Home >Documents >consideratii metodice asupra cap. inele de polinoame

consideratii metodice asupra cap. inele de polinoame

Date post:28-Apr-2015
Category:
View:193 times
Download:10 times
Share this document with a friend
Description:
metodica introd inele de polinoame
Transcript:

CONSIDERATII METODICE PRIVIND PREDAREA INELELOR DE POLINOAME Prof.MUSCA FLORINA COLEGIUL TEHNIC M.VITEAZUL ORADEA 1. Aspecte organizatorice ale predrii capitolului Inele de Polinoame1.1. Metodica introducerii inelelor de polinoameDeoarece elevii, deja n clasele mai mici sunt familiarizai cu noiunea de monoame, conform programei actuale de matematic primele noiuni legate de monoame sunt introduse n clasa a VII-a, n capitolul Numere reale, Calcule cu numere reale reprezentate prin litere, predarea Inelelor de polinoame nu prezint greuti deosebite la clasa a XII-a, iar elevii i lrgesc orizontul matematic prin abordarea acestei teme prin prisma structurilor algebrice, dobndesc la timp cunotinele necesare altor discipline (fizic, chimie, informatic, etc). Polinoamele constituie o etap fundamental n formarea capacitilor de abstractizarea a elevilor. Calculul cu polinoame st la baza celor mai multe tehnici matematice. Predarea Inelelor de polinoame vizeaz urmtoarele obiective de referin, realizarea lor reprezentnd una din cerinele obligatorii. 1. Recunoaterea i diferenierea mulimilor de numere, a polinoamelor, a matricelor i a structurilor algebrice; (1)2. Identificarea unei structuri algebrice prin verificarea proprietilor acesteia; (2.1)3. Compararea proprietilor algebrice sau aritmetice ale operaiilor definite pe diverse mulimi, n scopul identificrii unor algoritmi; (2.2)4. Exprimarea proprietilor mulimilor nzestrate cu operaii prin identificarea organizrii structurale a acestora; (4.1)5. Utilizarea similaritii operaiilor definite pe mulimi diferite n deducerea unor proprieti algebrice; (5)6. Utilizarea calculelor algebrice n probleme practice uzuale; (6)7.Recunoaterea polinoamelor;8. Aplicarea unor algoritmi n calculul polinomial sau n rezolvarea ecuaiilor algebrice;489. Determinarea unor polinoame sau ecuaii algebrice care ndeplinesc condiii date;10. Aplicarea prin analogie, n calcule cu polinoame, a metodelor de lucru din aritmetica numerelor;Constructia inelului de polinoame se realizeaz pornind de la o mulime AN, mulimea tuturor funciilor de la N la A, adic AN= {f / f:NA}, unde A este un inel comutativ, unitar. Un element fAN, fiind o funcie, se reprezint cu ajutorul valorilor sale sub forma f=,...) ,..., , (1 0 ma a a=N i ia ) (.Dac f,gAN, f=N i ia ) (, g=N i ib ) ( atunci f=g i ib a , N i .Pe mulimea AN definim dou legi de compoziie interne:adunarea: dac f,g AN, f=,...) ,..., , (1 0 ia a a, g=,...) ,..., , (1 0 ib b b, atunci f+g=,...) b a ,..., b a , b a (i i 1 1 0 0 + + +; nmulirea:g f =jk j iib a +, kN.Exemplu. Fie f=(-1,2,3,-5,...)AN i g=(1,0,-1,0,...)AN f + g=(0,2,3,-5,...), fg=(-1,2,4,-7,...).Deci (AN,+, ) este o structur algebric.Astfel se verific:Asociativitatea i comutativitatea adunriiFie f,g,hAN, f=N i) a (i, g=N i) b (i, h=N i) c (i. Atunci, pentru orice iN avem i i i ia b b a + + i ) c b ( a c ) b a (i i i i i i + + + + , deoarece adunarea