1

LUCRAREA nr. 1. Mediul de lucru Matlab

1. Caracteristici principale ale mediului Matlab

MATLAB este un software performant și cuprinzător destinat calculelor tehnice,

având o interfața prietenoasă cu utilizatorul. El oferă inginerilor, cercetătorilor și tehnicienilor

un sistem unitar și interactiv, care include calcule numerice și vizualizări grafice, prin aceasta

sprijinind creativitatea și creșterea productivității.

MATLAB dispune de o serie de soluții specifice pentru diferite aplicații, așa-

numitele toolboxes (biblioteci de funcții).

Poate fi considerat un limbaj de programare adaptat pentru probleme științifice grație

funcțiilor sale specializate, în care instrucțiunile sunt interpretate linie cu linie.

MATLAB înglobează analiza numerică, calculul vectorial, calculul matricial,

procesarea semnalelor și realizarea graficelor într-un mediu ușor de utilizat, în care

problemele și soluțiile sunt exprimate așa cum sunt ele scrise matematic, fără a utiliza

programarea tradițională.

MATLAB este un sistem interactiv, al cărui element de bază este o matrice care nu

pretinde dimensionarea sa. Aceasta permite rezolvarea multor probleme numerice într-un timp

mult mai scurt decât cel necesar scrierii unui program într-un limbaj de programare ca

Fortran, Basic sauC.

Un aspect foarte important este că toolboxurile de care dispune MATLAB sunt niște

colecții foarte cuprinzătoare de funcții MATLAB (fișiere .M), care extind mediul MATLAB

cu scopul de a rezolva clase particulare de probleme. Dintre domeniile în care sunt utile aceste

toolboxuri fac parte: teoria reglării automate, statistica și prelucrarea semnalelor, proiectarea

sistemelor de reglare, simularea sistemelor dinamice, identificarea sistemelor, rețele

neuronale, e.t.c.

Câteva dintre aceste biblioteci de funcții alături de domeniile de aplicații specifice

sunt enumerate în continuare:

SIGNAL PROCESSING TOOLBOX – procesare de semnal,

SYSTEM IDENTIFICATION TOOLBOX – identificarea sistemelor,

CONTROL SYSTEM TOOLBOX – sisteme de control,

ROBUST CONTROL TOOLBOX – control robust,

OPTIMIZATION TOOLBOX – optimizare,

NEURAL NETWORK TOOLBOX – rețele neurale,

SYMBOLIC MATH TOOLBOX – calcul simbolic,

Utilizările MATLAB în calcule numerice cele mai cunoscute sunt următoarele:

2

Matematica generală: operații cu matrice și câmpuri de date, operatori

relaționali și logici, funcții trigonometrice și alte funcții elementare, funcții Bessel, ß și alte

funcții speciale, aritmetica polinomială.

Algebra liniară și funcții de matrice: analiza matriceală, logaritmi,

exponențiale, determinanți, inverse, sisteme de ecuații liniare, valori proprii, descompuneri

după valori singulare, construirea de matrice, operații cu matrice

Analiza datelor și transformări Fourier

Metode numerice neliniare

Programare

2. Structura programului MATLAB

Structura simplificată a componentelor MATLAB este reprezentată în Figura 1.

MATLAB

SIMULINK

Blockset

Toolbox

Fisiere MDL

Fisiere MEX

Fisiere M

Fisiere P

GUIFereastra

Grafica

Fereastra

Grafica

Fereastra de

comanda

Fisiere MAT

Figura 1. Structura MATLAB-ului

Programul utilizează diferite tipuri de ferestre pentru introducerea de comenzi,

date și vizualizarea acestora. Fereastra de comanda (Figura 2) este acea fereastră în care

utilizatorul tastează instrucțiunile și MATLAB-ul returnează rezultatele. În Fereastrele

Grafice (Figura 3) MATLAB-ul trasează graficele cu ajutorul funcțiilor predefinite în

MATLAB. O serie de alte ferestre grafice sunt disponibile pentru bibliotecile de funcții

speciale ale MATLAB-ului, Simulink-ul sau alte obiecte predefinite. Versiunea 6.5. a

MATLAB-ului conține un ansamblu de diferite ferestre (Figura 4) pentru a vizualiza în

același timp comenzile Matlab din fereastra de comenzi, istoricul comenzilor din sesiunea

curentă precum și din cele anterioare, ca și fereastra spațiului de lucru, fereastră ce afișează

proprietățile variabilelor utilizate în sesiunea de lucru din MATLAB.

