Analiz 2 - adrianmanea.xyz · 1.2 Metoda eliminării pentru sisteme diferent, iale liniare Putem...

Analiză 2Notit, e de seminar

Adrian Manea

Curs: A. Nit,ă

11 mai 2019

Cuprins

1 Ecuat, ii s, i sisteme diferent, iale 31.1 Ecuat, ii liniare de ordinul n cu coeficient, i constant, i . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Metoda eliminării pentru sisteme diferent, iale liniare . . . . . . . . . . . . . 61.3 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Ecuat, ii diferent, iale de ordin superior 92.1 Ecuat, ii rezolvabile prin cuadraturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Ecuat, ii de forma f (x,y(n)) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Ecuat, ii de forma f (y(n−1), y(n)) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4 Ecuat, ii de forma f (x,y(k), . . . , y(n)) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.5 Ecuat, ii de forma f (y′, y′′, . . . , y(n)) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.6 Ecuat, ii autonome (ce nu cont, in pe x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.7 Ecuat, ii Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.8 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Stabilitate s, i linii de cîmp 173.1 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2 Integrale prime s, i linii de cîmp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.3 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.4 Resurse suplimentare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4 Ecuat, ii cu derivate part, iale s, i suprafet, e de cîmp 234.1 Ecuat, ii cu derivate part, iale de ordinul întîi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.2 Suprafet,e de cîmp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.3 Ecuat, ii cu derivate part, iale cvasiliniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.4 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5 Ecuat, ii cu derivate part, iale de ordinul al doilea 335.1 Clasificare s, i forma canonică . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.2 Forma canonică . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.3 Cazul coeficient, ilor constant, i s, i D = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.4 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

6 EDP de ordinul doi: Cazul coeficient, ilor variabili 416.1 Coarda infinită. Metoda lui d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446.2 Coarda finită. Metoda separării variabilelor (*) . . . . . . . . . . . . . . . . 456.3 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

7 Recapitulare part, ial 55

8 Funct, ii complexe 618.1 Funct, ii particulare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628.2 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

9 Integrale complexe 679.1 Teorema lui Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 679.2 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 689.3 Teorema reziduurilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 709.4 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719.5 Aplicat, ii ale teoremei reziduurilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

10 Transformata Laplace 7710.1 Definit, ii s, i proprietăt, i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7710.2 Tabel de transformate Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7910.3 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8010.4 Aplicat, ii ale transformatei Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

11 Transformata Z 8511.1 Exercit, ii (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

12 Transformata Fourier (*) 9312.1 Integrala Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9312.2 Transformata Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9412.3 Proprietăt, i ale transformatei Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9612.4 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9712.5 Tabele de transformate Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

13 Subiecte examen 10113.1 Examen AM2, 2017–2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10113.2 Restant,ă AM2, 2017–2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Index 105

Bibliografie 106

1

2

SEMINAR 1

ECUAT, II S, I SISTEME DIFERENT, IALE

1.1 Ecuat, ii liniare de ordinul n cu coeficient, i constant, i

Forma generală este:

L[y] = a0y(n) + a1y

(n−1) + · · ·+ any = f (x),

cu ai ∈R constante.Dacă avem f (x) = 0, atunci ecuat, ia se numes, te omogenă.Avem o metodă algebrică de a rezolva această ecuat, ie, folosind:

Definiţie 1.1: Se numes, te polinomul caracteristic atas, at ecuat, iei omogene L[y] = 0 polino-mul:

F(r) = a0rn + a1r

n−1 + · · ·+ an,iar F(r) = 0 se numes, te ecuat, ia caracteristică atas, ată ecuat, iei diferent, iale.

Folosind această not, iune, putem rezolva direct ecuat, ia, t, inînd seama de următoarelecazuri posibile:

Teoremă 1.1: (1) Dacă ecuat, ia caracteristică F(r) = 0 are rădăcini reale s, i distincte ri , atunciun sistem fundamental de solut, ii este dat de:{

yi(x) = erix}i=1,...,n

.

(2) Dacă printre rădăcinile lui F(r) există s, i rădăcini multiple, de exemplu r1, cu ordinul demultiplicitate p, atunci pentru această rădăcină avem p solut, ii liniar independente (pelîngă celelalte):

y1(x) = er1x, y2(x) = xer1x, . . . , yp(x) = xp−1er1x.

3

(3) Dacă printre rădăcinile ecuat, iei caracteristice avem s, i rădăcini complexe, de exemplu r =a+ ib s, i r = a− ib, atunci fiecărei perechi de rădăcini complexe conjugate îi corespund douăsolut, ii liniar independente (pe lîngă celelalte):

y1(x) = eax cosbx, y2(x) = eax sinbx.

(4) Dacă ecuat, ia caracteristică are rădăcini complexe ca mai sus, cu ordinul de multiplicitatep, atunci lor le corespund 2p solut, ii liniar independente:{

yj(x) = xj−1eax cosbx}j=1,...p

,{yk(x) = xk−p−1eax sinbx

}k=p+1,...,2p

.

De exemplu: y′′ − y = 0, cu condit, iile y(0) = 2 s, i y′(0) = 0.Solut, ie: Ecuat, ia caracteristică este r2 − 1 = 0, deci r1,2 = ±1. Sîntem în primul caz al

teoremei, deci un sistem fundamental de solut, ii este:

y1(x) = e−x, y2(x) = ex.

Solut, ia generală este y(x) = c1e−x + c2e

x.Folosind condit, iile Cauchy, obt, inem c1 = c2 = 1, deci solut, ia particulară este:

y(x) = e−x + ex.

Observaţie 1.1: Dacă ecuat, ia init, ială L[y] = f (x) nu este omogenă, putem rezolva folosindmetoda variat, iei constantelor (Lagrange).

În acest caz, metoda variat, iei constantelor presupune următoarele etape. Fie ecuat, ianeomogenă scrisă în forma:

n∑k=0

aky(k) = f (x).

Pentru simplitate, vom presupune n = 2 s, i fie o solut, ie particulară de forma:

yp(x) = c1(x)y1 + c2(x)y2.

Atunci, prin metoda variat, iei constantelor, vom determina funct, iile c1(x), c2(x) ca solut, iiale sistemului algebric:

c′1(x)y1 + c′2(x)y2 = 0

c′1(x)y′1 + c′2(x)y′2 =f (x)an(x)

4

De exemplu: y′′ + 3y′ + 2y = 1ex+1 .

Solut, ie: Asociem ecuat, ia omogenă, care are ecuat, ia caracteristică r2 + 3r + 2 = 0, curădăcinile r1 = −1, r2 = −2. As, adar, solut, ia generală a ecuat, iei omogene este:

y(x) = c1e−x + c2e

−2x.

Determinăm o solut, ie particulară yp(x) cu ajutorul metodei variat, iei constantelor. Maiprecis, căutăm:

yp(x) = c1(x)e−x + c2(x)e−2x.

Înlocuind în ecuat, ia neomogenă, rezultă sistemul:c′1(x)e−x + c′2(x)e−2x = 0−c′1(x)e−x − 2c′2(x)e−2x = 1

1+ex

Rezolvînd ca pe un sistem algebric, obt, inem:

c′1(x) =ex

1 + ex, c′2(x) = − e2x

1 + ex,

de unde obt, inem:c1(x) = ln(1 + ex), c2(x) = −ex + ln(1 + ex).

În fine, înlocuim în solut, ia particulară yp s, i apoi în cea generală, y(x) = y(x) + yp(x).

Un alt exemplu: y′′ − y = 4ex.Solut, ie: Ecuat, ia caracteristică r2 − 1 are rădăcinile r1,2 = ±1, deci solut, ia generală a

ecuat, iei liniare omogene este y0(x) = c1ex + c2e

−x.Căutăm acum o solut, ie particulară a ecuat, iei neomogene, folosind metoda variat, iei

constantelor. As, adar, căutăm yp(x) = c1(x)ex + c2(x)e−x. Din condit, ia ca yp să verificeecuat, ia liniară neomogenă, obt, inem sistemul:c′1(x)ex + c′2(x)e−x = 0

c′1(x)ex − c′2(x)e−x = 4ex

Rezultă c′1(x)ex = 2ex, deci c′1(x) = 2⇒ c1(x) = 2x, iar c′2(x)e−x = −2ex, deci c2(x) = −e2x.În fine, solut, ia particulară este yp(x) = 2xex − ex, iar solut, ia generală:

y(x) = y0(x) + yp(x) = c1ex + c2e

−x + ex(2x − 1).

5

1.2 Metoda eliminării pentru sisteme diferent, iale liniare

Putem reduce sistemele diferent, iale de ordinul I la ecuat, ii de ordin superior.De exemplu, să pornim cu sistemul:x′ + 5x+ y = 7et − 27

y′ − 2x+ 3y = −3et + 12

Solut, ie: Din prima ecuat, ie, scoatem y s, i derivăm:

y = 7et − 27− 5x − x′⇒ y′ = 7et − 5− x′′.Înlocuim în a doua ecuat, ie s, i obt, inem o ecuat, ie liniară de ordin superior:

x′′ + 8x′ + 17x = 31et − 93.

Ecuat, ia caracteristică este r2+8r+17 = 0, cu rădăcinile r1,2 = −4±i. Atunci solut, ia generalăa ecuat, iei omogene este:

x(t) = e−4t(c1 cos t + c2 sin t).

Mai departe, căutăm o solut, ie particulară a ecuat, iei neomogene folosind metoda variat, ieiconstantelor, a lui Lagrange:

xp(t) = e−4t(c1(t)cos t + c2(t)sin t).

Determinăm funct, iile c1(t), c2(t) din sistemul:c′1(t)cos te−4t + c′2(t)sin te−4t = 0c′1(t)(−sin te−4t − 4cos te−4t) + c′2(t)(cos te−4t − 4sin te−4t) = 31et − 93.

Rezultă:

c′1(t) = −31sin te5t + 93sin te4t

⇒ c1(t) = −3126e5t(5sin t − cos t) +

9317e4t(4sin t − cos t)

c′2(t) = 31cos te5t − 93cos te4t

⇒ c2(t) =3126e5t(5sin t + cos t)− 93

17e4t(4sin t + cos t).

În fine, obt, inem:

x(t) = e−4t(c1 cos t + c2 sin t) +3126et − 93

17,

iar mai departe:

y(t) = e−4t[(c1 − c2)sin t − (c1(t)− c2)cos t)− 213et +

617.

6

1.3 Exercit, ii

1. Rezolvat, i următoarele ecuat, ii diferent, iale liniare de ordin superior:

(a) y(3) + 4y(2) + 3y(1) = 0;

(b) y(2) + 4y(1) + 4y = 0;

(c) y(3) + y = 0;

(d) y(4) + 4y(2) = 0;

(e) y(2) − 2y(1) + y =1xex;

(f) y(2) + y =1

cosx;

(g) y(3) + y(1) = tanx;

(h) y(3) + 2y(2) = x+ 2.

2. Rezolvat, i următoarele sisteme diferent, iale, folosind metoda eliminării:

(a)

y′ = 2y + zz′ = y + 2z

, y = y(x), z = z(x);

(b)

y′ = −3y − 4zz′ = y + 2z

, y = y(x), z = z(x);

(c)

x′ = x+ 3yy′ = −x+ 5y − 2et

, x = x(t), y = y(t), cu condit, iile init, iale x(0) = 3, y(0) = 1.

7

8

SEMINAR 2

ECUAT, II DIFERENT, IALE DE ORDINSUPERIOR

2.1 Ecuat, ii rezolvabile prin cuadraturi

Acestea sînt ecuat, ii care se pot rezolva prin integrări succesive. Astfel, forma lor ge-nerală este y(n) = f (x), în varianta neomogenă. Solut, ia generală va depinde de n constantearbitrare, rezultate în urma integrărilor succesive.

Exemplu:

y′′ = arcsinx+x

√1− x2

− π6.

Solut, ie: Integrăm succesiv s, i obt, inem:

y′ = xarcsinx − π6x+ c1

y =x2

2arcsinx+

14x√

1− x2 − 14

arcsinx − π12x2 + c1x+ c2.

Dacă nu se dau condit, ii init, iale, solut, ia rămîne exprimată ca mai sus, adică în funct, iede constantele c1 s, i c2.

Cazul omogen se rezolvă s, i mai simplu: dacă y(n) = 0, atunci y este un polinom de xde gradul n− 1.

9

2.2 Ecuat, ii de forma f (x,y(n)) = 0

Avem două cazuri care trebuie tratate distinct:

(a) Dacă ecuat, ia poate fi rezolvată în raport cu y(n), adică dacă∂f

∂y(n), 0, atunci obt, inem

una sau mai multe ecuat, ii ca în sect, iunea anterioară;

(b) Dacă ecuat, ia nu este rezolvabilă cu ajutorul funct, iilor elementare în raport cu y(n),dar cunoas, tem o reprezentare parametrică a curbei f (u,v) = 0, adică u = g(t),v = h(t),cu t ∈ [α,β], atunci solut, ia generală se poate da sub formă parametrică:x = g(t)

dy(n−1) = y(n)dx = h(t)g ′(t)dt,

de unde putem obt, ine succesiv:y(n−1) = h1(t, c1). . . . .y(t) = hn(t, c1, . . . , cn).

Exemplu:x − ey

′′+ y′′ = 0.

Solut, ie: Putem nota y′′ = t s, i atunci x(t) = et − t. Deoarece avem dy′ = y′′dx, rezultă:

dy′ = t(et − 1)dt⇒ y′ = −t2

2+ tet − et + c1.

Mai departe, dy = y′dx, deci:

dy =(− t

2

2+ tet − et + c1

)(et − 1)dt.

În fine, solut, ia este:

y(t) = e2t( t2− 3

4

)+ et

(− t

2

2+ 1 + c1

)+t3

6− c1t + c2.

2.3 Ecuat, ii de forma f (y(n−1), y(n)) = 0

Din nou, distingem două cazuri:

10

(a) Dacă ecuat, ia este rezolvabilă prin funct, ii elementare în raport cu y(n), atunci putemnota z = y(n−1) s, i avem z′ = f (z). Ecuat, ia devine cu variabile separabile pentru z s, i serezolvă corespunzător, conducînd la z = y(n−1) = f1(x,c1), care este de tipul anterior;

(b) Dacă ecuat, ia nu este rezolvabilă prin funct, ii elementare în raport cu y(n), dar cunoas, temo reprezentare parametrică de forma:

y(n−1) = h(t), y(n) = g(t), t ∈ [α,β],

atunci putem folosi dy(n−1) = y(n)dx, pentru a obt, ine solut, ia pas cu pas, sub formăparametrică:

x =∫h′

gdt + c1

y(n−1) = h(t)

dy(n−2) = h(t) =hh′

gdt

y(n−2) =∫hh′

gdt + c2

...

y =∫y′dx+ cn.

Exemplu: y′′ = −√

1− y ′2. Solut, ie: Facem schimbarea de funct, ie z(x) = y′ s, i ecuat, iadevine:

− dz√

1− z2= dx, |z| < 1.

Solut, ia generală este: arccosz = x+ c1, deci z = cos(x+ c1).Mai departe, obt, inem y(x) = sin(x+ c1) + c2.De asemenea, trebuie să mai remarcăm s, i solut, iile particulare y = ±x+ c.

2.4 Ecuat, ii de forma f (x,y(k), . . . , y(n)) = 0

Ecuat, ia se rezolvă cu schimbarea de funct, ie y(k) = z(x) s, i rezultă o ecuat, ie de ordin n− k:

f (x,z,z′, . . . , z(n−k)) = 0,

pe care o integrăm.Exemplu: (1 + x2)y′′ = 2xy′.

11

Solut, ie: Cu schimbarea de funct, ie y′ = z(x), obt, inem ecuat, ia:

zz′

=2x

1 + x2 ,

iar apoi, prin integrare, rezultă z = y′ = c1(1 + x2). În fine:

y(x) = c1x+ c1x3

3+ c2.

Exemplu 2: y · y′′ − yy ′2 = 0.Solut, ie: Notăm y′ = z s, i obt, inem:

y · z′ − yz2 = 0⇒ y(z′ − z2) = 0,

de unde rezultă y = 0 sau z′ − z2 = 0.Din a doua variantă, deducem succesiv:

dzdx

= z2⇒ dz

z2 = dx⇒−1z

= x+ c1.

Mai departe:

− 1y′

= x+ c1⇒ y′ =−1x+ c1

⇒ y = − ln(x+ c1) + c2.

2.5 Ecuat, ii de forma f (y ′, y ′′, . . . , y(n)) = 0

Să remarcăm că astfel de ecuat, ii nu cont, in pe y. Deci putem lua pe y′ ca variabilă inde-pendentă s, i pe y′′ ca fiind funct, ie de y′. Astfel, reducem discut, ia la un caz anterior.

Exemplu: x2y′′ = y′2 − 2xy′ + 2x2.

Solut, ie: Facem schimbarea de funct, ie y′ = z(x) s, i obt, inem o ecuat, ie Riccati:

z′ =z2

x2 − 2 · zx

+ 2.

Observăm solut, ia particulară zp = x s, i integrăm, cu z = x+1u(x)

.

Obt, inem succesiv:

z(x) = x+c1xx+ c1

⇒

y′(x) = x+c1xx+ c1

⇒

y(x) =x2

2+ c1x − c2

1 ln |x+ c1|+ c2,

12

2.6 Ecuat, ii autonome (ce nu cont, in pe x)

În cazul acestor ecuat, ii, putem mics, ora ordinul cu o unitate, notînd y′ = p s, i luăm pe yvariabilă independentă.

Observaţie 2.1: Există posibilitatea de a pierde solut, ii de forma y = c prin această metodă,deci trebuie verificat dacă este cazul separat.

Exemplu: 1+y′2 = 2yy′. Solut, ie: Putem lua y′ = p drept funct, ie, iar pe y drept variabilă

independentă. Rezultă:

y′′ =ddx

(dydx

)= p

dp

dy.

Atunci ecuat, ia devine:2pdp1 + p2 =

dy

y⇒ y = c1(1 + p2).

Acum trebuie să obt, inem pe x ca funct, ie de p s, i c1. Deoarece dx =1pdy, iar dy = 2c1pdp,

rezultă dx = 2c1dp. Deci x = 2c1p + c2, iar solut, ia generală devine x(p) = 2c1p + c2. Dinexpresia lui y de mai sus, rezultă:

y = c1 +(x − c2)2

4c1.

Exemplu 2: y′′ = y′2 = 2e−y .

Solut, ie: Notăm y′ = p s, i luăm ca necunoscută p = p(y). Rezultă:

y′′ =dy′

dx= p′p⇒ p′p+ p2 = 2e−y .

Dacă notăm p2 = z, obt, inem o ecuat, ie liniară neomogenă:

z′ + 2z = 4e−y ,

ce are ca solut, ie generală z(y) = c1e−2y + 4e−y .

Revenim la y s, i avem:

z = p2 = y′2⇒ y′ = ±

√c1e−2y + 4e−y ,

adică:dy

±√c1e−2y + 4e−y

= dx⇒ x+ c2 = ±12

√c1 + 4ey .

Echivalent, putem scrie solut, ia s, i în forma implicită:

ey +c1

4= (x+ c2)2.

