Probabiliti i statistic

3

CUPRINS

Introducere...........................................................................................................7 Capitolul 1. Teoria probabilitilor...................................................................11 1.1. Formalizarea experienelor aleatoare..............................................11 1.1.1. Evenimente...........................................................................11 1.2. Relaii ntre evenimente...................................................................12 1.3. Cmp de evenimente........................................................................14 1.4. Cmp de probabilitate......................................................................15 1.5. Reguli de calcul cu probabiliti......................................................17 Capitolul 2. Variabile aleatoare.........................................................................27 2.1. Variabile aleatoare discrete..............................................................27 2.2. Vector aleator bidimensional...........................................................32 2.3. Caracteristici numerice asociate variabilelor aleatoare....................36 2.4. Funcia caracteristic. Funcia generatoare de momente.................51 2.5. Probleme rezolvate...........................................................................53 2.6. Probleme propuse.............................................................................66 Capitolul 3. Legi clasice de probabilitate (repartiii) ale variabilelor aleatoare discrete.............................................................................69 3.1. Legea discret uniform...................................................................69 3.2. Legea binomial. Legea Bernoulli...................................................71 3.3. Legea binomial cu exponent negativ. Legea geometric...............79 3.4. Legea hipergeometric.....................................................................83 3.5. Legea Poisson (legea evenimentelor rare) ......................................86 Capitolul 4. Legi clasice de probabilitate (repartiii) ale variabilelor aleatoare continue..........................................................................91 4.1. Legea continu uniform (rectangular).........................................91 4.2. Legea normal (Gauss-Laplace). Legea normal standard (legea normal centrat redus).................................................................95 4.3. Legea log-normal........................................................................105 4.4. Legea gamma.................................................................................107 4.5. Legea beta.....................................................................................112 4.6. Legea 2 (Helmert-Pearson) ........................................................114 4.7. Legea Student (t). Legea Cauchy..................................................119 4.8. Legea Snedecor. Legea Fisher......................................................123 4.9. Legea Weibull. Legea exponenial..............................................127

4

Capitolul 5. Convergena variabilelor aleatoare............................................131 5.1. Convergena aproape sigur i convergena n probabilitate..........131 5.2. Legi ale numerelor mari i aplicaii ...............................................137 5.2.1. Legea slab............................................................................137 5.2.2. Legea tare..............................................................................138 5.3. Convergena n repartiie................................................................148 5.4. Teorema limit central ................................................................155

Capitolul 6. Simularea variabilelor aleatoare ...............................................163 6.1. Simularea repartiiilor pe dreapt..................................................164 6.2. Algoritmul general: teorema de descompunere.............................173 6.3. Algoritmi speciali: repartiii uniforme...........................................180 Capitolul 7. Statistic descriptiv....................................................................185 7.1. Prezentarea datelor statistice..........................................................185 7.2. Caracteristici numerice..................................................................191 7.3. Corelaie. Regresie.........................................................................196 Capitolul 8. Teoria seleciei..............................................................................201 8.1. Generarea valorilor particulare ale unei variabile aleatoare..........201 8.2. Variabile de eantionare................................................................204 8.3. Legi de probabilitate ale variabilelor de eantionare....................210 Capitolul 9. Teoria estimaiei...........................................................................215 9.1. Estimatori nedeplasai...................................................................215 9.2. Estimatori de maxim verosimilitate.............................................216 Capitolul 10. Estimarea prin intervale de ncredere......................................219 10.1. Forma general a intervalului de ncredere .................................219 10.2. Interval de ncredere pentru medie...............................................221 10.3. Interval de ncredere pentru diferena a dou medii.....................226 10.4. Interval de ncredere pentru dispersie i raportul a dou dispersii........................................................................................229 Capitolul 11. Teoria deciziei.............................................................................233 11.1. Decizii empirice .......................................................................233 11.2. Decizii statistice...........................................................................233 11.3. Ipoteze statistice...........................................................................234 11.4. Teste statistice..............................................................................234 11.5. Tipuri de erori..............................................................................234 11.6. Nivel de semnificaie ..................................................................235 11.7. Un exemplu..................................................................................236 11.8. Relaia dintre probabilitile i ..............................................239 11.9. Puterea unui test...........................................................................240

5

11.10. nc un exemplu.........................................................................242 11.11. Testarea irurilor binare.............................................................243 11.12. Testarea statistic a irurilor binare...........................................243 11.13. Noiunea de P-valoare................................................................245 11.14. Un exemplu: statistic repartizat normal..................................247 11.15. Alt exemplu: statistic repartizat 2.........................................249 Capitolul 12. Analiza regresiei.........................................................................251 12.1. Modele de regresie.......................................................................251 12.2. Modelul liniar. Estimarea parametrilor modelului prin metoda celor mai mici ptrate...................................................................255 12.3. Modelul liniar clasic Gauss - Markov. Inferene asupra estimatorilor unui model liniar.....................................................259 12.4. Previziunea i analiza rezultatelor unei regresii liniare................265 Capitolul 13. Statistic Bayesian i noiuni de teoria credibilitii.............281 13.1. Statistic Bayesian......................................................................281 13.2. Modelul de credibilitate Bhlmann..............................................289 Bibliografie........................................................................................................295 Anexe.................................................................................................................297

7

Introducere

Teoria probabilitilor i statistica matematic se aplic n majoritatea domeniilor tiinei, ncepnd cu tiinele exacte i inginereti i finaliznd cu tiinele socio-economice, n special acolo unde exist condiii de risc i incertitudine i unde este necesar adoptarea unor decizii riguros argumentate. Una dintre construciile de baz n fundamentele statisticii i teoriei probabilitilor, precum i n justificarea aplicrii acestora n alte domenii, este dat de legea numerelor mari teorem binecunoscut care i aparine matematicianului Jakob Bernoulli (1654-1705), fiind aprut n lucrarea postum Ars conjectandi (1713). Printre ali matematicieni care au rmas celebri n teoria probabilitilor i statistic, i amintim pe: de Moivre, Laplace, Gauss, Bertrand, Poincar, Cebev, Liapunov, Markov, Borel, Kolmogorov, Glivenko. De asemenea, coala romneasc de probabiliti, fondat de Octav Onicescu, i reprezentat de nume precum Gheorghe Mihoc i Marius Iosifescu, a adus contribuii semnificative n dezvoltarea acestui domeniu. Cartea de fa i propune s vin n sprijinul studenilor care au ca disciplin de studiu, n cadrul a diferite specializri, disciplina Probabiliti i statistic, oferindu-le acestora o gam larg de aspecte teoretice, nsoite de exemple i aplicaii. Ca structur, cartea se fundamenteaz pe baza a treisprezece capitole, ase dintre acestea fiind dedicate Teoriei probabilitilor, respectiv apte capitole, Statisticii matematice. n Capitolul 1, sunt prezentate concepte de baz ale teoriei probabilitilor, mai precis, experiene aleatoare, evenimente, probabilitate, reguli de calcul cu probabiliti, n timp ce n Capitolul 2, sunt abordate noiuni precum variabile aleatoare, caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare, funcia caracteristic, funcia generatoare de momente. n Capitolul 3 sunt prezentate principalele legi de probabilitate ale variabilelor aleatoare discrete i anume: legea discret uniform, legea binomial i cazul su particular legea Bernoulli, legea binomial cu exponent negativ i cazul particular legea geometric, legea hipergeometric i legea Poisson (legea evenimentelor rare), iar n Capitolul 4 sunt prezentate principalele legi de probabilitate ale variabilelor aleatoare continue, i anume: legea continu uniform (rectangular), legea normal (Gauss-Laplace), legea log-normal, legea gamma, legea beta, legea 2 (Helmert-Pearson), legea Student (t) i cazul su particular legea Cauchy, legea Snedecor i legea Fisher, legea Weibull i cazul su particular, legea exponenial. Capitolul 5 se construiete n jurul convergenei, de diferite tipuri, a variabilelor aleatoare, fiind menionate convergena aproape sigur, convergena n probabilitate, convergena n repartiie, precum i legile numerelor mari i teorema limit central. Partea aferent teoriei probabilitilor se ncheie cu Capitolul 6, dedicat algoritmilor de simulare a variabilelor aleatoare. n Capitolul 7, se studiaz elemente de

8

statistic descriptiv i aspecte privind organizarea datelor, ct i analiza acestora, punndu-se accentul pe modalitile de reprezentare, dar i pe gsirea diverselor mrimi caracteristice. Noiunile sunt nsoite de exemple adecvate i actuale. n Capitolul 8 sunt prezentate noiuni de teoria seleciei, ncepnd cu descrierea generrii unor valori particulare ale variabilelor aleatoare discrete sau continue i continund cu legi de probabilitate ale variabilelor de eantionare. Capitolul 9 conine o scurt introducere n teoria estimaiei. Se prezint, cu multe exemple, conceptele de estimator nedeplasat i estimator de maxim verosimilitate. n Capitolul 10, sunt prezentate intervalele de ncredere pentru principalii parametri statistici. Astfel, capitolul debuteaz cu fundamentarea formei generale a unui interval de ncredere, ca metod de estimare statistic, dup care sunt prezentate pe rnd, intervalul de ncredere pentru medie, incluznd cazul cnd dispersia este necunoscut, respectiv cazul particular al unei proporii, apoi interval de ncredere pentru diferena a dou medii, respectiv, interval de ncredere pentru dispersie i pentru raportul a dou dispersii, toate acestea nsoite de exemple practice. Capitolul 11 prezint succint teoria deciziei. Sunt descrise noiunile de ipotez statistic, test statistic, tipuri de erori, nivel de semnificaie, putere a unui test, p-valoare. Exemplele sunt luate din practica testrii irurilor binare n ceea ce privete caracterul aleator. n Capitolul 12, sunt prezentate tehnici de analiz a regresiei, att prin intermediul aspectelor teoretice, ct i prin intermediul unor exemple. n primul paragraf sunt trecute n revist noiunile de baz, fiind definite diverse tipuri de modele de regresie, urmnd ca n ultimele trei paragrafe spaiul s fie alocat cu precdere modelului liniar. Astfel, este prezentat metoda celor mai mici ptrate n estimarea parametrilor necunoscui ai unui model liniar multiplu, sunt realizate inferene asupra estimatorilor unui model liniar n ipotezele clasice Gauss-Markov, capitolul ncheindu-se cu aspecte care in de previziunea i analiza rezultatelor unei regresii liniare. Cartea se ncheie cu Capitolul 13 n care sunt abordate aspecte care in de statistica bayesian i noiuni de teoria credibilitii. Cartea de fa a fost elaborat n cadrul proiectului POSDRU/56/1.2/S/32768, Formarea cadrelor didactice universitare i a studenilor n domeniul utilizrii unor instrumente moderne de predare-nvare-evaluare pentru disciplinele matematice, n vederea crerii de competene performante i practice pentru piaa muncii, de ctre un colectiv de autori, cadre didactice universitare, astfel: capitolele 1 i 2, Lucia Cbulea, capitolele 3 i 4, Rodica Luca-Tudorache, capitolele 5, 6 i 13, Gheorghi Zbganu, capitolele 7 i 8, Ariana Pitea, capitolele 9 i 11, Ioan Rasa, respectiv capitolele 10 i 12, Nicoleta Breaz. Finanat din Fondul Social European i implementat de ctre Ministerul Educaiei, Cercetrii, Tineretului i Sportului, n colaborare cu The Red Point, Oameni i Companii, Universitatea din Bucureti, Universitatea Tehnic de Construcii din Bucureti, Universitatea Politehnica din Bucureti, Universitatea din Piteti, Universitatea Tehnic Gheorghe Asachi din Iai, Universitatea de Vest din Timioara, Universitatea Dunrea de Jos din Galai, Universitatea Tehnic din Cluj-Napoca, Universitatea 1 Decembrie 1918 din

