of 37
7/29/2019 Gestiunea Riscului Financiar - Partea 1
1/37
68
Capitolul 6
Metode de Gestiune a Riscului Financiar
6.1. Riscul investiiilor n active reale (tangibile)
Obiectivul managerului care adopt decizia de investiie ntr-un activ real, este acela de a
determina activele a cror valoare pentru firm este mai mare dect costul acestora. Aceasta
presupune ca activele s fie evaluate, deci s li se asocieze o valoare. n practic, exist destul de
puine situaii n care estimarea valorii activelor nu prezint dificulti. De exemplu, n domeniul
proprietilor imobiliare firma poate angaja o societate specializat care s fac evaluarea. Dac
exist i o pia activ n domeniu, lucrurile devin i mai simple, preul unei cldiri putnd fi
determinat prin compararea cu preurile de pia ale cldirilor similare.
6.1.1 Valoarea Actual Net criteriu n decizia de investiie
Ideea de baz de la care se pornete n adoptarea deciziei de investiie este aceea c firmele
caut ntotdeauna s achiziioneze active care s produc mai mult dect cost. Pentru aceasta este
nevoie ca firma (investitorul) s cunoasc modul n care sunt determinate preurile acestor active. n
acest scop se va utiliza drept criteriu valoarea actual (PV), respectiv valoarea actual net (NPV)
a unui activ dat (sau a proiectului de investiie n acel activ).
De regul, realizarea proiectelor de investiii n active se ntinde pe mai multe perioade
(ani), aceste investiii fiindafectate de risc. ncorporarea acestor consideraii n decizia de investiiine va conduce n cele ce urmeaz la concluzia c, indiferent de tipul investiiei considerate, pentru
o firm care urmrete maximizarea profitului, regula de decizie este simpl: s urmreasc
maximizarea valorii actuale a firmei.
Valoarea actual a unei firme este dat de preul care s-ar obine n momentul de fa, dac
firma ar fi vndut. Deoarece firma nu este, de fapt, altceva dect un portofoliu de proiecte
(active), valoarea firmei se obine prin nsumarea valorii actuale a tuturor proiectelor dezvoltate de
ctre firm. S presupunem c firma dorete s investeasc ntr-un nou proiect. n acest caz,
valoarea firmei va crete dac profitul marginal (dat de valoarea actual a noului proiect) depete
costul marginal al acestuia. Aceasta este echivalent cu a spune c firma trebuie s investeasc doar
n active care au o valoare actual net pozitiv, valoarea actual net a unui activ (proiect de
investiieI) fiind dat de diferena ntre valoarea ateptat a proiectuluiIi costul acestui proiect
de investiie:
NPV PV CNR
rCI I I
I t
I tt
t
T
I= =+
=
,
,( )11, (6.1)
7/29/2019 Gestiunea Riscului Financiar - Partea 1
2/37
69
unde: NPVI= valoarea actual net ateptat din realizarea proiectuluiI;
PVI= valoarea actual a proiectuluiI;
CI= costul investiiei n proiectulI;
NRI,t = valoarea ateptat a fluxurilor monetare nete aduse de realizarea proiectului In
perioada t;rI,t= rata de discount utilizat n calculul valorii actuale n perioada t;
[1,T] = orizontul de timp pe care se realizeaz proiectuluiI.
De regul, decizia financiar a firmei este, n majoritatea cazurilor, afectat de risc i
incertitudine. n adoptarea acestei decizii, managerul ntlnete incertitudinea n diferite moduri:
- n cazul unui proiect de investiie ntr-un activ real firma nu cunoate preul la care va
putea valorifica rezultatele utilizrii acestuia i nici venitul marginal viitor, dect n baza
informaiilor de care dispune n perioada curent;
- venitul care va fi obinut n fiecare perioad a realizrii proiectului,RI,tnu este cunoscut cucertitudine, decidentul putnd doar s estimeze o distribuie de probabilitate a veniturilor viitoare.
ncorporarea incertitudinii n deciziile de investiii ale firmei se poate face utiliznd mai
multe metode [MAURICE, Ch., THOMAS, Ch., SMITHSON,Ch., "Managerial Economics.
Applied Microeconomics for Decision Making", IRWIN, Homewood, Boston, 1992], cum
sunt:
a)Metoda echivalenilor ceri.
n cadrul acestei abordri, percepia decidentului privind riscul este ilustrat de
ctre fluxurile monetare nete pe care se ateapt s le returneze proiectul, NRI,t n
modelul (6.1).
n acest, caz numrtorul din relaia (6.1) va fi modificat astfel nct s ncorporeze
riscul. n locul unei singure valori cunoscute RI,t , se va utiliza valoarea ateptat a
veniturilor (ERI,t), estimate a fi obinute n perioada t, astfel:
I,t
j=1
n
j I,tjER = p R , (6.2)
unde: I,tjR = veniturile estimate a fi obinute prin investirea n proiectulIn perioada t,
cu j = ,n1 ;
pj= probabilitatea de apariie a venitului I tjR , n perioada t, t [1,T] .
b)Rata de discount ajustat la risc.
7/29/2019 Gestiunea Riscului Financiar - Partea 1
3/37
70
n acest caz, incertitudinea relativ la veniturile care vor fi obinute din realizarea
proiectului de investiii, este ilustrat de ctre rata de discount rI,t din relaia (6.1).
Modalitile prin care rI,tpoate fi ajustat la risc, vor fi prezentate n continuare.
Rata de discount corespunztoare unui proiect de investiii riscant In anul t
poate fi exprimat ca:
rI,t= rt+ (prima de risc)I . (6.3)
n care este rt rata venitului adus de o investiie neriscant (n obligaiuni).
Problema este aceea de a gsi o cale de determinare a primei de risc (RP). Cele
mai utilizate reguli sunt:
1. Abordarea prin costul mediu ponderat al capitalului (WACC) care indic
utilizarea n calculul NPVI pentru noile investiii, a unei rate de discount dat de
relaia:rWACC = rD [D / (D+E)] + rE [E/(D+E)] , (6.4)
unde: rWACC= costul mediu ponderat al capitalului, adic rata profitului pe care firma o
promite acionarilor si din realizarea proiectului de investiii (rD), ajustat
cu raportul dintre capitalul datorat i avuia net a firmei (D/(D+E)), plus
rata profitului pe care firma i propune s o obin (rE), ponderat cu
raportul dintre valoarea aciunilor pe care le deine (E) i avuia sa net
(E/(D+E));
D = valoarea curent pe pia a datoriilor ctre investitori;
rD = rata curent a profitului la care poate obine bani din aciunile n care a
investit;
rE= rata profitului pe aciune care determin firma s pstreze aciunile n care a
investit;
D+E= avuia net a firmei (valoarea sa net).
Utilizarea rWACCdrept rat de discont este posibil n urmtoarele condiii:
(1) proiectulIn care firma dorete s investeasc este identic din punct de vedere al
riscului cu celelalte proiecte existente n portofoliul firmei;(2) proiectul I va fi finanat cu acelai mix de debite i aciuni care predomin la
nivelul firmei.
Aceast abordare poate s eueze n cazul n care proiectul considerat este mai
riscant sau mai puin riscant n raport cu riscul mediu al portofoliului actual al firmei.
2. O metod alternativ de calcul a ratei de discount ne-o oferModelul evalurii
activelor corporale ale firmei (CAPM).
7/29/2019 Gestiunea Riscului Financiar - Partea 1
4/37
71
Acest model i are originea n teoria portofoliilor. Esena teoriei este simpl: cu
ct mai multe aciuni sau bonuri de valoare sunt adugate la portofoliul investitorului,
riscul portofoliului (abaterea standard a veniturilor portofoliului) scade. Principiul este
ilustrat n Figura 6.1.
Cu ct se extinde portofoliul, cu att riscul "unic" asociat cu o aciune particular
achiziionat de ctre firm se mprtie, lsnd investitorul confruntat doar cu risculpieei. De aceea, din perspectiva investitorului, tot ce conteaz este riscul pieei. Cnd
evalueaz o aciune individual, singurul lucru care conteaz este contribuia sa la
riscul pieei, doar acest element fiind luat n considerare la evaluarea unui proiect de
investiii. Riscul unic va fi ignorat deoarece (se presupune) a fost nlturat printr-o bun
diversificare a portofoliului.
La baza construirii i diversificrii portofoliului su de investiii, firma trebuie s
aeze urmtoarele principii:
P1: Teoria portofoliului demonstreaz c pe msur ce un investitor combin mai
multe proiecte (sau bunuri - utilaje sau aciuni) ntr-un portofoliu, riscul acestuia
scade;
P2: Riscul total al unui proiect (abaterea standard a veniturilor) poate fi
descompus n risc unici risc al pieei. Deoarece teoria portofoliului indic faptul c
riscul unic poate fi eliminat meninnd proiectul ntr-un portofoliu bine diversificat,
singurul risc ce conteaz este riscul pieei asociat proiectului: mai precis, contribuiaproiectului la riscul pieei.
