LEGILE LUI KIRCHHOFFPROIECT REALIZAT DE: JIDVIAN RALUCA ILE DAVID

PROFESOR COORDONATOR: ANCA NICU

1

GUSTAV ROBERT KIRCHHOFF

Gustav Robert Kirchhoff (n. 12 martie 1824 , Konisberg, azi Kaliningrad d. 17 octombrie 1887,Berlin) a fost un fizician german multilateral. Gustav Robert Kirchhoff a descoperit legile care i poart numele n domeniul circuitelor electrice legate de curentul , tensiune electric i rezistena electric . A descoperit (mpreun cu Robert Wilhelm Bunsen ) elementele chimice cesiu (1860) i rubidiu (1861). A activat i ca electrotehnician i astronom . A analizat fenomenele de radiaie termic i a formulat legi fizice importante din acest domeniu.

Teoremele lui Kirchhoff Se vor prezenta teoremele lui Kirchhoff utilizate n calculul circuitelor de curent continuu.. Prima teorema a lui Kirchhoff. Este o consecint a legii de conservare a sarcinii electrice n regim stationar si cvazistationar. De exemplu, pentru nodul din figura 2.27, teorema se scrie, pstrnd aceeasi regul pentru semne (cu + se scriu curentii care intr n nod si cu - cei care ies);

n general, pentru un nod oarecare suma algebric a curentilor dintr-un nod este egal cu zero: . (2.74)

A doua teorem a lui Kirchhoff. Se exprim tensiunea electromotoare n lungul conturului nchis format din laturile unei bucle oarecare:

n care s-a notat cu suma tensiunii electromotoare din lungul buclei. Conform legii lui Ohm, aceeasi tensiune electromotoare se poate exprima sub forma: , 2

n care s-a notat cu strbate.

suma algebric a produselor prin intensitatea curentului care le

Egalnd cele dou expresii, rezult 18118t1920s : , (2.75)

adic: de-a lungul oricrui ochi (bucle) suma algebric a tensiunii electromotoare este egal cu suma algebric a cderilor de tensiune, algnd un sens de referint n ochi. Un exemplu de aplicare a teoremei este dat n figura 2.28, n care sensul de referint n lungul buclei este comun: . Prin aplicarea primei teoreme a lui Kirchhoff se pot obtine (N-1) ecuatii independente, pentru (N-1) noduri.

Fig. 2.27

Fig. 2.28

Din a doua teorem a lui Kirchhoff, se pot obtine B ecuatii independente, corespunztoare buclelor care nu se suprapun. Se obtine un sistem de L ecuatii independente conform (2.73). Acest sistem de ecuatii permite, de exemplu, calculul curentilor celor L laturi n functie de tensiunea electromotoare si rezistentele circuitului. Calculul acestor curenti se face astfel: se alege un sens arbitrar pentru curenti;

3

-

se aleg cele (N-1) noduri si cele B bucle care nu se suprapun; se aleg sensuri arbitrare de referint (de parcurgere) a buclelor; se scrie si se rezolv sistemul de ecuatii obinut din teoremele lui Kirchhoff; dac intensittile curentilor obtinute din rezolvarea ecuatiilor au semnul pozitiv, sensul real al curentilor respectivi coincide cu sensul de referint; curentii cu intensitatea negativ au un sens real invers sensului de referint.

Aplicatie S se afle curentii din laturile circuitului reprezentat n fig. 2.29, n care:

Circuitul are 5 noduri, (N=5), 4 bucle independente (care nu se suprapun) (B=4) si 8 laturi (L=8). Se verific L=B+N-1. Se scriu teoremele lui Kirchhoff: Nod A: I1 + I7 - I4 = 0 Nod B: I7 - I8 + I5 -I6 = 0 Nod C: I1 + I2 + I8 = 0 Nod D: I2 + I3 + I5 = 0 Bucla I: Bucla II: Bucla III: Bucla IV:

4

Fig. 2.29 Ecuatia dat de teorema nti a lui Kirchhoff pentru nodul E, precum si alte ecuatii date de teorema a doua pentru alte bucle (care se suprapun) nu sunt independente; ele reprezint consecinte ale celor L ecuatii scrise mai sus. Se rezolv sistemul si se obtin solutiile:

Sensurile reale ale curenilor I5 si I8 sunt inverse, iar sursa de tensiune U5 lucreaz n regim de receptor. 2.4.3. Bilantul puterilor ntr-un circuit de curent continuu Conform teoremei (legii) de conservare a energiei, ntr-un circuit de curent continuu energia, respectiv puterea dat de surse receptoare : . (2.76) , este egal cu puterea primit de

Teorema conservrii puterilor (2.76) se utilizeaz ca o verificare a rezolvrii corecte a circuitelor. 5

AplicatieS se verifice bilantul puterilor pentru circuitul din fig. 2.29.

