Dinamica sistemelor economica

7/25/2019 Dinamica sistemelor economica

1/302

1

Capitolul 1

Cur s 1: Sisteme dinamice continue

1. Noiuni introductive

- Isocline, cmpuri de direcie i diagrame n spaiul fazelor.

2. Analiza dinamicii modelelor unidimensionale dinamice continue:

- Modelul Malthus

- Modelul Harrod Domar

- Modelul Solow

Isocline/curbe de indiferen, cmpuri de direcie i diagrame n spaiul fazelor

-n multe modele economice, putem avea ecuaii difereniale sau cu diferene finite ale cror soluii nu le putemdetermina explicit, chiar dac avem forma implicit a ecuaiei.

Pentru a avea informaii relative la soluie putem analiza proprietile calitative ale soluiei.

Considerm ecuaia diferenial de ordinul unu:

0,, babyaxdx

dy

(1)Isocline/curbe de indifereni cmpuri de direcie:

Pentru fiecare pereche (x,y), ecuaia (1) specific panta n acel punct.

Graficul tuturor pantelor formeaz cmpul de direcieal ecuaieidifereniale i dfluxul soluiilor.

Cmpul de direcie poate fi asemnat cu pilitura de fier care se orienteaz dup forele magnetice.


2/302

2

Figura 1: Cmp de direcie

Definiie:Cmp de direcie/fluxul soluiilor estegraficul tuturor pantelor traiectoriilor determinate de o ecuaiediferenial.

Nu este posibil s considerm toate perechile (x,y) dinplan,Putem considera numai perechile (x,y) asociate unei pante fixe.

Notm mpanta fix a funcieif (x, y), adic toate perechile (x, y) pentru care panta funciei este egal cu m.

f(x,y)=m se numete isoclin(isocuant/curb deindiferen).

Determinarea isoclinei pentru funcia:

mbyaxdydxyxf ),( .

Isoclina (isocuanta) este o curb convex.n ecuaia:

mbyax explicitm y n funcie de x:

b

m

b

axy

, este tocmai isoclinaf(x,y)=mscris n form explicit.

Diagrama n spaiul fazelor/diagrama fazelor pentru modelele dinamice cu o singur variabil

(Spaul fazelorpentru un sistem dinamic este staiul n care se pot reprezenta toate strile posibile ale unuisistem, i micarea acestora. Conceptul de spaiul fafelor a fost introdus la sfritul sec al XIXlea, de ctreLudwig Boltzmann,Henri Poincar,Willard Gibbs).

Considermx(t)funcie continu de timp.

Considerm o ecuaie diferenial ))(()( txftx

.

Soluia ecuaiei difereniale, pentru t variabil, se numete traiectorie.

Cnd0)( tx

, soluia

xtx )(se numetepunct fix, punct de echilibru, punct critic

sau soluie staionar.

Dac traiectoria converge din orice punct iniial, ctre punctul de echilibrux , putem spune c punctul fix

este de tip atractor.
https://en.wikipedia.org/wiki/Ludwig_Boltzmannhttps://en.wikipedia.org/wiki/Henri_Poincar%C3%A9https://en.wikipedia.org/wiki/Willard_Gibbshttps://en.wikipedia.org/wiki/Willard_Gibbshttps://en.wikipedia.org/wiki/Henri_Poincar%C3%A9https://en.wikipedia.org/wiki/Ludwig_Boltzmann


3/302

3

Punct fix atractor,traiectoria x(t) crete pn lax i scade dup

x .Este un punct fix stabil.

Dac traiectoria se ndeprteaz dex , din orice punct iniial, spunem c punctul fix este de tip repelor.

Punct fi x repelor:traiectoria x(t) se ndeprteaz dex , este un punct fix instabil.

Anal iza dinamicii pentru modelele dinamice uni dimensionale continue

Exemplul 1:

Modelul de cretere a populaiei Malthus:

ktptp )()(

(3)

p(t)= populaia la momentul t

k- rata constant de cretere a populaiei, k>0.

Ecuaia (3) este ecuaie diferenial de ordinul unu liniar omogen, cu variabile separabile.

Rezolvare:

)()()(

)(tkptpk

tp

tp

kdttptdp )(/)(

Integram ecuaia de mai sus:


4/302

4

dtktptdp )(/)( Ckttp ln)(ln

Unde C este constanta generalizat arbitrar.

Aplicm proprietile logaritmilor i funcia exponenial pentru eliminarea logaritmului.

ktCtp

ktCtp

Ckttp

exp)(

expln)(ln

lnexpln)(ln

Determinarea constantei de integrare:

Aplicm condiiile iniiale (Cauchy):

Pentru 0t ,

0

)0( pp

Cp 0 Obinem soluia:

kteptp 0)( Care satisface condiiile iniiale:

0)0( pp Tem: Determinai traiectoria de evoluie a populaiei pentru

p0=20, k=0,03 i k=0,05;

p0=50,k=0,03 i k=0,05;

p0=100, k=0,03 i k=0,05,

t=1,20.


5/302


6/302

6

tt

ktptp )exp(lim)(lim 0deci sistemul este instabil, cmpul de direcie se va ndeprta de punctul fix, punctul fix este de tip repelor.

n cazul sistemelor dinamice unidimensionale de ordinul nti omogene, soluia general a ecuaiei omogene este

de forma

tCe .

Dac 0 , stabilitatea este asigurat (vezi cursurile de Bazele ciberneticii economice). Exemplul 2:Modelu l de cretere economic Harrod- Domar1939-Roy Harrod

1946-Evsey DomarEste un model post Keynesian timpuriu de cretere economic.I s-a reproat instabilitatea soluiei.Controversele academice au dus, dup 1950 la dezvoltarea modelului Solow-Swan.Notaii, ipoteze:S(t)- economiile sunt proporionale cu venitul Y(t);

I(t)-investiiile (modificrile n stocul de capital) sunt proporionale cu modificrile venitului;S(t)=I(t)-la echilibru, economiile sunt egale cu investiiile.

s-propensitatea medie (egal cu cea marginal) ctre economisire;v-ponderea investiiilor n sporul total al venitului, sau inversul productivitii marginale a capitalului.

Modelul:

)()(

)()()(

)()(

tStI

tYtKtI

tsYtS

Rezolvarea modelului:

0)()(

)()(

tYs

tY

tsYtY

Ecuaie diferenial liniar, de ordinul unu, cu coeficieni constani, omogen.


7/302

7

)()(

tYs

dt

tdY

dts

tY

tdY

)(

)(

dts

tY

tdY

)(

)(

CtstY ln)(ln

Cts

tY lnexpln)(ln

)exp()( t

s

CtY Determinarea constantei de integrare:

0)0(0 YYt

CYxs

CYt 00 )0exp(0

)exp()( 0 t

s

YtY

Tem:

Scriei rezolvarea ecuaiei:

0)()(

tYs

tY

Cu condiiile iniiale:


8/302

8

0)0( YY Interpretare economic:n soluie, (traiectoria venitului):

tseYtY )/(0)(

/s -warranted rate of growth rata justificat de cretere economic: se justific prinstructura economic dat de parametrii modelului: s i

Punct fix:

00 YY

Tipul de punct fix:

t

ts

t

eYtY )lim()( )/(0lim

Punct fix de tip repelor, sistem global instabil.Se spune globalstabil/instabil, dac exist un singur punct fix.


9/302

9

Figura: Cmpul de direcie pentru modelul Harrod-Domar

Tem:Folosind EXCEL; determinai traiectoriile pentru indicatorii: Y(t),I(t),C(t),cunoscnd datele:

7,0

3,0

..1000

s

muY

)(7,0)(

)(3,0)()(

100)()7,0/3,0(

tYtC

tYtStI

etYt

Exerciiu:

75,0

25,0

500

s

Y

Exemplul 3:

Modelul de cretere echilibrat al lui Solow

Ipoteze:

1. ))(),(()( tLtKFtY

funcia de producie macroeconomic, de dou ori difereniabil,

omogen de grad unu;


10/302

10

)(

)()(

tL

tKtk

nzestrarea tehnic a muncii;

)(

)()(

tL

tYty

venitul per capita;

Calculul venitului per capita:

Presupunem funcia de producie omotetic (omogen de grad unu: 0),;(),( LKFLKF )

ykfkFLKF

LLKF

LY )()1,()1,(),(

2.Fora de munc crete cu o rat constant n, care este independent de variabilele celelalte ale sistemului:

0)0(),()( LLtnLtL nteLtL 0)(

3. Economiile sunt o pondere constant n valoarea venitului, (S=sY), s este rata economiilor, datexogen: modelul lui Solow este model de cretere economic exogen.

4. Economiile n echilibru, sunt egale cu investiiile:).()( tItS

.

4. Investiiile brute sunt egale cu variaia stocului de capital (investiia net) plus nlocuirea capitaluluifix uzat:

)()()( tKtKtI

Unde este rata amortizrii.Modelul lui Solow n mrimi totale:


11/302

11

nteLtL

KK

tKtItK

tsYtS

tStI

0

0

)(

)0(

)()()(

)()(

)()(

nlocuind primele dou ecuaii n a treia, obinem:

)()()( tKtsYtK Ecuaia de dinamic a capitalului sau investiia net.

Transformm modelul n mrimi per capita:

knksf

nkkksfL

L

L

K

L

KsY

L

LKLKk

)()(

)(2

Atunci:

)()())(()( tkntksftk

Modelul lui Solow n mrimi percapitaconst n ecuaia de dinamic a nzestrrii tehnice a muncii sau investiianet n mrimi per capita de mai susi condiia iniial:

0

0

0)0( kL

Kk

Putem rezolva ecuaia dinamic a capitalului per capita dac dm o form analitic funciei de producie percapia.

Presupunem c este o funcie Cobb-Douglas omotetic (omogen de grad unu):


12/302

12

akkfy

LKa

LY

LaKY

)(

)(

10,1

Ecuaia de dinamic a capitalului per capita va fi:

)()()()( tkntsaktk Ecuaia diferenial obinut este:

)()()()( tsaktkntk

ecuaie diferenial neliniar, omogen, de tip Bernoulli.

