TRANSFERUL DE CALDURA 1. Definiie: Transferul de cldur este tiina proceselor spontane, ireversibile, de propagare a cldurii n spaiu i reprezint schimbul de energie termic ntre dou corpuri, dou regiuni ale unui corp sau dou fluide sub aciunea unei diferene de temperatur.2. Cmpul de temperatur: Temperatura caracterizeaz starea termic a unui corp, caracteriznd gradul de nclzire a acestuia. M (x,y,z) tridimensional si nestationar T= T (x,y,z,) sau (cel mai simplu)cmpul stationar unidirectional: T = T (x). 3. Suprafaa izoterm : Suprafaa izoterm este locul geometric al punctelor din spaiu care la un moment dat au aceeai temperatur. n regim nestaionar suprafeele izoterme sunt mobile i deformabile; n regim staionar ele sunt invariabile. Suprafeele izoterme nu se pot intersecta, acelai punct din spaiu, la acelai moment de timp, neputnd avea temperaturi diferite. T [K] sau [C].

4. Gradientul de temperatur :

Cmpul de temperatur fiind o funcie derivabil se poate defini n orice punct M, la fiecare moment un vector al gradientului de temperatur n direcia normal la suprafaa izoterm care trece prin acel punct.5. Fluxul termic:

Fluxul termic este cantitatea de cldur care trece printr-o suprafa izoterm n unitatea de timp:

unde: DQ este cantitatea de cldur, n J; D este intervalul de timp n s.

6. Fluxuri termice unitare:

Fluxul termic unitar de suprafa (densitatea fluxului termic) reprezint fluxul termic care este transmis prin unitatea de suprafa: Fluxul termic unitar linear este fluxul termic transmis prin unitatea de lungime a unei suprafee: Fluxul termic unitar volumic este fluxul termic emis sau absorbit de unitatea de volum dintr-un corp:7. Linii si tub de curent:

Liniile de curent sunt tangentele la vectorii densitii fluxului termic qs. Ansamblul liniilor de curent pentru un contur dat formeaz tubul de curent.

Analogia electric a transferului de cldur

Dou fenomene sunt analoge dac difer ca natur dar au ecuaii care le caracterizeaz identice ca form: Modurile fundamentale de transfer al cldurii

conducia termic; convecia termic; radiaia termic.Conducia termic este procesul de transfer al cldurii dintr-o zon cu o temperatur mai ridicat ctre una cu temperatur mai cobort, n interiorul unui corp (solid, lichid sau gazos) sau ntre corpuri solide diferite aflate n contact fizic direct, fr existena unei deplasri aparente a particulelor care alctuiesc corpurile respective.Mecanismul conduciei termice = f(cinetica molecular, interaciunea energetic ntre microparticulele (molecule, atomi, electroni)).

solide nemetalice transferul energiei vibraiilor atomilor fononi ;

metale fononi ct i prin electroni liberi. n acest caz ponderea electronilor liberi este de 10 30 ori mai mare dect cea a fononilor;

gaze macroscopic imobile schimbul de energie de translaie, de rotaie i vibraie a moleculelor (teoria cineticii gazelor, statistica Maxwell-Boltzmann);

lichide ciocnirile elastice legate de micarea de mic amplitudine a moleculelor n jurul poziiilor lor de echilibru i deplasarea electronilor liberi (potenialul Van der Waals). Ecuaia fundamental a conduciei termice (legea lui Fourier): sau:Ecuaia legii lui Fourier este valabil pentru conducia termic unidirecional n regim staionar, prin corpuri omogene i izotrop, fr surse interioare de cldur.

Convecia termic reprezint procesul de transfer de cldur ntre un perete i un fluid n micare, sub aciunea unei diferene de temperatur ntre perete i fluid.Convecia presupune aciunea combinat a conduciei termice n stratul limit de fluid de lng perete, a acumulrii de energie intern i a micrii de amestec a particulelor de fluid.Intensitatea procesului de convecie depinde n msur esenial de micarea de amestec a fluidului. Dup natura micrii se disting dou tipuri de micare crora le corespund dou tipuri de convecie: liber sau natural i forat. Ecuaia fundamental a conveciei termice (formula lui Newton):sau:Coeficientul de convecie a, caracterizeaz intensitatea transferului de cldur convectiv. El este diferit de legea lui Newton ca fluxul termic transmis prin convecie prin unitatea de suprafa izoterm la o diferen de temperatur de 1 K. Valoarea coeficientului de convecie depinde de numeroi factori: natura fluidului, viteza fluidului, presiune, temperatur, starea de agregare, geometria suprafeei, etc.

