inele euclidiene2 (3)

8/8/2019 inele euclidiene2 (3)

1/83

Inele euclidieneLucrare grad I

Coordonator: Lector Dr. DinuTeodorescu

Prof.: Badea Vasile

2010


2/83

1

CUPRINS

Elemente fundamentale privind structurile algebrice. pg. 2

Capitolul I.INELE

1.1. Subinel. Ideal. Inel factor pg. 121.2. Idealele i inelele factor ale inelului Z pg. 191.3. Inele de frac ii pg. 221.4. Inele de polinoame pg. 241.5. Inelul claselor de resturi modulo n pg. 28

Capitolul II.PROPRIET I ARITMETICE ALE INELELOR

2.1. Divizibilitatea n inele pg. 322.2. Inele euclidiene pg. 392.3. Inele principale pg. 442.4. Inele factoriale pg. 482.5. Ideale prime i ideale maximale pg. 55

Capitolul III.METODE I TEHNICI DE NV ARE-PREDARE-EVALUARE

Unitate de inv are pg. 59Proiect didactic I pg. 63Proiect didactic II pg. 67

3.1. Strategii/moduri i tipuri de evaluare pg. 753.2. Evaluarea prin metodele cercet rii pedagogice pg. 773.3. Observa ia de evaluare pg. 773.4. Chestionarul de evaluare pg. 783.5 Analiza produselor activit ii elevilor pg. 79

Bibliografie pg. 81


3/83

2

Matematician nu este cel ce tie matematic , ci cel ce creeazmatematic Gr. C. Moisil

INTRODUCERE

Marile succese ale tehnicii, adnc p trunse n via a oamenilor, sub toateformele ei, au contribuit la recunoa terea rolului fundamental al matematicii.Oricine tie sau are cel pu in idee c aceste succese, n totalitatea lor, nu s -ar putea ob ine far matematic . Din acest motiv, interesul pentru matematic acrescut mereu i, odat cu acesta, necesitatea de informare asupra acestei tiin e.

n multe privin e, matematica este o tiin abstract i aceasta n specian ceea ce prive te modul de punere a problemelor. n timp ce un cercet tor dintr-un domeniu ca medicina, zoologia , botanica, geografia, geologia sau chiar din lingvistic , istorie i astronomie, poate sa expun unui neini iat marea partea problemelor, rezultatelor, ba chiar i a metodelor i principiilor de baz dindomeniul s u de specialitate, n a a fel nc t neini iatul sa- i poat face o idee dansamblu asupra domeniului respectiv, acest lucru este foarte greu de f cut pentru fizica i chimia contemporan i nc i mai greu pentru matematicacontemporan . Nu numai ntinderea rezultatelor a crescut mult, d ar problemelesunt a a de greu de tratat i atat de adnci, nct nici chiar un matematician nu poate avea dect o idee de ansamnblu asupra ntregii matematici.

S-a remarcat o alt descoperire a c rei fundamentare a nceputaproximativ cu 150 de ani n u rm . S-a observat de mult c anumite reguli pentru nmul irea numerelor prezint o asem nare formal cu unele reguli deadunare a numerelor. Legit i asem n toare, foarte simple, s -au observat i laalte opera ii matematice, de exemplu, compunerea mi c rilor sau a permut rilor

Mult mai trziu ns , s-a ajuns la consecin a de a deduce din aceste propriet i de baz , cu ajutorul unor procese logice, unele proprieta i noi macomplexe i mai adnci. Acest domeniu creat succesiv este ceea ce se nume teast zi teoria grupurilor. i n acest caz se poate iar i observa cum, la fel ca ngeometria euclidian , un sistem de axiome poate duce la dezvolt rile cele maicomplexe.

P r i nsemnate ale matematicii moderne, n primul rnd algebra setrateaz astazi axiomatic. Acest lucru se realizeaz astfel: fiind dat o colec iede obiecte matematice cu un sistem de axiome, adic cu unele propozi ii, caredescriu proprieta ile de baz ale acestor obiecte, s se deduc din aceste axiomeconsecin ele cele mai tari, cele mai complexe, adic s se dezvolte ct maiadnc teoria unei astfel de structuri, ob inndu-se o privire de ansamblu asupratuturor posibilita ilor de realizare ale unui astfel de sistem de axiome.

Mul imi de elemente sau obiecte pentru care oricare dou dintre acestease pot combina dupa o regul specificat i ntr -o anumit ordine, astfel nct s


4/83

3

se ob in un al treilea element, apar n mod frecvent n toate ramurilematematicii.

n algebr acestea poart numele de legi de compozi ie. Aceste legidetermin pe mul imile de numere structurile algebrice: grup, inel i corp.

Inelele joac un rol important n rezolvarea problemelor legate de mul iminzestrate cu dou opera ii binare. Exemple concrete de mul imi nzestrare cudou opera ii se ntlnesc de c tre cei care vor s studieze matematica nc din primele clase de coal . Ei discut despre suma i produsul a dou numerenaturale de i defini iile mai concrete ale opera iilor de adunare i nmul ire mul imea numerelor naturale nu le pot n elege nc . n liceu sunt nv a i defineasc corect opera iile de adunare i nmul ire n mul imea numerelontregi, ra ionale, reale, complexe, n mul imea polinoamelor cu onedeterminat , n mul imea matricilor p tratice.Asemenea exemple c oncrete demul imi nzestrate cu dou opera ii binare, pot fi studiate dintr -un punct devedere mai larg, prin introducerea no iunilor de inel i corp.

n lucrarea de fa am facut o trecere n revist a celor mai cunoscuteno iuni despre inele, realiznd o prezentare teoretic a acestora, cu accent pecele euclidiene.

3) Fie inelul Z[i] al intregilor lui Gauss. Am v zut c elementele saleinversabile sunt -1,1,-i,i. Fie 1+iZ[i], acesta este neinversabil. S ar t mc 1+i este ireductibil. S presupunem c 1+i=uv. Atunci |1+i | = |u | |v |;deci |u | |v |=2, de unde rezult c |u | =2 si |v |=1 sau invers. Deci, sau ueste asociat cu 1+i i v inversabil, sau invers. Prin urmare,1+i este element

ireductibil n Z[i].n schimb, 2 Z[i] este reductibil. El se descompune ntr-un produs deforma 2=(1+i)(1-i) , unde 1+i i 1-i sunt elemente neinversabile.

Numarul 3 este ireductibil n Z[i]. ntr-adev r dac ar fi reductibil , atunci ar exista o descompunere a sa de forma 3=uv, n care u,v sunt neinversabile.

Atunci |3 |=|u | |v |=9, de unde rezult c |u |=3 si |v |=3, deoarece am presupusu,v neinversabile. Fie u = a+bi. Atunci |u |= a + b =3. Deci |a |,|b |e1, nsasemenea numere ntregi care s verifice egalitatea nu exist . Prin urmare, un

astfel de u nu exist i, deci 3 este ireductibil n Z[i].4) Fie inelul Z[i5], unde Z[i 5 ]=. Fie u=a+bi5 , u este inversabil dac nmod necesar a + 5b =1, de unde rezult c u = +-1. A adar, pentru acest inel,elementele inversabile sunt 1 si -1. Fie elementul 3Z[i 5 ]. Elementul 3 esteireductibil, c ci dac 3 = uv, cu u,v neinversabile , rezult c |3 | =|u | |v | sau 9= |u | |v | , adic |u | =|v | =3. Dac u = a+bi5 , atunci 3 = a + 5b , ceea ce nu


5/83

4

este posibil. ns 3 nu este prim n acest inel, c ci 3/(4+i5)(4-i 5 )=21, iar 3nu divide nici unul din factori. Dac 3 ar divide, de exemplu, pe 4+i5 ,rezult c |3 | =9 ar divide | 4+i5 |=21, ceea ce nu este adev rat. Acestexemplu arat c reciproca punctului 1 al teoremei nu este ntotdeaunaadev rat , adic exist elemente care nu sunt prime. n domenii de integritate

no iunile de element prim i element ireductibil sunt n general distincte.


6/83

5

INELE

Se nume te inel o mul ime nevid A, mpreun cu dou opera iialgebrice, dintre care una se noteaz de regul aditiv, iar cealalt multiplicativ,cu urm toarele propriet i:a) A mpreun cu opera ia aditiv este grup abelian; b) A mpreun cu opera ia de nmul ire este semigrup;c) opera ia de nmul ire este distributiv fa de adunare, deci:

a (b+c) = ab + ac,(b+c) a = ba + ca

pentru orice a, b, c A.Pe o mul ime format dintr-un singur element exist o singur structur

de inel n care acel element este elementul nul i elementul unitate. Acest inelva fi numit inel nul. Un inel care con ine cel pu in dou elemente va fi numitinel nenul.

Inelul A- se nume te comutativ dac opera ia de nmul ire este comutativ ;- se nume te unitar sau inel cu element unitate dac opera ia de nmul ire

are element unitate, adic semigrupul multiplicativ este unitar.Dac 0 este elementul unitate pentru opera ia de adunare din A, atunci

avem 0a = a0 =0, pentru orice aA. ntradev r avem a0 = a(0+0) = a0+a0 ideci, adunnd la ambii membrii ai acestei rela ii pe -a0, ob inem a0 =0. Faptulc 0a = 0 se demonstreaz cu totul analog.

Un element a din inelul A se nume te divizor al lui zero la stnga ( ladreapta) dac exist b 0, bA, astfel ca ba = 0 (respectiv ab = 0 ). Rezultastfel c 0 este divizor al lui zero la stnga i la dreapta n orice inel nenul. Uninel nenul A comutativ,cu element unitate i care nu are divizori ai lui zero senume te inel integru sau domeniu de integritate. Spunem c inelul A nu aredivizori ai lui zero dac 0 este singurul divizor al lui zero n A i spunem c Aare divizori ai lui zero n caz contrar.

Dac a A i -a este opusul s u, atunci pentru orice b,cA avemc(b-a) = cb - ca i ( b-a)c = bc - ac. n particular, (-a)b = a(-b) = - (ab).ntradev r, fie b - a = d, atunci b = d + a i cb = cd + ca, adic cb - ca = cd= c(b-a). A doua rela ie se demonstreaz analog. Elementeleinversabile pentru opera ia de nmul ire din inelul (unitar) A se mai numesc iunit i ale lui A [ a se face distinc ie ntre o unitate a unui inel (elementinversabil) i elementul unitate al inelului]. Aceste elemente formeaz un grupmultiplicativ.


7/83

6

Propoz i ia I : Dac inelul unitar A este diferit de inelul nul, atunci oriceelement inversabil din A nu este divizor al lui zero, n particular este 0 i 1 0.

Demonstra ie : S presupunem c a este element inversabil n A i c arfi divizor al lui zero la dreapta. Atunci ar exista b 0 astfel ca ab = 0.nmul ind aceast rela ie cu inversul lui a, care exist , ob inem b = 0, clarcontradic ie.Defini ie: Fiind date dou inele A,B, o func ie : A B se nume temorfism (sau omomorfism) de inele dac satisface urm toarele dou propriet i:

1) (a + b) = (a) + (b), pentru orice a,bA;2) (ab) = (a) (b), pentru orice a,bA.

Prima proprietate exprim faptul c este, n particular, un morfismdegrupuri de la grupul aditiv al lui A la grupul aditiv al lui B. Deci din propriet ile morfismelor de grupuri rezult atunci c (0) = 0 (am notat cu 0elementul nul n A i B) i (-a) = - (a), pentru orice aA.

Din a doua proprietate ns nu se poate deduce c (1) = 1 (cu 1 am notatelementul unitate la nmul ire din A i B) n cazul n care A i B sunt ineleunitare. Dac aceast proprietate este ns satisf cut , se sp une c morfismul este unitar. Se verificimediat c compunerea (n sensul compunerii func iilor) a dou morfisme(unitare) de inele este nc un morfism (unitar) de inele. De asemenea, func iaidentic 1 A : A A este pentru orice inel A un morfism de inele (evident acestmorfism este unitar dac A are element unitate).

Dac A B este un morfism unitar de inele, A fiind un inel comutativ,atunci se spune c B este o A-algebr , dac pentru orice aA, b B avem

(a)b = b (a) (ultima condi ie este ntotdeauna verificat dac B estecomutativ). De obicei, atunci cnd nu se poate face nicio confuzie, pentru a A i b B produsul (a)b = b (a) se noteaz cu ab = ba. Se verificimediat c dac B este o A-algebr comutativ , iar C este o B-algebr , atunci Ceste o A-algebr prin intermediul compunerii morfismelor respective.Morfismul se nume te morfismul structural (sau de structur ) al A-algebreiB. No iunea de A-algebr este mai des utilizat n cazul n care A este corpcomutativ. O A-algebr se nume te comutativ dac B este inel comutativ.Deci, un acela i inel B poate s aib mai multe structuri de A -algebr .