Rezolvarea ecuaiei Bernoulli:

Schimbarea de variabil:

1k Derivm n raport cu timpul:

kk )1(

Explicitm k din relaia de mai sus:

)1(

kk

mprim ecuaia de dinamic lak :


13/302

13

saknkk 1)(

nlocuim

)1(

kkn ecuaia de mai sus:

Obinem:

))(1()1( nsa

Adic o ecuaie liniar de ordinul unu, neomogen n

.

Rezolvm ecuaia omogen:

0))(1( n

Cutm o soluie de forma:

tet )(

Punem condiia ca soluia s verifice ecuaia omogen:

0))(1( tt ene

mprim ecuaia la

te :

0))(1( n Ecuaia de mai sus se numete ecuaie caracteristic.

Determinm soluia , a ecuaiei caracteristice:

))(1( n Soluia general a ecuaiei omogene este:

))(1()( ntG CeCet

Unde C este constant generalizat arbitrar.


14/302

14

Soluia particular este de forma termenului liber:

Dt P )(

Punem condiia ca soluia particular s verifice ecuaia neomogen:

Dnsa ))(1()1(0 Determinm constanta D:

P

n

saD

)(

Soluia general a ecuaiei neomogene este suma ntre soluia general a ecuaiei omogene, plus o soluieparticular:

PG ttt )()()(

n

asCet tn ))(1()(


Pentru

n

asCt 00)0(0

Rezult soluia:

tn

en

as

n

as ))(1(0 )(

Determinarea traiectoriei venitului per capita:

Considerm condiiile iniiale:

100 k Atunci:


15/302

15

tnen

ask

n

ask ))(1(10

1 )(

Sau:

1

1

))(1(1

0 )()( tne

n

ask

n

astk

Aceasta este traiectoria echilibrat de evoluie a nzestrrii tehnice a muncii (corespunde traiectoriei

staionare/echilibrate, determinate din condiia de echilibru/staionariate 0)( tk ).

Tem:

Deducei traiectoria de evoluie a nzestrrii tehnice a muncii n cazul modelului de cretere echilibrat al luiSolow.

Traiectoria de evoluie a stocului total de capital(se obine multiplicnd traiectoria venitului per capita, cu

nteLtL 0)( ):

)1/(1

1

0

))(1(

0)(

n

aske

n

aseLtK

tnnt

------------------------------------------------------------

Tem:Deducei traiectoria de evoluie a capitalului total.

Punctele staionare:

0)(tk 0)( knsak


16/302

16

0)( 1 nsakk Punctele fixe/staionare/de echilibru sunt:

01

ki

)1/(1

2

sa

nk

Modelul Solow are deci dou puncte fixe.

Nu poate fi global stabil, ntruct aceasta este o proprietate posibil pentru sistemele cu un singur punct fix.

La sistemele cu mai multe puncte fixe stabilitatea/instabilitatea se stabilete pentru fiecare punct fix n parte: este

stabilitate/instabilitate local, ntr-o vecintate a punctului fix .

Pentru modelul Solow, primul punct fix este local instabil, iar al doilea este local stabil:

2)1/(1

)1/(1

1

0

))(1( )()(lim kn

as

n

aske

n

as tnt

Rezult c:

2)(lim ktk

t, deci

2k esteatractor

Dac traiectoria converge ctre01

)1/(1

2

kn

ask

, rezult

01 k

esterepelor, ntruct traiectoria se deprteaz de acest punct fix, cnd t .ntr-o vecintate a lui

2k , traiectoria tinde ctre

2k ,sistemul este localstabil.

ntruct traiectoria tinde asimptotic ctre

2k , sistemul este local , asimptotic stabil.


17/302

17

Figura: Traiectoria nzestrrii pentru diferite valori iniiale ale lui k(t).

Figura: Cmpul de direcie pentru modelul lui Solow.

Analiza traiectoriei n spaiul fazelor )(),(( tktk :

Reprezentm grafic funcia0)(0)( knsaktk


18/302

18

Reprezentm grafic curba0)( tk

, adic0)( knsak

, n planul ),( kk

Puncte singulare:

Derivm funcia ))(( knsak n raport cu ki egalm derivata cu zero, pentru a afla punctelesingulare.

)1/(1

1 0)(0

as

nknkasknask

dk

d

, este k punct singular.Pentru a afla natura punctului singular, calculm derivata a doua:


19/302

19

0)1( 22

2

kasknaskdk

d

, k punct de maxim.

k(t)

1k k

2k

knask 0 max 0

nkas 1 + + + + + +0- - - - - -

Rezult 0)( tk deasupra abscisei (la stnga lui2k )i 0)( tk sub abscis (la dreapta lui

2

k ).

Investiia brut i investiia de compensare

Investiia de compensareeste destinat nlocuirii capitalului fix uzat i dotrii cu capital a personalului intrat nactivitate.

n punctul

2kk , investiia brut este egal cu investiia de compensare:


20/302

20

Figura: Investiiile brute i investiiile de compensare

Pentru k=

2k , knsak )(

, respectiv investiiile brute sunt egale cu investiiile decompensare.

Dac

2kk , investiiile de compensare sunt mai mici dect investiiile brute i stocul de capital percapita va crete.

Dac k>

2k , investiiile de compensare devin mai mari dect investiiile brute, ceea ce determin scderea

stocului de capital per capita, cu valoarea capitalului necesar nzestrrii sporului de for de munc i acapitalului fix uzat.

sf(k)sunt investiiile brute, care n condiii de echilibru, trebuie s fie egale cu economiile;

kn )( sunt investiiile de compensare: compenseaz capitalul fix uzat i nzestrarea tehnic a

muncii pentru sporul populaiei.

Am obinut rezultatele:

knksfk )()(0 capitalul crete;

knksfk )()(0

capitalul scade;


21/302

21

knksfk )()(0 capitalul rmne la valoarea staionar,

pe temen indefinit.

Tem:Determinai traiectoria nzestrrii tehnice a muncii, a capitalului total, a populaiei totale, a venitului per capita ia venitului total, cunoscnd datele:

3,0,100,35,0,05,0,009,0,50,1000 00 sanLK , pentru T=10 ani.

Rata de cretere echilibrat:

Este rata de cretere a indicatorilor macroeconomici pe traiectoria echilibrat .

Rata de cretere echilibrat avenitului

)()( 0 takeLtY nt

)()()()()( 0

1

00 takenLtktkaeLtakenLtY ntntnt

Rezult:

)()( 0 takenLtY nt

Atunci:

n

takeL

takenL

tY

tYnt

nt

)(

)(

)(

)(

0

0

Rata de cretere echilibrat a venitului este n, egal cu rata de cretere a populaiei.

Pentru stocul total de capital )()( 0 tkeLtK nt :

n

tkeL

tkeLtkenL

tK

tKnt

ntnt

)(

)()(

)(

)(

0

00


22/302

22

Pe traiectoria de cretere echilibrat, rata de cretere a capitalului i a venitului sunt constante i egale cu ratade cretere a populaiei, n.

Curs 2

Efectul creteri i ratei economii lor:

Problematica creterii economice: care este sursa ratelor de cretere a rilor dezvoltate, care este cauzadiferenelor mari ntre ri i zone geografice din punctul de vedere al venitului per capita, indicatorul esenial

care reflect creterea economic.

Presupunem cscrete de las0las1.

Creterea luisva muta curba investiiilor brute (acumularilor) n sus, astfel k2se va muta la dreapta, va crete.

Figura: Efectul creterii ratei economiilor, asupra echilibrului.

Modificrile ratei economiilor au un efect de nivel asupra capitalului per capita i asupra veni tului per

capita,nu au un efect de cretere, nu afecteaz ritmul de cretere al venitului per capitaL

Y. Rezult c nu

acumulrile sunt sursa ratelor cresctoare de cretere ale rilor dezvoltate.

Efectul creteri i ratei economii lor asupra consumul ui:

Introducem gospodriile n model:


23/302

23

- bunstarea gospodriilor depinde de consum investiiile sunt privite ca input n producie pentru

consumul viitor.

)()1()( tystc este consumul per capita. Dac considerm

propensitile marginale egale cu propensitile medii adicc

, funcia de consum este tocmai

funcia Keynesian:

)()( tyctc

Figura: Consumul de echilibru este diferena ntre

knkfc )()( ntruct

knksf )()(

Derivm n raport cusfuncia de consum scris ca:

knkfc )()(

s

nsknnskf

s

c

),,()()),,((

Cndscrete, creterea lui cdepinde de semnul relaiei din paranteza dreapt.


24/302

24

Dac: )()( nkf , creterea luisva avea ca efect creterea lui c(t);

Dac

)()( nkfcreterea luisva avea ca efect scderea lui c(t);

Dac )()(

nkf creterea luisnu va avea nici un efect asupra lui c.Variaia consumului la creterea ratei economiilor, s, depinde de pantele celor dou curbe: a venitului

per capita i a investiiei de compensare.

Panta curbei venitului (sau productivitatea marginal a capitalului):)(kf

;

Panta investiiei de compensare este: )( n .

Tem: Aplicaie numeric

Se cunosc datele:

3,0,10,35,0,05,0,1000,008,0,100 00

saKnL

a) Calculai traiectoria nzestrrii tehnice a muncii pentru t=1-10 i facei graficul n EXCEL:

b) Calculai traiectoria stocului total al capitalului pentru t=1-10 i facei graficul n EXCEL.

)1/(1

1

0

))(1(

0)(

n

aske

n

aseLtK tnnt


25/302

25

)(100)( 008,0 tketK t

c) Calculai venitul per capita i venitul total i facei graficele corespunztoare n EXCEL

)()( takty )()()()( 0

1tkeaLtLtaKtY

nt

d) Calcuai punctele fixe ale traiectoriei:

01 k

960,432

)1/(1

2

sa

nk

e) Calculai traiectoria de echilibru a stocului total al capitalului i a venitului de echilibru pentru t-1-10, facei graficele n EXCEL:

20)( keLtK nt

1020 )()()( ntnt eLkeLatY

f) Calculai investiiile brute i consumul pentru t=1-10, n mrimi per capita, n mrimi totale i

facei graficele.

