of 91
Elemente finite n ingineria mecanic St. Sorohan 2009-2010 TransporturiCUPRINS1 INTRODUCERE1.1 Ce este MEF i unde se aplica ?1.2 Cunotine necesare pentru a realiza programe cu elemente finite1.3 Cunotine necesare unui utilizator al MEF1.4 Concepte de baz n MEF1.5 Discretizarea i tipuri de elemente finite1.6 Factori de influen a discretizrii1.7 Exemple practice de discretizri2 METODA DEPLASRILOR2.1 Aplicaie2.2 Matricea de rigiditate a elementului bar articualt 2D - generaliti2.3 Expresia matricei de rigiditate n coordonate locale2.4 Expresia matricei de rigiditate n coordonate globale2.5 Asamblarea matricei de rigiditate a structurii2.6 Impunerea condiiilor la limit i rezolvarea2.7 Semnificaia fizic a elementelor matricei de rigiditate2.8 Matricea de rigiditate a elementului grind 2D2.9 Influena numerotrii nodurilor asupra formei matricei de rigiditate globale a structurii2.10 Rezolvarea sistemelor de ecuaii liniare ordinare2.11 Rezolvarea sistemelor de ecuaii liniare cu legturi3 ELEMENTE DE TEORIA ELASTICITII N FORM MATRICEAL3.1 Introducere3.2 Definiii i notaii3.3 Transformarea mrimilor la schimbarea axelor de coordonate3.4 Relaii ntre deplasri i deformaii specifice3.5 Relaii de echilibru (Cauchy)3.6 Relaii constitutive ale materialului4. METODE ENERGETICE N ANALIZA STRUCTURILOR4.1 Expresii energetice4.2 Tensiuni iniiale i variaia de temperatur4.3 Principiul energiei poteniale totale minime4.4 Metoda de aproximare Rayleigh-Ritz5. SCURT PREZENTARE A METODEI ELEMENTELOR FINITE5.1 Metoda elementelor finite: variant localizat a metodei Rayleigh-Ritz5.2 Proprietile matricei de rigiditate ale unui element finit5.3 Asamblarea ecuaiilor de echilibru ale elementelor5.4 Efectul tensiunilor iniiale i efectul termoelastic5.5 Efectul aezrii pe medii elastice5.6 Efectul ncrcrii cu fore de inerie5.7 Elementul finit triunghiular cu deformaie specific constant6 ELEMENTE FINITE PATRULATERE PLANE6.1 Elementul finit patrulater cu patru noduri, izoparametric6.2. Calculul matricei de rigiditate al elementelor patrulatere6.3 Integrarea numeric folosind metoda Gauss-Legendre6.4 Elementul finit patrulater cu patru noduri, neconform6.5 Condensarea static a gradelor de libertate interioare6.6 Elementul patrulater plan izoparametic cu opt noduri6.7 Elementul patrulater plan cu nou noduri6.8 Calculul deformaiilor specifice i a tensiunilor n elementele finite7 ELEMENTUL HEXAEDRAL CU OPT NODURI8 ELEMENTUL SHELL CU OPT NODURI9 CONCLUZII FINALE10 BIBLIOGRAFIECatedra de Rezistena materialelor Universitatea POLITEHNICA Bucureti1Elemente finite n ingineria mecanic St. Sorohan 2009-2010 Transporturi1 INTRODUCERE1.1 Ce este MEF i unde se aplic ?Metoda elementelor finite (MEF) este o metod general de rezolvare aproximativ a ecuaiilor difereniale cu derivate pariale care descriu sau nu fenomene fizice. Principial MEF const n descompunerea domeniuluide analiz n poriunide form geometric simpl, analiza acestora i recompunerea domeniului respectnd anumite cerine matematice.Problema derivatelor pariale este redus la un sistem de ecuaiialgebrice, la o problem de valori i vectori proprii sau la un sistem de ecuaii difereniale ordinare de ordinul unu sau doi. Rezolvarea sistemelor de ecuaii sau a problemelor de valori si vectori proprii ar fi practic imposibildacnus-ar dispunedeCALCULATORiSOFT- totalitatea programelor de calcul care realizeaz funcionalitatea i folosirea calculatorului inclusiv a unui program cu elemente finite. Pentru rezolvarea unei aplicaii este nevoie i de un ANALIST, adic o persoan care s fie n msur a folosi calculatorul i programul cu elemente finite pentru a rezolva o aplicaie.Din punctde vedere al domeniilor de aplicaie metoda poate fi extins n orice domeniu de activitate care descrie un fenomen cu ajutorul unor ecuaii difereniale. Pn n prezent metoda s-a dezvoltat n mod deosebit n domenii ca: analiza structural; analiza termic; analiza fluidelor; analiza electric; analiza magnetic, dar i n analiza fenomenelor complexe interdisciplinare cum ar fi: analiza termoelastic, analiza cuplat termic i structural, analizainteraciunii fluid-solid; analizaelectro-magnetic; analiza piezoelectric i altele.Se menioneaz c aceast disciplin este relativ tnr, astfelntr-un unscurt istoric se pot meniona:-1943 Courant studiaz rsucirea - problema Saint Venant, prin discretizare cu triunghiuri;-1953 1959 Se formuleaz idefinitiveaz metoda deplasrilor la Boeing de ctre Turner;-1960Seutilizeazpentruprimadattermenul deelement finit dectre Clough;-1967Apareprimacartedespremetodaelementelor finite- Zienkiewiczi Cheung. MEF se aplic i n alte domenii dect structural (termal, fluid, electromagnetic);-1965 1972 se lucreaz pentru dezvoltarea programului NASTRAN-1965 apare programul SAMCEF-1970 apare programul ANSYS-1973 apare SAP4 primul cod MEF surs free;-1975 apare ADINA-1978 apare ABAQUS-1985 apare COSMOS-M.1.2 Cunotine necesare pentru a realiza programe cu elemente finiteMEF are un caracter pluridisciplinar. Implementarea unor programe cu elemente finite pentru anumite tipuride probleme sau chiar a unuiprogram generalde calculn domeniulingineriei mecanice, cu precdere pentru calcule ale structurilor de rezisten, impune stpnirea diciplinelor (vezi Fig. 1.1):-mecanica structurilor (mecanica static, dinamic, rezistena materialelor, vibraii);Catedra de Rezistena materialelor Universitatea POLITEHNICA Bucureti2Elemente finite n ingineria mecanic St. Sorohan 2009-2010 Transporturi-analiza numeric (proceduri i algoritmi de calcul precum i cunotine de grafic pe calculator);-programarentr-unlimbaj denivel nalt (FORTRAN, C++sauchiar BASICi PASCAL).De obiceigruprimicide cercettorintr-un domeniu relativ restrns elaboreaz programe de calcul folosind MEF pentru nevoile imediate sau probleme relativ simple.Fig. 1.1: Caracterul pluridisciplinar al MEFPrograme mari, cu facilitati multiple sunt realizate de firme specializate, astfel se pot enumera cteva programe (coduriexecutabile) care sunt folosite de colectivele de proiectare/cercetaredinarsaununiversiti, nscopeducaional i decercetare: NASTRAN-Patran, ANSYS, ABAQUS(nCATIA), COSMOS(nSolidWork), ADINA, ALGOR, variante SAP i altele.n ultimultimp a luat avnt programarea n MATLAB care pentru studenieste foarte comod i permite rezolvarea unor aplicaii la temele de cas.1.3 Cunotine necesare unui utilizator al MEFUn utilizator student posibil viitoranalist,estepus n situaia rezolvriiunei anumite probleme i nu n a implementa un program cu elemente finite pentru rezolvarea ei, de aceea utilizatorul trebuie s afle dac problema se preteaz rezolvrii cu MEF i s foloseasc un program adecvat problemei respective.Odatstabilit programul decalcul estenecesar asefaceoinformareasupra posibilitaii programului. Dac performanele programului convin trebuie s ne informm despre modul de lucru al programului i s pregtim problema pentru rezolvare !Trebuie s menionm de la nceput c programul de calcul folosit pentru analiza problemei nu rezolv structura real, ci doar un MODEL al ei pe care n general l face utilizatorul.STRUCTURADECALCULMODEL ANALIZ cu MEFRezultatele pot fi confirmate sau nu, funcie de cum a fost ales modelul de calcul. Modelarea este o activitate de simplificare a structurii prin ncadrarea diverselor poriuni alestructurii ncategoriabarelor, plcilor, blocurilor, prinsimplificareancrcrilori a rezemrilor etc. Modelareacorect(ct mai aproapederealitate) inedeexperien, inspiraiei numai puindecunoatereabazelorteoreticealemetodei. Deregulun model se dezvolt funcie de scopul analizei.Catedra de Rezistena materialelor Universitatea POLITEHNICA Bucureti3Elemente finite n ingineria mecanic St. Sorohan 2009-2010 TransporturiScopul cursului i alucrrilor delaborator estedeascoatenevidenunele aspecte ale modelrii i a fixa noiunile generale ale MEF astfel nct dup promovarea acestei discipline utilizatorul (studentul) s poat aborda i utiliza, cu mici rezerve, orice cod de MEF.Cunotinelenecesaresedobndescpemsurceutilizatorul rezolvdiverse probleme. Nutrebuieuitat faptul cpentruarezolvacorect oproblemesteabsolut necesar (nu i suficient) livrarea tuturor datelor care definesc problema.Programeledefirmrespectanumitereguli generaledeintroducereadatelor (notaiiunificate, ordonarea comenzilor de pregtire a datelor, import modele din CAD, etc), ceea ce faciliteaz lucrul la programe diferite pentru utilizatori experimentai. Pentru nceptori este indicat a se folosi un singur program de lucru.Odatstabilit modelul decalcul, seimpunepregtireadatelordeintrarepentru rezolvareaproblemei. Fiecareprogramcuelementefiniteprezintparticularitti care trebuie nvate dar exist o serie de regulide baz ale metodeicare odat stpnite permite abordarea oricrui program cu elemente finite.Indiferent de metoda abordat, analiza unei structuri reale prezint cteva etape eseniale:-structurarealseidentific, prinfolosireaunor ipotezesimplificatoare, cuun model fizic primar, numit model conceptual;-modelul primar servete la formularea unui model matematic, adic la un set de ecuaii care urmeaz a fi rezolvate;-rezultatele obinute sunt interpretate idac exist motive ntemeiate acestea pot fi validate. Astfel seria celor dou modele conceptual i matematic pot fi folosite i pentru alte probleme similare.1.4 Concepte de baz n MEFUn domeniu solid oarecare, considerat plan numai din considerente de prezentare(Fig. 1.2.a), esteraportat launsistemdereferincartezianXOY, este ncrcat cu o for Fincastrat pe conturuldin stnga. Fiecare punct aldomeniului prezintodeplasarepedireciaOX, notat( ) Y X u , i unapedireciaOY,( ) Y X v , . Domeniul prezentat poatefi identificat cuunmodel decalcul conceptual, totuin continuare acesta se va numi structur. Problema prezentat reprezint practic o bar de seciune variabil n consol ncrcat n captul liber pentru care se caut soluia, adic de exemplu sgeata i tensiunea echivalent maxim.Din punct de vedere matematic,n teoria elasticitii, problema prezentat este descris de un set de ecuaii difereniale cu derivate pariale i de anumite condiii la limit. Pentruanumitecazuri particulare, adicformegeometricesimpleincrcri bine alese, exist soluii analitice pentru expresiile cmpului deplasrilor i al tensiunilor. n general problema nu se poate rezolva pe cale analitic. Se menioneaz c o rezolvare analiticprezint soluiipentru o infinitatede puncte din domeniulde analiz. Se spune c domeniul de analiz reprezint o structur continu. O alternativ de a rezolva astfel de probleme o constituie metoda elementelor finite (MEF).Catedra de Rezistena materialelor Universitatea POLITEHNICA Bucureti4Elemente finite n ingineria mecanic St. Sorohan 2009-2010 Transporturi(a) (b)Fig. 1.2: Abordarea unei probleme n MEF. (a) Domeniu de analiz; (b) Discretizarea domeniului de analizPentru a rezolva problema cu MEF, domeniul de analiz (sau volumul structurii) notat V, se mparte ntr-un numr NE de subdomenii sau fragmente (poriuni de form geometric relativ simpl, fiecare de volumVe) numiteelemente finite. Deoarece elementelefinitenuseintersecteazntreelesepoatescriecNEeeV V1. Fiecare element finit senumeroteaz(esteidentificat printr-unnumr), deobicei dela1la numrul total deelementefiniteNE. Raportarealaunelement oarecaresefacede obicei printr-un indice superior (e pentru un element oarecare).Elementele finite se pun n eviden (geometric) prin intermediul unor puncte, de exemplu colurile triunghiului, dac elementul finit areformaunui triunghi. Aceste puncte poart denumirea de noduri. Elementele finite "se leag" (interacioneaz) ntre ele prin intermediul nodurilor comune, astfel c n domeniul de analiz exist un numr finit denoduri. Similar elementelor, nodurilesenumeroteaz, deobicei, dela1la numrul total de noduri NN.Operaia de mprire a unui domeniu n noduri i elemente finite de un singur tip sauchiar mai multetipuri, precumi numerotareaacestora, adicatribuireaunor numere de identificare, poart denumirea de discretizare (Fig. 1.2,b).Discretizarea nu este unic, n general ea se realizeaz astfel nct s rspund unor cerine practice.Pentru exemplul prezentat, fiecare nod din domeniul de analiz are o deplasare posibil pe orizontal-axa OX i una pe vertical-axa OY, se poate spune c exist doi parametri independeni care definesc unic deplasarea unui nodn plan. Aceti parametri poart denumirea de grade de libertate ataate nodului. De obicei, gradele de libertate ale tuturor nodurilor definite reprezint necunoscutele primare ale problemei n MEF, n exemplulde fa, gradele de libertate nodate UXiUYdefinesc deplasarea "posibil" a unui nod oarecare.Pentru unele noduri(1,2,3i4din ncastrare), deplasrile sunt nule, decin aceste puncte gradele de libertate se definesc "potenial", ele nu reprezint necunoscute. Numrul total de grade de libertate al problemeiNse obine prin nsumareagradelor delibertateactivealetuturor nodurilor. Pringradedelibertate active se neleg acele grade de libertate care definesc o deplasare necunoscut.Din cele prezentate mai sus rezult c un domeniu continuu cu un numr infinit de grade de libertate este transpus ntr-un model discret cu Ngrade de libertate, deci necunoscutele problemei se limiteaz funcie de discretizare.Deoareceanalizacuelementefiniteestedependentdeimplementareaunor programe de calcul, mrimile cu care aceasta lucreaz sunt de regul vectori i matrice.Catedra de Rezistena materialelor Universitatea POLITEHNICA Bucureti5Elemente finite n ingineria mecanic St. Sorohan 2009-2010 TransporturiFig. 1.3: Gradele de libertate i forele nodale pentru un element oarecare eFig. 1.4: Forele exterioare care lucreaz n model i echilibrul unui nod oarecare nPentrutoatstructurasedefinetevectoruldeplasrilor nodaletotalesaualstructurii{ } { }TNN y NN x y x y xU U U U U U U, , 2 , 2 , 1 , 1 , , (1.1)i vectorul forelor nodale exterioare{ } { }TNN y NN x y x y xF F F F F F F, , 2 , 2 , 1 , 1 , . (1.2)Seconsiderunelement oarecareedindiscretizareaprecedent(Fig.1.3), pentru care cele trei noduri se noteaz cu I,JiK. Se definete vectorul deplasrilornodale al elementului, de fapt al tipului de element finit triunghiular{ } { }TK y K x J y J x I y I xeU U U U U U U, , , , , ,, (1.3)care, din condiii de continuitate, este un subset al vectorului definit de relaia (1.1), i vectorul forelor nodale al elementului{ } { }T eK yeK xeJ yeJ xeI yeI xeF F F F F F F, , , , , ,, (1.4)ntre care se poate obine o relaie matriceal de forma{ } [ ]{ }e e eU K F , NE , , 2 , 1 e , (1.5)similar relaiei de echilibrua unuisistemelastic(arc) cuun grad delibertateF=kx. Matricea ptratic[ ]eK poart denumirea de matricea de rigiditate a elementuluifinit. Aceasta se poate determina pentru fiecare element finit folosind ecuaiile fundamentale din teoria elasticitii, pentru moment se neglijeaz modul n care ea se poate obine.Dacse izoleazun nod oarecare ndinmodelul cu elemente finite (vezi Fig. 1.4), pentru care exist Nc elemente concurente, atunci fiecare element finit acioneaz cu o for n acel nod i din motive de echilibru suma tuturor forelor trebuie s fie zero. Atunci cndnnodul izolat acioneazi foreexterioareacesteatrebuieinclusei echilibrul nodului n se scrien xNciin xF F,1,;n yNciin yF F,1,; NN n , , 2 , 1 . (1.6)Dac seine seama de celeNN 2ecuaii (6), i n expresiile sumelor se introduc forele obinute din relaiile (5), se obine o relaie matriceal de formaCatedra de Rezistena materialelor Universitatea POLITEHNICA Bucureti6Elemente finite n ingineria mecanic St. Sorohan 2009-2010 Transporturi{ } [ ]{ } U K F , (1.7)n care [ ] K este numit matricea de rigiditate global a structurii. Aceast operaie de obinere a matricei de rigiditate globale din matricele de rigiditate a elementelor poart denumireadeasamblareamatricei derigiditateglobali seprezintsugestiv n schema[ ]{ } { } [ ]{ } { } F U K F U KASAMBLARENE ee e e , , 2 , 1 .Dimensiuneamatricei derigiditate[ ] K este NN NN 2 2 i deobicei aceasta rezult singular, deci din ecuaia (1.7) nu se pot obine direct deplasrile necunoscute. Dac ns se ine seama de condiiile la limit, adic pentru unele nodurise cunosc deplasrile iar pentru altele forele exterioare aplicate i gradele de libertate se clasific n dou seturi (vezi Fig. 1.4):-a)deplasri cunoscute (de cele mai multe ori nule) i fore exterioare reaciuni necunoscute;-b) deplasri necunoscute i fore exterioare aplicate cunoscute;atunci ecuaiile (1.7) se pot partiiona (rearanja) n raport cu acestea astfel[ ] [ ][ ] [ ]{ }{ }{ }{ };';'1]1
bababb baab aaFFUUK KK K. (1.8)Din a doua ecuaie matriceal (1.8) rezult deplasrile necunoscute{ } [ ] { } [ ] { } ( )a ba b bb bU K F K U -1 , (1.9)iar apoi din prima ecuaie (1.8) rezult forele necunoscute (reaciunile){ } [ ] { } [ ] { }b ab a aa aU K U K F + . (1.10)Deplasarea nodului 27 (vezi Fig. 1.2.b) pe direcia OY reprezint practic sgeata maxim a grinzii. Din formularea complet a MEF, folosind deplasrile nodale, se pot obine i tensiunile n elemente. Aceste aspecte ns se prezint n ale capitole.Cunoscnd cmpuldeplasrilor n cele NNnodurise poate reprezenta, scalat pentruovizualizareconvenabil, configuraiadeformatei structurii (Fig.1.5,a). Dac nsmatricelederigiditatealeelementelor nuaufost "adecvat" calculate, avndn vedere c elementele sunt legate ntre ele numai n noduri, uneori e posibil ca deformata s fie n realitate ca n figura 1.5,b, adic s apar golurisau suprapuneri ntre laturile elementelor finite adiacente, adic nu este ndeplinit condiia de continuitatentrelaturilecomuneelementelor finite. Rezultcmodulncaresunt proiectate elementelefiniteestefoarteimportant i practicsoluiaunor probleme depinde esenial de formularea elementelor finite care trebuie s satisfac unele cerine fundamentale pentru a putea fi incluse n categoria elementelor finite dintr-un program.Catedra de Rezistena materialelor Universitatea POLITEHNICA Bucureti7Elemente finite n ingineria mecanic St. Sorohan 2009-2010 Transporturi(a) (b)Fig. 1.5: Posibile configuraii ale deplasrilor obinute prin utilizarea MEF. (a) Deformata corect; (b) Elementele nu asigur continuitatea pe laturile comune1.5 Discretizarea i tipuri de elemente finiteSe pune problema discutrii aspectelor MEF din punctul de vedere al utilizatorului. S-amenionat mai suscMEFconsidermodelul decalcul format dintr-osumde poriuni numite elemente finite legate ntre ele punctual, adic n noduri. Este clar c o structur (un domeniu) poate fi mprit n diverse moduri, cu mai multe sau mai puine noduri i elemente finite.MEF a dezvoltat o serie de tipuri de elemente finite (Fig.1.6) care din punct de vedere al formei pot fi clasificate n:-elemente finite unidimensionale (reprezentnd bare, grinzi, tirani dar nu numai ...);-elemente finite bidimensionale (reprezentnd plci, nveliuri i chiar volume !);-elemente finite tridimensionale (reprezentnd solidele, blocurile).Elemente Liniare Parabolice CubiceUnidimensionaleBidimensionaleTridimensionaleAlte tipuri MasArc ContactFig. 1.6: Tipuri de elemente finiteDin punct de vedere al modului de variaie al cmpului necunoscutelor (de exemplu deplasrile) pe conturul elementelor, acestea pot fi clasificate n:-liniare;-parabolice;-cubice, etc.Dac se consider numrul i felul gradelor de libertate pentru un nod, elementele finite structurale uzuale 3D pot avea maxim 3 grade de libertate translaii i 3 grade de libertate rotaii. Uneori gradele de libertate pot fi completate icu temperaturi, presiuni, viteze sau alte mrimi funcie de formulrile particulare fiecrui tip de element finit.Catedra de Rezistena materialelor Universitatea POLITEHNICA Bucureti8Elemente finite n ingineria mecanic St. Sorohan 2009-2010 Transporturin figura 1.6 se prezint diverse tipuri de elemente finite. Se observ c elementele finite sunt definite de puncte care nu sunt altceva dect viitoare noduri ale structurii. Exist elemente de grad superior celor cubice (care pot fimaiperformante), dar celmaides utilizate sunt elementele liniare i parabolice.S nu uitmc necunoscutele unei probleme sunt alese chiar n nodurile elementelor finite, noduri mai multe pe element nseamn n general precizie mai bun.Uneleelementefiniteaunoduri interioare(pefeesauninteriorul volumelor) pentru a mbunti precizia, dar utilizatorul de regul nu lucreaz cu aceste noduri pentru c ele sunt generate iapoi condensate n faza de calcula matricelor de rigiditate ale elementelor.Un exemplu sugestiv al discretizrii poate fi considerat o oglind spart i lipit cu buci mici de band adeziv la coluri. Alt exemplu ilusrativ ar fi o hain din petece cusute doar la colurile petecelor.Reuniunea contururilor elementelor genereaz reeaua discretizrii.Operaia de discretizare este de obicei dirijat de utilizator chiar dac programele de firm permit utilizarea discretizarii automate pe diverse domenii de forme oarecare.1.6 Factori de influen a discretizriiSe poate face o distincie net ntre: -1.discretizarea structurilor care au unsuport fizicrespectiv discretizarea n elementele sale componente (structuri din bare);-2.discretizareacorpurilor solidesaufluidecareesteunprocespurmatematic, arbitrar. O serie de factori care condiioneaz discretizarea sunt:-tipul elementelor finite - se aleg funcie de tipul problemei i domeniul de analiz, deprecizia dorit, de variaia mrimii necunoscute etc. Elementeleparabolice sunt preferate elementelor liniare, ntruct la acelainumr de nodurisoluia discretizriicu elementeparaboliceestemai precisdect ceacuelementeliniare. Dacexistmai multe tipuri de elemente finite la grani dintre ele trebuie s se asigure continuitatea; -mrimea i numrul elementelor finite influeneaz convergena soluiei (vezi Fig. 1.7). Se observ c la un numr mai mare de elemente rezultatul se apropie ctre soluia exactdarcretereaexcesiv nuface dectsconduclaunvolumfoartemarede calcule i deci s creasc timpul de analiz. Convergena de regul corespunde curbei 1 dar sunt elementefinitepentrucareconvergenaestedetipul curbei 2sauchiar cu convergen oscilant;-poziionarea nodurilor, care n general se face uniform n structur. Discontinuitaile n geometrie sau n ncrcare impun alegerea unor noduri suplimentare. Trecereadelaozoncudiscretizarefinlaunacudiscretizaremodestseface progresv, nu brusc;-gradul de uniformitate al reelei de elemente finite. Se evit folosirea elementelor cu form exagerat distorsionat, adic elemente alungite i/sau elemente care au fee carenusencadreazntr-unplan. Preferabil ar fi cadiscretizareacutriunghiuri s conin numai triunghiuri echilaterale, discretizarea cu patrulatere s conin doar ptrate iar cea spaial cu brickuri s conin elemente cubice etc;-stabilirea zonelor de frontier, pentru introducerea corect a condiiilor la limit;-numrul maxim de noduri sau elemente permis de program.Catedra de Rezistena materialelor Universitatea POLITEHNICA Bucureti9Elemente finite n ingineria mecanic St. Sorohan 2009-2010 TransporturiFig. 