Cursuri Dinamica Sistemelor Economice

8/15/2019 Cursuri Dinamica Sistemelor Economice

1/283


2/283

2

Figura 1: Câmp de direcție

Definiție: Câmp de direc ț ie/fluxul solu ț iilor este graficul tuturor pantelortraiectoriilor determinate de o ecuație diferențială.

Nu este posibil să considerăm toate perechile (x,y) din plan,Putem considera numai perechile ( x, y) asociate unei pante fixe.

Notămm panta fixă a funcției f ( x, y), adică toate perechile (x, y) pentru care panta funcției este egală cum.

f ( x,y)=m se numește isoclină(isocuantă/curbădeindiferență ).

Determinarea isoclinei pentru funcția:

mbyaxdydx y x f ),(

.

Isoclina (isocuanta)este o curbă convexă. În ecuaţia:

mbyax explicităm y în funcție de x:


3/283

3

bm

bax

y , este tocmai isoclina f ( x,y)=m scrisă în formă explicită.

Diagrama în spațiul fazelor pentru modelele dinamice cu o singură variabilă

(Spațul fazelor pentru un sistem dinamic este stațiul în care se pot reprezenta toatestările posibile ale unui sistem, și mișcarea acestora. Conceptul de spațiul fafelora fost introdus la sfârșitulsec al XIXlea, de cătreLudwig Boltzmann, HenriPoincaré, Willard Gibbs).

Considerăm x(t) funcție continuă de timp.

Considerăm o ecuație diferențială ))(()( t x f t x .Soluția ecuației diferențiale, pentru t variabil, se numeștetraiectorie .

Când 0)( t x , soluția xt x )( se numește punct fix, punct deechilibru, punct critic sau solu ț ie sta ț ionară.

Dacă traiectoria converge din orice punct inițial, către punctul de echilibru x , putem spune că punctul fix este de tip atractor.

Punct fi x atractor , traiectoria x(t) crește până la x și scade după x .Este un punct fix stabil.Dacă traiectoria se îndepărtează de x , din orice punctinițial, spunem că punctulfix este de tip repelor.

https://en.wikipedia.org/wiki/Ludwig_Boltzmannhttps://en.wikipedia.org/wiki/Henri_Poincar%C3%A9https://en.wikipedia.org/wiki/Henri_Poincar%C3%A9https://en.wikipedia.org/wiki/Willard_Gibbshttps://en.wikipedia.org/wiki/Willard_Gibbshttps://en.wikipedia.org/wiki/Henri_Poincar%C3%A9https://en.wikipedia.org/wiki/Henri_Poincar%C3%A9https://en.wikipedia.org/wiki/Ludwig_Boltzmann


4/283

4

Punct fix repelor : traiectoriax(t) se îndepărtează de x , este un punct fixinstabil.

Analiza dinamicii pentr u modelele dinamice uni dimensionale continue

Exemplul 1:

Modelul de cre ș tere a popula ț iei Malthus:

k t pt p

)()(

(3)

p(t)= populația la momentult

k - rata constantă de creș tere a populației, k>0.

Ecuația (3) este ecuație diferențială de ordinul unu liniară omogenă, cu variabileseparabile.

Rezolvare:

)()()()(

t kpt pk t pt p

kdt t pt dp )(/)( Integram ecuația de mai sus:

dt k t pt dp )(/)( C kt t p ln)(ln

Unde C este constanta generalizată arbitrară.


5/283

5

Aplicăm proprietățile logaritmilor și funcția exponențială pentru eliminarealogaritmului.

kt C t p

kt C t p

C kt t p

exp)(

expln)(ln

lnexpln)(ln

Determinarea constantei de integrare:

Aplicăm condițiile inițiale (Cauchy):

Pentru 0t ,

0)0( p p

C p 0 Obținem soluția:

kt e pt p 0)( Care satisface condițiile inițiale:

0)0( p p Temă:Determinați traiectoria de evoluție a populației pentru

p0=20, k=0,03și k=0,05;

p0=50, k=0,03și k=0,05;

p0=100, k=0,03și k=0,05,

t=1,20.

Reprezentați graficele cu ajutorul EXCEL.


6/283

6

Figura: Creșterea Malthusiană a populației

Figura: Câmpul de direcție pentru modelul creșterii Malthusiene a populației

Punctul fi x , soluția staționară, satisface ecuația:

00)( pt p Stabilitatea punctului fix este dată de comportarea traiectoriei pentrut .


7/283

7

t t kt pt p )exp(lim)(lim 0

deci sistemul este instabil,câmpul de direcție se va îndepărta de punctul fix, punctul fix este de tiprepelor. În cazul sistemelor dinamice unidimensionale de ordinul întâi omogene, soluţia

generală a ecuaţiei omogene este de format Ce .

Dacă 0 , stabilitatea este asigurată (vezi cursurile de „Bazele ciberneticiieconomice”).

Exemplul 2: M odelul de cre ș tere economică Harrod - Domar1939-Roy Harrod1946-Evsey DomarEste un model post Keynesian timpuriu de creș tere economică. I s-a reproșat instabilitatea soluției.Controversele academice au dus, după 1950 la dezvoltarea modelului Solow-Swan.

Notaţii, ipoteze:S(t) - economiile sunt propor ționale cu venitulY(t);

I(t) -investițiile (modificările în stocul de capital) sunt propor ționale cumodificările venitului; S(t)=I(t) -la echilibru, economiile sunt egale cu investițiile. s- propensitatea medie(egală cu cea marginală) către economisire; v- ponderea investițiilor în sporul total al venitului, sau inversul productivitățiimarginale a capitalului.

Modelul:

)()(

)()()(

)()(

t S t I

t Y t K t I

t sY t S


8/283

8

Rezolvarea modelului:

0)()(

)()(

t Y st Y

t sY t Y

Ecuaţie diferenţială liniară, de ordinul unu, cu coeficienţi constanţi, omogenă.

)()(

t Y s

dt t dY

dt st Y t dY

)()(

dt st Y t dY

)()(

C t s

t Y ln)(ln

C t s

t Y lnexpln)(ln

)exp()( t s

C t Y Determinarea constantei de integrare:

0)0(0 Y Y t C Y x

sC Y t 00 )0exp(0

)exp()( 0 t s

Y t Y


9/283

9

Temă:

Scrieți rezolvarea ecuației:

0)()(

t Y st Y

Cu condițiile inițiale:

0)0( Y Y Interpretare economică:

În soluție, (traiectoria venitului):t seY t Y )/(0)(

/ s -“warranted rate of growth” rata justificată de creștereeconomică: se justifică prin structura economică dată de parametrii modelului: s

și Punct fix:

00 Y Y Tipul de punct fix:

t

t s

t eY t Y )lim()( )/(

0lim

Punct fix de tiprepelor , sistem global instabil.

Se spune „global” stabil/instabil, dacă există un singur punct fix.


10/283

10

Figura: Cîmpul de direcție pentru modelul Harrod-Domar

Temă: Folosind EXCEL; determinați traiectoriile pentru indicatorii:Y(t), I(t),

C(t), cunoscând datele:

7,03,0

..1000

smuY


11/283

11

)(7,0)(

)(3,0)()(

100)()7,0/3,0(

t Y t C

t Y t S t I

et Y t

Exercițiu:

75,0

25,0

500

s

Y

Exemplul 3:

Modelul de creștere echilibrată al lui Solow Ipoteze:

1. ))(),(()( t Lt K F t Y funcția de producție macroeconomică, de douăori diferențiabilă, omogenă de grad unu;

)(

)(

)( t L

t K

t k înzestrarea tehnică a muncii;

)()(

)(t Lt Y

t y venitul per capita;

Calculul venitului per capita:


12/283

12

Presupunem funcția de producție omotetică (omogenă de grad unu:0),;(),( L K F L K F )

yk f k F L K F

L L K F

LY )()1,()1,(),(

2.Forța de muncă crește cu o rată constantăn, care este independentă devariabilele celelalte ale sistemului:

0)0(),()( L Lt nLt L nt e Lt L 0)(

3. Economiile sunt o pondereconstantă în valoarea venitului, (S = sY ), s esterata economiilor, dată exogen: modelul lui Solow este model de creștereeconomică exogenă.

4. Economiile în echilibru,sunt egale cu investițiile:).()( t I t S

.

4. Investițiile brute sunt egale cu variația stocului de capital (investițianetă) plus înlocuirea capitalului fix uzat:

)()()( t K t K t I

Unde este rata amortizării. Modelul lui Solow în mărimi totale:


13/283

13

nt e Lt L

K K t K t I t K

t sY t S t S t I

0

0

)(

)0()()()(

)()()()(

Înlocuind primele două ecuații în a treia, obținem:

)()()( t K t sY t K Ecuația de dinamică a capitalului sau investiția netă.

Transformăm modelul în mărimi per capita:

k nk sf

nk k k sf L L

L K

L K sY

L L K L K

k

)()(

)(2

Atunci:

)()())(()( t k nt k sf t k Modelul lui Solow în mărimi percapita constă în ecuația de dinamică a înzestrăriitehnice a muncii sau investiția netă în mărimi per capita de mai sus

și condiția inițială:

00

0)0( k L

K k

Putem rezolva ecuația dinamică a capitalului per capita dacă dăm o formăanalitică funcției de producție per capia.

