NUMERE ÎNTREGI

1. Primii paşi pentru lărgirea noţiunii de număr 2. Terminologie

1. Primii paşi pentru lărgirea noţiunii de număr. În şcoala generală, noţiunea de

număr se lărgeşte treptat. Pornind de la mulțimea numerelor naturale (inclusiv zero), se

introduc întâi fracţiile, apoi numerele întregi. În linii mari se respectă ordinea în care

au apărut aceste numere în decursul dezvoltării matematicii - dar numai în linii mari.

Grecii antici, şi-au dat seama de existenţa mărimilor incomensurabile şi au studiat

unele iraţionalităţi, dar nu au cunoscut numerele negative - dacă facem abstracţie de

Diofante.

Dintre cei doi paşi care se fac pentru a lărgi noţiunea de număr, al doilea, este

cu mult mai greu, din următoarele motive:

Numerele naturale au o semnificaţie concretă directă. Orice număr natural

poate fi privit ca rezultat al numărării, oricărui număr natural elevul îi poate asocia

imaginea, mai mult sau mai puţin clară, a mulţimii corespunzătoare. Numerele naturale

au, într-o anumită măsură, totdeauna un caracter concret. Acelaşi lucru se poate spune

şi despre fracţii. De exemplu, fracţia 5/12 reprezintă 5 părţi dintr-un întreg împărţit

în 12 părţi egale. La numerele întregi, însă, lucrurile sunt mai complicate. Pe lângă

valoarea absolută, care exprimă mărimea propriu-zisă, apare şi semnul „+” sau „-”.

Aceste numere nu sunt numai rezultatul unei numărări sau măsurări, ele nu răspund

numai la întrebarea: „cât?” ci şi la întrebarea: „ce fel?” Datorită acestui fapt, legătura

cu realitatea se face mai greu.

Şi mai mare este deosebirea la operaţii. În aritmetică, fiecare din cele patru

operaţii are o semnificaţie concretă: a aduna înseamnă a strânge laolaltă, a mări; a face

o scădere înseamnă a scoate, a micşora ş.a.m.d. (apar unele greutăţi, şi anume:

înmulţirea unui număr cu o fracţie, care nu mai este o adunare repetată). Chiar după ce

elevii şi-au însuşit bine mecanismul de calcul cu numere naturale şi cu fracţii,

semnificaţia concretă a numerelor şi operaţiilor constituie pentru ei o rezervă ascunsă,

care poate fi oricând adusă la suprafaţă. Numerele şi operaţiile păstrează într-o

anumită măsură aderenţe concrete. Acest lucru este asigurat şi prin sensul pe care-l au

cuvintele a aduna, a înmulţi şi celelalte în limba obişnuită.

Lucrurile se schimbă când se trece la numerele întregi. Dacă la adunare şi, într-o

oarecare măsură, la scădere se mai poate face apel la vechea semnificaţie concretă,

acest lucru este cu totul imposibil la înmulţire şi la împărţire. Efectiv, se trece aici la

matematica formală. Se operează cu simboluri după legi bine determinate, fără ca

legătura cu lumea materială, concretă, să se poată face în fiecare moment. Problema de

„a înţelege” operaţiile nu se mai pune. Cum să „înţelegi” că (-)•(-) = +? Ce înseamnă a

înţelege?

În aritmetică se deosebesc la fiecare operaţie două laturi: 1) „ce înseamnă” acea

operaţie şi 2) cum se află rezultatul ei? De exemplu, în cazul împărţirii a:b, unde a şi b

sunt numere naturale, se explică întâi că a împărţi a prin b înseamnă a afla de câte ori

„se cuprinde” b în a şi apoi se învaţă cum se afla câtul. La operaţiile cu numere întregi,

2

prima latură nu există (cu excepţia adunării). În matematică, o operaţie cu numere este

definită prin faptul că se arată ce număr se obţine compunând două numere date.

Datorită acestor greutăţi, numerele întregi se introduc atât de târziu, abia la algebră.

Totuşi, în ultimul timp a apărut tendinţa de a se da unele noţiuni despre numerele

negative începând din clasa a 3-a, şi anume să se dea numai noţiunea de număr întreg

(negativ) şi să se trateze numai adunarea, eventual şi scăderea. Această tendinţă îşi

găseşte justificarea în faptul că numerele negative intervin în viaţa de toate zilele, în

special la determinarea temperaturii. Greutăţile semnalate mai sus nu apar dacă se

tratează numai primele două operaţii.

3

2. Terminologie. Este cazul să lămurim şi o chestiune de terminologie: ce nume trebuie

să dăm numerelor noi care se introduc la începutul cursului de algebră?

În cărţile mai vechi, dintre care unele circulă şi astăzi, aceste numere sunt

numite numere algebrice. Această denumire nu este în concordanţă cu terminologia

ştiinţifică. Un număr algebric este un număr care satisface o ecuaţie algebrică, adică o

ecuaţie de forma P(x) = 0, unde P(x) este un polinom cu coeficienţi întregi. Numerele

raţionale şi radicalii sunt numere algebrice, căci orice număr de forma x = b

a (a, b

întregi, b 0) satisface ecuaţia cu coeficienţii întregi bx – a = 0, iar orice radical a (a

întreg pozitiv) satisface ecuaţia cu coeficienţi întregi xn – a = 0. Noțiunea de număr

algebric se opune noţiunii de număr transcendent („care trece dincolo de orice ecuaţie

algebrică”). Cele mai importante numere transcendente sunt şi e.

Apariţia termenului de număr algebric are o explicaţie istorică. El este o formă

nouă a termenului număr cosic, folosit în special în sec. al XVI-lea în Europa Centrală,

unde algebra se numea Coss. Menţinerea lui astăzi nu ar aduce nici un folos.

Unii folosesc denumirea de numere raţionale. Socotim că acest termen nu este

fericit, căci dă impresia, greşită, că numerele pe care elevii le-au folosit în aritmetică

nu ar fi raţionale. De obicei, un termen nou se introduce pentru a marca o opoziţie. De

exemplu, termenul număr algebric a apărut când s-a descoperit că există numere care

nu sunt algebrice. În acest sens, termenul de număr raţional ar trebui introdus în

şcoală atunci când se introduc numerele iraţionale.

Foarte răspândită este denumirea de numere întregi. Împotriva acestui termen

se poate obiecta că el nu se foloseşte în ştiinţă. În matematică există numere naturale,

întregi, raţionale ş.a.m.d. dar nu există numere relative. Totuşi, considerăm că acest

termen este cel mai potrivit. El exprimă cel mai bine elementul nou pe care-l aduc

aceste numere. Cu ajutorul lor se caracterizează anumite mărimi nu prin proprietăţile

lor intrinsece („mărimi absolute”), ci în raport cu un punct de referinţă. De exemplu, un

segment de 3 cm are o lungime de 3 cm oriunde ar fi aşezat, dar punctul M de abscisă

+3 sau -3 are această abscisă în raport cu un punct anumit, luat ca origine.

Neconcordanţa cu terminologia ştiinţifică este justificată de faptul că în şcoală se

urmează în lărgirea noțiunii de număr o altă ordine decât în construcţia sistematică.

Un cuvânt despre termenii pozitiv şi negativ. Astăzi, aceşti termeni sunt unanimi

acceptaţi. Dacă avem în vedere sensul propriu al acestor cuvinte, ele nu sunt antonime.

În perioada de formare a terminologiei algebrice se foloseau cuvintele pozitiv şi

privativ, care exprimau că este vorba de o mărime care se pune, respectiv se ia, şi

cuvintele afirmativ şi negativ, care exprimau o afirmaţie, respectiv o negaţie. Este

curios că dintre aceste două perechi de antonime, pozitiv-privativ şi afirmativ-negativ,

s-a format perechea mixtă pozitiv-negativ, formată din câte un termen din fiecare

pereche.

Să observăm cu această ocazie că sensul matematic al cuvintelor pozitiv şi

negativ este pe punctul de a suferi o mică schimbare. Există, în special în analiză,

tendinţa de a considera numărul zero ca fiind atât pozitiv cât şi negativ.

4

CORPUL NUMERELOR RAŢIONALE

1. Apariţia numerelor negative 2. Elementele care au concurat la

formarea numerelor negative 3. Apariţia regulilor de calcul cu numere

negative 4. Încercările de a demonstra regulile de calcul cu numere

negative

1. Apariţia numerelor negative. Dintre cei doi paşi prin care se trece de la mulţimea

numerelor naturale la mulţimea numerelor raţionale, primul s-a făcut foarte devreme,

iar al doilea foarte târziu. În cele mai vechi documente matematice, începând cu

manuscrisul lui Ahmes (Egipt, sec. XX-XVII î.e.n.), se tratează calculul cu fracţii, pe

când numerele negative s-au încetăţenit definitiv în matematică abia în sec. al XIX-lea.

Explicaţia acestui fapt este foarte simplă. Nevoia de a măsura mărimi continue

(lungimi, suprafeţe etc), care a dus la noţiunea de fracţie, a apărut încă din vremurile

când mijloacele de producţie au fost foarte primitive, în timp ce numerele negative

corespund unor condiţii economice mai evoluate.

2. Elementele care au concurat la formarea numerelor negative. La formarea

noţiunii de număr negativ au concurat două elemente. Primul, care ar putea fi numit

elementul concret, constă în folosirea numerelor negative pentru a caracteriza

mărimile ce pot fi socotite în două sensuri (avere şi datorie, spre dreapta şi spre

stânga ş.a.m.d.), iar al doilea, care ar putea fi numit elementul operaţional, constă în

faptul că apăreau scăderi în care termenul al doilea este mai mare decât primul.

Elementul al doilea a jucat rolul motor. La început nu au existat probleme cu date

negative, numerele negative au apărut ca rezultate ale scăderii, ca soluţii ale unor

probleme, dar ele nu s-au impus definitiv decât din momentul în care li s-a putut da o

interpretare concretă.

Ideea de număr negativ apare, într-o anumită măsură, la Diofante (sec. III e.n.)

El vorbeşte de numere de scăzut (negative), spre deosebire de numerele de adunat

(pozitive); el dă chiar regula de înmulţire a două numere negative, dar la el numărul

negativ nu apare independent, ci ca scăzător. Regula lui spune că înmulțirea (a-b)(c-d)

dă produsele parţiale ac, -bc, -ad, +bd, dar numerele -b şi -d nu apar la el ca factori de

sine stătători. Totodată, el consideră numai diferenţe a-b, în care a>b, iar când, în

rezolvarea unei ecuaţii, ajunge la o soluţie pe care noi o numim negativă, el consideră

că ecuaţia este imposibilă.

Numerele negative apar sub o formă clară pentru prima oară la algebriştii din

India. Ei au o notaţie specială (un punct deasupra cifrei respective) şi termeni speciali

pentru numerele pozitive şi negative, care în limba obişnuită înseamnă, respectiv, avere

şi datorie. Ei folosesc aceste numere şi pentru a exprima lungimile unor segmente de

pe aceeaşi dreaptă, socotite într-un sens sau altul. Şi arabii considerau soluţiile

negative ca inacceptabile. Nici primii algebrişti europeni nu-l depăşesc pe Diofante. Cei

5

mai mulţi au o atitudine şovăielnică. În cursul dezvoltării algebrei se înregistrează

oscilaţii.

Astfel, Leonardo din Pisa (sec. XIII), într-o problemă de asociaţie care duce la o

soluţie negativă, consideră problema imposibilă, dar adaugă că problema ar avea un sens

dacă partea unuia dintre asociaţi ar fi o datorie. Unii algebrişti din sec. al XVI-lea, ca,

de exemplu, Cardano, admit şi soluţii negative şi le numesc numere fictive, spre

deosebire de numerele adevărate, dar marele algebrist Fr.Vieté (sec. XVII) nu admite

soluţii negative. Până şi Descartes (sec. XVII), care este considerat ca întemeietorul

geometriei analitice, foloseşte numai ordonate negative, nu şi abscise negative - deci

numerele negative numai ca rezultate, nu ca date, iar literele pot lua, în general, numai

valori pozitive.

Fuziunea dintre cele două elemente, cel operaţional şi cel concret, şi rolul

predominant al primului îşi găsesc expresia în faptul că semnele „+” şi „-”, care erau

semne de operaţii, apar nemijlocit şi ca semne pentru numerele pozitive, respectiv

negative.

3. Apariţia regulilor de calcul cu numerele negative. Invenţia numerelor negative

merge mână în mână cu găsirea regulilor după care se operează cu ele. Despre felul în

care s-a ajuns la aceste reguli se ştie prea puţin, în cărţile din timpul Renaşterii, ele

apar în diferite formulări, uneori în versuri, dar totdeauna sub forma dogmatică, ca

nişte constatări sau imperative, fără nici o motivare. Nicăieri nu se arată clar pe ce

cale s-a ajuns la ele. Încercări de a le deduce apar cu mult mai târziu, dar prin ele nu se

urmăreşte obţinerea unor rezultate noi, ci explicarea unor fapte deja cunoscute.

Situaţia era asemănătoare cu cea care apare deseori în ştiinţele naturii, unde se cunosc

o serie de fapte pe care nu le contestă nimeni şi se caută doar explicaţia lor. Regulile

înseşi erau considerate ca date, ele fiind moştenite de la arabi. Totuşi, se poate afirma

că la găsirea acestor reguli au contribuit trei factori: 1) analogia cu numerele pozitive,

2) folosirea simbolurilor algebrice şi 3) practica.

1) Analogia cu numerele pozitive s-a folosit în mod tacit, de exemplu când s-a

dedus regula semnelor din formula după care se înmulţesc două diferenţe, cu notaţia

de azi: (a-b)(c-d) = ac-bc-ad+bd. Din faptul că ultimul termen este pozitiv, + bd, s-a

tras concluzia că produsul a două numere negative „trebuie” să fie pozitiv. Această

formulă poate avea o valoare euristică, ea poate da o indicaţie de cum se înmulţesc

numerele întregi, dar din ea nu se pot deduce regulile căutate.

Întradevăr, a deduce din această formulă că (-b)(-d) = + bd înseamnă a considera

cazul particular când a = c = 0. Dar formula este valabilă numai când a > c şi b > d;

altfel, a - c sau b - d devin negative şi folosirea formulei în acest caz este un abuz

logic, căci ar însemna că, înainte de a şti cum se înmulţesc două numere negative, ştim

cum se înmulţesc două diferenţe care sunt tot numere negative. S-a admis în mod tacit

că formula este în general valabilă, chiar dacă a < c sau b < d, şi datorită acestei

extinderi, datorită faptului că s-au folosit reguli vechi în condiţii mai largi decât cele

iniţiale, algebra a progresat. Se poate spune că numerele negative s-au strecurat în

matematică şi s-au aşezat alături de numerele pozitive pe locurile pe care aveau

dreptul să stea numai acestea. Acest lucru a devenit posibil datorită faptului că

6

matematicienii au început să noteze numerele prin litere. Din moment ce o literă

reprezintă un număr oarecare, era firesc, deşi naiv, să se menţină ca adevărate

diferitele formule, chiar dacă mulţimea la care s-a referit iniţial acest „oarecare” s-a

lărgit.

2) Un rol foarte însemnat l-au jucat simbolurile: notarea numerelor prin litere,

semnul „-” şi parantezele (sau semnele echivalente cu ele). Ele nu erau simple semne

grafice prin care se reprezintă noţiuni clare, ci chiar obiecte cu care se operează.

Uneori, acelaşi simbol are mai multe semnificaţii. Astfel, semnul „-” are trei

semnificaţii: a) el este semnul scăderii; b)dacă se pune semnul „-” în faţa unui număr

scris cu cifre, se obţine numărul negativ corespunzător, de exemplu: ;4

3:5 c) dacă x

este un număr relativ, -x este numărul opus lui x. Tot aşa, parantezele au mai multe

semnificaţii. Cele mai importante sunt: a) ele arată ordinea operaţiilor, de exemplu în

expresia a – (b + c) parantezele arată că se efectuează întâi adunarea şi apoi scăderea;

b) ele se folosesc pentru a evita apariţia a două semne consecutive, de exemplu -(-3)

înseamnă a scădea (-3) sau a lua opusul lui -3.

