(.)
Att
GEORGE gT. ANDONTEGEORGE $T. ANDONilI
ISTORIA MATEMATICII^^IN ROMANIA
ISTORIA MATEMATICITîN RoMÂxn
ÎN :l voluMEVOLUI\ÍUL 2
,,,
l
1
I
I
EDITUR¡\ illtUCÀ. o BUCURE$.I'I 1966... : i /i(.
.. ì.r.(/\j i
., ".,:':),*''.: Ít' "
EDTTURÂ çTIINI rFrCÃ o BUCURESTT
PARTEA A PATRA
DrN terg plnÄ ÎN rg¿e
l
tI
l
I
I
I
l
I
136. S¿ däm nta,i nnr,ltù ímportanlù. melodíceí Ia predarea malematicíIot'în învàlãntînlulsuperior, în,,Gazeta mat. si fiz.", seria Ä, t. I, r.r.77-72,1949, pp. 38-43.
L37. Curs d,e ànalizä matematicã,. Teoría func!,íílor t'eale,litografiat, Universitatca clin
Bucuresti, Facultabea de ma[. çi fiz., 197 pag., 1950.I38. Anatíza mntematícã', vol. II, 420 pag., Editura Äcad. R'P.R,, 1953'
139, Matematica în consfuclia socíalisrnului, in,,Gazcta mat. çi fiz.", vol. V, nr. 4,aprilie 1953, p. L45.
740, Influenla oíelií çtiinlifice souíetice a,suprd, muncii noasü'e, în ,,Gazeta mat. çi f iz'",seria A, vol. VI, nr. 8-9, auguit-sepberllníe 7c154, p. 383.
747. Curs ile analizä matcmatícã,, litografiat, Universitatea din Bucuresti, Facultateade mat. çi fiz., 258 pag., 1953.
742. Pred,arca analizei la facultã,!íIe de fizíco- matema'tíci, în ,,Gazeta mat. çi fiz."'seria 4., t. VIII, nr. 1, ianuarie 1956, pp. 31-36.
743. No!íunea de echiçalen!ä gí im.portanla ei tn matemat.ícä, în,,Gazcl'a mat. ;i fiz.",seria À, t. VIII, nr. 7, iulie 1956, pp. 337-3t¡5.
144. Analíza matenzctticà, vol. I, 400. pag., Eclitura Tchnicä, 1957.745. Ar¿aliza matemøticä, vol. II, 535 pag., Editura Tehnicä, Bucureçti, 1958.
146. Ianos Bolyaí, nxare matematicían çí militctnt pt'ogresist, în ,,Scîntcia tineretului",anul XV, nr.3328, 27 ianuarie 1960, pp. l gi 3.
147 . Dirnífiíe Pompeiu, omulçí opera,irr,,Contemporanul", nr. 8,19 februarie 1960' p. 7.
1t¡8. Analiza matematicä, vol. III,300 pag., Editura fehnicä, Bucureçti, 1960.
L49 . Matematica în plín progtes. Succese ale çIíínleí românegtí , în ,,Scînteia tineretultti"nr. 3384, 1 aprilie 1960, p. 2.
1,60. Irunclii reale gí elemente d,e analizä funclionalä, Editura de Stat Didacticä çiPedagogicä, 152 pag., Bucureçti, 1962.
151 . În colaborare at N. Dinculeanu si Solomon Marcus: Manual de analizä ma,te-
nratícä, vol. I, Editura de Stat Didacticä çi Pedagogicä,735 pag.,1962'752. Contribulii româneçtí în cet'ceta¡'eø matent'aticä, în ,,Con[emporannl", nr. 50,
11r decembrie 1962, p. 7.I53. Matematica ,,çtiín!ä a çtíinlelor" P, în ,,ContemporanuI", nr. 47 (893), 22 noiembrie
1963, p. 7.1,54. Figurí de matematícieni rcmâni, în ,,Gazeta matematicä", anul LXIX, nr. 4,
aprilie 1964, pp. 127-128.156. Funclie, contínuítale, în,,Probleme actuale cle matematìcá", Editula Didacticä qi
Pcdagogicä, Bucuresti, 1961r.
$ 1-7. Tiberiu Popoviciu
ø. Tiberiu Popoviciu s-a náscub în Aracì, Ja t6 februarie 19C6. În liceu a
fost un element exceplional la matematici. A început de timpuriu (1923)colaborarea Ta,,Gazefa matematicä";la conculsul anual aI acestei reviste din1"924 a ob,tinut premiul I. În cursul superior al liceului fiincl, a scos o revistälitografiatä de popularizare a maternaticilor: ,,Jurnalul mate n:atic" (L923-1"925)
pe care a condus-o pînä ce l-au absorbit studiile universitare. '{bsolvind în1924seclia realá a Liceului,,Moise Nicoarä" din Arad, s-a înscris la Unive¡sitateadin Bucuregti, urmînd matematicil e I a Facul'tatea de çtiin'!e- Dintre profesoriisäi l-a remarcat imediat gi l-a apreciat Gheo¡ghe Jileica. lnL927 Pcpoviciugi-a trecut licenla în matematici.
176
elev aI ,,Çcolii ttorrnale superioare"t
çi-a publicat primul memoliu ma-erná de cea mai buná aProxrrnalre a
cadenriei Rorlâne".tiinle, în octombrie L928, apoi lamatematici, dupä ce Þi-a suslinut
fonctions d"une ot"t' de deu,n çariables
interça,lul lø,b], dacâ avem:
L
LL
frL
fr2
fr"
f ("r)f ("r)f ("r)
>0
pentru toate grupurile de cîte 3 puncte Øt I oz {ør, cup'inse în intervalul
[o,41 . e"..irai-,, ä" asemenea) ca studiul_aðestor {uncçii a fost fäcut prima oar'á
ã" "at"" J.L.W.Jensenl, apoi de L.Galvaniz'*-î;;;;u "u
d" do"to"ní, fib"rin Poprviciu a generalizat no!,iunea de func,tie
"o""""a, piin ínt'oducet:ea, funcgiilot: coneeie de ordin supet'ior. Aces[ea3 sînt
func!iile õare verificä inegalitatea:
| ,,u "?-... "iJ9t_]_ _- nlnrt frzt "'¡ finr2, fl:+ .i' " ) "ttlz' 'J It*rr! ...4*t
I
pentru n1tnzt...tnn'-g E difelili, B fiind mullimea de definiçie a funcliei
f(")'' ' Éentru aceste fuuclii convexe de ordin superior,mul rîncl proprietä,tile de descomp.unere a mullimordinul n-în submullimi consecutive, sau a aräta'tisfac aceste func,tii''De asemenea, el a studiat 9iclouá variabile reale independente '
oPrietáli ristice de naturá
b- g""t"Ít convexe de orclin
su ãrP.at în în sPecial de cea
de scns mu studiat alte Pr9'p"i.taçi a]e funcliilor convexe de ordin superior lL}, L2, 21"-22,27-4L,44-46).
1 În ,,Acta mathematica", Stockholm, t' :J0, 1-q06', i" i,n"î¿ìãà"ïi ã"i-Ci"tolo matemático di Palomr:", t. 41,.1.916,- pp. 1,03. li-1;a ii;í lar, sr,.,, n I L-a diferenlä divizatä ^ l.]t [(ï)
pen[ru puncLele 11, ... a! f (xi) | estc cleLerminantu] tìe oltlinul
n | 2 a cärui linic ...4 f (q) çi l1ø. "? "' "T*'les.tcdcter-minant cle ordinul n ) esLe convexá dc or¡linul r¿ pemulltmea ¡''ãu"a alf""".t1ele divi pe grupurile de rr' f 2 puncte ale lur l''sînt ) 0.
12 - Istoria l\{atemâtici¡ II 777
Teza de doctorat a h,i Tiberiu popoviciu a fost citatä în ultimul timp, prin_tre altii, de Laurent Schrvartz în lucrarea sa inbitulatá Théoria d"es rlíitiibuti-or¿s1 si de G.Ascoli.
Dupä trecerea tezei cìe cloctorat înciu se întoarce îrr !arä, în 1933(secletar) la Univer.sitatea dinasisl,ent Ia cateclra prof^esoruluUnivelsitá!ii din Cluj. în l¡azaeste numit c,tnfelenliar provizoriu de geometrie proiectivá gi descriptivä laF¿rcultatea de náu!i, însá nu a profeiat Ia aceasiá conlerintá, ciìa cea de mat le (1936-: 940).-în toam'a anului tg40 tre'ce'lau'iversitatea , suplinitor pentru Analiza matematicá (calculdiferenlial ;i octombrie {942 pina în 1g46 a predat tà laçi,
ro{esor agregat de teoria funcliilor. în 1946 treceitular al catedrei de algebrá, din 1948, rámîne profesorde matematicá gi fizicá. Inde matematicä gi mecanicä
a Universitälii,,llabeç-Bolyai".. Incepîncl cu anul ,scolar 1959/60, Popoviciu a predal, gi cursuri speciale(calculul operalional gi teoria funcçiilor generalizate; aproximare 9i interpo-lare).