9

Alba-Iulia, proiectul contribuie n mod direct la realizarea obiectivului general al Programului Operaional Sectorial de Dezvoltare a Resurselor Umane POSDRU i se nscrie n domeniul major de intervenie 1.2 Calitate n nvmntul superior. Proiectul are ca obiectiv adaptarea programelor de studii ale disciplinelor matematice la cerinele pieei muncii i crearea de mecanisme i instrumente de extindere a oportunitilor de nvare. Evaluarea nevoilor educaionale obiective ale cadrelor didactice i studenilor legate de utilizarea matematicii n nvmntul superior, masterate i doctorate precum i analizarea eficacitii i relevanei curriculelor actuale la nivel de performan i eficien, n vederea dezvoltrii de cunotine i competene pentru studenii care nva discipline matematice n universiti, reprezint obiective specifice de interes n cadrul proiectului. Dezvoltarea i armonizarea curriculelor universitare ale disciplinelor matematice, conform exigenelor de pe piaa muncii, elaborarea i implementarea unui program de formare a cadrelor didactice i a studenilor interesai din universitile partenere, bazat pe dezvoltarea i armonizarea de curriculum, crearea unei baze de resurse inovative, moderne i funcionale pentru predarea-nvarea-evaluarea n disciplinele matematice pentru nvmntul universitar sunt obiectivele specifice care au ca rspuns materialul de fa. Formarea de competene cheie de matematic i informatic presupune crearea de abiliti de care fiecare individ are nevoie pentru dezvoltarea personal, incluziune social i inserie pe piaa muncii. Se poate constata ns c programele disciplinelor de matematic nu au ntotdeauna n vedere identificarea i sprijinirea elevilor i studenilor potenial talentai la matematic. Totui, studiul matematicii a evoluat n exigene pn a ajunge s accepte provocarea de a folosi noile tehnologii n procesul de predare - nvare - evaluare pentru a face matematica mai atractiv. n acest context, analiza flexibilitii curriculei, nsoit de analiza metodelor i instrumentelor folosite pentru identificarea i motivarea studenilor talentai la matematic ar putea rspunde deopotriv cerinelor de mas, ct i celor de elit. Viziunea pe termen lung a acestui proiect preconizeaz determinarea unor schimbri n abordarea fenomenului matematic pe mai multe planuri: informarea unui numr ct mai mare de membri ai societii n legtur cu rolul i locul matematicii n educaia de baz n instrucie i n descoperirile tiinifice menite s mbunteasc calitatea vieii, inclusiv popularizarea unor mari descoperiri tehnice, i nu numai, n care matematica cea mai avansat a jucat un rol hotrtor. De asemenea, se urmrete evidenierea a noi motivaii solide pentru nvarea i studiul matematicii la nivelele de baz i la nivel de performan; stimularea creativitii i formarea la viitorii cercettori matematicieni a unei atitudini deschise fa de nsuirea aspectelor specifice din alte tiine, n scopul participrii cu succes n echipe mixte de cercetare sau a abordrii unei cercetri inter i multidisciplinare; identificarea unor forme de pregtire adecvat de matematic pentru viitorii studeni ai disciplinelor

10

matematice, n scopul utilizrii la nivel de performan a aparatului matematic n construirea unei cariere profesionale.

11

Capitolul 1

Teoria probabilitilor 1.1. Formalizarea experienelor aleatoare

1.1.1. Evenimente

Definiia 1.1.1. Realizarea practic a unui ansamblu de condiii bine precizat poart numele de experien sau prob. Definiia 1.1.2. Prin eveniment vom nelege orice rezultat al unei experiene despre care putem spune c s-a realizat sau c nu s-a realizat, dup efectuarea experimentului considerat. Evenimentele se pot clasifica n: evenimente sigure; evenimente imposibile, evenimente aleatoare. Definiia 1.1.3. Evenimentul sigur este evenimentul care se produce n mod obligatoriu la efectuarea unei probe i se noteaz cu . Definiia 1.1.4. Evenimentul imposibil este evenimentul care n mod obligatoriu nu se produce la efectuarea unei probe i se noteaz cu . Definiia 1.1.5. Evenimentul aleator este evenimentul care poate sau nu s se realizeze la efectuarea unei probe i se noteaz prin litere mari A, B, C, , sau prin litere mari urmate de indici Ai, Bi,. Definiia 1.1.6. Evenimentul contrar evenimentului A se noteaz i este evenimentul ce se realizeaz numai atunci cnd nu se realizeaz evenimentul A. Definiia 1.1.7. Un eveniment se numete:

1) elementar dac se realizeaz ca rezultat al unei singure probe; se noteaz cu .

2) compus dac acesta apare cu dou sau mai multe rezultate ale probei considerate.

Definiia 1.1.8. Mulimea tuturor evenimentelor elementare generate de un experiment aleator se numete spaiul evenimentelor elementare (spaiul de selecie) i se noteaz cu . Acesta poate fi finit sau infinit.

12

Observaia 1.1.9. O analogie ntre evenimente i mulimi permite o scriere i n general o exprimare mai comode ale unor idei i rezultate legate de conceptul de eveniment. Astfel, vom nelege evenimentul sigur ca mulime a tuturor evenimentelor elementare, adic: n ,...,, 21 i orice eveniment compus ca o submulime a lui . De asemenea, putem vorbi despre mulimea tuturor prilor lui pe care o notm prin P( ), astfel c pentru un eveniment compus A putem scrie, n contextul analogiei dintre evenimente i mulimi, c A sau )(PA . Exemplul 1.1.10. Fie un zar, care are cele ase fee marcate prin puncte de la 1 la 6. Se arunc zarul pe o suprafa plan neted. Dac notm cu i = evenimentul "apariia feei cu i puncte", 6,1i , atunci spaiul evenimentelor elementare ataat experimentului cu un zar este dat prin ={ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }.

Evenimentul sigur este "apariia feei cu un numr de puncte 6". Evenimentul imposibil este "apariia feei cu 7 puncte".

1.2. Relaii ntre evenimente Definiia 1.2.1. Spunem c evenimentul A implic evenimentul B i scriem BA , dac realizarea evenimentului A atrage dup sine i realizarea evenimentului B. Observaia 1.2.2. BA i CB rezult CA - proprietatea de tranzitivitate a relaiei de implicare. Definiia 1.2.3. Spunem c evenimentele A i B sunt echivalente (egale) dac avem simultan BA i AB . Definiia 1.2.4. Prin reunirea evenimentelor A i B vom nelege evenimentul notat BA care const n realizarea a cel puin unuia dintre evenimentele A i B. Deoarece evenimentele A i B sunt submulimi formate cu evenimentele elementare ale spaiului , rezult c reunirea evenimentelor poate fi scris astfel:

BsauABA /

Observaia 1.2.5. Dac notm prin K mulimea tuturor evenimentelor asociate unui experiment aleator avem:

1. ABBAKB,A (comutativitatea); 2. )CB(AC)BA(KC,B,A (asociativitatea);

13

3. Dac KB,A i BBABA (evident A , AA , i AA ).

Definiia 1.2.6. Prin intersecia evenimentelor A i B vom nelege evenimentul notat BA care const n realizarea simultan a ambelor evenimente. Intersecia evenimentelor A i B poate fi scris sub forma:

BiABA /

Observaia 1.2.7. Au loc relaiile urmtoare: 1. ABBAKB,A (comutativitatea) 2. )CB(AC)BA(KC,B,A (asociativitatea) 3. Dac KB,A i BA atunci ABA (evident AA , A = , = i AAA ).

4. AAKA

Definiia 1.2.8. Spunem c evenimentele A i B sunt incompatibile dac BA , adic realizarea lor simultan este imposibil, i spunem c sunt

compatibile dac BA , adic este posibil realizarea lor simultan. Evenimentele A i B sunt contrare unul altuia dac BA i BA , adic realizarea unuia const din nerealizarea celuilalt. Definiia 1.2.9. Se numete diferena evenimentelor A i B, evenimentul notat A-B care se realizeaz atunci cnd se realizeaz evenimentul A i nu se realizeaz evenimentul B. Diferena evenimentelor poate fi scris sub forma:

BiABA /

Observaia 1.2.10. Evident avem BABA i AAE . Au loc relaiile lui De Morgan: BABA i BABA i

respectiv generalizrile Ii

iIi

i AA

; Ii

iIi

i AA

.

Teorema 1.2.11. Dac evenimentele A, B, C, D K, atunci sunt adevrate urmtoarele afirmaii:

i) A B = A (A B) ii) A B = (A B) B iii) A = (A B) (A B) iv) (A B) (B A) = v) A B = A [B - (A B)] vi) A (B C) = (A B) - (A C) vii) (A B) (C D) = (A C) (B D)

14

Definiia 1.2.12. Evenimentele A i B sunt dependente dac realizarea unuia depinde de realizarea celuilalt i sunt independente dac realizarea unuia nu depinde de realizarea celuilalt.

O mulime de evenimente sunt independente n totalitatea lor dac sunt independente cte dou, cte trei etc.

Pentru evenimentele independente n totalitatea lor vom folosi i denumirea de evenimente independente.

1.3. Cmp de evenimente Definiia 1.3.1. O mulime nevid de evenimente )( PK se numete corp dac satisface axiomele:

i) KAKA ii) KBAKB,A . Cuplul ( , K) se numete cmp finit de evenimente, n cazul n care K

este un corp. Observaia 1.3.2.

1. ntr-un cmp finit de evenimente ( , K) sunt adevrate afirmaiile: a. KBAKBA , b. Evident K i K . c. Dac A, B K atunci KBA . 2. Dac mulimea evenimentelor elementare este numrabil, o mulime )( PK se numete corp borelian (sau -corp, sau -algebr) pe , n

condiiile: i) KAKA , ii) dac IN, I i Ai K, Ii , atunci KA

Iii

,

iii) K . Perechea ( , K) n care K este un -corp se numete cmp borelian

(cmp infinit) de evenimente. Definiia 1.3.3. ntr-un cmp finit de evenimente ( , K), evenimentele KA i ,

n,1i , formeaz un sistem complet de evenimente (sau o partiie a cmpului) dac:

i)

n

iiA

1

ii) ji AA ,ji n,1j,i

15

Observaia 1.3.4. Evenimentele elementare i , ,n,1i corespunztoare unei probe formeaz un sistem complet de evenimente care se mai numete sistem complet elementar. Propoziia 1.3.5. Dac n ,...,, 21 atunci cmpul de evenimente corespunztor conine 2n evenimente. Demonstraie

Pentru un experiment de n rezultate elementare i prin urmare pentru un eveniment sigur compus din n evenimente elementare, vom avea diverse evenimente compuse din acestea dup cum urmeaz:

evenimente compuse din cte zero evenimente elementare 0nC evenimente compuse din cte un eveniment elementar 1nC evenimente compuse din cte dou evenimente elementare 2nC - - - - - - - - - - - - - - - - evenimente compuse din cte k evenimente elementare knC evenimente compuse din cte n evenimente elementare nnC

i prin urmare, numrul total de evenimente ale lui K este egal cu nn

nknnn CCCC 2......