Cu toate acestea, se operează cu simboluri după aceleaşi reguli, indiferent de

semnificaţia lor. Datorită unei alegeri fericite a simbolurilor - de fapt nu a fost o

alegere făcută în mod conştient cu deplină claritate, simbolurile s-au impus de la sine în

urma unei lupte între ele, în care notaţiile nepotrivite au fost eliminate - s-a pus în

evidenţă unitatea din punct de vedere formal a unor lucrări cu conţinut diferit.

Deosebit de interesant este rolul pe care l-au jucat semnele „+” şi „-”. Iniţial, ele

au indicat, respectiv, adunarea şi scăderea. Apoi ele au fost folosite şi pentru a nota

numerele întregi. Dar lucrurile nu s-au oprit aici. în expresii ca +3 sau -3, semnele „+” şi

„-” aveau funcţia gramaticală de atribut pe lângă numărul 3. Cu timpul, ele au eclipsat

numărul şi au cucerit o poziţie independentă. În felul acesta s-a ajuns la regula

semnelor în forma ei generală. De exemplu, regula după care produsul a două numere

negative este pozitiv s-a scris sub forma (—a)(—b) = +ab. Aici se subînțelege, dar nu se

spune, că a şi b sunt numere pozitive. Această formulă se foloseşte apoi, oricare ar fi

semnele numerelor a şi b. De exemplu, se spune că (-2x)(-3y) = + 6xy, deşi s-ar putea

ca x şi y să fie negativi, deci ambii factori să fie pozitivi. Totuşi, se spune: „minus” ori

„minus” dă „plus”. Semnul copleșeşte simbolul în faţa căruia se află.

Datorită semnificaţiei multiple a simbolurilor şi rolului lor preponderent, s-a

ajuns la un adevărat calcul simbolic, care se poate rezuma în patru reguli: + cu + dă + ; +

cu – dă -; - cu + dă -; - cu – dă +, valabil atât la desfacerea parantezelor (adunarea şi

scăderea unor sume şi diferenţe), cât şi la înmulţire şi împărţire, precum şi la

transformarea unor expresii ca +(-3), -(-3) etc. Aceste reguli cu aspectul unor legi de

compoziţie a semnelor „+” şi „-”, nu a numerelor; operaţia nu se numeşte, se foloseşte

cuvântul „cu” (minus cu minus dă plus). Semnul „-” apare ca un operator care asociază

fiecărui număr opusul său, distributiv faţă de adunare şi scădere.

3) Aceste reguli nu au fost acceptate cu uşurinţă. Au apărut unele contradicţii şi

reticenţe. Ceea ce a făcut ca acest ansamblu de reguli atât de complex să se impună a

fost practica. El a fost acceptat pentru că dă rezultate care corespund unor fenomene

7

şi relaţii din realitate. Verificarea în practică a constituit singura bază solidă,

liniştitoare pentru algebriştii mai scrupuloşi.

Atât greutăţile de a lămuri lucrurile din punct de vedere teoretic, cât şi rolul

practicii sunt exprimate sub o formă emoţionantă în următoarele rânduri ale lui Clavius

(1544): „Se pare că trebuie să renunţăm la motivarea acestei reguli privind înmulţirea

numerelor cosice şi a semnelor + şi -. Trebuie să atribuim neputinţei omeneşti faptul că

nu poate pricepe de ce este adevărată. Dar de justeţea regulii înmulţirii nu trebuie să

ne îndoim pentru că este confirmată de multe exemple”. Algebra se numea cosa.

Numere cosice - numere folosite în algebră, adică numere întregi. Ultimele cuvinte nu

pot avea alt sens decât că regula este confirmată de practică. După cum se vede,

drumul de la „numerele de scăzut” ale lui Diofante până la ansamblul de reguli după care

se operează cu numere întregi aşa cum apar ele în manualele de astăzi n-a fost nici

rectiliniu, nici luminos.

4. Încercările de a demonstra regulile de calcul cu numere întregi. Calcule cu

numere negative s-au făcut foarte multă vreme, timp de secole, fără să existe o teorie

închegată a acestor numere. După cum am spus, în primele cărţi de algebră expunerea

era dogmatică. Există însă o excepţie. În lucrarea sa Summa (1494), Luca Pacioli

încearcă să demonstreze că la înmulţire „minus ori minus fac totdeauna plus”. În sec. al

XVIII-lea, după ce calculul algebric devenise un bun comun al matematicienilor,

încercările de a demonstra regulile de calcul cu numere întregi, în special regula

semnelor, devin frecvente. Matematicieni de seamă, de exemplu Clairaut, Laplace sau

Euler, au dat demonstraţii, în mod fatal eronate - astăzi orice student care a urmat un

curs de bazele algebrei le recunoaşte ca greşite.

Reproducem aici două dintre aceste demonstraţii, care reprezintă două moduri

diferite de a aborda problema. Iată demonstraţia lui Luca Pacioli.

„10m~

2 egal cu 8 înseamnă că 10m~

2 înmulţit cu 10m~

2 este egal cu 64; dar,

aplicând înmulţirea cruciş, obţinem 10 înmulţit cu 10 egal cu 100, apoi de două ori 10

înmulţit cu m~

2, ceea ce dă m~

40 şi, prin urmare, dă împreună 60, de unde rezultă că

m~ 2 înmulţit cu m~

2 trebuie să fie 4”.

Aceste rânduri nu pot constitui o demonstraţie, dar ele ne arată cum s-a ajuns la

regula semnelor. Ele arată cum se extinde o regulă dincolo de domeniul ei de

aplicabilitate. Întradevăr, se calculează (10-2) (10-2) şi se trage concluzia că (-2)(-2) =

+ 4. Pe de altă parte, simbolul „m~

” se foloseşte ca semn al scăderii şi pentru a arăta că

numărul respectiv este negativ; în expresia dată, 10m~

2 ori 10m~

2, simbolul „m~

” joacă

primul rol, iar la sfârşit, când se spune că m~

2 ori m~

2 este egal cu 4, rolul al doilea.

8

Euler se bazează mai mult pe semnificaţia concretă a numerelor întregi. Se

stabileşte întâi că (+a) (+6) = ab. Apoi se arată că, înmulţind (-a) cu 3, deci o datorie a

cu 3, se obţine o datorie de 3 ori mai mare, deci -3a, deci (-a)(+6) = - ab, şi se spune în

continuare:

„De aici tragem concluzia că, dacă înmulţim o mărime pozitivă cu una negativă,

produsul este negativ, de unde regula: + cu + dă + sau plus; dar + cu - sau - cu + dă - sau

minus”. Aşadar se justifică regula semnelor pentru cazul când primul factor este

pozitiv, iar al doilea este negativ şi se trage concluzia că regula obţinută este valabilă

când unul din factori, indiferent care, este pozitiv şi celălalt este negativ. Se admite

deci în mod tacit că înmulţirea este comutativă, ca în cazul numerelor pozitive. Pentru

cazul când ambii factori sunt negativi, -a şi -b, se arată că produsul este ab şi urmează

să se stabilească semnul.

„Zic că semnul nu poate fi -, căci -a înmulţit cu +6 dă -ab şi -a înmulțit cu -b nu

poate să dea acelaşi rezultat cu (-a) cu (+b), ci trebuie să dea rezultatul contrar, care

este +ab”. Dacă se acceptă acest argument, că (-a)(-b) nu poate să dea acelaşi rezultat

ca (-a)(+b), atunci acest produs nu poate fi egal nici cu +ab, căci în acest caz rezultatul

ar fi acelaşi ca la (+a)(+b). Ar urma că înmulţirea (-a)(-b) este imposibilă.

Toate încercările de a demonstra regulile de calcul cu numerele întregi erau

sortite eşecului câtă vreme s-a crezut că ele pot fi deduse din regulile cunoscute din

aritmetică. În această chestiune s-a făcut lumină abia către sfârşitul secolului trecut,

prin construcţia sistematică a inelului numerelor întregi şi a corpului numerelor

raţionale.

OBSERVAŢII METODOLOGICE ŞI METODICE

1. Ordinea istorică şi ordinea urmată în construcţia sistematică

2. Concluzii pentru învăţământ

1. Ordinea istorică şi ordinea urmată în construcţia sistematică. La corpul

numerelor raţionale se poate ajunge pe două căi, care pot fi reprezentate schematic

prin:

1) numere naturale - fracţii - numere raţionale şi 2) numere naturale - numere

întregi - numere raţionale, mai scurt: 1) N - Q+ - Q şi 2) N - Z - Q.

Acelaşi lucru arată figura de mai jos (etapele succesive sunt indicate prin cifre

arabe). Prima schemă reprezintă calea istorică şi totodată cea adoptată în învăţământ,

iar a doua - cea din construcţia sistematică. Neconcordanţa dintre aceste căi are unele

inconveniente. În primul rând vine faptul că la introducerea numerelor negative se iau

ca bază numerele pe care elevii le cunosc de la aritmetică, şi anume: numerele naturale

şi fracţiile (ordinare şi zecimale). Operațiile cu numere întregi se reduc, prin

intermediul noţiunii de modul al unui număr relativ, la operaţii cu aceste numere. Se

face astfel mereu apel la o mulţime de numere, s-o numim mulţimea A, care nu există în

ştiinţă. Aceste numere se numesc uneori numere aritmetice sau numere fără semn,

9

ceea ce este în contradicţie cu terminologia ştiinţifică; în ştiinţă există numere

naturale, întregi, raţionale etc, dar nu există numere aritmetice. Totuşi, în şcoală nu ne

putem lipsi de această clasă A şi de acest termen, atât de mult criticat. Această

abatere de la clasificarea ştiinţifică a numerelor şi de la terminologia ştiinţifică este o

consecinţă inevitabilă a faptului că în şcoală etapele lărgirii noţiunii de număr sunt

altele decât în construcţia sistematică.

În al doilea rând vine neconcordanţa dintre felul cum se defineşte numărul

raţional în ştiinţă şi în şcoală. În construcţia sistematică, un număr raţional este

reprezentat printr-o expresie de forma ,b

a unde a şi b sunt numere întregi, de

exemplu .4

3

În şcoală şi în practică, asemenea expresii nu sunt admise. Numerele

raţionale se scriu sub formă de fracţie aritmetică precedată de semnul ,,+”sau „-”;

expresia ,4

3

de exemplu, trebuie pusă sub forma .

4

3 Cu privire la faptul că

b

a este

numai un reprezentant al numărului raţional, iar numărul raţional este o clasă.

În sfârşit menţionăm faptul că, dacă numerele 1,2,3, ... se numesc, atât în şcoală

cât şi în ştiinţă, numere naturale, nu există o denumire convenabilă pentru numerele de

forma b

a unde a şi b sunt numere naturale, ca

5

3,

2

1 etc, atât de mult folosite în

practică.

2. Concluzii pentru învăţământ. Cele ce precedă ne permit să înţelegem situaţia din

învăţământ şi să tragem unele concluzii. Algebra elementară se predă astăzi ca acum

200 de ani. Cele arătate mai sus, despre apariţia şi motivarea regulilor de calcul cu

numere întregi, reprezintă în acelaşi timp şi o descriere a modului în care se predă şi

astăzi în şcoală calculul cu numere întregi. Elevii cei mai buni au, la absolvirea şcolii,

despre aceste numere o idee care corespunde în linii mari situaţiei de pe timpul lui

Euler. Pentru ei, numerele negative sunt, categoric, deosebite de numerele

„aritmetice”. Despre numerele pozitive ei nu au o idee clară: aceste numere sunt

deosebite de cele „aritmetice”, căci se scriu cu semnul „+” în faţă, totuşi acest semn

poate fi omis, ceea ce înseamnă că un număr pozitiv este acelaşi lucru cu numărul

„aritmetic” corespunzător, de exemplu +3 este tot una cu 3.

10

Regulile de calcul se predau mai mult sau mai puţin dogmatic. Unele dintre ele se

motivează prin semnificaţia concretă a numerelor şi a operaţiilor - deci se foloseşte

criteriul practicii, ca la primii algebrişti - altele se dau fără motivare. Elevii îşi

însuşesc: ansamblul regulilor de calcul datorită unui număr mare de exerciţii, le aplică

pe urmă în cadrul algebrei şi în alte discipline matematice şi obţin rezultate

„adevărate”. Ei capătă astfel încredere în acest sistem de reguli şi simboluri datorită

eficienţei lui şi datorită autorităţii cărţilor - aşa cum s-au petrecut lucrurile în

decursul istoriei algebrei. Mai mult, şi unii elevi manifestă o anumită nelinişte în

legătură cu unele reguli; ei se întreabă de ce? - întrebare care rămâne fără răspuns.

În sfârşit, apar şi astăzi din partea unor profesori încercări de a da un simulacru

de demonstraţie - ca la unii matematicieni din trecut. Legea biogenetică funcţionează

din plin! Ce ar fi de făcut în prezent?

În primul rând, în şcoală trebuie urmată şi de acum înainte ordinea N - Q+ - Z.

Această ordine este deplin justificată prin considerente de ordin practic şi pedagogic:

fracţiile joacă în practică, un rol cu mult mai mare decât numerele negative, ele

intervin în acţiunile cele mai simple din viaţa de toate zilele, iar operaţiile cu fracţii se

învaţă cu mult mai uşor decât operaţiile cu numere întregi.

În al doilea rând, în învăţământ nu se poate începe cu expunerea sistematică.

Pentru a putea înţelege construcţia logic-deductivă, elevii trebuie să fie familiarizaţi

cu noţiunile cu care se operează, ei trebuie să aibă o anumită experienţă. Trebuie

respectată legea biogenetică. Construcţia sistematică s-a făcut după ce calculul cu

numere întregi era cunoscut. Dacă un profesor ar începe capitolul despre numere

întregi astfel: „Considerăm toate perechile ordonate de numere naturale (a,b)...” apoi

ar introduce relaţia de echivalenţă, ar defini operaţiile ş.a.m.d., elevii l-ar urmări

foarte greu. Nu se cunoaşte nici o experienţă de acest fel, dar este foarte probabil că

n-ar da rezultate. În lipsa unui material concret şi fără să ştie ce rost au aceste

lucruri, elevilor le-ar fi foarte greu nu numai să înţeleagă, ci chiar să înregistreze ceea

ce spune profesorul. În şcoală trebuie urmată calea genetică.

Aceasta nu înseamnă că modul în care se predă acum algebra în şcoală trebuie să

rămână acelaşi pentru vecie. Se întrevăd pentru viitorul apropiat unele modificări, atât

pentru şcoala generală cât şi pentru liceu, datorită cărora ideile matematicii moderne

să pătrundă în şcoală.

Pe de o parte, este necesar ca elevii să aibă idei mai clare despre noţiunea de

număr întreg şi fracţionar. Elevii trebuie să înţeleagă că aceste numere sunt clase, nu

obiecte individuale. Acest lucru este deosebit de necesar în cazul fracţiilor, unde se

abuzează întrucâtva de semnul „=”. Se scrie de exemplu ,8

6

4

3 deşi aceste fracţii nu

sunt egale, semnul „=”exprimă identitatea, iar aceste fracţii nu sunt identice, căci

84,63 . Trebuie explicat că ,...12

9,

8

6,

4

3 formează unul şi acelaşi număr şi, când se

scrie ,8

6

4

3 aceasta nu înseamnă că cele două fracţii au „aceeaşi valoare” (ce este

„valoarea” unui număr?!) ci că ele sunt doi reprezentanţi ai aceluiaşi număr; când avem

11

de adunat 4

3 cu

6

5, adunăm

12

9 cu ;

12

10 aceasta înseamnă că alegem din clasa lui

4

3 şi din

clasa lui 6

5 câte un alt reprezentant convenabil, cu numitori egali, şi îi adunăm. Aceste

lucruri se pot preda în şcoala generală fără să se facă teoria abstractă a perechilor.