1.7: Influenta numarului de elemente (noduri) asupra preciziei n analiza cu elemente finite5.1.7 Exemple practice de discretizriFigura 1.8 prezint cteva componente discretizate cu elemente finite, biela i pistonul sunt discretizatecuelementefinitedetiphexaedriccu20denoduri iar automobilulprezint discretizricu elemente de maimulte tipuri: elemente de nveli (SHELL) triunghiulare cu 6 noduri, elemente unidimensionale de tip grind, elemente de mas concentrat, arcuri i elemente de contact i amortizare, etc.(a) (b) (c)Fig. 1.8: Exemple de discretizri. (a) Biel pentru analiza cvasistatic; (b) dintr-un piston pentru analiza termic; (c) automobil pentru analiza de impactCatedra de Rezistena materialelor Universitatea POLITEHNICA Bucureti10Elemente finite n ingineria mecanic St. Sorohan 2009-2010 Transporturi2 METODA DEPLASRILORMetoda deplasrilor s-a dezvoltat nainte de metoda elementelor finite i a fost aplicat structurilor complexe formate din bare articulate igrinzi. La nceput metoda elementelor finite s-a inspirat din metoda deplasrilor, iar n momentul de fat aceasta (metoda deplasrilor) poate fi privit ca un caz particular al metodei elementelor finite, fiind o metod exact pentru calculul static al structurilor din bare drepte.Prezentarea metodei deplasrilor constituie pentru cititorul care stpnete elementele de baz din rezistena materialelor o mai uoar nelegere a unor noiuni debazcumar fi matriceaderigiditateaunui element i asamblareamatricei de rigiditate a structurii.Seconsiderostructursimpldinbarearticulatenplan, pentrucarese prezint modul de obinere a matricei de rigiditate a elementului n coordonate locale i globale, modul de asamblare a matricei de rigiditate a stucturii, impunerea condiiilor la limit i rezolvarea problemei pentru o analiz static liniar.2.1 AplicaieStructuradinFig. 2.1,aesteformatdintr-oseriedebarearticulatenplanul XOY, pentru care se presupun cunoscute elementele geometrice i materialul din care acestea sunt confecionate. Articulaiile sunt de tip cilindric in bolurile care asigur mbinarea barelor se aplic o serie de fore exterioare conoscute Fi 2Fprecum i o seriedeforedelegtur(reaciuni)narticulaiadinstngai reazemul simpludin dreapta. Dac se presupune c nu intereseaz dect comportarea celor 5 bare (Fig. 2.1,b) i bolurile se consider rigide, modelul conceptual se prezint n Fig. 2,a. (a) (b)Fig. 2.1: Structur din bare articulate. (a) Modul de fixare i ncrcare; (b) elementele componente care se analizeazStructuradinFig. 2.2,a, raportatlasistemul global dereferinXOY, este formatdincinci barearticulatenplan. Cunoscndlungimea , ariilebarelor de parametru A, modulul de elasticitate longitudinal E, constant la toate barele, i valoarea parametruluiFcaredefineteforele, seceressedeterminedeplasrilenodurilor, reaciunile n reazeme i forele axiale (eforturile) n bare.Catedra de Rezistena materialelor Universitatea POLITEHNICA Bucureti11Elemente finite n ingineria mecanic St. Sorohan 2009-2010 Transporturi (a) (b)Fig. 2.2: Modelul de calcul. (a) datele problemei; (b) discretizarea: noduri i elemente de tip bar articulat 2DNodurile i elementele structurii se numeroteaz ca n Fig. 2.2,b, adic structura se discretizeaz. Dac se face abstracie de ncrcri i rezemri, n fiecare nod (Fig. 2.3,a) sepot defini forelecarear puteasacionezeasuprastructurii, izolatedin eventualele legturi cu exteriorul. Similar, fiecare nod poate avea o deplasare n lungul axei X i Y (Fig. 2.3,b). Se observ c toate mrimile (considerate pozitive) s-au figurat n sensul pozitiv al axelor, pentru a uura implementarea metodeideplasrilor ntr-un algoritmuor de programat. Forele i deplasrile din Fig. 2.3, definesc vectorul ncrcrilor nodale {F}, respectiv vectorul deplasrilor nodale {U}, pentru ntreaga structur(a) (b)Fig. 2.3: Mrimile nodale utilizate n MEF. (a) forele nodale exterioare; (b) deplasrile nodale{ };'44332211YXYXYXYXFFFFFFFFF;{ };'44332211VUVUVUVUU. (2.1)Legtura dintre cei doivectoriurmeaz a firealizat prin matricea de rigiditate global a structurii [K], de dimensiune 88, care se obine din matricele de rigiditate ale elementelor.Catedra de Rezistena materialelor Universitatea POLITEHNICA Bucureti12Elemente finite n ingineria mecanic St. Sorohan 2009-2010 Transporturi2.2 Matricea de rigiditate a elementului bar articualt 2D - generalitiPentru a obine matricea de rigiditate a unui element oarecare de bar articulat n plan (uneori numit TRUSS2D), se consider o bar oarecare e cu nodurile la capete IiJ(Fig. 2.4) carefaceununghie cuaxasistemului global dereferinOX. Deoarece este mult mai comod a se lucra iniial n coordonate locale, elementului i se definete sistemul propriu de referin, adic sistemul de axe xoy, n care axa oxeste axabarei. Pentruacest element seconsidercseciunealui esteconstantde valoare Ae, bara este dintr-un singur material, cu modulul de elasticitate longitudinal Ee, lungimeaelementului esteLe, forelepreluatedeelement sunt numai foreleaxiale (notateNe), ceea ce nseamn c elementul face parte dintr-o structur n care legturile dintre bare sunt articulaii plane (cilindrice) perfecte. De asemenea se consider c elementul este ncrcat numai cu fore n nodurile sale i deformaiile lui sunt mici, ceea ce se traduce prin faptul c ecuaiile de echilibru scrise pentru elementul nedeformat sunt aceleai i pentru elementul deformat. Forele din nodurile elementului n sistemul de referin global se noteaz cu litere mari, iar n sistemul de referin local cu litere mici (Fig. 2.4,a), similar deplasrile (Fig. 2.4,b). Se observ c n sistemul de referin local, conform ipotezelor enunate, elementul prezint fore i deplasri numai n lungul axei ox.(a) (b)Fig. 2.4: Elementul finit de bar articulat 2D. (a) forele nodale; (b) deplasrile nodalenconcordancuacestenotaii, pentruelementul finit supusanalizei, sepot defini forele { }eFi deplasrile { }eUdin noduri, n sistemul de referin global{ };'eJ YeJ XeI YeI XeFFFFF,,,,;{ };'J YJ XI YI XeUUUUU,,,,. (2.2)Similar se pot defini forele { }efi deplasrile { }eun sistemul de referin local{ };';'00,,,,eJeIeJ yeJ xeI yeI xefffffff;{ };'JJIIevuvuu. (2.3)Este mult mai simplu s se obin matricea de rigiditate a elementului n coordonate locale, fr a face apel dect la cunotinele de baz dinrezistena materialelor, adic, alungirea unei bare solicitate axial esteCatedra de Rezistena materialelor Universitatea POLITEHNICA Bucureti13Elemente finite n ingineria mecanic St. Sorohan 2009-2010 TransporturiA E L NL . (2.4)Avnd n vedere notaiile precedente, rezult c fora axial din bar i alungirea ei, se poate exprimaeJeIef f N - ;e ee eeA EL NL ;I Jeu u L - , (2.5)relaii din care rezult( )( )'J I JJ I Iu uLA Efu uLA Ef- --, (2.6)n care s-a renunat la indicele elementului e.2.3 Expresia matricei de rigiditate n coordonate localeConsidernd relaiile de definiie (2.3), mpreun cu relaiile (2.6), se poate scrie;';'1111]1
eJ yeJ yeI xeI xJJIIffffvuvuLA E,,,,0 0 0 00 1 0 10 0 0 00 1 0 1-- [ ]{ } { }e e ef u k = , (2.7)relaie n care se pune n eviden matricea de rigiditate[ ]ek a elementului n coordonate locale[ ]1111]1
0 0 0 00 1 0 10 0 0 00 1 0 1LA Eke. (2.8)2.4 Expresia matricea de rigiditate n coordonate globalePentru a obine matricea de rigiditate n coordonate globale se folosesc relaiile de legtur ntre deplasrile i forele locale i globale. Transformarea deplasrilor. Din Fig. 2.4,b rezult'+ + + + cos sinsin coscos sinsin cos, ,, ,, ,, ,J Y J X IJ Y J X II Y I X II Y I X IU U vU U uU U vU U u;'1111]1
;'J YJ XI YI XJJIIUUUUvuvu,,,,cos sin 0 0sin cos 0 00 0 cos sin0 0 sin cos . (2.9)Dac se definete matricea de transformare[ ]1111]1
1111]1
c ss cc ss cTe0 00 00 00 0cos sin 0 0sin cos 0 00 0 cos sin0 0 sin cos , (2.10)Catedra de Rezistena materialelor Universitatea POLITEHNICA Bucureti14Elemente finite n ingineria mecanic St. Sorohan 2009-2010 Transporturin care s-a notat cos c, sin s , relaia (2.9) se rescrie{ } [ ] { }e e eU T u . (2.11)Transformarea forelor. Din Fig. 2.4,a rezult'sincossincos,,,,JeJ YJeJ XIeI YIeI Xf Ff Ff Ff F ;'1111]1
;'00cos sin 0 0sin cos 0 00 0 cos sin0 0 sin cos,,,,JIeJ YeJ XeI YeI XffFFFF , (2.12)relaie care innd seama de (2.10) se rescrie{ } [ ] { }eTe ef T F . (2.13)Din relaia (2.13) n care se nlocuiete (2.7) i apoi (2.11) rezult{ } [ ] [ ] [ ][ ]{ } [ ] { }e e eKe eTe eU K U T k T Fe , (2.14)adic matricea de rigiditate n coordonate globale este[ ] [ ] [ ] [ ]e eTe eT k T K . (2.15)Dinrelaia(2.15), prinnlocuirearelaiilor (2.10) i (2.8) rezultmatriceade rigiditate a elementului de bar articulat 2D, n coordonate globale[ ]11111]1
,_
2 22 22 22 2s cs s cscs c cs cs cs s cscs c cs cLEAKee, (2.16)n care prin eLEA
,_
se nelege c toate mrimile aparin elementului e.Relaia (2.16) se poate aplica pentru toate elementele modelului considerat. Se poate creea Tabelul 2.1 cu datele proprii fiecrui element, ceea ce simplific operaia de identificare a parametrilor respectivi, adicTabelul 2.1: Datele de intrare pentru obinerea matricelor de rigiditate ale aplicaiei propuseElem.NodeLeAeEeLEA
,_
c s2c cs2sI J1 1 2 A EA E0 1 0 1 0 02 2 3 A EA E0 1 0 1 0 03 2 4 2A E 2A E90 0 1 0 0 14 1 4 2 A 2 2E 2A E4522222121215 3 4 2 A 2 2E 2A E135 -222221-2121Catedra de Rezistena materialelor Universitatea POLITEHNICA Bucureti15Elemente finite n ingineria mecanic St. Sorohan 2009-2010 TransporturiFolosind datele din Tabelul 2.1 rezult matricele de rigiditate ale elementelor, n coordonate globale:[ ] [ ]1111]1
0 0 0 00 1 0 10 0 0 00 1 0 12 1EAK K;
[ ]1111]1
2 0 2 00 0 0 02 0 2 00 0 0 03EAK
[ ]1111]1
1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 14EAK;
[ ]1111]1
1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 15EAK.Se observ c matricele de rigiditate ale elementelor sunt simetrice, au valori mai mari sauegalecuzeropediagonalaprincipali sunt deficientederang. Rangul matricelor este 4-3=1, unde 4 este dimensiunea matricei iar 3 este numrul de micri de corp rigid al elementului: translaie pe direciile axelor OX i OY i rotaie fa de axa OZ.2.5 Asamblarea matricei de rigiditate a structuriiDac se izoleaz nodurile ielementele modeluluidiscretizat (Fig. 2.5) trebuie introduse forele interioare la nivelul fiecrui element finit i respectiv nod. Se menioneazcacesteforeaparperechi, ausensuri opusei sunt egalenmodul douctedou. Echilibrul elementelor esteasigurat derelaia(2.5,a). Dinechilibrul nodurilor sepoateobineorelaiematricealgeneralcareincludeforelenodale exterioare i deplasrile nodale fr a ine seama de condiiile la limit particulare.Echilibrul nodurilor se scrieNodul 1: '+ + 41 ,11 , 1 ,41 ,11 , 1 ,Y Y YX X XF F FF F F; Nodul 2: '+ + + + 32 ,22 ,12 , 2 ,32 ,22 ,12 , 2 ,Y Y Y YX X X XF F F FF F F F;Nodul 3: '+ + 53 ,23 , 3 ,53 ,23 , 3 ,Y Y YX X XF F FF F F; Nodul 4: '+ + + + 54 ,44 ,34 , 4 ,54 ,44 ,34 , 4 ,Y Y Y YX X X XF F F FF F F F.Catedra de Rezistena materialelor Universitatea POLITEHNICA Bucureti16Elemente finite n ingineria mecanic St. Sorohan 2009-2010 TransporturiFig. 2.5: Forele nodale i forele din elementele finiteAceste relaii, DE ECHILIBRU NODAL, se scriu n form matriceal astfel[ ] [ ] [ ] [ ] [ ];' 11111111111]1
