ElectrotehnicasiMasiniElectrice Curs

5/10/2018 ElectrotehnicasiMasiniElectrice Curs - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/electrotehnicasimasinielectrice-curs 1/85

MARCEL OANCĂ

ELECTROTEHNICĂ

ŞI

MASINI ELECTRICE

Note de curs

PENTRU INGINERIE MECANICA ȘIINGINERIA MEDIULUI

GALATI

2010



CURS 1NOTIUNI GENERALE DE ELECTROTEHNICA

1. Starea electrostatica1.1. Campul electric

Experimental s-a constatat ca un corp poate fi adus in stare de electrizare prinactiuni mecanice (frecare), termice (incalzire), radiatii sau prin reactii chimice.Din punct de vedere microscopic, starea de electrizare a unui corp inseamna

aducerea acestuia in situatia de a avea un exces sau o lipsa de electroni iar ea reprezintaorice stare in care acest corp poate exercita actiuni de natura mecanica (forte si cupluri)asupra altor corpuri aflate in vecinatatea lui.

Aceste actiuni pun in evidenta existenta unui sistem fizic in spatiul din jurulcorpului electrizat, numit camp electric.

Daca consideram un corp punctiform incarcat cu sarcina electrica q, aflat in campulelectric al unui corp electrizat caracterizat de intensitatea campului electric E, atunciasupra corpului punctiform se mainifesta o forta, a carei directie coincide cu directiacampului:

F qE

Unitati de masura [SI]: q – [Coulumb], [C]; E – [volt/metru]; F – [Newton], [N]Pentru caracterizarea completa a campului electric s-a introdus si a doua marime,

numita inductie electrica, notata cu [ D ]. Legatura dintre cele doua marimi exprimarelatiade dependenta care caracterizeaza campul electric, relatie care se numeste legealegaturiidintre E si D , valabilă in medii izotrope si liniare:

D E , unde:ε – permitivitatea absoluta a mediului [Farad/metru].

1.2. Teorema lui CoulombSe considera doua corpuri punctiforme, incarcate cu sarcinile q 1 si q 2 si aflate la

distanta r.

a)b)Fig. 1.1. Forţele de interacţiune a două corpuri punctiforme, încărcateelectric

Fortele care se exercita asupra celor doua corpuri vor fi:1 q 1q 21 q 1q 2

F12 2 u 21 ; siF 21 u 12 , (Fig. 1.1.a) unde:4 r4 r 2

u 12 si u 21 reprezinta versorii celor doua corpuri punctiforme.Cum F12 q1 E12 si F21 q1 E 21 rezulta:

1 q21 q1

E12 2 u 21si E 21 u12

4 r4 r 2

Generalizand se poate spune ca o sarcina electrica punctiforma q, stabileste intr-unpunct P, aflat la distanta r, un camp electric (sau electrostatic) de forma (Fig. 1.1.b):

1 qE u4 r 2



Vectorul intensitatii campului electric E are directia fortei F iar aceasta este radialindreptata spre infinit daca sarcina q>0 si spre corp daca q<0.

1.3. Tensiunea electrica. Potentialul electric. Diferenta de potentialIn campul electric de intensitate E stabilit de o sarcina punctiforma q, se considera

o curba oarecare C. Se defineste tensiunea electrica U 12 , integrala de linie a intensitatiicampului electric E intre doua puncte (P 1 si P 2 ) ale curbei (Fig. 1.2):

Fig. 1.2. Tensiunea electrică

U12 E dl P1

r2

P2 r2 q 1 cos dlqrq r

dl 2 dl 4 r r 2 dl 4 r4 r r 2r

1 1 1

r2 r2

q drqqq 1 1

4 r r 2 4 r1 4 r2 4 r1 r2

1

Deci tensiunea electrica nu depinde de drumul ales pentru integrare ci doar decoordonatele punctului in raport cu sarcina punctiforma q.

Daca punctul P 2 tinde spre infinit iar P 1 este un punct curent P, de coordonata r,rezulta:

q 1

E dl E dl VP unde:

4 r Pr

V P este potentialul punctului P in raport cu un punct situat la infinit.Se poate observa acum ca tensiunea electrica este egala cu diferenta de

potential, U12 V1 V2 .

Unitati de masura[SI]: U 12 , V P – [volt], [V].Observatie: Pe o curba inchisa Γ, tensiunea electrica este nula: E dl 0

2. Starea electrocinetica2.1. Curentul electric de conductie

Curentul electric de conductie este determinat de miscarea ordonata a purtatorilorde sarcini electrice din conductoare (electroni in metale si ioni in solutii). Un conductorparcurs de curent electric (continuu) este sediul unui camp electric care pune in miscaresarcinile electrice si este in acelasi timp sediul unor transformari energetice cu efectetermice si magnetice.

Caracterizarea starii de deplasare ordonata a purtatorilor de sarcini se face cuajutorul unei marimi scalare numita intensitatea curentului electric de conductie, avand

unitatea de masura in [SI] amperul [A]. Aceasta reprezinta cantitatea de electricitate saudebitul sarcinilor electrice printr-o suprafata in unitatea de timp.



Fig. 1.3. Densitatea de curent

Proprietatea conductoarelor electrice de a permite trecerea curentului electric senumeste conductibilitate iar fenomenul se numeste conductie electrica.

Sensul pozitiv al curentului electric este consideratcel al sarcinilor pozitive (adica sensul campului electric).

Pentru caracterizarea locala a starii electrocinetices-a introdus notiunea de densitate de curent, notata cu J (marime vectoriala), carepermitedefinirea curentului a fiind intergala de suprafata a densitatii de curent (Fig. 1.3):

i J dsS

Unitati de masura[SI]: J – [Amper/metru], [A/m].Observati:- liniile de camp ele densitatii de curent se numesc linii de curent;

- in regimul electrocinetic stationar (curent continuu) curentul prin orice

suprafata inchisa Σ este nul: i J ds ceea ce inseamna ca liniile de curent suntlinii

inchise adica curentul circula numai pe contururi (drumuri) inchise.



CURS 2

2.1. Tensiunea electromotoare (t.e.m.)Pentru a intretine o stare electrocinetica (adica deplasarea ordonta a purtatorilor de

sarcina) este necesara prezenta unui camp electric care corespunde unei transformari a

uneienergii neelectrice in energie electrica, camp numit camp electric imprimat. Acesta sepoate obtine printr-o transformare chimica (pile si acumulatoare), pe cale termica(incalzirea neuniforma a unui conductor electric), la contactul dintre doua conductoarediferite (termocupluri), la supafata de separatie dintre un semiconductor si un metal, subactiunea unei radiatii luminoase etc.

Deci, in regim sationar, intensitatea campului electric cuprinde doi termeni,respectiv E si E i , unde E este intensitatea campului electric iar E i este intensitateacampului electric imprimat.

Definitie. Integrala pe o curba inchisa a campului electric se numeste tensiuneelectromotoare de contur, se noteeaza cu e si se masoara in volti [V]:

e E E i dl E dl E i dl 0 E dl

Pentru o portiune de circuit cuprinsa intre punctele A si B, tensiunea electromotoare(t.e.m.) este:

e AB E i dl eA

B

deci t.e.m. este produsa de Ei si este localizata in portiunea de circuit unde exista campelectric imprimat iar aceste portiuni se numesc surse de t.e.m. Portiunile de circuit carecare nu contin surse se numesc receptoare (consumatoare).

Pe de alta parte, integrala pe o curba intre doua puncte A si B se numeste tensiune

electrica:

U AB B

A

E Ei dl E dl Ei dl uf e A A

B B

unde u f se numeste tensiune

in lungul firului sau tensiune la borne:u f u b VA VB

2.2. Legea conductiei electrice (Ohm)Experienta arata ca in orice punct a unui conductor este valabila relatia:

E Ei J

1unde este rezistivitatea conductorului / m (

, - conductivitate electrica) iar J

este densitatea de curent [A/m2].Aceasta relatie defineste legea conductiei electrice sub forma locala.Pentru deducerea formei integrale, se considera o portiune de conductor filiform (cu

lungimea mult mai mare ca sectiunea, l>>S),prezentat in fig. 2.1.

Integrand relatia E E i J , obtinem:

B

A

E Ei dl

J

dl A

B B

unde A E Ei dl

E dl

Ei dl u

f e A A

B B

si



Fig. 2.1.

idl

J dl J dl dl i i R

SS AAAA

Egaland cele doua relatii, rezulta:uf e i R

relatie care reprezinta forma integrala a legii conductiei electrice Ohm) cu urmatoarele

precizari:

B B B B

- u f u b E dl este tensiunea la borne sau tensiunea in lungulfirului; A

B

- e E i dl este tensiunea electromotoare datorata campului electricimprimat;

- R

A

AB

B

dleste rezistenta electrica a circuitului.

SObservatii:

- daca circuitul este inchis, u b 0 si rezulta t.e.m. e R i ;

- daca circuitul nu are surse, e=0 si obtinem u b

R

i ;- pentru un conductor filiform, omogen, avand sectiunea S constanta si de lungimel, rezistenta electrica este data de relatia:

llR S S

Marimea inversa rezistentei electrice se numeste conductanta electrica, se noteazacu G si se masoara in 1 sau [S] (Siemens).

Un element electric care prezinta o anumita rezistenta la trecerea curentuluielectricse numeste rezistor si are simbolul din fig. 2.2.

Fig. 2.2. Simbolizarea rezistorului

2.3. Legea legea transformarii energiei in conductoare (Joule-Lenz)Experimental s-a constatat ca intr-un conductor parcurs de curent electric, se

dezvolta caldura. Acest fenomen este descris de legea transformarii energiei inconductoareavand urmatoarea exprimare locala:

p E Junde p este puterea instantanee cedata pe unitatea de volum [W/m3].

Pentru obtinerea formei integrale a legii se face integrarea formei locale a legii pevolumul V al unei portiuni de circuit (Fig. 2.3):



p p dV (E J ) dV E J S dl i E dl i u b i u f V V A A

B B

Deci p i u b [W] este forma integrala a legii Joule.Stim ca u f e i R u b e i R sau u b Ri e . Rezulta ca:

P i Ri e Ri 2 ei

Fig. 2.3.

Primul termen Ri2>0 si reprezinta puterea disipata in conductor sub forma decaldura.

Al doilea termen ei<>0 si reprezinta puterea generata/primita de sursa. Astfel dacaei>0 sursa cedeaza energie (exemplul acumulatorului care alimenteaza un receptor) iardaca ei<0 sursa primeste energie (exemplul sursei care incarca un acumulator).

Valoarea energiei se obtine prin integrarea in timp a puterii:

W pdt [Ws].

Daca p P const. atunci energia W Pt .

Notiuni de electrodinamica

2.4. Câmp magnetic. Inducţia magneticăAsupra corpurilor se pot exercita forţe şi cupluri de natură diferite de cele

termodinamice sau electrice, numite forţe şi cupluri magnetice. Acestea acţionează atâtasupra unor conductoare parcurse de curenţi, cât şi asupra altor corpuri feromagneticeiarinteracţiunile sunt de trei tipuri: magnetostatice (dintre doi magneţi), electromagnetice(dintre un magnet şi un curent) si electrodinamice (dintre două conductoare parcurse decurent).

Interacţiunea se exercita la distanta, in spatiu, ca un câmp de forţă, numit câmpmagnetic, care reprezintă forma de manifestare materiala a câmpului general

electromagnetic.Practic, câmpul magnetic se poate pune în evidenta cu pilitură de fier care searanjează după liniile de câmp, iar mărimea vectorială H , (numită intensitatea câmpuluimagnetic avand in [SI] unitatea de masura [A/m]) este tangentă la liniile de câmp, sensulacestui vector fiind stabilit de asemeni cu regula burghiului drept (se roteşte burghiuldrept,astfel încât acesta să înainteze în sensul curentului i, iar un punct de pe generatoarea lui,indica sensul câmpului magnetic H ).

Spectrul liniilor de câmp magnetic într-un plan, perpendicular pe un conductorfiliform străbătut de curentul i se prezintă în Fig. 2.4. În cazul unui solenoid (bobină),sensul liniilor de câmp se stabileşte tot cu regula burghiului drept (Fig. 2.5), liniile ies dinbobină în partea din stanga şi intră în bobină în partea din dreapta deci liniile de câmp

magnetic sunt întotdeauna linii închise



Fig.2.4. Fig. 2.5.

Unitatea de măsură: o Henry / m . În [SI], o 4 10 7 H / m.B

Intensitate de câmp magnetic se defineste ca fiind raportul H sau B H

Pentru un conductor rectiliniu străbătut de curentul I, intensitatea câmpuluiBI

iar in interiorul unei bobine, de lungime l, intensitateamagnetic va fi: H o 2 r

NI

.câmpului magnetic este dată de relaţia: H

lUnitatea de măsură pentru intensitatea câmpului magnetic, în [SI] este

amper/metru(A/m).

In cazul unui câmp magnetic produs de mai mulţi curenţi, într-un punct Mintensitatea câmpului magnetic se obţine făcând o sumă vectorială a intensităţilorcâmpurilor magnetice produse de fiecare curent în parte.

În interiorul bobinei se poate spune că avem un câmp magnetic omogen H , liniilefiind paralele şi intensitatea câmpului constantă.

Caracterizarea completa a campului magnetic se face utilizand o a doua marime,numita inducţie magnetică şi care în [SI] se măsoară în Tesla [T] sau [weber/m2].

Inducţia câmpului magnetic într-un punct M situat la distanta r este:I

B2 r

Analog, inducţia magnetică in interiorul unei bobine este proporţională cuintensitatea curentului şi cu numărul N de spire pe unitate de lungime.NI

Bunde este permeabilitatea magnetica absoluta a mediului.l

Permeabilitatea magnetică relativă se defineşte ca fiind raportul dintre inducţiacâmpului magnetic în acel mediu intr-un punct M situat la distanta r fata de axaconductorului şi inducţia câmpului magnetic în vid sau aer, produs de acelaşi curent şi în

acelaşi punct, adică: r . 0

La majoritatea materialelor, în afara celor feromagnetice şi ferimagnetice,

permeabilitatea magnetică, 0 , adică

r =1.



CURS 3

3.1. Forta electromagneticaUn câmp magnetic acţionează asupra unui conductor rectiliniu de lungime l,

parcurs de curentul I, cu o forţă electromagnetică F . Direcţia forţei F este totdeauna

normală pe planul determinat de direcţia curentului şi direcţia câmpului magnetic. ForţaFeste dată de relaţia:

F I l B sau scalar F B I l sin l, B în care B este inducţia câmpului magnetic, carecaracterizează câmpul magnetic. Sensul forţei F este datde regula mâinii stângi.

În fig. 3.1 este reprezentat un câmp magneticF omogen, dat de doi poli magnetici, în care se află un

IlBconductor de lungime l şi străbătut de curentul I.

Aplicând regula mâinii stângi găsim direcţia şi sensulforţei F la care este supus conductorul. Dacă seinversează sensul curentului în conductor şi se menţinesensul câmpului magnetic, forţa F îşi va schimba sensul.

Fig. 3.1 Acelaşi lucru se obţine dacă se menţine sensul curentuluişi se inversează sensul câmpului magnetic.

Această forţă la care este supus un conductor străbătut de un curent electric, aflat într-un câmp magnetic, se numeşte forţă electromagnetică sau forţă laplaceană.

Când direcţia inducţiei câmpului magnetic este perpendiculară pe direcţiacurentului electric relaţia forţei devine: F B I l

3.2. Fluxul magneticFluxul magnetic printr-o suprafaţă S (fig.3.2), reprezintă totalitatea liniilor de câmpmagnetic ce străbat acea suprafaţă.

Fluxul magnetic , este dat de relaţia:

B ds cos B dsS S

iar fluxului elementar care străbate elementul de suprafaţa ds este: d B dsDacă inducţia câmpului magnetic este perpendiculară pe elementul de suprafaţă ds,

d

atunci se poate scrie: B adică inducţia câmpuluids

magnetic reprezintă densitatea de flux magnetic alcâmpului magnetic.

Unitatea de măsură pentru fluxul magnetic în [SI]este Weberul [Wb].Întrucât liniile de câmp magnetic sunt linii închise, fluxulmagnetic care trece prin orice suprafaţă închisă este

întotdeauna egal cu zero ( B ds 0 ).

Dacă câmpul magnetic este produs de mai mulţiFig. 3.2.curenţi, care pot aparţine unor circuite diferite, atuncifluxul magnetic din interiorul unui contur oarecare, închis, este egal cu suma algebrică afluxurilor produse de curenţii distincţi, în interiorul acelui contur, adică:

B ds B1 B2 B3 ... Bn ds 1 2 3 ... n

S S



3.3. Legea inductiei electromagneticeAcesta lege arata ca t.e.m. produsa prin inductie electromagnetica de-a lungul unui

contur inchis este egala cu viteza de scadere a fluxului inductiei magnetice:d

e e tr e m edt

Componenta e tr reprezinta t.e.m. indusa printransformare de inductia B atunci cand conturul este fix iarfluxul este variabil (de exemplu sinusoidal).

Componenta e m reprezinta t.e.m. indusa prin miscarede inductia B atunci cand conturul este mobil (in miscare) iarfluxul este constant in timp.

Consideram o spira (conductor) aflata in campul Fig. 3.3magnetic de inductie B, parcurs decurentul i (fig. 3.3).

Fluxul care strabate suprafata delimitata de spira esteproportional cu curentul i care circula prin spira si este k i .

a) In ipoteza ca spira este fixa (sau bobina, daca sunt mai multe spire) si curentul

este variabil, in aceasta se va induce o t.e.m. de inductie electromagnetica (e tr ) numitasit.e.m. de autoinductie.

Constanta K se noteaza cu L si reprezinta inductivitatea proprie a spirei (saubobinei) definita, deci, ca raport dintre fluxul produs de campul magnetic de inductie Bprin spira si curentul care il produce: N

sau L Lii

dL didiRezulta ca e tr N N L .

dtN dtdt

diLiDeci e tr Lsi

dtNb) Daca un conductor de lungime l este mobil (in miscare), cu viteza v, in campul

magnetic de inductie B (fig.3.4), atunci in intervalul de timp dt va parcurge distanta vdt(latura a conturului Γ AA’).

Fluxul magnetic delimitat de deplasareaconductorului in intervalul de timp dt va fi: B A unde A v dt l

Expresia fluxului va fi: B l v dt

Rezulta ca t.e.m. indusa prin miscare:

d B l vdtem Blvdtdt

Fig. 3.4iar sensul acesteia va fi determinatacu ajutorulregulii mainii drepte.Observatie: Daca conductorul este fix adica v=0 atunci t.e.m. indusa prin miscare va finula.

CIRCUITE DE CURENT CONTINUU1. Elemente simple de circuit în curent continuu.

Reţele sau circuite electrice1.1. Elemente de circuit

Rezistorul (rezistenţa) este un element de circuit pasiv care, parcurs fiind de uncurent electric, degaja căldură prin efect Joule-Lenz.



Simbolul şi notaţia sa în circuite electrice este prezentată în fig. 3.5.

Fig. 3.5. Rezistorul ideal

Valoarea curentului prin rezistenţă, exprimată plecând de la legea lui Ohm, va fiU

iar puterea pe rezistenţă P UI RI 2

RSursa de tensiune este un element de circuit care, dacă este intercalată într-un

circuit închis, debitează în acesta un curent. Parametru principal al unei surse este t.e.m.asa şi rezistenţa internă. Sursele a căror rezistenţă internă este nulă se numesc surseideale,cele cu rezistenţă internă r 0 se numesc surse reale.

Simbolul şi notaţia sa în circuite electrice este prezentată în fig.3.6.Relaţii specifice surselor de tensiune:

- t.e.m. E U rI

I

- puterea debitată de sursă în circuit P UI EI rI 2

sauFig. 3.6. Sursă de t.e.m. Reprezentări

Dacă sursa debitează pe o rezistentă de sarcină R atunci curentul prin aceastaeste

EU rII

R r R r1.2. Reţele sau circuite electriceUn circuit electric este constituit din elemente de circuit prin care trece curentul

electric. Circuitul electric conţine surse şi consumatori (receptoare) de energie electrică.Mai multe circuite electrice interconectate formează o reţea electrică (fig. 3.7).

Fig.3.7. Reţea electrică

unde s-a notat: R 1 , R 2 , R 3 , R 4 , R 5 , R 6 – rezistoare; E 5 , E 6 , - surse de tensiuneelectromotoare.

O reţea electrică conţine, din punct de vedere topologic: laturi, noduri şi ochiuri.Latura reprezintă o porţiune de circuit formată din elemente conectate în serie,

parcurse deci de acelaşi curent şi cuprinse între două noduri.Nodul reprezintă un punct al reţelei în care converg cel puţin trei laturi.Ochiul (bucla) este un circuit închis format dintr-o succesiune de laturi ale reţelei. Se

numeşte sistem de ochiuri (bucle) independente un sistem de ochiuri care cuprinde toatelaturile reţelei, fiecare ochi (buclă) diferind de celelalte prin cel puţin o latură.