10

1.4. Cmp de probabilitate Definiia 1.4.1.(axiomatic a probabilitii) Fie ( , K) un cmp finit de evenimente. Se numete probabilitate pe cmpul considerat o funcie RK:P care satisface axiomele:

i) KAAP ,0)( , ii) P( )=1, iii) ),B(P)A(P)BA(P A, B ,K i BA .

Definiia 1.4.2. Se numete cmp finit de probabilitate tripletul { , , K, P} unde cuplul ( , K) este un cmp finit de probabilitate, iar RK:P este o probabilitate pe K. Observaia 1.4.3. n cazul n care cmpul de evenimente ( , K) este infinit (K este infinit) probabilitatea P definit pe K satisface axiomele:

i) KA,0)A(P ii) P( )=1

16

iii)

Iii

Iii APAP dac ji AA ,ji ,Ij,i ,KA i

I-o mulime de indici cel mult numrabil. Propoziia 1.4.4. Au loc relaiile:

1. 0 P 2. AP1AP 3.

n

1ii

n

1ii APAP dac ji AA ,ji n,1j,i

Demonstraie

1) Din relaiile = i = aplicnd axioma iii) din definiia probabilitii avem P( ) = P( ) = P() + P( ) i rezult P() = 0

2) Din relaiile AA i AA aplicnd axioma iii) din definiia probabilitii avem )()()( APAPAAP adic

)()()( APAPP i rezult )(1)( APAP 3) Demonstrm prin inducie matematic Pentru n = 2 P(A1 A2) = P(A1) + P(A2) relaia este adevrat conform

axiomei iii) din definiia probabilitii. Presupunem relaia adevrat pentru n 1 evenimente, adic

1

1

1

1

)(n

ii

n

ii APAP i demonstrm pentru n evenimente

n

ii

n

inin

n

iin

n

ii

n

ii APAPAPAPAPAAPAP

1

1

1

1

1

1

11

)()()()(

dac s-a folosit ipoteza de inducie i s-a inut seama c 1

1

n

n

ii AA .

Definiia 1.4.5. (clasic a probabilitii) Probabilitatea unui eveniment A este egal cu raportul dintre numrul evenimentelor egal probabile favorabile evenimentului A i numrul total al evenimentelor egal probabile.

Alt formulare: probabilitatea unui eveniment este raportul ntre numrul cazurilor favorabile evenimentului i numrul cazurilor posibile. Observaia 1.4.6.

1) Conform acestei definiii nu putem stabili probabilitatea unui eveniment ce aparine unui cmp infinit de evenimente.

2) Definiia clasic se aplic numai atunci cnd evenimentele elementare sunt egal posibile.

17

Exemplul 1.4.7. Considerm experiena de aruncare a unui zar. Evenimentele elementare sunt egal posibile i avem 6 cazuri posibile. Notm cu A evenimentul "apariia unei fee cu numr par de puncte 6 " numrul cazurilor favorabile

evenimentului A este 3. Deci 21

63)A(P .

Exemplul 1.4.8. Dintr-o urn cu 15 bile numerotate de la 1 la 15 se extrage o bil la ntmplare. Se consider evenimentele:

A = obinerea unui numr prim; B = obinerea unui numr par; C =obinerea unui numr divizibil prin 3. S calculm probabilitile acestor evenimente.

Rezolvare

n aceast experien aleatoare numrul total al cazurilor posibile este 15.

Pentru A numrul cazurilor favorabile este 6, adic {2, 3, 5, 7, 11, 13},

deci 52

156)A(P .

Pentru B numrul cazurilor favorabile este 7, adic {2, 4, 6, 8, 10, 12,

14}, deci 157)B(P .

Pentru C, numrul cazurilor favorabile este 5, adic { 3, 6, 9, 12, 15},

deci 31

155)C(P .

1.5. Reguli de calcul cu probabiliti P1) Probabilitatea diferenei: Dac KB,A i BA atunci

P(B-A)=P(B)-P(A)

Demonstraie Din relaiile B = A (B - A) i A (B - A) = aplicnd axioma iii)

avem )()()()( ABPAPABAPBP P2) Probabilitatea reunirii (formula lui Poincar):

Dac KB,A atunci )()()()( BAPBPAPBAP . Demonstraie

Din relaiile )( BABABA i )( BABA aplicnd axioma iii) avem

)()()()()()( BAPBPAPBABPAPBAP

18

dac s-a folosit P1. Generalizare: Dac A1,A2,An sunt evenimente compatibile atunci

n

ii

n

kjikji

n

jiji

ji

n

ii

n

ii APAAAPAAPAPAP

1

1

1,11

)1(...)()()(

P3) Probabiliti condiionate: Dac 0)B(P atunci raportul )B(P

)BA(P l

numim probabilitatea lui A condiionat de B i notm PB(A) sau )BA(P . Demonstraie

Artm c )(APB satisface axiomele probabilitii: i) 0)( APB deoarece 0)( BAP i 0)( BP

ii) 1)()(

)()()(

BPBP

BPEBPEPB

iii) Fie A1 i A2 K i 21 AA . Avem

)()()(

)()(

)()(

)()()(

)()()(

)()(

212121

212121

APAPBP

ABPBP

ABPBP

ABPABPBP

ABABPBP

AABPAAP

BB

B

,

dac )()( 21 ABAB . Observaia 1.5.1.

1) Oricrui cmp de evenimente ( ,K) i putem ataa un cmp de probabilitate condiionat { , K, PB}.

2) )A(P)B(P)BA(P B - formula de calcul a interseciei a dou evenimente dependente. Are loc o generalizare: dac A1, A2, An sunt evenimente dependente atunci

).A(P)....A(P)A(P)A(PAP nA

3AA2A1

n

1ii 1n

1ii

211

3) Dac evenimentele A i B sunt independente atunci PB(A)=P(A) i )B(P)A(P)BA(P - formula de calcul a interseciei a dou evenimente

independente. Generalizare:

Dac A1, A2, An sunt evenimente independente atunci

n

1ii

n

1ii )A(PAP .

19

4) Dac evenimentele A i B se condiioneaz reciproc i 0)B(P,0)A(P atunci )A(P)B(P)B(P)A(P BA .

P4) Probabilitatea reunirii evenimentelor independente. Dac A1, A2, An sunt

evenimente independente, atunci:

n

1ii

n

1ii )A(P11AP

Demonstraie

Folosind relaiile lui De Morgan n

ii

n

ii AA

11

i faptul c Ai sunt

evenimente independente implic

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii APAPAPAPAP

11111

)(11)(111 P5) Inegalitatea lui Boole: A1, A2, An, sunt evenimente dependente atunci

n

ii

n

ii

n

iAPnAPAiP

111

)(1)1()( Demonstraie

Verificm inegalitatea din enun prin inducie matematic. Pentru n = 2 avem )()()()( 212121 AAPAPAPAAP dac

1)( 21 AAP i rezult 1)()()( 2121 APAPAAP relaia este adevrat. Presupunem inegalitatea adevrat pentru n-1 adic

)2()(1

1

1

1

nAPAPn

ii

n

ii i demonstrm pentru n.

Avem succesiv

)1()(1)()2()(

1)(

1

1

1

1

1

1

11

nAPAPnAP

APAPAAPAP

n

iin

n

ii

n

n

iin

n

ii

n

ii

dac s-a inut seama de ipoteza de inducie. P6) Formula probabilitii totale: Dac A1A2, An este un sistem complet de

evenimente i X K atunci P(X)= .)X(P)A(Pn

1iAi i

20

Demonstraie

Din ipoteza c Ai, ni ,1 este un sistem complet de evenimente rezult c )(...)()( 21 XAXAXAX n

Deoarece njijiAA ji ,1, , , avem c

njijiAXAX ji ,1, , ,)()( Avem succesiv

n

i

n

iAii

n

ii XPAPXAPXAPXP i

1 11

)()()()()( P7) Formula lui Bayes: Dac A1, A2, An este un sistem complet de evenimente al cmpului ( , K) i KX atunci:

PX(Ai)=

n

1iAi

Ai

)X(P)A(P

)X(P)A(P

i

i , n,1i

Demonstraie

Deoarece )()()( iXi APXPAXP i )()()( XPAPAXP

iAii avem )()()()( XPAPAPXP

iAiiX , deci

n

iAi

AiAiiX

XPAP

XPAPXP

XPAPAP

i

ii

1)()(

)()()(

)()()( dac s-a folosit formula

probabilitii totale. Exemplul 1.5.2. Cele 26 de litere ale alfabetului, scrise fiecare pe un cartona, sunt introduse ntr-o urn. Se cere probabilitatea ca extrgnd la ntmplare de 5 ori cte un cartona i aezndu-le n ordinea extragerii s obinem cuvntul LUCIA. Rezolvare

Notm prin X evenimentul cutat, deci de a obine prin extrageri succesive cuvntul LUCIA, de asemenea notm prin A1 = evenimentul ca la prima extragere s obinem litera L; A2 = evenimentul ca la a doua extragere s obinem litera U; A3 = evenimentul ca la a treia extragere s obinem litera C; A4 = evenimentul ca la a patra extragere s obinem litera I; A5 = evenimentul ca la a cincea extragere s obinem litera A.

Atunci evenimentul X are loc dac avem 54321 AAAAAX . Rezult:

21

.221

231

241

251

261)(

)()()()()(

43215

3214213121

AAAAAP

AAAAPAAAPAAPAPXP

Exemplul 1.5.3. Dac probabilitatea ca un automobil s plece n curs ntr-o diminea friguroas este de 0,6 i dispunem de dou automobile de acest fel, care este probabilitatea ca cel puin unul din automobile s plece n curs ntr-o diminea friguroas? Rezolvare

Dac notm prin A1 i A2 evenimentele ca primul respectiv, al doilea automobil s plece n curs i prin X evenimentul cutat, deci ca cel puin unul dintre automobile s plece n curs, avem: 21 AAX , iar

)AA(P)X(P 21 (P)A(P)A(P 21 21 AA ), deoarece evenimentele 1A i 2A sunt compatibile (cele dou automobile pot s plece n curs deodat). Cum P( 1A ) = P( 2A ) = 0,6, iar evenimentele 1A i 2A sunt independente ntre ele (plecarea unui automobil nu depinde de plecarea sau neplecarea celuilalt), deci P( 21 AA ) = P( )A(P)A 21 =

2)6,0( . Se obine c P(X) = 0,6 + 0,6 - 2)6,0( = 0,84. Exemplul 1.5.4. Trei secii ale unei ntreprinderi 321 S,S,S depesc planul zilnic de producie cu probabilitile de respectiv 0,7; 0,8 i 0,6. S se calculeze probabilitile evenimentelor:

A - cel puin o secie s depeasc planul de producie. B - toate seciile s depeasc planul de producie.

Rezolvare

Fie iA evenimentul ca secia iS s depeasc planul de producie. Avem: A = 321 AAA , deci

P(A) = P )AAA(P1)AAA( 321321 = )A(P)A(P)A(P1 321 = 1- (1-0,7)(1-0,8)(1-0,6) = 976,04,02,03,01 . B = 321 AAA i innd seama de independena evenimentelor, avem: P(B) = 336,06,08,07,0)A(P)A(P)A(P)AAA(P 321321 . Exemplul 1.5.5. O pres este considerat c satisface standardul de fabricaie dac trei caracteristici sunt satisfcute. Dac aceste caracteristici A, B i C sunt

satisfcute cu probabilitile P(A) = 109 , P(B) =

117

i P(C) = 1211 , atunci

probabilitatea ca s fie satisfcute toate trei caracteristicile se poate evalua cu formula lui Boole. Astfel se poate scrie:

22

P( ,)C(P)B(P)A(P1)CBA adic P(

660229

121

114

1011)CBA

.

