Modelarea deciziei financiare i monetare
Decizia de consum n condiii de risc i incertitudine
Alexandru Leonte
Departamentul de Moned i Bnci
ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCURETI FACULTATEA DE FINANE, ASIGURRI, BNCI I BURSE DE VALORI
Motto
It is a world of change in which we live, and a world of uncertainty. We live only by knowing something about the future; while the problems of life, or of conduct at least, arise from the fact that we know so little.[]The essence of the situation is action according to opinion, of greater or less foundation and value, neither entire ignorance nor complete and perfect information, but partial knowledge.
(Knight (1921))
Structura cursului
1. Introducere
2. Noiunea de loterie
3. Definiia aversiunii la risc
4. Msuri ale aversiunii la risc
1. Introducere
n realitate, agenii adopt decizii de consum sau investiie fr a ti cu certitudine care vor fi rezultatele acestora.
Teoria economic distinge ntre dou situaii:
Distribuia de probabilitate a rezultatului este cunoscut risc
Aceast distribuie nu este cunoscut incertitudine
Suntem interesai s stabilim modul n care procedeaz agentul. Ca ntotdeauna, scopul su este acela de a-i maximiza satisfacia.
2. Noiunea de loterie
The lottery is the one ray of hope in my otherwise unbearable life. (Homer Simpson)
Loteria: o distribuie de probabilitate de forma:
n
n
ppp
zzzZ
...
...~
21
21 , unde
n
i
ip1
1
Media (sperana matematic) unei loterii va fi denumit sperana matematic a ctigurior:
n
i
iinn zpzpzpzpZE1
2211 ...
Exemplu: agentul nostru se afl smbt seara ntr-un cazinou. Concomitent au loc dou jocuri.
Jocul 1: Se arunc un zar obinuit, echilibrat. Dac numrul obinut este 6, ctigul este de 10000 de lei. n caz contrar, juctorul nu ctig numic.
Jocul 2: Se arunc un zar obinuit, echilibrat. Dac numrul obinut este mai mare dect 3 (adic 4,5 sau 6), ctigul este de 3000 de lei. n caz contrar, juctorul nu ctig numic.
Care este jocul la care va alege s participe agentul?
15006
3000
2
13000
2
10
2
1
2
130000
:
)6(,16666
10000
6
110000
6
50
6
1
6
5100000
:
12
11
JEJ
JEJ
Un criteriu care ar putea fundamenta decizia agentului poate fi acela conform cruia loteria cu sperana matematic a ctigurilor mai mare este preferat celei cu sperana mai mic:
21 1500)6(,1666 JEJE
Totui, Daniel Bernoulli observ c nu se poate obine o msur valid a valorii unui risc fr a se lua n considerare utilitatea sa[]. Astfel, un om srac va obine n general o utilitate mai mare dect unul bogat dintr-un ctig similar (Paradoxul din Sankt Petersburg) dar n acelai timp, un prizonier bogat care mai are nevoie de 2000 de ducai pentru a-i cumpra libertatea va pune mai mult valoare pe aceast sum dect un om mai srac.
jocul 1 este preferat
Este selectat acea loterie pentru care sperana matematic a utilitii este mai mare
Urmtoarele exemple de funcii de utilitate ilustreaz aceast observaie:
xxU 2i) ii)
78,542
1
2
154,1090
:
)3(,33
6
1
6
52000
:
22
11
JUEJU
JUEJU
i)
jocul 2 este preferat
ii)
jocul 1 este preferat
62
6
2
6
1
8
1
105,4
2
1
2
11090
:
106,16
6
1
6
5100
:
JUEJU
JUEJU
2xxU
Decizia agentului depinde de forma funciei sale de utilitate.
3. Definirea aversiunii la risc Vom defini mai nti noiunea de echivalent cert al unei loterii: ctigul sigur
care i ofer agentului o utilitate egal cu sperana matematic a utilitii loteriei respective. Dac vom considera o loterie L i notm echivalentul ei cert cu , atunci:
Agentul are aversiune la risc atunci cnd echivalentul cert al loteriei este mai mic dect sperana matematic a ctigurilor:
Agentul cu aversiune la risc este gata s renune la loterie n favoarea unei sume mai mici (= echivalentul cert ) dect ar rezulta n medie din aceasta ( nseamn o sum foarte mic de bani)
LUEECU L
LEC
LEULUELEUECULEEC LecrescatoarU
L :
Exemplu: se consider o loterie prin care se poate ctiga suma de 500 de lei cu o probabilitate de 70% sau se poate pierde suma de 200 de lei cu probabilitatea de 30%.
Agentul 1 cu aversiune la risc va avea un echivalent cert mai mic dect 150, de exemplu el va renuna la participarea la loterie n schimbul oricrei sume mai mari dect 120.
Agentul 2 cu apetit pentru risc va avea un echivalent mai mare dect sperana matematic a ctigurilor, de exemplu el mizeaz pe faptul c este posibil s ctige 300 de lei cu o probabilitate destul de mare
Agentul 3 (neutru la risc) va avea un echivalent cert egal cu sperana matematic a ctigurilor.