n A este comutativ i asociativ. Rezult c f+g=g+f i (f+g)+h=f+(g+h), adic adunarea n AN este comutativ i asociativ. Elementul neutru i elementul simetrizabil (opusul) fa de adunareExist n AN element neutru fa de adunare, i anume funcia 0:NA, 0(i)=0, iN. Pentru orice fAN, f=, ) a (i N i opusul su este -f AN i f+(-f)=(-f)+f=0.Exemplu. f= (-1,0,2,7,...)AN - f = (1,0,-2,-7...).Comutativitatea i asociativitatea nmuliriinmulirea n A fiind comutativ rezult c jk j iib a += + k i ji ja b N j i ,, k=i+j g f = f g , adic nmulirea n AN este comutativ. Analog (g f ) h = f (h g ), nmulirea n AN este asociativ. (Capitolul I, paragraful 1.1)Distributivitatea nmulirii fa de adunareFie f(g + h) = (d0,d1,...,dk,...), 49g f +h f = ,...) d ,..., d , d ('k'1'0, kd =) (jk j ij ic b a + += + k j ij ib a+jk j iic a +.nmulirea fiind distributiv fa de adunare rezult c dk=d'k, N n . Rezult f(g+h)= g f + h f i nmulirea n AN fiind comutativ, avem i f(g+h)= g f +h f , adic nmulirea n AN este distributiv fa de adunare.Elementul neutru fa de nmulireExist n AN element neutru fa de nmulire i anume: (1,0,0,...,0,...). n concluzie, avem (AN,+, ) inel comutativ cu element unitate.Forma algebric a polinoamelor: Notm X=(0,1,0,...0,...), atunci din definiia nmulirii n AN, rezult c: X2 = (0,1,0,...,0,...)(0,1,0,,0,...) = (0,0,1,0,...,0,...),..., Xn =(0,0,...,0,1,0,...). Prin definiie vom pune X=1.Un element f AN, f=(aN i i ), se poate scrie atunci n mod unic sub forma: f = (0a,a1,a2,... ) = ( 0a,0,0,... )+(0,a1,0,...) +...= ( 0a,0,0,... ) +(a1,0,0,... )(0,1,0,...) + (a2,0,0,...)(0,0,1,... ) +... = iN iiX a,n care elementele ak se numesc coeficienii lui f, iar monoamele akXk ,0 k n ,se numesc termenii polinomului.Dup introducerea formei algebrice a polinoamelor, profesorul trebuie s atrag atenia elevilor n a nu considera litera X ca reprezentnd un element variabil din K; a nu face confuzia ntre un polinom cu coeficieni n K i funcia polinomial f~:K K f~(x)=f(x), unde x desemneaz argumentul funciei f sau ecuaia ataat funciei.Polinomul fFuncia polinomial asociat f : R REcuaia asociataX+b, a,b R, a 0 Funcia de gradul If(x)=ax+bEcuaia de gradul Iax+b=0aX2+bX+c,a,b,c R, a 0 Funcia de gradul IIf(x)=ax2+bx+cEcuaia de gradul IIax2+bx+c=0aX3+bX2+cX+d a,b,c,d R, a 0Funcia cubicaf=ax3+bx2+cx+dEcuaia de gradul IIIax3+bx2+cx+d=0X=nedeterminata x=variabila x=necunoscutaPentru K{Q, R,C,Z,Zp}se obin mulimile de polinoame:Q[X]=mulimea polinoamelor de nedeterminat X cu coeficieni n Q: f=31232 3 + X XR[X] =mulimea polinoamelor de nedeterminat X cu coeficieni n R: f= 5 32+ X X50C[X] =mulimea polinoamelor de nedeterminat X cu coeficieni n C: f=X 4-i X 3+(i-2)X+3 Z[X]= mulimea polinoamelor de nedeterminat X cu coeficieni n Z: f = 2X4 + 5X2 - 3Zp[X]=mulimea polinoamelor de nedeterminat X cu coeficieni n Zp:f=X4 +2X3 + 3X2+ 2.Mulimea polinoamelor de nedeterminata X cu coeficieni n Zp trebuie tratat difereniat i verificate toate proprietaile introduse i pe aceast mulime.Exemplul: Se tie c dac dou polinoame sunt egale atunci i funciile lor polinomiale sunt egale, adic: f=g g f~~ .Reciproca acestei implicaii nu este n general adevarat.Contraexemplu n acest sens: f,gZp[X], f=X3, g=X.Evident f g dar g