Conţinutul manualului pentru cursul pregătitor de matematică

Exemple şi aplicaţii din chimie pentru capitolul „Elemente de geometrie”

1.Elemente de geometrie.1.1. Elemente de reprezentare în planReper cartezian. Noţiunea de interval pe axă, noţiunea de domeniu în plan. 1.2. Vectori (în spaţiu)Coordonatele unui punct în spaţiu. Vectorul de poziţie al unui punct. Vectorul determinat de două puncte.Distanţa dintre două puncte ca mărime a vectorului. Coliniaritatea a doi vectori. Produs scalar, vectorial, mixt. Vectorul de poziţie al unei drepte. Vectorul normal al unui plan1.3. Funcţii trigonometriceFuncţii trigonometrice directe: sinus, cosinus, tangentă, cotangentă: periodicitate, valori importante. Funcţii trigonometrice inverse: arcsinus, arccosinus, arctangentă,arccotangentă, valori importante. Coordonate polare1.4. Curbe plane: cerc, elipsa, parabolă, recunoaştere şi proprietăţi

Exemple şi aplicaţii din chimie pentru capitolul „Elemente de algebră”

Elemente de algebră. 1. Numere complexe: forma algebrică, forma trigonometrică. Ecuaţii de gradul al doilea cu rădăcini complexe.2. Matrici: dreptunghiulare, pătratice, operaţii cu matrici.3. Determinanţi: proprietăţi , calcul.4. Inversa unei matrici5. Sisteme de ecuaţii liniare. Scrierea sub formă matriceală. Caracterizarea sistemelor cu soluţie unică şi determinarea acesteia. Caracterizarea sistemelor compatibil nedeterminate şi punerea în evidenţă a mai multor soluţii.

Exemple şi aplicaţii din chimie pentru capitolul „Elemente de analiza matematica”

Elemente de analiză matematică1. Funcţii: tipuri de corespondenţe, exemple şi contraexemple. Funcţii injective, surjective, bijective. Şiruri ca funcţii. Progresii geometrice (termenul general, formula de calcul a sumei).Noţiunea de convergenţă pentru şiruri de tip progresie geometrică şi respectiv de tipul cât de două polinoame.Egalitatea a două funcţii, funcţii ce diferă într-un punct, pe un interval.Imaginea unei mulţimi printr-o funcţie.2. Graficul unei funcţii Funcţii discrete. Funcţii continue. Funcţii derivabile. Proprietăţi ale unei funcţii: mărginire, monotonie, simetrie, periodicitate.Noţiunea de asimptotă a unei funcţiiStudiu: intersecţia cu axele de coordonate, mulţimea imagine, valorile în puncteFuncţii liniare, reprezentare grafică. Inecuaţii determinate de funcţii liniare şi reprezentarea mulţimilor determinate de ele. Funcţii de gradul al II-lea, reprezentare grafică. Recunoaşterea parabolei, a cercului, a elipsei, a hiperbolei. Inecuaţii determinate de funcţii de gradul al II-lea şi reprezentarea mulţimilor determinate de ele.Funcţia exponenţială: operaţii, grafic, valori importante. Funcţia logaritm cu baza e: operaţii, grafic, valori importante.

1

3. Integrala dintr-o funcţie pozitivă şi interpretarea ei ca arie. Primitivele principalelor funcţii. Metode de integrare: metoda substituţiei, metoda schimbării de variabilă. Teorema de medie.

Exemple şi aplicaţii din chimie pentru capitolul „Elemente de calcul numeric şi teoria aproximării”

1. Numere reale. Aproximări întregi, raţionale, eroarea de aproximare. Partea întreagă a unui număr real. Aproximarea soluţiilor unei ecuaţii cu metode numerice (metoda coardei, metoda tangentei)

2

Exemple şi aplicaţii din chimie pentru capitolul „Elemente de geometrie”

1.1 Sistemul numerelor reale și constante matematice uzualeNumerele pot fi clasificate astfel:

a) Numere care pot reprezenta cantități fizice se numesc numerele reale1. întregi ( )

2. raționale ( )

3. iraționale ( )4. iraționale transcedente (π, e, sin (0.53), , , etc.)

b) Numerele imaginare

1. imaginare ( ) 2. complexe ( )

O altă clasificare a numerelor:a) scalare: au mărime și semnb) vectori: au mărime și direcție

Câteva constante uzuale:

Denumire simbol Reprezentare cu numere zecimale

Pi (raportul dintre circumferința si diametrul cercului π 3.1415926536...Numărul e (Numărul Napierian) (baza logaritmului natural)

e 2.7182818285...

1.4142135624...1.7320508076...

Numărul imaginar i

Exercițiul 1. Calculați : =

Exercițiul 2. Calculați cu 4 zecimale următoarele fracții:

Exercițiul 3. Calculați aria cercului unui cerc de rază 20 m, utilizând valori rotunjite ale numărului π la două, șase și zece zecimale:

Exercițiul 4. Calculați valoarea numărului irațional cu 4 zecimale

Exercițiul 5. Un calcul interesant :

3

1.2 Operații cu numere reale

Operațiile cu numere se pot clasifica astfel:a) elementare (adunare, scădere, înmulțire și împărțire)b) suplimentare (modul, ridicare la putere, rădăcină pătrată, rădăcină cubică, logaritm, etc)

Exemple cu operații cu numere reale:

Modul

Ridicare la putere

Radacina patrata (radical de ordin 3)Radacina cubica (radical de ordin 3)Logaritm zecimal

Uzual a=10

Logaritm natural

Exercițiul 1. Calculați cu 4 zecimale următoarele expresii:

a) b) c) d)

Exercițiul 2. Să se calculeze diametrul unei conducte prin care circulă lichid cu debit de 1 m3/s, cu viteza 2 m/s.

4

Exercițiul 3. Calculați ln(2) și log(2).