Fie : A B i : A C dou A-algebre. Atunci o func ie : B C se

nume temorfism de A-algebre dac este un morfism de inele i = , adicdiagrama

B A p N ] 1 q U

Ceste comutativ . Numim endomorfism al inelului A un morfism de inele de laA la A.


8/83

7

Un morfism de inele : A B se nume te injectiv dac func ia esteinjectiv . Morfismul se nume te surjectiv dac este ofunc ie surjectiv .

Spunem c un morfism de inele : A B este izomorfism dac exist unmorfism de inele , :B A astfel nct , =1 A , , =1 B . Ca i la grupuri imul imi este adev rat urm toarea propozi ie:

Propozi ia 1.4: Un morfism de inele esteizomorfism dac i numai dac este bijectiv (adic este injectiv i surjectiv).

Demonstra ie: Dac : A B este izomorfism de inele,atunci rezult c este i un izomorfism de mul imi ( i de grupuri), deci dup cum tim este bijec ie. Reciproc, dac este morfism bijectiv, atunci el este n particular unizomorfism de grupuri, deci exist , :B A, morfism de grupuri, astfel ca ,

= 1 A i , =1 B . R mne doar s ar t m c , este chiar morfism de inele,adic satisface condi ia 2) de mai sus. Fie deci a `, b`B; trebuie s ar t m c

, ( a ` b`) = , ( a `) , (b`). Avem ( , ( a ` b`)) = a ` b` i ( , ( a `) , ( b`))

= (,

( a)) (,

( b)) = a ` b` i afirma ia rezult din faptul c este func ieinjectiv .Mul imea numerelor ntregi Z, mul imea numerelor ra ionale Q i

mul imea numerelor reale R cu opera iile de adunare i nmul ire formeaz ineAcestea sunt inele comutative cu element unitate, iar injec iile canonice Z

Q R sunt evident morfisme unitare de inele. Elementele inversabile n Zsunt 1 i -1, iar n Q i R toate elementele nenule.

n inelul Z dac consider m subgrupul nZ ale grupului aditiv al lui Z,unde n Z,atunci este clar c , considernd pe acest subgrup i opera ia denmul ire, avem pe nZ o structur de inel comutativ care nu are element unitate

dac n 1 i n 0, adic nZ Z i nZ (0). Inelele nZ pentru oricen Z, n >1, sunt evident f r divizori ai lui 0; injec iile canonice nZ Z suntmorfisme de inele.

Fie A i B dou inele. Atunci considerndu-le cu structura lor de grupuriabeliene, putem construi produsul lor direct Av B, care este, de asemenea,ungrup abelian. Putem ns introduce pe Av B o structur de inel dedus dinstructurile de inele ale lui A i B n modul urm tor: definim pe Av Burm toarea opera ie de nmul ire ( a , b) ( a `, b`) = (a a `,b b`) pentru a, a ` A i b, b` B. Se verific imediat c , cu aceste dou opera ii algebrice, Av B formeaz inel (verificarea distributivit ii nmul irii fa de adunare estimediat ,ea se face pe componente). Evident, dac A i B sunt inelecomutative i produsul lor direct este un inel comutativ, iar dac A i B suntunitare i not m elementul unitate ci 1 n ambele inele, atunci elementul (1, -1)este unitate n produsul direct A B. Dac inelele A i B sunt nenuleatunci produsul lor direct A B este un inel cu divizori ai lui zero. ntradev r, dac a A, a 0, bB, b 0, atunci (a,0) (0,b) = (0,0). n particular, inelul Z Z aredivizori ai lui zero.


9/83

8

Aplica iile canonicei1: A A B, i2 : B A B

p1: A B A, p2 : A B Bdefinite prin i1 (a) = (a,0), i2 (b) = (0,b), p1(a,b) = a, p2 (a,b) = b pentrua A, b B sunt morfisme de inele, p1 i p2 sunt morfisme surjective

unitare dac inelele A i B sunt inele unitare, pe cnd i1, i2 nu sunt morfismeunitare pentru A i B inele unitare nenule, ele sunt ns injective.Fie M o mul ime i R un inel. Pe mul imea R M a func iilor de M la R se poate introduce o structur de inel, indus de structura de inel a lui R, definindopera iile algebrice astfel:dac f, g R M

(f+g)(a) = f(a) + g(a), pentru orice aR.(fg) (a) = f(a)g(a)

Este evident c dac R este inel comutativ, i inelul R M este comutativ.Aplica ia canonic

: R R M

, definit prin (a)(m) = a, pentru orice mM, a R, este un morfism injectivde inele, care este unitar dac R are element unitate i este izomorfism dac Meste constituit dintr-un singur element.

Dac { R i }, i I, este o familie de inele, atunci putem defini pe produsuldirect al grupurilor R i o structur de inel definind produsul pe componente;adic , pentru f, g R =

I i

Ri

definim fg = h, unde h(i) = f(i) g(i), pentru orice iI. Folosind nota iile dinaliniatul precedent, rezult R M =

M i

Ri , unde R i R.

Fie R un inel, M = {1,.....,m}, N = {1,....,n} mul imea primelor m, respectivn numere naturale nenule. Consider m mul imea func iilor de la MN cuvalori n R, notat R N M v . Pe aceast mul ime se poate introduce o opera iealgebric indus de opera ia algebric de adunare a lui R, mpreun cu careaceast mul ime formeaz grup. Fie AR N M v , atunci punnd A(i,j) = aij R,i M, j N putem s not m pe A ca un tablou de forma

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

... ... ... ... ...

... ...

21

22221

11211

care se nume te de obicei matrice cu elemente din inelul R, mai precis, matricecu m linii i n coloane cu elemente din inelul R. Importan a faptului c seconsider matrice cu elemente dintr -un inel const n aceea c ntre anumitematrice se poate da o compunere numit produsul matricelor. Anume, dac A


10/83

9

RMX

i B R N

P , unde P = {1, 2, ...,p} atunci cuplului A, B i se ata eaz omatrice C R MX P , astfel: fie

A = ( ija ) min j

ee

ee

1

1

, B = ( jk b ) n j pk

ee

ee

1

1

atunci C =(c ik ) mi pk

ee

ee

1

1

are elementele definite astfel:c ik = !

m

l 1

aijbjk. A adar, pentru a ob ine

elementuldin matricea C de pe linia i i coloana k se face suma produselor elementelor corespunz toare de pe linia i a matricei A cu cele de pe coloana j a matricei B.De aceea se spune uneori c se nmul esc liniile cu coloanele .

Se scrie C = AB.Compunerea matricelor nu este o opera ie algebric definit pe mul imea

tuturor matricelor; ea este asem n toare compu nerii func iilor, compuneriimorfismelor de grupuri sau inele etc. Vom vedea ulterior leg tura strns careexist ntre nmul irea matricelor i morfismele de module.

Vom nota cu Mmxn(R) mul imea tuturor matricelor cu m linii i n co-loane cu elemente din inelul R i vom considera pe aceast mul ime opera iadedus din opera ia de adunare pe R cu care formeaz grup comutativ (notataditiv).

nmul irea matricelor are urm toarele propriet i:a) Dac A = (ija ) i

n j

ee

ee

1

1

, B = ( jk b ) n j pk

ee

ee

1

1

, C=(c k l ) phql

ee

ee

1

1

atunci(1) (AB) C = A(BC),deci o proprietate de asociativitate. Se observ mai nti c n (1) produsele sunt

definite. S demonstr m acum egalitatea (1).FieAB = ( ik d )

mi

pn

ee

ee

1

1, atunci ik d =

!

m

j 1ija jk b i (AB)C = (eil ) mi

ql

ee

ee

1

1

unde

il e' = !

p

k 1 ik d c k l =

!

p

k 1( ba jk

n

jij

! 1)c k l =

!

p

k 1ba jk

n

jij

! 1c k l .

Fie:BC = ( jl d ' ) n j

ql

ee

ee

1

1

, atunci jl d ' =!

p

k 1 jk b k l c

i dac A(BC) = ('e il ), atunci'e il =

!

n

j 1ija jl d ' =

!

n

j 1 ija

!

p

k 1 jk b k l c =

!

n

j 1

!

p

k 1ija jk b k l c ,

ceea ce demonstreaz egalitatea (1). b) Dac A = (ija ) mi

n j

ee

ee

1

1

, B = ( jk b ) pk n j

eeee

11 , C = ( jk c ) n j

pk

ee

ee

1

1

,


11/83

10

atunci A(B + C) = AB + AC.n adev r, dac

A(B + C) = (ijd ) mi pk

ee

ee

1

1

, atunci ik d =!

n

j 1 ija ( jk b + jk c ).

Dac AB + AC = (ik d ' ), atunci ik d ' =!

n

j 1ija jk b +

!

n

j 1ija jk c

i egalitatea cerut rezult din distributivitatea nmul irii fa de adunare ninelul R.Analog, dac

A=( ija ) min j

ee

ee

1

1

, B =( ijb ) min j

ee

ee

1

1

, C =( jk c ) n j pk

ee

ee

1

1

,

atunci(A + B)C = AC + BC.

Este evident, de asemenea, c dac A este matricea din Mmxn(R) cu toateelementele nule (deci elementul nul al grupului aditiv), atunci pentru oricematrice B Mnxp(R) avem AB = A0 . Dac B este elementul nul al.grupului Mnxp(R) iar A o matrice oarecare din Mmxn(R) atunci AB = A0,unde A0 este elementul nul al grupului Mmx p(R).

Dac se consider grupul matricelor Mmxm(R) pe care l vom nota cuMm(R), atunci opera ia de compunere definit mai sus induce pe Mm(R) oopera ie algebric notat multiplicativ i Mm(R) mpreun cu opera ia dadunare i nmul ire astfel definit formeaz un inel, numit inelul matricelor p trate de ordinul m. Acest lucru rezult imediat din propriet ile pro dusului dematrice, demonstrate mai sus. Dac inelul A are element unitate, atuncimatricea

E = (i

j ) Mm(R),cu i

j ={ jda c a jda c a

{

!

,0

,1

este element unitate n acest inel, dup cum se verific cu u urin (func ia i j definit mai sus se nume te simbolul lui Kronecker, uneori se scrie ij ).Matricea E are forma

E =

1 0 ..... 0 0... ... ... ... 0 .... 0 1 00 .... 0 0 1

Inelul M 1(R) este evident izomorf cu R prin morfismul care asociazelementului a R matricea cu o singur linie i coloan (a ).

Dac R este inel cu element unitate diferit de 0, atunci inelul Mm(R) nueste comutativ pentru m > 0. Vom demonstra acest lucru pentru m = 2, pentrum > 2 demonstra ia se face analog. Fie


12/83

11

A =

0 1 0 1 i B =

0 0 1 1 ,

atunci AB =

1 1 1 1 i BA =

0 0 0 2 ,

deci AB { BA.

n acelea i condi ii Mm (R) are divizori ai lui zero. Vom ar ta acestlucru pentru matricele de ordinul 2. Se observ c :

0 0 0 1

1 0 0 0 =

0 0 0 0 ,

Func ia : R Mm(R), definit prin (a) = (i j a) este un morfismunitar de inele. n adev r, este clar c p streaz sumele i duce elementulunitate n elementul unitate. S ar t m c p streaza i produsele. Fie a,bR,atunci (ab) =(i j ab) , iar (a) (b) =(cij) unde cij

=!

m

k 1

( ik a) ( k j b)= ( i j ab) .

De asemenea se verific imediat c , dac R este inel comutativ, (a)A =A (a), unde aR , A Mm(R) i deci n acest caz Mm(R) are o structurde R- algebr .

Pentru a R i A = (aij ) o matrice din Mm(R), avem c(a)A = (aaij ) i se noteaz aceast matrice cu aA. Analog, R (a ) se

noteaz cu Aa. Aceast conven ie de nota ie se obi nuie te ntotdeaun pentru un morfism de inele i generalizeaz conven ia f cut pentru R -algebreR fiind n acel caz inel comutativ.

