CURS 10: Bază, Dimensiune

Cluj-Napoca

Fie KV spaţiu vectorial

(vezi Curs 9);

Exemplul 10.1

1) În RR2 fie submulţimea L = {(1,0); (0,1)} ⊆ R2.Deoarece, dacă a1(1,0) + a2(0,1) = 0 = (0,0)⇒

(a1, a2) = (0,0)⇒ a1 = 0, a2 = 0

L s.n. mulţime liberă;

2) În RR3 mulţimea L = {(1,1,0); (−1,−1,0)} NU este liberă.

Defn 10.2 (Mulţime Liberă)

Fie L ⊂ V . Spunem că L este o mulţime liberă (sau că vectoriidin L sunt liniar independenţi), dacă din orice combinaţie cuelemente din L

a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0⇒ a1 = 0, a2 = 0, ..., an = 0

(unde n ∈ N∗; a1, ..., an ∈ K , v1, ..., vn ∈ L).

Fie KV spaţiu vectorial (vezi Curs 9);

Exemplul 10.1

1) În RR2 fie submulţimea L = {(1,0); (0,1)} ⊆ R2.Deoarece, dacă a1(1,0) + a2(0,1) = 0 = (0,0)⇒

(a1, a2) = (0,0)⇒ a1 = 0, a2 = 0

L s.n. mulţime liberă;

2) În RR3 mulţimea L = {(1,1,0); (−1,−1,0)} NU este liberă.

Defn 10.2 (Mulţime Liberă)

Fie L ⊂ V . Spunem că L este o mulţime liberă (sau că vectoriidin L sunt liniar independenţi), dacă din orice combinaţie cuelemente din L

a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0⇒ a1 = 0, a2 = 0, ..., an = 0

(unde n ∈ N∗; a1, ..., an ∈ K , v1, ..., vn ∈ L).

Fie KV spaţiu vectorial (vezi Curs 9);

Exemplul 10.1

1) În RR2 fie submulţimea L = {(1,0); (0,1)} ⊆ R2.Deoarece, dacă a1(1,0) + a2(0,1) = 0 = (0,0)⇒

(a1, a2) = (0,0)⇒ a1 = 0, a2 = 0

L s.n. mulţime liberă;

2) În RR3 mulţimea L = {(1,1,0); (−1,−1,0)} NU este liberă.

Defn 10.2 (Mulţime Liberă)

Fie L ⊂ V . Spunem că L este o mulţime liberă (sau că vectoriidin L sunt liniar independenţi), dacă din orice combinaţie cuelemente din L

a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0⇒ a1 = 0, a2 = 0, ..., an = 0

(unde n ∈ N∗; a1, ..., an ∈ K , v1, ..., vn ∈ L).

Fie KV spaţiu vectorial (vezi Curs 9);

Exemplul 10.1

1) În RR2 fie submulţimea

L = {(1,0); (0,1)} ⊆ R2.Deoarece, dacă a1(1,0) + a2(0,1) = 0 = (0,0)⇒

(a1, a2) = (0,0)⇒ a1 = 0, a2 = 0

L s.n. mulţime liberă;

2) În RR3 mulţimea L = {(1,1,0); (−1,−1,0)} NU este liberă.

Defn 10.2 (Mulţime Liberă)

Fie L ⊂ V . Spunem că L este o mulţime liberă (sau că vectoriidin L sunt liniar independenţi), dacă din orice combinaţie cuelemente din L

a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0⇒ a1 = 0, a2 = 0, ..., an = 0

(unde n ∈ N∗; a1, ..., an ∈ K , v1, ..., vn ∈ L).

Fie KV spaţiu vectorial (vezi Curs 9);

Exemplul 10.1

1) În RR2 fie submulţimea L = {(1,0); (0,1)} ⊆ R2.Deoarece,

dacă a1(1,0) + a2(0,1) = 0 = (0,0)⇒

(a1, a2) = (0,0)⇒ a1 = 0, a2 = 0

L s.n. mulţime liberă;

2) În RR3 mulţimea L = {(1,1,0); (−1,−1,0)} NU este liberă.

