· dezvoltare progresivă s-a ajuns la formularea şi rezolvarea unor probleme de natură...

REZOLVAREA ECUAŢIILOR ALGEBRICE

DE GRAD SUPERIOR

xn + a1xn-1 + ... + an

= 0

Editura Paralela 45

Daniela MANEA

Daniela Manea

REZOLVAREA ECUAŢIILOR ALGEBRICE

DE GRAD SUPERIOR

Referent ştiinţific: lect.univ.dr. Eduard Asadurian

Corectură: Daniela Manea

Editor: Călin Vlasie

ISBN: 978-973-47-1903-7

Copyright © Editura Paralela 45, 2016, pentru prezenta ediţie

Daniela Manea

REZOLVAREA ECUAŢIILOR ALGEBRICE DE GRAD SUPERIOR

Daniela Manea Introducere

5

Introducere

Matematica este o permanenţă în viaţa noastră, în conversaţiile noastre, toate obiectele

care ne atrag atenţia îşi exprimă funcţia sau frumuseţea prin forme, volume, proporţii. În

matematică găsim mereu combinări neaşteptate şi ingenioase de idei, de adevăruri, de rezultate.

Matematica a pătruns ca aerul în toate formele vieţii moderne.

De la problemele practice cu primele numere inventate de omul primitiv, printr-o

dezvoltare progresivă s-a ajuns la formularea şi rezolvarea unor probleme de natură abstractă,

teoretică, matematica devenind, după cum spunea Gauss, regina ştiinţelor.

În dezvoltarea istorică a matematicii, după numere, egalităţile constituie una din primele

cuceriri ale acestei ştiinţe. Ele apar la egipteni (aşa cum atestă Papirusul lui Ahmes) cu 2000 de

ani î.e.n.. Babilonienii, deşi nu foloseau simboluri algebrice, rezolvau totuşi probleme algebrice,

prin procedeul introducerii unei necunoscute ajutătoare.

Termenul de ecuaţie – egalitatea între două expresii, conţinând elemente de aceeaşi

natură, dintre care unele sunt cunoscute, iar altele necunoscute, adevărată numai atunci când

elementele necunoscute sunt înlocuite cu anumite elemente numite soluţii – a fost folosit iniţial

de către L. Fibonacci.

Ecuaţia algebrică este ecuaţia ce poate fi adusă la forma P 0= , unde P este un polinom

cu una sau mai multe nedeterminate, care sunt necunoscutele ecuaţiei.

În secolul al IX-lea, Muhammed al-Horezmi, în lucrarea sa ,,Carte scurtă despre

calculul al-djabr şi al-mukabala”, a făcut o clasificare a ecuaţiilor şi le-a rezolvat, folosind cele

două operaţii, al-djabr (trecerea termenilor cu semn schimbat dintr-un membru în altul) şi al-

mukabala (reducerea termenilor asemenea), operaţii fundamentale pe atunci în rezolvarea

ecuaţiei de gradul I şi II. Până în secolul al XVI-lea, problema rezolvării ecuaţiilor algebrice

apărea ca ceva foarte complicat, rezolvarea lor ducând la alte numere necunoscute. Chiar ecuaţia

de gradul I ducea la efectuarea unei împărţiri considerată ca o operaţie foarte grea. Şi mai

anevoioasă a fost rezolvarea ecuaţiei de gradul II, ce necesită o extragere de rădăcină pătrată.

Începând cu secolul al XVI-lea, a crescut interesul europenilor pentru găsirea unor

metode generale de rezolvare a ecuaţiilor algebrice. Rezolvarea ecuaţiilor algebrice de grad mai

mare sau egal cu 5 a fost mereu în atenţia matematicienilor, dar abia la începutul secolului al

XIX-lea a fost demonstrată de către Abel şi Ruffini imposibilitatea găsirii unor formule de

rezolvare pentru ecuaţiile de grad mai mare sau egal cu 5.

Daniela Manea Introducere

6

Lucrarea de faţă îşi propune analiza rezolvării ecuaţiilor algebrice de grad superior,

concretizând prin exemple metodele descrise. Ea este structurată pe trei părţi.

Prima parte cuprinde un scurt istoric al evoluţiei rezolvării ecuaţiilor algebrice şi

detaliază câteva metode de rezolvare a ecuaţiilor de grad mai mic sau egal cu 4.

A doua parte tratează tipuri de ecuaţii de grad mai mare sau egal cu 5, rezolvabile prin

radicali.

A treia parte prezintă câteva consideraţii metodice asupra predării ecuaţiilor algebrice în

gimnaziu şi liceu, precum şi o serie de exerciţii şi probleme ce propun rezolvarea unor tipuri de

ecuaţii algebrice, folosind diverse metode.

Lucrarea este însoţită de o bibliografie completă, pentru ca cititorul interesat, să-şi

însuşească mai bine partea teoretică la care se referă exerciţiile şi problemele, simultan cu

deprinderile de aplicare.

Consider că această lucrare poate fi un bun suport didactic în activitatea de la catedră.

Aduc mulţumirile mele domnului lect.univ.dr. Eduard Asadurian, coordonator ştiinţific

al lucrării, pentru observaţiile utile şi competente în structurarea şi definitivarea materialului

realizat.

Daniela Manea

Daniela Manea Rezolvarea ecuaţiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4

7

Capitolul 1. Rezolvarea ecuaţiilor algebrice de grad mai mic

sau egal cu 4

1.1. Preliminarii. Istoric

Matematica este o permanenţă în viaţa noastră, în conversaţiile noastre, toate obiectele

care ne atrag atenţia îşi exprimă fiinţa sau frumuseţea prin forme, volume, proporţii. În

matematică găsim mereu combinări noi, neaşteptate şi ingenioase idei, adevăruri şi rezultate.

Matematica a pătruns ca aerul în toate formele vieţii moderne. De la problemele practice cu

primele numere inventate de omul primitiv, printr-o dezvoltare progresivă s-a ajuns la

formularea şi rezolvarea unor probleme de natură abstractă, teoretică, matematica devenind,

după cum spunea Gauss, regina ştiinţelor.

Ecuaţiile algebrice cu o singură necunoscută reprezintă astăzi un domeniu de mare

importanţă. În toate ramurile ştiinţei şi tehnicii ne întâlnim cu ecuaţii algebrice de diferite tipuri.

La început, în antichitate, ecuaţiile algebrice nu constituiau un domeniu demn de atenţia

învăţaţilor vremii. Ecuaţiile apăreau în schimb în diverse probleme de geometrie, mecanică,

astronomie. Apoi, în mod neaşteptat, algebra, care la prima vedere pare atât de aridă, a oferit

palpitante aventuri, în special în domeniul acesta, al rezolvării ecuaţiilor algebrice.

Papirusurile egiptene, care datează din antichitate, conţin un număr de 110 probleme de

matematică, printre ele fiind şi unele care conduceau la ecuaţii de gradul I.

Mergând mai departe, babilonienii acordau o atenţie mai mare ecuaţiilor. Astfel, una din

problemele babiloniene conducea la ecuaţia 1

x ax

+ = , cu soluţia 2

a ax 1

2 2

æ ö÷ç= + -÷ç ÷çè ø.

Este important să subliniem faptul că aceste probleme erau formulate în cuvinte şi că de

cele mai multe ori, rezultatele erau date fără explicaţii. Istoricii de mai târziu au încercat să

reconstituie modul de gândire şi să redea într-o formă cunoscută nouă soluţiile date problemelor

respective.

Babilonienii s-au mai întâlnit şi cu probleme care conduceau la ecuaţii de grad mai

mare, ca de exemplu 3 2x x a+ = . Pentru a suplini lipsa unei formule, ei alcătuiau tabele cu

ajutorul cărora aproximau pe x .

În acele timpuri, un rol deosebit în dezvoltarea matematicii l-au avut matematicienii şi

filozofii Greciei antice. Ei au făcut o descoperire foarte importantă, şi anume descoperirea


8

incomensurabilităţii, adică a imposibilităţii de a exprima raportul a două segmente oarecare

printr-un raport de numere intregi. Pentru a evita aceste cazuri neplăcute a luat fiinţă ,,algebra

geometrică”. Aceasta furniza căile de rezolvare ale diferitelor ecuaţii liniare sau de gradul II cu o

singură necunoscută.

Problema ecuaţiilor rămânea totuşi o mare necunoscută: pe lângă limitele de cunoaştere,

mai existau şi greutăţile create de lipsa unei simbolizări adecvate, lipsă care obliga formularea

,,verbală” a problemelor respective.

Matematica datorează lui Diofant din Alexandria1 (sec. III d. Hr.) prima încercare

sistematică de folosire a unei notaţiii algebrice consecvente. În ,,Aritmetica” sa, el se consacra în

mod deosebit studiului ecuaţiilor diofantice, adică a ecuaţiilor nedefinite cu două necunoscute şi

de diferite ordine.

În ceea ce priveşte ecuaţiile cu o singură necunoscută, Diofant considera ecuaţiile de

gradul I şi II şi numai o singură ecuaţie de gradul III şi anume: 3 2 2x 3x 3x 4 x 2x.+ - - = +

Să trecem acum pe alte meleaguri. În îndepărtata Chină, matematicienii s-au ocupat în

mod preferenţial de rezolvarea ecuaţiilor algebrice. Matematicienii chinezi inventează şi

perfecţionează o metodă rapidă de extragere a rădăcinilor de diferire ordine, metodă pe care au

aplicat-o intensiv la rezolvarea ecuaţiilor. Ei aduc contribuţii însemnate în acest domeniu, deşi ei

n-au căutat formule generale pentru ecuaţiile de ordin superior. Metodele lor de calcul erau

suficient de bune în cazul ecuaţiilor ,,incomode” şi, spre deosebire de metodele ,,prin radicali”,

ele se puteau aplica la ecuaţii de orice ordin.

Trebuie spus că matematicienii chinezi rezolvau curent ecuaţii de gradul I şi II, precum

şi ecuaţii binome de gradul III, şi reuşiseră să inventeze substituţiile pe care azi le cunoaştem sub

numele de Horner, şi anume x ky= şi y p z= + , cu ajutorul cărora se transformă în mod

convenabil ecuaţiile de ordin superior.

Urmărind firul roşu al rezolvării ecuaţiilor, poposim acum pe meleagurile Orientului

arabo- persan. Orientul a jucat un rol însemnat în dezvoltarea matematicii. În afară de contribuţia

învăţaţilor arabi, persani, uzbeci etc. în acest domeniu, ei au avut o misiune istorică, pentru că au

păstrat şi transmis mai departe în timp, cuceririle ştiinţifice ale lumii antice.

Rolul învăţaţilor din ţările arabe în dezvoltarea algebrei a fost deosebit. În această

ordine de idei este bine să amintim că termenul de „algebră” provine din limba arabă. Al-

Horezmi, unul din învăţaţii privilegiaţi din Academia lui al-Mamun , a scris o lucrare intitulată

1 [1] Viorel Gh. Vodă, Surprize în matematica elementară, Editura Albatros, Bucureşti, 1981, pg. 21-22.


9

„Al kitab al-muhtasar fi hisab al-djabr va-l-mukabala” în care apare pentru prima oară cuvântul

algebră.

Omar Khayyam2 (1048-1131), probabil cea mai strălucită minte a lumii orientului din

acele vremuri, întrebuinţa în mod curent denumirea ,,al-djabr” pentru întreaga disciplină a

ecuaţiilor. El a elaborat o adevărată teorie despre ecuaţiile de gradul III şi face pentru prima oară

aluzia că ecuaţiile de gradul III nu se pot rezolva în general cu ajutorul riglei şi compasului. Abia

în 1637, René Descartes reafirmă din nou această idee, pe care abia două secole mai târziu, tot

un matematician francez, P.L. Vantzel, reuşeşte să o demonstreze în mod riguros.

În afară de aceeasta, Khayyam îşi pune problema rezolvării ecuaţiei de gradul III în mod

asemănător ecuaţiei de gradul II (deci prin radicali), dar nu reuşeşte acest lucru.

El însă realizează o clasificare a ecuaţiilor, construcţia geometrică a rădăcinilor şi

determinarea numărului şi a limitelor soluţiilor pozitive. Iată un exemplu de ecuaţie de gradul III,

rezolvată de Khayyam cu ajutorul metodelor geometrice: 3 2 2x p x p q+ = . El se foloseşte de

cercul 2 2x y qx+ = şi de parabola 2x py= pe care le scrie sub forma p x

x y= şi

x y

y y x=

- de

unde 2

2

p x

x q x=

- sau 2 3 3 2 2p (q x) x x p x p q- = + = . Punctul de intersecţie a celor două

curbe dă soluţia pozitivă a ecuaţiei.

Nici cei ce au urmat lui Omar Khayyam, o bună bucată de vreme nu au reuşit să ajungă

la o rezolvare completă a ecuaţiei de gradul III. S-au rezolvat enorm de multe cazuri particulare,

s-au dat numeroase şi ingenioase soluţii geometrice.

Totuşi, nu aceasta era ceea ce se dorea; atracţia unei formule generale era din ce în ce

mai puternică.

Trecerea timpului ne poartă acum paşii spre Italia medievală a începutului de secol al

XVI-lea. Este epoca în care spiritul creator al omului cunoaşte o descătuşare de mari proporţii.

În această perioadă are loc şi rezolvarea prin radicali a ecuaţiei generale de gradul III.

Iată cum s-au petrecut lucrurile. Scipione del Ferro (1456-1526), profesor la

Universitatea din Bologna, reuşeşte între anii 1500-1515 să găsească regula generală de

rezolvare algebrică a ecuaţiei 3x px q+ = . Însă el nu divulgă metoda. Numai doi oameni au avut

acces la secretul său: ginerele şi succesorul său la catreda de matematici Annibale della Nave, şi

un elev de-al său, Antonio Maria Fior. Ultimul reţine descoperirea lui Scipione del Ferrro în

aşteptarea unei ocazii care să o pună în valoare.



10

În bătălia pentru soluţia generală, intră Niccolo Fontana zis Tartaglia (1500-1557),

matematician extrem de talentat al epocii respective.

În anul 1530, Zuanne de Tonini da Coi, de asemenea matematician al vremii, propune

lumii matematice de atunci rezolvarea unor ecuaţii particulare de tipul: 3 2x px q+ = ,

3 2x q px+ = , 3 2x px q= + .

Tartaglia rezolvă în timp record aceste probleme şi afirmă că a găsit şi soluţia generală.

La auzul acestor afirmaţii, Antonio Fior crede că a găsit momentul să îşi consacre gloria prin

formulele lui del Ferro. Ca urmare, în anul 1535 el provoacă pe Tartaglia la o mare dispută,

timiţându-i spre rezolvare ecuaţii de tipul: 3x px q+ = , 3x q px+ = , 3x px q= + , a căror

rezolvare el o ştia prin formulele lui Scipione del Ferro. Dar surpriză: Tartaglia rezolvă şi aceste

ecuaţii şi-i trimite la rândul său lui Fior ecuaţiile de tipul: 3 2x px q+ = , 3 2x q px+ = ,

3 2x px q= + , pe care însă Fior nu mai este capabil să le rezolve. Tartaglia afirmă acum că a

găsit procedeul general de rezolvare a ecuaţiilor de gradul III.

În aceste momente, intră în scenă Girolamo Cardano3 (1501-1576), spirit enciclopedic şi

matematician de geniu al epocii. În perioada disputelor publice dintre Tartaglia şi Fior, Cardano

lucra la un tratat imens de matematică numit ,,Ars Magna”, care a apărut în 1545. În 1539,

Cardano încearcă să-l convingă pe Tartaglia să-i comunice metoda de rezolvare pentru a o

include în ,,Ars Magna”. Conform istoriei, Tartaglia i-ar fi comunicat-o până la urmă lui

Cardano, dar cu rugămintea de a nu o publica.

În 1543, însoţit de elevul său preferat Lodovico Ferrari (1522-1561), Cardano soseşte la

Bologna pentru a examina manuscrisele lui Scipione del Ferro. Cei doi au aici o adevărată

surpriză: constată că, de fapt, del Ferro a fost primul care a reuşit să dea metoda generală de

rezovare pentru ecuaţia 3x px q+ = .