Pentru a introduce aceast abordare a riscului n deciziile de portofoliu ale firmei,
va trebui s utilizm o msur a riscului. Pentru aceasta vom porni de la modelul
pieei
rj = +rm , (6.5)
unde: rj = rata venitului pentru proiectulj;
Risculportofoliului
Risc total
Risc unic
Riscul pieei
Numrul de proiecte din portofoliu
Figura 6.1
7/29/2019 Gestiunea Riscului Financiar - Partea 1
5/37
72
rm= rata venitului pentru portofoliul pieei;
=
r
r
j
m
msura riscului proiectuluij.
Analiznd relaia (6.5) care descrie modelul pieei, putem formula un nou
principiu:
P3:Riscul pieei pentru un proiect j este msurat de n modelul pieei. Utiliznd
estimarea lui, proiectul j este
mai riscant dect portofoliul pieei dac> 1;
la fel de riscant ca portofoliul pieei dac= 1;
mai puin riscant dect portofoliul pieei dac< 1.
Aceasta se ntmpl deoarece msoar gradul de variabilitate al venitului
obinut din proiect n raport cu variabilitatea venitului portofoliului pieei. Dac> 1,
adugnd proiectul la portofoliul pieei riscul acestui portofoliu crete.
Revenim acum la ntrebarea: dac rata de discount corespunztoare proiectului jn perioada teste
rj,t= rt+ (prima de risc)j ,
cum obinem o msur pentru prima de risc?
Pentru a rspunde la aceast ntrebare, Teynor, Sharpe i Lintner au formulat
Modelul evalurii capitalului firmei (CAPM). Ei remarc faptul c dou puncte n
msurarea primei de risc sunt deja cunoscute:
(1) Aciunile neriscante: rj,t = rt i = 0. Prin definiie, rata de discont a
aciunilor neriscante este rata liber de risc (rt) i, deoarece profitul pe o aciune liberde risc precum bonurile guvernamentale de valoare, este fix indiferent de ce se
ntmpl pe pia, avem
r
rbonuri de trezorerie
m
= = 0 . (6.6)
(2) Portofoliul pieei: rj,t= rm,t i= 1.
Aceste dou puncte sunt ilustrate n Figura 6.2.
rj,t = rt + (rm,t - rt)
0 1 2
Venitateptat
rm,t
rt
Figura 6.2
7/29/2019 Gestiunea Riscului Financiar - Partea 1
6/37
73
Soluia oferit de ctre modelul CAPMeste simpli elegant. Autorii au propus
ca venitul ateptat i, de aici, prima de risc, s fie o funcie liniar de . Aceast
relaie liniar este dat n Figura 6.2 de ctre dreapta de ecuaie
rj,t= rt+(rm,t- rt). (6.7)
Prima de risc pentru o aciune neriscant este 0:
rt= rt+ 0 , (6.8)
i prima de risc pentru portofoliul pieei este rm,t- rt,
rm, t= rt+ (rm,t- rt) , (6.9)
de aici rezultnd faptul c prima de risc pentru proiectulj este proporional cu:
rj,t= rt+(rm,t- rt) .
Un proiect cu un coeficient = 0,5 va avea o prim de risc pe jumtate ct prima
de risc a pieei, iar unul cu = 2 o prim de risc de 2 ori mai mare dect cea a pieei.
Din analiza acestui model, putem deduce un al patrulea principiu al deciziilor de
portofoliu:
P4:Discontul corespunztor proiectului j n anul t este rata liber de risc plus o
prim de risc:
rj, t= rt+ (prima de risc)j .
Utiliznd CAPM, prima de risc este proporional cu pentru modelul pieei.
Aceasta nseamn c
rj,t= rt+(rm,t- rt) ,
undeeste obinut din modelul pieei rj,t= +rm,t.
Determinarea elementelor numerice necesare utilizrii acestui model se poate
face astfel: rt- poate fi determinat prin observri i analize ale pieei;
- poate fi estimat utiliznd analiza regresiei;
rm, t- rt- poate fi estimat utiliznd serii de date istorice.
7/29/2019 Gestiunea Riscului Financiar - Partea 1
7/37
74
Utilizarea unuia sau altuia dintre modelele prezentate pentru estimarea riscului
unui proiect de investiii prin introducerea riscului n calculul ratei de discont, poate
oferi firmei un rspuns la ntrebarea "care sunt proiectele rentabile care ar trebui
adugate la portofoliul de proiecte al firmei?". Pentru a-i asigura profitul dorit din
activitate i a putea plti acionarilor un venit care s i determine s nu i retrag
investiiile, firma va trebui s i construiasc un portofoliu investiional diversificat,care s coninproiecte a cror valoare actual net este pozitiv.
n cele ce urmeaz vom presupune c firma utilizeaz valoarea actual net ajustat la
risc.Regula valorii actuale nete indic firmei realizarea proiectelor de investiii cu ENPVI> 0
i respingerea proiectelor cu ENPVI < 0. Pentru a putea aplica aceast regul, decidentul
financiar are de parcurs urmtorii pai:
1) Previzionarea cererii pentru produsul/serviciul firmei, pentru a putea obine estimri
ale venitului ateptat din proiect,ERI,t;
2) Estimarea costurilor pe care le va presupune n timp realizarea proiectuluiI, ECI,t;3) Combinarea acestor dou elemente pentru a estima fluxurile monetare nete furnizate
de ctre proiect
ENRI,t= ERI,t - ECI,t; (6.10)
4) Determinarea ratei de discont corespunztoare, rI,t;
5) Ajustarea la risc a fluxurilor monetare nete pentru a obine valoarea actual ateptat a
proiectului,
EPVI=ENR
r
I t
I tt
t
T ,
,( )11 +=
(6.11)
6) Determinarea valorii actuale nete ateptate din realizarea proiectului,
ENPVI = =+
=
EPV CENR
rCI I
I t
I tt
t
T
I,
,( )11. (6.12)
Alturi de modelul valorii actuale nete, n analiza unui proiect de investi ii, decidenii
mai pot utiliza i urmtoarele criterii decizionale:
1. Perioada de rambursare - reprezint timpul necesar firmei pentru a-i acoperi
investiia iniial.
2.Profitul mediu pe investiie (ROI) - se obine raportnd profitul obinut prin realizarea
unui proiect de investiii la costul mediu al investiiei.
7/29/2019 Gestiunea Riscului Financiar - Partea 1
8/37
75
3.Rata intern a profitului (IRR) reprezint acea rat de discont rIcare face caENPV=0.
6.1.2 Finanarea investiiilor n active reale
De cele mai multe ori, realizarea unor proiecte de investiii este condiionat de volumul
fondurilor de investiie de care dispune firma. De fapt, managerul firmei este cel care impuneaceast restricie. ntr-o perspectiv mai cuprinztoare, n care se ia n considerare legtura pe
care firma o poate stabili cu piaa financiar, limitarea capitalului de investit al firmei de ctre
managerul acesteia nu trebuie s apar. Practic, posibilitatea firmei de a contracta credite pe
piaa monetar face s nu existe nici o restricie extern asupra numrului de proiecte care pot fi
realizate de ctre firm.
Dac firma are la dispoziie un proiect care ar putea conduce la creterea valorii sale, ea
trebuie s l realizeze, restricia de capital putnd fi oricnd eliminat de ctre piaa creditelor.
Dac apeleaz la credite, firma i poate realiza toate proiectele de investiii cu condiia ca plata
dobnzii s nu conduc la scderea sub 0 a valorii actuale nete a proiectului.
1)Raionalizarea capitalului
Dintr-o perspectiv mai pragmatic, multe firme raionalizeaz capitalul; ele sunt supuse
unei restricii asupra numrului de proiecte de investiii pe care le pot materializa. Este, ns,
necesar s recunoatem faptul c aceasta este o restricie autoimpus. Din anumite motive,
managerii cred c nu vor putea s realizeze toate proiectele, caz n care ei trebuie s aleag unul
dintre aceste proiecte.
S presupunem c firma dispune de trei proiecte ordonate dupNPVastfel:
Proiect NPV[u.m.] Locul
A N 1
B 2N/3 2
C N/2 3
Proiectul A are cea mai mare valoare actual net dar, dac combinarea proiectelor B i
C cost mai puin dect A singur, este de preferat ca firma s investeasc n B i C deoareceNPVB+NPVC>NPVA. A lua deci o decizie numai n raport cuNPVnu este suficient; un manager
trebuie s ia n considerereNPVobinutpe unitatea monetar cheltuit pentru proiect.
Problema expus, este una de optimizare cu restricii: managerul dorete s maximizeze
valoarea firmei n condiiile existenei unui capital limitat. Regula de optimizare cu restricii
recomand alocarea pentru proiectele concurente a unor sume pentru care profitul marginal
(NPV) pe unitatea monetar cheltuit s fie egal pentru aceste proiecte. Cea mai direct
7/29/2019 Gestiunea Riscului Financiar - Partea 1
9/37
76
abordare a acestei probleme o constituie determinarea ratei de profitabilitate (PI), ca raport ntre
NPVIi CI(costul realizrii proiectuluiI).