Orice inel R cu element unitate are o unic structur de Z -algebr , adic

exist un singur morfism unitar de inele : Z R. n adev r, dac (1) =1,atunci n mod necesar (n) = 1+ ...... + 1 = n 1 (de n ori) pentru n > 0 i(n) = (1+ ..... +1) = n 1 (de n ori) pentru n< 0 i astfel este complet

definit i se observ c este morfism de inele (adic p streaz i produsele).Fie R un inel care nu are element unitate. Atunci lui i putem asocia un

inel unitar n modul urm tor: consider m produsul direct al grupurilor aditive ZX R pe care introducem urm toarea opera ie de nmul ire:

(n, a )(n' , a') = (nn', na' + an' + aa').Se verific imediat c aceast nmul ire este asociativ i distributiv fa

de adunare. Deci Z x R formeaz un inel. Acest inel are ca element unitate

elementul (1,0) i dac R este comutativ inelul Z xR este comutat iv.Func ia : R Z X R, defin it pr in (a) = (0, a), este evident unmorfism de inele, deci A se poate identifica cu un subinel al lui ZxR.

Folosind propriet ile de mai sus, se poate constata c multe propriet iale inelului R se pot ob ine din propriet i corespunz toare ale inelului cuelement unitate ZxR asociat lui R.


13/83

12

2. Subinel, ideal i inel f actor

D efini ia 2.1. O submul ime nevid A' a inelului A se nume te subinelal inelului A dac opera iile algebrice de pe A induc pe A' opera ii algebricempreun cu care A' formeaz un inel.

A adar, A' trebuie s fie n particular subgrup al grupului aditiv al lui A,ceea ce este echivalent dup cte tim de la grupuri cu:1)Oricare ar fi a,bA', rezult a b A'.Apoi trebuie ca opera ia de nmul ire pe A s induc pe A' o opera ie algebricceea ce este echivalent cu:

2)Oricare ar fi a,b A' , rezult abA'.Prin urmare, condi iile 1) i 2) sunt necesare ca A' s fie subinel al lui A. Elesunt ns i suficiente. n adev r, dac ele snt verificate, A' este subgrup algrupului aditiv al lui A, dup cum rezult din 1). Mai r mne s ar t m copera ia de nmul ire pe A' este asociativ , ceea ce rezult din faptul c operade nmul ire pe A este asociativ , i c aceast opera ie este distributiv faadunare, ceea ce rezult din faptul c opera ia de nmul ire n A este distributivfa de adunare. De obicei, n cazul inelelor cu unitate, se consider ndeosebisubinele care con in elementul unitate.

Propoz i ia 2.1. O intersec ie de subinele (unitare,) ale unui inel esteun subinel (unitar).Demonstra ie. Fie {Bi} i I o familie de subinele ale inelului A i B =+

I i

i

. Dac a,bB, atunci a,b Bi pentru to i iI, deci a b Bi i ab Bi pentru orice i I, fiindc B i sunt subinele. De aici rezult c a b+

I i

Bi

=B i ab + I i

Bi = B, adic B este subinel. Este clar c dac 1Bi pentru to i

i I, adic Bi sunt subinele unitare, atunci 1B ; deci B este subinel unitar.D efini ia 2.3. Fie A un inel. O submul ime I a lui A se nume te ideal

stng (respectiv drept) sau ideal la stnga (respectiv la dreapta) dac I esteun subgrup al grupului aditiv al lui A, adic :

3)Oricare ar fi a ,bI, rezult a b I i n plus4)Oricare ar fi a I iE A, rezult E a I (respectiv aE I).

I se nume te ideal bilateral dac este ideal la stnga i la dreapta.. Din aceastdefini ie rezult imediat c orice ideal stng sau drept al inelului A este unsubinel al lui A.De asemenea, dac inelul A este comutativ, no iunile de ideal stng, ideal drepti bilateral coincid. De aceea, n acest caz se folose te denumirea de ideal alinelului A. n orice inel submul imea format din elementul nul, notat cu (0) ntreg inelul sunt ideale bilaterale.

n continuare, dac nu vom specifica altfel, prin inel vom n elege un inelunitar,iar prin subinel un subinel unitar. De asemenea, toate morfismele de inelevor fi considerate unitare, dac nu se specific altfel. Unele dintre propriet i por mne ns valabile i pentru inele,subinele i morfisme care nu sunt unitare.


14/83

13

Propoz i ia 2.4. Fie f: A B un morfism de inele.Atunci:i)Dac A' este un subinel n A, atunci f (A') este subinel n B. n

particular, Im f este subinel n B.ii)Dac B' este subinel al lui B, atuncif

1(B') este subinel n A.iii)Dac J este ideal stng (drept, bilateral) n B, atuncif

1(J) este

ideal stng (drept, bilateral) n A. n particular, Ker f este ideal bilateral nA. iv)Dac n plus f este morfism surjectiv i I este ideal stng(drept,bilateral) n A, atunci f( I) est e i de al st n g(drept,bilateral) n B.Aplica ia care asociaz unui ideal stng(drept,bilateral) J din B idealulstng(drept,bilateral) f

1(J) din A este un izomorfism de mul imiordonate(cu incluziunea) ntre idealele stngi (drepte,bilaterale) ale lui B

i idealele stngi (drepte,bilaterale) ale lui A care con in pe Ker f.Demonstra ie. i) Deoarece orice morfism de inele este i morfism

pentru grupurile aditive respective, rezult c f (A') este subgrup al grupuluiaditiv al lui B. FieE , f (A') .Exist atunci a,bA' astfel ca f (a)=E

i f (b )= . Atunci, din faptul c a,bA' i f (ab )= f (a) f (b ),rezult c E , f (A') .Mai observ m c elementul unitate din B apar inelui f (A'), deci acesta este subinel n B.ii) Faptul c f

1(B') este subgrup al grupului aditiv al lui A rezult dinafirma ia corespunz toare demonstrat la grupuri. Este,de asemenea,evident c 1 f

1(B'). Fie a ,b f 1(B'), atunci f (ab)= f (a) f (b)B', deci

a,b f 1(B'). iii) Ca i mai sus rezult c

f 1(J) este subgrup n A. Presupunem c J este ideal stng. Fie a f

1(J) i

A, atunci f (E a)= f (E ) f (a) J. Deci E a f 1

(J) . Pentru J idealdrept sau bilateral demonstra ia este analoag . A doua afirma ie rezultdin faptul c (0) este ideal bilateral n B.iv) Ca i n iii), demonstr m afirma ia pentru I ideal stng i r mne sar t m c dac af (I) iE B avem c E a f (I). Din faptul c f estesurjectiv rezult c exist aI iE A astfel ca f(a )= a i f(E )= E .Dar I fiind ideal stng, avemE a I. Deci f(E a)= f(E ) f(a) f(I), prinurmare E a f (I).

A doua afirma ie se demonstreaz analog cu corolarul II,2.7. Se observc aplica ia considerat este morfism de mul imi ordonate iar inversa ei esteaplica ia care asociaz unui ideal I al lui A, care con ine pe Ker f, pe f(I) care este de asemenea morfism de mul imi ordonate. Fie A uninel i {Ji}, i I, o familie de ideale stngi(drepte,bilaterale) n A. Atunci J =+

I i

Ji este un ideal stng (drept,bilateral) n A. n adev r, tim c o intersec ie de

subgrupuri ale unui grup este un subgrup al acestuia, deci J este un subgrup algrupului aditiv al lui A. S presupunem c Ji sunt ideale stngi a le lu iA(cazul n care Ji sunt ideale drepte sau bilaterale se demonstreaz cu totul


15/83

14

analog). FieE A i a J. Atunci a J i ,pentru orice iI, deci, Ji fiind idealstng, rezult E a Ji pentru orice iI,adic E a +

I ii J =J.

D efini ia 2.5. Fie A un inel unitar i M o submul ime a lui A. Prin idealsting (drept, bilateral) generat de mul imea M se n elege intersec ia tuturoridealelor stngi (drepte, bilaterale) care con in mul imea M. Mul imea vidgenereaz idealul (0). Un ideal stng (drept, bilateral) al inelului A se nume tede tip finit sau finit generat dac exist o mul ime finit de elemente din I caregenereaza pe I. n cazul n care exist un singur element care genereaz pe I sespune ca I este ideal stng (drept, bilateral) principal.

Propoz i ia 2.6. Fie A un inel, M o submul ime a lui A i I un idealstng(bilateral) al lui A. Atunci urm toarele afirma ii sunt echivalente:

a) I este generat de mul imea M. b) IM i pentru orice ideal stng(bilateral) J n A din JM

rezult J I.

c) I este mul imea tuturor sumelor finite de forma(1) x =

!

n

i 1E ixi cu E i A, xi M

(respectiv x =!

n

i 1E iii x F , E ii F A, i x M) pentru orice n 0 ntreg.

O afirma ie analoag este adev rat i pentru I ideal drept.Demonstra ie. Vom demonstra afirma ia pentru cazul n care I este ideal

stng, n celelalte cazuri demonstra ia se face la fel. Echivalen a dintre a) i b)este evident . ' '

Fie I' mul imea sumelor finite de forma (1). Atunci evident diferen a adou sume de acest tip este tot o sum de acest tip i nmul ind la stnga o sumde acest fel cu un element din A se ob ine un alt element din I', adic I' esteideal stng i evident con ine pe M. Din b) rezult c I'I. Pe de alt parte,deoarece I M i este ideal stng, rezult c II',deci I= I i s-a demonstratastfel c afirma iile b) i c) sunt echivalente.

Fie I i J ideale stngi (drepte, bilaterale) ale inelului A. Atunci prinsuma acestor ideale vom n elege idealul stng (drept, bilateral) generat dereuniunea submul imilor I i J ale lui A i se noteaz cu I+ J. Din propozi i precedent rezult c I + JI, I + J J i c I + J este mul imea ele-mentelor din A care se scriu sub forma x = a + b, unde aI i b J, adic I +J coincide cu subgrupul grupului aditiv al lui A, generat de subgrupurile I i J.

Dac consider m mul imea idealelor stngi (drepte, bilaterale) ale ineluluiA, cu ordonarea dat de incluziune (adic ordonarea indus de cea a mul imiisubmul imilor lui A), din cele demonstrate mai sus rezult c aceast mul imeordonat este o latice, cele dou opera ii fiind intersec ia i suma. Mai rezulttotodat c aceste latice sunt sublatice ale laticii subgrupurilor grupului aditiv


16/83

15

A. Din cele de mai sus rezult c laticea idealelor stngi (respectiv drepte, bilaterale), este complet , c ci exist i suma unei familii oarecare de idealestngi (drepte, bilaterale), ea este egal cu idealul generat de reuniunea acestor ideale stngi (respectiv drepte, bilaterale).

Pe mul imea idealelor stngi (drepte, bilaterale) mai introducem o opera -ie algebric , numit produsul idealelor n modul urm tor: dac I i J sun

dou ideale stngi (drepte, bilaterale), atunci produsul lor IJ se define te cafiind idealul stng (drept, bilateral) generat de submul imea lui A format dintoate elementele de forma x = ab, cu aI i b J. Din propozi ia precedent rezult c IJ este mul imea tuturor elementelor x din A deforma x =

!

n

i 1aibj,pentru n 0

num r ntreg ntreg convenabil iia I, ib J.Se verific imediat c , datorit asociativit ii nmul irii din A, nmul ire

idealelor stngi (drepte, bilaterale) este o opera ie asociativ , iar dac inelul Aeste comutativ, aceast opera ie este i ea comutativ . A adar, mul imeaidealelor stngi(drepte, bilaterale) mpreun cu produsul idealelor formeaz unsemigrup, care este unitar dac inelul este unitar, elementul unitate fiind n acestcaz ntreg inelul. Acest semigrup este evident comutativ dac ine lul estecomutativ. Dac I i J sunt ideale stngi (drepte, bilaterale) ale inelului A, generate respectiv de mul imile M i N, atunci I +Jeste generat de M7 N, iar IJ este generat de mul imea produselor deforma xy, unde xM i y N, dupcum rezult imediat din defini ia sumei i a produsului de ideale. De aicirezult , n particular,c suma i produsul a dou ideale stngi(drepte, bilaterale) de tip finit este un ideal de tip finit.

Dac A este un inelcomutativ unitar i {xi }i I este o submul ime de elemente din A vom nota

cu (xi), i I sau I i

x i A sau nc I i

Ax i idealul generat de aceast

mul ime. n particular,idealul generat de un element xA se va nota cu (x ),xA sau Ax.

n orice inel A idealul (0) i ntreg inelul A sunt ideale principale; (0)este generat de elementul 0, iar A este generat de orice element inversabil.