Astfel, în 1545 vede pentru prima oară lumina tiparului, metoda generală de rezolvare a

ecuaţiei de gradul III, Cardano citându-i pe toţi înaintaşii săi în acest domeniu. Şi după cum

spune şi istoricul sovietic al matematicii, A.P. Iuşkevici, “Cardano, el însuşi un matematician

talentat, nu s-a mărginit la a reproduce regulile lui Tartaglia. El a dat demonstraţiile acestora, a

arătat cum se reduc ecuaţiile cubice complete la ecuaţii cubice numai cu trei termeni; lui îi

aparţine prima întrebuinţare a soluţiilor imaginare a ecuaţiilor pătratice. În opera sa, Cardano

expune de asemenea şi metoda de reducere a rezolvării ecuaţiei de gradul IV la rezolvarea unei



11

ecuaţii de gradul III, metodă găsită de elevul său, Lodovico Ferrari.” (,,Hrestomatia po Istorii

Matematiki”, 1976, Moskva).

Acum câte ceva despre rezolvarea grafică a ecuaţiei de gradul III. Încă de acum multe

secole în urmă, metodele grafice erau preferenţiale în rezolvarea ecuaţiior de diferite tipuri. Ceva

mai târziu, teoria funcţiilor de o variabilă reală, combinată cu clasicele cunoştinţe asupra

conicelor, a devenit un mare ajutor în această problemă a rezolv.ării ecuaţiilor. Desigur că

rezolvarea grafică a unei ecuaţii este aproximativă, dar, ceea ce este important la această metodă,

este posibilitatea de a detecta numărul de rădăcini reale (şi implicit şi al celor complexe

conjugate), precum şi valoarea lor aproximativă.

Goana după radicali a continuat, din păcate însă fără success. N-au mai putut fi

rezolvate prin radicali decât ecuaţii particulare de grad mai mare decât patru. Aceste eforturi nu

au contenit decât atunci când s-a produs o adevărată cotitură în algebră.

Matematicianul francez de geniu, Evariste Galois (1811-1832), creează bazele teoriei

moderne a structurilor algebrice (noţiunea de grup).

Norvegianul H. Abel (1802-1829) şi italianul Ruffini (1765-1832) atacă şi ei abordarea

dintr-un unghi nou al algebrei şi reuşesc, în final, să demonstreze un fapt extrem de important:

ecuaţiile algebrice generale de grad mai mare decât patru nu pot fi rezolvate prin radicali.

Acesta este sfârşitul ,,goanei după radicali”. Se deschide o nouă perioadă în dezvoltarea

algebrei. Cercetările încep acum să se concentreze asupra unor probleme ca: în ce condiţii există

rădăcini raţionale, metode de rezolvare aproximativă a ecuaţiilor de ordin superior etc.

Ecuaţiile algebrice au constituit un domeniu de atracţie şi pentru matematicienii români,

aceştia reuşind să aducă o contribuţie interesantă şi utilă. Reviste ca „Gazeta Matematică”,

„Revista Matematică din Timişoara”, „Pozitiva” şi altele, conţin o sumedenie de note şi articole

pe marginea rezolvării ecuaţiilor algebrice de diferite ordine.

Articolul dr. docent Marius Iosifescu4 din 1955, conţine, pe lângă elementele istorice, şi

cazul clasic de rezolvare a ecuaţiei de gradul III, pentru care se dă o metodă originală de reducere

a ecuaţiei complete de gradul III, 3 20 1 2 3a x 3a x 3a x a 0+ + + = , 0a 0¹ , la o ecuaţie binomă.

De asemenea, marele matematician Traian Lalescu5 a fost fost un talentat algebrist. În

domeniul ecuaţiilor algebrice, Lalescu deduce în 1914 limitele rădăcinilor reale ale ecuaţiei de

gradul III: 3x px q 0- + = .

4 [1] Viorel Gh. Vodă, Surprize în matematica elementară, Editura Albatros, Bucureşti, 1981, pg. 61-64

5 Ibidem, pg. 65.


12

Ceva mai târziu, Gheorghe Buicliu6, s-a ocupat de rezolvarea ecuaţiei algebrice de

gradul IV, găsind condiţiile în care ecuaţia generală 4 3 2f (x) x ax bx cx d 0= + + + + = se poate

pune sub forma sumei a două pătrate, ducând apoi la rezolvarea a două ecuaţii de gradul II.

Cam tot în aceeaşi perioadă, profesorul Theodor Angheluţă publică in ,,Gazetă” un

studiu relativ complet asupra aşezării în ordine naturală a rădăcinilor a două ecuaţii de gradul III.

Multe probleme interesante, legate de ecuaţiile de ordin superior, au fost dezbătute de

matematicienii noştri în studiul ecuaţiilor algebrice satisfăcute de laturile poligoanelor regulate.

Astfel, profesorul N.N. Mihăileanu dă, în G.M. nr. 7/1970, chiar un criteriu general de formare a

acestor ecuaţii.

1.2. Numere complexe exprimabile prin radicali

Considerăm formulele (expresiile algebrice) de forma

1 2 nR(t , t , ..., t ) , (1.1)

care conţin în afara simbolurilor de operaţii aritmetice (adunarea, înmulţirea, împărţirea), numai

semnele k (extragerea rădăcinii de ordinul k dintr-un număr complex).

Exemplul 1.1. 31 2 3t t t+ - este o formulă de forma (1.1.).

Fie 1 2 nR(t , t , ..., t ) o expresie algebrică de tipul (1.1). Când mărimilor 1 2 nt , t , ..., t

dăm valorile 1 1 2 2 n nt a , t a , ..., t a= = = , atunci 1 2 nR(a , a , ..., a ) are mai multe valori (un

număr finit).

Spunem că un număr complex z se exprimă prin radicali din numerele complexe

1 2 na , a , ..., a dacă există o expresie de tipul (1.1) astfel încât z să fie una din valorile lui

1 2 nR(a , a , ..., a ) .

Dacă 1 2 na , a , ..., a sunt numere raţionale arbitrare, atunci spunem simplu că z se

exprimă prin radicali.

Exemplul 1.2. a) z 1 i= + se exprimă prin radicali.

Într-adevăr, z 1 i= + este una din valorile lui R(1, 1)- , unde:

1 2 1 2R(t , t ) t t= + .

b) z 2 5 3= + - se exprimă prin radicali.

6 [1] Viorel Gh. Vodă, Surprize în matematica elementară, Editura Albatros, Bucureşti, 1981, pg. 66


13

Într-adevăr, z 2 5 3= + - este valoarea lui R(2, 5, 3) , unde:

1 2 3 1 2 3R(t , t , t ) t t t= + - .

Ce înseamnă a rezolva o ecuaţie prin radicali?

Considerăm ecuaţia algebrică de grad n 1³ cu coeficienţi complecşi:

n n 1

1 nx a x ... a 0-+ + + = . (1.2)

Presupunem, fără a restrânge generalitatea, că coeficientul lui nx este 1. Din teorema

fundamentală a algebrei rezultă că ecuaţia are n rădăcini complexe. Dar această teoremă nu

indică şi un procedeu de obţinere a celor n rădăcini.

Spunem că o rădăcină 0z a ecuaţiei (1.2) se exprimă prin radicali dacă există o

formulă de tipul 1 2 nR(t , t , ..., t ) astfel încât 0z să fie una din valorile expresiei

1 2 nR(a , a , ..., a ) , adică 0z se exprimă prin radicali din numerele complexe 1 2 na , a , ..., a . Dacă

orice rădăcină a ecuaţiei algebrice (1.2) se poate exprima prim radicali, atunci spunem că ecuaţia

(1.2) se rezolvă prin radicali.

Dacă există o formulă 1 2 nR(t , t , ..., t ) astfel încât pentru orice numere complexe

1 2 na , a , ..., a ecuaţia (1.2) are rădăcini exprimabile prin radicali prin intermediul expresiei

1 2 nR(t , t , ..., t ) , atunci vom spune că 1 2 nR(t , t , ..., t ) este formula de rezolvare a ecuaţiei de

gradul n .

Presupunem că rădăcinile ecuaţiei (1.2) se exprimă prin radicali prin intermediul

formulei 1 2 nR(t , t , ..., t ) , adică rădăcinile sale sunt o parte din valorile expresiei

1 2 nR(a , a , ..., a ) .

Problema care se pune este de a distinge din mulţimea acestor valori pe acelea care sunt

rădăcinile ecuaţiei date. Acest lucru se face pentru fiecare caz în parte.

În cele ce urmează ne propunem să arătăm că pentru n 2, 3, 4= se poate da un

procedeu de determinare a rădăcinilor ecuaţiei. Pentru n 1= ecuaţia 1x a 0+ = are rădăcina

1x a=- şi nu mai prezintă probleme.

1.3. Formule de rezolvare pentru ecuaţiile de gradul II şi III

1.3.1. Ecuaţia de gradul II

Fie ecuaţia n n 11 nx a x ... a 0-+ + + = .


14

Pentru n 2= avem 21 2 1 2x a x a 0, a , a+ + = Î . Această ecuaţie se poate scrie sub

forma:

2 22 2 2 22 1 1 1 1 1 1

1 2 2 2

a a a a a ax a x a 0 x a 0 x a

4 4 2 4 2 4

æ ö æ ö÷ ÷ç ç+ + + - = + + - = + = - ÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

22 21 1 21 1 1 1

2 2

a a 4aa a a ax a x a x

2 4 2 4 2

- - + = - =- - = .

Deci ecuaţia de gradul II este rezolvabilă prin radicali. Soluţiile sunt date de formula:

21 1 2a a 4a

x2

- -= . (1.3)

Exemplul 1.3. Să se rezolve ecuaţia: ( )2x x 1 i 0- + - = .

Avem (utilizând (1.3.)):

( )1 1 4 1 i 1 4i 3x

2 2

- - + -= = .

Cum ( ) 1 23 4i 1 2i x 1 i, x i- + = + = + =- .

1.3.2. Ecuaţia de gradul III. Natura rădăcinilor ecuaţiei de gradul III cu coeficienţi

reali

Fie ecuaţia

3 21 2 3x a x a x a 0+ + + = (1.4)

cu coeficienţi complecşi.

Înlocuim 1 1a ay x x y

3 3= + = - şi ecuaţia devine:

3 2

1 1 11 2 3

a a ay a y a y a 0

3 3 3

æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç- + - + - + = ÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø

2 3 23 2 21 1 1 1 1 1 2

1 1 1 2 3

a a a a a a ay 3y 3y a y 2a y a a y a 0

3 9 27 3 9 3 - + - + - + + - + =

2 33 1 1 1 2

2 3

a 2a a ay y a a 0

3 27 3

æ ö÷ç ÷ + - + + - + =ç ÷ç ÷çè ø.

Notăm 21

2

aa p

3- + = şi

31 1 2

3

2a a aa q

27 3- + = şi atunci ecuaţia devine:

3y py q 0+ + = . (1.5)


15

Deci rezolvarea ecuaţiei (1.4) revine la rezolvarea ecuaţiei (1.5). În concluzie, vom

căuta să indicăm o metodă de rezolvare pentru ecuaţia de gradul III de forma 3y py q 0+ + = .

Din teorema fundamentală a algebrei rezultă că ecuaţia (1.5) are trei rădăcini complexe.

Fie 0y una dintre aceste rădăcini.

Considerăm polinomul în nedeterminata u , ( ) 20 0

pf u u y u

3= - - . Fie ,a b rădăcinile

ecuaţiei ( )0f u 0= . Din relaţiile lui Viète obţinem: 0

py , =

3a+b= ab - .

Cum 0y este rădăcină, atunci 30 0y py q 0+ + = . Combinând relaţiile, obţinem:

( ) ( )3 3 2 2 3p q 0 3 3 p p q 0a+b + a+b + = a + a b+ ab +b + a+ b+ =

( )( )3 3 3 p q 0a +b + a+b ab+ + = .

Dar 3 p 0ab+ = . Atunci 3 3 qa +b =- .

Obţinem:

3 33 3

33 3

qq

p p3 27

ìì ïa +b =-ïa +b =- ïï ïïï ïí íï ïab=- a b =-ï ïï ïïî ïî

.

Deci 3a şi 3b sunt rădăcinile ecuaţiei 3

2 pt qt 0

27+ - = . Pentru această ecuaţie,

3 2 32 p q p

q 4 427 4 27

æ ö÷ç ÷D= + = +ç ÷ç ÷çè ø şi

2 3

2 3

1,2

q pq 2

q q p4 27t2 2 4 27

- += =- + . Cum 3

1ta = şi

32tb = , rezultă că

2 3

3q q p

2 4 27a = - + + şi

2 3

3q q p

2 4 27b= - - + .

Atunci:

2 3 2 3

3 30

q q p q q py

2 4 27 2 4 27= - + + + - - + .

Această ultimă formulă reprezintă formula lui Cardano7 de rezolvare a ecuaţiei de

gradul III. Rezultă că ecuaţia de gradul III este rezolvabilă prin radicali. Ţinând seama de faptul

că rădăcina cubică dintr-un număr complex are trei valori complexe, formula lui Cardano ne dă

şase valori complexe. Trebuie să distingem dintre aceste valori care sunt rădăcinile ecuaţiei (1.5).

Considerăm formulele lui a şi b .

7 [2] C. Năstăsescu, C. Niţă, Teoria calitativă a ecuaţiilor algebrice, Editura Tehnică, Bucureşti, 1979, pg. 105-107.


16

Fie 1a una dintre cele trei valori ale lui a date de formulele considerate. Dacă e şi 2e

sunt rădăcinile cubice nereale ale unităţii, atunci celelalte valori ale lui a sunt: 2 1a = ea ,

23 1a = e a .

Fie 1 2 3, ,b b b , valorile lui b date de formulele considerate. Avem: 2 1b = eb , 23 1b = e b .

Dar trebuie ca: p

3ab=- .

Să presupunem că 1b este valoarea corespunzătoare lui 1a , deci 1 1

p

3a b =- . Se vede că

( )( ) ( )2 32 3 1 1 1 1 1 1

p

3a b = ea e b = e a b =a b =- ,

( )( )23 2 1 1

p

3a b = e a eb =- ,

deoarece 3 1a = . Deci 3b este valoarea corespunzătoare lui 2a şi 2b este valoarea

corespunzătoare lui 3a .

Rezultă că rădăcinile ecuaţiei (1.5) sunt:

1 1 1

22 2 3 1 1

23 3 2 1 1

y ,

y ,

y .

=a +b

=a +b = ea +e b

=a +b = e a +eb

Definiţia 1.1. Fie ecuaţia n n 11 nx a x ... a 0-+ + + = . Notăm cu 1 2 nx , x , ..., x rădăcinile

acestei ecuaţii. Numărul complex ( )2

i j1 i j n

d x x£ < £

= - se numeşte discriminantul ecuaţiei.

Avem egalitatea:

( )1 2 nj i

1 i j n

n 1 n 1 n 11 2 n

1 1 ... 1

x x ... xx x

. . ... .

x x ... x£ < £

- - -

= - ,

unde primul membru al egalităţii este determinantul Vandermonde.

Fie U matricea:

1 2 n

n 1 n 1 n 11 2 n

1 1 ... 1

x x ... xU

. . ... .

x x ... x- - -

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷=ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø

şi tU matricea transpusă a lui U .

Cum tdet U det U= , atunci ( )( ) ( )t td det U det U det UU= = .


17

Dar

( )

1 2 n 1

1 2 3 n

t2 3 4 n 1

n 1 n n 1 2n 2

n t t ... t

t t t ... t

t t t ... td det UU

. . . ... .

t t t ... t

-

+

- + -

= = ,

unde i i ii 1 2 nt x x ... x= + + + sunt sumele de puteri ale lui Newton.

Din relaţiile lui Viète rezultă că:

n

i 1i 1

x a=

=-å , i j 2i j

x x a<

=å , ..., ( )n

1 2 n nx x ...x 1 a= - .

