Metoda eliminării a lui Gauss Exercise Să se rezolve sistemele:

1. , Soluţia este:

2. , Soluţia este:

,

3. , Nu are soluţie.

Solution Metoda pivotului aplicată acestui sistem are următoarea formă:

1. .

Soluţia sistemului se citeşte pe coloana din ultimul tabel şi

este .

Matricial, operaţiile pentru fiecare pivot sunt următoarele (folosind matrici elementare):

,

,

.

Identitatea matricială obţinută pornind de la matricea iniţială

şi terminând cu matricea finală

(folosind matrici elementare) este:

.

2. .

Se observă că algoritmul nu mai poate fi continuat deoarece în ultimul tabel ultima linie (corespunzătoare necunoscutelor) este

nulă. Deoarece şi elementul corespunzător coloanei este nul,

rezultă că sistemul este compatibil nedeterminat.

Soluţia sistemului este

3.

Sistemul este incompatibil.

Exercise

Fiind dată matricea , să se calculeze .

Soluţie:

Proba:

Sa se rezolve urmatoarele sisteme:

1. Atasam matricii determinantul

care este diferit de 0 deci putem rezolva sistemul prin metoda pivotului pentru

determinarea solutiilor

Pastram ca pivot elementul a si avem:

urmeaza a

pivotul urmator este a

si, in final, a

2. Atasam matricii determinantul

care este

diferit de 0 deci putem rezolva sistemul prin metoda pivotului pentru determinarea solutiilor

Pastram ca pivot elementul a si avem:

urmeaza a pivotul urmator este a

si, in final, a

3. Atasam matricii determinantul

care este

diferit de 0 deci putem rezolva sistemul prin metoda pivotului pentru determinarea solutiilor

Pastram ca pivot elementul a si avem:

urmeaza a pivotul urmator este a

si, in final, a

4. Atasam matricii determinantul

care este

diferit de 0 deci putem rezolva sistemul prin metoda pivotului pentru determinarea solutiilor

Pastram ca pivot elementul a si avem:

urmeaza a pivotul urmator este a

si, in final, a

5. Atasam matricii determinantul

care este

diferit de 0 deci putem rezolva sistemul prin metoda pivotului pentru determinarea solutiilor

Pastram ca pivot elementul a si avem:

urmeaza a pivotul urmator este a

si, in final, a

6. Atasam matricii determinantul

care este

diferit de 0 deci putem rezolva sistemul prin metoda pivotului pentru determinarea solutiilor

Pastram ca pivot elementul a si avem:

urmeaza a pivotul urmator este a

si, in final, a

7. Atasam matricii determinantul

care este

diferit de 0 deci putem rezolva sistemul prin metoda pivotului pentru determinarea solutiilor

Pastram ca pivot elementul a si avem:

urmeaza a pivotul urmator

este a

si, in final, a

8. Atasam matricii determinantul

care este

diferit de 0 deci putem rezolva sistemul prin metoda pivotului pentru determinarea solutiilor.

Facem o permutare intre liniile 1 si 2.

Pastram ca pivot elementul a si avem:

urmeaza a pivotul urmator este a

si, in final, a

9. Atasam matricii determinantul

care este

diferit de 0 deci putem rezolva sistemul prin metoda pivotului pentru determinarea solutiilor

Pastram ca pivot elementul a si avem:

urmeaza a pivotul urmator este a

si, in final, a

10. Atasam matricii determinantul

care este

diferit de 0 deci putem rezolva sistemul prin metoda pivotului pentru determinarea solutiilor

Pastram ca pivot elementul a si avem:

Facem o permutare intre liniile 3 si 2.

urmeaza a pivotul urmator este a

si, in final, a

11. Atasam matricii determinantul

care este

diferit de 0 deci putem rezolva sistemul prin metoda pivotului pentru determinarea solutiilor

Pastram ca pivot elementul a si avem:

urmeaza a pivotul urmator este a

si, in final, a

12. Atasam matricii determinantul

care este

diferit de 0 deci putem rezolva sistemul prin metoda pivotului pentru determinarea solutiilor

Pastram ca pivot elementul a si avem:

urmeaza a pivotul urmator este

a

si, in final, a

13. Atasam matricii determinantul

care este

diferit de 0 deci putem rezolva sistemul prin metoda pivotului pentru determinarea solutiilor