3

Figura 2.Fereastra de comandă MATLAB Figura 3. Fereastra grafică

Figura 4. Ansamblul de ferestre caracteristice pornirii sesiunii de lucru

în MATLAB 6.5.

În sesiunile de lucru ale pachetului de programe MATLAB se întâlnesc o serie de

fișiere cu următoarea semnificație:

Fișierele cu extensia M: sunt fișiere ce conțin linii de comandă MATLAB și

pot fi apelate în linia de comandă MATLAB pentru a executa setul de comenzi conținute în

aceste fișiere. Fișierele de tip M sunt elaborate de către utilizator într-o fereastră de editare de

tipul celei din Figura 5;

Fișierele cu extensia P: reprezintă versiunea predefinită a fișierelor de tip M;

Fișierele cu extensia MDL: sunt fișiere reprezentând modele Simulink.

Fereastra de editare a liniilor MDL este cea din Figura 6.

4

Fișierele cu extensia MAT: sunt fișierele utilizate pentru importul sau exportul

de date în sau dinspre MATLAB.

Figura 5. Fereastra de editare a

fişierelor cu extensia ‘ .m’

Figura 6. Fereastra de editare a

modelelor Simulink

3. Sesiunea de lucru în MATLAB

3.1. Pornirea MATLAB-ului

Activarea ferestrei de comanda MATLAB se poate realiza în WINDOWS: dați click

pe iconița MATLAB de pe desktop sau din meniul de programe. Prompterul de comandă >>

permite tastarea instrucțiunilor linie cu linie, fiecare linie fiind executată imediat după

apăsarea tastei ENTER.

În fereastra de comandă se tastează instrucțiunile (for, while, if … else, etc.), se

definesc matricile și vectorii precum și operațiile cu acestea. O linie poate conține mai multe

instrucțiuni separate cu virgulă sau punct și virgulă.

Funcțiile tastelor săgeți sunt prezentate în Tabelul 1:

Tabelul 1

Taste simbolice Functiile tastelor

Săgeată sus ↑ Recheamă comanda dată anterior

Săgeată jos ↓ Recheamă linia de comandă următoare

Săgeată stânga Deplasare la stânga cu un caracter

Săgeată dreapta Deplasare la dreapta cu un caracter

Ctrl+săgeata stânga Deplasare la stânga cu un cuvânt

Ctrl+săgeata dreapta Deplasare la dreapta cu un cuvânt

Home Deplasare la începutul liniei de comandă

End Deplasare la sfârsitul liniei de comandă

Esc Abandonează linia de comandă curentă

Ins Trece între modurile de editare Insert și Overtype

Backspace Șterge un caracter la stânga cursorului

Pentru a obține informația ajutătoare referitoare la un anumit subiect, instrucțiune sau

o funcție se tastează comanda help urmată de un subiect, funcție sau instrucțiune dorită (cu

litere mici).

5

Exemplul 1: Comanda «help log10» returnează în fereastra de comandă MATLAB

informații referitoare la semnificația funcției «log10», logaritm în bază zece, și modul de

apelare al funcției (numărul și semnificația variabilelor) precum și care sunt funcțiile similare

sau care folosesc funcția interogată.

>> help log10

LOG10 Common (base 10) logarithm.

LOG10(X) is the base 10 logarithm of the elements of X.

Complex results are produced if X is not positive.

See also LOG, LOG2, EXP, LOGM.

Alte comenzi utile pentru a obține informații ajutătoare sunt prezentate în Tabelul 2:

Tabelul 2

Sintaxa

comenzilor

Semnificația comenzilor

helpwin Obținerea de informații ajutătoare prin intermediul unei

ferestre de navigație

helpdesk permite accesul la documentația MATLAB

lookfor xyz caută combinațiile sau grupul de caractere xyz în

descrierile tuturor funcțiilor disponibile

demo lansează demonstrațiile în MATLAB.