Investiiile per capita i consumul per capita sunt respectiv:

sak iaks)1( .

IYC

sYI

, sunt investiiile i respectiv consumul, n mrimi actuale.

g) Analizai efectele creterii ratei economiilor de la s0=0,3, la s1=0,35.

-asupra traiectoriei de echilibru;


26/302

26

-asupra consumului:stabilii numeric c dac )()( 12 nkf , consumul crete, sau

dac )()( 12 nkf consumul scade.

Modelul lui Solow cu funcie de producie Cobb-Douglas cu progres tehni c Harrod

Am stabilit c acumulrile execit un efect de nivel asupra venitului, nu un efect de cretere.Pentru investigarea surselor creterii economice, introducem progresul tehnologic neutral n sensHarrod (acioneaz asupra muncii):

1))()()(()( tLtAtKtY

Modelul Solow presupune progresul tehnologic exogen.

Presupunem c A, funcia de progres tehnologic,crete cu o rat constant:

gA

A

.

Se pstreaz celelalte ipoteze ale modelului.Ecuaiile modelului:

L(t ) = L(0) e n t

A(t) = A(0) egt

tKtsYtK

Capitalul per capita este acum:

AL

Kk , capitalul pe o unitate efectiv de munc.

Dinamica modelului:

k (t) = sf (k(t))(n+g+) k(t)Seminar:


27/302

27

Determinai ecuaia de dinamic a modelului cu progres tehnologic.

k (t)= )()()()(

)()(

)(

)()(

)(2

tAtLtLtAtLtA

tK

tLtA

tK

=

)(

)(

)()(

)(

)(

)(

)()(

)(

)()(

)(

tA

tA

tLtA

tK

tL

tL

tLtA

tK

tLtA

tK

kknksfk

gknkkAL

Ysgknk

AL

KsYk

)()(

Cu AL

Ykf )(

venitul per capita.

Puncte staionare:

0)()( kgnksfk

Pentru a determina punctele staionare, dm o form analitic funciei deproducie:considerm funcia Cobb-Douglas:

1)(ALaKY

aky

0)( kgnsak

0))(( 1 gnsakk

01

k


28/302

28

)1/(1

2

as

gnk

Pentru 2kk investiia brut este egal cu investiia de compensare.

Figura: Investiia brut i investiia de compensare pentru modelul cu progres tehnologic.

Tem:

a. Artai c rata de cretere echilibrat a venitului actual este egal cu rata de cretere a capitaluluiactual, egale cu (n+g):

kkaeAeLakegAeLakenAeLY gtntgtntgtnt 1000000

)(

00

0000 gn

akeAeL

akegAeLakenAeL

Y

Ygtnt

gtntgtnt

Rata de cretere a venitului depinde de rata de cretere a populaiei i a progresului tehnologic.b. Refacei tema precedent, adugnd la datele numerice g=0,03 (rata de cretere a progresului

tehnologic de 3%)i A0=50.

Concluzie: n raport cu problematica general a creterii economice, modelul lui Solow relev faptul c

diferenele mari ntre ri din punct de vedere al venitului naional pe locuitori al ritmului de cretere

economic (respectiv al venituluiper capita), nu se pot datora exclusiv acumulrilor ( deci inzestrrii tehnice a

muncii).

O surs de cretere pe termen lung este progresul tehnologic.


29/302

29

Msurarea creteri i economice:

Reziduul Solow

n modelul lui Solow creterea pe termen lung depinde numai de progresul tehnologic

creterea pe termen scurt depinde att de progresul tehnologic ct i de acumularea capitalului.

Considerm :Y(t) =F(K(t),A(t).L(t))

Derivm funcia de producie n raport cu timpul:

)(

)(

)()(

)(

)()(

)(

)()( tA

tA

tYtL

tL

tYtK

tK

tYtY

mprim la Y(t) cei doi membrii ai ecuaiei; mprim i nmulim termenii din membrul drept respectiv cu K,

L, A:

)(

)(

)()(

)(

)()(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)()(

)()(

)()(

)()(

)()(

)()(

)()(

tR

tL

tLt

tK

tKt

tA

tA

tA

tY

tY

tA

tLtL

tLtY

tYtL

tKtK

tKtY

tYtK

tYtY

Lk

Notm:

k(t)elasticitatea outputului in raport cu capitalul

L(t)elasticitatea outputului in raport cu munca.


30/302

30

)(

)(

)(

)(

)(

)()(

tA

tA

tA

tY

tY

tAtR

Ratele de cretere ale luiK iL ct i elasticitile venitului n raport cu K i L,se msoar direct din dateleempirice.

R(t)se numete reziduu Solowreziduul Solow poate fi poate fi interpretat ca o msur aprogresuluitehologicel reflect toate sursele de cretere altele dect acumularea de capital.

Relaia ratei de cretere venitului furnizeaz o decompoziie a creterii economice n contribuiacapitalului, a muncii i contributia celorlali factori.

Tem:

Considerm funcia de producie Cobb-Douglas cu progres tehnologic Harrod din exerciiul precedent.Calculai reziduul Solow i reprezentai grafic.

)(

)()(

)(

)()(

)(

)()(

tL

tLt

tK

tKt

tY

tYtR Lk

Ecuaii difereniale neliniare

Aproximrile liniare ale ecuaiilor difereniale neliniareConsiderm ecuaia:

)()( xftx

f(.) este neliniar dar continu i difereniabil.

n general, aceste ecuaiinu se pot rezolva analitic.

Trebuie s gsim punctele fixe pentru 0)( tx , deci pentru 0))((( txf .Presupunemf este continu difereniabil ntr-un interval deschis care-l conine pe x =x(punctul fix).

Aproximmf folosind dezvoltarea Taylor:


31/302

31

),( xxRn este restul.

Aproximarea liniar de ordinul unu are forma:

Dac punctul iniial este suficient de aproape de punctul fix x, atunci , iar

0)( xf prin construcie.Dacxeste chiar punctul fix, atunci:

Putem aproxima f(x) n punctulxprin:

.

Exemplu:

Modelul de cretere economic al lui Solow cu funcia de producie Cobb-Douglas, rezolvat prin metoda propusde Bernoulli.

Ecuaia de evoluie a stocului de capital per capita:

Punctele fixe se gsesc rezolvnd ecuaia:


32/302

32

Punctele fixe sunt:

01 k

i

Dezvoltarea Taylor de ordinul unu n punctul fix

2kk :))(()( 22

kkkfkf Cu:

Considerm acum

2kk :Atunci :


33/302

33

Rezult c panta curbei pentru

2kk este

0)1)(()( 2

nkf

Rezult aproximarealiniar:

ntruct iarn i sunt pozitive, atunci funcia f(k) are pant negativ n

i deci sistemul este local stabil, punctul fix este de tip atractor.

Aproximarea de ordinul unu n jurul echilibrului este:


34/302

34

))(1)(()()( 2 kknkftk

Este ecuaie diferenial liniar de ordinul unu.

Ecuaia omogen:

tnG

t Cetk )1)(()(

DtkP

t )( Verific ecuaia neomogen:

2)1)(()()1)(()( kntkntk 22)1)(()1)(( kDknDn

2)1)(()()()( kCetktktk

tnPG

t

Aplicm condiiile Cauchy:

20 kkC

Cu soluia:

Pentru aproximarea liniar

2)(lim ktk

t , respectiv

2k este punct fix asimptotic local stabil pentru

aproximarea liniar.

////

Tem:

kntk )1)(()(


35/302

35

Cunoscnd datele din exerciiile precedente, folosind aproximarea liniar a ecuaiei de dinamic a nzestrriitehnice a muncii, calculai traiectoria nzestrrii tehnice a muncii, a venitului per capita, a investiiilor iconsumului per capita, ct i aindicatorilor corespunztori n mrimi actuale. Facei graficele traiectoriilor.

Calculai deviaiile absolute i relative ale celor dou soluii (traiectoria k(t) prin rezolvarea ecuaiei Bernoulli iprin aproximarea liniar).

////

Ecuaii diferenialede ordin superior

Cazul general

Ecuaie diferenial de ordinul n, liniar, cu coeficieni constani, neomogen:

)(... 1)1(

1

)(

0 tgyayayaya nnnn


0... 1)1(

1

)(

0

yayayaya nnnn

Facem ipoteza c soluia are forma

tey i o punem sverifice ecuaia omogen:

0... 1110 tntntntn eaeaeaea

mprim la 0t

e , obinem ecuaia caracteristic:

0... 11

10

nn

nn aaaa

Ecuaia caracteristic este o ecuaie algebric liniar, de grad n, care are n soluii care pot fi reale (diferite saumultiple) i complexe conjugate.

Soluia general a ecuaiei omogene, cazul rdcinilor reale, distincte:

)exp(...)(exp)exp()( 2211 tAtAtAty nnG

unde A1,A2,An sunt constante generalizate arbitrare.

Cazul rdcinilor multiple de ordin m


36/302

36

Unde

j sunt rdcinile multiple, fiecare cu ordinul su de multiplicitate, iar)(tPj sunt polinoame de

tipul:

1

21 ...)(

j

j

m

jmjjj tAtAAtP

Cu A constante generalizate arbitrare, iarj

mordinul de multiplicitate al celei de a j-a rdcin.

k- numrul de rdcini distincte.

n cazul rdcinilor complexe conjugate avem, pentru fiecare pereche avem:

)sincos( 21 tAtAe t

Cu,

respectiv partea real i imaginar a numrului complex.

Soluia particular o putem determina cu ajutorul metodei coeficienilor nedeterminai:

Facem ipoteza c soluia particular )(tyP este de forma termenului liber i punem condiia caaceasta sverifice ecuaia neomogen.

Soluia ecuaiei neomogene este suma ntre soluia general a ecuaiei omogene i soluia particular:

)()()( tytyty PG

Exemplu:

Modelul politicilor de stabilizare ntre cerere agregat i oferta agregat al lui Phill ips

Notm:

)(tD cererea agregat

)(tYoferta agregat

Dac exist cerere excedentar, oferta crete; dac exist ofert excedentar, oferta scade:


37/302

37

0

))()(()(

tYtDtY

0 coeficient de reaciecare arat viteza de ajustare ntre cererea agregat i oferta agregat.)()1()( tYstD

Undeseste propensitatea/nclinaia marginal i medie spre economisire, 10 s .Presupunem c cererea agregat este afectat de o perturbaie advers u=1.