Exercițiul 4. Calculați valoarea lui x din ecuația pentru valori ale lui b=0, 2 și 4

Exercițiul 5. Să se calculeze coeficientul de difuziune al SO2 în apă la temperatura de 25 °C.

pentru apa pentru SO2 , iar T în

K.

Exercițiul 6. Variația concentrației în timp a unui reactant A care se consumă într-o reacție chimică ireversibilă de ordin I, este descrisă de o relație de forma: , unde t0 este timpul inițial iar k este constanta de viteză. Dacă k=0.123 s-1, calculați timpul necesar pentru scăderea concentrației reactantului cu 21% față de valoarea inițială (t0=0 s).

Exercițiul 7. Constanta de viteză pentru o reacție chimică este exprimată printr-o relație de tip Arrhenius: unde A este constanta lui Arrhenius [s], Ea este energia de activare [kJ/mol], iar R este constanta gazelor [J/(mol·K)],

a) Dacă k=1.21x10-9 s-1, A=10-2 s-1, R=8.31 J/(mol·K), ce valoare are energia de activare Ea la 25°C?

b) Dacă temperatura crește la 50°C, de câte ori crește viteza de reacție?

Exercițiul 8. Fluxul molar de compus A într-un film de gaz inert se exprimă cu relația:, unde pA,1 și pA,2 sunt presiunile parțiale ale lui A la intrare, respectiv la ieșire din

film și p e presiunea totală. Să se calculeze fluxul compusului A, dacă K=10 -5, p =760 torr, pA,1=170

torr, pA,2=0 torr.

Exercițiul 8. Să se calculeze coeficientul de difuziune al SO2 în apă la 25 °C, dacă valoarea acestuia la 20°C este . Formula de calcul este :

unde .

1.3 Rapoarte și Proporții

Proporția este egalitatea a două rapoarte

Proprietăți

5

Exercițiul 1. Calculați procentul de oxygen și de hidrogen dintr-un mol de apa. (AH=1, AO=16)

Exercițiul 2. Simplificați raportul

Exercițiul 3. Să se determine valorile lui s1 și s2 dacă utilizând proprietățile proporțiilor:

Exercițiul 4. Calculați valoarea criteriului Sherwood (Sh) din urmatoarea expresie criteriala : Sh = 0.023·Re0.83 ·Sc0.44

unde criteriul Reynolds Re= 13300, iar criteriul Schimdt Sc = 0.59

Exercițiul 5. Calculați valoarea criteriului Sherwood (Sh) din urmatoarea expresie criteriala :

Sh = 0.725·Re0.33 ·Sc0.5 ·

unde criteriul Reynolds Re= 640, criteriul Schimdt Sc = 381, l0 = 4.676·10-8 si h = 4.

Exercițiul 6. (Descompunerea în fracţii simple) Calculați coeficienţii necunoscuţi A, B şi C din expresia :

1.4 Reper cartezian

Fie un reper cartezian xOy cu axe ortogonale (perpendiculare) în planul P, cu originea în punctul O(0;0) şi cu sensurile pozitive ale axelor indicate prin săgeţi (axa orizontală a absciselor sens de la stânga la dreapta și axa verticală a ordonatelor cu sensul de jos în sus).   Fiecărui punct M din planul xOy îi corespund în acest reper două coordonate carteziene notate M(x,y). În Fig. 1 punctul M are coordonatele carteziene (5,4).

6

Fig. 1 Reper cartezian

Distanţa între două puncte in plan

Coordonatele mijlocului unui segment AB unde Coordonatele punctului M care împarte segmentul (AB) în raportul k

Ecuatia dreptei determinata de coordonatele unui punct Mo(x0,y0) si de panta sa. Ecuatia dreptei determinata de punctele A(x1,y1) si B(x2,y2) .

Drepte paralele cu axa Oy x=a

Drepte paralele cu axa Ox y=a

Ecuatia generala a unei drepte ax+by+c=0

Pozitia relativa a dreptelor d1 si d2:

d1=d2Pozitia relativa a dreptelor d1 si d2:

d1//d2Pozitia relativa a dreptelor d1 si d2:

d1 se intersecteaza cu d27

Distanta de la un punct M(x0,y0) la o dreapta h reprezentata prin ecuatie ax+by+c=0

Unghiul determinat de doua drepte cu pantele m1 si m2

1.5 Sistem polar

In sistemul de coordonate polar, pozitia unui punct P fata de origine este descrisa prin specificarea distantei r si a unghiului α dintre linia r si direcţia pozitiva a axei x, numita axa polara. Coordonatele polare ale punctului P sunt P(r,α ), unde .

1.6 Conversia intre cele doua sisteme

Transformarea coordonatelor polare in coordonate carteziene se face dupa relatiile:

Convertire din coordonate polare in coordonate cartezieneConvertire din coordonate carteziene in coordonate polare

Distanta intre doua puncte definite prin coordonate carteziene (x1, y1), (x2, y2) esteDistanta intre doua puncte definite prin coordonate polare (r1, α 1), (r2, α 2)

8

Exercițiul 1. Să se determine lungimea segmentului [AB]  unde A(1,3) şi B(5,-1)

Exercițiul 2. Să se determine coordonatele mijlocului segmentului [AB]  unde A(1,3) şi B(5,-1).

Exercițiul 3. Se dau dreptele de ecuaţii:AB: 5x + 2y - 11=0AC: x – y + 2=0BC: 2x + 5y + 4=0 Să se găsească:

1. Coordonatele vârfurilor triunghiului ABC;2. Aria triunghiului ABC;

3. Distanţa de la originea sistemului de axe xOy la dreapta AC;

4. Ecuaţia medianei duse din C pe AB;

5. Ecuaţia înălţimii duse din A pe BC;

6. Coordonatele punctului D astfel încât ACBD să fie paralelogram;

7. Lungimea laturii AB;

8. Coordonatele centrului de greutate al triunghiului ABC;

9. Coordonatele centrului cercului circumscris triunghiului ABC.

Exercițiul 4. Se dă triunghiul de vârfuri A(-1,3) , B(2,-1) , C(3,6). Să se determine:1. ecuaţia dreptei AC;

2. ecuaţia paralelei prin B la AC;

3. ecuaţia mediatoarei segmentului [BC];

4. ecuaţia medianei din C;

5. ecuaţia înălţimii din C.