;'54 ,54 ,53 ,53 ,44 ,44 ,41 ,41 ,34 ,34 ,32 ,32 ,23 ,23 ,22 ,22 ,12 ,12 ,11 ,11 ,54 3 2 14 ,4 ,3 ,3 ,2 ,2 ,1 ,1 ,~1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0~1 0 0 00 1 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 1 00 0 0 1~1 0 0 00 1 0 00 0 0 00 0 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 00 0 0 0~0 0 0 00 0 0 01 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 00 0 0 0~0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 01 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1YxYxYxYxYxYxYxYxYxYxT T T T TYXYXYXYXFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFT T T T TFFFFFFFF (2.17)Catedra de Rezistena materialelor Universitatea POLITEHNICA Bucureti17Elemente finite n ingineria mecanic St. Sorohan 2009-2010 Transporturirelaiecare, avndnvederepartionareai notaiileintrodusemai sus, serescrie condensat{ } [ ] { } [ ] { } [ ] { } [ ] { } [ ] { } [ ] { } + + + + 515 5 4 4 3 3 2 2 1 1~ ~ ~ ~ ~ ~NEeeTeT T T T TF T F T F T F T F T F T F, (2.17)ncares-aunotat cu [ ]eT~matriceledeconectivitate(uneori numitei matricede compatibilitate, inciden sau localizare), care fac legtura ntre gradele de libertate ale elementului i gradele de libertate ale structurii, adic{ } [ ] { } U T Ue e~ ,(2.18)din acest motiv aceste matrice conin doar valori nule sau unitate. De exemplu pentru elementele 3 i 4, matricele de conectivitate rezult din identitile;'1111]1
;'4 ,4 ,3 ,3 ,2 ,2 ,1 ,1 ,4 ,4 ,2 ,2 ,1 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0YXYXYXYXYXYXUUUUUUUUUUUU;;'1111]1
;'4 ,4 ,3 ,3 ,2 ,2 ,1 ,1 ,4 ,4 ,1 ,1 ,1 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 1YXYXYXYXYXYXUUUUUUUUUUUU.Dac n relaia (2.17) se introduc relaiile (2.14) i apoi (2.18) rezult{ } [ ] [ ] [ ] { } [ ] { } [ ] { } U K U K U T K T FNEeeNEee e T e
,_
,_
~ ~ ~. (2.19)Matricelederigiditatealeelementelor seexpandeaznvedereaasamblrii, pentru aceasta se folosete relaia de transformare[ ] [ ] [ ][ ]e eTe eT K T K~ ~ ~, (2.20)iar matricea de rigiditate a structurii rezult prin simpla nsumare a acestora[ ] [ ]NEeeK K1~. (2.21)Matricele de rigiditate expandate ale celor cinci elemente sunt:nodul 1 2 3 41 0 -1 0 0 0 0 010 0 0 0 0 0 0 0[ ]EAK 1~-1 0 1 0 0 0 0 020 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 030 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 040 0 0 0 0 0 0 0Catedra de Rezistena materialelor Universitatea POLITEHNICA Bucureti18Elemente finite n ingineria mecanic St. Sorohan 2009-2010 Transporturi1 2 3 40 0 0 0 0 0 0 010 0 0 0 0 0 0 0[ ]EAK 2~0 0 1 0 -1 0 0 020 0 0 0 0 0 0 00 0 -1 0 1 0 0 030 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 040 0 0 0 0 0 0 01 2 3 40 0 0 0 0 0 0 010 0 0 0 0 0 0 0[ ]EAK 3~0 0 0 0 0 0 0 020 0 0 2 0 0 0 -20 0 0 0 0 0 0 030 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 040 0 0 -2 0 0 0 21 2 3 41 1 0 0 0 0 -1 -111 1 0 0 0 0 -1 -1[ ]EAK 4~0 0 0 0 0 0 0 020 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 030 0 0 0 0 0 0 0-1 -1 0 0 0 0 1 14-1 -1 0 0 0 0 1 11 2 3 40 0 0 0 0 0 0 010 0 0 0 0 0 0 0[ ]EAK 5~0 0 0 0 0 0 0 020 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 -1 -1 130 0 0 0 -1 1 1 -10 0 0 0 -1 1 1 -140 0 0 0 1 -1 -1 1Se observ c matricele de rigiditate expandate ale elementelor se pot obine direct dinmatricelederigiditateglobalealeelementelor prinplasarea elementelor corespunztoaregradelor delibertatenaceleai poziii (zonelemarcatecugri) n matricea expandat care conine toate gradele de libertate ale structurii. Cu alte cuvinte, dacunelement deaflntrenodurileIiJ, atunci poziiapeorizontali verticaldinmatriceaderigiditateaelementului seregsetelapoziiileIiJn matriceaderigiditateexpandat. Dinacest motiv, practicasamblareadecurgeprin adunarea elementelor din matricele de rigiditate n matricea de rigiditate global.Matricea de rigiditate global (a structurii) rezult1 2 3 4Catedra de Rezistena materialelor Universitatea POLITEHNICA Bucureti19Elemente finite n ingineria mecanic St. Sorohan 2009-2010 Transporturi2 1 -1 0 0 0 -1 -11.1 1 0 0 0 0 -1 -1[ ] [ ]EAK Kee 51~-1 0 2 0 -1 0 0 020 0 0 2 0 0 0 -20 0 -1 0 2 -1 -1 130 0 0 0 -1 1 1 -1-1 -1 0 0 -1 1 2 04-1 -1 0 -2 1 -1 0 4Se poate observa i eventual demonstra c matricea de rigiditate a structurii [K] prezint proprietile generale (valabile pentru orice matrice de rigiditate):-este simetric;-estesingular, det([K])=0i nplusrangul matricei esten-r, ncareneste numrul total al gradelor de libertate (n = 8 pentru aplicaia de fa), iar r = 3 reprezint numrul micrilor de corp rigid n 2D;-elementele de pe diagonala principal sunt pozitive;-suma elementelor pe linii/coloane este zero.2.6 Impunerea condiiilor la limit i rezolvareaEcuaiile de echilibru global incluznd condiiile la limit n deplasri0 = = =3 , 1 , 1 , Y Y XU U Ui condiiile la limit pentru fore (ncrcri)0 =2 , XF; F FY22 ,- ; 0 =3 , XF; F FX=4 ,; 0 =4 , YF,se scrie1 2 3 42 1 -1 0 0 0 -1 -1 01 , XF11 1 0 0 0 0 -1 -1 01 , YFEA-1 0 2 0 -1 0 0 02 , XU=020 0 0 2 0 0 0 -2.2 , YU -2F0 0 -1 0 2 -1 -1 13 , XU 030 0 0 0 -1 1 1 -1 03 , YF-1 -1 0 0 -1 1 2 04 , XUF4-1 -1 0 -2 1 -1 0 44 , YU 0Se observ c n nodurile n care se cunosc deplasrile nu se cunosc reaciunile i acoloundesecunoscncrcrilenusecunoscdeplasrile. Aadar, considernd ecuaiile corespunztoare liniilor albe (liniile icoloanele corespunztoare deplasrilor nule - liniile nnegrite se "taie" sau se elimin) rezult un sistem redus de cinci ecuaii, cu cinci necunoscute[ ]{ } { }r r rF U K , adicCatedra de Rezistena materialelor Universitatea POLITEHNICA Bucureti20Elemente finite n ingineria mecanic St. Sorohan 2009-2010 Transporturi;';'111111]1
00204 0 1 2 00 2 1 0 01 1 2 0 12 0 0 2 00 0 1 0 24 ,4 ,3 ,2 ,2 ,FFUUUUUA EYXXYX---- ---.Seobserv, cmatricea[ ]rK estenesingular. ngeneral, aceastmatrice rezult nesingular, dac micrile de corp rigid sunt nlturate printr-o fixare adecvat a structurii (vezi Fig. 2.6 pentru exemplificare). Pentru aceast aplicaie cele trei deplasri nule impuse (uneori denumite blocaje), asigur mpiedicarea micrii de corp rigid. Stuctura analizat este static determinat, impunerea unor blocaje suplimentare nu face dect s reduc i mai mult dimensiunea matricei[ ]rK i deci s conduc la reducerea efortului de calcul pentru rezolvarea sistemului de ecuaii algebrice.Rezolvarea sistemului de ecuaii de mai sus conduce la soluiileA EFUX5 , 1 =2 ,;A EFUY5 , 32 ,- ;A EFUX33 ,;A EFUX24 ,;A EFUY5 , 24 ,- . (a) (b) (c)Fig. 2.6: Condiii la limit n deplasri nule impuse. (a) structura are micare de corp rigid rotaie n jurul articulaiei; (b) reazemul simplu introdus nu nltur singularitatea n ipoteza deplasrilor mici, deoarece nu se asigur echilibrul momentelor; (c) structura devine static nedeterminatPentru a obine reaciunile, se consider doar ecuaiile corespunztoare liniilor negritedinecuaiaglobaldemai sus, deoareceopartedintermenii ecuaiilor se nmulesc cu deplasri nule (se consider termenii ncadrai i negrii mai accentuat), adic;';'111]1
;'FFFUUUUUA EFFFyxxyxYYX5 , 15 , 01 1 1 0 01 1 0 0 01 1 0 0 14 ,4 ,3 ,2 ,2 ,3 ,1 ,1 ,-- -- -- - -.Pentru calculul eforturilor n bare se reconsider ecuaiile de echilibru ale elementului finit{ } [ ] { } [ ] [ ] { }e e e e e eU T k u k f . De exemplu, pentru elementul 4, se obineCatedra de Rezistena materialelor Universitatea POLITEHNICA Bucureti21Elemente finite n ingineria mecanic St. Sorohan 2009-2010 Transporturi;';'111111111]1
1111]1
;' 0220225 , 220022220 022220 00 022220 022220 0 0 00 1 0 10 0 0 00 1 0 120044FFA EFA EFA ENN.Calculul decurge similar pentru toate barele. Rezult:F N 5 , 11 ;F N 5 , 1 =2;F N 2 =3; F N224- ;F N22 35- . Dac se doresc i tensiunile normale din bare se folosete relaia eeeAN .2.7 Semnificaia fizic a elementelor matricei de rigiditateRelaia de legtur ntre forele nodale i deplasrile nodale ale elementului bar articulat 2D a fost obinut anterior i este;'11111]1
,_
;'J YJ XI YI XeeJ YeJ XeI YeI XUUUUs cs s cscs c cs cs cs s cscs c cs cLEAFFFF,,,,2 22 22 22 2,,,,. (2.22)Dac relaia (2.22) se rescrie n ipoteza necunoaterii elementelor din matricea de rigiditate, astfel;'1111]1
;'J YJ XI YI XeJ YeJ XeI YeI XUUUUK K K KK K K KK K K KK K K KFFFF,,,,44 43 42 4134 33 32 3124 23 22 2114 13 12 11,,,,, (2.23)i se consider 1,I XU i 0, , , J Y J X I YU U U rezult;';'1111]1
;'4131211144 43 42 4134 33 32 3124 23 22 2114 13 12 11,,,,0001KKKKK K K KK K K KK K K KK K K KFFFFeJ YeJ XeI YeI X, (2.24)adicpentrudeplasrileimpusemai suselementeleprimei coloanedinmatriceade rigiditate sunt egale cu forele aplicate la nodurile elementului reaciunin cazulde fa. nmodsimilar dacseconsiderperndcteodeplasarenodalegalcu unitateai restul deplasrilornulesepot obinei restul coloanelordinmatriceade rigiditate ca reaciuni ale unei ncrcri particulare cu deplasri impuse (vezi Fig. 2.7).Catedra de Rezistena materialelor Universitatea POLITEHNICA Bucureti22Elemente finite n ingineria mecanic St. Sorohan 2009-2010 TransporturiFig. 2.7: Modul de obinere a elementelor matricei de rigiditate a elementului bar articulat 2D folosind deplasri nodale impuse controlat i reaciunile corespunztoare2.8 Matricea de rigiditate a elementului grind 2DPentru a obine matricea de rigiditate a unui element oarecare de grind n plan (uneori numit BEAM2D), se consider un element oarecare e cu nodurile la capete I i J (Fig. 2.8) care face un unghi ecu axa sistemului global de referin OX. (a) (b)Fig. 2.8: Elementul finit de grind 2D. (a) forele nodale; (b) deplasrile nodaleDeoarece este mult mai comod a se lucra iniial n coordonate locale, elementului i se definete sistemul propriu de referin xoy, n care axa oxeste axa barei, similar elementului TRUSS2D. Pentru acest element se consider c seciunea lui este constantdearieAei moment deinerieezI baraestedintr-unsingur material, cu modululde elasticitate longitudinalEe, lungimea elementuluieste Le, elementulpoate prelua fore n plan i moment de ncovoiere fat de axa oz i nu este ncrcat dect la capete. Semenioneaz c momentele de ncovoiere nu dependdesistemul de referin global sau local deoarece axele OZiozsunt paralele. Elementul face parte dintr-ostructurncarelegturiledintreelementesunt suduri perfecte, adicspre deosebire de elemental TRUSS, elemental BEAM transfer cupluri ntre elemente. De asemenea se consider c deformaiile elementului sunt mici, ceea ce se traduce prin faptul cecuaiiledeechilibruscrisepentruelementul nedeformat sunt aceleai i pentru elementul deformat. Forele i momentele din nodurile elementului n sistemul de referin global se noteaz cu litere mari, iar n sistemul de referin local cu litere mici (Fig. 2.8,a), similar deplasrile (Fig. 2.8,b).Catedra de Rezistena materialelor Universitatea POLITEHNICA Bucureti23Elemente finite n ingineria mecanic St. Sorohan 2009-2010 TransporturiFolosind notaiile din figura 2.8, se pot defini vectorii forele { }eFi a deplasrilor { }eUdin noduri, n sistemul de referin global{ };'eJ ZeJ YeJ XeI ZeI YeI XeMFFMFFF,,,,,,;{ };'J ZJ YJ XI ZI YI XeRUURUUU,,,,,,. (2.25)Similar se pot defini forele { }efi deplasrile { }eun sistemul de referin local{ };'eJ zeJ yeJ xeI zeI yeI xemffmfff,,,,,,;{ };'JJJIIIevuvuu. (2.26)Deoarece este mult mai simplu s se obin matricea de rigiditate a elementului n coordonate locale, i n plus efectul ncovoieriieste decuplat de cel alforei axiale (careafost abordat ncadrul elementului TRUSS2D), seconsiderpentrunceput elementul n coordonate locale, numai cu ncrcrile i gradele de libertate corespunztoare ncovoierii (Fig. 2.9). n concordant cu figura 2.9, ntre forele nodale i deplasrile nodale trebuie s existe relaia;'1111]1