13

2.7 Ecuat, ii Euler

O ecuat, ie Euler are forma generală:

n∑k=0

akxky(k) = f (x),

pentru varianta omogenă s, i f (x) = 0 pentru varianta neomogenă, cu ai constante reale.Ecuat, iile Euler se pot transforma în ecuat, ii cu coeficient, i constant, i prin notat, ia (schim-

barea de variabilă) |x| = et.De remarcat faptul că, deoarece funct, ia necunoscută este y = y(x), pentru a obt, ine

y′ =dy

dxtrebuie să aplicăm regula de derivare a funct, iilor compuse. Folosind notat, ia de

la fizică y =dy

dt, putem scrie:

dy

dx=dy

dt· dtdx

= y · e−t.

Mai departe, de exemplu, pentru derivatele superioare:

d2y

dx2 =ddt

(y · e−t

)· dtdx

= e−2t(y − y).

Exemplu: x2y′′ + xy′ + x = x.Solut, ie: Facem substitut, ia |x| = et s, i, folosind calculele de mai sus, obt, inem:

e2t · e−2t(y − y)− et · e−t + y(t) = et.

Echivalent: y − 2y + y = et.Aceasta este o ecuat, ie liniară de ordinul al doilea, neomogenă. Asociem ecuat, ia alge-

brică r2 − 2r + 1 = (r − 1)2 = 0, deci solut, ia generală a variantei omogene este:

y(t) = c1et + c2te

t.

Folosind metoda variat, iei constantelor, obt, inem succesiv:

y(t) = c1et + c2te

t +t2et

2⇒

y(x) = c1x+ c2x lnx+x ln2x

2.

14

2.8 Exercit, ii

1. Rezolvat, i următoarele ecuat, ii Euler:

(a) x2y(2) − 3xy′ + 4y = 5x, x > 0;

(b) x2y(2) − xy′ + y = x+ lnx, x > 0;

(c) 4(x+ 1)2y(2) + y = 0,x > −1;

(d) xy′′ + 3y′ = 1;

(e) x3y′′′ + x2y′′ − 2xy′ + 2y =1x2 .

2. Rezolvat, i următoarele ecuat, ii:

(a) y(3) = sinx+ cosx;

(b) y(3) + y(2) = sinx;

(c) xy(2) + (x − 2)y(1) − 2y = 0;

(d) x2y(2) = y′2;

(e) y(4) − 3y(3) + 3y(2) − y(1) = 0;

(f) y(2) − y(1) − 2y = 3e2x;

(g) 4(x+ 1)2y(2) + y = 0;

(h)

x′ = x+ ye2t

y′ = y − xe2t + 1, cu condit, iile init, iale x(0) = 1 s, i y(0) = 0.

Amintim, pentru ecuat, ii liniare s, i neomogene de ordinul întîi, cu forma generală:

y′ = P (x)y +Q(x),

avem solut, iile:

yp = c · exp(−∫ x

x0

P (t)dt)

yg =(c+

∫Q(t) · exp

(∫ t

x0

P (s)ds)dt

)· exp

(−∫ x

x0

P (t)dt).

Indicat, ii:

15

(a) Integrări succesive;

(b) Notăm y(2) = z, deci ecuat, ia devine z′ + z = sinx, care este o ecuat, ie liniară s, i neomo-genă, de ordinul întîi. Solut, ia generală este:

z(x) = e−x(c+

ex

2(sinx+ cosx)

),

iar apoi y′(x) =∫z(x)dx s, i y(x) =

∫y′(x)dx etc.

(c) Notăm z = y′ + y, deci ecuat, ia devine xz′ − 2z = 0, care are solut, ia evidentă z = c1x2,

din care obtinem y′ + y = c1x2, care este o ecuat, ie liniară s, i neomogenă, cu solut, ia

generală:y = c2e

−x + c1x2 − 2c1x+ 2c1.

(d) Notăm y′ = z s, i obt, inem x2z′ = z2. Observăm solut, ia particulară z = 0, deci y = c, iarîn celelalte cazuri, avem:

x2 dzdx

= z2⇒ dx

x2 =dz

z2 .

Aceasta conduce la1z

=1x

+ c s, i ne întoarcem la y:

dx = dy(1x

+ c)⇒ xdxcx+ 1

= dy,

care, prin integrare, conduce la:

y =xc− 1c2 ln(cx+ 1) + c1,

pentru c , 0 s, i y′ = x dacă c = 0, adică y =x2

2+ c1.

(e) Ecuat, ia caracteristică este:

r4 − 3r3 + 3r2 − r = 0⇒ r(r3 − 3r2 + 3r − 1) = 0,

de unde observăm solut, iile r = 0, r = 1 etc.

(f) Ecuat, ia caracteristică este r2 − r − 2 = (r + 1)(r − 2) = 0.

(g) Este o ecuat, ie Euler în raport cu t = x+ 1.

(h) Aplicăm metoda substitut, iei (eliminării).

16

SEMINAR 3

STABILITATE S, I LINII DE CÎMP

Problema stabilităt, ii solut, iilor este una foarte importantă s, i dificilă, în general. Ideeade bază este că, dacă ne gîndim la interpretarea fizică a sistemelor de ecuat, ii s, i solut, iilorlor, de exemplu în cazul mecanicii, solut, ia returnată este posibil să fie validă într-o veci-nătate foarte mică a punctului în care a fost calculată. În cazul acesta, situat, ia corespundeunei pozit, ii de echilibru (mecanic) instabil, adică atunci cînd deplasarea corpului la o micădistant,ă de pozit, ia curentă îl face să iasă din pozit, ia de echilibru. Similar, putem avea s, iechilibru (mecanic) stabil sau echilibru (mecanic) indiferent.

Teoria stabilităt, ii solut, iilor sistemelor diferent, iale este un subiect amplu, fondat s, idiscutat în detaliu de H. Poincaré s, i A. Liapunov, de aceea, majoritatea teoremelor s, i re-zultatelor importante le sînt atribuite.

Contextul în care lucrăm este următorul. fie un sistem diferent, ial de forma x′ = v(t,x),unde x poate fi vector (adică să t, ină loc de mai multe variabile). Presupunem că sîntîndeplinite condit, iile teoremei fundamentale de existent,ă s, i unicitate a solut, iei problemeiCauchy, pentru t ∈ [t0,∞) s, i că avem x ∈U ⊆R

n, un deschis. As, adar, pentru orice x0 ∈U ,există s, i este unică o solut, ie x = ϕ(t), cu ϕ : [t0,∞)→U< astfel încît ϕ(t0) = x0.

Tipurile de stabilitate sînt definite mai jos.

Definiţie 3.1: O solut, ie x = ϕ(t) ca mai sus se numes, te stabilă spre∞ în sens Poincaré-Lia-punov (sau, echivalent, x0 = ϕ(t0) se numes, te pozit, ie de echilibru) dacă la variat, ii mici alelui x0 obt, inem variat, ii mici ale solut, iei.

Formal, pentru orice ε > 0, există δ(ε) > 0 astfel încît pentru orice x0 ∈Rn, cu ||x0−x0|| <δ(ε), solut, iile corespunzătoare, ϕ(t) s, i ϕ(t) satisfac inegalitatea:

|ϕ(t)−ϕ(t)| < ε, ∀t ≥ t0.

Definiţie 3.2: Pozit, ia de echilibru x = 0 se numes, te stabilă în sens Poincaré-Liapunov dacăpentru orice ε > 0, există δ > 0, care depinde doar de ε, astfel încît pentru orice x0 ∈ U

17

pentru care ||x0|| < δ, solut, ia ϕ a sistemului cu condit, ia init, ială ϕ(0) = x0 se prelunges, tepe întreaga semiaxă t > 0 s, i satisface inegalitatea ||ϕ(t)|| < ε,∀t > 0.

Definiţie 3.3: Pozit, ia de echilibru x = 0 a sistemului diferent, ial autonom se numes, teasimptotic stabilă dacă este stabilă s, i, în plus, pentru solut, ia ϕ(t) din definit, ia de maisus, are loc:

limt→∞

ϕ(t) = 0.

În exercit, iile pe care le vom întîlni, vom folosi următorul rezultat fundamental.Presupunem că avem un sistem diferent, ial scris în forma matriceală:

X ′ = AX, A ∈Mn(R),

unde A este matricea sistemului. Mai presupunem, de asemenea, că matricea A esteinversabilă, astfel încît sistemul admite solut, ia X = 0.

Atunci avem:

Teoremă 3.1 (Poincaré-Liapunov): Păstrînd contextul s, i notat, iile de mai sus, dacă toate va-lorile proprii ale matricei A au partea reală negativă, atunci pozit, ia de echilibru x = 0 esteasimptotic stabilă.

Dacă există λ ∈ σ (A), cu Reλ > 0, atunci x = 0 este instabilă.

3.1 Exercit, ii

1. Studiat, i stabilitatea pozit, iei de echilibru x = 0 pentru sistemele diferent, iale:

(a)

x′ = −4x+ yy′ = −x − 2y

;

(b)

x′ = −x+ zy′ = −2y − zz′ = y − z

;

(c)

x′ = 2yy′ = x+ ay

,a ∈R.

2. Să se afle pentru ce valori ale lui a ∈ R solut, ia nulă a sistemului de mai jos esteasimptotic stabilă:

x′ = ax+ yy′ = (2 + a)x+ ayz′ = x+ y − z

18

3.2 Integrale prime s, i linii de cîmp

Definiţie 3.4: Un sistem diferent, ial de forma:

x′j = vj(x1, . . . ,xn), j = 1, . . . ,n,

unde v = (v1, . . . , vn) : U → Rn este un cîmp de vectori definit într-un domeniu U ⊆ R

n senumes, te sistem diferent, ial autonom.

O altă formă de scriere a sistemului de mai sus este forma simetrică:

dx1

v1=dx2

v2= · · · = dxn

vn.

Dacă f : U → R este o funct, ie oarecare, de clasă C1(U ), atunci pentru orice x ∈ U se

poate scrie derivata lui f în x în direct, ia vectorului v, notatădf

dv(x), s, i definită prin formula

cunoscută:df

dv(x) =

n∑i=1

∂f

∂xivi(x).

Definiţie 3.5: Fie v : U → Rn un cîmp de vectori s, i f : U → R

n o funct, ie de clasă C1(U ).Funct, ia se numes, te (o) integrală primă a sistemului diferent, ial autonom x′ = v(x),x ∈ Udacă derivata sa în direct, ia cîmpului de vectori v este nulă în fiecare punct din U , adicădf

dv= 0.

Echivalent, putem înt,elege definit, ia astfel: f : U → R este o integrală primă pen-tru sistemul diferent, ial autonom x′ = v(x) dacă s, i numai dacă pentru orice solut, ie x =ϕ(t),ϕ : I → U , funct, ia f ◦ϕ este constantă pe I . De aceea, uneori mai putem scrie pescurt f (x1, . . . ,xn) = c, constant. Rezultă că putem înt,elege integralele prime ca pe legi deconservare.

În exercit, ii, pentru a găsi integralele prime asociate unui sistem autonom, se rescriesistemul în forma simetrică, iar apoi, folosind proprietăt, ile rapoartelor egale, încercăm să

ajungem la un raport de formadf

0, egal cu rapoartele precedente. Atunci f va fi integrală

primă, deoarece va rezulta df = 0, adică f constantă în lungul curbelor integrale.Exemplu: Să se găsească integralele prime ale sistemului simetric:

dxz − y

=dy

x − z=

dzy − x

.

Solut, ie: Folosind proprietăt, ile proport, iilor, rescriem sistemul:

dxz − y

=dy

x − z=

dzy − x

=dx+ dy + dz

z − x+ x − z+ y − x=dx+ dy + dz

0.

19

O altă formă de a obt, ine o integrală primă este:

xdx+ ydy + zdzx(z − x) + y(x − z) + z(y − x)

=xdx+ ydy + zdz

0.

Rezultă: dx+ dy + dz = 0xdx+ ydy + zdz = 0,

de unde obt, inem două integrale prime:

x+ y + z = c1, x2 + y2 + z2 = c2.

Observaţie 3.1: Rezolvarea este identică în cazul în care cerint,a pornes, te cu un cîmpvectorial în spat, iu, de forma:

~V = (z − y)~i + (x − z)~j + (y − x)~k.

Astfel, se asociază sistemul simetric de mai sus, etc.Pentru acest caz, integralele prime se mai numesc linii de cîmp sau curbe integrale.

3.3 Exercit, ii

1. Să se determine liniile de cîmp pentru cîmpurile vectoriale de pe R3:

(a) ~v = x~i + y~j + xyz~k;

(b) ~v = (2z − 3y)~i + (6x − 2z)~j + (3y − 6x)~k;

(c) ~v = (xz+ y)~i + (x+ yz)~j + (1− z2)~k;

(d) ~v = (x2 + y2)~i + 2xy~j − z2~k.

Indicat, ie (a): Scriem sistemul autonom asociat cîmpului vectorial ~v sub forma:

dxx

=dy

y=dzxyz

.

Din prima egalitate, rezultă x = c1y, deci a doua egalitate devine:

c1ydy =dzz⇒ c1

y2

2= ln |z|+ c2.

As, adar, obt, inemxy·y2

2= ln |z|+ c2.

20

Rezultă că liniile de cîmp pentru ~v sînt curbele:xy

= c1

xy − ln |z| = c2.

(b) Sistemul poate fi scris sub forma:

dx2z − 3y

=dy

6x − 2z=

dz3y − 6x

=dx+ dy + dz

0.

As, adar, dx+ dy + dz = 0, deci x+ y + z = c1.Din forma init, ială obt, inem s, i:

3xdx3x(2z − 3y)

=32ydy

32y(3x − z)

=zdz

z(y − 2x)=

3xdx+ 32ydy + zdz0

,

deci 3xdx+32ydy + zdz = 0, adică 3

x2

2+

34y2 +

z2

22= c2.

(c) Obt, inem:dx+ dy

(x+ y)(z+ 1)=

dz

1− z2 ⇒d(x+ y)x+ y

= − dzz − 1

.

Rezultă ln |x+ y|+ ln |z − 1| = lnc1, adică (x+ y)(z − 1) = c1.Apoi:

dy − dxx+ zy − xz − y

=dy − dx

(x − y)(1− z)=

dz

1− z2 .

Rezultă −d(x − y)x − y

=dzz+ 1

, de unde (x − y)(z+ 1) = c2.

As, adar, liniile de cîmp sînt curbele:(x+ y)(z − 1) = c1

(x − y)(z+ 1) = c2

(d) Sistemul simetric rezultat este:

dx

x2 + y2 =dy

2xy=dz

−z2 .

21

Prin adunarea primelor două rapoarte, obt, inem:

d(x+ y)(x+ y)2 =

dz

−z2 ,

adică1

x+ y+

1z

= c1.

Prin scădere, avemd(x − y)(x − y)2 =

dz

−z2 , deci1

x − y+

1z

= c2.

Liniile de cîmp se obt, in: 1

x+ y+

1z

= c1

1x − y

+1z

= c2

3.4 Resurse suplimentare

Termenul în engleză pentru linii de cîmp este field line, iar cîteva explicat, ii, îm-preună cu exemple cunoscute din cazul cîmpurilor fizice, se pot găsi pe Wikipedia.

Metoda rezolvării ecuat, iilor diferent, iale în mod grafic, folosind cîmpul tangent (eng.slope field), cu semnificat, ia fizică a cîmpului de viteze, poate fi foarte utilă. Ea esteprezentată succint pe Wikipedia s, i mai detaliat, inclusiv cu exercit, ii rezolvate, la KhanAcademy.

Trecerea de la cîmpuri vectoriale în spat, iu la ecuat, ii diferent, iale (sau sisteme) auto-nome este explicată pe scurt aici.

Alte materiale se mai pot găsi în cursul de la Ias, i (v. §2.1.2), în cursul prof. Crăciun s, iBarbu (cap. 2) s, i în aceste notit,e de la UBB Cluj.

22

https://en.wikipedia.org/wiki/Field_line

https://en.wikipedia.org/wiki/Slope_field

https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-differential-equations-new/ab-7-3/v/creating-a-slope-field

https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-differential-equations-new/ab-7-3/v/creating-a-slope-field

http://www.math.tamu.edu/~zelenko/308_w3_qual.pdf

http://www.mec.tuiasi.ro/diverse/matematici_speciale.pdf

http://www.edumanager.ro/community/documente/ecuatii_cu_derivate_partiale_de_ordinul_al_doilea.pdf

http://www.edumanager.ro/community/documente/ecuatii_cu_derivate_partiale_de_ordinul_al_doilea.pdf

https://www.yumpu.com/ro/document/read/17874390/ecuatii-diferentiale-n-forma-simetrica-integrale-prime

SEMINAR 4

ECUAT, II CU DERIVATE PART, IALE S, ISUPRAFET, E DE CÎMP

4.1 Ecuat, ii cu derivate part, iale de ordinul întîi

Forma generală a unei ecuat, ii cu derivate part, iale (EDP) de ordinul întîi pentru funct, ianecunoscută u = u(x,y,z) este:

P (x,y,z)∂u∂x

+Q(x,y,z)∂u∂y

+R(x,y,z)∂u∂z

= 0,

unde P ,Q,R : R3→R sînt funct, ii de clasă (cel put, in) C1.Pentru rezolvare, se scrie sistemul simetric asociat, care are forma generală

dxP

=dy

Q=dzR

s, i i se determină integralele prime. Dacă I1 = C1 s, i I2 = C2 sînt integralele prime alesistemului, atunci solut, ia finală a ecuat, iei init, iale este:

u(x,y,z) = ϕ(I1, I2),

unde ϕ este o funct, ie oarecare de clasă (cel put, in) C1.

Observaţie 4.1: Pentru simplitate, vom mai folosi notat, iile cunoscute pentru derivate

part, iale, anume ux =∂u∂x

etc.

Observaţie 4.2: Metoda de rezolvare de mai sus cere implică s, i verificarea independent,eicelor două integrale prime, în sensul exemplificat mai jos.

23

Exemplu: Rezolvăm ecuat, ia cu derivate part, iale:

(4z − 5y)ux + (5x − 3z)uy + (3y − 4x)uz = 0.

Solut, ie: Scriem sistemul simetric asociat, care este:

dx4z − 5y

=dy

5x − 3z=

dz3y − 4x

,

sistem care este valabil pe domeniul:

D = {(x,y,z ∈R3) | 4z , 5y,5x , 3z,3y , 4x}.