Defn 10.2 (Mulţime Liberă)

Fie L ⊂ V . Spunem că L este o mulţime liberă (sau că vectoriidin L sunt liniar independenţi), dacă din orice combinaţie cuelemente din L

a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0⇒ a1 = 0, a2 = 0, ..., an = 0

(unde n ∈ N∗; a1, ..., an ∈ K , v1, ..., vn ∈ L).

Fie KV spaţiu vectorial (vezi Curs 9);

Exemplul 10.1

1) În RR2 fie submulţimea L = {(1,0); (0,1)} ⊆ R2.Deoarece, dacă

a1(1,0) + a2(0,1) = 0 = (0,0)⇒

(a1, a2) = (0,0)⇒ a1 = 0, a2 = 0

L s.n. mulţime liberă;

2) În RR3 mulţimea L = {(1,1,0); (−1,−1,0)} NU este liberă.

Defn 10.2 (Mulţime Liberă)

Fie L ⊂ V . Spunem că L este o mulţime liberă (sau că vectoriidin L sunt liniar independenţi), dacă din orice combinaţie cuelemente din L

a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0⇒ a1 = 0, a2 = 0, ..., an = 0

(unde n ∈ N∗; a1, ..., an ∈ K , v1, ..., vn ∈ L).

Fie KV spaţiu vectorial (vezi Curs 9);

Exemplul 10.1

1) În RR2 fie submulţimea L = {(1,0); (0,1)} ⊆ R2.Deoarece, dacă a1(1,0) + a2(0,1) = 0 =

(0,0)⇒

(a1, a2) = (0,0)⇒ a1 = 0, a2 = 0

L s.n. mulţime liberă;

2) În RR3 mulţimea L = {(1,1,0); (−1,−1,0)} NU este liberă.

Defn 10.2 (Mulţime Liberă)

Fie L ⊂ V . Spunem că L este o mulţime liberă (sau că vectoriidin L sunt liniar independenţi), dacă din orice combinaţie cuelemente din L

a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0⇒ a1 = 0, a2 = 0, ..., an = 0

(unde n ∈ N∗; a1, ..., an ∈ K , v1, ..., vn ∈ L).

Fie KV spaţiu vectorial (vezi Curs 9);

Exemplul 10.1

1) În RR2 fie submulţimea L = {(1,0); (0,1)} ⊆ R2.Deoarece, dacă a1(1,0) + a2(0,1) = 0 = (0,0)⇒

(a1, a2) = (0,0)⇒ a1 = 0, a2 = 0

L s.n. mulţime liberă;

2) În RR3 mulţimea L = {(1,1,0); (−1,−1,0)} NU este liberă.

Defn 10.2 (Mulţime Liberă)

Fie L ⊂ V . Spunem că L este o mulţime liberă (sau că vectoriidin L sunt liniar independenţi), dacă din orice combinaţie cuelemente din L

a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0⇒ a1 = 0, a2 = 0, ..., an = 0

(unde n ∈ N∗; a1, ..., an ∈ K , v1, ..., vn ∈ L).

Fie KV spaţiu vectorial (vezi Curs 9);

Exemplul 10.1

1) În RR2 fie submulţimea L = {(1,0); (0,1)} ⊆ R2.Deoarece, dacă a1(1,0) + a2(0,1) = 0 = (0,0)⇒

(a1, a2) = (0,0)⇒

a1 = 0, a2 = 0

L s.n. mulţime liberă;

2) În RR3 mulţimea L = {(1,1,0); (−1,−1,0)} NU este liberă.

Defn 10.2 (Mulţime Liberă)

Fie L ⊂ V . Spunem că L este o mulţime liberă (sau că vectoriidin L sunt liniar independenţi), dacă din orice combinaţie cuelemente din L

a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0⇒ a1 = 0, a2 = 0, ..., an = 0

(unde n ∈ N∗; a1, ..., an ∈ K , v1, ..., vn ∈ L).