2. Teoreme de echivalenţă in circuite de curent continuu2.1. Conectarea surselora. Conectarea în serie. Considerăm n surse conectate în serie (fig. 3.8) având

valorile t.e.m. E n şi rezistenţele interne R n .

Fig. 3.8. Conexiunea serie a surselor de t.e.m.

Aceste surse pot fi înlocuite cu o sursă echivalentă E e şi rezistenţa internă Re .

E e E1 E 2 ... E n E k şi R e R1 R 2 ... R n R kk k

b. Conectarea în paralel. Considerăm n surse conectate în paralel (fig. 3.9) avândvalorile t.e.m. E n şi rezistenţele interne R n .

Fig. 3.9. Conexiunea paralel a surselor de t.e.m.

Aceste surse pot fi înlocuite cu o sursă echivalentă E e şi rezistenţa internă Re .

111E1 E2 ... E n

1111R1R2Rn

... şi E e 111R e R1 R 2Rn

... R1 R 2Rn

1sau ţinând cont căG

R

G e G1 G 2 ... G n G k şi

k

Ee E1G1 E 2G 2 ... E n G n

G1 G 2 ... G n

EkG k

k

Gk

k

2.2. Conectarea rezistenţelor

a. Conectarea în serie. Considerăm n rezistenţe conectate în serie (fig. 3.10).Valoarea rezistenţei echivalente va fi:

R e R1 R 2 ... R n R k

k

Fig. 3.10. Rezistoare conectate în serie

Cazuri particulare

- Dacă cele n rezistenţe sunt egale ( R1 R 2 ... R n R ) atunci rezistenţaechivalentă a acestora va fi R e n R



- Pentru două rezistenţe conectate în serie se pot calcula tensiunile la bornelefiecăreia fără a fi nevoie să cunoaştem curenţii prin acestea. Astfel:

R1R2

U1 Uşi U 2 UR1 R 2R1 R 2

relaţii care definesc teorema divizorului de tensiune.

b. Conectarea în paralel. Considerăm n rezistenţe conectate în paralel (fig. 3.11).Valoarea rezistenţei echivalente va fi:

1111 ...

RnR e R1 R 2

Fig. 3.11. Rezistoare conectate în paralel

Cazuri particulare- Dacă cele n rezistenţe sunt egale ( R1 R 2 ... R n R ) atunci rezistenţa

Rechivalentă a acestora va fi R e .

n- Pentru două rezistenţe conectate în paralel se pot calcula curenţii prin acestea fără

a fi nevoie să cunoaştem tensiunile la bornele fiecăreia. Astfel:R1R2

I1 Işi I 2 IR1 R 2R1 R 2

relaţii care definesc teorema divizorului de curent.- Pentru cele două rezistenţe conectate in paralel, rezistenţa echivalentă va fiR R

R e 1 2 , o relaţie comodă, foarte utilizată în calculul circuitelor electrice.R1 R 2

3. Teoremele Kirchhoff 3.1. Teorema aI-a a lui Kirchhoff Această teoremă se referă la nodurile reţelei. Teorema aI-a a lui Kirchhoff se

enunţă astfel:Suma algebrică a curenţilor ce converg (intră sau ies) într-un nod este nulă, adică:

k 1 Ik 0 ;

n

unde: I 1 , I 2 , I 3 ,.., I n sunt curenţii care converg în nodulrespectiv.

Fig. 3.12. Aplicarea teoremei aI-aKirchhoff într-un nod de reţea Fig. 3.13. Aplicarea teoremei aII-aKirchhoff pe un ochi de reţea



Pentru nodul din fig.3.12 se poate scrie: I1 I 2 I3 I 4 I5 0

3.2. Teorema aII-a a lui Kirchhoff Această teoremă se aplică circuitelor închise (ochiurilor de reţea).Enunt: Într-un circuit închis, suma algebrică a căderilor de tensiune pe

rezistoarele laturilor este egală cu suma algebrică a t.e.m din ochiul respectiv, adica:

k 1

R k Ik E k

k 1

n n

Căderile de tensiune se iau cu semnul plus dacă sensul curentului prin rezistorcoincide cu sensul de parcurgere a circuitului şi cu minus în caz contrar. Se atribuiesemnul plus t.e.m., când sensul de parcurgere a circuitului străbate sursa (prin interior)dela borna negativă spre borna pozitivă şi semnul minus în caz contrar. Pentruexemplificarese consideră circuitul simplu din fig.3.13, ce aparţine unei reţele electrice oarecare.

Pentru ochiul ales se poate scrie: R1I1 R 2I 2 R 3I3 I 4 E1 E 4

4. Bilanţul puterilor într-un circuit de curent continuuFie un circuit simplu, format dintr-o sursă cu t.e.m. egală cu E şi rezistenţa interioară

r, care debitează curent electric pe rezistenţa de sarcină R (fig. 3.14). Scriind legea luiOhmpentru un circuit întreg avem relaţia:

E rI RIÎnmulţind ecuaţia cu i se obţine:

EI rI2 RI 2

Termenul E·I reprezintă puterea debitată de sursă, r·I2reprezintă puterea disipată pe rezistenţa interioară a sursei, iarR·I2 este puterea disipată în rezistenţa de sarcină R.Fig. 3.14. Relaţia de mai sus exprimă bilanţul puterilor în circuitulconsiderat adică puterea debitată de sursă este suma puterilor consumate pe rezistenţainterioară a sursei şi pe rezistenţa circuitului exterior.

Bilanţul puterilor într-o reţea de curent continuu se face pornind de la teoremaconservării puterii şi se enunţă astfel:

Într-o reţea de curent continuu suma algebrică a puterilor debitate de sursele dinreţea este egală cu suma puterilor consumate pe rezistenţele totale ale laturilor:

k 1

E k Ik rk I2k

k 1

l l

Demonstraţia teoremei se face plecând de la teorema a II-a lui Kirchhoff prin

înmulţirea ambilor membri cu I k.



CURS 4

Metode de analiză a circuitelor electrice de curent continuu

Analiza unui circuit electric presupune determinarea semnalelor de raspuns (de

obocei curenti) atunci cand se cunosc:- structura topologica a circuitului;- semnalele de excitatie (t.e.m. ale generatoarelor de tensiune si curentii surselor decurent;- valoarea rezistoarelor circuitului (inclusiv cele interioare ale surselor).

Pentru e evidentia diferentele si avantajele fiecarei metode se va lua ca exempluacelasi circuit.

4.1. Metoda teoremelor lui Kirchhoff Daca circuitul este format din l laturi si n noduri, se determina curentii prin circuit

parcurgand urmatorul algoritm:- se aleg sensurile arbitrar si se noteaza curentii prin laturi iar in n-1 noduri, se

scriu ecuatii conform teoremei I Kirchhoff;- se aleg l-n+1 ochiuri fundamentale, se aleg sensurile de parcurgere a acestora sisescriu ecuatii conform teoremei II Kirchhoff;

- se rezolva sistemul obtinut avand l ecuatii in raport cu curentii prin laturi- se verifică rezultatele utilizand o metoda cunoscuta (de ex. bilantul puterilor).

Exemplu: Se considera circuitul din figura in care l 3 si n 2 .

Fig. 4.1

Aplicand teoremele Kirchhoff in n 1 noduriobtinem: I1 I 2 I 0

R1I1 R 2 I 2 E1 E 2 de unde rezultă

R I RI E2

2 2

si l n 1 ochiuri fundamentale,

I1 1A

I 2 2 AI 3A

22Verificare: R1I1 R 2 I 2 RI 2 E1I1 E 2 I 2 4 12 3 2 2 2 32 10 1 12 2 34W

4.2. Metoda suprapunerii efectelorConform acestei metode, intensitatea curentului electric dintr-o latura a unui circuit

liniar de cc, in care actioneaza surse de tensiune sau de curent, este egala cu sumaalgebricaa intensitatilor produse in acea latura de fiecare sursa in parte daca ar actiona singura incircuitExemplu: Se considera circuitul din fig. 4.1.Insumand efectele surselor ce actioneaza independent, curentii prin laturi vor fi:



I1 I1 I1

I 2 I2 I2 ,unde:I I I

Fig. 4.2

I1 R20E150R230 ; I2 I1 ; I I1

R R2R R 2 26R R 2 2626R1

R R2

R24R14872E2

; I1 I2 ; I I2I2 R R1R R 1 26R R 1 2626

R2 R R14.3. Metoda curentilor de ochiuri (curentilor de contur, ciclici)

Consideram un circuit liniar de curent continuu avand l laturi, n noduri si prinurmare o l n 1 ochiuri fundamentale sau independente.

Daca pe cele o ochiuri independente se adopta cate un curent de contur (fictiv)caresa strabata acest ochi, valoarea acestor curenti se poate determina rezolvand un sistemliniar de ecuatii (obtinut ca urmare a aplicarii teoremei II Kirchhoff in fiecare ochi) avandforma: R 11i1 R 12i 2 .... R1oi o E11

R i R i .... R i E 21 122 22o o22

unde termenii:

R o1i1 R o 2i 2 .... R ooi o E oo

R ii i 1, o este suma rezistentelor din ochiul (conturul) (i);

R ij R jii 1, o ; j 1, o ; i j

este rezistenta laturii comune dintre ochiul (i) si (j), pozitiva sau

negativa in functie de sensurile curentilor ciclici prin rezistenta comuna acestor ochiuri.Astfel daca curentilor ciclici este acelasi semnul termenului este pozitiv.i i i 1, o - curentul ciclic (de contur) din ochiul (i);

E ii i 1, o - suma tensiunilor electromotoare din ochiul (i).

Iar prin rezolvarea acestui sistem liniar de ecuatii rezulta curentii ciclici.In baza teoremei superpozitiei, curentul dintr-o anumita latura (de ex. din latura k)

poate fi considerat ca rezultand din suma algebrica a curentulor ciclici din ochiurile

independente carora le este incidenta latura (k), adica:



Ik m 1

i m(k ) ,o

k 1, o si i m(k) este curentul din ochiul m care strabate

latura (k), nul daca latura (k) nu este incidenta ochiului (m).Exemplu: Se considera circuitul din fig. 4.1.Pentru circuitul cu n=2, l=3 si l-n+1=2, rezulta:

Fig. 4.3

R 1 R 2 i1 R 2i 2 E1 E 2R 11i1 R 12 i 2 E11

adica

R 2 i1 R 2 R i 2 E 2R 21i1 R 22 i 2 E 22

Rezolvand sistemul obtinem pentru curentii ciclici valorile: I1 i1 1A i1 1A

iar prin suprapunerea efectelor rezulta: I 2 i 2 i1 2A

i 2 3A

I i 3A2

4.4. Metoda potentialelor la noduriConsideram un circuit avand n noduri. Daca unul din cele n noduri se considera nod

de referinta (nod cu potential nul), in celelalte n-1 noduri se pot scrie ecuatii de curenticonform teoremei I Kirchhoff. Acesti curenti din laturile circuitului se pot exprima infunctie de potentialele nodurilor iar in final prin generalizare rezulta un sistem de forma: G11V1 G12 V2 .... G1, n 1 Is1

G 21V1 G 22 V2 .... G 2, n 1 Is 2

unde termenii:

G n 1,1V1 G n 1, 2 V2 .... G n 1, n 1 Is, n 1

G ii i 1, o este suma conductantelor laturilor ce converg in nodul (i);

G ij G jii 1, n 1 ; j 1, n 1 ; i j

<0 este conductanta laturii dintre nodul (i) si (j), intodeauna

negativa;Vi i 1, n 1 - potentialul nodului (i) in raport cu nodul considerat de refeinta;

I si i 1, n 1 - suma curentilor de scurtcircuit ai laturilor care converg in nodul (i), curenti de

scurtcircuit pozitivi daca ei intra in nod, inclusiv curentii debitati de sursele de curent.Sistemul liniar de ecuatii se rezolva in raport cu potentialele V 1 , V 2 ,... V n-1 si apoi,

in functtie de aceste potentiale, se determina curentii din laturi.

Exemplu: Se considera circuitul din fig. 4.1, unde n=2.Sistemul de ecuatii va avea forma:



111EEG11V1 I s1 adica V1 1 2 0

R

R1 R 2 1 R2 R

Prin rezolvare rezulta potentialul V1 6V

Fig. 4.4

Cunoscand potentialul nodului (1) se pot determina curentii pe fiecare latura infunctie de acest potential:

E V1

I1 1 1A

R1

E 2 V1

2AI 2 R2

V1

3AI R

Circuitul poate fi rezolvat si pornind invers, adica aplicand teorema I Kirchhoff innodul (1), rezulta:

I1 I 2 I 0si inlocuind curentii din laturi cu valorile acestora exprimate in functie de potentiale,obtinem ecuatia identica ecuatiei obtinuta anterior aplicand sistemul general:

E1 V1 E 2 V1 V1

0R1R2R

din care rezulta V1 6V si apoi se determina curentii prin laturile circuitului in functie de

acest potential.4.5. Metoda generatoarelor echivalente

a) Metoda generatorului echivalent de tensiune (Thévenin)Se considera un circuit liniar activ pentru care se urmareste determinarea curentului

pe o singura latura presupusă, pentru simplificare, pasiva. Circuitul complet din care s-aexclus latura pe care urmeaza a se calcula curentul poate fi echivalat (redus) cu o sursa(generator) echivalenta (reala) de tensiune, indiferent de structura, configuratia si denumarul elemente de circuit pe care acesta il contina.



Fig. 4.5

In aceste conditii, pe circuitul din fig. 4.5 se poate determina curentul prin laturaAB ca fiind:

E AB0

I AB , unde:R AB R AB0

- E AB0 este tensiunea la bornele AB, in gol (fara rezistenta R AB );- R AB0 - rezistenta echivalenta a circuitului pasivizat (circuit in care s-au inlocuit sursele

curezistentele lor interioare), in gol (fara rezistenta R AB );- R AB - rezistenta laturii in care se calculeaza curentul.

Exemplu: Se considera circuitul din fig. 4.1 si se cere sa se calculeze curentul prin laturade rezistenta R=2Ω.

Fig. 4.6

Calculul tensiunii E AB0 .Pe conturul din figura 4.6.b se aplica teorema II Kirchhoff:

R 1I E AB0 E1 si rezulta E AB0 E1 R 1I

E1 E 222 78 A de unde E AB0 10 4 V

7 7R1 R 27Calculul rezistentei R AB0 .

Pasivizand sursele (figura 4.6.c) obtinem:R 1R 212

R AB0 R1 R 2 7

Rezulta curentul prin latura:78

E AB0E AB0

7 3AI AB I R AB R AB0 R R AB0 2 12

7

Dar I



b) Metoda generatorului echivalent de curent (Norton)

Fig. 4.7

Daca se recurge la echivalența circuit activ-sursă echivalentă de curent (fig. 4.7)atunci circuitul activ , în raport cu două borne ale sale, se poate reduce la un generatorechivalent de curent. In acest caz, tensiunea la borne U AB va fi:

Is 0

U AB unde:G AB G AB0

- Is 0 este curentul de scurtcircuit intre bornele AB;

- G AB0 - conductanta echivalenta a circuitului pasivizat, in gol (fara rezistenta R AB );- G AB - conductanta laturii la bornele careia se calculeaza tensiunea.Exemplu: Se consideră circuitul din fig. 4.1 și se cere să se calculeze tensiunea la bornelelaturii de rezistența R=2Ω.

Fig. 4.8

Calculul curentului I s0 .Pe conturul I din figura 4.8.b se aplică teorema II Kirchhoff:

E10R 1I1 E1 și rezultă I1 1 A

R1 4Pe conturul II din figura 4.8.b se aplica teorema II Kirchhoff:

E12

R 2 I2 E 2 si rezulta I2 2 AR23

10 12 78Curentul de scurtcircuit va fi I s 0 I1

I2 A43 12

Calculul conductantei G AB0 .Pasivizând sursele (figura 4.8.c) obținem:

117G AB0 G1 G 2 si rezultă curentul prin latură:

R 1 R 2 12Is 0781

6VU AB G AB G AB0 12 1 7

2 12



CURS 5

CIRCUITE ELECTRICE IN CURENT ALTERNATIV

5.1. Mărimi periodice

Spre deosebire de regimul staţionar, unde tensiunea continuă (constantă), producea încircuitele electrice curenţi invariabili in timp (fig. 5.1), în regim variabil tensiunea şicurentul sunt funcţii variabile în timp (fig. 5.2).

Fig. 5.1. Mărimi continue Fig. 5.2. Mărimi variabile

Mărimile periodice care iau valori de un singur semn se numesc mărimi pulsatorii(fig. 5.3) iar cele care iau valori de ambele semne se numesc mărimi alternative (fig.5.2,5.4)

Fig. 5.3. Mărimi pulsatorii Fig. 5.4. Mărimi alternative

Din multitudinea mărimilor variabile le vom studia pe cele alternative.În circuitele de curent alternativ acţionează semnale (mărimi) care sunt funcţii

periodice de timp: tensiuni electromotoare e (t) , curenţi i (t) şi căderi de tensiune u (t) deforma:

e t e t kT , i t i t kT si u t u t kT

unde: T este perioada funcţiei (intervalul de timp cel mai scurt în care funcţia trece printoate valorile, după care se repetă în aceeaşi ordine); k este un număr întreg oarecare;

numărul de perioade cuprinse în unitatea de timp reprezintă frecvenţa funcţiei (f), iarmărimea: 2 f

poartă numele de pulsaţie.Pentru o funcţie periodică se pot scrie şi relaţiile:

11f [Hz] sau 2f 2 [rad./sec.]

TTunde perioada T se măsoară în secunde.

În practica circuitelor de curent alternativ se întâlnesc tensiuni şi curenţi într-unspectru foarte larg de frecvenţă. Astfel, cu puţine excepţii, reţelele electrice pentruproducerea, transportul şi distribuţia energiei electrice sunt, actualmente, reţele de

curentalternativ sinusoidal cu frecvenţă f = 50 Hz în Europa şi f = 60 Hz în SUA; circuitele de



telecomunicaţii funcţionează cu frecvenţa de ordinul Kilohertzilor (KHz), iar cele deradiocomunicaţii cu frecvenţe de ordinul megahertzilor (MHz).

5.2. Marimi periodice sinusoidaleSe numeşte mărime sinusoidală sau armonică o mărime alternativă de forma (de

exemplu o tensiune electrică u):

u ( t )

Um

sin

t

în care:- U m este valoarea maximă sau de varf a mărimii sinusoidale;- ω – pulsaţia mărimii sinusoidale;- γ – faza iniţială care se exprimă în unghiuri cuprinse între şi . Perioadamărimii sinusoidale rezultă din relaţia de periodicitate:

t T t 2 din care se obţine:2

T 2 sau 2f T

Fig. 5.5. Diagrama de variaţie a unui tensiuni sinusoidale

Valoarea efectivă sau eficace a mărimii sinusoidale este:

1 T 2U 2 T 1 cos t UmUsin

t dt dt m

T 0 T 022Astfel mărimea sinusoidală u (t) se mai poate exprima sub forma:

u t U 2 sin t

În cazul a două mărimi sinusoidale (fig. 5.6), diferenţa de fază 1 2 , dintredouă mărimi sinusoidale u 1 şi u 2 , se numeşte defazaj.

Dacă defazajul este pozitiv 1 2 0 se spune că mărimea sinusoidală u 1 estedefazată înaintea mărimii sinusoidale u 2 . Dacă defazajul este negativ 1 2 0 , sespunecă mărimea sinusoidală u 2 este defazată înaintea mărimii sinusoidale u 1 .

Fig. 5.6. Diagramele de variaţie a două mărimi sinusoidale şi defazajeleacestora

1, 2 - fazele iniţiale ale celor două mărimi; u1 , u 2 – tensiunisinusoidale.



Două mărimi sinusoidale sunt: în fază dacă defazajul dintre ele este nul; în opoziţie,

dacă defazajul dintre ele este ; în cuadratură, dacă defazajul dintre ele este .2

5.3. Circuite electrice simple în regim permanent sinusoidalSe vor examina în continuare câteva circuite electrice simple în regim permanent

sinusoidal, respectiv rezistorul ideal, bobina ideală, condensatorul ideal, iar apoi circuiteleRLC serie şi RLC derivaţie.

a. Rezistorul idealEste un element de circuit care nu produce câmp magnetic şi nici nu acumulează

sarcini electrice. Schema de principiu a unui rezistor ideal este prezentată în fig. 5.7.Aplicând legea inducţiei electromagnetice pe conturul Г, contur care se închide prin

tensiunea la borne u (t) , se obţine:e E ds Ri t u t 0 sau Ri t u t

Tensiunea u (t) din relaţiile de mai sus se mai poate scrie conform relaţiilor de

definiţie a unei mărimi sinusoidale:u t 2 U sin tunde s-a considerat că tensiunea de alimentare u (t) are faza iniţială nulă.