Fluidul i tipul conveciei, n W/(m2K)Gaze, convecie liber6 - 30Gaze, convecie forat30 - 300Ulei, convecie forat60 - 1800Ap, convecie forat500 - 40.000Ap, fierbere3000 - 60.000Abur, condensare6000 - 120.000

Radiaia termic este procesul de transfer de cldur ntre corpuri cu temperaturi diferite separate n spaiu.Orice corp S emite prin radiaii electromagnetice energie. Transportul se realizeaz prin fotoni, care se deplaseaz n spaiu cu viteza luminii. Energia transportat de acetia este n funcie de lungimea de und a radiaiei.Relaia de baz a transferului de cldur prin radiaie a fost stabilit experimental de Stefan i teoretic de Boltzmann. Ecuaia Stefan Boltzmann exprim fluxul termic emis de un corp negru absolut sub forma: unde: 0 este coeficientul de radiaie a corpului negru (s0 = 5,67.10-8 W/(m2K4)); S, T suprafaa, respectiv temperatura, n m2, respectiv K.

2. TRANSFERUL DE CALDURA PRIN CONDUCTIE

2.1. ECUAIILE DIFERENIALE ALE CONDUCIEI TERMICE Ecuaia general a conduciei termice Ecuaia caracterizeaz conducia tridimensional, n regim nestaionar, prin corpuri cu surse interioare de cldur uniform distribuite. Ipotezele care stau la baza determinrii acestei ecuaii sunt:

corpul este omogen i izotrop, astfel nct conductivitatea termic este constant i are aceleai valori n toate direciile: lx = ly = lz = l = const.

cldura specific cp i densitatea r sunt constante n intervalul de temperatur considerat;

n interiorul corpului exist surse de cldur uniform distribuite cu densitatea volumic (flux termic unitar volumic) qv [W/m3] = const.;

deformarea corpului prin dilataie datorit variaiei temperaturii este neglijabil.

Cldura intrat n elementul dv prin conducie dup direcia Ox: Cldura ieit din elementul dv dup aceeai direcie: Cldura rmas n elementul dv dup direcia Ox: n mod analog se poate scrie cantitatea de cldur rmas n elementul dv dup direciile Oy i Oz:

Cantitatea total de cldur intrat prin suprafaa lateral a elementului dv i rmas n aceasta va fi: Cantitatea de cldur generat de sursele interioare de cldur uniform distribuite este: Cldura acumulat n corp: nlocuind valorile lui dQ1, dQ2 si dQ3 n ecuaia bilanului termic, se obine:sau:Difuzivitatea termic:

Ecuaiile difereniale ale conduciei termice

DenumireRegimulEcuaiaEcuaia general aconducieiRegim tranzitoriu cu surse interioare de cldurEcuaia lui PoissonRegim constant cu surse interioare de cldurEcuaia lui FourierRegim tranzitoriu fr surse interioare de cldurEcuaia lui LaplaceRegim constant fr surse interioare de cldur

Pentru corpuri neomogene i neizotrope :Condiii de determinare univoc a proceselor de conducie Condiii geometrice, care dau forma i dimensiunile spaiului n care se desfoar procesul de conducie;

Condiii fizice, care dau proprietile fizice ale corpului: l, r, cp i variaia surselor interioare de cldur;

Condiiile iniiale, care apar n cazul proceselor nestaionare i dau de obicei, valorile cmpului de temperatur, la momentul iniial t = 0;

Condiiile limit sau de contur, care definesc legtura corpului cu mediul ambiant i care se pot defini n mai multe forme.

Condiiile la limit de ordinul I (condiii Dirichlet) se refer la cunoaterea cmpului de temperatur pe suprafaa corpului n orice moment de timp: Tp(x, y, z, t).