Exercițiul 5. Ştiind că A(1,2) este piciorul perpendicularei duse din origine pe dreapta d , să se scrie ecuaţia dreptei d.

Exercițiul 6. Să se găsească proiecţia punctului B(-2,1) pe dreapta d : 2x + y + 1 = 0.

Exercițiul 7. Să se scrie ecuaţia dreptei ce trece prin punctul C(1,3) şi este echidistantă de punctele A(-1,0), B(1,-1).

Exercițiul 8. Să se determine coordonatele simetricelor punctului A(-1,2) faţă de dreapta d : x + y + 1 = 0 şi apoi faţă de punctul B(-1,-4).

Exercițiul 9. Să se determine coordonatele punctului B, stiind ca C(3,5) este mijlocul segmentului AB si ca A(2.4).

Exercițiul 10. Să se determine pentru care distanta dintre punctele A(2,m) si B(-m,-2) este egala cu .

9

Exercițiul 11. In reperul cartezian xOy se considera puncteul A(2,3). Stiind ca punctele B si C sunt simetricele punctului A fata de axele Ox si Oy, sa se calculeze lungimea segmentului AB.

Exercițiul 12. Sa se calculeze coordonatele punctului de intersectie al dreptelor de ecuatii 2x+y-4=0 si x+y-3=0.

Exercițiul 13. Sa se determine ecuatia dreptei care trece prin punctul A91,-1) si este paralela cu dreapta y=x.

Exercițiul 14. In reperul cartezian xOy se considera punctele A(3,0), B(x,y), C(5,-2). Sa se determine numerele reale x si y astfel incat punctul B sa fie mijlocul segmentului AC.

Exercițiul 15. Sa se reprezinte in coordonate polare urmatoarele puncte: (2,2), (-3,4), (-2, ), (1,-1).

Exercițiul 16. Sa se reprezinte in coordonate carteziene urmatoarele puncte: (2, ), (1, ),

(2, ).

Exercițiul 17. Transformati in coordonate polare ecuatia .

Exercițiul 18. Gasiti coordonatele carteziene ale curbei .

1.7. Vectori (în spaţiu)

Coordonatele unui punct în spaţiu. Vectorul de poziţie al unui punct. Vectorul determinat de două puncte. Distanţa dintre două puncte ca mărime a vectorului. Coliniaritatea a doi vectori.

Orice doua puncte din spatiu determina un vector care are marimea egala cu distanta dintre aceste dou puncte. Daca P(a,b,c) si P’(a’,b’,c’) sunt doua punce din spatiul tridimensional R3, atunci vectorul care trece prin cele doua puncte este u=(x,y,z) cu . Vectorul u este reprezentat ca o sageata de la P la P’.

Adunarea vectorilor si

Multiplicarea cu un scalar a vectorului

Produs scalar, vectorial, mixt. Vectorul de poziţie al unei drepte. Vectorul normal al unui plan.

Produsul mixt al trei vectori numit și produsul triplu se defineste ca produsul scalar dintre unul din vectori si produsul vectorial al celorlalți doi. În consecință produsul mixt este un scalar. Produsul mixt are semnifcația geometrică următoare : volumul determinat de cei trei vectori.

10

Exemplu:

Exercițiul 1. Să se determine produsul scalar al vectorilor w1 și w2. Comentați rezultatul obținut :

Exercițiul 2. Să se determine produsul vectorial al vectorilor w1 și w2. Comentați rezultatul obținut :

Exercițiul 3. Să se determine produsul mixt al vectorilor w1, w2 și w3. Comentați rezultatul obținut :

Exercitiul 4. Sa se calculeze produsele mixte a trei vectori , si

daca , , .

Sa se demonstreze ca prin permutari circulare rezulta: .

1.8 Vectori in plan

Fie Oxy un system de axe ortogonale. Fie si versorii axelor Ox si Oy.

11

Definirea vectorului u din plan

Definirea vectorului AB

Modulul unui vector u

Suma a doi vectori u si v

Conditia de paralelism

Conditia de perpendicularitate

Produs scalar, intre doi vectori care formează unghiul Produs scalar a doi vectori perpendiculari

Exercitiul 1. Sa se determine numarul real a stiind ca vectorii si

sunt coliniari.

Exercitiul 2. In reperul cartezian (O, , ) se considera vectorii si . Să

se determine coordonatele vectorului .

Exercitiul 3. Daca si atunci calculati: , , ,

Exercitiul 4. Sa se gaseasca produsul scalar al vectorilor .

1.9 Functii trigonometrice

Radianul

Radianul este masura unghiului opus arcului de cerc de lungime egala cu raza cercului.

12

Functii trigonometrice

Cercul trigonometric

13

Elemente de algebră

Relaţii între funcţii exponenţiale şi numere complexe

Se poate arata din definiţia seriilor ca functiile sinus si cosinus reprezintă respectiv partea imaginară şi cea reală a funcţiei exponenţiale complexe de argument pur imaginar :

14

Aceasta este numită formula lui Euler. Astfel funcţiile trigonometrice devin esenţiale in interpretarea geometrică a analizei numerelor complexe. Spre exemplu pentru identitatea de mai sus, dacă se consideră cercul unitar în planul complex parametrizat de e ix şi ca mai sus, se poate parametriza acest cerc în funcţie de cosinus şi sinus, rezultând că relaţia dintre forma exponenţialei complexe şi funcţiile trigonometrice devine mai evidentă. Formula lui Euler se poate utiliza, de asemenea, pentru a deduce câteva identităţi trigonometrice, scriind cosinus şi sinus astfel:

Mai mult, aceste relaţii permit definirea funcţiilor trigonometrice de argument complex z astfel:

unde i 2 = −1. Funcţiile sinus şi cosinus definite ca mai sus se numesc funcţii întregi. De asemenea, pentru x număr real, se poate arăta că există relaţia:

Este uneori util să se exprime funcţiile de argument complex sinus şi cosinus ca expresii ce conţin părţile reale şi respectiv imaginare ale argumentului acestora.