Diagramele de variaţie în timp ale tensiunii şi curentului sunt prezentate în fig. 5.8.

Fig. 5.7. Rezistorul ideal Fig. 5.8. Curentul şi tensiunea larezistorul ideal

Ecuaţia de funcţionare a rezistorului ideal este:u2Uu t R i 2U sin t adică i t t

sin tRR

Valoarea efectivă a curentului va fi:U

I

RCurentul unui rezistor ideal este în fază cu tensiunea la borne şi are valoarea efectivă

proporţională cu tensiunea şi independentă de frecvență.Unghiul de defazaj dintre tensiune şi curent este nul, deci cele două mărimi sunt în

fază.

b. Bobina idealăSchema de principiu a bobinei ideale este prezentată în fig.5.9, iar diagramele de

variaţie în timp ale tensiunii şi curentului sunt prezentate în fig.5.10.Aplicând legea inducţiei electromagnetice pe conturul Г se obţine:

did E ds e u t unde e dt Li t L dt

Ecuaţia de funcţionare a bobinei ideale este:



u L didt

Fig. 5.9. Bobina ideala Fig. 5.10. Tensiunea şi curentul la bobinaideală

Întrucât:u t 2 U sin t iar i t 2I sin(t )

ecuaţia devine:

U 2 sin t LI 2 cos t LI 2 sin t

2deci: U

iar L2ceea ce face ca expresia curentului instantaneu să aibăforma:

U

i( t ) 2 sin t

L2

I

Curentul unei bobine ideale este defazat în urma tensiunii la borne cu

Pentru o bobină reală acest defazaj este cuprins între 0 si

şi spunem că între cele2

două mărimi avem un defazaj inductiv (curentul defazat in urma tensiunii).Reactanţa unei bobine ideale se notează cu X L L [Ω] și se numește reactanță

inductivă.

c. Condensatorul idealSchema de principiu a condensatorului ideal este prezentata în fig. 5.11, iar

diagramele de variaţie în timp ale tensiunii şi curentului sunt prezentate în fig. 5.12.

Aplicând din nou legea inducţiei electromagnetice se obţine:

(fig. 5.10).2

Fig. 5.11. Condensatorul ideal Fig. 5.12. Tensiunea şi curentul la

condensatorul ideal



E ds e u c( t ) u ( t ) 0 unde u c( t ) q(t )

C 1

i( t )dtCEcuaţia de funcţionare a condensatorului ideal este:

dui( t ) C ( t )

dtSubstituind expresiile tensiunii şi curentului se obţine:

I 2 sin t CU 2 cos t CU 2 sin t 2

2ceea ce face ca expresia curentului instantaneu să aibăforma:

i ( t ) CU 2 sin t 2

I CU iar

Deci:

Curentul care străbate un condensator ideal este defazat înaintea tensiunii la bornecu

.2

În cazul condensatorului real între tensiunea la borne şi curentul prin acesta,unghiul

2(tensiune defazata în urma curentului).

de defazaj este cuprins între 0 şi

şi spunem că acesta produce un defazaj capacitiv

1[Ω].

C

Reactanţa unui condensator ideal se notează cu X C

d. Circuitul RLC serieSchema de principiu a acestui circuit este indicată în fig. 5.13.

Fig. 5.13. Schema de principiu a circuitului RLC serie: R – rezistenţa rezistorului; L –inductivitatea bobinei; C – capacitatea condensatorului; u R ,u L ,u C – tensiunile aplicate labornele

rezistorului, respectiv la bornele bobinei si condensatorului.

Tensiunea la bornele circuitului RLC serie este egală cu:

u uR uL uC Expresiile tensiunilor u R , u L , u C fiind cunoscute, această relaţie se mai poate scriesub forma:

di ( t ) 1 i ( t ) dtu(t) R i L

CdtSubstituind expresiile tensiunii u şi curentului i, rezultă;

1U 2 sin t RI 2 sin t LI 2 cos t I 2 cos t

CDin relaţia de mai sus se pot obţine valoarea efectivă a curentului I şi defazajul ,

pentru două momente particulare şi anume:

t 0 şi t sau t şi t 22



Substituind cele două momente particulare, se obţine:1

U sin t t I şi U cos RI C

Prin ridicarea la pătrat a acestor expresii şi adunarea lor precum şi prin împărţireaacestora rezultă:

1 L

UCIşi tg

2R1 2R L

C

unde: 1

R L Z este impedanţa circuitului RLC serie. C

22

Folosind notaţiile introduse în acest capitol, adică

X X L X C ,se poate scrie:U

IZ

care reprezintă legea lui Ohm pentru circuitul RLC – serie.X XC X

tg LRR

Z R 2 X 2 R 2 X L X C 2

X L L , XC 1,

C

Defazajul dintre tensiune şi curent este cuprins în intervalul:X XC

arctg L2R2

Din relaţiile determinate anterior se poate construi triunghiul impedanţelor ale căruielemente sunt reprezentate în fig. 5.14.

Fig. 5.14. Triunghiul impedanţelor.

e. Circuite RLC derivaţieSchema de principiu a circuitului este dată în fig. 5.15.

Fig. 5.15. Schema de principiu a circuitului RLC derivaţie; R – rezistenţa rezistorului; L –

inductivitatea bobinei; C- capacitatea condensatorului; i R , i L , i C – curenţii care trec prinrezistor,bobina şi condensator



Tensiunea la bornele circuitului fiind cunoscută u ( t ) U 2 sin t , valoareainstantanee a curentului total este egală cu:

i i R i L iC Expresiile curenţilor i R , i L şi i C fiind cunoscute, această relaţie se mai poate scrie subforma:

u(t) 1du ( t )

i(t ) u ( t ) dt CR Ldt

Substituind expresiile tensiunii şi curentului, rezultă:UU

I 2 sin(t ) 2 sin t 2 cos t CU 2 cos tRL

Din relaţia de mai sus, se poate obţine valoarea unghiului de defazaj dintretensiuneau (t) şi curentul i (t) pentru momentul particular: t 0

adică, UU0 sin cos CU cos

RLsau,

11

sin C cos R L

deci1

CB BCL

Ltg

1GR

De asemeni se poate obţine valoarea efectivă a curentului I, pentru două momente

particulare, t 0 şi t 2

Obţinem astfel, pe rând, expresiile:1 U

I sin C U şi I cos RL

Ridicând la pătrat expresiile de mai sus şi apoi adunându-le obţinem: 221 22 1

I U C C R sau: I U G 2 BC BL 2 UY

unde: G

BL

1este conductanţa circuitului; BC C este susceptanţa condensatorului,

R1este susceptanţa bobinei iar Y G 2 BC BL 2 G 2 B2 este admitanţa

Lcircuitului RLC derivaţie.

Relaţia I U G 2 BC BL 2 UY , mai poartă şi numele de legea lui Ohm pentru

circuite RLC derivaţie.Defazajul între tensiune şi curent este cuprins în intervalul:



B BC

arctg L2G2

Şi în cazul circuitului RLC derivaţie se poate construi un triunghi al admitanţelor alecărui elemente sunt indicate în fig. 5.16.

Fig. 5.16. Triunghiul admitanţelor Fig. 5.17. Schema unui dipol



CURS 6

CIRCUITE ELECTRICE IN CURENT ALTERNATIV (continuare)

6.1. Puteri în regim periodic sinusoidal

Considerând dipolul echivalent (fig. 6.1) al unui circuit cu rezistenţe, bobine şicondensatoare (circuit ce poate fi echivalat cu o impedanță Z), care absoarbe curentuli ( t ) I 2 sin(t ) de la o reţea avand tensiunea u ( t ) U 2 sin t .

Fig. 6.1

Se defineste puterea instantanee, puterea primită de receptorul de impedantăZ:

p ( t ) u ( t )i ( t ) 2 UI sin t sin(t ) UIcos cos(2t )

Se observă că în expresia puterii apar două componente, dintre care unaconstantăUIcosşi o componentă variabilă de frecvență/pulsaţie dublă față de cea a tensiunii dealimentare, UIcos(2ωt+φ).

De asemeni din aceiaşi relaţie a puterii se observă că puterea instantanee p (t) setransmite în ambele sensuri atât de la sursă la receptor (p (t) >0) cât şi de la receptor lasursă(p (t) <0).

În cazul circuitelor de c.a. deosebim trei tipuri de puteri: activă, reactivă şi aparentă.Puterea activă se notează cu P si reprezintă valoarea medie pe o perioadă a puterii

instantanee:1 T1 T1 T

P 0 p ( t ) dt 0 UI cos dt 0 UI cos(2t )dt UI cos

TTT

Aşa cum s-a demonstrat anterior si deci P UI cos 0 .22

Unitatea de măsură a puterii active în [SI] este wattul [W].Se vede că în c.a. puterea activă este maximă când cos 1 , adică 0 , deci

cazul

unui circuit numai cu rezistor sau la rezonanță (fenomen ce va fi tratat ulterior).Pe de altă parte ştim că U=ZI şi deci puterea activă va avea expresia:P ZI2 cos

iar din triunghiul impedanţelor se observă că, Z cos R deci:P RI 2

Această relaţie ne arată că puterea activă se transformă, pe o rezistenţă, în puteretermică (în căldură).

Totodată se pot defini:PI2I

R 2 şi G P U cos I

Integrarea in intr-un interval de timp a puteriii active conduce la calculul energieiactive:



W p t dt n p t dt nT P

Unitatea de măsură a energiei active în [SI] este watt sec undă [ W s ] saumultipli,cel mai cunoscut fiind [ kW h ]

Puterea reactivă se noteaza cu Q și este dată de relaţia:Q UI sin sau Q ZI2 sin

Din triunghiul impedanțelor se obţine Z sin X , deci:

Q XI2relaţia care ne arată că puterea reactivă are semnificatia unei puteri fluctuante(oscilante)de valoare medie nulă, care este înmagazinată în elementele reactive de circuit (încâmpulelectric al condensatoarelor şi/sau câmpul magnetic al bobinelor).

Ştiind că unghiul de defazaj , din relaţia Q UI sin se observă că22

puterea reactivă poate fi pozitivă pentru 0, , sau negativă pentru ,0 adică 2 2 este pozitiva atunci cand circulă de la reţea la receptor (cazul unui consumator de puterereactivă), respectiv negativă atunci cand circulă de la receptor la reţea (cazulgeneratoruluide putere reactivă).

În [SI] puterea reactivă se măsoară în voltamper-reactiv [VAR].Precizari:- daca X X L X C 0 , X L X C , rezultă că Q 0 și deci consumatorul absoarbe de lasursă putere reactivă (circuitul se numește circuit inductiv);- daca X X L X C 0 , X L X C , rezultă că Q 0 și spunem că circuitul are ocomportare capacitiva (circuit capacitiv), el producând putere reactivă pe care otransferăsursei (rețelei);- elementul de circuit care consuma putere reactivă este bobina iar cel care produceputerereactivă este condensatorul.

Prin definiţie, puterea aparentă este dată de relaţia:S UI

sau ţinând cont că U=ZI (triunghiul impedanțelor), rezultă:S ZI2

Unitatea de măsură a puterii aparente în [SI] este volt–amperul [VA].Din analiza expresiilor celor trei puteri rezultă:

0 0

nT T

S P 2 Q 2 sau S2 P 2 Q 2

Analizând relațiile de mai sus se poate construi un triunghi al puterilor în careacestea să fie verificate, ca în fig. 6.2.

Fig. 6.2. Triunghiul puterilor.

Factorul de putere este definit de relația, determinată din triunghiul puterilor:PP

1k p cos

22SP Q



6.2. Reprezentarea complexă (simbolică) a mărimilor sinusoidale

a) Numere complexeUn numar complex este un numar de forma (fig. 6.3):

A a jb , unde j 1 iar a , b

cu modulul (sau valoarea efectiva) A a 2 b 2 si argumentul arctg

unde a A cos si b A sin

Rezultă că A A cos jA sin A cos sin Euler A e j

ba

Termenul e j se numeste operator de rotatie in planul complex cu unghiul in senstrigonometric.

b) Reprezentarea mărimilor sinusoidale prin numere complexe

Consideram o marime sinusoidală a t A m sin t Printr-o corespondentă biunivocă acestei mărimi i se poate atașa un numar complexA iar acestuia o mărime sinusoidală a(t), de forma:

a t A A m e j(t ) A 2e j(t )unde A reprezintă valoarea efectivă sau modulul marimii sinusoidale/complexe iar estefaza mărimii.

In sistemele electrice cu frecvența (pulsația) constantă, mărimii sinusoidale îicorespunde o reprezentare complexă de forma: Euler

a t A Ae j A(cos jsin ) a jb

numită și reprezentare complexă simplificată.Deci, se poate stabili o relaţie biunivocă între funcţiile/mărimile sinusoidale de timp

şi funcţiile/mărimile complexe iar trecerea de la mărimi sinusoidale la cele complexe şiinvers se poate face cu uşurinţă.

Reprezentarea în planul complex a mărimii complexe simplificate este dată în fig.6.4.

Fig. 6.3. Reprezentarea complexăa mărimii sinusoidale

Fig. 6.4. Reprezentarea complexăsimplificată.

Avantajul mare pe care-l oferă această metodă, este acela că reprezentareacomplexă,transferă calculul reţelelor de c.a. în algebra numerelor complexe, unde toate operaţiilealgebrice se fac cu uşurinţă.

Proprietatile numerelor complexe, operatiile cu acestea s-au studiat in detaliu ladisciplinele de matematica însă trebuiesc evidențiate aici două proprietăți utilizatefrecvent în cazul circuitelor de ca, respectiv:

Derivata complexă. Pentru mărimea sinusoidală a t A m sin t , derivata înplanul complex este: j

da t A m sin t A A e 2 jAdt2



deci derivata complexă se obţine din valoarea mărimii, multiplicată cu operatorul j .

Integrala complexă. Pentru integrala mărimii a t A m sin t , corespondenţa în planul complex este:

Am A j 2 A j A

0 a t dt sin t 2

A e

j

e j deci integrala complexă se obţine din valoarea funcţiei împărţită la operatorul j .Pe baza rezultatelor obţinute la acest paragraf se pot scrie toate mărimile sinusoidale

din circuitele de c.a. sub formă complexă şi de asemenea toate relaţiile de calcul (legi şiteoreme): tensiune, curent, impedanţă complexă, admitanţa complexă, putere complexă,legea lui Ohm în complex, teoremele lui Kirchhoff în complex etc.

t

3. Caracterizarea în complex a circuitelor în ca

u(t)

Un circuit de ca, liniar şi pasiv, alimentat cu tensiunea sinusoidală la borne U 2 sin t , absoarbe curentul sinusoidal i ( t ) I 2 sin t . Tensiunea la

borne şi curentul scrise în complex sunt:u ( t ) U Ue j; i ( t ) I Ie j

Cunoscând tensiunea şi curentul se pot defini impedanţa, admitanţa şi putereacomplexă.

Impedanţa complexă. Se numeşte impedanţa complexă a unui circuit dipolarraportul dintre tensiunea complexă la borne şi curentul complex absorbit:

Ue j U j U Ze jZsau Z j e

IIIeunde Z este modulul impedanţei, iar este defazajul circuitului.

Astfel, impedanţa complexă are modulul egal cu impedanţa circuitului şi argumentulegal cu defazajul circuitului Z Z ; arg Z

Exprimând impedanţa complexă, în forma trigonometrică (Euler), se obţine:Z Ze j Z cos jZ sin

Aşa cum ştim din triunghiul impedanţelor, mărimea Z cos se numeşte rezistenţacircuitului şi se notează cu R, iar mărimea Z sin se numeşte reactanţa circuitului şi senotează cu X. Se poate scrie deci:

Z R jXAstfel partea reală a impedanţei complexe este egală cu rezistenţa circuitului, iar

partea imaginară este egală cu reactanţa circuitului şi se observă ca impedanţacomplexă nu

depinde de U şi I ci numai de parametrii elementelor de circuit şi de frecvenţă.Admitanţa complexă. Se numeşte admitanţa complexă raportul dintre curentulcomplex şi tensiunea complexă:

IIe j

Y U Ue j

Exprimând admitanţa, sub formă trigonometrică, se obţine:Y Y cos jY sin G jB

in care G este conductanţa circuitului, iar B este susceptanţa circuitului.Puterea complexă. Puterea activă, reactivă şi aparenta ale unui circuit dipolar se pot

calcula direct cu ajutorul expresiilor mărimilor U şi I .



Se numeşte putere aparentă complexă, produsul dintre tensiunea complexă şivaloarea complex conjugată a curentului. Ea se notează cu S şi are expresia:

S U I Ue j Ie j UIe j

unde S=UI este puterea aparentă, iar este defazajul.Prin urmare:

S

Se j

S cos jS sin

P jQde unde reiese că puterea activă P şi cea reactivă Q se determină cuexpresiile:

*

P ReS şi Q ImS

Factorul de putere este definit ca la paragraful anterior.

4. Circuite simple de curent alternativ sinusoidal analizate prin metodareprezentării in planul complex

a. Circuite RLC serieConsiderăm circuitul RLC serie din fig. 6.5.a, alimentat de la o tensiune sinusoidală

U m sin t . Aplicând teorema a II-a a lui Kirchhoff pe conturul circuitului se obţine:u(t)

1 i ( t )dt

dtCDupă cum se vede, pentru a determina curentul prin circuit trebuie să rezolvăm o

ecuaţie integro-diferenţială. Rezolvarea se va realiza prin metoda fazorială şi metodareprezentării în planul complex.

u R u L u C u sau u ( t ) R i L di ( t )

a)b)Fig. 6.5. Schema de principiu şi diagrama fazorială a circuitului RLC –serie.

Metoda fazorială

Dacă soluţia ecuaţiei este de forma:i ( t ) I m sin t

pentru ca aceasta să fie determinată trebuiesc determinate I m şi

.Reprezentând ecuaţia u R u L u C 0 prin fazori adică U R U L U C U , se

obţine diagrama din fig. 6.5.b. în care:

11U R RI; U L LI; U C RI; U ZI; X L L; X C

CCși în ipoteza în care s-a considerat U L U C

Din fig. 5.b. se deduce:U

; Im I 2I 22

R X L X C iar

U UC X L XC

tg L

URR



Metoda reprezentării în complexDacă se reprezintă relaţia u R u L u C 0 în valori complexe se obţine:

1U R U L U C U sau R I jLI IU

jCDe aici:

UUI

R j X L X C ZRelaţia reprezintă legea conducţiei (Ohm) în valori complexe pentru circuite RLC –

serie și permite determinarea lui I , iar apoi a valorii maxime și a argumentului:I (Z )

I I , I m I 2 şi arctg m

Re( Z )

b. Circuite RLC derivaţieConsiderăm circuitul din fig. 6.6.a alimentat de la o tensiune u ( t ) U m sin t .

Aplicând teorema a I-a a lui Kirchhoff într-un nod, obţinem:udu1

i R i L i C i sau i ( t ) ( t ) u ( t )dt C ( t )

RLdtCa şi în cazul circuitului RLC serie pentru determinarea curentului vom utiliza cele

două metode: metoda fazorială şi reprezentare în complex.

a)b)Fig. 6.6. Schema de principiu şi diagrama fazorială a circuitului RLC –derivaţie.

Metoda fazorialăDiagrama fazorială care reprezintă mărimile sinusoidale din ecuaţia I R I L IC I

este dată în fig. 6.6.b, în care:UUUU

I R GU; I L BL U; IC CU BC URL X LXC

Din figură se deduc:B BC

I U G 2 BC BL 2 , I m I 2 şi tg L G

Metoda reprezentării în complexDacă se reprezintă relaţia i R i L i C i în complex se obţine:

1I I R I L IC sau I U G jC

jL

De aici rezultă:I UY

Această relaţia reprezintă legea conducţiei (Ohm) în valori complexe pentru circuite

RLC - derivaţie și permite determinarea lui I , iar apoi a valorii maxime și a argumentului:I Y

I I I m I 2 şi arctg m

Re Y



c. Bobina realăÎn capitolele anterioare (cazul bobinei ideală) s-a luat în consideraţie numai

inductivitatea bobinei, neglijându-se rezistenţa ohmică a acesteia şi capacitatea dintrespire.În realitate la funcţionarea de durată se constată o încălzire a bobinei, deci în aceasta areloc o absorbţie de putere de la sursă, care se pierde pe rezistenţa ohmică a conductoruluidin care se realizează înfăşurarea, sub forma de energie termică.