1)()1()()1()( tYsutYstD

Determinarea ecuaiei de dinamic a venitului n aceste ipoteze

nlocuim n ecuaia de dinamic a venitului:

)()(

(1)()1())()(()(

tsYtY

tYtYstYtDtY

Ultima relaie este o ecuaie diferenial de ordinul unu, neomogen.

Rezolvarea ecuaiei liniare de ordinul unu, neomogen:

Ecuaia omogen:

)()( tsYtY

Este ecuaie cu variabile separabile.

Soluia general a ecuaiei omogene:

stG CetY )(

Soluia particular:

DtY P )( soluia particular are forma termenului liber, o constant.


38/302

38

Punem condiia ca)(tY P

s verifice ecuaia neomogen:

sD0

sDtYP 1

)(

Rezult traiectoria venitului:

sCetY st 1

)(

Condiia iniial:

se

stY

sCYY

st 11

)(

1)0( 0

Stabilitatea:

stY

t

1)(lim

Sistemul este stabil.

Punct fix, staionar, de echilibru:

sYtsYtY

10)(0)(

n cazul existenei unei perturbaii exogene asupra cererii agregate, valoarea de echilibru este negativ, ceea ce,pe termen lung nseamn c traiectoria venitului va conduce la valori negative ale venitului.


39/302

39

Pentru nlturarea acestei situaii, Phillips propune trei politici de stabilizare ntre cerere i ofert, prin

intermediul cheltuielilor guvernamentale )(tG

:

1. Politica de stabilizare proporional:

Cheltuielile guvernamentale sunt egale i de semn contrar cu oferta agregat:

)()( tYftG p

0pf este coeficientul de proporionalitate.2. Politica de stabilizare diferenial:

Cheltuielile guvernamentale sunt egale i de semn contrar cu variaia ofertei agregate:

)()( tYftG d

0df 3. Politica de stabilizare integral:

Cheltuielile guvernamentale sunt egale i de semn contrar cu suma ntre momentul iniial i momentulcurent al ofertelor agregate:

t

o

i dttYftG )()(

0if Determinarea ecuaiei de dinamic a venitului:

ntre nivelul teoretic )(tG i cel actual G(t)al cheltuielilor guvernamentale exist o ntrziere(obs. ntrzieri interne i externe n politicile macroeconomice, vezi cursul de Macroeconomiecantitativ):

)()( tGtG

Ajustarea diferenei ntre)(tG

i G(t)este dat deecuaia:


40/302

40

))()(()( tGtGtG

0este coeficient de reacie i indic viteza de ajustare.

a. Pornim de la ecuaia cererii agregate, care va include cheltuielile guvernamentale, ntruct nmodel s-a introdus guvernul:

)(1)()1()( tGtYstD

Derivm n raport cu timpul:

)()()1()( tGtYstD

nmulim ecuaia cererii agregate cu :

)()()1()( tGtYstD

Adunm cele dou relaii:

)()()1()()()1()()( tGtYstGtYstDtD

Rescriem))()(()( tGtGtG

ca:

)())()( tGtGtG

i nlocuim n ecuaia de mai sus, obinem:

)()()1()()1()()(

tGtYstYstDtD

(a)

b. Pornim acum de la variaia venitului:

))()(()( tYtDtY

Explicitm pe D(t):


41/302

41

)()()(

tYtYtD

nmulim cu :

))()(()( tYtYtD

Derivm:

)()()(

tYtYtD

Adunm ultimele relaii:

)()())()(()()( tYtYtYtYtDtD

(b)

Egalm membrii drepi din ecuaiile (a) i (b):

)()())()((

)()()1()()1(

tYtYtYtY

tGtYstYs

Obinem ecuaia de dinamic a venitului:

)()()()()( tGtsYtYstY Politica de stabilizare proporional:


42/302

42

)()()()()( tYftsYtYstY p

Ecuaia omogen:

0)()()()()( tYftsYtYstY p

Cutm soluie de forma:

tetY )(

0)()(2 tptt efsese Ecuaia caracteristic:

0)()(2 pfss Discriminantul:

)(4)( 2 pfss

4

)(0

2

sfp

rdcini reale, egale,

tG etAAtY )()( 21

4

)(0

2

sfp

rdcini reale, diferite,


43/302

43

ttG eAeAtY 21 21)(

rdcini complexe conjugat

4)(0

2

sfp

)sin(Im)cos(Im()( 21Re tAtAetY tG

Soluia particular, de forma termenului liber: o constant.

DtYP )(

Punem condiia s verifice ecuaia neomogen:

Dfs p )(

pfsD

1

Soluia:

p

G

fs

tYtY

1)()(

Dac traiectoria este stabil:2,1,0Re ii , atunci:

pt

fs

tY

1)(lim


44/302

44

Observm c traiectoria de echilibru este tot negativ, dar mai mic n valoare absolut:

sfs p

11

ceea ce relev faptul c politica proporional are oanumit eficien, dar nu reuete s transforme valoarea negativ a echilibrului ntr-o valoare pozitiv.

Seminar

Aplicaie numeric:

Considerm urmtoarele valori:

4)0(

0)0(

2

5,0

25,0

4

Y

Y

f

s

p

a) Determinai consecinele unei perturbaii unitare negative a cererii agregate.b) Determinai n raport cu situaia de la punctul (a), efectele politicii de stabilizare proporionale.

(a)


45/302

45

e c h

t

t

t

P

tG

YtY

etY

C

CetY

tY

CetY

tYtY

tYtYtYtY

4)(lim

44)(

40

4)(

4)(

)(

)()(

4)())(1)(75,0(4)(

(b)

8)(6)(3)( tYtYtY

ticcaracterisecuatie0632

i936,15,12,1

))936,1sin()936,1cos(()( 215,1 tAtAetY tG

DtYP )(

33,168)( tYP

33,1))936,1sin()936,1cos(()( 215,1 tAtAetY t

33,133,1)0sin0cos(0)0( 1210 AAAeY

(Obs: 0)0sin(,1)0cos( )


46/302

46

)936,1(cos(936,1)936,1sin(936,1))936,1sin()936,1cos((5,1)(

21

5,1

21

5,1

tAtAe

tAtAetY

t

t

Obs: )cos()(nsi

)sin()(sco

tt

tt

21 936,15,144)0( AAY

033,1936,133,15,14 22 AAx 33,1)936,1sin(033,1)936,1cos(33,1)( 5,1 ttetY t

Refacei calculele cnd2pf , 8 . Ce putei s spunei despre noile valori de echilibru n

cazul iniial i dup aplicarea politicii de stabilizare?

Curs 2

Efectul creteri i ratei economii lor:

Problematica creterii economice: care este sursa ratelor de cretere a rilor dezvoltate, care este cauzadiferenelor mari ntre ri i zone geografice din punctul de vedere al venitului per capita, indicatorul esenialcare reflect creterea economic.

Presupunem cscrete de las0las1.

Creterea luisva muta curba investiiilor brute (acumularilor) n sus, astfel k2se va muta la dreapta, va crete.


47/302

47

Figura: Efectul creterii ratei economiilor, asupra echilibrului.

Modificrile ratei economiilor au un efect de nivel asupra capitalului per capita i asupra veni tului per

capita,nu au un efect de cretere, nu afecteaz ritmul de cretere al venitului per capita LY

. Rezult c

nu acumulrile sunt sursa ratelor cresctoare de cretere ale rilor dezvoltate.

Efectul creteri i ratei economii lor asupra consumul ui:

Introducem gospodriile n model:

- bunstarea gospodriilor depinde de consum investiiile sunt privite ca input n producie pentru

consumul viitor.

)()1()( tystc este consumul per capita. Dac considerm

propensitile marginale egale cu propensitile medii adiccs )1(

,

funcia de consum este tocmai funcia Keynesian:

)()( tyctc


48/302

48

Figura: Consumul de echilibru este diferena ntre producie i acumulri care n echilibru sunt:

knksf )()(

Deci consumul de echilibru este:

knkfc )()(

Derivm n raport cusfuncia de consum scris ca:

knkfc )()(

Considerm:

),,()()),,(( nsknnskfc

Folosim formula derivatei funciilor compuse:

s

nsknnskf

dk

d

s

c

),,()()),,((

Cndscrete, creterea lui cdepinde de semnul relaiei din paranteza dreapt.

Dac: )()(

nkfk , respectiv productivitatea marginal este mai mare dect sumadintre rata de cretere a populaiei i rata amortizrii (creterea produciei la o unitate de capital per

capita suplimentar, depete acumularea necesar compensrii amortizrii i dotrii tehnice a sporului

populaiei), creterea luisva avea ca efect creterea lui c(t);

Dac)()( nkfk , respectiv productivitatea marginal este mai mic dect suma

ratelor, creterea luisva avea ca efect scderea lui c(t);

Dac)()( nkfk , respectiv productivitatea marginal este egal cu suma

ratelor,creterea luisnu va avea nici un efect asupra lui c.

Variaia consumului la creterea ratei economiilor, s, depinde de pantele celor dou curbe: a venitului

per capita i a investiiei de compensare.

Panta curbei venitului (sau productivitatea marginal a capitalului):)(kfk ;


49/302

49

Panta investiiei de compensare este: )( n

.

Tem: Aplicaie numeric

Se cunosc datele:

3,0,10,35,0

,05,0,1000,008,0,100 00

sa

KnL

b) Deducei i calculai traiectoria nzestrrii tehnice a muncii pentru t=1 -10 i facei graficul nEXCEL:

)1/(1

1

0

))(1( ()(

n

aske

n

astk n

b) Deducei i calculai traiectoria stocului total al capitalului pentru t=1-10i facei graficul n EXCEL.

