PD

PRELUCRAREA DATELOR

EXPERIMENTALE

Tabele de date Reprezentări grafice Metoda celor mai mici pătrate Metode de fitare a datelor ex-perimentale

În munca de laborator există câteva etape importante : proiectarea şi execu-tarea dispozitivului experimental, achi-ziţia de date şi prelucrarea datelor obţi-nute. Fiecare dintre aceste etape îşi are importanţa ei, dar scopul final este atins doar printr-o bună cunoaştere a modali-tăţilor şi tehnicilor care manipulează da-tele experimentale, cu obiectivul de a stabili formularea matematică a legii pe care o căutăm sau o verificăm. Acesta este şi motivul pentru care considerăm importantă aplicaţia de faţă.

CUVINTE CHEIE

TEMA APLICAŢIEI

SCOPUL APLICAŢIEI

Cunoaşterea modului de alcătuire a tabelelor de date experimen-tale. Formarea abilităţii de a reprezenta grafic datele obţinute expe-rimental. Capacitatea de a folosi tehnica de calcul în scopul prelucră-rii datelor experimentale.

3

DEFINIŢII ŞI FORMULE

Tabelele de date sunt necesare pentru prezentarea ordonată şi sugestivă a rezul-tatelor determinărilor experimentale. Există reguli de întocmire a tabelelor de date care vor fi prezentate în cuprinsul acestui material.

Reprezentările grafice constituie de multe ori un ajutor preţios în efortul de a

stabili corelaţii matematice între datele experimentale. Curba obţinută ca grafic poate sugera adesea forma matematică a legii pe care urmăm să o stabilim în fi-nal. De asemenea, reprezentarea grafică a unor legi ale fizicii sau tehnicii permi-te găsirea cu uşurinţă a unor valori care ar fi identificate relativ dificil în tabele de date (de exemplu, reprezentarea grafică a presiunii vaporilor saturanţi ai apei în funcţie de temperatură este o modalitate foarte simplă de a stabili presiunea de saturaţie cunoscând temperatura, în comparaţie cu localizarea aceleiaşi valori într-un tabel de date întins pe o întreagă pagină de carte). Valoarea unei repre-zentări grafice stă şi în modul în care este făcută. Paginile următoare vor cuprin-de explicaţii care să vă familiarizeze cu modul corect de realizare a unei repre-zentări grafice de calitate. Utilizând tehnica de calcul şi programe adecvate (Excel, Mathcad, Origin, etc.) se pot obţine reprezentări grafice de foarte bună calitate.

Metoda celor mai mici pătrate sau metoda regresiei liniare este utilizată pen-

tru trasarea graficelor. O curbă experimentală se trasează printre punctele expe-rimentale, lăsând de o parte şi de alta cam acelaşi număr de puncte. Metoda celor mai mici pătrate permite găsirea traseului cel mai puţin depărtat de fiecare punct în parte, dar care este totuşi o curbă continuă, fără variaţii prea bruşte.

Fitarea datelor experimentale este procedeul prin care dintr-un şir de date ex-

perimentale se pot trage concluzii cu privire la forma matematică a unei anumite legi a fizicii. În esenţă, fitare (din englezescul a potrivi) înseamnă să cauţi fun-cţia matematică care să ofere cea mai bună corelare între datele experimentale. Trebuie menţionat că funcţia găsită prin fitare nu este şi în mod necesar adevă-rata lege după care decurge procesul respectiv ! În funcţie de domeniul de valori al parametrului experimental se pot găsi formule aproximative, valabile doar în domeniul considerat. Diferitele metode de fitare sunt integrate în programe de calcul cum ar fi Excel, Mathcad, Mathlab şi altele.

4

ASPECTE TEORETICE

Înregistrarea datelor experimentale, reprezentare grafică

Înregistrarea datelor experimentale se face în tabele întocmite în prealabil. Orice tabel trebuie să cuprindă un cap de tabel. Capul de tabel :

• cuprinde în mod obligatoriu simbolul mărimii fizice şi unitatea de măsură • este aşezat în mod obişnuit deasupra coloanelor rezervate datelor, dar poate

fi plasat uneori şi la stânga lor • poate cuprinde uneori formula de calcul utilizată pentru obţinerea valorilor

din coloana respectivă Coloanele tabe-lului de date sunt re-zervate fie mărimi-lor considerate ca variabile indepen-dente, fie datelor ob-ţinute prin măsurare, fie rezultatelor. Pri-mele coloane din stânga sunt rezervate pentru mărimile in-dependente, iar ur-mătoarele mărimilor măsurate. În fine, ultimele coloane cu-prind rezultatele, de multe ori calculate în funcţie de mări-mile măsurate. Ta-

belul de date poate avea un nume, care, de cele mai multe ori, descrie scopul pentru care sunt făcute măsurătorile experimentale.

Exemplu de întocmire a unui tabel de date

Scopul experienţei

Număr curent

Aparat sau

element utilizat

Valoare constantă (unitate de

măsură)

Mărime măsurată

(unitate de măsură)

Valoare fi-nală

(unitate de măsură)

1 x 1 y 1 2 elem. I CCC x 2 y 2 3 x 3 y3

Spaţiu pen-tru date

Cap de tabel plasat la stânga

Spaţiu pen-tru rezultate

Cap de tabel plasat deasupra datelor

Valorile mărimilor independente sunt trecute în tabel înainte de efectuarea experi-enţei. Unităţile de măsură trebuie astfel alese încât numerele care sunt trecute în tabel să nu fie excesiv de mari sau de mici. Astfel, nu este indicat să fie trecută în tabel va-loarea (t =) 0,0000043 (s), ci valoarea (t =) 4,3 (µs) sau valoarea (t =) 4,3 (10-6 s). Numărul de zecimale cu care este trecută în tabel o anumită mărime trebuie să cores-

5

pundă preciziei cu care ea a fost determinată. Astfel, nu este indicat să fie trecută în tabel valoarea (v =) 23,4215867 (m/s), ci valoarea (v =) 23,4 (m/s) dacă precizia mă-surătorii este de ordinul a 1%. În fine, pentru facilitarea citirii datelor, pe aceeaşi co-loană, valorile prezentate vor avea acelaşi număr de zecimale, iar virgulele care sepa-ră zecimalele de întregi vor fi plasate una sub alta. În multe cazuri prezentarea sau chiar prelucrarea datelor experimentale este fa-cilitată de reprezentările grafice. Avantajele acestora sunt:

• permit observarea cu uşurinţă a variaţiilor mărimii studiate în raport cu vari-aţia parametrului ales, evidenţiind eventualele maxime sau minime

• curba trasată printre punctele experimentale este o reprezentare mai exactă a legăturii dintre mărimea studiată şi parametru decât fiecare pereche de date experimentale în parte

• sugerează relaţia matematică dintre mărimea studiată şi parametru Întocmirea unei reprezentări grafice se supune unor reguli practice care vor fi prezentate în continuare :

⇒ graficele se trasează pe hârtie milimetrică sau pe caroiaje întocmite anterior ⇒ formatul hârtiei trebuie să fie suficient de mare pentru ca aspectul curbei să nu

aibă de suferit (este recomandat formatul A5 sau A6) ⇒ intervalele de valori ale axelor trebuie astfel alese încât curba obţinută să fie

repartizată pe întreaga suprafaţă a graficului ⇒ aceasta înseamnă şi faptul că valorile coordonatelor axelor nu trebuie să în-

ceapă obligatoriu de la zero, fiind de preferat ca originea axei să corespundă celei mai mici valori reprezentate, iar extremitatea sa celei mai mari

⇒ distanţa dintre două linii îngroşate pe hârtia milimetrică sau distanţa dintre două linii alăturate ale caroiajului trebuie să corespundă unui număr de unităţi ale mă-rimii reprezentate care să permită reprezentarea cu uşurinţă a valorilor intermediare (de exemplu, în cazul hârtiei milimetrice, distanţa dintre două linii îngroşate poate co-respunde la o unitate, la două unităţi, la cinci unităţi sau la zece unităţi, dar este ne-practic ca ea să corespundă la şapte unităţi)

⇒ fiecare pereche de date se va reprezenta ca un punct pe suprafaţa graficului, iar acest punct va fi bine marcat (însemnat, de exemplu, cu o steluţă)

⇒ coordonatele punctelor experimentale nu se notează pe grafic (ele pot fi de-duse cu ajutorul marcajelor principale de pe axele de coordonate)

⇒ curba experimentală va fi trasată printre puncte, lăsând de o parte şi de alta cam acelaşi număr de puncte

⇒ este util ca trasarea curbei să fie făcută cu un florar ⇒ se va urmări ca aspectul curbei să fie cât mai continuu, fără variaţii bruşte de

pantă sau de curbură ⇒ dacă un punct experimental este plasat mult în afara curbei, este recomandat

ca măsurătoarea respectivă să fie refăcută

6

⇒ dacă în acelaşi grafic se reprezintă mai multe curbe, ele vor fi trasate cu culori diferite, iar punctele experimentale corespunzătoare vor fi marcate în mod diferit

01 2 3 4 5 6 7 8 91011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950

2468

101214161820222426283032343638404244464850525456586062646668707274767880828486889092949698

100

Valorile numerice corespunzătoare gradaţii-lor axelor sunt prea dese ! (ar fi fost suficient

ca ele să fie marcate din cinci în cinci)

X 12 14 16 18 20 22 24 26 28Y 15 29 21 27 28 36 38 39 50

Y

Cum nu trebuie făcută o reprezentare grafică !

X

Curba este obţinută prin uni-rea punctelor experimentale !

Domeniul de valori al fiecărei axe este prea mare, astfel încât curba nu este distribuită în întreaga

suprafaţă a graficului !

7

Graficul X=f(Y)

10 15 20 25 3010

15

20

25

30

35

40

45

50

Y(u.m.)

X(u.m.)

Puncte experimentale

X 12 14 16 18 20 22 24 26 28Y 15 29 21 27 28 36 38 39 50

Curbă trasată printre puncte

Cum trebuie făcută reprezentarea grafică !

Metoda celor mai mici pătrate

Să urmărim exemplul din figura alăturată. Să presupunem că legea fi-zică pe care o vom pune în evidenţă este o lege liniară. Putem duce printre punctele experimentale mai multe drepte care să corespundă criteriilor de întocmire a unei reprezentări grafi-ce. Care dintre aceste drepte repre-zintă cel mai corect legea căutată ? Metoda celor mai mici pătrate răspun-

de tocmai acestei întrebări.

y

x

Conform metodei celor mai mici pătrate, panta dreptei şi coordonata in-tersecţiei sale cu axa Oy vor fi astfel alese încât suma pătratelor distanţelor de la fiecare punct experimental la dreaptă să fie minimă.

8

Să urmărim figura alăturată. Presupunem că parametrii xk ai mă-surătorii au fost determinaţi precis (de exemplu, acul instrumentului de măsură era poziţionat exact în drep-tul unei gradaţii a scalei). În schimb, mărimile corespunzătoare, yk, nu mai sunt stabilite tot atât de precis prin măsurare. Considerăm că valoa-rea corectă a mărimii y corespunde punctului y'k de pe dreaptă. Distanţa dintre aceste puncte este :

y = ax+ b

y

x

xk, y'k

xk, yk

kkk 'yyd −= Conform ecuaţiei dreptei, obţinem :

bax'y kk += şi deci :

baxyd kkk −−= Suma pătratelor distanţelor de la dreaptă la toate punctele experimentale este :

( )∑=

−−=N

kkk baxyS

1

2

sau :

∑∑∑∑∑=====

+−−++=N

kk

N

kk

N

kkk

N

kk

N

kk xabybyxaNbxayS

111

2

1

22

1

2 222

Împărţind la N, punem în evidenţă valorile medii :

xabybxyabxayNS 2222222 +−−++=

Factorul S/N este o funcţie de doi parametri necunoscuţi, a şi b. Valoarea sa este mi-nimă atunci când derivatele parţiale în raport cu a şi b se anulează simultan :

0222 2 =+−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ σ

∂∂ xbxyxa

Na

0222 =+−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ σ

∂∂ xayb

Nb

Rezultă :

22 xxyxxy

a−

−=

şi :

22

2

xx

xxyxyxayb

−

−=−=

9

Dreapta căutată are ecuaţia :

( ) yxxxx

yxxyy +−

−

−= 22

unde :

∑∑∑∑====

====N

kkk

N

kk

N

kk

N

kk yx

Nxyx

Nxy

Nyx

Nx

11

22

11

1111

Metoda celor mai mici pătrate se poate utiliza şi în cazul altor tipuri de funcţii decât cele liniare. De exemplu, în cazul y = cxp, logaritmăm relaţia :

clnxlnpyln += şi observăm că ln y este funcţie liniară de ln x. Constantele p şi ln c pot fi calculate acum utilizând metoda celor mai mici pătrate.

Alte modalităţi de fitare a datelor experimentale Există şi numeroase legi ale fizicii care nu sunt exprimabile prin funcţii liniare sau exponenţiale. Un exemplu ar fi legea spaţiului în mişcarea rectilinie uniform vari-ată :

( ) ( )20000 2

1 ttattvxx −+−+=

Această lege are o formă polinomia-lă. Chiar şi legi cu mult mai compli-cate pot fi puse sub formă polinomi-ală, gradul polinomului fiind cu atât mai mare cu cât intervalul de valabi-litate este mai mare şi precizia mai necesară. De exemplu, elongaţia unui oscilator armonic xsiny = , poate fi aproximată ca funcţie poli-nomială prin (x măsurat în radiani) :

...x!