Dac f : A B este un morfism de inele, atunci este clar c f este

injectiv dac i numai dac Ker f = (0), dup cum am v zut pentru grupuri ( ffiind i morfism de grupuri pentru structurile de grup aditiv ale lui A iB).Morfismul f este surjectiv dac i numai dac I m f = B. Dac Ker f =0, adic f este injectiv, din propozi ia 2.4 rezult c A este izomorf cu I m f i deci A poate fi identificat cu imaginea sa n B, adic putem considera pe A ca un subinel al lui B, ceea ce se face de obicei. Reciproc, dac A


17/83

16

este un subinel al lui B, atunci injec ia canonic A B este evident unmorfism injectiv de inele.

Vom introduce o alt no iune important n teoria inelelor, care se ob ine prin dualizarea observa iei precedente, adic vom numi inel factor (sau ct) alinelului A un inel A' mpreun cu morfism surjectiv de inele p: A A'.Morfismul surjectiv p se nume te morfismul canonic sau surjec iacanonic . S observ m c dac A este inel comutativ orice inel factor A'al s u este nc comutativ. n adev r,fieE , A'; atunci, din faptul c peste morfism surjectiv, rezult c exist a ,bA astfel ca p(a) =E , p(b) =

, unde p: A A' este morfismul canonic. Atunci din rela iaE = p(a) p(b) = p(ab) = p(ba) = p(b) p(a) = E verificat datorit faptului c A esteinel comutativ, rezult afirma ia de mai sus. n mod analog, dac A este inelunitar, atunci i A' este inel unitar, iar morfismul canonic p este unitar.Pentru a ar ta acest lucru,este suficient s ar t m c dac 1 esteelementul unitate din A, atunci p(1) este element unitate n A'. FieE A'.Atunci,dac aA este astfel c p(a) =E , avem p(1)= p(1) p(a) = p(1a) = p(a) =E .De asemenea, trebuie s men ion m c dac A' este inel factor al inelui A,atunci re innd doar structurile de grupuri aditive ale lui A i A', se vede c A'este grup factor al lui A. La fel, n acest caz, A' este i o mul ime factor amul imii A. Dac A' este un inel factor al lui A de morfism canonic p:A A', atunci vom nota acest lucru i prin (A',p) punnd astfel neviden i morfismul canonic.

Propoz i ia 2.7. (Proprietatea de universalitate a inelelor factor). Fie p: A A' un inel factor al inelului A i : A B un morfism de inele.

i) Exist un morfism de inele u: A' B astfel ca up = , adicastfel nct diagramaA p P A'

u B

s fie comutativ dac i numai dac Ker Ker p. n cazul n care uexist , el este unic.

ii)Dac exist morfismul de inele u cu proprietatea din i), atunci ueste surjectiv dac i numai dac este surjectiv, adic (B, ) este i elinel factor al lui A.

iii)Dac exist morfismul de inele u cu proprietatea din i), atunci ueste injectiv dac i numai dac Ker p = Ker .

Demonstra ie. Folosind propozi ia II.3.5, este suficient s ar t m c dacexist morfismul de grupuri u, atunci le este morfism de inele. FieE A' ia,b A astfel ca p(a) =E i p(b) = . Atunci:pu(E ) = u(p(a)p(b)) = (up)(ab) = (ab) = (a) (b) = (up)(a)(up)(b) = u(E )u( )


18/83

17

C orol arul 2.8. Fie (A', p') i (A", p"), dou inele factor ale ineluluiA. Atunci exist un izomorfism de inele u: A' A", astfel ca up' = p"dac i numai dac Ker p' = Ker p".

Te or ema 2.9. Fie A un inel i I un ideal bilateral al lui A. Atunciexist un inel A' i un morfism surjectiv de inele : A A' astfel nctKer = I.

Demonstra ie. Consider m pe A ca grup aditiv. Atunci I este subgrup allui A i consider m grupul factor A' = AI, iar : A A' morfismul canonicde grupuri, care tim (cap. II, 3) c are proprietatea Ker = I. Vom ar ta c pe A' putem introduce o structur de inel astfel ca s fie morfism de inele. nadev r, fieE , A' i fie aE i b . Deci E = a + I, =b + I,atunci definimE = ab + I. Clasa produsului nu depinde de elementele a i balese n clasele respective. C ci dac a' a (mod I) i b' b (mod I), atunci a'= a + c, b' = b + d, cu c, dI, deci a' b' = ab + cb + ad + cd i, deoareceI este ideal bilateral n A, cb + ad+ cdI, deci a' b' ab (mod I). Aceastopera ie este asociativ pe A', deoarece opera ia de nmul ire pe A esteasociativ , are element unitate dac A are element unitate i este distributivfa de adunarea pe A', deoarece nmul irea pe A este, distributiv fa deadunare. Avem, de asemenea:

(ab) = ab+ I, iar (a) (b) = (a + I)(b + I) = ab +1 pentru orice a,b A, deci este morfism de inele. Inelul construit n teorema precedent se nume te inelul factor (cit) a lui A n raport cu idealul bilateral I

i se noteaz prin AI sau I

.C orol a rul 2.10. Dac f: A B este un morfism de inele, atunci

exist un izomorfism canonic:

A/Ker f ~ Im f . Demonstra ie . Fie f: A Im f morfismul deinele dedus din f prin restrngerea codomeniului.Se observ imediatc f este surjectiv i c Ker f= Ker f,adic Im f este un inel factor allui A n raport cu Ker f i din corolarul2.8 rezult afirma ia.larul 2.8 rezult afirma ia. Corolarul 2.11. Fie A un inel i IJ dou ideale bilaterale ale sale. Atunci exist un izomorfism canonic de inele:

A|I

: A|JJ|I

Demonstra ia este analoag demonstra iei corolarului .3.10, folosind propozi ia 2. 7 i corolarul 2.10, sau se deduce direct din corolaruL.3.10demonstrnd c n acest caz este izomorfism de inele. Din cele de mai susrezult c subinelul, idealul bilateral i inelul factor n teoria inelelor sunt


19/83

18

no iuni analoage celor de subgrup, subgrup normal, grup factor n teoriagrupurilor.

Propoz itia 2. 12 .Fie A un inel unitar i I un ideal stng (drept sau bilateral). Atunci I=A dac i numai dac I con ine un element inversabil dinA.

Demonstra ie. Dac I=A, atunci evident I con ine orice elementinversabil din A. Reciproc, s presupunem c I este ideal stng i con ine unelement inversabil u. Deci exist u1 A astfel ca u u1 = u 1 u = 1.Atunciavem u 1 u = 1 I (deoarece uI ), deci pentru orice element aA avem a =a 1 I .E Fie A un inel unitar nenul i M = A M m inelul matricelor p trate deordinul m>1. Dup cum tim, M este un inel necomutativ. Vom de unexemplu de ideal stng n acest inel care nu este i ideal drept. Fie I mul imeamatricelor din M ale c ror elemente de pe prima coloan sunt toate egale cu 0.Se verific imediat c I este un ideal stng n M. I nu este ideal drept pentruc :

0 ... 0 0... ... ... 0 ... 0 01 ... 0 0

0 ... 0 1. . .... .....

0 ... 0 00 ... 0 0

=

0 ... 0 0.. ... ... 0 ... 0 00 ... 0 1

Evident prin schimbarea liniilor cu coloanele se ob ine un ideal drept alinelului M, care nu este un ideal stng.

Propoz i ia 2.13. Fie A (0) inel unitar, comutativ i finit i aA.Atunci a este sau divizor al lui zero sau element inversabil.

Demonstra ie. Consider m func ia f: Ap A, definit prin f(b) = ab pentru orice bA. Dac a nu este divizor al lui zero, atunci f este injectiv ,c ci din ab = ab' rezult b= b'. A fiind ns mul ime finit , rezult c f este i func ie surjectiv , deci exist a'A astfel ca f(a') = 1, deci aa' = 1 ia este inversabil n A.

C orol a rul 2.14. Un inel integru finit are toate elementele nenuleinversabile.


20/83

19

3. I dealele i inelele f actor ale inelului Z.

Deoarece orice ideal este subgrup al grupului aditiv al inelului, rezult cidealele lui Z sunt printre subgrupurile grupului aditiv al lui Z, care, dup cum

tim, sunt de forma n Z, cu n 0. Se observ ns c subgrupurile n Z alelui Z sunt toate ideale ale lui Z, deci idealele lui Z coincid cu subgrupurilegrupului aditiv al lui Z i sunt toate ideale principale.Suma a dou ideale n Z i m Z este idealul generat de cel mai mare divizor comun al numerelor m i n pe care l not m cu (n, m). n adev r, dac nZ +mZ = qZ, q 0, atunci din faptul c nqZ i m qZ rezult c q divide pen, respectiv m, adic q divide pe (n, m). Pe de alt parte, rezult c q = ns +mt, s,t Z, deci orice divizor comun al lui n i m divide i pe q. A adar, (n,m) divide pe q, de unde rezult egalitatea cerut . n mod ana log se arat c nZ

mZ = [n, m]Z, unde am notat cu [n, m] cel mai mic multiplu comun alnumerelor n i m. De asemenea, rezult c produsul idealelor nZ i mZ estegenerat de produsul nm. Reamintim c dou numere ntregi n, m se numesc prime ntre ele (sau relativ prime) dac 1 este cel mai mare divizor comun allor.Din cele de mai sus rezult c inelele factor ale lui Z sunt de forma:

Zn = Z/nZ.Acestea sunt inele comutative cu element unitate i Zn are n elemente

pentru n > 0. Pentru n = 0, Z 0 este izomorf cu Z.Vom demonstra cteva propriet i ale inelelor Zn precum i cteva aplica ii aleacestora.

Propoz i ia 3.1. n inelul Zn, n > 1, un elementE este inversabil dac inumai dac exist aZ, a relativ prim cu n, astfel nct p(a) =E , unde p : Zp Zn este surjec ia canonic . n particular, dac n este prim, orice elementnenul din Zn este inversabil.Demonstra ie. A doua afirma ie a propozi iei rezult din prima. Pentru ademonstra prima afirma ie vom observa c dac aZ i are proprietatea ceste relativ prim cu n , adic (a, n) = 1, atunci, pentru orice a'Z, cu a' amod n, avem de asemenea (a ' ,n) = 1. n adev r, dac un num r divide pe a '

i n atunci el divide pe a, c ci acesta are forma a '+ kn, cu k Z .Dac a esteun reprezentant al luiE i (a, n) = 1, atunci, dup cum am observat mai sus,exist b, c Z astfel nct ab + nc = 1. Trecnd aceast rela ie n Zn, se ob inec E p(b) = 1, deci p(b) este inversul luiE . Reciproc s presupunem cE Zneste inversabil, deci exist Zn astfel nct E = 1.Dac , a, bZ suntastfel nct p(a) =E , p(b) = , atunci rezult c ab 1 mod n,de unde rezultc (a, n) = 1.

Propoz i ia 3.2. Fie m,n > 1 numere ntregi, prime ntre ele. Atunciinelul Znv Zm este izomorf cu Zmn.


21/83

20

Demonstra ie. Fie pm : Zp Zm,pn : Zp Zn, pmn : Zp Zmn,surjec iile canonice i p : Zp Zm v Zn aplica ia definit prin p( a )=( pm( a ), pn( a)). Aplica ia p este un morfism de inele, dup cum se verific cuu urin , iar Ker p = mn Z .n adev r, mn ZKer p.Fie x Ker p. Atunci pm(v ) = 0 i pn(v ) = 0, deci v se divide cu m i cu n

i cum (m,n) = 1 rezult c x se divide cu produsul mn , adicv mn Z iKer p mn Z . Din propozi ia 2.7 rezult c exist un morfism injectiv deinele p : Zmnp Zm x Zn i.deoarece inelele Zmn i Zm x Zn au acela inum r de elemente. rezult c p este i surjectiv.

Fie Np N func ia definit prin:(0) = 0, (1) = 1 i (n) = num rul numerelor naturale nenule, prime cu n i

mai mici dect n, pentru n > 1 . Aplica ia se nume te func ia lui Euler sauindicatorul lui Euler. Din propozi ia 3.1 rezult c Zn coincide cu num rulelementelor inversabile din inelul Zn, dac n 1.

Propoz i ia 3.4. Dac m i n sunt numere naturale prime ntre ele, atunci(mn) = (m) (n).Demonstra ie. Dac unul din numerele m, n este nul,afirma ia este

evident . n caz contrar, (mn) coincide cu num rul elementelor inversabile dininelul Zm x Zn dup cum rezult din propozi ia precedent . Acum afirma ia propozi iei rezult din lema care urmeaz i a c rei demonstra ie este imediat .