)1/(1

1

0

))(1(

0)(

n

aske

n

aseLtK tnnt

)(100)( 008,0 tketK t

h) Calculai venitul per capita i venitul total i facei graficele corespunztoare n EXCEL

)()( takty

)()()()( 01 tkeaLtLtaKtY nt

i) Deducei i calcuai punctele fixe ale traiectoriei, cu datele considerate:

01 k


50/302

50

960,432

)1/(1

2

sa

nk

j) Calculai traiectoria de echilibru a stocului total al capitalului i a venitului de echilibru pentru t-1-10, facei graficele n EXCEL:

20)( keLtK nt

1020

)()()( ntnt eLkeLatY

k) Calculai investiiile brute i consumul pentru t=1-10, n mrimi per capita, n mrimi totale ifacei graficele.

Investiiile per capita i consumul per capita sunt respectiv:

sak iaks)1(

.

IYCsYI

, sunt investiiile irespectiv consumul, n mrimi actuale.l) Analizai efectele creterii ratei economiilor de la s0=0,3, la s1=0,35.

-asupra traiectoriei de echilibru;

-asupra consumului:stabilii numeric c dac )()( 2 nkf i consumul crete ,

sau dac

)()(2

nkfi consumul scade.Tem:

Considerm datele:

3,0,10,35,0

,05,0,1000,008,0,100 00

sa

KnL

tind c expresia punctului fix:


51/302

51

)1/(1

2

n

sak

,

Stabilii dac pentru

2kk , creterea ratei economiilor duce la creterea/scderea saumeninerea consumului per capita.

Modelul lui Solow cu funcie de producie Cobb-Douglas cu progres tehni c Harrod

Am stabilit c acumulrile execit un efect de nivel asupra venitului, nu un efect de cretere.Pentru investigarea surselor creterii economice, introducem progresul tehnologic neutral n sens

Harrod (acioneaz asupra muncii):

1))()()(()( tLtAtKtY

Funcie de producie Cobb-Douglas omotetic, cu progres tehnologic n sens Harrod.

Modelul Solow presupune progresul tehnologic exogen.

Presupunem c A, funcia de progres tehnologic,crete cu o rat constant:

gAA

.

Se pstreaz celelalte ipoteze ale modelului.Ecuaiile modelului:

L(t ) = L(0) en t

A(t) = A(0) egt

tKtsYtK

Capitalul per capita este acum:

AL

Kk

, capitalul pe o unitate efectiv de munc.


52/302

52

Dinamica modelului:

k (t) = sf (k(t))(n+g+) k(t)

Cu ALYkf )(

venitul per capita.

Seminar:

Determinai ecuaia de dinamica modelului cu progres tehnologic.

k

(t)= )()()()()()()(

)()(

)(2 tAtLtLtAtLtA

tK

tLtA

tK

=

)(

)(

)()(

)(

)(

)(

)()(

)(

)()(

)(

tA

tA

tLtA

tK

tL

tL

tLtA

tK

tLtA

tK

kknksfk

gknkk

AL

Ysgknk

AL

KsYk

)()(

Puncte staionare:

0)()( kgnksfk

Pentru a determina punctele staionare, dm o form analitic funciei de producie:considerm funcia Cobb-

Douglas:

1)(ALaKY

aky

0)( kgnsak


53/302

53

0))(( 1 gnsakk

01

k

)1/(1

2

as

gnk

Pentru

2kk investiia brut este egal cu investiia de compensare.

Figura: Investiia brut i investiia de compensare pentru modelul cu progres tehnologic.

Rata de cretere echilibrat a venitului total este egal cu rata de cretere a capitalului total, egal cu (n+g):

kkaeAeLakegAeLakenAeLY gtntgtntgtnt 1000000

)(00

0000 gnakeAeL

akegAeLakenAeL

Y

Ygtnt

gtntgtnt

Rata de cretere a venitului depinde de rata de cretere a populaiei i a progresului tehnologic.TemRefacei tema precedent, adugnd la datele numerice g=0,03 (rata de cretere a progresuluitehnologic de 3%)i A0=50.


54/302

54

Concluzie: n raport cu problematica general a creterii economice, modelul lui Solow relev faptul c

diferenele mari ntre ri din punct de vedere al venitului naional pe locuitori al ritmului de cretere

economic (respectiv al venitului per capita), nu se pot datora exclusiv acumulrilor ( deci inzestrrii tehnice a

muncii).

O surs de cretere pe termen lung este progresul tehnologic.

Msurarea creteri i economice:

Reziduul Solow

n modelul lui Solow creterea pe termen lung depinde numai de progresul tehnologic

creterea pe termen scurt depinde att de progresul tehnologic ct i de acumularea capitalului.

Considerm :Y(t) =F(K(t),A(t).L(t))

Derivm funcia de producie n raport cu timpul:

)()(

)()(

)(

)()(

)(

)()( tA

tA

tYtL

tL

tYtK

tK

tYtY

mprim la Y(t) cei doi membrii ai ecuaiei; mprim i nmulim termenii din membrul drept respectiv cuK, L,

A:

)()(

)()(

)(

)()(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

tRtL

tLt

tK

tKt

tA

tA

tA

tY

tY

tA

tL

tL

tL

tY

tY

tL

tK

tK

tK

tY

tY

tK

tY

tY

Lk

Notm:


55/302

55

k(t)elasticitatea outputului in raport cu capitalul

L(t)elasticitatea outputului in raport cu munca.

)(

)(

)(

)(

)(

)()(

tA

tA

tA

tY

tY

tAtR

Ratele de cretere ale luiK iL ct i elasticitile venitului n raport cu K i L,se msoar direct din dateleempirice.

R(t)se numete reziduu Solowreziduul Solow poate fi poate fi interpretat ca o msur a progresului

tehologicel reflect toate sursele de cretere altele dect acumularea de capital.Relaia ratei de cretere venitului furnizeaz o decompoziie a creterii economice n contribuiacapitalului, a muncii i contributia celorlali factori.

Tem:

Considerm funcia de producie Cobb-Douglas cu progres tehnologic Harrod din exerciiul precedent.Calculai reziduul Solow i reprezentai grafic.

)(

)()(

)(

)()(

)(

)()(

tL

tLt

tK

tKt

tY

tYtR

Lk

Ecuaii difereniale neliniare

Aproximrile liniare ale ecuaiilor difereniale neliniareConsiderm ecuaia:

)()( xftx

f(.) este neliniar dar continu i difereniabil.

n general, aceste ecuaii nu se pot rezolva analitic.

Trebuie s gsim punctele fixe pentru 0)( tx , deci pentru 0))((( txf .Presupunemf(.)este continu difereniabil ntr-un interval deschis care-l conine pe x =x(punctul fix).

Aproximmf(.)folosind dezvoltarea Taylor:


56/302

56

),(!

))((

...!2

))((

))(()()(

xxRn

xxxf

xxxf

xxxfxfxf

n

n

),( xxRn este restul.

Aproximarea liniar de ordinul unu are forma:

),())(()()( 2 xxRxxxfxfxf

Dac punctul n care se face aproximarea este suficient de aproape de punctul fix

x, atunci

0),(2 xxR , iar 0)(

xf prin construcie.

Dac x este punctul fix, atunci

putem aproxima f(x) n punctul

x prin:

))(()( xxxfxf

Exemplu:

Modelul de cretere economic al lui Solow cu funcia de producie Cobb-Douglas, rezolvat prin aproximareliniar.

Ecuaia de evoluie a stocului de capital per capita, funcia de producie Cobb-Douglas per capita:

)()()()()())(()( tkntsaktkntksftk Punctele fixe sunt:


57/302

57

01 k ,

1

1

2

n

sa

k

Dezvoltarea Taylor de ordinul unu n punctul fix

2kk :))(()( 22

kkkfkf Cu:

)()()( 1 nksakf

Considerm acum

2kk :Atunci :

)1)(()()(

)(

)()()(1

1

1

122

nnn

nn

sasa

nksakf


58/302

58

Rezult c panta curbei pentru

2kk este

0)1)(()( 2

nkf

Rezult aproximarea liniar:

))(1)((

))(1)(()(

1

1

2

n

sakn

kknkf

ntruct 10 iarn i sunt pozitive, atunci funcia 0)( 2 kf

n

2k i deci

sistemul este local stabil, punctul fix este de tip atractor (condiia ca punctul fix s fie stabil este satisfcut).


59/302

59

Determinarea traiectoriei nzestrrii tehnice a muncii pe baza ecuaiei difereniale liniare rezultat dinaproximarea liniar

Aproximarea de ordinul unu n jurul echilibrului

2k este:

))(1)(()()( 2 kknkftk

Este ecuaie diferenial liniar de ordinul unu.

Ecuaia omogen:

tnGt Cetk

)1)(()( Dtk

P

t )( Verific ecuaia neomogen:

2)1)(()()1)(()( kntkntk 22)1)(()1)(( kDknDn

2)1)(()()()( kCetktktk tnPGt

Aplicm condiiile Cauchy:

20 kkC Soluia:

tnekkktk ))(1(22 ))0(()(

Pentru aproximarea liniar

2)(lim ktkt , respectiv

2k este punct fix local asimptotic stabil.

kntk )1)(()(


60/302

60

////

Tem:

Cunoscnd datele din exerciiile precedente, folosind aproximarea liniar a ecuaiei de dinamic a nzestrriitehnice a muncii, calculai traiectoria nzestrrii tehnice a muncii, a venitului per capita, a investiiilor iconsumului per capita, ct i aindicatorilor corespunztori n mrimi actuale. Facei graficele traiectoriilor.

Calculai deviaiile absolute i relative ale celor dou soluii (traiectoria k(t) prin rezolvarea ecuaiei Bernoulli iprin aproximarea liniar).

////

Dinamica modelelor reprezentate prin ecuaii difereniale de ordin superior

Cazul general


)(... 1)1(

1

)(

0 tgyayayaya nnnn


0... 1)1(

1

)(

0

yayayaya nnnn


t

ey

i o punem s verifice ecuaia omogen:

0... 11

10 t

n

t

n

tntn eaeaeaea

mprim la 0t

e , obinem ecuaia caracteristic:

0... 11

10

nn

nn aaaa


Soluia general a ecuaiei omogene: Cazul rdcinilor reale, distincte:





61/302

61

)exp()()(1

ttPty j

k

j

j

G

Unde

j sunt krdcini distincte, fiecare cu ordinul su de multiplicitate, iar )(tPj sunt polinoame detipul:

1

21 ...)( j

j

m

jmjjj tAtAAtP

CuAconstante generalizate arbitrare, iar jm ordinul de multiplicitate al celei de a j-a rdcin.