Pentru proiectele considerate anterior, s presupunem c avem:
Proiect NPV[u.m.] Cost
[u.m.]
Valoare actual
(PV) [u.m.]
PI
0 1 2 3=1+2 4=3/2
A N N/2 3N/2 3
B 2N/3 N/3.3 N 3.3
C N/2 N/3 5N/6 2.5
Firma va investi n aceste proiecte n ordinea B, A i, dac fondul disponibil de investiii
i va mai permite, n proiectul C.
i indicatorul PIare propriile limite. Utilizarea sa nu mai este relevant dac restriciei
de buget i se adaug altele, de exemplu dac aceast restricie este impus pe mai mult de o
perioad de timp sau dac proiectele sunt mutual exclusive sau se condiioneaz reciproc n
realizare.
2) Contractarea de credite pe piaa monetar
Eliminnd restricia autoimpus asupra nivelului capitalului pe care l poate investi n
proiectele de investiii, firma poate recurge la credite pentru finanarea tuturor proiectelor care
auNPV>0. Problema care confrunt firma n aceast situaie este urmtoarea: valoarea actualnet a unui proiect I are acelai nivel i n cazul n care realizarea lui are loc n baza
contractrii unui credit pe piaa de capital? Evident c nu.
n acest caz, firma trebuie s recalculeze valoarea NPV lund n considerare i rata
dobnzii la creditul obinut pe ntregul orizont de timp. Includerea dobnzii la credit n calculul
valorii actuale nete poate fi fcut n urmtoarele moduri:
a. Prin diminuarea valorii fluxului monetar net din fiecare perioadt(ENRt) cu dobnda
aferent acelei perioade:
ENPVENR D
rCI
D t t
I tt I
t
T
=
+
= ( ),10, (6.13)
unde: Dt= volumul absolut al dobnzii la credite n perioada t.
b. Prin ajustarea ratei de discont rI,t cu rata dobnzii la creditul contractat, perceput n
perioada ta orizontului de timp:
7/29/2019 Gestiunea Riscului Financiar - Partea 1
10/37
77
rDI,t= rI,t+ rD , (6.14)
unde: rDI,t= rata de discont ajustat la risc i incluznd rata dobnzii la credite;
rI,t= rata de discont normal;
rD = rata dobnzii n perioada t.
n cazul n care rata de discount rI,tfolosit de ctre firm pentru calcululNPVIeste rata
medie a dobnzii pe piaa de capital, rD va fi egal cu diferena dintre rata dobnzii la care firma
poate obine creditul i rata medie a dobnzii practicat pe pia.
Valoarea actual net recalculat va fi:
ENPVENR
rCI
D t
DI t
t It
T
=+
= ( ),10
. (6.15)
Cum poate managerul s analizeze n acest caz proiectele de investiii? Regula valorii
actuale nete va rmne nemodificat, urmnd a fi acceptate proiectele Icu NPVI>0i respinse
cele cuNPVI
7/29/2019 Gestiunea Riscului Financiar - Partea 1
11/37
78
maxim. n anul 1952, Harry Markowitz a publicat articolul Portofolio Selection n care a
explicat urmtorul paradox: dei investitorii caut s-i maximizeze profitul, n general ei au
aversiune fa de risc. S-a observat c aversiunea la risc i caracterizeaz pe mai toi investitorii,
mai ales pe cei de dimensiuni mari.
Prin urmare, se remarc dou criterii importante care trebuie analizate n cazul alegerii
optime a portofoliilor:
- venitul (profitul) adus de portofoliu: poate fi determinat simplu pe baza profitului
mediu al fiecrui activ financiar ce intr n componena portofoliului;
- riscul portofoliului respectiv (probabilitatea ca acesta s nu returneze profitul
ateptat). n analiza acestui al doilea element trebuie avut n vedere faptul riscul unui
portofoliu nu depinde doar de riscul individual al fiecrei componente, ci i de
corelaia care exist ntre evoluia activelor ce formeaz portofoliul.
Modalitatea prin care investitorii gestioneaz riscul asociat deinerii unui anumit portofoliu
const n diversificarea portofoliului. A diversifica un portofoliu nseamn a achiziiona cantiti
mici dintr-un numr mare de active diferite.
6.2.1 Venitul ateptat al unui portofoliu
Pentru a determina venitul ateptat al unui ntreg portofoliu procedm astfel:
1. Determinm cu relaia (6.16) venitul ateptat al fiecruia dintre cele Nactive n parte,
venituri pe care le notm cu N1,=j,rej . Dac investitorul se ateapt ca un activ al
portofoliului s i aduc un venit ricu probabilitateapi, cu i = 1,n , unde n reprezint numrul total
al nivelurilor de venit estimate de ctre investitorc ar putea fi obinute ca urmare a deinerii acelui
activ, venitul ateptat al activelor j este:
ej 1 1 2 2 n n
i=1
n
i ir = p r + p r +...+ p r = p r , (6.16)
unde i=1
n
ip = 1 .
S presupunem c investitorul deineNactive diferite n portofoliul su, i c el are o avuie
W0 pe care o investete n cele N active. Partea din ntregul portofoliu deinut de activul j,
j = 1, N o vom nota cu aj.
7/29/2019 Gestiunea Riscului Financiar - Partea 1
12/37
79
n termeni absolui, ajW0reprezint suma investit n activul j, i, deoarece prile ajsunt
ponderi, avem cj=1
N
ja = 1 .
2. Calculm venitul ateptat al portofoliului rPca o medie ponderat a veniturilor ateptate
ale celorNactive, ponderile constituindu-le prile din suma total destinat portofoliului, investite
n fiecare activ n parte (aj):
ra=ra+...+ra+ra=rejj
N
1=j
eNN
e22
e11
P (6.17)
De regul, veniturile rsunt date de rate (exprimate procentual) ateptate ale venitului.
Managerii firmelor i construiesc i diversific portofoliile n scopul obinerii unui anumit
ctig. Ei i bazeaz deciziile pe venitul ateptat al portofoliului, dei dimensiunea avuiei lor finale
depinde de valoarea actual a venitului ateptat. Dac firma investete ntr-un portofoliu o sum
totalW0i dac valoarea actual a venitului portofoliului este rP
a, atunci nivelul final al avuiei
firmei va fi:
)r+(1W=WP
a01 (6.18)
Astfel spus, dacW0este dat, atunci W1 depinde doar de aPr pe care firma nu l cunoate.
Ea trebuie deci s i fundamenteze deciziile pe informaiile de care dispune: venitul ateptat al
portofoliului rPi riscul acestuia.
6.2.2 Riscul unui portofoliu
Riscul portofoliului depinde de riscul coninut de fiecare activ inclus n portofoliu n parte.Pentru a msura riscul unui activ vom utiliza abaterea medie ptratic
2 , definit ca suma
ptratelor abaterilor fa de venitul ateptat al activului, ponderate cu posibilitile de apariie a
fiecrui venit particular. Presupunnd deci c activulj are veniturile r1, r2,...,rn cu probabilitilep1,
p2,...,pn, abaterea medie ptratic este dat de:
7/29/2019 Gestiunea Riscului Financiar - Partea 1
13/37
80
)r-r(p+...+)r-r(p+)r-r(p=e
n
2
ne
2
2
2e
1
2
12
(6. 19)
Aa cum se cunoate, un activ este cu att mai lipsit de risc cu ct 2 are valori mai
apropiate de 0.
n baza caracteristicilor de risc ale activelor incluse, vom determina, n continuare, riscul
portofoliului, calculnd abaterea medie ptratic a acestuia, p2 . Este important de reinut faptul c
abaterea medie ptratic a portofoliului nu este puri simplu media ponderat a abaterilor medii
ptratice ale activelor incluse. Pentru a susine aceast afirmaie vom utiliza urmtorul exemplu.
Presupunem c o firm deine aciuni la dou companii, avuia acesteia fiind investit n
acest mod n pri egale. Una dintre firme, "Umbrela SRL", este distribuitor de umbrele. Cnd un
an este foarte ploios, ceea ce presupunem c se ntmpl din doi n doi ani, aciunile la aceast
companie aduc un venit de 25%; cnd anii sunt secetoi, venitul este de 5%. Cealalt companie,
"Ochelari de soare SRL", obine un venit de 25% n anii secetoi i doar 5% n anii ploioi.
Venitul ateptat pentru ambele companii este de 15% pe an, iar abaterile standard sunt de
0,01 pentru amndou companiile. Aceasta nseamn c abaterea standard a portofoliului este de
1%, aa cum este media ponderat a celor dou abateri ale aciunilor la cele dou companii?
Rspunsul este nu.
n anii ploioi, investitorul primete 25% venit de la "Umbrela SRL" i 5% venit de la
"Ochelari de soare SRL". Deoarece el are jumtate din portofoliu compus cu fiecare tip de aciune,
venitul portofoliului este de 15% = 0,5(25%) + 0,5(5%)
n anii secetoi, el obine doar 5% de la "Umbrela SRL" i 25% de la "Ochelari de soare
SRL"; venitul su este tot de 15% = 0,5(5%) + 0,5(25%). Venitul portofoliului este, din nou, 15%
iar abaterea standard a portofoliului este zero.