Presupunem că este o funcție Cobb-Douglas omotetică (omogenă de grad unu):


14/283

14

ak k f y L K a

LY

LaK Y

)(

)(

10,1

Ecuația de dinamică a capitalului per capita va fi:

)()()()( t k nt sak t k Ecuația diferențială obținută este:

)()()()( t sak t k nt k ecuație diferențială neliniară, omogenă, de tip Bernoulli. Rezolvarea ecuației Bernoulli:

Schimbarea de variabilă:

1k Derivăm în raport cu timpul:

k k )1(

Explicităm k din relația de mai sus:

)1( k

k


15/283

15

Împărțim ecuația de dinamică la k :

sak nk k

1

)(

Înlocuim

)1( k

k în ecuația de mai sus:

Obținem:

))(1()1( n sa

Adică o ecuație liniară de ordinul unu, neomogenă în .Rezolvăm ecuația omogenă:

0))(1( n

Căutăm o soluție de forma: t et )( Punem condiția ca soluția să verifice ecuația omogenă:

0))(1( t t ene

Împărțim ecuația lat e :

0))(1( n Ecuația de mai sus se numeșteecuație caracteristică.

Determinăm soluția , a ecuației caracteristice: ))(1( n

Soluția generală a ecuației omogene este:


16/283

16

))(1()( nt G CeCet Unde C este constantă generalizată arbitrară.

Soluția particulară este de forma termenului liber:

Dt P )( Punem condiția ca soluția particulară să verifice ecuația neomogenă:

Dn sa ))(1()1(0 Determinăm constanta D:

P

n sa

D )(

Soluția generală a ecuației neomogene este suma între soluția generală a ecuațieiomogene, plus o soluție particulară:

P G t t t )()()(

nas

Cet t n ))(1()(

Determinarea constantei de integrare:

Pentru

nasC t 00)0(0

Rezultă soluția:

t ne

n

as

n

as ))(1(0 )(

Determinarea traiectoriei venitului per capita:


17/283

17

Considerăm condițiile inițiale:

100 k Atunci:

t nen

ask

nas

k ))(1(101 )(

Sau:

11

))(1(10 )()(

t nen

ask

nas

t k

Aceasta este traiectoriaechilibrată de evoluție a înzestrării tehnice a muncii (corespunde traiectoriei staționare/echilibrate, determinate din condiția de

echilibru/staționariate 0)( t k ).

Temă: Deduceți traiectoria de evoluție a înzestrării tehnice a muncii în cazul modeluluide creștere echilibrată al lui Solow.

Traiectoria de evoluție astocului total de capital (se obține multiplicând

traiectoria venitului per capita, cunt e Lt L 0)( ):


18/283

18

)1/(1

1

0

))(1(

0)(

n

ask e

n

ase Lt K t nnt

------------------------------------------------------------

Temă: Deduceți traiectoria de evoluție a capitalului total.

Punctele staționare:

0)(t k 0)( k n sak

0)( 1 n sak k Punctele fixe/staţionare/de echilibru sunt:

01 k și)1/(1

2

sank Modelul Solow aredeci două puncte fixe.

Nu poate fi global stabil, întrucât aceasta este o proprietate posibilă pentrusistemele cu un singur punct fix.

La sistemele cu mai multe puncte fixe stabilitatea/instabilitatea se stabilește pentru fiecare punct fix în parte: este stabilitate/instabilitate locală, într -ovecinătate a punctului fix .

Pentru modelul Solow, primul punct fix este local instabil, iar al doilea este localstabil:

2)1/(1

)1/(110

))(1( )()(lim k n

as

n

ask e

n

as t nt


19/283

19

Rezultă că:

2)(lim k t k t

, deci 2k este atractor

Dacă traiectoria converge către 01

)1/(1

2 k nas

k

, rezultă

01 k este repelor , întrucât traiectoria se depărtează de acest punct fix,când t .Într-o vecinătate a lui 2k , traiectoria tinde către 2k , sistemul este local

stabil.

Întrucât traiectoria tinde asimptotic către2k , sistemul estelocal , asimptoticstabil .

Figura: Traiectoria înzestrării pentru diferite valori inițiale ale lui k(t).


20/283

20

Figura: Câmpul de direcție pentru modelul lui Solow.

Analiza traiectoriei în spațiul fazelor )(),(( t k t k :Reprezentăm grafic funcția

0)(0)( k n sak t k


21/283

21

Reprezentăm grafic curba 0)( t k , adică 0)( k n sak , în planul ),( k k

Puncte singulare:

Derivăm funcţia ))(( k n sak

în raport cuk şi egalăm derivata cu zero, pentru a afla punctele singulare.


22/283

22

)1/(1

1 0)(0

asn

k nk ask nask dk d

, este k punct singular.Pentru a afla natura punctului singular, calculăm derivata a doua:

0)1( 222

k ask nask

dk

d

, k punct de maxim.

k(t) 1k k 2k

k nask 0 max 0 nk as 1 + + + + + +0- - - - - -

Rezultă 0)( t k deasupra abscisei (la stânga lui 2k )ș i 0)( t k subabscisă (la dreapta lui 2k ).

Investiția brută și investiția de compensare Investiția de compensare este destinată înlocuirii capitalului fix uzat și dotării cucapital a personalului intrat în activitate.

În punctul 2k k , investiția brută este egală cu investiția de compensare:


23/283

23

Figura: Investițiile bruteși investițiile de compensare

Pentru k= 2k , k n sak )(

, respectiv investițiile brute sunt egalecu investițiile de compensare.

Dacă 2k k , investițiile de compensare sunt mai mici decât investițiile brute și stocul de capital per capita va crește.

Dacă k> 2k , investițiile de compensare devin mai mari decât investițiile brute,ceea ce determină scăderea stocului de capital per capita, cu valoarea capitaluluinecesar înzestrării sporului de for ță de muncăși a capitalului fix uzat.

sf(k) sunt investițiile brute,care în condiții de echilibru, trebuie să fie egale cueconomiile;

k n )( sunt investițiile de compensare: compensează capitalul fix uzatșiînzestrarea tehnică amuncii pentru sporul populației.

Am obţinut rezultatele:

k nk sf k )()(0 capitalul creș te;


24/283

24

k nk sf k )()(0 capitalul scade;

k nk sf k )()(0 capitalul rămâne la valoareastaționară, pe temen indefinit.

Temă: Determinați traiectoria înzestrării tehnice a muncii, a capitalului total, a populațieitotale, a venitului per capita și a venitului total, cunoscând datele:

3,0,100,35,0,05,0,009,0,50,1000 00 san L K , pentru T=10 ani.

Rata de creștere echilibrată:

Este rata de creștere a indicatorilor macroeconomici pe traiectoria echilibrată.

Rata de creștere echilibrată a venitului

)()( 0 t ak e Lt Y nt

)()()()()( 01

00 t ak enLt k t k ae Lt ak enLt Y nt nt nt

Rezultă:

)()( 0 t ak enLt Y nt

Atunci:

nt ak e Lt ak enL

t Y t Y

nt

nt

)()(

)()(

0

0

Rata de creștere echilibrată a venitului este n, egală cu rata de creștere a populației.


25/283

25

Pentru stocul total de capital )()( 0 t k e Lt K nt

:

nt k e Lt k e Lt k enL

t K t K

nt

nt nt

)()()(

)()(

0

00

Pe traiectoria de creştere echilibrată, rata de creș tere a capitalului ș i a venitului sunt constante ș i egale cu rata de cre ș tere a popula ț iei, n.


26/283

26

Curs 2

Efectul cre ș teri i r atei economiil or :

Problematica creșterii economice: care este sursa ratelor de creștere a țărilordezvoltate, careeste cauza diferențelor mari între țări și zone geografice din punctul de vedere al venitului per capita, indicatorul esențial care reflectăcreșterea economică.

Presupunem că s crește de la s0 la s1.

Creșterea lui s va muta curba investițiilor brute (acumularilor) în sus, astfelk 2 se va muta la dreapta, va crește.

Figura: Efectul creșterii ratei economiilor, asupra echilibrului.

Modificările ratei economiilor au unefect de ni vel asupra capitalului per capitaș i asupra veni tului per capita, nu au un efect de creștere, nu afectează ritmul de

creștere al venitului per capita LY . Rezultă că nu acumulările sunt sursa ratelor

crescătoare de creștere ale țărilor dezvoltate.

Efectul cre ș teri i ratei economiil or asupra consumului:

Introducem gospodăriile în model:


27/283

27

- bunăstarea gospodăriilor depinde de consum – investițiile sunt privite ca

input în producție pentru consumul viitor.

)()1()( t y st c este consumul per capita. Dacăconsiderăm propensitățile marginaleegale cu propensitățile mediiadică

c , funcția de consum este tocmai funcția Keynesiană:

)()( t yct c

Figura: Consumul de echilibru este diferenţa între

k nk f c )()( întrucât k nk sf )()( Derivăm în raport cu s funcția de consum scrisă ca:

k nk f c )()(

sn sk

nn sk f s

c ),,()()),,((


28/283

28

Când s crește, creșterea luic depinde de semnul relației din parantezadreaptă.

Dacă: )()(

nk f , creșterea lui s va avea ca efect creșterea luic(t) ;

Dacă )()( nk f creș terea lui s va avea ca efect scăderea lui

c(t);

Dacă )()( nk f creșterea lui s nu va avea nici un efect

asupra luic.

Variația consumului la creș terea ratei economiilor, s, depinde de pantele

celor două curbe: a venitului per capita și a investiției de compensare.Panta curbei venitului (sau productivitatea marginală a capitalului):

)(k f ;Panta investiției de compensare este: )( n .

Temă: Aplicație numerică

Se cunosc datele:

3,0,10,35,0

,05,0,1000,008,0,100 00 sa

K n L

a) Calculați traiectoria înzestrării tehnice a muncii pentru t=1-10 și facețigraficul în EXCEL:


29/283

29

b) Calculați traiectoria stocului total al capitalului pentru t=1-10și faceți graficulîn EXCEL.