+7x!

x!

xy −+−= 53

71

51

31

...x +7

50401xxxy −+−= 53

1201

61

În graficul alăturat, curba îngroşată este graficul sinusului, iar liniile în-trerupte sunt prima şi a doua apro-

ximaţie polinomială. Cea de-a treia aproximaţie se suprapune exact peste graficul si-nusului. Se poate face şi o teorie care să explice modul prin care se găsesc coeficienţii polinomului în funcţie de datele experimentale. Rezultatele acestei teorii sunt imple-mentate în programe de calcul tabelar, cum ar fi programul Excel.

0 0.5 1 1.50

0.5

1

1.5

Aproximatii polinomiale ale functiei y = sin x

10

EXEMPLU

Să presupunem că dorim să verificăm experimental legea perioadei micilor osci-laţii ale unui pendul gravitaţional :

glT π= 2

Valoarea acceleraţiei gravitaţionale este cunoscută : g = 9,8 m/s. În cursul experienţei vom varia (şi măsura) lungimea firului de suspensie şi vom calcula perioada împăr-ţind timpul necesar efectuării unui anumit număr de oscilaţii complete la acest număr.

Trebuie să demonstrăm prin experiment că perioada T este o funcţie lineară de gl şi

să găsim că panta dreptei respective este egală cu 2π. În acest scop, vom folosi meto-da regresiei lineare. Ceasul cu care lucrăm are precizia de 1 secundă, iar lungimea fi-rului se poate măsura cu precizie de 1 centimetru. Pentru fiecare lungime a firului de suspensie vom face câte 5 măsurări ale perioadei. Să presupunem că am obţinut ur-mătoarele date experimentale :

⇒ Pentru lungimea de 109 cm, 5 oscilaţii se fac în 10 s, 6 oscilaţii în 12 s, 7 osci-laţii în 15 s, 8 oscilaţii în 16 s şi 9 oscilaţii în 19 s

⇒ Pentru lungimea de 132 cm, 5 oscilaţii se fac în 11 s, 6 oscilaţii în 14 s, 7 osci-laţii în 16 s, 8 oscilaţii în 18 s şi 9 oscilaţii în 20 s

⇒ Pentru lungimea de 182 cm, 5 oscilaţii se fac în 13 s, 6 oscilaţii în 16 s, 7 osci-laţii în 19 s, 8 oscilaţii în 21 s şi 9 oscilaţii în 24 s

⇒ Pentru lungimea de 236 cm, 5 oscilaţii se fac în 15 s, 6 oscilaţii în 18 s, 7 osci-laţii în 21 s, 8 oscilaţii în 24 s şi 9 oscilaţii în 27 s

⇒ Pentru lungimea de 295 cm, 5 oscilaţii se fac în 17 s, 6 oscilaţii în 21 s, 7 osci-laţii în 24 s, 8 oscilaţii în 27 s şi 9 oscilaţii în 31 s Prima problemă pe care o întâlnim este aceea de a pune aceste date într-o formă mai ordonată, de a calcula perioadele corespunzătoare şi eroarea măsurării. Vă pot recomanda să lucraţi în modul următor :

⇒ Deschideţi programul Excel ⇒ Înscrieţi în căsuţele de la A4 la A8 numerele curente ale determinărilor :

1,2,3,4,5 ⇒ Înscrieţi în căsuţele B2, E2, H2, K2, N2, lungimile firului : 1,09 (m), 1,32

(m), 1,82 (m), 2,36 (m) şi 2,95 (m) ⇒ Înscrieţi în căsuţele B4-8, E4-8, H4-8, K4-8, N4-8 numerele de oscilaţii

11

⇒ Înscrieţi în căsuţele C4-8, F4-8, I4-8, L4-8, M4-8 intervalele de timp cores-punzătoare

⇒ Foaia Excel arată acum aşa :

⇒ Selectaţi căsuţa D4, şi apoi daţi un click în caseta fx, după care tastaţi semnul

„=” ⇒ Selectaţi căsuţa C4, apăsaţi tasta de împărţire şi apoi selectaţi căsuţa B4. Tas-

taţi „Enter” ⇒ Selectaţi din nou căsuţa D4 ⇒ Foaia Excel arată acum aşa :

⇒ Remarcaţi pătrăţelul din colţul dreapta-jos al căsuţei D4. Duceţi pointer-ul mouse-ului pe acest pătrăţel (observaţi că el se transformă într-o cruciuliţă), apăsaţi butonul stâng al mouse-ului şi, ţinându-l apăsat, trageţi colţul (pătrăţelul) în jos, până la căsuţa D8. Eliberaţi butonul mouse-ului, şi selectaţi o căsuţă liberă

⇒ Foaia Excel arată acum aşa :

12

⇒ Coloana D cuprinde acum valorile perioadelor pentru cele cinci determinări corespunzătoare lungimii de 1,09 m

⇒ Eroarea de măsurare este destul de mare (1 secundă la 10 până la 19 secunde). De aceea numărul mare de zecimale este inutil. Considerând că eroarea este de ordi-nul a 1%, înseamnă că numai primele trei cifre ale unui număr sunt semnificative. De aceea, valoarea 2,142857 trebuie rotunjită la 2,14. Pentru a realiza aceasta procedaţi astfel :

⇒ Mai întâi selectaţi toate căsuţele de la D4 la D8 ⇒ Apoi, deschideţi meniul „Format” şi alegeţi opţiunea „Cells…”

⇒ Se va deschide o fe-reastră nouă : „Format Cells”

⇒ În meniul „Category” alegeţi opţiunea „Number”, iar în caseta „Decimal places” in-troduceţi valoarea 2

⇒ Apăsaţi butonul „OK” ⇒ Rezultatul va fi că toate

numerele in coloana D sunt acum rotunjite până la două zecimale ⇒ Realizaţi aceleaşi operaţi-

uni pe coloanele G, J, M şi P (evident folosind coloanele de da-

te corespunzătoare). ⇒ Pe pagina următoarea pu-

teţi vedea modul în care arată foa-ia Excel în acest moment.

⇒ Este momentul să alcătuim un tabel care să conţină şi alte elemente decât acelea cuprinse de programul Excel

⇒ Fără a închide programul Excel, deschideţi programul Word, iar pentru mai multă siguranţă tas-taţi de câteva ori „Enter”

⇒ Reveniţi la Excel şi selec-taţi toate căsuţele între A1 şi P8

⇒ Daţi comanda „Copy” (aflată şi pe bara „Standard”, sau în meniul „Edit”

13

⇒ Reveniţi în Word şi daţi comanda „Lipire” (sau „Paste”). Rezultatul va fi ur-mătorul : 1,09 1,32 1,82 2,36

1 5 10 2,00 5 11 2,20 5 13 2,60 52 6 12 2,00 6 14 2,33 6 16 2,67 63 7 15 2,14 7 16 2,29 7 19 2,71 74 8 16 2,00 8 18 2,25 8 21 2,63 85 9 19 2,11 9 20 2,22 9 24 2,67 9

⇒ Nu arată prea bine, dar nu vă descurajaţi ! ⇒ Selectaţi prima căsuţă a tabelului, deschideţi meniul „Table” :

⇒ Alegeţi opţiunea „AutoFit” şi, apoi, „AutoFit to Window” ⇒ Rezultatul operaţiunii este prezentat în continuare :

14

1,09 1,32 1,82 2,36 2,95

1 5 10 2,00 5 11 2,20 5 13 2,60 5 15 3,00 5 17 3,402 6 12 2,00 6 14 2,33 6 16 2,67 6 18 3,00 6 21 3,503 7 15 2,14 7 16 2,29 7 19 2,71 7 21 3,00 7 24 3,434 8 16 2,00 8 18 2,25 8 21 2,63 8 24 3,00 8 27 3,385 9 19 2,11 9 20 2,22 9 24 2,67 9 27 3,00 9 31 3,44

⇒ Selectaţi toate celulele tabelului ⇒ Din bara „Table and Borders” alegeţi opţiunile şi +, apoi din bara

„Formatting” alegeţi opţiunile „Center” şi „Times New Roman” „10”. Tabelul capătă înfăţişarea :

1,09 1,32 1,82 2,36 2,95

1 5 10 2,00 5 11 2,20 5 13 2,60 5 15 3,00 5 17 3,40 2 6 12 2,00 6 14 2,33 6 16 2,67 6 18 3,00 6 21 3,50 3 7 15 2,14 7 16 2,29 7 19 2,71 7 21 3,00 7 24 3,43 4 8 16 2,00 8 18 2,25 8 21 2,63 8 24 3,00 8 27 3,38 5 9 19 2,11 9 20 2,22 9 24 2,67 9 27 3,00 9 31 3,44

⇒ Pe linia a treia a tabelului, începând cu coloana a doua, înscrieţi următoarele

informaţii (caracterele greceşti se pot selecta prin apăsarea butonului Ω din bara „Standard”) :

1,09 1,32 1,82 2,36 2,95

N ∆t (s) T (s) N

∆t (s) T (s) N

∆t (s) T (s) N

∆t (s) T (s) N

∆t (s)

T (s)

1 5 10 2,00 5 11 2,20 5 13 2,60 5 15 3,00 5 17 3,40 2 6 12 2,00 6 14 2,33 6 16 2,67 6 18 3,00 6 21 3,50 3 7 15 2,14 7 16 2,29 7 19 2,71 7 21 3,00 7 24 3,43 4 8 16 2,00 8 18 2,25 8 21 2,63 8 24 3,00 8 27 3,38 5 9 19 2,11 9 20 2,22 9 24 2,67 9 27 3,00 9 31 3,44

⇒ Selectaţi prima linie a tabelului şi daţi comanda „Merge Cells” (evidenţiată în

bara „Table and Borders”). Veţi obţine :

1,09 1,32 1,82 2,36 2,95

N ∆t (s) T (s) N

∆t (s) T (s) N

∆t (s) T (s) N

∆t (s) T (s) N

∆t (s) T (s)

1 5 10 2,00 5 11 2,20 5 13 2,60 5 15 3,00 5 17 3,40 2 6 12 2,00 6 14 2,33 6 16 2,67 6 18 3,00 6 21 3,50 3 7 15 2,14 7 16 2,29 7 19 2,71 7 21 3,00 7 24 3,43 4 8 16 2,00 8 18 2,25 8 21 2,63 8 24 3,00 8 27 3,38 5 9 19 2,11 9 20 2,22 9 24 2,67 9 27 3,00 9 31 3,44

15

⇒ Selectaţi prima linie din tabel şi înscrieţi textul „PERIOADELE DE OSCILAŢIE, ÎN

FUNCŢIE DE LUNGIMEA FIRULUI DE SUSPENSIE” (textul este scris în „Times New Roman”, mărimea „10”)

PERIOADELE DE OSCILAŢIE, ÎN FUNCŢIE DE LUNGIMEA FIRULUI DE SUSPENSIE 1,09 1,32 1,82 2,36 2,95

N ∆t (s) T (s) N

∆t (s) T (s) N

∆t (s) T (s) N

∆t (s) T (s) N

∆t (s) T (s)

1 5 10 2,00 5 11 2,20 5 13 2,60 5 15 3,00 5 17 3,40 2 6 12 2,00 6 14 2,33 6 16 2,67 6 18 3,00 6 21 3,50 3 7 15 2,14 7 16 2,29 7 19 2,71 7 21 3,00 7 24 3,43 4 8 16 2,00 8 18 2,25 8 21 2,63 8 24 3,00 8 27 3,38 5 9 19 2,11 9 20 2,22 9 24 2,67 9 27 3,00 9 31 3,44

⇒ În linia a doua, contopiţi căsuţele 2-5, 6-8, 9-11, 12-14 şi 15-17 prin selectare şi aplicarea comenzii „Merge Cells” :

PERIOADELE DE OSCILAŢIE, ÎN FUNCŢIE DE LUNGIMEA FIRULUI DE SUSPENSIE 1,09 1,32 1,82 2,36 2,95

N ∆t (s) T (s) N

∆t (s) T (s) N

∆t (s) T (s) N

∆t (s) T (s) N

∆t (s) T (s)

1 5 10 2,00 5 11 2,20 5 13 2,60 5 15 3,00 5 17 3,40 2 6 12 2,00 6 14 2,33 6 16 2,67 6 18 3,00 6 21 3,50 3 7 15 2,14 7 16 2,29 7 19 2,71 7 21 3,00 7 24 3,43 4 8 16 2,00 8 18 2,25 8 21 2,63 8 24 3,00 8 27 3,38 5 9 19 2,11 9 20 2,22 9 24 2,67 9 27 3,00 9 31 3,44

⇒ Adăugaţi unitatea de măsură a lungimii :

PERIOADELE DE OSCILAŢIE, ÎN FUNCŢIE DE LUNGIMEA FIRULUI DE SUSPENSIE 1,09 (m) 1,32 (m) 1,82 (m) 2,36 (m) 2,95 (m)

N ∆t (s) T (s) N

∆t (s) T (s) N

∆t (s) T (s) N

∆t (s) T (s) N

∆t (s) T (s)

1 5 10 2,00 5 11 2,20 5 13 2,60 5 15 3,00 5 17 3,40 2 6 12 2,00 6 14 2,33 6 16 2,67 6 18 3,00 6 21 3,50 3 7 15 2,14 7 16 2,29 7 19 2,71 7 21 3,00 7 24 3,43 4 8 16 2,00 8 18 2,25 8 21 2,63 8 24 3,00 8 27 3,38 5 9 19 2,11 9 20 2,22 9 24 2,67 9 27 3,00 9 31 3,44

⇒ În căsuţa a doua din prima coloană, înscrieţi textul „l →” ⇒ În căsuţa a treia din prima coloană înscrieţi textul „ N.C. ↓”. Obţineţi :

PERIOADELE DE OSCILAŢIE, ÎN FUNCŢIE DE LUNGIMEA FIRULUI DE SUSPENSIE

l → 1,09 (m) 1,32 (m) 1,82 (m) 2,36 (m) 2,95 (m) N.C.