Dacă bobina este montată pe un miez din material feromagnetic, ca urmare aregimului variabil în timp, apar şi pierderi de putere activă prin histerezis magnetic şicurenţi turbionari.

Această putere activă consumată de bobina de la sursă face ca defazajul dintrecurent

şi tensiune să fie mai mic de(fig. 6.7). Putem introduce aici mărimea: ,22

numită unghi de pierderi.

Fig. 6.7. Unghiul de pierderi al bobinei reale.

d. Condensatorul realComportarea unui condensator, aşa cum a fost descris până aici, corespunde aşa

numitului condensator ideal. În realitate se constată că la funcţionarea îndelungată, uncondensator se încălzeşte, deci în el are loc o disipare de putere activă. Dielectricul realnuare o rezistenţă infinită, deci prin el se închide un curent de conducţie care provoacă oabsorbţie de putere de la sursa de alimentare.

Din acest punct de vedere în comportarea unui condensator real se constată un

defazaj mai mic de între curentul prin condensator şi tensiunea la borne (fig. 6.8).2

Mărimea poartă numele de unghi de pierderi; un condensator este cu atât2

mai bun cu cât δ este mai mic. Pentru condensatorul real curentul complex va fi:

Fig. 6.8. Unghiul de pierderi δ al condensatorului real

I I e j I eRespectiv puterea aparentă complexă: *S U I UIe j UI cos jUI sin P jQ

unde:

P UI cos UI cos UI sin 2

Deci puterea activă absorbită de condensator de la sursă (putere pierdută) este

proporţională cu sinusul unghiului de pierderi (δ).

j 2



CURS 7

CIRCUITE ELECTRICE IN CURENT ALTERNATIV (continuare)

7.1. Legile si teoremele circuitelor liniare in ca sinusoidal

a) Legea lui Ohm generalizatăSe consideră o latură activă i care conține un rezistor R i , o inductivitate proprie L ii ,o capacitate C i si o sursă de t.e.m. e i (fig. 7.1). De asemenea se consideră că latura estecuplată magnetic cu alte laturi ale circuitului, cuplajele fiind caracterizate deinductivitățilemutuale Lij și că latura este receptoare (tensiunea u ib si curentul i i au sensurile adecvateacestei convetii).

Fig. 7.1

Aplicând legea conductiei electrice pe conturul , rezultă:

ei E dl Edl Edl Edl u ib u Ri u Ci ,unde: 5 1 4

1 4 5

În regim permanent sinusoidal in care marimile sunt reprezentate in timp subforma

ei 2E i sin t i ; u ib 2 U ib sin t ib ;ii 2Ii sin t i i ; i j 2I j sin t ij ;

este avantajoasa reprezentarea acestora in complex. Ca atare legea lui Ohm generalizatavaavea urmatoarea forma: l1

E i U ib R ii jL ii I i I i jL ij I j sauj C ii 1

i j

1E i U ib R ii j L ii

C i

l

I i jL ij I j

i 1

i j

acesta relatie reprezentatnd legea lui Ohm generalizata in regim permanent sinusoidalpentru o latura liniara, scrisa suv forma simbolică (complexă).

1Z ii R ii j L ii Daca notam

Ci

si Zij jLij unde:

Z ii este impedanta complexa proprie a laturii i;Z ij este impedanta complexa mutuala intre laturile i si j

legea Ohm generalizata devine:

E i U ib Zii Ii Zij I j

i 1i j

l

Observatii:1. Pentru o latura pasiva E i 0 si deci legea lui Ohm generalizata va fi:



U ib Zii Ii Zij I j

i 1i j

l

2. Daca latura nu are cuplaje magnetice cu alte laturi, Z ij 0 si legea lui Ohm

devine:E i U ib Zii Ii

3. Comparand relatia de mai sus cu legea lui Ohm pentru circuite de cc rezultă calegea lui Ohm in ca sinusoidal reprezentată prin marimi complexe este formal analoagalegii in cc, analogie ce se observă substituind t.e.m., tensiunea la borne si curentul cuvalorile lor complexe iar rezistenta cu impedanța complexă.

b) Teoremele lui Kirchhoff in ca sinusoidalTeorema IEnunt: Suma algebrica a valorilor instantanee ale curentilor din ramurile incidente

unui nod al unui circuit, in regim cvasistationar, este nula, adică:

ii 0i 1

n

Daca valoarea instantanee a curentilor este ii ( t ) Ii 2 sin t i i iar acestei valori

i se ataseaza valoarea complexa Ii 2Ii eforma complexă:

j i i

, se poate scrie teorema I Kirchhoff sub

Ii 0i 1

n

Se observă că, formal, teorema I Kirchhoff in complex este asemenea teoremeiscrise in cc, expresie ce se obtine prin inlocuirea curentilor cu valorile lor complexe.

Teorema IISe consideră un circuit in ca sinusoidal constituit din l laturi, n noduri si fie m

numarul de ochiuri al acestui circuit (fig. 7.2). Pe un contur inchis Γ, t.e.m. indusă va fi:d S

e Edl dt

Fig. 7.2

iar aceasta t.e.m. este egală cu suma algebrică a tensiunilor delatură:

e Edl u i 0 i 1

m

Aceste tensiuni de latură sunt pozitive daca sensul lor este identic cu sensul deparcurgere a curbei Γ.



Enunt: Suma algebrica a t.e.m. date de sursele din ochiul unui circuit este egală cusuma algebrică a căderilor de tensiune (active, inductive, capacitive) din laturile ochiuluicu urmatoarea expresie analitică:

m

m

ldi j 1 tdi j

ei R iiii Lii dt C iidt Lij dt i 1i 1 i 1i

i j

sau in complex:

m

lm

E i Zii Ii Zij I j ,

i 1 i 1i 1

i j

marimile care intervin in acesta relatii fiind deja explicitate.

Caz particular: Dacă laturile sunt izolate magnetic ( Zij 0 ), rezultă:

E i Zii Iii 1 i 1

m m

si se observă că această relație este formal asemenea aceleiași teoreme în cc dacă sesubstituie t.e.m. și curenții cu valorile lor complexe, iar rezistențele cu impedanțelecomplexe.

c) Teoremele de echivalență în ca sinusoidalc 1 ) Retele de impedanțe

Conexiunea serieFie un număr oarecare de dipoli (consumatori de impedantă definită, cu două borne

de acces) pasivi, necuplaţi inductiv între ei, conectaţi în serie, având fiecare impedanţelecomplexe: Z1 , Z 2 ,..., Zn (fig. 7.3).

Fig. 7.3. Dipoli electrici pasivi necuplaţi inductiv, conectaţi înserie.

Tensiunea la borne scrisă în valori instantanee este u u1 u 2 ... u n sau încomplex U U1 U 2 ... U n

Utilizând expresia tensiunii la bornele unei impedanţe complexe prin care trece uncurent complex, această expresie se poate scrie:

U Z1 I Z2 I ... Zn I Z1 Z2 ... Zn IDeci impedanţa echivalentă a circuitului serie este:

UZe Z1 Z2 ... Zn Zk

IkExplicitând în părţile reale şi imaginare, se obţin expresiile:

R e R k şi X e X k

k k

Conexiunea paralelFie n dipoli pasivi, necuplaţi inductiv sau cu exteriorul şi conectaţi în paralel (fig.

7.4) având admitanţele Y1 , Y2 ,..., Yn .Conform primei teoreme a lui Kirchhoff:



Fig. 7.4. Dipoli electrici pasivi necuplaţi inductiv, conectaţi înparalel.

i i1 i 2 ... i n

sau în complex:I I1 I 2 ... I n Y1 U Y 2 U ... Y n U

Admitanţa complexă echivalentă a circuitului este:I

Y e Y1 Y 2 ... Y n Y k

Uk

Explicitând în parţi reale şi imaginare, se obţin expresiile:G e G k şi Be Bk

k k

c 2 ) Teorema transfigurarile (stea-triunghi)Teorema permite echivalarea unui subcircuit avand punctele de conexiune (1,2,3),

format din trei impedante conectate in stea (fig.7.5) intr-un subcircuit conectat intriunghi.

Fig. 7.5

Relatiile de transfigurare stea-trunghi sunt: Z1 Z2

Z12 Z1 Z2 Z1 Z2

Z Z( ) Z23 Z2 Z3 2 3

Z 2 Z3

Z1 Z3

Z31 Z1 Z3 Z1 Z3

Solutionand sistemul de ecuatii de mai sus se obtine transformareainversa:



Z12 Z31

Z1 Z12 Z23 Z31

Z12 Z23

( ) Z2 Z12 Z23 Z31

Z23 Z31

Z3 Z12 Z23 Z31

c 3 ) Teoremele divizorului de tensiune si de curentTeorema divizorului de tensiune. Permite calculul tensiunilor la bornele celor douaimpedante conectate in serie (fig. 7.6.a) pe baza tensiunii la bornele circuitului si aimpedantelor laturilor.

Z1Z2

U1 Uşi Z2 UZ1 Z2Z1 Z2

a)Fig. 7.6

b)

Teoremele divizorului de curent. Permite calculul curentilor prin cele doua

impedante conectate in paralel (fig. 7.6.b) pe baza curentului total al circuitului si aimpedantelor laturilor.Z2Z1

I1 Işi I 2 IZ1 Z2Z1 Z2

c 4 ) Impedanta echivalentă a retelelor ce contin inductivitati mutualeConsideram un circuit acre are doua impedante conectate in serie (fig. 7.7).

Fig. 7.7

Aplicand teorema II Kirchhoff (considerand L12 L 21 0 obtinem:U Z1 I Z2 I jL12 I jL 21 I R1 jL1 I R 2 jL 2 I 2 jL12 I

R1 R 2 j L1 L2 2L12 I

sauZe R1 R 2 j L1 L 2 2L12 sau

Re

Rk

şi Xe

Xk

k k



7.2. Puterea sub forma complexăPuterea activă, reactivă şi aparenta ale unui circuit în curent alternativ se pot

calcula direct cu ajutorul expresiilor mărimilor U şi I .Se numeşte putere aparentă complexă, produsul dintre tensiunea complexă şi

valoarea complex conjugată a curentului. Ea se notează cu S şi are expresia:S U I* Ue j Ie j UIe j

unde S=UI este puterea aparentă, iarcurent.

Prin urmare:

este defazajul dintre tensiune si

S Se j S cos jS sin P jQDe unde reiese că puterea activă P şi cea reactivă Q se determină cuexpresiile:

P ReS şi Q

ImS

7.3. Rezonanţa circuitelor liniare in ca sinusoidalCaracterizarea fenomenului de rezonanţăFenomenul de rezonanţă electrică apare în circuitele de curent alternativ, în anumite

cazuri particulare, când defazajul φ dintre tensiunea aplicată şi curentul absorbit este nul.X

arctg e 0Re

unde: X e =0 este reactanţa echivalentă a circuitului, iar R e este rezistenţa saechivalentă.Prin urmare, daca tensiunea de alimentare este u t 2 U sin t iar curentul prin circuiteste i t 2I sin t , circuitul este la rezonanta daca: 0; X X L X C 0 sau 0; B BC BL 0 adica Q 0

Rezonanta poate fi obtinuta in principiu pe orice fel de circuit, indiferent decomplexitatea lui, insa proprietatile acestui fenomen se pun in evidenta cel maisemnificativ pe circuite ce contin rezistente, bobine si condensatoare ideale grupate inserie(numită rezonanţa tensiunilor) sau in paralel (numită rezonanţa curenţilor).



CURS 8

CIRCUITE ELECTRICE IN CURENT ALTERNATIV TRIFAZAT

8.1. Sisteme de tensiuni trifazate

Un ansamblu de circuite în care acţionează trei t.e.m. alternative de aceiaşi frecvenţăformează un sistem trifazat de circuite electrice fiecare din aceste circuite constituindfazele sistemului trifazat.

Fiecare fază a receptorului este caracterizată printr-o impedanţă. Dacă impedanţelecomplexe ale celor trei faze sunt egale, spunem că receptorul (consumatorul) esteechilibrat, iar dacă impedanţele nu sunt egale receptorul este dezechilibrat.

Având in vedere că în circuitele electrice trifazate acţionează un sistem trifazat det.e.m. atunci rezultă un sistem trifazat de tensiuni la borne şi respectiv un sistem trifazatdecurenţi electrici.

Sistemul trifazat de tensiuni (curenţi) poate fi: simetric – atunci când cele trei mărimiau aceiaşi amplitudine (sau valoare efectivă) şi sunt defazate între ele cu acelaşi unghi

2 / 3 sau nesimetric atunci când cele trei mărimi au amplitudini diferite şi/sau

de defazaj dintre ele, diferite.

a. Sistemul de succesiune directăDacă succesiunea fazorilor care formează sistemul trifazat este în sens trigonometric

direct (fig. 8.1), sistemul simetric se numeşte sistem de succesiune directă iar formaacestuia este ( a se vedea și reprezentarea fazorială a mărimilor sinusoidale):

u1( t ) U 2 sin t

2

u 2( t ) U 2 sin t 3

4

u 3( t ) U 2 sin t 3

Fig. 8.1. Sistem de succesiune directă Fig. 8.2. Sistemul de succesiune inversă

b. Sistemul de succesiune inversăDacă succesiunea fazorilor care formează sistemul trifazat este în sens trigonometric

invers (fig. 8.2), sistemul simetric se numeşte sistem de succesiune inversă iar formaacestuia este:



u1( t ) U 2 sin t

2

u 2( t ) U 2sin t

3

4

u 3( t ) U 2sin t

3

Dacă notam cu a e , un număr complex având modulul egal cu unitatea iar faza2 / 3 , numit operator de rotaţie, cele două sisteme se scriu astfel:

Sistemul simetric direct: U1 Ue j0 UU1 Ue j0 U

22

jj

2U 2 Ue 3 Ua Sistemul simetric invers: U 2 Ue 3 Ua 44

j jU Ue 3 UaU Ue 3 Ua 23 3

8.2. Analiza circuitelor trifazateProblema rezolvării circuitelor trifazate de c.a. se pune de obicei sub forma: se dă

sistemul de tensiuni trifazate, la bornele sursei de alimentare şi impedanţele fazelorreceptorului trifazat şi se cer curenţii din reţea.

În circuitele trifazate se pot ivi următoarele cazuri de reţele:a) reţele alimentate cu tensiuni simetrice şi receptoare echilibrate (se obţin curenţisimetrici);b) reţele alimentate cu tensiuni simetrice şi receptoare dezechilibrate (se obţin curenţinesimetrici);c) reţele alimentate cu tensiuni nesimetrice şi receptoare echilibrate (se obţin curenţinesimetrici);d) reţele alimentate cu tensiuni nesimetrice şi receptoare dezechilibrate (se obţin curenţinesimetrici).

Pentru rezolvarea variantelor de circuite prezentate mai sus se utilizează douămetode: metoda directa (care se poate aplica în toate variantele de circuite) şi metodacomponentelor simetrice (care se aplică la rezolvarea reţelelor alimentate de la sistemetrifazate nesimetrice de tensiuni).

Receptoare trifazate alimentate cu tensiuni simetriceSursele trifazate sau impedanţele trifazate pot fi sau nu legate galvanic între ele (fig.

8.3). Legarea galvanică se poate face în două moduri: în stea (Y) sau în triunghi ( ). Înpractică se utilizează sistemele trifazate legate, care reduc numărul de conductoare aleliniei de transport a energiei de la sursă la receptor (de la 6 conductoare la 3 sau 4).

j2

3

Fig. 8.3. Sistem trifazat nelegat galvanic



a. Receptoare echilibrate – conexiunea în stea (Y)În fig. 8.4, este reprezentată conectarea în stea a sursei şi receptorului.

Conductoarelede linie se reduc la 3 plus conductorul nul sau neutru, care face legătura între nulul sursei(O) şi nulul receptorului (O’).

Fig. 8.4. Conexiunea stea

În cazul sistemelor trifazate legate avem două feluri de mărimi: de fază şi de linie.Astfel în cazul de faţă avem:

U A , U B, U C - tensiuni de fază;

U AB , U BC, U CA - tensiuni de linie (între faze);

I A , I B, I C - curenţii de linie care la conexiunea stea corespund cu cei defază.Deci:

Il If iar pentru tensiuni se pot scrie:

U AB U A U B U 1 a 2 U 3e

Cum sursa este simetrică U AB U BC, U CA U1 şi receptorul echilibrat

( ZA ZB ZC respectiv U A U B U C U f ) se obţine între valorile efective aletensiunilor relaţia:

U l 3U f

Deci tensiunile de linie la legarea în stea au valorile efective dedefazate cu π/6, înaintea lui U.

3 ori mai mari şi

j

6

b. Receptoare echilibrate - conexiunea în triunghi ()În fig. 8.5 este reprezentată conexiunea în triunghi a sursei şi receptorului.

Conductoarele liniei de transport a energiei se reduc în acest caz la trei.

Fig. 8.5. Conexiunea triunghi



Se observă în acest caz că între mărimile de fază şi de linie ale tensiunilor existărelaţia:

Ul Uf

Pentru a determina relaţia dintre curenţi, se scrie teorema aI-a a lui Kirchhoff în unuldin nodurile receptorului, de exemplu în A’:

I A I AB ICA If 3eCum sursa este simetrică (I A =I B =I C =I l ) şi receptorul echilibrat (I AB =I BC =I CA =I f )

seobţin între valorile efective ale curenţilor, relaţia:

Il 3If

j

6

Deci curenţii de linie, la legătura în triunghi, sunt deπ/6 în urma lui I AB .

3 ori mai mari şi defazaţi cu

b. Puteri în reţele trifazate simetrice şi echilibrateDeoarece în acest caz valorile efective ale curenţilor şi tensiunilor pe fiecare fază

sunt egale, cele trei puteri se pot scrie:P 3U f If cos ,Q 3U f If sin șiS 3U f I f

Utilizând pentru exprimarea puterilor mărimile de linie se obţin relaţiile:P 3U l Il cos ,

Q 3U l Il cos şi

S 3U l I l

valabile atât în cazul receptorului conectat în stea cât si în triunghi.

8.3. Îmbunătăţirea factorului de putereDin analiza celor trei feluri de puteri, prezentate la paragraful precedent, se trage

următoarea concluzie în ceea ce priveşte vehicularea puterilor în circuitele de c.a:- rezistorul ideal consumă numai putere activă de la reţeaua la care este conectat;- bobina ideală consuma numai putere reactivă de la reţeaua la care este conectată;- condensatorul ideal debitează putere reactivă în reţeaua la care este conectat.Marea majoritate a consumatorilor de energie electrică au caracter inductiv (motoare,

transformatoare etc.). Aceşti consumatori inductivi absorb de la reţea energie reactivăpentru formarea şi întreţinerea câmpurilor magnetice.

Din expresia puterii active, pentru o tensiune de alimentare constantă şi aceeaşi

putere: P

UI cos

, se obţine:I cos ct.Relaţia de mai sus arată că la un factor de putere scăzut (deci la un consum ridicat de

putere reactivă) curentul absorbit de la reţea este mare şi deci pierderile în linia dealimentare sunt mari. Datorită acestor cauze în practică se urmăreşte funcţionareareceptoarelor la un factor de putere cât mai aproape de 1.

O îmbunătăţire a factorului de putere se poate realiza pe două căi: pe cale naturalăsau prin compensarea puterii reactive.

Pe cale naturală factorul de putere se poate îmbunătăţi adoptând măsuri tehnico-organizatorice, cum ar fi: echiparea motoarelor electrice cu limitatoarelor de mers în gol,respectarea graficului de întreţinere a motoarelor electrice prin repararea la timp adefectelor etc.



Prin compensarea puterii reactive se face cu ajutorul condensatoarelor statice sauutilizarea compensatoarelor (motoarelor) sincrone (această metodă va fi prezentată înpartea de Maşini electrice).

Pentru compensarea puterii cu ajutorul condensatoarelor statice, se montează înderivaţie cu receptorul (consumatorul) inductiv (fig. 7.x.a) un condensator C 0 .

a) b)Fig. 7.x. Compensarea factorului de putere cu ajutorul condensatoarelorstatice.