Aceasta prezintă o relaţie strânsă între funcţiile cu argument complex sinus şi consinus, pe de o parte şi componentele lor reale (sin, cos) şi hiperbolic reale (sinh, cosh) pe de altă parte.

Exercitiul 1. Calculati refluxul minim pentru o coloana de distilare care separa un amestec de doi componenti cu compozitie initiala xFA=0.5 si xFB=0.5 intr-un distilat cu compozitie xDA=0.9 si xDB=0.1.

15

Sa se afle unghiul .

Exercitiul 2. Sa se calculeze:

si . Comparati valorile obtinute.

Exercitiul 3. Daca atunci sa se calculeze

Exercitiul 4. Sa se calculeze si

Exercitiul 5. Calculati valoarea expresiei

Exercitiul 6. Sa se reduca expresia la o forma mai simplă

1.10 Curbe plane: cerc, elipsa, hiperbola, parabolă

Ecuaţia cercului de centru (a,b) si raza R, în coordonate cartezieneEcuaţia cercului de centru (a,b) si raza R, în coordonate polare

Ecuaţia elipsei cu semiaxele a si b, centrată în origine, în coordonate carteziene

Excentricitatea elipsei

Ecuaţia hiperbolei cu axele a si b, în coordonate carteziene

Ecuaţia parabolei, în coordonate carteziene

Exercitiul 1. Sa se scrie ecuatia cercului care are centrul in punctul C(1,0) si este tangent axei Oy.

Exercitiul 2. Sa se scrie ecuatia cercului care are centrul in punctul C(a,b) si este tangent axei Oy si axei Ox.

Exercitiul 3. Sa se scrie ecuatia cercului care are centrul in punctul C(1,-2) si care trece prin punctul O(0,0).

Exercitiul 4. Sa se scrie ecuatia cercului care are centrul in punctul O(0,0) si care are R=1.

Exercitiul 5. Sa se determine pozitia punctului B(2,2) fata de cercul descris de ecuatia:

16

Exercitiul 6. Să se găsească ecuaţia cercului determinat de punctele M(-1,1), N(2,-1) si P(1,3).

Exercitiul 7. Sa se scrie ecuatia elipsei care are semiaxele 4 si 2.

Exercitiul 8. Sa se scrie ecuatia elipsei care contine punctul A(2,-1) si axa mare egala cu a=8.

Exercitiul 9. Sa se scrie ecuatia hiperbolei care are axele 2a=10 si 2b=8.

Exercitiul 10. Sa se scrie ecuatia hiperbolei care are axa mare 2a=18 si excentricitatea e=4/3.

Exercitiul 11. Sa se scrie ecuatia parabolei dispusa simetric fata de axa Oy, care are varful in punctul O(0,0) si care trece prin punctul D(1,-2).

Exercitiul 11. Ce puncte de intersectie are dreapta y=mx si cercul care are ecuatia . Reprezentati grafic.

17

Exemple şi aplicaţii din chimie pentru capitolul „Elemente de algebră”

2.1 Numere complexe

Numerele de forma z=x+i·y unde x, y sunt numere reale, iar i2=-1, se numesc numere complexe. Numărul complex ž=x-i·y reprezintă numărul complex conjugat al numărului complex z.

Exerciţiul 1. Coordonatele polare ale unui numar complex z=x+i·y sunt

,

Reprezentaţi punctul corespunzător numărului complex z= 3+2·i. Care este forma polară a acestui număr complex. Scrieţi acest număr în forma polară. Calculaţi modulul şi numărul complex conjugat ale acestui număr complex.

Exerciţiul 2. Aplicând relaţiile de mai sus să se calculeze produsul şi raportul a două numere complexe z1= x1+y1·i şi respectiv z2= x2+y2·i.

Exerciţiul 3. Să se arate că dacă n este număr întreg : i4n≡1 şi i2n≡ -1.

Exerciţiul 4. Folosind forma polară a numerelor complexe z(r,θ)=r·eiθ să se calculeze z1·z2 şi z1/z2. De asemenea să se calculeze zn şi z1/n.

Exerciţiul 5. Să se calculeze rădăcina cubică a numărului -8 folosind forma trigonometrică a numerelor complexe.

2.2 Matrici şi operaţii cu matrici

Relaţii importante între matrici:(AB)-1= B-1A-1

(AB)T = BTAT

(A-1)T= (AT)-1

(ABC)-1 = C-1B-1A-1

cA= (caij)Adjuncta unei matrice pătrate A : fie Aij complementul algebric al elementului aij al matricei A. Se consideră matricea B = (Aij). Matricea BT este adjuncta matricei A. Elementele matricei B, bij, se calculează eliminând randul i şi coloana j a matricei A şi calculând determinantul matricei rămase înmulţit cu (-1)i+j. Matricea adjunct se notează adj(A)=BT. Apoi se poate calcula A-1 = adj(A)/det(A)Aşadar, această formulare permite calculul inversei matricei A. Pentru matrice mari acest calcul este foarte laborious. De aceea se utilizează metode numerice pentru calculul inverse matricelor mari. Forma matriceală a unui sistem de ecuaţii liniare. Orice sistem de ecuaţii liniare neomogene cu n necunoscute :a11·x1+a12·x2+a13·x3+...... +a1n·xn=b1

a21·x1+a22·x2+a23·x3+...... +a2n·xn=b2

.

18

.