Dacă 1 2 na , a , ..., a Î , obţinem că d este un număr real ce se exprimă în funcţie de

1 2 na , a , ..., a .

Ne propunem să calculăm discriminantul d pentru n 2,3= .

Pentru n 2= , ecuaţia este 21 2x a x a 0+ + = . Avem:

( ) ( )2 22 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2d x x x x 2x x x x 4x x= - = + - = + - .

Dar 1 2 1x x a+ =- şi 1 2 2x x a= , deci 21 2d a 4a= - .

Pentru n 3= , ecuaţia este 3 21 2 3x a x a x a 0+ + + = . Avem

( ) ( ) ( )1 2

2 2 2 3 2 21 2 2 3 1 3 1 2 3 2 4 1 2 3 2 3 1 4

2 3 4

3 t t

d x x x x x x t t t 3t t 2t t t t 3t t t

t t t

= - - - = = + - - - ,

unde :

1 1 2 3 1t x x x a= + + =- ,

( ) ( )22 2 2 22 1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 1 3 1 2t x x x x x x 2 x x x x x x a 2a= + + = + + - + + = - ,

( )( )3 3 3 2 2 23 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3t x x x x x x x x x x x x x x x 3x x x= + + = + + + + - - - + =

31 1 2 3a 3a a 3a= - + ,

( ) ( )24 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 24 1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 1 3t x x x x x x 2 x x x x x x= + + = + + - + + =

( ) ( ) ( )222 2 22 1 2 1 3 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 2 1 3t 2 x x x x x x 4x x x x x x a 2a 2a 4a a= - + + + + + = - - + .

Deci:

( )( ) ( )( )( )2 4 2 2 2 2 31 2 1 2 1 2 2 1 3 1 1 2 1 1 2 3d 3 a 2a a 4a 4a a 2a 4a a 2 a a 2a a 3a a 3a= - + - - + + - - - + -


18

( ) ( ) ( )3 22 3 2 4 2 2 21 2 1 1 2 3 1 1 2 1 2 2 1 3a 2a 3 a 3a a 3a a a 4a 4a a 2a 4a a- - - - + - + - - + =

2 2 3 3 21 2 1 3 1 2 3 2 3a a 4a a 18a a a 4a 27a= - + - - .

Discuţia rădăcinilor ecuaţiei de gradul III, 3 21 2 3x a x a x a 0+ + + = , se reduce la a

determina natura rădăcinilor ecuaţiei reduse în care 1a 0= . Aşadar vom face discuţia rădăcinilor

ecuaţiei 3x px q 0+ + = . Discriminantul acestei ecuaţii este:

( )2 3

3 2 q pd 4p 27q 108

4 27

æ ö÷ç ÷=- + =- +ç ÷ç ÷çè ø.

1. Cazul d 0< . Ecuaţia fiind de gradul III are cel puţin o rădăcină reală. Fie aceasta 1x .

Deoarece ( ) ( ) ( )2 2 2

1 2 2 3 1 3d x x x x x x 0= - - - < , 2 3x , x sunt numere complexe conjugate. Deci

ecuaţia are o rădăcină reală şi două complexe conjugate.

2. Cazul d 0= . Ecuaţia are cel puţin două rădăcini egale. Cum o rădăcină este reală,

rezultă că toate trei sunt reale (din care cel puţin două sunt egale).

3. Cazul d 0> . Avem ( ) ( ) ( )2 2 2

1 2 2 3 1 3x x x x x x 0- - - > . Presupunem că 1x este reală.

Dacă 2x şi 3x ar fi complexe conjugate, am putea scrie 2 3x a ib, x a ib= + = - , cu b 0¹ . În

acest caz am avea

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 22 22 21 1 1 1d x a ib 4b x a ib x a ib x a ib 4bé ù é ù= - - - - + = - - - + -ë û ë û ,

adică

( ) ( )22 2 2

1d x a b 4b 0é ù= - + - <ê úë û

şi deci, contradicţie. Deci ecuaţia are, în acest caz, trei rădăcini reale distincte.

Exemplul 1.4. Să se rezolve ecuaţia: 3x 6x 9 0- + = .

Avem p 6; q=9=- şi deci ( )32 269 9

d 108 108 8 27 49 04 27 4

é ù æ ö- ÷ê ú ç ÷=- + =- - =- ⋅ <çê ú ÷ç ÷çè øê úë û.

Deci:

( ) ( )3 32 23 3

1

6 69 9 9 9x

2 4 27 2 4 27

- -= - + + + - - + =

3 39 49 9 49

1 2 32 4 2 4

= - + + - - =- - =- ,

2

1 i 3 1 i 3 3 i 3x 1 2

2 2 2

æ ö æ ö- + - - +÷ ÷ç ç÷ ÷=- - =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çè ø è ø,


19

3

1 i 3 1 i 3 3 i 3x 1 2

2 2 2

æ ö æ ö- - - + -÷ ÷ç ç÷ ÷=- - =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çè ø è ø.

1.4. Metode de rezolvare pentru ecuaţia de gradul IV

Fie ecuaţia 4 3 21 2 3 4x a x a x a x a 0+ + + + = . Făcând substituţia 1a

y x4

= + , obţinem

ecuaţia 4 3 2

1 1 1 11 2 3 4

a a a ay a y a y a y a 0

4 4 4 4

æ ö æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç- + - + - + - + =÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç çè ø è ø è ø è ø, care determină ecuaţia de

gradul IV în care coeficientul lui 3y este 0 : 4 2y py qy r 0+ + + = . Această ecuaţie se numeşte

ecuaţia redusă de gradul IV.

Prezentăm mai multe metode de rezolvare pentru o astfel de ecuaţie.

1.4.1. Metoda lui Ferrari (diferenţă de pătrate perfecte)

Fie ecuaţia redusă de gradul IV, de forma:

4 2y py qy r 0+ + + = . (1.6)

Fie m un parametru. Atunci

2 24 2 2 2 2p p

y py qy r y m qy r m 2my pm2 4

æ ö÷ç+ + + = + + + + - - - -÷ç ÷çè ø

şi deci: 2 2

4 2 2 2 2p py py qy r y m 2my qy m pm r

2 4

é ùæ öæ ö ÷ç÷ ê úç ÷+ + + = + + - - + + - +÷ çç ÷÷ ê úç ç ÷çè ø è øë û.

Alegem parametrul m astfel încât polinomul în Y

( )2

2 2 pf Y 2mY qY m pm r

4

æ ö÷ç ÷= - + + - +ç ÷ç ÷çè ø

să fie pătratul unui polinom de gradul I. Trebuie deci ca discriminantul ecuaţiei ( )f y 0= să fie

nul, adică

22 2 p

q 8m m pm r 04

æ ö÷ç ÷- + - + =ç ÷ç ÷çè ø

sau

23 2 2p

8m 8pm 8 r m q 04

æ ö÷ç ÷+ - - - =ç ÷ç ÷çè ø, (1.7)


20

care este o ecuaţie de gradul III în m . Ecuaţia (1.7) are o rădăcină complexă; fie aceasta 0m ,

care se exprimă prin radicali. Pentru 0m avem:

( )2

00

qf Y 2m Y

4m

æ ö÷ç ÷= -ç ÷ç ÷çè ø.

Ecuaţia (1.6) devine:

222

0 00

p qy m 2m y 0

2 4m

æ öæ ö ÷ç÷ç ÷+ + - - =ç÷ç ÷÷ çç ÷çè ø è ø

sau

2 20 0 0 0

0 0

p q p qy m 2m y y m 2m y 0

2 22 2m 2 2m

æ öæ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç+ + - + + + + - =÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷è øè ø

sau

20 0

0

20 0

0

p qy 2m y m 0

2 2 2m

p qy 2m y m 0

2 2 2m

ì æ öï ÷ï ç ÷ï ç- + + + =÷çï ÷çï ÷è øïïíï æ öï ÷çï ÷ç+ + + - =÷ï ç ÷ï ç ÷ï è øïî

. (1.8)

Formulele (1.8) ne arată că ecuaţia de gradul IV este rezolvabilă prin radicali.

Exemplul 1.5. Să se rezolve ecuaţia: 4 3x 4x 16x 5 0+ + - = .

Facem substituţia x y 1= - şi obţinem ecuaţia:

( ) ( ) ( )4 3y 1 4 y 1 16 y 1 5 0- + - + - - = 4 2y 6y 24y 24 0- + - = .

Fie m un parametru. Atunci:

24 2 2 2 26 36

y 6y 24y 24 y m 2my 24y m 6m 242 4

é ùæ ö æ ö÷ ÷ç çê ú- + - = - + - - + - + + =÷ ÷ç ç÷ ÷ç çê úè ø è øë û

( ) ( )22 2 2y 3 m 2my 24y m 6m 33é ù= - + - - + - +ê úë û .

Alegem pe m astfel încât polinomul ( )2 22my 24y m 6m 33- + - + să fie pătratul unui

polinom de gradul I. Obţinem ecuaţia:

3 2m 6m 33m 72 0- + - + = .

O rădăcină a acestei ecuaţii este 0m 3= . Ecuaţia devine:

( ) ( ) ( )2

22 2 224y 3 3 6 y 0 y 6 y 2 y 6 y 2 0

12

æ ö é ù é ù÷ç- + - - = - - + - =÷ç ê ú ê ú÷ç ë û ë ûè ø,

de unde


21

( )2y 6 y 2 0- - = sau ( )2y 6 y 2 0+ - = ,

şi deci:

2y 6y 2 6 0- + = sau 2y 6y 2 6 0+ - = .

De aici se pot găsi cele patru rădăcini ale ecuaţiei în y şi prin substituţia x y 1= - se

obţin cele patru rădăcini ale ecuaţiei iniţiale.

1.4.2. Metoda lui R. Descartes (produs de polinoame de gradul II)

O rezolvare elegantă a ecuaţiei reduse de gradul IV, 4 2y py qy r 0+ + + = , a dat-o

celebrul matematician René Descartes. El a pornit de la ideea că un polinom de gradul IV poate

fi scris ca un produs de două polinoame de gradul II, adică:

( )( )4 2 2 21 1Y pY qY r Y aY b Y a Y b+ + + = + + + + , (1.9)

în care 1 1a, a , b, b trebuie determinaţi.

Identificând coeficienţii, Descartes obţine sistemul:

1

1 1

1 1

1

a a 0

b b aa p

ab a b q

b b r

ì + =ïïïï + + =ïïíï + =ïïï =ïïî

.

El scrie ultima dintre ecuaţii într-un mod foarte ingenios:

( ) ( )2 2

1 1b b b b 4r+ - - = . (1.10)

Avem:

21 1 1

qa a, b b p a , b b

a=- + = + - = .

Înlocuind aceste relaţii în ecuaţia (1.10) se obţine:

( )2

222

qp a 4r

a+ - = sau ( )6 4 2 2 2a 2pa p 4r a q 0+ + - - = .

Notând 2a u= , avem ecuaţia:

( )3 2 2 2u 2pu p 4r u q 0+ + - - = .

Această ecuaţie se numeşte rezolventa ecuaţiei de gradul IV de mai sus. Ea este o ecuaţie de

gradul III. Făcând scimbarea de variabilă 1au v

3= - , o putem aduce la o ecuaţie de forma

3v sv t 0+ + = , care se poate rezolva cu ajutorul formulelor lui Cardano. Deci se găseşte u ,

adică 1 1a, a , b, b , astfel încât ecuaţia de gradul IV este rezolvabilă prin radicali.


22

Fie 1 2 3 4y , y , y , y rădăcinile ecuaţiei 4 2y py qy r 0+ + + = . Conform relaţiilor lui

Viète, din egalitatea (1.9) rezultă că a- reprezintă suma a două rădăcini oarecare. Deci a poate

lua şase valori, două câte două egale şi de semne contrare:

( ) ( ) ( )1 2 1 3 1 4y y , y y , y y + + + .

Dacă 1 2 3u , u , u sunt rădăcinile ecuaţiei ( )3 2 2 2u 2pu p 4r u q 0+ + - - = , cele şase

valori ale lui a sunt:

1 2 3u , u , u . (1.11)

Scriem atunci că: ( )1 2 1y y u+ = , ( )1 3 2y y u+ = , ( )1 4 3y y u+ = . Adunăm

relaţiile şi ţinem seama de faptul că 1 2 3 4y y y y 0+ + + = . Rezultă că 1 2 31

u u uy

2

= .

Din cele opt valori ale expresiei doar patru convin.

În baza relaţiilor lui Viète avem:

1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4y y y y y y y y y y y y q+ + + =- .

Pe de altă parte avem că:

( )( )( ) 3 2 2 21 2 1 3 1 4 1 1 2 1 3 1 4 1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y+ + + = + + + + + + + =

( )21 1 2 3 4 1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4y y y y y y y y y y y y y y y y y= + + + + + + + .

Rezultă că:

( )( )( )1 2 1 3 1 4y y y y y y q+ + + =- .

Deci semnele radicalilor în (1.11) trebuie alese astfel încăt produsul celor trei radicali să

fie q- . În această situaţie cele patru rădăcini ale ecuaţiei 4 2y py qy r 0+ + + = au expresiile:

( )

( )

( )

( )

1 1 2 3

2 1 2 3

3 1 2 3

4 1 2 3

1y u u u ,

21

y u u u ,21

y u u u ,21

y u u u .2

= + -

= - +

= - + +

= - - -

1.4.3. Metoda lui L. Euler

Leonhard Euler, celebrul matematician elveţian, a arătat că soluţiile ecuaţiei

4 2y py qy r 0+ + + =


23

se pot scrie convenabil astfel:

( )

( )

( )

( )

1 1 2 3

2 1 2 3

3 1 2 3

4 1 2 3

1y u u u

21

y u u u21

y u u u21

y u u u2

ìïï = + -ïïïïïï = - +ïïïíïï = - + +ïïïïïï = - - -ïïïî

, (1.12)

unde 1 2 3u , u , u sunt rădăcinile ecuaţiei

( )3 2 2 2u 2pu p 4r u q 0+ + - - = .

Metoda constă în determinarea a trei numere v, z, w , a căror sumă să fie dublul unei

rădăcini a ecuaţiei de gradul IV, scrisă sub forma redusă 4 2y py qy r 0+ + + = .

Dacă v+z+w=2y , atunci

( )2 2 2 2v +z +w +2 vz vw zw =4y+ +

şi deci:

( ) ( )( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4v +z +w +4 vz vw zw v +z +w +4 v z v w z w +8vzw v z w =16y+ + + + + + .

În ecuaţia dată înlocuim pe: 2 4y, y , y şi rezultă

( ) ( )( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21

v +z +w +4 vz vw zw v +z +w +4 v z v w z w +8vzw v z w16

é ù+ + + + + + +ê úë û

( ) ( )2 2 21 1p v +z +w +2 vz vw zw q v+z+w r 0

4 2é ù+ + + + + =ê úë û ,

adică

( ) ( )( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1

v +z +w + vz vw zw v +z +w + v z v w z w + vzw v z w16 4 4 2

+ + + + + +

( ) ( ) ( )2 2 21 1 1p v +z +w + p vz vw zw q v+z+w r 0

4 2 2+ + + + + = ,

sau încă:

( ) ( )( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2v +z +w +4 vz vw zw v +z +w +4 v z v w z w +8uvw u v w+ + + + + + +

( ) ( ) ( )2 2 24p v +z +w +8p vz vw zw 8q v+z+w 16r 0+ + + + + = .

În final, putem scrie:

( ) ( )( ) ( ) ( )( )22 2 2 2 2 2 2 2 2v +z +w +4 vz vw zw v +z +w 2p +4p v z w +8 vzw+q v z w+ + + + + + + +

( )2 2 2 2 2 24 v z v w z w 16r 0+ + + + = .


24

Fie v, z, w astfel încât 2 2 2v +z +w 2p 0+ = şi vzw + q = 0, deci 2 2 2v +z +w 2p=- şi

vzw = - q . Expresia de mai sus devine

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 22p 4p 2p 4 v z v w z w 16r 0- + - + + + + = ,

adică

( )2 2 2 2 2 2 2 24p 8p 4 v z v w z w 16r 0- + + + + = ,

de unde se obţine că:

2 2 2 2 2 2 2v z v w z w p 4r+ + = - .