;'JJIIeJ zeJ yeI zeI yvvk k k kk k k kk k k kk k k kmfmf44 43 42 4134 33 32 3124 23 22 2114 13 12 11,,,,, (2.27)n care elementele ki,j trebuie determinate.Folosind semnificaia fizic a elementelor matricei de rigiditate, anterior prezentat, pentruelementul finit dinfigura2.9seimpunperndcteodeplasare (rotire) unitate i restul deplasrilor nodale zero ca n figura 2.10, iar reaciunile determinate reprezint elementele matricei de rigiditate.(a) (b) (c)Fig. 2.9: Elementul BEAM2D solicitat la ncovoiere. (a) Notaii generale; (b) ncrcrile nodale; (c) gradele de libertateCatedra de Rezistena materialelor Universitatea POLITEHNICA Bucureti24Elemente finite n ingineria mecanic St. Sorohan 2009-2010 TransporturiFig. 2.10: Modul de obinere a elementelor matricei de rigiditate a elementului grind 2D folosind deplasri nodale impuse controlat i reaciunile corespunztoareFig. 2.11: Sistemul dublu static nedeterminat i diagramele de eforturi corespunztoare pentru primul caz din figura 5 (momentele M01 i M02 sunt nule)Deexemplu, pentruprimul cazdencrcaredincelepatru, folosindmetoda eforturilor (prezentatlarezistenamaterialelor), forelenodaleseobinrezolvnd sistemul dublu static nedeterminat din figura 2.11, care conduce la sistemul de ecuaii' + +012 22 1 212 12 1 11X XX X . (2.28)Coeficieniiijse calculeaz folosind metoda Mohr-Maxwell, adic eLj i eze ijdx m mI E1. Rezult ( )3 112eezeLI EX i( )2 26eezeLI EX iar reaciunile din dreapta se obin din condiiile de echilibru. n mod similar se obin i restul coloanelor din matricea inclusnrelaia(2.27). Dacserenunlaindicelee, matriceacorespunztoare ncovoierii se poate scrie n sistemul de referin local astfel;'11111111]1
;'JJJIIIzeJ zeJ yeJ xeI zeI yeI xvuvuL L L LL LL L L LL LLEImffmff2 22 23,,,,,,4 6 0 2 6 06 12 0 6 12 00 0 0 0 0 02 6 0 4 6 06 12 0 6 12 00 0 0 0 0 0,(2.29)Catedra de Rezistena materialelor Universitatea POLITEHNICA Bucureti25Elemente finite n ingineria mecanic St. Sorohan 2009-2010 Transporturiiar matricea corespunztoare solicitrii axiale, vezi relaia (2.8), se scrie;'11111111]1
;'JJJIIIeJ zeJ yeJ xeI zeI yeI xvuvuLEAmffmff0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 1 0 0 10 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 1 0 0 1,,,,,,. (2.30)Prinsuprapunereaefectelor, dinrelaiile(2.29) i (2.30) rezultmatriceade rigiditate a elementului BEAM2D n coordonate locale[ ]111111111]1
2 22 22 22 234 6 0 2 6 06 12 0 6 12 00 0 0 02 6 0 4 6 06 12 0 6 12 00 0 0 0L L L LL LIALIALL L L LL LIALIALLEIkz zz zz e. (2.31)Deoarece relaia de legtur dintre gradele de libertate n coordonate locale i globale se poate scrie (vezi i relaia (2.10));'11111111]1
;'J ZJ YJ XI ZI YI XJJJIIIRUURUUc ss cc ss cvuvu,,,,,,1 0 0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 00 0 0 0 [ ]11111111]1
1 0 0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 00 0 0 0c ss cc ss cTe, (2.32)ncare s-anotat cos c, sin s , conform relaiei (2.15) matricea derigiditate a elementului BEAM2D n coodonate globale rezult [ ] [ ] [ ] [ ]6 6 6 6 6 6 6 6 e eTe eT k T K. (2.33)Catedra de Rezistena materialelor Universitatea POLITEHNICA Bucureti26Elemente finite n ingineria mecanic St. Sorohan 2009-2010 Transporturi2.9 Influena numerotrii nodurilor asupra formei matricei de rigiditate globale a structuriiAsamblarea matriceide rigiditate a structuriiconst n adunarea matricelor de rigiditate expandate ale elementelor conform relaiei (2.21). Practic expandarea matricelor nu se realizeaz la implementarea algoritmului de asamblare ntruct exist o regulbinedefinit deasamblaredirectamatricei derigiditateaelementelor(vezi 2.5). Deoarece asamblarea implic introducerea tuturor elementelor finite n procesul de asamblare, rezultatul final al samblrii nu este influenat de ordinea de numerotare a elementelor. Totui modul denumerotareal nodurilor poateinflunaesenial forma matricei de rigiditate a structurii aa cum se prezint n continuare.Conform regulii de asamblare direct, elementele matricei de rigiditate ale unui element finit tip bar cu nodurile de identificare I i J[ ] K[ ] [ ][ ] [ ] JIK KK KJ IJJ JIIJ II1]1
asamblat n matricea de rigiditate global a structurii (care are NN noduri) se regsete n poziiile1 2 ... I ... J ... NN nod12...[KII] [KIJ] I[K]=...[KJI] [KJJ] J...NNTrebuie menionat c submatricele componente ale unei matrice de rigiditate pot reprezentaunnumr oarecaredegradedelibertatealenodului, deexempludou pentru o bar articulat 2D i ase pentru o grind 3D.Dacelementul finit careseasambleazestetriunghiular, atunci regulade asamblareestesimilar, adicpentruelementul triunghiular cutrei noduriI,JiK pentru care matricea de rigiditate se poate partiiona astfel[ ] K[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] KJIK K KK K KK K KK J IKK KJ KIJK JJ JIIK IJ II111]1
elementele matricei se regsesc n poziiileCatedra de Rezistena materialelor Universitatea POLITEHNICA Bucureti27Elemente finite n ingineria mecanic St. Sorohan 2009-2010 Transporturi1 2 ... I ... J ... K ... NN nod12...[KII] [KIJ] [KIK] I[K]=...[KJI] [KJJ] [KJK] J...[KKI] [KKJ] [KKK] K...NNMatricele de rigiditate ale structurilor de mari dimensiuni sunt matrice rare, adic cu puini termeni nenuli. De aceea, memorarea acestor matrice slab populate i operaiilelacareacesteasunt supuse, devinmai eficientedacsememoreazi respective se opereaz numai cu elementele nenule (sparse technique).Pentru structura plan de bare articulate din figura 2.12 s-au folosit trei moduri diferite de numerotare a nodurilor, a), b), c) pentru care se obin matricele de rigiditate globale cu elementele nenule marcate prin puncte. Se observ c toate variantele de numerotare conduc la elemente nenule n vecintatea diagonalei principale.Varianta de numerotare c), prezint matricea de rigiditate global cu toi termenii nenuligrupain vecintarea diagonaleiprincipale. Se spune c aceast matrice este detipband, limeadebandamatricei reprezintnumrul maximdeelemente nenule pe orizontal.Varianta de numerotare a)Catedra de Rezistena materialelor Universitatea POLITEHNICA Bucureti28Elemente finite n ingineria mecanic St. Sorohan 2009-2010 TransporturiVarianta de numerotare b)Varianta de numerotare c)Fig. 2.12: Numerotri diferite pentru nodurile unei structuri tip grind cu zbrele i forma matricelor de rigiditate ale structuriiDeoarece, de regul, matricele de rigiditate sunt simetrice, se poate lucra cu o matrice dreptunghiular (Fig. 2.13) care are un numr de coloane egal cu semibanda matricei de rigiditate i este aproape total populat. Aceast reprezentare n memorie conduce la economisirea resurselor calculatorului i a fost intens folosit n special la nceputul dezvoltrii MEF cnd resursele de calcul erau modeste.Pentru a obine o matrice band, programele cu elemente finite prezint proceduri speciale de renumerotare a nodurilor astfel nct s se obin o lime minim a benzii. Se observ c limea benzii este definit de diferena maxim a nodurilor de identificare care definesc fiecare element. Astfel n varianta de numerotare a) diferena maxim este 9-1=8; n varianta b) 5 iar n varianta c) numai 2.Limea de semiband LB, se obine din relaia: LB=1+GLN*NDIF, n care GLN reprezintnumrul degradedelibertatepenodiarNDIFestediferenamaximn valoare absolut a numerelor nodurilor de identificare pentru toate elementele definite, adicJ I NDIFe max. (2.34)Catedra de Rezistena materialelor Universitatea POLITEHNICA Bucureti29Elemente finite n ingineria mecanic St. Sorohan 2009-2010 TransporturiFig. 2.13: Stocarea n memorie a unei matrice band simetriceDac se consider structuri oarecare din bare, o serie de reguli de numerotare optim a nodurilor (care conduc la o lime de band minim) se pot urmri n figura 2.14.Fig. 2.14: Numerotri optimale ale nodurilor unor modele cu bare2.10 Rezolvarea sistemelor de ecuaii liniare ordinareAtt n analiza static ct in alte tipuride analize apare problema rezolvrii unui sistem de ecuaii liniare cu un numr foarte mare de ecuaii (zeci, sute de mii sau chiar de ordinul milioanelor pentru probleme reale). Acesta rezult n urma operaiei de asamblare i a impunerii condiiilor la limit. Cert este faptul c procedurile de rezolvare Catedra de Rezistena materialelor Universitatea POLITEHNICA Bucureti30Elemente finite n ingineria mecanic St. Sorohan 2009-2010 Transporturia sistemelor de ecuaii liniare reprezint o etap esenial pentru rezolvarea unei clase foarte largi de probleme i stpnirea principiilor de lucru ale acestora poate influena att rezultatele obinute, ct iefortulde calcul(timpulde lucru ispaiulnecesar pe hard-discul calculatorului).Din punct de vedere matematic i informatic metodele de rezolvare a sistemelor de ecuaii liniare sunt multiple. Metoda elementelor finite, prezint anumite faze intermediare pn la obinerea sistemului liniar de ecuaii (cumar fi asamblarea ecuaiilor de echilibru la nivel de element, n ecuaia global de echilibru a structurii i impunerea condiiilor de echilibru) i uneori aceste faze intermediare influeneaz algoritmii derezolvare, cuscopul deaobineoeficienmai mareametodei. n continuare, se evideniaz anumite aspecte generale ale principalelor metode de rezolvare, fcndu-se referire la analiza structural static.Analiza static, caracteristic sistemelor fizice n care se neglijeaz efectul amortizrii i al ineriei (este vorba de vibraii), nu i al efectului greutii proprii, const n rezolvarea sistemului de ecuaii liniare rezultat n urma asamblrii[ ]{ } { } F u K , (2.35)care strict din punct de vedere matematic este echivalent cu minimizarea potenialului { } [ ] { } { } { } F u u K uT T 21, n care [ ] K este matricea de rigiditate a structurii, de regul singular, {u} este vectorul deplasrilor nodale ale structurii, iar {F} este vectorul forelor nodale aplicate structurii. Vectorul{ } uare n general dou componente, a deplasrilor impuse{ }ru(de cele mai multe ori nule) i a deplasrilor necunoscute { }au. Deplasrile cunoscute introducocomponentaforelorde reaciune { }rF , iar pentru deplasrile necunoscute se cunosc forele aplicate structurii { }aF , deci, folosind aceast partiionare, se poate scrie{ } { } { }{ }{ };' + ra r aFFF F F. (2.36)Forele aplicate structurii provin din forele aplicate direct n noduri, forele produse de o micare cu acceleraie constant a structurii i/sau a cmpului gravitaional, foreprodusedevariaiiledetemperatur(efectul termoelastic)i fore echivalente, produse de presiunea care lucreaz pe elemente.Partiionareaecuaiei (2.35) nconcordancugradeledelibertatea i r conduce la relaia matriceal[ ] [ ][ ] [ ]{ }{ }{ }{ };';'1]1