.an1·x1+an2·x2+an3·x3+...... +ann·xn=bn

se poate scrie în forma matriceală astfel : AX=B, unde A=(aij), XT=(x1, x2, .... xn) şi BT=( b1, b2,...., bn), iar soluţia este X=A-1B.Matrice pătratice speciale

Matrice triunghiulară este o matrice care are toate elementele de deasupra diagonalei sau de sub diagonală nule. În acest caz se numeşte inferior diagonală respectiv superior diagonală. Elementele de pe diagonală nu sunt nule. În acest caz, det(A)=a11·a22·...·ann.Matrice diagonală este o matrice care are toate elementele de deasupra şi de sub diagonală nule, adică aij=0, i j. Dacă A=(aii) este matrice diagonală, atunci A-1=(1/aij).Matrice simetrică este o matrice pentru care aij=aji pentru toţi i şi j, adică A=AT. Matrice ortogonală este o matrice pentru care are loc relaţia AT=A-1

Matrice hermitiană transpusă a matricei A este matricea Aº transpusă a matricei formate din numerele complex conjugate ale elementelor aij ale matricei A, adică Aº =(āij)T. Matrice involută : A=A-1

Matrice hermitiană A=Aº

Exercitiul 1. Daca si , care este valoarea expresiei

Exercitiul 2. Fie si . Calculati A+B si AB-B.

Exercitiul 3. Fie si Calculati 2A+5B..

Exercitiul 4. Calculati determinantul matricii .

Exercitiul 5. Daca si si daca AB=BA, care este valoarea lui x?

Exercitiul 6. Daca si atunci care este valoarea matricei BA?

Exercitiul 7. Egalati reactia chimica . Se formeaza sistemul

19

si se rezolva.

Exercitiul 8. Egalati reactia chimica

Exercitiul 9. Egalati reactia chimica (formati matricea A cu coeficientii a,b,c si matricea B cu coeficientii d. Pentru a deveni o matrice patratica, la A se adauga o coloana de 1). Se calculeaza a,b,c din relatia iar d=detA.

aFeCl2 + bNa3(PO4)---> cFe3(PO4)2 + dNaCl

Exercitiul 9. Sa se rezolve sistemul utilizand relula lui Cramer

Exercitiul 10. Sa se demonstreze ca A(B+C)=AB+AC daca

Exercitiul 11. Sa se determine pentru ce valoare a parametrului t matricea A este inversabila?

Exercitiul 12. Să se arate că dacă A este o matrice oarecare, AAT şi ATA sunt matrice pătrate simetrice, de obicei, de ordin diferit. Particularizare :

5 1 3 0A= 3 4 1 5

2 -2 0 1

20

Exemple şi aplicaţii din chimie pentru capitolul „Elemente de analiză matematică”

3.1. Funcţii: tipuri de corespondenţe, exemple şi contraexemple

Fie multimile A si B Tipuri de corespondenta

Multimea A: Multimea proprietarilor Multimea B: multimea masinilor

Exista urmatoarele tipuri de corespondente:1-1: un proprietar poate avea doar o masina1-2: un proprietar poate avea doua masini2-1: doi proprietari pot avea o singura masina0-0: un proprietar nu are nici o masina sau o masina nu are nici un proprietar

Definire functie f(x): sunt necesare trei elemente:1. Domeniu de variatie a lui x = multimea valorilor lui x2. Codomeniu = multimea valorilor lui f(x)3. Procedura = realatie de corespondenta intre valorile lui x si

valorile lui f(x)

Caz special de corespondenta: pentru o singura valoare a lui x corespunde o singura valoarea a functiei f(x)Exemplu definire functie

Exemplu non functie Pentru orice valoarea a lui x1 exista o valoare f(x1)

Pentru orice valoare a lui x2 exista mai multe imagini ale functiei f

21

Exemplu de functie Pentru orice valoarea a lui x1 exista doar o valoare f(x1)Pentru orice valoarea a lui x2 exista doar o valoare f(x2)

Exercitiul nr.1 Sa se reprezinte grafic si sa se demonstreze ca este functie.

Exercitiul nr.2 Sa se demonstreze ca este functie.

Exercitiul nr.3 Sa se arate ca functia este continua pe .

Sa se arate ca f nu este continua in punctul (0,0).

Exercitiul nr.4 Sa se demonstreze ca nu este functie. Sa se defineasca domeniul pe care f(x) este definite ca functie.

22

3.2.Funcţii injective, surjective, bijective

Definitie functie injectiva: daca oricarei imagini din codomeniu ii corespunde un original din domeniul de definitie

Exemplu functie injectivaFie functia , cu procedura din Figura

Imaginii functiei f(x1) ii corespunde originalul x1Imaginii functiei f(x2) ii corespunde originalul x2Imaginii functiei f(x3) ii corespunde originalul x3Rezulta ca functia f(x) este injectiva

Exemplu functie care nu este injectivaFie functia , cu procedura din Figura

Imaginii functiei f(x1) ii corespunde originalul x1Imaginii functiei f(x2) ii corespunde originalul x2a si x2b

Rezulta ca functia f(x) nu este injectiva

23

Exemplu functie non injectiva

Fie functia . Sa

se demonstreze ca nu este injectiva

Imaginii functiei f(x1) ii corespunde originalul x1a si x1b deci nu este injectivaRezulta ca functia f(x) nu este injectiva

Exemplu functie Fie functia

. Sa se

demonstreze ca este injectiva

Imaginii functiei g(x1) ii corespunde ii corespunde originalul numai x1,deci functia g(x) este injectiva

Rezulta ca functia g(x) este injectiva

Definitie functie surjectiva: daca oricarei imagini din codomeniu ii corespunde macar un original din domeniul de definitie

Exemplu functie surjectivaFie functia , cu procedura din Figura

24

Imaginii functiei f(x2) ii corespunde originalul x2

Rezulta ca functia f(x) este surjectiva

Exemplu functie care nu este surjectivaFie functia , cu procedura din Figura

Imaginii functiei f(x1) nu ii corespunde nici un originalImaginii functiei f(x2) ii corespunde originalul x2a si x2b

Rezulta ca functia f(x) nu este surjectivaExemplu functie non sujectiva

Fie functia .