3.2. Gestionarea fișierelor

Selectând comanda File, din meniul principal, se obține submeniul de gestionare a

fișierelor, cu următoarea listă de comenzi:

- New – provoacă descrierea unui alt sub-submeniu cu opțiunile: M-File (deschide o

ferestră de editare a unui fișier), Figure (deschide o fereastră grafică nouă), Model

(deschide fereastra corespunzătoare modelarii în Simulink);

- Open – deschide o fereastră de dialog, pentru a selecta un fișier, care va deveni un fișier

de lucru;

- Open selection – analizează fișierele pentru selectare și deschide pe cel selectat;

- Load Workspace – încarcă fișierul specificat, în care au fost salvate anterior datele din

spațiul de lucru;

- Save Workspace As – deschide o fereastră de dialog, pentru a salva datele din spațiul de

lucru într-un fișier, al cărui număr trebuie precizat;

- Show Workspace – prezintă conținutul spațiului de lucru;

- Set Path – se stabilesc căile către directoarele în care se găsesc fișiere sau aplicații

MATLAB;

- Preferences – stabilirea proprietăților ferestrei de comenzi;

- Print Setup – configurarea caracteristicilor imprimantei și paginii;

- Print – permite tipărirea documentului;

- Exit MATLAB – părăsirea aplicației.

6

3.3. Funcții asociate ferestrei de comenzi

Fereastra de comenzi se poate controla prin următoarele funcții:

- clc – șterge fereastra de comenzi;

- home – mută cursorul în poziția inițială (prima linie-prima coloană);

- format opțiune – setează formatul de afișare a datelor, în funcție de opțiunea specificată

(short – 5 cifre, long – 15 cifre, short e – 5 cifre + exp, long e – 15 cifre + exp, hex –

hexazecimal, plus – plus blanc minus, blank – cu 2 zecimale, rat – în numere raționale);

- echo – permite afișarea liniilor de program, în timpul executării acestora;

- more – funcție pentru controlul numărului de linie afișat de monitor.

3.4. Variabile speciale și constante Matlab

Variabilele speciale și constantele au o semnificație deosebită în MATLAB. Acestea

nu pot fi declarate și sunt accesibile global, în orice fisier -M. Variabilele speciale nu sunt

introduse în mod obișnuit, fiind accesibile global în orice fișier .m.

Variabilele speciale și constantele introduse în mod uzual în MATLAB sunt:

- ans – variabilă creată automat, reprezentând rezultatul unui calcul pentru care nu s-a

alocat un nume;

- pi – variabilă permanentă, care are alocată valoarea 3,14159265358;

- 1i – variabilă folosită pentru introducerea numerelor complexe (z =x + iy);

- j= 1 – alternativă a unității imaginare, i;

- inf – variabilă folosită pentru reprezentarea lui plus infinit în standardul IEEE, rezultat al

împărțirii 1,0/0,0;

- NaN – variabilă folosită pentru reprezentarea lui Not-a-Number (NaN), în aritmetica

IEEE, rezultat al împărțirii nedefinite 0,0/0,0;

3.5. Importul și exportul fișierelor de date

Pentru importul și exportul fișierelor de date se utilizează următoarele funcții mai

importante:

- load – încarcă varibilele dintr-un fișier de pe disc; sintaxa este load nume_fisier-

format_date (ASCII sau BINAR);

- save – salvează variabilele de pe disc într-un fișier de date; sintaxa este save nume_fisier-

format_date (ASCII sau BINAR).

3.6. Numere și expresii aritmetice

MATLAB utilizează pentru reprezentarea numerelor notația zecimală americană, cu

punct zecimal.

Calculatoarele care utilizează aritmetica în virgula mobilă IEEE, au precizia relativă

a numerelor “eps”, aproximată cu 16 cifre semnificative. Limitele numerelor folosite în

MATLAB sunt: 10-308

si 10308

.

7

Operatorii aritmetici utilizați sunt:

- + adunarea;

- - scăderea;

- * înmulțirea;

- / împărțirea la dreapta;

- \ împărțirea la stânga (1/4 = 4\1);

- ^ ridicarea la putere.

Matlabul recunoaște numere complexe, iar operatorul complex este „i” sau „j”.

3.7. Operatori relationali și logici

În cazul unui algoritm este uneori nevoie de o selecție a grupului de instrucțiuni a

căror execuție este condiționată de valoarea de adevăr a unei expresii. Instrucțiunile

condiționale utilizează operatori relationali și logici.

