Şiruri
Natura este o carte scrisă în limbaj matematic (Leonardo Da Vinci)
Definiţie
termenii șirului
indicele fiecărui
termen al şirului arată locul pe care-l
ocupă acesta în succesiune şi se numeşte rang
termenul cu indicele n se
numeşte termen general
Observație
Un şir de numere reale nu este o mulţime de numere reale!
• Într-un şir elementele se pot repeta, pe când într-o mulţime elementele sunt distincte
• Ordinea elementelor unei mulţimi nu este esenţială, pe când pentru un şir, este foarte importantă
Moduri de definire a unui şir de numere reale
Şirul lui Fibonacci
În Cartea abacului (1202), Leonardo Fibonacci propune următoarea problemă:
„Un om a pus o pereche de iepuri într-un loc înconjurat din toate părţile de un zid. Câte perechi de iepuri pot fi produse
de această pereche într-un an, dacă presupunem că fiecare
pereche dă naştere în fiecare lună la o nouă pereche, care
începând cu a doua lună începe să se reproducă?” se obţine
şirul 1,1,2,3,5,8,... în care xn+1 = xn + xn-1
Şirul lui Fibonacci 1 + 1 = 2
2 + 1 = 3
3 + 2 = 5
5 + 3 = 8
8 + 5 = 13
13 + 8 = 21
21 + 13 = 34
...
1, 1,
2,
3,
5,
8, 13, 21, 34, 55,
...,
Şirul lui Fibonacci în artă
MANZIN LAJURA – Dispută în Parlamentul ucrainian
• În muzică, șirul Fibonacci se utilizează deseori pentru realizarea
acordajelor.
• Se crede că lucrarea Muzică pentru instrumente de coarde, percuţie şi
celestă, a lui Bèla Bártok a fost structurată utilizând șirul Fibonacci.
Şirul lui Fibonacci în muzică
O altă formă de manifestare a șirului lui
Fibonacci în muzică se referă la organizarea
materialului sonor.
Raportată la numărul de semitonuri de exemplu,
această serie numerică corespunde următoarelor
intervale muzicale: 2 semitonuri – secundă
mare; 3 semitonuri – terţă mică; 5 semitonuri –
cvartă perfectă; 8 semitonuri – sextă mică; 13
semitonuri – octavă mărită; etc. Pornind de la aceste
intervale se pot realiza diverse scări muzicale sau
alte tipuri de structuri sonore care pot fi imaginate
drept o expresie muzicală a șirului lui Fibonacci.
CONCLUZIE
Şirurile apar în numeroase domenii ale vieții reale, în desen,
muzică sau în probleme de ştiinţă, pornind de la fizica clasică,
chimie, matematică, până la cele mai moderne domenii ale
cunoaşterii: sinergetica, teoria fractalilor, teoria haosului, în
calculatoarele neuronale şi automatele celulare; sunt utilizate
în generatorii pseudoaleatori de numere, precum şi în diverse
procedee şi metode de optimizare.