rararr raar aaFFuuK KK K. (2.37)Din prima ecuaie (2.37) rezult deplasrile necunoscute{ } [ ] { } [ ] { } ( )r ar a aa au K F K u 1, (2.38)iar apoi, din a doua ecuaie, cunoscnd toate deplasrile, rezult reaciunile{ } [ ] { } [ ] { }r rr a ra ru K u K F + . (2.39)Seobservcdeplasrilenecunoscutepot fi obinutedacsubmatriceade rigiditate[ ]aaK estenesingular, adicstructuranuaremicaredesolidrigidsau mecanism. Dactotui echilibrul esteasigurat deforeleaplicate, sepoatefaceun artificiu de nlturare a singularitii matricei, fie prin fixarea unor deplasri care suprim micarea de corp rigid sau mecanism, fie prin introducerea adiional de elemente n Catedra de Rezistena materialelor Universitatea POLITEHNICA Bucureti31Elemente finite n ingineria mecanic St. Sorohan 2009-2010 Transporturimatricearespectivcarenumodificconsiderabil matriceaderigiditate, dar careo transform n matrice pozitiv definit. Trebuie menionat c dei n ecuaia (2.39) apare inversaunei submatricedinmatriceaderigiditateglobalastructurii,aceasta nuse calculeaz practic niciodat. Metodele de rezolvare a sistemelor de ecuaii sunt implementate astfel nct numrul de operaii pentru rezolvarea lor s fie minim.Metodelederezolvareaecuaiilor liniarenformamatriceal(2.35) sepot clasifica n: A.metode exacte, cum ar fi metoda de eliminare Gauss, metoda de factorizare Choleski sau metoda de rezolvare frontal i B. metode aproximative, cum ar fi metoda gradienilor conjugai sau a relaxrii.Metodele exacte de rezolvare se refer la faptul c exist algoritmi bine definii, caredupunnumr depai dinaintefixat - dependent dedimensiuneaproblemei, conduc la obinerea soluiei exacte, n ipoteza c erorile de reprezentare a numerelor n calculator (de trunchiere) sunt nesemnificative. Pentru reprezentarea n dubl precizie iprobleme de dimensiuni acceptabile, bine condiionate numeric (adic cu valori ale raportuluidintre cea maimare icea maimic valoare de pe diagonala principal a matricei de rigiditate, ct mai aproape de unitate), metodele de rezolvare exact s-au doveditdestul deeficiente,ani de-a rndul.Acestemetode inseama de simetria i caracterulband almatriceide rigiditate, pentru a fimaieficiente. Pentru a obine o matrice cu o lime ct mai mic a benzii, numerotarea iniial a nodurilor se schimb (se face renumerotarea nodurilor folosind algoritmi consacrai), dac se folosete algoritmul deeliminareGauss, sauserenumeroteazelementeledacsefolosete algoritmul de rezolvare frontal. Acesta din urm s-a impus n perioada n care memoria RAMa calculatoarelor erarelativ limitati sebazeaz pecombinareafazei de asamblare cu cea de eliminare a ecuaiilor (n memoria ROM). Algoritmuleste foarte sofisticat, dar este stabil i se folosete pe scar larg i n momentul de fa.Metodele de rezolvare exact prezint dou faze, prima este denumit eliminare sau triunghiularizare,iar cea de-a doua retrosubstituie. Deoarece aceste metode sunt descrise pe larg n diverse cri i tratate, cei interesai sunt invitai s consulte lucrri consacrate acestora.Metoda gradienilor conjugai cunoate diverse variante de implementare cum ar fi: 1.Jacobi Conjugate Gradient (JCG), recomandat pentru probleme bine condiionate numeric, algoritm implementat pentru matrice reale i complexe, simetrice i nesimetrice; 2. Preconditioned Conjugate Gradient (PCG) implementat pentru matrice reale, simetrice i pozitiv definite; 3.IncompleteCholeski ConjugateGradient(ICCG)mai robustdectprimele dou, implementat pentru matrice reale i complexe, simetrice i nesimetrice. PCG este de circa 4-10 ori mai rapid dect JCG, iar ICCG este n general mai rapid dect JCG. n metodele aproximative soluia sistemului (2.35) cu condiiile la limit impuse, se determin ca sum a seriei vectorilor { }jp{ } { } { } { }m mp a p a p a u + + + 2 2 1 1, (2.40)n care m este mai mic dect dimensiunea matricei [ ] Kiar { }jp sunt corecii succesive ale soluiei. Valoarea de start a acestor vectori poate influena foarte mult numrul de iteraiim. Rata de convergen este proporional cu rdcina ptrat a numrului de condiionare a matricei [ ] K , iar criteriul de convergen este de regulCatedra de Rezistena materialelor Universitatea POLITEHNICA Bucureti32Elemente finite n ingineria mecanic St. Sorohan 2009-2010 Transporturi{ } { }{ } { }2 F FR RTjTj, (2.41)n care { } { } [ ]{ }j ju K F R poate fi privit ca un reziduu pentru { }ju- vectorul deplasare determinat la pasulj. De obicei510 se consider acceptabilpentru aplicaii, dar poate fi redus dac este necesar.Pentru dimensiuni mariale matricilor de rigiditate, care n general conin multe zerouri (motiv pentru care se numesc i "matrice rare" = sparse), tehnicile de operare cu acestea s-au dovedit foarte eficiente pentru creterea vitezei de calcul, prin nlturareaoperaiilor aritmeticecuzeroi spaiul necesar, deoarecepentruvalorile nule nu se aloc spaiu n memorie.Metodele de rezolvare aproximativ, prin iterarea soluiei, s-au dovedit a fi mult mai eficiente, nprimul rnd, cavitezdecalcul i s-auimpusodatcucreterea memorieicentrale (RAM) a calculatoarelor. Unele firme au introdus noiunea de FFE ("Fast Finite Element"), pentru anumite versiuni ale programelor care foloseau o astfel de procedur de rezolvare,eventualcombinat cu alte facilitisau proceduripentru creterea vitezei de analiz a programelor cu elemente finite.2.11 Rezolvarea sistemelor de ecuaii liniare cu legturiCondiiile la limit n deplasri(i rotiri) pot fi interpretate, din punct de vedere matematic, ca nite restricii asociate unui sistem de ecuaii. Aceste restricii pot fi relaii simpledeimpunereaunor deplasri, saurelaii cinematicentreanumitegradede libertate. Uneori acestea poart denumirea de relaii de legtur ntre mrimile nodale.Cteva exemple de relaiicinematice ntre o serie de grade de libertate pentru stucturi simple de cadre plane se prezint n figurile 15 - 17.1. Blocaje: 01 ,XU;01 ,YU;01 ,ZR2. Relaie cinematic: 3 , 3 ,3X YU U (a) (b)Fig. 2.15: Cadru plan cu un reazem simplu nclinat fa de sistemul de referin global. (a) Discretizare; (b) Relaii de legtur ntre gradele de libertate1. Blocaje: 01 ,XU;01 ,YU;01 ,ZR;05 ,YU2. Relaii cinematice (cuplaje): 3 , 2 , X XU U ; 3 , 2 , Y YU U (a) (b)Fig. 2.16: Grind cu articulaie intermediar. (a) Discretizare cu nodurile 2 i 3 coincidente; (b) Relaii de legtur ntre gradele de libertateCatedra de Rezistena materialelor Universitatea POLITEHNICA Bucureti33Elemente finite n ingineria mecanic St. Sorohan 2009-2010 Transporturi1. Blocaje:01 ,XU;01 ,YU;01 ,ZR2. Relaii cinematice: 2 , 2 , 3 , Z X XR a U U ; 3 , 2 , Y YU U ;3 , 2 , Z ZR R (a) (b)Fig. 2.17: Grinzi cuplate rigid. (a) Discretizare n care nu se include elementul rigid; (b) Relaii de legtur ntre gradele de libertateProcedeele matematice de rezolvare a unuisistem de ecuaiicu restriciisunt multiple. Celemai utilizatemetodesunteliminareaunui numr deecuaii egal cu numrul condiiilor de restricie, metoda multiplicatorilor Lagrange i metoda funciei de penalizare.Din punct de vedere fizic, o resticie poate s includ un singur grad de libertate, cum ar fi, spre exemplu, impunerea unei deplasri nodale pe o anumit direcie (blocaj sau deplasare cunoscut), sau mai multe grade de libertate, ca, de exemplu, condiia ca pe dou grade de libertate o mrime nodal s aib aceeai valoare nenul, iniial necunoscut. Restriciileimpusemai multor gradedelibertate(restricii multipunct) sunt, ngeneral, produsedeprezenaelementelor rigidesauaunor modelri de preluare a micrilor de mecanism.Dacecuaiadeechilibrustaticaunei structuri asamblate, pentrucares-au impus sau nu anumite condiii la limit n deplasri este (2.35), care n continuare se scrie [ ]{ } { } F U K , (2.42)adic vectorul deplasrilor {u} devine {U} iar restriciile - ecuaii liniar independente, sunt scrise n forma[ ]{ } { } Q U C , (2.43)sepuneproblemadearezolva ecuaia(2.42) caressatisfaccondiiile(2.43). Matricea [C] este o matrice dreptunghiular cu termeni constani, care are un numr de linii egal cunumrul de restricii. Vectorul {Q} este, de asemenea, un vector de constante. De cele mai multe ori, n practic, este un vector cu toate elementele nule. n continuare, se prezint cteva metode de includere a restriciilor n ecuaia de echilibru a modelului structurii.1. Metoda eliminrii. Ecuaia (2.42), care conine n grade de libertate, se poate aranja astfelnct vectoruldeplasrilor nodale s fie de forma { } { } { } { }TTeTrU U U , n care{ }rU reprezintdeplasrile"reinute"(nnumrder), iar{ }eUdeplasrile care urmeaz a fi"eliminate" (n numr de e, decin= r+ e). n aceste condiii ecuaia (2.43) poate fi rescris n forma[ ] [ ] [ ]{ }{ }{ } 0 ;'ere rUUC C. (2.44)Catedra de Rezistena materialelor Universitatea POLITEHNICA Bucureti34Elemente finite n ingineria mecanic St. Sorohan 2009-2010 TransporturiDeoarece numrul de ecuaii liniar independente r, este mai mic dect numrul ecuaiilor deechilibrun, rezultcmatricea[ ]eCesteptratici nesingular. Din ecuaia (2.44) rezult{ } [ ] [ ]{ }r r e eU C C U1 , (2.45)relaie care poate fi nglobat n transformarea{ }{ }[ ][ ] [ ]{ }rr ererUC C IUU1]1
;' 1, (2.46)care poate fi rescris sub forma{ } [ ] { }1 1 rrr n nU T U;[ ][ ][ ] [ ]1]1
r erC C IT1, (2.47)n care [ ]rIeste matricea identitate.Dac ecuaia (2.47.a) se nlocuiete n (2.42) care se nmulete la stnga cu transpusa matricei de transformare [T ], rezult un sistem de r ecuaii, adic[ ]{ } { }r r rF U K , (2.48)n care[ ] [ ] [ ] [ ] T K T KTr ; { } [ ] { } F T FTr . (2.49)Matricea [T ] se poate obine i n mod direct, prin formularea direct a relaiei (2.47.a). Dac deplasrile impuse sunt nule, adic { } { } 0 eU, atunci [ ] [ ]r rI C , [ ] [ ] 0 eC i matricea de rigiditate redus se obine prin eliminarea liniilor i coloanelor corespunztoate deplasrilor nule, adic corespund setului r[ ] [ ]rr rK K , (2.50)i seajungelarezolvareaunui sistemdeecuaii ordinare, prezentatnparagraful precedent.2. Metodamultiplicatorilor Lagrange.Aceastmetod se bazeazpe minimizarea unei funcii n care variabilele nu sunt liniar independente. n cazul analizei structurale, se pleac de la expresia potenialului, n forma matriceal { } [ ] { } { } { } F U U K UT T 21 i se obine{ } [ ] { } { } { } { } [ ]{ } { } ( ) Q U C F U U K UT T T + 21, (2.51)adic la expresia potenialului se adun ecuaia (2.43) nmulit cu vectorul { }T care reprezint multiplicatorii Lagrange i au semnificaia unor fore care "pstreaz" echilibrul structurii.Condiiiledestaionaritateaecuaiei (2.51),adic{ }{ } 0 ;' Ui{ }{ } 0 ;' conduc la sistemul de ecuaii[ ] [ ][ ] [ ]{ }{ }{ }{ };';'1]1