Am obţinut astfel sistemul:

( ) ( )

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2

v +z +w 2p

v z v w z w p 4r

vzw = -q

ìï =-ïïïï + + = -íïïïïïî

.

Deci 2 2 2v , z , w sunt rădăcinile ecuaţiei de gradul III:

( )3 2 2 2u 2pu p 4r u q 0+ + - - = ,

ecuaţie ce se poate rezolva cu formulele lui Cardano. Dacă 1 2 3u , u , u sunt rădăcinile ei, atunci:

1 2 3u u , v u , w u = = = ,

astfel încât vzw=-q .

Deci rădăcinile 1 2 3 4y , y , y , y , date de relaţia v+z+w=2y , sunt cele menţionate în

formulele (1.12).

1.4.4. Metoda lui Liapin

O altă metodă interesantă de rezolvare a ecuaţiei de rezolvare a ecuaţiei

4 2y py qy r 0+ + + = se găseşte în ,,Kurs Vîsşei Alghebrî” (E.S. Liapin, Moscova, 1953).

Scriem ecuaţia astfel:

( ) ( ) ( ) ( )24 2 2 2 2y py qy r y 2 p y q y ré ù+ + + = +l - l- + - + l -ê úë û ,

unde l este un parametru oarecare. Dacă îl vom determina pe l , astfel încât

( ) ( ) ( ) ( )2 2g y 2 p y q y r= l- + - + l -

să fie un pătrat perfect, atunci membrul drept al relaţiei va conţine diferenţa a două pătrate

perfecte. Acest lucru se poate realize uşor, scriind că discriminantul trinomului ( )g y este nul:

( ) ( )( )2 2q 4 2 p r 0- - l- l - =


25

Pentru l obţinut din ecuaţia de mai sus, putem scrie ( ) ( )2g y y= a +b şi deci:

( )( )4 2 2 2y py qy r y y y y+ + + = +l+a +b +l-a -b ,

ceea ce duce la rezolvarea a două ecuaţii de gradul II.

1.5. Metoda lui Lagrange de rezolvare a ecuaţiilor algebrice de grad

mai mic sau egal cu 4

Metoda constă în a reduce o ecuaţie de acest tip la un număr de ecuaţii algebrice a căror

rezolvare este mai simplă. În cadrul acestei metode se găseşte ideea dezvoltării teoriei lui Galois.

Fie ( )( )( )

1 2 n1 2 n

1 2 n

f X , X , ..., XF X , X , ..., X

g X , X , ..., X= o fracţie raţională cu coeficienţi numere

complexe. Notăm ( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 n n1 2 nF X ,X , ..., X F X ,X , ..., X , s s ss = sÎs .

Se spune că permutarea s invariază fracţia raţională ( )1 2 nF X ,X , ..., X dacă

( ) ( ) ( )( ) ( )1 2 n1 2 nF X ,X , ..., X F X ,X , ..., Xs s s = . Vom nota cu FH mulţimea permutărilor ce

invariază pe F .

Propoziţia 1.1. FH este un subgrup al lui ns .

Demonstraţie. Fie FHsÎ . Avem ( ) ( ) ( )( ) ( )1 2 n1 2 nF X ,X , ..., X F X ,X , ..., Xs s s = şi deci

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )1 1 1 1 1 1 1 2 n1 2 n 1 2 nF X ,X , ..., X F X ,X , ..., X F X ,X , ..., X- - - - - -s s s s s s s s s

= = .

Rezultă că 1FH-s Î .

Dacă F, Hs tÎ , atunci ( ) ( ) ( )( ) ( )1 2 n1 2 nF X ,X , ..., X F X ,X , ..., Xt t t = şi deci

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 2 nn 1 2 n1 2F X ,X , ..., X F X ,X , ..., X F X ,X , ..., Xst s s ss t s t = = .

Rezultă că ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )1 2 n1 2 nF X ,X , ..., X F X ,X , ..., Xst st st = , adică FHstÎ .

Deci FH este un subgroup al lui ns .

Definiţia 1.2. Subgrupul FH se numeşte subgrupul invariant al fracţiei raţionale

( )1 2 nF X ,X , ..., X .

Invers, dat fiind un subgroup H al lui ns , o fracţie raţională ( )1 2 nF X ,X , ..., X se

spune că este un invariant pentru H dacă FH H= .


26

Observaţia 1.1. nH =s , dacă şi numai dacă F este o fracţie simetrică.

Propoziţia 1.2. Fie ( )1 2 nF X ,X , ..., X o fracţie raţională cu FH subgrupul invariant şi

fie Fˆ Hp=p o clasă de echivalenţă la stânga modulo FH . Atunci pentru orice FHsÎp avem

( ) ( )1 2 n 1 2 nF X ,X , ..., X F X ,X , ..., Xs =p .

Demonstraţie. Dacă FHsÎp , atunci există FHt Î astfel încât s=pt . Atunci:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 n 1 2 n 1 2 nF X ,X , ..., X F X ,X , ..., X F X ,X , ..., Xt t ts = pt =p =

( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 n 1 2 nF X ,X , ..., X F X ,X , ..., Xp p p=p = .

Teorema 1.1. Fie ( )1 2 nF X ,X , ..., X o fracţie raţională cu FH subgrupul invariant

asociat. Atunci ( )1 2 nF X ,X , ..., X este rădăcină a unui polinom de gradul [ ]n Fp : H= s cu

coeficienţi în inelul polinoamelor simetrice în nedeterminatele 1 2 nX ,X , ..., X .

Demonstraţie. Fie 1 2 pˆ ˆ ˆ, , ..., p p p clasele de echivalenţă la stânga modulo FH . Putem

presupune că 1 ep = .

Să punem: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )i i ii 1 2 n i 1 2 n 1 2 nF X ,X , ..., X F X ,X , ..., X F X ,X , ..., Xp p p=p = .

Cum 1 ep = , atunci ( ) ( )1 1 2 n 1 2 nF X ,X , ..., X F X ,X , ..., X= .

Considerăm polinomul de gradul p : ( ) ( )( )p

i 1 2 ni 1

P Y Y F X , X , ..., X=

= - .

Fie s o permutare arbitrară a lui ns . Atunci ( )i 1 2 nF X ,X , ..., Xs este una dintre

valorile 1 2 pF , F , ..., F .

Într-adevăr, ( ) ( )i 1 2 n i 1 2 nF X ,X , ..., X F X ,X , ..., Xs =sp .

Dar isp aparţine unei clase de echivalenţă şi fie aceasta jp . Din propoziţia anterioară

obţinem ( ) ( ) ( )i 1 2 n j 1 2 n j 1 2 nF X ,X , ..., X F X ,X , ..., X F X ,X , ..., Xsp =p = . Pe de altă parte,

dacă i j¹ avem i jF Fs ¹ s . Într-adevăr, dacă i jF Fs =s atunci ( ) ( )1 1i jF F- -s s = s s şi deci

i jF F= .

Valorile 1 2 pF , F , ..., F sunt distincte. Într -adevăr, dacă i jF F= , atunci i jF Fp =p , de

unde 1j iF F-p p =

şi deci 1

j i FH-p p Î , ceea ce implică i jˆ ˆp =p , adică se obţine o contradicţie.

Deci rezultă egalitatea { } { }1 2 p 1 2 pF , F , ..., F F , F , ..., Fs s s = , oricare ar fi nsÎs .

Scriem polinomul ( )P Y sub forma


27

( ) ( )p p 1 p 21 2 pP Y Y A Y A Y ... 1 A- -= - + + + - ,

unde:

p

1 1 2 p ii 1

A F F ... F F=

= + + + =å ,

2 i j1 i j p

A FF£< £

= å ,

……………………………….

p 1 2 pA FF ...F= .

Fie s o permutare arbitrară a lui ns . Ţinând seama de forma lui ( )P Y obţinem:

p p

1 i i 1i 1 i 1

A F F A= =

s = s = =å å ,

2 i j i j 21 i j p 1 i j p

A F F FF A£ < £ £ < £

s = s s = =å å ,

…………………

p 1 2 p 1 2 p pA F F ... F F F ...F As = s s s = = .

Rezultă că polinoamele 1 2 pA , A , ..., A sunt simetrice şi 1F F= este o rădăcină a

polinomului ( )P Y .

1.5.1. Rezolvarea ecuaţiei de gradul III prin metoda lui Lagrange

Considerăm ecuaţia de gradul III (forma redusă), 3x px q 0+ + = , unde p, q sunt

numere complexe.

Considerăm expresia ( )321 2 3B X X X= +e +e , unde e este o rădăcină cubică a unităţii,

diferită de 1. Subgrupul invariant pentru B este ( ) ( ){ }BH e, 1, 2, 3, , 1, 3, 2= . Cum BH este

de indice 2 în 3s , atunci conform teoremei anterioare B verifică o ecuaţie de gradul II cu

coeficienţi polinoame simetrice în 1 2 3X , X , X . Să determinăm această ecuaţie.

Clasele de echivalenţă la stânga modulo grupul BH sunt două:

( ) ( ){ }B Be eH H e, 1, 2, 3, , 1, 3, 2= = = ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }B1, 2 1, 2 H 1, 2 , 1, 3 , 2, 3= = .

Cele două valori ale lui B sunt:

( )321 1 2 3B eB B X X X= = = +e +e ,


28

( ) ( )322 2 1 3B 1, 2 B X X X= = +e +e .

Ecuaţia de gradul II pe care o verifică B este

( )( )1 2z B z B 0- - = sau ( )21 2 1 2z B B z B B 0- + + = .

Dar, calculând, obţinem

( ) ( )3 32 2 31 2 1 2 3 2 1 3 1 1 2 3B B X X X X X X 2s 9s s 27s+ = +e +e + +e +e = - +

şi

( ) ( ) ( )3 3 32 2 21 2 1 2 3 2 1 3 1 2B B X X X X X X s 3s= +e +e +e +e = - ,

unde 1 2 3s , s , s sunt sumele Viète pentru 1 2 3X , X , X .

Deci B verifică ecuaţia:

( ) ( )32 3 2

1 1 2 3 1 2z 2s 9s s 27s z s 3s 0- - + + - = , (1.13)

coeficienţii săi fiind polinoame simetrice.

Să notăm 2X 1 2 3L X X Xe = +e +e . Se vede că 3

1 XB Le= şi 2

32 X

B Le

= , unde 1 2B , B sunt

rădăcinile ecuaţiei (1.13).

Dacă 1 2 3, ,x x x sunt rădăcinile ecuaţiei 3x px q 0+ + = , şi notăm cu exL valoarea lui

XLe când facem 1X = 1x , 2X = 2x , 3X = 3x , obţinem sistemul de ecuaţii:

2

1 2 3

21 2 3

21 2 3

0

e

e

ìï + + =ïïï +e +e =íïïï +e +e =ïî

x

x

x x x

x x x L

x x x L

.

Determinantul sistemului este ( )2 2

2

1 1 1

1 3 0

1

e e = e -e ¹e e

, deci sistemul are soluţie

unică. Rezolvând acest sistem, obţinem soluţia:

( )21

1

3 e e= +x x

x L L ,

( )2

22

1

3 e e= e +ex x

x L L ,

( )2

23

1

3 e e= e +ex x

x L L .

Aşadar rezolvarea ecuaţiei de gradul III, 3x px q 0+ + = , se reduce la determinarea lui

exL şi a lui 2e xL .


29

Să notăm cu 1 2b , b valorile lui 1B , respectiv 2B pentru 1X = 1x , 2X = 2x , 3X = 3x .

Atunci 1b şi 2b sunt soluţiile ecuaţiei (1.13), unde punem 1X = 1x , 2X = 2x , 3X = 3x . În acest

caz 1 2 3s 0, s p, s q= = =- .

Deci 1 2b , b sunt rădăcinile ecuaţiei 2 3z 27qz 27p 0+ - = . Această ecuaţie se numeşte

rezolventa8 ecuaţiei 3x px q 0+ + = . Obţinem:

2 3

1

27q q pb 27

2 2 3

æ ö æ ö÷ ÷ç ç=- + +÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø,

2 3

2

27q q pb 27

2 2 3

æ ö æ ö÷ ÷ç ç=- - +÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø.

Cum 3e =xL 1b , atunci e =xL 3

1b

iar 2

3

e=

xL 2b şi deci 2e

=x

L 32b . Dar

2 ee=xx

L L 21 2s 3s 3p- =- , deci 2e x

L este determinat de exL . Înlocuind în formulele lui

1 2 3, ,x x x în funcţie de exL , 2e xL , obţinem din nou formulele lui Cardano de determinare a

rădăcinilor ecuaţiei de gradul III.

Prin această metodă rezolvarea ecuaţiei de gradul III (forma redusă) se reduce la

rezolvarea ecuaţiei de gradul II şi a două ecuaţii binome de gradul III.

Exemplul 1.6. Să se rezolve ecuaţia 3x 6x 9 0- + = .

Avem p 6=- şi q 9= şi deci

( )2 3 2 2 3

3q p 9 81 49 q p 72 8

2 3 2 4 4 2 3 2

æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç+ = + - = - = + =÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç çè ø è ø è ø è ø è ø.

Obţinem:

1

27 9 7b 27 27

2 2

⋅=- + ⋅ =- ,

2

27 9 7b 27 27 8

2 2

⋅=- - ⋅ =- ⋅ .

Rezultă că:

3 27 3e = - =-xL şi 23 27 8 3 2 6

e= - ⋅ =- ⋅ =-

xL .

În final rezultă că:

( )1

13 6 3

3= - - =-x ,



30

( ) ( ) ( ) ( )2 2 22

1 13 6 2 3 2

3 3é ù= e - +e - = -e - e ⋅ =- e + e =ê úë ûx

3 i 3 3 i 3

2 2

- + -- = ,

( ) ( ) ( ) ( )2 2 23

1 13 6 2 3 2

3 3é ù= e - +e - = -e- e ⋅ =- e+ e =ê úë ûx

3 i 3 3 i 3

2 2

- - +- = .

1.5.2. Rezolvarea ecuaţiei de gradul IV prin metoda lui Lagrange

Considerăm ecuaţia 4 3 21 2 3 4x a x a x a x a 0+ + + + = , unde 1 2 3 4a , a , a , a sunt numere

complexe. Considerăm polinomul 1 2 3 4A X X X X= + . Subgrupul invariant al lui A este:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }AH e, 1, 2 , 3, 4 , 1, 2 3, 4 , 1, 3 2, 4 , 1, 4 2, 3 , 1, 3, 2, 4 , 1, 4, 2, 3 = ,

care este de indice 3 în 4s .

Clasele de echivalenţă la stănga modulo subgrupul AH sunt:

( ) ( ) ( ) ( )A A Ae H , 1, 3 1, 3 H , 1, 4 1, 4 H= = = .

Cele trei valori ale lui A sunt:

1 1 2 3 4A A X X X X= = + ,

( )2 1 4 2 3A 1, 3 A X X X X= = + ,

( )3 1 3 2 4A 1, 4 A X X X X= = + .

Ecuaţia de gradul III pe care o satisface A este

( )( )( )1 2 3z A z A z A 0- - - =

sau

( ) ( )3 21 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3z A A A z A A A A A A z A A A 0- + + + + + - = .

Dar, calculând, obţinem

1 2 3 2A A A s+ + = ,

1 2 1 3 2 3 1 3 4A A A A A A s s 4s+ + = - ,

2 21 2 3 1 4 3 2 4A A A s s s 4s s= + - ,

unde 1 2 3 4s , s , s , s sunt sumele lui Viète în 1 2 3 4X , X , X , X .

Prin urmare A satisface ecuaţia:

( ) ( )3 2 2 22 1 3 4 1 4 3 2 4z s z s s 4s z s s s 4s s 0- + - - + - = .

Fie 1 2 3 4x , x , x , x rădăcinile ecuaţiei 4 3 21 2 3 4x a x a x a x a 0+ + + + = .