De notat acest rezultat remarcabil: combinnd active ale cror venituri rspund n moduri
opuse unor circumstane posibile diferite (n acest caz ani ploioi i ani secetoi), un investitor
poate obine un portofoliu cu abaterea standardzero, deci unportofoliu lipsit de risc.
n cazul analizat spunem c veniturile sunt negativ corelate deoarece o aciune tinde s
produc venit peste medie iar cealalt aciune tinde s produc venit sub medie sau c ele au o
covarian negativ.
S presupunem acum c investitorul combin n portofoliul su aciuni de la "Umbrela
SRL" i "Pelerina de ploaie SRL" n pri egale. Ultima companie obine un venit de 25% n anii
ploioi i 5% n anii secetoi deci are o structur identic a venitului ca i prima companie. Venitul
7/29/2019 Gestiunea Riscului Financiar - Partea 1
14/37
81
ateptat al portofoliului rmne tot 15%, dar acum riscul este mare, deoarece riscurile celor dou
active nu se mai anuleaz unul pe cellalt. Abaterea standard a portofoliului egal mprit ntre cele
dou aciuni este de 0,01, care este exact abaterea standard a activelor individuale. n acest caz,
spunem c veniturile celor dou active suntpozitiv corelate sau c ele au o covarian pozitiv.
Putem acum introduce covariana a dou active. Considerm dou active, 1 i 2, fiecare cu
veniturile afectate de risc i presupunem c aceste active produc veniturile r11 i r21 cu
probabilitatea p1, veniturile r12 i r22 cu probabilitatea p2, .a.m.d. Presupunem c exist n
posibiliti diferite de a obine venituri, cu n probabiliti asociate. Veniturile ateptate ale celor
dou active sunt calculate n mod obinuit i notate cu re1i re2, respectiv:
rij /pj
Activ
ri1
p1
ri2
p2
rin
pn rei
A1 r11 r12 r1n re1
A2 r21 r22 r2n re2
Covariana veniturilor celor dou active, notatcov(r1, r2) se determin utiliznd relaia:
Cov(r,r ) = p ( r - r )( r - r ) + p ( r - r )(r - r ) +...+
+ p ( r - r )( r - r )
1 2 1 11 1e
21 2e
2 12 1e
2e
n 1n 1
e
2n 2
e
22(6.20)
Cnd activele tind s produc venituri peste medie n acelai timp, covariana este pozitiv;
cnd activele au venituri care sunt independente reciproc, covariana este zero, iar cnd un activ
produce venit peste medie iar cellalt sub medie, covariana este negativ.
Putem acum arta cum depinde abaterea standard a ntregului portofoliu (riscul
portofoliului) de caracteristicile de risc coninute n activele care alctuiesc portofoliul.
Presupunnd c portofoliul are doar dou active, putem scrie:
)r,rcov(aa2+a+a= 212122
22
21
21
2P (6.21)
Deci abaterea standard a portofoliului este o sum ponderat a abaterilor standard ale
activelor coninute, plus un termen care depinde de abaterea standard a celor dou active. n cazul
n care covariana este negativ, acest termen reduce abaterea standard a ntregului portofoliu.
7/29/2019 Gestiunea Riscului Financiar - Partea 1
15/37
82
Riscul celor dou active tinde s se anuleze reciproc deoarece un venit tinde s fie mare n timp ce
cellalt venit tinde s fie mic. Dac, ns, covariana este pozitiv acest termen crete valoarea
abaterii standard totale a portofoliului.
Generaliznd, relaia de calcul pentru determinarea abaterii standard a unui portofoliu cu n
active este:
).r,rcov(aa2+...+
+)r,rcov(aa2+...+)r,rcov(aa2+
+)r,rcov(aa2+)r,rcov(aa2+...+
+)r,rcov(aa2+)r,rcov(aa2+a+...+a+a=
n1-nn1-n
n2n24242
3232n1n1
313121212n
2n
22
22
21
21
2P
(6.22)
Covariana are dou dezavantaje majore. Primul const n faptul c poate lua orice
valoare. Al doilea dezavantaj l reprezint utilizarea unitilor de msur diferite pentru
variabilele aleatoare, n acest fel compararea mai multor covariane devenind dificil. Din acest
motiv se poate folosi raportul dintre covariana a dou variabile i produsul abaterilor medii
ptratice ale acestora. Rezultatul numeric obinut prin aceast metod este cuprins ntotdeauna
ntre -1 i 1. Acest raport poart denumirea de coeficient de corelaie ntre dou variabile
aleatoare. Pentru variabilele aleatoarexiy coeficientul de corelaie se calculeaz cu relaia:
yx
yxyx
),cov(),( = (6.23)
Este interesant de analizat situaiile care pot s apar n evaluarea portofoliului n
funcie de coeficientul de corelaie dintre dou active:
a) active corelate perfect pozitiv: o modificare a preului unui activ atrage dup sine o
modificare n acelai sens i cu aceeai intensitate a preului celuilalt activ;
b) active corelate perfect negativ: modificarea preului unui activ este n continuare
corelat cu modificarea preului celuilalt, dar, spre deosebire de cazul precedent, la scderea
preului pentru primul activ se nregistreaz o cretere a preului celui de-al doilea activ i
invers;
7/29/2019 Gestiunea Riscului Financiar - Partea 1
16/37
83
c) cele dou active sunt corelate pozitiv (coeficientul de corelaie pozitiv, dar mai mic
dect 1): este cazul cel mai realist n care activele i modific preul cam n acelai sens, dar
fr a exista o corelaie perfect.
Un caz aparte l constituie activele care au o micare n opoziie cu trendul pieei. Un
portofoliu care ar conine i o asemenea aciune ar fi extrem de atractiv deoarece corelaia
negativ cu celelalte aciuni va duce la scderea riscului asociat portofoliului. La o scdere a
cursului pieei (deci la o pierdere n cazul activelor corelate pozitiv cu cursul pie ei), cursul
activului considerat va crete, ceea ce va limita pierderile cauzate de celelalte active.
Pentru a nelege modul n care se poate folosi aceast teorie pentru alegerea portofiului
optim vom exemplifica pentru cazul n care portofoliul este format din 2 aciuni.
Putem exprima riscul unui portofoliu folosind coeficientul de corelaie, , n locul
covarianei astfel:
2121
2
2
2
2
2
1
2
1
2 2 aaaap
++=(6.24)
Situaii posibile:
1) = 1
n acest caz ultimul termen din expresia (6.24) devine 2a1a212, deci expresia dispersiei
pentru portofoliu devine:
22211
221122
22
21
21
2
)(
2
aa
aaaap
+=
++=
Extrgnd rdcina ptrat se obine:
P = a11+a22 (6.25)
re
reP
1 P 2
1
P
2re2
re1
Figura 6.3
7/29/2019 Gestiunea Riscului Financiar - Partea 1
17/37
84
Deci, atunci cnd coeficientul de corelaie este 1, riscul portofoliului depinde doar de
riscul propriu fiecrei aciuni i de proporia fiecrei aciuni n portofoliu. Reprezentnd grafic
locul geometric al tuturor portofoliilor posibile formate din activele 1 i 2 n spaiul risc/venit
obinem un segment [1, 2] (figura 6.3).
2) = - 1
Al doilea caz special apare atunci cnd coeficientul de corelaie dintre cele dou aciuni
are valoarea 1. Ultimul termen din expresia coeficientului de corelaie devine 2 a1a212, iar
relaia de calcul a riscului devine din nou un ptrat perfect:
22211
221122
22
21
21
2
)(
2
aa
aaaap
=
+=
n timp ce abaterea standard este:
p = a11 a22 (6.26)
Se observ c, atunci cnd cele dou componente ale portofoliului sunt corelate perfect
negativ, putem construi un portofoliu lipsit de risc. Alegnd n mod adecvat proporia dintre cele
dou aciuni, cei doi termeni din expresia abaterii portofoliului se vor anula. Ponderea fiecrei
aciuni n cadrul portofoliului se gsete uor, rezolvnd sistemul de ecuaii:
+=
+=
=+
=
21
12
21
21
21
2211
1
a
a
aa
aap
3) - 1 < < 1
Deoarece coeficientul de corelaie are valori ntre 1 i +1, cele dou valori extreme
definesc ntreaga plaj de valori pe care o poate lua raportul risc/venit n cazul portofoliilor
formate cu cele dou aciuni.
6.2.3 Utilitatea ateptat a portofoliului ca o funcie de risc i venit
n cadrul activitii de construire a unui portofoliu, problema investitorului este aceea de a
determina modul n care i aloc avuia ntre cele n active astfel nct s i maximizeze utilitatea
ateptat, altfel spus, modul n care alege ponderile a1, a2, a3,...,an.