Pentru a obt, ine integralele prime, amplificăm prima fract, ie cu 3, a doua cu 4 s, i a treiacu 5 s, i obt, inem:

3dx12z − 15y

=4dy

20x − 12z=

5dz15y − 20x

=3dx+ 4dy + 5dz

0,

de unde I1(x,y,z) = 3x+ 4y + 5z = c1 este o integrală primă.Mai putem amplifica s, i primul raport cu 2x, pe al doilea cu 2y s, i pe al treilea cu 2z s, i

obt, inem:2xdx

8xz − 10xy=

2ydy10xy − 6yz

=2zdz

6yz − 8xz=

2xdx+ 2ydy + 2zdz0

,

deci o a doua integrală primă este I2(x,y,z) = x2 + y2 + z2 = c2.Evident, cele două integrale prime sînt definite pe acelas, i domeniu D.Independent,a celor două înseamnă verificarea că matricea dată de derivatele lor par-

t, iale are rangul maxim pe domeniul de definit, ie. Avem, as, adar:

A =

I1x I2xI1y I2yI1z I2z

=

3 2x4 2y5 2z

,matrice care se poate verifica imediat că are rangul 2, adică maxim, pentru orice (x,y,z) ∈D. Deci integralele prime sînt independente s, i solut, ia finală a ecuat, iei este:

u(x,y,z) = ϕ(3x+ 4y + 5z,x2 + y2 + z2),

unde ϕ este o funct, ie arbitrară de clasă C1.

24

4.2 Suprafet, e de cîmp

Suprafet,ele de cîmp pentru un cîmp vectorial tridimensional se obt, in scriind o ecuat, iecu derivate part, iale asociată, căreia îi determinăm solut, ia generală. Suprafat,a de cîmpeste, atunci, dată de anularea solut, iei generale, scrisă în forma implicită.

Exemplu: Fie cîmpul vectorial:

~V = xy2~i + x2y~j + z(x2 + y2)~k.

Determinăm suprafet,ele de cîmp.Solut, ie: Scriem ecuat, ia cu derivate part, iale asociată cîmpului, pentru o funct, ie necu-

noscută u = u(x,y,z). Avem:

xy2ux + x2yuy + z(x2 + y2)uz = 0.

Rezolvarea ecuat, iei se face ca mai sus, scriind sistemul asociat:

dx

xy2 =dy

x2y=

dz

z(x2 + y2),

definit pe domeniul potrivit, adică D = R3 − {(0,0,0)}.

Din prima egalitate, putem simplifica cu xy s, i avem xdx = ydy, deci o integrală primăeste x2 − y2 = c1.

Putem amplifica rapoartele cu y,x s, i respectiv 1 s, i avem:

ydx

xy3 =xdy

x3y=

dz

z(x2 + y2)=ydx+ xdyxy(x2 + y2)

.

Din ultimele două rapoarte, obt, inem, după simplificare cu x2 + y2:

dzz

=d(xy)xy

,

decixy

z= c2.

Acum solut, ia generală a ecuat, iei cu derivate part, iale este:

u(x,y,z) = ϕ(x2 − y2,

xy

z

),

cu ϕ o funct, ie arbitrară de clasă C1, deci suprafet,ele de cîmp ale cîmpului ~V au forma:

ϕ(x2 − y2,

xy

z

)= 0.

25

În unele cazuri, se pot cere anume suprafet,e de cîmp, de exemplu:Exemplu: Să se determine suprafat,a de cîmp a cîmpului vectorial:

~V = yz~i + xz~j + xy~k,

care trece prin curba dată de intersect, ia cilindrului x2 + z2 = 4 cu planul y = 0.Solut, ie: Mai întîi, determinăm toate suprafet,ele de cîmp, ca mai sus. Scriem direct

sistemul asociat:dxyz

=dy

xz=dzxy.

Amplificăm cu x,y, respectiv z s, i obt, inem xdx = ydy = zdz, adică x2 − y2 = c1,x2 − z2 = c2

sînt două integrale prime.Aceste integrale prime dau o familie infinită de suprafet,e, dintre care vrem să aflăm

pe cea care trece prin curba dată. As, adar, avem de rezolvat sistemul de ecuat, ii:x2 − y2 = c1

x2 − z2 = c2

x2 + z2 = 4y = 0

pentru constantele c1 s, i c2, care ne vor identifica exact suprafat,a.Este suficient să găsim condit, ia de compatibilitate a sistemului, care se poate obt, ine

din primele două ecuat, ii. Înmult, im prima ecuat, ie cu 2 s, i o scădem din ea pe a doua s, icomparăm cu a treia ecuat, ie. Se obt, ine 2c1 − c2 = 4. Apoi, înlocuim în integralele primes, i avem 2(x2 − y2)− (x2 − z2) = 4, care se prelucrează s, i se aduce la forma canonică:

x2

4−y2

2+z2

4= 1,

care este un hiperboloid cu o pînză.

4.3 Ecuat, ii cu derivate part, iale cvasiliniare

Forma generală a ecuat, iilor cu derivate part, iale cvasiliniare pentru o funct, ie u =u(x1,x2, . . . ,xn) este:

P1(x1, . . . ,xn)ux1+ P2(x1, . . . ,xn)ux2

+ · · ·+ Pn−1(x1, . . . ,xn)uxn−1+Q(x1, . . . ,xn) = 0,

adică apar toate derivatele part, iale ale lui u, mai put, in ultima.În exercit, iile pe care o să le întîlnim cel mai des, funct, ia u este înlocuită cu z = z(x,y),

iar atunci ultima derivată part, ială o putem gîndi, de exemplu, ca zz = 1.

26

Modul de rezolvare este explicat pe exemplul de mai jos.Exemplu: Fie ecuat, ia cvasiliniară:

(z − y)2 ∂z∂x

+ xz∂z∂y

= xy.

Solut, ie: Se poate vedea că ecuat, ia este cvasiliniară, funct, ia necunoscută fiind z = z(x,y).Din teorie, ecuat, ia trebuie să aibă o solut, ie scrisă în formă implicită u(x,y,z) = 0. De

fapt, această funct, ie trebuie înt,eleasă ca u = u(x,y,z(x,y)). Folosind formula de derivarea funct, iilor compuse, dacă vrem să scriem derivata part, ială în raport cu x a lui u, trebuiesă t, inem cont că x apare s, i în z(x,y), deci avem:

0 =∂u∂x

+∂u∂z· ∂z∂x,

s, i similar pentru derivata în raport cu y. Rezultă:

zx = −uxuz, zy = −

uyuz.

Înlocuim în ecuat, ia dată s, i înmult, im relat, ia cu uz, obt, inînd:

(z − y)2ux + xzuy + xyuz = 0,

care este o ecuat, ie cu derivate part, iale de ordinul întîi s, i o putem rezolva ca în primasect, iune.

Scriem sistemul asociat:dx

(z − y)2 =dy

xz=dzxy.

Din a doua egalitate obt, inem direct y2 − z2 = c1, care este o integrală primă.Amplificăm primul raport cu x, pe al doilea cu (y−z) s, i pe al treilea cu (z−y) s, i obt, inem

prin adunare:

xdx+ (y − z)dy + (z − y)dz = 0⇒ xdx+ ydy + zdz − d(yz) = 0.

Rezultă a doua integrală primă x2 + y2 + z2 − 2yz = x2 + (y − z)2 = c2.Solut, ia pentru u va fi:

u(x,y,z) = ϕ(y2 − z2,x2 + (y − z)2),

cu ϕ o funct, ie de clasă C1 pe domeniul de definit, ie.Atunci solut, ia pentru z se obt, ine din forma implicită u(x,y,z) = 0.

27

4.4 Exercit, ii

1. Rezolvat, i ecuat, iile cvasiliniare:

(a) x(y3 − 2x3)zx + y(2y3 − x3)zy = 9z(x3 − y3);

(b) 2xzzx + 2yzzy = z2 − x2 − y2;

(c) 2yzx + 3x2zy + 6x2y = 0;

(d) x(y2 − z2

)zx − y

(x2 + y2

)zy = z

(x2 + y2

);

(e) xzzx + yzzy = x+ y.

Indicat, ii: (a) Sistemul diferent, ial autonom la care se ajunge este:

dx

x(y3 − 2x3)=

dy

y(2y3 − x3)=

dz

9z(x3 − y3).

Rezultă:ydx+ xdy

3xy(y3 − x3)=

dz

9z(x3 − y3)⇒d(xy)xy

= −dz3z⇒ x3y3z = c1.

Din primele două rapoarte obt, inem:

y(2y3 − x3)x(y3 − 2x3)

=dy

dx.

Simplificăm fort,at cuy

x= u s, i ajungem la ecuat, ia:

u3 − 2u(u + 1)(u2 −u + 1)

du =dxx.

Rezultă ln(c2x) = −2lnu + ln(u + 1) + ln(u2 −u + 1), adică, în final, c2 =x3 + y3

x2y2 .

(b) Se ajunge la sistemul autonom:

dx2xz

=dy

2yz=

dz

z2 − x2 − y2 .

Din primele două rapoarte avemy

x= c1 s, i apoi:

2xdx2x2 =

2ydy2y2 =

2zdzz2 − x2 − y2 ,

28

adică c2x = x2 + y2 + z2.(d) Dacă u(x,y,z) = 0 este solut, ia căutată în formă implicită, atunci ajungem la ecuat, ia

cu derivate part, iale de ordinul întîi:

x(y2 − z2)ux − y(x2 + z2)uy + z(x2 + y2)uz = 0.

Din sistemul diferent, ial asociat, obt, inem:

xdx+ ydy + zdz = 0⇒ x2 + y2 + z2 = c1.

Mai departe:ydx − xdy

xy(y2 − z2) + xy(x2 + z2)=ydx − xdyxy(x2 + y2)

=dz

z(x2 + y2),

de unde rezultă:ydx − xdy

xy=dzz⇒ xyz

= c2.

2. Determinat, i suprafet,ele de cîmp pentru cîmpurile vectoriale:

(a) ~V = (x+ y + z)~i + (x − y)~j + (y − x)~k;

(b) ~V = (x − y)~i + (x+ y)~j +~k.

Indicat, ii: (a) Ajungem la sistemul:

dxx+ y + z

=dy

x − y=

dzy − x

.

Din prima egalitate, rezultă dy + dz = 0 ⇒ y + z = c1. Înlocuind în cea de-a doua

egalitate z = c1 − y, rezultă (x − y)dx = (x + c1)dy, deci xdx − d(xy) − c1dy = 0, adicăx2

2−

xy − c1y = c2. Înlocuim c1 = y + z s, i obtinemx2

2− xy − y2 − yz = c2.

Domeniul de definit, ie va fi D = {(x,y,z) ∈R3 | x+ y + z , 0}.(b) Se ajunge la sistemul:

dxx − y

=dy

x+ y=dz1.

Rezultă:xdx

x2 − xy=

ydy

xy + y2 =xdx+ ydyx2 + y2 =

12d(x2 + y2)

x2 + y2 =dz1,

29

deci x2 + y2 = c1e2z, iar apoi, din

dy

dx=x+ yx − y

, putem notay

x= u s, i rezultă x2 + y2 =

c2e2arctan y

x .

3. Determinat, i suprafat,a de cîmp a cîmpului vectorial:

~V = 2xz~i + 2yz~j + (z2 − x2 − y2)~k,

care cont, ine cercul dat de z = 0 s, i x2 + y2 − 2x = 0.Indicat, ie: Integralele prime independente ale sistemului se determină din:

dx2xz

=dy

2yz=

dz

z2 − x2 − y2 .

Din primele două rapoarte, obt, inem y = c1x, iar apoi, putem înmult, i toate egalităt, ile cu2z s, i prelucrăm mai departe:

dxx

=dy

y=

2zz2 − x2 − y2 ⇒

2xdx2x2 =

2ydy2y2 =

2zdzz2 − x2 − y2 =

2(xdx+ ydy + zdz)x2 + y2 + z2 ,

deci x2 + y2 + z2 = c2x.Pentru a obt, ine intersect, ia cu cercul dat, avem condit, ia ca sistemul de mai jos să fie

compatibil: y = c1x

x2 + y2 + z2 = c2x

z = 0x2 + y2 − 2x = 0

.

Din ultimele trei ecuat, ii se obt, ine că sistemul este compatibil dacă s, i numai dacăc2 = 2.

Rezultă x2 + y2 + z2 − 2x = 0, care este o sferă.

4. Fie cîmpul vectorial:~V = (x+ y)~i + (y − x)~j − 2z~k.

Să se determine:

(a) liniile de cîmp;

(b) linia de cîmp ce cont, ine punctul M(1,0,1);

30

(c) suprafet,ele de cîmp;

(d) suprafat,a de cîmp care cont, ine dreapta z = 1, y − x√

3 = 0.

Indicat, ie: Pentru liniile de cîmp, ecuat, ia dată de primele două rapoarte:

dxdy

=x+ yy − x

este o ecuat, ie diferent, ială de ordinul întîi, omogenă, care se poate rezolva cu substitut, iay = tx.

5. Să se determine solut, ia ecuat, iilor cu derivate part, iale de ordinul întîi:

(a) yux − xuy = 0;

(b) xzux − yzuy + (x2 + y2)uz = 0;

(c) xux − yuy = 0.

31

32

SEMINAR 5

ECUAT, II CU DERIVATE PART, IALE DEORDINUL AL DOILEA

5.1 Clasificare s, i forma canonică

O ecuat, ie cvasiliniară cu derivate part, iale de ordinul al doilea, cu două variabile indepen-dente, are forma generală:

A(x,y)zxx + 2B(x,y)zxy +C(x,y)zyy +D(x,y,z,zx, zy) = 0,

undeA,B,C : R2→R sînt funct, ii reale, continue pe un deschis din R2 (care este domeniul

de definit, ie al ecuat, iei), iar D este de asemenea funct, ie continuă.

Definiţie 5.1: Se numesc curbe caracteristice ale ecuat, iei de mai sus curbele care se află pesuprafet,ele integrale ale ecuat, iei, i.e. care satisfac ecuat, ia caracteristică:

A(x,y)dy2 − 2B(x,y)dxdy +C(x,y)dx2 = 0.

Clasificarea ecuat, iilor se face în funct, ie de curbele caracteristice. Astfel, avem:

• AC −B2 < 0⇒ ecuat, ia este de tip hiperbolic;

• AC −B2 = 0⇒ ecuat, ia este de tip parabolic;

• AC −B2 > 0⇒ ecuat, ia este de tip eliptic.

Exemple foarte des întîlnite provin din fizica matematică:

33

• Ecuat, ia coardei vibrante, care are aceeas, i formă generală cu ecuat, ia undelor plane:

uxx −1a2utt = 0, a2 =

ρ

T0,

unde ρ este densitatea liniară a coardei, iar T0 este tensiunea la care este supusăcoarda în pozit, ia de repaus.

Ecuat, ia este de tip hiperbolic, după cum se poate verifica imediat.

• Ecuat, ia căldurii, cu forma generală:

uxx =1a2ut, a2 =

kcρ,

unde k este coeficientul de conductibilitate termică, c este căldura specifică, iar ρeste densitatea.

Ecuat, ia are tip parabolic.

• Ecuat, ia lui Laplace, cu forma generală:

∆u = uxx +uyy = 0,

care este o ecuat, ie de tip eliptic.

5.2 Forma canonică

Pornind de la ecuat, ia caracteristică, o putem rezolva ca pe o ecuat, ie de gradul al doilea s, iobt, inem, în general, două solut, ii:

dy

dx= µ1(x,y),

dy

dx= µ2(x,y).

Aceste ecuat, ii se numesc curbele caracteristice ale ecuat, iei de pornire.Prin integrarea celor două ecuat, ii, se obt, in două familii de curbe în planul XOY , de

forma ϕ1(x,y) = c1 s, i ϕ2(x,y) = c2, unde c1 s, i c2 sînt constante arbitrare.Aducerea ecuat, iei de pornire la forma canonică se face pe următoarele cazuri:

• Dacă ecuat, ia este de tip hiperbolic, se face schimbarea de variabile:

τ = ϕ1(x,y), η = ϕ2(x,y),

iar prima formă canonică a ecuat, iei se obt, ine a fi:

zτη +Ψ1(τ,η,z,zτ , zη) = 0,

Putem face s, i transformarea τ = x+y s, i η = x−y, iar a doua formă canonică se obt, inea fi:

zxx − zyy +Φ1(τ,η,z,zx, zy) = 0.

34

• Dacă ecuat, ia este de tip parabolic, o să obt, inem ϕ1 = ϕ1 = ϕ(x,y) s, i vom face schim-barea de variabilă:

τ = ϕ(x,y), η = x.

Forma canonică este:zηη +Ψ2(τ,η,z,zτ , zη) = 0.

• Pentru ecuat, iile de tip eliptic, funct, iile ϕ1 s, i ϕ2 sînt complex conjugate s, i putem notaα(x,y) = Reϕ1(x,y), iar β(x,y) = Imϕ1(x,y). Schimbarea de variabile este:

τ = α(x,y), η = β(x,y),

iar forma canonică este:

zττ + zηη +Ψ3(τ,η,z,zτ , zη) = 0.

5.3 Cazul coeficient, ilor constant, i s, i D = 0

Ne ocupăm deocamdată de cazul coeficient, ilor constant, i s, i D = 0, ecuat, ia prezentîndu-seîn forma generală:

Azxx + 2Bzxy +Czyy = 0, A,B,C ∈R.Atunci ecuat, ia diferent, ială a curbelor caracteristice este:

Ady2 − 2Bdxdy +Cdx2 = 0.

Obt, inem solut, iile de forma generală:dy −µ1dx = 0dy −µ2dx = 0

⇒

y −µ1x = c1

y −µ2x = c2, c1, c2 ∈R.

Aducerea la forma canonică se simplifică:

• Pentru cazul hiperbolic, substitut, ia este:τ = y −µ1x

η = y −µ2x,

iar ecuat, ia devine:zτη = 0,

care are solut, ia generală z = f (τ) + g(η), unde f s, i g sînt funct, ii arbitrare. Înlocuimîn vechile variabile s, i obt, inem:

z(x,y) = f (y −µ1x) + g(y −µ2x).

35

• Pentru cazul parabolic, avem µ1 = µ2 =BA

, iar ecuat, ia curbelor devine Ady−Bdx = 0,

care are solut, ia Ay −Bx = c ∈R.

Schimbarea de variabile este τ = Ax−By, iar η = x, care conduce la forma canonică:

zηη = 0.

Solut, ia generală este z = ηf (τ) + g(τ), cu f ,g funct, ii arbitrare. Putem reveni lavariabilele anterioare s, i găsim:

z = xf (Ax −By) + g(x).

• Pentru cazul eliptic, forma canonică este chiar ecuat, ia Laplace:

zττ + zηη = 0,

care nu se poate rezolva us, or pe cazul general.

5.4 Exercit, ii

1. Aducet, i la forma canonică următoarele ecuat, ii:

(a)∂2u

∂x2 + 2∂2u∂x∂y

− 3∂2u

∂y2 + 2∂u∂x

+ 6∂u∂y

= 0;

(b) 3∂2u

∂x2 + 7∂2u∂x∂y

+ 2∂2u

∂y2 = 0;

(c) 4∂2u

∂x2 + 4∂2u∂x∂y

+∂2u

∂y2 − 2∂u∂y

= 0;

(d)∂2u

∂x2 − 6∂2u∂x∂y

+ 10∂2u

∂y2 +∂u∂x− 3

∂u∂y

= 0;

(e) 2∂2u

∂x2 − 7∂2u∂x∂y

+ 3∂2u

∂y2 = 0;

(f) y∂2u

∂x2 + (x+ y)∂2u∂x∂y

+ x∂2u

∂y2 = 0;

(g) (1 + x2)∂2u

∂x2 + (1 + y2)∂2u

∂y2 + x∂u∂x

+ y∂u∂y

= 0;

36

(h) x2∂2u

∂x2 − 2xy · ∂2u

∂x∂y+ y2 · ∂

2u

∂y2 + x · ∂u∂x

+ y · ∂u∂y

= 0;

Solut, ie: (a) Deoarece avem A = 1,B = 1,C = −3, rezultă B2 −AC = 4 > 0, deci ecuat, iaeste de tip hiperbolic.