Exemplul 1.5.6. Un sortiment de marf dintr-o unitate comercial provine de la

trei fabrici diferite n proporii, respectiv 31

de la prima fabric, 61 de la a doua

fabric i restul de la fabrica a treia. Produsele de la cele trei fabrici satisfac standardele de fabricaie n proporie de 90%, 95% i respectiv 92%. Un client ia la ntmplare o bucat din sortimentul de marf respectiv.

a) Care este probabilitatea ca produsul s satisfac standardele de fabricaie?

b) Care este probabilitatea ca produsul s fie defect i s provin de la prima fabric? Rezolvare

a) Notm cu 21 A,A i 3A evenimentele ca produsul cumprat s fie de la prima, a doua, respectiv a treia fabric. Aceste trei evenimente formeaz un

sistem complet de evenimente i au probabilitile P(61)A(P,

31)A 21 i

21)( 3 AP . Dac A este evenimentul c produsul cumprat de client satisface

standardele de fabricaie, atunci P(A ,90,0)A1 P( 95,0)AA 2 i

P( 92,0)AA 3 . Folosind formula probabilitii totale se obine:

918,0651,592,0

2195,0

6190,0

91

)()()()()()()( 332211

AAPAPAAPAPAAPAPAP

b) Folosind formula lui Bayes, avem:

P(

)AA(P)A(P)AA(P)A(P)AA(P)A(P

)AA(P)A(P)AA

332211

111

= .408,049,02,0

08,02105,0

6110,0

31

10,031

Exemplul 1.5.7. Un student solicit o burs de studii la 3 universiti. Dup trimiterea actelor necesare, acesta poate obine burs de la universitatea i (Ui) sau nu )( iU , 1 i 3 . Scriei evenimentele ce corespund urmtoarelor situaii : a) primete o burs;

23

b) primete cel mult o burs; c) primete cel puin o burs; d) primete cel puin dou burse. Rezolvare

a) Bursa primit poate fi de la prima universitate, caz n care celelalte nu-i acord burs, sau de la a doua, caz n care prima i a treia nu-i acord burs, sau de la a treia, caz n care primele dou nu-i acord burs. Avem astfel evenimentul

)()()( 321321321 UUUUUUUUUA . b) Avem dou variante : studentul nu primete nici o burs sau studentul

primete o burs. Obinem evenimentul AUUUB )( 321 .

c) Evenimentul poate fi scris ca reuniunea a trei evenimente : studentul primete o burs, dou burse, trei burse. Astfel FEAC , unde

)()()( 321321321 UUUUUUUUUE , iar 321 UUUF . d) Avem FED . Altfel, evenimentul D este contrar evenimentului

B, deci AUUUBD )( 321 . Exemplul 1.5.8. ntr-un grup de studeni aflai n excursie se gsesc 6 fete i 9 biei. Se aleg la ntmplare doi studeni pentru a cerceta traseul. Care este probabilitatea ca cei doi s fie : a) biei; b) fete; c) un biat i o fat; d) cel puin un biat; e) primul biat i a doua fat; f) de acelai sex. Rezolvare

Notm cu A1 i A2 evenimentele alegerii unui biat la prima, respectiv a doua alegere. La primul punct avem de calculat probabilitatea )( 21 AAP . ntruct a doua alegere depinde de prima avem :

3512

148

159)()()( 12121 AAPAPAAP ,

deoarece alegnd un biat mai rmn n grup 14 studeni ntre care 8 biei. Evenimentul de la punctul b) se scrie astfel : 21 AAB . Deci

71

145

156)()()()( 12121 AAPAPAAPBP .

24

Evenimentul de la punctul c) este )()( 1221 AAAAC aadar )()()( 1221 AAPAAPCP , 1221 ,( AAAA sunt incompatibile)

Dar 146

159)/()()( 12121 AAPAPAAP ,

iar 149

156)/()()( 12112 AAPAPAAP

de unde 3518

146

1592)( CP .

Am obinut i probabilitatea evenimentului de la punctul e) )( 21 AAP . Evenimentul de la punctul d) se exprim astfel : 21 AAD .

El este contrar evenimentului : 21 AAB , prin urmare

76

711)(1)( BPDP . Evenimentul de la ultimul punct f) este

)()( 2121 AAAAF . Cum )()( 2121 AAAA cele dou evenimente sunt incompatibile i deci

3517

71

3512)()()( 2121 AAPAAPFP .

Exemplul 1.5.9. La un examen de licen particip mai muli absolveni, ntre care numai trei din strintate. Probabilitatea ca primul student s promoveze este , probabilitatea ca al doilea s promoveze este 4/5, iar pentru al treilea 5/6. S se determine probabilitile ca : a) toi cei trei studeni s promoveze; b) cel puin unul s promoveze examenul. Rezolvare

Fie Ai evenimentul promovrii examenului de ctre studentul i, i=1,2,3. Evenimentul de la punctul a) este 321 AAAA , iar de la punctul b) este

321 AAAB . Evenimentele Ai sunt independente (rezultatele celor 3 studeni nedepinznd unul de celelalte), deci

21

65

54

43)()()()( 321 APAPAPAP .

Folosind proprietile probabilitii avem :

))(()()()()( 321321321 AAAPAPAAPAAAPBP ))()(()()()()( 323132121 AAAAPAPAAPAPAP

25

)()()())()(()()([)()()()(

3213231

323132121

APAPAPAAAAPAAPAAPAPAAPAPAP

).()()()( 321323121 AAAPAAPAAPAAP innd seama de independena evenimentelor Ai , i=1,2,3, avem:

.120119

65

54

43

65

54

65

43

54

43

65

54

43)()()(

)()()()()()()()()()(

321

323121321

APAPAP

APAPAPAPAPAPAPAPAPBP

Exemplul 1.5.10. Din mai multe controale asupra activitilor a trei magazine se apreciaz c n proporie de 90%, 80%, 70%, cele trei magazine au declarat marfa vndut. La un nou control, comisia de control solicit 50 de documente privind activitatea comercial: 20 de la primul magazin, 15 de la al doilea, 15 de la al treilea. Dintre acestea se alege unul la ntmplare pentru a fi verificat: a) Cu ce probabilitate documentul ales este corect (nregistrat)? b) Constatnd c este corect, cu ce probabilitate el aparine primului magazin? Rezolvare

a) Notm cu A1, A2, A3 evenimentul ca documentul controlat s provin de la primul, al doilea i respectiv al treilea magazin. Avem astfel

5015)(;

5015)(;

5020)( 321 APAPAP .

Fie A evenimentul ca documentul controlat s fie corect. Atunci A /

A1, A / A2, A / A3 reprezint evenimentul ca documentul controlat s fie corect tiind c el provine de la primul, al doilea, al treilea magazin. Prin urmare : P(A/A1)=0,90; P(A/A2)=0,80; P(A/A3)=0,70 . Cum {A1, A2, A3} este un sistem complet de evenimente

323121321 , AAAAAAEAAA

aplicnd formula probabilitii totale avem :

.81,070,0501580,0

501590,0

5020

)/()()/()()/()()( 332211

AAPAPAAPAPAAPAPAP

b) Aplicnd formula lui Bayes avem :

26

94

81,036,0

81,0

90,05020

)/()(

)/()()/( 3

1

111

i

ii AAPAP

AAPAPAAP .

(A1/A reprezint evenimentul ca documentul controlat s provin de la primul magazin tiind c a fost corect).

27

Capitolul 2

Variabile aleatoare Variabila aleatoare este una din noiunile fundamentale ale teoriei probabilitilor i a statisticii matematice. n cadrul unei cercetri experimentale se constat c ntre valorile numerice msurate exist diferene chiar dac rmn neschimbate condiiile de desfurare ale experimentului. Dac ne referim la o singur msurtoare, variabila aleatoare este acea mrime care n cadrul unui experiment poate lua o valoare necunoscut aprioric. Pentru un ir de msurtori, variabila aleatoare este o noiune care-l caracterizeaz din dou puncte de vedere: - caracterizare din punct de vedere cantitativ variabila ne d informaii privind valoarea numeric a mrimii msurate; - caracterizare din punct de vedere calitativ variabila aleatoare ne d informaii privind frecvena de apariie a unei valori numerice ntr-un ir. Dac valorile numerice ale unui ir de date aparin mulimii numerelor ntregi sau raionale atunci se definete o variabil aleatoare discret, iar n cazul aparteneei valorilor la mulimea numerelor reale se definete o variabil aleatoare continu. 2.1. Variabile aleatoare discrete

n ciuda faptului c dup repetarea unui experiment de un numr mare de ori intervine o anumit regularitate n privina apariiei unor rezultate ale acestuia, nu se poate preciza niciodat cu certitudine care anume dintre rezultate va apare ntr-o anumit prob. Din acest motiv cuvntul sau conceptul aleator trebuie neles sau gndit n sensul c avem de-a face cu experimente sau fenomene care sunt guvernate de legi statistice (atunci cnd exist un anumit grad de incertitudine privind apariia unui rezultat sau reapariia lui) i nu de legi deterministe (cnd tim cu certitudine ce rezultat va apare sau nu). Pentru ca astfel de experimente sau fenomene s fie cunoscute i prin urmare studiate, sunt importante i necesare dou lucruri i anume:

1. rezultatele posibile ale experimentului, care pot constitui o mulime finit, infinit sau numrabil sau infinit i nenumrabil;

2. legea statistic sau probabilitile cu care este posibil apariia rezultatelor experimentului considerat.

n linii mari i ntr-un neles mai larg, o mrime care ia valori la ntmplare sau aleatoriu dintr-o mulime oarecare posibil se numete variabil aleatoare (sau ntmpltoare). Se poate da i o definiie riguroas.

28

Definiia 2.1.1. Fie cmpul de probabilitate {, K, P}. Numim variabil aleatoare de tip discret o aplicaie X : R care verific condiiile:

i) are o mulime cel mult numrabil de valori; ii) Rx KxX )(

Observaia 2.1.2.

1) Dac K = P() atunci ii) este automat ndeplinit; 2) O variabil aleatoare de tip discret este deci o funcie univoc de

forma X : {x1, x2, xn, } R; 3) Se obinuiete ca valorile variabilei s se noteze n ordine

cresctoare adic ....x...xxx n321 , xi R, i = 1, 2, 4) Evenimentele Ai = X-1(xi) = { / X() = xi } K, oricare ar fi i

= 1, 2, 3, , X-1 : {x1, x2, xn, } K este inversa funciei X.

Definiia 2.1.3. Numim distribuia sau repartiia variabilei aleatoare X de tip

discret, tabloul de forma Iii

i

px

X

: unde xi, ,Ii sunt valorile posibile ale

variabilei aleatoare X iar pi este probabilitatea cu care variabila considerat X ia valoarea xi , adic pi = P(X = xi ), Ii mulimea I putnd fi finit sau cel mult numrabil. Observaia 2.1.4.

1) Evenimentele (X = xi ), i I formeaz un sistem complet de evenimente i 1

Iiip .

2) Variabila aleatoare pentru care mulimea valorilor este un interval finit sau infinit pe axa numerelor reale este variabil aleatoare continu.