)1/(110

))(1(0)(

n

ask e

n

ase Lt K t nnt

)(100)( 008,0 t k et K t c) Calculați venitul per capitași venitul total ș i faceți graficele

corespunzătoare în EXCEL

)()( t ak t y )()()()( 01 t k eaLt Lt aK t Y nt d) Calcuați punctele fixe ale traiectoriei:

01 k

960,432)1/(1

2

sa

nk

e) Calculați traiectoria de echilibru a stocului total al capitaluluiș i avenitului de echilibru pentru t-1-10, faceți graficele în EXCEL:

20)( k e Lt K nt


30/283

30

1020 )()()(

nt nt e Lk e Lat Y

f)

Calculați investițiile bruteși consumul pentru t=1-10, în mărimi percapita, în mărimi totaleș i faceți graficele.

Investiţiile per capita şi consumul per capita sunt respectiv: sak şi

ak s)1( .

I Y C

sY I , sunt investițiile și respectiv consumul, în mărimi

actuale.

g) Analizați efectele creșterii ratei economiilor de la s0=0,3, la s1=0,35.-asupra traiectoriei de echilibru;

-asupra consumului: stabiliți numeric că dacă )()( 12 nk f ,

consumulcrește , sau dacă )()( 12

nk f consumul scade.

M odelul l ui Solow cu func ț ie de produc ț ie Cobb-Douglas cu progrestehnic H arrod

Am stabilit că acumulările execită un efect de nivel asupra venitului, nuun efect de creștere.

Pentru investigarea surselor creșterii economice, introducem progresultehnologic neutral în sens Harrod (acționează asupra muncii):

1))()()(()( t Lt At K t Y

• Modelul Solow presupune progresul tehnologic exogen.


31/283

31

• Presupunem căA, funcția de progres tehnologic,creşte cu o rată

constantă:

g

A

A

.Se păstrează celelalte ipoteze ale modelului. Ecuațiile modelului:

L(t ) = L(0) e n t

A(t) = A(0) e gt

t K t sY t K Capitalul per capita este acum:

AL K

k , capitalul pe o unitate efectivă de muncă.

Dinamica modelului:

k (t) = sf (k(t)) – (n+g+ ) k(t)Seminar:

Determina ț i ecua ț ia de dinamică a modelului cu progres tehnologic.

k (t)= )()()()()()()(

)()()(

2 t At Lt Lt At Lt A

t K t Lt A

t K =

)()(

)()()(

)()(

)()()(

)()()(

t At A

t Lt At K

t Lt L

t Lt At K

t Lt At K


32/283

32

k k nk sf k

gk nk k ALY

s gk nk AL

K sY k

)()(

Cu ALY

k f )( venitul per capita.

Puncte sta ț ionare:

0)()( k g nk sf k Pentru a determina punctele staţionare, dăm o formă analitică funcţieide producţie: considerăm funcția Cobb-Douglas:

1)( ALaK Y

ak y

0)( k g n sak 0))(( 1 g n sak k

01 k )1/(1

2

as g n

k

Pentru 2k k investiția brută este egală cu investiția de compensare.


33/283

33

Figura: Investiția brutăși investiția de compensare pentru modelul cu progrestehnologic.

Temă:

a. Arătați că rata de creștere echilibrată a venitului actual este egală cu ratade creștere a capitalului actual, egale cu (n+g ):

k k ae Ae Lak e gAe Lak enAe LY gt nt gt nt gt nt 1

000000

)(00

0000 g nak e Ae L

ak e gAe Lak enAe LY Y

gt nt

gt nt gt nt

Rata de creș tere a venitului depinde de rata de creștere a populației și a progresului tehnologic.

b. Refaceți tema precedentă, adăugând la datele numerice g=0,03 (rata de

creștere a progresului tehnologic de 3%)ș i A0=50.

Concluzie: În raport cu problematica generală a creș terii economice, modelul lui

Solow relevă faptul că diferen ț ele mari între ț ări din punct de vedere al venitului

na ț ional pe locuitor și al ritmului de creștere economică (respectiv al venitului

per capita), nu se pot datora exclusiv acumulărilor ( deci inzestrării tehnice a

muncii).


34/283

34

O sursă de creştere pe termen lung este progresul tehnologic.

Măsurarea creș

ter ii economice:Reziduul Solow

În modelul lui Solow creșterea pe termen lung depinde numai de progresultehnologic

creșterea pe termen scurt depinde atât de progresul

tehnologic câtși de acumularea capitalului.

Considerăm : Y(t) =F(K(t),A(t).L(t))

Derivăm funcția de producție în raport cu timpul:

)()(

)()(

)(

)()(

)(

)()( t A

t A

t Y t L

t L

t Y t K

t K

t Y t Y

Împăr țim la Y(t)cei doi membrii ai ecuației; împăr țim și înmulțim termenii dinmembrul drept respectiv cu K, L, A:

)(

)(

)()(

)(

)()(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)()(

)()(

)()(

)()(

)()(

)()(

)()(

t R

t L

t Lt

t K

t K t

t A

t A

t A

t Y

t Y

t A

t Lt L

t Lt Y

t Y t L

t K t K

t K t Y

t Y t K

t Y t Y

Lk


35/283

35

Notăm:

k (t) elasticitatea outputului in raport cu capitalul

L(t)

elasticitatea outputului in raport cu munca.

)()(

)()(

)()(

)(t At A

t At Y

t Y t A

t R

Ratele de creștere ale lui K și L cât şi elasticităţile venitului în raport cu K şi L,se măsoară direct din datele empirice.

R(t) se numește reziduu Solow – reziduul Solow poate fi poate fi interpretatca o măsură a progresului tehologic – el reflectă toate sursele de creșterealtele decât acumularea de capital.Relația ratei de creștere venitului furnizează o decompoziție a creșteriieconomice în contribuția capitalului, a munciiș i contributia celorlalți factori.

Temă: Considerăm funcția de producție Cobb-Douglas cu progres tehnologicHarrod din exercițiul precedent. Calculați reziduul Solow și reprezentațigrafic.

)()(

)()()(

)()()(

)(t Lt L

t t K t K

t t Y t Y

t R Lk

Ecua ții diferențiale neliniare Aproximările liniare ale ecuațiilor diferențiale neliniare Considerăm ecuația:

)()( x f t x f(.)este neliniară dar continuă și diferențiabilă.

În general, aceste ecuații nu se pot rezolva analitic.


36/283

36

Trebuie să găsim punctele fixe pentru 0)( t x , deci pentru0))((( t x f .

Presupunem f este continuă diferențiabilă într -un interval deschis care-l conține pe x = x (punctul fix) .

Aproximăm f folosind dezvoltarea Taylor:

),( x x Rn este restul.Aproximarea liniară de ordinul unu are forma:

Dacă punctul inițial este suficient de aproape de punctul fix x , atunci

, iar 0)( x f prin construcție. Dacă x este chiar punctul fix, atunci:Putem aproxima f(x) în punctul x prin:

.

Exemplu:


37/283


38/283

38

Rezultă că panta curbei pentru 2k k este

0)1)(()( 2 nk f


39/283

39

Rezultă aproximarea liniară:

Întrucât iarn și δ sunt pozitive, atunci funcția f(k) are pantă

negativă în și deci sistemul este local stabil, punctul fix este de tipatractor.

Aproximarea de ordinul unu în jurul echilibrului este:

))(1)(()()( 2 k k nk f t k Este ecuație diferențială liniară de ordinul unu.

Ecuația omogenă:

t nGt Cet k

)1)(()(

Dt k P t )( Verifică ecuația neomogenă:

2)1)(()()1)(()( k nt k nt k

22)1)(()1)(( k Dk n Dn

2)1)(()()()( k Cet k t k t k t n P Gt

Aplicăm condițiile Cauchy:

k nt k )1)(()(


40/283

40

20 k k C

Cu soluția:

Pentru aproximarea liniară 2)(lim k t k t

, respectiv 2k este punct fixasimptotic local stabil pentru aproximarea liniară.

////

Temă:

Cunoscând datele din exercițiile precedente, folosind aproximarea liniarș aecuației de dinamică a înzestrării tehnice a muncii, calculați traiectoria înzestrăriitehnice a muncii, a venitului per capita, a investițiilor și consumului per capita,cât și a indicatorilor corespunzători în mărimi actuale. Faceți graficeletraiectoriilor.

Calculați deviațiile absolute și relative ale celor două soluții (traiectoria k(t) prinrezolvarea ecuației Bernoulli și prin aproximarea liniară).

////

Ecuații diferențiale de ordin superiorCazul general

Ecuație diferențială de ordinul n, liniară, cu coeficienți constanți, neomogenă:

)(... 1)1(

1)(

0 t g ya ya ya ya nnnn

Rezolvăm ecuația omogenă:


41/283

41

0... 1)1(

1)(

0 ya ya ya ya nnnn Facem ipoteza că soluția are forma t e y și o punem să verifice ecuațiaomogenă:

0... 11

10 t nt nt nt n eaeaeaea Împărțim la 0t e , obținem ecuația caracteristică:

0... 1110 nnnn aaaa Ecuația caracteristică este o ecuație algebrică liniară, de gradn, care aren soluțiicare pot fi reale (diferitesau multiple) și complexe conjugate.

Soluția generală a ecuației omogene, cazulrădăcinilor reale, distincte:

)exp(...)(exp)exp()( 2211 t At At At y nnG

unde A1 ,A2 ,…An sunt constante generalizate arbitrare.Cazul rădăcinilor multiple de ordin m


42/283

42

k - numărul de rădăcini distincte.

În cazul rădăcinilor complexe conjugate avem, pentru fiecare pereche avem:

)sincos( 21 t At Ae t

Cu , respectiv partea reală și imaginară a numărului complex. Soluția particulară o putem determina cu ajutorulmetodei coeficiențilornedeterminați:

Facem ipoteza că soluția particulară )(t y P este de forma termenului liber și punem condiția ca aceasta să verifice ecuația neomogenă.