_ Tiberiu Popoviciu (fig'. 36) a fost membru corespondenI al AcademieiR.P.R. din noiembrie 1948, pîná la 20 martie 1963, dãta Ia care a devenitmembru titular al Academiei, la seclia de gtiinle matematice.
A participat la numeroase congrese;i conferinle internationale, fie ca in-vitat, fie ca reprezentanL al !árii noastre. Astfel a participat'la Congresul rna-tematicienilor polonezi (Vargovia, 1953) ; la al XII-lea Congres internalionalal maternaticienilor (Arnsterdam, 1,954); la Congresul matematicienilor aus-trieci (Viena, 1956) ; la Congresul matematicienilor sovietici (X1loscova, 1956) ;la Congresul nrabemabicienilor maghiari (1960) ; la Congr.esul naliorral de ana-lizä_numericä (Paris, 1961); la Congresul mat,ernaticienilor germani (Weimar,fO6Q) ; la al XIV-lea Congres internalional al maternaticieiilor (Stockhohn,p62) ; la colocviul ,,Bazele rnatematicii, magini matematice gi aplicaliile lor"(Tihany, Ungaria, 1962) ; la consfátuirea pentru colaborarea în problerneletehnicii de calcul (Var.sovia, 1962). A ginut con{erinle de matematici la uni-versitá1ile din Cracovia, Wroclaw, Posnan si Vargovia (f 953), Debrelin (1960),si Nloscova (1960) , la Centlul inbernational de calcul de la Rorna (1960) .
Din t9¿r8 si pîná în 1951 a fost secretar al Filialei din Cluj a AcademieiR,P.lì.,iardint9Stconduce seclia de matematici a acestei filiale. Din 1957este director al Insbitutului de Calcul nurneric al Acaderniei, ctin CILrj .
Este membru la,,Socióté mathérnatique de France". Din 1959, Tiberju Po-poviciu conduce revista ,,Mathematica", care apare la Cluj ,
b. Actiçitatea çtiinlifícci. Atto,liza operei. În cleagia sa, Tiberiu Popovicius-a preocupat în special de chestiuni de analizá matematicä (în acesl. dorreniu,
l
I
I
4
1 Lucrarea lui Schrvar'l2 a fosb tipár'itá în coleclia,,.A.ctualités scientific¡ues et indus-tliolles", nr.7122, X, Ilcrrnann ct C-ie, Palis, 1951. C itarea se face la bibliografia indicatãla p. 158.
{
lI
I
i
I
II
I
I
I
1
i
I
I
tI
I
i,t
L7812r
36. '-f il¡eliLr Pr-rpoviciu
în-special de teoria func_,tiilor de variabile realel, cle analiza numericä., de al-gebrá ;i teoria numerelor.
br. Analizø matematicã,. Toate lucrärile de analizá rnatematicä au ca fir con-ducätor urmätoarea idee: Fiind datä o funclie de o variabilä realä f(ø) , sau de
f(p), r" formeazä o expresie de forma:ate, iar pi, un numár finit de ,puncte
sau nu între ele prin anumite con-cazul în care verificä inegalitatea
de variabile reale sînt de considerat'n superior.itate a funcliilor convexe de ordin su-
perior, studiatá în teza sa de doctoratpro_prietatea de prelungire [10], cum gi1121. Apoi a dat definilii cäracteristice
zeazá. acesle polinoame pentru func,tiileCele mai multe dintre rezultatele ob,tinute privind teoria funcliilor convexe
{e ord.iq superior [8, 10, L2,2!,-22,27-4L,2+-+q au fost.*prr" de TiberiuPopoviciu în lucrarea sa de ansamblula Paris, în coleclia ,,Actualités scientdefinegte funcliile convexe de ordin s
dupä ce face un studiu amänunlit alriabilitatea diferengei divizate de un
de ordin superior gi proprietálilelucrärii de sintezä [217] amintite.lä, pentru n¡1. Înäceaìtä'ultimä
abilitatea funcliilor convexe de ordinlitäçi care generalizeazä pe cele clasice
'"" ä:' Jå,ï, il:lï:i,$1, gl*t'"î o., i. i,,
galitã1ile de forma: inegalitäçii clasice a lui Je'sen' ine-
gi a sta.bilit o legäturä între aceste inegalitä1i çi distribulia rädäcinilor poli-noamelor orto_gonale. Se remarcä de altfól cá in ioatá crea,tîa sa de pijiä
"å.,rrl,.illjïIt*lilor îl preocupá îndeaproape. ,¡,t
citat.pentlu aceste lucrári iles Sciences,ené'Taton, t. III, La Scien .II, Le XX-ede France, 1964, p. 51,,icola a III-a a monografiil tc de Univer-
ss asupra aproximalieimului Iui L. Feiér. Ul-liniar al lui Fijer, aonia, în.ür-un inierval
Li legäturá cu funcliile convexe de ordin superior çi cu funcliire legate deliile necesare si suficiente ca un'sistem
zat^ll.3l polinoamele cu aju,ùorul ecuaCor¡ siclerînd [20] ecualia func!ionalä
stanlr
å å A,¡ ('t ih,a * ik) :0,
func!ia f(n,fi fiincl definirä în clreprunghiul. a{ø{b, c1U1d, a ob}inutm rrl çirrr ea so I u çii I or con Linu c s ub f ornì a ;;;i- pr;"à; p;i;""rì,In caracterizarea f.unclionarä a polinoameror de o ï"ri"bila, a stndiat 126]ecuatia funclionatá (azi.numitä eäuaçia r"i i-. Þ;;";;i"i"-(a)
nf(."):h
fo,fr- i a,h) :Q,i:o
:,*:.^::1t:len,tii reali øo gi pseu.doperioadele ar(í :0,L,.., n) sînr ctate. A ob-çrnut arcr multe rezul[ate esenliale referitoare'iu ^."áría ecíagie; p;i"il ,l-
tele, proprietalea: orice solu-çie continuá a ecuatiei
nom de gradul n. - L.
L,f(ø) :0 este un poli-h^
_. br. Analiza numericã,. Strîns legate a_liza matematicä sînt realizärile"sale +Ãnecesará tehnicii si stijnlelor _expe ;;mult la noi, datoiitå i-i,"i*r"i'ã
ceob,tinute au fost aplicate cu succes
I
i
m
\n;f @) >.= oi:1
180181
Popoviciu csbe conducátorul unui colectiv câr'c se ocupä de p1'oblente de calcuÊ
,ruirro.i"; accsL colecbiv, ìtrcepîncl clr anul :[9116, a adus çi adtrce o {rumoasá
contribuçie româneascá \t teorict, ca,lcttlu'hd n.tuneric-sau ìn. perfecliorzttlea nteto-
tlel"or tle illcul nuner.ic. Di¡trc diversele capitolc alc alalizei numelice, colec-
Uivul a sl.ncliat: ctLlrlrtlu,L cliferenlelor d,ivízct,ie, irtterpolarea ;_i aplica¡iíle acesteia
la cctlculu"l nutneric, fornutLelc çi restttl fornni|elor lüúcn'e de ctptorintare, pro'bLeme d,e ca,Lur) gra,fic çi n'ont'ogrct'fie'
În calurlul ctífer'er"¡eior tliviãr.te', atît de imporl.ante,în _interpolale, în afará
cle elaltorarea fót'm.,ielor fundamerrtale ale acestui calcul despre care a [ratatî' beza sa de cloctolaf. l8] , T. Popoviciu rnai are unele realizári importante în
alte cinci mernoi.ii 1t2,46,59,69,-74). El{undeazá calculul cu diferençe clivizate
ca un calcul ,nr, ?ìrr"Lrle'cctLcu,lu"l diferen\iat. Printre forrnulele privind calcu-
Iul di{erençelor. divizate, a cìal. {ormula diferen!^ei divizate a prorlusului a clouä. clat apoi {orrnula cle medie a diferen}elorlatá de ordinul n' pe n' f 1 noduri alese
; i::nh iîîî'å' ¡ î#,'.iii;:ìlï'tToabe aceste forrnule ie".tes" ca llazä
¡rentru proprietälile difererrçiale ale funcçiilor cle' Acela,si rnatemãtician a dab gi def.inigia generalá- zate a uner
f .,""lii ä" ¿o.ra valiabile çi a'stabiliù'cuijutorul proprietálinabile reale ocupat de
ferenlele de{inite pe nodurile unei re-
erivata a r¿-a a unui proclus de douävatei cle ordinul ru a funcliei compuse)
finiçi.generalizärile acesbeia sau la apli-în nremoriile l'13,54,62, 63, 72)' De
re ct' ltti Newtotz din punctul dc vedere
;,'lïtrË+,*H"i{ffiffi;aproximalie a tabelului de diÍerenle
elã de interpolare cu douár'ariallile,cle cubaturá 'i forrnulelol liniale de inl'elpolare ale
analizei, Tiberiu Popoyiciu a clat [51.] - c_ur1ì spuneam.mai sus - o nouã' teo'
rie a sttlttcttn.ii restilu,i în. ctceste formule r)e ctptoaimrtyie. t\ demonsLrab cä o
i.-.iiã u"l"rl a1¡¡ clefinitá p" S gi ar,încl graclul de exactitate r?¿, în cazul
pÀïii""rnt cînclÎii) ,.,., .. onil"azá clacá / este o funcJ,ie continuä çi convexä
de ordinul nz, are folma:R(f) : fl[o?r+r1 l"çt, 42, ',., 4n *, ifl'
¿\ceasta aratå strînsa legáturä a res[ului cu beoria func,Liilor convexe de or-
clin superior. de care s-a ocrìpat atît de rnulf Tiberiu Popoviciu 9-i permite sä se
"fl. .ri t.";i cu aj utorul cärora sá sc cunoascä precis .fo-r*o.restului. Dc altlbt,ult,erior [56] , Popoviciu a {ácul, un studirr al formulelol de derrvare numerlcA
;-;r;"gr;tíc eåcti¡ate maxim, gi a arátat cä formulele de derivare numericä
cu noduri simetrice agezate dau totdeauna pentrLr resl o înfäçiçare ca cea clemai sus.Ca sá i nurnerice, acläugärn cá pc,poviciu
a genercl ntnnerícèí a lui Gcru,ss gi a fäcut crlaceastä a polinoamelor oltogonale.,,Insl,i al Acaclemiei, în calc se dezvoltã.