Există experienţe în acest sens. Aceasta în ceea ce priveşte şcoala generală.

Pe de altă parte, în prezent, toată algebra se reia de la început în prima clasă a

liceului. Primele pagini din manual conţin, de obicei, o serie de banalităţi. Într-un

învăţământ concentric bine realizat s-ar putea găsi posibilitatea ca, în acest cadru, să

se arate, sub o formă convenabilă, în ce constă construcţia sistematică.

ELEMENTE DE TEORIA MULŢIMILOR

1. Locul acestei teme 2. Introducerea noţiunii de mulţime

3. Operaţii cu mulţimi 4. Exerciţii la această temă

1. Locul acestei teme. Noţiunea de mulţime joacă un rol fundamental în matematica

modernă. Există propunerea de a introduce această noţiune chiar începând din clasa I

şi de a o folosi tot timpul, în special în cadrul algebrei elementare ar trebui folosită

aproape tot timpul, îndeosebi la precizarea mulţimilor numerice pe care se consideră

diferitele expresii algebrice şi ecuaţiile. Prin faptul că aceste noţiuni au fost introduse

în programă s-a făcut un prim pas. În cadrul acestei lucrări vom merge, însă, pe linia

tradiţională. Considerăm că locul cel mai potrivit pentru această temă este înainte de

introducerea numerelor întregi. În favoarea acestei idei pledează două fapte. În primul

rând vine faptul că avem tendinţa să asociem o noţiune nouă cu ideile şi imaginile de

care a fost însoţită atunci când am întâlnit-o pentru prima oară. Dacă noţiunea de

mulţime se introduce în cadrul inecuaţiilor, se dă elevilor impresia greşită că noţiunea

de mulţime este legată în mod deosebit de acest capitol. În al doilea rând vine faptul

că, procedând astfel, avem ocazia să trecem în revistă diferitele mulţimi de numere pe

care le cunosc elevii: mulţimea numerelor naturale, întregi, raţionale etc. şi să arătăm

relaţiile de incluziune care există între ele.

2. Introducerea noţiunii de mulţime. Dat fiind că această noţiune este foarte

generală, în sensul că elementele unei mulţimi pot fi obiecte absolut oarecare, se

recomandă să se înceapă cu mulţimi formate din obiecte concrete, din viaţa de toate

zilele.

Noţiunea de mulţime este considerată ca o noţiune primară, care nu se

defineşte. Sensul ei se dezvăluie prin exemple. De aceea, în prima lecţie, se anunţă

subiectul şi se trece la exemple ca următoarele: elevii dintr-o clasă a şcolii, elevii

dintr-o şcoală, locuitorii unei comune, unui judeţ etc, cărţile dintr-o bibliotecă,

problemele din cartea de algebră, dreptunghiurile, pătratele, cercurile, numerele

naturale, numerele divizibile cu 2, cu 3 ş.a.m.d., fracţiile ordinare, fracţiile ordinare cu

numărătorul 1, fracţiile ordinare cu numitorul 5 ş.a.m.d.

12

Totodată se arată cum se notează mulţimile (finite): se scriu simbolurile prin

care se notează elementele mulţimii, despărţite prin virgule, şi totul se pune între

acolade. De exemplu, mulţimea formată din elevii Andrei, Barbu, Constantin, Dumitru şi

Emil, notaţi respectiv cu A, B, C, D, E se scrie {A, B, C, D, E}; mulţimea numerelor prime

mai mici decât 20 este {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}. Ordinea în care se scriu aceste

simboluri nu are nici o importanţă. De exemplu, {1, 2, 3}, {3, 1, 2}, {2, 1, 3} ş.a.m.d.

reprezintă aceeaşi mulţime.

Tot acum se introduce simbolul pentru apartenenţă. De exemplu, dacă A este

mulţimea formată din literele x, y, z, adică A = {x,y,z}, atunci xA, yA, zA, dar

mA, nA. Printre exemple, trebuie să figureze neapărat mulţimea de puncte de pe o

dreaptă şi, cu această ocazie, se dă noţiunea de interval, deschis, închis ş.a.m.d. După

ce s-a dat astfel o primă idee despre noţiunea de mulţime, trebuie precizate

următoarele: 1) elementele unei mulţimi trebuie să fie deosebite unul de altul; 2) o

mulţime nu trebuie neapărat să fie formată din multe elemente - există mulţimi

formate dintr-un singur element, precum şi mulţimi care nu conţin nici un element.

Aceste fapte se arată prin exemple ca următoarele: mulţimea literelor

cuvântului carte este {c,a,r,t,e}, dar mulţimea literelor cuvântului casa este {c,a,s} nu

{c,a,s,a}; mulţimea cifrelor numărului 37572 este {3,7,5,2}, nu {3,7,5,7,2}; mulţimea

cifrelor cu soţ ale numărului 1654 este {6,4}; de aici se trece uşor la mulţimea vidă. Se

cere elevilor să spună care este mulţimea cifrelor cu soţ ale numărului 3159. Răspuns:

această mulţime este vidă.

Un procedeu mai puţin arid este următorul: profesorul cere ca toţi elevii pe

care-i cheamă Ion să se scoale în picioare; se vor ridica 3-4 elevi. Profesorul explică:

„Elevii Ion Popescu, Ion Arhip, ... formează mulţimea elevilor din această clasă care au

prenumele Ion”. Apoi profesorul cere ca toate elevele care au prenumele Elena să se

scoale în picioare. Aceeaşi explicaţie. După aceea profesorul cere ca toţi elevii pe care-

i cheamă Calistrat (se poate lua un alt nume rar) să se scoale în picioare - se obţine o

mulţime vidă.

În sfârşit se arată ce se înţelege prin mulţimi egale. În strânsă legătură cu

noţiunea de apartenenţă se introduce noţiunea de incluziune. Mulţimea B este inclusă în

mulţimea A, dacă orice element al mulţimii B aparţine şi mulţimii A. Se scrie BA sau

A B („B este inclus în A” şi „A include B”). Simbolurile „ ” şi „ ” pot fi puse în

legătură cu semnele „<” şi „>” (semnul „ ” este semnul <, dar rotunjit). De exemplu,

dacă A = {1,2,3,4,5} şi B = {2,4}, atunci BA. Noţiunea de incluziune se poate ilustra

printr-o schiţă. Nu este cazul să se facă distincţie între incluziunea strictă şi

incluziune în sens larg.

3. Operaţii cu mulţimi. Programa prevede reuniunea şi intersecţia mulţimilor. Ar fi

bine să se prevadă şi produsul cartezian. Pentru a introduce noţiunea de reuniune, este

bine să se înceapă cu exemple, lăsându-i pe elevi să înţeleagă pe baza cuvântului

reuniune în ce constă această operaţie. Se consideră, de exemplu, mulțimea formată

din toţi elevii care au căpătat la ultima lucrare notele 5, 6 şi 7 - se cere ca ei să se

scoale în picioare şi după ce au fost identificaţi să se aşeze. Ei formează o mulţime A.

Apoi se cere ca toţi elevii care au o notă mai mare decât 7 să se scoale în picioare şi se

13

procedează la fel. Ei formează o mulţime B. Acum se cere ca elevii care au obţinut cel

puţin nota 5 să se scoale în picioare. Se obţine o mulţime nouă C, care este reuniunea

mulţimilor A şi B, ceea ce se scrie C = AB. Simbolul provine de la litera U.

Urmează câteva exemple abstracte ca:

.,,,;5,4,3,2,14,25,2,1 xbaxba

Elevii îşi formează astfel ideea incompletă că reuniunea este formată din toate

elementele celor două mulţimi. Pentru aceasta, se cere, de exemplu, să se afle {1, 2,

3} {2, 3, 4}. Răspunsul nu este {1, 2, 3, 2, 3, 4}, ci {1, 2, 3, 4} - fiecare element se ia o

singură dată; simbolul {1, 2, 3, 2, 3, 4} nu reprezintă o mulţime. Acest fapt poate fi

ilustrat prin exemplul următor: dacă contopim două colecţii de timbre pentru a forma o

singură colecţie, timbrele care se găsesc în ambele colecţii se iau numai o singură dată.

Este util să se adauge următoarea observaţie: dacă una dintre mulţimi conţine a

elemente, iar cealaltă b elemente, reuniunea lor conţine a + b elemente numai dacă cele

două mulţimi nu au nici un element comun (sunt disjuncte); în cazul contrar, reuniunea

conţine mai puţin decât a + b elemente. După aceste explicaţii se poate da, eventual,

definiţia: Reuniunea a două mulţimi A şi B este formată din elementele care fac parte

din A sau din B, sau atât din A cât şi din B. Apoi se poate trece fără nici o explicaţie la

reuniunea a trei sau chiar a patru mulţimi şi arăta că reuniunea mulţimilor este

comutativă şi asociativă.

În mod analog se tratează intersecţia mulţimilor. Se poate porni de la felul în

care se foloseşte acest termen în geometrie. Când două drepte d şi d’ se taie într-un

punct A, se spune că punctul A este intersecţia celor două drepte. Fiecare din cele

două drepte este o mulţime de puncte, iar punctul A face parte atât din d cât şi din d’.

Se scrie: .' Add În mod analog se interpretează intersecţia a două plane.

După aceasta se poate da definiţia: intersecţia a două mulţimi este formată din

elementele comune celor două mulţimi. Noţiunea de intersecţie se ilustrează foarte

sugestiv prin figurile de mai sus: A şi B sunt cele două mulţimi, iar partea haşurată este

intersecţia lor.

După aceea se trece la mulţimi finite. Se pot lua două trei exemple de mulţimi

formate din obiecte concrete, ca: dacă A este mulţimea formată din toţi elevii care

stau la internat, iar B este formată din toţi elevii clasei a 7a, atunci CBA este

formată din elevii interni din clasa a 7a. Apoi se trece la mulţimi abstracte, ca:

, , , , , .a b c b c d b c

14

Trebuie introdusă şi noţiunea de diferenţă a două mulţimi A şi B - numai pentru

cazul când .AB Diferenţa A - B este mulţimea formată din elementele mulţimii A

care nu aparţin mulţimii B. Această mulţime se obţine eliminând din A toate elementele

care aparţin mulţimii B. De exemplu, dacă 1,3,5,7 , 1,5 ,A B atunci A – B = {3,7}.

Noţiunea de diferenţă a două mulţimi se ilustrează printr-o schiţă ca cea din figura de

mai jos. Această noţiune se foloseşte la precizarea mulţimii pe care se consideră o

ecuaţie sau un sistem de ecuaţii.

4. Exerciţii la această temă. Trebuie făcute cu precădere exerciții orale, fiindcă

cele mai multe se referă la mulţimi în care elementele sunt obiecte din viaţa de toate

zilele şi scrierea este greoaie. Dăm câteva exemple de exerciţii care se pretează ca

temă pentru acasă:

a) Să se scrie mulţimea A a numerelor pare mai mici ca 12, apoi mulţimea B a

numerelor impare mai mici ca 12 şi să se arate care este reuniunea lor şi care este

intersecţia lor.

b) Se consideră mulţimea A formată din toate numerele pare mai mici ca 50 şi

mulţimea B formată din toate numerele mai mici ca 50 şi divizibile cu 3. Care este

intersecţia lor?

c) Pe o dreaptă se dau trei puncte M, N, P, punctul N fiind situat între M şi P.

Fie A intervalul închis MN, iar B intervalul închis NP. Să se afle BA şi ,BA [ BA

este intervalul închis MP, iar BA este punctul N.]

Aceleaşi întrebări dacă intervalele A şi B se consideră deschise. [ BA este

intervalul deschis MP fără punctul N, iar BA = Ө]

d) Fie A mulţimea divizorilor primi ai lui 10 şi B - ai lui 21. Să se afle BA . Fie

M c.m.m.d.c. al acestor numere şi C mulţimea divizorilor primi ai lui M. Ce legătură

există între BA şi C?

[C = BA ]

e) Fie C mulţimea punctelor din plan situate în interiorul unui cerc şi D mulţimea

punctelor unei drepte care taie cercul în două puncte A şi B. Să se afle .DC

[Punctele de pe dreaptă situate între A şi B]

15

f) Se dau două drepte concurente AB şi CD, punctul lor de intersecţie O fiind

situat pe dreapta AB între A şi B, iar pe CD - între C şi D. Fie M mulţimea punctelor din

plan situate faţă de AB de aceeaşi parte cu punctul D, iar N mulţimea punctelor din

plan situate faţă de CD de aceeaşi parte cu punctul B. Se cere .NM

Să se definească în mod analog ca intersecţii a două semiplane, celelalte unghiuri

formate de aceste drepte.

PRIMELE NOŢIUNI DESPRE NUMERELE ÎNTREGI

1. Introducerea numerelor întregi 2. Definiţia numerelor întregi

3. Legătura dintre numerele întregi şi numerele cunoscute de la

aritmetică 4. Axa numerelor 5. Valoarea absolută a unui număr relativ

6. Ordonarea numerelor întregi 7. Noţiunea de interval

8. Procedee didactice

Grupăm în acest paragraf toate cunoştinţele despre numerele întregi deosebite

de operaţii. Scopul principal al acestui capitol este ca elevii să-şi formeze noţiunea de

număr întreg şi să cunoască câteva exemple de mărimi din realitate care se

caracterizează prin numere întregi. Pentru a preîntâmpina unele confuzii, va fi necesar

să discutăm aici şi unele chestiuni de fond.

1. Introducerea numerelor întregi. În cărţile de nivel superior se spune de obicei că

numerele negative se introduc pentru ca scăderea să fie totdeauna posibilă sau, ceea

ce este acelaşi lucru, ca ecuaţia x + b = a să aibă o soluţie oricare ar fi numerele a şi b.

Această motivare ar putea da impresia, greşită, că aşa s-au petrecut lucrurile.

Ar însemna că numerele negative sunt rezultatul unor speculaţii abstracte asupra

operaţiilor sau ecuaţiilor care au la bază postulatul, admis în mod tacit, că orice

operaţie trebuie să fie oricând posibilă sau că orice ecuaţie trebuie să aibă o soluţie.

Aceasta ar putea fi folosit ca argument în favoarea tezei idealiste, că matematica este

o ştiinţă închisă în sine, care se dezvoltă pe baza unor cerinţe pe care ea şi le pune

singură, independent de lumea materială, de practică.

Ideea că numerele negative ar fi rezultatul unor speculaţii abstracte este

greşită atât din punct de vedere istoric cât şi în fond. Din punct de vedere istoric,

primii care au avut o idee clară despre numerele negative au fost matematicienii din

India. Este ştiut că gândirea lor este caracterizată prin imaginaţie, prin înclinarea spre

poezie - spre deosebire de spiritul raţional, speculativ al grecilor antici. Ei nu au avut

preocupări formale. Numerele negative au apărut la ei într-o etapă de dezvoltare a

matematicii când noţiunea abstractă de număr încă nu era complet formată. Faptul că

ei folosesc cuvintele avere şi datorie dovedeşte că numerele negative aveau o

semnificaţie concretă. Ei au introdus aceste numere pentru că şi-au dat seama că prin

16

ele se pot caracteriza anumite mărimi, nu pentru a completa nişte construcţii

abstracte.

Ideea este greşită în fond, pentru că postulatul, tacit, care ar impune

introducerea numerelor negative nu există. Nu orice operaţie trebuie să fie totdeauna

posibilă şi nu orice ecuaţie trebuie să aibă soluţii. Împărţirea cu zero nu este posibilă şi

totuşi noţiunea de număr nu a fost lărgită astfel ca această operaţie să devină posibilă.