Soluția ecuației neomogene este suma între soluția generală a ecuației omogeneți soluția particulară:

)()()( t yt yt y P G

Exemplu:

Modelul politicilor de stabilizare între cerere agregată și oferta agregată alluiPhillips

Notăm:

)(t D cererea agregată

)(t Y oferta agregată Dacă există cerere excedentară, oferta crește; dacă există ofertă excedentară,oferta scade:


43/283

43

0

))()(()(

t Y t Dt Y

0 coeficient dereacție care arată viteza de ajustare între cerereaagregată și oferta agregată.

)()1()( t Y st D Unde s este propensitatea/înclinația marginală și medie spre economisire,

10 s .Presupunem că cererea agregată este afectată de o perturbație adversău=1.

1)()1()()1()( t Y sut Y st D Determinarea ecuației de dinamică a venitului în aceste ipoteze Înlocuim în ecuația de dinamică a venitului:

)()(

(1)()1())()(()(

t sY t Y

t Y t Y st Y t Dt Y

Ultima relație este o ecuație diferențială de ordinul unu, neomogenă.

Rezolvareaecuației liniare de ordinul unu, neomogenă: Ecuația omogenă:

)()( t sY t Y Este ecuație cu variabile separabile.

Soluția generală a ecuației omogene:


44/283

44

st G Cet Y )( Soluția particulară:

Dt Y P )( soluția particulară are forma termenului liber, o constantă.

Punem condiția ca )(t Y P

să verifice ecuația neomogenă:

sD0 s

Dt Y P 1

)( Rezultă traiectoria venitului:

sCet Y st

1)(

Condiția inițială:

se

st Y

sC Y Y

st 11)(

1)0( 0

Stabilitatea:

st Y

t

1)(lim

Sistemul este stabil.

Punct fix, staționar, de echilibru:


45/283

45

sY t sY t Y

10)(0)(

În cazul existenței unei perturbații exogene asupra cererii agregate,valoarea deechilibru este negativă, ceea ce, pe termen lung înseamnă că traiectoria venituluiva conduce la valori negative ale venitului.

Pentru înlăturarea acestei situații, Phillips propune trei politici de stabilizareîntre cerere și ofertă, prin intermediul cheltuielilor guvernamentale

)( t G :1. Politica de stabilizare proporțională:

Cheltuielile guvernamentale sunt egale și de semn contrar cu ofertaagregată:

)()( t Y f t G p 0 p f este coeficientul de proporționalitate.

2. Politica de stabilizare diferențială:

Cheltuielile guvernamentale sunt egale și de semn contrar cu variația oferteiagregate:

)()( t Y f t G d

0d f 3. Politica de stabilizare integrală:

Cheltuielile guvernamentale sunt egale și de semn contrar cu suma întremomentul inițial și momentulcurent al ofertelor agregate:

t

oi dt t Y f t G )()(


46/283

46

0i f Determinarea ecuației de dinamică a venitului:

Între nivelul teoretic )(t G și cel actualG(t) al cheltuielilorguvernamentale există o întârziere (obs. Întârzieri interne și externe în politicile macroeconomice, vezi cursul de“Macroeconomie cantitativă”):

)()( t Gt G Ajustarea diferenței între )(t G și G(t) este dată de ecuația:

))()(()( t Gt Gt G 0 este coeficient de reacție și indică viteza de ajustare.

a. Pornim de la ecuația cererii agregate, care va include cheltuielileguvernamentale, întrucât în model s-a introdus guvernul:

)(1)()1()( t Gt Y st D Derivăm în raport cu timpul:

)()()1()( t Gt Y st D Înmulțim ecuația cererii agregate cu :

)()()1()( t Gt Y st D Adunăm cele două relații:

)()()1()()()1()()( t Gt Y st Gt Y st Dt D

Rescriem ))()(()( t Gt Gt G ca:


47/283

47

)())()( t Gt Gt G și înlocuim în ecuația de mai sus,obținem:

)()()1()()1(

)()(

t Gt Y st Y s

t Dt D

(a)

b. Pornim acum de la variația venitului:

))()(()( t Y t Dt Y Explicităm pe D(t):

)()(

)( t Y t Y

t D

Înmulțim cu :

))()(()( t Y t Y t D

Derivăm:

)()(

)( t Y t Y

t D

Adunăm ultimele relații:


48/283

48

)()())()(()()(

t Y t Y t Y t Y t Dt D

(b)

Egalăm membrii drepți din ecuațiile (a) și (b):

)()())()((

)()()1()()1(

t Y t Y t Y t Y

t Gt Y st Y s

Obținem ecuația de dinamică a venitului:

)()()()()( t Gt sY t Y st Y Politica de stabilizare proporțională:

)()()()()( t Y f t sY t Y st Y p Ecuația omogenă:

0)()()()()( t Y f t sY t Y st Y p Căutăm soluție de forma:

t et Y )(

0)()(2 t pt t e f se se

Ecuația caracteristică:

0)()(2 p f s s Discriminantul:


49/283


50/283

50

D f s p )(

p f s D 1

Soluția:

p

G

f st Y t Y 1)()(

Dacă traiectoria este stabilă: 2,1,0Re ii , atunci:

pt f s

t Y 1

)(lim

Observăm că traiectoria de echilibru este tot negativă, dar mai mică în valoareabsolută:

s f s p

11ceea ce relevă faptul că politica

proporțională are o anumită eficiență, dar nu reușește să transforme valoareanegativă a echilibrului într -o valoare pozitivă.

Seminar

Aplicație numerică:

Considerăm următoarele valori:


51/283


52/283

52

ticăcaracterisecuatie0632

i936,15,12,1 ))936,1sin()936,1cos(()( 21

5,1 t At Aet Y t G Dt Y P )(

33,168)( t Y P

33,1))936,1sin()936,1cos(()( 215,1 t At Aet Y t

33,133,1)0sin0cos(0)0( 1210 A A AeY

(Obs: 0)0sin(,1)0cos( )

)936,1(cos(936,1)936,1sin(936,1))936,1sin()936,1cos((5,1)(

215,1

215,1

t At Ae

t At Aet Y t

t

Obs: )cos()(nsi

)sin()(sco

t t

t t

21 936,15,144)0( A AY 033,1936,133,15,14 22 A A x

33,1)936,1sin(033,1)936,1cos(33,1)( 5,1 t t et Y t


53/283

53

Refaceți calculele când 2 p f , 8 . Ce puteți să spuneți desprenoile valori de echilibru în cazulinițial și după aplicarea politicii de stabilizare?

-/-

Cur s 3

Dinamica modelelor reprezentate prin ecuații diferențiale de ordin superior


54/283

54

Cazul general

Ecuație diferențială de ordinul n, liniară, cu coeficienți constanți, neomogenă:

)(... 1)1(

1)(

0 t g ya ya ya ya nnnn

Rezolvăm ecuația omogenă:

0... 1)1(

1)(

0 ya ya ya ya nnnn Facem ipoteza că soluția are forma

t e y și o punem să verifice ecuațiaomogenă:

0... 11

10 t nt nt nt n eaeaeaea Împărțim la 0

t e , obținem ecuația caracteristică:

0... 11

10 nnnn aaaa Ecuația caracteristică este o ecuație algebrică liniară, de gradn, care aren soluțiicare pot fi reale (diferite sau multiple) și complexe conjugate.

Soluția generală a ecuației omogene: Cazulrădăcinilor reale, distincte :

)exp(...)(exp)exp()( 2211 t At At At y nnG

unde A1 ,A2 ,…An sunt constante generalizate arbitrare.

Cazul rădăcinilor multiple de ordin m


55/283

55

121 ...)(

j j

m jm j j j t At A At P

Cu A constante generalizate arbitrare, iar jm

ordinul de multiplicitate alcelei de a j-a rădăcină.

k - numărul de rădăcini distincte.

În cazul rădăcinilor complexe conjugate avem, pentru fiecare pereche avem:

)sincos( 21 t At Ae t

Cu , respectiv partea reală și imaginară a numărului complex. Soluția particulară o putem determina cu ajutorulmetodei coeficiențilornedeterminați :

Facem ipoteza că soluția particulară )(t y P

este de forma termenului liber și punem condiția ca aceasta să verifice ecuația neomogenă.

Soluția ecuației neomogene este suma între soluția generală a ecuației omogeneți soluția particulară:

)()()( t yt yt y P G Exemplu:

Modelul politicilor de stabilizare între cerere agregată și oferta agregată al luiPhillips

Notăm:

)(t D cererea agregată


56/283

56

)(t Y oferta agregată Dacă există cerere excedentară, oferta crește; dacă există ofertă excedentară,

oferta scade:

0

))()(()(

t Y t Dt Y

0 coeficient de reacție care arată viteza de ajustare între cerereaagregată și oferta agregată. )()1()( t Y st D

Unde s este propensitatea/înclinația marginală și medie spre economisire,

10 s .Presupunem că cererea agregată este afectată de o perturbație adversă u=1.

1)()1()()1()( t Y sut Y st D Determinarea ecuației de dinamică a venitului în aceste ipoteze

Înlocuim în ecuația de dinamică a venitului:

)()( (1)()1())()(()( t sY t Y t Y t Y st Y t Dt Y Ultima relație este o ecuație diferențială de ordinul unu, neomogenă.

Rezolvarea ecuației liniare de ordinul unu, neomogenă:

Ecuația omogenă:

)()( t sY t Y


57/283

57

Este ecuație cu variabile separabile.

Soluția generală a ecuației omogene:

st G

Cet Y

)( Soluția particulară:

Dt Y P )( soluția particulară are forma termenului liber, o constantă.