cu pagi repezi analiza nurnericä româneascá, a fost funclat î¡ 1g57. Cînd vo¡rtrata despre realizärile acestui insti[ut, în volumul ulmátor al lucr.árii noasl.re.,vorn aräta cu anumite cletalii cum s-a ajuns aici - folosinclu-se calculatoaréelectronice - la rezolvarea unor problgme consider.ate anl.erior inaborclabilcdatoritä volumului mare de calõule..b". Algebra çi teorict nunterelor. Tiberiu Popo'r.iciu este ,si algebrist. (algebr,ä
gi teoria nurnerelor) . Nlemoriile sale de algeÈrá lg, 'LL, 14-L5: L7l r" "àf.iä lustudiul ecualiilor algebrice cu toate rädäcinile reale,;i la sLudiul zerourilor
. De exemplu, aratä 11,4] câ clacä ecualia clerivatä arear ecualia primitivä are rädäcini de forma a I ib, a-poate avea rädácinile reale în intervalul lct - ),.nlt,
entru Àr, care nu depind decît de gradul n a[ ecuaiiei
Popoviciu a arátat [11,] ca dacä P.,Pr,...,-pn; ... este un ,sir de ¡toli'oameortogonale, zerouril-e a douä poljnoame Pa,Pn,'"cu nt1n., se separä iotcleauna_Inseamnä cá întle douä zeroruri ale lui Pr, nü'poate sá éxiste mai mult clecîtun^zero, al lui P-.- Infucrarea premiatä în 1926 de,,Gazeta matematicä" çi tipäritä la Aradìn L927: Asupra unor polinod,nxe rema¡.ca,bíIe cu o notã, orrrpr'o foi.mutei Lít¿ontu,-lui (L92,193),;i memoriile 14-71publicate înainte .le srråtirrår. a ïezei cle cloc-torat în nabernatici se studiazä-''iele clasespeciale d,e poliioa,me. De exemplu,în luclarea premiar.ä se studiazä polinoamele' pr(ø,\) provenite clin dezvoltäreálui e'(I -l ¿z)À : \a, ¿_./n:ogeontetríce diverget"t te :
znPn(n ,À) . Polinomul Pn@, \) se ataseazä senei hiper-
I + !8. 1 "þ' | 1lþ(þ1'tl "., -' 1 ' 1.2
De asernenea, se sr.udiazä [z] porinoamele care formeazä.u' ,sir Appelt. u'çìrde polinoameîn r, Po, Pt, ..., Pnesteun girAppell,.la.ä dl,, :lprr^r.fliberi'Popoviciu a cáu'at sä cletermine toate porinoa'rele noo?il, cîncr î'tre treipolinoarne consecutive. exis¡ä o pelalie de recu.enl¿ rnriårL gi'o-og.rrä crc or_din'l al doilea gi a aräbat cä în aceÁr caz polinoa-.I. r. i.åga a.i"l; hip;;"geometrice,
Urrclc dintre lucrárile lui Tiberiu Popoviciu au fost utilizate de alji mate-maticieni români sau sträini în munca lor de cercetare. De exernplu, acade-rrricianul |¡-ancez Gaston Julia; profesor la Sorbona, a considerat un rezultatal matematicianului nostru çi i-a dat numele de teoretna lu,i Tíberitt PopovicittLRelativ recent Tiberiu Popoviciu a dat o demonstraÇie rrorräiníle a douã, politnamc
[75] teolerneilui W.A.N{arl<ov , care spune: Dacä rädã.c tle gradtt.l n,
p""i.lräirl"clca lucrarea lui Gaslon .Itr'Iia, itttrrulatá Príncipes gé,ométriçrcs tl,analyse,
782 183
o,aînd tocrte rcirllicínile l,or reale, se sepúrã,, la fel se î.ntîmplã, çi cu rã'd,ã'cínile cleri-va,telor acestor poLinocr,nr.e. Dernonstralia pe care o dä Tiberiu Popoviciu, deo'sebitá clc demonstlatia lui W.A.Markov sau de cea a lui Paul Montel datá înanul t93i în,,MauhernaLica", se bazeazá pe continuita[ea çi rnonot,onia rádáci-nilor deriv¡tei unui polinom, ou toal,e rädácinile reale, în raporb cu rädäcinilepolinomului. Analog cu aceastä teoremá a lui rtr.A.Markov, în acelagi rnemoriu
¡751 , Poporriciu mai dá o teolerrrá asupra polinoamelor cu toate rádáciLrileleale,
i¡teoriønttnterelor, Til¡eriu Popoviciu a atacat o problemä de partiçie a nu-rnerelor [57] çi a sbudiab aplicarea aLgoritmului lui Euclid, pentru aflarea celuirnai rnare divizor corÌrun a douä numere [58]
În prirnul cazl a pus urrnáboarea problemá: Dîndu-se ecuatia:
arrri Tzfrz-l .,. | ø*n* :n,
rrrrde ar,... ar,, sînb nurnele nal,urale date, sá se gáseascá un poÌinom P(n) de n',
afa ca lumárul soluçiilor în întregi nenegativi ai acesbei ecualii sä fie egal cu
întregul cel mai apropiab de P(ru) , oricare ar fi n. Popoviciu rezolvä problemapcÌtrn nt : L,2,3,- În al cloilea rnemoriu [58] , care privegte determinarea numärului de îrnpár-
çili de fácuL spre a obline cel mai mare comun divizor a douá nutnere date, cu
ajr,rtorul ulgoiitnru,lu,i lu,i Euclid, Popoviciu completeazä metoda datá anteriorcle Pafnuti Cebîgev. Çi anume Cebîgev ar'átase cá atunci cînd se aplicá algorit-mul lui Euclid pentlu determinarea c.m.m.c.d. a douá numele date rn si rz, se
poate da o nxcrrgitxe su,perioarä a numärului de împárÇiri ce trebuie fäcute spreã ajunge. la c.m.m.c.d. Cebîgev precizase cä numárul împárlirilor este ceInrult egal cu dc cinci oli numàrul cifrelor celui mai mic numár dintre m çi n.Popoviãiu precrzeazá, câ ttu¡nd,rul împã,r1irilor este cel mult d'e cinci ori numã,ruLcifielor celii mcti tnic r¿ttmã,r d,intre m;i n, suise î,n sistemul cu" baza 1/. Adicäbaza'Il clir cea mai bunä limitare, dacä dorim sä pästrám rnultiplicatorul 5 alcifrelor celui rnai rlic lumál din[re numerele m y n.
c. Din cele expuse mai sus gi din lista de memorii se poale vedea în mocl iu-dubitabil calitaiea cleosebitä de analist a profesorului universitar de la ClujTiberiu Popoviciu ,si capacitatea sa creatoare în teoria func,tiilor con'pene tleortlin.superior. De aìtfeI, în isboria mabematicii rornâne de pînä acum, preocu-pärile pr.ivind acesl.e func!ii convexe constituie apanajul aproape exclusiv alrnatemãticianului Tiberiu Popoviciu. Dar çi realizárile sale în domeniul ¿nø-
lizei nunterice, calcu,lului numeric, atît de utile tehnicii gi gtiinlelor exacteexperinrentale, fac ca Tiberiu Popoviciu sä fie consideraü ca prirnul_møtema-
,ticiøn ccØe cL o,eut l&noi asemenea preocupã,ri ce au d,us Ia organizareø Institttttt'-lui d,e calcul rlin Ctuj gi ca atare drept initiator al çcolii româ,ne cle a'nalizä ntt'n'¿ericä.