Caz particular - suprafaa corpului este izoterm n timp: Tp = ct.b) Condiiile limit de ordinul II (condiii Neumann), la care se cunosc valorile fluxului termic unitar pe contur n orice moment de timp:n acest caz exist dou cazuri particulare:fluxul termic unitar pe suprafa este constant: qS = const.fluxul termic unitar la suprafa este nul (corp izolat termic adiabat): c) Condiiile la limit de ordinul III, la care se dau temperatura fluidului care nconjoar corpul Tf i legea de transfer de cldur ntre corp i fluid.n cazul n care transferul de cldur ntre corp i fluid se realizeaz prin convecie, condiia la limit de ordinul III se scrie:

d) Condiiile limit de ordinul IV, care caracterizeaz condiiile de transfer la interfaa dintre dou corpuri solide de naturi diferiten cazul n care contactul ntre cele dou corpuri este perfect (nu exist rezistene termice de contact), fluxul termic unitar de suprafa fiind acelai n ambele corpuri, condiiile la limit de ordinul IV se scriu:La interfaa de contact pantele celor dou variaii ale temperaturilor ndeplinesc condiia:

Conductivitatea termicConductivitatea termic se definete din ecuaia legii lui Fourier:Definitie: reprezinta fluxul transmis prin conducie prin unitatea de suprafa izoterm la un gradient de temperatur de 1K/m. Conductivitatea termic este o proprietate a corpurilor care depinde de natura acesteia, temperatur i presiune. Ordinul de mrime al conductivitii termice pentru diferite materiale

Pentru corpurile solide influena presiunii asupra lui este neglijabil, variaia cu temperatura avnd forma: Variaia cu temperatur a conductivitii termice:solide lichide gaze

Conducia termic unidirecional n regim constanta) Corpuri cu forme geometrice simple fr surse interioare de cldurPeretele plan Condiii la limit de ordinul I:Se cunosc: p [m]; p [W/(mK)]; Tp1 i Tp2 [C], S [m2].

Se cer: T(x), qs i Qn acest caz conducia fiind unidirecional, n regim permanent, fr surse interioare de cldur se poate pleca de la ecuaia legii lui Fourier:

Rezistena termic conductiv pentru un perete plan:Pentru determinarea cmpului de temperatur ecuaia lui Fourier se va integra de la 0 la x, respectiv de la Tp1 la T(x):

n cazul n care conductivitatea termic nu este constant, ci variaz liniar cu temperatura:

Peretele plan Condiii la limit de ordinul III:Se cunosc: p [m]; p [W/(mK)]; Tf1 i Tf2 [C], a1 i a2 [W/(m2.K)], S [m2].Se cer: qs i Q, Tp1 i Tp2

La acelai rezultat se ajunge folosind analogia electric a transferului de cldur. n acest caz apar trei rezistene termice nseriate:Fluxul termic unitar la convecie este dat de relaia lui Newton:Rezistena termic convectiv n cazul peretelui plan este:Coeficientul global de transfer de cldur :

Temperatura ntr-un punct oarecare din perete se determin cu relaia:

Peretele plan Rezistene termice de contact:Suprafaa efectiv de contact este funcie de rugozitatea suprafeelor i de fora de strngere ntre acestea, ea reprezentnd ntre 18% din suprafaa total Rezistena termic de contact:Conductana termic de contact:

Rezistena termic de contact este compus din dou rezistene termice legate n paralel: rezistena termic prin punctele solide de contact Rss i rezistena termic prin fluidul din interstiii Rsf:Fluxul termic transmis n zona de contact va fi: Rezistena termic de contact, respectiv conducia termic de contact depind de:

presiunea de strngere a celor dou suprafee; rugozitatea suprafeelor; rezistena la rupere r a materialului cu duritate mai mic; conductivitatea termic a celor dou solide; conductivitatea termic a fluidului din interstiii.