7/29/2019 Gestiunea Riscului Financiar - Partea 1
18/37
85
Teoria portofoliului presupune c investitorul dorete s-i maximizeze utilitatea ateptat
Ue care, la rndul su, depinde de venitul ateptat al unui portofoliu de active Per i de risc pe care
l msurm cu ajutorul abaterii standard P .
Atunci putem scrie:
-+
),r(U=U PeP
ee
(6.27)
Relaia dintre venit i abaterea standard o putem analiza reprezentnd un set de curbe de
indiferen ca cele din figura 6.4.
O curb de indiferen este locul geometric al tuturor punctelor care produc acelai nivel de
utilitate ateptat. Curbele de indiferen au o pant pozitiv deoarece riscul, reprezentat de
abaterea standard, produce disutilitate, n timp ce un venit ateptat mai mare produce utilitate
pozitiv.
n micarea de la punctulA la punctulB, un investitor rmne egal cu el nsui din punct de
vedere al utilitii obinute, echilibrnd un venit ateptat mai mare cu un risc mai mare. Nivelul de
utilitate crete pentru un venit ateptat mai mare asociat aceluiai risc, sau pentru un risc mai sczut
asociat aceluiai venit ateptat. Altfel spus, curbele de indiferen mai nalte sunt asociate cu nivele
de utilitate ateptat mai mari.
B
A
P
PreP0
reP
Figura 6.4
PreP1
7/29/2019 Gestiunea Riscului Financiar - Partea 1
19/37
86
6.2.4 Mulimea portofoliilor
Preferinele firmei aflat n postura de investitor reprezint doar una dintre laturile
problemei portofoliului. Cealalt latur este reprezentat de opiunile pe care aceasta le are. n
principiu, ea poate alege ntre toate activele existente i poate pune mpreun orice portofolii
posibile alctuite dintr-un numr de pri ale acestor active. Deci, fiecare activ sau fiecare
combinaie de active dintr-un portofoliu specific poate fi reprezentat de un punct n graficul risc-
venit, altfel spus, putem caracteriza fiecare portofoliu printr-o combinaie dat de venitul ateptat i
abaterea standard.
S presupunem c un portofoliu poate fi alctuit din dou active, reprezentate n figura 6.5.a
prin dou puncte 1 i 2. Fiecare punct este caracterizat de un anumit risc i o anumit abatere
standard. Cum se observ din desen, activul 1 are un profit ateptat mai mare dect activul 2, dar
amndou activele au aceeai abatere standard. Din combinarea celor dou active ntr-un singur
portofoliu, pot fi create mai multe posibiliti de asociere a riscului i venitului.
Lund toate nivelurile lui a1 i a2 (prile din avuie investite n activul 1 i respectiv nactivul 2) i utiliznd formulele pentru calculul venitului portofoliului i riscului de portofoliu,
putem reprezenta toate combinaiile posibile de risc i venit care sunt accesibile, combinnd cele
dou active n proporii diferite.
Cnd veniturile activelor sunt independente unul de altul (deci ele au covariana egal cu
zero) atunci portofoliile compuse din cele dou active produc o curb a posibilitilor precum cea
din figura 6.5. b. Cnd activele sunt perfect corelate negativ, posibilitile sunt reprezentate de dou
1=2
A
re2
re1
reP
1
2
a) b) c)
Figura 6.5
re2
re1
reP
1
2
1=2
3
P
1
2
1=2
C
Bre2
re1
reP
PP
7/29/2019 Gestiunea Riscului Financiar - Partea 1
20/37
87
drepte care se intersecteaz ca n figura 6.5.c. De observat c, n acest caz, punctul 3 corespunde
unui portofoliu compus jumtate din activul 1 i jumtate din activul 2 care, dup cum tim, elimin
complet riscul de portofoliu.
Mulimea tuturor portofoliilor posibile care poate fi construit din combinaii diferite de
active 1 i 2 se numete mulimea portofoliilor admisibile. Ea arat combinaiile risc-venit care pot
fi atinse prin alegerea diferitelor portofolii. n viaa real, desigur c investitorii i limiteaz atenia
la o submulime important a mulimii admisibile, mulimea portofoliilor eficiente. n fiecare
dintre cele dou cazuri din figura 6.5.b i c, aceast mulime este reprezentat cu o linie mai groas.
Aceasta indic portofoliile posibile care sunt eficiente n sensul c produc venit maxim pentru un
risc dat sau conin un risc minim pentru un venit dat.
ntotdeauna firmele utilizeaz mulimea portofoliilor eficiente pentru a-i maximiza
utilitatea ateptat. De exemplu, n Figura 6.5.c, investitorul nu va lua niciodat n considerare
portofoliulB (cu 25% activ 1 i 75% activ 2) deoarece portofoliul Ceste, de asemenea, accesibil
(cu 75% activ 1 i 25% activ 2). C are acelai nivel al riscului ca i B, dar un venit ateptat mai
mare dect acesta. Portofoliul Ceste unportofoliu eficient(nu exist posibilitatea de a obine un
venit ateptat mai mare dect cel dat de Cfr s acceptm mai mult risc), n timp ce portofoliulB
nu este eficient.
6.2.5 Alegerea portofoliului optimal
Un investitor raional va alege ntotdeauna un portofoliu din mulimea de eficien, dar
ntrebarea estepe care? Pentru a determina punctul optimal dintre toate punctele de eficien, este
necesar s reintroducem curbele de indiferen.
E
re2
re1
P
reP
1
2A
Figura 6.6
Ue1U
e2
7/29/2019 Gestiunea Riscului Financiar - Partea 1
21/37
88
S considerm cazul n care dou active sunt independente. n figura 6.6 este reprezentat
mulimea admisibil, mulimea eficienti curbele de indiferen.
De obicei, investitorul va dori s selecteze portofoliul care se afl pe curba de indiferen
cea mai nalt. Este clar c el va alege un portofoliu din mulimea de eficien. Echilibrul este atins
n punctul de tangen dintre mulimea portofoliilor eficiente i cea mai nalt curb de indiferen
care atinge mulimea de eficien.
Acesta este puntul Edin figura 6.6. Se observ c punctul Ecorespunde unui portofoliu
care conine amndou tipurile de active 1 i 2 i acesta va fi, n general, situaia. Desigur c
investitorul ar dori s ating nivelul de utilitate Ue2 care este mai nalt, dar aceasta nu este posibil
deoarece nu exist o astfel de combinaie avantajoas de risc i venit.
Analiza poate fi extins i n cazul mai multor active. n figura 6.7 se reprezint un
portofoliu care conine 5 active. Combinnd aceste puncte, gsim mulimea admisibil a
portofoliilor dat de aria haurat din figur.Mulimea de eficien este dat doar de limita superioar a suprafeei, care unete punctulA
cu punctul C. Din nou, punctul E n care curba funciei de utilitate este tangent la mulimea de
eficien a portofoliilor, constituie portofoliul optimal, el putnd include cele mai multe sau toate
activele considerate.
Decizia de portofoliu, decizie concretizat n construirea portofoliului optimal, depinde de
mai muli factori. Astfel, modul n care firmele aleg activele n care investesc ine de dimensiunea
firmei, de volumul W0 al fondurilor disponibile pentru investiii, de relaiile n care firma se afl cu
piaa de capital i, nu n ultimul rnd, de atitudinea fa de risc a investitorului.
1
C
E
reP
P
A
5
Figura 6.7
4
32
7/29/2019 Gestiunea Riscului Financiar - Partea 1
22/37
89
Cele mai cunoscute modele de construire a portofoliilor sunt: Modelul lui Markowitz,
Modelul de evaluare CAPM, Modelul diagonal de selecie al lui Sharpe, Modelul de arbitraj
APT. Toate aceste modele includ tehnici de gestiune static a portofoliilor. n utimul timp,
utilizarea lor a fost completat de tehnici care ofer managerului de portofoliu manifestarea unei
atitudini active n managementul portofoliului deinut (pentru mai multe informaii pe acest
subiect putei consulta V. Mrcine, E. Scarlat, L. Calancia -Pia
a financiar
i gestiunea
portofoliilor, Editura MATRIX ROM, Bucureti, 2002, i V. Mrcine - Gestiunea portofoliilor
de active financiare. Studii de caz, Editura MATRIX ROM, Bucureti, 2002). ntruct
prezentarea tuturor acestor modele decizionale depete cu mult cadrul cursului nostru, vom
descrie n seciunea 6.3.3 doar Modelul Markowitz.
6.3 Gestiunea riscului portofoliilor de active financiare
Alegerea unui portofoliu depinde, n general, de gusturile i de preferinele fiecrui
investitor n parte, de cunotinele i experiena sa, precum i de informaiile pe care le deine laun moment dat. Performanele unui activ financiar pot s fie determinate fr a ine seama de
preferinele participanilor la jocul bursier, dar nu este posibil realizarea unui portofoliu optim
pentru o persoan anume, fr a lua n calcul preferinele sale. Consultarea analitilor financiari
este esenial pentru construirea unui portofoliu; cei care iau decizii n realizarea portofoliilor
trebuie s in seama de prerile analitilor financiari, ns aceste sfaturi trebuie s fie corelate
cu preferinele i situaia financiar a fiecrui investitor n parte.