Fie KV spaţiu vectorial (vezi Curs 9);

Exemplul 10.1

1) În RR2 fie submulţimea L = {(1,0); (0,1)} ⊆ R2.Deoarece, dacă a1(1,0) + a2(0,1) = 0 = (0,0)⇒

(a1, a2) = (0,0)⇒ a1 = 0, a2 = 0

L s.n. mulţime liberă;

2) În RR3 mulţimea L = {(1,1,0); (−1,−1,0)} NU este liberă.

Defn 10.2 (Mulţime Liberă)

Fie L ⊂ V . Spunem că L este o mulţime liberă (sau că vectoriidin L sunt liniar independenţi), dacă din orice combinaţie cuelemente din L

a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0⇒ a1 = 0, a2 = 0, ..., an = 0

(unde n ∈ N∗; a1, ..., an ∈ K , v1, ..., vn ∈ L).

Fie KV spaţiu vectorial (vezi Curs 9);

Exemplul 10.1

1) În RR2 fie submulţimea L = {(1,0); (0,1)} ⊆ R2.Deoarece, dacă a1(1,0) + a2(0,1) = 0 = (0,0)⇒

(a1, a2) = (0,0)⇒ a1 = 0, a2 = 0

L s.n. mulţime liberă;

2) În RR3 mulţimea L = {(1,1,0); (−1,−1,0)} NU este liberă.

Defn 10.2 (Mulţime Liberă)

Fie L ⊂ V . Spunem că L este o mulţime liberă (sau că vectoriidin L sunt liniar independenţi), dacă din orice combinaţie cuelemente din L

a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0⇒ a1 = 0, a2 = 0, ..., an = 0

(unde n ∈ N∗; a1, ..., an ∈ K , v1, ..., vn ∈ L).

Fie KV spaţiu vectorial (vezi Curs 9);

Exemplul 10.1

1) În RR2 fie submulţimea L = {(1,0); (0,1)} ⊆ R2.Deoarece, dacă a1(1,0) + a2(0,1) = 0 = (0,0)⇒

(a1, a2) = (0,0)⇒ a1 = 0, a2 = 0

L s.n. mulţime liberă;

2) În RR3

mulţimea L = {(1,1,0); (−1,−1,0)} NU este liberă.

Defn 10.2 (Mulţime Liberă)

Fie L ⊂ V . Spunem că L este o mulţime liberă (sau că vectoriidin L sunt liniar independenţi), dacă din orice combinaţie cuelemente din L

a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0⇒ a1 = 0, a2 = 0, ..., an = 0

(unde n ∈ N∗; a1, ..., an ∈ K , v1, ..., vn ∈ L).

Fie KV spaţiu vectorial (vezi Curs 9);

Exemplul 10.1

1) În RR2 fie submulţimea L = {(1,0); (0,1)} ⊆ R2.Deoarece, dacă a1(1,0) + a2(0,1) = 0 = (0,0)⇒

(a1, a2) = (0,0)⇒ a1 = 0, a2 = 0

L s.n. mulţime liberă;

2) În RR3 mulţimea L = {(1,1,0); (−1,−1,0)}

NU este liberă.

Defn 10.2 (Mulţime Liberă)

Fie L ⊂ V . Spunem că L este o mulţime liberă (sau că vectoriidin L sunt liniar independenţi), dacă din orice combinaţie cuelemente din L

a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0⇒ a1 = 0, a2 = 0, ..., an = 0

(unde n ∈ N∗; a1, ..., an ∈ K , v1, ..., vn ∈ L).