3) Forma cea mai general a unei variabile aleatoare aparinnd unei clase de variabile aleatoare de tip discret se numete lege de probabilitate discret. Definiia 2.1.5. Spunem c variabilele aleatoare X i Y care au respectiv

distribuiile Iii

i

px

X

i

Jjj

j

qy

Y

sunt independente dac

P(X = xi , Y = yj) = P(X = xi ) P(Y = yj), .IxJ)j,i(

29

Definiia 2.1.6. Fie variabilele aleatoare X, Y care au respectiv distribuiile

Iii

i

px

X

i

Jjj

j

qy

Y

atunci variabila aleatoare sum X+Y, produs YX i ct

YX

(dac Jjy j ,0 ) vor avea distribuiile ,),( IxJjiij

ji

pyx

YX

IxJ)j,i(ij

ji

pyx

YX

, respectiv

IxJjiij

j

i

pyx

YX

),(

unde pij = P(X = xi, Y = yj)

(i,j) .IxJ Definiia 2.1.7. Se numete

a) produs al variabilei aleatoare X prin constanta real a, variabila

aleatoare notat prin Iii

i

pax

aX

:

b) sum a variabilei aleatoare X cu constanta real a, variabila

aleatoare notat prin Iii

i

pxa

Xa

:

c) putere a variabilei aleatoare X de exponent k, k Z , variabila

aleatoare Iii

kik

px

X

: cu condiia ca operaiile kix , Ii , s aib

sens. Observaia 2.1.8. Au loc relaiile Iipp

Jjiij

, i

Ii

jij Jjqp .,

Dac variabilele X,Y sunt independente atunci JIjiqpp jiij ),(, Definiia 2.1.9. Fie { , K, P} un cmp de probabilitate, iar X : R o variabil aleatoare. Numim funcie de repartiie ataat variabilei aleatoare X funcia F : R [0, 1], definit prin F(x) = xXP , ,Rx adic F(x)= Rxp

xxi

i

, .

Dac nu exist pericol de confuzie, funcia de repartiie a variabilei aleatoare X se noteaz prin F. Propoziia 2.1.10. (proprieti ale funciei de repartiie)

1. ,Rb,a ba avem:

30

)()()()()()()(

bXPaFbFbXaPaXPaFbXPbFbXaP

aXPaFbFbXaPaFbFbXaP

)()()()()()(

Demonstraie

Avem succesiv

aXPaFbXPbFaXPbXPaXbXPaXbXPbXaP

)()()()()()(),()(

dac s-a inut seama de relaia )()( bXaX i s-a folosit probabilitatea diferenei.

)()()()()(

)()()()()(aFbXPbFaXPaXPaFbXPbF

aXPbXaPaXbXaPbXaP

dac s-a folosit relaia demonstrat anterior. 2. F este nedescresctoare pe R,

adic )()(,, 212121 xFxFxxRxx Demonstraie

)()()(0 1221 xFxFxXxP )()( 21 xFxF

3. 1)(lim,0)(lim

xFxFxx

Demonstraie

0)()(lim)(lim

PxXPxFxx

1)()(lim)(lim

EPxXPxFxx

4. )x(F)ax(F,Rx (F este continu la stnga n fiecare punct Rx )

Exemplul 2.1.11. Se consider variabila aleatoare discret

61

31p

47p

4321:X 2 . Care este probabilitatea ca X s ia o valoare mai mic

sau egal cu 3? Rezolvare

Pentru ca X s fie o variabil aleatoare trebuie ca 0p

i 161

31

472 pp . Se obine soluia acceptabil .

41

p Se calculeaz

31

probabilitatea cerut prin intermediul evenimentului contrar i anume

65

611)4X(P1)3X(P sau

65

31

167

161)3X(P)2X(P)1X(P)3X(P .

Exemplul 2.1.12. Se dau variabilele aleatoare independente:

31

31q

61p

101:X ;

2p12qp2

31

101:Y .

a) S se scrie distribuia variabilei 2XY.

b) Pentru ce valori ale lui c avem: ?92)cYX(P

Rezolvare

Pentru ca X i Y s fie variabile aleatoare se impun condiiile:

0qp2;031q;0

61p i apoi :

1p12qp231

131

31q

61p

2, rezult valorile

acceptabile 61p i q = 0. Deci variabilele aleatoare au repartiiile:

31

31

31

101:X ;

31

31

31

101:Y . Avem :

a)

92

95

92

202:XY2

b)

91

92

93

92

91

21012:YX , deci P(X + Y = c)>

92 corespunde

situaiei P(X + Y = 0) = 92

93 adic c = 0.

Exemplul 2.1.13. Variabila aleatoare X cu distribuia urmtoare:

32

Y X

31

21

61

2121

:X , are funcia de repartiie:

2 ,1

,21 ,3

2

,12

1,

6

1

,2

1 ,0

)()(

xdac

xdac

xdac

xdac

xXPxF

Graficul funciei de repartiie este:

2.2. Vector aleator bidimensional Definiia 2.2.1. Fie cmpul de probabilitate {, K, P}. Spunem c U=(X,Y) este vector aleator bidimensional de tip discret dac aplicaia U : 2R verific condiiile:

i) are o mulime cel mult numrabil de valori; ii) K)yY,xX(,R)y,x( 2 .

Definiia 2.2.2. Numim distribuia sau repartiia vectorului aleator (X,Y) de tip discret tabloul:

unde ( ), ji yx sunt valorile pe care le ia vectorul aleator (X,Y), iar

jiij yYxXPp ,( ).

y1yj

p11p1j

pi1pij

x1

xi

.

...

...

...

F(x)

x 2 1 1/2

1

2/3

1/6

33

Evident

JIjiijp

,= 1.

Definiia 2.2.3. Numim funcie de repartiie ataat vectorului aleator bidimensional funcia F: 1,02 R , definit prin:

F(x,y) = P(X x, Y y), 2R)y,x( . Propoziia 2.2.4.(proprietile funciei de repartiie a unui vector aleator bidimensional de tip discret)

1. dac a

34

X:

321 p4

p3

p1

, unde 50,005,045,0ppp20,015,005,0ppp30,010,020,0ppp

32313

22212

12111

, adic

X:

50,04

20,03

30,01

.

Analog, variabila Y are repartiia Y:

21 q6

q2

, unde

30,005,015,010,0pppq70,045,005,020,0pppq

3222122

3121111

, adic Y:

30,06

70,02

.

Avem: X+Y:

05,010

15,010,087

45,005,064

20,03

.

b) Pentru verificarea independenei variabilelor X,Y, efectum un control, de exemplu:

P(X=1) P(Y=2) = 21,070,030,0 , iar P[(X=1) (Y=2)] = 20,0p11 . Cum 0,21 0,20, deducem c X i Y sunt dependente.

c) F( )]2,3()2,1[()5,27()5,

27 YXYXPYXP

=P(X=1,Y=2) +P(X=3,Y=2) = 0,20+0,05 = 0,25. Definiia 2.2.7. Fie variabila aleatoare X avnd funcia de repartiie F , vom spune c X este variabil aleatoare de tip continuu dac funcia de repartiie se poate reprezenta sub forma:

F(x) = Rx,dt)t(x

.

Funcia RR: se numete densitate de probabilitate a variabilei aleatoare X. Propoziia 2.2.8. Au loc afirmaiile:

1) 0)x(,Rx . 2) F'(x) = )x( a.p.t. pe R.

3) P(aX

35

2. x

xxXxPx

xFxxFxFxxx

)(lim)()(lim)(')(00

, deci

cnd x este mic avem P(x x)x()xxX . Definiia 2.2.10. Fie vectorul aleator (X,Y) avnd funcia de repartiie F, spunem c (X,Y) este un vector aleator de tip continuu, dac funcia de repartiie F se poate pune sub forma:

F(x,y) = x

y

2R)y,x(,dtds)t,s( , iar funcia RR: 2 se numete densitate de probabilitate a vectorului aleator (X,Y). Observaia 2.2.11. Dac este densitate de probabilitate pentru (X,Y), iar

X i Y densiti de probabilitate pentru X, respectiv Y au loc: 1) 2R)y,x(,0)y,x( .

2) )y,x(yx

)y,x(F2

a.p.t. pe 2R .

3) P((X,Y)2

,),() RDdydxyxDD

.

4) 2R 1dydx)y,x( .

5)

Rx,dy)y,x()x(X ; RydxyxyY

,),()( .

Definiia 2.2.12. Spunem c variabilele aleatoare de tip continuu X i Y sunt independente dac F(x,y) = )y(F)x(F YX ,

2R)y,x( .

Aplicaia 2.2.13. Funcia

restn , 0

3,12,1),( ,),(

2 yxkxyyx este densitate de

probabilitate dac 0),( yx i 2

1),(R

dxdyyx ceea ce implic

ecuaia n k, 2

1

3

1

2 1dxdyxyk , verificat pentru 131

k .

n acest caz funcia de repartiie va fi

x y

ixdac

iydacx

xiydacy

yxdacyx

ysauxdac

dudvuvyxF1

2

3

32

1

2

3y 2 ,1

3y 2,1 ,)1(21

2 3,1 ,)1(261

3,12,1, ,)1)(1(781

1 1 ,0

),(

36

i deducem de asemenea c funciile de repartiie marginale sunt, respectiv,

2 ,1

2,1 ,)1(31

1 ,0

)( 2

x

xx

x

xFX ;

3 ,1

3,1 ,)1(31

1y ,0

)( 2

y

yxyFY

2.3. Caracteristici numerice asociate variabilelor aleatoare

Fie PK ,, un cmp de probabilitate i RX : o variabil aleatoare. n afara informaiilor furnizate de funcia de repartiie )(xF sau chiar de repartiia probabilist (discret ip sau continu )(x ale unei variabile aleatoare X, de un real folos teoretic i practic sunt i informaiile pe care le conin anumite caracteristici numerice (valoarea medie, dispersia, abaterea medie ptratic sau diverse alte momente) ale lui X despre aceast variabil aleatoare. Valoarea medie (sperana matematic) Definiia 2.3.1. Fie {, K, P} un cmp borelian de probabilitate i variabila

aleatoare X : R cu distribuia Iipx

Xi

i

, . Se numete valoare medie,

caracteristica numeric

Ii

ii pxXE )( .

Observaia 2.3.2. 1) Dac I este finit, valoarea medie exist. 2) Dac I este infinit numrabil, E(X) exist cnd seria care o

definete este absolut convergent. Definiia 2.3.3. Fie{, K, P} un cmp borelian de probabilitate i variabila

aleatoare X : R de tip continuu

)x(x

X , Rx . Se numete valoarea

medie a variabilei X, caracteristica numeric

(x)dx )( xXE . Valoarea

medie exist atunci cnd integrala improprie care o definete este convergent. Propoziia 2.3.4.(proprietile valorii medii) Au loc afirmaiile :

1) Rba,b,E(X) ab)X ( aE 2) E(X + Y) = E(X) + E(Y) 3) X,Y independente E(X Y) = E(X) E(Y)

Demonstraie

37

a) Fie variabilele aleatoare de tip discret X, Y avnd repartiiile

Jjj

j

Iii

i

qy

Ypx

X

,

1. Avem bXaEbppaxpbaxbaXEIi

iIi

iiIi

ii

)()()(

dac variabila baX are repartiia Iii

i

pbax

baX

i 1

Iiip .