Lema 3.5. Fie A i B dou inele unitare. Not m cu A*, B* i (AxB )*respectiv, grupul multiplicativ al elementelor inversa bile din A, B i AxB.Atunci exist egalitatea (AxB )* = A* x B*.

Propoz i ia 3.6. Fie n > 1 un num r ntreg i n = 11n p 22

n p ....... r nr p

descompunerea sa n produs de numere prime, unde1 p , 2 p ,....... r p suntnumere prime distincte. Atunci (n) = ( 1 -

1

1 p

) ( 1 -2

1 p

)

........... ( 1 -r p

1 ).

Demonstra ie Din propozi ia 3.4 rezult c (n) = (11n p ) ( 22

n p )...... ( r nr p )

Atunci este suficient s ar t m c (11n p ) 1! niinii p p , ceea ce rezult din

faptul c numerele naturale mai mici dect nii p i care se divid cui p sunt nnum r de 1ini p , anume 0, i p ,2 i p ,....,( i p -1) i p , 2i p ,...,( 1ini p ) i p .

Propoz i ia 3.7 ( Teorema lui Euler). Dac a i n>0 sunt numerentregi prime ntre ele, atunci

.mod1)( na n |N


22/83

21

Demonstra ie. Deoarece grupul multiplicativ al elementelor inversabiledin n Z are ordinul )(nN , iar clasa a lui a apar ine acestui grup, rezultc )(n N = , rela ie care este echivalent cu afirma ia propozi iei.

Pentru n num r prim, avem (n)=n-1 i se ob ine din propozi ia precedent urm torul corolar cunoscut sub numele de Teorema lui Fermat saumica teorem a lui Fermat.

C orol arul 3.8 Dac p>1 este un num r ntreg prim i a un ntreg carenu se divide cu p ,atunci .mod11 pa p |


23/83

22

4. Ine l e de frac ii

O no ine i ort nt n teori structurilor al ebrice, n particular nteoriainelelor, este aceea de scufundarei omorf . Anume, vom spune cinelul (A, +, ) se scufundi omorf n inelul (B, +, ) dac exist un morf ismin jectiv f : A p B .Evident, n acest caz f(A) este un subinel al inelului B izomorf cuinelul A.n leg tur cu aceast no iune este adev rat urmtoarea af irma ie:

T or Fiecareinel se scufund izomorf ntr-uninel cu unitate.Demonstra ie. Fie inelul (A, +, ) si s not mB = A x Z , unde Z este

mul imea numerelor ntregi. n mul imea B s def inim dou operaiibinare,notate tot prin + si astfel

(a1, n1) + (a2, n2) = (a1 + a2 , n1 + n2) (a1, n1) (a2, n2) = (a1a2 + n2a1 , n1n2) Se constat c (B, +, ) este un inel care posed ca element unitate

perechea (0,1) .Func ia f : A p B def init prin f(a) = (a, 0) este un morf ism in jectiv

de lainelul (A, +, ) la inelul (B, +, ) . ntr-adev r, faptul c aceast func ie estein jectiv este evident, apoi observ m c pentru orice a b A ,

f(a + b) = (a + b ,0) = (a, 0) + (b, 0) = f(a) + f(b) f(ab) = (ab, 0) = (a, 0) (b, 0) = f(a) f(b) .Prin urmare ,inelul (A, +, ) se scufund izomorf n inelul cu unitate

(B, + , ) .

O alt teorem de scufundare, deosebit de important n teoria inelelor,esteurm toarea: T or Fie (A, +, ) un inel comutativ i cu element unitate i

f ie Smul imea tuturor elementelor din A care nu sunt divizori ai lui zero. Atunci exist inelul ( , +, ) comutativ i cu element unitate i morf ismul in jectivf : A p A astfel nct toate elementele din f(S) sunt inversabile n inelul (,+ , ) .

Demonstra ie. Observ m, mai nti, c S{ , deoarece cel pu inelementul unitate din inelul (A, +, ) apar ine lui S (adic 1 S ) i c , dac s1, s2 S,atunci s1s2 S .

Apoi, se demonstreaz u or c , rela ia binar ~def init n produsul cartezian A x S prin

(a1, s1) b (a2, s2) a1s2 = a2s1


24/83

23

este o rela ie de echivalen n mul imea A x S . Deci, exist mul imeact A x S ~ pe care s o not m prin , adic = , unde

Def inind n mul imea ct A opera iile binare prin + i prin( ) + ( ) = ( )

( ) ( ) = ( ) se constat c operaiile de adunare i nmul ire astfel def inite nu

depind de alegerea reprezentan ilor claselor. Mai mult, ( ,+ , ), devine inel comutativ, care posed ca element unitate clasa ( ) .

Func ia f :A p A, def init prin f( a) = ( ) este un morf ism in jectivde la inelul (A,+ ,) la inelul ( ,+ ,) . ntr-adev r, dac f(a1) = f(a2) , atunci

, adic (a1,1) b (a2.1), deci a1 1 = a21 i astfel a1 = a2 , prinurmare aplica ia f este in jectiv . Apoi, observ m c oricare ar f ia1, a2 A ,

f (a1 + a2) = ( ) = ( ) + ( ) = f(a1) + f( a2) ,f (a1a2) = ( ) = ( ) ( ) = f(a1) f(a2) .Pentru a termina demonstra ia, r mne s art m c elementele din f(S)

sunt inversabile n inelul ( ,+ , ) . Dac b f(S) , atunci exist s S astfel nct b = f(s)= ( ) deci f(S) = . Cu aceast precizare , observ m c oricare ar f i clasa ( ) f (S) , exist clasa ( ) A astfel nct ( ) ( ) = ( ) .

De obicei elementele inelului se noteaz simplu prin , n loc de (

) , adic = . Acest inel se numete inelul de frac iial inelului (A, +, ).

n cazul cnd inelul (A, +, ) este domeniu de integritate, atunci inelul s u defrac ii( ,+ , ) este chiar un corp, deci:

T or Fiecare domeniu de integritate se scufund izomorf ntr-uncorp, numit corpul de frac iial domeniului de integritate respectiv.

Pentru exemplif icare, s ne reamintim cum a fost construit corpul numerelor ra ionale (Q,+ , ) . Vom constata c (Q,+ ,) este corpul de frac ii al domeniului de integritate (Z,+ , ).


25/83

24

5. Ine l e de po li noame.

Inelul polinoamelor intr-o nedeterminat .Fie A uninel comutativ si unitar. Vom face o construc ie a inelului de

polinoameintr-o nedeterminat peste A, carela nceput nu folose te scriereaobi nuita a polinoamelor cu a jutorul unei nedeterminate X.

Peste inelul A se considera irurile f = (a0, a1, a2, ), ai A a.i. to i termenii s i, in afara de un num r f init dintre ei, sunt nuli.

Fie A mul imea tuturor irurilor de acest ti p. irurile f = (a0, a1 , ) si g = (b0 , b1 , ) sunt egale daca si numai daca ai = bi, pentru orice i.Pentru A se def inesc doua operaiialgebrice , adunarea si nmul irea, in raport cu care A devine uninel comutativ si unitar.

Fie f, g A, f = (a0, a1, a2, ) , g = (b0, b1, b2,). Atunci adunarea se def ine te astfel: f + g = (a0 + b0, a1 + b1, a2 + b2, ).

Este evident ca f + g are numai un num r f init de termeni nenuli, deci f + g A . Sa verif icam ca (A,+) este grup abelian .

ntr-adev r , daca f ,g, h A , f = (a0, a1, a2, ), g = (b0, b1, b2, ),h = (c0, c1, c2, ), atunci (f + g) + h = (a0 + b0, a1 + b1, a2 + b2, ) ++ (c0, c1, c2, ) = [(a0 + b0) + c0, (a1 + b1) + c1, ] s i f + (g + h) = (a0, a1,a2, ) + [(b0, b1, b2, ) + (c0, c1, c2,)] = [a0 + (b0 + c0),a1 + (b1 +c1),] .

Cum adunareain inelul A este asociativa ,avem (ai + bi) + ci = ai + (bi + ci) , i = 1, 2, 3 , de unde (f + g) + h = f + (g + h) . Analog se arata ca f + g= g + f.

Daca 0 = (0, 0, 0, ) , atunci 0 + f = (0, 0, ) + (a0, a1, ) = (0 + a0,0 + + a1, ) = (a0, a1, a2, ) = f = f + 0, deci 0 este element neutru pentruadunare. Daca f A, f = (a0, a1, a2, ), atunci f = (- a0, - a1, - a2, ) esteopusul lui f si f + (- f ) = (- f ) + f = 0 .

nmul irea pe A se def ine te astfel: F g = (a0b0, a0b1 + a1b0, a0b2 + a1b1 + a2b1, ) = (c0, c1, ) ,

undeC = .Este clar ca f, g A. nmul irea pe A, astfel def init , este asociativ ,

comutativ i are element unitate. S artam mai nti asociativitatea .Fie f, g, h A , unde f = (a0, a1, a2, ) , g = (b0, b1, b2, ) , h = (c0,

c1, ,c2, ) i s art m c (fg)h = f(gh).

Fie fg = (d0, d1, d2,). Atunci . De asemenea, f ie

(fg)h = (d0,d1,d2,), unde dm =Daca gh = (c0,c1,), atunci :

si f ie f(gh) = (l0,l1,l2, ), unde:


26/83

25

.Deci dm =lm pentru orice m. Deci (fg)h = f(gh) . Comutativitatea

nmul irii rezulta din faptul ca nmul irea in inelul A este comutativa, iar inexpresia produsului polinoamelor f i g termenii factorilor intervin in modsimetric.Elementul unitate din A este irul (1, 0, 0, ) . nmul irea pe A estedistri butiv fa de adunare. ntr-adev r, cu nota iile de mai sus, rezulta :

f(g + h) = (d0, d1,) , unde

fg + fh = (d0,d1,), undeCum opera ia de nmul ire pe A este distri butiva fata de adunare rezulta

f(g + h) = fg + fh. Evident are loc si rela ia (f + g)h = fh + gh i af irma ia s-ademonstrat.

P ropozi iDaca A este un inel unitar comutativ, atunci mul imea A ( a irurilor deelemente din A, care au numai un num r f init de termeni nenuli) mpreuna cuopera iile de adunare si nmul ire def inite mai sus este un inel comutativ si unitar.

Elementele acestui inel se numesc polinoame peste A sau polinoamecu coef icien idin A .

Daca f = (a0, a1, ) este un polinom nenul (adic nuto i termenii ai sunt nuli ) i daca n este cel mai mare num r natural cu proprietatea ca an{ 0 ,atunci n se numete gradul polinomului f . Pentru polinomul nul nu se

def ine te gradul. Convenim sa consider m gradul sau ca f iind - . Dacagradul (f ) = n , atunci a0, a1, , an se numesc coef icien iipolinomului f.Fie aplica ia u: Ap A def inita prin u(a) = (a, 0, 0, ) . Aplica ia u estein jectiva , c ci, daca u(a) = u(b), atunci (a, 0, ) = (b, 0, ) a = b. Deasemenea , u(a + b) = u(a) + u(b) i u(ab) = u(a)u(b) , a, b A , deoarece ,dup def ini ie , este evident ca (a, 0, ) + (b, 0, ) = (a + b, 0, ) i (a, 0, ) (b, 0, ) = (ab, 0, ) .

Deci u este omomorf ism in jectiv. Acest fapt permite sa seidentif ice elementul a A cuimaginea sa prin u , adic polinomul (a, 0, ) dinA. Astfel, A se poate considera ca un subinel al lui A. Notam prin X polinomul (0, 1, 0, ), care se numete nedeterminata X. Ob inem:


27/83

26

Pentru orice a A, avem ax = (0, 0, , 0, a, 0, ). Fie acum un polinom de gradul n , f = (a0, a1, a2, , an, 0, ) = (a0, 0, 0, ) + (0, a1, 0, ) +

+ (0, 0, an, 0, ) = a0(1, 0, ) + a1(0, 1, 0, ) + + an(0, 0,, 1, 0, ) =

Daca an = 1 , spunem c polinomul este unitar. Inelul A ob inut senume te inelul polinoamelor in nedeterminata X cu coef icien i in inelul A (sau peste inelul A) si se noteaz cu A[X]. Observam ca f are gradul 0 sau - dacasi numai daca f apar ine inelului A. Din def ini ia sumei i produsului a doua polinoame , rezult c grad (f + g) max (grad(f ), grad(g)) ; grad(fg) grad(f ) + grad(g), pentru f, g A[x].Daca A este un domeniu de integritate , se poate nlocui a doua inegalitate printr-o egalitate.