QF UCC KT0. (2.52)Acest sistem are dimensiunea n+r, mai mare dect a sistemului iniial (2.42), iar pentru rezolvarea luipoate fiadaptat procedura de eliminare Gauss, dei matricea care se triunghiularizeaz are termeni nuli pe diagonala principal.Catedra de Rezistena materialelor Universitatea POLITEHNICA Bucureti35Elemente finite n ingineria mecanic St. Sorohan 2009-2010 Transporturi3. Metoda funciei de penalizare.Aceast metod conduce la determinarea aproximativ a necunoscutelor idecila satisfacerea aproximativ a restriciilor, adic relaia (2.43), se rescrie n forma{ } [ ]{ } { } Q U C r (2.53)i se introduce n expresia potenialului astfel:{ } [ ] { } { } { } { } [ ] { } r r F U U K UT T T2121+ . (2.54)Mrimea suplimentar{ } [ ] { } r rT21din expresia potenialului poart denumirea de funcie de penalizare. Matricea [ ] se alege de form diagonal. Dac expresia (2.53) seintroducenexpresiapotenialului (2.54) i sepunecondiiademinimpentru potenial { }{ } 0 ;' U, se obine[ ] [ ] [ ] [ ] ( ) { } { } [ ] [ ] [ ] Q C F U C C KT T + + . (2.55)Matricea[ ] [ ] [ ] C CT , numit matrice de penalizare, se adaug la matricea de rigiditate a structurii, iar vectorul [ ] [ ] [ ] Q CT se adun la vectorul ncrcrilor nodale iniiale. Dac [ ] [ ] 0 atunci restriciile aplicate sunt neglijate. Dac norma matricei[ ] crete vectorul deplasrilor nodale{ } Use modific n aa fel nct restriciile sunt din ce n ce mai bine("aproape") satisfcute. Estededorit camatricea[ ] sconintermeni adimensionali, adic independeni de gradele de libertate, care pot fi deplasri i rotiri.Aceast metod pstreaz nealterat dimensiunea iniial a problemei, dar din cauza matricei [ ] , care trebuie s aib termeni mult mai mari dect valorile rigiditilor corespunztoarediagonalei principaleamatricei [K], poateconducelaapariiaunor probleme numerice, deoarece valoarea parametrului de condiionare (numrul de condiionare) amatricei [ ] [ ] [ ] [ ] C C KT + cretefoartemult i lalimitaceastapoate deveni singular.Catedra de Rezistena materialelor Universitatea POLITEHNICA Bucureti36Elemente finite n ingineria mecanic St. Sorohan 2009-2010 Transporturi3 ELEMENTE DE TEORIA ELASTICITII N FORM MATRICEAL3.1 IntroducereElementele de rezisten ale unei structuri sunt n general solide. Un corp solid, la scar microscopic se compune din molecule, atomi, nuclee, electronietc. Studiul corpurilor la scar microscopic, pentru a obine comportarea de ansamblu, este dificil de abordat. Este posibil ns, s se dezvolte o teorie fundamentat pe legi matematice i fizice a mediului considerat continuu, care este verificat de comportarea experimentalasolidului deformabil. Deobicei aceastteoriesecompleteazcuo serie de ipoteze simplificatoare. Dac comportarea materialului, for - deformaie, este descris de o relaie elastic atunci se discut de teoria elasticitii. Dac ns comportarea materialului este n domeniul plastic se discut despre teoria plasticitii.n continuare se prezint cteva elemente de baz ale teoriei elasticitii, pentru materiale cu comportare liniar elastic ndomeniul deformaiilor mici- care se deformeaz foarte puin n prezena ncrcrilor i n domeniul deplasrilor mici adic ecuaiile de echilibru se consider pentru structura nedeformat.De regul, analiza unei structuri tehnice complexe este un proces iterativ i se facepect posibil pecteunelement component dinstructursausubansamblu. Pentruaceastaestenecesar aseintroducetoateefectelecorpurilor vecineasupra elementului de analizat. Figura 3.1 prezint un astfel de corp, cruia i se asociaz un sistem de referin cartezian dreptXYZ. Solicitrile n general sunt produse de efectul corpurilor vecine (presiuni de contact ntre solide, presiuni cauzate de fluide n contact cu corpul, dilatarea produs de variaia temperaturii) i de forele de inerie (produse de gravitaie, de micarea de translaie accelerat sau micarea de rotaie).Fig. 3.1: Forele care lucreaz pe un corp izolat i anumite condiii la limit n deplasriFig. 3.2: Noiunea de for concentrat produs de corpul A care interacioneaz cu B3.2 Definiii i notaii1. Fore.Aciuneaunui corpasupraaltui corpdefineteofor. ntotdeauna forele apar perechi aciune-reaciune i trebuie avut n vedere despre ce fel de fore se discut. n teoria elasticiti forele sunt mrimi vectoriale, cu punctele de aplicaie fixate (vectori legai).Forele de inerie (de volum) se definesc de obicei n sistemul global de axe prin vectorul{ } { }TVz Vy Vx Vp p p p , (3.1)n care Vxp ,Vyp,Vzpsunt funcii continue, de obicei pe tot domeniul de analiz.Catedra de Rezistena materialelor Universitatea POLITEHNICA Bucureti37Elemente finite n ingineria mecanic St. Sorohan 2009-2010 TransporturiForele de presiune(de suprafa), care acioneaz numai pe conturul domeniului de analiz, se definesc n sistemul global de axe, sau uneori n sisteme de referin locale, prin vectorul{ } { }TSz Sy Sx Sp p p p , (3.2)n care Sxp,Syp,Szp sunt funcii continue pe suprafeele pe care se aplic.Foreleconcentratereprezintsumaforelor depresiune(vezi Fig. 3.2) care lucreaz pe o suprafa foarte mic n comparaie cu suprafaa total a domeniului de analiz. Acestea sunt mrimi "echivalente" cu care se lucreaz uneori n scopul simplificrii problemei atunci cnd nu intereseaz efectul local i se noteaz{ } { }Tz i y i x i iF F F F, , , (3.3)Uneori distribuia forelor de presiune este de aa natur nct se reduce la un torsor echivalent, adic o for concentrat i un moment.2. Deplasri.Deplasarea definete modificarea poziiei unui punct n raport cu un sistem de referin fix. Ea are o component elastic i una de corp rigid.Cmpul deplasrilor, se definete prin vectorul{ } { }Tw v u u , (3.4)n care u = u(x,y,z), v = v(x,y,z), w = w(x,y,z) reprezint funciile deplasrilor liniare pe cele treidireciiale sistemuluide referin considerat, de obicei, sistemulde referin global. Pentru plci, nveliuri i bare se introduc i rotirile, care mpreun cu deplasrile, formeaz deplasrile generalizate.3. Tensiuni. Gradul de solicitare al unui corp ntr-un punct adic un element de voluminfinitesimal,sedefinete prin tensorul tensiunilorcarearenoucomponente, dintre care ase independente. Starea de tensiune ntr-un punct se definete n sistemul dereferinglobal (Fig. 3.3,a), saunalt sistemdereferin, prinvectorul tensiunilor independente (deoarece yx xy , zy yz i xz zx ){ } { }Tzx yz xy z y x , (3.5)sau echivalent, prin tensiunile principale 3 2 1 > >, n sistemul de referin rotit fa de sistemul de referin global (Fig. 3.3,b)Z Y X , numit sistem de referin principal al direciilor tensiunilor principale. Tensiunile sunt normale iar tensiunile tangeniale.(a) (b)Fig. 3.3: Tensorul tensiunilor. (a) n coordonate carteziene globale; (b) n coordonatele tensiunilor principaleCatedra de Rezistena materialelor Universitatea POLITEHNICA Bucureti38Elemente finite n ingineria mecanic St. Sorohan 2009-2010 Transporturi4. Deformaii specifice. Similar tensiunilor sedefinetevectorul deformaiilor specifice{ } { }Tzx yz xy z y x , (3.6)n care sunt deformaii specifice liniare, iar deformaii specifice unghiulare.Semenioneazctensiunilei deformaiilespecificesunt mrimi tensoriale. Avnd n vedere simetria acestor mrimi, pentru simplitate, se utilizeaz vectorii asociai prezentai mai sus.3.3 Transformarea mrimilor la schimbarea axelor de coordonateFie dou sisteme de referin carteziene drepte XYZi Z Y X , rotite ntre ele, sistemul al doilea fiind definit prin cosinusurile directoare, m, n dintre perechile de axe ale celor dou sisteme de referin, astfelAxele X Y ZX11m1nY22m2nZ33m3nncontinuare, mrimilenotatecuprimreprezintvalorileraportatelasistemul de referin notat cu prim, iar celelalte corespund sistemului de referin iniial.Transformarea deplasrilor i rotirilor se efectueaz cu o relaie de forma{ } [ ]{ } u u , (3.7)n care[ ]111]1
3 3 32 2 21 1 1n mn mn m, (3.8)este matricea cosinusurilor directoare.Transformarea tensiunilor se efectueaz cu o relaie de forma{ } [ ]{ } T ,(3.9)n care[ ]11111111]1
+ + ++ + ++ + +3 1 1 3 3 1 1 3 3 1 1 3 1 3 1 3 1 32 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 3 2 3 2 3 21 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 13 3 3 3 3 32323232 2 2 2 2 22222221 1 1 1 1 12121212 2 22 2 22 2 2 n n n m n m m m n n m mn n n m n m m m n n m mn n n m n m m m n n m mn n m m n mn n m m n mn n m m n mT. (3.10)Transformarea deformaiilor specifice se efectueaz cu relaia{ } [ ]{ } T , (3.11)n careCatedra de Rezistena materialelor Universitatea POLITEHNICA Bucureti39Elemente finite n ingineria mecanic St. Sorohan 2009-2010 Transporturi[ ]11111111]1
+ + ++ + ++ + +3 1 1 3 3 1 1 3 3 1 1 3 1 3 1 3 1 32 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 3 2 3 2 3 21 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 13 3 3 3 3 32323232 2 2 2 2 22222221 1 1 1 1 12121212 2 22 2 22 2 2 n n n m n m m m n n m mn n n m n m m m n n m mn n n m n m m m n n m mn n m m n mn n m m n mn n m m n mT. (3.12)Observaie!Pentru transformri ntre sisteme de referin diferite, spre exemplu dintr-un sistem de referin cartezian ntr-un sistem de referin cilindric sau sferic, expresiile matricelor de transformare [ ]T i [ ]T de mai sus trebuie reformulate.3.4 Relaii ntre deplasri i deformaii specificeDeformaiile specifice liniare i unghiulare se pot determina din funciile deplasrilor. Uneori aceste relaii poart denumirea de condiii de compatibilitate geometric, deoarece se obin din examinarea cmpului deplasrilor. Se consider un element desuprafadreptunghiular, dedimensiuni infinitesimaledxdy, nstarea nedeformatastructurii, caurmareasolicitrilor, seconstatomodificareatt a dimensiunilor dreptunghiului ct i a formei lui (Fig. 3.4).Dac deplasrile sunt mici rezult c modificarea lungimilor laturilor 01 i 02 ale elementului dx dy, produce deformaiile specifice liniarexux ;yvy , (3.13)iar modificarea unghiului drept 012 duce la deformaia specific unghiularyuxvxy+ + 2 1 . (3.14)Fig 3.4: Deplasarea i deformaiile unui element infinitesimal dS=dx dy, cazul 2DPentru un element de volum dz dy dx, aceste relaii se completeaz pentru cazul 3D i se scriu n form matriceal astfelCatedra de Rezistena materialelor Universitatea POLITEHNICA Bucureti40Elemente finite n ingineria mecanic St. Sorohan 2009-2010 Transporturi;'11111111111111]1
;'wvux zy zx yzyxzxyzxyzyx0000 00 00 0, (3.15)sau n form condensat,{ } [ ]{ } u . (3.16)n care s-a notat cu [ ] matricea operatorilor de derivare.n 2D matricea operatorilor de derivare i relaia (3.15) devine[ ]111111]1
x yyx00;;'111111]1
;'vux yyxxyyx00. (3.15)3.5 Relaii de echilibru (Cauchy)Dac se consider un element de volum dz dy dxn interiorulunuisolid (vezi Fig. 3.5pentrucazul 2D), relaiiledeechilibru, sumdemomentepeceletrei axe, conduc la dualitatea tensiunilor tangenialexy yx ;yz zy ;zx xz , (3.17)relaii de care s-a inut seama la definiia vectorului tensiunilor.Catedra de Rezistena materialelor Universitatea POLITEHNICA Bucureti41Elemente finite n ingineria mecanic St. Sorohan 2009-2010 TransporturiFig 3.5: Tensiunile i forele de volum care lucreaz pe elementul infinitesimal 2DFig. 3.6: Tensiunile i forele de suprafa pe un element de contur 2DSuma forelor pe cele trei axe, conduc la relaiile0 +++Vxzxxyxpz y x;0 +++Vyyz y xypz y x ;0 +++Vzzyzzxpz y x,(3.18)care se rescriu, avnd n vedere definiiile precedente, n form matriceal condensat astfel[ ] { } { } { } 0 + vTp . (3.19)Dacelementul devolumconsiderat, conineuncontur al corpului (Fig. 3.6), atunci relaiile de echilibru devinzx xy x Sxn m p + + yz y xy Syn m p + + z yz zx Szn m p + + (3.20)n care,minreprezint cosinusurile directoare ale normaleila contur (suprafaa exterioar), n raport cu sistemul global de axe.3.6 Relaii constitutive ale materialuluiRelaiile dintre tensiuni i deformaiile specifice corespunztoare se obin pe cale experimental pentru fiecare material n parte. Funcie de tipul materialului ncercrile experimentale prezint anumite particularitti. Pentru unele tipuri de materiale, ncercrile sunt standardizate, i n urma acestora se obin curbe caracteristice, coeficieni, constante de material etc. De regul, aceste constante sunt dependente de o serie de factori cum ar fi: temperatura, dimensiunile i forma epruvetei de ncercare, calitatea suprafeelor, tehnologia de obinere a materialului, etc. Pentru unele materiale, n special metale i pentru solicitri care nu depesc anumite limite, ntre tensiuni i deformaii specifice exist o relaie cvasi-liniar, de formaCatedra de Rezistena materialelor Universitatea POLITEHNICA Bucureti42Elemente finite n ingineria mecanic St. Sorohan 2009-2010 Transporturi{ } [ ]{ } C , (3.21)n care [C] este matricea de complian a materialului, care se mai numete i matricea coeficienilor de elasticitate. Din relaia (3.21) rezult{ } [ ] { } [ ]{ } D C 1,(3.22)ncare [ ] [ ]1 C D estematriceaderigiditateamaterialuluicaresemai numetei matricea proprietilor materialului.Pentru un material anizotrop matricea de complian [ ] Ceste simetric i conine 21 de constante independente, adic[ ]11111111]1