31

Să notăm cu ia valorile lui iA , cu 1 i 3£ £ , când punem 1 1 2 2 3 3X x , X x , X x= = =

şi 4 4X x= . Ţinând seama de relaţiile lui Viète, rezultă că ia , cu 1 i 3£ £ , sunt rădăcinile

ecuaţiei:

( ) ( )3 2 2 22 1 3 4 1 4 3 2 4z a z a a 4a z a a a 4a a 0- + - - + - = .

Această ecuaţie se numeşte rezolventa9 ecuaţiei iniţiale.

Dar

1 1 2 3 4

2 1 4 2 3

3 1 3 2 4

x x x x ,

x x x x ,

x x x x ,

a = +

a = +

a = +

şi cum 1 2 3 4 4x x x x a= , din relaţiile de mai sus obţinem că:

1 2x x şi 3 4x x sunt soluţiile ecuaţiei

21 1 1 4z z a 0-a + = ,

1 4x x şi 2 3x x sunt soluţiile ecuaţiei

22 2 2 4z z a 0-a + = ,

iar 1 3x x şi 2 4x x sunt soluţiile ecuaţiei

23 3 3 4z z a 0-a + = .

Este uşor de văzut că odată determinate valorile 1 2x x , 1 3x x , 2 3x x , 1 4x x , ... obţinem

imediat pe 1 2 3 4x , x , x , x .

Să scriem

1 2 3 4x x x x 0+ + + = ( 1a 0= , în cazul ecuaţiei reduse),

1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4 3x x x x x x x x x x x x a+ + + =-

şi deci:

( )3 4 1 2x x x x+ =- + ,

( ) ( )1 2 3 4 3 4 1 2 3x x x x x x x x a+ + + =- .

Dacă 1 1 2x xx = şi 2 3 4x xx = sunt rădăcinile ecuaţiei 21 1 1 4z z a 0-a + = , avem că

( ) ( )1 1 2 2 1 2 3x x x x a-x + +x + =-

şi deci:



32

31 2

1 2

ax x+ =

x -x.

Prin urmare am obţinut:

3

1 21 2

1 2 1

ax x

x x

ìïï + =ïï x -xíïï = xïïî

şi

33 4

1 2

3 4 2

ax x

x x

ìïï + =-ïï x -xíïï = xïïî

.

Formăm sistemul de ecuaţii gradul II

2 31

1 2

2 32

1 2

au u 0

av v 0

ìïï - +x =ïï x -xïíïï + +x =ïï x -xïî

,

ale cărui rădăcini 1 2u , u şi 1 2v , v sunt rădăcinile 1 2x , x respectiv 3 4x , x ale ecuaţiei de gradul

IV.

Considerând ecuaţia 22 2 2 4z z a 0-a + = sau ecuaţia 2

3 3 3 4z z a 0-a + = , prin acelaşi

raţionament găsim aceleaşi rădăcini pentru ecuaţia de gradul IV.

Deci rezolvarea ecuaţiei de gradul IV se reduce la rezolvarea unei ecuaţii de gradul III

(rezolvanta lui Lagrange) şi a trei ecuaţii de gradul II.

Exemplul 1.7. Să se rezolve ecuaţia: 44x 8 3x 13 0- + = .

Forma redusă a ecuaţiei este: 4 13x 2 3x 0

4- + = . Avem că:

1 2 3 4

13a 0, a 0, a 2 3, a

4= = = = .

Rezolventa ecuaţiei este 3z 13z 12 0- - = , care are rădăcinile:

1 2 31, 3, 4a =- a =- a = .

Ecuaţia de gradul II, cu rădăcinile 1 2x x şi 3 4x x este

21 1

13z z 0

4+ + = .

Rezolvând această ecuaţie obţinem:

1 1 2

1 2i 3x x ,

2

- +x = =


33

2 3 4

1 2i 3x x .

2

- -x = =

Apoi aflăm:

1 2

3 4

2 3 4 3 1x x i,

i1 2i 3 1 2i 3 4i 32

2 3x x i.

1 2i 3 1 2i 32

+ = = = =-- + + +

+ =- =- + + +

Formăm două ecuaţii de gradul II:

22u 2iu 1 2i 3 0+ - + = , cu rădăcinile 1 1u x= , 2 2u x=

şi

22v 2iv 1 2i 3 0- - - = cu rădăcinile 1 3v x= , 2 4v x= .

Din rezolvarea lor obţinem:

1 1

2 2

3 1

4 2

i 2 3i 1 3x u 1 i ,

2 2

i 2 3i 1 3x u 1 i ,

2 2

i 2 3i 1 3x v 1 i ,

2 2

i 2 3i 1 3x v 1 i .

2 2

- + - += = = -

- - + -= = =- -

+ + += = = +

- - -= = =- +

Daniela Manea Ecuaţii algebrice de grad mai mare sau egal cu 5, rezolvabile prin radicali

34

Capitolul 2. Ecuaţii algebrice de grad mai mare sau egal cu 5,

rezolvabile prin radicali

Teorema 2.1 (Abel-Ruffini). Ecuaţia generală de grad n , n n 11 nx a x ... a 0-+ + + = ,

nu este rezolvabilă prin radicali pentru n 5³ . (Pentru n 4£ , ecuaţia generală este rezolvabilă

prin radicali).

Totuşi, sunt ecuaţii de grad mai mare sau egal cu 5 ce se pot rezolva prin radicali, deci

pentru care pot fi date formule de determinare a rădăcinilor lor. Prezentăm în continuare câteva

tipuri de astfel de ecuaţii.

2.1. Ecuaţii binome

Definiţia 2.1. Ecuaţia de forma nx a 0- = ( a , n 1Î ³ ) se numeşte ecuaţie binomă.

Rezolvarea acestei ecuaţii este echivalentă (conform ideii lui Gauss, din 1801) cu

determinarea rădăcinilor de ordinul n ale lui a . Se scrie numărul a sub formă trigonometrică,

obţinând ecuaţia echivalentă ( )nx r cos isin= j+ j , unde r reprezintă modulul numărului

complex a , iar j este argumentul redus al acestuia ( ( )a r cos isin= j+ j ).

Soluţiile ecuaţiei sunt date de formula nn 2k 2kx a r cos i sin

n n

æ öj+ p j+ p÷ç= = + ÷ç ÷çè ø, unde

0 k n 1£ £ - . Astfel ecuaţia de gradul n are n rădăcini distincte.

Exemplul 2.1. Să se rezolve ecuaţia: ( )4ix 1 i 3 0- + = .

Avem:

( )4ix 1 i 3= + . Rezultă: 4 41 i 3x x 3 i

i

+= = - . Deci r 3 1 2= + = ,

11

6

pj = şi scriem 4 11 11

x 2 cos isin6 6

æ öp p÷ç= + ÷ç ÷çè ø. Rădăcinile acestei ecuaţii sunt date de:

4k

11 12k 11 12kx 2 cos i sin

24 24

æ öp+ p p+ p÷ç= + ÷ç ÷çè ø,

cu 0 k 3£ £ .

Deci rădăcinile ecuaţiei date vor fi:


35

4 40 1

4 43 3

11 11 23 23x 2 cos isin , x 2 cos i sin ,

24 24 24 24

35 35 47 47x 2 cos isin , x 2 cos i sin .

24 24 24 24

æ ö æ öp p p p÷ ÷ç ç= + = +÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è øæ ö æ öp p p p÷ ÷ç ç= + = +÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

Observaţia 2.1. Ideea de rezolvare a ecuaţiilor de grad mai mare sau egal cu 5 este de

a o reduce la rezolvarea succesivă a unui număr de ecuaţii simple (de regulă ecuaţii binome).

2.2. Ecuaţii trinome

Definiţia 2.2. O ecuaţie de forma p q rax bx cx 0+ + = , cu p, q, r Î şi a, b, c Î se

numeşte ecuaţie trinomă.

Eliminând factorul corespunzător celor r rădăcini nule, obţinem ecuaţia

n max bx c 0+ + = .

În cazurile când n 2m= sau n 3m= , rezolvarea ecuaţiei n max bx c 0+ + = se reduce

la rezolvarea unei ecuaţii de gradul II, respectiv III şi a unor ecuaţii binome.

În cazul particular m 2= şi n 4= , obţinem ecuaţia 4 2ax bx c 0+ + = .

Definiţia 2.3. Ecuaţia 4 2ax bx c 0+ + = , cu a, b, c Î se numeşte ecuaţie bipătrată.

Exemplul 2.2. Să se rezolve ecuaţia: 6 3x 15x 16 0+ - = .

Fie 3y x= . Rezolventa ecuaţiei este 2y 15y 16 0+ - = şi soluţiile ei sunt:

1 2y 16, y 1=- = .

Avem de rezolvat ecuaţiile binome: 3x 1 0- = şi 3x 16 0+ = .

Din 3x 1= rezultă: k

2k 2kx cos i sin , 0 k 2

3 3

p p= + £ £ .

Din 3x 16=- rezultă: ( ) ( )3

t

2t 1 2t 1x 2 2 cos i sin , 0 t 2

3 3

æ ö+ p + p÷ç ÷= + £ £ç ÷ç ÷çè ø.

Deci soluţiile ecuaţiei date sunt:

( )

1

2

3

3 34

3 35

x 1,

2 2 1 3x cos i sin i ,

3 3 2 2

4 4 1 3x cos isin i ,

3 3 2 2

1 3x 2 2 cos i sin 2 2 i ,

3 3 2 2

x 2 2 cos isin 2 2,

=

p p= + =- +

p p= + =- -

æ öæ öp p ÷ç÷ç ÷= + = +ç÷ç ÷ç÷ç ÷÷è ø çè ø

= p+ p =-


36

3 36

5 5 1 3x 2 2 cos i sin 2 2 i .

3 3 2 2

æ öæ öp p ÷ç÷ç ÷= + = -ç÷ç ÷ç÷ç ÷÷è ø çè ø

2.2.1. Ecuaţii bipătrate

Definiţia 2.4. Ecuaţia de forma 4 2ax bx c 0+ + = , cu a, b, cÎ , a 0¹ se numeşte

ecuaţie bipătrată. Notând 2x y= , se obţine ecuaţia de gradul II 2ay by c 0+ + = , care se

numeşte rezolventa ecuaţiei.

Rădăcinile ecuaţiei bipătrate sunt date de 2b b 4ac

x2a

- -= , numită formula de

rezolvare a ecuaţiei bipătrate. În această formulă apar radicali de forma A B , care pot fi

aduşi la o sumă sau la o diferenţă de radicali simpli:

2 2A A B A A BA B

2 2

+ - - - = ( 2A B, B 0³ ³ ).

2.3. Ecuaţii reciproce

Definiţia 2.5. Ecuaţia de forma n n 1 2n n 1 2 1 0a x a x ... a x a x a 0-

-+ + + + + = ( na 0¹ ), cu

proprietatea că n i ia a , i=0, n- = " , se numeşte ecuaţie reciprocă de gradul n (coeficienţii

termenilor egal depărtaţi de extreme sunt egali).

Enunţăm mai jos câteva proprietăţi generale pentru ecuaţiile reciproce de grad n .

P.2.1. Dacă ecuaţia reciprocă are rădăcina a , atunci ea are şi rădăcina 1

a.

Demostraţie. Dacă a este rădăcină, atunci rezultă că:

n n 1 2 2n n 1 2 1 0a a ... a a a 0-

-a + a + + a + a+ =

şi 0a¹ ( 0 n0 a 0 a 0a = = = , contradicţie). Deci se poate împărţi cu na şi obţinem:

n 1 n

n n 1 1 0

1 1 1a a ... a a 0

-

-

æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç+ + + + =÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è øa a a.

Dar i n ia a , 0 i n-= £ £ şi deci putem scrie:

n n 1

n n 1 1 0

1 1 1a a ... a a 0

-

-

æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç+ + + + =÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è øa a a.


37

Prin urmare 1

a este rădăcină.

P.2.2. Orice ecuaţie reciprocă de grad impar are rădăcina x 1=- .

Demonstraţie. Fie n 2p 1= + . Notăm ( ) 2p 1 2p 22p 1 2p 2 1 0f x a x a x ... a x a x a+

+= + + + + +

şi atunci:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2p 1 2p 2

2p 1 2p 2 1 0f 1 a 1 a 1 ... a 1 a 1 a+

+- = - + - + + - + - + =

( ) ( )p 1 p

2p 1 2p p 1 p 2 1 0a a ... a 1 a 1 ... a a a+

+ +=- + - + - + - + + - + =

( ) ( ) ( ) ( )p

0 2p 1 1 2p p p 1a a a a ... 1 a a+ += - - - + + - - .

Dar i 2p 1 ia a + -= ( 0 i 2p 1£ £ + ). Rezultă că ( )f 1 0- = şi deci x 1=- este rădăcină

pentru ecuaţia reciprocă de grad impar.

P.2.3. Orice ecuaţie recirocă de grad impar se reduce la rezolvarea ecuaţiei x 1 0+ =

şi a unei ecuaţii reciproce de grad par.

Demonstraţie. Din P.2.2. rezultă că x 1=- este rădăcină a lui f . Conform teoremei

lui Bézout, avem că ( ) ( ) ( )f x x 1 g x= + .

Fie ( ) 2p 22p 2 1 0g x b x ... b x b x b= + + + + . Scriem:

( )( )2p 1 2p 2 2p 22p 1 2p 2 1 0 2p 2 1 0a x a x ... a x a x a x 1 b x ... b x b x b+

+ + + + + + = + + + + + .

Prin identificarea coeficienţilor avem:

2p 1 2p

2p 2p 2p 1

2p 1 2p 1 2p 2

2 2 1

1 1 0

0 0

a b ,

a b b ,

a b b ,

.....................

a b b ,

a b b ,

a b .

+

-

- - -

=

= +

= +

= +

= +

=

Cum i 2p 1 ia a + -= ( 0 i 2p 1£ £ + ), rezultă că 0 2pb b= .

Cum 2p 2p 1 1 0b b b b-+ = + , rezultă că 1 2p 1b b -= .

Procedând la fel, din egalităţile anterioare rezultă că i 2p ib b -= ( 0 i 2p£ £ ). Deci

ecuaţia 2p 22p 2 1 0b x ... b x b x b 0+ + + + = este reciprocă.

P.2.4. Orice ecuaţie reciprocă de grad par, n 2p= , se reduce la rezolvarea unei

ecuaţii de grad p şi a p ecuaţii de grad II.


38

Demonstraţie. Fie ecuaţia reciprocă 2p 22p 2 1 0a x ... a x a x a 0+ + + + = , 2pa 0¹ .

Împărţim ecuaţia prin px , x 0¹ . Rezultă că:

p p 12p 2p 1 p 1 pp p 1

1 1 1a x a x ... a x a 0

x x x-

- +-

æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç+ + + + + + + =÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø. (2.1)

Notăm 1

y xx

= + . Rezultă 2 22

1x y 2

x+ = - .

În general din k

k 1y x

x

æ ö÷ç= + ÷ç ÷çè ø se obţine

k k 1 k 2 2 k 4 3 k 6 3 2 1k k k k k kk 6 k 4 k 2 k

1 1 1 1y x C x C x C x ... C C C

x x x x- - -

- - -= + + + + + + + + ,

adică:

k k 1 k 2 2 k 4k kk k 2 k 4

1 1 1y x C x C x ...

x x x- -

- -

æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç= + + + + + +÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø .

Pentru k 1, 2, ..., p= se găseşte kk

1x

x+ , în funcţie de 2 p 1 py, y , ..., y , y- . Înlocuind

valorile găsite în ecuaţia (2.1) va rezulta o ecuaţie în necunoscuta y , de gradul p , care va avea

p rădăcini 1 2 py , y , ..., y .

Pentru a obţine rădăcinile ecuaţiei reciproce, se rezolvă cele p ecuaţii de forma

{ }i

1x y , i 1, 2, ..., p

x+ = Î , adică de forma { }2

ix y x 1 0, i 1, 2, ..., p- + = Î .