Operatorii relaționali compară două matrice, element cu element, returnând o matrice

de aceeași dimensiune cu a matricelor care se compară, cu elementele 1, când relația este

ADEVARATĂ și 0 când este FALSĂ.

Operatori relaționali Semnificație

< mai mic

<= mai mic sau egal

> mai mare

>= mai mare sau egal

= = identic

- = diferit

3.8. Matrice, vectori și scalari

MATLAB-ul utilizează numai un singur tip de obiecte, matrice numerice

rectangulare, cu elemente reale sau complexe. Astfel, scalarii sunt asimilați matricelor 1x1

(1linie x 1coloana), iar vectorii sunt asimilați matricelor 1xn sau nx1.

3.8.1. Definirea matricelor, vectorilor:

Cea mai simplă metodă de definire a matricelor mici, constă în utilizarea unei liste

explicite, respectând următoarele reguli:

- elementele unei linii trebuie separate prin blank-uri sau virgule;

- liniile se separă prin “;”;

- elementele matricei sunt cuprinse între “[ ]”.

Exemplul 2:

Secvența A=[1 2; 3 4] întoarce rezultatul:

8

A =

1 2

3 4

Pentru matricele mari, la care datele de intrate nu încap pe o singură linie, se poate

înlocui “;” cu “Enter”, ca în exemplul următor:

A =[ 1 2

3 4]

În continuare sunt prezentate câteva metode de creare a vectorilor (exemplul 3):

a) Crearea unui vector cu intervale egale între elemente:

>>x=0:0.5:pi % va întoarce rezultatul:

x = 0 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 2.5000 3.0000

b) Crearea unui vector cu n elemente situate la intervale egale:

>>x=linspace(0, pi, 7)

x = 0 0.5236 1.0472 1.5708 2.0944 2.6180 3.1416

c) Crearea unui vector cu intevale egale între elemente în scara logaritmică:

>> x=logspace(1,2,7)

x =10.0000 14.6780 21.5443 … 68.1292 100.0000

Elementele matricelor pot fi numere reale sau complexe, precum și orice expresie

MATLAB.

De exemplu, din secvența : x=[-1.3 sqrt(3) (1+2+3)*4/5], rezultă:

x =[ -1.3000 1.7321 4.8000].

Elementul unei matrice x, aflat la intersecția dintre linia i și coloana j este identificat

cu notația x(i,j). Astfel: a = x(2) a = 1.7321.

O parte din operațiile ce pot fi efectuate folosind matrici sunt enumerate în tabelul 3:

Tabelul 3.

Operația Operatorul aritmetic

Adunarea +

Scăderea -

Înmulțirea *

Împărțirea la dreapta /

Împărțirea la stânga \

Ridicarea la putere ^

Transpunerea ’

Adunarea a două matrice este posibilă numai dacă matricele sunt de același tip. O

matrice cu p linii și n coloane se spune că este de tipul {p, n}. Elementele sumei se obțin

adunând elementele corespunzătoare din cele două matrice. Daca notăm cu aij elementul

9

generic al matricei [a], cu bij elementul generic al matricei [b] și cij elementul generic al

matricei sumă [c], atunci avem:

[c] = [a]+[b],

ceea ce se reduce la:

cij = aij + bi , pentru toate valorile luate de i și j.

La înmulțirea a două matrice X și Y trebuie ca numărul de coloane ale matricei X să

fie egal cu numărul de linii ale matricei Y.

Exemplul 4:

X =[ 2 3 4; 7 8 9; 11 12 13];

Y=[2 2 2 2; 2 2 2 2; 2 2 2 2];

X*Y=?

Dar pentru X1=[2 3 4; 5 7 8; 9 10 11; 12 13 14]?

Care este rezultatul operației X.*Y?

Pentru împărțirea la stânga a două matrice se utilizează operatorul „\”, respectiv

„backslash”, astfel încât A\B înseamnă împărțirea matricei A cu B, ceea ce este același lucru,

atunci când este posibil, cu A-1

*B, adică inv(A)*B. Daca A este o matrice pătrată cu N linii și

N coloane (de NxN), iar B este un vector coloană de N elemente sau o matrice cu același

număr N de coloane, rezultatul X=A\B este soluția ecuației A*X=B.