)sincos( 21 tAtAe t

Cu , respectiv partea real i imaginar a numrului complex.Soluia particular o putem determina cu ajutorul metodei coeficienilor nedeterminai:

Facem ipoteza c soluia particular)(tyP

este de forma termenului liber i punem condiia ca aceasta s

verifice ecuaia neomogen.


)()()( tytyty PG

Exemplu:

Modelu l poli ticil or de stabilizare ntre cerere agregat i oferta agregat al lui Phillips

Notm:

)(tD cererea agregat


62/302

62

)(tYoferta agregat


0

))()(()(

tYtDtY

0 coeficient de reacie care arat viteza de ajustare ntre cererea agregat i oferta agregat. )()1()( tYstD

Undeseste propensitatea/nclinaia marginal i medie spre economisire, 10 s .Presupunem c cererea agregat este afectat de o perturbaie advers u=1.

1)()1()()1()( tYsutYstD



)()(

(1)()1())()(()(

tsYtY

tYtYstYtDtY



Ecuaia omogen:

)()( tsYtY



stG CetY )(


63/302

63

Soluia particular:

DtY P )(soluia particular are forma termenului liber, o constant.

Punem condiia ca)(tY P


sD0

s

DtYP 1

)(


sCetY st

1)(

Condiia iniial:

se

stY

sCYY

st 11)(

1)0( 0

Stabilitatea:

stY

t

1)(lim



sYtsYtY

1

0)(0)(


64/302

64


Pentru nlturarea acestei situaii, Phillips propune trei politici de stabilizare ntre cerere i ofert, prin

intermediul cheltuielilor guvernamentale )(tG

:

4. Politica de stabilizare proporional:Cheltuielile guvernamentale sunt egale i de semn contrar cu oferta agregat:

)()( tYftG p

0pf este coeficientul de proporionalitate.

5.

Politica de stabilizare diferenial:Cheltuielile guvernamentale sunt egale i de semn contrar cu variaia ofertei agregate:

)()( tYftG d


Cheltuielile guvernamentale sunt egale i de semncontrar cu suma ntre momentul iniial i momentulcurent al ofertelor agregate:

t

o

i dttYftG )()(

0if

Determinarea ecuaiei de dinamic a venitului:

ntre nivelul teoretic )(tG

i cel actual G(t)al cheltuielilor guvernamentale exist o ntrziere

(obs. ntrzieri interne i externe n politicile macroeconomice, vezi cursul de Macroeconomiecantitativ):

)()( tGtG


65/302

65



))()(()( tGtGtG 0

este coeficient de reacie i indic viteza de ajustare.

c. Pornim de la ecuaia cererii agregate, care va include cheltuielile guvernamentale, ntruct nmodel s-a introdus guvernul:

)(1)()1()( tGtYstD


)()()1()( tGtYstD


)()()1()( tGtYstD




ca:

)())()( tGtGtG

i nlocuim n ecuaia de mai sus, obinem:

)()()1()()1(

)()(

tGtYstYs

tDtD

(a)

d. Pornim acum de la variaia venitului:


66/302

66

))()(()( tYtDtY

Explicitm pe D(t):

)()()(

tYtYtD

nmulim cu :

))()(()( tYtYtD

Derivm:

)()()(

tYtYtD


)()())()(()()(

tYtYtYtYtDtD

(b)


)()())()((

)()()1()()1(

tYtYtYtY

tGtYstYs



67/302

67


)()()()()( tYftsYtYstY p

Ecuaia omogen:

0)()()()()( tYftsYtYstY p

Cutm soluie de forma:

tetY )(

0)()(2 tptt efsese

Ecuaia caracteristic:

0)()(2

pfss Discriminantul:

)(4)( 2 pfss

4

)(0

2 sfp


tG etAAtY )()( 21


68/302

68

4

)(0

2

sfp


ttG eAeAtY 21 21)(


4

)(0

2

sfp



DtY

P

)(


Dfs p )(

pfsD

1

Soluia:

p

G

fstYtY

1)()(

Dac traiectoria este stabil: 2,1,0Re ii , atunci:


69/302

69

pt fs

tY

1)(lim


sfs p

11

ceea ce relev faptul c politica proporional are oanumit eficien, dar nu reuete s transforme valoarea negativ a echilibrului ntr-o valoare pozitiv.

Seminar

Aplicaie numeric:


4)0(

0)0(

2

5,0

25,0

4

Y

Y

f

s

p

c) Determinai consecinele unei perturbaii unitare negative a cererii agregate.d) Determinai n raport cu situaia de la punctul (a), efectele politicii de stabilizare proporionale.

(a)


70/302

70

e c h

t

t

t

P

tG

YtY

etY

C

CetY

tY

CetY

tYtY

tYtYtYtY

4)(lim

44)(

40

4)(

4)(

)(

)()(

4)())(1)(75,0(4)(

(b)

8)(6)(3)( tYtYtY


i936,15,12,1


DtYP )(

33,168)( tYP

33,1))936,1sin()936,1cos(()( 215,1 tAtAetY t

33,133,1)0sin0cos(0)0( 1210 AAAeY

(Obs: 0)0sin(,1)0cos( )


71/302

71

)936,1(cos(936,1)936,1sin(936,1))936,1sin()936,1cos((5,1)(

21

5,1

21

5,1

tAtAe

tAtAetY

t

t

Obs: )cos()(nsi

)sin()(sco

tt

tt

21 936,15,144)0( AAY


Refacei calculele cnd2pf , 8 . Ce putei s spunei despre noile valori de echilibru n


-/-

Capitolul 1

Cur s 1: Sisteme dinamice continue

5. Noiuni introductive

-

Isocline, cmpuri de direcie i diagrame n spaiul fazelor.

6. Analiza dinamicii modelelor unidimensionale dinamice continue:

- Modelul Malthus

- Modelul Harrod Domar

- Modelul Solow

Isocline/curbe de indiferen, cmpuri de direcie i diagrame n spaiul fazelor

-n multe modele economice, putem avea ecuaii difereniale sau cu diferene finite ale cror soluii nu le putemdetermina explicit, chiar dac avem forma implicit a ecuaiei.


72/302

72

Pentru a avea informaii relative la soluie putem analiza proprietile calitative ale soluiei.

Considerm ecuaia diferenial de ordinul unu:

0,, babyaxdxdy

(1)Isocline/curbe de indifereni cmpuri de direcie:

Pentru fiecare pereche (x,y), ecuaia (1) specific panta n acel punct.

Graficul tuturor pantelor formeaz cmpul de direcieal ecuaieidifereniale i dfluxul soluiilor.

Cmpul de direcie poate fi asemnat cu pilitura de fier care se orienteaz dup forele magnetice.

Figura 1: Cmp de direcie

Definiie:Cmp de direcie/fluxul soluiilor estegraficul tuturor pantelor traiectoriilor determinate de o ecuaiediferenial.

Nu este posibil s considerm toateperechile (x,y) din plan,

Putem considera numai perechile (x,y) asociate unei pante fixe.

Notm mpanta fix a funcieif (x, y), adic toate perechile (x, y) pentru care panta funciei este egal cu m.

f(x,y)=m se numete isoclin(isocuant/curb deindiferen).

Determinarea isoclinei pentru funcia:


73/302

73

mbyaxdy

dxyxf ),(

.

Isoclina (isocuanta) este o curb convex.

n ecuaia:

mbyax explicitm y n funcie de x:

b

m

b

axy

, este tocmai isoclinaf(x,y)=mscris n form explicit.

Diagrama n spaiul fazelor pentru modelele dinamice cu o singur variabil

(Spaul fazelorpentru un sistem dinamic este staiul n care se pot reprezenta toate strile posibile ale unuisistem, i micarea acestora. Conceptul de spaiul fafelor a fost introdus la sfritul sec al XIXlea, de ctreLudwig Boltzmann,Henri Poincar,Willard Gibbs).

Considermx(t)funcie continu de timp.

Considerm o ecuaie diferenial ))(()( txftx

.

Soluia ecuaiei difereniale, pentru t variabil, se numete traiectorie.

Cnd0)( tx , soluia xtx )( se numetepunct fix, punct de echilibru, punct critic

sau soluie staionar.

Dac traiectoria converge din orice punct iniial, ctre punctul de echilibrux , putem spune c punctul fix

este de tip atractor.

Punct fix atractor,traiectoria x(t) crete pn la

x i scade dupx .

Este un punct fix stabil.

Dac traiectoria se ndeprteaz dex , din orice punct iniial, spunem c punctul fix este de tip repelor.
https://en.wikipedia.org/wiki/Ludwig_Boltzmannhttps://en.wikipedia.org/wiki/Henri_Poincar%C3%A9https://en.wikipedia.org/wiki/Willard_Gibbshttps://en.wikipedia.org/wiki/Willard_Gibbshttps://en.wikipedia.org/wiki/Henri_Poincar%C3%A9https://en.wikipedia.org/wiki/Ludwig_Boltzmann


74/302

74

Punct fi x repelor:traiectoria x(t) se ndeprteaz de

x , este un punct fix instabil.Anal iza dinamicii pentru modelele dinamice uni dimensionale continue

Exemplul 1:

Modelul de cretere a populaiei Malthus:

ktp

tp

)(

)(

(3)

p(t)= populaia la momentul t

k- rata constant de cretere a populaiei, k>0.

Ecuaia (3) este ecuaie diferenial de ordinul unu liniar omogen, cu variabile separabile.

Rezolvare:

)()(

)(

)(tkptpk

tp

tp

kdttptdp )(/)(

Integram ecuaia de mai sus:

dtktptdp )(/)( Ckttp ln)(ln

Unde C este constanta generalizat arbitrar.