Definiţia 2.6. Se numesc ecuaţii reciproce şi ecuaţiile de forma:

n n 1n n 1 0a x a x ... a 0-

-+ + + = ,

având proprietatea următoare: i n ia a , i=0, n-=- " .

Dacă n 2p= , din i 2p ia a -=- rezultă că p pa a=- , deci pa 0= . Prin urmare orice

ecuaţie de tipul menţionat mai sus are ca rădăcină pe x 1= . Atunci, conform teoremei lui Bézout

putem scrie

( )( )n n 1 2 n 1 2n n 1 2 1 0 n 1 2 1 0a x a x ... a x a x a x 1 b x ... b x b x b- -

- -+ + + + + = - + + + +

sau:

( ) ( )n n 1 2 n n 1n n 1 2 1 0 n 1 n 2 n 1 0 1 0a x a x ... a x a x a b x b b x ... b b x b- -

- - - -+ + + + + = + - + + - - .

Prin identificarea coeficienţilor avem:


39

p n 1

n 1 n 2 n 1

n 2 n 3 n 2

2 1 2

1 0 1

0 0

a b ,

a b b ,

a b b ,

.....................

a b b ,

a b b ,

a b .

-

- - -

- - -

=

= -

= -

= -

= -

=-

Cum 0 na a=- rezultă că 0 n 1b b -= , cum 1 n 1a a -=- rezultă că 1 n 2b b -= şi cum

2 n 2a a -=- rezultă că 2 n 3b b -= . Continuînd astfel, obţinem că i 1 n ib b , i=1, n-1- -= " , ceea ce ne

arată că ecuaţia n 1 2n 1 2 1 0b x ... b x b x b 0-- + + + + = este o ecuaţie reciprocă.

Concluzia 2.1. Orice ecuaţie de forma n n 1n n 1 0a x a x ... a 0-

-+ + + = , cu proprietatea că

i n ia a , i=0, n-=- " , se reduce la rezolvarea ecuaţiei x 1 0- = şi a unei ecuaţii reciroce de grad

n 1- .

Definiţia 2.7. O ecuaţie în care coeficienţii termenilor egal depărtaţi de extreme sunt

fie egali (ecuaţii reciproce de speţa întâia), fie opuşi (ecuaţii reciproce de speţa a doua), se va

numi ecuaţie reciprocă.

Observaţia 2.2. Ecuaţiile reciproce de grad impar de speţa întâia au rădăcina 1- , iar

cele de speţa a doua au rădăcina 1.

2.3.1. Ecuaţii reciroce de gradul III

Forma generală a ecuaţiei reciproce de speţa întâia este 3 2ax bx bx a 0+ + + = , cu

a, b , a 0Î ¹ . Această ecuaţie are rădăcina 1- , deci o putem scrie sub forma

( ) ( )2x 1 ax b a x a 0é ù+ + - + =ê úë û . Astfel ecuaţia admite rădăcinile: 1x 1=- şi 2 3x , x date de

ecuaţia ( )2ax b a x a 0+ - + = .

Forma generală a ecuaţiei reciproce de speţa a doua este 3 2ax bx bx a 0+ - - = , cu

a, b , a 0Î ¹ . Această ecuaţie are rădăcina 1, deci o putem scrie sub forma

( ) ( )2x 1 ax a b x a 0é ù- + + + =ê úë û . Astfel ecuaţia admite rădăcinile: 1x 1= şi 2 3x , x date de ecuaţia

( )2ax a b x a 0+ + + = .

Exemplul 2.3. Să se rezolve ecuaţiile: a) 3 22x 3x 3x 2 0+ + + = ;

b) 3 22x x x 2 0- + - = .

a) Ecuaţia reciprocă de speţa întâia 3 22x 3x 3x 2 0+ + + = se mai scrie:


40

( )( )2x 1 2x x 2 0+ + + = .

Rezultă că soluţiile ei sunt: 1 2 2

1 i 15 1 i 15x 1, x , x

4 4

- + - -=- = = .

b) Ecuaţia reciprocă de speţa a doua 3 22x x x 2 0- + - = se mai scrie:

( )( )2x 1 2x x 2 0- + + = .

Rezultă că soluţiile ei sunt: 1 2 2

1 i 15 1 i 15x 1, x , x

4 4

- + - -= = = .

2.3.2. Ecuaţii reciproce de gradul IV

Forma generală a ecuaţiei reciproce de gradul IV (speţa întâia) este:

4 3 2ax bx cx bx a 0+ + + + = , (2.2)

cu a, b , a 0Î ¹ .

Ecuaţia nu are rădăcina x 0= , deci putem împărţi cu 2x . Rezultă

22

b aax bx c 0

x x+ + + + = , ( a 0¹ )

şi grupând convenabil termenii vom scrie:

22

1 1a x b x c 0

x x

æ ö æ ö÷ ÷ç ç+ + + + =÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø.

Facem substituţia 1

y xx

= + . Rezultă că 2 22

1x y 2

x+ = - . Ecuaţia devine:

( )2 2y 2 a by c 0 ay by c 2a 0- + + = + + - = ,

numită rezolventa ecuaţiei. Dacă 1y şi 2y sunt soluţiile acestei ecuaţii, rezultă că 1

1y x

x= + şi

2

1y x

x= + sau 2

1x xy 1 0- + = şi 22x xy 1 0- + = , care sunt ecuaţii de gradul II.

Astfel se obţin soluţiile 1 2 3 4x , x , x , x ale ecuaţiei (2.2).

Exemplul 2.4. Să se rezolve ecuaţia: 4 3 24x x 5x x 4 0+ + + + = .

Împărţim ecuaţia cu 2x şi rezultă ecuaţia: 22

1 14 x x 5 0

x x

æ ö æ ö÷ ÷ç ç+ + + + =÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø. Facem

substituţia 1

y xx

= + şi obţinem o nouă ecuaţie 24y y 3 0+ - = , care are rădăcinile 1

3y

4= şi

2y 1=- .


41

Deci avem ecuaţiile: 2 23x x 1 0 4x 3x 4 0

4- + = - + = şi 2x x 1 0+ + = .

Astfel rădăcinile ecuaţiei de gradul IV vor fi:

1 2 3 4

3 i 55 3 i 55 1 i 3 1 i 3x , x , x = , x =

8 8 2 2

+ - - + - -= = .

2.3.3. Ecuaţii reciroce de gradul V

Forma generală a ecuaţiei reciproce de gradul V (speţa întâia) este:

5 4 3 2ax bx cx cx bx a 0+ + + + + = ,

cu a, b, c , a 0Î ¹ .

Conform proprietăţii ecuaţiei reciproce de grad impar de speţa întâia, rezolvarea acestei

ecuaţii se reduce la rezolvarea ecuaţiei x 1 0+ = şi a unei ecuaţii reciproce de gradul IV. Pentru

speţa a doua, rezolvarea ecuaţiei reciproce de gradul V se reduce la rezolvarea ecuaţiei x 1 0- =

şi a unei ecuaţii reciproce de gradul IV.

Exemplul 2.5. Să se rezolve ecuaţia: 5 4 3 2x 2x 3x 3x 2x 1 0+ + + + + = .

Ecuaţia reciprocă de speţa întâia 5 4 3 2x 2x 3x 3x 2x 1 0+ + + + + = , admite soluţia

x 1=- . Rezultă: ( )( )4 3 2x 1 x x 2x x 1 0+ + + + + = .

Ecuaţia 4 3 2x x 2x x 1 0+ + + + = este o ecuaţie reciprocă de gradul IV. Împărţim

această ecuaţie cu 2x şi facem substituţia 1

y xx

= + . Obţinem o nouă ecuaţie 2y y 0+ = , care

are soluţiile: 1y 0= şi 2y 1=- .

Deci avem ecuaţiile: 2x 1 0+ = şi 2x x 1 0+ + = .

Astfel rădăcinile ecuaţiei de gradul V vor fi:

1 2 3 3

1 i 3 1 i 3x i, x i, x , x

2 2

- + - += =- = = .

Daniela Manea Rezolvarea câtorva tipuri de ecuaţii algebrice. Consideraţii metodice

42

Capitolul 3. Rezolvarea câtorva tipuri de ecuaţii algebrice.

Consideraţii metodice

3.1. Aspecte metodice ale predării ecuaţiilor în gimnaziu şi liceu

Subordonându-se obiectivelor generale ale predării-învăţării matematicii în învăţământul

preuniversitar, unul din importantele obiective specifice este însuşirea de către elevi a cunoş-

tinţelor referitoare la noţiunea de ecuaţie, de formare a deprinderilor, de aplicare a cunoştinţelor

în rezolvarea ecuaţiilor, dezvoltând abilităţi elevilor de a rezolva probleme cu ajutorul ecuaţiilor.

Plecând de la definirea noţiunii de ecuaţie (egalitatea între două expresii conţinând

elemente de o anumită natură – numere, funcţii, etc. – dintre care unele sunt cunoscute, iar altele

nu, adevărată numai atunci când necunoscutele sunt înlocuite cu anumite elemente), trebuie

precizat că elementele prezente pe lângă necunoscute pot fi reprezentete prin litere, valori

presupuse cunoscute, dar nefixate numeric. Unele dintre ele pot fi fixate de la începutul

problemei (deşi sunt notate prin litere acestea sunt valori constante), altele, se presupun

cunoscute, dar nu sunt fixate, schimbarea lor putând modifica valorile necunoscutelor pentru

care egalitatea este adevărată (acestea se numesc parametrii).

A rezolva o ecuaţie înseamnă a găsi mulţimea valorilor ce se pot da necunoscutelor,

astfel încât egalitatea să fie adevărată. Aceste valori se vor numi soluţiile ecuaţiei. Dacă nu există

nici o astfel de valoare , se va spune că ecuaţia nu are soluţii. Pentru a putea deosebi toate aceste

elemente ce intervin într-o ecuaţie, în teoria ecuaţiilor se foloseşte de obicei notarea

necunoscutelor cu litere de la sfârşitul alfabetului: x, y, z, t, u, v, w , a constantelor cu litere de

la începutul alfabetului: a, b, c, d, e , iar a parametrilor cu litere de la mijlocul alfabetului:

m, n, p, q . Această notaţie nu constituie o convenţie şi nici nu este obligatorie în rezolvarea

ecuaţiilor.

Dacă o ecuaţie conţine litere ce reprezintă constante şi parametrii, a rezolva o ecuaţie în

acest caz înseamnă a găsi toate grupele de expresii ale necunoscutei, în funcţie de literele ce

reprezintă valorile necunoscute, astfel încât verificarea ecuaţiei cu fiecare din aceste grupe să se

facă în mod identic, oricare ar fi valorile particulare ale acestor litere.

Se spune că două ecuaţii sunt echivalente atunci când au aceleaşi soluţii. Deoarece acest

concept este foarte important, trebuie fixat când i se predă elevului, prin câteva exemple şi

contraexemple clare.


43

În rezolvarea anumitelor ecuaţii, sunt situaţii când se folosesc transformări ale acestora,

în scopul facilitării găsirii soluţiilor. Acestea se numesc transformări echivalente, care permit

rezolvarea ecuaţiei iniţiale cu ajutorul unor ecuaţii mai simple.

Noţiunea de ecuaţie apare elevului pentru prima dată în clasa a V-a. Definiţia ce se dă

ecuaţiei de gradul I este: propoziţia logică care depinde de o variabilă, de o structură anume

(propoziţiile cu o variabilă se mai numesc şi propoziţii deschise sau predicate). În exprimarea

acestor propoziţii apar cuvintele ,,este egal cu”. Se precizează că variabila se numeşte

necunoscută şi se notează cu x , putându-se folosi şi alte litere, în special de la sfârşitul

alfabetului: y, z , etc. Predicatul de o variabilă, peste o multi-metodă, este o aplicaţie

p : M N unde N este mulţimea propoziţiilor logice, adică ( )x M, p x" Î este o propoziţie, care

are o anumită valoare de adevăr. Elevul de clasa a V-a, neştiind noţiunea de aplicaţie, este

necesar a i se arăta că, fiind vorba de propoziţii logice, are sens a se vorbi despre valoarea de

adevăr a propoziţiei ( )p x , pentru x dintr-o mulţime dată. Astfel i se defineşte elevului mulţimea

soluţiilor ecuaţiei, ca fiind mulţimea valorilor x MÎ , pentru care valoarea de adevăr a

propoziţiei ( )p x este 1, iar a rezolva ecuaţia înseamnă a determina mulţimea de adevăr a

propoziţiei ( )p x . Ţinând cont că în clasa a V-a elevii au însuşite numai operaţiile de adunare,

scădere, înmulţire şi împărţire, în anumite mulţimi de numere, metodele de rezolvare au la bază

proprietăţi ale acestor operaţii.

În aceeaşi concepţie de definire, dându-se noţiunea de rădăcină a ecuaţiei sau soluţie, în

clasa a VI-a se reia ecuaţia de gradul I, metodele de rezolvare bazându-se pe proprietăţile

egalităţii în mulţimi de numere peste care sunt definite ecuaţiile. Tot în clasa a VI-a se dă şi

algoritmul de calcul pentru rezolvarea ecuaţiei. Cunoştinţele despre mulţimi prevăzute în

programa gimnazială, permit introducerea noţiunii de ecuaţie destul de devreme.

Au existat mai multe opinii cu privire la introducerea acestei noţiuni, printre care cele

exprimate de A. Hollinger, E. Rusu, V. Popa. Pornind de la opinia exprimată de A. Hollinger, că

,,procedeul cel mai răspândit de a introduce noţiunea de ecuaţie este de a porni de la o

problemă”, se poate afirma că ecuaţia este o problemă ce se poate formula relativ la o aplicaţie.

Astfel, prin ecuaţie (operatorială) înţelegem o problemă de tipul: Se dau două mulţimi X şi Y şi

două aplicaţii f , g : X Y . Se consideră mulţimea definită în abstracţie prin

( ) ( ){ }S x ׀ f x g x , x X= = Î şi se cere să se determine în extensie mulţimea S . Această

definiţie corespunde mai bine multitudinii de exemple ce se cer a fi rezolvate, precum şi

problemelor ce se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor.


44

Simbolic notăm o ecuaţie prin ( ) ( )f x g x , x X= Î . Un element x SÎ se numeşte

soluţia ecuaţiei, mulţimea S se numeşte mulţimea soluţiilor ecuaţiei, iar ( )f x şi ( )g x se

numesc membrul întâi, respectiv al doilea al ecuaţiei. Particularizând mulţimile X şi Y şi

aplicaţiile f şi g obţinem diverse tipuri de ecuaţii. Pornind de la a defini ecuaţia în această

concepţie este necesar a se reactualiza cele două moduri de definire a unei mulţimi: în extensie –

dacă mulţimea este dată prin precizarea elementelor sale – sau în abstracţie (în comprehensiune)

– dacă mulţimea este dată printr-o proprietate a elementelor sale.

Reluând întrebarea ,,Ce înseamnă a rezolva o ecuaţie?”, putem răspunde că înseamnă

găsirea soluţiilor problemei propuse. Este necesară deci definirea ecuaţiei echivalente. Pe

exemple concrete se stabileşte algoritmul de rezolvare a ecuaţiei. Reformulând noţiunea de

ecuaţie de gradul I, termenul de ecuaţie algebrică apare prin problema: ,,Să se determine

mulţimea de numere x pentru care ax b 0+ = , cu a 0¹ şi a, b Î .” Pentru rezolvarea unor

ecuaţii este necesar, câteodată, să aplicăm anumite transformări. Este posibil ca acestea să nu

ducă totdeauna la obţinerea unor ecuaţii echivalente cu cea dată. Se pot obţine ecuaţii ce introduc

noţiuni străine şi, în cazul acesta trebuie verificate ce valori din cele obţinute rămân soluţii ale

ecuaţiei iniţiale, acest lucru facându-se prin înlocuirea directă în ecuaţia iniţială. Dacă egalitatea

rămâne adevărată, aceste valori sunt rădăcini, iar dacă nu, se elimină. Se pot obţine însă şi ecuaţii

care pierd soluţii în raport cu ecuaţia iniţială. În această situaţie trebuie descoperite eventualele

soluţii eliminate şi alăturate soluţiilor ce au rezultat în urma rezolvării, pentru a determina corect

mulţimea rădăcinilor.