Variaia conductanei termice de contact

Curbanr.Perechea dematerialeRugozitateasuprafeelormFluidul dininterstiiuTemperaturamedie decontactC1Aluminiu1,221,65Vid (10-2 Pa)432Aluminiu1,65Aer933Aluminiu0,150,2(neplane)Foi de plumb(0,2 mm)434Oel inoxidabil1,081,52Vid (10-2 Pa)305Oel inoxidabil0,250,38Vid (10-2 Pa)306Oel inoxidabil2,54Aer937Cupru0,180,22Vid (10-2 Pa)468Oel inoxidabilaluminiu0,761,65Aer939Magneziu0,20,41(oxidat)Vid (10-2 Pa)3010FieraluminiuAer27

Perete plan neomogen cu straturi perpendiculare pe direcia de propagare a cldurii:Se cunosc:

1 [m]; 2 [m]; 1 [W/(mK)]; 2 [W/(mK)]; Tf1 i Tf2 [C], a1 i a2 [W/(m2.K)], S [m2].

Se cer: qs i Q, Tp1; Tp2; Tp3 i Tp4

Perete compozit:Pentru determinarea rezistenelor termice vom scrie fluxul termic unitar pe fiecare zon, considernd o lime a peretelui z, astfel ca zb=1m2.

Peretele cilindric Condiii la limit de ordinul I:Se cunosc: di [m]; de [m]; [W/(mK)]; Tp1 i Tp2 [C], S [m2].

Se cer: T(r), ql i QSeparnd variabilele i integrnd se obine:

n cazul n care conductivitatea termic este variabil linear cu temperatura: = 0.(1+.T) Prin integrare ntre limitele r1 i r, respectiv Tp1 i T(r), rezult: Distribuia temperaturii la conducia termicprintr-un perete cilindric omogen

Condiii la limit de ordinul III:Se cunosc: di [m]; de [m]; [W/(mK)]; Tf1 i Tf2 [C], ai i ae [W/(m2.K)], S [m2].

Se cer: ql i Q, Tp1 i Tp2 Rezistena termic linear convectiv:

Perete cilindric neomogen cu straturi perpendiculare pe direcia de propagare a cldurii:

Peretele sferic Condiii la limit de ordinul I:Separnd variabilele i integrnd se obine: Rezistena termic conductiv n cazul sferic:Prin integrarea de la Tp1 la T(r), respectiv de la r1 la r, rezult ecuaia cmpului de temperatur (hiperbolic):

Conducia termic unidirecional n regim constantb) Corpuri cu forme geometrice simple cu surse interioare de cldur uniform distribuite Peretele plan Perete rcit uniform pe ambele fee:Ecuaia lui Poisson (cmp de temperatur unidirecional): Integrnd de dou ori se obine: Pentru determinarea constantelor de integrare C1 i C2 se pot pune condiii la limit de ordinul I sau ordinul III. Peretele fiind rcit uniform pe ambele fee, n centrul plcii temperatura va fi maxim (Tm): la x = 0,

condiiile la limit de ordinul I: la x = , T =Tp la x = 0, T =Tm condiiile la limit de ordinul III: la x = 0, la x = , Fluxul termic transmis prin fiecare fa a peretelui cu suprafaa S:

Perete rcit neuniform pe cele dou fee: condiiile la limit de ordinul I: la x = 0, T =Tp1; la x = 2d, T =Tp2.Ecuaia cmpului de temperatur: Temperatura maxim se realizeaz la distana x = xm, care rezult din ecuaia dT/dx = 0: Fluxurile termice transmise prin cele dou fee, avnd suprafaa S:

condiiile la limit de ordinul III: la x = 0, la x = 2d,

Peretele cilindricEcuaia lui Poisson pentru conducia unidirecional n coordonate cilindrice: la r = 0, la r = 0, T=Tm C1 = 0 i C2 = Tm Ecuaia cmpului de temperatur:Temperatura peretelui se obine pentru r = R: Fluxul termic generat n perete i transmis prin suprafaa acestuia:

Peretele cilindric tubularn cazul transferului de cldur printr-un perete tubular, dac tubul cilindric are perei subiri (de/di 1,1) el poate fi tratat cu bun aproximaie ca un perete plan. n cazul tuburilor cu perei groi (de/di > 1,1) se pot ntlni trei cazuri:

tubul are suprafaa interioar izolat termic, fiind rcit numai la exterior (fig. a); tubul are suprafaa exterioar izolat termic, fiind rcit numai la interior (fig. b); tubul termic este rcit pe ambele fee (fig. c).

Perete tubular cu surse interioare de cldur

*