6656 5546 45 4436 35 34 3326 25 24 23 2216 15 14 13 12 11CC C SimC C CC C C CC C C C CC C C C C CC. (3.23)Pentru un material ortotrop n coordonate carteziene, cu direciile principale de-a lungul axelor, conform relaiilor generalizate ale lui Hooke, rezult[ ]1111111111111111]1
xzyzxyz yzyxzxzyzy xyxzxzyxyxGGGE E EE E EE E EC10 0 0 0 0010 0 0 00 010 0 00 0 010 0 010 0 01 . (3.24)Din motive de simetrie exist relaiileyxyxyxE E ;zxzxzxE E ;zyzyzxE E, (3.25)astfel nct din cele 12 constante de material, nou sunt independente.Pentru un material izotrop, innd seama de relaia dintre modulul de elasticitate longitudinal E, transversal G i coeficientul de contracie transversal , adic( ) +1 2EG, (3.26)rezultCatedra de Rezistena materialelor Universitatea POLITEHNICA Bucureti43Elemente finite n ingineria mecanic St. Sorohan 2009-2010 Transporturi[ ]( )( )( ) 11111111]1
+++ 1 20 1 20 0 1 20 0 0 10 0 0 10 0 0 11SimEC, (3.27)din care, prin inversare, rezult matricea de rigiditate a materialuluiomogen, liniar iizotrop[ ]( )( )1111111111]1
+ 210210 0210 0 0 10 0 0 10 0 0 12 1 1SimED. (3.28)Observaie!Pentru sistemul de referin cilindric, utilizat pentru structurile axial simetrice, relaiile (3.24) - (3.28) au alte forme.Pentru cazul 2D, exist dou formulri distincte:a) Stare plan de tensiuni (SPT), dac 0 xz yz z , din relaia (3.22) rezult;'1111]1
;'xyyxxyxxE210 00 10 112. (3.29)Se menioneaz c n SPT( )y x zE + .b)Stare plan de deformaie(SPD), dac 0 xz yz z , similar din relaia (3.22) rezult( ) ( );'1111]1
+;'xyyxxyxxE 210 00 10 12 1 1. (3.30)n SPD tensiunea normal planului 2D rezult ( ) ( )( )y x zE + +2 1 1. 4 METODE ENERGETICE N ANALIZA STRUCTURILORAcest capitolfolosete notaiile idefiniiile prezentate n capitolul3, introduce expresiile energetice n form matriceal i apoi prezint modul de rezolvare aproximativ a unor probleme de analiz structural plecnd de la o funcional care are suport fizic.Catedra de Rezistena materialelor Universitatea POLITEHNICA Bucureti44Elemente finite n ingineria mecanic St. Sorohan 2009-2010 Transporturi4.1 Expresii energetice1. Lucrul mecanic.Lucrul mecanic este suma dintre produsul forelor i deplasrile produse pe direciile lor. n continuare, se are n vedere lucrulmecanic al forelor care produc deplasri elastice, deci se consider c domeniul de analiz nu are deplasri de corp rigid. Forele aplicate unui element de volum dV, pot fi fore exterioare - fore de volum, fore de suprafa sau fore echivalente concentrate i fore interioare - tensiuni, toate considerate constante.Lucrul mecanic al forelor de volum, se scrie{ } { }dV p u WVTVe , (4.1)similar, lucrul mecanic al forelor de suprafa, rezult{ } { }dS p u WSTSe , (4.2)iar lucrul mecanic al forelor concentrate este{ } { }iTii eF u W. (4.3)2. Energiapotenialdedeformaie.Uncorpliniar elastic, acumuleazo energie intern, exprimat prin{ } { }dV UTV 21. (4.4)3. Energiapotenialaforelorexterioare.AceastenergienotatpW, se definete prine pW W . (4.5)Dac se consider, drept fore exterioare, forele de volum i forele de suprafa, energia potenial a forelor exterioare se scrie{ } { } { } { }dS p u dV p u WSTSVTVp . (4.6)4.2 Tensiuni iniiale i variaia de temperaturOricecomponentsupusanalizei esteobinutprinprocedeetehnologicei este supus unor tratamente termice sau mecanice care induc n material o distribuie de tensiuniiniiale, care se suprapun peste tensiunile mecanice produse de solicitri. Prezena unor tensiuniiniiale este nsoit de deformaiile corespunztoare, dar este suficient s se cunoasc una dintre ele dac materialul are o comportare liniar elastic.Dincauzaunor variaii detemperaturlacarelucreazmaterialul, acestase dilat dac temperatura crete sau se contract dac temperatura scade. De obicei se accept o temperatur iniial (de referin) la care corpul nu prezint influene produse de temperatur. Dac dilatarea este liber, corpul i modific dimensiunile (apare { }0) fr apariia unor tensiuni iniiale. Dac dilatarea este total mpiedicat, atunci, corpul nu poate suferi deformaii, dar apar tensiuni iniiale termice { }0. Dac dilatarea este parial mpiedicat, atunci n corp apar att deformaii specifice termice ct i tensiuni Catedra de Rezistena materialelor Universitatea POLITEHNICA Bucureti45Elemente finite n ingineria mecanic St. Sorohan 2009-2010 Transporturitermice. Deobicei sefaceodistincientredeformaiilei tensiuniletermicei cele mecanice, deoarece ele se nsumeaz.n prezena unor tensiuni iniiale { }0ia unor deformaiispecifice iniiale { }0, indiferent de modul de producere, relaia (3.22) se rescrie n forma{ } [ ] { } { } ( ) { }0 0 + D. (4.7)Deformaiile specifice produse de dilatarea liber a unui material ortotrop, sunt date de relaia{ } { }Tz y xT 0 0 00 (4.8)n care x , y, zsunt coeficienii de dilatare termic pe cele trei direcii principale, iar T este variaia de temperatur.Dacnrelaia(4.7) seconsidertensiunileiniiale{ } { } 00 i deformaiile specifice mecanice { } { } 0 , efectul variaiei de temperatur pentru un corp cu dilatarea total mpiedicat este{ } [ ]{ }0 D (4.9)Pentru un material omogen i izotrop z y x i innd seama de relaia (3.28) se obine{ } { } { }TT E0 0 0 1 1 12 10 . (4.10)Observaie!Variaiadetemperaturproducemodificri sesizabilealeconstantelor elasticealematerialului, ducndlaproblemeneliniare. Decelemai multeori ns, pentru a lucra cu o singur valoare a constantelor de material, n special pentru variaii ale temperaturiiapropiate de variaiile temperaturiimediuluinconjurtor (circa t 50 ) seconsidervalorilemedii aleconstantelor, nipotezacsecunoatetemperatura iniial iTi variaia eiT . Astfel, pentru coeficientul de dilatare termic al unui material izotrop, deoarece ( ) T , npractic, decelemai multeori, selucreazcuvaloarea medie +T TTmiidTT 1. (4.11)4.3 Principiul energiei poteniale totale minimen continuare o parte din relaiile discutate anterior sunt rescrise n form matriceal compact doar pentru a simplifica prezentarea.Pentruarezolvaoproblemindependentdetimpcumar fi analizstatic liniar pentru obinerea strii de tensiuni i deformaii, n teoria elasticitii trebuie s se in seama de patru tipuri de ecuaii, care n domeniul liniar elastic al deplasrilor mici sunt:Catedra de Rezistena materialelor Universitatea POLITEHNICA Bucureti46Elemente finite n ingineria mecanic St. Sorohan 2009-2010 TransporturiNr. Tipul ecuaiei Expresii n form compactDefinit de relaia1.Relaii de echilibru, adic pentru orice punct din domeniul de analiz i de pe contur suma forelor este nul[ ] { } { } { } 0 + vTp (3.19) i(3.20)2.Relaii de compatibilitate geometric ntre deplasri i deformaii specifice{ } [ ]{ } u (3.16)3.Relaii constitutive ale materialului, obinute experimental{ } [ ]{ } C sau { } [ ]{ } D ;(3.22)4.Condiii la limit n fore i deplasri (presiuni, fore de inerie, variaii de temperatur, deformaii sau tensiuni iniiale cunoscute, deplasri impuse etc).Funcie de aplicaie -Ecuaiile difereniale care descriu un fenomen fizic se spune c definesc problemanform"exact"("strongform"), pentrucelesunt valabilepentrutoate punctele din domeniul de analiz.Ofuncional, careimplicit conineecuaiiledifereniale, sespunecdescrie problema n form "slab" ("weak form"), deoarece satisface anumite condiiila nivel global (n sensul unei medieri pe domeniul de analiz).Metoda elementelor finite este o metod aproximativ de rezolvare a ecuaiilor cu derivate pariale care se bazeaz pe "echivalarea" mediului continuu printr-un model de calcul discret. Ecuaiile difereniale sunt transformate n ecuaii liniare. Mrimile care definesc o problem prin funcii continue (o infinitate de valori) se limiteaz la un numr finit de necunoscute - grade de libertate, alese arbitrar de analist.Gradeledelibertatesunt mrimi (cantitative) independente, utilizatepentrua definiconfiguraia unuisistem. n MEF gradele de libertate reprezint mrimiutilizate pentru definirea variaiei spaiale a unui domeniu de analiz.MEFestefundamentatteoretic. Dinpunct devederematematicexistmai multe modaliti de a obine relaiile de baz cu care opereaz MEF. Una dintre acestea (n analiza structural) este folosirea n form variaional a energiei poteniale totale. Aceast abordare teoretic este sugestiv i poate fi uor interpretat fizic.Configuraiadeechilibruaunui sistemsepoateanalizai prinintermediul energiei poteniale totale. Energia potenial se exprim n form integral (din punct de vedere matematic poart numele de funcional). O funcional este, aadar, o expresie integral care conine implicit ecuaile difereniale care descriu un fenomen anume. n analiza structural, se folosete de obicei, expresia energiei poteniale totale. Funcionalelesentlnesci ndescriereafenomenelor termice, electrice, nunele probleme de curgere a fluidelor, n acustic, etc.Energia potenial total a unuisistem elastic conservativ, , se definete ca sumaenergiei potenialededeformaienotatUi potenialul forelor aplicatedin exterior (al sarcinilor) notat pWpW U+ . (4.12)Un sistemse numete conservativ dac lucrul mecanic al forelor aplicate (exterioare) i al forelor interioare este independent de traseul deplasrii, fiind o funcie doar de configuraia iniial i final a cmpului deplasrilor.Catedra de Rezistena materialelor Universitatea POLITEHNICA Bucureti47Elemente finite n ingineria mecanic St. Sorohan 2009-2010 Transporturin figura 4.1 se prezint principiul energiei poteniale totale minime aplicat unui element elastic de tip "arc", pentru obinerea poziiei de echilibru. Se observ c poziia de echilibru exxse obine pentru minimul energiei poteniale totale, adic din condiia 0 dxd.Fig. 4.1: Echilibrul unui element elastic din principiul minimului energiei poteniale totaleDinpunctde vederematematic,condiiilelalimitpentruoproblemsuntde dou tipuri:geometrice,numite adesea cinematice sau eseniale inaturale,numite i neeseniale. Condiiile la limitgeometricesereferla deplasri i uneori laprimele derivate(rotiri, curburi) ntimpcecondiiilelalimitnaturalesunt legatede derivatele superioare ale deplasrilor. Spreexemplu, dacseconsidergrindaderigiditateconstantEI, dinfigura 4.2,a, condiiileesenialesunt nsgei i rotiri adic( ) 0 0 v i( ) ( ) 0 0 0 v , iar condiiile neeseniale n for tietoare i moment ncovoietor, adic (( ) ( ) F v EI T i( ) ( ) 0 v EI M ).(a) (b) (c)Fig. 4.2: Grind n consol. (a) Condiii la limit; (b) Deplasri admisibile; (c) deplasri neadmisibile, care nu respect condiiile la limit i continuitatea n deplasri sau rotiriO funcie de clas Cm (continu i derivabil pn la ordinulm), este admisibil dac satisface condiiile la limit eseniale. Configuraiile deformatelor din figura 4.2,b sunt exempledefuncii admisibileiar celedinfigura4.2,csunt funcii neadmisibile. Funciile admisibile nu trebuie neaprat s coincid cu forma real a deformatei.Deplasrile virtuale{ } u sunt deplasri admisibile, care n plus satisfac urmtoarele condiii: sunt independente de forele aplicate structurii i sunt infinitezimale(li sepot aplicaregulilecalculului diferenial). Foreleaplicatestructurii Catedra de Rezistena materialelor Universitatea POLITEHNICA Bucureti48Elemente finite n ingineria mecanic St. Sorohan 2009-2010 Transporturirmn constante pentru exprimarea variaiei energiei poteniale totale fa de poziia de echilibru.Din relaia (4.12), innd seama de relaiile (4.4), (4.6) i (3.22), rezult{ }