De asemenea, ecuaţia 01 xx (ca orice ecuație de forma |f(x)| + |g(x)| +

....+ |h(x)| = 0, unde f(x), g(x), ..., h(x), nu se anulează pentru aceeaşi valoare a lui x), nu

are nici o soluţie, dar aceasta nu a dus la nici o lărgire a noţiunii de număr.

În cărţile de nivel superior, introducerea numerelor negative se poate motiva

prin faptul că datorită lor scăderea devine oricând posibilă sau că ecuaţia x + b = a are

o soluţie chiar dacă a < b - punându-se astfel pe primul plan elementul motor care a dus

la formarea acestor numere -, pentru că se înţelege de la sine că scăderea, respectiv

rezolvarea ecuaţiei, nu este un scop în sine, ci un mijloc de a rezolva probleme puse de

practică. Motivarea care se dă în aceste cărţi este, în fond, tot practică.

În şcoală, introducerea numerelor negative se motivează prin necesitatea de a

caracteriza mărimile care pot fi socotite în două sensuri: spre stânga şi spre dreapta,

în sus şi în jos ş.a.m.d. Nici acest procedeu nu corespunde cu totul dezvoltării istorice,

căci se neglijează aspectul operaţional, dar el corespunde mai bine vârstei elevilor,

deoarece se porneşte de la lucruri concrete. Dăm câteva exemple:

a) avere şi datorie (credit şi debit); b) temperatura; c) axa numerelor; d)

înălţimea socotită de la nivelul mării; e) longitudinea şi latitudinea geografică; f)

forţele care au acelaşi punct de aplicaţie şi aceeaşi direcţie, dar nu acelaşi sens; g)

timpul înainte şi după originea timpului (începutul erei noastre).

Primul din aceste exemple se bucură de cea mai largă răspândire, el este şi cel

mai vechi şi uşor de înţeles. S-ar putea obiecta că formularea nu este prea fericită;

„averea” are un caracter concret - banii pe care-i am îi pot vedea, pot să pun mâna pe ei

- pe când datoria nu. Se pun astfel faţă în faţă două lucruri de naturi diferite. De

aceea ar fi mai indicat să se folosească termenii din contabilitate: credit şi debit.

Scara termometrului este foarte indicată. Elevii o cunosc de la fizică şi din viaţa

de toate zilele şi, mai mult, la măsurarea temperaturii ei au întâlnit deja numere

negative. Axa numerelor nu poate lipsi datorită importanţei pe care o are în general în

matematică. Această reprezentare a numerelor dă roade chiar în cadrul acestui

capitol, la ordonarea numerelor întregi, la adunare, la scădere şi, poate, la înmulţire.

Înălţimea unui punct de pe Pământ socotită de la nivelul mării şi coordonatele

geografice sunt de mică importanţă, elevii nu sunt familiarizaţi cu ele. Acelaşi lucru se

poate spune şi despre ultimul exemplu. Exemplul f) merită toată atenția. Noţiunea de

forţă are un înalt grad de intuitivitate; pentru reprezentarea forţelor se pot folosi

vectori - noţiune pe care elevii o au de la fizică - şi pe acest model se pot învedera

frumos regulile de adunare şi de scădere a numerelor întregi.

Pentru aplicaţiile ulterioare, semnificaţiile cele mai importante ale numerelor

întregi sunt: debit şi credit, temperatura, axa numerelor şi forţele. O menţiune

specială merită următorul material didactic. E vorba de două serii de plăci

17

dreptunghiulare, cum sunt pietrele de domino, dar mai mari. Plăcile sunt de două culori,

albe şi negre, şi au pe feţele laterale câte un semn astfel încât, atunci când sunt

aşezate într-o coloană, să poată fi numărate uşor. Orice număr întreg se poate

reprezenta prin două coloane de culori diferite, aşezate una lângă alta. Diferenţa

dintre numărul pietrelor dintr-o coloană şi din cealaltă este valoarea absolută a acelui

întreg; dacă coloana albă este mai mare, numărul are semnul „+”, iar dacă cea neagră

este mai mare, semnul „-”. De exemplu, 8 pietre albe şi 5 pietre negre reprezintă

numărul +3; 4 pietre albe şi 9 pietre negre reprezintă numărul -5: două stive egale

reprezintă numărul zero.

Această reprezentare a numerelor întregi este, vădit, inspirată de construcţia

sistematică. Numerele întregi se reprezintă ca perechi de coloane, iar un număr întreg

nu este un obiect individual, ci o clasă, căci dacă adăugăm la ambele coloane acelaşi

număr de pietre sau dacă scoatem din ambele coloane acelaşi număr de pietre, cele

două coloane continuă să reprezinte acelaşi număr întreg. Se obţine cea mai simplă

reprezentare a unui întreg (forma canonică) atunci când una dintre coloane este „vidă”.

Şi operaţiile se reprezintă frumos. Pentru a calcula a + b (a, b întregi), se reprezintă

numărul a sub o formă oarecare şi se adaugă |b| pietre albe sau negre, după cum b este

pozitiv sau negativ. Pentru a calcula a - b, se scot, din coloana albă sau neagră lui a,|b|

pietre, după cum b este pozitiv sau negativ (la nevoie, se adaugă la ambele coloane ale

descăzutului acelaşi număr de pietre). Scoaterea unui număr oarecare de pietre dintr-

una din cele două coloane are acelaşi efect ca şi adăugarea aceluiaşi număr de pietre la

cealaltă coloană, de unde rezultă regula scăderii (pentru a scădea un număr, se adună

opusul său).

Împotriva folosirii acestei reprezentări la introducerea numerelor întregi, se

poate obiecta că ea se depărtează prea mult de semnificaţia concretă a acestor

numere. În aplicaţii, aceste numere nu apar ca diferenţe sau ca perechi ordonate de

numere. De exemplu, în faptul că punctele din stânga originii au abscise negative sau că

momentele anterioare originii timpului se reprezintă prin numere negative nu se

găseşte nici pe departe ideea de diferenţă a două lungimi sau a două intervale de timp.

Dacă regulile de calcul cu numere întregi se deduc din această reprezentare a lor,

elevii nu vor fi capabili să le aplice la probleme concrete. De exemplu, se rezolvă o

problemă în care este vorba de un număr de ani „peste câţi ani...?” şi se obţine soluţia x

= -5. Nu se vede cum numărul -5 ar putea fi interpretat ca diferenţă.

18

2. Definiţia numerelor întregi. În unele manuale se dă o definiţie a numerelor întregi

care sună cam astfel: Un număr prevăzut cu semnul „+” se numeşte număr pozitiv, un

număr prevăzut cu semnul „-” se numeşte număr negativ. Aceasta nu este o definiţie.

Prin această frază nu se arată ce este un număr pozitiv sau negativ, se arată doar cum

se notează aceste numere. Ea nu este cu nimic mai bună decât, de exemplu, următoarea

„definiţie”: o fracţie zecimală este un număr de două sau mai multe cifre care conţine o

virgulă. Prin faptul că ştim cu ce simbol se notează o anumită noţiune încă nu ştim nimic

despre esenţa ei. A-i obliga pa elevi să înveţe astfel de definiţii este nu numai o

pierdere de vreme, ci de-a dreptul dăunător. Prin astfel de fraze se compromite rostul

definiţiilor.

Numerele întregi nu se pot defini în cadrul expunerii genetice, care se face în

şcoală. Conţinutul noţiunii de număr relativ se dezvăluie treptat, pe măsură ce se

înaintează în predarea acestui capitol. O definiţie a numerelor întregi ar trebui să

conţină aproape toate regulile operaţiilor cu ele şi ar ocupa mai mult de o pagină, în

învăţământ nu se simte nevoia unei definiţii. După ce se introduc numerele întregi, ca

simboluri ataşate unor mărimi din realitate, se poate trece direct la ordonarea lor şi la

operaţiile cu ele - fără nici o definiţie.

3. Legătura dintre numerele întregi şi numerele cunoscute de la aritmetică. În

construcţia sistematică, numerele întregi pozitive şi numerele naturale sunt două

noţiuni diferite, care, în cele din urmă, se identifică. Se naşte întrebarea dacă şi în

şcoală lucrurile trebuie prezentate astfel sau trebuie să considerăm de la început

numerele raţionale pozitive ca identice cu numerele pe care elevii le cunosc din

aritmetică. De exemplu, + 2 şi 2, +4

3 şi

4

3 trebuie considerate ca numere diferite sau

ca acelaşi număr? În cazul al doilea, semnul „+” se pune numai pentru a deosebi mai bine

aceste numere de cele negative. Considerăm că ele trebuie prezentate de la început ca

identice, în favoarea acestei idei se pot aduce două argumente.

În primul rând, în şcoală introducerea numerelor întregi se motivează prin nevoia

de a caracteriza mărimile, care se pot socoti în două sensuri. Atunci mărimile care au

unul din sensuri se caracterizează prin numerele cunoscute din aritmetică, iar pentru

mărimile care au sensul celălalt se introduc numere noi, negative. De exemplu, pe

semiaxa numerelor, fiecare punct este caracterizat prin distanţa sa la origine, prin

numerele 1,2,4

3 etc. Dacă semiaxa se prelungeşte la stânga originii, se obţin puncte noi,

caracterizate prin numerele -1, -2,-4

3 etc. care se introduc acum. Apariţia punctelor

din stânga originii nu ne obligă de loc să schimbăm modul în care am caracterizat şi

până acum punctele situate la dreapta ei. În al doilea rând - şi acest lucru este mai

important - în practică nu se face nici o deosebire între numerele pozitive şi cele

cunoscute din aritmetică. Mai precis, acestea din urmă sunt considerate ca pozitive. Să

luăm, de exemplu, problema:

19

Ce număr trebuie să adunăm la ambii termeni ai fracţiei 5

3 - ca să obţinem o

fracţie egală cu ?3

5 Ecuaţia

3

5

5

3

x

x dă x = -8. Dacă facem distincţie între numerele

întregi şi numerele naturale, trebuie să spunem că 3 şi 5 sunt numere naturale, căci sub

această formă apare fracţia în şcoală. Pentru x, însă, am obţinut o valoare negativă. Am

ajuns astfel în situaţia absurdă că trebuie să adunăm numerele naturale 3 şi 5 cu

numărul relativ -8. O asemenea operaţie nu există. Lucrurile merg normal dacă termenii

fracţiei se consideră ca numere pozitive, +3 şi +5.

Aşadar, la introducerea numerelor întregi trebuie procedat astfel: se introduce

o mulţime nouă de numere, numerele negative, iar în opoziţie cu acestea, numerelor

cunoscute din aritmetică li se dă denumirea de numere pozitive. De altfel, aceasta

corespunde şi dezvoltării istorice a algebrei. Nu s-a pus niciodată problema de a

introduce numerele pozitive. Algebra s-a îmbogăţit prin apariţia numerelor negative;

numerele cunoscute anterior, ca numere pur şi simplu, fără nici un atribut, au devenit

numere pozitive numai în urma introducerii numerelor negative.

4. Axa numerelor. S-a spus mai sus că la introducerea numerelor negative trebuie

dată neapărat şi reprezentarea lor pe axă. Axa numerelor se introduce foarte natural,

luând ca exemplu din realitate o şosea rectilinie pe care sunt indicate prin pietre

distanțele de la începutul şoselei sau scara unui termometru aşezat orizontal. Aici

trebuie să fim atenţi ca elevii să nu-şi formeze ideea că corespondenţa dintre

numerele raţionale şi punctele dreptei este biunivocă. Nu este vorba de acest termen,

ci de faptul următor: văzând că oricărui număr îi corespunde un punct pe axă, elevii

capătă impresia că şi, invers, oricărui punct de pe axă îi corespunde un număr. Evident,

chestiunea nu poate fi lămurită în şcoala generală - aceasta ar însemna să se

demonstreze că există segmente incomensurabile - dar trebuie să se spună elevilor că,

dacă reprezentăm pe axă toate numerele raţionale, mai rămân puncte cărora nu le

corespunde nici un număr.

De acest fapt trebuie să se ţină seama mai târziu, când se reprezintă grafic

mulţimile de puncte care satisfac nişte inegalităţi. De exemplu, numerele raţionale x

care satisfac dubla inegalitate 0 < x < 1 nu dau toate punctele din intervalul (0,1), ci

numai punctele raţionale din acest interval.

5. Valoarea absolută a unui număr întreg. Noţiunea de modul sau valoarea absolută a

unui număr întreg trebuie introdusă la început, căci ea este necesară atât la ordonarea

numerelor întregi, cât şi la operaţiile cu ele. Definiţia acestei noţiuni cere o mică

discuţie. În unele manuale, valoarea absolută a unui număr relativ se defineşte ca

numărul care se obţine suprimând semnul acelui număr relativ.

De exemplu, |+3| = 3, |-3| = 3, în ambele cazuri fără semn. Această definiţie nu

poate fi acceptată, în special pentru că ea nu poate fi aplicată atunci când numărul

relativ este exprimat printr-o literă sau printr-o expresie algebrică mai complicată.

Cum se poate suprima semnul lui x - 2, de exemplu?

20

Nu există nici un motiv de a ocoli în şcoală definiţia corectă: valoarea absolută a

unui număr pozitiv este chiar acel număr; valoarea absolută a unui număr negativ este

opusul său; valoarea absolută a lui zero este zero. Această definiţie, perfect accesibilă,

este însă utilă numai dacă numerele pozitive sunt considerate ca identice cu numerele

corespunzătoare din aritmetică: +3 este identic cu 3, +5

2 cu

5

2, + 2 cu 2 ş.a.m.d.

Într-adevăr, în toate lărgirile noţiunii de număr, operaţiile cu numerele noi se

efectuează prin intermediul operaţiilor cu numere definite anterior. În cazul numerelor

întregi, se iau ca bază operațiile cu numerele pe care elevii le cunosc de la aritmetică,

iar legătura dintre aceste două feluri de numere se face cu ajutorul modulelor,

considerate ca numere „aritmetice”, căci numai cu astfel de numere ştiu elevii să

opereze în acest moment. De exemplu, pentru a face adunarea (-7) + (-3), se adună 7 cu

3 (şi se schimbă semnul), iar această operaţie s-a învăţat la aritmetică. Dacă se adoptă

celălalt punct de vedere, după care numerele pozitive ar fi altceva decât cele

cunoscute de la aritmetică, regula: Pentru a aduna două numere negative, se adună

valorile lor absolute... n-are nici un sens. În cazul adunării (-7) + (-3), de exemplu, avem:

|-7| = +7, |-3| = +3, deci regula ne spune că, pentru a aduna -7 cu -3, trebuie să adunăm

+7 cu +3. Dar această adunare cum se face?

Alta este situaţia în construcţia sistematică a corpului numerelor raţionale. Aici,

numărul întreg este cu totul altceva decât numărul natural, iar operaţiile cu numere

întregi se reduc la operaţii cu numere naturale. Dar în stabilirea regulilor nu intervine

noţiunea de modul. În matematică se poate da definiţia de mai sus a modulului

indiferent dacă numerele întregi au fost identificate cu numerele naturale sau nu, căci

ea nu se foloseşte la definirea operaţiilor. În şcoală, însă, modulul unui număr relativ

este un număr „aritmetic”.

Menţionăm că în prezent noţiunea de modul se foloseşte prea puţin în cadrul

algebrei elementare. Din cauza aceasta, elevii se izbesc de greutăţi la analiză, când

intervin inegalităţi de forma |x — a| < . Dăm aici câteva exemple de exerciţii:

1) Să se calculeze: a) |+5| + |-3| - |-2| ; b) |- 8| - |- 2| - | + 7|.