Scriem ecuat, ia caracteristică:

(dydx

)2− 2

dy

dx− 3 = 0,

care poate fi rezolvată ca o ecuat, ie de gradul al doilea, de unde:

dy

dx= 3 ⇒ y − 3x = c1

dy

dx= −1 ⇒ y + x = c2

.

Cu schimbarea de variabile:

τ = y − 3xη = y + x

,

funct, ia căutată u(x,y) devine u(τ,η), astfel că toate derivatele part, iale se calculează acum

37

folosind formula funct, iilor implicite s, i derivarea funct, iilor compuse. Obt, inem, succesiv:

∂u∂x

=∂u∂τ· ∂τ∂x

+∂u∂η·∂η

∂x

= −3∂u∂τ

+∂u∂η

∂u∂y

=∂u∂τ· ∂τ∂y

+∂u∂η·∂η

∂y

=∂u∂τ

+∂u∂η

∂2u

∂x2 =∂∂x

(∂u∂x

)=∂∂x

(∂u∂τ· ∂τ∂x

+∂u∂η·∂η

∂x

)=∂∂x

(∂u∂τ· ∂τ∂x

)+∂∂x

(∂u∂η·∂η

∂x

)=∂∂x

(∂u∂τ

)· ∂τ∂x

+∂u∂τ· ∂

2τ

∂x2 +∂∂x

(∂u∂η

)·∂η

∂x+∂u∂η·∂2η

∂x2

=[ ∂∂τ

(∂u∂τ

)· ∂τ∂x

+∂∂η

(∂u∂τ

)·∂η

∂x

]· ∂τ∂x

+

+[ ∂∂η

(∂u∂η

)·∂η

∂x+∂∂τ

(∂u∂η

)·∂η

∂x

]·∂η

∂x+

+∂2τ

∂x2 ·∂u∂τ

+∂u∂η·∂2η

∂x2

=∂2u

∂τ2 ·(∂τ∂x

)2+

∂u∂η∂τ

·∂η

∂x· ∂τ∂x

+∂2u

∂2η·(∂η∂x

)2+

+∂2u∂τ∂η

· ∂τ∂x·∂η

∂x+∂2τ

∂x2 ·∂u∂τ

+∂u∂η·∂2η

∂x2

= 9∂2u

∂τ2 − 6∂2u∂τ∂η

+∂2u

∂η2

∂2u∂x ∂y

=∂∂x

(∂u∂y

)= −3

∂2u

∂τ2 − 2∂2u∂τ∂η

+∂2u

∂η2

∂2u

∂y2 =∂2u

∂τ2 + 2∂2u∂τ∂η

+∂2u

∂η2 .

38

Toate derivatele part, iale în raport cu x s, i y se calculează, deci, t, inînd cont de legăturacu noile variabile η s, i τ . Practic, avem:

∂∂x

=∂∂η·∂η

∂x+∂∂τ· ∂τ∂x

s, i similar pentru y.Rezultă că, în final, forma canonică este:

−16∂2u∂τ∂η

+ 8∂u∂η

= 0⇔ ∂2u∂τ∂η

− 12∂u∂η

= 0.

2. Determinat, i solut, ia ecuat, iei:

∂2u

∂x2 + 2∂2u∂x∂y

− 3∂2u

∂y2 = 0,

care satisface condit, iile: u(x,0) = 3x2

∂u∂y

(x,0) = cosx.

3. Rezolvat, i ecuat, ia:

3∂2u

∂x2 + 7∂2u∂x∂y

+ 2∂2u

∂y2 = 0,

cu condit, iile: u(x,0) = x3

∂u∂y

(x,0) = 2x2 .

Exercit, ii suplimentare (A. Negrescu)Să se afle solut, ia fiecăreia dintre următoarele ecuat, ii diferent, iale cu derivate part, iale

de ordinul al doilea:

(a)

utt = 25uxxu(0, t) = u(1, t) = 0u(x,0) = x(1− x)ut(x,0) = 0

, 0 < x < 1, t > 0

39

(b)

utt = 16uxxu(0, t) = u(1, t) = 0u(x,0) = sin(5πx) + 2sin(7πx)ut(x,0) = 0

, 0 < x < 1, t > 0

(c)

ut = 4uxxu(0, t) = u(π,t) = 0u(x,0) = sinx

, 0 < x < π,t > 0.

40

SEMINAR 6

EDP DE ORDINUL DOI: CAZULCOEFICIENT, ILOR VARIABILI

Ecuat, iile cu derivate part, iale de ordinul al doilea, cu coeficient, i variabili, se rezolvăsimilar celor cu coeficient, i constant, i. Vom prezenta două exemple.

Exemplu 1: Să se aducă la forma canonică ecuat, ia:

(1 + x2)∂2u

∂x2 + (1 + y2)∂2u

∂y2 + x∂u∂x

+ y∂u∂y

= 0.

Solut, ie: Deoarece avem AC − B2 = (x2 + 1)(y2 + 1) > 0, rezultă că ecuat, ia este de tipeliptic.

Ecuat, ia caracteristică este:

(1 + x2)dy2 + (1 + y2)dx2 = 0,

care înseamnă: √1 + x2dy = ±i

√1 + y2dx.

Rezultă că familiile de curbe caracteristice sînt:ln(y +√

1 + y2) + i ln(x+√

1 + x2) = c1

ln(y +√

1 + y2)− i ln(x+√

1 + x2) = c2

În consecint,ă, facem schimbarea de variabile:τ = ln(y +√

1 + y2)η = ln(x+

√1 + x2)

41

Derivatele part, iale în funct, ie de noile variabile sînt:

∂u∂x

=∂u∂η· 1√

1 + x2

∂2u

∂x2 =1

1 + x2 ·∂2u

∂η2 −x

(1 + x2)

32

· ∂u∂η

∂u∂y

=1√

1 + y2· ∂u∂τ

∂2u

∂y2 =1

1 + y2 ·∂2u

∂τ2 −y

(1 + y2)

32

· ∂u∂τ.

Rezultă că ecuat, ia se reduce la forma canonică:

∂2u

∂η2 +∂2u

∂τ2 = 0.

Exemplu 2: Să se aducă la forma canonică s, i să se determine solut, ia generală a ecuat, iei:

x2∂2u

∂x2 − 2xy∂2u∂x∂y

+ y2∂2u

∂y2 + x∂u∂x

+ y∂u∂y

= 0.

Solut, ie: Deoarece A = x2,B = −xy,C = y2, avem AC − B2 = 0, deci ecuat, ia este de tipparabolic.

Din ecuat, ia caracteristică obt, inem:

x2 ·(dydx

)2+ 2xy ·

dy

dx+ y2 = 0⇒

dy

dx= −

y

x⇒ xy = c.

Facem schimbarea de variabile: τ = xyη = x

42

s, i noile derivate part, iale sînt:

∂u∂x

= y∂u∂τ

+∂u∂η

∂u∂y

= x∂u∂τ

∂2u

∂x2 = y2∂2u

∂τ2 + 2y∂2u∂τ∂η

+∂2u

∂η2

∂2u

∂y2 = x2∂2u

∂τ2

∂2u∂x∂y

=∂u∂τ

+ xy∂2u

∂τ2 + x∂2u∂τ∂η

.

Atunci ecuat, ia devine:∂2u

∂η2 +1η∂u∂η

= 0.

Ea se poate rescrie s, i rezolva astfel:

∂∂η

(η · ∂u∂η

)= 0⇒ η · ∂u

∂η= f (τ)⇒ ∂u

∂η=

1ηf (τ).

Integrăm în raport cu η s, i obt, inem, în final:

u(τ,η) = f (τ) lnη + g(τ)⇒ u(x,y) = f (xy) lnx+ g(xy).

În unele cazuri, poate fi necesară o discut, ie după x,y pentru tipul ecuat, iei:Exemplu 3: Fie ecuat, ia:

y∂2u

∂x2 + (x+ y)∂2u∂x∂y

+ x∂2u

∂y2 = 0.

Deoarece A = y,B =x+ y

2,C = x, avem

δ = AC −B2 =−(x − y)2

4s, i studiem separat pentru:

D1 = {(x,y) ∈R2 | δ < 0}, D2 = {(x,y) ∈R2 | δ = 0},

care corespund, respectiv, cazurilor: hiperbolic, pentru y , x s, i eliptic, pentru y = x.Mai departe, ecuat, ia se rezolvă cu metodele cunoscute, corespunzătoare celor două

cazuri.

43

6.1 Coarda infinită. Metoda lui d’Alembert

Pornim de la ecuat, ia coardei infinite, care constă în determinarea funct, iei u(x, t), de-finită pentru x ∈R s, i t ≥ 0, solut, ie a ecuat, iei coardei vibrante:

a2∂2u

∂x2 =∂2u

∂t2,∀x ∈R, t > 0.

Presupunem că avem condit, ii init, iale, astfel că problema devine o problemă Cauchy:

u(x,0) = ϕ(x),∂u∂t

(x,0) = ψ(x),∀x ∈R,

cu ϕ s, i ψ funct, ii date.Cum ecuat, ia este deja în forma canonică, asociem ecuat, ia caracteristică:

a2dt2 − dx2 = 0⇒ dtdx

= ±1a.

Rezultă că familiile de curbe caracteristice sînt:x − at = c1

x+ at = c2.

Facem schimbarea de variabile corespunzătoare:τ = x − atη = x+ at

s, i rezultă ecuat, ia în forma canonică, în noile variabile:

∂2u∂τ∂η

= 0.

Putem să o rezolvăm astfel:

∂∂η

(∂u∂τ

)= 0⇒ ∂u

∂τ= f (τ).

Acum putem integra în raport cu τ s, i găsim:

u(τ,η) =∫f (τ)dτ +θ2(η)⇔ u(τ,η) = θ1(τ) +θ2(η).

Revenind la variabilele x, t, avem:

u(x, t) = θ1(x+ at) +θ2(x − at)

44

s, i, folosind condit, iile init, iale, avem:θ1(x) +θ2(x) = ϕ(x)aθ′1(x)− aθ′2(x) = ψ(x)

.

Integrăm a doua ecuat, ie în raport cu x s, i obt, inem:θ1(x) +θ2(x) = ϕ(x)aθ1(x)− aθ2(x) =

∫ x0ψ(α)dα + c

Adunăm egalităt, ile s, i găsim:

θ1(x) =ϕ(x)

2+

12a

∫ x

0ψ(α)dα +

c2a,

iar prin scădere, găsim:

θ2(x) =ϕ(x)

2− 1

2a

∫ x

0ψ(α)dα − c

2a.

Revenind la variabilele init, iale, avem:θ1(x+ at) =

ϕ(x+ at)2

+12a

∫ x+at0

ψ(α)dα +c

2aθ2(x − at) =

ϕ(x − at)2

− 12a

∫ x−at0

ψ(α)dα − c2a

.

Putem asambla solut, ia finală în forma:

u(x, t) =12

[ϕ(x − at) +ϕ(x+ at)

]+

12a

∫ x+at

x−atψ(α)dα, (6.1)

care se numes, te formula lui d’Alembert.

Observaţie 6.1: Solut, ia problemei Cauchy asociată coardei vibrante există s, i este unică.

6.2 Coarda finită. Metoda separării variabilelor (*)

Pentru cazul lungimii finite a unei coarde, se foloses, te o metodă care este atribuită luiFourier s, i utilizează dezvoltări în serie. Această metodă se numes, te metoda separării vari-abilelor.

45

Pornim cu o problemă Cauchy similară, doar că lungimea coardei este cont, inută într-un interval finit. Căutăm, deci, funct, ia u(x, t), definită pentru 0 ≤ x ≤ l s, i t ≥ 0, caresatisface următoarele condit, ii:

a2∂2u

∂x2 =∂2u

∂t2u(x,0) = ϕ(x)∂u∂t

(x,0) = ψ(x)

u(0, t) = u(l, t) = 0 (condit, ii la limită)

.

Metoda de separare a variabilelor constă în găsirea unui s, ir infinit de solut, ii de formăparticulară, iar apoi, cu ajutorul acestora, formăm o serie ai cărei coeficient, i se determinăîn ipoteza ca suma seriei să dea solut, ia problemei tratate.

Solut, iile particulare se caută în forma:

u(x, t) = X(x)T (t)

s, i cerem să satisfacă condit, iile la limită:u(0, t) = X(0)T (t) = 0u(l, t) = X(l)T (t) = 0

Rezultă că vrem X(0) = X(l) = 0. Altfel, am avea T (t) = 0, ceea ce ar conduce la solut, iabanală u(x, t) = 0.

Înlocuind în ecuat, ia init, ială, avem:

XT ′′ = a2X ′′T ⇒ 1a2T ′′

T=X ′′

X.

Să remarcăm că în membrul stîng, funct, ia depinde doar de variabila t, iar în membruldrept, doar de variabila x. As, adar, egalitatea nu poate avea loc decît dacă ambele funct, iisînt egale cu o constantă. Pentru convenient,ă, o vom nota cu −λ. Obt, inem ecuat, iile:X ′′ +λX = 0

T ′′ + a2λT = 0

Prima dintre aceste ecuat, ii este liniară, de ordinul al doilea, cu coeficient, i constant, i.Solut, ia se obt, ine:

• Dacă λ < 0, atunciX(x) = c1e

−√λx + c2e

−√−λx,

46

iar t, inînd seama de condit, iile la limită, avem:c1 + c2 = 0

c1e√−λl + c2e

−√−λl = 0

,

care se scrie echivalent: c1 + c2 = 0

c1e2√−λl + c2 = 0

Determinantul matricei sistemului este nenul, deci el admite doar solut, ia banală.

• Dacă λ = 0, atunci X(x) = c1x + c2 s, i, t, inînd seama de condit, iile la limită, obt, inemdin nou solut, ia banală.

• Dacă λ > 0, solut, ia generală se scrie:

X(x) = c1 cos√λx+ c2 sin

√λx.

Din condit, iile la limită, găsim:X(0) = c1 = 0X(l) = c2 sin

√λl = 0.

Din a doua ecuat, ie, deducem că c2 = 0, care conduce la solut, ia banală, sau sin√λl =

0, care înseamnă λ =(nπl

)2. Putem scrie, atunci, solut, ia corespunzătoare acestei

serii de valori în forma:Xn = cn sin

nπlx, cn ∈R.

Înlocuim s, i integrăm acum ecuat, ia după t:

T ′′ + a2(nπl

)2T = 0,

care are solut, ia generală:

Tn(t) = αn cosnπlat + βn sin

nπlat.

Punînd laolaltă solut, ia după x s, i pe cea după t, obt, inem:

un(x, t) = Xn(x)Tn(t) =(an cos

nπlat + bn sin

nπlat

)· sin

nπlx, (6.2)

unde an,bn, cn sînt constante ce provin din αn,βn, cn.

47

Pentru a doua etapă a solut, iei, considerăm seria∑un(x, t), adică:

∞∑n=1

(an cos

nπlat + bn sin

nπlat

)· sin

nπlx.

Presupunem că există u(x, t) suma seriei de mai sus, care este s, i solut, ia problemeiCauchy, deci satisface s, i condit, iile la limită, adică:

u(x,0) =∑n≥1 an sin

nπlx = ϕ(x)

∂u∂t

(x,0) =nπlabn sin

nπlx = ψ(x)

.

Putem privi aceste egalităt, i ca dezvoltarea funct, iilor ϕ s, i ψ în serie Fourier de sinu-suri. Rezultă că putem afla coeficient, ii:

an =2l

∫ l0ϕ(x)sin

nπlxdx (6.3)

bn =2nπa

∫ l0ψ(x)sin

nπlxdx. (6.4)

Observaţie 6.2: Calculele de mai sus, împreună cu rezultate din teoria seriilor Fourier, neasigură că funct, ia u(x, t) găsită este solut, ia problemei Cauchy.

6.3 Exercit, ii

1. Determinat, i solut, ia ecuat, iei:

∂2u

∂x2 + 2∂2u∂x∂y

− 3∂2u

∂y2 = 0,

care satisface condit, iile: u(x,0) = 3x2

∂u∂y

(x,0) = cosx.

Solut, ie: CumAC−B2 = −4 < 0, ecuat, ia este de tip hiperbolic. Din ecuat, ia caracteristică,obt, inem schimbarea de variabile: τ = −3x+ y

η = x+ y,

48

iar forma canonică este∂2u∂τ∂η

= 0, care are solut, ia:

u(τ,η) = f (τ) + g(η),

cu f ,g funct, ii de clasă C2, arbitrare. Revenind la variabilele init, iale, avem:

u(x,y) = f (−3x+ y) + g(x+ y).

T, inînd seama de condit, iile init, iale din problema Cauchy, obt, inem sistemul:f (−3x) + g(x) = 3x2

f ′(−3x) + g ′(x) = cosx

Integrăm a doua ecuat, ie s, i avem:f (−3x) + g(x) = 3x2

−13f (−3x) + g(x) = sinx+ c

s, i prin schimbarea semnului primei ecuat, ii s, i adunîndu-le, obt, inem:f (−3x) =94x2 − 3

4sinx − 3c

4g(x) =

34x2 +

34

sinx+3c4

.

Dacă notăm −3x = t, atunci x = − t3

s, i găsim:

f (t) =t2

4+

34

sint3− 3c

4.

As, adar, solut, ia finală este:f (−3x+ y) =

14

(−3x+ y)2 +34

sin−3x+ y

3− 3c

4g(x+ y) =

34

(x+ y)2 +34

sin(x+ y) +3c4

.

Rezultă că solut, ia problemei Cauchy este:

u(x,y) =14

(−3x+ y)2 +34

sin−3x+ y

3+

34

(x+ y)2 +34

sin(x+ y).

49

2. Rezolvat, i ecuat, ia:

3∂2u

∂x2 + 7∂2u∂x∂y

+ 2∂2u

∂y2 = 0,

cu condit, iile: u(x,0) = x3

∂u∂y

(x,0) = 2x2 .

Solut, ie: Ecuat, ia este de tip hiperbolic, iar schimbarea de variabilă este:τ = 2x − yη = x − 3y

,

care conduce la forma canonică∂2u∂τ∂η

= 0, de unde rezultă solut, ia generală:

u(x,y) = ϕ(2x − y) +ψ(x − 3y).

Din condit, iile problemei Cauchy, obt, inem:ϕ(2x) +ψ(x) = x3

−ϕ′(2x)− 3ψ′(x) = 2x2 .

Integrăm a doua relat, ie s, i obt, inem:

−12ϕ(2x)− 3ψ(x) =

23x3 + k.

Atunci: ϕ(2x) =1996

(2x)3 + c1

ψ(x) = − 712x3 − c1

,

de unde rezultă că solut, ia problemei Cauchy este:

u(x,y) =1996

(2x − y)3 − 712

(x − 3y)3.