Teoria portofoliilor a fost fundamentat de ctre Markowitz (1952). n definirea teoriei
sale, el pleac de la noiunea de portofoliu optim: portofoliu care ofer un maximum de profit
pentru un anumit nivel al riscului sau un minim de risc pentru un anumit nivel al profitului.
Conform acestei teorii un investitor raional va alege un portofoliu optim de active, innd ns
cont i de preferinele acestuia (funcia lui de utilitate). Aceasta se poate rezuma astfel:
cele dou caracteristici importante ale unui portofoliu sunt venitul mediu ateptat
i riscul;
investitorii raionali vor plasa fonduri n portofolii eficiente, acestea fiind cele
care fie maximizeaz profitul pentru un nivel dat al riscului, fie minimizeaz nivelul de risc
pentru o anumit cot dorit a profitului;
teoretic este posibil identificarea portofoliilor eficiente prin analiza informaiilor
referitoare la venitul fiecrui activ, variaia acestui venit i la relaia dintre venitul unui activ i
venitul celorlalte active de pe piaa financiar;
un calculator, care, avnd drept date de intrare cele trei tipuri de informaii despre
fiecare activ n parte, poate genera drept date de ieire o mulime de portofolii eficiente. Datele
7/29/2019 Gestiunea Riscului Financiar - Partea 1
23/37
90
de intrare vor indica modul n care trebuie alocate resursele astfel nct, fie s maximizm
venitul, fie s minimizm nivelul de risc.
n spatele acestor afirmaii se ascunde ns o ntreag teorie privind modul de generare i
de selecie a portofoliilor admisibile/eficiente/optimale. n cele ce urmeaz, vom prezenta
succint cele mai cunoscute metode de selecie a portofoliilor optimale de titluri financiare.
6.3.1 Portofolii compuse din active riscante
S revenim acum la problema modului n care investitorul calculeaz valorile ai care ne
conduc la obinerea frontierei eficiente. Investitorul pornete de la o mulime cunoscut de n
venituri ateptate ri i variane asociate acestora 2i , precum i de la 2/)1( nn covariane
cov(r1, r2) (sau coeficieni de corelaieij ) iar relaiile pentru determinarea venitului ateptat r
P
i a riscului 2P sunt :
ra=ra+...+ra+ra=reii
n
1=j
enn
e22
e11
P (6.28)
=
+=
jii
jij
jiji
ji
iip )r,rcov(aaa222 (6.29)
sau
=
+=
jii
jij
jiijji
ji
iip aaa 222 (6.30)
Pentru simplitate, venitul ateptat al activelor i al portofoliului vor fi notate n cele ce
urmeaz cu rii, respectiv, rP.
Presupunem c investitorul dorete s determine ponderile ai pe care le acord fiecrui
activ n cadrul portofoliului, dar este preocupat att de venitul ateptat ct i de risc.
Restricia de buget a investitorului este =
=n
iia
1
1, deci ntreaga sa avuie este investit
n mulimea activelor riscante (pentru moment vom presupune c nu se pot da i lua cu
mprumut bani printr-un activ liber de risc); vnzrile scurte (short sale) sunt permise, adic
putem avea 0
7/29/2019 Gestiunea Riscului Financiar - Partea 1
24/37
91
Algoritmul prin care se determin frontiera eficient este urmtorul:
1. Se alege o rat int arbitrar a venitului ateptat al portofoliului Pr (de exemplu
%rP 10= );
2. Se aleg arbitrar ponderile din avuie care se investesc n fiecare activ ((ai)1), unde
1)( 1 =i
ia i n,i 1= - astfel nct Pr s fie atins utiliznd formula (6.28):
3. Se calculeaz abaterea medie ptratic a acestui portofoliu ( )12P cu aceste valori ale
lui1)( ia utiliznd relaia (6.29).
4. Se repet paii 2 i 3 cu o nou mulime2)( ia ; n cazul n care ( ) ( )1
22
2PP < ,
atunci setul iniial de ponderi 1)( ia este abandonat n favoarea lui 2)( ia ;
5. Se repet paii 2 - 4 pn cnd se obine mulimea ponderilor ia care atinge rata
int a venitului Pr , aferent unui portofoliu cu riscul cel mai mic dintre toate portofoliile care
ofer acelai venit. Portofoliul de active avnd ponderile ia constituie un portofoliu eficient
cruia i corespunde n spaiul venit ateptat-risc punctulA din figura 6.1;
6. Se alege o nou rat int arbitrar a venitului Pr (9% s spunem) i se repet
procedeul descris anterior pn cnd se obine un nou portofoliu eficient n care activele au
ponderile ia i riscul minim
P punctulB din figura 6.8.
Algoritmul de mai sus se poate relua pentru o mare varietate de rate int ale venitului
ateptat al portofoliului,Pr , obinndu-se curba ABCD din figura 6.8. Totui, doar poriunea
superioar a curbei ABCD reprezint mulimea portofoliilor eficiente i aceasta este numit
frontiera eficient (Markowitz). Aa cum artam n subcapitolul 6.2, pe aceast frontier se afl
portofoliile ce aduc deintorului cel mai mare venit ateptat corespunztor unui anumit nivel
acceptat al riscului. Din figura 6.8 se observ c pentru acelai nivel acceptat al riscului *,
portofoliulA va fi ntotdeauna preferat luiD, n timp ce pentru nivelul de risc **, portofoliulB
va fi ntotdeauna preferat lui C.
7/29/2019 Gestiunea Riscului Financiar - Partea 1
25/37
92
Nu am spus nimic pn acum despre faptul c soluia general a problemei de mai sus
poate include att ponderi pozitive ct i negative. Opondere pozitiv indic acele aciuni care
au fost cumprate i incluse n portofoliu (deci aciuni deinute un timp ndelungat). Valorile
negative ale ponderilor reprezint aciuni deinute timp scurt, adic aciuni deinute de oricine
altcineva (de exemplu un broker) de la care investitorul le mprumuti apoi le vinde pe pia.
Investitorul are o pondere negativ corespunztoare acestor active deoarece, de exemplu, el
trebuie s returneze partea broker-ului la un anumit moment de timp n viitor; investitorul
utilizeaz aceste vnzri scurte ca mijloc de speculare cu scopul de a spori partea deinut din
alte active.
Rezumnd cele de mai sus:
n condiiile n care cunoate veniturile ateptateir, dispersiile i i covarianele
tuturor activelor ),cov( ji rr (sau ij ), investitorul construiete frontiera eficient Markowitz.
Exist doar o singur frontier eficient pentru un set dat {ir, i , ),cov( ji rr sau ( ij )};
prin urmare, el determin ponderile optimale ia care satisfac restricia de buget i
minimizeaz riscul portofoliului pentru un nivel dorit al venitul ateptat al portofoliului;
el repet aceast proceduri calculeazvaloarea minim a riscului portofoliului,
P , pentru fiecare nivel dorit al venitului ateptat Pr obinnd punctele ( Pr , P ) care
constituie frontiera eficient;
rP
10%
9%
A
D
C
B
0 **p
*p p
Figura 6.8
7/29/2019 Gestiunea Riscului Financiar - Partea 1
26/37
93
fiecrui punct de pe frontiera eficient i corespunde o mulime diferit de ponderi
optimale 1a ,
2a ,
na ale activelor deinute n portofoliu.
Elementele prezentate anterior reprezint doar una dintre problemele pe care investitorul
le rezolv n cursul activitii sale pe piaa financiar; cea de a doua vizeaz stabilirea moduluin care avuia iniial este distribuit ntre un portofoliu compus din active riscante i un activ
lipsit de risc (de exemplu obligaiuni guvernamentale).
6.3.2 Portofolii compuse din active riscante i active lipsite de risc
Problema investitorului n acest caz este s decid dac d sau ia cu mprumut un activ
cu termen de maturitate egal cu perioada de deinere a portofoliului i care aduce un venit liber
de risc, rd(acesta poate fi considerat egal cu rata dobnzii activului neriscant). Deoarece rd estefixat pe ntreaga perioad de deinere a portofoliului, abaterea standard a activului lipsit de risc
este zero ca i covariana sa cu mulimea celor n active riscante; prin urmare, opiunile
decidentului sunt:
s investeasc toat avuia sa n active riscante i deci s nu tranzacioneze active
neriscante;
s investeasc mai puin dect avuia sa total n active riscante i s utilizeze partea
rmas pentru a o da cu mprumut la o rat a dobnzii liber de risc;
s investeasc n active riscante mai mult dect avuia sa total i s completeze
deficitul lund cu mprumut fonduri adiionale la rata dobnzii liber de risc, caz n care va
deine unportofoliu de levier (adic el ia cu mprumut fonduri la rata dobnzii liber de risc i,
n plus, utilizeaz toat avuia sa personal pentru a o plasa n active riscante).