Punem condiția ca )(t Y P

să verifice ecuația neomogenă:

sD0 s

Dt Y P 1

)( Rezultă traiectoria venitului:

sCet Y st

1)(

Condiția inițială:

se

st Y

sC Y Y

st 11)(

1)0( 0

Stabilitatea:

st Y t 1

)(lim


58/283


59/283

59

t

o

i dt t Y f t G )()(

0i f Determinarea ecuației de dinamică a venitului:

Între nivelul teoretic )(t G și cel actualG(t) al cheltuielilor guvernamentaleexistă o întârziere (obs. Întârzieri interne și externe în politicilemacroeconomice, vezi cursul de“Macroeconomie cantitativă”):

)()( t Gt G Ajustarea diferenței între )(t G și G(t) este dată de ecuația:

))()(()( t Gt Gt G 0 este coeficient de reacție și indică viteza de ajustare.

c. Pornim de la ecuația cererii agregate, care vainclude cheltuielileguvernamentale, întrucât în model s-a introdus guvernul:

)(1)()1()( t Gt Y st D Derivăm în raport cu timpul:

)()()1()( t Gt Y st D Înmulțim ecuația cererii agregate cu :

)()()1()( t Gt Y st D Adunăm cele două relații:


60/283

60

)()()1()()()1()()( t Gt Y st Gt Y st Dt D

Rescriem))()(()( t Gt Gt G

ca:

)())()( t Gt Gt G și înlocuim în ecuația de mai sus,obținem:

)()()1()()1(

)()(

t Gt Y st Y s

t Dt D

(a)

d. Pornim acum de la variația venitului:

))()(()( t Y t Dt Y Explicităm pe D(t):

)()(

)( t Y t Y

t D

Înmulțim cu :

))()(()( t Y t Y t D

Derivăm:


61/283

61

)()(

)( t Y t Y

t D

Adunăm ultimele relații:

)()())()(()()(

t Y t Y t Y t Y t Dt D

(b)

Egalăm membrii drepți din ecuațiile (a) și (b):

)()())()((

)()()1()()1(t Y t Y

t Y t Y

t Gt Y st Y s

Obținem ecuația de dinamică a venitului:

)()()()()( t Gt sY t Y st Y

Politica de stabilizare proporțională:

)()()()()( t Y f t sY t Y st Y pEcuația omogenă:

0)()()()()( t Y f st Y st Y p

Căutăm soluție de forma:

t et Y )(

0)()(2 t pt t e f se se

Ecuația caracteristică:


62/283


63/283

63

Dt Y P )( Punem condiția să verifice ecuația neomogenă:

D f s p )(

p f s D

1

Soluția:

p

G

f st Y t Y 1)()(

Dacă traiectoria este stabilă: 2,1,0Re ii , atunci:

pt f s

t Y 1

)(lim

Observăm că traiectoria de echilibru este tot negativă, dar mai mică în valoareabsolută:

s f s p

11ceea ce relevă faptul că politica

proporțională are o anumită eficiență, dar nu reușește să transforme valoareanegativă a echilibrului într -o valoare pozitivă.


64/283

64

Seminar

Aplicație numerică:

Considerăm următoarele valori:

4)0(

0)0(2

5,0

25,0

4

Y

Y

f

s

p

c) Determinați consecințele unei perturbații unitare negative a cereriiagregate.d) Determinați în raport cu situația de la punctul (a), efectele politicii de

stabilizare proporționale. (a)

echt

t

t

P

t G

Y t Y

et Y

C Cet Y

t Y

Cet Y

t Y t Y

t Y t Y t Y t Y

4)(lim

44)(

404)(

4)(

)(

)()(

4)())(1)(75,0(4)(


65/283

65

(b)

8)(6)(3)( t Y t Y t Y

ticăcaracterisecuatie0632

i936,15,12,1 ))936,1sin()936,1cos(()( 21

5,1 t At Aet Y t G Dt Y P )(

33,168

)( t Y P

33,1))936,1sin()936,1cos(()( 215,1 t At Aet Y t

33,133,1)0sin0cos(0)0( 1210 A A AeY

(Obs: 0)0sin(,1)0cos( )

)936,1(cos(936,1)936,1sin(936,1))936,1sin()936,1cos((5,1)(

215,1

215,1

t At Ae

t At Aet Y t

t

Obs: )cos()(nsi

)sin()(sco

t t

t t

21 936,15,144)0( A AY


66/283

66

033,1936,133,15,14 22 A A x

33,1)936,1sin(033,1)936,1cos(33,1)( 5,1

t t et Y t

Refaceți calculele când 2 p f , 8 . Ce puteți să spuneți desprenoile valori de echilibru în cazul inițial și după aplicarea politicii de stabilizare?

SI STEM E DI NAM I CE DI SCRETEClasificare:

Un sistem dinami c discret este o secvență de funcții yt , care sunt definiterecursiv, adică există o regulă care leagă funcțiile din secvență. Notăm secvența:{ yt }.

)(1 t t y f y (1)Relația (1) esteecuație recursivă.

)(11 t t t t y g y y y (2)Relația (2) esteecuație cu diferențe de ordin unu.

În ecuația (1) )( t y f poate filiniară/neliniară.Ecuația dinamică liniară discretă de ordinul doi, neomogenă, cu coeficiențiconstanți:

)(12 t g byay y t t t Rezolvarea ecuațiilor liniare dinamice discrete cu coeficienți constanți:

1. Rezolvăm ecuația omogenă:

012 t t t byay y


67/283

67

Căutăm o soluție de format :

012 t t t

ba

Împărțim ecuația la 0t :

02 ba ecuația caracteristică. Există trei cazuri:

1.Discriminantul

0 , rădăcini reale distincte. Soluția generală a ecuației omogene are forma:

t t Gt A A y 2211

2,1, i Ai sunt constante generalizate arbitrare.2. Discriminantul 0 , rădăcini reale egale

t Gt t A A y )( 21 3. Discriminantul 0 rădăcini complexe conjugate.

t t Gt iba Aiba A y )()( 21

Temă: Deduceţi forma analitică a soluţiei generale a ecuaţiei omogene, în cazulrădăcinilor complexe ale ecuaţiei caracteristice:


68/283

68

)sincos( t At Ar y t Gt Rezolvare:Forma polară a numerelor complexe:

)sin(cos)( ir iba 22 bar modulul numărului complex

)/( abarctg argumentul numărului complex Teorema lui Moivre:

)sin(cos)( t it r iba t t

)sin(cos)sin(cos

2

1

t it r At it r A y

t

t Gt

cu i A 1 și i A 2constante complexe.Înlocuind în soluție și făcând calculele obținem:

)sincos( t At Ar y t Gt cu A și A constante reale. Soluția particulară prin metoda coeficienților nedeterminați:


69/283

69

P t y se consideră d forma termenului liber și se pune condiția ca ea să

verifice ecuația neomogenă.

Echilibrul și stabilitatea sistemelor dinamice discrete

Considerăm sistemul dinamic discret:

)(1 t t

y f y

y este punct de echilibru/fix dacă și numai dacă:

)( y f y Stabilitatea/instabilitatea punctelor fixe:

- dacă 1)( y f , atunci y este stabil și este punct fix de

tip atractor;

- dacă 1)( y f , atunci y este instabil și este punct fix de tip

repelor;


70/283

70

Sistem stabil, punct fix atractor, sistem stabil.

Punct fix repelor, sistem instabil.


71/283

71

Punct fix atractor, local asimptotic stabil (traiectoria pornește dintr -o vecinătatea punctului fix și atinge valoarea acestuia la infinit)

Punct fix atractor, global asimptotic stabil (traiectoria pornește din orice punctdin inițial și atinge valoarea punctului fix la infinit)

EXEMPLE

1. Dobânda compusă Dacă o sumă de baniA este capitalizată anual la o rată a anuală a dobânziir

pentru un număr de anit , atunci plata totală după t ani este:t t r A P )1(

Dacă este capitalizată dem ori în fiecare an, de exemplu lunar, m=12,atunci suma totală este:

t l t r A P

12)1(


72/283

72

În acest caz, 12r

r l este rata lunară a dobânzii. Rata anuală efectivă a dobânzii în cazul capitalizării dem=12 ori anual este:

t l

t ef r Ar A

12)1()1( ridicăm toată ecuația la

puterea (1/t) și împărțim la A:

12

)1()1( l ef r r Adică: 1)1( 12 l ef r r

Exemplu:r=7% pe an,capitalizată trimestrial, m=4.

Rata trimestrială a dobânzii este: 0175.0

407,0

4 r

r tr

Calculați rata efectivă a dobânzii:

072,01)0175,01( 4ef r Adică 7,2%. Formula generală:

1)1( t t Y r Y Considerămcazul general al unui depozit anual suplimentar (withdrawal):

11)1( t t t aY r Y Sau mai general ecuația recursivă:

1111 )1( t t t t t bY aY r aY


73/283

73

Considerăm cazul particular: a t =a pentru toțit :

1 t t bY aY Rezolvarea ecuației omogene:

bb t t 1 Soluția generală a ecuației omogene:

t Gt CbY DY P t

ba

DbDa D1

baCbY t t 1

Aplicăm condițiile Cauchy 0)0( Y Y :

b

aY C

b

aC Y

11 00

Soluția:

ba

bb

aY Y t t 1

)1

( 0

Punct fix:


74/283

74

b

aY Y baY

1

Soluția este deci:

Y bY Y Y t t )( 0 Condiția necesară și suficientă de stabilitate a traiectoriei :

1 .

În cazul nostru b :Pentru 10 b , sistemul este stabil, mișcarea este convergentămonotonă.

Pentru 01 b sistemul este, de asemenea stabil, mișcarea esteconvergentă, oscilantă.