2) Să se calculeze: a) |+3| + |+7| şi |+ 3 + 7|; b) |-3| + |-7| şi |-3 + (-7)|; c) |+3| +

|-7| şi |+3 + (-7)|;

d) |-3| + |+7| şi |-3 + (+7)|. Să se compare modulul sumei a două numere cu suma

modulelor lor: |a + b| < |a| + |b|.

3) Exerciţii analoge cu privire la modulul unui produs şi modulul unui cât.

4) Să se calculeze valoarea expresiei |x + |x-1| +2| pentru x = 0, x = 1 şi x = 2.

5) Să se scrie fără a folosi noţiunea de modul: a) y=|x-1|, b) y = |x| + |x-1|.

6) Să se calculeze: +3 + |+3| ; -3 + |-3| ; +5 + |+5|; x + |x|.

7) Să se calculeze: .;3

3;

3

3

x

x

8) Să se calculeze .2

xx

9) Pentru care valori ale lui x are loc relaţia: a) |x| + x – 1 = 3? b) |x| + x – 1= -1?

21

6. Ordonarea numerelor întregi. Mulţimile de numere se ordonează uşor după ce s-a

definit adunarea. Dacă a şi b sunt două numere reale, se spune că a > b dacă există un

număr pozitiv c, astfel încât să aibă loc relaţia a = b + c, sau, ceea ce este acelaşi lucru,

dacă diferenţa a - b este pozitivă.

În şcoala generală însă, ordonarea se face independent de operaţii, în legătură

directă cu semnificaţia concretă a numerelor. Deşi este de mică valoare din punct de

vedere logic, acest procedeu are avantajul că este mai concret. Aşa se procedează şi în

cazul fracţiilor ordinare.

În cazul numerelor întregi, se foloseşte axa numerelor. Din aritmetică se ştie că,

din două numere, cel care este situat mai spre dreapta este mai mare. Acest criteriu,

valabil pentru numere pozitive, se extinde pentru cazul când nu ambele numere sunt

pozitive, deci se dă definiţia următoare: Din două numere întregi, numărul care

corespunde unui punct situat pe axa numerelor mai la dreapta este mai mare. Din

această definiţie se deduce imediat că: orice număr pozitiv este mai mare decât orice

număr negativ ş.a.m.d. Definiţia se justifică apoi prin exemple variate. Astfel, în cazul

termometrului: a) când termometrul arată un număr de grade „plus” sau 0°C, este mai

cald decât atunci când arată un număr de grade „minus”; b) când termometrul arată -

3°C, este mai cald decât atunci când arată -4°C.

7. Noţiunea de interval. Acum este momentul de a introduce noţiunea de interval

numeric, închis, deschis etc, datorită faptului că li se pot da interpretări intuitive,

precum şi noţiunile de + şi - . Aici apare o greutate de neînvins.

Un interval (a,b) este mulţimea formată din toate numerele reale x care satisfac

dubla inegalitate a < x < b. Deci noţiunea de interval nu poate fi dată precis decât după

ce s-a dat noţiunea de număr real. Dacă spunem în clasa a 7-a sau a 8-a că, de exemplu,

intervalul (0,1) este format din „toate” numerele x care satisfac condiţia 0 < x < 1,

facem o afirmaţie neprecisă; dacă spunem că acest interval este format din toate

numerele raţionale - căci elevii cunosc numai aceste numere -, afirmăm un lucru care nu

este adevărat. Aceasta pune sub semnul întrebării oportunitatea de a introduce în

şcoala generală noţiunea de interval. Dar această noţiune este necesară pentru a putea

exprima în limbajul teoriei mulţimilor soluţiile inecuaţiilor.

Considerăm că, într-o primă etapă, se poate tolera un limbaj mai puţin precis - ca

cel care va fi folosit mai jos - urmând ca lucrurile să fie precizate în clasele

superioare. Fiind date două numere oarecare, de exemplu +1 şi +2, există oricâte

numere raţionale vrem care să fie mai mari decât +1 şi totodată mai mici decât +2, de

exemplu: 1,1; 1,2; 1,3; 1,9; 1,15; 1,25; 1,35;... Mulţimea acestor numere formează

intervalul deschis (1,2). Dacă la aceste numere se adaugă numerele 1 şi 2, se obţine

intervalul închis [1,2]. Punctele corespunzătoare de pe axa numerelor formează

segmentul mărginit de punctele 1 şi 2. În general, dubla neegalitate a < x < b este

echivalentă cu x(a,b), iar a x b cu x[a,b]. Acestor numere a şi b le corespund pe

axa numerelor punctele segmentului AB, unde A şi B au, respectiv, abscisa x = a şi x =

b, inclusiv sau exclusiv punctele A şi B. În mod analog se definesc intervalele [a,b) şi

(a,b]. Nu există un număr raţional mai mare decât toate celelalte.

22

Oricare ar fi numărul raţional a, există oricâte numere raţionale vrem mai mari

decât a. Mulţimea acestor numere formează intervalul (a,+ ), iar dacă se adaugă şi

numărul a - intervalul [a,+ ). Punctele corespunzătoare de pe axa numerelor sunt

pe semidreapta Ax. Simbolul + , arată că numerele din această mulţime nu sunt

limitate ca mărime; pe semidreapta Ax se găsesc puncte oricât de depărtate vrem de

punctul A. În mod analog se explică ce sunt intervalele (- , a) şi (- , a]. Aceste noţiuni

trebuie fixate prin câteva exerciţii ca:

a) Să se spună dacă numărul -1,7 aparţine intervalului (-2,-1); dacă 2

aparţine

intervalului (0,1). Răspunsul trebuie dat cu ajutorul simbolurilor şi .

b) Să se indice trei numere din intervalul (-1,1), din intervalul [-1,1].

8. Procedee didactice. Dat fiind că la această temă se introduc şi multe noţiuni noi, la

care nu se poate ajunge pe cale euristică, trebuie folosită în mare măsură metoda

expozitivă. Aceasta nu înseamnă că profesorul face expuneri lungi. După ce se

introduce o noţiune nouă, sunt necesare mai multe exerciţii prin care ea se întipăreşte

în mintea elevilor. În fiecare lecţie se succed astfel, alternativ, părţi expozitive şi

exerciţii. Dăm cîteva exemple:

a) Chiar la prima lecţie, care se face expozitiv, după ce s-au dat două exemple

de mărimi care se socotesc în două sensuri, se poate cere elevilor să dea alte exemple.

La nevoie se pot da indicaţii ca: „Există două feluri de longitudine geografică, estică şi

vestică. Cum s-ar putea folosi aici numerele pozitive şi negative?” Dacă nici un elev nu

ridică mâna, profesorul continuă: „Cum se poate exprima printr-un număr relativ că un

punct are o longitudine estică de 40°? Dar că are o longitudine vestică de 40°?” Apoi se

trece la latitudine: „Nu se pot folosi numerele întregi pentru a indica latitudinea

geografică?”

b) După ce s-a introdus axa numerelor, este necesară efectuarea unui număr

oarecare de exerciţii în ambele sensuri: se spune un număr şi se cere să se găsească

punctul care-i corespunde, se indică un punct şi se cere să se spună ce număr îi

23

corespunde. În cazul al doilea nu este suficient să se marcheze punctul. După ce s-au

marcat punctele care corespund numerelor întregi, întrebarea se pune astfel: „împart

segmentul cuprins între punctele -3 şi -4 în 5 părţi egale şi iau al doilea punct de

diviziune socotit de la dreapta spre stânga. Ce număr îi corespunde?” Trebuie luate şi

numere situate la distanţă mare de origine, precum şi fracţii ordinare şi zecimale, ca

elevii să-şi dea seama că axa numerelor este nemărginită în ambele sensuri şi că

mulţimea numerelor raţionale este densă.

La aceste exerciţii se face economie de timp şi elevii îşi formează imagini mai

clare dacă se foloseşte o planşă care reprezintă axa numerelor. Este bine ca pe planşă

să fie scrise numai câteva numere, de exemplu: -2, -1, 0, 1 şi 2, celelalte puncte să fie

marcate numai prin liniuţe sau rotogoale - ca elevii să fie obligaţi să caute punctele

care corespund numerelor întregi - iar unele dintre segmente mărginite de puncte care

corespund unor numere întregi să fie împărţite în 2, 3, 10... părţi egale.

c) Ca noţiunea de valoare absolută să nu apară artificială, trebuie arătat care

este semnificaţia ei concretă: pe axa numerelor, ea arată distanţa dintre punctul

respectiv şi originea; în cazul forțelor, ea arată intensitatea unei forţe, nu şi sensul ei.

După un exemplu sau două de acest fel, se pot pune clasei întrebări ca următoarele:

„Care punct este mai departe de primul meridian, punctul de longitudine +380 sau

punctul de longitudine -50°?” Se înţelege că punctele sunt pe aceeaşi paralelă şi

distanţa se măsoară pe paralela respectivă. „Oraşul Bucureşti are latitudinea +44°, iar

oraşul Melbourne -37°; care dintre aceste oraşe este mai aproape de ecuator?”

d) Ordonarea numerelor întregi se poate preda cu o intensă participare a clasei.

Este suficient ca profesorul să arate că din două numere pozitive cel situat mai la

dreapta este mai mare şi să spună că aceeaşi regulă se aplică oricare ar fi două

numere; toate consecinţele pot fi deduse de elevi. Profesorul spune: „Voi scrie pe tablă

două numere şi voi veţi răspunde care din ele este mai mare”. Şi profesorul scrie, de

exemplu: 0, -1; 0, -5; 0, -1965;... După ce se obţin răspunsurile la 3-4 întrebări,

profesorul cere clasei să formuleze o regulă. „Cum sunt numerele negative în

comparaţie cu zero?” Urmează alt rând de exemple, ca: -5, +10; -5, +5 ; -5, +1; ş.a.m.d.

După ce au fost formulate toate propoziţiile corespunzătoare, se pot da exerciţii de

tipul următor: se dau 5-6 numere întregi, cum ar fi: +8; -3; -1,5; +1,5; 20 şi se cere să

se aşeze în ordine crescătoare. În toate exerciţiile acestea este bine ca elevii să aibă

sub ochi axa numerelor; dacă există o planşă, ea se afişează. Cu această ocazie se pot

face şi câteva exerciţii legate de noţiunea de interval, ca: „Unde sunt situate toate

numerele mai mari decât +3 ?” „Dar cele mai mici decât +5 ?” „Dar cele care sunt mai

mari decât +3 şi totodată mai mici decât +5?” ş.a.m.d.

Apoi se poate anticipa asupra adunării şi scăderii prin exerciţii ca: Să se

găsească numărul care este cu 3 mai mare decât +5, cu 3 mai mare decât -7, cu 2 mai

mic decât +8, cu 2 mai mic decât -8. La acest capitol, grosul muncii se face în clasă.

Deoarece na se fac calcule, se pot da puţine exerciţii pentru acasă - se dau exerciţii

din capitolul precedent.

24

OPERAŢIILE CU NUMERE ÎNTREGI

1. Obiective 2. Justificarea regulilor de calcul 3. Adunarea

4. Scăderea 5. Suma algebrică 6. Înmulţirea 7. Formularea regulii

semnelor 8. Împărţirea 9. Procedee didactice

1. Obiective. În predarea acestui capitol trebuie atinse obiectivele următoare:

1) Elevii să ştie să efectueze cele patru operaţii cu numere întregi.

2) Să cunoască unele aplicaţii ale acestor operaţii.

Din motivele care vor fi arătate îndată, nu se poate cere elevilor să motiveze

regulile de calcul, nici să aplice calculele la rezolvarea unei game cât mai variate de

probleme practice, aşa cum se cere la aritmetică. Obiectivul principal este ca elevii să

ştie cum se calculează cu numere întregi, nu de ce se calculează aşa.

2. Justificarea regulilor de calcul. În şcoala generală, regulile de calcul cu numere

întregi nu se demonstrează. Se dau doar unele explicaţii. A demonstra o propoziţie

matematică înseamnă a o deduce din alte propoziţii (definiţii, axiome sau teoreme

demonstrate mai înainte). Regulile de calcul cu numere întregi, însă, nu se deduc din

alte propoziţii, ci se motivează - unele din ele - prin semnificaţia concretă a numerelor

întregi şi a operaţiilor cu ele. De exemplu, spunem că 3 - 7 = - 4 „fiindcă” dacă am 3 lei

şi datorez 7 lei situaţia mea financiară este aceeaşi ca atunci când am o datorie de 4

lei. Rezultatul se obţine prin consideraţii asupra unor situaţii din realitate, nu pe cale

deductivă; de aceea această motivare nu poate fi considerată ca o demonstraţie.

În fond, regulile după care se fac operaţiile directe (adunarea şi înmulţirea, nu

scăderea şi împărţirea - care se pot demonstra) sunt nişte definiţii. Dar aceste

definiţii nu sunt arbitrare, ele se aleg astfel încât cu ajutorul operaţiilor să poată fi

descrise unele lucruri din realitate. Mai precis: cu unele obiecte concrete se fac

anumite operaţii concrete care duc la o anumită situaţie finală; obiectelor concrete li

se ataşează câte un număr, iar operaţiilor concrete - operaţii cu aceste numere;

operaţiile cu numere se definesc astfel încât rezultatul lor să corespundă situaţiei

finale. De exemplu, un câştig de 3 lei şi o datorie de 7 lei sunt două lucruri din

realitate; cu aceste obiecte se face operaţia care constă în a câştiga 3 lei şi a

contracta o datorie de 7 lei; se ajunge astfel la situaţia finală: o datorie de 4 lei.

Pentru descrierea matematică se ataşează câştigului de 3 lei numărul +3 şi datoriei de

7 lei numărul -7; operaţia concretă descrisă mai sus se traduce printr-o operație

matematică numită adunare; adunarea numerelor întregi se face, prin definiţie, astfel

ca să dea în acest caz -4, care corespunde situaţiei finale: o datorie de 4 lei.

Numerele întregi împreună cu ansamblul regulilor după care se calculează cu ele

constituie astfel un model matematic al anumitor mărimi şi operaţii concrete, şi anume

al mărimilor care pot fi socotite în două sensuri. Explicaţiile care se dau în legătură cu

regulile de calcul nu fac altceva decât să arate, prin exemple, că între obiectele

concrete şi modelul lor matematic există în adevăr corespondenţa descrisă mai sus. De

aceea nu se poate cere o justificare deplină a acestor reguli - aceasta ar însemna să se

25

verifice că ele corespund tuturor mărimilor care se pot socoti în două sensuri şi

numărul acestor mărimi este foarte mare. Se poate cere numai, aşa cum s-a menționat

în obiectivul al doilea, ca elevii să cunoască unele aplicaţii ale operaţiilor cu numere

întregi.

Limitarea la unele exemple este impusă şi de un alt fapt, care va fi pus în

evidenţă printr-o comparaţie cu felul în care se predau operaţiile cu numere naturale.

Şi aici, cel puţin în cazurile simple, rezultatele operaţiilor se află nu pe cale deductivă,

ci pe baza unor operaţii cu mulţimi din realitate. De exemplu, pentru a afla cât face

4+3, copilul ia 4 degete şi încă 3 degete şi constată că are în total 7 degete. Mulţimile

formate din degetele de la mâini (sau din bilele de la maşina de calculat) nu sunt un

exemplu oarecare, ele joacă un rol fundamental, la care se raportează celelalte mulţimi.

De exemplu, când are de rezolvat problema: în clasă au fost 3 copii şi au mai venit 4

copii; câţi copii sunt acum în clasă? - copilul ia întâi 3 degete şi spune: „Aceştia sunt

copiii care au fost în clasă” ş.a.m.d. El face să corespundă fiecărui copil un deget. Mai

mult, el identifică copiii cu degetele de la mâini.