Fie KV spaţiu vectorial (vezi Curs 9);

Exemplul 10.1

1) În RR2 fie submulţimea L = {(1,0); (0,1)} ⊆ R2.Deoarece, dacă a1(1,0) + a2(0,1) = 0 = (0,0)⇒

(a1, a2) = (0,0)⇒ a1 = 0, a2 = 0

L s.n. mulţime liberă;

2) În RR3 mulţimea L = {(1,1,0); (−1,−1,0)} NU este liberă.

Defn 10.2 (Mulţime Liberă)

Fie L ⊂ V . Spunem că L este o mulţime liberă (sau că vectoriidin L sunt liniar independenţi), dacă din orice combinaţie cuelemente din L

a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0⇒ a1 = 0, a2 = 0, ..., an = 0

(unde n ∈ N∗; a1, ..., an ∈ K , v1, ..., vn ∈ L).

Fie KV spaţiu vectorial (vezi Curs 9);

Exemplul 10.1

1) În RR2 fie submulţimea L = {(1,0); (0,1)} ⊆ R2.Deoarece, dacă a1(1,0) + a2(0,1) = 0 = (0,0)⇒

(a1, a2) = (0,0)⇒ a1 = 0, a2 = 0

L s.n. mulţime liberă;

2) În RR3 mulţimea L = {(1,1,0); (−1,−1,0)} NU este liberă.

Defn 10.2

(Mulţime Liberă)

Fie L ⊂ V . Spunem că L este o mulţime liberă (sau că vectoriidin L sunt liniar independenţi), dacă din orice combinaţie cuelemente din L

a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0⇒ a1 = 0, a2 = 0, ..., an = 0

(unde n ∈ N∗; a1, ..., an ∈ K , v1, ..., vn ∈ L).

Fie KV spaţiu vectorial (vezi Curs 9);

Exemplul 10.1

1) În RR2 fie submulţimea L = {(1,0); (0,1)} ⊆ R2.Deoarece, dacă a1(1,0) + a2(0,1) = 0 = (0,0)⇒

(a1, a2) = (0,0)⇒ a1 = 0, a2 = 0

L s.n. mulţime liberă;

2) În RR3 mulţimea L = {(1,1,0); (−1,−1,0)} NU este liberă.

Defn 10.2 (Mulţime Liberă)

Fie L ⊂ V . Spunem că L este o mulţime liberă (sau că vectoriidin L sunt liniar independenţi), dacă din orice combinaţie cuelemente din L

a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0⇒ a1 = 0, a2 = 0, ..., an = 0

(unde n ∈ N∗; a1, ..., an ∈ K , v1, ..., vn ∈ L).

Fie KV spaţiu vectorial (vezi Curs 9);

Exemplul 10.1

1) În RR2 fie submulţimea L = {(1,0); (0,1)} ⊆ R2.Deoarece, dacă a1(1,0) + a2(0,1) = 0 = (0,0)⇒

(a1, a2) = (0,0)⇒ a1 = 0, a2 = 0

L s.n. mulţime liberă;

2) În RR3 mulţimea L = {(1,1,0); (−1,−1,0)} NU este liberă.

Defn 10.2 (Mulţime Liberă)

Fie L ⊂ V .

Spunem că L este o mulţime liberă (sau că vectoriidin L sunt liniar independenţi), dacă din orice combinaţie cuelemente din L

a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0⇒ a1 = 0, a2 = 0, ..., an = 0

(unde n ∈ N∗; a1, ..., an ∈ K , v1, ..., vn ∈ L).

Fie KV spaţiu vectorial (vezi Curs 9);

Exemplul 10.1

1) În RR2 fie submulţimea L = {(1,0); (0,1)} ⊆ R2.Deoarece, dacă a1(1,0) + a2(0,1) = 0 = (0,0)⇒

(a1, a2) = (0,0)⇒ a1 = 0, a2 = 0

L s.n. mulţime liberă;

2) În RR3 mulţimea L = {(1,1,0); (−1,−1,0)} NU este liberă.