3. Rezolvat, i ecuat, ia coardei vibrante infinite:

∂2u

∂x2 −∂2u

∂t2= 0,

50

cu condit, iile init, iale: u(x,0) =

x

1 + x2∂u∂t

(x,0) = sinx.

Solut, ie: Putem aplica direct formula lui d’Alembert (6.1):

u(x, t) =12

[ x − t1 + (x − t)2 +

x+ t1 + (x+ t)2

]+

12

∫ x+t

x−tsinydy

=12

[ x − t1 + (x − t)2 +

x+ t1 + (x+ t)2

]− 1

2[cos(x+ t)− cos(x − t)]

=12

[ x − t1 + (x − t)2 +

x+ t1 + (x+ t)2

]− 1

2

[− 2sin

x+ t + x − t2

sinx+ t − x+ t

2

]=

[ x − t1 + (x − t)2 +

x+ t1 + (x+ t)2

]+ sinx sin t.

4(*). Determinat, i vibrat, iile unei coarde de lungime l, avînd capetele fixate, dacă formainit, ială a coardei este dată de funct, ia:

ϕ(x) = 4(x − x

2

l

),

iar viteza init, ială este 0.

Solut, ie: Aplicînd direct formula pentru coeficient, ii Fourier (6.3), avem bn = 0, iar

an =2l

∫ l

04(x − x

2

l

)sin

nπlxdx =

8l

∫ l

0x sin

nπlxdx − 8

l2

∫ l

0x2 sin

nπlxdx.

51

Calculăm:∫ l

0x sin

nπlxdx = − l

nπxcos

nπlx∣∣∣∣l0

+lnπ

∫ l

0cos

nπlxdx

= − l2

nπ(−1)n +

l2

n2π2 sinnπlx∣∣∣∣l0

= (−1)n+1 l2

nπ.∫ l

0x2 sin

nπlxdx = − l

nπx2 cos

nπlx∣∣∣∣l0

+2lnπ

∫ l

0xcos

nπlxdx

= (−1)n+1 l3

nπ+

2lnπ

[ lnπx sin

nπlx∣∣∣∣l0− lnπ

∫ l

0sin

nπlxdx

]= (−1)n+1 l

3

nπ+

2ln3π3 cos

nπlx∣∣∣∣l0

= (−1)n+1 l3

nπ+

2ln3π3 [(−1)n + 1].

As, adar:

an = (−1)n+1 8lnπ− (−1)n+1 8l

nπ− 16n3π3 [(−1)n − 1],

de unde obt, inem a2n = 0, a2n+1 =32l

(2n+ 1)3π3 .

Punem laolaltă coeficient, ii s, i obt, inem solut, ia:

u(x, t) =32lπ3

∑n≥0

1(2n+ 1)3 cos

(2n+ 1)πl

t · sin(2n+ 1)π

lx.

5(*). Rezolvat, i problema Cauchy asupra coardei vibrante finite:

∂2u

∂t2= 4 · ∂

2u

∂x2 , 0 < x < π,t > 0,

cu condit, iile init, iale s, i la limită:u(x,0) = sin3x − 4sin10x∂u∂t

(x,0) = 2sin4x+ sin6x,0 ≤ x ≤ π

u(0, t) = u(π,t) = 0, t ≥ 0

.

52

Solut, ie: Determinăm coeficient, ii din seria Fourier:

u(x,0) = sin3x − 4sin10x⇒∑

an sinnx = sin3x − 4sin10x.

Egalînd coeficient, ii, obt, inem a3 = 1, a10 = −4, an = 0 în rest.Mai departe:

∂u∂t

(x,0) = 2sin4x+ sin6x⇒∑

2nbn sinnx = 2sin4x+ sin6x.

Egalînd coeficient, ii, avem: b4 =14,b6 =

112,bn = 0 în rest.

Rezultă:

u(x, t) = cos6t sin3x − 4cos20t sin10x+14

sin8t sin4x+1

12sin12t sin6x.

6(*). Aceeas, i cerint,ă pentru:

(a)∂2u

∂x2 =19∂2u

∂t2, 0 ≤ x ≤ π,t ≥ 0,

cu condit, iile init, iale s, i la limită:u(x,0) = sinx∂u∂t

(x,0) = sinx

u(0, t) = u(π,t) = 0

.

(b)∂2u

∂x2 −14∂2u

∂t2= 0, 0 ≤ x ≤ 1, t ≥ 0

cu condit, iile init, iale s, i la limită:u(x,0) = x(1− x)∂u∂t

(x,0) = 0

u(0, t) = u(1, t) = 0

.

53

(c)∂2u

∂x2 −14∂2u

∂t2= 0,0 ≤ x ≤ π,t ≥ 0

cu condit, iile init, iale s, i la limită:u(x,0) = sin3x − 4sin10x∂u∂t

(x,0) = 2sin4x+ sin6x

u(0, t) = u(π,t) = 0

.

7. Să se determine solut, ia problemei Cauchy:

uxx −14utt = 0, x ∈R, t ≥ 0,

cu condit, iile init, iale:u(x,0) = ex, ut(x,0) = 4x.

Indicat, ie: Metoda 1: Putem folosi direct formula lui D’Alembert. Avem a = 2, f (x) =ex, g(x) = 4x, deci solut, ia se obt, ine direct:

u(x, t) =12

(ex−2t + ex+2t

)+

14

∫ x+2t

x−2t4αdα.

Metoda 2: Alternativ, putem folosi rezolvarea directă. Scriem ecuat, ia atas, ată pentrut = t(x), care ne conduce la substitut, iile:

τ = x − 2t, η = x+ 2t.

Forma canonică este uτη = 0, a cărei solut, ie generală este:

u(τ,η) = f (τ) + g(η).

Folosim acum condit, iile init, iale s, i determinăm f s, i g, ca funct, ii de x s, i t.

8. Rezolvat, i problema Cauchy:

uxx −1a2utt = 0, x ∈R, t ≥ 0,

cu condit, iile init, iale:u(x,0) = cosx, ut(x,0) = 1.

54

SEMINAR 7

RECAPITULARE PART, IAL

1. Rezolvat, i ecuat, iile diferent, iale de ordin superior:

(a) (1− y)y′′ + 2y′2 = 0;

(b) yy′′ − y′2 = 0;

(c) (x2 + 1)y′′ − 2xy′ + 2y = 0, s, tiind că are solut, ie particulară un polinom de gradul întîi;

(d) y′′ + y = xcosx;

(e) (x − 2)2y′′ − 3(x − 2)y′ + 4y = x, x > 2;

Indicat, ii:

(a) Ecuat, ia se poate rescrie ca:y′′

y′=

2y′

y − 1,

pe care o putem integra direct s, i obt, inem:

ln |y′ | = 2ln |y − 1|+ lnc.

Apoi separăm y′ s, i mai integrăm o dată pentru a obt, ine pe y.

(b) Ecuat, ia se poate rescrie:y′′

y′=y′

y.

Putem integra direct s, i obt, inem:

ln |y′ | = ln |y|+ lnc,

de unde calculăm y.

55

(c) Putem deriva direct ecuat, ia init, ială s, i rezultă imediat y′′′ = 0, de unde y este unpolinom de gradul al doilea în raport cu x.

Înlocuind în ecuat, ia dată, găsim legături între coeficient, ii polinomului.

Cît despre solut, ia particulară ca polinom de gradul întîi, fie yp(x) = ax + b. Înlocuindîn ecuat, ie, obt, inem că a , 0 s, i b = 0.

(d) Ecuat, ie de ordin superior, cu ecuat, ia algebrică asociată r2 + 1 = 0 etc.

(e) Ecuat, ie Euler, cu schimbarea de variabilă a = x − 2, apoi a = et etc.

2. Rezolvat, i sistemele de ecuat, ii diferent, iale:

(a)

y′ = −2z+ 1x2z′ = −2y + x2 lnx

, cu y = y(x), z = z(x).

(b)

x′ = x+ 3yy′ = −x+ 5y − 2et

, cu condit, iile init, iale x(0) = 3, y(0) = 1.

Indicat, ii:

(a) Derivăm prima ecuat, ie din nou s, i obt, inem z′ = −y′′. Înlocuim în a doua ecuat, ie s, irezultă o ecuat, ie Euler pentru y, pe care o rezolvăm s, i revenim s, i calculăm z(x).

(b) Se aplică metoda substitut, iei s, i se ajunge la o ecuat, ie de ordin superior, neomogenă.

3. Fie cîmpul vectorial:~V = (x+ y)~i + (y − x)~j − 2z~k.

Să se determine:

(a) liniile de cîmp;

(b) linia de cîmp ce cont, ine punctul M(1,0,1);

(c) suprafet,ele de cîmp;

(d) suprafat,a de cîmp care cont, ine dreapta z = 1, y − x√

3 = 0.

Indicat, ii:

56

(a) Sistemul caracteristic asociat este:

dxx+ y

=dy

y − x=dz−2z

.

Din primele două, rezultă:

xdx+ ydyx2 + y2 =

dz−2z⇒ z(x2 + y2) = c1.

Tot din primele rapoarte obt, inem:

dy

dx=y − xx+ y

.

Dacă notăm y′ =dy

dx, putem rezolva fie ca pe o ecuat, ie liniară de ordinul întîi, anume:

y′(x+ y)− y = x

sau putem face substitut, ia y = tx. Rezultă:

xdtdx

+ t =t − 1t + 1

⇔ dxx

= − t + 1t2 + 1

dt⇒ ln(x2 + y2) + 2arctany

x= c2.

Deci liniile de cîmp sînt date de:(x2 + y2)z = c1

ln(x2 + y2) + 2arctany

x= c2

.

(b) Folosind condit, ia ca punctul M(1,0,1) să se găsească pe linia de cîmp, găsim condit, iade compatibilitate a sistemului de mai sus c1 = c2 = 0.

(c) Ecuat, ia suprafet,ei de cîmp este dată de:

Φ

((x2 + y2)z, ln(x2 + y2) + 2arctan

y

x

)= 0.

(d) Pentru condit, ia ca suprafat,a de cîmp să cont, ină dreapta z = 1, y −√

3x = 0, avemsistemul:

(x2 + y2)z = c1


x= c2

z = 1y − x√

3 = 0

.

57

Înlocuim pe x,y,z în funct, ie de constante în ecuat, ia a doua s, i rezultă:

lnc1 + 2arctan√

3 = c2.

Pentru a afla suprafat,a, din prima ecuat, ie avem:

ln(x2 + y2) + lnz = lnc1.

Atunci a doua ecuat, ie devine:


x= c2 = lnc1 +

2π3⇒− lnz = 2

(arctan

y

x− 2π

3

),

de unde se obt, ine z(x,y), ecuat, ia suprafet,ei căutate.

4. Rezolvat, i ecuat, ia cu derivate part, iale de ordinul întîi, cvasiliniară:

(1 +√z − x − y)zx + zy = 2.

Indicat, ie: Se caută o solut, ie implicită sub forma u = u(x,y,z) = 0, se calculează noilederivate part, iale s, i se ajunge la sistemul caracteristic de forma:

dx1 +√z − x − y

=dy

1=dz2.

Ultimele două rapoarte dau z − 2y = c1 s, i, prin scădere, obt, inem:

dy =dz − dx − dy−√z − x − y

,

care poate fi integrată pentru a obt, ine y + 2√z − x − y = c2.

Rezultă solut, ia generală sub forma implicită:

Φ(z − 2y,y + 2√z − x − y) = 0.

5. Aducet, i la forma canonică ecuat, iile liniare cu coeficient, i constant, i:

(a) 4uxx + 4uxy +uyy − 2uy = 0;

(b) uxx − 6uxy + 10uyy +ux − 3uy = 0;

(c) 2uxx − 7uxy + 3uyy = 0.

58

Indicat, ii:

(a) Ecuat, ia este parabolică. Noile derivate part, iale sînt:

uy = −2uτuxx = uττ + 2uτη + 2ηηuyy = 4uττuxy = −2uττ − 2uτη .

Forma canonică rezultă uηη +uτ = 0.

(b) Ecuat, ia este de tip eliptic. Noile derivate part, iale sînt:

ux = 3uτ +uηuy = uτuxx = 9uττ + 6uτη +uηηuxy = 3uττ +uτηuyy = utauτ .

Forma canonică rezultă: uττ +uηη +uη = 0.

(c) Ecuat, ia este de tip hiperbolic. Noile derivate part, iale sînt:

uxx = 9uττ + 6uτη +uηηuxy = 3uττ + 7uτη + 2uηηuyy = uττ + 4uτη + 4uηη .

Forma canonică rezultă a fi uτη = 0.

6. Rezolvat, i ecuat, ia:utt − 9uxx = 0,

cu condit, iile init, iale u(x,0) = x2,ut(x,0) = 3x2.Indicat, ie: Avem a = 3 s, i putem aplica metoda lui D’Alembert pentru coarda vibrantă

infinită.

7. Rezolvat, i următoarele ecuat, ii cu derivate part, iale de ordinul al doilea:

(a) uxx + 2uxy − 3uyy = 0, cu condit, iile u(x,0) = 0,uy(x,0) = x+ cosx

59

(b) x2uxx + 2xyuxy + y2uyy = 0, cu condit, iile u(1, y) = y2,ux(1, y) = y2 + y;

(c) utt = 4uxx, cu condit, iile u(x,0) = 2x,ut(x,0) = ex cosx;

(d) utt = uxx, cu condit, iile u(x,0) = x2,ut(x,0) = 0.

Indicat, ii:

(a) Ecuat, ie hiperbolică. Cum D = 0, se poate scrie direct forma canonică, dar mai deter-minăm s, i substitut, iile care trebuie făcute (τ s, i η).

(b) Ecuat, ie parabolică, cu D = 0.

(c) Formula lui D’Alembert sau calcul direct.

(d) Formula lui D’Alembert sau calcul direct.

60

SEMINAR 8

FUNCT, II COMPLEXE

Începem acum studiul analizei complexe, cu cîteva not, iuni elementare despre funct, iidefinite pe mult, imea numerelor complexe.

O funct, ie complexă este o funct, ie de forma f : A → C, cu A ⊆ C. As, a cum putemsepara părt, ile unui număr complex, în partea reală s, i partea imaginară, putem separa s, ipărt, ile unei funct, ii complexe.

În general, fie z = a + bi un număr complex. Atunci, dacă f este o funct, ie complexă,calculînd f (z) obt, inem o parte reală s, i o parte imaginară, deci putem scrie f = P + iQ,cu P = Ref s, i Q = Imf . Astfel, punem în evident,ă două funct, ii reale P ,Q : R2 → R, iaregalitatea w = f (z) devine echivalentă cu două egalităt, i de forma Rew = P s, i Imw =Q.

Similar cu cazul real, se definesc not, iunile de limită, continuitate s, i derivabilitate. Ofunct, ie complexă derivabilă pe tot domeniul de definit, ie se mai numes, te olomorfă. Avem,de asemenea, s, i not, iunea de olomorfie punctuală, care este echivalentă cu derivabilitateapunctuală.

Următorul rezultat este esent, ial:

Teoremă 8.1: Fie A ⊆C o mult, ime deschisă.Funct, ia f : A → C, f = P + iQ este olomorfă în z0 ∈ A dacă s, i numai dacă funct, iile

P ,QR2 → R sînt diferent, iabile în z0 = (x0, y0), iar derivatele lor part, iale în acest punct ve-

rifică condit, iile Cauchy-Riemann, adică:

Px =Qy , Qx = −Py .

Acest rezultat ne va fi util pentru a demonstra olomorfia unei funct, ii sau, invers, agăsi funct, ia s, tiind că ea este olomorfă. De asemenea, mai avem nevoie s, i de:

Corola 8.1: Dacă funct, ia complexă f = P + iQ este olomorfă, atunci P s, i Q sînt armonice,adică Pxx + Pyy =Qxx +Qyy = 0.

61

Atent, ie, însă, la formularea corolarului. Rezultatul reciproc nu este, în general, ade-vărat. O variantă pe care o putem folosi, însă, este negat, ia acestui rezultat:

Corola 8.2: Dacă funct, iile P s, i Q nu sînt armonice, atunci funct, ia f = P + iQ nu poate fiolomorfă.

8.1 Funct, ii particulare

În continuare, studiem cîteva funct, ii particulare pe care le cunoas, tem din cazul real,să vedem cum se modifică dacă domeniul de definit, ie devine o mult, ime complexă.

Definiţie 8.1: Se numes, te exponent, iala complexă funct, ia:

exp : C→C, expz = ez =∑n≥0

zn

n!.

Se pot demonstra imediat proprietăt, ile:

• exp(0) = 1;

• exp(z1 + z2) = exp(z1) · exp(z2),∀z1, z2 ∈C;

• exp(iy) = cosy + i siny,∀y ∈R (Euler);

• Funct, ia exponent, ială este olomorfă s, i periodică, de perioadă T = 2π.

Pentru funct, ia logaritmică, pornim de la ecuat, ia expw = z, cu w = u + iv ∈ C. Putemscrie z = reiθ, în forma polară s, i, folosind periodicitatea exponent, ialei, ecuat, ia de mai susse rezolvă cu solut, ia:

u = ln |z|, v = Argz+ 2kπ,k ∈Z.

Obt, inem:

Definiţie 8.2: Se numes, te logaritmul complex al numărului z ∈C∗ mult, imea:

Lnz = {ln |z|+ i(Argz+ 2kπ) | k ∈Z}.

Această funct, ie este multiformă, adică are o infinitate de valori pentru orice argument,iar pentru k = 0, se obt, ine valoarea principală a logaritmului, care este cea pe care o vomfolosi, anume:

lnz = ln |z|+ iArgz.

Funct, ia putere s, i funct, ia radical se pot defini acum:

62

Definiţie 8.3: Funct, ia putere de exponent complex:

zm = exp(mLnz) ={exp(m(ln |z|+ i(Argz+ 2kπ))) | k ∈Z

},m ∈C.

Funct, ia radical, de argument complex:

n√z = z

1n = exp

(1n

Lnz)

={exp

(1n

(ln |z|+ i(Argz+ 2kπ)))| k ∈Z

}=

{exp

(1n

ln |z|)· exp

(iθ + 2kπ

n

)| k ∈Z}

={n√r · exp

(iθ + 2kπ

n

)| k ∈N

}Din definit, ia funct, iei exponent, iale, putem obt, ine s, i funct, iile trigonometrice com-

plexe:

Definiţie 8.4: Pentru orice z ∈C, definim:

cosz =eiz + e−iz

2

sinz =eiz − e−iz

2i

tanz = −i eiz − e−iz

eiz + e−iz

cotz = ieiz + e−iz

eiz − e−iz

Observaţie 8.1: Funct, iile trigonometrice complexe sînt uniforme (adică nu sînt multi-forme), iar toate formulele din cazul real rămîn adevărate.

Avem, de asemenea, s, i funct, ii trigonometrice hiperbolice:

Definiţie 8.5:

sinhz =ez − e−z

2

coshz =ez + e−z

2

tanhz =sinhzcoshz

.