Aplicm proprietile logaritmilor i funcia exponenial pentru eliminarea logaritmului.

ktCtp

ktCtp

Ckttp

exp)(

expln)(ln

lnexpln)(ln


75/302

75


Aplicm condiiile iniiale (Cauchy):

Pentru 0t ,0)0( pp

Cp 0 Obinem soluia:

kteptp 0)( Care satisface condiiile iniiale:

0)0( pp Tem: Determinai traiectoria de evoluie a populaiei pentru

p0=20, k=0,03 i k=0,05;

p0=50,k=0,03 i k=0,05;

p0=100, k=0,03 i k=0,05,

t=1,20.

Reprezentai graficele cu ajutorul EXCEL.


76/302

76

Figura:Creterea Malthusian a populaiei

Figura:Cmpul de direcie pentru modelul creterii Malthusiene a populaiei

Punctul fix, soluia staionar, satisface ecuaia:

00)( ptp

Stabilitatea punctului fix este dat de comportarea traiectoriei pentru t .


77/302

77

tt

ktptp )exp(lim)(lim 0deci sistemul este instabil, cmpul de direcie se va ndeprta de punctul fix, punctul fix este de tip repelor.

n cazul sistemelor dinamice unidimensionale de ordinul nti omogene, soluia general a ecuaiei omogene este

de forma

tCe .

Dac 0 , stabilitatea este asigurat (vezi cursurile de Bazele ciberneticii economice). Exemplul 2:Modelu l de cretere economic Harrod- Domar1939-Roy Harrod

1946-Evsey DomarEste un model post Keynesian timpuriu de cretere economic.I s-a reproat instabilitatea soluiei.Controversele academice au dus, dup 1950 la dezvoltarea modelului Solow-Swan.Notaii, ipoteze:S(t)- economiile sunt proporionale cu venitul Y(t);

I(t)-investiiile (modificrile n stocul de capital) sunt proporionale cu modificrile venitului;S(t)=I(t)-la echilibru, economiile sunt egale cu investiiile.

s-propensitatea medie (egal cu cea marginal) ctre economisire;v-ponderea investiiilor n sporul total al venitului, sau inversulproductivitii marginale a capitalului.

Modelul:

)()(

)()()(

)()(

tStI

tYtKtI

tsYtS

Rezolvarea modelului:

0)()(

)()(

tYs

tY

tsYtY

Ecuaie diferenial liniar, de ordinul unu, cu coeficieni constani, omogen.


78/302

78

)()(

tYs

dt

tdY

dts

tY

tdY

)(

)(

dts

tY

tdY

)(

)(

CtstY ln)(ln

Cts

tY lnexpln)(ln

)exp()( t

s

CtY Determinarea constantei de integrare:

0)0(0 YYt

CYxs

CYt 00 )0exp(0

)exp()( 0 t

s

YtY

Tem:

Scriei rezolvarea ecuaiei:

0)()(

tYs

tY

Cu condiiile iniiale:


79/302

79

0)0( YY Interpretare economic:n soluie, (traiectoria venitului):

tseYtY )/(0)(

/s -warranted rate of growth rata justificat de cretere economic: se justific prinstructura economic dat de parametrii modelului: s i

Punct fix:

00 YY

Tipul de punct fix:

t

ts

t

eYtY )lim()( )/(0lim

Punct fix de tip repelor, sistem global instabil.Se spune globalstabil/instabil, dac exist un singur punct fix.


80/302

80

Figura: Cmpul de direcie pentru modelul Harrod-Domar

Tem:Folosind EXCEL; determinai traiectoriile pentru indicatorii: Y(t),I(t),C(t),cunoscnd datele:

7,0

3,0

..1000

s

muY

)(7,0)(

)(3,0)()(

100)()7,0/3,0(

tYtC

tYtStI

etYt

Exerciiu:

75,0

25,0

500

s

Y

Exemplul 3:

Modelul de cretere echilibrat al lui Solow

Ipoteze:

1. ))(),(()( tLtKFtY

funcia de producie macroeconomic, de dou ori difereniabil,

omogen de grad unu;


81/302

81

)(

)()(

tL

tKtk

nzestrarea tehnic a muncii;

)(

)()(

tL

tYty

venitul per capita;

Calculul venitului per capita:

Presupunem funcia de producie omotetic (omogen de grad unu: 0),;(),( LKFLKF )

ykfkFLKF

LLKF

LY )()1,()1,(),(

2.Fora de munc crete cu o rat constant n, care este independent de variabilele celelalte ale sistemului:

0)0(),()( LLtnLtL nteLtL 0)(

7. Economiile sunt o pondere constant n valoarea venitului, (S=sY), s este rata economiilor, datexogen: modelul lui Solow este model de cretere economic exogen.

4. Economiile n echilibru, sunt egale cu investiiile:).()( tItS

.

8. Investiiile brute sunt egale cu variaia stocului de capital (investiia net) plus nlocuirea capitaluluifix uzat:

)()()( tKtKtI

Unde este rata amortizrii.Modelul lui Solow n mrimi totale:


82/302

82

nteLtL

KK

tKtItK

tsYtS

tStI

0

0

)(

)0(

)()()(

)()(

)()(

nlocuind primele dou ecuaii n a treia, obinem:

)()()( tKtsYtK Ecuaia de dinamic a capitalului sau investiia net.

Transformm modelul n mrimi per capita:

knksf

nkkksfL

L

L

K

L

KsY

L

LKLKk

)()(

)(2

Atunci:

)()())(()( tkntksftk

Modelul lui Solow n mrimi percapitaconst n ecuaia de dinamic a nzestrrii tehnice a muncii sau investiianet n mrimi per capita de mai susi condiia iniial:

0

0

0)0( kL

Kk

Putem rezolva ecuaia dinamic a capitalului per capita dac dm o form analitic funciei de producie percapia.

Presupunem c este o funcie Cobb-Douglas omotetic (omogen de grad unu):


83/302

83

akkfy

LKa

LY

LaKY

)(

)(

10,1

Ecuaia de dinamic a capitalului per capita va fi:

)()()()( tkntsaktk Ecuaia diferenial obinut este:

)()()()( tsaktkntk

ecuaie diferenial neliniar, omogen, de tip Bernoulli.

Rezolvarea ecuaiei Bernoulli:

Schimbarea de variabil:

1k Derivm n raport cu timpul:

kk )1(

Explicitm k din relaia de mai sus:

)1(

kk

mprim ecuaia de dinamic lak :


84/302

84

saknkk 1)(

nlocuim

)1(

kkn ecuaia de mai sus:

Obinem:

))(1()1( nsa

Adic o ecuaie liniar de ordinul unu, neomogen n

.


0))(1( n

Cutm o soluie de forma:

tet )(

Punem condiia ca soluia s verifice ecuaia omogen:

0))(1( tt ene

mprim ecuaia la

te :

0))(1( n Ecuaia de mai sus se numete ecuaie caracteristic.

Determinm soluia , a ecuaiei caracteristice:

))(1( n Soluia general a ecuaiei omogene este:

))(1()( ntG CeCet

Unde C este constant generalizat arbitrar.


85/302

85

Soluia particular este de forma termenului liber:

Dt P )(

Punem condiia ca soluia particular s verifice ecuaia neomogen:

Dnsa ))(1()1(0 Determinm constanta D:

P

n

saD

)(

Soluia general a ecuaiei neomogene este suma ntre soluia general a ecuaiei omogene, plus o soluieparticular:

PG ttt )()()(

n

asCet tn ))(1()(


Pentru

n

asCt 00)0(0

Rezult soluia:

tn

en

as

n

as ))(1(0 )(

Determinarea traiectoriei venitului per capita:

Considerm condiiile iniiale:

100 k Atunci:


86/302

86

tnen

ask

n

ask ))(1(10

1 )(

Sau:

1

1

))(1(1

0 )()( tne

n

ask

n

astk

Aceasta este traiectoria echilibrat de evoluie a nzestrrii tehnice a muncii (corespunde traiectoriei

staionare/echilibrate, determinate din condiia de echilibru/staionariate 0)( tk ).

Tem:

Deducei traiectoria de evoluie a nzestrrii tehnice a muncii n cazul modelului de cretere echilibrat al luiSolow.

Traiectoria de evoluie a stocului total de capital(se obine multiplicnd traiectoria venitului per capita, cu

nteLtL 0)( ):

)1/(1

1

0

))(1(

0)(

n

aske

n

aseLtK

tnnt

------------------------------------------------------------

Tem:Deducei traiectoria de evoluie a capitalului total.

Punctele staionare:

0)(tk 0)( knsak


87/302

87

0)( 1 nsakk Punctele fixe/staionare/de echilibru sunt:

01

ki

)1/(1

2

sa

nk

Modelul Solow are deci dou puncte fixe.

Nu poate fi global stabil, ntruct aceasta este o proprietate posibil pentru sistemele cu un singur punct fix.

La sistemele cu mai multe puncte fixe stabilitatea/instabilitatea se stabilete pentru fiecare punct fix n parte: este

stabilitate/instabilitate local, ntr-o vecintate a punctului fix .

Pentru modelul Solow, primul punct fix este local instabil, iar al doilea este local stabil:

2)1/(1

)1/(1

1

0

))(1( )()(lim kn

as

n

aske

n

as tnt

Rezult c:

2)(lim ktk

t, deci

2k esteatractor

Dac traiectoria converge ctre01

)1/(1

2

kn

ask

, rezult

01 k

esterepelor, ntruct traiectoria se deprteaz de acest punct fix, cnd t .ntr-o vecintate a lui

2k , traiectoria tinde ctre

2k ,sistemul este localstabil.

ntruct traiectoria tinde asimptotic ctre

2k , sistemul este local , asimptotic stabil.


88/302

88

Figura: Traiectoria nzestrrii pentru diferite valori iniiale ale lui k(t).

Figura: Cmpul de direcie pentru modelul lui Solow.

Analiza traiectoriei n spaiul fazelor )(),(( tktk :

Reprezentm grafic funcia0)(0)( knsaktk


89/302

89

Reprezentm grafic curba0)( tk

, adic0)( knsak

, n planul ),( kk

Puncte singulare:

Derivm funcia ))(( knsak n raport cu ki egalm derivata cu zero, pentru a afla punctelesingulare.