De exemplu,dacă,

A =[ 10 25 3; 4 5 6; 7 8 9];

B =[ 2; 3; 4];

atunci,

X=A\B conduce la :

X =

-0.6216

0.2432

0.7117.

În cazul matricilor, ridicarea la putere se face pentru un exponent scalar; dacă se

consideră matricea baza element cu element, atunci exponentul poate fi tot o matrice.

Exemplul 5:

A=[ 2 3

4 5];

A^2=?

B=[1 2

1 2]

A.^B=?

Dar pentru B1=[1 2 3;1 2 3]?

3.8.2. Rezolvarea sistemelor liniare folosind matrici:

Rezolvarea sistemelor algebrice liniare se reduce la rezolvarea unor ecuații

matriceale de forma A x b .

Exemplul 6: Se consideră sistemul:

5 3 - 2 10

8 4 3 20

2 4 - 9 9

x y z

y z x

x y z

10

Pentru acest sistem se vor separa termenii ce conțin variabilele și termenii liberi.

Apoi se definesc matricele:

>>A = [5 -3 2; -3 8 4; 2 4 -9];

>>b = [10; 20; 9];

Iar rezultatul acestui sistem va fi: x = A \ b

Verificarea se poate face calculând c = A*x, iar c trebuie să fie egal cu b.

3.8.3 Functii ce folosesc matrici Au fost implementate în Matlab câteva funcții predefinite ce ușurează lucrul cu matrici

și vectori:

• mean(A): valoarea medie a vectorului;

• max(A), min (A): maximum și minimum.

• sum(A): sumare.

• sort(A): realizează sortarea vectorului

• det(A) : determinantul unei matrici pătratice

• Inv(A): Inversa unei matrici

3.9. Algebra simbolică

Crearea variabilelor simbolice se poate face folosind toolboxul Symbolic Math.

Definirea variabilelor se face în felul următor:

syms a t x y f

Aceste variabile pot fi folosite în expresii și ca argumente:

r = x^2 + y^2 sau r=(x+y)2

Funcții ce folosesc variabilele simbolice:

expand(expresie)

pretty(var)

Exemplul 7: Să se calculeze expresia xyyx 22 .

Instructiuni Rezultate

>> a=(x+y)^2-2*x*y

>> expand(a)

>> pretty(a)

a =(x + y)^2 - 2*x*y

ans =x^2 + y^2

2

(x + y) - 2 x y

3.10. Tehnici de vizulizare folosind Matlab

Arhitectura grafică bi- şi tri- dimensională orientată pe obiect a MATLAB-ului oferă

un mediu performant pentru grafica şi analiza vizuală a datelor.

Ca mediu grafic, MATLAB este foarte avantajos, pentru că el dispune de numeroase

funcţii speciale necesare în domeniul tehnic. Funcţiile grafice cuprind principalele formate

ştiinţifice şi tehnice, cum sunt scalele logaritmice, diagramele reprezentate în coordonate

polare etc.

MATLAB permite realizarea unor grafice performanţe în culori, cu funcţii grafice

moderne în trei dimensiuni, ca diagrame de suprafeţe, curbe de nivel tridimensionale,

11

reprezentarea imaginilor, animaţie, reprezentări volumetrice şi multe altele. Prin utilizarea

acestor funcţii cu 3, 4 şi chiar 5 dimensiuni este facilitată şi cercetarea unor structuri mai

complexe de date.

Spre deosebire de pachetele vizuale de evaluare a datelor, unde este vorba de

programe individuale (singulare), care prelucrează date din alte surse, posibilităţile de

prelucrare integrate de MATLAB oferă o libertate nelimitată de analiză, transformare şi

vizualizare - totul în cadrul unui singur mediu (unitar).

Programul Handle Graphics care stă la baza MATLAB este construit după o metodă

orientată pe obiect. El oferă modalităţi simple şi performante de adaptare şi modificare a

fiecărui aspect elementar al unei diagrame.

În cadrul programului Handle Graphics pot fi deschise în acelaşi timp mai multe

ferestre grafice, în care pot fi definite mai multe sisteme de coordonate. Se poate regla şi

poziţia în care va apărea imaginea pe pagina imprimată.

Un aspect şi mai important este că imaginile pot fi prelucrate dinamic în continuare.