↓ N ∆t (s)

T (s) N

∆t (s)

T (s) N

∆t (s)

T (s) N

∆t (s)

T (s) N

∆t (s) T (s)

1 5 10 2,00 5 11 2,20 5 13 2,60 5 15 3,00 5 17 3,40 2 6 12 2,00 6 14 2,33 6 16 2,67 6 18 3,00 6 21 3,50 3 7 15 2,14 7 16 2,29 7 19 2,71 7 21 3,00 7 24 3,43 4 8 16 2,00 8 18 2,25 8 21 2,63 8 24 3,00 8 27 3,38 5 9 19 2,11 9 20 2,22 9 24 2,67 9 27 3,00 9 31 3,44

16

⇒ Cu aceasta, primul tabel de date al lucrării este terminat. Dacă doriţi ca el să fie mai sugestiv îl puteţi pune sub forma (cum veţi reuşi este deja un exerciţiu pentru dumneavoastră !) :

PERIOADELE DE OSCILAŢIE, ÎN FUNCŢIE DE LUNGIMEA FIRULUI DE SUSPENSIE l → 1,09 (m) 1,32 (m) 1,82 (m) 2,36 (m) 2,95 (m) N.C.

↓ N ∆t (s)

T (s) N

∆t (s)

T (s) N

∆t (s)

T (s) N

∆t (s)

T (s) N

∆t (s) T (s)

1 5 10 2,00 5 11 2,20 5 13 2,60 5 15 3,00 5 17 3,402 6 12 2,00 6 14 2,33 6 16 2,67 6 18 3,00 6 21 3,503 7 15 2,14 7 16 2,29 7 19 2,71 7 21 3,00 7 24 3,434 8 16 2,00 8 18 2,25 8 21 2,63 8 24 3,00 8 27 3,385 9 19 2,11 9 20 2,22 9 24 2,67 9 27 3,00 9 31 3,44

⇒ Este deja momentul să ne îndreptăm către finalizarea prelucrării datelor ⇒ Va trebui să determinăm valorile medii ale perioadelor, eroarea de măsură şi

valorile factorului gl

⇒ Pentru început deschideţi din nou tabelul Excel ⇒ În coloana A12-16 înscrieţi numerele curente 1,2,3,4,5 ⇒ În coloana D12-16 înscrieţi valorile lungimilor firului de suspensie ⇒ Selectaţi căsuţa E12 şi apoi daţi un click în caseta fx, tastaţi „=”, apoi scrieţi

SQRT(D12/9,81) şi finalizaţi tastând „Enter” ⇒ Selectaţi din nou căsuţa E12 şi trageţi colţul din dreapta-jos, acoperind coloa-

na E, până la E16 ⇒ Rotunjiţi la două zecimale numerele din coloana E. În acest moment aveţi cal-

culate valorile lui gl pentru toate cele cinci lungimi considerate

⇒ Pentru a calcula valorile medii ale perioadelor, precum şi abaterile pătratice medii, procedaţi aşa cum v-a fost indicat în lucrarea „Teoria erorilor de măsură”. Me-diile perioadelor le treceţi în coloana B, iar abaterile pătratice în coloana C. Dacă este nevoie, rotunjiţi din nou rezultatele la două zecimale

⇒ Porţiunea din foaia Excel cu care aţi lucrat ar trebui să arate aşa : ⇒ Este momentul să impor-

taţi acest tabel în documentul Word

⇒ Selectaţi toate căsuţele de la A10 la E16 şi procedaţi în acelaşi mod ca la operaţia ante-rioară de importare şi formatare a unui tabel de date

⇒ Ar trebui să obţineţi :

17

PERIOADELE DE OSCILAŢIE ŞI ABATEREA PĂTRATICĂ MEDIE

Nr. crt. <T> (s) σT l (m) gl (s)

1 2,05 0,07 1,09 0,33 2 2,26 0,05 1,32 0,37 3 2,65 0,04 1,82 0,43 4 3,00 0,00 2,36 0,49 5 3,43 0,05 2,95 0,55

⇒ Ultima etapă constă în trasarea graficului, utilizând metoda celor mai mici pă-

trate ⇒ Reveniţi la foaia Excel ⇒ Deschideţi meniul „Insert” şi alegeţi opţiunea „Chart”

⇒ Se va deschide o nouă fereastră :

⇒ În lista „Chart type” alegeţi opţiunea „XY (Scatter)”. Pe ecranul monitorului

apare : ⇒ Dacă căsuţa aflată sub inscripţia

„Chart sub-type” este înnegrită apăsaţi bu-tonul „Next >”. În caz contrar, selectaţi mai întâi căsuţa şi apoi apăsaţi „Next >”

⇒ Înfăţişarea ferestrei cu care lucraţi se modifică după cum urmează :

18

⇒ Daţi un click pe ”Series”

⇒ Fereastra îşi schimbă înfăţi-

şarea şi arată ca în imaginea din dreapta. Apăsaţi butonul „Add” şi din nou veţi observa că fereastra îşi schimbă înfăţişarea :

⇒ Trebuie acum să introduceţi datele experimentale Acestea se in-troduc în casetele „X Values” şi „Y Values”. Procedaţi astfel :

⇒ Daţi un click în caseta „X Values”

⇒ Apoi selectaţi toate valori-le numerice din coloana E12-16

(adică valorile factorului gl )

⇒ După aceea daţi un click în caseta „Y Values” şi selectaţi tot cuprinsul ei

⇒ În continuare, selectaţi toa-te valorile numerice din coloana B12-16 ⇒ După aceste operaţii, fereas-

tra din foaia Excel ar trebui să arate ca în imaginea următoare :

19

⇒ Apăsaţi butonul „Next” ⇒ Fereastra îşi schimbă din nou înfăţi-

şarea ⇒ În meniul „Titles”, caseta „Chart

title”, scrieţi „PERIOADA DE OSCILAŢIE A PENDULULUI GRAVITAŢIONAL ÎN FUNCŢIE DE LUNGIMEA FIRULUI DE SUSPENSIE”

⇒ Treceţi la meniul „Gridlines” şi marcaţi căsuţa „Major gridlines” de sub ti-tlul „Value (X) axis”

⇒ În meniul „Legend”, deselectaţi op-ţiunea „Show legend”

⇒ În fine, apăsaţi butonul „Finish” ⇒ Fereastra „Chart Options se închide

şi pe foaia Excel apare un grafic

⇒ Pe pagina următoare puteţi vedea înfăţişarea pe care o capătă acum foaia Excel

⇒ Graficul mai trebuie prelucrat pentru a ajunge la forma finală ⇒ Mai întâi, fixând cursorul mouse-ului pe el îl veţi „trage” într-o porţiune a fo-

ii, în care să nu obtureze tabelele de date ⇒ Apoi, veţi da un dublu click pe suprafaţa sa în porţiunea cenuşie, fără ca vâr-

ful cursorului să atingă nici liniile de marcaj, nici punctele experimentale :

20

⇒ Se va deschide o nouă fereastră : ⇒ Selectaţi opţiunea „None” din zona

„Area” şi apoi apăsaţi butonul „OK” ⇒ Daţi un dublu click pe una din liniile

de marcaj verticale ⇒ Din nou se deschide o fereastră, în

care alegeţi tab-ul „Scale” :

⇒ Această fereastră vă solicită să

alegeţi valorile extreme pe axa Ox.

Deoarece x = gl are valoarea minimă

21

egală cu 0,33 şi cea maximă egală 0,55, este bine să înscrieţi în caseta „Minimum” valoarea 0,3, iar în caseta „Maximum” valoarea 0,6

⇒ Apăsaţi butonul „OK” ⇒ Daţi acum un dublu click pe o linie de marcaj orizontală ⇒ Va apărea o fereastră asemănătoare cu cea anterioară, dar care face referire la

valorile minimă sau maximă ale lui y = T. Daţi valoarea minimă 2 şi cea maximă 3,6, după care apăsaţi din nou butonul „OK”

⇒ Zona graficului se modifică aşa cum este arătat mai jos : ⇒ Urmează să tra-

saţi dreapta prin metoda celor mai mici pătrate şi să aflaţi panta ei

⇒ Pentru început daţi un click-dreapta pe unul dintre punctele experimentale

⇒ Apare pe ecran o casetă având şi opţiu-nea „Add Trendline”. Selectaţi-o !

⇒ Din nou se des-chide o fereastră, numi-

tă Add Trendline” : ⇒ Marcaţi căsuţa „Linear” şi apă-

saţi butonul „OK” ⇒ Rezultatul este apariţia pe gra-

fic a unei drepte, care este chiar dreap-ta căutată :

⇒ Pentru a afla panta acestei drepte procedaţi astfel :

⇒ Daţi un click într-un punct oarecare al dreptei ⇒ Se deschide o casetă, în care selectaţi opţiunea „Format Trendline” ⇒ Efectul este deschiderea unei noi ferestre, numită „Format Trendline”

22

⇒ Selectaţi tab-ul „Options”, iar fereastra va arăta ca în figura alăturată

⇒ Selectaţi căsuţa „Display equation on chart”, după care apă-saţi butonul „OK”

⇒ Fereastra se închide, iar în interiorul graficului apare o căsuţă de text, care, de obicei nu este po-ziţionată convenabil

⇒ De aceea, aşezaţi cursorul mouse-ului pe ea, apăsaţi butonul stâng şi, ţinându-l apăsat „trageţi” căsuţa de text într-o poziţie conve-nabilă. Puteţi chiar formata textul din căsuţă, schimbând fontul şi mă-

rimea acestuia, înlocuind literele care de la bun început sunt „y” şi „x” prin acelea pe care le doriţi dumneavoastră. De asemenea se poate reduce numărul zecimalelor. Du-pă aceste operaţii, graficul ar trebui să arate aşa :

⇒ Ultima etapă pe care trebuie s-o parcurgeţi este importul graficului în docu-mentul Word

⇒ Pentru aceasta, daţi un click în interiorul suprafeţei graficului ⇒ Veţi observa că el arată ca în figura de mai sus

23

⇒ Daţi comanda „Copy” ⇒ Redeschideţi documentul Word şi daţi comanda „Lipire” („Paste”) ⇒ Rezultatul va fi următorul :

PERIOADA DE OSCILAŢIE A PENDULULUI GRAVITAŢIONAL ÎN FUNCŢIE DE

LUNGIMEA FIRULUI DE SUSPENSIET = 6,323 x - 0,0652

2,002,202,402,602,803,003,203,403,60

0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60

⇒ Daţi un click pe suprafaţa figurii (în acest mod o selectaţi) şi apoi încadraţi-o într-un chenar (comanda „Insert Frame”) :

⇒ În acest moment, graficul poate fi deplasat în orice punct al foii şi poate fi redimensionat.

⇒ Redimensionarea se face prin selectarea graficului şi acţiunea asupra celor opt pătrăţele care sunt marcate pe marginile cadrului

⇒ O altă modalitate de redimensionare este selectarea graficului, ur-mată de deschiderea me-

niului „Format” şi alegerea comenzii „Picture”. Se va deschide o fereastră care vă oferă informaţii despre modul în care puteţi face redimensionarea, precum şi alte ope-raţii.

PERIOADA DE OSCILAŢIE A PENDULULUI GRAVITAŢIONAL ÎN FUNCŢIE DE

LUNGIMEA FIRULUI DE SUSPENSIET = 6,323 x - 0,0652

2,002,202,402,602,803,003,203,403,60

0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60

În mare, cam acestea sunt operaţiunile necesare pentru a face o prezentare de ca-litate a rezultatelor pe care le-aţi obţinut în urma măsurătorilor experimentale. Mai rămâne de discutat un aspect : valoarea pe care am obţinut-o pentru pantă este de

24

6,323, puţin diferită faţă de cea teoretică : 2π = 6,283. Evident, diferenţa se datorează erorilor experimentale. Eroarea relativă este :

%,%,

,, 6301003236

28363236=⋅

−=ε

Având în vedere că abaterea pătratică medie la determinarea perioadei a avut chiar şi valori de 7%, rezultatul obţinut este neobişnuit de bun pentru condiţiile experimentale menţionate la începutul acestui material. În fine, cum trebuie să arate în cele din urmă modul de prezentare a rezultatelor? Iată un exemplu :

25

TEME

Urmăriţi pas cu pas instrucţiunile expuse în exemplul precedent şi încercaţi să obţineţi o pagină de prezentare a datelor, asemănătoare cu cea pe care v-o sugerează acest referat. Nu ar fi neindicat să vă stabiliţi o cale proprie, chiar diferită de aceea pe care am expus-o. Nu uitaţi că Isaac Newton, Albert Einstein şi Niels Bohr nu aveau la dispoziţie decât creio-nul şi hârtia ! Legea Boyle-Mariotte (valabilă pentru transformarea izotermă a unei cantităţi de gaz ideal) are forma pV = const. Încercaţi să verificaţi experi-mental această lege. Variaţi volumul ocupat de gaz cu câte 1 cm3, înce-pând de la 29 cm3 până la 20 cm3. La volumul de 29 cm3, presiunea gazu-lui este egală cu presiunea atmosferică normală : 760 mmHg (760 torr). Măsurarea diferenţei de presiune între gazul examinat şi presiunea atmos-ferică constă în determinarea diferenţei de nivel între mercurul cuprins în două ramuri ale unui tub în formă de U. Diferenţele de nivel înregistrate experimental sunt : 0, 27 mm, 56 mm, 88 mm, 122 mm, 138 mm, 199 mm, 242 mm, 290 mm, 342 mm. Întocmiţi un tabel de date şi verificaţi în ce măsură produsul dintre presiune şi volum este constant. Calculaţi abaterea pătratică medie. Reprezentaţi grafic funcţia p = p(V). Considerând că p es-te o funcţie de o putere necunoscută a lui V, determinaţi această putere. Puteţi folosi în acest scop metoda celor mai mici pătrate. Vom prezenta în continuare un tabel cu date experimentale privind presiunea vaporilor saturanţi ai apei la diverse temperaturi. Tabelul mai cuprinde şi umiditatea absolută a aerului, exprimată în g(apă)/cm3. Se cere să prelucraţi datele oferite în acest tabel. Trebuie să obţineţi graficul presi-unii vaporilor saturanţi în funcţie de temperatură şi graficul umidităţii ab-solute în funcţie de temperatură. De asemenea, trebuie să determinaţi fun-cţiile polinomiale de gradele 1 până la 5 care oferă legile de variaţie ale presiunii vaporilor saturanţi şi umidităţii absolute în funcţie de temperatu-ră. Apreciaţi ce grad are polinomul care exprimă cel mai simplu aceste legi.