Noţiunea de ecuaţie de gradul II, definită într-o formă analoagă celei anterioare, pentru

ecuaţia de gradul I, se introduce în clasa a IX-a, prin problema: ,,Să se determine mulţimea

numerelor x pentru care 2ax bx c 0+ + = , cu a 0¹ şi a, b, cÎ . Să se scrie în extensie

mulţimea { }2M x ׀ ax bx c 0; a 0, a, b= + + = ¹ Î .” Se dă algoritmul rezolvării ecuaţiei de

gradul II, diferitele forme ale ei, natura rădăcinilor ecuaţiei de gradul II cu coeficienţi reali,

semnul rădăcinilor, relaţii între rădăcini şi coeficienţi, precum şi formarea ecuaţiei de gradul II

cân se cunosc rădăcinile. În afara prezentării algoritmului rezolvării, care este dat în manual, se

poate da o metodă cu caracter mai general, ce se poate aplica la ecuaţii de grad superior, în

vederea obţinerii ecuaţiei reduse.

În clasa a X-a noţiunea de ecuaţie se completează cu cea de ecuaţie algebrică şi cu cea

de ecuaţie transcendentă, studiindu-se ecuaţiile algebrice de grad superior lui II. La sfârşitul

clasei a X-a elevul trebuie să fie capabil să rezolve o gamă largă de ecuaţii algebrice, avănd

bagajul de cunoştinţe necesar pentru rezolvarea diferitelor tipuri de ecuaţii algebrice. Tot în


45

această clasă, când se studiază mulţimea numerelor complexe, se introduce şi ecuaţia de gradul II

cu coeficienţi complecşi, remarcându-se că formulele de rezolvare sunt aceleaşi cu formulele de

la ecuaţia de gradul II cu coeficienţi reali.

La ecuaţiile algebrice de grad superior lui II, se revine în clasa a XII-a, când elevul are

introduse noţiunile de inel şi corp, putându-se vorbi acum de ecuaţii algebrice cu coeficienţi într-

un inel sau corp.

3.2. Exerciţii şi probleme rezolvate

P.3.1. Să se transforme ecuaţia cu coeficienţi întregi n n 1n n 1 1 0a x a x ... a x a 0-

-+ + + + =

într-o ecuaţie echivalentă, tot cu coeficienţi întregi, în care coeficientul dominant să fie 1.

Demonstraţie. Fie ny a x= . Rezultă că nn

yx , a 0

a= ¹ . Avem

( ) ( )

n n 1

n n 1 1 0n n 1nn n

y y ya a ... a a 0

aa a

-

- -+ + + + = ,

de unde , prin eliminarea numitorului, obţinem:

n n 1 n 2 n 1n 1 n 2 n 0 ny a y a a y ... a a 0- - -- -+ + + + = ,

care este o ecuaţie cu coeficienţi întregi şi coeficient dominant 1.

E.3.1. Transformaţi în ecuaţii, în care coeficientul dominant să fie 1:

a) 3 28x 6x 3x 1 0- - + = ;

b) 4 3 220x 3x 18x 3x 2 0+ + + - = .

Rezolvare. a) Considerăm ecuaţia: 3 28x 6x 3x 1 0- - + = .

Fie y 8x= . Rezultă că y

x8

= . Avem

3 2

3 2

y y y8 6 3 1 0

8 8 8⋅ - ⋅ - ⋅ + = ,

de unde obţinem:

3 2y 6y 24x 64 0- - + = .

b) Considerăm ecuaţia: 4 3 220x 3x 18x 3x 2 0+ + + - = .

Fie y 20x= . Rezultă că y

x20

= . Avem

4 3 2

4 3 2

y y y y20 3 18 3 2 0

20 20 20 20⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ - =


46

de unde obţinem:

4 3 2y 3y 360y 1200y 16000 0+ + + - = .

P.3.2. Să se transforme ecuaţia cu coeficienţi întregi n n 1n n 1 1 0a x a x ... a x a 0-

-+ + + + =

într-o ecuaţie echivalentă, tot cu coeficienţi întregi, în care să lipsească coeficientul termenului

de grad n 1- .

Demonstraţie. Fie x y h= + . Rezultă că:

( ) ( ) ( )n n 1

n n 1 1 0a y h a y h ... a y h a 0-

-+ + + + + + + = .

Egalând coeficientul lui n 1y - cu 0 , obţinem 1n n n 1a C h a 0-+ = , de unde n 1

n

ah

na--

= .

Deci substituţia va fi:

n 1

n

ax y

na-= -

E.3.2. Transformaţi în ecuaţii echivalente, în care să lipsească coeficientul termenului

de grad n 1- , n fiind gradul termenului dominant:

a) 3 22x 3x x 1 0- + - = ;

b) 4 3x 5x 4x 3 0+ + - = .

Rezolvare. a) Considerăm ecuaţia: 3 22x 3x x 1 0- + - = .

Fie 3 1

x y y3 2 2

-= - = +

⋅. Rezultă că

3 21 1 1

2 y 3 y y 1 02 2 2

æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç+ - + + + - =÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø,

iar de aici se obţine:

3 2 23 1 3 12y 3y y 3y 3y y 0

2 4 4 2+ + + - - - + - = .

În final se ajunge la:

34y y 2 0- - = .

b) Considerăm ecuaţia: 4 3x 5x 4x 3 0+ + - = .

Fie 5

x y4

= - . Rezultă că

4 35 5 5

y 5 y 4 y 1 04 4 4

æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç- + - + - - =÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø,

iar de aici se obţine:


47

4 2256y 2400y 5024y 3923 0- + + = .

E.3.3. Să se rezolve ecuaţiile:

a) 3 28x 18x x 6 0+ + - = ;

b) 327x 9x 2 0- - = .

Rezolvare. a) Transformăm ecuaţia într-una echivalentă, în care coeficientul dominant

este 1. Fie y

x8

= . Rezultă că

3 2y y y

8 18 6 0512 64 8⋅ + ⋅ + - = ,

adică:

3 2y 18y 8y 48 0+ + - = .

Acum aducem această ecuaţie la o formă în care coeficientul lui 2y să fie 0 . Fie

18y z

3= - sau y z 6= - . Rezultă că

( ) ( ) ( )3 2z 6 18 z 6 8 z 6 384 0- + - + - - = ,

adică

3z 100z 0- = ,

care are soluţiile:

1 2 3z 0, z 10, z 10= = =- .

Rezultă că

1 2 3y 6, z 4, z 16=- = =-

şi deci

1 2 3

3 1x , x , x 2

4 2=- = =- .

b) Transformăm ecuaţia într-una echivalentă, în care coeficientul dominant este 1. Fie

yx

3= . Rezultă că

3y y

27 9 2 03 3

æ ö æ ö÷ ÷ç ç- - =÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø,

adică

3y 3y 2 0- - = .

Folosind formula lui Cardano ( p 3, q 2=- =- ), rezultă că


48

( )2 3

33q q p

u, v 1 1 1 12 4 27

= - + = + - = ,

adică u v 1= = , şi deci

2 2 2 21 2 3y u v 1 1 2, y u v 1, y u v 1= + = + = = e +e = e+e =- = e +e = e +e =- .

Obţinem:

31 21 2 3

yy y2 1 1x , x , x

3 3 3 3 3 3= = = =- = =- .

Folosind metoda lui Lagrange, aceeaşi ecuaţie 3y 3y 2 0- - = , o putem rezolva precum

este redată mai jos.

Avem: p 3, q 2=- =- . Rezolventa ecuaţiei este 2z 54z 729 0- + = . Rezolvând

această ecuaţie şi notând cu 1a şi 2a soluţiile ei, rezultă că:

1 2a a 27= = .

Deci 3y 1L a 27a = = , adică yL 3a = , iar 2

32y

L a 27a

= = , adică 2yL 3

a= .

Obţinem:

2

2

2

y y1

2y y

2

2y y

3

L Ly 2,

3

L L 1 1 i 3 1 i 3y 3 3 1,

3 3 2 2

L L 1 1 i 3 1 i 3y 3 3 1.

3 3 2 2

a a

a a

a a

+= =

æ öa +a - + - - ÷ç ÷= = ⋅ + ⋅ =-ç ÷ç ÷÷çè ø

æ öa +a - - - + ÷ç ÷= = ⋅ + ⋅ =-ç ÷ç ÷÷çè ø

Va rezulta că:

31 21 2 3

yy y2 1 1x , x , x

3 3 3 3 3 3= = = =- = =- ,

regăsind astfel soluţiile obţinute folosind formulele lui Cardano.

E.3.4. Să se rezolve, folosind metoda lui Ferrari, ecuaţia: 4 3 2x 2x 5x 4x 4 0+ + + + = .

Rezolvare. Conform metodei lui Ferrari, fie m un parametru. Scriem

( ) ( )24 3 2 2 2x 2x 5x 4x 4 x x m ax bx c+ + + + = + + - + + ,

unde a, b, c vor fi aleşi astfel încât 2ax bx c+ + să fie pătratul unui polinom de gradul I.

Avem:

( ) ( )4 3 2 4 3 2 2x 2x 5x 4x 4 x 2x 1 2m a x 2m b x m c+ + + + = + + + - + - + - .

Identificând coeficienţii, obţinem: 2a=2m-4, b=2m-4, c=m -4 .


49

Punem condiţia ca discriminantul ecuaţiei 2ax bx c 0+ + = să fie nul. Rezultă:

( ) ( )( ) ( )( )2 2 22m 4 4 2m 4 m 4 0 2m 4 2m m 6 0- - - - = - - - = ,

de unde obţinem: 1 2 3

3m m 2, m

2= = =- .

Luând m 2= , rezultă că a 0, b 0, c 0= = = , şi deci ecuaţia iniţială devine

( )22x x 2 0+ + = ,

cu soluţiile:

1 3 2 4

1 i 7 1 i 7x x , x x

2 2

- + - -= = = = .

Pentru 3

m2

=- , rezultă că 7

a 7, b 7, c4

=- =- =- , şi deci ecuaţia iniţială devine:

2 22 3 1

x x 7 x 02 2

æ ö æ ö÷ ÷ç ç+ - + + =÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø.

Trebuie ca cei doi termeni ai sumei să fie simultani 0 . Cum 1

x2

=- este rădăcină

pentru 2

1x 0

2

æ ö÷ç + =÷ç ÷çè ø, dar nu este rădăcină pentru

22 3

x x 02

æ ö÷ç + - =÷ç ÷çè ø, rezultă că

1

2- nu este

rădăcină pentru ecuaţia dată.

Deci, pentru 3

m2

=- , nu putem determina soluţiile ecuaţiei date.

E.3.5. Să se rezolve folosind metoda lui Ferrari ecuaţia: 4 3 2x 4x x 18x 8 0+ + + + = .

Rezolvare. Fie m un parametru. Scriem

( ) ( )24 3 2 2 2x 4x x 18x 8 x 2x m ax bx c+ + + + = + + - + + ,

unde a, b, c vor fi aleşi astfel încât 2ax bx c+ + să reprezinte pătratul unui polinom de gradul I.

Avem:

( ) ( )4 3 2 4 3 2 2x 4x x 18x 8 x 4x 4 2m a x 4m b x m c+ + + + = + + + - + - + - .

Identificând coeficienţii rezultă că: 2a 2m 3, b 4m 18, c m 8= + = - = - . Punem

condiţia ca discriminantul ecuaţiei 2ax bx c 0+ + = să fie nul şi obţinem ecuaţia

3 22m m 20m 105 0- + - = ,

care admite ca rădăcină pe m 3= .

În aceste condiţii obţinem a 9, b 6, c 1= =- = şi ecuaţia iniţială devine


50

( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 2x 2x 3 9x 6x 1 0 x 2x 3 3x 1 0+ + - - + = + + - - =

( )( )2 2x 5x 2 x x 4 0 + + - + = ,

care are soluţiile:

1, 2 3, 4

5 17 1 i 15x , x

2 2

- = = .

E.3.6. Să se rezolve ecuaţia: 44x 4x 12 13 0+ + = .

Rezolvare. Folosim metoda lui Descartes. Împărţim ecuaţia prin 4 şi obţinem:

4 13x x 12 0

4+ + = .

Avem: 13

p 0, q 12, r4

= = = . Rezolventa ecuaţiei este

( )3 2 2 2u 2pu p 4r u q 0+ + - - = ,

adică:

3u 13u 12 0- - = .

Rădăcinile acestei noi ecuaţii sunt: 1 2 3u 1, u 3, u 4=- =- = . Atunci:

1 2 3u i, u i 3, u 2= = = .

Produsul celor trei radicali trebuie să să fie q- , adică 12- şi astfel rădăcinile ecuaţiei

date sunt:

( )

( )

( )

( )

1

2

3

4

2 i 1 3x ,

2

2 i 1 3x ,

2

2 i 1 3x ,

2

2 i 1 3x .

2

+ +=

- +=

- - -=

- + -=

E.3.7. Să se rezolve prin metoda lui Lagrange, ecuaţia: 44x 4 30x 19 0+ + = .

Rezolvare. Prin împărţirea ecuaţiei cu 4 obţinem ecuaţia

4 19x 30x 0

4+ + = ,


51

cu 1 2 3 4

19a 0, a 0, a 30, a

4= = = = .

Rezolventa ecuaţiei este:

( ) ( )3 2 2 21 1 3 4 1 4 3 2 4z a z a a 4a z a a a 4a a 0- + - - + - = ,

adică

3z 19z 30 0- - = ,

care are rădăcinile 1 2 3z 2, z 3, z 5=- =- = .

Ecuaţia de gradul II cu rădăcinile 1 2x x şi 3 4x x este

21 4t z t a 0- + = ,

deci

2 219t 2t 0 4t 8t 19 0

4+ + = + + = .

Rădăcinile acestei ecuaţii sunt:

1, 2

2 i 15t

2

- = ,

deci

1 1 2 2 3 4

2 i 15 2 i 15t x x , t x x

2 2

- + - -= = = = .

Avem:

31 2

1 2

a 30 30x x i 2

t t 2 i 15 2 i 15 i 152 2

+ = = = =-- - + - -

-

şi

33 4

1 2

a 30 30x x i 2

t t 2 i 15 2 i 15 i 152 2

+ =- =- =- =- - + - -

-.

Vor rezulta ecuaţiile de gradul II

2 2 i 15u i 2u 0

2

- ++ + = şi 2 2 i 15

u i 2u 02

- -- + = ,

de unde:

( )1 1

5 i 2 3i 2 i 3 5x u ,

2 2

- - -- + -= = =


52

( )

( )

( )

2 2

3 1

4 2

5 i 2 3i 2 i 3 5x u ,

2 2

5 i 2 3i 2 i 3 5x v ,

2 2

5 i 2 3i 2 i 3 5x v .

2 2

- +- - += = =

+ ++ += = =

- + -- -= = =

E.3.8. Să se discute natura rădăcinilor ecuaţiei: 3 22x 3x 12x m 0, m+ - + = Î .

Rezolvare. Facem schimbarea de variabilă y

x2

= , pentru a face coeficientul dominant

1. Rezultă ecuaţia: 3 2y 3y 24y 4m 0+ - + = .

Fie y z 1= - , pentru a găsi rezolventa ecuaţiei. Aceasta este: 3z 27z 26 4m 0- + + = .

Avem: p 27, q 26 4m=- = + .

Discriminantul rezolvantei este:

( ) ( )2 32 3 26 4m 27q pd 108 108

4 27 4 27

é ùæ ö + -÷ ê úç ÷=- + =- + =ç ê ú÷ç ÷çè ø ê úë û

( ) ( ) ( )2 2 2 2108 13 2m 27 108 4m 52m 560 432 m 13m 140é ù=- + - =- + - =- + -ê úë û.

Discuţie:

Cazul I: <d 0 .

( ) ( )2d 0 m 13m 140 0 m , 20 7, < + - > Î -¥ - È ¥ .