2. Variabila X+Y are repartiia JIjiij

ji

pyx

YX

),(

,

),( jiij yYxXPp Rezult

)()(

)()(

YEXEqypx

pypxpyxYXE

Jjjj

Iiii

Ii Jjijj

Ii Ii Jjiji

Jjijii

dac s-au folosit relaiile jIi

ij qp

i iJj

ij pp

3. Variabila XY are repartiia JIjiji

ji

qpyx

XY

),(

dac X i Y sunt

independente. Avem

Ii Ii Jj

jjiiJj

jiji YEXEqypxqpyxXYE )()()(

b) Presupunem ca X i Y sunt variabile aleatoare de tip continuu. 1. Dac notm prin Y = aX + b, a 0, atunci se obine c

aa

bx

xX

Y

)()(

, pentru orice x R.

Avem:

dx

abxx

adxxxYEbaXE YY )(

1)()()( de unde prin

schimbarea de variabil u = (x b)/a, dx = adu, obinem

bXaEduubduuuaduubaubaXE XXX )()()()()()(

2. Dac notm prin Z = X + Y, variabila care are densitatea de probabilitate Z , iar densitatea de probabilitate a vectorului (X, Y) o notm prin , atunci:

dxduuxuxdxxsZEYXE Z )),(()()()(

38

Schimbm ordinea de integrare, apoi schimbarea de variabil x u = t, dx = dt, i obinem

dudttuutdudxuxuxYXE )),()(()),(()(

)()()()()),(()),(( XEYEduuudtttdudttuudtdutut ZX

3. Dac notm prin V =X Y, care are densitatea de probabilitate V , iar densitatea de probabilitate a vectorului (X, Y) o notam prin , atunci

dxudx

uxuxdxxxVEXYE V )),(()()()(

Schimbm ordinea de integrare, apoi facem schimbarea de variabil x / u = t, dx = udt, i obinem:

dudttutududxuxu

uxXYE )),(()),(()(

)()()()()()( YEXEdtttduuudtdututu YXYX

Dispersia Definiia 2.3.5. Fie {, K, P} un cmp borelian de probabilitate i variabila aleatoare X : R. Se numete dispersia (variana) variabilei aleatoare X, caracteristica numeric 2)()( XEXEXVar iar )()( XVarX se numete abatere medie ptratic.

n mod explicit, dispersia are expresia

Ii

ii pXExXVar2)()( ,

NI , dac X este o variabil aleatoare discret sau

R

dxxXMxXVar )()()( 2 , dac X este o variabil aleatoare

continu. Dispersia este un indicator numeric al gradului de mprtiere (sau de

dispersare) a valorilor unei variabile aleatoare n jurul valorii medii a acesteia. Propoziia 2.3.6.(proprietile dispersiei)

a) 22 )()()( XEXEXVar b) Rba, ),()( 2 XVarabaXVar c) X,Y independente )()()( YVarXVarYXVar

Demonstraie

39

a)

2222222

)()()()()(2)(

)()(2)()(

XEXEXEXEXEXE

XEXXEXEXEXEXVar

dac s-a fcut un calcul formal. b) Folosind proprietile valorii medii i definiia dispersiei avem:

)()(

)())(()(222

222

XVaraXEXEa

XEXaEbXaEbaXEbaXVar

c) Dac X, Y sunt independente avem )()()( YEXEXYE . Calculm

)()()()(2)()(

)()(2)()(

)()()()(

22

22

22

YVarXVarYEYEXEXEYEYEXEXE

YEYXEXYEYXEXE

YEYXEXEYXEYXEYXVar

dac s-a inut seama c 0)( XEXE Propoziia 2.3.7.(Inegalitatea lui Cebev) Dac variabila aleatoare X are valoare medie i dispersie atunci 0 are loc inegalitatea

2

)(1))((

XVarXEXP sau inegalitatea echivalent cu aceasta

2

)())((

XVarXEXP .

Demonstraie

Presupunem c X este o variabil aleatoare de tip continuu, avnd densitatea de probabilitate )(x . Atunci

D

dxxpXExdxxXExXVar )())(()())(()( 22

unde )(/ XExxD , deoarece )(XEx , avem c 2))(( XEx . Deci, avem

D D

XEXPdxxdxxXEx ))(()()())(( 222

Am obinut c ))(()( 2 XEXPXVar , rezult

2

)())((

XVarXEXP

Folosind probabilitatea evenimentului contrar se obine i cealalt form a

inegalitii: 2)(1))((1))((

XVarXEXPXEXP

Aplicaia 2.3.8. Dac X este o variabil aleatoare discret

40

121

121

125

122

122

121

321012:X

atunci deducem c:

21

1213

1212

1251

1220

1221

1212)( XE

21219

1214

1251

1220

1221

1214)( 2 XE

47

412)()()( 22 XEXEXVar

27)()( XVarX

Aplicaia 2.3.9. Dac X este variabil aleatoare continu

)(:

xx

X

,

restn ,0

3,1 ,4)(

xxx

atunci deducem c:

613

12)()(

3

1

33

1

xdxxxXE , 516

)()(3

1

43

1

22 xdxxxXE

3611

361695)()()( 22 XEXEXVar

611)()( XVarX

Momente Definiia 2.3.10. Fie {, K, P} un cmp borelian de probabilitate i variabila aleatoare X : R. Se numete moment iniial (obinuit) de ordin k al variabilei aleatoare X, caracteristica numeric )( kk XEm Observaia 2.3.11. a) Pentru k=1 avem )(1 XEm iar pentru k=2,

212)( mmXVar

b) Dac X este variabil de tip discret avnd repartiia Iii

i

px

X

: ,

Ii

ip 1 atunci

Ii

ikik pxm

41

c) Dac X este variabil de tip continuu Rxx

xX

)(:

atunci

R

kk dxxxm )(

Definiia 2.3.12. Se numete moment centrat de ordin k al variabilei aleatoare X, caracteristica numeric kk XEXE )( , adic

continu X ,)()(

discret X ,)(

R

ki

ik

Iii

k dxxXEx

pXEx

Observaia 2.3.13. Pentru k=1 avem 01 , iar pentru k=2, )(2 XVar Teorema 2.3.14. ntre momentele centrate i momentele iniiale exist

urmtoarea relaie: iikik

k

i

ik mmC 1

0)1(

.

Demonstraie Avem

k

i

k

i

iik

ik

iiikik

ik

i

iikik

i

k

i

iikik

kkk

mmCmXECmXCE

mXCEmXEXEXE

0 011

01

011

)1()()1()1(

)()(

Observaia 2.3.15. n statistica matematic se utilizeaz de regul primele patru momente centrate: 4321 ,,, . Definiia 2.3.16. Se numete momentul iniial de ordinul (r,s) al vectorului aleator (X,Y) caracteristica numeric )( srrs YXEm , adic

continuu Y)(X,,),(

discret ),(,

2

ri

R

srIi Jj

ijsj

rs dxdyyxyx

YXpyxm

Definiia 2.3.17. Se numete moment centrat de ordin (r,s) al vectorului aleator (X,Y), caracteristica numeric

srrs YEYXEXE )(())(( , adic

42

continuu Y)(X,,),()()(

discret ),(,)()(

2R

srIi Jj

ijs

jr

i

rs dxdyyxYEyXEx

YXpYEyXEx

Observaia 2.3.18.

)(),(),(),( 2 00 21 0o 1 YVarXVarYEmXEm Corelaie sau covarian Definiia 2.3.19. Se numete corelaia sau covariana variabilelor aleatoare X i Y, caracteristica numeric

1 1Y)C(X, adic )()(),( YEYXEXEYXC Observaia 2.3.20.

1) 011011Y)C(X, ),()()(),( mmmYEXEXYEYXC Dac X, Y independente 0)Y,X(C , dar nu i reciproc.

)(),( XVarXXC

m

i

n

jjiji

n

jjj

m

iii YXCbaYbXaC

1 111,, , oricare ar fi variabilele

aleatoare Xi i Yj i oricare ar fi constantele reale ai i bj, mi 1 , nj 1 ),(),( XYCYXC , oricare ar fi X i Y.

Definiia 2.3.21. Se numete coeficient de corelaie relativ la variabilele aleatoare X i Y caracteristica numeric

r(X, Y)=)()(

),(YVarXVar

YXC

Observaia 2.3.22.

1) X, Y independente 0)Y,X(r reciproc nu este adevrat; 2) Spunem c X,Y sunt necorelate dac r(X,Y) =0 Proprieti: a) 1)Y,X(r b) 0 b,X 1),( aaYYXr c) 0,1),( abaXYYXr

Observaia 2.3.23. n practic se mai spune c:

1) X i Y sunt pozitiv perfect corelate dac 1),( YXr ; 2) X i Y sunt negativ perfect corelate dac 1),( YXr ; 3) X i Y sunt puternic pozitiv (sau negativ) corelate dac

43

1),(75,0 YXr (sau 75,0),(1 YXr ); 4) X i Y sunt slab pozitiv (sau negativ) corelate dac 25,0),(0 YXr

(sau 0),(25,0 YXr ); Marginile valorice decizionale fiind alese convenional. Aplicaia 2.3.24. Fie (X,Y) un vector aleator discret a crui repartiie probabilist este dat de tabelul de mai jos.

Calculai coeficientul de corelaie r(X,Y). Y

X -1 0 1 2 pi -1 1/6 1/12 1/12 1/24 9/24 0 1/24 1/6 1/12 1/24 8/24 1 1/24 1/24 1/6 1/24 7/24 qj 6/24 7/24 8/24 3/24 1

Rezolvare

Pe baza formulelor corespunztoare, deducem imediat:

121

242

2471

2480

2491)( XE

32

2416

2471

2480

2491)( 2 XE

14495

1441

32)]([)()( 22 XEXEXVar

31

248

2432

2481

2470

2461)( YE

1213

2426

2434

2411

2470

2461)( 2 YE

3635

91

1213)]([)()( 22 YEYEYVar

245

2412

611

2410

24111

2412

1211

610

24110

2412

1211

1210

6111)(

XYE

7217

361

245)()()(),( YEXEXYEYXC

295,0

3635

14495

1217

)()(),(),(

YVarXVar

YXCYXr

44

Observaia 2.3.25. Coeficientul de corelaie ),( YXr reprezint prima msur a corelaiei sau gradului de dependen n sens clasic. Introdus de ctre statisticianul englez K. Pearson n anul 1901 ca rod al colaborrii acestuia cu antropologul englez F. Galton (care a avut prima idee de msurare a corelaiei sub denumirea de variaie legat), aceast msur a gradului de dependen a fost criticat nc de la apariiei ei pentru diverse motive, printre care i aceea c:

1) este dependent de valorile vectorului aleator ),( YX i ca urmare nu este aplicabil pentru cazul variabilelor aleatoare necantitative;

2) nu este precis n cazul independenei i al necorelrii deoarece dac 0),( YXr nu exist un rspuns categoric (n sensul independenei sau necorelrii);

3) nu poate fi extins la mai mult de dou variabile aleatoare sau chiar la doi sau mai muli vectori aleatori, fapte cerute de practic.