Daca U este valoarea efectivă a tensiunii de alimentare, I este curentul înainte demontarea condensatorului C 0 , cos este factorul de putere înainte de montarea

condensatorului iar I’ şi cos' , curentul şi respectiv factorul de putere după montareacondensatorului, atunci reprezentând diagrama fazorială a celor două situaţii alecircuitului(fig. 7.x.b) se pot scrie relaţiile:

AB AD BD I sin IC tg'

OAOAI cos

Am arătat la condensator că IC C0 U , unde 2 f și înlocuind I C se obţine:I sin C0 U

tg I cos

sau multiplicând numărătorul şi numitorul fracţiei cu U se obţine:

U 2UI sin C0 U 2''tg sautg tg C0

UI cos PDe aici se obţine valoarea capacităţii condensatorului C 0 care trebuie conectat în

circuitul dat, astfel încât să se obţină o îmbunătăţire a factorului de putere:P tg tg'P tg tg'

C0 2fU 2U 2



CURS 9

MAŞINI ŞI TRANSFORMATOARE ELECTRICE

Maşina electrică este un sistem de conversie a energiei mecanice în energie electrică

şi invers: astfel generatorul transformă energia mecanică în energie electrică iar motorultransformă energia electrică în energie mecanică.Maşinile electrice sunt în general reversibile din punct de vedere funcţional, dar în

decursul timpului s-au specializat din punct de vedere constructiv.

Transformatoare electrice

9.1. Transformatorul monofazatTransformatorul electric este o maşină electrică, cu două sau mai multe înfăşurări

electrice cuplate magnetic, care transformă parametrii energiei electrice de curentalternativ (frecvenţa rămâne aceeaşi).

Clasificare transformatoarelor se poate face după mai multe criterii:- în funcţie de numărul de faze transformatoarele pot fi monofazate şi trifazate;- după numărul înfăşurător plasate pe miez, transformatoarele pot fi cu două sau maimulte înfăşurări.

- transformatoare de măsură, de curent sau de tensiune, utilizate pentru adaptareadiferitelor aparate de măsură la mărimile de măsurat;

- în funcţie de sensul transformării avem transformatoare ridicătoare sitransformatoare coborâtoare.

- după destinaţie se construiesc transformatoare pentru transportul şi distribuţiaenergiei electrice (de putere) şi transformatoare pentru aplicaţii specifice (cuptoareelectrice, sudură, de izolare, pentru circuite electronice etc)

- după modul de răcire avem transformatoare cu răcire în aer si cu răcire cu ulei

a. Elementele constructive de bază ale transformatorului monofazatElementele constructive de bază ale transformatorului electric monofazat sunt:

miezul feromagnetic şi înfăşurările transformatorului (primară, respectiv secundară).Schema de principiu a unui transformator este dată în fig. 9.1.

abcFig. 9.1. Miezul transformatorului monofazat

Miezul feromagnetic (1) serveşte pentru închiderea liniilor de câmp magnetic. El seconstruieşte din tole de oţel electrotehnic aliat cu siliciu (aproximativ 4%), izolate întreelecu lac sau un strat de oxid şi cu o grosime de 0,35mm sau 0,5mm,. Utilizarea tolelor ducela micşorarea pierderilor de energie prin curenţi turbionari şi celor datorate fenomenuluidehisterezis. La transformatoarele de înaltă frecvenţă, miezul este construit din materialespeciale (ferita), care au pierderi mici la frecvenţe ridicate. Forma miezului poate fi cucoloane (fig. 9.1.a) sau în manta (fig. 9.1.b şi fig. 9.1.c).

Pentru miezul din fig. 9.1.c, care este compus din două părţi: una în formă de Enotată cu 1 şi una în formă de I notată cu 2, aşezarea tolelor trebuie să se facă deasemeni în aşa fel încât spaţiile libere de la îmbinarea tolelor (3) să alterneze.



Strângerea tolelor la asemenea transformatoare se realizează prin nituire sau cuşuruburi.

Înfăşurările transformatorului monofazat se execută fie concentrice, fie alternate.Înfăşurările concentrice sunt în general înfăşurări cilindrice coaxiale, înfăşurarea de

joasă tensiune aşezându-se în apropierea miezului, iar cea de înaltă tensiune înconjurândpecea de joasă tensiune (fig. 9.2.a).

abFig. 9.2. Înfăşurările transformatorului monofazat

Înfăşurările alternate se execută în aşa fel încât pe înălţimea unei coloane alterneazăbobine ale înfăşurării de joasă tensiune cu bobine de înaltă tensiune (fig. 9.2.b).Înfăşurările primară şi secundară se execută din spire circulare realizate din

conductoare de cupru sau aluminiu izolate (emailate sau izolate cu fire de bumbac).Înfăşurările primară şi secundară, sunt izolate între ele precum şi faţă de miezulferomagnetic prin zone de aer sau straturi din diferite materiale izolatoare.

În cazul transformatoarelor de mică putere, înfăşurările sunt în general, concentrice,dată fiind tehnologia mai simplă.

În afară de elemente constructive de bază, la transformatoarele de putere, la carepierderile de energie sunt mari şi deci trebuie să se asigure o răcire bună, miezulferomagnetic cu înfăşurările transformatorului se introduc într-o cuvă umplută cu uleiizolant, numit ulei de transformator care poate circula natural sau forţat.

Reprezentarea simbolică a transformatorului este dată în fig. 9.3.

Fig. 9.3. Simbolizarea transformatoarelor monofazate

b. Principiul de funcţionareFuncţionarea transformatorului se bazează pe fenomenul inducţiei electromagnetice.

La trecerea curentului I 1 prin înfăşurarea primară (fig. 9.4) se va forma un câmpmagneticalternativ () a cărui linii de câmp se vor închide prin miezul feromagnetic, intersectândatât spirele primarului cât şi cele ale secundarului.

Fig. 9.4



În înfăşurarea primară se va induce o t.e.m. de autoinducţie e 1 , iar în cea secundarăot.e.m. de inducţie mutuală e 2 . Valorile acestor t.e.m., vor fi:

dd

şi e 2 N 2e1 N1

dtdtunde reprezintă valoarea instantanee a fluxului magnetic.

Considerând m sin t (fluxul proporţional cu curentul din primar), rezultă:

e1 N1 m cos t N1 m sin t 2

şi

e 2 N 2 m sin t 2

unde N 1 si N 2 reprezintă numărul de spire al primarului respectiv al secundarului iar estepulsaţia tensiunii.

Simbolic: E1 E1esi E 2 E 2eE 1 şi E 2 fiind valorile efective, date de relaţiile :

N N m

E1 1 m 4,44 N1f m si E 2 2 4,44 N 2f m

22Se observă că t.e.m. E 1 şi E 2 sunt defazate în urmă cu / 2 faţă de fluxul magnetic.Dacă se face raportul E1 / E 2 , se obţine :

E1 N1

k T

E2 N2

Acest raport se numeşte raport de transformare. Dacă k T >1 transformatorul estecoborâtor de tensiune, iar dacă k T <1, transformatorul este ridicător de tensiune.

c. Regimurile de funcţionare ale transformatorului monofazatc 1 . Funcţionarea transformatorului în sarcină

În acest regim de funcţionare, la bornele circuitului secundar este conectatăimpedanţa de sarcină Z 0 . Schema echivalentă a transformatorului este prezentată înfig.9.5.

Principiul de funcţionare al transformatorului se bazează pe fenomenul inducţieielectromagnetice. Astfel înfăşurarea primară, care este alimentată cu tensiuneaalternativăU1 si este străbătută de curentul I1 , produce un câmp magnetic variabil, ale cărui linii

străbat înfăşurarea secundară. Ca urmare a acestui fenomen, la bornele înfăşurăriisecundare apare tensiunea electromotoare indusă E 2 iar circuitul secundar este închis şieste străbătut de curentul I 2 .

j

2

j

2

Fig. 9.5. Schema echivalentă la funcţionarea în sarcină



În această schemă s-au făcut următoarele notaţii:U1 - tensiunea de alimentare nominală a înfăşurării primare;U 2 - tensiunea la bornele înfăşurării secundare;R1 , R 2 - rezistenta primarului respectiv a secundarului;X d12 , X d 21 - reactanţa de scăpări sau de dispersie a primarului în raport cu

secundarul si respectiv, a secundarului în raport cu primarul;

I - componenta de magnetizare a curentului de mers în gol necesară magnetizăriimiezului feromagnetic datorată reactanţei utile de magnetizare X ;

I W - componenta activă a curentului de mers în gol necesară acoperirii pierderilor deenergie în fier şi în cupru determinată de valoarea rezistentei R W ;

În ipoteza că se neglijează pierderile în miezul magnetic si miezul magnetic seconsideră nesaturat (transformator ideal), ecuaţiile de funcţionare în sarcină aletransformatorului monofazat vor fi: U1 R1 I1 jX d12 I1 E1

U 2 R 2 I 2 jX d 21 I 2 E 2 iar relaţiile dintre curenţi se pot scrie:

N1 I1 N 2 I 2 N1 I10

ecuaţie care reprezintă ecuaţia solenaţiilor si unde I 10 este curentul de mers în gol altransformatorului I10 I

c 2 . Funcţionarea transformatorului în golÎn acest regim de funcţionare, impedanţa consumatorului la bornele secundarului

esteZ2 iar curentul în secundar este I 2 0 . Încercarea la mersul în gol se efectuează prinalimentarea înfăşurării primare cu tensiunea U1 U1N . Deoarece în secundar nu se

transferă energie, întreaga energie absorbită de primar de la reţea serveşte la creareacâmpului magnetic util şi de dispersie şi la acoperirea pierderilor Joule în primar. Dinacestmotiv intensitatea curentului primar de mers în gol este mult mai mică decât intensitateacurentului primar nominal I10 2 10 %I1N .

Schema echivalentă a transformatorului este prezentată în fig. 9.6.Aplicând teoremele Kirchhoff pe circuitul echivalent, se obţin ecuaţiile:

U10 R1 I10 jX d12 I10 E1

U E120

I I I IW 10 0

E1 jX I R W I W

care reprezintă ecuaţiile de funcţionare în gol ale transformatorului monofazat.

Fig. 9.6. Schema echivalentă a transformatorului



Întrucât la mersul în gol, U10 U1N se poate deduce de aici raportul de transformare:UNU

k T 10 1 1N

U 20 N 2 U 20

Încercarea la mers în gol permite determinarea parametrilor transformatorului: k T ,R W , X si, cel mai important, pierderile în fier PFe . Astfel, puterea consumată la mers

în2gol este P10 R W I10 , de unde

rezultă:P

R W 102I10

2Analog, pornind de la puterea reactivă consumată Q10 X

I10 , se calculeazăreactanţa utilă de magnetizare X .

Q10

X 2

I10

Pierderile în fier se calculează pornind de la faptul că puterea electrică activă primităde primar este utilizată în cea mai mare măsură pentru acoperirea pierderilor în fier, înmiezul magnetic, pierderile Joule fiind neglijabile.

Factorul de putere la mers în gol cos 10 este în general mic (0,2÷0,3) si din aceastăcauză în practică nu este indicat ca transformatorul să fie lăsat să funcţioneze în gol.Curentul la mers în gol I 10 este mic (2÷10)%I 1N şi din această cauză pierderile de energie în cupru R 1 I 10 2 sunt neglijabile. Ţinând cont de acest lucru, rezultă că: 2P10 U1I10 cos 10 PFe R1I10 PFe

c 3 . Funcţionarea transformatorului în scurtcircuitFuncţionarea în scurtcircuit a unui transformator este posibilă numai dacă aplicând

primarului o tensiune micşorată, numită tensiune de scurtcircuit, prin înfăşurăriletransformatorului circulă curenţii nominali respectivi. În acest caz tensiunea descurtcircuitU sc este de (5÷7)%U 1N si este un parametru de catalog al transformatorului.

Tensiunea de scurtcircuit fiind mică, fluxul magnetic util va fi mic şi deci pierderilede energie în fier vor fi neglijabile. Din această cauză se consideră că întreaga energieprimită de transformator, de la reţea, este consumată numai pentru acoperireapierderilor deenergie prin încălzire în cuprul înfăşurărilor. 2Se poate scrie deci, că Psc PCu R1I1N R 2 I 2 N2

d. Caracteristica externă a transformatorului monofazatO importantă deosebită în funcţionarea transformatorului o are dependența dintre

tensiune U 2 la bornele secundarului și curentul I 2 debitat de acesta pe o sarcinaexterioarăZ. Uzual, aceasta caracteristică se obţine experimental si poate avea una din formelereprezentate în fig. 9.7, dependente de natura sarcinii.

Fig. 9.7. Caracteristica externă



După cum se remarcă din figură, aceasta caracteristică este în general rigidă iarrigiditatea sa se exprimă prin căderea relativă de tensiune:

U U2

U 2 % 20

100

U 20 De regulă, la transformatoarele de putere aceasta cădere de tensiune reprezintăcâtevaprocente din tensiunea nominală. Aceasta arată că transformatorul de puterealimentează însecundar consumatori la tensiune relativ constantă fata de variaţia curentului I 2 .

e. Bilanţul puterilor și caracteristica randamentuluiPrin definiţie, randamentul reprezintă raportul dintre mărimea de ieşire si cea de

intrare iar la un transformator este raportul între puterea activă P2 U 2 I 2 cos 2 ,transmisăreceptorului de către înfăşurarea secundarului şi puterea activă P1 U 1 I 1 cos 1 ,primită dela sursa de alimentare (de la reţea) de către înfăşurarea primară, adică:

PU I cos 2

2 2 2 P1U1I1 cos 1

Dar puterea primită se poate scrie:P1 P2 PFe PCu

2 în care: PFe P10 şi PCu PCu1 PCu 2 R1I1 R 2 I 2

Psc şi rezultă:2

PU 2 I 2 cos 2

2 P1 U 2 I 2 cos 2 P10 Psc

Analog, pentru puterea reactivă Q1 U1I1 sin 1 , se poate scrie:Q1 Qd Q Q 2

2 în care Qd Qd1 Qd 2 X d1I1 X d I 22

Plecând de la schema echivalentă a transformatorului, în fig. 9.8 este prezentată într-o formă sugestivă, elementele din transformator care consumă putere activă si reactivălafuncţionarea în sarcină

Fig. 9.8. Bilanţul puterilor active sireactive la transformator

Fig. 9.9. Caracteristicarandamentului

Considerând tensiunea U 2 constantă şi dacă se notează: I 2 / I 2 n (gradul de încărcare al transformatorului), rezultă:

P2 U 2 I 2 cos 2 Sn cos 2

unde S n este puterea aparentă nominală a transformatorului.Pierderile de putere în cupru, în funcţie de coeficientul , se scriu sub forma:



PCuI2 NI2222 2 R1 2 R 2 I 2 R1 22 R 2

I 2 N 2 PCuNk Tk T

PCuN fiind pierderile de putere în cupru în regim nominal de funcţionare.Ţinând cont că tensiunea U 1 este constantă, fluxul magnetic util este practic

independent faţă de sarcină şi deci pierderile în fier sunt aceleaşi, oricare ar ficoeficientul , expresia de mai sus devine:

SN cos 2

SN cos 2 PFe 2 PCuN

Valoarea maximă m a randamentului, la un anumit factor de putere al receptoruluiconectat la bornele înfăşurării secundare, are loc la un anumit grad de încărcare m ,

d

0 si rezolvând această ecuaţia, se găseşte:determinat de ecuaţia:d

2 PFe m PCun

adică randamentul atinge valoarea maximă pentru acel grad de încărcare pentru care PFe PCu . În practică un transformator funcţionează un timp mai îndelungat la osarcinămai mică decât sarcina nominală ( 0,5 0,75 ) şi deci PFe 0,25 0,5 PCun . Laproiectarea şi construcţia transformatorului se ţine cont de acest rezultat final şi înconsecinţă se consideră randamentul maxim la o sarcină de cca. 70% din sarcinanominală.

În fig. 9.9. este prezentată curba de variaţie ale randamentului în funcţie de sarcină,factorul de putere fiind constant. În general, randamentul transformatorului este ridicat,mai mare decât al maşinilor electrice, întrucât nu intervin pierderi mecanice (0,95…0.97).

9.2. Transformatorul trifazat

Transformatoarele trifazate sunt folosite în special ca transformatoare de putere îninstalaţiile de transport şi distribuţie a energiei electrice, dar sunt întâlnite şi în instalaţiilede utilizare a energiei electrice iar forma constructivă cea mai des întâlnită pentrucircuitulmagnetic a transformatorului trifazat constă din trei coloane reunite în partea lorsuperioarăşi inferioară cu câte un jug magnetic prin care se închid liniile de câmp magnetic (fig.9.10).

Cele trei faze ale primarului şi secundarului se pot lega în stea (simbol Y, pentruprimar şi y pentru secundar) sau în triunghi (D pentru primar, d pentru secundar).Înfăşurările secundarului se mai pot lega şi în zigzag (notaţia Z), cu nulul accesibil, pentrualimentarea receptorilor monofazaţi.

Fig. 9.10. Transformator trifazat Y N /y n -6

Fig. 9.11. Grupe de conexiuniD/y n -5 Y/z n -5

Reprezentarea schematică a conexiunilor este dată în fig. 9.11 iar diagramele

fazoriale în fig. 9.12.



Grupa de conexiuni a unui transformator indică defazajul tensiunii secundare de liniefată de cea primară, măsurată la bornele omoloage. Ea este simbolizată printr-un numărde0 la 12., care se adaugă la schemele de conexiuni (Y N /y n -6, D/y n -5, Y/z n -5 din fig.9.12).Numărul care simbolizează grupa, înmulţit cu 30 , dă defazajul în grade al celor două

tensiuni de linie.

Fig. 9.12 Diagramele fazoriale asociate conexiunilor din fig. 9.11

Transformatoarele trifazate încărcate simetric pot fi studiate in ceea ce priveştefuncţionarea în gol, în sarcini şi în scurtcircuit, la fel ca un transformator monofazat, toatemărimile fiind raportate la o fază.

Necesitatea asigurării unei rezerve în alimentarea cu energie electrică aconsumatorilor, cât şi creşterea în timp a consumului de energie, impune funcţionarea înparalel a transformatoarelor.

Pentru o repartiţie a curenţilor de sarcină proporţională cu puterile nominale,transformatoarele conectate în paralel trebuie să îndeplinească următoarele condiţii:

- să aibă acelaşi raport de transformare (aceeaşi tensiune aplicată primarului şi

aceeaşi tensiune obţinută la secundar);- aceeaşi grupă de conexiuni;- aceleaşi tensiuni de scurtcircuit.

9.3. AutotransformatoareAutotransformatorul este un transformator la care înfăşurarea de joasă tensiune este

oparte din înfăşurarea de înaltă tensiune. El poate fi monofazat sau trifazat, când înfăşurărilesunt conectate în stea.

Autotransformatoarele monofazate de mică putere sunt utilizate în laboratoare, îninstalaţiile de automatizare iar cele de mare putere si tensiune înaltă sunt utilizate pentrureglarea tensiunii în diferite puncte de interconectare a reţelelor. Autotransformatoareletrifazate sunt utilizate pe scară largă la pornirea motoarelor asincrone si sincrone, înlaboratoare etc.

Principiul de funcţionare este aceiaşi ca si la transformator clasic cu observaţia că între înalta si joasa tensiune este un transfer de putere atât prin inducţie, pe porţiuneaMN(fig. 9.13), cât si direct, prin punctul de legătură M.

Se poate scrie astfel că la ieşire curentul este:Ie Is Ii iar relaţia solenaţiilor:

N a I i N e I e I i 0 N a N e N i I i 0



Fig. 9.13.

Considerând Ii 0 este neglijabil în raport cu I iN relaţiile de mai sus conducând laN a Ii N e Ie 0 unde N i N a N e si raportul de transformare se mai poate scrie:

NUIk T i i e

N e U e Ii Puterea electromagnetică transmisă prin inducţie este: I k 1

Sa U e Is U i Ie

1 i S1 T I k Te

unde S1 U e Ie U i Ii este puterea transmisă de autotransformator.Puterea transmisă direct între partea de înaltă si joasă tensiune este:

Sd S1 Sd

Constructiv, dimensiunile autotransformatorului depind de S c care se mai numeşteputere de calcul (k T =1, punctul M se mută în A, S c =0, S d =S 1 si nu mai este necesarautotransformator).

Autotransformatoarele, având primarul legat galvanic cu secundarul, au dezavantajulcă din primar în secundar sau invers pot apărea supratensiuni periculoase. Acestdezavantaj

face ca ele să fie utilizate numai în reţele de joasă sau de înaltă tensiune, înfăşurările săaibă aceiaşi izolaţie si se realizează constructiv numai pentru rapoarte de transformarek T 2 .

9.4. Transformatoare de măsurăTransformatoarele de măsură sunt destinate alimentarii unor aparate de măsurat

(ampermetre, voltmetre, wattmetre), în scopul adaptării lor la mărimile de măsurat(tensiuni înalte, curenţi intenşi, puteri mari). Ele se construiesc la puteri mici si pot fi decurent sau de tensiune.

a. Transformatoarele de curent se folosesc pentru extinderea domeniului de măsurăal ampermetrelor, wattmetrelor, contoarelor de energie, etc. Ele sunt formate dintr-un

miezferomagnetic pe care sunt dispuse două înfăşurări: una cu spire puţine, de secţiunemare,conectată în serie cu circuitul al cărui curent se măsoară (uneori chiar conductorulcircuitului joaca rolul acestei înfăşurări), reprezentând înfăşurarea primara, cealaltă cuspire multe, de secţiune mică conectată în serie cu aparatul de măsurat, reprezentând înfăşurarea secundară.