26

Presiunea şi umiditatea absolută a vaporilor de apă saturanţi la diferite temperaturi

Temperatura

(°C) Presiunea

(torr) Umiditatea

absolută (g/m3)

Temperatura (°C)

Presiunea (torr)

Umiditatea absolută (g/m3)

-10 2,05 2,14 13 11,2 11,4 -9 2,13 2,33 14 12,0 12,1 - 8 2,32 2,54 15 12,8 12,8 - 7 2,53 2,76 16 13,6 13,6 - 6 2,76 2,99 17 14,5 14,5 -5 3,01 3,24 18 15,5 15,4 - 4 3,28 3,51 19 16,5 16,3 - 3 3,57 3,81 20 17,5 17,3 - 2 3,68 4,13 21 18,7 18,3 - 1 4,22 4,47 22 19,8 19,4 0 4,58 4,84 23 21,1 20,6 1 4,90 5,2 24 22,4 21,8 2 5,3 5,9 25 23,8 23,0 3 5,7 6,0 26 25,2 24,4 4 6,1 6,4 27 26,7 25,8 5 6,6 6,8 28 28,4 27,2 6 7,0 7,3 29 30,1 28,7 7 7,5 7,8 30 31,82 30,3 8 8,0 8,3 35 42,18 39,6 9 8,6 8,8 40 55,32 51,2 10 9,2 9,4 45 71,88 64,5 11 9,8 10,0 50 92,5 83,0 12 10,5 10,7 55 118,0 104,3

După ce aţi rezolvat problema precedentă, verificaţi care aproximaţie polinomială vă oferă, şi cu ce precizie, presiunea vaporilor saturanţi ai apei la temperatura de 100 °C : 760 torr. Dacă rezultatul nu vă satisface, ce explicaţie puteţi da ? Ştiind că apa fierbe la temperatura la care presiunea vaporilor satu-ranţi egalează presiunea atmosferică şi că presiunea atmosferică variază

după legea RTgh

eppµ

−= 0 , unde p0 = 760 torr, µ = 29 kg/kmol, g = 9,8 m/s2,

R = 8310 J/kmol⋅K şi T = 300 K, iar h este altitudinea faţă de nivelul mă-rii, aflaţi la ce altitudine, fierbând un ou, indiferent de intervalul de timp,

27

acesta va rămâne crud ? Temperatura minimă la care trebuie să fiarbă un ou pentru a se întări este de minimum 70°C. Umiditatea relativă este raportul procentual între presiunea parţială a vaporilor de apă la o anumită temperatură şi presiunea vaporilor saturanţi la aceeaşi temperatură. Presiunea parţială se calculează după ecuaţia de stare a gazului perfect RTmpV

µ= , unde m este masa gazului (sau vapori-

lor), iar V este volumul ocupat de tot amestecul de gaze (vapori). Masa molară a aerului este 29 kg/kmol, iar masa molară a apei este 18 kg/kmol. Presupunând că la temperatura de 20°C umiditatea absolută este de 20% şi că amestecul aer-apă este separat de exterior, determinaţi umiditatea abso-lută a amestecului la 40°C. Confortul termic depinde de umiditatea relati-vă (cu cât umiditatea relativă este mai mare, cu atât avem o senzaţie de zăpuşeală mai accentuată). La care dintre cele două temperaturi confortul termic este mai favorabil ?

28

TK

DETERMINAREA VITEZEI DE

PROPAGARE A SUNETELOR PRIN AER UTILIZÂND TUBUL KÖNIG

unde acustice, sunete lungimea de undă fenomenul de interferenţă osciloscop tubul König generator de curent electric alternativ de frecvenţă reglabi-lă

metoda celor mai mici pătra-te

cască telefonică, microfon

Viteza sunetului într-un gaz depinde de temperatura, exponentul adiabatic şi masa molară ale gazului după relaţia :

µγ

=RTc

Aceasta este o formulă teoretică, iar măsurarea vitezei sunetului se poate fa-ce prin diverse alte metode care fac apel la fenomenele întâlnite în cursul propa-gării undelor sonore. Unul dintre aces-tea este interferenţa. Dispozitivul reali-zat de König utilizează interferenţa şi permite determinarea valorii vitezei su-netului, prin simple măsurători de lun-gime şi intensitate a sunetului.

CUVINTE CHEIE

TEMA APLICAŢIEI

SCOPUL APLICAŢIEI

Determinarea experimentală a vitezei de propagare a su-netelor în aer.

29

DEFINIŢII ŞI FORMULE

Undele acustice :

⇒ sunt unde mecanice longitudinale ⇒ se pot propaga prin medii solide, lichide sau gazoase ⇒ reprezintă un fenomen de transfer de energie, fără transport de substanţă ⇒ se propagă cu viteză constantă în mediile omogene şi izotrope

Sunetele sunt unde mecanice, longitudinale, cu frecvenţa cuprinsă între 16 şi

16000 Hz

Lungimea de undă (λ) reprezintă distanţa pe care se propagă unda în timp de o perioadă :

λν

= ⋅ =c T c

unde : c = viteza de propagare a undei (numită şi viteză de fază) T = perioada de oscilaţie a undei ν = frecvenţa undei

Fenomenul de interferenţă : ⇒ este un fenomen specific propagării undelor ⇒ reprezintă rezultatul compunerii în aceeaşi regiune din spaţiu a două sau mai

multe unde coerente (adică unde având aceeaşi frecvenţă de oscilaţie şi diferenţă de fază constantă în timp)

⇒ se manifestă printr-o redistribuire spaţială a energiei undelor care se compun, caracterizată de prezenţa maximelor şi minimelor de interferenţă

⇒ condiţia de apariţie a maximelor de interferenţă este ca diferenţa de drum între undele care se compun să fie egală cu un număr întreg de lungimi de undă, iar condi-ţia de apariţie a minimelor de interferenţă este ca diferenţa de drum să fie egală cu un număr semiîntreg de lungimi de undă

⇒ poate fi obţinut pe cale experimentală doar prin împărţirea unei unde sonore iniţiale în două unde secundare separate care parcurg drumuri diferite până în regiu-nea în care se întâlnesc din nou

Osciloscopul este un aparat electronic complex, utilizat în această lucrare pentru vizualizarea amplitudinii tensiunii electrice aplicate la bornele sale

30

Tubul König este un dispozitiv format din două tuburi îndoite în formă de U, ale căror capete coincid. El permite, la un capăt, divizarea unei unde sonore în alte două unde şi reunirea lor la celălalt capăt. Unul dintre tuburi se poate alungi, permiţând ca undele sonore să parcurgă drumuri de lungime diferită.

Generatorul de curent electric alternativ de frecvenţă reglabilă :

⇒ are ca element constructiv principal un circuit de curent electric osci-lant, format dintr-o bobină şi un condensator variabil

⇒ oscilaţiile electrice generate de circuitul oscilant sunt amplificate şi determină prezenţa unei tensiuni electrice alternative la bornele de ieşire ale aparatului

⇒ valoarea frecvenţei poate fi reglată modificând capacitatea condensa-torului variabil din circuitul oscilant

Casca telefonică :

⇒ este un traductor curent electric-sunet, adică un dis-pozitiv care transformă un curent electric variabil în sunet

⇒ principiul ei de funcţionare se bazează pe un elec-tromagnet şi o membrană metalică

⇒ curentul electric variabil determină în miezul elec-tromagnetului un câmp magnetic variabil, care, la rândul

său provoacă acţiunea unor forţe variabile asupra membranei, care o aduc în stare de oscilaţie mecanică

membrană

⇒ oscilaţiile mecanice ale membranei generează sunetul

Microfonul : ⇒ este un traductor sunet-curent electric, adică un dispozitiv care

transformă sunetul în curent electric variabil ⇒ principiul său de funcţionare este asemănător cu cel al căştii telefoni-

ce, cu deosebirea că de această dată vibraţiile membranei sunt cele care de-termină apariţia curentului electric variabil în înfăşurarea electromagnetului

Metoda celor mai mici pătrate : ⇒ este utilizată pentru a construi dreapta y(x) = Ax + B care aproximează cel mai

bine perechile de date experimentale (x1, y1), (x2, y2),…, (xn, yn). Se arată că :

xAyB;xx

yxxyA −=

−

−= 22

xx

ny

y

nx

x

nxy

x y

n

ii

n

ii

n

ii

n

i ii

n

= = = == = =∑ ∑ ∑

1 1 2

2

1 1 ; ; ; =∑

31

PRINCIPIUL METODEI

Să considerăm o sursă S de sunet de frecvenţă constantă. Sunetele plecate din S pot urma drumurile SAI şi SBI, reunindu-se în punctul I, unde interferă.

Să presupunem că în punctul I se produce un minim de interfe-renţă. În acest caz diferenţa de drum între undele care interferă este un număr semiîntreg de lun-gimi de undă :

l3

l2

l1

I

C

A

S

l3

l2

l1

B

( ) Z∈λ

+=− kkll ; 2

1222 12

Deplasând punctul de reflexie B în poziţia C, rezultatul interferenţei

din I se modifică. Să presupunem că poziţia lui C corespunde altui minim de interfe-renţă (primul care se poate obţine în timpul deplasării BC). În acest caz k creşte cu o unitate :

( )( )[ ]2 2 2 1 123 1l l k− = + +λ

Făcând diferenţa dintre cele două relaţii, obţinem : 2 23 2l l− = λ

sau : ( )λ = −2 3 2l l

Deoarece :

λν

=c

rezultă posibilitatea de a determina viteza de fază după relaţia : ( )c l l= −2 3 2ν

cu condiţia de a cunoaşte frecvenţa sunetului şi diferenţa de drum (l3 - l1). În practică, putem obţine un sunet de frecvenţă dată (numit şi sunet pur) cu aju-torul unui generator de curent alternativ de frecvenţă reglabilă şi al unei căşti telefo-nice, care transformă în sunet curentul alternativ furnizat de generator.

32

Două tuburi îndoite în formă de U conduc sunetul furnizat de casca (C) pe două căi de la sursă la punctul de interferenţă, aflat în dreptul unui microfon (M). Tubul su-perior este mobil, iar deplasa-rea sa poate fi măsurată cu aju-torul unei rigle gradate R. Acest dispozitiv, care permite măsurarea diferenţei de drum dintre două sunete coerente

care provin de la aceeaşi sursă, se numeşte tub König. Microfonul îngăduie transformarea sunetului obţinut prin interferenţă într-un semnal electric, a cărui am-plitudine este direct proporţională cu tăria sunetului. Semnalul electric obţinut poate fi analizat cu ajutorul unui osciloscop, iar amplitudinea sa este vizualizată ca înălţime a liniei luminoase care apare pe ecranul osciloscopului.

(B)

(A)

(I)

(S)

M

C

R

Deoarece lungimea deplasării între poziţiile tubului superior care corespund minimelor succesive de interferenţă este dată de relaţia :

l l c3 2 2

1− = ⋅

ν

rezultă că aceasta este o funcţie lineară de inversul frecvenţei. Găsind prin măsurare mai multe perechi experimentale (l3 - l2, 1/ν) şi determinând funcţia lineară corespun-zătoare (l3 – l2 = A⋅1/ν + B)prin utilizarea metodei celor mai mici pătrate, putem de-termina viteza de fază a sunetului ca fiind dublul pantei funcţiei lineare (c = 2A). Trebuie făcut şi un comentariu în privinţa preciziei cu care se face această de-terminare. Frecvenţele ν se pot măsura cu precizie destul de mare dacă generatorul de curent alternativ este corespunzător. În laborator, această precizie este, teoretic, de 0,1%. Distanţele l3 şi l2 se pot măsura pe riglă cu precizie de 1 mm. La o frecvenţă a sunetului de 2000 Hz, diferenţa l3 – l2 ar trebui să fie de aproximativ 8,5 cm. Eroarea relativă făcută la o asemenea determinare este :

%,lll 42

mm85mm22

23≅=

−δ

=ε

ceea ce înseamnă pentru măsurarea vitezei sunetului c o eroare de aproape 5%. Eroa-rea este amplificată de dificultatea de a observa pe ecranul osciloscopului momentul exact în care înălţimea liniei luminoase este minimă sau maximă, ceea ce are drept consecinţă o eroare de măsurare a diferenţei l3 – l2 mai mare decât aceea asigurată de riglă. De aceea măsurătorile trebuie făcute cu o atenţie deosebită !