f~~ deoarece g f~,~ au acelai domeniu de definiie Z3, au acelai codomeniu Z3 i au acelai mod de coresponden ) 0(~) 0(~g f =0, ) 1(~) 1(~g f =1, ) 2(~) 2(~g f =2.Pe aceeai multime Zp[X] este util definirea polinomului redus modulo p al lui f cu observaia c: f+g= f+ g fg= fg (echivalent spus, funcia m* :Z[X] Zm[X], f f m) (* este un morfism de inele).Aplicnd morfismul m* : Z[X] Zm[X] se pot determina ctul i restul mpririi a dou polinoame din Zm[X].Exemplu:(1). Determinm ctul i restul mpririi lui f = X4 + 2X3 + 3X2 + X + 2 Z5[X] la g = X2 + 3 Z5[X].Efectum mai nti mprirea lui f la g n Z[X]. Avem:X4 + 2X3 + 3X2 + X + 2 = (X2 + 3)(X2 + 2X)+(-5X + 2) i aplicnd obinem X4 + 2X3 + 3X2 + X + 2 = (X2 + 3)(X2 + 2X) +2.Prin urmare, q = X2 + 2X i r = 2;(2). Determinm m Z pentru care f = X5 + 9X2 - 18X Zm[X] se divide cu g = X2 + 3 Zm[X].Efectum mai nti mprirea lui f la g n Z[X]. Avem:X5 + 9X2 - 18X = (X2 + 3)(X3 - 3X + 9)-9(X + 3), aplicnd morfismul m* obinem, X5 + 9X2 - 81X = (X2 + 3)(X3 - 3X + 9) -9(X + 3).Deci f se divide cu g, dac restul mpririi lui f la g n Zm[X] este zero, adic 9(X + 3) = 0 n Zm[X], ceea ce este echivalent cu 9 = 0 (mod m) i 27 0 (mod m). Deci m=3 sau m=9.51ntotdeauna pentru un polinom fK[X] trebuie precizat mulimea n care se determin rdcinile.(1). f = 2X + 3 Z[X] are gradul 1 i nu are rdcini n Z. (2). f = 2X + 3 Q[X] are gradul 1 i are rdcina 23 n Q.(3). g = X2 + X + 1 Z2[X] are gradul 2 i nu are rdcinile 1=0, 2=1, 3=1 n Z2 i avem h = X(X+1) n Z2[X].Relaia de divizibilitate n inelele de polinoameDivizibilitatea polinoamelor ocup un loc important n studiul proprietilor polinoamelor, stnd la baza rezolvrii numeroaselor probleme de matematic, dintre cele mai diverse.Fie inelul de polinoame K[X]. n definirea operaiei de nmultire n inelul de polinoame, produsul a dou polinoame f,g din K[X] este tot un polinom din K[X] al crui grad este egal cu suma gradelor celor dou polinoame fg=h.Aceasta ne sugereaz a considera i problema reciproc acesteia: dndu-se un polinom h din K[X] exist sau nu dou polinoame n K[X] al cror produs s fie polinomul h.Astfel dndu-se polinoamele f,h din K[X] exist polinomul g din K[X], astfel ca produsul fg este egal cu polinomul h, atunci spunem c polinomul f este un divizor al polinomului h (h este divizibil prin f) sau c polinomul h este un multiplu al polinoamului f.Exemplu: 1. Fie f,g,h R[X], f= X+2, h= X2+5X+6. Exist polinomul g= X+3 astfel nct:(X+2)(X+3)=X2+5X+6.Divizorii de forma a i af, aK-{0} se numesc divizori improprii ai lui f. Ceilali divizori, dac exist, se numesc divizori proprii ai lui f.Problema care ne intereseaz este de a vedea cum se scrie un polinom fK[X] ca un produs de factori de un anumit tip.Un polinom fK[X] se numete ireductibil peste K (sau nc ireductibil n K[X]) dac are gradul cel puin unu i dac nu are divizori proprii.n caz contrar, el se numete reductibil peste K (sau nc reductibil n K[X]).Problema descompunerii unui polinom n factori ireductibili (factorizarea polinoamelor) este operaia invers nmulirii polinoamelor. Reamintim faptul c atunci cnd factorizm un numr natural, cutm numere prime al cror produs s fie numrul dat, de exemplu, 6=23, sau 12=2

Embed Size (px)
Recommended