Modele Probleme ISA+Rezolvare

8/3/2019 Modele Probleme ISA+Rezolvare

1/16

1

Stabilitatea sistemelor cu reactie

Sistem strict stabil daca

gradul numaratorului lui H(s) (H(z)) gradul numitorului lui H(s) (H(z)) si/sau toti polii lui H(s) semiplanul stang (interiorul cercului unitate pt. timp discret).Stabil in sens larg daca

polii H(s), sp axa j (imaginara) /polii H(z) zp cercul unitate r=1 pt timp discret.

Sistemul e stabil numitorul lui H(s) este polinom Hurwitz.

Q(s) strict/sens larg Hurwitz daca are coeficienti reali, (strict/nu) pozitivi + radacini in semiplanul stang (adica au Re{r} < 0)Un polinom Hurwitz are toti determinantii de ordin n, n > 0. In sens larg daca k=0.

1 3 5 7

0 2 4 6

1 3 5

2 4 6

1 3

... 0

... 0

0 ... 0

0 ... 0

0 0 ... 0

.. . . . ...

0 . . . ...

n

n

a a a a

a a a a

a a a

a a a

a a

a

=

( )

( )

( )

( ) ( )1Y s H s

X s H s G s=

+(t.continuu)

( )

( )

( )

( ) ( )1

Y z H z

X z H z G z=

+(t.discret)

( ) ( ) ( )W s H s G s= respectiv ( ) ( ) ( )W z H z G z= functia de transfer in bucla deschisa.

Sistemul in bucla deschisa strict stabil daca

radacinile 1+W(s)=0 semiplanul stang fara axa j. (partea reala


2/16

2

Criteriul de stabilitate Nyquist

( )

( )

( )

( ) ( )1Y s kH s

X s H s G s=

+respectiv

( )( )

( )( ) ( )1

Y s H s

X s kH s G s=

+

( ) ( ) ( )1

R s H s G sk

= + ( ) ( ) ( )1

R z H z G zk

= +

( ) ( ) ( )1

R s H s G sk

= + sa nu aiba zerouri in semiplanul drept sau pe axa j

=> ( ) ( )( ),

H j G j

= hodograf Nyquist al sistemului in bucla deschisa trebuie sa

inconjoare punctul (-1/k, 0) in sens anti-orar de n ori unde 2i c

n n n= + ,

in = nr poli semiplanul drept,

cn = nr poli de pe axa imaginara (t. continuu)

( ) ( ) ( )1

R z H z G zk

= + nici un zero sa nu fie in afara cercului unitate r=1 (z=ej)

in = nr zerouri din afara cercului r=1, cn = nr poli de pe cercul r=1 (t. discret)


3/16

3

Stabilitatea sistemelor cu reactie. Probleme

Problema 1. Se consider amplificatorul cu funcia de transfer

( )Ga

H ss a

=+

a) care este ctigul n curent continuu al amplificatorului?b) care este constanta de timp a sistemului?c) se definete banda amplificatorului ca i frecvena la care modulul rspunsului n

frecven al acestui sistem este de 2 ori mai mic dect ctigul n curent

continuu. Care este banda amplificatorului considerat?d) Amplificator considerat se plaseaz ntr-o bucl de reacie ca i n figur:

Care este ctigul n curent continuu, constanta de timp, banda amplificatorului cu

reacie?e) Determinai valoarea lui k pentru care banda sistemului n bucl nchis este

dublul benzii sistemului n bucl deschis.

Rezolvare.

a) ( )Ga

H j

j a

=+

. Ctigul n c.c. ( )0H G=

b) ( )1

1 ate t

s a

+

L

.

Dac ( ) ( )t

h t e t

atunci este constanta de timp a sistemului

( ) ( )1at

h t Ga e t a

= =

c) Banda este ( )2

M

GB H j= = . Dar ( )

2 2

GaH j

a

=+

2 2 2T

M

Ga Ga

a

= =

+

d)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )1

Y s X s kY s H s

Y s X s H s kY s H s

Y s kH s X s H s

=

=

+ =

K

Ga

s a+

x(t) y(t)


4/16

4

( )( )

( )( )

( )1

1b

GaY s H s s a H s

Ga X s kH sk

s a

+= = =+ +

+

Ctigul n c.c. al sistemului cu reacie este ( )0 1bG

H kG=

+

( )( )1

b

Ga GaH s

s a kGa s a kG= =

+ + + +

Constanta de timp( )

1

1a kG =

+

( )( )1

b

GaH

j a kG

=+ +

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

2 22

2

2 2 22

2 2 22 2

1 2 1

2 11

1

1 2 1

2 1 1

1

T b

T b

T b

T b

T b

Ga G

j a kG kG

Ga G

kGa kG

a

a kG kG

a kG a kG

a kG

=+ + +

=++ +

=+ + +

+ = + +

= +

e) ( )1

2 1 2T b T a kG a k G

= + = = .