Tiberiu Popoviciu rã,mû,ne în matemcttícct noasträ prinh'e marile forpe analiste,pt'ecurn ;í rncr,temntí,cianul ccu'e a' d,eschis lø noi dlwmul cercetå,ri|or cla ana,Iizånu,n"¿erícä, în stil rLare.
d,. Lucrãli publicate. d,r. A[ernorii d'e møtemq,tici. În ordine cronologicä, Ti-beliu Popoviciu a publìcat urmätoarele"'memorii:
X 'l-. Sttr certains polynômes mínímísanls, în,,Bull. de la sect' scient. de I'Acad. routì1.",t. XII, 1929, pp. 135-136.
37 . Pau I l\Iontcl Ia Cluj ,dc lhlivcrsitalea clujcernir.
cìiplornn àc Doclot lronotis cnusa, acorclatá
184
cu
2, stu'Ies foncti'ons conaefres d,'u,ne varíableréelle, îr,,c.R. ¿\cacr. sc. paris", t. f g0, 1g30,p p . 14 81-1483 .
3. s¿¿r les índ'ícatc'ttt's, în,,Bull. scicnt. dc l'Éc. polyt. de Timi;oara", t. B,1gs0, pp.12-80.
4' Remarques sur les polgnômes de meilleto'e appronimation, în,,Bul. Soc. de çliint,e,,,Gluj, vol.5, 1930, pp.279-286. Ä se vcdea,,l\{arhcmatica,,, vol. IV, 1980, p. 73.
5. ,s¿a' les suítes d'e polynômes, în ,,Bul. soc. cle çtiin!e", ctuj , r.ol. v, 1g3l , pp. 4g2-503. À se vedea si,,Mathematica", vol. V, 1981, p.g6.
6. Remarques sur les polyn,ômes binomíaut, în ,,Bul. Soc. de gliinçe,,, cltrj , r,ol. vI,1932, pp. 746-148. A. se vedea si,,l,Iathematica,,, vol. VI, 1g82, p. g,
7 ' Asupra polínoamelor cøre formeazã, un gir Appell, în,,Bull, mathóm. cle la Soc. roum.des. Sc.", t. 33-34, 7932, pp. 22-27.¿l B. ,Sur quelques propriétës tles fonctíons d,'u,ne ott de det¿t çariables réelles, Thèse, paris,
12 iunie 1933. Vezi çi,,Mathemarica", vol. VIII, 1gg4, pp. 1-g5.9' s¿a'untl¿éorèmedeLaguerre,în,,Bul.soc.creçtiinle",cluj ,t.vIII, 1g31r,pp.f-4.
se vcdea si ,,Mathematica", vol. X, 1984, p. 12g.10. S¿r le prolongement d,es fonctíons cotreefres d,'orilre supé,t.íeur, în,,Bull. malhtlm. de
la Soc. roum. des sciences", r,, 36, IgB4, pp. 75-108.77. Sur la d'ístributíon d'es zéros tle certt¿íns polgnômes minirnísants, în,,Bull. clc la scct"
scient. de l'¡Lcad. roum.", t. XVI, nr. 10, 1984, pp,2I4-2I,1 . I
'{ 72. Sur l'approrimatíon r)es fonctions coneefres d,'orilre supéríeur, în ,,}Iathen-ra1ica,., t.X, {934, pp. 49-54.
13. S¿r certaít'¿es équations fonctíonnelles ité.fíníssant d,es polgnômes, în ,,I{athemar.ica,,,vol. X, 1934, pp. I97-208,
74, Remarques sur les ëquation's algébriçrcs d,ont les équalíons tlé.riçé,es ont tott.¿cs leu¡sracínes rëelles, în,,C.R. Àcad. Sc. Paris", r.2O0,lgB5, pp. 1g4-1g6.
15. Quelques propríé,tés iles équatíons algë,bríqttes d,ont les équatiorts dérísées ont leurs ra-cínes rëelles, în ,,Mathematica", t. XI, 1985, pp. 205-221 .
76. sur u'ne conditi,on suffísante pour qu'un. polynôme soít posirif, în ,,1\,Iathenatica,.,t. XI, 1935, pp.247-256.7'1. Sut les équatíons algëbriques aAd,nt IoLLres leuts racir¿es réelles, în,,trIathernatic¿,,,
t, XI, 1936, pp.4.29-145.18. sur tt'n' problème ile maximum d,e stíeltjes, în,,c.R. Acad. sc. paris,,, L.202, rß6;
pp. 1645-1647.19. S¿¿r' Ies d'irectíor¿s d'índétertnínatíon complètte tl'une foncríon elliplíqtte, îl ,,Bull"de Sc. mathóm.", Paris, s. 2, x. LX,1g86, pp. 1tg6-198.20. Remarqttes su'r lø défínition fonctíonnelle d,'un polgnôme rl,'une çaria.l¡le rl1elle, in
,,ì{a[hematica", t. XII, 1936, pp.5-12.-{, 21 . Notessurlesfonctíonsconeex)esd,'ord,resupéí.íeur (I) , în,,},Iathcmatica,,,t. xII,1gg6,pp.81-92.K 22' Nolessurlesfonctionsconeeûesd,'ord,resupérieur,II,în,,Mathematica,,,t,xII,lgs6,pp.227-233.
23. sur certains problèmes d.e manímu.m de stieltjes, în,,Bull. mathóm. clc la soc. roum-des Sc.", t.38, 1936, pp.73-g6.
24. Remartlues sut' Ie manímutn d'un détermínant rlont tous les é.\é,n¡ents sot-tt rLon-négati¡s,în,,Mathematica",vol.xIII, 1937,p.242.Àsevedeaçi,,Bul.soc.destiin!e,,,ctrr; , t. s,1937, pp. 572-582.
25...sur les d,ifférences rles fonctions d,'*ne variar¡re ré,elle, ln ,,c.R, Acacl. sc. Rou-manie", t. II, 1938, pp, 172-114.
26. Sur les solutíons bornées et les solutíons mesu.ral¡les il,e cet løínes équatíons fonctíonnelles,în ,,Mathematica", vol. XIV, lgg8, pp. 47-106,
186
- 27. Sur rlttelques ínégalités enlre les fonctíons conae$es,I, în,,C.R. Àcad. Sc. Roumanie",t. II, nr'. 5, 1938, pp. 449-454.
28. S¿¿rqttelquesinégalítésentlelesfonctíonsconeeÍes,II,î1 ,,C.R.Àcad.Sc.Roumanic",t. II, 1938, pp.454-458.
29, Deua t'em,o,rques sur lcs fonctíons conaeÍes, în ,,Bull. de la sect. scient. dc l'¿\cad.ronm.", t. XX, nr. 7, 1938, pp. 45-49.
30. S¿¿r' I'a,ppronímation. d,es fonctiotl,s coneelxes d"ordre supérieur, în ,,Bull. de Ia sect.
scicnt. de l'.{.cad. roum.", t. XX, nr.7, 1938, pp.50-53.31. Sar.le prolongcnten,t des fonctíons n'totxotones et des fonctíor7s coneeïes d,éfinies sLLr t¿t!
nombre fini de poínts, în ,,Bull. de la sect. scient. de l'Äcad. toum.", t. XX, nr. 7, 1938,
pp.54-56.32. Su¡'quelquesinégalítésenh'elesfonctíonsconeefies,III,în,,C.R.Inst.Sc.Roumanie",
t. III, nr,4, 1939, pp.396-40233. Notes sw les fonctiotl,s conaaÍes d,'ord,re supéríeut',III, în,,llathematica", t, XVI,
Cluj, 1940, pp. 74-86.i S+. Notes sur les fonctíons coneeres d,'orilre su,pfuíeur,IV, în ,,Disquisit math. et phys.",.
t. I, 1940, pp. 163-171 .
35. -ðÍof¿s sw' les fonctions cot'ùeefies d,'ortbe supéríeu.r, V, în ,,Bull. de la sect. scicnt. del'Àcad. roum.", t. XXII, 19110, pp. 351-356.
36. lfof¿s sur les fotzctíons cotleefres d,'ordre supéríeu.r, VI, în,,Revue mathém. de l'Ulioninterbalk.", r. 2, 7939, pp. 31-40.
37. Notes stu, les fonctions coneafles d,'ordre supéríeur, VII, în ,,Bull. de la sect. scienf .
de I'Acad. roum.", L 22, 1939, pp. 29-33.38. -lüol¿s sur les fonctíons cor'¿eefres d,'ordre supërieur, VIII, în ,,Bull. de Ia secb. scient"
de I'Acad. roum.", t. XXII, 1939, pp. 34-4L,39. Notes sur les gé,néralisutíor¡s r)es fonctíons conaeÌes rJ'ordrc supéríern',I, în ,,DiscluisiI
math. et phys.", t. I, fasc. 1, 1940, pp. 35 42.