Pastram ca pivot elementul a si

avem:

urmeaza a pivotul urmator

este a

si, in final, a

14. Atasam matricii determinantul

care este

diferit de 0 deci putem rezolva sistemul prin metoda pivotului pentru determinarea solutiilor

Pastram ca pivot elementul a si avem:

urmeaza a pivotul urmator este a

si, in final, a

15. , Solutia este:

Ex: 1/101

Sa se rezolve:

a)

A b

S. C. D. ;

b)

A b

S. C. D. ;

c)

A b

S.C.D.;

Ex: 2/102

Sa se rezolve:

a)

A b

S.C.N.

b)

A b

S.C.N.;

Ex:3/103

Sa se rezolve:

a) ,

A b

S. C. DN.

b)

A b

S. C. DN.

Ex: 4/105

Sa se rezolve:

a) (A)

Daca m S.C.D

Daca m=1, Sistemul devine:

A= (A)

S.C.DN.

Daca m=-1, Sistemul devine:

A= (A)

S.C.DN.;

b)

Daca m=5, S.C.N.;

Daca m S.C.D

c)

Daca m 1, Sistemul devine:

Daca m=1, Sistemul devine:

Ex:5/106

Sa se rezolve:

Daca m 0, n 1,Sistemul devine:

Daca m=0, Sistemul devine:

Deoarece b S.I

Daca m 0, n=1, Sistemul devine: (A)

daca m ,S.I.

daca m= stemul devine

S.C.N.;

Ex:6/107

Sa se rezolve:

S.C.D.;

Ex:7/108

Sa se determine astfel ca determinantul principal al sistemului sa fie de

rang doi si sistemul compatibil.

Daca S.C.

Ex: 8/109

Sa se determine m astfel incat sistemul sa fie compatibil determinat.

Sistemul este compatibil determinat

Ex: 9/109

Sa se determine parametrii astfel incat sistemul sa fie compatibil nedeterminat.

Daca , S.C.N

Ex: 10/110

Sa se rezolve sistemul matricial

Se considera .Sistemul se scrie:

Ex: 11/110

Sa se rezolve sistemul matricial:

Fie cu

Se inmulteste la dreapta ecuatia a doua cu si se obtine:

Daca din prima ecuatie a sistemului se scade aceasta ecuatie si se obtine:

Aceasta egalitate o inmultim la dreapta cu inversa matricii

care este si se gaseste

Ex:1/112

Sa se rezolve:

Ex: 2/112

Sa se rezolve:

Ex: 3/112

Sa se rezolve:

Ex: 4/112

Sa se rezolve:

3.1 Fie sistemul de ecuatii liniare :

a. Cate solutii de baza are sistemul ?

b. Determinati, daca este posibil , trei solutii de baza.

Rezolvare :

a. Fie A= . Intrucat rezulta ca sistemul este

dublu nedeterminat iar o solutie de baza are cel mult doua componente nenule.

b. Trebuie sa eliminam din sistem o ecuatie,de exemplu pe a doua; vom gasi

solutiile de baza (care sunt in numar de cel mult ) pentru sistemul :

Vom nota cu a vectorul corespunzator variabilei , .

Baza Necunoscute Principale

Am obtinut solutiile de baza :

, ,

3.2 Fie sistem de ecuatii liniare :

Care dintre vectorii de mai jos sunt solutii de baza ale sistemului dat :

a. ; b. ; c. ; d.

; e. .

Rezolvare :

Intrucat , o solutie de baza pentru sistemul dat trebuie sa indeplineasca conditiile :

-Sa fie un vector in .

-Sa verifice sistemul.

-Sa aiba cel mult doua componente nenule si vectorii corespunzatori acestora sa fie liniar independenti.

a. deci nu poate fi solutie de baza.

b. , dar are trei comonente nenule, deci nu poate fi solutie de baza.

c. , verifica sistemul , iar componentele ,

corespund vectorilor ,

care formeaza baza in . Deci este solutie de baza.

d. , are doua componenete , care corespund vectorilor

, care sunt

liniar independenti. Vectorul nu este insa solutie de baza a sistemului, deci nu poate fi solutie de baza.

e. deci nu poate fi solutie de baza.