P ropozi iDaca A este un domeniu de integritate, atunci inelul de polinoame

A[x] este domeniu deintegritate.Demonstra ie:

Fie f, g A[x]; Atunci :

A f iind domeniu de integritate, rezult din am{ 0 i bn { 0 c ambn{ 0, adic fg{ 0. n particular , pentru un corp comutativ K, inelul polinoamelorde o nedeterminat cu coef icien i in K este uninel integru.

P ropozi iFie A un domeniu de integritate si A[x] inelul polinoamelor in nedeterminataX cu coef icien i in A. Atunci elementele inversabile ale inelului A[x] coincidcu elementele inversabile ale inelului A. deci, cu nota iile cunoscute, avem: u(A[x]) ==u(A).Demonstra ie:

Fie a A, inversabil in A , adic exista b A a.i. a b = 1. Evident,aceasta rela ie are loc si in A[x] , deoarece a si b sunt polinoame de gradul zero, deci a este inversabil in A[x].

Invers, f ie f un polinom din A[x]inversabil. Atunci exista un polinomg A[x] a.i. fg = 1 i , deci, grad(f ) + grad(g) = grad(1) = 0, adic f, g A.Deci f A si f este inversabil in A. In particular, pentru un corp comutativK, polinoamele inversabile din K[x] sunt polinoame de gradul 0 si numai acesta. Daca A nu este domeniu de integritate, putem avea u(A[x]) { u(A).Intr-adev r , polinomul neconstant 1 + 2X Z [x] este inversabil, deoarece(1+2x)(1+2x) = 1.Exemple . ( Probleme )

1. Sa se arate ca in inelul Q[x, y], polinomul x + y este ireducti bil.


28/83

27

Solu ie.Este clar ca x + y este nenul si neinversabil . Daca ar fi reductibil s -

ar descompune astfel: x + y = (a + a x + a y)(b + b x + b y) = a b + (a b + a b)x + + (a b + a b )y + (a b + a b )xy + a b x + a b y . De aici ob inem a b =0, a b = 1 ,a b = 1, a b + a b = 0 de unde a = b = 0. Apoi, din a a (a b + a b ) = 0 se ob inese ob ine c a + a = 0, contradic ie .

2. Sa se arate ca in inelul C[X, Y] , polinomul X (Y + 1) + X Y + X Y+ + XY + Y este ireductibil, nu 2 , n N .

Solu ie .Polinomul poate fi considerat in nedeterminata X cu coeficien i in

Q[Y] deci, in inelul Q[X][Y]. Atunci, pentru valoarea particulara y = p, p prim , in inelul factorial Q[Y] sunt ndeplinite condi iile din criteriul luiEisenstein . Deci, polinomul X (Y+1) +X Y +X Y +XY +Y este ireductibil ininelul Q[X][Y] = Q[X,Y] .

3. Sa se arate ca polinomul f = 3X + 4X 6X + 7X + 21 esteireductibil in Z[X] .Solu ie .

Polinomul f este primitiv. Aplicam criteriul reduc iei pentru p=2.Avem f = X +X +1 Z [X] i ar tam c f este ireductibil in Z [X]. Deoarecef(0) = (1) = 1{ 0 , rezult c f nu are factori de gradul nti in descompunere.Fie acum X +X +1= (aX + bX + c)(mX + nx + pX + q). Prin identificareacoeficien ilor se ajunge la am = 1, an + mb = 0, ap + bn + cm = 0, aq + bp + cn= 1, cq = 1. De aici, avem a = m = c = q = 1 si deci, b + n = 0, p + bn = 1, bp +n = 1, b + p = 0, de unde, prin calcul simplu ajungem la a = 1, contradic ie. Inconcluzie, f este ireductibil in Z [X]. Din criteriul reduc iei rezulta f ireductibilin Z[X].


29/83

28

6. Ine l l cl ase l or de res t r i modu l o n

Opera iile de adunare i nmul ire confer mul imii Z a numerelor ntregi o structur deinel comutativ unitar i f r divizori ai lui zero .(pe scurt inel integru ) .n acest inel mul imea nZ a multi plilor num rului natural n (f ixat) formeaz unideal (bilateral) . Pe de alt parte dac I este un ideal al inelului (Z, +, ) atunci I este un subgrup al grupului (Z, +) deci exist un num r natural n astfel nct I = nZ . Dac I = nZ i J = mZ sunt dou ideale ale lui Z atunci I+ J este de asemenea unideal al lui Z i exist d Z astfel nct I + J = dZ saunZ + mZ = dZ (putem presupune d N) . Din rela ia n m dZ rezult dn i d m , iar din rela ia d nZ + mZ rezult c exist a, b Z astfel nct d = an+ bm . Din urma rela iei deducem c orice divizor comun al lui m i n este i un divizor al lui d . Prin urmare d este cel mai mare divizor comun al numerelor ntregi n i m . Analog se demonstreaz c dac nZ mZ = qZatunci q este cel mai mic multi plu comun al lui n i m . De asemenea arelocrela ia (nZ)(mZ) = (nm)Z .

Inelele factor ale inelului Z se construiesc prin factorizare cuideale careau forma nZ , n N . R eamintim c pornind dela structura de grup aditiv a lui Z i considernd un subgrup nZ al acestuia , rela iax b y x y nZeste o rela ie de echivalen (numit i rela ie de congruen modulo n ) i notat n teoria numerelor prin x | z (mod n) ale c rei clase de echivalen auforma

Clasele de echivalen se mai numesc i clase de resturi modulo n , nrolul reprezentantului r putnd f i ales totdeauna un num r natural cuprins ntre0 i n 1 .Mul imea acestor clase Zn = capt o structur de grup comutativn raport cu opera ia Construc ia amintit ine seama numai deopera ia de adunare pe Z . innd cont i de opera ia de nmul ire din Z ,deci de structura deinel , se poate completa i structura lui Zn . Astfel opera ia

mpreun cu operaia de adunareinduc pe Zn o structur deinel comutativ i unitar Acest inel poart numele de inelul claselor de resturi modulo n .Elementele remarcabile ale acestui inel sunt urm toarele : 0 elementul neutru(al opera iei de adunare) , - opusul clasei , - elementul unitate (al opera iei de nmul ire ) .Aplica ia Nn : Z p Zn def init prin Nn (x) = este un morf ism unitar deineledeoarece:


30/83

29

Morf ismul Nn se numete sur jec ia canonic alui Z pe inelul s u factorZn . Dac n = 0 atunci f iecare clas de resturi n Z0 este de forma .Sur jec ia canonic N0 = Z p Z0 este i in jectiv , deci inelele Z i Z0 sunt canonic izomorfe .

Dac n = 1 atunci = Z , deci toate numerele ntregi fac parte

dintr-o singur clas de resturi , iar inelul Z1 este inelul nul , Z1 = .Inelul Zn are mai multe aplica ii n teoria numerelor . n continuare , pe baza propriet ilor grupurilor f inite vom deduce cteva astfel de rezultate . Pentruaceasta vom stabilii mai nti care sunt unit ile (elementele inversabile ) inelului Zn .

T or n inelul Zn , n " 1, elementul este inversabil dac i numai dac x i n sunt relativ prime .

Demonstra ie. Observ m mai nti c dac x i n sunt relativ prime i y= x + kn , k Zn , atunci z i n sunt de asemenea relativ prime. Dac este

inversabil n Z n atunci exist Z n astfel nct , de unde xz= 1 + kn , pentru un anumit k Z . Din rela iaxz kn = 1rezult c divizorii comuni ai lui x i n sunt 1 , deci x i n sunt relativ prime. R eci proc , dac x i n sunt relativ prime , atunci exist numerele ntregi E i F astfel nct Ex + Fn = 1 .Lundimaginile acestor elemente prin sur jec iacanonic Nn i innd seama c Nn (n) = 0 rezult , adic esteinversabil n Zn .

Conform teoremei precedente , de exemplu , n Z15 , i sunt inversabile , dar nu este inversabil .1. Consecin . Dac n este num r prim , atunci Zn este corp . ntr-adev rdac n este num r prim , atunci 1, 2, . n 1 sunt relativ prime cu n i deci toate elementele inelului Zn diferite de elementul neutru al adun rii (

) sunt inversabile .2. Consecin . Inelul Zn (n " 1) con ine attea elemente inversabile ctenumere naturale mai mici ca n i prime cu n exist , adic N (n) elemente ,undeN : N p N este func ia lui Euler .3. Observa ie . Leg tura dintre elementele inversabile din Zn i N (n) ne permite s d m o nou demonstra ie faptului c indicatorul lui Euler este ofunc ie multi plicativ . Pentru aceasta vom demonstra lema care urmeaz .1. Lem . Dac m1 i m2 , sunt numere ntregi relativ prime , atunci

.Demonstra ie . Consider m funcia f : Z p Zm1 x Zm2 , def init prin f (x) =(N1(x ) , N2 (x)) , undeN1 , N2 sunt sur jec iile canonice ale lui Z pe Zm1 ,Zm2 . Se verif ic imediat c f este morf ism deinele . Dac x Ker f , atunci m1 x , m2x , i deoarece m1 , m2 sunt relativ prime , deducem m1m2x .


31/83

30

Dac m1m2x , atunci x Ker f . Deci Ker f = m1m2 Z . Conformteoremei fundamentale de izomorfism Im f } Z Ker f = Zm1m2 . DeoareceIm f are m1m2 elemente rezult c Im f = Zm1 x Zm2 , de unde izomorfismuldin enun .

Aplicnd propozi iile din 5. pentru izomorfismul din lema precedent seob ine U(Zm1m2)} u (Zm1) x U (Zm2) din care deducem c ( m1m2 ) =

(m1) (m2)


32/83

31

PROPR IET I A R ITMETICE ALE INELELOR

Aritmetica n diverse inele a stat la baza dezvolt rii algebrei n sensul eiactual. No iunile fundamentale ale algebrei, ca cele de inel, ideal, corp, morfismde inele etc., s-au degajat din cercet rile ntreprinse pentru construirea unor aritmetici n diverse inele. Interesul pentru cercetarea aritmeticii n inele a fos timpulsionat de cotribu ia pe care a adus -o n rezolvarea, n anumite cazuri particulare, a celebrei probleme a lui Fermat.

Aceast problem , despre care nu se tie dac este adev rat sau fals(numit de obicei marea teorem a lui Fermat), afirm c p entru n > 2 ecua ia

nnn z y x ! nu are solu ii n numere ntregi nenule. Kummer a fost acela care aadus, pn n prezent, una dintre cele mai mari contribu ii n rezolvarea ei,ar tnd c pentru fiecare n , i se poate asocia ecua iei un inel integru, iar ncazul n care acest inel are anumite propriet i aritmetice se poate ar ta cecua ia nu are solu ii n numere ntregi nenule.

n acest capitol, prin inel vom n elege un inel comutativ unitar, de i o bun parte dintre no iuni r mn valabile, cu modific rile respective, i pentruinele necomutative. No iunile de inel Euclidian, inel principal si inel factorialcare sunt introduse aici se ob in extrapolarea natural a unor propriet iaritmetice ale lui> . Aceste tipuri de inele au numeroase aplica ii n teorianumerelor i n geometria algebric . n aceast lucrare se vor folosi propriet ilelor, n special n cazul inelelor polinoamelor de o nedeterminat cu coeficien iintr-un corp. n ultimul paragraf se introduc no iunile de ideal prim i idealmaximal i se arat leg turile lor cu no ieunile de element prim i elementireductibil, precum i cu no iunea de inel integru i corp. Aceste fapte vor fi desutilizate n capitolul IX n 6 se demonstreaz c dac A este inel f actorial,? A X Aeste i el un inel factorial, rezultat care fi utilizat mai pu in n cele ce urmeaz .


33/83

32

1. D ivizibilitatea n inele

Fie A un inel comutativ cu element unitate. Se spune c un element aAdivide un element bA (sau b este un multiplu al lui a) i se scrie a|b dacexist un elemnt cA astfel ca b= ac. Dac a|b se mai spune ca a este divizor allui b, denumire care nu va fi folosit dac b=0.