40. Notes su,r les généralisalíons rles fonctions conaefres rI'ot'tlre supé,rietLr,II, în ,,Bull. cle
la sect. scient. de l'.A,cad. roum.", t. XXII, 19rr0, pp. 473-477.I¡1 . Noles sLLr les généïalisatíons d.es fonctíons conveïes d,'ordre supérieu.r,III, în,,Bull"
-- de la sect. scient. dc l'Acad. roum.", t. XXIV, 19L1, pp. L09-476.1¡2. It'ttroductíon, à Ia théorie d.es d,ífférences clívísées, în ,,Bull. mathéln. de la Soc. rourn.
des Sc.", E. L2 (l), 1947, pp. 65-78.43. Quelqu.es tenxaÌ(lues sur un th,óorèm,e tle ÌtLD. Pontpeïu, în ,,Bull. cle la Soc. roum.
cles Sc.", t. XLIII, 1941, pp. 27-44.
\ 44 . -l{o f ¿s su.¡. Ies généralisations rles fonc tions con ae Í6 il' orclre supérieut , lY , în ,, D isqu isit.math. et phy..", t. 2, fasc. 2-3,7942, pp.127-148,
f: L5. Notes sur les fonctíons conçetes iL'orclre supéríeur,IX, în ,,Bull. mathérn, de la Soc"
roum. des Sc.", t. 43, 1942, pp. 85-141 .
X, 4ß. Notes su,r les fonctions coneeïes il'orilre supéríeur, X, în ,,Änn. scient. cle I'Univ. de
Iassy", 1.28, 1.942, pp. 161-207.47. St,;" I'approúmatíon tles fonctíons cotttinues, tJ'une varíal¡le reelle par des polynômes,
în,,Ànn. scient. de I'Univ. cle lassy", r,,28,7942, p' 208.
48. ,S¿a' Iafornur.Ie d'es accroissements fínís, în,,tr{athematica", t. XXIII, 1948' pp' 123-126.
49. Sul une inégalité, în,,1{aLhema[ica", vol. XXIII, Timigoara, 19118, pp. 1'27-128.50. Sur certa,ins ínégalítës ent'e les zéros supposés tous rëels, il'un polynônte et ccua de sa
d,érivée, în ,,Ann. scient. de l'Univ. de lassy", x. 30, 1948' pp. 191-218'57. Asupra formei restuhtí ît't, unele formule de apronímølie ale analízei, în,,Lucrär'ile
sesiunii generale çtiin!. Acact. R.P.R,", iunie 1950, pp. 183-186.
\87
52' Asupta, demonstra!íei teoremei luiWaizrstrass cu a,jutorul polínoamelor rle inle,polare,în ,,Lucrär'ile sesiunii çtiin!. Acacl. R.p.R.,,, 1950, pp. 166 +_tOOl .53' Asuprafuncliilordeovariabilãrealã'acd,rormil¡imededefíni!íeesteretrnireaad,orã,
sultnnrllimi cle monotoníe opusã, în,,Än. Acad. R.p.R.';, sectria áat., fiz., t. III, mem. r,1950, pp. 1-16.
54' Considet'açií teoretíce asupra utilizã'rií practíce a unor formule d,e ínterpolaL.e, în,,8.1,qtiinl' Acad. R.P.R'", sec.tia mat., fiz., t. III, nr.4, octombrie-deccmbrie rg51, pp. 44r-449.
55. Asuprø polinoarnelor cu roatu rãd,ã,cinile reale, ir ,,studii si cercet. çtiinJ.,., Acad.R.P.R., Filiala Cluj, t. III, nr. l-2, ianuarie_iunie 1g52, pp.7_1,0.56. Asupra restului în tu'¿ele formure iJe d,erirrare ,un "ríri,'r, cîteva proprietã!í ale for-¡nulelor de deriçare n'umerícä de etactitale maøimã,, îu,,studii si ce¡cet. mat.,,, t. III, nr.7-2, 7952, pp. 53-722.57' Asupra unei probleme de parti¡íe a numerelot', în,,studii si ce¡cet. çtii'!.,,, Acacr.R.P.R., Filiala Cluj , t. IV, nr. L-2, ianuarie_iunie Lg5S, pp. Zi_fS.58. Asu¡tra aplicãríi algorittnurtd Iuí Euctiit penh.u rr¡tàira c.m.m.d,c. a do¿rã, nutnere
clate, în,,studii çi cercer' çriin1." Acad. R.p.R., Fitiara clui, t. IV, nr. 1-2, ianuarie-iunic 1953, pp.59-63. - i59' Folytonos függvényeh középórtélttételeit'öI (Despre teoremele cle medii ale funcliilor
continue) , în,,Magyar Tud. Akacl. ùIat. Fiz. oszt. Közleményei,,, t. rv, Lg54, pp. BbB-3 56.
60' r¿s polynômes zll StIf. Bentsteín et Ie problème ile I'interpolatíon, Congtcsul irìrcr-national al matematicienilor, Amsterclam, 1g54.t'7. Asupra unei gene|arízã,ri a formurei d,e íntegrare nurnerícã, a Iu.í Gatæs, în ,,studii çiccrcet' çtiint'" Àcad. R.P'R., Firiara Iaçi, anulvl, nr. 1-2, ianuarie-iunie 195b, pp.2g-62' Despre precízía calcul¿t'Iui nutneríc în interporarea prin. porí,oame, in,,Bur. gtiint.
Acacl. R.F.R.", seclia mat., fiz., f . VII, nr. 4, 1g55, pp. -OlS_OOf
.
63' Despre prccízia calcuh¿Iui numeric în interpolàiea prin polinomu,I Iuí Newton cunotlurí echítlístante,în,,studii çi cercet. çtiinJ.", Acad. R.p.R., Fiiiala cruj, t. vI, nr. s-4,1955, pp. 27-34, La Gongresur matematicieniror români din 27 mai
- 4 iunie 1gb6 atra[at despre Unele øspecte ale problerneí precíziei î,n calculele numerice. Rezumat în limbafra'cezá in Lucrárile congresului I\r, Editura Acacr. R.p.R.,1960, p. g4. Ä se vedea [65] ¡64. Asu.prauneíecuariifu,rc!íonale, în,,studiigi cercet. çtii.1.,;,ïcacr. R.p.R., FilialaCIui, t. VI, rrr. 3-4, iulie-decembrie 1955, pp. 87_4g.
65' Certaíns aspect d,u proltlème d'e Ia pr'écisíon dans les calcules nuntériqtrss, în ,,13.11.rnarlrém. Soc. mathém. et phys cle la R.p.R.,,, t. I (4g), rtr, 4,1gb7, pp. 478_'L7g.66. otnosítelino nelrctorîirt'^ner'o,aenste mejdu sred.nímí, în ,,Mathematica,,, vor. I (2L),f. 1. Cluj, 1959, pp. Bt-93. În româneste în,,Stuclii gi cercet. matem.,., t. XI,'r,. 2,Cluj, 1960, pp. 3zr3-355.67 . s¿u' le reste d'an^s certaittes formules linéaíres d'appronimøtíon de I,anaryse, în ,,llathe-nra1,ica", vol. 1, (241, fasc. 1, 19b9, pp. 95-142.68' Asu'pra rcstuluí in unere formule ríníare de apr.oøímare øIe anarizei, în,,studii sice¡cet. matern.", t. X, nr. 2, Cluj, 1g5g, pp. BB7_Bgg.69' Diferenra d,ívízateçí derívale , în,,studii si cercet. matem.", t. XI, nr,. 1, cruj, 1g60,pp. 119-145. Ä se veclea traclucerea îr, francerå în,,Mathematica,,, t, 1 (24) , fasc. 2, cluj ,1 959.70' Su'r la d'élímitation du r¿ste dans cet,taines form,ules d,'approaimøtion línéaíres deI'analyse, în,,Mathematica,.,.vol. 2 (25) , fasc. l, Cluj , 1960, pp.ìfO_f OZ. 1" "";;;;ç;;în,,Studii si cercet. matcm..,, t. XI, nr.2, Cluj, 1g60, pp. Sä_SOZ.
188
7!' Remarquasurlapremièreetsurlasecondeforrnu,Ierlelamoyenned,ucalculintégral,în,,1vlathematica", vol.2 (25), fasc. 1, cluj, 1960, pp. 168-169.
-în româneste în,,siuilii
si cercet. matem,", t. Xl, nr.2, Cluj, 1g60, pp,863_870.72' Asupta precíziei calcululuí numet'íc în ínterpolarea prin polinoame ¿,e dottir variabile,
în,,Studii si cercet. matem.,,, t. XI, fasc. anexá, Cluj , 1960, pp. lbg_16b.73 ' Sur la ilëIímítation ilu reste dans les formules d,'øpproøímàtion línéa,íre d,e l,anal.gse.
Symposium on the numerical treatment of ordinary diiìerential equations, integral andinægro-differential equations (Roma, 1g60), Birkhauser, Basel, rg60, pp.441-446. Ä sevedea çi [70].