Deci, bilantul puterilor este verificat

2.4.4. Legarea rezistoarelor n serie si n paralel Dac mai multe rezistoare sunt legate n serie, ele pot fi nlocuite cu un rezistor echivalent a crei rezistent are o valoare egal cu suma rezistentelor partiale (fig. 2.30). rezistoarele fiind parcurse de acelasi curent, rezult: sau . n general: (2.77) unde R este rezistenta echivalent a grupului de rezistoare legate n serie. La legarea n paralel a mai multor rezistoare (fig. 2.31) curentii din laturi sunt

6

Fig. 2.30 Fig. 2.31 Aplicnd teorema I a lui Kirchhoff n nodul A, se obtine

. Rezult

sau, n general

(2.78) unde R este rezistena echivalent a grupului de rezistoare legate n paralel. Pentru dou rezistoare legate n paralel

(2.79) iar dac exist n rezistoare identice ( echivalent este. ), atunci rezistena

. 2.4.5. Transfigurarea rezistoarelor din triunghi n stea si din stea n triunghi

7

Dac este necesar s se nlocuiasc un grup de trei rezistoare legate n triunghi (fig. 2.32) cu un alt grup de trei rezistoare legate n stea (fig. 2.33), atunci, se impune conditia ca potenialele punctelor 1,2,3 s rmn aceleasi (ca valoare) si dup transfigurare. De asemenea, curentii I1, I2, I3 trebuie s-si mentin valorile neschimbate dup transfigurare. Fig. 2.32 Fig. 2.33

Implicit, rezistentele echivalente dintre dou borne trebuie s fie egale att n cazul legrii n triunghi, ct si n cazul legrii n stea. Rezult:

8

(2.80) Pentru transfigurarea din triunghi n stea, se rezolv sistemul de ecuatii (2.80) n raport cu R10, R20, R30:

(2.81) Pentru transfigurarea din stea n triunghi, se rezolv sistemul de ecuatii (2.80) n raport cu R12, R23, R31:

(2.82) 2.4.6. Transportul energiei electrice n curent continuu. Transferul maxim de putere Pentru transportul energiei electrice n curent continuu se foloseste o retea cu dou conductoare (unul de ducere al curentului si altul de ntoarcere). Lungimea liniei electrice este l, sectiunea conductorului este S, iar rezistivitatea acestuia este . Sursa de tensiune (generatorul) are tensiunea electromotoare constant i egal cu U, rezistena interioar este r0, iar consumatorul (receptorul) are rezistena R (fig. 2.34).

9

Fig. 2.34 Rezistena ambelor conductoare este

. Curentul din receptor (curentul din linie) este

(2.83)

. Practic . Alte mrimi electrice ale reelei sunt tensiunea la bornele receptorului . Se utilizeaz notaia

(2.84)

, cderea de tensiune pe conductoare

(2.85)

; puterea consumat de receptor

(2.86)

; puterea debitat de generator 10

(2.87)

; randamentul liniei

(2.88)

(2.89) sau, innd seama de pierderea de putere ,

.

(2.90)

Transferul maxim de putere. Dac relaia (2.87) se consider o funcie de R, atunci funcia P(R) are un maxim pentru derivata

, de unde rezult condiia de maxim .

(2.91)

(2.92)

n cazul transferului maxim de putere, mrimile electrice ale reelei sunt:

11

Fig. 2.35 n figura 2.35 sunt prezentate curbele de variaie ale unor mrimi electrice specifice reelei de curent continuu, n funcie de R. Transferul maxim de putere este utilizat n electrocomunicaii, unde se urmrete transferul unei puteri maxime la receptor, chiar la randament sczut. 2.4.7. Legarea surselor de curent continuu Legarea n serie. Cnd se cere o tensiune electromotoare total relativ mare, elementele se monteaz n serie (fig. 2.36) :

.

Fig. 2.36

12

Dac R este rezistena circuitului exterior, r - suma rezistenelor interioare ( ), valoarea curentului este:

iar tensiunea receptorului: . Elementele legate n serie au n mod obinuit aceeai tensiune electromotoare U0, aceeai rezisten interioar r i acelai curent nominal de descrcare. n cazul legrii n serie a n elemente, tensiunea electromotoare total este nU0, iar rezistena interioar nr. Curentul debitat pe rezistena exterioar R devine

, iar diferena de poteniale la bornele receptorului

.

(2.93)

Legarea n paralel. Cnd se cere un curent i n receptor, mai mare dect curentul I0 din sursele de tensiune, atunci elementele se monteaz n paralel (fig. 2.37). Legarea n paralel se poate face numai cu elemente avnd aceleai tensiuni electromotoare i aceleai rezistene interioare; altfel, ntre diferitele elemente se produc cureni locali de circulaie (cureni de egalizare), care produc pierderi inutile de energie, chiar atunci cnd circuitul exterior al grupului este ntrerupt. Dac elementele sunt identice, tensiunea electromotoare a grupului este egal cu tensiunea electromotoare a fiecrui element, iar rezistena interioar a grupului este egal cu r/n, r fiind rezistena interioar a unui element i n - numrul elementelor n paralel. Cnd grupul debiteaz pe o rezisten exterioar R, curentul total este ;

. 13

(2.94)

Diferena de potenial la bornele receptorului este

.