Problema 2.Determinai funciile de transfer ale sistemelor din figur

a)

x(t) H0(s)

G(s)

H1(s) y(t)u(t)


5/16

5

b)

c)

Rezolvare

a) ( ) ( ) ( )0U s X s H s=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1Y s U s Y s G s H s=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 11Y s G s H s U s H s+ =

( )

( )

( )

( ) ( )1

11

Y s H s

U s G s H s=

+

( )( ) ( )

( )( ) ( )

1

0 11

Y s H s

X s H s G s H s =

+

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )1 0

11

Y s H s H s

X s G s H s

=

+

b) [ ] [ ] [ ]u n x n w n= i ( ) ( ) ( )1V z U z H z=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1U z X z W z X z G z V z X z G z H z U z = = =

( ) ( ) ( ) ( )11U z G z H z X z+ =

( )( )

( ) ( )11

X z

U z G z H z= + , dar ( )( )

( )1

V z

U z H z=

( )( ) ( )

( ) ( )1

11

H z X zV z

G z H z =

+

G1(s)

H1(s)y(t)x(t)

G2(s)

H2(s)u(t) v(t) w(t)

x[n]

H0(z)

G(z)

H1(z) y[n]

u[n] v[n]

w[n]


6/16

6

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

0

1

0

11

Y z X z H z V z

H z X zX z H z

G z H z

= +

= ++

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

1

011

Y z H z

H zX z G z H z= +

+

c) ( ) ( ) ( ) ( )2U s X s G s Y s=

( ) ( ) ( )2V s U s H s=

( ) ( ) ( ) ( )1W s V s Y s G s=

( ) ( ) ( )1Y s W s H s=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1Y s H s V s Y s G s =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 2 1

1 2 2 1

Y s H s H s U s Y s G s

H s H s X s G s Y s Y s G s

=

=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 1 1 1 21Y s H s H s G s H s G s H s H s X s+ + =

( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2

1 2 2 1 11

Y s H s H s

X s H s H s G s H s G s=

+ +.

Problema 3. Se d sistemul descris de ecuaia diferenial

6 9 6 8y y y y x x x + + + = + +

cu condiii iniiale nule.Studiai stabilitatea acestui system pe baza criteriului Hurwitz.

Rezolvare.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 3 26 9 6 8s Y s s Y s sY s Y s s X s s X s sX s+ + + = + +

( )( )

3 2

3 2

6 8

6 9 1

Y s s s s

X s s s s

+ +=

+ + +

Polinomul de la numitor are toi coeficienii pozitivi, deci se poate aplica criteriul

Hurwitz.

0 1 2 31, 6, 9, 1a a a a= = = =

1 3 5

3 0 2 4

1 3

6 1 0

1 9 0

0 0 6 1

a a a

a a a

a a

= =

1 6 0 = >

2 54 1 53 0 = = >

3 26 9 1 1 6 0 0 1 0 0 9 0 0 6 6 1 1 1 53 = + + = =

Sistemul considerat este deci stabil.


7/16

7

Problema 4. Se d sistemul n bucl nchis din figur

Determinai valorile lui k pentru care acesta este stabil, dac

a. ( ) ( )1

1H s G s

s=

+

b. ( ) ( )1

1H s G s

s=

c.

( ) ( ) ( )

1

1 110

H s G sss

= + +

d. ( ) ( ) 21

1H s G s

s=

e. ( ) ( )( )

2

1

1H s G s

s=

+

f. ( ) ( )( )

3

1

1H s G s

s=

+

g. ( ) ( ) ( )41

1H s G s

s=

+ (tem).

h. ( ) ( ) 21

4

sH s G s

s

+=

i. ( ) ( ) 21

2 2H s G s

s s=

+ +

Rezolvare

Punctul a. ( ) ( )1

1H s G s

s=

+ ( ) ( )

1

1H j G j

j

=+

, sp = -1

Pentru a desena hodograful se folosesc diagramele Bode.

( ) ( )2

1

1H j G j

=+

( ) ( ) ( )2

220log 10log 1 10log 11

H j G j

= + = +

( ) ( ){ } ( )arg arg 1 arctg arctg1

H j G j j

= + = =

x(t)k

G(s)

H(s)y(t)


8/16

8

=0

=

=1

= -1Sensul nu e antiorar


9/16

9

Sistemul n bucl deschis este stabil => hodograful nu trebuie s ncercuiasc punctul

1,0

k

( )1 1

0 0 sau 1 1,0k kk k

< > >

Deci pentru stabilitate este necesar k>-1!