1503,07,0
200300:
LEL
1201 EC
1702 EC
LEULUELEUECULEEC LL
LEULUELEUECULEEC LL
n funcie de profilul de risc, utilitatea va fi:
Pentru agentul cu aversiune la risc concav (fig. 1a)
Pentru agentul cu apetit pentru risc convex (fig. 1b)
Pentru agentul neutru la risc liniar (fig. 1c)
Fig. 1a
Fig. 1b
Fig. 1c
4. Msuri ale aversiunii la risc n exemplul anterior, vom presupune c exist agentul 1, al crui echivalent
cert este 100. Att 1 ct i 1 prezint aversiune la risc, intensitatea acesteia fiind mai mare n cazul agentului 1 cu ct echivalentul cert este mai mic, cu att aversiunea la risc este mai mare.
este cu att mai mare cu ct aversiunea la risc este mai puternic gradul de curbur al funciei de utilitate ofer informaii cu privire la gradul de aversiune la risc.
LEULUELUELEUECUECULEECEC '111'11'1
LUELEU
Fig. 2: Funcii de utilitate cu diferite curburi, semnalnd diferite aversiuni la risc
LEULUELEUECULEEC
Prima de risc: diferena dintre sperana matematic a ctigurilor i echivalentul cert.
Cu ct gradul de aversiune la risc este mai mare, cu att echivalentul cert va fi mai mic, iar prima de risc mai mare. n exemplul anterior, agentul 1 are o prim de 150 120 = 30, iar agentul 1, cu o aversiune la risc mai pronunat, are o prim de 150 100 = 50
Vom obine n cele ce urmeaz o relaie pentru prima de risc utiliznd o dezvoltare n serie Taylor de ordin 2. Mai nti observm c:
S presupunem c agentul posed o avere W (care influeneaz gradul de aversiune la risc) i poate participa la o loterie L care are sperana matematic a ctigurilor 0 (pentru simplificare). Avem c:
ECLE
LWEULWUE
Vom dezvolta n serie Taylor folosind o aproximare ptratic funcia de utilitate din ambii membri ai egalitii. n membrul stng obinem:
tiind c E(.) este operator liniar iar L are sperana matematic 0, avem:
n membrul drept:
2''
2
1' LWULWUWUELWUE
LWUWULWUE var''2
1
2''2
1'
WUWUWU
WULEWEULWEU
Dac presupunem c prima de risc are o valoare mic, ultimul termen din membrul drept dispare. Egalnd cei doi membri, avem:
Prima de risc este direct proporional cu , pe care l vom denumi
coeficientul (gradul) de aversiune absolut la risc (ARA), sau msura Arrow-Pratt de aversiune la risc.
LWU
WUWUWULWUWU var
'
''
2
1'var''
2
1
WUWU
'
''
Definim i coeficientul de aversiune relativ la risc:
WUWU
WRRA'
''
Aplicaia 1: Determinai ARA i RRA pentru urmtoarele funcii:
xxUa ln)
xxUb ) xxUc)
11
1
1
)2
RRAx
x
xARAa
111
)1
2
RRAxx
xARAb
000
) RRAARAc
Aplicaia 2: Se consider urmtoarea loterie:
Determinai echivalentul cert al agentului cu o avere iniial de 50 i funcia de utilitate xxU
6,04,0
21:L
LWUEECU
5988,511832,71832,76,04,0
5251:
ECECLWUELWU
Sperana matematic a ctigurilor loteriei este 51,6, deci prima de risc a agentului este 51,6 51,5988 = 0,0012. S obinem prima utiliznd aproximarea Taylor de ordin 2. Avem:
0012,024,0502
1
2
1var
2
1
LARA
Conform definiiei echivalentului cert,
Observaii pentru aplicaia 2:
Prima de risc are o valoare foarte mic, datorit valorii mari a averei iniiale n comparaie cu ctigurile poteniale oferite de loterie ce se ntmpl atunci cnd averea iniial este 20? Dar 1? Dar 0,1? (Tem cu termen de predare 12 aprilie)
Aproximarea a funcionat foarte bine. Credei c acest lucru este valabil n orice situaie? Gndii-v la o loterie pentru care aproximarea ptratic a primei de risc d o eroare mai mare. n acest sens, putei avea n vedere termenii omii din dezvoltarea Taylor.
De reinut
Deciziile agenilor sunt luate n condiii de risc sau de incertitudine
Loteria reprezint o distribuie discret de probabilitate
Agenii prefer loteriile pentru care sperana matematic a utilitii obinute este maxim.
Agentul este indiferent ntre a participa la loterie sau a primi echivalentul cert al acesteia. Prima de risc este diferena dintre sperana matematic a ctigurilor i echivalentul cert.
Cu ct un agent are o aversiune mai pronunat la risc, cu att echivalentul su cert va fi mai mic iar prima de risc mai mare; agentul cu apetit pentru risc are prima de risc negativ; agentul neutru la risc are prima de risc nul.
Agentul cu aversiune la risc are funcia de utilitate concav. Agentul cu apetit pentru risc are o funcie de utilitate convex. Agentul neutru la risc are funcia de utilitate liniar.