Deoarece impedanţa aparatelor conectate în secundar este, în general, foarte mică,transformatorul de curent funcţionează într-un regim apropiat de cel de scurtcircuit. Dinacest motiv funcţionarea în gol ar induce în secundar o t.e.m. foarte mare care ar puteadistruge izolaţia înfăşurării secundare.



aFig. 9.14. Transformatoare de măsură

b

Transformatorul de curent este caracterizat de un raport nominal detransformare:

Ik iN 1N

I2 N 'Măsurând curentul din secundar, I 2 se poate determinao valoare I1 a curentului dincircuitul primar:

'I1 k m I 2care, în general, diferă de valoarea curentului real I 1 .

Eroarea de măsură a valorii curentului I 1 introdusă de transformatorul de curenteste: 'I1 I1k ki

i % 100 iN100I1ki

Iunde s-a notat cu k i 1 raportul real de transformare.

I2 În afara acestei erori privind coeficientul de transformare, transformatorul de curentintroduce si o eroare de unghi , reprezentând defazajul dintre fazorul I 1 si fazorul I1 .

Aceasta eroare influenţează precizia măsurătorii unor aparate ca: wattmetre,contoare, unele traductoare etc.

Deoarece eroarea de mărime i creste odată cu creşterea impedanţei sarcinii,pentrufiecare transformator de curent se indică o anumită putere aparentă nominală,reprezentândputerea maximă de sarcină pentru care transformatorul respecta clasa de precizie pentrucare a fost construit: 0,2; 0,5; 1; 3; 5; 10; cifrele reprezentând eroarea de măsură.

Transformatoarele de curent măsoară curenţi de (5-15000)A, curentul secundarnominal standardizat fiind 5A.

Transformatoarele de tensiune (fig. 9.14.b) se folosesc pentru creşterea domeniuluide măsură al voltmetrelor, wattmetrelor, contoarelor etc.

Din punct de vedere constructiv el este similar unui transformator monofazat demicăputere, în secundarul căruia se conectează un aparat de măsură cu o impedanţă foartemare.Ca urmare, curentul secundar fiind foarte redus, se poate aprecia ca transformatorul detensiune lucrează în gol.

Transformatorul de tensiune este caracterizat de un raport nominal de transformare:U

k uN 1N

U2N

Pentru o anumită valoare a tensiunii măsurate în secundar U 2 se obţine o valoare a 'tensiunii primare: U1 k uN U 2 care diferă de valoarea reala U 1 prin

eroarea de măsură atransformatorului: 'U1 U1k ku

u % 100 uN100U1ku



U1

raportul real de transformare.U2

Pentru micşorarea erorilor se urmăreşte micşorarea pierderilor din înfăşurări prinutilizarea unor densităţi de curent reduse, si micşorarea dispersiilor prin aşezarea relativăa înfăşurărilor precum si utilizarea de tole de calitate superioară în vederea reduceriicurentului de magnetizare si a pierderilor în fier.

Pe plăcuta transformatorului se înscrie puterea nominala a acestuia, reprezentândputerea aparentă maximă la care poate fi încărcat transformatorul de tensiune fără caerorile sale să depăşească limitele claselor de precizie. Acestea pot fi: 0,2; 0,5; 1; 3;cifrelereferindu-se la eroarea de măsură.

Tensiunea secundară nominală a acestor transformatoare este standardizată la100V.

unde s-a notat cu k u

9.5. Transformatoarele de sudurăTransformatoarele de sudură sunt destinate sudării electrice cu arc sau contact.

Aceste transformatoare trebuie să aibă o tensiune joasă de funcţionare în gol, (60-75)V,suficientă pentru aprinderea arcului electric, iar caracteristica externă U 2 = f(I 2 ) trebuie

săfie coborâtoare (fig. 9.15). Astfel de caracteristici sunt necesare pentru ca intensitateacurentului să nu se modifice mult la variaţii ale lungimii arcului electric se sudură, iartensiunea arcului, care variază în funcţie de lungimea arcului şi de intensitatea curentuluide sudare, să fie de ordinul 25-40V.

Fig. 9.15. Caracteristica externă a transformatorului desudură

Caracteristica externă mult descrescătoare se obţine cu ajutorul unui şunt magnetic,care măreşte reactanţa de scăpări magnetice (fig. 9.16), sau intercalând în serie cu arculelectric de sudare o bobină de reactanţă, care determină o cădere mai mare de tensiunelacreşterea curentului de sudare.

Reglarea regimului de sudare se face variind poziţia şuntului magnetic saumodificând întrefierul bobinei de reactanţă (fig. 9.17).

Fig. 9.16. Reglarea curentului cu bobină cu suntmagnetic



Fig. 9.17. Reglarea curentului cu bobină cu miez de fier

Factorul de putere al transformatorului, în timpul sudării cu arc este relativ mic (0,4 –0,6), fiind inductiv.

Transformatoarele de sudură prin contact electric lucrează practic în scurtcircuit. Elesunt calculate să asigure curenţi foarte mari, până la zeci de kA în secundar. Modificareaacestui curent se face fie cu o bobină prevăzută cu miez feromagnetic cu întrefier, fieprinmodificarea numărului de spire din înfăşurarea primară.



CURS 10-11

MAŞINA DE CURENT CONTINUU

10.1. Probleme generale ale maşinii de curent continuu

Maşinile de curent continuu pot funcţiona în regim de generator sau motor, mai desfiind întâlnit regimul de motor. Motoarele de curent continuu se utilizează în acţionărileelectrice care necesită o reglarea foarte fină a turaţiei sau necesită turaţii ajustabile înlimitelargi. În schimb, acesta motoare sunt mai pretenţioase, necesită o întreţinere mai atentă,sunt mai scumpe comparativ cu cele de curent alternativ.

Maşinile de curent continuu se construiesc într-o gamă foarte largă de puteri. Laputeri mici şi foarte mici se utilizează în aparatura de automatizare ca motoare pentruantrenarea organelor de reglare (servomotoare) sau ca generatoare în construcţiispeciale,utile în automatizări: tahogeneratoare (traductoare de turaţie),maşini electrice

amplificatoare etc.a. Definiţii si elemente constructive

Maşina de curent continuu poate fi reprezentată schematic, într-o secţiunetransversală (fig. 1) care evidenţiază cele două părţi constructive de bază, statorul (2) sirotorul (5).

Fig. 1. Construcţia maşinii de c.c. Fig. 2. Colectorul maşinii de c.c.

Statorul, partea imobilă a maşinii, ce joacă rol de inductor si care are ca elementeconstructive principale: carcasa (1); polii de excitaţie împreună cu înfăşurarea de c.c. (2);poli de comutaţie (auxiliari) cu înfăşurarea corespunzătoare (3); talpa de prindere (4);rotorul, care joaca rol de indus (5); perii (6).

Carcasa (jugul statoric) reprezintă partea imobila pe care se fixează polii de

excitaţie si cei de comutaţie.Polii de comutaţie (auxiliari) constau dintr-un miez si din bobina înfăşurată pe miez.

Polii auxiliari se aşează exact în axa de simetrie (axa neutră) dintre polii principali. Seconstruiesc din tole de otel electrotehnic de forma circulară cu dinţi si crestături, izolate între ele si este plasat pe arborele rotorului. Crestăturile longitudinale se constituie însediul înfăşurării rotorice.

Înfăşurarea rotorică realizată din bare sau sârmă de Cu, este formată din secţii acăror capete se leagă la colector.

Colectorul (fig. 2) are forma cilindrică, fiind construit din lamele de cupru izolateuna fată de cealaltă printr-un strat de micanită si, de asemenea, izolate fată de suport.

Legătura electrică dintre înfăşurarea rotorică si bornele maşinii se realizează prin

intermediul periilor colectoare care alunecă pe colector.



Polii de excitaţie (principali) se construiesc din tole de otel electrotehnic de(0,5¸1)mm grosime, strânse pachet cu ajutorul unor buloane nituite pe care se fixează înfăşurările de excitaţie. După modul de alimentare a acestor înfăşurări deosebim maşinicu excitaţie separată, cu excitaţie derivaţie, cu excitaţie serie, cu excitaţie mixtă.Simbolizarea tipurilor de maşini de c.c. este dată în fig. 3.

a) Separată b) Derivaţiec) Seried) MixtăFig. 3. Simbolizarea maşinilor de c.c.

b. Înfăşurările maşinii de curent continuuÎnfăşurările maşinii se află pe stator sau pe rotor. La realizarea înfăşurării, un

conductor de ducere de sub un pol se leagă cu un conductor de întoarcere de sub polulvecin, de polaritate opusă, pentru ca t.e.m. induse să se adune. Pentru ca t.e.m. totalăindusă să fie maximă, conductoarele trebuie să ocupe aceiaşi poziţie în câmp, adicădistanta dintre ele să fie egala cu , numită pas polar.

Bobinele se mai numesc si secţii sau secţiuni si reprezintă ansamblul spirelorcuprinse intre două lamele de colector succesive.

Toate spirele ce se parcurg plecând de la o perie la alta formează o cale de curent.Numărul total de căi de curent este 2a.

După modul de legare a capetelor secţiilor la lamelele colectoare deosebim douătipuri de înfăşurări si anume înfăşurarea buclată si înfăşurarea ondulată, arătate în fig. 4.

a) buclatăb) ondulatăFig. 4. Înfăşurări de c.c.

Înfăşurarea de c.c. este o înfăşurare închisă, adică ultima legătură de întoarcere

revine la lamela la care s-a legat capătul de început al primei secţii.

10.2. Principiul de funcţionare si fenomene de baza în maşina de c.c.

a. Principiul de funcţionare al generatorului cu o singură spirăConsiderăm o spiră care se roteşte cu viteza într-un câmp magnetic constant de

inducţie B creat de un magnet permanent (fig. 5).Fluxul magnetic care străbate suprafaţa spirei este dat de relaţia:

AB cos AB cos tunde A este suprafaţa spirei.

Prin inducţie electromagnetică, în spiră apare tensiunea:e AB sin t E m sin t



Fig. 5. Principiul generatorului de c.c. Fig. 6. Generator de c.c. cu redresor

Dacă v este viteza liniară a conductoarelor active a-b si c-d de lungime l , sensult.e.m. este dat de regula burghiului drept (se roteşte v peste B pe drumul cel mai scurt,vârful burghiului înaintează în sensul t.e.m. induse).

În fig. 7 sunt prezentate 5 poziţii ale spirei pentru fiecare rotaţie cu /2.

Fig. 7. Poziţii intermediare ale spirei generatorului de c.c.

Astfel pentru poziţiile 1-5 fluxul si t.e.m. induse în spiră sunt:1. 1 BA cos 0 BAe1 BA sin 0 0

e 2 BA sin E m2. 2 BA cos 022

e3 BA

sin 03.

3 BA cos BA33

0e 4 BA sin E m4. 4 BA cos22

e5 BA sin 2 05. 5 BA cos 2 BAReprezentarea grafică a celor două mărimi este dată în fig. 8.Trebuie precizat că sensul curentului prin cele două ramuri ale spirei se schimbă si

el, astfel că, la bornele AB ale spirei polaritatea este alternativă.



Fig. 8. Fluxul si tensiunea induse Fig. 9. Tensiunea redresată

Pentru obţinerea unei tensiuni continue la bornele AB se înlocuiesc inelele la caresunt legate cele două conductoare, cu două semiinele (fig. 6). Se obţine astfel cel maisimplu redresor mecanic iar tensiunea obţinută la borne va avea forma din fig. 9.

b. T.e.m. indusăPentru calculul t.e.m. induse, considerăm că înfăşurarea are S secţii iar secţia are w

spire iar dacă N=2wS este numărul total de conductoare active, atunci unei căi de curent

îicorespund wS/a conductoare, t.e.m. indusă fiind suma t.e.m. induse în caile de curent.Considerăm o valoare medie a t.e.m. în fiecare conductor activ de lungime l, care se

mişcă cu viteza v în câmpul de inducţie medie B m :e m Bm lv

NemÎntr-o cale de curent t.e.m. indusă este E

2aCum B m = /A, A= l, v= Dn/60 (n reprezintă turaţia în rot/min), rezultă:

E k e nunde:

p N

ke a 60reprezintă constanta electrică a maşinii.

c. Cuplul electromagnetic al maşinii de curent continuuCalculul cuplului electromagnetic se face prin însumarea momentelor date de forţele

Laplace exercitate asupra conductoarelor plasate în crestături. Astfel, asupra fiecăruiconductor parcurs de curent se exercită o forţă Laplace F , cu sensul rezultat după regulaburghiului drept (fig. 10).

Fig. 10. Forţele Laplace care apar în conductoare parcurse de curent

Fig. 11. Regimul de generator de c.c.(MP – motor primar de antrenare)

Cele două forte creează un cuplu de rotaţie, care pentru o putere electromagneticăPe EIa , la viteza , are o valoare:



Me

sau

km

Pe EIa p 1 n N Iaa 2n

M e k m I a

fiind constanta electromecanică a maşinii

10.3. Regimurile maşinii de curent continuu

a. Regimul de generatorÎn regimul de generator, rotorul este antrenat cu o turaţie n în câmpul magnetic de

inducţie B (fig. 11). În înfăşurarea rotorică se induce o t.e.m. E prin bornele generatoruluise debitează putere pe o reţea de c.c.

La funcţionarea în gol, la bornele maşinii se măsoară o tensiune U 0 =E.Daca între bornele A 1 si A 2 conectam o rezistenta de sarcina oarecare R s , t.e.m. E

vada naştere unui curent I care va străbate înfăşurarea rotorului, având acelaşi sens ca si

t.e.m. E.Ecuaţiile de tensiuni a generatorului de curent continuu se obţine aplicând teorema aII-a Kirchhoff:

E R a I U p U

unde U p este căderea de tensiune la contactele perie-colector iar relaţia poartădenumireade ecuaţia de funcţionare în regim de generator a maşinii de c.c.

Dar U p R a I iar ecuaţia de funcţionare va fi:E RaI U

Cuplurile care acţionează la generatorul de c.c. sunt:- cuplul electromagnetic, M e k m I

- cuplul activ dat de motorul de antrenare M a ;- cuplul rezistent datorat frecării rotorului cu aerul, frecărilor din lagărele maşinii sipierderilor mecanice în ventilaţie, M n ;- cuplul rezistent datorat pierderilor în fierul rotorului prin fenomenul de histerezis si princurenţi turbionari, M Fe ;

Dacă const. , atunci:M a M M m M Fe

Puterea mecanica transmisa maşinii prin intermediul arborelui de către motorul primar vafi:

P1 M a M m M Fe P Pm PFe

unde: P - putere electromagnetică, P m – pierderi datorate frecărilor; P Fe – pierderi în fierulrotorului.

Rezultă că puterea electromagnetică este:P EI UI U p I R a I 2 P2 U p I R a I 2

unde P 2 este puterea utilă, de natură electrică iar U p I R a I 2 suma pierderilor deputere laperii si Joule în înfăşurarea rotorică. 2În plus, în generator auloc si pierderi în înfăşurarea de excitaţie, R e Ie .

Arborele de bilanţ este prezentat în fig. 13.

Randamentul generatorului este:



P2P2

P1 P2 P

Fig. 13. Bilanţul puterilor la generatorul de c.c.

b. Regimul de motorÎn regimul de motor, maşina primeşte energie electrică de la reţea si o transformă în

energie mecanică, prin intermediul câmpului electromagnetic.Conductoarele înfăşurării rotorice, fiind străbătute de curent si aflându-se în câmpul

magnetic al polilor de excitaţie, vor fi solicitate de forte electromagnetice, care vor da

naştere unui cuplu, M e k mI . Acest cuplu este mai mare decât cel rezistent si varotorul în mişcare de rotaţie.

Datorită mişcării conductoarelor înfăşurării rotorice în câmpul magnetic de excitaţie,acestea devin sediul unei t.e.m. E k e n .

Dacă se aplică teorema a II-a a lui Kirchhoff pe traseul punctat din fig. 14, se obţine:U E R a I U p

iar în cazul neglijării căderii de tensiune la perii devine: U E RaI

Fig. 14. Regimul de motor de c.c.(ML - maşina de lucru)

Fig. 15. Bilanţul puterilor la motorul de c.c.

Ecuaţia cuplurilor când mişcarea este uniformă ( ct. ): M M r M m M Fe

iar ecuaţia puterilor este: P M P2 Pm PFe , P2 M r

unde P M EI este puterea mecanică totala dezvoltată de către motor.Randamentul motorului este definit la fel ca la generator.

c. Regimul de frânăÎn regim de frână electrică, maşina primeşte putere mecanic pe la arbore si putere

electrica de la reţea de c.c. si le transforma ireversibil, în timp, în căldură, dezvoltând,totodată, un cuplu necesar frânarii unei instalaţii mecanice.

Regimul de frânare se obţine prin inversarea sensului tensiunii de alimentare siintroducerea în circuitului rotorului a unei rezistente R F .



Cuplul electromagnetic dezvoltat de motor îşi schimba sensul odată cu curentul I, încomparaţie cu regimul iniţial de motor electric si se opune vitezei de rotaţie întocmai cauncuplu de frânare (rezistent).

Bilanţul de puteri în acest regim de funcţionare este ilustrat în fig. 16.

Fig. 16. Bilanţul puterilor la frâna de c.c.

10.4. Caracteristicile maşinii de curent continuu

a. Caracteristicile generatorului de curent continuuFuncţionarea unui generator de c.c. depinde de o serie de mărimi, cum ar fi t.e.m. E,

tensiunea la borne U, curentul din înfăşurarea rotorică I, curentul de excitaţie I e , vitezaderotaţie (turaţia n). Dependenta dintre două din mărimile enunţate, în ipoteza cacelelaltesunt constante, poarta numele de caracteristică.

În funcţionarea unui generator de c.c. interesează caracteristicile de mers în gol, însarcină, caracteristica externă si caracteristica de reglaj pentru fiecare tip de excitaţie.

a 1 . Generatorul cu excitaţie separatăCaracteristica de mers în gol reprezintă dependenta U 0 f Ie în condiţiile în carecurentul debitat este nul si turaţia este constantă (fig. 17).

Fig. 17. Caracteristica de mers în gol Fig. 18. Caracteristica externă

Pe caracteristică se remarcă:- saturaţia circuitului magnetic pentru Ie IeN ;- la Ie 0 , există o tensiune U 0 U 0 r 0 datorată câmpului remanent;

- ramura descendentă are valori superioare pentru tensiuni datorită aceluiaşi câmpremanent al polilor de excitaţie.Caracteristica externă reprezintă dependenta U f I pentru n=ct., I=ct. (fig. 18).

Din relaţia E R a I U , U E R a I se observă că pe măsură ce creste curentul desarcină I, scade tensiunea la borne. La generatoarele de putere medie:

U% U0 U N 100UNUN

Caracteristica de reglaj reprezintă dependenta Ie f I pentru n=ct., U=ct. (fig. 19).Această caracteristică arată cum trebuie modificat curentul de excitaţie pentru catensiuneala borne să rămână constantă, când creste curentul prin sarcină.



Fig. 19. Caracteristica de reglaj Fig. 20. Caracteristica de mers în sarcină

Caracteristica de mers în sarcină reprezintă dependenta U f Ie pentru n=ct., I=ct. (fig.20). Din figură se observă că la acelaşi curent de excitaţie, tensiunea la borne scade lacreşterea curentului de sarcină.

a 2 . Generatorul cu excitaţie derivaţieDacă ţinem cont că rezistenta circuitului de excitaţie este mult mai mare decât

rezistenta circuitului rotoric ( adică curent de excitaţie mic în raport cu curentul desarcină)ecuaţiile generatorului de c.c. cu excitaţie derivaţie sunt identice cu cele alegeneratoruluicu excitaţie separată si devine evident faptul că si caracteristicile acestui generator suntsimilare cu cele prezentare anterior.

a 3 . Generatorul cu excitaţie serieDeoarece la această maşină curentul debitat este si curent de excitaţie, rezultă ca

atâtcaracteristica de mers în gol, cât si caracteristica de reglaj nu au sens. Caracteristicaexternă, singura ce poate fi trasată, este redată în fig. 21.