)1/(1

1 0)(0

as

nknkasknask

dk

d

, este k punct singular.Pentru a afla natura punctului singular, calculm derivata a doua:


90/302

90

0)1( 22

2

kasknaskdk

d

, k punct de maxim.

k(t)

1k k

2k

knask 0 max 0

nkas 1 + + + + + +0- - - - - -

Rezult 0)( tk deasupra abscisei (la stnga lui2k )i 0)( tk sub abscis (la dreapta lui

2

k ).

Investiia brut i investiia de compensare

Investiia de compensareeste destinat nlocuirii capitalului fix uzat i dotrii cu capital a personalului intrat nactivitate.

n punctul

2kk , investiia brut este egal cu investiia de compensare:


91/302

91

Figura: Investiiile brute i investiiile de compensare

Pentru k=

2k , knsak )(

, respectiv investiiile brute sunt egale cu investiiile decompensare.

Dac

2kk , investiiile de compensare sunt mai mici dect investiiile brute i stocul de capital percapita va crete.

Dac k>

2k , investiiile de compensare devin mai mari dect investiiile brute, ceea ce determin scderea

stocului de capital per capita, cu valoarea capitalului necesar nzestrrii sporului de for de munc i acapitalului fix uzat.

sf(k)sunt investiiile brute, care n condiii de echilibru, trebuie s fie egale cu economiile;

kn )( sunt investiiile de compensare: compenseaz capitalul fix uzat i nzestrarea tehnic a

muncii pentru sporul populaiei.

Am obinut rezultatele:

knksfk )()(0 capitalul crete;

knksfk )()(0

capitalul scade;


92/302

92

knksfk )()(0 capitalul rmne la valoarea staionar,

pe temen indefinit.

Tem:Determinai traiectoria nzestrrii tehnice a muncii, a capitalului total, a populaiei totale, a venitului per capita ia venitului total, cunoscnd datele:

3,0,100,35,0,05,0,009,0,50,1000 00 sanLK , pentru T=10 ani.

Rata de cretere echilibrat:

Este rata de cretere a indicatorilor macroeconomici pe traiectoria echilibrat .

Rata de cretere echilibrat avenitului

)()( 0 takeLtY nt

)()()()()( 0

1

00 takenLtktkaeLtakenLtY ntntnt

Rezult:

)()( 0 takenLtY nt

Atunci:

n

takeL

takenL

tY

tYnt

nt

)(

)(

)(

)(

0

0

Rata de cretere echilibrat a venitului esten, egal cu rata de cretere a populaiei.

Pentru stocul total de capital )()( 0 tkeLtK nt :

n

tkeL

tkeLtkenL

tK

tKnt

ntnt

)(

)()(

)(

)(

0

00


93/302

93

Pe traiectoria de cretere echilibrat, rata de cretere a capitalului i a venitului sunt constante i egale cu ratade cretere a populaiei, n.

Cur s 3

Dinamica modelelor reprezentate prin ecuaii difereniale de ordin superior

Cazul general


)(... 1)1(

1

)(

0 tgyayayaya nnnn


0... 1)1(

1

)(

0 yayayaya nn

nn


tey i o punem s verifice ecuaia omogen:

0... 11

10 t

n

t

n

tntn eaeaeaea

mprim la 0t

e

, obinem ecuaia caracteristic:

0... 11

10

nn

nn aaaa


Soluia general a ecuaiei omogene: Cazul rdcinilor reale, distincte:





94/302

94

Unde

j

sunt krdcini distincte, fiecare cu ordinul su de multiplicitate, iar )(tPj sunt polinoamede tipul:

1

21 ...)(

j

j

m

jmjjj tAtAAtP

CuAconstante generalizate arbitrare, iarj

mordinul de multiplicitate al celei de a j-a rdcin.



)sincos( 21 tAtAe t

Cu,

respectiv partea real i imaginar a numrului complex.

Soluia particular o putem determina cu ajutorul metodei coeficienilor nedeterminai:

Facem ipoteza c soluia particular )(tyP

este de forma termenului liber i punem condiia caaceasta s

verifice ecuaia neomogen.


)()()( tytyty PG

Exemplu:

Modelul politicilor de stabilizare ntre cerere agregat i oferta agregat al lui Phill ips

Notm:

)(tDcererea agregat

)(tYoferta agregat



95/302

95

0

))()(()(

tYtDtY

0 coeficient de reaciecare arat viteza de ajustare ntre cererea agregat i oferta agregat.)()1()( tYstD

Undeseste propensitatea/nclinaia marginal i medie spre economisire, 10 s .Presupunem c cererea agregat este afectat de o perturbaie advers u=1.1)()1()()1()( tYsutYstD



)()(

(1)()1())()(()(

tsYtY

tYtYstYtDtY



Ecuaia omogen:

)()( tsYtY



stGCetY

)(

Soluia particular:

DtY P )( soluia particular are forma termenului liber, o constant.


96/302

96

Punem condiia ca)(tYP


sD0

sDtYP 1

)(


sCetY st 1

)(

Condiia iniial:

se

stY

sCYY

st 11

)(

1)0( 0

Stabilitatea:

stY

t

1)(lim



sYtsYtY

10)(0)(



97/302

97

Pentru nlturarea acestei situaii, Phillips propune trei politici de stabilizare a diferenei ntre cerere i ofert,

prin intermediul cheltuielilor guvernamentale )(tG

:

7. Politica de stabilizare proporional:

Cheltuielile guvernamentale sunt egale i de semn contrar cu oferta agregat:

)()( tYftG p

0pf este coeficientul de proporionalitate.8. Politica de stabilizare diferenial:

Cheltuielile guvernamentale sunt egale i de semn contrar cu variaia ofertei agregate:

)()( tYftG d


Cheltuielile guvernamentale sunt egale i de semn contrar cu suma ntre momentul iniial i momentulcurent al ofertelor agregate:

t

o

i dttYftG )()(

0if Determinarea ecuaiei de dinamic a venitului:

ntre nivelul teoretic )(tG i cel actual G(t)al cheltuielilor guvernamentale exist o ntrziere(obs. ntrzieri interne i externe n politicile macroeconomice, vezi cursul de Macroeconomiecantitativ):

)()( tGtG




98/302

98

))()(()( tGtGtG

0este coeficient de reacie i indic viteza de ajustare.

e. Pornim de la ecuaia cererii agregate, care va include cheltuielile guvernamentale, ntruct nmodel s-a introdus guvernul:

)(1)()1()( tGtYstD


)()()1()( tGtYstD


)()()1()( tGtYstD




ca:

)())()( tGtGtG i nlocuim n ecuaia de mai sus, obinem:

)()()1()()1(

)()(

tGtYstYs

tDtD

(a)

f. Pornim acum de la variaia venitului:

))()(()( tYtDtY

Explicitm pe D(t):


99/302

99

)()()(

tYtYtD

nmulim cu :

))()(()( tYtYtD

Derivm:

)()()(

tYtYtD


)()())()(()()( tYtYtYtYtDtD

(b)


)()())()((

)()()1()()1(

tYtYtYtY

tGtYstYs




100/302

100

)()()()()( tYftsYtYstY pEcuaia omogen:

0)()()()()( tYfstYstY p Cutm soluie de forma:

tetY )(

0)()(2 tptt efsese

Ecuaia caracteristic:

0)()(2 pfss Discriminantul:

)(4)(

2

pfss

4

)(0

2

sfp


tG

etAAtY

)()( 21

4

)(0

2

sfp


ttG

eAeAtY 21 21)(


101/302

101


4

)(0

2

sfp



DtY

P

)(


Dfs p )(

pfsD

1

Soluia:

p

G

fstYtY

1)()(

Dac traiectoria este stabil:2,1,0Re ii , atunci:

pt fs

tY

1)(lim



102/302

102

sfs p

11

ceea ce relev faptul c politica proporional are o

anumit eficien, dar nu reuete s transforme valoarea negativ a echilibrului ntr-o valoare pozitiv.

Seminar

Aplicaie numeric:


4)0(

0)0(

2

5,0

25,0

4

Y

Y

f

s

p

e) Determinai consecinele unei perturbaii unitare negative a cererii agregate.f) Determinai n raport cu situaia de la punctul (a), efectele politicii de stabilizare proporionale.

(a)


103/302

103

e c h

t

t

t

P

tG

YtY

etY

C

CetY

tYCetY

tYtY

tYtYtYtY

4)(lim

44)(

40

4)(

4)()(

)()(

4)())(1)(75,0(4)(

(b)

8)(6)(3)( tYtYtY


i936,15,12,1


DtYP

)(

33,16

8)( tYP

33,1))936,1sin()936,1cos(()( 215,1 tAtAetY t

33,133,1)0sin0cos(0)0( 1210 AAAeY


104/302

104

(Obs:0)0sin(,1)0cos(

)

)936,1(cos(936,1)936,1sin(936,1))936,1sin()936,1cos((5,1)(

21

5,1

21

5,1

tAtAe

tAtAetY

t

t

Obs: )cos()(nsi

)sin()(sco

tt

tt

21 936,15,144)0( AAY


Refacei calculele cnd

2p

f,

8. Ce putei s spunei despre noile valori de echilibru n


SISTEME DI NAM ICE DISCRETE

Clasificare:

Un sistem dinami c discreteste o secven de funciiyt, care sunt definite recursiv, adic exist o regul care leagfunciile din secven.Notm secvena:{yt}.

)(1 tt yfy (1)Relaia (1) este ecuaie recursiv.

)(11 tttt ygyyy (2)Relaia (2) este ecuaie cu diferene de ordin unu.

n ecuaia (1) )( tyf poate filiniar/neliniar.


105/302

105

Ecuaia dinamic liniar discret de ordinul doi, neomogen, cu coeficieni constani:

)(12 tgbyayy ttt Rezolvarea ecuaiilor liniare dinamice discrete cu coeficieni constani:

1. Rezolvm ecuaia omogen:

012 ttt byayy

Cutm o soluie de forma

t :

012

Date post:	25-Feb-2018
Category:	Documents
Upload:	chirita-alexandra
View:	265 times
Download:	0 times

Dinamica sistemelor economica

Documents