Defn 10.2 (Mulţime Liberă)

Fie L ⊂ V . Spunem că L este o

mulţime liberă (sau că vectoriidin L sunt liniar independenţi), dacă din orice combinaţie cuelemente din L

a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0⇒ a1 = 0, a2 = 0, ..., an = 0

(unde n ∈ N∗; a1, ..., an ∈ K , v1, ..., vn ∈ L).

Fie KV spaţiu vectorial (vezi Curs 9);

Exemplul 10.1

1) În RR2 fie submulţimea L = {(1,0); (0,1)} ⊆ R2.Deoarece, dacă a1(1,0) + a2(0,1) = 0 = (0,0)⇒

(a1, a2) = (0,0)⇒ a1 = 0, a2 = 0

L s.n. mulţime liberă;

2) În RR3 mulţimea L = {(1,1,0); (−1,−1,0)} NU este liberă.

Defn 10.2 (Mulţime Liberă)

Fie L ⊂ V . Spunem că L este o mulţime liberă

(sau că vectoriidin L sunt liniar independenţi), dacă din orice combinaţie cuelemente din L

a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0⇒ a1 = 0, a2 = 0, ..., an = 0

(unde n ∈ N∗; a1, ..., an ∈ K , v1, ..., vn ∈ L).

Fie KV spaţiu vectorial (vezi Curs 9);

Exemplul 10.1

1) În RR2 fie submulţimea L = {(1,0); (0,1)} ⊆ R2.Deoarece, dacă a1(1,0) + a2(0,1) = 0 = (0,0)⇒

(a1, a2) = (0,0)⇒ a1 = 0, a2 = 0

L s.n. mulţime liberă;

2) În RR3 mulţimea L = {(1,1,0); (−1,−1,0)} NU este liberă.

Defn 10.2 (Mulţime Liberă)

Fie L ⊂ V . Spunem că L este o mulţime liberă (sau că vectoriidin L sunt

liniar independenţi), dacă din orice combinaţie cuelemente din L

a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0⇒ a1 = 0, a2 = 0, ..., an = 0

(unde n ∈ N∗; a1, ..., an ∈ K , v1, ..., vn ∈ L).

Fie KV spaţiu vectorial (vezi Curs 9);

Exemplul 10.1

1) În RR2 fie submulţimea L = {(1,0); (0,1)} ⊆ R2.Deoarece, dacă a1(1,0) + a2(0,1) = 0 = (0,0)⇒

(a1, a2) = (0,0)⇒ a1 = 0, a2 = 0

L s.n. mulţime liberă;

2) În RR3 mulţimea L = {(1,1,0); (−1,−1,0)} NU este liberă.

Defn 10.2 (Mulţime Liberă)

Fie L ⊂ V . Spunem că L este o mulţime liberă (sau că vectoriidin L sunt liniar independenţi),

dacă din orice combinaţie cuelemente din L

a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0⇒ a1 = 0, a2 = 0, ..., an = 0

(unde n ∈ N∗; a1, ..., an ∈ K , v1, ..., vn ∈ L).

Fie KV spaţiu vectorial (vezi Curs 9);

Exemplul 10.1

1) În RR2 fie submulţimea L = {(1,0); (0,1)} ⊆ R2.Deoarece, dacă a1(1,0) + a2(0,1) = 0 = (0,0)⇒

(a1, a2) = (0,0)⇒ a1 = 0, a2 = 0

L s.n. mulţime liberă;

2) În RR3 mulţimea L = {(1,1,0); (−1,−1,0)} NU este liberă.

Defn 10.2 (Mulţime Liberă)

Fie L ⊂ V . Spunem că L este o mulţime liberă (sau că vectoriidin L sunt liniar independenţi), dacă din orice combinaţie cuelemente din L

a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0⇒ a1 = 0, a2 = 0, ..., an = 0

(unde n ∈ N∗; a1, ..., an ∈ K , v1, ..., vn ∈ L).

