Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro
Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro
Etapa 6, Problema 3 Fie paralelipipedul dreptunghic ABCDEFGH şi M un punct interior. Fie , ,a b c măsurile unghiurilor formate de AM cu , ,AB AD AE . Demonstraţi că
cos cos cosAM AB a AD b AE c AG . Soluţie sintetică.
Fie ABN pr M ; atunci cos NAa
AM . Analog, dacă ADP pr M şi AEQ pr M , atunci
cosAP
bAM
şi cos AQc
AM . Atunci
cos cos cosAN a AP b AQ c 2 2 2 2AN AP AQ AM
AMAM AM AM AM
,
deoarece AM este diagonala paralelipipedului dreptunghic care se formează cu muchiile , , .AN AP AQ Avem apoi
AM cos cos cosAN a AP b AQ c < cos cos cosAB a AD b AE c . Din inegalitatea lui Cauchy,
cos cos cosAB a AD b AE c < 2 2 2 2 2 2cos cos cosAB AD AE a b c . Întrucât 2 2 2AB AD AE 2AG şi 2 2 2cos cos cosa b c 1 , problema este rezolvată. Soluţie vectorială. Evident că AMG este obtuzunghic în M , deci 2 2 2AG AM MG . Scriem această relaţie
sub forma 2 2 2
2
2AM AG MG
AM
şi deducem că 2AM AM AG
(*).
Dar AM AG AM AG
(**) şi
AM AG AM AB AD AE
AM AB AM AD AM AE
cos cos cosAM AB A AM AD b AM AE c .
Din (*) şi (**) obţinem inegalitatea 2 cos cos cosAM AM AB A AM AD b AM AE c AM AG
şi concluzia problemei urmează după simplificarea cu AM .■