimile cunoscute.Tabelul 5 Notaie Semnificaie Valoare Unitate de msur

Cp

K

Coeficient de repartizare ne-uniform a eforturilor pe seciune Coeficient care depinde de material Coeficientul concentratorului de tensiune Coeficient care depinde de material Efortul unitar la un ciclu alternant simetric

0,35 0,125 1,85 0,1 500MPa

1

Raza minim a fibrei neutre n zona cu grosime k h :

rc min = rn 0 2,414 woe [mm]Raza maxim a fibrei neutre n zona cu grosime k h :

(61) (62)

rc max = rn 0 + 2,414 woe [mm]Amplitudinea efortului unitar se calculeaz:

v _ h =

1 EF h 1 [MPa] 4 rc min_ h rc max_ h EF k h 4 1 1 2 + [MPa] r c min rc max rn 0

(63)

Valoarea medie a efortului unitar ncovoietor n fibrele exterioare se calculeaz: m _ kh =

(64)

Coeficientul de siguran la ncovoiere pentru grosimea k h :c _ kh = 1 K v _ kh + m _ kh

(65)

Efortul de forfecare datorat momentului de rsucire transmis: 2 woe EF kh rn 0 f _ kh = [MPa] 4 rn20 kh Efortul datorat deformrii roii armonice prin generator T2 [MPa] r _ kh = 2 C p rn20 kh

(66)

(67)

Valoarea medie i amplitudinea eforturilor unitare tangeniale se calculeaz cu relaii cunoscute, dac se admite c au o variaie pulsatoare: (68) m _ kh = v _ kh = 0,5 ( f _ kh + r _ kh ) [MPa] Coeficientul de siguran la forfecare pentru grosimea k h :c _ kh = 1 K v _ kh + m _ kh

(69)

Coeficientul de siguran global pentru grosimea k h :cob _ kh = c _ kh c _ kh2 2 c _ kh + c _ kh

1,5...1,8

(70)

1.2.7.2 Verificarea elementului flexibil la oboseal n seciunea cu grosimea peretelui h (seciunea II)

n continuare sunt prezentate formulele de calcul pentru verificarea la oboseal n seciunea II. Raza minim a fibrei neutre n zona cu grosimea h (seciunea II, figura 9):

rc min_ h

B k + D0 1 1,2 rc min h 2 (h + D0 ) L = + [mm] 1 0,7 B 2

(71)

Raza maxim a fibrei neutre n zona cu grosime h (seciunea II, figura 9):

rc max_ h

B k + D0 1 1,2 rc max h 2 (h + D0 ) L = + [mm] 1 0,7 B 2

(72)

Coeficientul concentratorului de tensiune: K = 0,8 K Efortul de forfecare la un ciclu alternant simetric: 1 = 0,57 1 [MPa] Amplitudinea efortului unitar se calculeaz cu relaia:v _ h = 1 EF h 1 [MPa] 4 rc min_ h rc max_ h

(73) (74)

(75)

Valoarea medie a efortului unitar ncovoietor n fibrele exterioare: 1 2 EF h 1 + [MPa] 4 rc min_ h rc max_ h rn 0 Coeficient de siguran la ncovoiere pentru grosimea h: 1 c _ h = K v _ h + m _ h m _ h = Efortul de forfecare datorat momentului de rsucire transmis: 2 woe EF h rn 0 f _h = [MPa] 4 rn20 L Efortul datorat deformrii roii armonice prin generator: T2 [MPa] r _ h = 2 C p rn20 h (76)

(77)

(78)

(79)

Valoarea medie i amplitudinea eforturilor unitare tangeniale se calculeaz cu relaii cunoscute, dac se admite c au o variaie pulsatoare: (80) m _ h = v _ h = 0,5 ( f _ h + r _ h ) [MPa] Coeficientul de siguran la forfecare pentru grosimea h: 1 c _ h = K v _ h + m _ h Coeficientul de siguran global pentru grosimea h: c c cob _ h = _ h _ h 1,5...1,8 2 c _ h + c2_ h

(81)

(82)

1.2.8 Dimensionarea i verificarea deformatorului de tip camDeformatorul cel mai potrivit pentru reductoarele armonice de putere este cel sub form de cam peste care se monteaz un rulment flexibil (fig.10). Acest tip de deformator asigur o form impus roii flexibile, dup o lege de variaie dorit. El solicit uniform roata flexibil, nu produce solicitri locale concentrate i are randament bun. Cama peste care este montat rulmentul flexibil trebuie s asigure deformaia roii flexibile prin intermediul rulmentului flexibil. Profilul camei este o elips avnd semiaxa mare a i semiaxa mic b. n continuare sunt prezentate formulele folosite pentru dimensionarea deformatorului precum i

formulele pentru calculul durabilitii rulmentului elastic. n tabelul 6 sunt prezentate mrimile cunoscute.