33

MATERIALE ŞI APARATE

generator de curent electric alternativ tub König

cască telefonică, microfon osciloscop electronic

conductoare de conexiune

3

12

42

Oy 11

10 9

8

7 6

5

1

SCHIŢA DISPOZITIVULUI EXPERIMENTAL

EXPLICAŢII : (1) ramura fixă a tubului König, (2) ramura mobilă a tubului König, (3) riglă, (4) cască telefonică, (5) microfon, (6) firele de conexiune la generatorul de curent alternativ, (7) generatorul de curent alternativ, (8) afişajul generatorului, (9) potenţiometru pentru reglarea frecvenţei, (10) fire de conexiune la osciloscop, (11) osciloscop, (12) ecranul osciloscopului şi linia luminoasă care trebuie observată. NOTĂ : este posibil ca frecvenţa tensiunii de la bornele generatorului de curent alter-nativ să fie măsurată cu un frecvenţmetru. În acest caz, valoarea frecvenţei se citeşte pe afişajul frecvenţmetrului şi nu pe acela al generatorului.

34

MOD DE LUCRU

se verifică dacă casca telefonică este racordată la generatorul de curent alternativ şi microfonul la bornele Oy ale osciloscopului

se alimentează de la reţeaua electrică şi se pun în funcţiune generatorul de curent alternativ şi osciloscopul, iar dacă este necesar şi frecvenţmetrul

se stabileşte frecvenţa generatorului la valoarea ν = 1000 Hz

pe ecranul osciloscopului trebuie să apară o dungă luminoasă verticală

se alungeşte tubul superior al aparatului König până ce se observă pe ecranul os-ciloscopului un minim al înălţimii dungii luminoase

în acest moment se citeşte şi se notează în tabelul de date valoarea indicată în dreptul poziţiei cursorului pe rigla gradată (l2)

se alungeşte din nou tubul superior până la apariţia următorului minim, citindu-se şi notându-se în tabel poziţia corespunzătoare (l3)

se readuce tubul superior la limita din stânga şi se stabileşte frecvenţa generato-rului la o nouă valoare, indicată în tabelul de date, repetându-se măsurătorile până la completarea acestuia

se calculează diferenţele de lungime (l3 - l2) şi se notează în tabel

În cazul în care faceţi calculele manual : se calculează viteza sunetului în aer cu relaţia:

( )cxy x y

xy x y= ⋅−

⋅ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ⋅ − ⋅ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

20 0223

8958,

dmms

ms

se trasează graficul l3 - l2 = f(1/ν)

dacă utilizaţi programul Excel pentru a trasa graficul şi a determina panta A, pen-tru a afla viteza sunetului va trebui să transformaţi valoarea pantei exprimată în dm/ms în m/s (prin înmulţire cu 100) şi apoi să dublaţi valoarea obţinută.

35

PRELUCRAREA DATELOR

MĂSURAREA VITEZEI SUNETULUI ÎN AER UTILIZÂND TUBUL KÖNIG

Nr. crt. ν (kHz)

x = 1/ν (ms)

y = l3-l2(dm)

l3(dm)

l2(dm)

1 1,0 1,0000 2 1,1 0,9091 3 1,2 0,8333 4 1,3 0,7692 5 1,4 0,7143 6 1,5 0,6667 7 1,6 0,6250 8 1,7 0,5882 9 1,8 0,5556

10 1,9 0,5263

l3 – l2(dm)

1/ν (ms)

GRAFICUL DISTANŢEI ÎNTRE DOUĂ MINIME CONSECUTIVE ÎN FUNCŢIE DE

INVERSUL FRECVENŢEI

c = ……….. m/s

REZULTATE FINALE

STUDENŢI

1) 2) 3) 4)

SEMNĂTURA CADRULUI DIDACTIC

36

FL

ETALONAREA UNUI GENERATOR DE

OSCILAŢII ELECTRICE

UTILIZÂND METODA FIGURILOR LISSAJOUS

generator de oscilaţii electri-ce etalonare osciloscop sumarea oscilaţiilor perpen-diculare figuri Lissajous metoda celor mai mici pătra-te

În montajele electronice, este uneori necesar să verificăm frecvenţa semnalu-lui electric furnizat de un circuit osci-lant. Alteori, se poate întâmpla ca gene-ratorul de curent alternativ de frecvenţă variabilă pe care îl folosim să nu furni-zeze un semnal de frecvenţă egală cu aceea indicată de afişajul aparatului. De aceea, este necesar să măsurăm aceste frecvenţe, prin comparare cu frecvenţa unui generator etalon. O metodă practi-că de realizare a acestei comparaţii vă este prezentată în lucrarea de faţă.

CUVINTE CHEIE

TEMA APLICAŢIEI

SCOPUL APLICAŢIEI

Etalonarea scalei de măsură a frecvenţei aparţinând unui generator de oscilaţii electrice, utilizând un generator etalon.

37

DEFINIŢII ŞI FORMULE

INFORMAŢIE SUPLIMENTARĂ

Într-un circuit electric închis, format dintr-un condensator şi o bobină tensiunea autoindusă în bobină este egală cu tensiunea la

bornele condensatorului : Cq

dtdiL =− (unde i este intensitatea cu-

rentului, iar q este sarcina acumulată pe condensator).

Intensitatea curentului electric este egală cu viteza de variaţie a sarcinii : dtdqi ,

astfel încât :

=

qdt

qddtdi

&&== 2

2

. Ecuaţia tensiunii devine :

001 20 =ω+⇔=+ qqq

LCq &&&&

Această ecuaţie este similară cu aceea a oscilatorului armonic şi are soluţia : ( ) ( )000000 ϕ+ω=⇔ϕ+ω= tcosiitsinqq

Generatorul de oscilaţii electrice : ⇒ este un aparat de laborator desti-

nat obţinerii unor curenţi electrici alter-nativi, cu frecvenţă reglabilă, cuprinsă într-un interval larg de valori

UL' L C sursa

de energie

cuplaj inductiv

tensiune de ieşire

⇒ funcţionarea sa se bazează pe în-treţinerea şi amplificarea curentului electric dintr-un circuit oscilant

⇒ circuitul oscilant este format dintr-un condensator şi o bobină, legate în paralel la o sursă de curent electric care asigură energia necesară întreţinerii oscilaţiei

⇒ frecvenţa proprie a circuitului oscilant :

νπ0

12

=LC

(unde L este inductanţa bobinei şi C capacitatea condensatorului) şi poate fi modifica-tă prin schimbarea capacităţii condensatorului variabil C

38

⇒ condensatorul variabil C poate fi construit din două sau mai multe plăci me-talice semicirculare, alternativ capabile să fie rotite în jurul centrului lor sau fixe

⇒ în funcţie de unghiul de rotaţie al plăcilor mobile, suprafaţa pe care plăcile se suprapun variază. Capacitatea sistemu-lui de plăci este proporţională cu suprafaţa comună, astfel încât există o relaţie de le-

gătură între capacitate şi unghiul de rotaţie

plăci semicirculare

indicator

cadran

⇒ deoarece frecvenţa proprie depinde de valoarea capacităţii, rezultă că ea este în cele din urmă o funcţie de unghiul de rotaţie al plăcilor şi ar putea fi măsurată prin vizualizarea acestuia cu ajutorul unui indicator pe un cadran circular

Etalonarea semnifică în cazul nostru stabilirea unei corespondenţe între frec-venţa curentului alternativ furnizat de oscilator şi unghiul de rotaţie al plăcilor condensatorului, aşa cum este el indicat pe cadran.

Osciloscopul : ⇒ este un aparat electronic de labora-

tor, destinat vizualizării unor caracteristici ale curenţilor electrici variabili, cum ar fi intensitatea sau frecvenţa

xy +

sursa deelectroni

plăci de deflexie

-

ecran

⇒ funcţionarea osciloscopului se ba-zează pe devierea unui fascicol paralel de electroni (emis de catodul tubului catodic al osciloscopului) în zona de suprapunere a două câmpuri electrice (sau magnetice) cu linii de câmp perpendiculare atât între ele, cât şi faţă de direcţia fascicolului de elec-troni

⇒ dacă tensiunea electrică variabilă de măsurat (Uy) se aplică plăcilor de deflexie verticale atunci fascicolul de electroni este deviat în direcţie verticală, pro-porţional cu valoarea acestei tensiuni

⇒ analog, aplicarea unei tensiuni plăcilor de deflexie orizontale determină devie-rea orizontală a fascicolului de electroni

⇒ la capătul drumului său fascicolul de electroni cade pe un ecran fluorescent, ceea ce are ca rezultat apariţia în locul de impact a unui punct luminos, numit spot

⇒ dacă spotul se deplasează suficient de rapid, mişcarea sa nu poate fi urmărită cu ochiul şi se creează impresia că pe ecran există o linie luminoasă care evidenţiază traiectoria spotului

39

Adunarea (sau compunerea) oscilaţiilor perpendiculare are loc atunci când un punct material participă simultan la două mişcări oscilatorii pe direcţii per-pendiculare.

Figurile Lissajous :

40

⇒ reprezintă traiectoriile urmate de corpurile care oscilează simultan după două direcţii perpendiculare

⇒ ele sunt curbe închise atunci când raportul celor două frecvenţe de oscilaţie este un număr raţional (adică raportul a două numere întregi) ⇒ o figură Lissajous se înscrie într-un dreptunghi de bază 2Ax şi înălţime 2Ay, unde Ax şi Ay reprezintă amplitudinile oscilaţiei orizontale, respectiv celei ver-ticale

⇒ dacă se notează cu nx numărul punctelor de tangenţă ale unei figuri Lissajous închise cu latura orizontală a dreptunghiului circumscris şi cu ny numărul punctelor de tangenţă cu latura verticală, atunci este valabilă relaţia:

νν

x

y

y

x

nn

=

unde νx şi νy sunt frecvenţele celor două oscilaţii.

Metoda celor mai mici pătrate: este utilizată pentru a construi funcţia y(x) = Ax + B care aproximează cel mai bine pe-rechile de date experimentale (x1, y1), (x2, y2),…, (xn, yn) dreapta y(x) se trasează astfel încât suma pătratelor distanţelor de la fiecare punct ex-perimental la această dreaptă să fie minimă. se poate demonstra că valorile coeficien-ţilor A şi B se calculează cu relaţiile:

2Ay

2Ax

di

nx=3

y(x) = Ax + B

xi, yi

ny=2

xAyB;xx

yxxyA −=

−

−= 22

xx

ny

y

nx

x

nxy

x y

n

ii

n

ii

n

ii

n

i ii

n

= = = == = =∑ ∑ ∑

1 1 2

2

1 1 ; ; ; =∑

41

PRINCIPIUL METODEI

Dacă poate fi examinată traiectoria unui punct material care participă simultan la două mişcări oscilatorii pe direcţii perpendiculare, atunci este posibilă determinarea raportului frecvenţelor de oscilaţie. Cunoscând una dintre frecvenţe, cealaltă poate fi determinată prin calcul.

Pentru a măsura pe această cale frecvenţa unei surse de curent electric alternativ, este suficient să aplicăm tensiunea dată de sursă plăcilor de deflexie verticală ale tu-bului catodic al unui osciloscop electronic, provocând astfel oscilaţia verticală a fas-cicolului de electroni. De asemenea este necesar ca pe plăcile de deflexie orizontală să se aplice tensiunea alternativă generată de o sursă-etalon, determinând în acest mod şi oscilaţia orizontală a fascicolului electronic. Consecinţa este că punctele de impact ale fascicolului de electroni cu ecranul tubului catodic vor forma o figură Lissajous. Cunoscând frecvenţa sursei-etalon şi examinând figura Lissajous, astfel încât să determinăm raportul frecvenţelor de oscilaţie, vom afla frecvenţa sursei de etalonat cu relaţia :

ν νyx

yx

nn

=

De exemplu, pentru figura prezentată în cuprinsul referatului lucrării practice se obţi-ne :

ν νy x=32

Frecvenţa astfel calculată, considerată ca frecvenţa reală a curentului furnizat de sursa de etalonat, se compară cu frecvenţa citită pe cadranul acestei surse, a cărei valoare ν'y se presupune a fi eronată.

Scopul operaţiunii de etalonare este acela de a atribui o valoare corectă fiecărei diviziuni de pe cadranul sursei de etalonat. Deoarece sur-sa de curent electric alternativ cercetată a mai fost etalonată în momentul construcţiei, este de aşteptat ca abaterile de la valorile măsurate ale frecvenţei la valorile citite pe cadran să fie mici, iar frecvenţa reală să fie o funcţie practic liniară de frecvenţa citită. În aceste condiţii operaţiunea de etalonare se reduce la aceea de a trasa grafic dreapta corespunzătoare.

νy (Hz) (frecvenţa reală)

ν'y (Hz)(frecvenţa indicată de scala aparatului)

Deoarece orice determinare experimentală comportă erori de măsurare sau de altă natură, este previzibil că punctele experimentale nu se vor aşeza cu precizie de-a lungul unei drepte. De aceea, pentru a trasa dreapta va trebui utilizată metoda celor mai mici pătrate.

42

MATERIALE ŞI APARATE

generator de curent electric alternativ sursă-etalon de curent electric alternativ

osciloscop electronic conductoare electrice de conexiune

SCHIŢA DISPOZITIVULUI EXPERIMENTAL

2

10

9

7 8

11 126

3

4

5

1

EXPLICAŢII : (1) generator-etalon, (2) generator care trebuie etalonat, (3) osci-loscop, (4) şi (7) disc cu scala de măsură a frecvenţei, (6) şi (12) butoane pentru re-glajul fin al frecvenţei, (5) şi (8) potenţiometre pentru reglarea valorii tensiunii de ie-şire, (9) ecranul osciloscopului, (10) buton de reglare pe orizontală a poziţiei spotului, (11) buton de reglare pe verticală a poziţiei spotului.

