4. FUNCT ¸ IA DE GRADUL 2 1. Ecuat ¸ia de gradul 2 ‚ ax 2 ` bx ` c “ 0, a, b, c P R,a ‰ 0 se nume¸ ste ecuat ¸ie de gradul 2. ‚ Δ “ b 2 ´ 4ac se nume¸ ste discriminantul ecuat ¸iei. ‚ Num˘ arul r˘ ad˘ acinilor reale ale ecuat ¸iei de gradul 2 este dat de urm˘atoarea clasificare: Δ ą 0 ðñ ecuat ¸ia are dou˘a r˘ ad˘acini reale ¸ si distincte: x 1{2 “ ´b ˘ ? Δ 2a ; Δ “ 0 ðñ ecuat ¸ia are dou˘a r˘ ad˘acini reale ¸ si egale: x 1 “ x 2 “ ´b 2a ; Δ ă 0 ðñ ecuat ¸ia nu are r˘ad˘ acini reale. ‚ R˘ ad˘acinile x 1 ¸ si x 2 ale ecuat ¸iei de gradul 2 verific˘ a relat ¸iile lui Vi´ ete: S “ x 1 ` x 2 “´ b a P “ x 1 ¨ x 2 “ c a ‚ Formule utile: x 2 1 ` x 2 2 “px 1 ` x 2 q 2 ´ 2x 1 x 2 “ S 2 ´ 2P x 3 1 ` x 3 2 “px 1 ` x 2 q 3 ´ 3x 1 x 2 px 1 ` x 2 q“ S 3 ´ 3SP ‚ Dac˘ a r˘ ad˘ acinile ecuat ¸iei ax 2 ` bx ` c “ 0, a ‰ 0 sunt x 1 ¸ si x 2 , atunci aX 2 ` bX ` c “ a pX ´ x 1 qpX ´ x 2 q ‚ Ecuat ¸ia de gradul 2 ale c˘arei r˘ ad˘acini sunt numerele x 1 ¸ si x 2 este x 2 ´ Sx ` P “ 0, unde S “ x 1 ` x 2 ¸ si P “ x 1 ¨ x 2 . 2. Definit ¸ia ¸ si forma canonic˘ a a funct ¸iei de gradul 2 ‚ f : R Ñ R,f pxq“ ax 2 ` bx ` c, a, b, c P R,a ‰ 0 se nume¸ ste funct ¸ie de gradul 2. ‚ Forma canonic˘ a a funct ¸iei de gradul 2 este f pxq“ a ˆ x ` b 2a ˙ 2 ` ´Δ 4a . Teorie pentru clasa a IX-a Algebr˘a: 4. Funct ¸ia de gradul 2 ´1´ Profesor Marius Damian, Br˘aila
Transcript
4. FUNCTIA DE GRADUL 2
1. Ecuatia de gradul 2
‚ ax2` bx` c “ 0, a, b, c P R, a ‰ 0 se numeste ecuatie de gradul 2.
‚ ∆ “ b2´ 4ac se numeste discriminantul ecuatiei.
‚ Numarul radacinilor reale ale ecuatiei de gradul 2 este dat de urmatoarea clasificare:
∆ ą 0 ðñ ecuatia are doua radacini reale si distincte: x1{2 “´b˘
?∆
2a;
∆ “ 0 ðñ ecuatia are doua radacini reale si egale: x1 “ x2 “´b
2a;
∆ ă 0 ðñ ecuatia nu are radacini reale.
‚ Radacinile x1 si x2 ale ecuatiei de gradul 2 verifica relatiile lui Viete:
S “ x1 ` x2 “ ´b
a
P “ x1 ¨ x2 “c
a
‚ Formule utile:
x21 ` x2
2 “ px1 ` x2q2´ 2x1x2 “ S2
´ 2P
x31 ` x3
2 “ px1 ` x2q3´ 3x1x2 px1 ` x2q “ S3
´ 3SP
‚ Daca radacinile ecuatiei ax2 ` bx` c “ 0, a ‰ 0 sunt x1 si x2, atunci
aX2` bX ` c “ a pX ´ x1q pX ´ x2q
‚ Ecuatia de gradul 2 ale carei radacini sunt numerele x1 si x2 este
x2´ Sx` P “ 0, unde S “ x1 ` x2 si P “ x1 ¨ x2.
2. Definitia si forma canonica a functiei de gradul 2
‚ f : RÑ R, fpxq “ ax2` bx` c, a, b, c P R, a ‰ 0 se numeste functie de gradul 2.
‚ Forma canonica a functiei de gradul 2 este fpxq “ a
ˆ
x`b
2a
˙2
`´∆
4a.
Teorie pentru clasa a IX-aAlgebra: 4. Functia de gradul 2
´1´ Profesor Marius Damian, Braila
3. Graficul functiei de gradul 2
‚ Daca a ą 0, atunci graficul functiei de gradul 2 este o parabola cu varful ın jos.
‚ Daca a ă 0, atunci graficul functiei de gradul 2 este o parabola cu varful ın sus.
Observatii
‚ Numarul punctelor de intersectie cu axa Ox:
‚ parabola intersecteaza axa Ox ın doua puncte distincte ðñ ∆ ą 0;
‚ parabola este tangenta axei Ox ðñ ∆ “ 0;
‚ parabola nu intersecteaza axa Ox ðñ ∆ ă 0.
‚ Varful V al parabolei are coordonatele xV “ ´b
2a, yV “ ´
∆
4a.
‚ Parabola are axa de simetrie, dreapta verticala de ecuatie x “ xV .
4. Intervale de monotonie si puncte de extrem
Cazul a ą 0.
x ´8 ´b
2a`8
fpxq`8
Œ Õ`8
´∆
4a
‚ f este strict descrescatoare pe
ˆ
´8,´b
2a
si
strict crescatoare pe
„
´b
2a,`8
˙
.
‚ f admite valoarea minima yV “ ´∆
4a.
‚ Imaginea functiei f este Im f “
„
´∆
4a,`8
˙
.
Teorie pentru clasa a IX-aAlgebra: 4. Functia de gradul 2
´2´ Profesor Marius Damian, Braila
Cazul a ă 0.
x ´8 ´b
2a`8
fpxq Õ´
∆
4a Œ´8 ´8
‚ f este strict crescatoare pe
ˆ
´8,´b
2a
si
strict descrescatoare pe
„
´b
2a,`8
˙
.
‚ f admite valoarea maxima yV “ ´∆
4a.
‚ Imaginea functiei f este Im f “
ˆ
´8,´∆
4a
.
5. Semnul functiei de gradul 2
Cazul ∆ ą 0.
x ´8 x1 x2 `8
fpxq acelasi semn cu a 0 semn contrar lui a 0 acelasi semn cu a
Cazul ∆ “ 0.
x ´8 x1 “ x2 `8
fpxq acelasi semn cu a 0 acelasi semn cu a
Cazul ∆ ă 0.
x ´8 `8
fpxq acelasi semn cu a
Observatie:
ax2` bx` c ě 0, @x P R ðñ
"
a ą 0∆ ď 0
ax2` bx` c ą 0, @x P R ðñ
"
a ą 0∆ ă 0
ax2` bx` c ď 0, @x P R ðñ
"
a ă 0∆ ď 0
ax2` bx` c ă 0, @x P R ðñ
"
a ă 0∆ ă 0
Teorie pentru clasa a IX-aAlgebra: 4. Functia de gradul 2