74' Remørqttes sltr une forrnule ile la mogenne d,es d,ifférences ilíçisées généralísées, în,,Ma-tlrematica", vol. 2 (251, fasc. 2, CIuj , 1g60, pp. B2B-B2L
75. sur un théorètne d,ew.A. Marltov, în,,Mathematica", vol. 2 (25), fasc. 2, 1g60, pp.299-332. În româneçte în,,Studii çi cercet. matem.,,, t. XII, irr.2, Ctuj , 1g6i,pp.333-355.
76. Some Bernstein polgnomíøIín tø'o varíables anil theír applications, în,,Dokl. .Alcad.Naulr", sssR, t. 134,7960, pp. 48-51 . Tradusä în englezä în ,,sov. Mat. Dokl.,,, t. 1,1961, pp. 1025-7028.
77. Sut Ia consery)atíon de I'allure ile conç,etité, tl'une fonctíon pa,r ses polynônes r|,inter-polatíon, în ,,Mathematica", t. 3 (26), fasc. 2, Cluj, 1g61, pp. Sll_829.
78' Remarqttes sur Ia conserpation rlu sígne et de Ia monotoníe par cerlaíns po\1nômesd'interpola,tíon tl'une fonction d,'une varíal¡Ie, în,,Ann. univ. Sc. Budapest. Eötvös, secb.matlr., I. \-tL, 1960-1961, pp. 241-246.
79' Sur Ia conserçation', par Ie polynôme il'íntcrpolation ila L. Fejér, d,u sigre ou d,e ¡tmonotoníe de Ia fonction, în,,An. çLiin1. Iasi,,, secl. I, serie nouä, t, B, 1962, pp. 65_g4.
du. -În ,;Gazeta matematicä", Tiberiu popoviciu a publicat 'rmátoarelearbicole gi note matematice:
80. Generalízat'ea teoremei Iuí Franke, anul XXVIIT (rg2z-2g1, pp. 409-410.8!. Asupra problemei 3078, antJ XXIX (Ig2B-24\, p. g9.82. Asupra problemeí 3724, ar;ul XXX (1924-25), p. 9rr.83. Func¡íí pseuclosínzetríce, anul XXXI (1925-2()), p. 4b5.84. Asupra geometríei unui triunghiu d,cformabil î.n echilibru, anul XXXII I (1g2t--2g1 ,pp.284-289.85. Asupra uneí ecua!íi d,íf eren!íale, anul XXXIV (192S-2g), pp. rLlil_ l2}.86. Asuprø nutnãrului índícatorilor unuí numär daú, anul xxx\¡I (lgs0-gl),
pp.86-90.87. Asupra ínt)ícatorílor, anul XXXVI (lg30-31), p. 2b9.88. Asupra unuí d,ererminant, arlùl XXXVI (19S0-Bl), pp. 405_40g.89. Asupra n'oteí d,inGazeta nxútenxatícît,, vol XXXVII, p. 92, anul xxxvIII (lgB2-
33), p. 88.
90, Asupra problemei 2308 çi &supra, notei J tÌ,in,,Gazeta matematícír',, vol. xxl, an1.lXXXVIII (1932-33), pp. tBt-tSB.
97' Asupra noteí 40 d'ín Gazeta matematicd,, t'ot, xxxvII, p. 446, anul xXXVIII(1932-33), pp. 774-775.
92. Asupra uneí problema d,ín ,,cu,legereø d,e probleme de algebrä", anul XXXIX (1g3g-34) , pp. 351---:353.
93, Asupra mediilor arítmetíce çí geometríce, anul XL (lg34-85), pp, b5_60.94. Observapíi asupra ecualííIor algebríce açî,nil toate räd,äcíníte t,eale, antl XLI (1g85-
36) , pp.67-68.
189
95. Asu,pra problemeí 457 din,,Gazela, matematicä", øoI. VII, p.84, anul XLI (1935-.36), pp. 285-288.
96 . Asupra curbelor plane, anul XLI (1935-36) , pp . 613-6119.97. Despre o inegalítate a IuíWol¡tenholme, anul XLII (1936-37), pp, 135-138.98. Asu,pra problemeí 7058, antl XLII (1936-37) , p. 248.99. Despre räilã,cínile comune la mai multe ecua!.íi multínoame, anul XLII (1936-37) ,
p. 569.1-00. Asupra u.neí metoile ile cuad,raturã, mecanícã,, anul XLIII (1937-38) , pp, 246-248.1'07. Asupra unei probleme dín teoria ecualíilor algebríce, anul XLIV (1938-39),
pp. 362-364.702. Asupra noteí 16 d,in.,,Gazcta matematícä", vol. 40, p.117, anulXLIV (1938-39) ,
p. 301.I03. Asupra problemei 4567, an:ul XLV (1939-40) , pp. 232-238.70L. Asupra problemei 4258, anrl XLV (1939-40) , p. 302.1,05. ,zlsupra prcblemei 3354, anul XLV (1939-40) , pp. 472-4i5.1.06. lncã, ceøa despre problema 3977, anul XLV (1939-40) , pp. 578-57g.'1.07. Asupra formelor herm,ítiene, anul XLVI (1940-41), pp. 29-31.708. Obserealie asupra problemeí 3365, antl XLVI (1940-41), pp. \t¡0-I47.L09. Asupra problemeí 3209, anul XLVI (1940-4{), pp. 722-1.30 çi 179-185.110. Asupra problemeí 4385, anrl XLVI (1940-41), pp. 237-241rIIt. Soluliu çi generalizarea problemeí 7876, anul XLVI (1940-41), pp. 34b-350 çi
512-51,9,LL2. Asupra problemei 2337, anul XLVI (1940-a1), pp.356-358.II?,. Asupra problemeí 2552, anu.l XLVI (1940-41), pp. 637-638.LIt¡. Asupra problemeí -1885, anul XLVII (1,541-421 , pp. LIL-4tï.715. Asttpra problemei 2469, an.ul XLVIII (1942-43\, pp. 109-112.l1(:. Asu,pru notei 74 ð,ín G.M. XLIX, p.239. anul XLIX (1943-44), pp. B48-844.1-17. Asupra d,ístríbu.líei numerelot' pt'íme, anrtl L (I94tL-45) , pp. 24I-245.118. Asupra unuí articol, anul L (194t1-45), pp. 425-426.1'19. zlsLtpra unor inegalítå,fi, anul LI (L9+5-46) , pp. 81-85.'120. tlsLtpra índícatorilor, anul LI (1945-46), pp. 306-313.
rlr. De asernenea, în ,,Revista mal,ematicá din Timigoara", ,,J'urnalul ma-teuratic", ,,Curierul matematic" etc. a publicat urnìátoarele articole si noten1atematice:
L21 , Asupratriunghiurílorîncat'ecleeiltia (b + "): bz f c2, î¡,,Rev.rnatem.din'Timi;oara", anul III, 1923, pp.702-1,04.
L22. Rela[iuni intre unghíurile unuí triunghi, în ,,Rev. matem. din Timisoara", anulI \¡, 1C23 , pp. 6 7-69.
723. Asupra unor ceviene într-u,n triunghíu, în ,,Jurnal mat.", anul I, Ig2J,Pp. 1-5.
1,24. O demonstra!íe a teorameí luí Simson, în ,,Jurnal mat.", anul I, 1,g23, pp, G-7.725. Asupra unei problerte, în,,Jurnal mat,", anul I, 1,923, pp.7-1L.726. Asupra funclíílor pseud,o-omogene, în,,Jurnal mat.", anul I, Lg23, pp.IB-IT.I27. Generalizare& teorem,elor lui Franke gí K(DAa, în ,,Jurnal mat.", anul I, 1,925.
pp.25-30.128. O chestíune de arítmeticä, în,,Jurnal mat.", anul I, 1923, pp. 31-gS.729. Generalizarea, Ieoremelor lui Franlte çí Karga, în ,,Jurnal mat.", anul I, Ig2S,
pp.37-39.130. O generalizare, în ,,Jurnal mat.", 1923, pp. 41-43.
790
i.