Fig.10 Deformatorul de tip camTabelul 6 Notaie Semnificaie Valoare Unitate de msur

bm ir fsLh _ impus

Coeficient n funcie de tipul rulmentului Numrul de rnduri de bile Factor de regim Durabilitatea impus Factor de contact Coeficient care ine seama de faptul c fora Fr nu

1,3 1 1,25 10000 3 0,8 0,1 1,1452 0,2593

mm ore

p

kF K1 K2

acioneaz direct asupra rolei i este deviat cu un unghiCoeficientul de frecare ce depinde de calitatea suprafeelor i de felul ungerii Constant ce depinde de ughiul de profil i

raportul de reducereConstant ce depinde de ughiul de profil i

raportul de reducere

Grosimea inelului exterior:

inelext = 0,2 Dw [mm]Semiaxa mare a elipsei:a = rc max Dw + k h a1 [mm] 2 Dw + kh a1 [mm] 2

(83)

(84)

Semiaxa mic a elipsei:b = rc min

(85)

Circumferina elipsei pe care sunt aezai bilele deformatorului conform aproximrii Ramanujan:Circum = 3 (a + b ) 10 a b + 3 ( a 2 + b 2 ) [mm]

[

]

(86)

Numrul de bile pe rnd: Circum Z = Dw + Diametrul cercului centrelor bilelor: D pw = D0 Dw 2 a1 [mm] Capacitatea de ncrcarea a rulmentului se calculeaz conform ISO 281:2007(E):Cr _ rul = bm f c (i cos rul ) Z 3 Dw0, 7 2 1, 4

(87)

(88)

[N]

(89) (90) (91) (92)

Deformaia radial maxim: Distana dintre bile:

rem = m (K1 + K 2 ) [mm] = 0,5 Dw [mm]

Limea rulmentului:

B1 = 0,7 B [mm]

n cazul deformatoarelor de tip cam fora total pe rulment va fi compus din fora datorat deformaiilor elastice Pdef i fora cauzat de momentul T2 [4]. Rezultanta forei radiale:Fr = 2 T2 tan ( + ) [N] kbrate DF (1 tan )

(93)

Rezultanta forei radiale datorat deformaiei elastice: Pdef = 1,12 Fora total pe rulment:R = Pdef + k f Fr [N]

rem L g 3 E [N] rn30

(94)

(95) (96) (97) (98)

Capacitatea de ncrcare a rulmentului elastic: C = 0,75 Cr _ rul [N] Sarcin dinamic echivalent:Pd ech = f s R [N]

Turaia rulmentului:

nr = kbrate n1 [rot/min]Durabilitatea efectiv:

1000000 C [ore] Lh = 60 nr Pd ech

p

(99)

1.2.9 Genele problemei de proiectare optimalAu fost alese ase variabile care descriu reductorul armonic (ansamblul format din elementul flexibil, deformator i roata rigid). Ataarea unor intervale de cutare (cu specificarea numrului de cutare) la aceste variabile s-a dovedit a fi o problem dificil.Tabelul 7 Genele problemei de proiectare optimal a reductorului armonic Gena Denumire Domeniu Valori

k L B hkh Dw

Numr de ordine Lungimea elementului flexibil Limea danturii Grosimea elementului flexibil Coeficientul grosimii elementului flexibil sub dini Diametrul bilei

{0,...,15} {50,...,187} [0,25...0,35] [0,5...3,6] [1...1,5] [5...30,6]

24 27 26 2527 28

Prima variabil k va fi un numr ntreg ntre valorile 015, valori ce reprezint numrul de ordine a unui vector, vector care conine modulele standardizate ntre valorile {0,18...1} . Variabila B se determin ca fiind 0,250,35 din lungimea elementului flexibil. Variabila k h va fi (1...1,5)h (h fiind grosimea elementului flexibil).