63

Remarcăm că au loc legăturile:

sinhz = −i sin(iz), coshz = cos(iz).

Rezolvarea unor ecuat, ii trigonometrice ne conduce la introducerea funct, iilor trigono-metrice inverse:

z = sinw⇒ z =eiw − e−iw

2i⇔ e2iw − 2izeiw − 1 = 0,

pe care o rezolvăm ca pe o ecuat, ia de gradul al doilea s, i obt, inem:

w = Arcsinz = −iLn(iz ±√

1− z2).

Similar, obt, inem s, i:

Arccosz = iLn(z ±√z2 − 1)

Arctanz = − i2

Lni − zi + z

.

8.2 Exercit, ii

1. Să se determine funct, ia olomorfă f = P + iQ pe C, dacă Q(x,y) = ϕ(x2 − y2),ϕ ∈ C2.Solut, ie: Fie α = x2 − y2. Atunci:

∂Q∂x

= 2xϕ′(α)

∂Q∂y

= −2yϕ′(α)

⇒ ∂2Q

∂x2 = 2ϕ′(α) + 4x2ϕ′′(α)

∂2Q

∂y2 = −2ϕ′(α) + 4y2ϕ′′(α).

Deoarece Q trebuie să fie armonică, avem ∆Q = 0,∀x,y, de unde:

ϕ′′(α) = 0⇒ ϕ(α) = cα + c1.

Din condit, iile Cauchy-Riemann pentru P s, i Q, obt, inem acum:Px =Qy = −2cyPy = −Qx = −2cx.

64

Integrăm a doua ecuat, ie s, i înlocuim în prima, pentru a obt, ine:

P (x,y) = −2cxy + k.

În fine:

f (z) = −2cxy + k + i(c(x2 − y2) + c1)⇒ f (z) = ciz2 + d,c,d ∈R.

2. Fie P (x,y) = e2x cos2y + y2 − x2. Să se determine funct, ia olomorfă f = P + iQ pe C

astfel încît f (0) = 1.Solut, ie: Verificăm că P este armonică. Verificăm condit, iile Cauchy-Riemann:

∂P∂x

=∂Q∂y

= 2e2x cos2y − 2x

−∂P∂y

=∂Q∂x

= 2e2x sin2y − 2y.

Integrăm a doua ecuat, ie în raport cu x, înlocuim în prima s, i obt, inem:

f (z) = e2x cos2y + y2 − x2 + i(e2x sin2y − 2xy + k)

= e2x(cos2y + i sin2y)− (x+ iy)2 + ki

⇒ f (z) = e2z − z2 + ki.

Folosind condit, ia din enunt, , găsim k = 0.

3. Determinat, i solut, iile w ∈C ale ecuat, iei ew = −2i.

4. Rezolvat, i ecuat, ia z3 + 2− 2i = 0.

5. Calculat, i:

(a) sin(1 + i);

(b) sinh(1− i);

(c) tan(π4 − i ln3

);

(d) tanh(ln2 + πi

4

);

65

(e) Arccos(i√

3).

6. Rezolvat, i ecuat, ia sinz = 2, z ∈C.Observat, ie: Ecuat, ia nu are solut, ii pentru numere reale, desigur, dar pentru numere

complexe, funct, ia sinus nu mai are imaginea [−1,1]. O discut, ie ceva mai tehnică, privi-toare s, i la implicat, iile geometrice ale unui sinus supraunitar se poate găsi aici.

7. Să se determine funct, ia olomorfă f (z) = u(x,y) + iv(x,y) dacă:

(a) u(x,y) = x2 − y2 − 2y;

(b) u(x,y) = x4 − 6x2y2 + y4;

(c) u(x,y) = (xcosy − y siny)ex.

66

https://math.stackexchange.com/questions/1091160/sine-of-a-complex-number

SEMINAR 9

INTEGRALE COMPLEXE

9.1 Teorema lui Cauchy

În multe situat, ii, putem calcula integralele complexe direct, într-o manieră asemănă-toare cu integralele curbilinii. Un exemplu simplu:

I1 =∫|z|=1

z|dz|.

Folosind forma polară, z = eit, deoarece integrala se face pe |z| = 1, iar t ∈ [0,2π].Rezultă dz = ieitdt, deci |dz| = dt. Atunci:

I1 =∫ 2π

0eitdt =

1ieit

∣∣∣∣2π0

= 0.

Un alt exemplu:

I2 =∫Sz|dz|,

unde S este segmentul care unes, te pe 0 s, i i. Putem parametriza acest segment: S : z =ti, t ∈ [0,1], deci dz = idt s, i din nou |dz| = dt. Rezultă:

I2 =∫ 1

0tidt =

12.

Dar în unele situat, ii, putem calcula chiar mai us, or:

Teoremă 9.1 (Cauchy): Fie D ⊆ C un domeniu simplu conex s, i f : D → C o funct, ie olomorfăpe D, cu P = Ref s, i Q = Imf , funct, ii de clasă C1(D).

67

Fie γ : [a,b]→D o curbă închisă s, i jordaniană (fără autointersect, ii) de clasă C1 pe port, iuni,astfel încît Intγ să verifice condit, iile formulei Green-Riemann.

Atunci∫γf (z)dz = 0.

Acesta este un caz simplu în care calculul se termină imediat cu rezultat nul.În exercit, ii, vom folosi adesea următoarea:

Teoremă 9.2 (Formula integrală Cauchy): Fie D ⊆ C un domeniu s, i f : D → C o funct, ieolomorfă pe D. Fie ∆ ⊆ D, unde ∆ este un domeniu simplu conex, mărginit, cu frontiera γ ,care este o curbă închisă, jordaniană, de clasă C1 pe port, iuni, orientată pozitiv.

Atunci pentru orice a ∈ ∆ fixat are loc:

f (a) =1

2πi

∫γ

f (z)z − a

dz.

Principala aplicat, ie a acestei teoreme este să ne ajute să calculăm integrale pe domeniiîn interiorul cărora funct, ia pe care o integrăm are probleme. Un exemplu:∫

|z−2i|=1

1z2 + 4

dz.

Observăm că z = 2i este un punct cu probleme pentru funct, ia considerată s, i aplicămformula integrală Cauchy.

Putem rescrie integrala astfel, izolînd punctul cu probleme:∫|z−2i|=1

1z2 + 4

dz =∫|z−2i|=1

1z+2i

z − 2idz =

f (z)z − 2i

dz,

unde am introdus exact funct, ia cu probleme, adică f (z) =1

z+ 2i.

Aplicăm formula integrală Cauchy s, i obt, inem:

f (2i) =1

2πi

∫|z−2i|=1

f (z)z − 2i

dz⇒∫|z−2i|=1

f (z)z − 2i

dz = 2πif (2i) =π2.

Vor exista situat, ii cînd punctul izolat nu poate fi eliminat atît de us, or (sau chiar deloc),cazuri în care vom aplica un rezultat fundamental, teorema reziduurilor.

9.2 Exercit, ii

1. Calculat, i integrala∫Γ

z2dz, unde:

68

(a) Γ = [−1, i]∪ [i,1];

(b) Γ = {z(t) = 2 + it2 | 0 ≤ t ≤ 1};

(c) Γ = {z(t) = t + i cosπt2| −1 ≤ t ≤ 1};

(d) Γ =OA, cu O(0,0) s, i A(2,1).

Indicat, ii: Se parametrizează drumurile s, i se calculează ca în exemplele de mai sus.

2. Folosind teorema Cauchy sau formula integrală Cauchy, calculat, i:

(a)∫|z−1|=3

z4dz;

(b)∫|z|=4

coszz2 − 6z+ 5

;

(c)∫|z|=1

sinzz(z − 2)

dz;

(d)∫Γ

exp(z2)z2 − 6z

dz, unde Γ : |z − 2| = r, r ∈ {1,3,5};

(e)∫|z|=1

exp(3z)z4 dz;

(f)∫|z−i|=1

1(z2 + 1)2dz;

(g)∫|z|=1

sinzz2(z − 2)

dz.

Indicat, ii: Ideea de bază este să identificăm punctele cu probleme ale funct, iilor deintegrat în interiorul domeniilor pe care integrăm, apoi să descompunem integrandul cuo funct, ie căreia i se poate aplica teorema Cauchy.

(a) funct, ia z4 este olomorfă, deci integrala este nulă;

(b) avemcosz

(z − 1)(z − 5), dar singurul punct cu probleme din interiorul domeniului este

z1 = 1. Definim f (z) =coszz − 5

, iar integrala devine∫|z|=4

f (z)z − 1

dz, care se calculează cu

formula Cauchy.

69

(c) pentru r = 1, funct, ia este olomorfă, deci integrala este nulă. Pentru r = 3, z = 0 este

punct cu probleme, deci definim f (z) =exp(z2)z − 6

.

9.3 Teorema reziduurilor

Similar cu orice funct, ie reală, s, i funct, iile complexe pot fi dezvoltate în serii de puteri. Încazul complex, seriile se numesc serii Laurent s, i pot cont, ine s, i puteri negative.

Informal, punctele cu probleme care ne interesează se numesc poli sau puncte singu-lare. Ordinul unui pol z = a este multiplicitatea algebrică a rădăcinii z = a în dezvoltareaîn serie Laurent a funct, iei f . În particular, avem poli simpli, dubli etc.

Definiţie 9.1: Fie f : C→ C o funct, ie complexă s, i dezvoltarea sa în serie Laurent în jurulunui punct z0 ∈C:

f (z) =∑n∈Z

an(z − z0)n, an ∈R.

Se numes, te reziduul funct, iei f în punctul singular z0 coeficientul a−1 din dezvoltareade mai sus, notat Rez(f ,z0).

Următoarea teoremă ne dă metode de calcul al reziduurilor, în funct, ie de multiplici-tatea lor:

Teoremă 9.3 (Calculul reziduurilor): (1) Rez(f ,a) = c−1, unde c−1 este coeficientul lui1z − a

în dezvoltarea în serie Laurent a funct, iei f în vecinătatea singularităt, ii z = a.(2) Dacă z = a este pol de ordinul p ≥ 2 pentru f , atunci:

Rez(f ,a) =1

(p − 1)!limz→a

[(z − a)pf (z)

](p−1);

(3) Dacă z = a este pol simplu pentru f , atunci, particularizînd formula de mai sus, avem:

Rez(f ,a) = limz→a

(z − a)f (z);

(4) Dacă f se poate scrie ca un cît de funct, ii, f =AB

, olomorfe în jurul lui a s, i dacă z = a

este pol simplu pentru f , adică B(a) = 0, atunci:

Rez(f ,a) = limz→a

A(z)B′(z)

.

Rezultatul esent, ial al acestei sect, iuni ne arată că, dacă integrăm o funct, ie cu probleme,valoarea integralei este dată în mod esent, ial de reziduurile sale:

70

Teoremă 9.4 (Teorema reziduurilor): Fie D ⊆ C un domeniu s, i f : D − {α1, . . . ,αk} → C ofunct, ie olomorfă pentru care αi sînt poli.

Fie K ⊆ D un compact cu frontiera Γ = ∂K , o curbă de clasă C1, jordaniană, orientatăpozitiv s, i care cont, ine toate αi în interior. Atunci:∫

Γ

f (z)dz = 2πik∑j=1

Rez(f ,αj).

De exemplu, să calculăm integrala:

I =∫|z|=r

ez

(z − i)(z − 2)dz, r > 0, r , 1,2.

Solut, ie: Dacă 0 < r < 1, putem aplica teorema lui Cauchy (9.1) s, i găsim I = 0.Dacă 1 < r < 2, aplicăm formula integrală a lui Cauchy (9.2) s, i găsim:∫

|z|=r

ez

(z − i)(z − 2)dz =

∫|z|=r

ezz−2

z − idz =

∫|z|=r

f (z)z − i

dz,

unde f (z) =ez

z − 2. Rezultă: ∫

|z|=r

f (z)z − i

dz = 2πif (i) = 2πiei

i − 2.

Dacă r > 2, aplicăm teorema reziduurilor, cu i s, i 2 poli simpli. Avem:

Rez(f , i) = limz→i

(z − i) ez

(z − i)(z − 2)=

ei

i − 2

Rez(f ,2) = limz→2

ez

(z − i)(z − 2)=

e2

2− i.

Rezultă, din teorema reziduurilor:∫|z|=r

ez

(z − i)(z − 2)dz = 2πi

( ei

i − 2+e2

2− i

).

9.4 Exercit, ii

1. Calculat, i reziduurile funct, iilor în punctele a indicate:

(a) f (z) =exp

(z2

)z − 1

, a = 1;

71

(b) f (z) =exp

(z2

)(z − 1)2 , a = 1;

(c) f (z) =z+ 2z2 − 2z

,a = 0;

(d) f (z) =1 + ez

z4 , a = 0;

(e) f (z) =sinz4z2 , a = 0;

(f) f (z) =z

1− cosz,a = 0.

Indicat, ie: Verificăm multiplicitatea polului z = a s, i aplicăm formula corespunzătoaredin teorema 9.3.

2. Să se calculeze următoarele integrale:

(a) I =∫|z|=2

dz

z2 − 1;

(b) I =∫γ

dz

z4 + 1,γ : x2 + y2 − 2x = 0;

(c) I =∫|z|=3

z2 + 1(z − 1)2(z+ 2)

dz.

Solut, ie: (a) Punctele z = ±1 sînt poli de ordinul 1 pentru funct, ia f (z) =1

z2 − 1. Ele

sînt situate în interiorul discului pe care integrăm, cu |z| = 2, deci putem aplica teoremareziduurilor:

I = 2πi ·(Rez(f ,z1) + Rez(f ,z2)

).

Calculăm separat reziduurile:

Rez(f ,z1) = limz→1

(z − 1) · 1z2 − 1

=12

Rez(f ,z2) = limz→−1

(z+ 1) · 1z2 − 1

= −12.

Rezultă:

I =∫|z|=2

dz

z2 − 1= 2πi ·

(12− 1

2

)= 0.

72

(b) Curba γ este un cerc centrat în (1,0) s, i cu raza 1. Căutăm polii funct, iei f (z) =1

z4 + 1care se află în interiorul lui γ .

Avem succesiv:

z4 + 1 = 0⇒ z4 = −1 = cosπ+ i sinπ⇒

z = 4√

cosπ+ i sinπ⇒

zk = cosπ+ 2kπ

4+ i sin

π+ 2kπ4

, k = 0,1,2,3.

Doar punctele z0, z3 se află în interiorul discului delimitat de γ s, i calculăm reziduurileîn aceste puncte.

Putem aplica formula din Teorema 9.3 (4) s, i avem:

Rez(f ,z0) =A(z)B′(z)

∣∣∣∣z0

=1

4z3

∣∣∣∣z0

= −14eπi4

Rez(f ,z3) =A(z)B′(z)

∣∣∣∣z3

=1

4z3

∣∣∣∣z3

= −14e

7πi4 .

Rezultă:

I =∫γ

dz

z4 + 1= 2πi

(− 1

4eπi4 − 1

4e

7πi4

)= −π

√2i

2.

(c) Avem doi poli, z = 1, z = −2 în interiorul conturului. Se vede că z1 = 1 este pol deordinul 2, iar z2 = −2 este pol de ordinul 1. Calculăm reziduurile:

Rez(f ,z1) =12!

limz→1

[(z − 1)2 z2 + 1

(z − 1)2(z+ 2)

]=

12!

limz→1

z2 + 4z − 1(z+ 2)2

=29

Rez(f ,z2) = limz→−2

(z+ 2)z2 + 1

(z − 1)2(z+ 2)=

59.

Rezultă:

I =∫|z|=3

z2 + 1(z − 1)2(z+ 2)

dz =149πi.

3. Să se calculeze integralele:

73

(a)∫|z|=1

dzsinz

;

(b)∫|z|=1

ez

z2dz;

(c)∫|z|=5

ze3z dz;

(d)∫|z−1|=1

dz

(z+ 1)(z − 1)3 ;

(e)∫|z|=1

sinzz4 dz.

Indicat, ii: (a) z = 0 este singurul pol din interiorul domeniului;(b), (c): Dezvoltăm în serie Laurent s, i identificăm reziduurile folosind definit, ia.(d) Avem z = 1 pol de ordin 3 s, i z = −1 pol simplu. Doar z = 1 se află în interiorul

domeniului s, i dezvoltăm în serie Laurent după puterile lui z − 1:

1z+ 1

=1

2− (−(z − 1))

=12

1

1−(− z−1

2

)=

12

∑n≥0

(−1)n(z − 1)n

2n

=∑n≥0

(−1)n(z − 1)n

2n+1 ,

pentru |z − 1| < 2.Rezultă:

1(z+ 1)(z − 1)3 =

∑n≥0

(−1)n(z − 1)n−3

2n+1 =1

2(z − 1)3 −1

4(z − 1)2 +1

8(z − 1)− 1

16+ . . . ,

deci Rez(f ,1) = 18 .

9.5 Aplicat, ii ale teoremei reziduurilor

Putem folosi teorema reziduurilor pentru a calcula integrale trigonometrice de forma:

I =∫ 2π

0R(cosθ,sinθ)dθ,

74

unde R este o funct, ie rat, ională.Facem schimbarea de variabilă z = eiθ s, i atunci, pentru θ ∈ [0,2π], z descrie cercul

|z| = 1, o dată, în sens direct.Folosim formulele lui Euler:

cosθ =eiθ + e−iθ

2=

12

(z+

1z

)sinθ =

eiθ − e−iθ

2i=

12i

(z − 1

z

).

Atunci, dacă z = eiθ, rezultă dz = ieiθ dθ = izdθ, iar integrala devine:1

I =∫ 2π

0R(cosθ,sinθ)dθ =

∮|z|=1

R1(z)dz,

unde:

R1(z) =1izR(z2 + 1

2z,z2 − 1

2iz

).

Această funct, ie poate avea poli s, i deci putem folosi teorema reziduurilor. Dacă a1, . . . , ansînt polii din interiorul cercului unitate, avem:

I1 = 2πi∑k≥1

Rez(R1, ak).

Să vedem cîteva exemple:

(a)∫ 2 π

0

dθ2 + cosθ

;

(b)∫ 2 π

0

dθ

1 + 3cos2θ;

(c)∫ 2π

0

sinθ1 + i sinθ

dθ;

(d)∫ 2π

0

dθ1 + asinθ

, |a| < 1, a ∈R.

1∮

marchează o integrală pe un contur închis

75

Solut, ie:(a) Notăm z = eiθ, cu θ ∈ [0,2π]. Atunci avem succesiv:

dz = ieiθdθ = izdz⇒ dθ =dziz

cosθ =eiθ + e−iθ

2=

12

(z+

1z

)1

2 + cosθ=

2zz2 + 4z+ 1∫ 2π

0

dθ2 + cosθ

=∮|z|=1

2zz2 + 4z+ 1

dziz

= −2i∮|z|=1

dz

z2 + 4z+ 1.

Acum folosim teorema reziduurilor. Singularităt, ile funct, iei f (z) =1

z2 + 4z+ 1sînt z =

−2 ±√

3 , care sînt poli simpli. Numai z = −2 +√

3 se află în interiorul cercului |z| = 1 s, icalculăm reziduul folosind Teorema 9.3(2).