Sa se demonstreze ca nu este surjectiva

Imaginii functiei f(x1) ii corespunde originalul x1a si x1b Imaginii functiei f(x2) plasat in afara intervalului [-1,1] nu ii corespunde nici un original Rezulta ca functia f(x) nu este surjectiva

25

Exemplu functie Fie functia

.

Sa se demonstreze ca este surjectiva

Imaginii functiei g(x1) ii corespunde ii corespunde originalul numai x1,deci functia g(x) este injectiveRezulta ca functia g(x) este surjectiva

Exercitiul nr.1 Sa se demonstreze ca functia este injectiva.

Exercitiul nr.2 Sa se demonstreze daca functia este injectiva si surjectiva.

Exercitiul nr.3 Sa se demonstreze daca functia este injectiva si surjectiva. Exercitiul nr.4 Se da graficul unei functii . Sa se determine procedura, si sa se determine daca aceasta functie este injectiva si surjectiva.

Exercitiul nr.5 Se da graficul unei functii . Sa se determine procedura, si sa se determine daca aceasta functie este injectiva si surjectiva.

26

Exercitiul nr.6 Se da graficul unei functii . Sa se determine procedura, si sa se determine daca aceasta functie este injectiva, surjectiva, bijectiva.

Exercitiul nr.7 Se da graficul unei functii . Sa se determine procedura, si sa se determine daca aceasta functie este injectiva, surjectiva, bijectiva.

Exercitiul nr.8 Se da functia . Determinati domeniul maxim

de definitie, reprezentati grafic aceasta functie si determinati daca acesta functie este surjectiva pe acest domeniu.

Exercitiul nr.9 Se da functia . Reprezentati grafic aceasta

functie si determinati daca acesta functie este surjectiva pe acest domeniu.

Exercitiul nr.10 Analizati daca funcţiile elementare cunoscute sunt injective si surjective.

Funcţia polinomială Funcţia raţională

Funcţia radical

Funcţia putere

Funcţia exponenţială

27

Funcţia logaritmică

Funcţiile trigonometrice directe sin, cos, tg, ctg

Funcţiile trigonometrice inverse arcsin, arccos, arctg, arcctg

Exercitiul nr.11 Sa se determine inversa functie f(x) definita la exercitiul 5.

Exercitiul nr.12 Sa se determine inversa functie f(x) definita la exercitiul 6.

3.3 Şiruri ca funcţii

Exercitiul nr.1. Fie o functie definita astfel . Daca

atunci exista un sir din convergent a.i. .

Exercitiul nr.2 Sa se determine a.i. functia are limita la si este egala cu 1.

Exercitiul nr.3 Fie functia . Sa se afle a,b,c a.i. f sa aiba asimptota la o paralela la dreapta si asimptota la egala cu -1.

Exercitiul nr.4 Sa se determine a.i. functia sa aiba limita in punctul 0.

Exercitiul nr.5 Sa se determine a.i. functia sa aiba limita in punctul

0.

3.4.Funcţii continue. Funcţii derivabile

Exercitiul nr.1 Sa se arate ca functia este continua pe .

Sa se arate ca f nu este continua in punctul (0,0)

Exercitiul nr.2 Sa se arate ca functia nu este uniform continua pe

.

Exercitiul nr.3 Sa se arate ca functia este continua.

28

Exercitiul nr.4 Fie . Atunci f este continua in 0 si 1 si este

discontinua pe .

Exercitiul nr.5 Fie doua functii definite astfel . Atunci

a) f este derivabila pe si discontinua pe b) g este derivabila pe si discontinua pe . Exercitiul nr.5 Fie

Exercitiul nr.6 Fie o functie definita astfel .

Atunci f este continua si derivabila in 0.

Exercitiul nr.7 Fie o functie definita astfel

.

Sa se determine a,b,c, a.i. sa fie de doua ori derivabila pe .

3.5. Proprietăţi ale unei funcţii: mărginire, monotonie, simetrie, peridicitate

Exercitiul nr. 1 Să se determine funcţiile nenule care satisfac condiţia: x·f(y)+z·f(x) = (x+z)·f(x)·f(y) pentru orice x,y .

Exercitiul nr. 2 Fie o funcţie definită astfel : f(0)=1 şi f(x)=0, pentru orice x0. Să se arate că nu există două funcţii bijective a.î. f=f1+f2.

Exercitiul nr. 3 Fie o funcţie arbitrară. Atunci există două funcţii surjective a.î. f=f1+f2

Exercitiul nr. 4 Fie a 0 şi o funcţie a.î. funcţia x˫‒› este

monoton descrescătoare. Atunci : f(x+y) ≤f(x)+f(y), pentru orice

Exercitiul nr. 5 Fie o funcţie definită astfel . Săse arate că f este strict

crescătoare, surjectivă şi să se determine apoi f -1.

Exercitiul nr. 6 Să se arate că funcţiile sin, tg, ctg, sgn sunt funcţii impare, iar funcţia cos este funcţie pară.

29

Exercitiul nr. 7 Fie o mulţime simetrică şi o funcţie. Să se arate că atunci există două funcţii a.î. f1 este pară, f2 este impară şi f=f1+f2.

Exercitiul nr. 8 Să se arate că funcţiile trigonometrice sunt periodice. Să se arate că funcţia f(x)=sin(x2) nu este periodică.

Exercitiul nr. 9 Să se arate că funcţiile : , f(x)= arcsin(sin(x)) şi , g(x)=arccos(cos(x)) sunt periodice şi au perioada minimă 2·π.

Exercitiul nr. 10 Fie o funcţie periodică şi monotonă. Atunci f este constantă.

Exercitiul nr. 11 Fie două funcţii periodice. Dacă f1 posedă o periodă T1 şi f2 o perioadă T2, a.î. T1/T2 este număr raţional, atunci f1+f2, f1-f2, f1·f2 şi f1/f2 (cât este definită) sunt funcţii periodice. Daţi exemple.