Punctul b. ( ) ( )1

1H s G s

s=

Sistemul n bucl deschis este instabil cu un pol n semiplanul drept sp=1

( ) ( )2

1

1H j G j

=+

( ) ( ){ } ( )arg arg 1 arctg arctg1

H j G j j

= + = + = +

( ) ( ) 2 2

2 2

Re Im

1 1 1

1 1 1

1

1 1

j jH j G j

j

j

+ += = =

+

= +

+ +

Pentru 0 > ( ) ( ){ }Re 0H j G j < , ( ) ( ){ }Im 0H j G j <

( ) ( ){ }Re H j G j ( ) ( ){ }Im H j G j 0 -1 0

1 -1/2 -1/2

0 0

Conturul Nyquist e strbtut n sens antiorar. Deci sistemul considerat va fi stabil dac

punctul1

,0k

va fi ncercuit o dat n sens antiorar

11 1

110 0

kk

kk

k

> >

> < >

. Deci sistemul este stabil pentru k>1.


10/16

10

=0=

=1

Sens antiorar


11/16

11

Punctul c. ( ) ( )( )

1

1 110

H s G ss

s

=

+ +

. Sistemul n bucl deschis este stabil.

( ) ( )

( )

1

1 110

H j G jj

j

=

+ +

( ) ( )2

2

1

1 110

H j G j

=

+ +

( ) ( )2 2

20log 10log 1 10log 11 10

H j G j

= + +

( ) ( ){ } ( )arg arctg arctg10

H j G j

=

10

1

1 1

kk

k

>

. Sensul nu este antiorar=>punctul1

,0

k

nu trebuie sa fie

incercuit.


12/16

12

Punctul d. ( ) ( )2

1

1H s G s

s=

1,2 1ps = . Sistemul n bucl deschis este instabil.

( ) ( ) ( ) ( ){ }2 21 1

Re1 1

H j G j H j G j

= = = +

; ( ) ( ){ }Im 0H j G j =

Sistemul n bucl deschis are un pol n semiplanul

drept, pentru ca sistemul n bucl nchis s fie

stabil este necesar ca punctul critic s fie ncercuit

o dat n sens antiorar.

1

1 0 1kk < < >

0 1

( ) ( ){ }Re H j G j -1 -1/2 0

=0

=1

=10

=0 =

Sensul nu e antiorar

=

Sensul e antiorar

=1


13/16

13

Punctul e. ( ) ( )( )

( ) ( )( )

2 2

1 1

1 1H s G s H j G j

s j

= =+ +

( ) ( ) 21

1H j G j

=+

( ) ( )2

20log 20log 11

H j G j

= +

( ) ( ){ } ( )arg 2arctgH j G j = Deoarece sistemul n bucl deschis este stabil e necesar ca punctul critic s nu fie

ncercuit1 1

0 sau 1 0 sau 1 0 1k k kk k

< > > < < >

=0

=1

=10



14/16

14

Punctul f. ( ) ( )( )

( ) ( )( )

3 3

1 1

1 1H s G s H j G j

s j

= =+ +

( ) ( )

( )2

3

1

1

H j G j

=

+

( ) ( )2

3

20log 10log 11

H j G j

= +

( ) ( ){ } ( )arg 3arctgH j G j = .

Sens antiorar ( ) ( )1 1 1

1 sau 1 0 sau 8 ,8 1,08

k k kk k

> < < < <

=0

=1

=

= 3Re=-1/8



15/16

15

Punctul g. tem.

Punctul h. ( ) ( ) { }1,2 121

2 Re 04

p p

s H s G s s s

s

+= = >

Rezult c sistemul n bucl deschis este instabil.

( ) ( ) ( ) ( ){ }( ) ( ){ }

2 2

2

1 1Re ,

4 4

Im4

jH j G j H j G j

H j G j

+= =

+

= +

( ) ( ){ }Re H j G j ( ) ( ){ }Im H j G j 0 -1-4 0

1 -1/5 -1/5

0 0

Sistemul este stabil pentru

1 1

0 4 si 0 44 k k kk < < > > > .

i. ( ) ( ) { }1,2 1,221

1 Re 02 2

p p H s G s s j ss s

= =

> >

=0=

= 2


Date post:	06-Apr-2018
Category:	Documents
Upload:	livyread
View:	244 times
Download:	0 times

Modele Probleme ISA+Rezolvare

Documents