43

MOD DE LUCRU

se branşează sursa etalon (1), generatorul de etalonat (2) şi osciloscopul electro-nic (3) la reţeaua electrică şi se pun în funcţiune

se verifică dacă sursa etalon este conectată la intrarea Ox a osciloscopului, iar generatorul de etalonat la intrarea Oy

se reglează dimensiunile figurii Lissajous de pe ecranul osciloscopului cu ajuto-rul potenţiometrelor (5) şi (8) şi se centrează figura rotind butoanele (10) şi (11) ale osciloscopului

se fixează de la butonul (6) frecvenţa sursei etalon, indicată de cadranul (4), la prima valoare notată în tabelul de rezultate

se reglează cu butonul (12) frecvenţa generatorului de etalonat până la formarea figurii Lissajous având caracteristicile din tabelul de rezultate

se citeşte frecvenţa sursei de etalonat pe cadranul (7) şi i se notează valoarea în tabelul de rezultate se repetă determinările până la completarea coloanei ν'y a acestui tabel se calculează mediile :

νν

ν νν ν

''

''

y

yi

y y

y yi

i i

= == =∑ ∑

1

10

1

10

10 10 ;

i

se calculează panta A cu relaţia :

A y y y=−ν ν ν' '440

64900

se calculează valoarea coordonatei punctului de intersecţie al graficului cu axa Oy, utilizând relaţia :

B A y= −440 ν'

se face reprezentarea grafică a relaţiei νy = Aν'y + B, trecându-se în acelaşi grafic şi poziţiile punctelor experimentale

operaţiunile relatate în caseta de mai sus se pot face mai uşor prelucrând datele în modul prezentat în lucrarea „Prelucrarea datelor experimentale”

44

PRELUCRAREA DATELOR

ETALONAREA UNUI GENERATOR DE OSCILAŢII ELECTRICE UTILIZÂND

METODA FIFURILOR LISSAJOS nr. crt. νx

(Hz) nx ny νy

(Hz) ν'y

(Hz) 1 1 3 100

REZULTATE

FINALE

νy = Aν'y + B

B

A

νy = .........ν'y + ..........

2 1 2 150 3 300 1 1 300 4 2 3 200 5 3 2 450 6 1 1 600 7 3 2 900 8 600 4 3 800 9 2 3 400 10 5 6 500

STUDENŢI

8

6

4

2

νy (102Hz)

0 2 4 6 8 10 ν'y (102Hz)

GRAFICUL FRECVENŢEI REALE ÎN FUNCŢIE DE FRECVENŢA MĂSURATĂ

1) 2) 3) 4)

SEMNĂTURA CADRULUI DIDACTIC

VU

VITEZA DE PROPAGARE A

ULTRASUNETELOR ÎNTR-UN LICHID

unde acustice viteza de propagare a unde-lor acustice în lichide ultrasunete tren de unde generator şi detector de ul-trasunete defectoscop

Viteza sunetelor în lichide sau solide are valori destul de mari. De exemplu, într-un mediu continuu din oţel valoarea sa este de 6100 m/s. Aceste valori mari fac dificilă măsurarea directă a vitezei, ca raport între distanţa parcursă şi timp, deoarece pentru corpuri de dimensiuni obişnuite intervalele de timp sunt ex-trem de mici. Cu toate acestea, se pot imagina şi metode de măsurare directă, una dintre ele fiind prezentată în lucra-rea de faţă, împreună cu toate constrân-gerile inerente acestei metode.

CUVINTE CHEIE

TEMA APLICAŢIEI

SCOPUL APLICAŢIEI

Determinarea experimentală a vitezei de propagare a ul-trasunetelor în apă distilată şi măsurarea coeficientului de com-presibilitate al apei.

45

46

DEFINIŢII ŞI FORMULE

Undele acustice :

⇒ sunt unde mecanice longitudinale ⇒ se pot propaga în medii solide, lichide şi gazoase ⇒ reprezintă un fenomen de transfer al energiei, fără transport de substanţă ⇒ într-un mediu omogen şi izotrop, viteza lor de propagare (denumită şi viteză

de fază) este constantă, având aceeaşi valoare în toate direcţiile

Viteza de propagare a undelor acustice într-un lichid : ⇒ se calculează conform relaţiei :

βρ=

1v

unde β este coeficientul de compresibilitate adiabatică al lichidului, iar ρ este densita-tea lichidului

⇒ valoarea sa depinde de natura lichidului, frecvenţa undei acustice şi tempera-tura lichidului

Ultrasunetele sunt unde acustice cu frecvenţă mai mare de 16.000 Hz.

Trenul de unde : ⇒ reprezintă (spre deosebire de unda plană armonică) o perturbaţie având întin-

dere spaţială sau temporală limitată ⇒ poate fi modelat matematic ca o suprapunere de unde plane armonice ⇒ poate fi aproximat cu o undă armonică plană doar dacă durata sa este cu mult

mai mare decât perioada de oscilaţie a undei plane (ceea ce este echivalent cu a spune că extinderea sa spaţială este cu mult mai mare decât lungimea de undă a undei plane)

Generatorul de ultrasunete : ⇒ este un aparat electronic complex ⇒ principiul său de funcţionare este următorul :

⇒ se generează un curent electric alternativ de foarte înaltă frecvenţă (de ordi-nul a 1 MHz sau mai mult)

⇒ acest curent elec-tric alternativ trecând printr-o bobină generează un câmp magnetic varia-bil în timp

Generator de curent electric alternativ

⇒ deoarece miezul bobinei este construit dintr-o ferită magneto-strictivă, câmpul magnetic variabil determină variaţia dimensiunilor sale geo-metrice, astfel încât mie-zul oscilează mecanic cu o frecvenţă egală cu cea a curentului alternativ

⇒ vibraţiile mecanice ale feritei sunt în fapt sursa undei acustice

Detectorul de ultrasunete : ⇒ este un aparat electronic, cuplat constructiv cu un generator de ultrasunete ⇒ este echipat cu un disc de ceramică piezoelectrică, care pus în oscilaţie meca-

nică prin interacţiune cu unda acustică se polarizează sau se depolarizează electric cu o frecvenţă egală cu a undei acustice

⇒ sarcina electrică de polarizare a discului generează un câmp electric variabil care este amplificat electronic, punându-se astfel în evidenţă unda acustică incidentă

Defectoscopul : ⇒ este un aparat electronic, care are posibilitatea de a genera şi a recepţiona ul-

trasunete ⇒ principala sa caracteristică este aceea că poate măsura intervalul de timp între

emisia unui tren de ultrasunete şi recepţionarea sa ⇒ există mai multe modele constructive, unele prevăzute cu un singur palpator

(care are atât rol de emiţător, cât şi de receptor), altele prevăzute cu două palpatoare (dintre care unul este emiţătorul, iar celălalt receptorul). Timpul de propagare al ul-trasunetului între emisie şi recepţie este fie marcat pe un afişaj digital, fie evidenţiat pe ecranul unui tub catodic

⇒ în general, este întrebuinţat pentru măsurători nedistructive. De exemplu, cu ajutorul unui defectoscop se poate determina locul unde o piesă metalică are un defect de turnare, fără distrugerea piesei.

47

48

PRINCIPIUL METODEI

Ne propunem să utilizăm o metodă directă de măsurare a vitezei de pro-pagare a undelor acustice în apă distilată.

În acest scop trebuie determinate experimental atât lungimea drumului parcurs de unda acustică (∆s), cât şi intervalul de timp necesar (∆t). Viteza de propagare se calculează în acest caz cu relaţia:

tsv

∆∆

=

În acest scop, va trebui să închidem o cantitate de apă distilată într-o incintă având dimensiuni relativ mici. Dimensiunile incintei în care se află apa distilată nu pot depăşi câţiva centimetri, rezultând că traseul parcurs de unda acustică trebuie să aibă o lungime de acelaşi ordin de mărime. Viteza de propagare a undelor acustice în apă este de ordinul de mărime a 1500 m/s. Prin urmare, timpul necesar parcurgerii unei distanţe de un centimetru este de ordinul de mărime :

∆t = = ⋅ −1 6 7 10 6 cm1500 m / s

s = 6,7 s, µ

Valoarea extrem de redusă a timpului de propagare pe care dorim să-l mă-surăm are consecinţe extrem de importante asupra tipului de unde acustice care trebuie folosite şi asupra aparaturii experimentale utilizate.

Intervalul de timp ne-cesar propagării ar putea fi măsurat cu un cronometru electronic, între momentul în care un tren de unde părăseş-te sursa acustică şi momentul în care acelaşi tren de unde ajunge la un detector aflat la celălalt capăt al traseului. Pentru ca măsurătoarea să fie

afectată de erori cât mai mici este necesar ca lungimea trenului de unde (∆l) să fie mult mai mică decât distanţa pe care o are de străbătut acesta (∆s). Numai în acest caz

λ

∆l v

∆s

Detector de sunet

Sursa de sunet

el poate fi aproximat cu un punct material, astfel încât să fie valabilă relaţia de calcu-lare a vitezei amintită anterior. Matematic, transcriem condiţia astfel :

∆l << ∆s O valoare acceptabilă minimă ar putea fi : ∆s = 5 ∆l. Pe de altă parte lungimea trenului de unde ar trebui să fie, la rândul ei, mult mai mare decât lungimea de undă :

λ << ∆l Şi valoarea minimă acceptabilă în acest caz ar putea fi : ∆l = 5 λ. Rezultă :

λmin =∆s25

Pentru ∆s = 1 cm obţinem λmin = 0,4 mm. Având în vedere relaţia dintre lungi-mea de undă şi viteza de fază a unei unde :

ν=λ

v

unde ν reprezintă frecvenţa, rezultă pentru o viteză de fază de 1500 m/s o frecvenţă minimă :

νmin ,= =1500 3 75 m / s

0,4 mm MHz

Conform acestui calcul estimativ rezultă că în condiţiile experimentale date, având la dispoziţie o cuvă cu dimensiunea de ordinul a câţiva centimetri, nu poate fi măsurată prin această metodă directă decât viteza de propagare a unor unde acustice având frecvenţa superioară valorii de 1MHz.

Deci metoda de măsurare directă propusă poate da rezultate corecte doar dacă dispunem de o sursă de ultrasunete de foarte înaltă frecvenţă (ν > 1 MHz), de un detector capabil să pună în evidenţă asemenea ultrasunete şi de un crono-metru electronic care măsoară intervale de timp cu o rezoluţie minimă de 0,1 µs.

Pentru că între emiţător şi receptor ultrasunetul nu străbate doar stratul de apă distilată, existând în drumul său şi pereţii cuvei sau suportul pe care este aşezată aceasta, este necesar ca în scopul determinării intervalului de timp de propagare prin apă să facem două măsurători :

⇒ prima dintre ele cu receptorul lipit de fundul cuvei (∆t') ⇒ a doua, lăsând între receptor şi fundul cuvei o distanţă ∆s (∆t")

Intervalul de timp necesar ultrasunetului să se propage prin stratul de apă de grosime ∆s se poate calcula utilizând rezultatele celor două măsurători, după relaţia :

∆t = ∆t" - ∆t' Grosimea stratului de apă aflat între receptor şi fundul cuvei se determină cu ajutorul unei rigle gradate, de-a lungul căreia se deplasează un cursor legat rigid de receptorul de ultrasunete.

49

MATERIALE ŞI APARATE

aparatul ultrasonic N 2702 (având şi rol de cronometru electronic) sursa de alimentare a aparatului ultrasonic

două traductoare de ultrasunete (emiţătorul şi receptorul) dispozitivul de susţinere a cuvei şi traductoarelor

rigla gradată

12

1

10

3

2

9

11 13

8

7

5

4

6

EXPLICAŢII : (1) palpator, emiţător de ultrasunete, (2) palpator, receptor de ultrasu-nete, (3) sistem de prindere, cu riglă gradată şi cursor, (4) suport pentru cuva cu apă, (5) apă distilată, (6) defectoscop, prevăzut cu cronometru electronic, (7) şi (8) firele de legătură între defectoscop şi palpatoare. NOTĂ : Instalaţia din laborator permite măsurarea vitezei la diferite temperaturi. De aceea, ea este prevăzută şi cu unele elemente suplimentare, care nu sunt folosite în experimentul de faţă. Aceste elemente sunt : (9) termometru, (10) cămaşă de termos-tatare prin care poate circula apă încălzită la o temperatură prestabilită, (11) ultrater-mostat care reprezintă sursa de apă încălzită sau răcită, (12) ţevi prin care circulă agentul de răcire al termostatului, (13) furtunurile prin care apa circulă de la termostat la cămaşa de termostatare şi înapoi. Pentru a împiedica reflexia ultrasunetelor la su-prafeţele de separaţie între diferite elemente, acestea sunt unse cu un strat de vaselină.

50

51

MOD DE LUCRU

se racordează la reţeaua electrică şi se pun în funcţiune sursa de alimentare a apa-ratului ultrasonic şi aparatul ultrasonic

se coboară receptorul de ultrasunete până atinge fundul cuvei

se citeşte pe afişajul aparatului ultrasonic intervalul de timp ∆t' şi se notează va-loarea sa în tabelul de date

se ridică receptorul cu 0,5 cm, măsurându-se deplasarea acestuia pe rigla gradată, prevăzută cu vernier

se citeşte şi se notează noua valoare a intervalului de timp ∆t”

se fac în total 10 determinări, mărind de fiecare dată distanţa dintre receptor şi fundul cuvei cu câte 0,5 cm

dacă receptorul iese din apă înaintea epuizării celor 10 măsurători, ele se conti-nuă prin coborârea receptorului

după completarea tabelului de date se întrerupe funcţionarea aparatului ultrasonic şi a sursei sale de alimentare, deconectându-se, după caz, de la reţeaua electrică

se calculează pentru fiecare dintre măsurători intervalele de timp ∆t, vitezele de propagare corespunzătoare şi se trec valorile obţinute în tabel.

se calculează valoarea medie a vitezei de propagare a ultrasunetului, abaterea pă-tratică medie şi eroarea relativă

se calculează coeficientul de compresie adiabatică al apei şi eroarea de măsurare. Se poate lua densitatea apei ca fiind egală cu 1000 kg/m3.