Dacă 1b , sistemul este instabil, mișcare este explozivă. Exemplu:Un investitor face un depozit inițial 10.000u.m.pe 5 ani și un depozitsuplimentar de: 250u.m.Rata dobânzii pe piața monetară este de 5% pe an. Se cere valoarea depozitului după 5 ani: cu Y 0 = 10.000 , a t =a =250 toțit șib =(1 +r ) = 1.05.

abY Y t t 1 25005,1 1 t t Y Y

Soluția:


75/283

75

ba

bb

aY Y t t 1

)1

( 0

20,1414405,11

25005,1)

05,11250

10000( t t Y Valoarea prezentă și rata internă a dobânzii Plățile viitoare când dobânda este capitalizată sunt:

t t r P P )1(0

Valoarea prezentă a sumei t P , este:

t t

r

P PV P

10

În acest cazr se numeșterată de scont .

Suma )( PV P t se numeștetaxă de scont .

Operațiunea de scont (sau de scontare): cumpărarea de către o bancăcomercială a unor polițe (sau bilete la ordin, chitanțe sau scrisori deschimb, efecte comerciale) înainte de scadență, cu reținerea din valoarea lornominală, a dobânzii până la scadență şi a unui comision.

Anuitate:

Anuitate A : o serie de plăți în valoare A făcute la intervale constante de timp den perioade.Fiecare plată este afectată de o dobândă de la data când este făcută până lasfârșitul celor n perioade. Ultima perioadă nu este afectată de dobândă.Valoarea viitoare este FV , la sfârșitul celorn perioade:

Ar Ar Ar A FV nn )1(...)1()1( 21 Soluția, respectiv suma primilorn termeni ai unei progresii geometricecrescătoare:


76/283

76

r

r A FV

n 11

Valoarea prezentă, împărțim FV lanr )1( :

nn r A

r A

r A

r A

r A

PV )1()1(

...)1()1()1( 132

Cu soluția, respectiv suma primilor n termeni ai unei progresii geometricedescrescătoare:

r

r A PV

n)1(1

Exemplu:

Suma de 1000 u.m. este depusă la bancă la sfârșitul fiecărui anîntr-un cont deeconomii și îi este aplică dobânda capitalizată de 6,5% anual.

a) la sfârșitul anului al 10-lea, care este suma din contul de economii? b) care este suma șirului de valori prezente?

a)

4,13494065,0

1065,011000

11 10 r r

A FV n

83,7188065,0

065,0111000

11 10 r

r A PV

n

Valo area prezentă netă:

t B beneficiul

t C costul


77/283

77

t t r B )1/( valoarea prezentă a beneficiilor în fiecare an t

t

t r C )1/( valoare prezentă a costurilor în fiecare an t. Valoarea prezentă netă pe o perioadă de n ani:

n

t t t t

n

t t

t n

t t

t

r C B

r C

r B

NPV 000 )1()1()1(

Dacă NPV > 0, proiectul de investiții va fi adoptat.

Exemplu :Oportunitatea achiziționării unei mașini cu costul40000u.m.care va duce lacreșterea venitului cu7500u.m.în fiecare an pentru următorii 10 ani. După 5 aniexistă o cheltuială de întreținere de5000u.m.Rata de scont considerată este de8%.

Decizia de investire se va lua în funcție de valoarea prezentă netă:

5

10

1 )08,01(5000

)08,01(7500

40000 t

t NPV

Deci:

69,6922)08,1(

500008,0

)08,1(1750040000 5

10 NPV

Este necesar să se facă ipoteze asupra ratei de scont, ceea ce introduce odificultate majoră.

O alternativă este de a calcularata dobânzii interne (RDI ): esterata de scont care dă o valoare prezentă netă egală cu zero. RDI este rata de scont r, care satisface:

0)1(0

n

t t t t

r C B

În membrul stâng avem un polinom de gradn: existăn soluții posibile.


78/283


79/283

79

Calculați populația pentru t=1-10, faceți graficul, calculați punctul fix, analizațistabilitatea.

Exemplul 3 Modelul Harrod - Domar, varianta discretă

t t

t t t

t t

I S

Y Y I

sY S

)( 1

Obținem ecuația cu diferențe de ordinul unu:

1

t t Y s

Y

Cu soluția:

0Y sY

t

t

1 s

sistemul este stabil,

1 s

sistemul este instabil.

Punct fix:

0

Y Y s

Y

Temă:

3,0

25,0

10000

s

Y

Scrieți traiectoria de evoluție a venitului, calculați punctul fix, analizațistabilitatea (tipul de punct fix), faceți graficul traiectoriei pentrut = 1-10


80/283

80

Aproximarea liniară a ecuațiilor neliniare cu diferențe Forma generală a ecuației de ordin unu, neliniară:

1 t t x f x Considerăm forma autonomă ( 1t x f nu depinde explicit de timp).Există punct fix, dacă:

)( x f x toți t.

Aproximarea liniară de ordinul unu:

),())(()( 1211 x x R x x x f x f x f x t t t t Ignorând restul, obținem:

))(()( 11 x x x f x f x f x t t t Exemplu:

M odelul lu i Solow în timp discret

În timp discret avem: ),( 11 t t t L K F Y venitul la momentult este produs de combinația de factori ai anului precedent.


81/283

81

1

11

11

),()(

t

t t

t

t t t L

L K F LY

k f yfuncția de producție

macroeconomică per capita, cu și

rata deprecierii capitalului fix,Populația crește cu o rată constantă n:

Adică indicele de dinamică este:

Economiile sunt egale cu investițiile:

It=St

De unde:


82/283

82

Împărțim ambii membrii la Lt-1:

Obținem:

Sau:

Explicităm capitalul per capita:

În cazul funcției de producție Cobb-Douglas per capita cu randamente constantela scală:

0,10,)( 11 aak k y t t t Ecuația de dinamică a capitalului per capita:


83/283

83

n

sak k k t t t

1

1 11

Sau:

11 )11

(1 t t t

k n

ak n

sk

Deci:

Soluția staționară:

)( k hk

nk sak k

11

0)1

)11

1(( 1

k n

san

k

Avem două puncte fixe:

01 k )1/(1

2 sa

nk


84/283

84

Dezvoltarea Taylor în jurul punctului

)1/(1

2

sa

nk :

k k n

k sak k t t 1

1

1

1

Seminar:

Considerăm valorile:

.

20,1,0,02,0,1,0,25,0,5 0 k n sa

a. Scrieți modelul lui Solow în mărimi per capita. b. Determinați numeric punctele fixe ale funcțieit k :

01 k

67,65,0

1,002,0 75,0/1)1/(1

2

san

k

c. Scrieți ecuația de dinamică a înzestrării tehnice a muncii determinată prin aproximare liniară:


85/283

85

k k n

k sak k t t 1

1

11

59,091176,0

91176,0*67,691176,067,667,6*

*02,01

67,651,025,01,0167,6

1

11

125,0

t

t t

t

k

k k

x xk

59,091176,0 1 t t k k Ecuație liniară, neomogenă, de ordinul unu, cu coeficienți constanți: 117489,1 t t k k ecuația omogenă.

Facem ipoteza că soluția este de forma t t k 191176,0 t t

Împărțim prin 01t .Ecuația caracteristică este:

91176,0 Soluția generală a ecuației omogene:

t Gt C k )91176,0(

Soluția particulară:

Dk P t Punem condiția ca soluția particulară să verifice ecuația neomogenă:

59,091176,0 D D 67,608824,0/59,0 D

67,6)91176,0( t P t Gt t C k k k Constanta generalizată:


86/283

86

33,13

67,620

C

C

Soluția:

67,6)91176,0(33,13 t t k Reprezentați grafic în EXCEL soluția obținută.

Exemplul 4:

Ecuația logistică, varianta discretă

Unde b este coeficientul de competiție:

Este o ecuație neliniară recursivă, care nu poate fi rezolvată analitic în formaaceasta.Putem face o ipoteză:

Atunci:

Obținem:

Rezolvare:

Împărțim ambii membrii la


87/283

87

Notând:

Obținem:

În echilibru:

, atunci:

De unde:

Scăzând din ecuația recursivă valoarea de echilibru x obținem: soluția generală:

Cu soluția generală:

Sau:

Considerând încă o dată :

Deci:


88/283

88

Sau:

Este deja stabilit că:

Figura: curba logistică pentru: , ,

Pagina 121


89/283

89

CURS 4Exemplul 2:

Creșterea Maltusiană a populației Ipoteză: întret și t+1 , creștere populației este proporțională cu nivelul inițial al populației, k> 0 este factorul de proporționalitate:

pk p

kp p

t

t t

)1(1

1

Cu soluția analitică:

0)1( pk p t

t Punct fix:

0)1( p pk p Stabilitatea:

0)1(limlim pk p t

t t t sistem asimptotic instabil, punct fixrepelor.

Temă: Considerăm datele:k=0,5P0= 1000Calculați populația pentru t=1-10, faceți graficul, calculați punctul fix, analizațistabilitatea.

Exemplul 3 Modelul Harrod - Domar, varianta discretă


90/283

90

t t

t t t

t t

I S

Y Y I

sY S

)( 1

Obținem ecuația cu diferențe de ordinul unu:

1

t t Y sY

Cu soluția:

0Y sY

t

t

1 s

sistemul este stabil,

1 s sistemul este instabil.

Punct fix:

0

Y Y

sY

Temă:

3,0

25,0

10000

s

Y

Scrieți traiectoria de evoluție a venitului, calculați punctul fix, analizațistabilitatea (tipul de punct fix), faceți graficul traiectoriei pentrut = 1-10


91/283

91

Aproximarea liniară a ecuațiilor neliniare cu diferențe Forma generală a ecuației de ordin unu, neliniară:

1 t t x f x Considerăm forma autonomă ( 1t x f nu depinde explicit de timp).Există punct fix, dacă:

)( x f x toți t.