4'37. Asupra cølculului mod'ululu.í sístentului d,e logaritmi zecíma,lí, în ,,Jurnal mat.,,,.anul I, 1923, pp. LI-46.132. Asupra tríunghíurilor specíale, în,,Jurnal mat.,,, anul I, Ig2B, pp. b4_b6.733. Douã, cubíce analagmatíce, în ,,Jurnal rnat.,,, anul I, l.g2}, p. 57.134. cîteça puncte, drepte çí conice, remør.cabile într-un triunghiu, în ,,Jurnar mat.,,,
anul I, 1923, pp.61-66 9i T8-?6.'135. Asupra ecualieí de grad,ul 1I, în,,Jurnal mat.,,, anul I, 1g2S, pp. 66_6g.L36. Asupra progresiílor cu ma,i multe tølií, în ,,Jurnal mat.,,, anul I, Lg2B, pp. 6g_70.L37. O teorcrnã, de geometríe, în ,,Jurnal mat.,,, ânul I, !928, pp, 77-7g.138. O propríetate remarcabíIã, a d,repteí Iuí Gauss în legðr,turã, ciin tríu,nghi¿, în ,,Jurnalma[.", alul I, 1923, pp. 78-80.'1.39. Asupra polulu.i çi polareí tríunghiularc, în,,Jurnal mat.", anul I, rg24, p. g0.4"4,0'
"lstt'pra unei teoreme d,ín geometria triungh,ítr.Iui, în ,,Jurnal mat.,,, anul r, ,l-g24,
p. 91.'14'1 . AsLt.pra polinoømelor lui Legend,re, în,,Jurnal mat.,,, anul I,,1924, pp. g7_101 ,142, Asuprø uneíînsumã,rí, î',,Jurnal mat.,,, anul I, lg2|, pp. 102_105 çi fOO_ffS.743. Asupra metodei lui Bernoulli penttu aprorimarea ritdäcínilot, unei ecua'lii algebrice,
în ,,Julnal mab.", anul I, 7924, pp. ll3-116.144, Asupra serííIor iliøergente, în,,Jurnal mat.,,, anul I, Lg24, pp.72l-125.745. Asupra an'belor d,e clasa a III-a analagmatice in coot,clonate tangentiale trilineare,
în,,,Irrlnal mat.", anul I, 1,924, pp. 126-12g.7t¡6. Determínanli pseudo-simetricí, în,,Ju.nal rnat.,,, anul I, l-g24, pp. 1.2g_I82.747 . Teoreme asupra polígoanelor regulate, î' ,,Jurnal mat.", anur f , rg2l, pp. lBb-141 .148. Asupra supra,felelor n-d.im,ensíonøle, î' ,,Jurnal mat.,,, anul II, 1g25, pp. Z_i,2.7L9' Asupra sumeí puteríIol' aserneneet a termeníIor uneí progresii ørítmetice, in ,,J,.,"na1rnaL.", anul II, 1925, pp. 72-77,750. Asupra unor tleterntínant,í, ir.,,Jurnal mab.,,, anul IIr lg2i, pp. 1.7_21.151,. Asupra transformärílor ortogonale, în ,,Jurnal mat.,,, anul II, 1,g25, pp,21-28.152, O înilreptare, în ,,Jurnal mat.,., anul II, L925, pp. 2g_S4,753. Asupra d'íferentelor fíníte, in,,Jurnal mat.", a.ul rr,7g2E, pp. 84-46, 57-.6r.154. Observã¡'i asupra uneí îtæumäri, în,,Jurnal mat.,,, anul II, 1,925, pp. 46_4g.155. o teoremã, (rsupra triutghíuríIot, ecl¿íbrocat'tl,iene, in,,Jurnal mat.,,, an. rr, lg25,
pp. 49-50.'15G. Asu'pra d'íametrelor conjugate la curbele algebrice, în,,Julnal mat,,,, anul rr,lg25,
pp. 50-51.157. Generalizan'ea unei rela!íí asuprø combinärilor, în ,,Jurnal mat.,,, anur rr, !g25,
pp. 68-69.158. Asupra restttlu,í d,içiziunilor prín polínoante, în ,,Jurnal mat.", anul rr, 1,925,
pp. G 9-72 .
[59. Asupra u.nei d,ezçoltã,.í polínomiale, în ,,Jurnal mat.,., anul II, !g25, pp.72-75.160. O generalizare a funclieí gamrnct, în ,,Ju.nal mat.,,, a'ul II, Ig25, pp. g5_gp çi
120 -1,29
.
\6'l . Asupra f*nctiunii enponentiale, în ,,Jurnal mat.,,, anul II,Ig25, pp. g5_105.'162. AsuprauneíintegralealuiHermite,ìn,,Ju..almat.,,,anulII,lg25,pp. 106-j07.163. Asupra functiunii etponenliale, ìn,,J'r,nal mat.,,, anul II, IgZ5, pp. IIS-1,20,Ltàlt. Asupra ecualieí a,Igebrice, în ,,Jurnal mat.,., anul II, 1925, pp. l2g_IJ2.165. Asu,pra formu,lei binomului çí a factorictlel, în ,,Curierul mat.,,, anul I, 1lg2b,
pp. 36-39 çi 5t-53.166. Asupra con'ícelor circumscríse unuí h'íunghi, în,,curierul maL.", anul I, rg25,p.7L.1ß7.. Asupra atnei ùlen,tititll, în,,Curicrul mat.,,, anul I, Ig25, pp, LBL-I56,
191
pp
pp
pp
pp
168' Asr'tpra u'nor polinoame remarctr'bile, în,,Bul. Soc. studenlilor î¡ matematici.,litogr,afiat, anul I, 1g25, pp. l2-1g.
769. Asupra polínoamelor trltrasferíce, în,,Bul. soc. studentiror în mat.,,, anul I, 1.g25,pp.32-38.1'10, Asupra unor determínan!í çi a ectn!ííIor lor característjcø, în,,Rev. matem. Timi-
çoâra", anul V, 7925, pp. Ig-21,.1-7r. Asupra, ca,Iculãrií díscrímínan,tuluí ecualíei tle gratrul III,în,,Rev. matem., .rimi-
çoara", arrul V, 7g25, p.7I.'l'72. Asupra coeficienlilor binorníali, în ,,Rev. matem., Timisoara,., anur v, 192b,pp. 99-102.773. Asupra seríei ípergeometríce, în ,,Curierul mat.,,, an.l I, 1926, pp. ,177_Ig2.774. Asupra unor putxcte coliníare, în ,,Cur.icr'l nat.,,, anul II, 1926, pp. 6b_68.775. Generalízarea tut'ui ¿leternxina'nt functíonal, în ,,Curierul mat.,., anul II, 1g26, p. g7.I76, Asupra unor identitã"li algebrice, în,,Curierul mat.,,, anul II,,1.926, pp. 1f B_11g,177 ' Asupra unor d,etermínanfí çí a cntaliílor lot, caractet'istica, în ,,Curicrul mat.,,, anulII, 1926, pp. 161-164.778' citeua propríetã'!í ale polínoamelor rui Laguerle, în,,Bul. soc. sfucl. în mat.,,, anurII,7926, pp. 25-30.779. Teorcme d,e geometria triungltíuluí, în ,,Bul. soc. rstud. în mab.,,, nr. 4, 1g26,2I-24.780' Díscrínzínatztul unei ecualií øIgebrice, în ,,Bul. soc. sfud. în mat.,,, nt. L, rg26,35-38.
'J,87. Príma notã asupr'seríilor Iuí Bertrand,, în,,Bul. Soc. stud. în ma1,.,,, t.2,1926,72-2L
t:r, j ¡Joua, notã, øsupt'a seriíIor ltti Berîanil, în ,,8'1. Soc. stud. în mat.,,, ï..2,1926,
201 , Asupra probletnei 35, în,,Rev. matem., Timisoara,,, anul IX, lg2g, p,52.202' Asupra uneí teoreme tle aritmetícã, în,,Rev..matem., Timiçoa.ra,., an. IX, 1g2g,pp. 99-101 .
203. o problemã a^uprar ínilicatorilor, în ,,Rev. matein., Timiçoara,,, anul IX, 1g2g,p.101.
204' Asuprauneinotematematice,în,,Rev.matem.,Timiçoara",anurIX, 1g80,p.r2g.205. Asupra, unei probleme de aritmeticã, în ,,Rev. matem,, Timisoara,,, anul Ix, 1gsO ,p. 128.206. Despre calculul rãdäcínilor pàIrare, in ,,çtiinfä si progres,,, anul r, {9s4, pp. r34-
{ 38.
207. Despre erÞa,Terea' rädäcínií d,íntr-un polinom ile o ç'aríabilä inilependentd, în ,,Rev.matem., Timisoara", anul XV, lg35, pp. L}-5L208. Despre funclüIe ahernate d'e maí multe varíabile ínilepenilenlø, în,,Rev. matem.,
Timiçoara", anul XV, 1935, pp. 7g-76.209- Despre d'eternt'inarea unor func!íí ile maí mulle çaríabitø, în ,,$tiinçå si progres.,
anul I, 1935, pp. 277-221.270. Despre gírurile monotone, în ,,pozitiva.,, anul I, 1940, pp. 41_45.277. Asupra poligoanelor regulate, în,,pozitiva,,, anul II, lg41 , pp. 92_97.
r)n. Lucrã,ri did,actice, luøã,ri d,e sintezd, çi d,iverse:
272. Reçízuírea ed,i!íeí a rreia a ,,curegerií de probleme de algebrã,, publicatä de ing.And.rei G. Ioachímescu, în 1g26, în coleclia ,,Gazetei matematice,,.
213. Redactarea lecliilor fäcute de Paul Montel la Cluj în 1gB5 despte,,FuncliíIe perío-d'ícegí aproape períoilíce". Á,pärutä în monografiile matematice din cluj, fasc, Ii, 72 pag,,7937 .