Linia de transformare reprezint o relaie dintre venitul ateptat i risc pentru un
portofoliu specific constnd dintr-un activ liber de risc i un portofoliu de active riscante. Linia
de transformare construit pentru aceste dou active arat c relaia dintre venitul ateptat i risc
(msurat prin abaterea standard a acestui nou portofoliu) este una liniar.
Acest lucru poate fi demonstrat prin construirea unui portofoliu P constnd dintr-un activ
riscant (cu venitul ateptat rPi riscul 2 ) i activul liber de risc. Atunci putem arta c relaia
dintre venitul portofoliului Pi abaterea sa standard este liniar, deci:
PP bar += (6.31)
7/29/2019 Gestiunea Riscului Financiar - Partea 1
27/37
94
unde ai b sunt constante,Pr reprezint venitul ateptat al portofoliu P iar P este abaterea
standard a portofoliului P.
Similar putem construi un alt portofoliu Q constnd dintr-o mulime de q active riscante
ce intr n portofoliu cu ponderileia (care constituie portofoliul riscant) i activul liber de risc.
Din nou avem:
QQr += 10 (6.32)
Pentru a obine ecuaia liniei de transformare s presupunem c investitorul a ales deja o
combinaie particular de ponderi ai pentru cele q active riscante (de exemplu aciuni) cu venitul
curent R, venitul ateptatRr i riscul
2R . De notat cai nu trebuie s fie ponderi optimale i
pot lua orice valori care satisfac restricia de buget =
=q
i
ia
1
1).
Acum s considerm c investitorul se ntreab cum s-i investeasc averea n acest
portofoliu compus din q active i ct de mult s ia sau s dea cu mprumut la rata liber de risc.
Prin urmare, el trebuie s ia n considerare un nou portofoliu constnd dintr-una din combinaiile
dintre activul liber de risc i coul de active riscante. Dac investete o ponderey din propria sa
avuie n activul liber de risc atunci el trebuie s investeasc (1 - y) n coul de active riscante.
Notnd venitul curent al acestui portofoliu cuQR i venitul ateptat cu Qr , obinem:
+=
+=
RdQ
dQ
ryryr
RyryR
)1(
)1((6.33)
unde (R ,Rr ) reprezint venitul curent i, respectiv, venitul ateptat al coului de active riscante
din portofoliul su. Cnd y = 1, toat avuia este investit n activul neriscant idQ rr = , iar
cndy = -1, toat avuia este investit n active riscante (aciuni) iRQ rr = .
Pentru y < -1 agentul ia cu mprumut bani la rata liber de risc rd pentru a investi nportofoliul riscant. Deoarece rd este cunoscut i constant pe perioada deinerii portofoliului,
abaterea standard a acestui nou portofoliu depinde doar de abaterea standard a portofoliului
riscantR . Dar:
2222 )()1()( RQQQ rREyrRE == (6.34)
7/29/2019 Gestiunea Riscului Financiar - Partea 1
28/37
95
adic
RQ y = )1( (6.35)
Ecuaiile (6.33) i (6.35) se pot rearanja ntr-o singur ecuaie dependent de mediaQr i
abaterea standard Q . Prin urmare din (6.35) rezult c :
R
Qy
= )1( (6.36)
respectiv:
R
Qy
= 1 (6.37)
nlocuindyi (1 -y) rezultnd din relaiile de mai sus n ecuaia (6.33) se obine:
R
dRdQ
rrrr
+=
+= 10 (6.38)
unde am notat cudr=0 i
R
dR rr
=1 .
Aadar, pentru orice portofoliu constnd din dou active, unul compus din active riscante
i altul care include activul neriscant, relaia dintre venitul ateptat al acestui nou portofoliu Qr i abaterea sa standard
Q este liniar cu panta 1 i argumentul rd.
Ecuaia (6.38) este evident o identitate, ea nu indic un comportament specific; venitul
ateptat n exces al activului riscant (dR rr ) este ntotdeauna pozitiv, altfel mulimea de
active riscante nu va fi pstrat de ctre investitor.
n situaia n care un portofoliu const doar din n active riscante, atunci dup cum am
vzut, mulimea de eficien este o curb n spaiul venit risc (conform figurii 6.8). Mulimea
de eficien pentru un portofoliu constnd dintr-un activ liber de risc i orice portofoliu compusdin active riscante este o dreapt de pant pozitiv. Aceste dou situaii nu se confund
deoarece portofoliile considerate n cele dou cazuri sunt diferite i, n cazul mulimii de
eficien, curba este obinut printr-un proces de optimizare, ea nefiind o simpl rearanjare a
dou entiti.
7/29/2019 Gestiunea Riscului Financiar - Partea 1
29/37
96
Relaia (6.38) arat cQr crete atunci cnd raportul
R
Q
crete. Aceasta se ntmpl
deoarece din ecuaia (6.36) o cretere nR
Q
implic o cretere a ponderii activul riscant (adic
1 - y) n totalul avuiei investite i, deoarece drRE >)( , aceasta determin creterea venitului
ateptat al noului portofoliuQr .
n mod similar, pentru un raport )1( yR
Q=
dat, din ecuaia (6.36) rezult c o
cretere n venitul ateptat n exces al activului riscant (dR rr ) determin creterea venitului
total al portofoliului. Aceasta se datoreaz faptului c acum investitorul deine o pondere fix (1
-y) din activul riscant dar venitul n exces al acestuia este mai mare.
De asemenea, din relaia (6.38) putem observa c atunci cnd toat avuia investitorului
este plasat n mulimea de active riscante (y = 0) i deciRQ = , aceasta este reprezentat
n figura 6.9 prin portofoliulX.
X
Investitorul ia cumprumut i
investete n activeriscante
Investitorul d cumprumut i
investete nactivul liber de risc
Toat avuiaeste investit
n activeriscante
Toat avuiaeste investit nactivul liber de
risc
rd
Z
rQ
0R Q
Figura 6.9
T
7/29/2019 Gestiunea Riscului Financiar - Partea 1
30/37
97
Cnd toat avuia este investit n activul liber de riscy = 1, avemdQ rr = , i din (6.36)
rezult c 0=R
Q
. n punctele dintre rdi X investitorul a plasat o parte din avuia sa iniial
n activul liber de risc i cealalt n portofoliul compus din active riscante. n punctele Z
investitorul deine unportofoliu de levier.
6.3.3 Modelul lui Markowitz
Obiectivul gestiunii eficiente a oricrui portofoliu de active l constituie gsirea celei mai
performante combinaii de titluri financiare la un nivel de risc pe care investitorul este dispus s
i-l asume. Concret, trebuie determinat locul geometric al tuturor combinaiilor performante
posibile plecnd de la cea cu risc minim. n urma efecturii acestei cercetri putem identifica
att frontiera eficient Markowitz ct i portofoliul de risc minim absolut (PRMA).
Politicile de plasament ale diferiilor investitori impun restricii specifice pentru capitalul
lor financiar, restricii precum:
obinerea unui venit minim sub form de dobnzi i dividende;
plasarea ntr-un titlu corespunztor unui anumit sector economic numai a unui
anumit procent din fondurile ce sunt disponibile pentru investiii pe piaa de capital;
meninerea unei pri din fondurile totale disponibile sub form lichid.
n cadrul lucrrii devenit istoric,Eficient Diversification of Investments, H. Markowitz
a pus problema structurrii portofoliului optim sub dou aspecte:
a) maximizarea rentabilitii portofoliuluii stabilirea unui prag de risc acceptabil A:
=
=
=
1
;(max)
1
1
n
ii
P
n
iii
a
Ara
(6.39)
SAU
b)minimizarea riscului portofoliului pentru un anumit nivel dorit B al venitului adus
de portofoliu:
7/29/2019 Gestiunea Riscului Financiar - Partea 1
31/37
98
=
=
=
1
(min)
1
1
2
n
i
i
n
i
ii
P
a
Bra
(6.40)
n urmtoarele ipoteze :
criteriul de selecie a combinaiilor eficiente de n titluri este criteriul medie-dispersie
(venit mediu - risc);
activele sunt riscante, caracterizate de perechea (ir,
2i ) precum i de covarianele
cov(ri, rj) cu restul activelor din structura portofoliului;
investitorii sunt adveri fa de risc, ei dorind s-i asume un risc ct mai mic posibil
pentru un nivel dat al venitului ateptat;
investitorii consider fiecare alternativ de investiie ca putnd fi obinut prin
distribuia veniturilor ateptate ale acesteia pe o anumit perioad de timp.
Pentru simplificarea analizei se va considera un caz particular al sistemului (6.40) de
forma:
1
),cov((min)
1
1
2
1 1
2
=
==
=
=
=
= =
n
ii
n
iPiiP
n
i
n
jjijiP
a
rrar
rraa
(6.41)
unde 2Pr este venitul dorit al portofoliului.