Dac la prima obiecie a dat chiar K. Pearson un rspuns, pentru celelalte dou obiecii nu s-au dat rspunsuri clare dect dup apariia n 1948 a teoriei matematice a informaiei, rezultate remarcabile n acest sens obinnd coala romneasc de matematic sub conducerea lui Silviu Guiau introducnd msurile entropice ale dependenei dintre variabile aleatoare i vectori aleatori (n anii 1974-1978) cu o larg aplicabilitate teoretic i practic.

n ciuda tuturor criticilor ce i s-au adus, coeficientul de corelaie clasic (sau coeficientul Galton-Pearson) este cel mai frecvent utilizat n practic i, pentru c este cel mai simplu n utilizare. Definiia 2.3.26. Fiind dat vectorul aleator nXXXZ ,...,, 21 nREZ : , se numete valoare medie a acestuia i se noteaz cu )(ZE , dac exist, vectorul n-dimensional ale crui componente sunt valorile medii ale componentelor lui Z adic:

)(),...,(),(),...,,()( 2121 nn XEXEXEXXXEZE . Se numete matrice de covarian (sau de corelaie) a vectorului Z i se

noteaz prin )(ZC , dac exist, matricea njijinj

niij YXCcZC ,1,,1,1 ,)(

Observaia 2.3.27.

a) Pentru cazul unui vector aleator bidimensional, a nu se face confuzie ntre media produsului componentelor X i Y, care este )(XYE i media vectorului ),( YX care este ),( YXE .

b) Uneori matricea de corelaie )(ZC se mai noteaz i cu )(Z . c) Desfurat matricea de covarian )(ZC are forma:

45

)(...),(),(... ...... ...

),(...)(),(),(...),()(

)(

21

2212

1211

nnn

n

n

XVarXXCXXC

XXCXVarXXCXXCXXCXVar

ZC

i ca urmare a proprietilor corelaiei, constatm c matricea )(ZC este simetric.

d) Pornind de la definiia coeficientului de corelaie i de la matricea de corelaie, dac toate componentele lui Z sunt neconstante, atunci putem introduce matricea coeficienilor de corelaie )(ZR a crei form dezvoltat este:

1 ...),(),(... ...... ...

),(...1 ),(),(...),(1

)(

21

212

121

XXrXXr

XXrXXrXXrXXr

ZR

nn

n

n

Ambele forme ale matricei de corelaie a vectorului aleatoriu Z reprezint de fapt tabele ale msurrii gradului de dependen dintre componentele lui Z, considerate dou cte dou. Aplicaia 2.3.28. Fie variabilele aleatoare:

211

11:

ppX ;

212

31:

qqX ;

213

42:

rrX

a cror repartiie comun notat )( ijkp , 2,,1 kji , este:

161

111 p ; 161

112 p ; 321

121 p ; 323

122 p ;

81

211 p ; 41

212 p ; 161

221 p ; 165

222 p .

S se determine repartiiile bidimensionale i unidimensionale ale vectorului aleator tridimensional 321 ,, XXXZ i matricele de corelaie

)(ZC i )(ZR . Rezolvare

Avem imediat repartiiile bidimensionale

8381

21221121

11211111

ppp

ppp ;

8381

22222122

12212112

ppp

ppp pentru 21, XX

168

323

22121112

12111111

ppp

ppp ;

169

325

22221222

12211221

ppp

ppppentru 31, XX

46

323

163

22112121

21111111

ppp

ppp ;

3213325

22212222

21211212

ppp

ppppentru 32 , XX

i ca urmare putem scrie urmtoarele tabele de repartiie bidimensionale: X2

X1 1 3 pi

X3 X1

2 4 pi X3

X2 2 4 qi

-1 1/8 1/8 -1 3/32 5/32 1/4 1 3/16 5/16 1/2 1 3/8 3/8 1 3/16 9/16 3/4 3 3/32 13/32 1/2 qj 1/2 1/2 1 rk 9/32 23/32 1 rk 9/32 21/32 1

din care se observ i repartiiile unidimensionale (repartiiile variabilelor aleatoare considerate X1, X2, X3). Din aceste tabele deducem prin calcul imediat:

21)( 1 XE ; 1)(

21 XE ; 4

3)( 1 XVar

2)( 2 XE ; 5)(22 XE ; 1)( 2 XVar

1655)( 3 XE ; 8

101)( 23 XE ; 256207)( 3 XVar

1)( 21 XXE ; 1)()( 21 XEXE ; 0),( 21 XXC ; 0),( 21 XXr

1629)( 31 XXE ; 32

55)()( 31 XEXE ; 323),( 31 XXC ; 12,0207

3),( 31 XXr

16113)( 32 XXE ; 8

55)()( 32 XEXE ;

163),( 32 XXC ; 21,0207

3),( 32 XXr

i ca urmare putem scrie matricele de corelaie:

25620716332316310323043

)(ZC i

121,012,021,01012,001

)(ZR

constatnd c X1 i X2 sunt independente n timp ce ntre X3 i X1 sau X3 i X2 exist o anumit dependen chiar dac nu este puternic. Alte caracteristici numerice Definiia 2.3.29. Se numete mediana unei variabile aleatoare X, caracteristica numeric Me care verific relaia:

)(21)( ee MXPMXP

47

Observaia 2.3.30. 1. Dac F este funcia de repartiie i este continu atunci

eM se determin din ecuaia F(Me) 21

.

2. Dac ],( baM e atunci se ia 2baM e

Definiia 2.3.31. Se numete valoare modal sau modul a variabilei aleatoare X orice punct de maxim local al distribuiei lui X (n cazul discret) respectiv al densitii de probabilitate (n cazul continuu). Observaia 2.3.32. Dac exist un singur punct de maxim local spunem c legea lui X este unimodal altfel o numim plurimodal. Definiia 2.3.33. Se numete asimetria (coeficientul lui Fischer) variabilei

aleatoare X caracteristica numeric definit prin 33

s .

Definiia 2.3.34. Se numete exces al variabilei aleatoare X, caracteristica

numeric definit prin 3e 44

.

Observaia 2.3.35.

1) Dac e0 atunci graficul distribuiei are un aspect ascuit i legea va fi numit leptocurtic.

3) Dac e = 0 atunci repartiiile sunt mezocurtice. Definiia 2.3.36. Dac X este o variabil aleatoare cu funcia de repartiie

)(xF , se numesc cuartile (n numr de trei) ale lui X (sau ale repartiiei lui X) numerele 1q , 2q i 3q cu proprietile:

41)0(

41)(

1

1

qF

qF

21)0(

21)(

2

2

qF

qF

43)0(

43)(

3

3

qF

qF

Observm c eMq 2 .

Exemplul 2.3.37. Se consider variabila aleatoare

5,03,02,0201

:X .

S se calculeze: E(X), E(3X), E(4X-2), XXVar ),( .

48

Rezolvare

8,05,023,002,01)(3

1

iii pxXE

4,38,03)(3)3( XEXE ; 2,128,042)(4)24( XEXE 56,164,02,2)()()( 22 XEXEXVar ;

2,25,023,002,0)1()( 2222 XE ; 24,156,1)( XVarX Exemplul 2.3.38. S se calculeze valoarea medie i dispersia variabilei aleatoare care are densitatea de probabilitate

altfel 0,

(0,2) xdac ,x11)x(

Rezolvare

Observm c:

altfel 0,2x1 dac x,-2

1x0 dac ,x)x(

innd seama de definiie avem:

133

)2((x)dx )( 21

32

121

0

32

1

1

0

2

xxxdxxxdxxxXE

67

432

4)2()()( 2

1

42

1

31

0

42

1

21

0

3

22

xxxdxxxdxxdxxxXE

611

67)()()( 22 XEXEXVar

Exemplul 2.3.39. Fie vectorul aleator (X,Y) cu densitatea de probabilitate

restn ,0

]2,0[y],1,0[x),1yx(k)y,x( Se cere:

a) s se determine constanta k; b) s se determine densitile marginale; c) s se cerceteze dac X i Y sunt independente sau nu; d) s se calculeze coeficientul de corelaie ntre X i Y.

Rezolvare

a) din condiiile 0k0)y,x(

511)1(),(1

0

2

0

kdyyxdxkdxdyyx .

Deci

restn 0,

[0,2]y [0,1], x),1yx(51

)y,x(

49

b) ]1,0[x,5

4x2dy)1yx(51dy)y,x()x(

2

0

X

altfel,0

]1,0[x,5

4x2)x( X

]2,0[y,10

3y2dx)1yx(51dx)y,x()y(

1

0

y

altfel,0

]2,0[y,10

3y2)y( Y

c) X i Y nu sunt independente deoarece: )y()x()y,x( YX

d) 158)42(

51)(),()(

1

0

dxxxdxxxdxdyyxxXE X

1517)32(

101)(),()(

2

0

dyyydyyydxdyyxYE Y

3011)42(

51)()()(

1

0

2

222 X

dxxxdxxxXEXm

158)32(

101)()()(

2

0

2

222

dyyydyyyYEYm Y

Deci 45037

22564

3011)()()( 22 XEXEXVar

22571

225289

58)()()( 22 YEYEYVar

2251

1512

158

159

)()()(),(159

3142

51

)1(51y)dxdy(x, )(

1

0

2

2

0

1

0

YEXEXYEYXCdxxx

dyyxxydxxyYXE

.

Se obine: 02758,0

22571

45037

2251

),(),(

YX

YXCYXr

Exemplul 2.3.40. Se tie c, dac dou variabile aleatoare X i Y sunt independente, atunci coeficientul lor de corelaie este nul. Reciproca nu este adevrat. Iat un vector aleator discret (X,Y), n care X i Y sunt dependente i totui 0r .

50

16

1 162 16

3

16

2 0 162

16

1 162 16

3

Rezolvare

Calculm repartiiile marginale:

166164166210

:X ;

168164164211

:Y

Avem: 23;

43)(;

47)(;1)( 2 XXVarXEXE

210;

23)(;

25)(;1)( 2 YYVarYEYE

163

164

166

162

161

42012:YX , E(XY)=1

0

210

23

11E(X)E(Y)-Y)E(X

YX

r

Exemplul 2.3.41. Fie X o variabil aleatoare care are densitatea de

probabilitate definit prin:

)2,0(x,2/1)2,0(x,0

)x( .

a) S se determine modulul i mediana b) S se calculeze momentul de ordin k, )(xmk ..

Rezolvare

a) Conform definiiei, M0 este valoarea pentru care .max)x( adic )2,0(M 0 adic exist o infinitate de valori modale situate pe segmentul (0,2).

Me se determin din ecuaia 21)( eMF .

Y -1 1 2 X

0

1

2

51

Cum 12

)()()(

0 ee

M

ee MMdxxMXPMF e .

b)

12

21)()(

kkdxxXEXm kkk .

2.4. Funcia caracteristic. Funcia generatoare de momente Definiia 2.4.1. Fie cmpul de probabilitate PK ,, i variabilele aleatoare X i Y definite pe cu valori reale. Se numete variabil aleatoare complex

iYXZ , 12 i , iar valoarea medie a acesteia notat cu )(ZE este dat de relaia )(E )()( YiXEZE dac mediile )(XE i )(YE exist. Observaia 2.4.2. Dac X este o variabil aleatoare expresia

tXitXeitX sincos , Rt definete de asemenea o variabil aleatoare i

1sincos 222

tXtXeitX Definiia 2.4.3. Fie X o variabil aleatoare real. Se numete funcia caracteristic a lui X o funcie CRX : dat de relaia

)()()( itXX eEtt , care explicit poate fi scris sub forma

continuu tipde este ,)(

discret tipde este ,)(

R

itxKk

itxk

X dxxe

ept

k

Propoziia 2.4.4. Funcia caracteristic are urmtoarele proprieti:

1) 1)0( i Rtt ,1)(

2) Dac Xj, mj ,1 sunt variabile aleatoare independente n totalitate cu funciile caracteristice m1,j ),()( tt jX j , atunci funcia caracteristic a variabilei aleatoare sum mXXXX ... 21 este

m

jjmX ttttt

121 )()( ... )()()(

3) Dac baXY , a i b R, atunci itbXY eatt )()( 4) Dac X admite momente iniiale de orice ordine atunci funcia

caracteristic admite derivate de orice ordin i are loc relaia

)0(1)()( )(rXrr

r iXEXm

Demonstraie

52

1) 1)1()0( E i

1)( Kk

kKk

itxk

Kk

itxk pepept k dac X este de tip discret i

1)()()()( RR

itx

R

itx dxxdxxedxxet dac X este de tip continuu.