Este clar c rela ia de divizibilitate n A este o rela ie binar care estereflexiv , c ci a|a , a=a1 i tranzitiv c ci din a|b i b|c rezult b=ac, c= bcdeci c=acc, adic a|c. A adar,rela ia de dvizibilitate este o rela ie de cuasiordin pe inelul A. Ea nu este ns n general o rela ie de ordine. n adev r, chiar ninelul > al ntregilor avem c 1|-1 i -1|1, ns 1{ -1.

Direct din defini ie rezult c dac a,b,c A i a|b, atunci a|bc, i dac in plus a divide i pe c, atunci a|(b+c). De asemenea, dac a|(b+c) i a divide unuldintre termenii sumei el divide i pe cel lalt.

Dac a i b sunt elemente n A astfel ncat a divide b i b divide a, sespune c a este asociat cu b i vom scrie a~b. Rela ia de asociere este o rela iede echivalen c ci a~a, iar dac a~b, atunci evident b~a. De asemenea, severific imediat c rela ia de asociere este tranzitiv . n fapt aceast rela ie dechivalen este rela ia de echivalen asociat rel a iei de divizibilitaconsidarat ca o rela ie de cuasiordine (cap. I,2). Dac considr m mul imeafactor n raport cu aceast rela ie de echivalen , atunci rela ia de divizibilitatintroduce pe aceast mul ime o rela ie de ordine. Mai mult dac a~b i c~drezult ac~bd i atunci se constat c pe mul imea factor putem introduce oopera ie dedus din opera ia de nmul ire n A i cu care aceast mul ime facdevine semigrup. Multe dintre propriet ile divizibilit ii n inelul A se reduc lastudiul divizibilit ii n acest semigrup, dup cum se va vedea mai departe, c ci

aproape toate no iunile i afima iile r mn adev rate pentru elemente asociateAcest fapt este o generalizare a aceluia c studiul aritmeticii n> se reduce lastudiul acesteia n2 .

Lema 1.1 . Fie A un inel i a, b dou elemente din A. Atunci A divide pe b dac i numai dac aA bA. n particular, a i b sunt asociate dac i numaidac aA= bA.

Demonstra ie. Dac a divide pe b , rezult b=aa cu aA, deci b aA, deunde rezult bA aA. Atunci n particular baA, adic b=aa, cu aA

Propoz i ia 1.2 . Fie A un inel i aA. Atunci urm toarele afirma ii suntechivalente:a) a~1; b) a este element ireversibil n A;c) aA=A;d) a divide orice element al inelului A.


34/83

33

Demonstra ie. a) b). Din faptul c a~1 rezult c a divide pe 1, adicexist a A astfel ca 1=aa i deci a este ireversabil n A.

Implica ia b) c) rezult din propozi ia III.c)d) din lema precedent ,iar d) a) este evident .

Propozi ia precedent d o caracterizare a elementelor ireversabile dintr -un inel n leg tur cu divizibilitatea. Ea arat c elementele ireversabile aleinelului se comport n raport cu divizibilitatea lafel ca i elementul unitate alinelului; de aici provine denumirea lor de unit i.

Propoz i ia 1.3. Fie A un inel integru. Atunci dou elemente a,b din Asunt asociate dac i numai dac a=ub, unde u este elemnt ireversabil n A.

Demonstra ie. Dac a=ub, unde u este element ireversabil n A, atuncieste clar c a i b sunt asociate. Reciproc, s presupunem c a i b sunt asociate.Atunci rezult c exist a, bA astfel ca b=ab i a=ba, adic b=bab, deci b(1-ab)=0. Dac b=0, atunci evident i a=0 i totul este demonstrat. n cazcontrar, rezult 1-ab=0 (c ci A este integru), deci a i b sunt elementeireversabile n A.

D efini ia 1.4. Fie A un inel i a,b elemente din A. Un element cA senume te divizor comun al lui a i dac c divide pe a i c divide pe b. Elementuld A se nume te cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c) al elementelor a i b ise mai noteaz cu (a,b), dac d este un divizor comun al element elor a i b i pentru orice alt divizor comun d al elementelor a i b avem d divide pe d.

Un element nA se nume te multiplu comun al elementelor a,b dac adivide pe n si b divide pe n. Elementul mA se nume te cel mai mic multiplucomun (c.m.m.m.c) al elementelor a i b i se mai noteaz cu [a,b] dac m este

multiplu comun al elementelor a i b i pentru orice multiplu comun m alelementelor a i b avem c m divide pe m.Se spune c dou elemente a,b ale in elului A sunt relativ prime (sau

prime ntre ele) dac 1 este cel mai mare divizor comun al lor.Evident, defini iile date mai sus pentru c.m.m.d.c i c.m.m.m.c. a dou

elemente din inelul A ca i defini ia dat elementelor relativ prime segeneralizeaz cu u urin la un num r finit sau chiar infinit de elemente aleinelului A i vor avea propriet i analoage celor din cazul a dou elemente.Men ion m c pentru dou elemente arbitrare dintr -un inel oarecare se poate cac.m.m.d.c i c.m.m.m.c. s nu existe, dup cum vedea n cele ce urmeaz . ns

daca c.m.m.d.c i c.m.m.m.c. a dou elemente exist , atunci exist c.m.m.d.c ic.m.m.m.c. pentru un num r finit de elemente.Se observ c dac consideram rela ia de divizibilitate ca o rela ie de

preordine, atunci c.m.m.d.c al unei mul imi de elemente este o margineinferioar a acestei mul imi si c.m.m.m.c. este o margine superioar a acesteia.

Propozi ia care urmeaz exprim propriet i generale ale marginilor inferioare i superioare pentru o mul ime cuasiordonat .


35/83

34

Propoz i ia 1.5. Fie A un inel i a,b dou elemente din A.i) Daca d A este cel mare divizor comun al elementelor a i b , atunci unelement dA este cel mai mare divizor comun al elementelor a i b daca inumai dac este asociat cu d.ii) Dac m este cel mai mic multiplu comun al elementelor a i b , atunci unelemet mA este cel mai mic multiplu comun al elemetelor a i b dac inumai dac este asociat cu m.

Demonstra ie. Vom demonstra doar afirma ia i), c ci ii) se demonstreazanalog. Din faptul c d este cel mai mare divizor comun al elementelor a i b ,iar d este cel mai mare divizor al elementelor a i b rezult c d divide pe d(pentru c d este n particular divizor comun al elementelor a i b) i divide d(pentru c n particular d este divizor comun al elementelor a i b), adic d i dsunt asociate. Reciproc, dac presupunem d asociat cu d, atunci din faptul cd|a, d|b,d|d rezult c d este divizor comun al e lementelor a i b.

Fie acum c un divizor comun arbitrar al elementelor a i b; atunci c|d(c ci d este cel mai mare divizor comun al elementelor a i b) i doarece d|drezult c|d, adic d este cel mai mare divizor comun al elemntelor a i b.

Din aceast propozi ie rezult c cel mai mare divizor comun i cel maimic multiplu comun a dou (sau mai multe) elemente dintr -un inel A suntdeterminate pn la o asociere.

Lema 1.6. Fie A un inel inegru i a,b dou elemente nenule. Dac d estecel mai mare divizor comun al elementelor a i b i a=da, b=db, atunci a, bsunt relativ prime.

Demonstra ie. Va fi suficient s ar t m c orice divizor comun alelementelor a i b este ireversabil. Fie u un astfel de divizor; atunci du estedivizor comun al lui a i b , deci du divide pe d, adica d=duu, uA. Deoareced{ 0, rezult 1=uu, deci u este ireversabil.

Lema 1.7. Fie A un inel integru, a,b dou elemente nenule din A i d celmai mare divizor comun al a elemen telor a i b. Dac pentru un element cA,c{ 0, exist cel mai mare divizor comun al elementelor ca i cb, atunci acestaeste asociat cu cd (deci i cd este cel mai mare divizor comun al elementelor ca

i cb).

Demonstra ie. Fie d cel mai mare divizor comun al elementelor ca i cb.Atunci din faptul c cd divide pe ca i cb divide pe d, deci d=cdu, cu uA.Din ipotez rezult c exist 11 ,ba , a, b A astfel ca:

ca=d 1a , a=dacb=d 1b , b=db

din care deduce rela iile:


36/83

35

cdu 1a =cdacdu 1b =cdb

i, deoarece cd{ 0 ,rezult :u 1a =au 1b =b

deci u este divizor comun al elementelor a i b, iar din lema precedent rezultu element ireversabil n A.

C orol arul 1.8. Fie A un inel integru n care orice dou elemente auc.m.m.d.c . Dac a, b, cA sunt astfel nct a|bc i a este prim cu b rezult c adivide pe c.

n adev r, din (a,b)=1 i din lema precendent rezult c (ac,bc)=c. Cuma|ac i a|bc rezult c a divide pe c.

Propoz i ia 1.9. Fie A un inel integru. Dac oricare dou elemente din Aau cel mai mare divizor comun , atunci oricare dou elemente din A au cel maimic multiplu cmun si produsul (a,b) [a,b] este asociat cu ab, pentru a,bA, a{0, b{ 0.

Demonstra ie. Ne putem limita la cazul n care a i b sunt elementenenule. Fie d un cel mai mare divizor comun al elementelor a i b i a=da, b=db, a,b A. Atunci rela iile dab=ab=a arat c m=dab este multiplucomun al lui a si b. Fie m un alt multipli comun al elementelor a,b.Deci m=a

1a =da 1a ,m=d 1b =db 1b , cu 1a , 1b A. De aici rezult c m este divizor comunal elementelor ma i mb, deci divide pe cel mai mare divizor comun alacestor elemente, care este, conform lemei, egal cu m (c ci (a,b)=1). A adaram ar tat c m este cel mai mic multiplu comun al elementelor a i b i avemevident rela ia md=ab.

D efini ia 1.10. Fie a un element nenul si neireversabil ditr+un inel integruA. Se spune c a este ireductibil dac orice divizor al lui a este sau asociat cu asau este ireversabil (adic asociat cu 1) i reductibil n caz contrar.

Din aceast defini ie rezult ca dac a este un element ireductibil dininelul A i b un element oarecare, atunci ecel mai mare divizor comun alelementelor a i b exist i este asociat cu a sau un element inversabil.

Propoz i ia 1.11. ntr-un inel integru A un element asociat cu un elementireductibil este ireductibil.

Demonstra ie. Fie a un element ireductibil din A si bA un element asociat cu a.Atunci este clar ca b{ 0 i b nu este ireversabil. Fie c un divizor al lui b. Atunci


37/83

36

c divide pe a, deci este sau asociat cu a, deci i cu b, sau c este ireversabil, ceeace demonstreaz afirma ia propozi iei.

Propoz i ia 1.12. Fie A un inel integru si aA un element nenul sineinversabil n A. Atunci urm toarele afirma ii sunt echivalente:a) A este ireductibil n a; b) dac a=bc, atunci a este asocia cu cel pu in unul dintre elementele b sau c;c) dac a=bc, atunci a este asociat cu cel pu in unul dintre elementele b sauc, iar cel lalt este inversabil.

Demonstra ie. a) b). Din a=bc rezult c b este sau inversabil sauasociat cu a; lafel c este sau inversabil sau asociat cu a. ns nu se poate caambele s fie inversabile c ci ar rezulta a inversabil. b) c). Fie a=bc. Din b) rezult c unul dintre elementele b sau c, sa zicem b,este asociat cu a. Deci conform propozi iei 1.3, b=au cu u inversabil n A.Atunci din a=auc i din faptul ca a{ 0 rezult 1=uc, deci c este elementinversabil. Implica ia c)a) este evident .Datorit propriet ilor b) i c) din propozi ia precedent , uneorielementele ireductibile sunt numite nedecompoz abile.

D efini ia 1.13. Un element neinversabil si nenul p din inelul integru A senumeste prim dac din faptul c p|ab cu a,bA rezult sau p|a sau p|b.

Este clar c orice element asociat cu un element prim este i el prim.

Propoz i ia 1.14 . Dac A este un inel integru , orice element prim din Aeste ireductibil.

Demonstra ie. Fie p un element prim n A. Atunci, dac p=ab, rezult p|ab, deci p|a sau p|b. n primu caz rezult , evident, p asociat cu a, iar n cel de -al doilea p asociat cu b. Reciproca acestei teoreme nu este intotdeaunaadev rat , ns propozi ia urm toare d o condi ie n care acest fapt are loc.

Propoz i ia 1.15. Fie A un inel integru n care orice dou elemente au uncel mai mare divizor comun . Atunci n A orice element ireductibil este prim.