52

PRELUCRAREA DATELOR

MĂSURAREA VITEZEI ULTRASUNETELOR ÎN APĂ

DISTILATĂ Nr. crt.

∆s (cm)

∆t' (µs)

∆t" (µs)

∆t = ∆t" - ∆t' (µs) t

sv∆∆

=

(m/s) 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

εβ = ………… %

βapă = ………… m2/N

εv = ………… %

σv = ………… m/s

<v> = ………… m/s

REZULTATE FINALE STUDENŢI

1) 2) 3) 4)

SEMNĂTURA CADRULUI DIDACTIC

PS

MĂSURAREA NIVELULUI DE

POLUARE SONORĂ

propagarea sunetelor presiunea sonoră, câmp so-nor intensitatea undei sonore tăria sunetului intensitatea sonoră nivelul de intensitate acusti-că subiectivitatea percepţiei acustice ponderarea nivelului de in-tensitate acustică măsurarea zgomotelor sonometrul

Ingineria mediului este un domeniu tehnic aflat în plin avânt. Integrarea României în Uniunea Europeană presu-pune şi adaptarea legislaţiei mediului la normele europene. În acest context, po-luarea sonoră este unul din domeniile de mare interes. În marile aglomerări urba-ne există numeroase surse de poluare sonoră, dintre care să pomenim doar tra-ficul rutier. Poate, în timpul orelor de curs aţi fost deranjaţi de zgomotul pro-venit din stradă. Este util să ştiţi să mă-suraţi nivelul de zgomot, pentru a putea lua apoi măsuri împotriva poluării sono-re. De aceea, dorim să vă familiarizăm cu unele noţiuni de bază.

CUVINTE CHEIE

TEMA APLICAŢIEI

SCOPUL APLICAŢIEI

Măsurarea nivelului de poluare sonoră stradală.

53

54

DEFINIŢII ŞI FORMULE

Propagarea sunetelor are loc sub formă de unde elastice. În medii gazoase şi lichide undele sonore sunt unde longitudinale (adică oscilaţiile particulelor me-diului, induse de undă, au loc pe direcţie paralelă cu direcţia de propagare). În solide sunetele se pot propaga atât ca unde longitudinale, cât şi ca unde transver-sale (la care oscilaţia particulelor mediului are direcţie perpendiculară celei de propagare).

Variaţia de presiune înregistrată într-un punct al materialului în timpul propagă-rii undei elastice, în comparaţie cu presiunea în absenţa undei, se numeşte presi-une sonoră şi poate constitui o măsură a prezenţei undei şi a calităţii acesteia. Totalitatea presiunilor suplimentare generate în mediul elastic alcătuieşte un câmp de presiune sonoră, denumit uneori şi câmp sonor.

Intensitatea sonoră este cantitatea de energie sonoră transportată în medie în unitatea de timp, prin unitatea de suprafaţă perpendiculară direcţiei de propagare a sunetului şi caracterizează din punct de vedere obiectiv tăria unui sunet :

tn

s

dtdSdWI =ν

În cazul unei unde sonore plane, armonice, de frecvenţă bine stabilită, se poate arăta că intensitatea undei sonore are forma matematică :

cpp

cI efsmax

ρ=⋅

ρ=

22

21

unde ps,max este presiunea sonoră maximă, ρ este densitatea mediului, iar c este viteza de fază a undei. Factorul ρc se numeşte impedanţă sonoră, iar raportul psmax

/ 2 este desemnat ca presiune efectivă, pef.

Intensitatea sonoră minimă care mai poate fi sesizată de analizatorul auditiv uman se numeşte intensitatea pragului de audibilitate. Valoarea intensităţii sonore ce corespunde pragului de audibilitate este o funcţie de frecvenţa sunetu-lui. Domeniul de maximă sensibilitate al urechii umane este cuprins între frec-venţele de 600 Hz şi de 7000 Hz. În acest interval pot fi percepute sunete de in-tensitate I = 10-12-10-11 W/m2. S-a ales ca valoare standard a pragului de au-dibilitate intensitatea pragului de audibilitate al sunetului pur cu frecvenţa de 1000 de Hz :

I0 = 10-12 W/m2

Există pentru fiecare frecvenţă şi o valoare maximă a intensităţii care mai poate fi suportată fără a produce efecte ireversibile asupra aparatului auditiv. Aceasta este aşa-numita intensitate a pragului de durere. Intensitatea pragului de dure-re este mai mică în intervalul de frecvenţe pentru care urechea este mai sensibilă (0,1 W/m2 la 6000 Hz), ajungând pentru alte frecvenţe până la 10 W/m2.

Tăria unui sunet este o mărime legată, pe de-o parte, de cantitatea de energie pe

care o transportă unda sonoră şi, pe de altă parte, de efectul auditiv pe care-l produce sunetul. Din cauza caracterului subiectiv al percepţiei auditive, efectul auditiv şi energia undei nu se află într-o simplă relaţie de proporţionalitate. Din acest motiv trebuie să utilizăm mărimi fizice diferite pentru a caracteriza tăria sunetului, fie din punctul de vedere obiectiv al transportului de ener-gie sonoră, fie din punctul de vedere subiectiv al efectului auditiv.

Nivelul de intensitate acustică se foloseşte deoarece valorile numerice extreme

ale intensităţilor sonore care trebuie luate în consideraţie în ceea ce priveşte efectul auditiv diferă prin 13 ordine de mărime. Nivelul intensităţii acustice se defineşte ca fiind de zece ori logaritmul zecimal al raportului dintre intensi-tatea sonoră a sunetului considerat şi intensitatea standard a pragului de audibilitate :

L II

= 100

lg

Unitatea de măsură a nivelului intensităţii acustice este decibelul, cu simbolul dB.

Subiectivitatea percep-ţiei acustice face ca su-nete având acelaşi nivel al intensităţii acustice să provoace senzaţii auditi-ve diferite. Graficul ală-turat prezintă variaţia pragului de audibilitate în funcţie de frecvenţa sune-telor pure, pentru persoa-ne tinere, normale din punct de vedere auditiv. Se observă că spre limite-

le extreme ale domeniului de frecvenţe, pragul de audibilitate creşte mult, iar va-lorile minime sunt întâlnite pentru frecvenţe între 500 şi 5000 de Hz.

dB 60 40 20 0

20 50 100 200 500 1000 2000 5000 10000 Hz

Pragul de audibilitate în funcţie de frecvenţă

55

Măsurarea zgomotelor se face de cele mai multe ori prin transformarea semna-lului acustic în semnal electric şi analizarea ulterioară a acestuia. În acest scop este necesară folosirea unui traductor sunet-curent electric, denumit în mod uzual microfon.

Sonometrul este un aparat portabil, destinat măsurării nivelului de presiune so-

noră. El poate furniza şi informaţii obiective privind energia sonoră, dar este prevăzut şi cu un etaj de ponderare a intensităţii acustice, astfel încât poate avea un răspuns faţă de sunet asemănător celui al urechii umane. În figura de mai jos este reprezentată schema de principiu a unui sonometru :

sunet

M Ampli-ficator

Reţele de

ponde-rare

Ampli-ficator

Filtre externe

Redre-sor de valori eficace

ieşire

Circuit de menţinere

Instru-ment de măsură

Microfonul transformă sunetul în semnal electric. Primul amplificator determi-nă creşterea amplitudinii semnalului electric înainte de intrarea în reţelele de ponderare sau în filtrele externe. Rolul reţelei de ponderare este acela de a mode-la modul subiectiv al percepţiei sonore umane. Circuitul de menţinere are rolul de-a menţine acul indicator al instrumentului de măsură la valoarea maximă atinsă în cursul determinării. Borna de ieşire este destinată facilitării conectării sonometrului la un înregistrator extern. Instrumentul de măsură este acela care permite vizualizarea rezultatului determinării.

Ponderarea intensităţii acustice se face utilizând circuite electronice care mo-

delează subiectivitatea percepţiei acustice. În cele mai multe dintre situaţii, uni-tatea de măsură a nivelului ponderat al intensităţii acustice este decibelul(A).

56

57

PRINCIPIUL METODEI

O întrebare pe care ne-o putem pune este următoarea : dacă unei surse de zgo-mot, caracterizată de nivelul intensităţii acustice L1, i se adaugă o altă sursă de zgomot cu nivelul intensităţii acustice L2, cât va fi nivelul rezultant al intensităţii acustice ? Răspunsul :

L = L1 + L2

este greşit ! Să explicăm în continuare de ce acest răspuns este greşit. Formula nivelului intensităţii acustice este :

010

IIlgL =

unde I este intensitatea zgomotului, iar I0 este intensitatea de referinţă. În cazul suprapunerii a două zgomote, energiile celor două unde sonore se însumează, astfel încât intensitatea totală este :

21 III += Cum :

100

010

10

L

IILIIlg ⋅=⇒=

rezultă :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⇒⋅+⋅=⋅

−10101010

010

010

0

12121

1011010101010LLLLLLL

III

0 5 10 15 20 25 300

2.55

7.510

12.515

17.520

22.525

27.530

Diagramă pentru adunarea nivelelor de intensitate sonoră

Prin logaritmare, rezultă

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−10

12

101LL

+= 1

1010lgLL

sau :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=

−10

1

12

10110LL

lgLL

Pe baza acestei relaţii se poate con-strui o diagramă pentru adunarea nivelelor de intensitate sonoră. Diagrama poate fi utilizată astfel :

Să presupunem că se compun zgomotele cu nivelele de intensitate sonoră 60 dB, respectiv 65 dB. Nivelul rezultant se calculează astfel :

⇒ Diferenţa între nivelele sonore este de 5 dB ⇒ Se citeşte ordonata punctului de abscisă egală cu diferenţa nivelelor sonore (în

cazul nostru, diferenţei de 5 dB îi corespunde abscisa de 6 dB) ⇒ Se adaugă această valoare nivelului cel mai mic de intensitate sonoră (în cazul

nostru, 60 dB). Rezultatul este nivelul rezultant al intensităţii sonore (în cazul nostru, 66 dB). Problema cu care se confruntă persoana care măsoară nivelul de poluare sonoră stradală este asemănătoare.

În cazul că se măsoară nivelul de poluare sonoră, nu interesează faptul că se suprapun mai multe surse de zgomot la acelaşi moment de timp, ci medierea intensităţilor sonore pe o anumită durată.

De exemplu, într-un cartier rezidenţial, confortul sonor este asigurat dacă, în orele de seară, media intensităţii sonore nu depăşeşte o anumită valoare. Evident, in-tensitatea sonoră nu este constantă (zgomotul poate fi produs de mijloacele de transport în comun care nu trec permanent, ci cu o anumită periodicitate). În aceste condiţii, trebuie măsurată întreaga energie sonoră degajată în intervalul de timp con-siderat, găsită valoarea medie care revine unităţii de timp şi calculat pe baza acesteia nivelul mediu al intensităţii sonore. Cu un aparat care măsoară doar nivelul momen-tan al intensităţii sonore, această operaţie prezintă anumite dificultăţi. Acestea pot fi evitate în modul următor :

• se recurge la eşantionarea măsurătorilor • prin aceasta se înţelege că măsurătorile de nivel acustic se repetă la intervale

scurte de timp (de exemplu, de câte un minut)

• se consideră că nivelul acustic este constant pe întreaga durată a intervalu-lui de timp considerat

• se calculează energia sonoră corespunzătoare unui interval de timp :

100

01010

kL

kk

k IIIIlgL ⋅=⇒=

100 10

kL

kkk

k StIStIWtS

WI ⋅δδ⋅=δδ=δ⇒δδ

δ=

58

• se calculează energia sonoră totală (N este numărul de măsurători) :

∑∑==

δδ=δ=N

k

LN

kk

k

StIWW1

100

110

• se calculează energia medie care revine unui interval de timp şi intensitatea co-

respunzătoare :

∑=

=δδ

δ==δ

N

k

Lk

INSt

WI;

NWW

1

100 101

• se calculează nivelul acustic mediu :

Nlg

II

lgL

N

k

Lk

∑=== 1

10

0

101010

• valoarea obţinută trebuie să se încadreze între nivelul sonor maxim şi nivelul

sonor minim

• la fel se poate proceda şi pentru calcularea nivelului acustic ponderat, măsurat în dB(A)

Rezultatele determinărilor experimentale se pot reprezenta într-o histogramă (cum este aceea din figura alăturată), pu-nând în evidenţă valoarea me-die a nivelului de zgomot şi lo-cul unde s-au făcut măsurători-le.

40

50

60Distributia nivelului de zgomot

cale ferata

nive

l de

zgom

ot (d

B(A

))

Nivelul mediu

59

MATERIALE ŞI APARATE

sonometru RFT 00014 pistofon pentru etalonare

7

6

3

2

5

1

4

EXPLICAŢII : (1) microfon, (2) comutator pentru stabilirea tipului de măsurare, (3) comutator pentru stabilirea domeniului de măsură, (4) buton pentru verificarea stării de încărcare a bateriilor, (5) butonul de pornire a aparatului, (6) locaşul din pistofon în care se introduce microfonul sonometrului în timpul etalonării, (7) comutatorul ca-re permite pornirea sau oprirea pistofonului.