Fie KV spaţiu vectorial (vezi Curs 9);

Exemplul 10.1

1) În RR2 fie submulţimea L = {(1,0); (0,1)} ⊆ R2.Deoarece, dacă a1(1,0) + a2(0,1) = 0 = (0,0)⇒

(a1, a2) = (0,0)⇒ a1 = 0, a2 = 0

L s.n. mulţime liberă;

2) În RR3 mulţimea L = {(1,1,0); (−1,−1,0)} NU este liberă.

Defn 10.2 (Mulţime Liberă)

Fie L ⊂ V . Spunem că L este o mulţime liberă (sau că vectoriidin L sunt liniar independenţi), dacă din orice combinaţie cuelemente din L

a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0⇒

a1 = 0, a2 = 0, ..., an = 0

(unde n ∈ N∗; a1, ..., an ∈ K , v1, ..., vn ∈ L).

Fie KV spaţiu vectorial (vezi Curs 9);

Exemplul 10.1

1) În RR2 fie submulţimea L = {(1,0); (0,1)} ⊆ R2.Deoarece, dacă a1(1,0) + a2(0,1) = 0 = (0,0)⇒

(a1, a2) = (0,0)⇒ a1 = 0, a2 = 0

L s.n. mulţime liberă;

2) În RR3 mulţimea L = {(1,1,0); (−1,−1,0)} NU este liberă.

Defn 10.2 (Mulţime Liberă)

Fie L ⊂ V . Spunem că L este o mulţime liberă (sau că vectoriidin L sunt liniar independenţi), dacă din orice combinaţie cuelemente din L

a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0⇒ a1 = 0, a2 = 0, ..., an = 0

(unde n ∈ N∗; a1, ..., an ∈ K , v1, ..., vn ∈ L).

Fie KV spaţiu vectorial (vezi Curs 9);

Exemplul 10.1

1) În RR2 fie submulţimea L = {(1,0); (0,1)} ⊆ R2.Deoarece, dacă a1(1,0) + a2(0,1) = 0 = (0,0)⇒

(a1, a2) = (0,0)⇒ a1 = 0, a2 = 0

L s.n. mulţime liberă;

2) În RR3 mulţimea L = {(1,1,0); (−1,−1,0)} NU este liberă.

Defn 10.2 (Mulţime Liberă)

Fie L ⊂ V . Spunem că L este o mulţime liberă (sau că vectoriidin L sunt liniar independenţi), dacă din orice combinaţie cuelemente din L

a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0⇒ a1 = 0, a2 = 0, ..., an = 0

(unde n ∈ N∗; a1, ..., an ∈ K , v1, ..., vn ∈ L).

Fie KV spaţiu vectorial (vezi Curs 9);

Exemplul 10.1

1) În RR2 fie submulţimea L = {(1,0); (0,1)} ⊆ R2.Deoarece, dacă a1(1,0) + a2(0,1) = 0 = (0,0)⇒

(a1, a2) = (0,0)⇒ a1 = 0, a2 = 0

L s.n. mulţime liberă;

2) În RR3 mulţimea L = {(1,1,0); (−1,−1,0)} NU este liberă.

Defn 10.2 (Mulţime Liberă)

Fie L ⊂ V . Spunem că L este o mulţime liberă (sau că vectoriidin L sunt liniar independenţi), dacă din orice combinaţie cuelemente din L

a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0⇒ a1 = 0, a2 = 0, ..., an = 0

(unde n ∈ N∗; a1, ..., an ∈ K , v1, ..., vn ∈ L).