Demonstra ie. Fie q un elemnt ireductibil i s presupunem c q|ab. Dac

q|a totul s-a terminat altfel, (q,a)=1 i din 1.8 rezult q|b.n inelul > al ntregilor ra ionali num rul 2 este prim, deci i ireductibil.n adev r, dac 2|ab, atunci trebuie ca cel pu in unul dintre numerele a sau b sse divid cu 2, altfel produsul lor nu se divide cu 2, c ci dac a=2a+1, b=2b+1,atunci ab=4ab+2(b+a)+1, care se observ c nu se divide cu 2. Analog searat c 3,5,7 etc. sunt numere prime, deci i ireductibile. n acela i timp seob ine c -2,-3,-5 sunt i ele ireductibile, fiind asociate cu cele prece dente.


38/83

37

Fie k un corp. Atunci n inelul k[X] orice polinom de gradul 1 esteireductibil. n adev r, dac f este un astfel de polinom, atunci din f=gh rezult g{ 0, h{ 0 i grad(f)=grad(g)+grad(h)=1. De aici rezult c sau grad (g)=1 i grad (h)=0, sauinvers, i afirma ia rezult din faptul c in k[X] un polinom de gradul 0 esteinversabil.

Elementul X din k[X] este prim n k[X], c ci dac X|fg, atunci este clar ccel pu in unul dintre polinoamele f sau g se divide cu X.Fie A un domeniu de integritate a i aAun element ireductibil. Atunci a

este ireductibil i n inelul A[X] c ci el este acolo, de asemenea, neinversabil i{ 0 (elementele inversabile din A[X] fiind cele inversabile n A[X]), iar dac ase descompune n produsul a dou polinoame, acestea vor fi de grad 0, decielemente din A.

S consider m acum inelul ntregilor lui Gauss> [i].

Pentru a studia n continuare mai u or divizibilitatea n> [i], consider mfunc ia N:Cp R, definit prin N(a+bi)=(a+bi)(a-bi)= 22 ba (N este numitfunc ia norm , iar N(a) norma num rului complex a).

Dac , C FE , atunci avem rela ia:)()()( FEE F N N N !

n adev r, fieE =a+ai, F =b+bi; atunci:)(E F N =N(ab-ab+(ab+ab)i)=(ab-ab)2 +(ab+ab)2

Iar )()( FE N N = 2222 '' bbaa

i se verific imediat egalitatea cerut . Evident, restic ia lui N la> [i] areimaginea cuprins n> (chiar n N) i o vom nota tot cu N.

S vedem mai nti care sunt elementele inversabile n> [i]. FieE uneelement inversabil. Atunci exist [i]Z1E astfel caE 1E =1, de unde rezult1=N(1)=N(E )N( 1E ) i deoarece N(E ) i N( 1E ) sunt numere naturaleu 1rezult c N(E )=1. Reciproc, dac [i]ZE este un element astfel nct N(E )=1,atunci E este inversabil n> [i] c ci avem 1= N(E )=E E unde E [i]Z esteconjugatul luiE , deci E este inversul luiE . Fie E =a+bi, a,b Z. Din cele demai sus rezult cE este element inversabil n> [i] dac i numai dac N(E )

122 !! ba , de unde rezult c elemente inversabile din> [i] sunt 1, -1, i,-i.Din propozi ia 1.3 rezult c dacE i F sunt elemente asociate n> [i],

atunci N(E )= )( F N . S mai observ m c dacE | F , atunci N(E )| )( F N .Reciproc, este adev rat urm toarea lem .

Lema 1.16. Dac E i F [i] sunt astfel nctE | F i N(E )= )( F N ,atunciE este asociat cu F .


39/83

38

Demonstra ie. Dac F =0,afirma ia este evident . Pentru F { 0 , din faptulc E | F rezult E [i] astfel nct F =E E . Avem atunci )'()()( EE F N N N ! ,deci )'(E N =1, adic E este inversabil n> [i] i lema este demonstrat .

n > [i] num rul 2 este reductibil c ci el se scrie sub forma 2=(1+i)(1-i),iar 1+i i 1-i nu sunt inversabile c ci N(1+i)= N(1-i)=2.

S ar t m acum c 1+i i 1-i sunt elemente ireductibile n> [i] . Fie 1+i=E F . Atunci 2= N(1+i)= )()( FE N N i avem deci o descompunere n Z a lui2,de unde rezult sau N(E )=2 i N F =1, sau invers. Deci, conform lemei demai sus sauE este asociat cu 1+i n[i],sau F este asociat cu 1+i. A adar 1+ieste element ireductibil n[i]. Pentru 1-i ra ionamentul este analog.

Num rul 3 n [i] este ireductibil. n adev r, dac ar fi ireductibil ar exista o descompunere a sa de forma 3=E F , n careE i F sunt neinversabile.Atunci ob inem c 9=N(3)= )()( FE N N , de unde rezult )(E N =3 i )( F N =3,deoarece am presupus cE i F sunt neinversabile. FieE =a+bi. Atunci:

)(E N = 322 !ba Deci 1, eba a i se observ c nu exist numere ntregi a,b care s

verifice aceast egalitate, deci un astfel deE nu exist i prin urmare 3 esteireductibil n [i].

Consider m inelul ? A5i> ;acesta este format din toate elementele C Ecare se scriu sub forma a+bi5 , unde a, b Z. Definim i aici func ia N:? A5i>p N (numit func ie norm ) prin)(E N = 22 5ba , unde E = a+bi 5 .Se verificimediat acest func ie este multiplicativ , adic pentruE , F ? A5i> avem

)()()( FEE F N N N ! ,de unde rezult c dacE | F , atunci )(|)( FE N N .Ca i pentru inelul ntregilor lui Gauss, avem c un elementE ? A5i>

este inversabil dac i numai dac )(E N =1, ra ionamentul fiind ntrutotulanalog. FieE = a+bi 5 ;E este inversabil dac i numai dac 22 5ba =1, deunde rezult c n acest inel elementele inversabile sunt 1 i -1. Se observ , deasemenea, c i pentru acest inel ramne valabil lema.

S consider m acum elemental 3 din acest inel . 3 este ireductibil, c cidac 3=E F iE i F neinversabile rezult c 9= )()( FE N N , adic 3)()( !! FE N N

. Dac E = a+bi 5 , atunci avem 3=22

5ba , ceea ce nu este posibil. ns 3 nueste un num r prim n acest inel c ci 215454|3 !ii , iar 3 nu divide niciunul dintre factori. Dac ar divide de exemplu pe 54 i , ar rezulta c N(3)=9ar divide pe N 54 i =21. Acest exemplu arat c reciproca propozi iei 1.14 nueste ntotdeauna adev rat , adic nu n or ice inel integru un element ireductibileste prim. Deducem, de asemenea, c n? A5i> nu oricare dou elemente au unc.m.m.d


40/83

39

2. I nele euclidiene

D efini ia 2.1. Un inel integru A mpreun cu o func ie _ a 2p0\: AN senume te inel euclidian dac are urm toarele dou propriet i:i) Oricare ar fi elementele nenule a,bA astfel ca a sa divid pe b, rezultN (a)e N (b).ii) Pentru orice a,b A, b 0{ exist q,r A astfel nct a=bq+r, unde r=0 sauN (r)< N (b).

Ca exemplu de inele euclidiene avem inelul ntregilor Z pentru carefunc iaN este valoarea absolut a num rului ntreg:

u

!.0;

;0;)(

nn

nnnN

Se tie atunci c propriet ile i) i ii) din defini ia de mai sus suntverificate. Proprietatea ii) n acest caz se nume te teorema mp r irii ntregi,denumire pe care o vom p stra pentru orice inel euclidian. Vom vedea n

paragraful urm tor c de fapt numai aceast proprietate este esen ial ndefini ia de mai sus.Observ m c n Z este adev rat chiar o afima ie mai precis dect

condi ia ii) de mai sus. Anume, pentru a,b0{ numere ntregi exist q,r Z astfelnct a=bq+r, unde br e0 , care este numit de fapt teorema mp r irii ntregi.

Orice corp este inel euclidian. n adev r, dac k este un corp, consider mfunc ia 2p0\: k N definit prinN (a)=1, pentru orice ak, a 0{ . Este evident caceast func ie are propriet ile i) i ii).

De asemeanea, inelul ? A X k al polinoamelor de o nedeterminat cucoeficien i n corpul k este Euclidian dac consider m drept func ieN gradulunui polinom nenul.n adev r, dac f,g ? A X k sunt polinoame nenule f|g, atunci g=ff cu f

? A X k , deci grad g=grad f+grad f i cum fu 0, rezult c grad gu grad f, ceea ceverific pe i).Pentru a verifica pe ii) s consider m f i g dou polinoame din

? A X k cu g 0{ . Dac grad g=0 atunci f=g(g1 f) c ci g este element diferit de zeron k, deci inversabil i afirma ia este dovedit .

Putem deci presupune c grad g>0;atunci vom face o induc ie dup gradf. Dac grad f


41/83

40

are gradul cel mai mult n-1 i din ipoteza inductiv rezult c exist q,r ? A X k ,astfel nct:

r gq f i ! ,r=0 sau grad r


42/83

41

ntregi de r, respective s iH =r-c+(s-c) 2/31 i . Avem atunci rela iaE = F K +H F i , deoareceE i F K apar in lui ? A2/31 i Z , rezult c :

H 1=

-

>

231 iH F

Dar N(H 1)=N(H F )=N(H )N= ) N(4

3) N()'(' 22 F F ec sc scr cr c ci

21',

21 ee c scr . De aici rezult c este satisf cut condi ia ii).

Propoz i ia 2.2. ntr-un inel euclidian orice dou elemente au un cel maimare divizor comun i un cel mai mic multiplu comun.

Demonstra ie.Pentru a demonstra aceast propozi ie vom utiluzara ionamentul care se face de obicei pentru a ar ta c pentru Z este adev ratafirma ia, adic vom aplica succesiv teorema mp r irii intregi, ceea ce senume te algoritmul lui Euclid. Fie a, b dou elemente din inelul euclidian A.

Dac unul dintre aceste elemente este nul, atunci se observ c cel lalt este uncel mai mare divizor comun al lor. Deci putem presupune a0{ ,b 0{ . Aplic mteorema mp r irii ntregi elementelor a i b i ob inem a=bq1+r 1, unde r 1=0 sauH (r 1)< H (b), apoi dac r 1 0{ , aceea i teorem o aplic m elementelor b i r 1, b=r 1q 2 + 2r , unde 2r =0 sauH ( 2r )< H ( r 1); dac 2r 0{ ob inem analog r 1= 2r q3+r 3, cu r 3=0 sauH (r 3)H ( 2r )>... este un ir descresc tor de numere naturale, dup un num r finitde pa i ob inem neap rat un rest nul i atunci ob inem ni te rela ii de forma:

(2)

22

112

221

11

!

!

!

!

nnn

nnnn

qr r

r qr r

r qr b

r bqa

/

unde r i 0{ , i=1,,n. S ar t m ca r n este cel mai mare divizor comun alelementelor a i b.

Din rela iie (2) se vede c r n divide pe r 1n , apoi c r n divide pe r 2n , r 3netc. Deci r n divide pe a i b. Fie acum c un divizor comun al lui a i b. Atuncidin rela iile (2) rezult c c divide pe

1r , apoi c divide pe

2r etc. Adic c divide

pe r n . A doua afirma ie a propozi iei rezult din cea precedent i din propozi i1.9. Din propozi ia precedent i din propozi ia 1.15 rezult :

C orol arul 2.3 . ntr-un inel Euclidian orice element ireductibil este prim.De aici deducem c inelul ]5[iZ nu este inel Euclidian c ci n 1 am

ar tat c 3 este ireductibil, ns nu este prim n acest inel.


43/83

42

Dac A este un inel integru care nu este corp, vom ar ta n 3 c A[X] nueste euclidian.Totu i o afirma ie analoag propriet ii ii) din defini ia 2.1. esadev rat i n acest caz.

Propoz i ia 2.4 Fie A un inel i A[X] inelul polinoamelor de onedeterminat cu coeficien ii n A. Fie

0

0

......

b X b g

a X a f n

n

mm

!

!

dou polinoame din A[X]de grad m, respectiv n0u , deci bn 0{ i k =max(m-n+1,0). Atunci exist polinoame q i r din A[X] astfel ca

r gq f b k n ! cu grad r


44/83

43

La sfr

Date post:	09-Apr-2018
Category:	Documents
Upload:	andreea-petrean
View:	230 times
Download:	0 times

inele euclidiene2 (3)

Documents