76

SEMINAR 10

TRANSFORMATA LAPLACE

10.1 Definit, ii s, i proprietăt, i

Transformata Laplace este o transformare integrală, care se poate aplica unor funct, ii spe-ciale, numite funct, ii original.

Definiţie 10.1: O funct, ie f : R→C se numes, te original dacă:

(a) f (t) = 0 pentru orice t < 0;

(b) f este continuă (eventual pe port, iuni) pe intervalul [0,∞);

(c) Este mărginită de o exponent, ială, adică existăM > 0 s, i s0 ≥ 0 astfel încît:

|f (t)| ≤Mes0t, ∀t ≥ 0.

Vom nota cu O mult, imea funct, iilor original.

Pornind cu o funct, ie original, definit, ia transformatei Laplace este:

Definiţie 10.2: Păstrînd contextul s, i notat, iile de mai sus, fie f ∈ O s, i mult, imea:

S(s0) = {s ∈C | Re(s) > s0}.

Funct, ia:

F : S(s0)→C, F(s) =∫ ∞

0f (t)e−stdt

se numes, te transformata Laplace a lui f sau imaginea Laplace a originalului f .Vom mai folosi notat, ia F = Lf sau, explicit, Lf (t) = F(s).

77

Proprietăt, ile esent, iale ale transformatei Laplace sînt date mai jos. Fiecare dintre eleva fi folosită pentru a calcula o transformată Laplace pentru o funct, ie care nu se regăses, tedirect într-un tabel de valori.

• Liniaritate: L(αf + βg) = αLf + βLg, pentru orice α,β ∈C, iar f ,g funct, ii original;

• Teorema asemănării:Lf (αt) =

1αF( sα

);

• Teorema deplasării:L(f (t)es0t

)= F(s − s0);

• Teorema întîrzierii: Definim întîrziata cu τ a funct, iei f ∈ O prin:

fτ(t) =

0, t < τ

f (t − τ), t ≥ τ.

Atunci, dacă Lf (t) = F(s), Lfτ(t) = e−stF(s);

• Teorema derivării imaginii:

L(tnf (t)

)= (−1)nF(n)(s);

• Teorema integrării originalului: Fie f ∈ O,Lf (t) = F(s) s, i g(t) =∫ t

0f (τ)dτ . Atunci:

Lg(t) =1sF(s);

• Teorema integrării imaginii: Fie Lf (t) = F(s) s, i G o primitivă a lui F în S(s0), cuG(∞) = 0. Atunci:

Lf (t)t

= −G(s).

78

10.2 Tabel de transformate Laplace

În tabelul de mai jos, vom considera funct, iile f (t) ca fiind funct, ii original, adică nulepentru argument negativ. Echivalent, putem gîndi f (t) ca fiind, de fapt, înmult, ite cufunct, ia lui Heaviside:

u(t) =

1, t ≥ 00, t < 0

.

f (t) = L−1(F(s)) F(s) = L(f (t))

u(t)1s

u(t − τ)1se−τs

t1s2

tnn!sn+1

tne−αtn!

(s+α)n+1

e−αt1

s+αsin(ωt)

ω

s2 +ω2

cos(ωt)s

s2 +ω2

sinh(αt)α

s2 −α2

cosh(αt)s

s2 −α2

e−αt sin(ωt)ω

(s+α)2 +ω2

e−αt cos(ωt)s+α

(s+α2) +ω2

ln t −1s

(lns+γ1

)

1Constanta Euler-Mascheroni, γ ' 0,577 · · · ∈R−Q

79

10.3 Exercit, ii

1. Calculat, i transformatele Laplace pentru funct, iile (presupuse original):

(a) f (t) = 1, t ≥ 0;

(b) f (t) = t, t ≥ 0;

(c) f (t) = tn,n ∈N;

(d) f (t) = eat, t ≥ 0, a ∈R;

(e) f (t) = sin(at), t ≥ 0, a ∈R.

Solut, ie: (a) Avem direct din definit, ie:

F(s) =∫ ∞

0e−stdt = lim

n→∞

∫ n

0e−stdt =

1s, s > 0.

(b) Integrăm prin părt, i s, i obt, inem F(s) =1s2

.

(c) Facem substitut, ia st = τ s, i găsim:

F(s) =∫ ∞

0e−sttndt =

1sn+1

∫ ∞0e−ττndτ =

n!sn+1 ,

pentru s > 0, folosind funct, ia Gamma a lui Euler:

Γ (a) =∫ ∞

0xa−1e−xdx,a > 0, Γ (n+ 1) = n!,n ∈N.

(d) F(s) =∫ ∞

0eat e−stdt =

∫ ∞0e−(s−a)tdt =

1s − a

,s > a.

(e) Integrăm prin părt, i s, i ajungem la:

F(s) =1a− s

2

a2F(s)⇒ F(s) =a

s2 + a2 , s > 0.

2. Folosind tabelul de valori s, i proprietăt, ile, să se determine transformatele Laplacepentru funct, iile (presupuse original):

(a) f (t) = 5;

(b) f (t) = 3t + 6t2;

80

(c) f (t) = e−3t;

(d) f (t) = 5e−3t;

(e) f (t) = cos(5t);

(f) f (t) = sin(3t);

(g) f (t) = 3(t − 1) + e−t−1;

(h) f (t) = 3t3(t − 1) + e−5t;

(i) f (t) = 5e−3t cos(5t);

(j) f (t) = e2t sin(3t);

(k) f (t) = te−t cos(4t);

(l) f (t) = t2 sin(3t);

(m) f (t) = t3 cos t.

Indicat, ii: În majoritatea cazurilor, se foloses, te tabelul s, i proprietatea de liniaritate. Înplus:

(i, j) Folosim L(eatf (t)) = F(s − a);(k) Folosim L(tf (t)) = − ddsL(f (t));

(l) Folosim L(tnf (t)) = (−1)ndnF(s)dsn

;

3. Folosind teorema derivării imaginii, să se determine transformatele Laplace pentrufunct, iile (presupuse original):

(a) f (t) = t;

(b) f (t) = t2;

(c) f (t) = t sin t;

(d) f (t) = tet.

Indicat, ie: Conform proprietăt, ii de derivare a imaginii, avem:

L(tf (t)) = − ddsL(f (t)).

4. Folosind teorema integrării originalului, să se determine transformatele Laplacepentru funct, iile (presupuse original):

81

(a) f (t) =∫ t

0cos(2τ)dτ ;

(b) f (t) =∫ t

0e3τ cos(2τ)dτ ;

(c) f (t) =∫ t

0τe−3τdτ .

Indicat, ie: Conform proprietăt, ii de integrare a originalului, avem:

L∫ t

0f (τ)dτ =

F(s)s.

10.4 Aplicat, ii ale transformatei Laplace

Principala aplicat, ie a transformatei Laplace este pentru rezolvarea ecuat, iilor s, i sistemelordiferent, iale de ordinul întîi sau superior.

Aceste aplicat, ii se bazează pe calculele care se pot obt, ine imediat din definit, ia trans-formatei Laplace s, i a proprietăt, ilor sale:

Lf ′ = sLf − f (0)

Lf′′

= s2Lf − sf (0)− f ′(0).

De fapt, în general, avem:

Lf (n) = snLf − sn−1f (0)− sn−2f ′(0)− · · · − f (n−1)(0).

De asemenea, pentru integrale, s, tim deja teorema integrării originalului:

L∫ t

0f (τ)dτ =

1sF(s), F(s) = Lf (t).

Rezultă, folosind transformarea inversă:∫ t

0f (τ)dτ = L−1

(1sF(s)

).

De exemplu, pentru a rezolva ecuat, ia diferent, ială:

y′′ + ay′ + by = r(t), y(0) = K0, y′(0) = K1,

aplicăm transformata Laplace s, i folosim proprietăt, ile de mai sus. Fie Y = Ly(t)

82

Se obt, ine ecuat, ia algebrică:

(s2Y − sy(0)− y′(0)) + a(sY − y(0)) + bY = R(s),

unde R(s) = Lr. Forma echivalentă este:

(s2 + as+ b)Y = (s+ a)y(0) + y′(0) +R(s).

Împărt, im prin s2 + as+ b s, i folosim formula:

Q(s) =1

s2 + as+ b=

1

(s+ 12a)

2 + b − 14a

2,

de unde rezultă:Y (s) =

((s+ a)y(0) + y′(0)

)Q(s) +R(s)Q(s).

În forma aceasta, descompunem Y (s) în fract, ii simple, dacă este nevoie s, i folosimtabelul de transformate Laplace, pentru a afla y = L−1(Y ).

De exemplu:y′′ − y = t, y(0) = 1, y′(0) = 1.

Solut, ie: Aplicăm transformata Laplace s, i ajungem la ecuat, ia:

s2Y − sy(0)− y′(0)−Y =1s2

(s2 − 1)Y = s+ 1 +1s2.

Rezultă Q =1

s2 − 1s, i ecuat, ia devine:

Y = (s+ 1)Q+1s2Q

=s+ 1s2 − 1

+1

s2(s2 − 1)

=1s − 1

+( 1s2 − 1

− 1s2

)Folosind tabelul s, i proprietăt, ile transformatei Laplace, obt, inem solut, ia:

y(t) = L−1Y

= L−1( 1s−1

)+L−1

( 1s2 − 1

)−L−1

( 1s2

)= et + sinh t − t.

83

Exercit, ii

1. Să se rezolve următoarele probleme Cauchy, folosind transformata Laplace:

(a) y′(t) + 2y(t) = 4t,y(0) = 1 ;

(b) y′(t) + y(t) = sin4t,y(0) = 0;

(c) y′′(t) + 2y′(t) + 5y(t) = 0, y(0) = 0, y′(0) = 0;

(d) 2y′′(t)− 6y′(t) + 4y(t) = 3e3t, y(0) = 1, y′(0) = −1;

(e) y′′(t)− 2y(t) + y(t) = et, y(0) = −2, y′(0) = −3;

(f) y′′(t) + 4y(t) = 3cos2(t), y(0) = 1, y′(0) = 2.

2. Să se rezolve următoarele sisteme diferent, iale:

(a)

x′ + x+ 4y = 10x − y′ − y = 0x(0) = 4, y(0) = 3

(b)

x′ + x − y = et

y′ + y − x = et

x(0) = 1, y(0) = 1

(c)

x′ + 2y′ + x − y = 5sin t2x′ + 3y′ + x − y = et

x(0) = 2, y(0) = 1

Indicat, ie: Aplicăm transformata Laplace fiecărei ecuat, ii s, i notămLx(t) = X(s) s, iLy(t) =Y (s). Apoi rezolvăm sistemul algebric obt, inut cu necunoscutele X s, i Y , cărora la final leaplicăm transformata Laplace inversă.

84

SEMINAR 11

TRANSFORMATA Z

Această transformată se defines, te pe un caz discret, pornind de la:

Definiţie 11.1: Se numes, te semnal discret o funct, ie x : Z→ C dată de n 7→ xn sau, echiva-lent, x(n) ori x[n].

Mult, imea semnalelor discrete se va nota cu Sd , iar cele cu suport pozitiv (nule pentrun < 0 se va nota S+

d .Un semnal particular este impulsul unitar discret la momentul k, definit prin:

δk(n) =

1, n = k0 n , k

,

definit pentru k ∈Z fixat.Pentru k = 0, vom nota δ0 = δ.

Definiţie 11.2: Fie x ∈ Sd s, i k ∈Z fixat. Semnalul y = (xn−k) se numes, te întîrziatul lui x cuk momente.

O operat, ie foarte importantă, pe care se vor baza unele proprietăt, i esent, iale ale trans-formatei Z este convolut, ia:

Definiţie 11.3: Fie x,y ∈ Sd . Dacă seria∑k∈Z

xn−kyk este convergentă pentru orice n ∈ Z s, i

are suma zn, atunci semnalul z = (zn) se numes, te convolut, ia semnalelor x s, i y s, i se noteazăz = x ∗ y.

Trei proprietăt, i imediate sînt:

85

• x ∗ y = y ∗ x;

• x ∗ δ = x;

• (x ∗ δk)(n) = xn−k.

Ajungem acum la definit, ia principală:

Definiţie 11.4: Fie s ∈ Sd , cu s = (an)n. Se numes, te transformata Z sau transformata Laplacediscretă a acestui semnal funct, ia definită prin:

Ls(z) = Zs(z) =∑n∈Z

anz−n,

care se defines, te în domeniul de convergent,ă al seriei Laurent din definit, ie.

Principalele proprietăt, i pe care le vom folosi în calcule sînt:

(1) Inversarea transformăriiZ: Fie s ∈ S+d , cu s = (an). Presupunem că Zs(z) este olomorfă

în domeniul |z| ∈ (r,R). Atunci putem recupera semnalul an prin formula:

an =1

2πi

∫γzn−1Zs(z)dz, n ∈Z,

unde γ este discul de rază ρ ∈ (r,R).

(2) Teorema de convolut, ie: Fie s, t ∈ S+d . Atunci s ∗ t = S+

d s, i are loc Ls∗t = Ls · Lt. Înparticular:

Ls∗δk (z) = z−kLs(z), k ∈Z;

(3) Prima teoremă de întîrziere: Pentru n ∈N∗:

Ls(zt−n) = z−nLs(f );

(4) A doua teoremă de întîrziere (teorema de deplasare):

Ls(zt+n) = zn ·(Ls(z)−

n−1∑t=0

ztz−t), n ∈N∗.

86

Cîteva transformate uzuale sînt:

s Lshn = 0, n < 0hn = 1, n ≥ 0

zz − 1

δk , k ∈Z1zk

s = (n)n∈Nz

(z − 1)2

s = (n2)n∈Nz(z+ 1)(z − 1)3

s = (an)n∈N, a ∈Cz

z − a

s = (ean)n∈N, a ∈Rz

z − ea

s = (sin(ωn))n∈N,ω ∈Rz sinω

z2 − 2zcosω+ 1

s = (cos(ωn))n∈N,ω ∈Rz(z − cosω)

z2 − 2zcosω+ 1

11.1 Exercit, ii (*)

1. Să se determine semnalul x ∈ S+d , a cărui transformată Z este dată de:

(a) Ls(z) =z

(z − 3)2 ;

(b) Ls(z) =z

(z − 1)(z2 + 1);

(c) Ls(z) =z

(z − 1)2(z2 + z − 6);

(d) Ls(z) =z

z2 + 2az+ 2a2 , a > 0 parametru.

Solut, ie:

87

(a) Avem:

xn =1

2πi

∫|z|=ρ

zn−1Ls(z)dz

= Rez(zn−1Ls(z),3)

= Rez( zn

(z − 3)2 ,3)

= limz→3

((z − 3)2 · zn

(z − 3)2

)′= limz→3

nzn−1

= n3n−1.

(b)

xn =1

2πi

∫|z|=ρ

zn−1Ls(z)dz

= Rez(zn−1Ls(z),1) + Rez(zn−1Ls(z), i) + Rez(zn−1Ls(z),−i)

Rez(zn−1Ls(z),1) = limz→1

zn−1 z

(z − 1)(z2 + 1)· (z − 1) =

12

Rez(zn−1Ls(z), i) =in

2i · (i − 1)

Rez(zn−1Ls(z),−i) =(−1)nin

2i(i + 1).

Remarcăm că pentru n = 4k s, i n = 4k + 1, avem xn = 0, iar în celelalte două cazuri,xn = 1.

(c)

Rez(zn−1Ls(z),1) = limz→1

[zn−1 · (z − 1)2 · z2

(z − 1)2 · (z2 + z − 6)

]′= −4n+ 3

16.

Rez(zn−1Ls(z),2) =2n

5

Rez(zn−1Ls(z),−3) = −(−3)n

80.

Obt, inem xn = −4n+ 316

+2n

5− (−3)n

80.

88

(d) z1,2 = a(−1± i) sînt poli simpli. Avem:

xn = Rez( zn

(z2 + 2a+ 2a2), z1

)+ Rez

( zn

(z2 + 2a+ 2a2), z2

)=an(−1 + i)n

2z1 + 2a+an(−1− i)n

2z1 + 2a

= − i2a

(zn1 − zn2).

Putem scrie trigonometric numerele z1 s, i z2:

z1 = a(−1 + i) = a√

2(

cos3π4

+ i sin3π4

)z2 = a(−1− i) = a

√2(

cos3π4− i sin

3π4

).

Deci: xn = 2n2 an−1 sin

3nπ4

.

2. Fie x = (xn) ∈ S+d s, i y = (yn), unde yn = x0 + · · ·+ xn. Să se arate că Y (z) =

zz − 1

X(z).

Solut, ie:

Avem Y (z) =∞∑n=0

ynz−n. Dar:

X(z) =∞∑n=0

xnz−n s, i

∞∑n=0

xn−1zn =

1zX(z),

deoarece x−1 = 0. Putem continua s, i obt, inem∞∑n=0

xn−kz−n =

1zkX(z). As, adar:

Y (z) = X(z) ·(1 +

1z

+1z2 + . . .

)= X(z) · z

z − 1.

3. Cu ajutorul transformării Z, să se determine s, irurile (xn) definite prin următoarelerelat, ii:

(a) x0 = 0,x1 = 1,xn+2 = xn+1 + xn,n ∈N (s, irul lui Fibonacci);

(b) x0 = 0,x1 = 1,xn+2 = xn+1 − xn,n ∈N;

89

(c) x0 = x1 = 0,x2 = −1,x3 = 0,xn+4 + 2xn+3 + 3xn+2 + 2xn+1 + xn = 0,n ∈N;

(d) x0 = 2,xn+1 + 3xn = 1,n ∈Z;

(e) x0 = 0,x1 = 1,xn+2 − 4xn+1 + 3xn = (n+ 1)4n,n ∈N.

Solut, ie:Abordarea generală este să considerăm s, irul (xn) ca fiind restrict, ia unui semnal x ∈ S+

dla N s, i rescriem relat, iile de recurent,ă sub forma unor ecuat, ii de convolut, ie a ∗ x = y, pecare le rezolvăm în S+

d .

(a) Fie x ∈ S+d , astfel încît restrict, ia lui la N să fie s, irul căutat. Deoarece avem:

xn+2 − xn+1 − xn = yn,n ∈Z,

cu yn = 0 pentru n , −1 s, i y−1 = 1, avem ecuat, ia de convolut, ie:

a ∗ x = y, unde a = δ−2 + δ−1 + δ,y = δ−1.

Aplicăm transformata Z s, i rezultă:

Lsx(z)(z2 − z − 1) = z =⇒ xn =1√

5

[(1 +√

52

)n−(1−√

52

)n].

(b) Ca în cazul anterior, avem a ∗ x = y, cu a = δ−2 − δ−1 + δ, unde y = δ−1. Aplicîndtransformata Z, obt, inem:

Lsx(z)(z2 − z+ 1) = z =⇒Lsx(z) =z

z2 − z+ 1.

Obt, inem:

xn = Rez(zn−1 z

z2 − z+ 1,1 + i√

32

)+ Rez

(zn−1 z

z2 − z+ 1,1− i√

32

).