3.6 Noţiunea de asimptotă a unei funcţii

Asimptote : Dreapta verticala, orizontala, oblica fata de care graficul unei functii se apropie oricat de mult.

Asimptota verticala: Fie dreapta asimptota x=a :

La stanga: sau

La dreapta: sau

 Asimptota orizontala: dreapta y=n este asimptota spre daca:

dreapta y=n’ este asimptota spre daca:

 Asimptota oblica: Fie dreapta dreapta este asimptota spre daca: Fie dreapta dreapta este asimptota spre daca:

unde

Exercitiul nr. 1 Fie funcţia definită astfel :

să se traseze graficul funcţiei subliniind natura asimptotelor, dacă există.

Exercitiul nr. 2 Fie funcţia definită astfel . Sa se determine asimptota

orizontala.

30

Exercitiul nr. 3 Fie funcţia definită astfel . Sa se determine asimptota

orizontala.Exercitiul nr. 4 Sa se determine asimptotele verticale ale functiei definită astfel

.

Exercitiul nr. 5 Sa se determine asimptotele orizontale si oblice ale functiei definită

astfel .

3.7. Studiu: intersecţia cu axele de coordonate, mulţimea imagine, valorile în puncte Exemplul 1. Fie dreapta y=5·x+7.5. Să se determine intersecţia cu axa absciselor şi cu axa ordonatelor

Exemplul 2. Ecuaţia dreaptei de operare a unui proces de distilare continuă este y = 0.9·x + 0.4. Să se determine intersecţia cu axa ordonatelor şi cu prima bisectoare. Să se determine mulţimea imagine a acestei drepte dacă x є [0,1].

Exemplul 3. Să se determine punctul de intersecţie al dreptelor de operare ale unui proces de distilare continuă. Variabilele x şi y reprezintă fracţii molare. Dreapta de operare pentru zona superioară a coloanei y = 0.93·x + 0.2. Dreapta de operare pentru yona inferioară a coloanei y= 1.02·x – 0.05.

Exemplul 4. Să se determine punctul de intersecţie al dreptei de operare y = 0.92·x + 0.15 cu curba de echilibru y= 2·x/(1+x). Să se scrie ecuaţia dreptei de operare care trece prin acest punct de intersecţie şi care intersectează prima bisectoare în punctul x=0.1

3.8. Funcţii liniare, reprezentare grafică. Inecuaţii determinate de funcţii liniare şi reprezentarea mulţimilor determinate de ele.

Exemplul 1. Să se reprezinte grafic profilul de temperatură în regim staţionar într-un perete de grosime δ=0.3 m (temperatura t în funcţie de variabila spaţială x). Pe feţele peretelui temperatura este t1=30 °C şi respectiv t2=200 °C. Ecuaţia profilului de temperatură este t= t1 + (t2 -t1) ·x/δ.

Exemplul 2. Un perete solid compozit este format din două plăci plane din materiale diferite (notate 1 şi respectiv 2). Să se determine temperatura interfeţei tx dintre cele două plăci în regim staţionar, cunoscând că prima placa are grosimea δ1=0.05 m şi conductivitatea termică λ1 =0.4 W/(m·K), iar placa a doua are grosimea δ2 = 0.3 m şi conductivitatea termică λ2 = 0.04 W/(m·K). Se ştie că faţa externă a plăcii 1 are temperatura t1= 250 °C, iar faţa externă a plăcii 2 are temperatura t2= 50 °C. Condiţia de conducţie a căldurii în regim staţionar este :

(t1 –tx) · λ1/δ1 = (tx –t2) · λ2/δ2

Să se reprezinte grafic profilul de temperatură în cele 2 plăci ce formează peretele solid.

31

Exemplul 3. Să se determine domeniul de fezabilitate din plan pentru punctele de coordonate (x, y), x є [0, 5] şi y є [0, 3], dacă sunt impuse următoarele condiţii :

5·y – x ≥ 0, y + 0.5· x – 4.5 ≤ 0 şi respectiv y – x – 1 ≤ 0

Să se reprezinte grafic acest domeniu.

Exemplul 4. Să se reprezinte grafic mulţimea punctelor din plan de coordonate (x, y), x є [0, 2] şi y є [-1, 1] dacă sunt impuse condiţiile :

2·y + x – 2 ≤ 0, y – x + 1 ≥ 0 şi x ≤ 1y + 2·x – 1 ≥ 0 şi x ≥ 1

Exemplul 5. Să se reprezinte grafic mulţimea punctelor din plan de coordonate (x, y), x є [0, 2] şi y є [0, 2], dacă sunt impuse condiţiile :

y – x – 1 ≤ 0, y – x + 1 ≥ 0, y + x + 1 ≥ 0 şi y + x – 3 ≥ 0Exercitiul 6. Sa se reprezinte grafic functia , . Care sunt coordonatele punctelor de intersectie ale graficului functie f cu axele de coordonate Ox si Oy. Stabiliti care din urmatoarele puncte apartin graficului functiei: A(1,1) si B(0,2).

3.9. Funcţii de gradul al II-lea, reprezentare grafică. Recunoaşterea parabolei, a cercului, a elipsei, a hiperbolei. Inecuaţii determinate de funcţii de gradul al II-lea şi reprezentarea mulţimilor determinate de ele.

Exemplul 1. Să se reprezinte grafic funcţia de gradul II f: [0, 2] → [0,1], f(x) = x2 – x. Unde are maximul ? Care sunt valorile minime ale funcţiei ?

Exemplul 2. Să se determine punctele de intersecţie ale cercului x2+y2 – 1 = 0 cu parabola y=a·x2, unde a este număr real. Discuţie.

Exemplul 3. Să se determine punctele de intersecţie ale elipsei x2 + 2·y2 – 1 = 0 cu hiperbola y=a/x, unde a este un număr real. Să se reprezinte grafic pentru a=1. Discuţie.

Exercitiul 4. Sa se reprezinte grafic functia ,

3.10. Funcţia exponenţială: operaţii, grafic, valori importante. Funcţia logaritm cu baza e: operaţii, grafic, valori importante.