În cazul numerelor întregi, acest lucru nu este posibil, pentru că nu există o

mărime care să joace rolul fundamental pe care-1 joacă în cazul numerelor naturale

mulţimile de degete (sau de bile). Rezultatul obţinut printr-una din interpretări ale

numerelor întregi nu se transpune cu aceeaşi uşurinţă la cazul unei alte interpretări. De

exemplu, dacă s-a arătat cum se calculează suma (+3) + (-7) folosind reprezentarea

numerelor pe axă şi se pune problema: am 3 lei şi datorez 7 lei; care este situaţia mea

financiară? - judecata trebuie luată de la început. Primul rezultat este de puţin folos,

deoarece corespondenţa dintre sumele de bani pe care-i am sau pe care-i datorez şi

punctele de pe axă se stabileşte foarte greu.

Din aceste motive, explicaţiile care se dau în legătură cu operațiile cu numere

întregi au o putere de convingere mai mică. Prin ele regulile de calcul nu se

fundamentează ca prin demonstraţii. Interpretările sunt numai cazuri particulare,

exemple după care elevii se vor ghida mai târziu în cazuri asemănătoare. De aceea ele

nici nu au prea multă importanţă. Dealtfel, este foarte greu, dacă nu chiar imposibil, să

se dea o justificare satisfăcătoare a regulii de înmulțire. În cadrul acestui capitol,

accentul trebuie să cadă pe calcul - puţine motivări şi multe exerciţii de calcul. Totuşi,

vom indica diferite posibilităţi de a motiva regulile de calcul, pentru a oferi

posibilitatea de a alege pe cele mai convenabile.

3. Adunarea. În toate interpretările care se dau numerelor întregi, adunarea a + b are

sensul următor: primul termen, a, caracterizează starea iniţială a mărimii respective, al

doilea termen, b, reprezintă un anumit fapt care survine şi modifică această stare, iar

suma este numărul care caracterizează starea finală a acelei mărimi. Deci, adunarea

corespunde unei variaţii - într-un sens sau altul. În unele cazuri, în special când se

predă regula adunării, este bine ca, atunci când e posibil, şi primul termen să fie

considerat ca expresia unei variaţii, şi anume a unei variaţii pornind de la zero; atunci

suma reprezintă rezultatul celor două variaţii succesive. În toate interpretările

trebuie considerate mai multe cazuri, după cum termenii sunt pozitivi, negativi sau nuli.

26

a) Debit şi credit. Soldul este de a lei; survine o operaţie (câştig sau pierdere) de

b lei şi se cere soldul nou. Şi primul sold poate fi considerat ca o operaţie: se

realizează un câştig sau o pierdere de a lei, apoi un câştig sau o pierdere de b lei şi se

cere soldul.

b) Temperatura. Un corp are o temperatură de a grade. Survine o schimbare a

temperaturii (încălzire sau răcire) cu b grade; se cere temperatura finală. Sau: un corp

are 0°, temperatura se modifică cu a grade, apoi cu b grade; să se afle temperatura

finală (fiecare dintre modificări poate fi o încălzire sau răcire).

c) Axa numerelor. Un punct mobil se găseşte pe axă în punctul A de abscisă a;

survine o deplasare a lui pe axă (spre dreapta sau spre stânga) cu un segment de

lungime b; se cere poziţia sa finală. Sau: un punct se mişcă pe axa numerelor pornind

din O; el se deplasează cu un segment de lungime a, apoi cu un segment de lungime b; se

cere poziţia finală (fiecare dintre deplasări se poate face spre dreapta sau spre

stânga). În figura de mai jos se văd toate cazurile posibile când a > 0. Cazul când a < 0

se studiază la fel. Măsurarea înălţimilor de la nivelul mării nu reprezintă nimic deosebit

- axa numerelor se ia vertical. În cazul longitudinii şi latitudinii geografice, axa

numerelor (mai precis: o parte din ea) se înlocuieşte, respectiv, cu un cerc sau cu un

semicerc.

d) Forţe de aceeaşi direcţie. Un punct se găseşte sub acţiunea unei forţe a, se

aplică încă o forţă b (de acelaşi sens sau de sens contrar) şi se cere rezultanta. De

data aceasta, interpretarea primului termen ca variaţia nu este utilă.

e) Timpul. Un anumit eveniment trebuie să se producă la ora a (de exemplu: un

spectacol trebuie să înceapă la ora a = 20); survine o schimbare (evenimentul se amină

sau se fixează mai devreme) cu b ore şi se cere momentul în care va avea loc acel

eveniment. Pentru a putea da lui a şi valori negative, exemplul trebuie înlocuit cu

următorul: se ştie că un anumit eveniment istoric a avut loc în anul a; în urma unor

cercetări mai noi s-a dovedit că data trebuie schimbată (într-un sens sau altul) cu b ani

şi se cere data rectificată.

27

4. Scăderea. Este aproape surprinzător câte greutăţi întâmpină profesorul în

predarea acestei teme dacă nu vrea să se limiteze la simpla enunţare a regulii scăderii

(se suprimă semnul „-” şi paranteza şi se schimbă semnul din interiorul parantezei),

care se transformă apoi, fără o motivare suficientă, în regula după care se scade o

sumă algebrică (distributivitatea operatorului „-”). Dăm mai multe căi de a motiva

regula scăderii.

a) Se dă regula şi se verifică justeţea făcând proba scăderii. Se consideră, de

exemplu, scăderea a - (+3) şi profesorul spune că această diferenţă este egală cu a + (-

3). Verificare: dacă la diferenţa a + (-3) adunăm scăzătorul (+3), obţinem a + (-3) + (+3)

= a - 3 + 3 = a + 0 = a, adică tocmai descăzutul. Apoi se consideră scăderea a - (-3) şi se

procedează în mod analog. Cazul scăzătorului zero este banal. Este bine să se ia

descăzutul literal, aşa cum am procedat, pentru a pune în evidenţă faptul că el nu joacă

nici un rol în această transformare. Acest procedeu are mai multe dezavantaje. În

primul rând, se foloseşte definiţia scăderii ca operaţie inversă a adunării. Este

adevărat că această definiţie se învaţă la aritmetică, dar elevii nu sunt obişnuiţi să o

folosească. În al doilea rând, rezultatul nu se caută, ci este dat de profesor. Oricât de

ingenios ar conduce profesorul o conversaţie euristică, niciodată el nu va scoate regula

de la elevi. În sfârşit, elevii sunt obişnuiţi ca diferenţa să fie un număr, nu o expresie -

ca în cazul de faţă. De aceea acest procedeu nu este destul de convingător.

b) Numerele se interpretează ca bani „de primit” sau „de dat”, credit şi debit,

iar scăderea ca o micşorare. Atunci expresia a - (+3) se interpretează astfel: La un

moment dat, soldul este de a lei, apoi se constată că la „credit” s-a trecut din greşeală

suma de 3 lei. Acest „post” trebuie scos, ceea ce are ca urmare micşorarea soldului cu

3 lei. Pentru a nu face ştersături în registru, se adaugă la coloana „debit” 3 lei -

rezultatul va fi acelaşi, deci: a - (+3) = a + (-3). În mod analog se interpretează

expresia a - (-3).

În general, suprimarea unui număr din una dintre coloanele „credit” şi „debit” are

acelaşi efect ca adăugarea numărului opus în cealaltă coloană, deci, în loc de a scădea

un număr, se poate aduna opusul lui. Acest procedeu are avantajul că foloseşte

semnificaţia concretă a scăderii, ca o scoatere, o micşorare, de aceea el este mai

convingător.

c) Se foloseşte reprezentarea adunării pe axă. Fie scăderea a - (+3) = x.

Problema se pune astfel: Trebuie să găsim un număr x care, adunat cu +3, să dea a.

Aceasta înseamnă că trebuie să găsim pe axă un punct x astfel încât, purtând de la el

spre dreapta un segment de lungime 3, să obţinem punctul a. Punctul x trebuie să fie

situat la stânga lui a, deci trebuie să purtăm de la a spre stânga 3 unităţi, adică trebuie

să adunăm la a numărul -3, deci x = a + (-3).

28

În cazul scăderii a - (-3) = x, problema se pune la fel şi se găseşte că punctul x

trebuie să fie situat la dreapta lui a, deci x = a + (+3). Acest procedeu este cel mai

frumos din punct de vedere matematic. Din punct de vedere pedagogic trebuie făcute

două obiecţii. Prima este aceeaşi ca la procedeul a), şi anume, se foloseşte definiţia

formală a scăderii - nu semnificaţia ei concretă, iar a doua este următoarea:

interpretarea adunării pe axa numerelor este cea mai abstractă, ea seamănă prea puţin

cu semnificaţia concretă a acestei operaţii aşa cum apare ea în probleme.

d) Numerele se interpretează ca măsuri ale unor forţe de aceeaşi direcţie. Fie

scăderea a - (+3). Asupra unui corp acţionează o forţă OM de 3 N îndreptată spre

dreapta. Această scădere dă răspunsul la întrebarea: ce forţă x trebuie că compunem

cu OM ca să obţinem o rezultantă egală cu OA = a N?

Figura următoare corespunde cazului când a > 3. Forţa x trebuie să fie

îndreptată spre dreapta şi să aibă intensitatea NA = a – 3. Pentru a obţine din OA = a

această forţă, trebuie să o compunem cu o forţă OB de 3 N îndreptată spre stânga.

Deci, x = a + (-3). Tot în figura de mai jos avem cazul când a < 3. Forţa x trebuie să fie

îndreptată spre stânga şi să aibă intensitatea NM = 3 – a. Pentru a obţine din OA = a

această forţă, trebuie să o compunem cu o forţă OB de 3 N îndreptată spre stânga.

Deci, x = a + (-3).

29

Fie acum scăderea a - (-3). Este clar că trebuie aplicat în O o forţă orientată

spre dreapta şi cu 3 N mai mare decât OA, deci x = a + (+3). S-a presupus a > 0. Cazul

când a < 0 se tratează la fel. Cazul în care a = 0 sau când scăzătorul este zero este

banal. Acest procedeu are avantajul că se operează cu mărimi care se reprezintă

intuitiv, ca vectori. El are însă dezavantajul că sunt necesare 6 figuri.

Ca minim, se pot da următoarele jusificări:

A micşora venitul, de exemplu, cu 10 lei este tot una cu a mări cheltuielile cu 10

lei, deci: a - (+10) = a + (-10); tot aşa, a micşora cheltuielile cu 10 lei este tot una cu a

mări venitul cu 10 lei, deci: a - (-10) = a + (+10). Sau: noi tragem un corp înainte cu o

anumită forţă, care se exprimă printr-un număr pozitiv, iar corpul opune o rezistenţă

mai mică decât forţa, care se exprimă printr-un număr negativ. Dacă micşorăm forţa,

de exemplu, cu 10 N, rezultatul suferă aceeaşi modificare ca atunci când mărim

rezistenţa cu 10 N, deci a - (+10) = a + (-10); tot aşa, micşorarea rezistenţei cu 10 N

are acelaşi efect ca mărirea forţei cu 10 N, deci a - (-10) = a + (+10).

Aceste justificări sunt incomplete pentru că ele au sens numai dacă descăzutul

este suficient de mare. Astfel, în primul exemplu de mai sus, venitul trebuie să fie de

cel puţin 10 lei ca să-l poţi micşora cu 10 lei. Acelaşi inconvenient îl are şi interpretarea

b) de mai sus.

30

5. Suma algebrică. Se constată deseori că elevii nu au idei destul de clare despre

această noţiune. Aici trebuie menţionate două fapte. În aplicaţii, în special în fizică,

cuvântul algebric arată că termenii sumei pot fi şi negativi. De exemplu, la compunerea

forţelor care au acelaşi punct de aplicaţie şi aceeaşi direcţie, rezultanta este egală cu

suma algebrică a componentelor. Precizarea că suma este algebrică exprimă că

intensităţile componentelor se exprimă prin numere întregi, pozitive sau negative, care

se numeau pe vremuri numere algebrice. În algebră, expresia sumă algebrică se referă

la notaţie.

În calcule numerice, semnele „+” şi „-” nu se folosesc ca semne ale operaţiilor, ci

ca semne ale numerelor. Expresia 3 + 8 – 2, de exemplu, este suma numerelor +3, +8 şi -

2; adunarea este indicată prin simpla înşirare a termenilor. Trecerea de la scrierea

completă la această scriere, prescurtată, se face pe baza regulii de desfacere a

parantezelor: dacă în faţa unei paranteze se găseşte semnul „+”, se lasă la o parte

semnul „+” şi pranteza şi se păstrează semnul din interiorul parantezei. Astfel,

expresia 3 + 8 – 2 de mai sus provine de la (+3) + (+8) + (-2). Este drept că în cazul

numerelor pozitive, ca la... + (+8), este indiferent care din cele două semne „+” se

păstrează, dar este mai bine să se spună că se păstrează semnul al doilea, căci în felul

acesta se obţine o regulă generală, valabilă şi când termenul respectiv este negativ, ca

în cazul lui... +(-2), şi când al doilea termen este o sumă, ca:

6 + (3 – 5 – 4) = 6 + 3 – 5 – 4.

6. Înmulţirea. Anticipând asupra celor ce urmează, spunem că este foarte greu să se

justifice în şcoală regula înmulţirii numerelor întregi.

a) În unele manuale se procedează astfel:

Se porneşte de la legea mişcării uniforme S = vt, se alege pe traiectorie un sens

pozitiv şi se introduce viteza negativă şi timpul negativ. Apoi se consideră v > 0 (mobilul

se mişcă de la stânga la dreapta) şi se arată că înainte de momentul zero mobilul se

găseşte la stânga originii, deci v > 0, t < 0 dau S < 0, iar după momentul zero el se

găseşte la dreapta originii, deci v > 0, t > 0 dau S > 0. Pe urmă se consideră v < 0

(mobilul se mişcă de la dreapta spre stânga) şi se constată că v < 0, t < 0, dau S > 0, iar

v < 0, t > 0 dau S < 0.

Observaţii asupra felului cum primesc elevii aceste aplicaţii arată că le urmăresc

foarte greu şi, la sfârşitul lecţiei, se simt uşuraţi când li se dă regula. Parcă ar

exclama: „De ce nu ne-aţi spus asta de la început?” Cauzele eşecului par să fie

următoarele:

Se folosesc noţiuni cu care elevii nu sunt familiarizaţi. Ei sunt obişnuiţi de la

aritmetică şi fizică să exprime viteza şi timpul prin numere pozitive. Acum aceste

mărimi se exprimă pentru prima oară prin numere negative, de aceea totul merge greu.

Acest inconvenient ar putea fi înlăturat dacă s-ar face în prealabil un număr suficient

de exerciţii adecvate.

De neînlăturat este cauza următoare: se procedează invers ca de obicei. De

obicei se învaţă întâi o operaţie, apoi acea operaţie se aplică la rezolvarea unor

probleme. De exemplu, ca să luăm chiar înmulţirea, elevii învaţă întâi cum se înmulţesc

două numere şi pe urmă aplică aceasta, pentru a afla producţia totală când se cunoaşte

31

producţia în unitatea de timp şi timpul, şi la alte probleme asemănătoare. În acest caz,

însă, ştim să rezolvăm problema în faţa căreia ne găsim, căci ştim să determinăm

poziţia mobilului în orice moment, înainte şi după momentul t = 0, şi vrem să deducem

de aici regula de înmulţire a numerelor întregi. Toată explicaţia lasă întrucâtva

impresia că lucrurile se aranjează aşa fel încât să iasă bine.

La aceasta se adaugă faptul următor, care face ca şi un elev care a urmărit

raţionamentele până la capăt să rămână prea puţin convins. Regula înmulţirii se justifică

printr-o singură interpretare a numerelor negative. Această interpretare nu este

destul de caracteristică ca să putem deduce din ea regula generală. Din aceste motive,

acest procedeu nu este recomandabil.