Aproximarea liniară de ordinul unu:

),())(()( 1211 x x R x x x f x f x f x t t t t Ignorândrestul, obținem:

))(()( 11 x x x f x f x f x t t t

Exemplu:

M odelul lu i Solow în timp discret

În timp discret avem: ),( 11 t t t L K F Y venitul la momentult este produs de combinația de factori ai anului precedent.

1

11

11

),()(

t

t t

t

t t t L

L K F LY

k f yfuncția de producție

macroeconomică per capita, cu

111 / t t t L K k și 1/ t t t LY y 11 t t t t K K K I


92/283

92

rata deprecierii capitalului fix,Populația crește cu o rată constantăn:

n L

L L

t

t t

1

1

Adică indicele de dinamică este:

n L L

t

t 11

Economiile sunt egale cu investițiile:

t t S I

t t sY S t t t sY S I

De unde:

111 )1( t t t t t t K K K K K sY

Împărțim ambii membrii la Lt-1:

1

1

11

1

11

)1()1(

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

L K

L L

L K

L K

L K

L sY

Obținem:


93/283

93

1)1()1( t t t k nk sy Sau:

11 )1()1()( t t t k nk k sf Explicităm capitalul per capita:

)1(

)()1( 11

n

k sf k k t t t

În cazul funcției de producție Cobb-Douglas per capita cu randamente constantela scală:

0,10,)( 11 aak k y t t t Ecuația de dinamică a capitalului percapita:

n

sak k k t t t

11 11

Sau:

11 )11

(1

t t t k nak

n s

k

Deci:

)( 1 t t k hk


94/283

94

Soluția staționară:

)( k hk

n

k sak k

1

1

0)1

)11

1(( 1

k n

san

k

Avem două puncte fixe:

01 k )1/(1

2 sa

nk

Dezvoltarea Taylor în jurul punctului

)1/(1

2 sa

nk

:

)(1

)()1(

)(1

)()1()(

1

)()())(1()(

1

1

1

1

11

1

k k n

k sak

k k n

k sak h

n

k k k sak k k hk

t

t

t t t


95/283

95

k k n

k sak k t t 1

1

1

1

k

nk sa

k n

k sak t t 1

11

11

1

1

1

Adică o ecuație liniară neomogenă de ordinul întâi, pe care o rezolvăm cumetodele cunoscute.

Seminar:

Considerăm valorile:

.

20,1,0,02,0,1,0,25,0,5 0 k n sa a. Scrieți modelul lui Solow în mărimi per capita. b. Determinați numeric punctele fixe ale funcțieit k :

01 k

67,65,0

1,002,0 75,0/1)1/(1

2

sa

nk

c. Scrieți ecuația de dinamică a înzestrării tehnice a muncii determinată prin aproximare liniară:

k k n

k sak k t t 1

1

11


96/283

96

59,091176,0

91176,0*67,691176,067,667,6*

*02,01

67,651,025,01,0167,6

1

11

125,0

t

t t

t

k k k

x xk

59,091176,0 1 t t k k Ecuație liniară, neomogenă, de ordinul unu, cu coeficienți constanți:

117489,1 t t k k ecuația omogenă.

Facem ipoteza că soluția este de format

t k 191176,0 t t

Împărțim prin 01t .Ecuația caracteristică este:

91176,0 Soluția generală a ecuației omogene:

t Gt C k )91176,0(

Soluția particulară:

Dk P t Punem condiția ca soluția particulară să verifice ecuația neomogenă:

59,091176,0 D D 67,608824,0/59,0 D

67,6)91176,0( t P t Gt t C k k k Constanta generalizată:


97/283

97

33,13

67,620

C

C

Soluția:

67,6)91176,0(33,13 t t k Reprezentați grafic în EXCEL soluția obținută.

Sisteme dinamice discrete de ordin superior

Exemplu: Modelul ciclului comercial al lui HicksModel de tipul multiplicatorului accelerator al lui Samuelson cu anumite particularități.

Modelul:

t t t I C Y - venitul în structura cererii este sumaîntre consum șiinvestiții.

1 t t Y cC consumul în perioadat este în funcție de venitul perioadei precedente, 10 c este propensitatea marginală și medie către consum. Investițiile au două componente: investițiile autonome și investițiile în funcție devenit:

A

t

Y

t t I I I

0),( 21 k Y Y k I t t Y t investițiile sunt funcție de sporul absolut alvenitului în intervalul 2,1 t t , k>0 este coeficient de accelerare carearată viteza de transformare a sporului de venit în investiții.


98/283

98

0,0,)1( 00 g A g A I t At investiția autonomă crește cuo rată constantă g .

Substituind în ecuația de distribuție a venitului obținem:

)()1( 2101 t t t t t Y Y k g AY cY Sau, rearanjând termenii:

t t t t g AkY Y k cY )1()( 021

0)( 21 t t t kY Y k cY ecuația omogenă;

Facem ipoteza că soluția este de forma:t

t Y Punem condiția să verifice ecuația omogenă:

0/0)( 221 t t t t k k c

0)(2 k k c

)()2(24 222 k f cck k k k c parabolă convexă care intersectează abscisa (axa Ok) în două puncte

22,1 )1( sk , unde c s 1 este propensitatea marginală

către economii, egală cu propensitatea medie.


99/283

99

1)1(,1)1( 22 s s

0)( k f , în afara rădăcinilor lui , 21 , k k k k .Rădăcinile ecuației caracteristice vor fi reale și diferite:

2,121 ; ,

0)( k f , între rădăcinile lui 21, k k k , rădăcinileecuației caracteristice vor fi complexe conjugate,

ibaC 2,12,1 , 0)( k f pentru rădăcinile lui

2)1( sk .

Rădăcinile ecuației caracteristice vor fi reale și egale 2,121 ;

Zonele de stabilitate :


100/283

100

Zona A:

01)1( 2 sk

2,121 ;

Mișcare monotonă: 2,1,1 ii mișcare amortizată/convergentă Soluția:

P t

t t t Y A AY )()( 2211

Zona B:

01)1( 2 k s

ibaC 2,12,1 ,

P

t t

t Y t At Ar Y sincos 21 22 bar modulul numărului complex

)/( abarctg argumentul numărului complex

,1r mișcare oscilantă convergentă Zona C:

0)1(1 2 sk Rădăcini complexe conjugate:

P t t t Y t At Ar Y sincos 21


101/283

101

1r mișcare oscilantă divergentă Zona D:

0)1(1 2 k s 2,1,1 ii , mișcare monotonă divergentă.

Soluția:

P t

t t t Y A AY )()( 2211

Zona H:

1k 22 )1()1( sk s

P t t t Y t At Ar Y sincos 21 Mișcare oscilantă.

Zona E:

01)1( 2 sk

R ădăcini reale egale:

P t

t t Y t A AY ))(( 121

1

Mișcare monotonă divergentă


102/283

102

Zona F:

01)1( 2 sk

1 R ădăcini reale egale:

P t

t t Y t A AY ))(( 121

Mișcare monotonă convergentă.

Determinarea soluției particulare:

Căutăm o soluție particulară de forma termenului liber:

t P t g DY )1(

Pentru determinarea constantei D, utilizăm metoda coeficienților nedeterminați.

Punem condiția cat P

t g DY )1( să verifice ecuația neomogenă: t

t t t g AkY Y k cY )1()( 021 t t t t g A g kD g Dk c g D )1()1()1()()1( 0

21

20

2

)1()1()()1( g AkD g Dk c g D

k g k c g g A

D)1)(()1(

)1(2

20

t P

t g

k g k c g

g AY )1(

)1)(()1(

)1(2

20


103/283


104/283

104

Obs:

impara functie xctg xctg

impara functie xtg xtg

impara functie x x

para functie x x

)()(

)()()sin()sin(

)cos()cos(

12111

)1,1(0,263)171,27sin()171,27cos(412,150

0,263100

A A

A

7,267

0,163

2

1

A

A

t t t t t Y )1,1(0,263)171,27sin(7,267)171,27cos()0,163(1412 t Y t I At I 15,0 t t Y C 21 t t Y Y At Y t t t I I C Y 0 -12

Temă:

50,100;100;1,0;5,2;75,0 100 Y Y A g k c

SISTEME DINAMICE MULTIDIMENSIONALE CU VARIABILECONTINUE

Sisteme de ecuații simultane cu variabile continue

)()()()()()()()(

22221212

12121111

t g t xat xat xt g t xat xat x


105/283

105

Coeficienții 2,1,, jiaij cunoscuți,

Funcțiile2,1),( it g

i date.Rezolvăm ecuația vectorială omogenă:

)()()(

)()()(

2221212

2121111

t xat xat x

t xat xat x

)(

)()(

2

1

t x

t xt X

vector de stare

)(

)()(

2

1

t g

t g t g vector de comandă decizie, instrumental.

Soluția generală a sistemului omogen:

2

1)exp()( K K

At t X G

Obs: )exp( At este o matrice cun linii șin coloane, se numește matricefundamentală de soluții.

2

1

K

K K

vector de constante generalizate.

Determinarea funcției )exp( At :

2221

1211

aaaa

A matricea de structură.

Valorile proprii ale matricei A:


106/283

106

0)det( I A 0

2221

1211

aa

aa ecuația caracteristică,

0)()(

0))((

211222112211

2

21122211

aaaaaa

aaaa

ecuația caracteristică.

1. Metoda polinoamelor de interpolare Silvester-Lagrange (numai încazul rădăcinilor reale)

Aproximăm funcția )exp( At unde A este o matrice, cu un polinom degard (n-1 ), pentru un sistem dinamic cu un vector de staren-dimensional: polinom Silvester – Lagrange.

Pentrun=2, polinomul S-L este:t t e

I Ae

I A A P 12

21

2

12

1)(

În caz general, pentru un sistemn dimensional:

n

k

t

n

k j jk

n

k j j

At k e

I A

e A P 1 )(

)(

Cazulrădăcinilor multiple: Kalvin Lancaster“Analiza economică matematică “, Editura Științifică,București, 1973: în sistemele economice reale se întâlnesc rar valori propriimultiple, cu un ordin de multiplicitate mai mare decât 2.