Accesul la "handles" elementare este posibil în orice moment şi poate fi modificat practic

fiecare atribut al graficelor: modificarea culorii sau tipului de scris, deplasarea direcţiilor

axelor etc. Acestea şi multe alte atribute pot fi definite la conceperea unui grafic sau pot fi

modificate în timp ce graficul este afişat pe ecran.

Principalele aplicaţii ale tehnicii de vizualizare sunt:

Grafice bidimensionale

Grafice tridimensionale

Vizualizări

Handle Graphics

Comanda interfeţei grafice cu utilizatorul

Realizarea graficelor se face folosind instrucțiunea plot(x,y). Aceasta desenează

vectorul Y în funcţie de vectorul X. Se pot alege culorile dependenţelor ce vor fi reprezentate,

astfel se poate scrie plot(X,Y,'S') unde S este un sir de 1,2, sau 3 alcătuit din următoarele

caractere:

y yellow . point

m magenta o circle

c cyan x x-mark

r red + plus

g green - solid

b blue * star

w white : dotted

k black -. dashdot

-- dashed

Pentru mai multe variabile reprezentate pe acelaşi grafic se pot combina perechile de

variabile: plot(X1,Y1,S1,X2,Y2,S2,X3,Y3,S3).

Mai multe grafice pot fi create în același timp, iar pentru vizualizarea lor într-o nouă

fereastră se folosește instrucțiunea figure().

12

Exemplul 8. Observați realizarea graficului următor, executând setul de instrucțiuni:

x1=linspace(0,5,100)';

x2=x1;x3=x1;

y1=sin(2*x1);

y2=0.5*cos(2*x2);

y3=-2*exp(-x3);

figure(1)

plot([x1 x2 x3],[y1 y2 y3])

figure(2)

plot(x1,y1,x2,y2,x3,y3)

Mai multe grafice pot apărea în aceeași fereastră de vizualizare utilizând comanda

subplot(). Fereasta este împărțită în mxn panouri. Observați rezultatul instrucțiunilor din

exemplul 9:

subplot(211)

plot([x1 x2 x3],[y1 y2 y3])

subplot(212)

plot(x1,y1,'c',x2,y2,'.')

Realizarea graficelor 3D se face folosind comanda plot3(x,y,z). Comanda

meshgrid(x,y) este necesară pentru a transforma vectorii x,y în variabile ce pot fi folosite

în scopul realizării graficelor 3D.

Exemplul 10:

x=0:4

y=-2:2

[X,Y]=meshgrid(x,y)

t=linspace(0,6*pi,200);

x=cos(t);

y=sin(t);

z=t;

figure(1) % Create a new Figure Window

subplot(221)

plot3(x,y,z), grid

xlabel('cos(t)');ylabel('sin(t)');zlabel('t');

4. Exerciții propuse:

4.1.Calculați următoarele expresii folosind operații simple Matlab:

a. 5

5

2

2 1;

2

5 7 21

7 1

;

1

3r

b. 3 1603 310 ln log e ee e

13

c. 2 2sin cos tan sin cos6 2 6 6

d. 41 3

1 1 3

jjj e

j

4.2.Ecuația unei drepte este , 0.5, 2y mx b m b . Calculați y dacă x=[0 1.5 3 4 5

8.4].

4.3.Creați un vector, t, cu elemente situate la intervale egale, 0,1,2,...,10. Apoi calculați:

21 sinsin

1

t tz t x y

t t

4.4.Observați rezultatul următoarelor instrucțiuni:

>> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]

>> A(2,3) % Selectează elementul 2,3

>> A(1,2)=14

>> A(:,1) % Selectează coloana 1

>> A(2,:) % Selectează linia 2

>> B=A(2:3,1:3) % Selectează liniile 2-3 și coloanele 1-3

>> B(:,2)

>> B(:,2)=[] % Șterge coloana 2

4.5.Creați vectorul v = 0:0.2:2*pi și matricea M=[cos(v);sin(v)]. Folosiți

instrucțiunea size(M) pentru a determina dimensiunea matricei M. Afișați primele 10

elemente ale fiecărei linii din M.

4.6.Rezolvați sistemul de ecuații următor și verificați soluția obținută:

3 2 - 6

2 - 3 5

7 - 3 - 2

x y z

z y x

x z

4.7.Faceți graficul sin3y t pentru 40 valori ale lui t între 0 și pi.