Ecuaţia are o rădăcină reală şi două rădăcini complexe conjugate.

Cazul II: =d 0 .

{ }d 0 m 20, 7= Î - .

Ecuaţia are toate rădăcinile reale, dintre care două sunt egale. Dacă m 20=- , ecuaţia

are 1 2x x 2= =- şi o rădăcină reală 3x în intervalul ( )1, ¥ , iar dacă m 7= , ecuaţia are

1 2x x 1= = şi o rădăcină reală 3x în intervalul ( ), 2-¥ .

Cazul II: >d 0 .

( )d 0 m 20, 7> Î - .

Ecuaţia are trei rădăcini reale distincte.


53

E.3.9. Se dă ecuaţia: 3x px q 0+ + = . Să se găsească condiţia ca două din rădăcinile

sale să fie de forma cosq şi sin q .

Rezolvare. Ţinând cont de formula fundamentală a trigonometriei 2 2sin cos 1q+ q = ,

dacă 1x sin= q şi 2x cos= q , rezultă că 2 21 2x x 1+ = .

Scriem relaţiile lui Viète:

1 2 3

1 2 2 3 1 3

1 2 3

x x x 0

x x x x x x p

x x x q

ì + + =ïïïï + + =íïïï =-ïî

.

Obţinem:

( )

( ) ( )

1 2 31 2 3 1 2 3

221 2 3 1 2 1 2 31 2 3

1 2 31 2 3 1 2 3

2 2 223 33 1 21 2 1 2

x x xx x x x x x

x x x x x p x x p xx x x p

x x x qx x x q x x x q

x 2 p x 1x 2x x 1x x 2x x 1

ìì + =-+ =- ì ïï + =-ï ïï ï ïï ï ïï ï+ + = = +- = ïï ïï ï ï í í í =-=-ï ï ï=-ï ï ïï ï ïï ï ï - + =ï ï ï- =+ - = ïîï ïî î

( ) ( )

2 23 3

1 2 1 2

2 22 2 21 2 3 1 2 3

x 2p 1 x 2p 1

x x p 1 x x p 1

x x x q x x x q

ì ìï ï=- - =- -ï ïï ïï ïï ï =- - =- -í íï ïï ïï ï= =ï ïï ïî î

.

Rezultă:

( ) ( )2 2p 1 2p 1 q 0+ + + = .

E.3.10. Ştiind că a, b, c sunt rădăcinile ecuaţiei 3 2x px qx r 0+ + + = , să se calculeze

expresia ( )( )( )2 2 2a bc b ca c ab- - - , în funcţie de coeficienţii ecuaţiei.

Rezolvare. Scriem relaţiile lui Viète:

a b c p

ab ac bc q

abc r

ì + + =-ïïïï + + =íïï =-ïïî

.

Din ultima relaţie rezultă: r

bca

=- , r

cab

=- , r

abc

=- . Obţinem:

32 2

32 2

32 2

r a ra bc a ,

a a

r b rb ca b ,

b b

r c rc ab c .

c c

+- = + =

+- = + =

+- = + =

.

Expresia din enunţ devine:


54

( )( )( ) ( )( )( )3 3 3

2 2 2a r b r c r

a bc b ca c ababc

+ + +- - - = =

( ) ( )3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3 3 3 3a b c r a b a c b c r a b c r

r

+ + + + + + +=

-.

Dar

( ) ( )( )3 3 3 3a b c a b c 3 a b c ab ac bc 3abc+ + = + + + + + + + - ,

şi deci putem scrie:

( ) ( )( )33 3 3a b c a b c 3 a b c ab ac bc 3abc+ + = + + - + + + + + =

( ) ( ) ( )3 3p 3 p q 3 r p 3pq 3r= - - - + - =- + - .

Analog, obţinem:

( ) ( )( ) ( )( )( )33 3 3 3 3 3 2 2 2a b a c b c ab ac bc 3 ab ac bc a bc ab c abc 3 ab ac bc+ + = + + - + + + + + =

( ) ( )( ) ( )3 2ab ac bc 3abc ab ac bc a b c 3 abc= + + - + + + + + =

( )( ) ( )23 3 2q 3q r p 3 r q 3prq 3r= - - - + - = - + .

Rezultă că:

( )( )( ) ( ) ( )3 3 2 2 3 3

2 2 2r r q 3prq 3r r p 3pq 3r r

a bc b ca c abr

- + - + + - + - +- - - = =

-

( ) ( )3 2 3 3 2 3 2q 3prq 3r r p 3pq 3r q 3prq 3r rp 3prq 3r=- - + - - + - =- + - + - + =

3 3q rp=- + .

E.3.11. Se notează cu 2 2

cos i sin11 11

p pa = + o rădăcină de ordinul 11 a unităţii. Se cere

să se formeze ecuaţia de gradul V ale cărei rădăcini sunt:

10 2 9 3 8 4 7 5 6, , , , a+a a +a a +a a +a a +a .

Rezolvare. Deoarece a este o rădăcină a unităţii, avem că 11 1a = şi deci 10 1a ⋅a = ,

de unde rezultă că 10 1a =

a. Analog, obţinem: 9 8 7 6

2 3 4 5

1 1 1 1, , , a = a = a = a =

a a a a.

Deci rădăcinile ecuaţiei ce trebuie formată sunt:

10 2 9 2 3 8 32 3

1 1 1, , , a+a =a+ a +a =a + a +a =a +

a a a

4 7 4 5 6 54 5

1 1, a +a =a + a +a =a +

a a.

Din 11x 1 0- = , excluzând rădăcina 1x 1= , obţinem ecuaţia reciprocă:


55

10 9x x ... x 1 0+ + + + = .

Ecuaţia în y , ce va avea rădăcinile

10 2 9 3 8 4 7 5 6, , , , a+a a +a a +a a +a a +a ,

este rezolvanta acestei ecuaţii reciproce, cu 1

y xx

= + .

Ţinând seama de:

2 2 3 32 3

4 4 2 5 5 34 5

1 1 1x y, x y 2, x y 3y,

x x x1 1

x y 4y 2, x y 5y 5y,x x

+ = + = - + = -

+ = - + + = - +

ecuaţia cerută va fi:

5 4 3 2y y 4y 3y 3y 1 0+ - - + + = .

E.3.12. Fie polinomul 3 2P 4X 8aX 4bX 1= + + + , cu a, b Î . Să se arate că:

a) dacă 0x este o rădăcină reală a lui P , atunci 20x b 2a£ - ;

b) dacă 1 2x , x sunt rădăcini distincte ale lui P , ambele rădăcini fiind reale sau ambele

complexe nereale, atunci 21 2x x b a³ - .

Rezolvare. a) Fie 0x o rădăcină reală. Rezultă: 3 20 0 04x 8ax 4bx 1 0+ + + = .

Atunci:

3 2 2 2 2 2 20 0 0 0 0 0 04x 8ax 4bx 1 4b x 8ax 4b x 4bx 1=- - - = - - - - =

( ) ( ) ( )22 2 2 20 0 04x b 2a 2bx 1 4x b 2a= - - + £ - .

Deci: ( )3 2 20 04x 4x b 2a£ - . Împărţim inecuaţia prin 2

04x , care este pozitiv. Rezultă:

20x b 2a£ - .

b) Dacă 1 2x , x sunt ambele reale sau complexe nereale, rezultă că 3x este reală. Din

relaţiile lui Viète putem scrie:

( ) ( ) 21 2 3 1 2 3 3 3 3x x b x x x b x 2a x b 2ax x= - + = - - - = + + =

( )22 2 2 2 23 3 3b a a 2ax x b a a x b a .= - + + + = - + + ³ -

Deci: 21 2x x b a³ - .

E.3.13. Fie ecuaţia ( )nn n 1 n 2 n 31 2 3 nx a x a x a x ... 1 a 0- - -- + - + + - = , cu rădăcinile

pozitive. Să se arate că: k k kk n 1a n C a£ , ( )k 1 k n" Î £ £ .


56

Rezolvare. Fie 1 2 nx , x , ..., x rădăcinile pozitive ale ecuaţiei date. Deoarece

1 2 n 1x +x + ... x a+ = , iar 1a este constant, atunci 1 2 kx x ...x este maxim când 1 2 kx =x ... x= = .

Rezultă că 1 2 kx x ...xå este maximă când 1 2 n 11 2 n

x +x + ... x ax =x ... x

n n

+= = = = .

Numărul termenilor din suma 1 2 kx x ...xå este knC . Rezultă că:

k

k 11 2 k n

ax x ...x C

n

æ ö÷ç£ ⋅ ÷ç ÷çè øå .

Ţinând cont de relaţiile lui Viète, rezultă că k

k 1k n

aa C

n

æ ö÷ç£ ⋅ ÷ç ÷çè ø, şi deci k k k

k n 1a n C a£ .

E.3.14. Să se arate că o ecuaţie algebrică de grad par, cu coeficienţi numere întregi

impare, nu admite rădăcini raţionale.

Rezolvare. Presupunem prin absurd că ecuaţia algebrică

2n 2n 10 1 2n 1 2na x a x ... a x a 0-

-+ + + + = ,

cu 2n 2n 1 0a , a , ..., a- numere întregi impare, admite rădăcina raţională p

q, fracţie ireductibilă.

Atunci 2np ׀a , 0q ׀a şi deci p şi q sunt impare.

Avem

2n 2n 1

0 1 2n 1 2n2n 2n 1

p p pa a ... a a 0

q q q

-

--+ + + + = ,

şi deci:

2n 2n 1 2n 1 2n0 1 2n 1 2na p a p q ... a pq a q 0- -

-+ + + + = .

Aceasta este o contradicţie, deoarece membrul stâng este o sumă cu un număr impar de

numere impare, deci este un număr impar, în timp ce membrul drept este par.

E.3.15. Se dă ecuaţia: ( )3 2 2 3 2x 3ax 3a b x a ab 0+ + - + - = . Se cere:

a) oricare ar fi parametrii a şi b , rădăcinile ecuaţiei date sunt în progresie aritmetică;

b) să se determine aceste rădăcini.

Rezolvare. a) Fie în general ecuaţia 3 21 2 3x a x a x a 0+ + + = , cu rădăcinile în progresie

aritmetică, deci de forma t , t, t-a +a .

Obţinem condiţiile:


57

( )

1

2 2 2 22

2 23

t t t a

t t t t t a

t t a

ìï -a+ + +a =-ïïïï -a + -a + +a =íïïï -a =-ïïî

.

De aici rezultă:

1

22 1

2

2 21 1 1

2 3

at

3

aa

3

a a aa a

3 9 3

ìï -ï =ïïïïïïïa = -íïïïï æ ö-ï ÷çï ÷- + =-çï ÷ç ÷çï è øïî

.

Astfel se stabileşte condiţia ca ecuaţia 3 21 2 3x a x a x a 0+ + + = să aibă rădăcinile în

progresie aritmetică, şi anume:

31 1 2 32a 9a a 27a 0- + = .

Pentru 2 2 3 21 2 3a 3a, a 3a b , a a ab= = - = - , obţinem:

( ) ( )3 3 2 2 3 21 1 2 32a 9a a 27a 54a 27a 3a b 27 a ab- + = - - + - =

3 3 2 3 254a 81a 27ab 27a 27ab 0= - + + - = .

Rezultă că oricare ar fi parametrii a şi b , rădăcinile ecuaţiei iniţiale sunt în progresie

aritmetică.

b) Din 2

2 12

aa

3a = - , pentru 1a 3a= şi 2 2

2a 3a b= - , obţinem

22 2 2 29a

3a b b3

a = - + = ,

deci ba= .

Avem:

t a, t a b, t a b=- -a =- +a =- .

Deci rădăcinile ecuaţiei iniţiale sunt:

1 2 3x a b, x a, x a b=- - =- =- + .

Daniela Manea Bibliografie

58

Bibliografie

[1] Viorel Gh. Vodă, Surprize în matematica elementară, Editura Albatros, Bucureşti, 1981.

[2] C. Năstăsescu, C. Niţă, Teoria calitativă a ecuaţiilor algebrice, Editura Tehnică, Bucureşti,

1979.

[3] C. Năstăsescu, C. Niţă, C. Vraciu, Aritmetică şi algebră, Editura Didactică, Bucureşti, 1993.

[4] C. Năstăscu, C. Niţă şi alţii, Culegere de probleme pentru liceu. Algebră, Editura Rotechrro,

Bucureşti, 1996.

[5] C. Năstăsescu, C. Niţă, S. Popa, Matematică. Manual pentru clasa a X-a. Algebră, Editura

Didactică şi Pedagică, Bucureşti, 1981.

Cuprins

Introducere .................................................................................................................................... 5

Capitolul 1. Rezolvarea ecuaţiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4 ........................... 7

1.1. Preliminarii. Istoric ................................................................................................. 7

1.2. Numere complexe exprimabile prin radicali ....................................................... 12

1.3. Formule de rezolvare pentru ecuaţiile de gradul II şi III .................................. 13

1.3.1. Ecuaţia de gradul II .............................................................................................. 13

1.3.2. Ecuaţia de gradul III. Natura rădăcinilor ecuaţiei de gradul III cu coeficienţi

reali ....................................................................................................................... 14

1.4. Metode de rezolvare pentru ecuaţia de gradul IV .............................................. 19

1.4.1. Metoda lui Ferrari (diferenţă de pătrate perfecte) ................................................ 19

1.4.2. Metoda lui R. Descartes (produs de polinoame de gradul II) .............................. 21

1.4.3. Metoda lui L. Euler .............................................................................................. 22

1.4.4. Metoda lui Liapin ................................................................................................. 24

1.5. Metoda lui Lagrange de rezolvare a ecuaţiilor algebrice de grad mai mic

sau egal cu 4 ........................................................................................................... 25

1.5.1. Rezolvarea ecuaţiei de gradul III prin metoda lui Lagrange ................................ 27

1.5.2. Rezolvarea ecuaţiei de gradul IV prin metda lui Lagrange .................................. 30

Capitolul 2. Ecuaţii algebrice de grad mai mare sau egal cu 5, rezolvabile prin radicali .... 34

2.1. Ecuaţii binome ....................................................................................................... 34

2.2. Ecuaţii trinome ...................................................................................................... 35

2.2.1. Ecuaţii bipătrate .................................................................................................... 36

2.3. Ecuaţii reciproce .................................................................................................... 36

2.3.1. Ecuaţii reciproce de gradul III ............................................................................. 39

2.3.2. Ecuaţii reciproce de gradul IV ............................................................................. 40

2.3.3. Ecuaţii reciproce de gradul V ............................................................................... 41

Capitolul 3. Rezolvarea câtorva tipuri de ecuaţii algebrice. Consideraţii metodice ............ 42

3.1. Aspecte metodice ale predării ecuaţiilor în gimnaziu şi liceu ............................ 42

3.2. Exerciţii şi probleme rezolvate ............................................................................. 45

Bibliografie .................................................................................................................................. 58

ISBN: 978-973-47-1903-7

Matematica are o contribuţie însemnată în formarea şi dezvoltarea gândirii omeneşti. În zilele noastre ea devine tot mai mult modelul spre care privesc cu încredere şi interes celelalte ştiinţe. Teoria ecuaţiilor ocupă un loc important în matematică şi constituie un subiect atractiv pentru matematicienii de toate vârstele prin multitudinea problemelor ce le abordează.Lucrarea de faţă este consacrată rezolvării ecuaţiilor algebrice Lucrarea de faţă este consacrată rezolvării ecuaţiilor algebrice de grad superior. Ea are ca scop prezentarea şi interpretarea noţiunilor teoretice într-o formă ce poate fi oricând utilă în activitatea unui profesor de matematică din învăţământul preuniversitar. Daniela MANEA

Lucrare premiată la Concursul Naţional de Competenţă şi PerformanţăConcurs organizat in parteneriat cu M.E.N.C.Ş.

Date post:	13-Sep-2019
Category:	Documents
Upload:	others
View:	3 times
Download:	0 times

· dezvoltare progresivă s-a ajuns la formularea şi rezolvarea unor probleme de natură...

Documents