Ea apare prin scăderea grafica a curbei E I (curba de magnetizare) si, respectiv,

căderii proprii de tensiune R a R e I , conform ecuaţiei:

U E R a R e I

Fig. 21. Caracteristica externă

Curba rezultantă ne arată incapacitatea acestui generator de a-si păstra tensiuneaaproape constantă, independent de sarcină, cerinţă strict necesară în exploatare.

a 4 . Generatorul cu excitaţie mixtăLa acest tip de generator, fluxul magnetic ce contribuie la crearea t.e.m. din maşină

se datorează practic înfăşurării de excitaţie derivaţie, înfăşurarea serie având numai rolulde a modifica în limite relativ mici, fluxul de excitaţie principal, după cum se leagă:adiţional sau diferenţial.Caracteristica externă, U f I este arătată în fig. 22 si ne arată două tipuri de curbedupăcum excitaţia serie este legată adiţional (curba 2) sau diferenţial (curba 1).



Fig. 22. Caracteristica externă Fig. 23. Caracteristica de reglaj

Totodată, se mai remarca faptul ca în condiţiile caracteristicii externe ideale (2’), seobţine o independentă a tensiunii fată de sarcină si ca atare este inutilă caracteristica dereglaj.Caracteristica de reglaj, Ie f I se obţine funcţie de aceeaşi condiţie, legarea adiţională(curba 2) sau diferenţială (curba 1) a circuitului de excitaţie iar caracteristica de reglaj seprezintă în fig. 23.

Se poate remarca faptul că generatorul de c.c. cu excitaţie mixtă se recomandă

pentrualimentarea consumatorilor foarte pretentiosi la condiţia de tensiune constantăindependentde sarcină.

b. Caracteristicile motorului de curent continuuÎn regim de motor, în timpul funcţionarii, următoarele mărimi prezintă variaţii

importante, respectiv: U, I, I e , n, M, cele mai importante două caracteristici capabile săilustreze performantele fiind caracteristica vitezei la mersul în sarcină n f I la U ct.si Ie ct. si caracteristica mecanică n f (M) la Ie ct. si U ct.

Expresia analitică a acestor caracteristici se obţine dacă în ecuaţia U E R a I se înlocuieşte t.e.m. E k e n si cuplul M e k m I , adică k e n UR a I si:

UMM Ra n 0 kIk e n U R asau n

k ek mk mRezultă:

n n 0 kI si n n 0 k m Munde n 0 reprezintă turaţia ideală de mers in gol.

Caracteristicile mecanice ale motoarelor de c.c. cu excitaţie separată si derivaţie suntcaracteristici rigide (fig. 24), gradul de rigiditate n fiind mic (sub 10%) si calculat curelaţia:

n n

n% 0 100n0

Fig. 24. Caracteristica externă Fig. 25. Caracteristica de reglaj



La motoarele cu excitaţie serie, unde Ie I , se poate considera că kI deciM

M k m kI 2 si prin înlocuire în relaţia k e n U R ase obţine:k m

UUn k1 sau n k k1

MMk ek

k mkunde k1 k / k e k m si k R a / k e .Din fig. 25 se observă că, pentru cuplu mic, turaţia atinge valori periculoase, iar la

funcţionarea în gol, turaţia tinde la infinit ceea ce ar duce la deteriorarea maşinii. Deaceea,motorul cu excitaţie serie se foloseşte numai cuplat cu sarcina.

10.5. Pornirea si reglarea turaţiei motorului de c.c.

a. Pornirea motorului de c.c.

Procesul de pornire este caracterizat de valori variabile ale mărimilor specifice, n, I,M, începând din momentul iniţial si până la stabilirea regimului de funcţionare.Deoarece la pornire, n 0 , rezultă E k e n 0 . Din ecuaţia motorului de c.c.

U E R a I rezultă curentul de pornire:U

Ip Ra

Acest curent este limitat numai de valoare rezistentei rotorului R a si poate avea valorimari, respectiv I p (3 6)I N pentru motoare de putere mică si medie si poate ajungepânăla 20I p la motoarele de puteri mari. Această valoare este periculoasă întrucât la colector

poate apărea aşa-numitul cerc de foc care distruge colectorul maşinii iar elementelecinematice ale utilajelor antrenate sunt supuse unui soc la pornire.

Pentru limitarea acestui curent, mai ales la motoarele mari, se introduce în serie cucircuitul rotoric, un reostat de pornire R p (fig. 26), în trepte, care se scot din circuittreptat,pe măsură ce turaţia motorului creste..

Fig. 26. Pornirea motorului de c.c.

Curentul de pornire are valoarea:U

Ip R a R p1 R p 2 ... R p 2

iar asigurarea cuplului de pornire se realizează prin creşterea curentului de excitaţie.La motoarele cu excitaţie separată, la pornire, reostatul din circuitul de excitaţie RC

se pune pe poziţia corespunzătoare curentului de excitaţie maxim.

Motoarele cu excitaţie serie si mixtă au cuplu de pornire bun si nu necesită limitareacurentului de pornire.



b. Reglarea turaţiei motorului de c.c.Reglarea vitezei prin modificarea rezistentei rotorice. Pornind de la relaţia (II.3.20) rezultăcă prin modificarea rezistentei rotorice, turaţia de mers în gol nu se modifică, se modificădoar panta caracteristicii mecanice (fig. 27). Caracteristicile astfel obţinute se numescartificiale iar caracteristica motorului în condiţii nominale se numeşte caracteristicămecanică naturală.

Fig. 27. Caracteristica mecanică pentrumotorul cu excitaţie separată si derivaţie Fig. 28. Caracteristica mecanică pentrumotorul cu excitaţie serie

Randamentul sistemului scade prin introducerea de rezistente suplimentare, datorităpierderilor Joule.Reglarea vitezei prin variaţia tensiunii sursei de alimentare U. Prin variaţia tensiunii dealimentare se modifica turaţia de mers în gol fără modificarea pantei caracteristiciimecanice.

Fig. 29. Caracteristica mecanică pentrumotorul cu excitaţie separată si derivaţie

Fig. 30. Caracteristica mecanică pentrumotorul cu excitaţie serie

Procedeul este eficient la orice sarcină a maşinii, observându-se că acestecaracteristici sunt relativ paralele.

Reglarea vitezei prin variaţia fluxului de excitaţie. Metoda se bazează pe variaţia fluxuluide excitaţie prin introducerea unui reostat în circuitul de excitaţie.În acest fel, se modifica atât turaţia de mers în gol cât si panta caracteristicii

mecanice. Familia de caracteristici artificiale obţinută prin reducerea fluxului, este data înfig. 31.

Fluxul magnetic poate fi crescut si peste valoarea nominală la motoarele de c.c. cuexcitaţie independentă sau derivaţie, caz în care turaţia la arbore va scădea, acest reglajfăcându-se la cuplu constant.

Astfel, modificarea fluxului de excitaţie permite un reglaj al turaţiei atât în senscrescător cât si descrescător în raport cu turaţia de mers în gol ideal (n 0 ).



Fig. 31. Caracteristica mecanică pentrumotorul cu excitaţie separată si derivaţie

Fig. 32. Caracteristica mecanică pentrumotorul cu excitaţie serie

10.6. Frânarea motorului de c.c.Maşina de c.c. poate fi utilizată în acţionari electrice si pentru frânarea sistemului

acţionat. În acest mod maşina poate funcţiona în regim de generator care să debiteze pereţea proprie (frânare dinamică) sau pe o reţea de tensiune constantă (frânarerecuperativă), fie în regim de frână propriu-zisă (frânare contracurent).Frânarea dinamică se realizează prin deconectarea indusului de la reţea si conectareaacestuia pe o rezistentă de frânare. Schema unei astfel de frânari este data în fig. 33.

Fig. 33. Frânarea dinamică Fig. 34. Frânarea recuperativă

În cazul motorului excitat si conectat pe o rezistentă constantă R F , cuplulelectromagnetic scade proporţional cu turaţia, ajunând ca la turaţii joase aceasta metodasanu mai fie eficientă. În acest caz este necesară combinarea cu o frânare mecanică.Frânarea cu recuperare de energie. Dacă maşina de c.c., care funcţiona în regim demotoreste antrenată din exterior la o turaţie mai mare decât turaţia n 0 (fig. 34) maşina trece înregim de generator si debitează în reţea o putere electrică.Frânarea contracurent se realizează prin inversarea polarităţii tensiunii de alimentare si

introducerea în circuitul rotoric a unei rezistente de limitare a curentului. Tensiunea labornele motorului este va fi negativă, curentul va fi siel negativ iar cuplul produs va fi un cuplu de frânare.Prin introducere rezistentei suplimentare, se limiteazăsi valoarea curentului.

Ecuaţia caracteristicii mecanice, devine astfel:R RF

aM k m 2având reprezentarea grafica din fig. 35.

La anularea turaţiei, maşina trebuie deconectată,pentru a nu se porni în sens invers.

Fig. 35. Frânarea contracurent



CURS 12-14

MAŞINI DE CURENT ALTERNATIV

12.1. Câmpuri magnetice învârtitoare

a. Câmpul magnetic produs de o coroană polară ce se roteşte cu viteza

Considerăm o maşină la care succesiunea polilor este N-S iar ei sunt formaţi dinmagneţi permanenţi sau electromagneţi alimentaţi în c.c. (fig. 1).

Dacă repartiţia câmpului în întrefier fată de axa polului care-l produce, se considerăsinusoidală, variaţia lui în spaţiu va fi de forma:

b B1 cos p r(1) în care r este unghiul geometric al punctului M de pe stator, fată de axa polului.

Fig. 1. Masina poli aparenţi. Variaţia inducţiei în întrefier

Considerând axa unei înfăşurări statorice ca referinţă pentru unghiuri, atunci unpunct curent M va avea coordonata unghiulară:

S r r t r(2)în care r t este spaţiul unghiular, la momentul t, al axei polului care se roteşte cuviteza unghiulară fată de stator iar relaţia (1) se poate scrie:

(3)b B1 cos p(S t ) B1 cos(S

pt ) B1 cos p( pt )indicând variaţia în timp si spaţiu a câmpului magnetic din întrefierul celor două armături.

b. Câmpul magnetic produs de o înfăşurare monofazatăDacă se introduce o bobină în două crestături ale unei armături si aceasta este

parcursă de un curent alternativ de forma i( t ) I 2 sin 1t se obţin doi poli a cărorpolaritate au aceiaşi pulsaţie 1 . Se obţine un câmp pulsatoriu în timp si de formă

dreptunghiulara în spaţiu (fig. 2).

Fig. 2. Masina cu 2p poli. Variaţia în spaţiu a inducţiei



Dacă se creste numărul crestăturilor, deci si al bobinelor, pentru acelaşi număr depoli, forma de variaţie a câmpului magnetic în întrefier b se apropie de o sinusoidă sipoatefi descrisă de relaţia:

b b1 cos p r b1 cos (4)Înfăşurarea fiind parcursă de un curent alternativ, amplitudinea b 1 variază în timp

( b1 B1 sin 1t ) si relaţia (1) devine:(5)b B1 cos sin 1t

Descompunând produsul trigonometric, câmpul dat de relaţia (5) se poatedescompune într-o sumă de două câmpuri învârtitoare de forma:

11(6)b B1 cos p(1t ) B1 cos

p(1t ) b d bi

22unde b d este câmpul direct iar b i , câmpul invers.

Deci, se poate trage concluzia că, un câmp magnetic de forma dată de relaţia (5),pulsatoriu în timp si sinusoidal în spaţiu, produs de o înfăşurare monofazată alimentată înc.a. este echivalent cu două câmpuri învârtitoare de aceiaşi amplitudine, cum reiese din

relaţia (6), si care se rotesc în sensuri opuse cu aceiaşi viteză unghiulară.

c. Câmpul magnetic produs de o înfăşurare trifazatăO înfăşurare trifazată, decalată la 120 grade electrice, conectată în stea sau în

triunghi, străbătută de un sistem trifazat de curenţi, produce, prin cele trei înfăşurări defază, câmpuri magnetice, în baza relaţiilor:

b u B1 cos sin 1t

2 2

(7)b v B1 cos sin1t 3 3

4 4

b w B1 cos sin 1t 3 3

Descompunând ca în relaţia (6) cele trei câmpuri si adunându-le, componenteleinverse se anulează si se obţine:

3b b u b v b w B1 cos p(1t )(8)

2În concluzie, o înfăşurare trifazată parcursă de un sistem simetric de curenţi produce

un câmp învârtitor cu o amplitudine de 3/2 ori mai mare decât cea a câmpului pulsatoriuprodus de o fază.

Ştim că viteza de rotaţie a acestui câmp este dată de relaţia: 2n1

1 1 (9)p60

Rezultă turaţia câmpului învârtitor, numită si turaţie de sincronism:

60f 1rot/minn1 (10)p

În aceste condiţii, rotorul maşinii este antrenat în mişcare de rotaţie, într-un sens.Schimbarea sensului de rotaţie, si deci a câmpului magnetic învârtitor, se face prinschimbarea succesiunii fazelor.

d. T.e.m. indusă de câmpuri magnetice învârtitoareFluxul fascicular produs de un câmp învârtitor de inducţie B 1 printr-o spiră plană de

arie A este dat de relaţia AB1 cos , în care este unghiul dintre normala la planulspirei si direcţia inducţiei magnetice. În cazul unui câmp magnetic învârtitor cu viteza



unghiulară relativă 2 fată de spiră, unghiul electric este p r p 2 t 2 t , iarexpresia fluxului prin spiră devine:

(11) cos 2 tConsiderăm o înfăşurare cu w spire. Fluxul total dat de cele w spire este:

wk w cos 2 t cos 2 t(12)unde k w 1 este factorul de înfăşurare (care tine seama de repartizarea si deschiderea

spirelor).T.e.m. indusă de fluxul în înfăşurarea de fază are valoarea (conform legii

inducţiei electromagnetice): d

2 wk w sin 2 t 2 wk w cos2 t (13)edt2

si este decalată cu /2 în urma fluxului. Valoarea efectivă a acestei t.e.m.: wk

2f 2 wk w 4,44f 2 wk w (14)E 2 w

2care se deosebeşte de cea întâlnită la transformatoare numai prin factorul de înfăşurare,kw .

Considerând câmpul învârtitor cu viteza unghiulară 1 fată de stator si înfăşurarea încare se induce t.e.m. pe o armătură care are, tot fată de stator, viteza , rezultă

2 1 si pulsaţia corespunzătoare 2 p 2 p(1 ) 1 . Se consideră că este pozitiv când are acelaşi sens cu 1 si negativ când are sens opus.

Cu aceste precizări relaţia (II.2.13) poate avea forma:e (1 ) wk w sin(1 ) t(15)

12.2. Maşina asincronă

Maşina asincronă este cea mai răspândită maşină electrică. Ea se întâlneşte pe scaralargă în acţionările electrice din toate sectoarele industriale si sociale, îndeosebi înregimulde motor trifazat, pentru acţionarea maşinilor unelte, a pompelor, a compresoarelor, amorilor cu bile, a macaralelor electrice, a podurilor rulante, a aparaturii medicale, aaparaturii electrocasnice etc.

Motoarele asincrone se construiesc pentru o gamă foarte largă de puteri (de laordinulunităţilor de W până la ordinul zecilor de MW), pentru tensiuni joase (sub 500V) sitensiuni medii (3 kV, 6 kV sau 10 kV) si având turaţia sincronă la frecventa f=50Hz egală

cu 500, 600, 750, 1000, 1500 sau 3000 rot/min, în funcţie de numărul de perechi de poli.Principalele avantaje ale motoarelor asincrone fată de alte tipuri de motoare electricesunt: simplitate constructivă, preţ de cost redus, siguranţă mare în exploatare, cuplumarede pornire, randament ridicat, stabilitate în funcţionare, exploatare, manevrare si întreţineresimplă, alimentare direct de la reţeaua trifazata de c.a.

Dintre principalele dezavantaje putem enumera socul mare de curent la pornire,factor de putere relativ scăzut, caracteristică mecanică dură.a. Elemente constructive ale maşinii asincrone.

Maşina asincronă constă dintr-o armatură statorică, numită stator si o armaturărotorică numită rotor.

Statorul, format din unul sau mai multe pachete de tole, are în crestături o înfăşurare

monofazată sau trifazată care se conectează la reţea si formează inductorul maşinii (fig.4.a).



Fig. 3. Maşina asincronă cu rotorul bobinat1 - inele colectoare; 2 – suport port-perii; 3 – inel de ridicare; 4 – tole statorice; 5 –carcasă; 6 –

înfăşurare statorică; 7 – înfăşurare rotorică; 8 – ventilator; 9 – scut; 10 – tole rotorice.

a b

Fig. 4. Stator maşină asincronă si înfăşurarea în colivie arotorului

Rotorul este format tot din pachete de tole, dar în crestături poate avea o înfăşuraretrifazată conectată în stea, cu capetele scoase la trei inele sau o înfăşurare în scurtcircuitdetipul unei colivii (fig. 4.b). De aceea, după forma înfăşurării rotorului, maşinile asincronese mai numesc maşini asincrone cu inele si maşini asincrone cu rotorul în scurtcircuit.Înafara acestor părţi, maşina mai are, în funcţie de destinaţie, de tipul de protecţie lapătrunderea apei si a corpurilor străine în maşină, de forma constructivă, de sistemul derăcire, de putere si tensiune, o serie de elemente constructive, dintre care o parte suntdatesau pot fi observate în fig. 3.

Întrefierul este spaţiul liber rămas între miezul feromagnetic al rotorului si miezulstatoric. Lăţimea întrefierului la maşina asincronă se consideră constantă si are o valoarefoarte mică (0,1…2mm) pentru un consum de curent de magnetizare cât mai redus,respectiv a unui factor de putere ridicat.

Simbolurile convenţionale si înfăşurările maşinilor electrice asincrone sunt date infig. 5.

a b cdSteaFig. 5. Simbolizarea maşinilor electrice

Triunghi



b. Principiul de funcţionare al motorului asincronMotorul asincron trifazat primeşte energie electrică de la reţeaua de c.a. prin

conectarea statorului la aceasta, energie pe care o converteşte în energie mecanicăfurnizatăla axul rotorului. Dacă înfăşurarea statorică se conectează la o reţea de c.a. trifazat, detensiune si frecventă corespunzătoare, ea va fi parcursă de un sistem de curenţi care vorproduce în întrefier un câmp magnetic învârtitor cu viteza unghiulară 1 . Dacă armăturarotorică are în acel moment viteza unghiulară , într-o înfăşurare de fază a ei, devenită înfăşurare secundară, se induce o t.e.m. (relaţia 15):

e 2 (1 ) wk w 2 cos(1 ) t 2 wk w 2 cos 2 t(16) în care 2 este pulsaţia t.e.m. induse iar 2 este viteza relativă dintre câmpul inductorsirotor.

Dacă înfăşurarea rotorică este închisă (pe o rezistentă sau chiar în scurtcircuit), eavafi parcursă de curenţi, care, la rândul lor, produc un câmp învârtitor de reacţie cu o vitezăunghiulară fată de înfăşurarea care l-a produs: 2 2 1 1 (17)

ppFată de stator, câmpul de reacţie are viteza unghiulară:

2 (1 ) 1(18)adică, indiferent de turaţia rotorului, câmpul inductor si cel de reacţie au aceiaşi vitezarelativă fată de stator. Deci cele două câmpuri sunt fixe intre ele si se pot însuma, dânduncâmp rezultant în întrefier. Prin interacţiunea dintre acest câmp si curenţii din înfăşurăriseexercită între cele două armături un cuplu electromagnetic. Relaţia (16) arată că în înfăşurarea sunt curenţi, deci se poate exercita un cuplu, numai dacă e2 0 adică

1 .

În acest caz se spune că se poate exercita un cuplu numai dacă rotorul alunecă fată decâmpul învârtitor inductor. Acesta alunecare, în valori relative, este definită de relaţia: n1 n 1 2 f 2 (19)s 1

111 f 1n1

unde 2 n / 60 si 2 f , f fiind frecventa.

Motoarele asincrone de construcţie normala au în mod uzual alunecări nominalecuprinse între (1 5)% . Acest lucru arată că la frecventa statorică industrială, f 50Hz ,frecventa curenţilor rotorici va fi, conform relaţiei (19), (0,5-2,5)Hz, deci, o frecventăfoarte joasă, ceea ce ne permite sa consideram pierderile în fier din rotor practic nule.

De asemenea valoarea efectiva a t.e.m. indusa în rotor depinde de alunecare.Astfel la pornire (s=1) ea are expresia:

E 2 4,44w 2 k w 2f 2 m(20)iar în regim staţionar corespunzător alunecării s:

E 2s 4,44w 2 k w 2sf 1m sE 2(21)De exemplu dacă o maşină asincronă are la pornire (s=1), o t.e.m. indusă rotorică

E 2 100V , atunci la o valoare uzuală a alunecării nominale (ex. s=2%), ea va aveavaloarea E 2 0,02 100 2V .

Pornind de la alunecare se pot defini regimurile de funcţionarea ale maşiniiasincrone. Ştim că turaţia relativă n 2 a rotorului fată de câmpul magnetic învârtitorinductor produs de stator este n 2 n1 n .