214. Colaborator la Exercí\íile sí problemele ile analizä ¿¿c., a profesorulu¡ Anghelulä.215, Despre cea, ma,i bunä aproøíma,tíe a funcliítor contínu.e príi polínoama, monografii
matematice, Cluj , fasc. III, 66 pag., 1g88.276, Curs ile marematící generale, |inut în anul scolar 1937-88 la Facultatea de çtiinlodin Cernäuli, âutografiat, 1938.2L'1. Les fonctíons conQeres, Àctualités scientifiques et industrielles, paris, fasc, gg2¡
75 pag., 7944.218, Elementele ile analízä malematícã,, fasc. 1-2, litografiat, Centrul studenlesc Cluj,
344 pag., 1917.279, Curs ile algabrã' superíoarå. Numere reale gí compleøe. Nolíuní ile 1eoría numereloro
fas'c. 1-2, litografiat, 574pag., Centrul studentesc Cluj ,lg4g,220, Asupra unor ínegalítäü, in,,Gazeta mat, si fiz.,,, seria A., t. XI, nr. g, august
1959, pp. 451-467..221 . 15 aní ile Ia elíberarea pah'íeí noaßtre, Realízäri în ilomeníul malematícíí, în ,,Studii
gi cercet. -1t.", t. X, nr. l, Cluj, 1g5g, pp. g-15.222, Oríentareaçírezultratele cercetäríIor Ia Institutul de calcul, în,,An, Äcad, R,p,R.,,¡
vol. X, pp. 777-122.223, opera gtíín¡ífícd a luí J. Bolgaí, în ,,studia universitatis Babeg-Bolyai,,, cluj¡
t. V, series I, fasó. 1, mathematica, 1g60, pp. g-14.224. Matømatícøçicíbernetíca(ìnL francezä) .Volumul L'hornmeetlasocí¿técontem-
poraine, Editura A.cad. R.P.R., 1969.225. Contríbu|íi øIe Institutuluí ile calcul în un¿Ie cercetärí ile analízã, nutnerícä ímpuse
d'e rezolçarea unor probleme iç'íte în prÒiluc!íe, Sesiunea çtiinlificá jubiliarä, Institutul demecanicã aplicatä,4-7 iulie 1960, Editura Acad. R.p.R., 1g62, pp. 57_,65,
l3 - ¡storia Matematicii II D3
183. Geometríe çí mecanícä, în,,Foaia mat.,,, t. B,1926, pp. 151_1b8.784. Generalizarea unei proprielã.!í aseríei luí,,e,,, în,,Rev. matcm,, Timi;oara,,, anutrVI, 1926, pp.83-85.785, Asupra unuí tJeterminant, în,,Cu'ierul mab.,,, anul II, 1926, pp.202-208,786, Asupra funcliíIor elíptíce , în ,,Curierul mat.,,, anul III, 1927, pp. 9_10.187. Asupra curbelor plane, i:n,,Culierul mat..,, anul III, Lg27, pp. BB_41 .
188. Asu,pra unor operalií funclionale, în ,,Curicrul mat.,., anul IIi, IgZ7, p,p. 6g_70.1'89. substítu[iíIe líníare sí un sístem d,e ecu.a!íi functionale, în ,,culierul maf .,,, a¡ulIII, 1,92'7, pp. 97-102.790' Asu'p,aunorformuled,íferen¡iare,în,,curierurmat.",anurrrr,rg21,pp.rrg_r22.
.^^!91 ,Asuprøunorpolinoamecareformeazã,unsirAppeII,în,,Curierul mat.,,,anulIIf,1927 , pp. 45-1,52.
792. Asupra unor polínoame remarcabíIe, 93 pag., edit. autorului, Aracl, 1g27.193. Asupra formuleí binornuluí,7 pog., edit. autorului, Aracl, 1g27.794' Generalízarea un'uí d'etermínant, în ,,Rev. matem., Timi;oara,,, anur vII, rg2T,pp.59-60.195' Asupra funcliíIor pseudo-omogene, în ,,Rev. matem., Timisoara", anur vII, rg27,p.109.796, Geometríe gí mecanícä, în,,Rev. matem., Timisoara,,, anul VII, Ig27, p. 1.0g,797' Asupra unuí articol, în,,Rev. matem., Timigozrra", anur vII, rg27, p. r2g.798. Asupra u'neí probleme d'e algebrã, în,,curierur mat.", anur III, 1g2g, pp. roz-ror.tq.l ' lsyryy lescompuneríi unuí trinom cu cocficien¡i t'ø!íonari, în ,,R".r. matem., Timi-soara", anul VII, 1g28, pp. lgb-l9g.200' Asu'prø uneí probleme de argebrã, în,,Rev. matem., Timisoara", anur IX, 1g2g,pp. 37-39.
792
226' Aspecte ala legãnrií dintre leoria çi practicã, în matemøticõ,, Oricntarca cercetãrií;tiinlifíce în lumina sarcinílor çi perspcctivelor ilesãvîr,gíríi construcliei socialiste, în ,,Cercetárifilozofice", t. IX, nr.6, 1962, pp. 1535-1588,
227 . Delímitarea erot'ilor dc calcul în ínterpolarea prín polínoamc çí øplica!íí la ilerivareø.çí integrarea numerícã,, Editura r\cad., 1965.
794
$ 18. Nicolae Teoilorescu
ø. Maternaticianul Nicolae Teodorescu binecunoscuL nu numai în lumeaunive¡sitarä çi acadernicä, ci gi în afara acesteia, este printre universitarii
le sale preocupäri. Prezentarnenilol de çtiin!ä, Ia Ins-ecialitate, responsabil pen-Ia congrese de matematici
din larä sau din sträinätate, Nicolae Teodorescu este în continuä gi suslinutämobilitate tinereascá.
Näscut Ia 5/18 iulie 1908, în Bucuregti, Nicolae Teodorescu gi-a fäcur în Ca-pitalá toate studiile, inclusiv cele universitare. Ä urmat gapte clase Ia Liceul,,Spim l{aret", iar ultima claså a fäcut-o Ia fostul seminar pedagogic ,,TituMaioreécu", unde çi-a trecut bacalaureatul în 1926. S-a înscris apoi Ia Facul-tatea de ;tiin,te a Universitälii bucuregtene, seclia matematici, Iuîndu-gi li-cen,ta în matematici în 1929. Dupä aceea a plecat Ia Paris, unde gi-a trecuLteza de doctorat în matematici Ia Sorbona, la 25 aprilie 1931 , tratînd subiec-Ittl t La d,érivée øré,olaire et ses øpplications à. Iø Physique møth,émcttique. Preçe-dintele comisiei de doctorat a fost, Flenri Villat, cunoscut savant francez spe-cialist în mecanica fluidelor, iar membri examinatori ai comisiei au fost J\r-naud Denjoy gi H.Béghin. Dar Villat a fácut frumosul gest de a invita pe în-välatul nostru Dimitrie.Pornpeiu sá facá parte din juriul pentru suslinereatezei, ca cel care era descoperitor al derivatei areolare. As[{el, Nicolae Teodo-rescu este singurul rornân care ,si-a sus,tinut teza de doctorat la o universitatestráinä, în fala unci cornisii cuprinzînd un savanL cona,tional.
In aceastá tezá, pornind de la noliunea d.e d,erivøtä, araolard, introdusá dePompein in 1,91"2, dar interpretînd, fízic a,cest opercl,tor., Teodorescu ajunge Ia oserie de aplicalii interesanle (de exernplu aplicalii Ia deformarea pläcilor elas-tice plane). Intr-adevär., Nicolae Teodorescu pornegte de la definilia gene-ralä a derivatei areolare datä de Pompeiu, pe care nimeni nu o utilizase în ãcea-stä Íormä. El line seama de faptul cá derivata areolarä este independentá denoliunea de derivatá parlialä, ceea ce i-a îngäduit sá studieze clãse largi defunclii de o variabilá complexá. Teodorescu a ajuns de asemenea sä Iege de-,rivata areolará de derivata unei funclii de mulgime, cum çi d.e, d,erivata enterí-oarã, a lui Elie Cartan. Derivata areolarä devine astfel nu numai un insüru-ment cu ajutorul cäruia sä se poatä trece de la funclia de o variabilä complexäanaliticä Ia funclia de o variabilá cornplexá generalä, ci serve;te mai ales lapunerea în ecualie çi integrare, ceea ce face ca unele probleme de fizicä mate-mat,icá sä capete o înfá9i;are extrem de sugestivä gi sirnplá. De exenìplu, N.Teodorescu s-a folosit de derivata areolarä pentru punerea în ecualie a þroble-melor de echilibru pentru mediile continue,
Intors în lará dupä suslinerea doctoratului Ia Paris, Nicolae Teodorescu afost numit în octombrie 1,931 asistenb al profesorului Onicescu Ia catedra de