Faptul că aici se foloseşte o formulă nu înseamnă că regula semnelor se

demonstrează. Nici aici nu se scot concluzii din propoziţii anterioare. Formula S = vt

are numai rolul de ghid. Se pune la bază cerinţa ca această formulă să fievalabilă şi

când v < 0 sau t < 0, iar judecăţile care se fac au numai rostul de a arăta cum trebuie să

facem înmulţirea ca această cerinţă să fie satisfăcută.

b) Foarte ispititor este procedeul următor: înmulţirea cu un număr a se

interpretează ca o dilatare sau o comprimare a axei numerelor, urmată sau nu de o

simetrie în raport cu originea. Pe semiaxa pozitivă, înmulţirea cu numărul pozitiv a face

ca fiecărui punct M să-i corespundă un punct N, astfel ca 0N = aOM. Dacă a > 1, ON >

OM, iar dacă a < 1, ON < OM. În primul caz, axa se dilată, în cazul al doilea se

contractă. Când a = 1, avem o transformare identică, fiecare punct coincide cu

transformatul său.

Pe de altă parte, dacă numărului relativ x îi corespunde pe axă punctul M,

opusului său, -x, îi corespunde pe axă punctul N, simetric cu M faţă de origine.

Înmulţirea numerelor întregi se face astfel: fie a şi b două numere întregi. Se ia

pe axă punctul A de abscisă a, apoi de aceeaşi parte a originii punctul M, astfel ca OM

să fie egal cu |b|OA. Dacă b > 0, abscisa punctului M este produsul ab; dacă b < 0, se ia

punctul M’ simetric cu M faţă de O şi abscisa lui M’ este produsul ab. Poziţia faţă de O

a punctului final, M sau M’ (dacă punctul final cade la dreapta sau la stânga lui O)

depinde de semnele numerelor a şi b şi ne dă regula semnelor. În figura următoare se

văd toate cazurile posibile.

Să explicăm, pentru exemplificare, ultimul caz. Deoarece a < 0, punctul A cade la

stânga lui O; punctul M - de asemenea (M este totdeauna de aceeaşi parte cu A, căci

segmentul OA se înmulțeşte cu numărul pozitiv |b|) deoarece b < 0, trebuie să luăm

32

simetricul lui M faţă de O, adică M’, care cade la dreapta lui O. Deci produsul este

pozitiv. În figură s-a luat în toate cazurile |b| > 1; dacă |b| < 1, rezultatele nu se

schimbă, căci M cade între O şi A, dar tot de aceeaşi parte cu A.

Oricât de frumoasă ar fi această justificare, ea nu este decât o reprezentare,

un model. Ea arată că există o anumită transformare a punctelor de pe axa numerelor

care se pot descrie cu ajutorul regulii semnelor, dar ea nu constituie o demonstraţie a

acestei reguli. De asemenea, nu se vede legătura cu semnificaţia concretă a înmulţirii

din aritmetică. De exemplu, de aici nu rezultă nici pe departe că, de exemplu, formula S

= vt este valabilă şi când v sau t este negativ.

În fond, fiecare dintre aceste justificări, cea bazată pe formula S = vt şi cea

bazată pe transformările punctelor de pe o dreaptă, sunt nişte reprezentări ale

numerelor întregi. Prin ele se arată că numerele întregi sunt un model matematic al

unor lucruri concrete sau, invers, că aceste lucruri sunt modele ale numerelor întregi.

Principalul cusur al acestor modele este faptul că ele sunt prea eterogene şi, din cauza

aceasta, prea puţin convingătoare.

Dat fiind că nu se cunoaşte nici un mijloc de a da în şcoala generală o justificare

satisfăcătoare a regulii semnelor, nu rămâne altă cale decât de a da această regulă

fără nici o justificare. Dacă se dă, totuşi una sau alta dintre justificările de mai sus, ea

trebuie dată după ce elevii cunosc regula.

Foarte bine primite de elevi sunt exemplele următoare: reprezentăm expresiile

sunt şi nu sunt respectiv prin semnele „+” şi „-”; de asemenea cuvintele prezent şi

absent, notând prezenţa prin „+” şi absenţa prin „-”. Compunând una dintre expresiile

sunt şi nu sunt cu unul dintre cuvintele prezent şi absent, rezultă o prezenţă sau o

absenţă, aşa cum se vede în tabelul de mai jos:

Primul termen Termenul al doilea Rezultatul

sunt...............+ prezent................+ prezenţă.......+

sunt...............+ absent.................— absenţă........—

nu sunt...........— prezent.................+ absenţă.......—

nu sunt...........— absent..................— prezenţa.......+

Se vede bine că semnele „+” şi „-” se compun ca după regula semnelor. În loc de

prezent şi absent se poate lua orice pereche de cuvinte care reprezintă noţiuni opuse,

33

de exemplu: reuşit şi căzut (la examen), frumos şi urât, bun şi rău, pregătit şi

nepregătit ş.a.

Alt exemplu. Considerăm o bicicletă care merge pe o şosea orientată şi pe care

se poate pedala în ambele sensuri. Ataşăm orientării iniţiale a bicicletei, pedalării şi

mersului bicicletei unul din semnele „+" sau „-”, după cum urmează. Dacă bicicleta este

aşezată cu ghidonul spre partea pozitivă a şoselei, îi ataşăm semnul „+”, iar în cazul

contrar semnul „-”; pedalării îi ataşăm semnul „+” sau „-”, după cum se pedalează normal

sau invers; în sfârşit, dacă bicicleta merge în sensul pozitiv de pe şosea, ataşăm

mersului ei semnul ,,+”, în cazul contrar semnul „-”.

În aceste condiţii, semnul ataşat mersului bicicletei rezultă din celelalte semne.

Dacă bicicleta este aşezată cu ghidonul în sensul pozitiv al şoselei (+) şi se pedalează

normal (+), bicicleta merge în sens pozitiv (+), deci: plus cu plus dă plus; dacă bicicleta

este aşezată la fel (+) şi se pedalează invers (-), ea merge în sensul negativ (-), deci:

plus cu minus dă minus ş.a.m.d.

În toate exemplele acestea, este vorba de o mulţime de două elemente, şi

în care este definită următoarea lege de compoziţie „o”: o = o = , o = o = .

Această lege de compoziţie nu are nimic comun cu înmulţirea în sensul obișnuit al

cuvântului, ea nu justifică nici pe departe regula semnelor. Totuşi, elevii urmăresc cu

mult interes aceste exemple, se înregistrează adevărate exclamaţii de uimire şi de

bucurie. Se datoreşte, oare, aceasta faptului că elevii descoperă relaţii de acelaşi tip

între lucruri atât de diferite? Devine regula semnelor mai plauzibilă prin faptul că

elevii văd că relaţii asemănătoare există şi între lucruri din viaţa de toate zilele. Cert

este că cele câteva minute necesare pentru aceste exemple nu sunt timp pierdut, chiar

dacă totul se reduce la un simplu divertisment.

7. Formularea regulii semnelor. Felul în care trebuie formulată regula semnelor a dat

naştere la unele discuţii. Se folosesc în şcoală două formulări:

a) prima este cea care se găseşte la primii algebrişti europeni: + cu + dă +, + cu -

dă - ş.a.m.d.;

b) a doua este de forma: dacă ambii factori sunt pozitivi, produsul este pozitiv,

dacă unul din factori este pozitiv, iar celălalt este negativ... sau, mai concentrat:

produsul a doi factori este pozitiv sau negativ, după cum factorii sunt de acelaşi semn

sau de semne diferite.

34

Prima formulare corespunde felului în care se foloseşte efectiv în practică

această regulă. În cazul înmulţirii (-8)(+6), de exemplu se spune: „+ cu – dă –” şi se scrie

semnul „-”; apoi: „ 4868 ” şi se scrie lângă semnul „-” numărul 48. Nu stă nimeni să

compare semnele, să vadă dacă cele două numere au acelaşi semn sau nu. Împotriva

acestei formulări unii fac obiecţiuni cu caracter gramatical sau stilistic. Exprimări de

tipul: + cu + dă +, spun ei, nu sunt corecte din punct de vedere gramatical sau, cel puţin,

nu sunt frumoase. S-a înregistrat şi un argument cu aspect ştiinţific, şi anume: se

operează cu numere, nu cu semne.

Socotim că aceste obiecţiuni nu pot fi primite, ele sunt expresia unui pedantism.

În afară de argumentul invocat mai sus în favoarea primei formulări - că ea este cea

vie - pledează un fapt mai important, şi anume: când factorii sunt numere

nedeterminate, reprezentate prin litere, nu se ştie dacă ele reprezintă numere

pozitive sau negative, de aceea cel care cunoaşte regula semnelor numai în formularea a

doua nu poate efectua înmulţirea. De exemplu, (-x)(+y)=? Dacă x > 0 şi y > 0, factorii au

semne diferite, deci produsul este negativ; dacă x<0, y>0, factorii au acelaşi semn deci

produsul este pozitiv ş.a.m.d. Nu se ştie semnul produsului pentru că nu se cunosc

semnele factorilor. Mai mult, chiar dacă am şti, de exemplu, că produsul este pozitiv,

nu avem cum să scriem rezultatul, căci nu ştim ce semn are produsul xy. În schimb,

regula semnelor în prima formulare dă rezultatul corect: „ – cu + dă –”, deci rezultatul

este: -xy. Aşadar, se operează efectiv cu semne. De fapt, trebuie demonstrat că

formulele (+ x)(+ y) = + xy, (+ x)(- y) = - xy etc. Sunt valabile oricare ar fi numerele

întregi x şi y. Dar în şcoală acest lucru nu se face.

Ceea ce se face în unele manuale este de-a dreptul o mistificare. După ce s-a

arătat, de exemplu, că (4 – 3)(- 5) = - 15, (- 3)(- 5) = + 15 ş.a.m.d., se înlocuiesc cifrele

prin litere şi se scrie (+ a)(- b) = - ab, (- a)(- b) = + ab ş.a.m.d, trecându-se sub tăcere

că aici literele reprezintă numere pozitive (aritmetice), apoi aceste formule se

folosesc - fără nici un drept - şi atunci când a şi b sunt numere întregi. În felul acesta

se alunecă deasupra dificultăţilor. Aşa s-au petrecut lucrurile şi în istoria algebrei. O

greșeală asemănătoare apare la formulele: + (+ a) = + a, + (- a) = - a ş.a.m.d.

De vreme ce dăm fără motivare o regulă, atunci s-o formulăm aşa cum o aplicăm;

să nu fie discordanţă între ceea ce spunem şi ceea ce facem. În concluzie, regula

semnelor trebuie dată sub forma: + cu + dă +; + cu - dă -; - cu + dă -; - cu - dă + . Nu

degeaba se numeşte această regulă regula semnelor.

Am spus mai sus că, după ce s-a arătat cum se înmulţesc două numere întregi,

trebuie demonstrat că formulele (+ x)(+ y)= + xy, (+ x)(- y)= - xy ş.a.m.d. sunt valabile

oricare ar fi numerele întregi x şi y. Să demonstrăm, de exemplu, că (- x)(+ y) = - xy.

Trebuie să deosebim patru cazuri:

1) x > 0, y > 0. În acest caz, primul factor este negativ, al doilea este pozitiv,

deci produsul trebuie să fie negativ; în partea dreaptă, factorii x şi y sunt pozitivi,

deci xy este pozitiv, iar - xy este negativ. Egalitatea are loc.

2) x < 0, y > 0. În acest caz, (- x) este pozitiv, y de asemenea, deci produsul

trebuie să fie pozitiv; în partea dreaptă, x este negativ, y este pozitiv, deci xy este

negativ, iar -xy este pozitiv. Egalitatea are loc.

35

3) x > 0, y < 0. Acum ambii factori (- x) şi y sunt negativi, deci produsul trebuie

să fie pozitiv; în partea dreaptă, x este pozitiv, y este negativ. Deci xy este negativ,

iar (- xy) este pozitiv. Egalitatea are loc.

4) x < 0, y < 0. De data aceasta, - x este pozitiv, y este negativ, deci produsul

trebuie să fie negativ; în partea dreaptă, x şi y sunt negativi, deci xy este pozitiv, iar -

xy este negativ. Egalitatea are loc.

Aşadar, relaţia (- x)(+ y) = - xy este valabilă în toate cazurile. În mod analog se

demonstrează că (+ x)(+ y) = + xy, (+ x)(- y) = - xy şi (- x)(- y) = + xy. În total, trebuie

examinate 1644 cazuri.

Dacă regula semnelor se dă în formularea a doua, această demonstraţie trebuie

făcută atunci când se trece la calculul literal, mai precis: la înmulţirea monoamelor. În

mod obişnuit, acest lucru nu se face. Ar fi şi prea mult pentru şcoala generală. S-ar

putea proceda astfel: în clasă să se dea regula semnelor sub prima formă, să se aplice

întâi la cazuri numerice, iar când se trece la calculul literal să se menţioneze că se

aplică tot regula semnelor, deşi nu se ştie dacă literele reprezintă numere pozitive sau

negative, iar la cerc - dacă există - să se facă demonstraţia de mai sus.

8. Împărţirea. Spre deosebire de scădere, această operaţie nu prezintă nici un fel de

dificultăţi. Împărţirea se defineşte ca operaţia inversă a înmulţirii: a împărţi, de

exemplu, +8 prin -2 înseamnă a găsi un număr care, înmulţit cu -2, să dea +8. Pentru a

obţine rezultatul, se observă întâi că valoarea absolută a câtului este 4. Dacă luăm

(+4), condiţia nu este îndeplinită, căci (+ 4)(- 2) = - 8, nu + 8; dacă, însă, luăm (- 4) da,

căci (- 4)(- 2) = + 8, adică deîmpărţitul. Se consideră apoi cazurile: (+8):(+2), (-8):(+2) şi

(-8):(-2) şi, în cele din urmă, se constată că regula semnelor la împărţire este aceeaşi

ca la înmulţire.

Nu este cazul să se trateze şi împărţirea cu rest. Această operaţie nici nu este

bine definită pentru numere întregi. De exemplu: ?614 Avem: 14 = (-5)(-2) + 4 şi

14 = (-5)(-3) - 1. Deci, respectând condiţia ca restul să fie în valoare absolută mai mic

decât împărţitorul, obţinem două câturi şi două resturi: -2 şi +4, precum şi -3 şi -1.

Dacă |a| nu este divizibil prin |b|, câtul dintre a şi b este fracţia ,b

a unde

semnul se stabileşte după regula semnelor. De exemplu, 5

35:3 (+ cu – dă -,

.5

35:3 Acest mod de a prezenta lucrurile nu este în concordanţă cu construcţia

sistematică a corpului numerelor raţionale, dar el este o consecinţă a modului în care se

introduc numerele negative în şcoală. În acest cadru, o definiţie ca: număr raţional este

numărul de forma n

m sau care poate fi adus la această formă, m şi n fiind numere

întregi, transplantată din construcţia sistematică, nu are nici un sens. Ca şi în cazul

numerelor negative, se defineşte o noţiune prin simbolul prin care se notează; în locul

liniei de fracţie s-ar putea folosi o linie oblică sau două puncte (m/n sau m:n). Folosind

numai fracţii de forma ,b

a unde a şi b sunt numere naturale, se păstrează şi

36

semnificaţia concretă a fracţiilor. De exemplu, 5

3 unde poate reprezenta o forţă de

5

3 N îndreptată în sens negativ, o temperatură de grade sub zero ş.a.m.d. În cazul

scăderii ,9

7

9

2 de exemplu, se spune: 2-7 =-5 şi se scrie rezultatul ,

9

5 deci se

consideră că semnul „-” aparţine numărătorului, adică se face operaţia .9

7

9

2

9. Procedee didactice. Considerăm că în predarea operaţiilor cu numere întregi se

poate proceda astfel: regula adunării se justifică pe larg, prin mai multe interpretări;

scăderea se tratează mai pe scurt, regula înmulţirii se dă fără nici o justificare,

eventual cu o justificare ulterioară, iar regula împărţirii se demonstrează pe baza

regulii înmulţirii. Luăm cazul în care se urmează această cale.

a) Predarea adunării este complexă, căci trebuie deosebite numeroase cazuri,

după semnele termenilor, şi trebuie date mai multe interpretări ale numerelor întregi.