Atunci când turaţia rotorului n 0, n1 , deci s 0,1 , t.e.m. indusă în conductoarelerotorului produce curentul I 2 , iar forţa produsă de acest curent care acţionează asupraconductoarelor are tendinţa să accelereze rotorul către turaţia n 1 a câmpului magnetic



învârtitor. În acest caz, maşina primeşte energie electrică de la reţea si dezvoltă la arboreun cuplu mecanic, funcţionând în regim de motor.

Dacă turaţia motorului este n n1 , deci n 2 0 si s 0 , t.e.m. indusă îşi schimbăpolaritatea, deci si I 2 , iar forţa se opune creşterii turaţiei n a rotorului. Deci pentrumenţinerea acestei turaţii trebuie ca maşina să primească energie mecanică pe laarbore. În

acest caz maşina primeşte energie mecanică si dă energie electrică, funcţionând în regimdegenerator.

Când rotorul este rotit în sens invers câmpului magnetic învârtitor inductor, deci arefatăde acesta turaţia n 2 n1 n si alunecarea s 1 , t.e.m. indusă produce curentul I 2 , iarforţaprodusă de acest curent are sens opus fată de turaţia rotorului n. În acest caz maşinaprimeşte energie mecanică pe la arbore să menţină turaţia n în sensul forţei si energieelectrică de la reţea să aducă rotorul către turaţia de sincronism, maşina funcţionând înregim de frână.

În funcţionarea maşinilor asincrone sunt întâlnite toate regimurile de funcţionare

arătate, dar regimul de bază este cel de motor, când alunecarea s 0,1 .b. Ecuaţiile de funcţionare si schema echivalentăConsiderăm o maşină asincronă trifazată, alimentată la o sursă trifazată simetrică

defrecventă f 1 si valoarea efectivă a tensiunii U 1 . Se presupune ca maşina funcţionează într-un regim electromagnetic staţionar, nu are pierderi în miezul feromagnetic. Circuitulrotoric se consideră scurtcircuitat sau închis pe un reostat simetric (fig. 6.) unde s-aufăcutnotaţiile:R 1 , R 2 - rezistentele pe fază ale înfăşurării statorului, respectiv, rotorului;X d1 2f 1L d1 , X d 2 2f 1L d 2 - reactanţele de dispersie ale circuitelor statoric respectiv

rotoric considerate la frecventa f 1 a curenţilor din stator, inductivităţile de dispersie fiindpresupuse constante;- i 1 , i 2 – curentul de fază din înfăşurarea statorică respectiv rotorică;- u1 U1 2 sin 1t - tensiunea la bornele unei faze primare;- - fluxul fascicular produs de câmpul magnetic rezultant din întrefier.

Fig. 6. Schema maşinii asincrone trifazate

Ecuaţiile tensiunilor pentru două faze omoloage se deduc ca si ecuaţiiletransformatorului monofazat, având aceiaşi formă, cu deosebirea că U 2 0 , înfăşurarearotorică fiind în scurtcircuit:

U1 R1 I1 jX d1 I1 E1 Z1 I1 E1

(22)0 R 2 I 2 jX d 2 I 2 E 2s Z2s I 2 E 2s



Dacă ecuaţiile (22) sunt formal asemenea, ca fond diferă mult. Astfel câmpul învârtitor de la maşina asincronă are fată de înfăşurarea rotorică pulsaţia 2 p 2 . Totodată, t.e.m. induse de fluxurile utile în cele două înfăşurări au relaţiile:

j

E1 1 w1k w1 j 2f 1w1k w1

2

(23)j2

E 2s w 2 k w 2 j 2f 2 w 2 k w 2 s E 2

2unde k w1 si k w2 sunt factorii de înfăşurare, 2 s1 iar E 2 este t.e.m. indusă când n=0,s=1si f 2 =f 1 (rotor calat).

Dacă în relaţiile (22) se înlocuieşte E 2s sE 2 din relatia (23) si X d 2s s1L d 2 , apoise împarte cu s 0 , se obţine:

R0 2 I 2 jX d 2 I 2 E 2 Z2 I 2 E 2(24)

s

Această ecuaţie corespunde unui rotor echivalent si conduce la o maşinăechivalentă,la care tensiunile si curenţii din stator si rotor au aceiaşi frecventă ca la transformator,darapare rezistenta rotorului variabilă cu alunecarea s, definită de relaţia (19) care si care sevalua ca parametru

c. Bilanţul puterilor, randamentul si factorul de putereFăcând bilanţul puterilor active, se obţine, la fel ca la transformator, pentru motorul

trifazat:P1 P2 PCu1 PCu 2 PFe Pm(25)

iar diagrama de bilanţ este prezentată în fig. 7.

Fig. 7. Diagrama de bilanţ a maşinii asincrone

unde:

- P1 3U f If cos 3UI cos

- puterea activă absorbită de motor de lareţea;2- PCu1 m1R1I1 - pierderile în cuprul statorului (prin efect Joule), m 1 fiind numărul

de fazeal înfăşurării statorice;- PFe P T PH - pierderi active în fierul statorului: P T fiind pierderile datorate curenţilorturbionari iar PH - pierderile datorate histerezisului magnetic;- P P1 PCu1 PFe - puterea electromagnetica a maşinii care se transmite din stator în rotorla nivelul întrefierului prin câmpul magnetic învârtitor rezultant;- PCu 2 m 2 R 2 I 2 - pierderile active din cuprul rotorului, m 2 fiind numărul de faze al2 înfăşurării rotorice;- Pm - pierderile mecanice (prin frecări în lagăre si prin frecarea rotorului si a ventilatorului

de pe ax cu aerul);



- PM P PCu 2 - puterea mecanica totală dezvoltată de motor;- P2 - puterea mecanică utilă la axul motorului.

Din punct de vedere al bilanţului de puteri reactive motorul asincron este un receptorohmic inductiv. Motorul preia putere reactivă relativ importantă de la reţea necesarămagnetizării miezului feromagnetic, deci creării câmpului magnetic din maşină.Randamentul motorului asincron va avea expresia:

PP2P2

2 (26)P1 P2 P P2 Pm PCu1 PCu 2 PFe1

Factorul de putere al motorului asincron cos , este totdeauna inductiv. Motorulasincroneste excitat de la aceeaşi reţea care îi furnizează si puterea activă.

d. Caracteristicile de funcţionare ale motorului asincronAprecierea posibilităţilor de utilizare a motorului asincron în acţionari electrice se

poate face utilizând caracteristica mecanică n=f(M) care reprezintă dependenta dintreturaţia motorului si cuplul electromagnetic dezvoltat de acesta.

Caracteristica cuplu-alunecare M=f(s) se obţine pe cale experimentală. Deducereape cale experimentala la bancul de încercări nu se poate face decât într-un domeniurestrâns. Forma caracteristicii M=f(s) în tot domeniul de variaţie a lui alunecării s sepoatededuce pe cale analitică exprimând relaţia cuplului într-o forma aproximativă,simplificată,adică:

2M m

M(27)ss mk

s mks

cunoscută sub numele de formula lui Kloss. Cu ajutorul acestei formule se poate explicauşor forma caracteristicii M=f(s) reprezentată în fig. 8. Astfel, pentru alunecări miciss

în comparaţie cu mk si expresia (27) devine:s s mk , se poateneglija termenul

s mks2M mk

Ms(28)s mk

adică dependenta dintre cuplu si alunecare se face după o hiperbolă echilateră (fig. 8).

Fig. 8. Caracteristica M=f(s) a motorului asincron

În domeniul s (0,1) maşina funcţionează în regim de motor (M>0, n>0); îndomeniul s (1, ) maşina funcţionează în regim de frâna electrica (M>0, n<0); în

domeniul s ( ,0) maşina funcţionează în regim de generator electric (M<0, n>n 1 ).



Porţiunea AB a caracteristicii este o porţiune instabilă de funcţionare a motoruluiasincron deoarece orice creştere a cuplului rezistent la axul maşinii va duce la creştereaalunecării si la scăderea cuplului electromagnetic dezvoltat.

Rezumând cele arătate mai sus putem afirma că motorul asincron funcţioneazăstabilsi cu randament superior în domeniul 0 s s mk .

Caracteristica mecanică rezultă din caracteristica cuplu-alunecare ţinând seama derelaţia liniară dintre turaţia n si alunecarea s, adică:

n n1 (1 s)(29)

Fig. 9. Caracteristica mecanică a motorului asincron

Ordonata la origine ( M 0 , s 0 ) corespunde sincronismului ( M 0 , n n1 ). Tăietura absciselor ( M M p , n 0 ) corespunde cuplului de pornire ( M M p , s 1 ).

Examinând expresia cuplului electromagnetic funcţie de alunecare se observă că sepoate schimba forma caracteristicii prin modificarea valorii efective a tensiunii de

alimentare, a frecventei tensiunii de alimentare si a rezistentei rotorice a motorului,caracteristicile astfel obţinute fiind prezentate în fig. 10.

bcFig. 10. Caracteristici motorului asincron laa – tensiune variabilă b – frecventă variabilă; c – rezistentă rotoricăvariabilă

a

Si pentru caracteristica mecanică n=f(M) se pot trasa cele trei familii de caracteristiciobţinute prin variaţia mărimilor U 1 , f 1 si R 2 , redate în fig. 11.

e. Pornirea motorului asincronAlegerea motorului si a modului de pornire depind de cuplul static rezistent al

mecanismului de antrenat si de curentul de pornire maxim admis pentru motor si pentrureţeaua de alimentare. Totodată pornirea trebuie să se facă fără şocuri periculoasepentruelementele transmisiei.



bcFig. 11. Caracteristici mecanică la

a – tensiune variabilă b – frecventă variabilă; c – rezistentă rotoricăvariabilă

a

e 1 . Pornirea motoarelor cu rotorul bobinatMotorul se poate porni la cuplul dorit prin introducerea de rezistente suplimentare în

circuitul rotorului.

Fig. 12. Caracteristici mecanică la pornirea motorului cu rotorulbobinat

Se limitează astfel curentul de pornire mărind rezistenta circuitului rotorului princonectarea în serie a unor rezistente exterioare. De obicei aceste rezistente suntreglabile în trepte care se scurtcircuitează succesiv pe parcursul procesului de pornire (fig. 12).Valoarea rezistentei se alege astfel încât la pornire motorul sa dezvolte un cuplu cât maiaproape de cuplul maxim.

e 1 . Pornirea motoarelor cu rotorul în scurtcircuitPornirea directă se face prin conectarea motorului direct la reţea acolo unde

reţelele de alimentare si mecanismele antrenate permit acest lucru. Această metodă seaplică motoarelor de puteri relativ mici, unde curentul de pornire este în limiteleI p (4 7)I N si M p (1,2 2,2)M N acestea fiind proprii pentru motor în parte, deputere

si turaţie.Reducerea tensiunii de alimentareMetoda se foloseşte în special la motoarele mari, prin introducerea în serie cu

statorul a unei bobine (fig. 13.a) sau a unui autotransformator (fig. 13.b).Caracteristicile sunt redate în fig. 10.a si fig. 11.a.După terminarea procesului de pornire, bobinele se scot din circuit.



a b cFig. 13. Pornirea motoarelor asincrone

d

Pornirea stea-triunghi se poate aplica motoarelor care au scoase cele sase capeteale înfăşurării statorice si care pot funcţiona în triunghi la tensiunea reţelei trifazate la

carese va cupla. Deci un motor cu tensiunea de lucru 220/380V se poate porni stea-triunghinumai la reţeaua trifazată cu tensiunea de linie de 220V. La pornire (fig. 13.c) seconectează întrerupătorul I 1 cu I 2 pe poziţia Y, înfăşurarea statorică se conectează înstea,astfel că intensitatea curentului fată de conexiunea triunghi va fi de trei ori mai mică,I pY I p/ 3 . După ce se ajunge în regim staţionar se conectează înfăşurarea statorică întriunghi. În acest fel tensiunea de fază aplicată statorului va creste de 3 ori, U 3U Y

deci cuplul electromagnetic va creste de trei ori (cuplul fiind proporţional cu pătratultensiunii de alimentare).

La comutarea în triunghi au loc salturi de curent si de cuplu, motorul trecând pe oaltă caracteristică de funcţionare (fig. 13.d).

Pornirea stea-triunghi se poate face numai în gol sau cu un cuplu static rezistent

redus, excluzându-se pornirile în plină sarcină.

f. Reglarea turaţiei motorului asincronPornind de la relaţia ce defineşte turaţia motorului asincron:

60f 1 n n1 (1 s) (1 s)(30)

preiese că acesta poate fi reglată prin schimbarea numărului de perechi de poli p, afrecventei tensiunii de alimentare f 1 si prin modificarea alunecării s (deci a rezistențeirotorice).

f 1 . Reglarea turaţiei prin schimbarea numărului de perechi de poli

Modificând numărul de perechi de poli p, se modifică în trepte viteza de sincronismsi deci viteza de rotaţie a motorului asincron.

Modificarea numărului de perechi de poli se poate face pe doua cai:- prin introducerea în crestăturile statorului a doua înfăşurări distincte cu număr diferit depoli, obţinându-se în acest fel două turaţii de sincronism diferite. Evident în acest caz,secţiunea crestăturilor va fi mai mare ducând la creşterea curentului de mers în gol si areactanţei magnetice de dispersie statorice. Ca urmare se obţin un factor de putere si unrandament scăzute.- prin realizarea înfăşurării statorice pe fiecare fază din doua secţiuni identice care printr-un comutator special pot fi conectate în serie sau în paralel, determinând astfelconfiguraţiicu p=2, respectiv p=1 (fig. 14.).



Fig. 14. Motor cu p=1 si p=2

f 2 . Reglarea turaţiei prin variaţia frecventeiModificarea frecventei tensiunii de alimentare se face cu convertizoare statice de

frecventă cu condiţia respectării constante a raportului U 1 /f 1 , aceasta pentru a menţine

unfactor de supraîncărcare constant si pentru a evita saturarea maşinii la frecvente joase.

Familia de caracteristici mecanice obţinută pentru diverse frecvente are un aspectfavorabil menţinând capacitatea de suprasarcină indiferent de viteză (fig. 15). Aceastametodă asigură o gamă largă de turaţii, o reglare fină, fără pierderi de energie.

Fig. 15. Familia de caracteristici mecanice la modificareafrecventei

f 3 . Reglarea turaţiei prin modificarea rezistentei rotoriceAceasta metodă de reglare se poate aplica numai motoarelor cu rotorul bobinat.

Introducerea de rezistente în serie cu înfăşurările de fază rotorice modifică crescătoralunecările critice aşa cum am văzut la pornirea motoarelor cu rotorul bobinat (paragraf d).

Reostatele de reglare cu rezistente în trepte sunt asemănătoare cu cele de pornire,

dardestinate pentru o funcţionare de lungă durată.

Prin introducerea în rotor a rezistentelor suplimentare se poate regla viteza în jos fatăde cea sincronă în limite largi, cu scăderea rigidităţii caracteristicii. Fineţea reglajuluidepinde de numărul treptelor reostatului de reglare.

Dezavantajele metodei constau în:- eficientă economică slabă datorită pierderilor mari prin efect termic pe rezistenteleexterioare;- necesitatea dimensionării speciale a reostatului de reglare pentru stabilirea regimuluitermic, fapt ce îi măreşte costul;

Cu toate aceste dezavantaje reglarea turaţiei motoarelor asincrone cu ajutorulreostatelor rotorice este larg utilizată în practică datorită în special simplităţii ei si mai

alesla acţionarea mecanismelor de ridicat (macarale, poduri rulante) care nu necesită unreglajcontinuu de turaţie si care funcţionează în regim intermitent.



g. Frânarea motorului asincronRegimul de frână este regimul în care maşina primeşte putere electrică din reţeaua

dealimentare trifazată şi putere mecanică pe la arbore transformând-o în căldură prin efect Joule. Maşina asincronă intră în regim de frânare atunci când cuplul electromagneticdezvoltat este de sens opus sensului său de rotaţie. În acest caz alunecarea devine:

n ns 11

n1

g 1 . Frânarea propriu-zisăConstă în înserierea de rezistente în circuitul rotoric cu sau fără inversarea sensului

succesiunii fazelor.În cazul introducerii doar a rezistentelor suplimentare maşina îşi păstrează sensul de

rotaţie al câmpului învârtitor dar îşi schimbă sensul de rotaţie a rotorului. Din acest punctde vedere se mai numeşte si frânare contracurent.

Schimbarea sensului de rotaţie a rotorului poate fi făcută forţat de către maşina delucru cu care este cuplat motorul (la macarale când sarcina este prea mare si începe săcoboare), sau lucrând pe o caracteristică mecanică artificială corespunzătoare rezistentei

suplimentare înseriate în rotor (fig. 16).

Fig. 16 Fig. 17

În punctul N maşina funcţionează ca motor. Pentru frânare se introduce o rezistentasuplimentară în rotor R s4 astfel încât motorul trece in punctul de funcţionare N” samd.

Frânarea propriu-zisă prin inversarea sensului de succesiune a fazelor se foloseşte înacţionările electrice pentru frânarea rapida a mecanismului antrenat. În acest scop se

inversează două faze de la reţeaua de alimentare si, simultan, se introduc în rotorrezistentesuplimentare pentru limitarea curentului rotoric.

Iniţial maşina funcţiona în regim de motor, corespunzător punctului N (fig. 17).Inversând două faze si înseriind rezistenta R s în rotor, punctul de funcţionare va saribruscdin N în N' corespunzător noii caracteristici mecanice. În acest punct de funcţionaremaşinalucrează în regim de frâna propriu-zisă, cuplul electromagnetic dezvoltat fiind de sensinvers si acţionând în sens invers cuplului de inerţie al maselor în muscare ale instalaţiei.

În scurt timp punctul de funcţionare va ajunge în N'' corespunzător turaţiei n=0 sicuplului M' s =-Mr.

Dacă în acest punct se scurtcircuitează rezistenta suplimentara, R s punctul defuncţionare se va deplasa rapid în N''' corespunzător turaţiei n' 2 =- n 2 si cuplului M' s = -M r ,



adică corespunzător regimului de motor sens stânga (considerând regimul iniţial motorsens dreapta).

Aceasta metoda se mai numeşte si frânare prin contraconectare si are o largăaplicaţieatât pentru inversarea sensului de rotaţie al motorului cât si pentru oprirea sa completă.

g 2 . Frânarea cu recuperare de energieÎn acest mod de frânare maşina trece din regim de motor în regim de generator.Astfel cuplul electromagnetic devine negativ (de frânare), iar turaţia la ax devine

n nsuprasincronă (alunecarea s 1 0 devenind negativă pentru n n1 ). Pentru a trece

n1

în acest regim se impune ca maşina să primească energie mecanică la ax, energie caresetransformă în energie electrică si care prin stator este recuperată în reţea.

Acest mod de frânare este reprezentat în fig. 18 pe caracteristica mecanicănaturală.Punctul de funcţionare N, sub acţiunea unui cuplu de sarcină de acelaşi sens cu cuplul

electromagnetic dezvoltat, va trece în domeniul turaţiilor suprasincrone, cuplulelectromagnetic dezvoltat schimbându-si sensul (N') devenind astfel un cuplu de frânare.

Fig. 18.

Asemenea mod de frânare îl întâlnim frecvent în tracţiunea electrică când vehicululcoboară o pantă, componenta tangenţială a greutăţii sale antrenând rotorul motorului laviteze suprasincrone, sau la macarale când se coboară sarcina.

g 3 . Frânarea fără recuperare e energie (frânarea dinamică)Acest tip de frânare numit si frânare dinamică se obţine prin trecerea motorului în

regim de generator asincron pe reţea proprie.Acest lucru se realizează prin deconectarea statorului de la reţeaua de curent

alternativ si prin alimentarea sa de la o reţea de curent continuu (prin deschiderea

întrerupătorului K 1 si închiderea întrerupătorului K 2 din fig. 18). Curentul continuuparcurgând fazele statorului, produce la periferia interioara a statorului un câmpmagneticfix, alternativ în spaţiu si constant în timp. Pentru rotorul maşinii care continua sa serotească, acest câmp reprezintă un câmp învârtitor, având viteza relativă fată de acesta.



Fig. 19

În fazele rotorului se vor induce t.e.m. care vor produce la rândul său curenţialternativi. În rezistentele fazelor rotorice se va consuma în scurt timp prin efect Joule întreaga energie cinetică acumulată în masele în mişcare ale instalaţiei care se va frânapână se va opri.

Date post:	11-Jul-2015
Category:	Documents
Upload:	georgel-tudose
View:	153 times
Download:	0 times

ElectrotehnicasiMasiniElectrice Curs

Documents