2) Avnd n vedere proprietile valorii medii, putem scrie c

m

jj

m

j

itXitXitXitXitXX teEeeeEeEt jm

11

)()() ... ()()( 21

3) Tot ca urmare a proprietilor mediei avem: )()()()()( ateteeeEeEt X

itbaX

itbitbitaXitYY

4) Observm c )()()()( itXrrritxrrX eXEiieXEt i rezult )()()0()( XmiXEi r

rrrrX .q.e.d

Observaia 2.4.5. Folosirea relaiei de la punctul 4) este recomandabil doar atunci cnd calcularea momentelor este mai comod prin aceast relaie dect pornind direct de la definiia acestora. Aplicaia 2.4.6.

1) Dac

312161101

:X atunci

6

3231

21

61)(

itititit eeeet

2) Dac

xx

X2

: , 1,0x atunci itxitx ee

ixdxxet 21

0

222)(

3) Dac

xex

X : , 0x atunci 20 1

1)(titdxeet itxx

Definiia 2.4.7. Fie X o variabil aleatoare real definit pe cmpul de probabilitate PK ,, . Se numete funcie generatoare de momente, dac exist, funcia RRG : , dat de relaia )()()( tXX eEtGtG care explicit poate fi scris sub forma

continuu tipde este X ,)(

discret tipde este X ,)(

R

dxxe

eptG tx

Kk

txk

k

cu condiia existenei expresiilor corespunztoare. Propoziia 2.4.8. Funcia generatoare de momente are urmtoarele proprieti:

53

1) 1)0( G 2) Dac Xj, mj 1 , sunt independente n totalitate i au funciile

generatoare )(tG j , mj ,1 , atunci funcia generatoare a variabilei aleatoare

mXXXX ... 21 este

m

jjX tGtG

1

)()(

3) Dac baXY , a i b R, atunci tb

XY eatGtG )()( 4) Dac X admite momente iniiale de orice ordin, atunci funcia

generatoare admite derivate de orice ordin n punctul zero i )()()0()( XmXEG r

rrX , ... ,2 ,1r

Aplicaia 2.4.9.

1) Dac

3212161101

:X atunci

632

31

21

61)(

tttt eeeetG

2) Dac

xe

xX

: , 0x , 0 atunci

tdxeetG txx

0

)( , dac t

iar n caz contrar nu exist.

3) Dac nk

knkkn qpC

kX

,0

:

, 0, qp , 1 qp , atunci

ntn

k

tkknkkn qpeeqpCtG )()(

0

1' )()( ntt qpenpetG ; 2221'' )()1()()( nttntt qpeepnnqpenpetG )()0(' XEnpG ; )()0( 222'' XEnpqpnG

2.5. Probleme rezolvate

Aplicaia 2.5.1. Fie variabilele aleatoare independente :

4/14/12/1210

:X i

2/16/13/1211

:Y .

S se scrie variabilele aleatoare : 2X, Y2, X+Y, XY, 2X+3Y, X/Y, max(X,Y), X . Rezolvare

54

Probabilitile corespunztoare valorilor lui 2X, Y2, X sunt aceleai cu cele corespunztoare lui X i respectiv Y. Avem:

4/14/12/1420

:2X ,

4/14/12/1210:X ,

2/12/141

:2Y .

21

61

31)1()1()11()1( 2 YPYPYYPYP .

Deoarece X i Y sunt independente avem c pij = piqj,1 i, j 3 . De exemplu

121

61

21)1()0()1,0(12 YPXPYXPp . Obinem

8/124/112/18/124/112/14/112/16/1221212211111201010

:YX

adic

8/16/124/76/112/16/1432101

:YX .

Analog

8/124/112/18/124/112/14/112/16/12212)1(22111)1(12010)1(0

:YX

de unde

8/16/124/12/112/112/1421012

:YX .

Cum 2X i 3Y au repartiiile

4/14/12/1420

:2X ,

2/16/13/1633

:3Y ,

obinem repartiia lui 2X + 3Y :

8/18/124/14/124/112/112/112/16/11087653113

:32 YX .

La fel obinem:

24/16/18/12/112/112/1212/1012

:YX ,

8/524/56/1210

:),max( YX .

Aplicaia 2.5.2. Fie X i Y dou variabile aleatoare discrete ale cror repartiii probabiliste comun (pij ) i marginale (pi) i (qj) sunt date n tabelul urmtor :

X \ Y -1 0 1 pi -1 1/8 1/12 1/6 3/8 1 1/24 1/4 1/3 5/8 qj 1/6 1/3 1/2 1

55

a) S se scrie variabilele aleatoare X i Y. b) S se precizeze dac X i Y sunt independente. c) S se scrie variabilele X + Y , X Y, X2, Y2, Y/X .

Rezolvare

a)Din tabelul de repartiie de mai sus deducem c

8/58/311

:X i

2/13/16/1101

:Y .

b)Dac X i Y ar fi independente atunci )1()1()1,1( 1111 YPXPqpYXPp ,

ceea ce nu are loc ntruct 61

83

81

.

c)Deoarece

31,

41,

241,

61,

121,

81

232221131211 pppppp ,

obinem

3/14/124/16/112/18/121012

:YX ,

3/18/14/112/124/16/1101

:YX ,

3/18/14/112/16/124/1101

:YX .

Repartiiile lui X2 i Y2 rezult imediat din cele ale lui X i Y:

11

:2X ,

3/23/110

:2Y .

Aplicaia 2.5.3. Fie variabila aleatoare discret

222

33321:

pppppX .

a) S se determine p. b) S se calculeze funcia de repartiie a lui X. c) S se calculeze probabilitile:

).4235,1(),8,21,3(

),1,2(),2,35,1(),4(),3(),1(

XXPXXP

XPXPXPXPXP

Rezolvare

a) Trebuie s avem p + p2 + p + p2 + p2 = 1 i p 0. Rezult 3p2 + 2p = 1 i p 0, adic p = 1/3. b) Cum F(x) = P(X x) rezult c F(x) = 0 dac x 1, F(x) = p = 1/3 dac x ]2,1( , F(x) = P(X=1) + P(X=2) = p + p2 = 4/9 dac x ]3,2( ,

56

F(x) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = p + p2 + p = 7/9 dac x ]4,3( , F(x) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = p + p2 + p + p2 = 8/9

dac x ]5,4( i F(x) = 1 dac x > 5 . Deci :

.5,1

;54,98

;43,97

;32,94

;21,31

;1,0

)(

x

x

x

x

x

x

xF

c) Avem P(X

57

ntruct F este continu vom avea F(x) = F(x+0) , x , deci

21))(( XMF e i 2

1))(( XMF e , adic 21))(( XMF e . Aceasta se

realizeaz pentru 21

314 2

xx , de unde ]2,2/1(232 x .

Aadar 2232)( cXM e . Se observ c F(1/2)=1/4 deci 31 2

1 cc

rezult din F(x)=3/4, adic 43

314 2

xx , de unde 2323 c .

Deoarece este cresctoare pe [0,1/2] i descresctoare pe (1/2,2],

x=1/2 este punct de maxim (singurul), prin urmare 21)( XM o .

Aplicaia 2.5.5. S se determine variabilele aleatoare independente

ppppxxxx

X432

321: i

22

32:

qqqyyy

Y ,

tiind c E(X)=2 i E(Y)=7. S se calculeze apoi E(2X+3Y), Var(X), Var(Y) i Var(2X+3Y). Rezolvare

Deoarece X este o variabil aleatoare trebuie s avem p+2p+3p+4p=1, adic p=1/10. Atunci

E(X) = xp+(x+1)2p+(x+2)3p+(x+3)4p = 10px+20p = x+2. Cum E(X) = 2 rezult c x = 0. Analog q+q2+q2=1, adic 2q2+q-1=0, de unde q=1/2. Rezult c

E(Y)=yq+2yq2+3yq2= y47 . Cum E(Y) = 7 avem c y=4. Tablourile de

repartiie ale lui X i Y vor fi

52

103

51

101

3210:X ,

41

41

21

1284:Y .

Folosind proprietile mediei avem E(2X+3Y) = E(2X)+E(3Y) = 2E(X)+3E(Y) = 22+37 = 25. Pentru calcularea dispersiilor avem nevoie s calculm mediile lui X2 i

Y2. Acestea au tablourile de repartiie

52

103

51

101

9410:2X ,

41

41

21

1446416:2Y , astfel c

5529

1034

511

1010)( 2 XE i

58

6041144

4164

2116)( 2 YE . Atunci

Var(X) = E(X2)-E(X)2 = 5-4 = 1 i Var(Y) = E(Y2)-E(Y)2 = 60-49 = 11. Cum X i Y sunt independente, rezult c i 2X i 3Y sunt independente

i avem Var(2X+3Y) = Var(2X)+Var(3Y) = 4Var(X)+9Var(Y) = 41+911 =

103. Aplicaia 2.5.6. S se determine variabilele aleatoare X i Y ale cror repartiii sunt date incomplet n tabelul de mai jos, tiind c E(X)=17 i Var(Y)=1. S se calculeze apoi E(XY) i Var(X-Y).

X \ Y -b 0 b pi a 1/5 1/10 a2 2/5 3/5 qj 1/5

Rezolvare

Deoarece p1+p2=1 rezult c 52

5311 p . Mai departe

p11+p12+p13=p1, adic 52

101

51

13 p , deci 101

13 p . Cum

p13+p23=q3 rezult c 101

101

51

23 p . Dar p21+p22+p23=p2, adic

101

101

52

53

21 p . Din p11+p21=q1 i p22+p12=q2, rezult c 103

1 q i

21

2 q . Obinem astfel

53

52:

2aaX ,

51

21

103

0:

bbY . Astfel 17

53

52)( 2 aaXE ,

adic 3a2+2a-85=0, de unde a1=5, a2=-17/3. Deoarece

105210

103)( bbbYE i

25

1210

103)()(

22222 bbbYE , rezult c

10049

1002)()()(

22222 bbbYEYEYVar . Din ipotez Var(Y)=1,

astfel c 49

1002 b , adic 7

10b . Din tabloul repartiiei comune (pij) avem

59

101

101

21

51

101

0:

22 baababbaXY i

101

51

52

101

101

101:

222 babaaababaYX

Astfel 7101010510

)(22 aabbaababbaXYE .

Dac a=5, E(XY)=-5/7, iar dac a=-17/3, E(XY)=17/21. Pentru calcularea dispersiei lui X-Y, avem nevoie de:

10

461055

2101010

)(2222 baababaaababaYXE

105246

10)(

5)(

52

1010)(

10)(])[(

224

222422222

babaa

babaaababaYXE

Pentru a=5, b=10/7 avem E(X-Y)=7

120 i

4918985])[( 2 YXE ,

deci 49

458549

1440049

18985)( YXVar .

Aplicaia 2.5.7. S se determine parametrii care apar n repartiiile urmtoare i s se calculeze apoi E(X) i Var(X), X fiind o variabil aleatoare, avnd repartiia respectiv:

a) 0,,41:

qNnq

nX n ;

b) 0],1,0[,)2(

: 2