3.3 Fie sistemul de ecuatii liniare :

a. Calculati toate solutiile de baza.

b. Scrieti vectorul in baza data de vectorii unde este

vectorul corespunzator lui .

Rezolvare: Folosind metoda Gauss-Jordan pentru solutionarea problemei avem :

Din aceste calcule reiese ca , deci solutia de baza trebuie sa aiba

maximum doua componente nenule. Din iteratiile rezulta ca solutiile

de baza sunt : , , .

b. Deoarece nu formeaza baza, problema nu are sens.

3.4 Sa se scrie toate solutiile de baza ale sistemului :

care contin nenuli.

Rezolvare : Deoarece , rezulta ca o solutie de baza

contine doar pe si .

Din primele doua relatii avem :

Sistemul are deci o singura solutie de baza care indeplineste conditia ceruta.

3.5

Calculati toate solutiile de baza ale sistemului :

Rezolvare :

Baza Necunoscutele principale

Observam ca nu este baza in , deci nu poate da o solutie de baza.

3.6

Sa se determine o solutie de baza a sistemului :

Rezolvare : Sistemul de ecuatii liniare corespunzatoare este :

Deoarece , formeaza o baza in putem

cauta o solutie de baza luand

Varianta 1 : Avem

Varianta 2 : Notam cu B matricea bazei respective ,adica .

Avem si adica

3.7

Fie vectorii :

, , , ,

,

a. Sa se scrie sistemul corespunzator ecuatiei vectoriale :

b. Sa se determine solutia de baza corespunzatoare bazei .

Rezolvare :

a. Obtinem sistemul de ecuatii liniare :

b. Avem deci o solutie de baza trebuie sa aiba cel mult trei componente

nenule. Fie matrice bazei

Solutia de baza corespunzatoare este . Aplicam metoda eliminarii complete.

Solutia de baza este :

3.8 Fie sistemul de inecuatii :

Sa se scrie sistemul de inecuatii atasat , sa i se afle solutiile de baza si , dintre acestea,

solutiile corespunzatoare sistemului de inecuatii.

Rezolvare :

Inmultim relatia a doua cu si introducem variabilele de compensare

:

Baza

Necunoscute principale

,

,

,

,

In total sunt cel mult solutii de baza.

3.9

Fie sistemul de inecuatii :

Scrieti sistemul de ecuatii atasat, aflati trei solutii de baza ale lui si

solutiile corespunzatoare ale sistemului de inecuatii.

Rezolvare : Inmultim relatia a doua si a treia cu si adaugam :

, ,

,

Baza

Necunoscute Principale

,

3.10 Fie sistemul de inecuatii :

a. Scrieti sistemul de ecuatii atasat, aflati cinci solutii de baza ale

lui si solutiile corespunzatoare sistemului de inecuatii.

b. Fie

Pentru care din solutiile de baza de la a. f isi atinge maximul ?

Rezolvare : Sistemul de ecuatii este :

Avem :

Baza Necunoscute principale

a.

Observam ca nu este solutie a sistemului de inecuatii ( ). Avem :

b.

Observam ca pentru isi atinge maximul; solutia este degenerata deoarece nu are doua componente nenule.

Rezolvati urmatoarele sisteme folosind metoda pivotului :

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

13) 14)

15) 16)

17) 18)

19) 20)

21)

5)

6)

7)

8)

18)

19)

20)

21

9)

11)

12)

14)

15)

16)

17)

10) Sistemul nu are solutii diferite de 0

13) Sistemul are solutii diferite de 0

Alegem rang A=2 x=necunoscuta secundara=

2.1/pg 11

Sa se rezolve sistemele de ecuatii liniare:

Rezolvare: Metoda Gauss

b b

2.2/pg 12

Sa se rezolve sistemul:

afland si ,unde este matricea sistemului.

Rezolvare:

A I b

2.3/pg 13

Sa se rezolve ecuatia matriciala , unde:

Rezolvare:

2.4/pg 14

O matrice nesingulara de ordinul (3,3) are inversa:

Dterminati matricea

Rezolvare:

This document created by Scientific WorkPlace 4.0.