1.2.10 Identificarea restriciilorn cazul acestei probleme de optimizare s-au luat n considerare restricii ce in cont de condiiile de rezistena materialelor i de condiiile de montaj. Aceste restricii sunt:Restricii legate de rezistena materialelor: R1

Verificarea dinilor la presiune de contact: g1 = k 1 0 ak Verificarea dinilor la solicitarea de ncovoiere: g2 = i 1 0 ai Verificarea elementului flexibil la oboseal n zona de grosime h: 1,8 1 0 g3 = cob _ h Verificarea elementului flexibil la oboseal n zona de grosime k h :g4 = 1,8 cob _ kh 1 0

(100)

R2

(101)

R3

(102)

R4

(103)

R5

Verificarea durabilitii rulmentului:g5 = 1 Lh Lh _ impus 0

(104)

R6

Mrimea bilei:

g6 =

1,8 Dw 1 0 B1

(105)

Condiii de montaj: R7

Verificarea la montaj:g7 = de 1 0 0,9 D0

(106)

1.2.11 Rezultatele optimizriiProgramul Genesis a fost rulat cu datele iniiale de proiectare. Rezultatele simulrii genetice sunt prezentate n tabelul 8.Tabelul 8 Rezultatele optimizrii reductorului armonic

k

L [mm]

B [%]

h [mm]

kh [%]

Dw [mm]

Varm [mm3]

9 9 9 9

132 132 132 132

0,340 0,345 0,340 0,338

0,5 0,5 0,5 0,5

1,01 1,00 1,00 1,00

17,45 17,55 17,45 17,45

1,497 104 1,502 104 1,495 104 1,501104

n urma proiectrii optimale s-au obinut mai multe soluii. Diferena ntre soluii este destul de mic, modificndu-se foarte puin valorile ctorva variabile. Soluia considerat cea mai bun (marcat cu fond diferit n tabelul 8) este aceea pentru care volumul elementului flexibil este minim. Astfel valorile genelor vor fi: Modul standardizat: m = 0,5 [mm] Lungimea elementului flexibil:

L = 132 [mm]Limea danturii:

B = 44,88 [mm]Grosimea peretelui elementului flexibil: h = 0,5 [mm] Grosimea peretelui elementului flexibil n zona dinilor: kh = 1 [mm] Diametrul bilei deformatorului:

Dw = 17,45 [mm]Volumul obinut n urma proiectrii optimale:Varm = 1,495 10 4 [mm3]

n figurile 11 i 12 sunt prezentate schiele celor trei elemente principale: deformator, element flexibil i roat rigid.

Fig.11 Ansamblul deformator - element flexibil rezultat n urma proiectrii optimale

1.2.12 ConcluziiSe pot formula urmtoarele concluzii: Obiectivul urmrit n aceast lucrare a fost obinerea, prin proiectare optimal cu algoritmi evolutivi, a unui reductor armonic cu volum minim pentru un set de date de intrare cunoscute. S-a luat n considerare ansamblul format din cele trei elemente principale: deformator, element flexibil i roata rigid i s-a urmrit minimizarea volumului elementului flexibil (reducndu-se volumul acestuia se va reduce volumul ntregului reductor armonic). Prin proiectare optimal s-a gsit soluia cea mai bun, soluie care verific condiiile iniiale.

Bibliografie[1] [2] [3] [4] [5] Belcin, O., (2000): Mecanisme i organe de maini, organe de maini, Vol. III, Ed. Risoprint, Cluj-Napoca. Belcin O., (2006): Organe de maini. Rulmeni i pivoi. Probleme rezolvate, Ed. Risoprint, Cluj-Napoca. Buzdugan, Gh., (1980): Rezistena materialelor, Ed. Tehnic, Bucureti. Chiiu, A. .a., (1981): Organe de maini, E.D.P. Bucureti. Crudu, I., (1981): Atlas. Reductoare cu roi dinate, E.D.P. Bucureti.

Dali, A., (1981): Contribuii la geometria, cinematica i calculul de rezisten a angrenajelor cu elemente dinate deformabile, Tez de doctorat, Cluj-Napoca. [7] Frenal, M., (2007): Design of a harmonic drive for a high precision application, MSc Thesis, Cranfield University, 2007. [8] Hulpe, Gh., (1980): Desen tehnic industrial, Lito. IPC-N, Cluj-Napoca. [9] Miloiu, G., Dudi, F., (1985): Transmisii mecanice moderne, Ed. Tehnic, Bucureti. [10] Szekely, I., (1998): Raionamente n teoria i practica mecanismelor, Ed. U.T. Press, ClujNapoca. [11] Tudose, L., .a, (2006): Proiectarea optimal a sistemelor complexe, Ed. Mediamira, ClujNapoca. [12] Volkov, D. P., Krajnev, A.F, (1984): Hullamhajtomuvek, Ed. Tehnic Budapesta, Ungaria.

[6]

Fig.12 Roata rigid rezultat n urma proiectrii optimale