(2.95)

Legarea n serie - paralel. Cnd se cere o tensiune electromotoare total ridicat, ct i un curent total mai mare dect al unei singure surse, se utilizeaz montajul mixt sau serie - paralel (fig. 2.38). Dac m este numrul de elemente legate n serie i p numrul seriilor de elemente legate n paralel, curentul total este:

, (2.96)

14

Fig. 2.37 iar tensiunea la bornele receptorului este:

Fig. 2.38

.

(2.97)

2.5. Metode de rezolvare a circuitelor de curent continuu Aceste metode se bazeaz pe teoremele lui Kirchhoff (care le pot nlocui) i realizeaz doar artificii i sistematizri care simplific calculul, prin introducerea unor necunoscute auxiliare sau prin realizarea unui calcul din aproape n aproape, care nu necesit gruparea ecuaiilor n sisteme cu un numr mare de necunoscute (aa cum se ntmpl la ecuaiile lui Kirchhoff ). Pe lng aceste metode, se pot enuna o serie de teoreme, care rezolv probleme particulare. A rezolva un circuit electric de curent continuu nseamn a determina curenii din laturi i a efectua (i a verifica) bilanul puterilor. 2.5.1. Metoda curentilor de contur (Metoda curenilor ciclici) Se folosesc B necunoscute auxiliare, cureni fictivi, numii "de contur", asociai cte unul pentru fiecare bucl. Curenii de contur, se nchid n buclele care nu se suprapun, fiecare parcurgnd toate laturile buclei respective, ndeplinind condiia ca suma lor algebric n fiecare latur, s fie egal cu curentul laturii respective. Se observ c prin exprimarea curenilor din laturi n funcie de curenii de contur se satisface prima teorem a lui Kirchhoff . n ecuaiile date de teorema a doua a lui Kirchhoff, se nlocuiesc curenii din laturi cu curenii de contur (curentul dintr-o latur reprezint suma algebric a curenilor de contur respectivi) i se obine un sistem cu B ecuaii de forma:

(2.98) Metoda curenilor de contur const n scrierea ecuaiilor curenilor de contur, n rezolvarea acestui sistem de ecuaii i n calculul curenilor din laturi n funcie de curenii de contur, astfel: 15

-

se aleg curenii de contur i sensurile lor de referin (care coincid cu sensurile de parcurgere ale buclelor respective): Ic1, Ic2,.IcB; se formeaz sistemul de ecuaii n care: Rkk este rezistena proprie a buclei k (suma rezistenelor buclei): Rkv este rezistena comun ntre bucla k i v; dac sensurile pozitive ale curenilor ciclici Ick i Icv coincid n ramura comun, Rkv are semnul plus, n caz contrar are semnul minus. Uck este suma tensiunilor electromotoare din bucla k exprimat fa de sensul de referin al curentului de contur (Ick) al buclei respective; se rezolv sistemul de ecuaii (2.98) pentru curentul Ick; se suprapun n fiecare latur curenii de contur pentru a obine curentul laturii respective.

-

-

Aplicatie. S se rezolve prin metoda curenilor ciclici reeaua din figura 2.39, n care

Fig. 2.39 Se formeaz sistemul 16

care are soluiile:

Curenii din laturi au valorile

Dac unul sau mai muli cureni din laturi ar fi avut valori negative, sensul real din laturi ar fi fost invers pentru aceti cureni. Se verific bilanul puterilor

2.5.2. Metoda superpoziiei Curentul dintr-o latur oarecare a unui circuit liniar este egal cu suma algebric a curenilor ce i-ar stabili n aceast latur fiecare tensiune electromotoare, dac celelalte tensiuni electromotoare ar fi nule (teorema superpoziiei). Teorema este o consecin a liniaritii ecuaiilor circuitelor cu rezistene constante, independente de cureni sau tensiune. Curentul din latura j se calculeaz cu relaia: , (2.99)

17

n care este conductana de transfer ntre latura k i latura j, iar este curentul din latura j produs de tensiunea electromotoare UK, celelalte tensiuni electromotoare fiind nule. Practic, se calculeaz pe rnd curenii stabilii n laturi, sub aciunea cte unei singure tensiuni electromotoare (se consider anulate celelalte tensiuni electromotoare, dar se menin nemodificate rezistenele interne ale surselor), i apoi se suprapun curenii pentru a gsi n fiecare latur curentul rezultant.

AplicatieS se rezolve prin metoda superpoziiei circuitului din fig. 2.40, n care: U1=60 V, U2=40 V, R1=10 , R2=5 , R3=15 , R4=2 , R5=4 , R6=8 . 1. Se mentine n circuit numai efectul sursei U1 care debiteaz curentul

Fig. 2.40 Se calculeaz tensiunea ntre punctele A, D (dat de sursa de tensiune U1) :

18

Rezult curentii

Din (2.99) se pot calcula conductanele de transfer:

i

.

Se determin tensiunea ntre B, C:

. Rezult curenii

i

.

Se pot calcula conductanele de transfer ntre latura 1 i latura 2:

si respectiv, ntre latura 1 si latura 5:

. Prin nlocuiri din aproape n aproape, se obtin conductantele de transfer:

19

20