Calculăm reziduurile, cu notat, ia ε =1 + i√

32

s, i ε =1− i√

32

:

Rez( zn

z2 − z+ 1, ε

)= limz→ε

zn

z2 − z+ 1

(z − ε

)=εn

i√

3

=cos 2nπ

3 + i sin 2nπ3

i√

3.

90

Similar:

Rez( zn

z2 − z+ 1, ε

)=

cos 2nπ3 − i sin 2nπ

3

−i√

3.

Rezultă:xn =

2√

3sin

2nπ3,n ∈N.

(c) Ecuat, ia a ∗ x = y este valabilă pentru:

a = δ−4 + 2δ−3 + 3δ−2 + 2δ−1 + δ, y = −δ−2 − 2δ−1.

Aplicăm transformata Z s, i obt, inem: Lsx(z) = − z(z+ 2)(z2 + z+ 1)2 . Descompunem în fract, ii

simple, calculăm reziduurile s, i t, inem cont de faptul că rădăcinile numitorului, ε1, ε2 sîntpoli de ordinul 2, obt, inem:

xn =(2n− 4)(εn1 − ε

n2)− (n+ 1)(εn−1

1 + εn−21 − εn−1

2 − εn−22 )

(ε2 − ε1)3 =2(n− 1)√

3sin

2nπ3,n ∈N.

(d) Ecuat, ia corespunzătoare este a ∗ x = y, cu a = δ−1 + 3δ s, i yn = 1,∀n ≥ 1, iar y−1 =x0 + 3x−1 = 2, cu yn = 0,∀n ≤ −2, adică y = 1 + 2δ−1.

As, adar:δ−1 ∗ x+ 3δ ∗ x = 1 + 2δ−1.

Aplicăm transformata Z s, i obt, inem:

zLsx(z) + 3Lsx(z) =z

z − 1+ 2z

=2z2 + 3zz − 1

=⇒Lsx(z) =2z2 + 3z

(z − 1)(z+ 3)

=⇒ xn = Rez(zn−1 · 2z2 + 3z(z − 1)(z+ 3)

,1) + Rez(zn−1 · 2z2 + 3z(z − 1)(z+ 3)

,−3)

Rez(zn−1 · 2z2 + 3z(z − 1)(z+ 3)

,1) = limz→1

(z − 1) · zn−1 · 2z2 + 3z(z − 1)(z+ 3)

=54

Rez(zn−1 · 2z2 + 3z(z − 1)(z+ 3)

,−3) = limz→−3

(z+ 3)zn−1 · 2z2 + 3z(z − 1)(z+ 3)

= (−3)n−1 · 12−4

= −3 · (−3)n−1.

Rezultă: xn =54− 3 · (−3)n−1.

91

(e) Avem ecuat, ia: a ∗ x = y, unde a = δ−2 − 4δ−1 + 3δ, cu yn = 0,∀n ≤ −2, y−1 = 1 s, iyn = (n+ 1)4n,∀n ∈N.

Fie s1 = (n4n)n, s2 = (4n)n. Atunci:

Lss1(z) = −zLss′2(z) = −z( zz − 4

)′=

4z(z − 4)2

=⇒Lsx(z)(z2 − 4z+ 3) =4z

(z − 4)2 +z

z − 4+ z

=z2

(z − 4)2 + z

=⇒Lsx(z) =z(z2 − 7z+ 16)

(z − 4)2(z − 1)(z − 3).

Descompunem în fract, ii simple s, i obt, inem, în fine:

xn =19

[18 · 3n + (3n− 13)4n − 5

],n ∈N.

OBSERVAT, IE: Toate exercit, iile cu recurent,e se mai pot rezolva în alte două moduri:(1) Se poate aplica teorema de convolut, ie relat, iei de recurent,ă. De exemplu, din

recurent,a:xn+2 − 2xn+1 + xn = 2

putem obt, ine:Z(xn+2)− 2Z(xn+1) +Z(xn) = 2Z(1),

iar Z(xn+2) = Z(xn ∗ δ−2) = Z(xn) ·Z(δ−2) etc.(2) Se poate aplica teorema de deplasare. În aceeas, i recurent,ă de mai sus, de exemplu,

avem:Z(xn+2) = zn

(Z(xn)− x0 − x1z

−1)

s, i la fel pentru celelalte.

92

SEMINAR 12

TRANSFORMATA FOURIER (*)

12.1 Integrala Fourier

Seriile Fourier sînt utile pentru dezvoltarea unor funct, ii periodice (sau convertibile înunele periodice). Însă dacă funct, iile sînt arbitrare, se foloses, te o metodă care extinde pecea a seriilor Fourier, anume integralele Fourier.

Amintim că o funct, ie periodică fL(x), de perioadă 2L, poate fi dezvoltată în serie Fou-rier cu formula:

fL(x) = a0 +∑n≥1

(an coswnx+ bn sinwnx), wn =nπL.

În această serie punem L→∞ s, i, după impunerea unor condit, ii de convergent,ă, ajun-gem la integrala Fourier a funct, iei f , anume:

f (x) =∫ ∞

0A(w)coswx+B(w)sinwxdw,

unde funct, iile A s, i B sînt date de:

A(w) =1π

∫ ∞−∞f (v)coswvdv, B(w) =

1π

∫ ∞−∞f (v)sinwvdv.

Ca în cazul seriilor Fourier, dacă f este o funct, ie pară, atunci B(w) = 0, iar integralaFourier devine o integrală de cosinusuri:

f (x) =∫ ∞

0A(w)coswxdw, unde A(w) =

2π

∫ ∞0f (v)coswvdv.

93

Similar, pentru f funct, ie impară, avem A(w) = 0, iar integrala Fourier devine o inte-grală de sinusuri:

f (x) =∫ ∞

0B(w)sinwxdw, unde B(w) =

2π

∫ ∞0f (v)sinwvdv.

12.2 Transformata Fourier

Ideea de bază a unei transformări Fourier este următoarea. Dacă se dă o funct, ie peri-odică (sau convertită la una periodică printr-un artificiu de repetit, ie, practic), ei i se aso-ciază seria Fourier. Aceasta o aproximează cu o serie de sinusuri s, i cosinusuri, funct, iileperiodice cel mai des întîlnite. Practic, are loc o superpozit, ie de termeni cu sinusuri s, icosinusuri, un fel de interferent,ă a undelor electromagnetice. La pasul următor, trans-formata Fourier preia minimele s, i maximele acestor „interferent,e“, iar rezultatul este unsemnal (aproape) discret („digitalizat“), care reprezintă valorile cele mai importante dinsemnal.1

Rescriem formula integralei Fourier, înlocuind funct, iile A s, i B:

f (x) =1π

∫ ∞0

∫ ∞−∞f (v) ·

(coswv coswx+ sinwv sinwx

)dvdw.

Acum putem folosi formule trigonometrice uzuale s, i observăm că putem rescrie:

f (x) =1π

∫ ∞0

(∫ ∞−∞f (v)cos(wx −wv)dv

)dw.

Cum funct, ia cos este pară, integrala de la 0 la∞ este jumătate din integrala pe tot R,deci putem rescrie în forma:

f (x) =1

2π

∫ ∞−∞

(∫ ∞−∞f (v) · cos(wx −wv)dv

)dw.

Observaţie 12.1: Să remarcăm că, dacă în integrala de mai sus aveam funct, ia sin în locde cos, integrala ar fi fost nulă, din imparitatea funct, iei sin.

Conform observat, iei de mai sus, putem adăuga un termen similar cu sin, fără a schimbavaloarea integralei. Acest lucru este util pentru a trece pe domeniu complex, unde putemporni de la formula lui Euler de scriere polară a unui număr complex. As, adar, avem:

f (v)cos(wx −wv) + if (v)sin(wx −wv) = f (v)ei(wx−wv).

1O explicat, ie animată este dată aici.

94

https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform#/media/File:Fourier_transform_time_and_frequency_domains_(small).gif

Trecînd la integrală, obt, inem integrala Fourier complexă:

f (x) =1

2π

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞f (v)eiw(x−v)dvdw. (12.1)

Dacă descompunem funct, ia exponent, ială într-un produs s, i scriem ca produs de inte-grale, obt, inem:

f (x) =1√

2π

∫ ∞−∞

[ 1√

2π

∫ ∞−∞f (v)e−iwvdv

]eiwxdw.

Integrala din interior este exact transformata Fourier a lui f :

f (w) =1√

2π

∫ ∞−∞f (x)e−iwxdx. (12.2)

Atunci, dacă înlocuim în formula de mai sus, obt, inem:

f (x) =1√

2π

∫ ∞−∞f (w)eiwxdw, (12.3)

care este formula transformării Fourier inverse.O altă notat, ie pentru transformata Fourier este f = F(f ) s, i pentru transformata in-

versă, f = F−1(f ).Pentru orice funct, ie care satisface anumite proprietăt, i, transformata Fourier există:

Teoremă 12.1: Dacă f este absolut integrabilă (adică integrala funct, iei |f (x)| este convergentă)s, i continuă pe orice interval finit, atunci transformata Fourier dată de formula (12.2) există.

Să vedem cîteva exemple.

Exemplu 12.1: Găsit, i transformata Fourier a funct, iei:

f (x) =

1, |x| < 10, în rest

.

Solut, ie: Folosind definit, ia, integrăm:

f (w) =1√

2π

∫ 1

−1e−iwxdx =

1√

2π· e−iwx

−iw

∣∣∣∣1−1=

1

−iw√

2π(e−iw − eiw).

Folosind formula lui Euler pentru e±iw, avem, în fine:

f (w) =

√π2

sinww

.

Un alt exemplu:

95

Exemplu 12.2: Găsit, i transformata Fourier a funct, iei:

f (x) =

e−ax, x > 00, x < 0

, a > 0.

Solut, ie: Din definit, ie, avem:

f (w) =1√

2π

∫ ∞0e−axe−iwxdx

=1√

2π

e−(a+iw)x

−(a+ iw)

∣∣∣∣∞x=0

=1

√2π(a+ iw)

12.3 Proprietăt, i ale transformatei Fourier

Liniaritate: Transformata Fourier este o operat, ie liniară:

F(af + bg) = aF(f ) + bF(g),

pentru orice funct, ii f ,g care admit transformată Fourier s, i a,b ∈R.

Transformata derivatei: Dacă f este o funct, ie continuă s, i f (x)→ 0 pentru |x| → ∞,iar f ′(x) este absolut integrabilă, atunci:

F(f ′(x)) = iwF(f ).

Mai departe, pentru derivate superioare, obt, inem, de exemplu:

F(f ′′(x)) = −w2F(f (x)).

Convolut, ie: Fie f ,g două funct, ii. Se defines, te produsul lor de convolut, ie f ∗ g ca fiindfunct, ia:

h(x) = (f ∗ g)(x) =∫ ∞−∞f (p)g(x − p)dp =

∫ ∞−∞f (x − p)g(p)dp.

Comportarea transformatei Fourier fat,ă de produsul de convolut, ie este dată de:

F(f ∗ g) =√

2πF(f ) ·F(g).

Echivalent, acest rezultat se mai poate scrie prin inversare:

(f ∗ g)(x) =∫ ∞−∞f (w) · g(w)eiwxdw.

96

12.4 Exercit, ii

Calculat, i transformatele Fourier ale următoarelor funct, ii:

(a) f (x) =

e2ix, −1 < x < 10, în rest

(b) f (x) =

1, a < x < b

0, în rest

(c) f (x) =

ekx, x < 00, x > 0

, k > 0

(d) f (x) =

ex, −a < x < a0, în rest

(e) f (x) = e−|x|,x ∈R;

(f) f (x) =

x, 0 < x < a

0, în rest

(g) f (x) =

xe−x, −1 < x < 00, în rest

(h) f (x) =

|x|, −1 < x < 10, în rest

(i) f (x) =

x, −1 < x < 10, în rest

97

12.5 Tabele de transformate Fourier

f (x) fc(w) = Fc(f )1, 0 < x < a0, în rest

√2π

sinaww

xa−1,0 < a < 1√

2πΓ (a)wa cos aπ2

e−ax, a > 0√

2π ·

aa2+w2

e−x2/2 e−w

2/2

e−ax2, a > 0 1√

2ae−w

2/(4a)

xne−ax, a > 0√

2π

n!(a2+w2)n+1 Re(a+ iw)n+1

cosx, 0 < x < a0, în rest

1√2π

[sina(1−w)

1−w + sina(1+w)1+w

]

cos(ax2), a > 0 1√2a

cos(w2

4a −π4

)sin(ax2), a > 0 1√

2acos

(w2

4a + π4

)sinaxx , a > 0

√π2 (1−u(w − a))2

e−x sinxx

1√2π

arctan 2w2

Figura 12.1: Transformate Fourier cu cosinusuri (pentru funct, ii pare)

2u(t − a) este funct, ia Heaviside (eng. unit step function), definită prin:

u(t − a) =

0, t < a

1, t > a

98

f (x) fs(x) = Fs(f )1, 0 < x < a0, în rest

√2π

[1−cosaw

w

]1√x

1√w

x−3/2 2√w

xa−1,0 < a < 1√

2πΓ (a)wa sin aπ

2

e−ax, a > 0√

2π ·

wa2+w2

e−axx , a > 0

√2π arctan w

a

xne−ax, a > 0√

2π

n!(a2+w2)n+1 Im(a+ iw)n+1

xe−x2/2 we−w

2/2

xe−ax2, a > 0 w

(2a)3/2 e−w2/(4a)

sinx, 0 < x < a

0, în rest1√2π

[sina(1−w)

1−w − sina(1+w)1+w

]cosaxx , a > 0

√π2u(w − a)

arctan2ax,a > 0√

2π sinaww e−aw

Figura 12.2: Transformate Fourier cu sinusuri (pentru funct, ii impare)

99

f (x) f (w) = F(f )1, −b < x < b0, în rest

√2π

sinbww

1, b < x < c

0, în reste−ibw−e−icwiw√

2π

1x2+a2 , a > 0

√π2e−a|w|ae−ax, x > 0

0, în rest, a > 0 1√

2πa+ iweax, b < x < c

0, în reste(a−iw)c−e(a−iw)b√

2π(a−iw)

eiax, −b < x < b0, în rest

√2π

sinb(w−a)w−a

eiax, b < x < c

0, în resti√2π

eib(a−w)−eic(a−w)

a−w

e−ax2, a > 0 1√

2ae−w

2/(4a)

sinaxx , a > 0

√π2 , |w| < a

0, |w| > a

Figura 12.3: Transformate Fourier generale (pentru funct, ii arbitrare)

100

SEMINAR 13

SUBIECTE EXAMEN

13.1 Examen AM2, 2017–2018

NR I1. Determinat, i funct, ia olomorfă f : C→C, f = u + iv, s, tiind că:

Ref = u(x,y) = x2 − y2 − 2y, u : R2→R

s, i că f (1) = 1.

2. Să se calculeze integralele:(a) Folosind teorema lui Cauchy:∫

|z|=3ez +

z+ 8z − 1

dz;

(b)∫ 2π

0

1(2 + cos t)2dt.

3. Fie funct, ia:

f : C− {0,2} → C, f (z) =e2z

z2(z − 2).

Să se determine:

(a) Rez(f ,0),Rez(f ,2);

101

(b)∫|z−2|=3

f (z)dz.

4. Să se determine solut, ia ecuat, iei diferent, iale, folosind transformata Laplace:

x′′ − 4x′ + 3x = 3t, x(0) = 2,x′(0) = 3.

5. Să se rezolve ecuat, ia integrală:

ϕ(t) = et +∫ t

0euϕ(t −u)du.

NR 2.1. Să se determine funct, ia olomorfă f : C→C, f = u + iv, dacă:

Imf = v(x,y) = x3 − 3xy2, v : R→R

s, i s, tiind că f (1) = 1.

2. Să se calculeze integralele:(a) Folosind teorema lui Cauchy:∫

|z|=3z2 +

z+ 7z − 2

dz.

(b)∫ π

−π

cos3t5− 4cos t

dt.

3. Fie funct, ia:

f : C− {1,3} → C, f (z) =ez

(z − 1)(z − 3)2 .

Să se determine:

(a) Rez(f ,1),Rez(f ,3);

102

(b)∫|z−3|=4

f (z)dz.

4. Să se rezolve ecuat, ia diferent, ială, folosind transformata Laplace:

x′′ − 6x′ + 5x = 4et, x(0) = 2,x′(0) = −1.

5. Să se rezolve ecuat, ia integrală:

ϕ(t) = t + 4∫ t

0

t −uϕ

(u)du.

13.2 Restant,ă AM2, 2017–2018

1. Rezolvat, i ecuat, iile diferent, iale:

(a) y′′ − 3y′ + 2y = x+ 1;

(b) x2y′′ − 5xy′ + 9y = x,x > 0.

2. Să se determine liniile de cîmp pentru:

~V (x,y,z) = yz~i + xz~j + (x+ y)~k.

3. Să se aducă la forma canonică s, i să se rezolve ecuat, ia:4∂

2u∂x2 = ∂2u

∂t2

u(x,0) = x+ 2∂u∂t (x,0) = 3x2 + 1.

4. Să se determine funct, ia olomorfă f : C→ C, f = u + iv s, tiind că v = x4 + 6x2y2 +y4, f (1) = 1.

103

5. Fie funct, ia complexă:

f : C− {−1,1} → C, f (z) =ez

(z+ 1)2(z − 1).

(a) Să se calculeze Rez(f ,1),Rez(f ,−1);

(b) Să se calculeze∫|z+1|=3

f (z)dz.

6. Să se rezolve ecuat, ia x′′ − 2x′ − 5x = 16t · et, s, tiind că x(0) = 3,x′(0) = 4.

7. Calculat, i integrala: ∫|z+1|=4

(z2 +

z+ 7z − 2

)dz.

8. Calculat, i∫ 2π

0

12 + cosθ

dθ.

104

INDEX

Cconvolut, ie, 85

EEDP, 23

curbe caracteristice, 33cvasiliniare, 26ecuat, ia căldurii, 34ecuat, ia coardei vibrante, 34ecuat, ia Laplace, 34ecuat, ia undelor plane, 34ordinul întîi, 23ordinul doi, 33

Fformula

Cauchy, 68funct, ie

original, 77funct, ie complexă

exponent, ială, 62logaritm, 62olomorfă, 61putere, 63radical, 63trigonometrică, 63trigonometrică hiperbolică, 63

trigonometrică inversă, 64funct, ii complexe

reziduu, 70

Iintegrală

complexă, 67primă, 19trigonometrică, 76

Llinii

de cîmp, 19

Ssemnal

discret, 85intîrziat, 85unitar, 85

sistemautonom, 19

stabilitateasimptotică, 18Poincaré-Liapunov, 17spre∞, 17

suprafet,ede cîmp, 25

105

Tteorema

calculul reziduurilor, 70Cauchy, 67Cauchy-Riemann, 61

reziduurilor, 71transformata

Fourier, 94Laplace, 77Z, 86

106

Date post:	29-Aug-2019
Category:	Documents
Upload:	trinhdang
View:	285 times
Download:	0 times

Analiz 2 - adrianmanea.xyz · 1.2 Metoda eliminării pentru sisteme diferent, iale liniare Putem...

Documents