107/283


108/283

108

CURS 5

SISTEME DINAMICE MULTIDIMENSIONALE CU VARIABILECONTINUE

ExempluStabilitatea dinamică a echilibrului cerere- ofertă: cazul multidimensional Stabilitatea dinamică ia în considerare evoluția prețului în timp în funcție deanumite reguli specifice fiecărei piețe.

Stabilitate dinamică a pieței în sens Walras: piața posedă această proprietatedacă traiectoria de evoluție a prețului tinde către prețul de echilibru static.

Considerăm sistemul Walrasian: Vectorul funcțiilor de cerere pem piețe:


109/283

109

),...(

),...()(

1

11

mm

m

p p D

p p D p D

funcție vectorială de variabilă vectorială a

cererilor pem piețe.

),...(

),...(

)(

1

11

mm

m

p pS

p pS

pS funcția vectorială a ofertei pem piețe.

)()(

),...(

),...(

)(

1

11

pS p D

p p E

p p E

p E

mm

m

funcția vectorială a

cererii excedentare.Condiția de echilibru general:

m j p p E m j ,...,1,0),...,( 1 Mecanismul de reglare a pieței către echilibru, în conformitate cu legile normaleale cererii și ofertei:

satb p satb p p E

echilibru pentru p pS p p D

jm j

m jm j

),...,(

:),...,(),...(

1

11

satb p satb p p E

echilibru pentru p pS p p D

jm j

m jm j

),...,(

:),...,(),...(

1

11

Condițiile J.K. Hicks de reglare pieței către echilibru:

0),...,( 1

j

m j

dp

p pdE

, adică legile normale ale cererii și ofertei.


110/283

110

J.K. Hicks distinge două tipuri destabilitate statică:

a. Stabilitate statică imperfectă: modificare unui preț j p distruge echilibrul pe celelalte piețe , care trebuiesc apoi reechilibrate.

b. Stabilitate statică perfectă:modificare unui preț j p , distruge echilibrul pe piața j și pe alte (k-1) piețe, care treuie reechilibrate, celelalte (m-k ) piețerămân în echilibru.

Considerăm modificarea totală a cererii excedentare pe piața j:

mm

j j j dpdp

pdE dpdp

pdE pdE )(...)()( 11

Notăm:

k

j jk

dp

pdE a

)( modificarea cererii excedentare pe piața j, cauzată de

modificaea prețului pe piațak. Atunci diferențiala totală a funcției de cerereexcedentară este:

m jm j j dpadpa pdE ...)( 11 Condiția de stabilitate statică imperfectă:

jk mk dpadpa pdE

dpadpadpadE

mkmk k

m jm j j j

,,1)(0

...

11

2211

Sistem algebric cum ecuații șim necunoscute m jdp j ,1, .Aplicăm regula lui Cramer:


111/283

111

D

DdE dp jj j j

mmm

m

aa

aa D

1

111

determinantul matricei sistemului, adică determinantul

matricii Jacobi a derivatelor parțiale ale funcțiilor de cerere excedentară.

jj D este cofactorul, minorul cu semn, ataşat elementului jja aldeterminantului asociat matricei sistemului, obținut prin dezvoltrea după minorii principali de ordin (m-1).

m j D D

dp

dE

jj j

j ,1,0 condiția de stabilitate statică imperfectă.

Condiția este satisfăcută numai dacă D determinantul asociat matricei Jacobia sistemului și minorii principali de ordin (m-1) și jj D au semne contrare.

Condiția de stabilitate statică imperfectă este ca toți minorii principali deordinul (m- 1) asociați matricei sistemului să aibe semnul opus luideterminantului D, adică matricea Jacobian a sistemului să fie negativ definită.

Condiția de stabili tate sta tică perfectă

a. Se modifică 0, j j dp p , variază cererea excedentară pe piața j, 0 jdE ,


112/283

112

celelalte m j jk ,1, piețe rămân în echilibru, ne modificându-se prețurile pe aceste piețe.

jk mk dpa jk dpdpa pdE

jkj

k j jj j

,,1,0,0,)(

Condiția de stabilitate statică perfectă:

m jadp

dE jj

j

j ,1,0 adică, tocmai condiția Hicksiană.

b. Se modifică 0, j j dp p , variază cererea excedentară pe piața j, 0 jdE ,

se distruge echilibrul pe piațah, pentru restabilirea echilibrului trebuie modificat

h p .Celelalte prețuri nu trebuiesc modificate pentru că piețele corespunzătoarerămân în echilibru.

hhh jhjh

h jh j jj j

dpadpa pdE

dpadpa pdE

)(0

)(

Utilizăm regula lui Cramer pentru determinarea deviației prețului jdp

hhhj

jh jj

hh j j

aa

aaa

dE dp sau:


113/283

113

0hh

hhhj

jh jj

j

j

a

aa

aa

dp

dE

condiția Hicks.

Întrucât din condiția (a) implică0hha

, rezultă:

h jaa

aa

hhhj

jh jj

,,0

c. Se modifică 0, j j dp p , variază cererea excedentară pe piața

j se modifică: 0 jdE

Se distruge echilibrul pe piețelek, h, care vor trebui reechilibrate, celelalte piețerămân în echilibru:

k kk hkh jkjk

k hk hhh jhjh

k jk h jh j jj j

dpadpadpa pdE

dpadpadpa pdE

dpadpadpa pdE

)(0

)(0

)(


114/283

114

0)(

kk khkj

hk hhhj

jk jh jj

kk kh

hk hh

j j

aaa

aaa

aaa

aa

aa

pdE dp

condiția Hicks

Condiția de stabilitate statică este:

mk jh D

D

dp

dE

j

j,1,,,0

2

3

Întrucât din condiția (b) rezultă 02 D , verificarea condiției (c) impune:

03

kk khkj

hk hhhj

jk jh jj

aaa

aaa

aaa

D

Generalizând pe un număr crescând de piețe, rezultă condiția necesară și suficientă de stabilitate statică perfectă: matricea Jacobian să fie negativdefinită(minorii principali de ordin (m-1), (m-2), (m- 3),..să aibă semnealternative).

0 jja , 0kk kh

hk hh

aa

aa,

0

kk khkj

hk hhhj

jk jh jj

aaa

aaa

aaa

, etc..

Stabilitatea dinamică a modelului:

Considerăm evoluția prețurilor dată de relațiile:

m jt pt p E F t p m j j j ,1)),(),...,((()( 1

Funcțiile j F au același semn cu funcțiile j E , prin construcție:


115/283

115

m j E F j j ,1,sgnsgn Facem ipoteza că funcțiile j F sunt liniare în j E :

m j E k F j j j ,1(.),(.) Iar funcțiile j E sunt neliniare în p.

Considerăm vectorul prețurilor de echilibru: eme p p ,...,1 . Liniarizămfuncțiile j F prin dezvoltare în serie până la ordinal unu:

))(()(

(.)))((

)(

(.)),...,()( 11

11

emm

m

j j

e j j

em

e j j j pt pt p

E k pt p

t p

E k p p E k t p

În punctul de echilibru, cererea excedentară este zero:

m j p p E eme

j ,1,0),...,( 1 Notăm:

m j pt pt p e j j j ,1,)()( variabilele abatere și:

m jit p

E k ai

j j ji ,1,,)(

(.)

Rezultă:


116/283


117/283

117

1)(

(.),1)(

(.)

4)(

(.),2

)((.)

2

2

1

2

2

1

1

1

t p E

t p E

t p E

t p E

Stabilitatea statică

1. Stabilitateastatică imperfectă

- Piața 1: se modifică prețul 1 p distrugând echilibrul pe piața 1 și pe piața 2, care trebuie reechilibrată

00, 211 dpdp p

-

2221212

2121111

)(0

)(

dpadpa pdE

dpadpa pdE

212

211

11)(0

42)(

dpdp pdE

dpdp pdE

21

1142

22

11 a

dE dp


118/283


119/283


120/283

120

Vectorul propriu la dreapta2w :

2

2

2

w Aw

22

21

22

21 )

27

21

(11

42

w

wi

w

w

Alegem prima ecuație drept principală:

2221 )4(2

7

2

3ww

i

8732

2

212

iw

ww

Considerăm 1 Matriceavectorilor proprii la dreapta (coloană):

873

873

11

iiW

Matricea vectorilor proprii la stânga:


121/283

121

7

4

2

1

72

37

421

72

3

873

873

11 1

1

ii

iiiiW V

))27sin()27(cos(0

0))27

sin()27

(cos(

0

0

)2

1(

)21

(

)27

21

(

)27

21

(

t it e

t it e

e

e

t

t

t i

t i

)27

cos(4)27

sin(

7

12)

27

sin(

7

8

)27

sin(7

8)

27

cos()27

sin(73

)2/1(

t t t

t t t eV W e t At

2

3)0( p

)0()( pet p At Temă:

Verificați stabilitatea statică și dinamică a pieței știind că: 1

)()(

;2)()(

;1)()(

;1)()(

2

222

1

221

2

112

1

111 t p

t E a

t pt E

at pt E

at pt E

a Știind că

1

2)0( p , determinați traiectoria de evoluție a prețurilor.

Exemplul 2:

M odelul I S- LM dinamic varianta continuă


122/283

122

Piața bunurilor:

10)()( ct ycat c d )()()( t taxt yt yd

0,0)()( 00 iit r iit i

0,0)()( 00 t

Date post:	05-Jul-2018
Category:	Documents
Upload:	albu-daniela-gabriela
View:	236 times
Download:	0 times

Cursuri Dinamica Sistemelor Economice

Documents