Lagrangeanul asociat sistemului (6.41) mbrac forma:
)1()(),cov(),,,...,(1
2
1
1
1 1
211 ++= === =
n
i
i
n
i
Pii
n
i
n
j
jijin arrarraaaaL (6.42)
n urma aplicrii condiiilor de optimalitate de ordinul nti se obine c:
7/29/2019 Gestiunea Riscului Financiar - Partea 1
32/37
99
==
==
==++=
=
=
=
n
ii
P
n
iii
i
n
jjij
i
aL
rraL
n,irrraa
L
12
11
211
10
0
1,0),cov(0
(6.43)
Rescriind matriceal sistemul (6.43) obinem:
TXY
r
a
a
a
rrr
rrrrr
rrrrr
rrrrr
P
n
n
nnnn
n
n
=
1
0
.
.
.
0
0
.
.
.
001...11
00...
1...),cov(),cov(
.
.
.
1),cov(...),cov(
1),cov(...),cov(
2
1
2
1
21
221
222
212
112121
(6.44)
respectiv TXY = de unde obinem soluia:
TYX = 1 (6.45)
Pentru a identifica PRMA, se va pleca de la aceeai expresie ce desemneaz riscul
portofoliului i, impunnd o restricie privind alocarea bugetului investitorului cu aversiune fa
de risc, se obine urmtorul program:
=
=
=
= =
n
ii
n
i
n
jjijiP
a
rraa
1
1 1
2
1
),cov((min)
(6.46)
Pentru rezolvarea problemei considerm funcia lui Lagrange de forma:
)1(),cov(),,...,(11 1
1 += == =
n
ii
n
i
n
jjijin arraaaaL (6.47)
7/29/2019 Gestiunea Riscului Financiar - Partea 1
33/37
100
cu condiiile necesare de optim:
=
==+
=
=
=
=
n
i
i
n
jjij
i
a
n,irra
L
a
L
1
1
1
1,0),cov(
0
0
(6.48)
Matricial, sistemul de condiii necesare cuprinznd (n + 1) ecuaii poate fi scris astfel:
ZXH
a
a
a
rrrr
rrrr
rrrr
nnnn
n
n
10
.
.
.
0
0
.
.
.
01...111...),cov(),cov(
.
.
.
1),cov(...),cov(
1),cov(...),cov(
2
1
221
22
212
12121
=
(6.49)
respectiv
ZHXZXH == 1 (6.50)
Portofoliul de risc minim absolut va rezulta din rezolvarea sistemului matricial (6.50);
innd cont de semnul ponderilor titlurilor ai, acest portofoliu poate fi att legitim (deci 0ia ,
ni ,1= ) ct i nelegitim (adic el conine i ponderi 0
7/29/2019 Gestiunea Riscului Financiar - Partea 1
34/37
101
6.3.4 Studii de caz, probleme Seminar 6
6-1. S presupunem c riscul afacerii i cel financiar normal al unei firme solicit
acesteia o rat medie a venitului de 20%. Firma are n vedere o strategie investi ional al crei
cost iniial este de 100.000$ i din a crei realizare se ateapt s ctige 50.000$ pe an n
urmtorii trei ani. Stabilii dac firma ar trebui s fac aceast investiie n condiiile n care:a) Dispune de ntreaga sum de 100.000$ necesar din fonduri proprii de investiii;
b) Pentru a realiza investiia ar trebui s apeleze la un credit bancar care ar conduce la
creterea ratei necesare a venitului din cei trei ani la 25%.
Soluie
a) La o rat impus a venitului de 20%, valoarea actual net a investiiei este
5.324$100.000$-
0,20)(1
50.000$
0,20)(1
50.000$
0,20)(1
50.000$NPV
32I=
+
+
+
+
+
=
Deoarece valoarea actual net este pozitiv proiectul este acceptabil, el promind s
aduc firmei un profit de 5.324$.
b) n condiiile unei rate necesare a venitului de 25%, valoarea actual net a investiiei
este
2.400$-100.000$-0,25)(1
50.000$
0,25)(1
50.000$
0,25)(1
50.000$NPV
32I=
++
++
+=
Valoarea actual net este negativ indicnd faptul c proiectul de investiie, o dat
realizat, nu poate asigura obinerea unei rate a venitului de 25% care ar permite firmei s
ramburseze creditul bancar i s obin profit. Dac firma dorete s realizeze proiectul ea
trebuie s se atepte la o pierdere de 2.400$.
6-2. Considerm cazul unei firme care, datorit riscului afacerii i a celui financiar, i-a
impus o rat a venitului de 20%, n timp ce rata dobnzii pentru bonurile de tezaur este de 8%.
Firma analizeaz posibilitatea investirii a 500.000$ ntr-o afacere care promite s i aduc un
ctig de 150.000$ pe an n urmtorii cinci ani.
a) Calculai valoarea actual net a acestei afaceri folosind metoda ratei de discountajustat la risc;
b) Calculai valorile echivalente pentru t care ar permite ca prin abordarea folosind
echivalentul cert s se obin acelai rezultat;
c) Demonstrai c t calculat la b) permite abordrii prin echivalentul cert obinerea
aceluiai rezultat ca i n cazul metodei ratei de discount ajustate la risc.
7/29/2019 Gestiunea Riscului Financiar - Partea 1
35/37
102
Soluie
a) n conformitate cu metoda ratei de discount ajustate la risc avem
51.408,18$-500.000$-0,20
1,20)-(1150.000$NPV
-5
I =
=
b) Folosind abordarea prin echivalentul cert, valorile echivalente pentru sunt
0,59049(1,20)
(1,08):5Anul
0,6561(1,20)
(1,08):4Anul
0,729(1,20)
(1,08):3Anul
0,810(1,20)
(1,08):2Anul
0,9001,20
1,08:1Anul
5
5
4
4
3
3
2
2
==
==
==
==
==
c) Folosind aceste valori calculate pentru obinem
51.408,18$-500.000$-08),(1
0.000$)0,59049(15
08),(1
.000$)0,6561(150
08),(1
000$)0,729(150.
(1,08)
00$)0,81(150.0
1,08
00$)0,90(150.0NPV
54
32I
=+
+++=
6-31). Reprezentai grafic, n planul risc-rentabilitate, mulimea portofoliilor formate din
aciunile A i B n proporiile xAi xB, tiind c rentabilitile medii i riscul celor dou active
sunt:
R R pentru
a
b
A A B B
AB
AB
= = = =
= +
=
20%, 30 98%, 15%, 7 75%
1
1
, ,
)
)
Soluie
a) Dac ratele de rentabilitate ale celor dou aciuni sunt corelate perfect pozitiv, riscul
portofoliului va fi egal cu media ponderat a riscurilor titlurilor ce formeaz portofoliul. Astfel,
vom avea relaiile:
1) Dobre, I., Bdescu, A., Irimia, C., Teoria deciziei studii de caz, Editura Scripta, Bucureti, 2000
7/29/2019 Gestiunea Riscului Financiar - Partea 1
36/37
103
=+
++=
+=
(3)1xx
(2)xx2xx
(1)RxRxR
BA
ABBABA
2
BB
2
A
2
AP
BBAAP
Din (2) i (3) vom exprimaxAixB n funcie de riscurile celor dou aciuni i de riscul
portofoliului. nlocuind n (1), vom gsi
RR R R R
P
A B B A
A B
A B
A BP=
+
.
Fcnd nlocuirile numerice RP P= +13 33 0 215, ,
Dac presupunem cxAixB [0,1], vom avea urmtoarea reprezentare grafic:
b) Dac ratele de rentabilitate ale celor dou aciuni sunt corelate perfect negativ, riscul
portofoliului va avea urmtoarea expresie:
P A A B B A A B B
P
A A A B A
B
A B
A
B
A B
A A A B A
B
A B
x x x x
x x daca x
daca x
x x daca x
= =
=
+ +
=+
+
( )
( ) , ,
,
( ) , ,
2
1 0
0
1 1
Procednd n mod analog punctului a), vom gsi:
[ )
( ]
R
dacax
dacax
dacax
P
P A
A
P A
=
=
+
16 0 13 0 0 2
16 0 2
16 0 13 0 2 1
, , ; ,
, ,
, , , ;
A
B
7 75 30 98
15
20
Risc
Ratarentabilitii
A
B
7 75 30,9
15
20
Risc
Ratarentabilitii
16
7/29/2019 Gestiunea Riscului Financiar - Partea 1
37/37
6-4.S se reprezinte n planul risc-rentabilitate urmtoarele portofolii i s se determine
portofoliile eficiente:
Portofoliul Rata de rentabilitate a
portofoliului (%)
Risc
(%)A 18 14,7
B 20 14,15
C 18 17,32
D 22 14,7
E 26 18,5
F 28 18,5
G 30 24,5
H 26 24,5
I 25 17,32
Soluie
0
5
10
15
20
25
30
0 5 10 15 20 25
A C
B
F
EI
D
G
H
Portofoliile eficiente sunt acele portofolii care, pentru o rentabilitate global scontat,
prezint riscul cel mai mic sau care, pentru un anumit risc asumat, au cea mai mare rentabilitate.
Pentru problema noastr, portofoliile eficiente sunt B, D, I, F, G.