Ca predarea să fie clară, este bine să se dea la început o singură interpretare. În

privinţa termenilor sumei a+ b, trebuie considerate cazurile următoare: 1) a > 0, b > 0;

2) a < 0, b < 0; 3) a > 0, b < 0, a > |b|; 4) a > 0, b < 0, a < |b|; 5) a < 0, b > 0, |a| > b; 6) a <

0, b > 0, |a| < b; 7) a = 0, b 0; 8) a 0, b = 0.

Deşi, par a fi de prisos, cazurile 5) şi 6) sunt necesare, căci nu avem dreptul să

folosim comutativitatea adunării. Trebuie verificate pe diferitele interpretări

concrete ale numerelor întregi că adunarea este comutativă.

În partea introductivă a lecţiei, profesorul arată prin exemple cum se face

adunarea, folosind interpretări diferite ale numerelor întregi şi numere diferite. De

exemplu: (+7) + (-3) = ? Câştig 7 lei, apoi pierd 3 lei, deci rămân cu un câştig de 4 lei,

prin urmare răspunsul este (+4). Apoi: (-8) + (-4) = ? Un punct se mişcă pe axa

numerelor pornind din origine şi se deplasează întâi cu 8 unităţi spre stânga, apoi cu 4

unităţi spre stânga, deci el ajunge în punctul -12. Prin 3-4 exemple de acest fel, elevii

îşi formează o idee generală despre diferitele cazuri posibile şi văd cum se obţine

rezultatul. Abia după această pregătire se poate trece la o tratare sistematică. Se

scriu pe tablă opt probleme ca:

1. (+8) + (+4) = 2. (-8) + (-4) = 3. (+9) + (-3) = 4. (+5) + (-8) =

5. (-9) + (+5) = 6. (-3) + (+7) = 7. (+3) + 0 = 8. 0 + (+3) =

Fie că profesorul dă acest tablou - ceea ce este preferabil, altfel se pierde

prea mult timp - fie că el se alcătuieşte cerând elevilor să imagineze diferite cazuri, în

orice caz trebuie arătat elevilor că el cuprinde întradevăr toate cazurile posibile. Apoi

se dă răspunsul la fiecare din aceste întrebări folosind aceeaşi interpretare. Luăm

cazul când se începe cu interpretarea prin credit şi debit. Profesorul spune „Vom

interpreta aceste numere ca bani” şi rezolvă, ca model, una dintre probleme, de

exemplu problema 5: Pierd 9 lei, apoi câştig 5 lei, deci rămân cu o pierdere de 4 lei,

deci răspunsul este (-4). Apoi cere elevilor să rezolve astfel celelalte probleme. La

37

această lucrare pot fi antrenaţi mulţi elevi, fiecare să dea răspunsul la una dintre

probleme. De fiecare dată se scrie răspunsul în dreptul semnului egal.

După ce toate problemele au fost rezolvate, răspunsurile se şterg şi lucrarea se

ia de la început, rezolvându-se din nou toate cele opt probleme, folosind o altă

interpretare. Ca a doua interpretare se recomandă temperatura - căci ea este cea mai

apropiată de cea precedentă. Întradevăr, temperatura caracterizează un corp din

punct de vedere caloric, iar bilanţul caracterizează situaţia unei întreprinderi sau a

unei persoane din punct de vedere financiar; un corp primeşte sau cedează căldură - un

om câştigă sau pierde bani. Deci, profesorul cere să se rezolve din nou problemele,

după modelul (problema 4): Un corp are 0°, se încălzeşte cu 5°, apoi se răceşte cu 8°,

deci temperatura sa finală este de -3°, deci răspunsul este -3 Urmează interpretarea

pe axa numerelor după modelul dat mai sus (problema 2) şi interpretarea ca forţe, după

modelul (problema 4): Asupra unui corp lucrează o forţă de 5 N îndreptată spre

dreapta şi o forţă de 8 N îndreptată spre stânga; rezultanta este o forţă de 3 N

îndreptată spre stânga - rezultatul este -3.

Eventual, acest studiu se poate completa cu unele exerciţii „transversale”. Se ia

o problemă oarecare şi se dă răspunsul pe baza celor patru interpretări.

În timpul acestor exerciţii, în mintea elevilor se produc de la sine generalizările

- când un elev ridică mâna ca să dea un răspuns este o dovadă că el vede cu oarecare

claritate toate răspunsurile - şi nu rămâne decât să se formuleze regulile. Nu ne putem

aştepta să obţinem de la elevi formularea justă. Profesorul, după ce îndreaptă atenţia

elevilor asupra primelor două probleme, trebuie să intervină cu întrebări ca: „Ce

operaţie se face cu valorile absolute?” - „Ce semn are rezultatul?”. În mod analog se

obţine regula a doua, pentru cazul când termenii sunt de semne diferite, îndreptând

atenţia elevilor asupra problemelor 3-6. În cazurile 7 şi 8, când unul din termeni este

zero, se poate aplica oricare dintre cele două reguli.

După ce se enunţă regulile şi se fac câteva exerciţii, se poate adăuga

următoarea observaţie recapitulativă: dacă ambele variaţii au loc în acelaşi sens (adică

avem de-a face numai cu câştiguri sau numai cu pagube, numai cu încălziri sau numai cu

răciri ş.a.m.d.), se face o adunare, iar suma are acelaşi semn cu cei doi termeni, căci din

două câştiguri rezultă un câştig, din două pagube - o pagubă, din două deplasări într-un

anumit sens - o deplasare în acelaşi sens ş.a.m.d. Dacă, însă, una dintre variaţii are loc

într-un sens, iar cealaltă în alt sens (câştig şi pagubă, încălzire şi răcire ş.a.m.d.), se

face o scădere, iar în privinţa semnului „învinge cel care este mai tare”.

În formularea uzuală, numerele pozitive apar ca deosebite de cele folosite în

aritmetică. De exemplu, (+ 9) + (- 4) = + 5. Este de ajuns să se spună că se scade

valoarea absolută mai mică din valoarea absolută mai mare, totuşi se adaugă: şi în faţa

rezultatului se pune semnul „+”. Consecvent cu ideea că numerele pozitive sunt identice

38

cu cele cunoscute de la aritmetică, regulile adunării ar trebui formulate astfel: 1)

pentru a aduna două numere negative, se adună valorile lor absolute şi se ia opusul

sumei (se schimbă semnul sumei); 2) pentru a aduna două numere de semne contrare, se

scade valoarea absolută mai mică din valoarea absolută mai mare; dacă termenul pozitiv

are o valoare absolută mai mare decât cel negativ, rezultatul rămâne neschimbat, iar

dacă termenul negativ are o valoare absolută mai mare, se schimbă semnul sumei. Nu

este nevoie de nici o regulă care să arate cum se adună două numere pozitive. Totuşi,

regula se dă de dragul simetriei.

b) Am arătat mai sus că în predarea regulii scăderii apar greutăţi reale. Elevii îşi

însuşesc uşor regula - dar cei mai mulţi nu ştiu să o motiveze. S-au dat mai sus diferite

procedee. Dacă se adoptă procedeul a), nu trebuie folosită exclusiv metoda expozitivă.

Este suficient ca profesorul să arate cum se face scăderea, verificarea o pot face

elevii sub conducerea profesorului. Deci, profesorul aminteşte întâi definiţia scăderii şi

cum se face proba scăderii, apoi consideră, de exemplu, scăderea a-(+3) şi spune:

„Trebuie să găsim un număr care, adunat cu (+3), să dea 2”. Nu are nici un rost să ceară

de la elevi răspunsul, de aceea tot el continuă: „Numărul căutat este a + (-3), în loc să

scădem (+3), adunăm (-3)” şi scoate un elev la tablă să facă proba. Se ia apoi încă un

caz în care scăzătorul este pozitiv, cum ar fi a - (+7), şi de data aceasta se cere clasei

să dea răspunsul: a + (-7). Se face din nou proba şi apoi se formulează regula: Când în

faţa unei paranteze avem semnul „-”....

După aceea se trece la cazul când scăzătorul este negativ; se procedează la fel

şi se constată că şi de data aceasta se suprimă semnul „-” şi paranteza, schimbându-se

semnul din interiorul parantezei.

c) Regula scăderii se formulează şi astfel: pentru a scădea un număr, se adună

opusul său. Formularea uzuală, în care se arată cum se desfac parantezele, corespunde

mai bine modului în care se lucrează efectiv. Prin ea se descrie efectiv tehnica

operaţiei şi de aceea ea este preferabilă. În afară de aceasta, regulile de desfacere a

parantezelor se extind şi pentru cazul când paranteza conţine mai mulţi termeni. În

unele manuale, regulile de desfacere a parantezelor se dau şi sub formă de formule:

+ (+ a) = + a, + (- a) = - a, - (+ a) = - a, - (- c) = + a.

Aceste formulări nu sunt fericite. Din punct de vedere psihologic, ele nu sunt

eficiente, căci în practică elevul nu se ghidează după ele. În acest moment, la începutul

algebrei, el încă nu este atât de obişnuit cu folosirea literelor încât să vadă în numerele

cu care operează valori ale variabilei a - el se ghidează după exemplele numerice pe

care s-a dat explicaţia sau după regula formulată în cuvinte. Pe de altă parte, în aceste

formule a reprezintă partea din număr care se scrie cu cifre, de exemplu în cazul

numărului -5, a este 5. Îi obişnuim astfel pe elevi cu ideea că literele reprezintă

numere pozitive - idee de care ei se eliberează greu mai târziu.

d) Elevii au de la artimetică ideea că a aduna înseamnă a mări şi a scădea

înseamnă a micşora, adică suma a două numere este mai mare decât fiecare dintre

termeni, iar diferenţa este mai mică decât descăzutul. După ce se predă adunarea şi

39

scăderea numerelor întregi, trebuie arătat că acest lucru nu mai este totdeauna

adevărat în cazul numerelor întregi. După câteva exemple, se poate ajunge la concluzia

că: a + b este

,0,

0,

bdacaa

bdacaa a – b este

.0,

0,

bdacaa

bdacaa

O formulare mai familiară ar fi următoarea: dacă al doilea termen este negativ,

„adunarea micşorează, iar scăderea măreşte”, adică se obţine efectul contrar celui cu

care elevii sunt obişnuiţi. De asemenea, trebuie arătat că prin folosirea numerelor

negative unele cuvinte capătă sensul contrar celui obişnuit. Pentru aceasta este util să

cerem elevilor să arate ce sens au expresiile: un câştig de -100 de lei, o pagubă de -100

de lei; o încălzire cu -5°, o răcire cu -5°; o scumpire cu -30 de lei, o ieftinire cu -30 de

lei; o depăşire a normei cu -15%, o rămânere în urmă faţă de normă cu -10% ş.a. Faptul

că o pagubă de -100 lei este un câştig de 100 lei sau o coborâre cu -10 m reprezintă o

urcare cu 10 m se datoreşte regulii scăderii, căci paguba sau coborârea se exprimă

printr-o scădere, iar pentru a scădea un număr negativ se adună numărul pozitiv

corespunzător, deci se obţine un câştig, o urcare.

e) Proprietăţile fundamentale ale operaţiilor: comutativitatea şi asociativitatea

adunării şi înmulţirii, precum şi distributivitatea înmulţirii faţă de adunare trebuie

tratate la fel ca operaţiile respective. La adunare, unde se dau mai multe interpretări

concrete, este bine să se învedereze comutativitatea prin aceste interpretări. De

exemplu, (+8) + (-3) trebuie să dea acelaşi rezultat ca (-3) + (+8), pentru că este

indiferent dacă încasez întâi 8 lei şi cheltuiesc pe urmă 3 lei sau, invers, cheltuiesc întîi

3 lei şi încasez pe urmă 8 lei. De asemenea, [(+ 600) + (- 200)] + (+ 300) trebuie să dea

acelaşi rezultat ca (+ 600) +[(- 200) + (+ 300)], pentru că, dacă o fermă are trei secţii,

din care prima are un câştig de 600 de lei, a doua o pierdere de 200 de lei, iar a treia

un câștig de 300 de lei, este indiferent dacă facem întâi bilanţul pentru primele două

secţii şi apoi bilanţul total, ţinând seama şi de secţia a treia sau dacă facem întâi

bilanţul secţiilor a doua şi a treia.

Este important să se atragă atenţia elevilor asupra faptului că, datorită sumei

algebrice, comutativitatea şi asociativitatea adunării se pot folosi şi în cazul unui şir de

adunări şi scăderi. O expresie ca +3-7-2+4 fiind considerată ca sumă, putem aduna

separat termenii pozitivi şi separat cei negativi şi aduna rezultatele - procedeu util în

practică.

În ceea ce priveşte înmulţirea, situaţia este alta. Din justificările concrete,

chiar dacă se dau, se deduce greu că înmulţirea este comutativă şi asociativă. Dacă se

foloseşte formula S = vt nu este deloc sigur că, de exemplu, dacă v = + 40, mobilul se

află în momentul t = - 3 în acelaşi punct ca în momentul t = + 40, când v = - 3; iar despre

asociativitate nu poate fi vorba, căci în această interpretare a înmulţirii nu poate să

apară un produs de trei factori.

Comutativitatea înmulţirii numerelor întregi rezultă din proprietatea

corespunzătoare a numerelor pozitive şi din simetria regulii semnelor: + cu + dă +, şi -

cu - dă tot + ; + cu - dă -, şi - cu + dă tot -. Asociativitatea este un lucru complicat. Ar

trebui considerate opt cazuri, când semnele factorilor sunt +++, ++-, +-+ ş.a.m.d. Este

40

suficient dacă proprietatea se verifică pe 2-3 exemple. De asemenea, şi

distributivitatea faţă de adunare.

f) Ca exerciţii la acest capitol este neapărat necesar să se dea, la adunare, la

scădere şi la suma algebrică câteva probleme cu text, în care să intervină semnificaţia

concretă a sumelor întregi şi a operaţiilor cu ele. În ceea ce priveşte exerciţiile de

calcul - ca în alte împrejurări asemănătoare - trebuie să se pună accentul pe ceea ce

este nou. Cel puţin la început trebuie să se dea exerciţii cu numere simple, care să nu

dea naştere la calcule complicate. Ar fi o greșeală să se dea exerciţii în care intervin

numere mari, fracţii ordinare şi zecimale, căci în acest caz efortul elevilor este

îndreptat într-o direcţie diferită de cea care interesează aici.

La sfârşitul capitolului trebuie făcute exerciţii în care intervin toate operaţiile,

paranteze obişnuite, paranteze mari şi acolade. Pentru ca aceste exerciţii să fie mai

puţin artificiale şi enunţurile să fie mai simple, sunt de preferat exerciţiile în care se

cere să se afle valoarea numerică a unei expresii date, de exemplu: să se afle valoarea

expresiei yx

xyx

25

32

pentru .5;

3

2 yx

Şi aici trebuie păstrată măsura, să nu se dea expresii prea complicate. Exemplul

de mai sus este destul de complicat. Tehnica de calcul nu se formează odată pentru

totdeauna; capitolele următoare oferă prilej suficient pentru desăvârşirea ei treptată.

Dacă în cadrul acestor exerciţii apar greutăţi datorită unor lipsuri din clasele

anterioare, profesorul nu trebuie să se descurajeze.