Exemplul 1. Să se reprezinte grafic funcţia f:[0,2]→[1, ∞), f(x) = ex. Să se determine f(0), f(1), şi f(ln(x))

Exemplul 2. Să se reprezinte funcţia f:[273, 373]→ , f(T)=1010·exp(-10/T)

Exemplul 3. Să se reprezinte funcţia f:[273, 373]→ , f(T)=5-200/(250-T)

Exemplul 4. Să se reprezinte funcţia f:[50, 250]→ , f(t)= (t-50)/ln(t/50) 32

Obs. Aceasta reprezintă media logaritmică.Exercitiul 5. Fie funcţia f:[0,1] , , unde a,b>0, .

a. Să se arate că f este descrescătoare pe şi crescătoare pe .

b. Să se arate că pentru orice x [0,1] avem .

Exercitiul 6. Fie funcţia , unde .Să se determine m, astfel ca domeniul de definiţie al funcţiei f să fie R. Să se determine minimul sau maximul lui f(x).

Exercitiul 7. Studiati monotonia functiei: .

Exercitiul 8. Studiati monotonia functiei: .

Exercitiul 9. Se considera functia: . Sa se calculeze .

Exercitiul 10. Sa se determine domeniul maxim de definitie al functiei , .

Exercitiul 11. Fie functia , . Sa se calculeze .

Exercitiul 12. Sa se determine domeniul maxim de definitie al functiei ,

.

3.11 Integrala dintr-o funcţie pozitivă şi interpretarea ei ca arie. Primitivele principalelor funcţii. Metode de integrare: metoda substituţiei, metoda schimbării de variabilă. Teorema de medie.

Exemplul 1. Utilizând metoda substituţiei să se calculeze integrala . Discuţie

după a şi b numere reale.

Exemplul 2. Fie P2(x)=ax2+bx+cSă se calculeze în funcţie de semnul descriminantul ∆=b2-4·a·c primitivele următoarelor

fracţii raţionale simple : şi . Se va încerca folosirea metodei schimbării de

variabilă.

33

Exemplul 3. Utilizând metoda schimbării de variabilă să se calculeze integrala ,

unde m este parametru real.

Exemplul 4. Să se calculeze aria A mărginită de axa Ox, axa Oy, dreapta x=a şi curba y=1/(b+x), cu b număr real strict pozitiv. Discuţie după valorile lui a.

Exemplul 5. Să se calculeze aria cuprinsă între curbele y = sh x, y = ch x, axa Oy şi dreapta x – a =0. Să se reprezinte grafic pentru a vizualiza aria cerută.

34

Exemple şi aplicaţii din chimie pentru capitolul „Elemente de calcul numeric şi teoria aproximării”

4.1. Numere reale. Aproximări întregi, raţionale, eroarea de aproximare. Exemplul 1. Să se aproximeze cu cinci zecimale exacte rădăcinile reale ale ecuaţiei : x3+2·x – 1 =0

Exemplul 2. Să se scrie sub formă de fracţie zecimală infinită periodică următoarele numere :-2/3, -29/11, -12/17, 25/13, 43/15. Care este partea întreagă şi care este partea fracţionară a fiecărui număr?

Exemplul 3. Să se crie sub formă de fracţie ordinară numerele : 0,(3) 2,45(3) 0,027(45) -1,12(23) -31,(35)

Exemplul 4. Să se determine trei cifre semnificative după virgulă pentru produsul numerelor a=1/3 şi b= .

Exemplul 5. Să se calculeze eroarea absolută şi eroarea relativă în aproximarea numarului p cu numărul p* : a) p = π şi p*=22/7, b) p = π şi p*= 3,1416, c) p = e şi p*=2,718, d) p = şi p*=

1.4147, e) p = 9! şi p*= , p=e10 şi p*= 22000

4.2. Partea întreagă a unui număr real.

Exemplul 1. Să se verifice următoarele egalităţi

a) ,

b)

c)

d) =impar

e)

f) g)

h) i)

35

j)

Exemplul 2. Să se arate că : .

Exemplul 3. Să se arate că dacă şi atunci a=b.

Exemplul 4. Să se găsească partea întreagă şi prima zecimală a următoarelor numere :

Exemplul 5. Fie x R şi expresia , unde s-a notat cu [x] partea întreagă

a numărului real x.

a) Să se calculeze şi .

b) Să se demonstreze că P(x) = 0, pentru orice valoarea reală a numărului x .

c) Să se arate că şi şi să se deducă că P(x)=0 pentru orice x-real.

d) Să se calculeze valoarea sumei .

4.3. Aproximarea soluţiilor unei ecuaţii cu metode numerice (metoda coardei, metoda tangentei)

Exemplul 1. Să se găsească soluţii ale ecuaţiei x3 – 3·x +1=0 cu metoda coardei şi cu metoda tangentei.

Exemplul 2. Să se găsească soluţii ale ecuaţiei e-x – x2 = 0 cu metoda coardei şi cu metoda tangentei. Discuţii.

Exemplul 3. Să se rezolve ecuaţia lui Manning, care descrie debitul Q al unui fluid care are adâncimea h într-un canal. Ecuaţia se poate pune sub forma :

f(h) = Q – (b·h)5/3·S1/2/(b+2·h)2/3/n = 0

Dându-se valorile parametrilor: b=30, Q=1000, S=0.002, n=0.022, să de determine adâncimea h a lichidului în canal, utilizând metoda coardei şi apoi metoda tangentei. Discuţie.

Exemplul 4. Să se găsească soluţii alte ecuaţiei x4 + 3·x – 4 = 0 cu metoda coardei şi cu metoda tangentei. Discuţie.

36

Exemplul 5. Discutaţi aplicabilitatea metodei tangentei pentru rezolvarea ecuaţiei :

f(x) = x5-11·x4+46·x3-90·x2+81·x – 27 = 0

37