60

61

MOD DE LUCRU

se verifică starea de încărcare a bateriilor apăsând pe butonul (4) (acul instrumen-tului de măsură trebuie să se oprească în zona 6-10 dB) se porneşte aparatul apăsând butonul (5) se etalonează sonometrul cu ajutorul pistofonului. Pistofonul are ca piesă princi-pală un vibrator, alimentat de la baterii, care generează un sunet de frecvenţă şi in-tensitate bine determinate. Pentru etalonare: se fixează comutatorul (2) în poziţia „LIN” se fixează domeniul de măsură de 110 dB cu comutatorul (3) se porneşte pistofonul cu butonul (7) se introduce microfonul (1) al sonometrului în locaşul (6) al pistofonului indicaţia instrumentului de măsură trebuie să fie în acest moment de 6 dB (nive-lul sonor fiind de (110 + 6) = 116 dB) dacă această condiţie nu este îndeplinită sonometrul nu este corect etalonat şi tre-buie chemat cadrul didactic pentru a pune la punct aparatul se întrerupe alimentarea pistofonului şi acesta se îndepărtează, sonometrul fiind acum pregătit pentru măsurătorile propriu-zise se deplasează aparatul la locul măsurătorilor (pe o arteră circulată) pentru efectuarea măsurătorii comutatorul (3) este adus într-o poziţie care permi-te ca acul instrumentului de măsură să nu se stabilească la una dintre extremităţile cadranului valoarea nivelului sonor (care trebuie notată) este dată de suma dintre indica-ţia citită pe cadran şi cifra care indică domeniul de măsură stabilit cu ajutorul comutatorului (3) se trece comutatorul (2) pe poziţia „A” care corespunde punerii în funcţiune a fil-trelor care simulează percepţia auditivă a urechii umane, se citeşte şi se notează noua valoare indicată de aparatul de măsură se repetă toate operaţiile de măsură anterioare, la intervale de timp de câte un mi-nut, de încă 14 ori după terminarea măsurătorilor se revine în laborator, se întocmeşte histograma nivelelor acustice, se prelucrează datele şi se obţin valorile medii ale nivelului acustic şi nivelului acustic ponderat toate operaţiile de prelucrare a datelor, precum şi întocmirea histogramelor se poate face cu programul Excel

62

PRELUCRAREA DATELOR

MĂSURAREA NIVELULUI DE POLUARE SONORĂ Nr. crt. Lk (dB)

1010kL

LAk (dB(A))

1010AkL

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

HISTOGRAMA NIVELULUI DE ZGOMOT ÎN FUNCŢIE DE TIMP

STUDENŢI

<LA> = ……… dB(A)

<L> = ……… dB

REZULTATE FINALE

1) 2) 3)

SEMNĂTURA CADRULUI

DIDACTIC

EA

DETERMINAREA EXPONENTULUI ADIABATIC AL

GAZELOR PERFECTE CU BALONUL

CLÉMENT-DESORMES

gaz perfect transformări simple ale gazelor perfecte transformarea adiabatică exponentul adiabatic balonul Clément-Desormes manometru diferenţial cu lichid

Procesele adiabatice sunt procesele în cursul cărora sistemul termodinamic nu schimbă căldură cu exteriorul. În cazul gazelor ideale, căldurile molare depind de exponentul adiabatic. Cunoaşterea valorii exponentului adiabatic permite calcularea căldurilor molare ale gazului în cursul proceselor la care este supus acesta. Într-o transformare adiabatică variaţia parametrilor de stare depinde de exponentul adiabatic. Tema aplicaţiei este studiul transformării adiabatice a gazului ideal în scopul calculării expo-nentului adiabatic.

CUVINTE CHEIE

TEMA APLICAŢIEI

SCOPUL APLICAŢIEI

Determinarea pe cale experimentală a exponentului adia-batic al aerului.

63

64

DEFINIŢII ŞI FORMULE

Gazul perfect :

⇒ este un model fizic şi matematic idealizat care descrie comportamentul expe-

rimental al gazelor aflate în anumite condiţii fizice ⇒ este caracterizat de patru parametri de stare, după cum urmează :

⇒ presiunea, notată cu p şi măsurată în pascal (1 Pa = 1 N/m2) ⇒ volumul, notat cu V şi măsurat în m3 ⇒ temperatura, notată cu T şi măsurată în kelvin ⇒ numărul de moli, notat cu ν şi măsurat în kmol

⇒ se supune aşa numitei ecuaţii de stare a gazelor perfecte : pV = νRT

unde R se numeşte constanta gazelor perfecte şi are valoarea : R ≈ 8310 J/(kmol⋅K)

În condiţii uzuale de temperatură şi presiune starea fizică a marii majorităţi a substanţelor gazoase este descrisă cu bună aproximaţie de ecuaţia de stare a gazelor perfecte.

Transformările simple ale gazelor perfecte : ⇒ reprezintă transformările de stare ale unei cantităţi de gaz perfect care se efec-

tuează astfel încât unul dintre parametrii de stare rămâne constant ⇒ se clasifică astfel :

⇒ transformarea izotermă, adică transformarea în cursul căreia temperatura gazului rămâne constantă. Ecuaţia transformării izoterme (numită şi legea Boyle-Mariotte) este de forma :

pV = const. ⇒ transformarea izobară (numită şi legea Gay-Lussac), caracterizată de

faptul că presiunea rămâne constantă în cursul transformării. Ecuaţia transformării izobare este :

VT

const= .

⇒ transformarea izocoră (numită şi legea lui Charles), caracterizată de fap-tul că volumul rămâne constant în cursul transformării. Ecuaţia transformării izo-core este :

pT

const= .

Transformarea adiabatică : ⇒ este transformarea în cursul căreia gazul nu schimbă căldură cu exteriorul ⇒ este descrisă de ecuaţia :

.constpV =γ unde γ este exponentul adiabatic, definit ca raportul dintre căldura molară la presiune constantă (adică cantitatea de căldură necesară unui mol de gaz pentru a-şi varia temperatura cu un Kelvin) şi căldura molară la volum constant :

⇒ poate avea loc doar dacă gazul este înconjurat de un înveliş care nu permite schimbul de căldură cu mediul exterior Dacă transformarea unui gaz decurge suficient de rapid pentru ca inerţia termi-că a pereţilor incintei ce-l conţine să împiedice schimbul de căldură cu exteriorul, atunci transformarea poate fi considerată adiabatică.

Balonul Clément-Desormes :

∆h

3 2

1

⇒ este un recipient cu pereţi de sticlă, de mari dimensiuni

⇒ este prevăzut cu trei orificii, dintre care primul comunică cu o pompă care permite in-troducerea aerului în balon, al doilea comunică cu atmosfera, iar cel de-al treilea face legătura cu un manometru diferenţial

⇒ primele două orificii pot fi închise cu ajutorul unor robinete

Manometrul diferenţial este un instrument utilizat pentru măsurarea diferenţei de presiune între două incinte ce conţin gaz.

Manometrul cu lichid : ⇒ este un tip de manometru diferenţial ⇒ este constituit dintr-un tub de sticlă în formă de U şi conţine o cantitate de li-

chid ⇒ cele două capete ale tubului sunt racordate la incintele a căror diferenţă de

presiune trebuie măsurată (eventual unul din capete poate fi în legătură cu atmosfera) ⇒ presiunea din incinta corespunzătoare ramurii în care nivelul lichidului este

mai coborât este mai mică decât presiunea din cealaltă incintă cu cantitatea : ∆p = ρg∆h

unde simbolurile semnifică : ρ: densitatea lichidului

65

g : acceleraţia gravitaţională (9,8 m/s2) ∆h : denivelarea lichidului manometric

⇒ în funcţie de valoarea diferenţei de presiune ce trebuie măsurată, lichidul ma-nometric poate fi unul uşor (apa) sau unul greu (mercurul)

⇒ precizia măsurătorii este dată de acurateţea determinării diferenţei de nivel şi poate fi influenţată de ascensiunea capilară a lichidului

66

ASPECTE TEORETICE

Se poate determina exponentul adiabatic al aerului supunând o cantitate din acest gaz la o transformare adiabatică.

Dacă ne propunem ca transformarea adiabatică să fie o destindere, atunci este necesar ca mai întâi să facem astfel ca presiunea aerului cu care lucrăm să fie mai ma-re decât presiunea atmosferică. Vom proceda în consecinţă la un şir de trei transfor-mări simple ale unei mase date de aer :

izotermă adiabată izocoră

p0+∆p' T0

V' ν p0 T0-∆T

V' ν p0+∆p T0

V0-∆V ν p0 T0

V0 ν

1° o comprimare izotermă, în urma căreia presiunea creşte de la valoarea p0 (pre-siunea atmosferică) la valoarea (p0 + ∆p), iar volumul scade de la valoarea V0 la va-loarea (V0 - ∆V), cu ∆p<< p0 şi ∆V<< V0. 2° o destindere adiabatică astfel încât presiunea revine la o valoare egală cu pre-siunea atmosferică. Se poate scrie ecuaţia acestei transformări adiabatice :

( )( )p p V V p V0 0 0 0+ − =∆ ∆ γ γ' Conform ecuaţiei de stare a gazului perfect obţinem :

( )( ) ( )p p V V RT p V R T T0 0 0 0 0+ − = = −∆ ∆ ∆ν ν ; ' Din cele trei ecuaţii rezultă :

10

1 1

0 0+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −

−∆

∆p

pT T T

γ

În condiţiile în care ∆p<< p0 se poate face aproximaţia :

1 1 1 10

1 1

0+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ≈ + −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−∆ ∆pp

pp

γ

γ

Substituind în ecuaţia transformării adiabatice, ne rămâne : 1 1

00γ

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ≈ −

∆∆

pp

T T

3° o transformare izocoră, în cursul căreia temperatura revine la valoarea iniţială T0. Ecuaţia acestei transformări este :

pT T

p pT

0

0

0

0−=

+∆

∆ '

După ce se face aproximaţia ∆T∆p' ≈ 0, ne rămâne : T p p T0 0 0∆ ∆'− =

Eliminând pe ∆T, rezultă :

T p pp

T p00

0 01 1 0∆

∆'+ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

γ

sau :

γ =−∆

∆ ∆p

p p'

Adică : coeficientul adiabatic se poate determina cunoscând variaţiile de presiu-ne ale gazului în urma transformării izoterme şi a transformării adiabatice.

Modalitatea practică de a realiza acest şir de transformări este următoarea :

1° Cu ajutorul unei pompe de mână se introduce lent aer atmosferic în balonul Clément-Desormes. Se realizează astfel transformarea izotermă. 2° Se deschide robinetul care face legătura cu atmosfera, iar aerul din balon se des-tinde brusc. În acest mod se efectuează transformarea adiabatică. 3° După închiderea robinetului de legătură cu atmosfera se aşteaptă câteva minute reîncălzirea gazului din balon la temperatura camerei. Aceasta este transformarea izo-coră. Variaţiile de presiune ∆p şi ∆p' se determină măsurând denivelările lichidului manometric. Cum ∆p = ρg∆h şi ∆p' = ρg∆h', rezultă în final :

γ =−∆

∆ ∆h

h h'

67

MATERIALE ŞI APARATE

balonul Clément-Desormes

∆h

3 2

1

4

5

EXPLICAŢII : (1) robinet, (2) robinet, (3) scală gradată, (4) tub manometric, (5) pompă de cauciuc.

68

69

MOD DE LUCRU

Se deschide robinetul (1) şi se închide robinetul (2)

Se pompează lent aer în balon, urmărind ca denivelarea între ramurile manome-trului să atingă 15-20 cm.

Se închide robinetul (1).

Se măsoară şi se trece în tabel denivelarea ∆h.

Se deschide pentru scurt timp robinetul (2), după care se închide din nou.

Se aşteaptă 7-8 minute încălzirea aerului din balon la temperatura camerei.

Se măsoară şi se trece în tabel denivelarea ∆h' indicată de manometru.

Se repetă determinările de zece ori.

Se calculează valorile corespunzătoare ale exponentului adiabatic.

Se calculează valoarea medie a exponentului adiabatic cu relaţia :

γγ

= =∑ ii 1

10

10

Se calculează abaterea pătratică medie a exponentului adiabatic cu formula :

( )δγ

γ γ=

−=∑ ii

2

1

10

9

Se calculează şi se trece în tabel eroarea relativă :

εδγγ

=

70

PRELUCRAREA DATELOR

DETERMINAREA EXPONENTULUI ADIABATIC AL GAZELOR PERFECTE CU BALONUL CLÉMENT-DESORMES

Nr. crt.

∆h

(mm)

∆h'

(mm)

γ =−∆

∆ ∆h

h h'

γ ε

δγγ

=

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

STUDENŢI

1) 2) 3) 4)

SEMNĂTURA CADRULUI DIDACTIC

71

CUPRINS

PD – PRELUCRAREA DATELOR EXPERIMENTALE ………………………….3 TK – DETERMINAREA VITEZEI DE PROPAGARE A SUNETELOR PRIN AER UTILIZÂND TUBUL KÖNIG ……………………………………………………..29 FL – ETALONAREA UNUI GENERATOR DE OSCILAŢII ELECTRICE UTILIZÂND METODA FIGURILOR LISSAJOUS ………………………………37 VU – VITEZA DE PROPAGARE A ULTRASUNETELOR ÎNTR-UN LICHID …45 PS – MĂSURAREA NIVELULUI DE POLUARE SONORĂ …………………….53 EA – DETERMINAREA EXPONENTULUI ADIABATIC AL GAZELOR PER-FECTE CU BALONUL CLÉMENT-DESORMES ………………………………...63