Observaţii:

Dacă L liberă ⇒ 0V ∉ L;Dacă L = {v}, v ≠ 0v (un singur element)⇒ L liberă;L este liberă ⇐⇒ [∀v ∈ L⇒ v ∉ Span(L ∖ {v})];L = {v1, ..., vp} m. finită este liberă⇐⇒ [a1v1 + ... + apvp = 0⇒ a1 = 0, a2 = 0, ..., ap = 0]

Observaţii:

Dacă L liberă

⇒ 0V ∉ L;Dacă L = {v}, v ≠ 0v (un singur element)⇒ L liberă;L este liberă ⇐⇒ [∀v ∈ L⇒ v ∉ Span(L ∖ {v})];L = {v1, ..., vp} m. finită este liberă⇐⇒ [a1v1 + ... + apvp = 0⇒ a1 = 0, a2 = 0, ..., ap = 0]

Observaţii:

Dacă L liberă ⇒ 0V ∉ L;

Dacă L = {v}, v ≠ 0v (un singur element)⇒ L liberă;L este liberă ⇐⇒ [∀v ∈ L⇒ v ∉ Span(L ∖ {v})];L = {v1, ..., vp} m. finită este liberă⇐⇒ [a1v1 + ... + apvp = 0⇒ a1 = 0, a2 = 0, ..., ap = 0]

Observaţii:

Dacă L liberă ⇒ 0V ∉ L;Dacă L = {v}, v ≠ 0v

(un singur element)⇒ L liberă;L este liberă ⇐⇒ [∀v ∈ L⇒ v ∉ Span(L ∖ {v})];L = {v1, ..., vp} m. finită este liberă⇐⇒ [a1v1 + ... + apvp = 0⇒ a1 = 0, a2 = 0, ..., ap = 0]

Observaţii:

Dacă L liberă ⇒ 0V ∉ L;Dacă L = {v}, v ≠ 0v (un singur element)⇒ L liberă;

L este liberă ⇐⇒ [∀v ∈ L⇒ v ∉ Span(L ∖ {v})];L = {v1, ..., vp} m. finită este liberă⇐⇒ [a1v1 + ... + apvp = 0⇒ a1 = 0, a2 = 0, ..., ap = 0]

Observaţii:

Dacă L liberă ⇒ 0V ∉ L;Dacă L = {v}, v ≠ 0v (un singur element)⇒ L liberă;L este liberă

⇐⇒ [∀v ∈ L⇒ v ∉ Span(L ∖ {v})];L = {v1, ..., vp} m. finită este liberă⇐⇒ [a1v1 + ... + apvp = 0⇒ a1 = 0, a2 = 0, ..., ap = 0]

Observaţii:

Dacă L liberă ⇒ 0V ∉ L;Dacă L = {v}, v ≠ 0v (un singur element)⇒ L liberă;L este liberă ⇐⇒ [∀v ∈ L⇒ v ∉ Span(L ∖ {v})];

L = {v1, ..., vp} m. finită este liberă⇐⇒ [a1v1 + ... + apvp = 0⇒ a1 = 0, a2 = 0, ..., ap = 0]

Observaţii:

Dacă L liberă ⇒ 0V ∉ L;Dacă L = {v}, v ≠ 0v (un singur element)⇒ L liberă;L este liberă ⇐⇒ [∀v ∈ L⇒ v ∉ Span(L ∖ {v})];L = {v1, ..., vp}

m. finită este liberă⇐⇒ [a1v1 + ... + apvp = 0⇒ a1 = 0, a2 = 0, ..., ap = 0]

Observaţii:

Dacă L liberă ⇒ 0V ∉ L;Dacă L = {v}, v ≠ 0v (un singur element)⇒ L liberă;L este liberă ⇐⇒ [∀v ∈ L⇒ v ∉ Span(L ∖ {v})];L = {v1, ..., vp} m. finită

este liberă⇐⇒ [a1v1 + ... + apvp = 0⇒ a1 = 0, a2 = 0, ..., ap = 0]

Observaţii:

Dacă L liberă ⇒ 0V ∉ L;Dacă L = {v}, v ≠ 0v (un singur element)⇒ L liberă;L este liberă ⇐⇒ [∀v ∈ L⇒ v ∉ Span(L ∖ {v})];L = {v1, ..., vp} m. finită este liberă

⇐⇒ [a1v1 + ... + apvp = 0⇒ a1 = 0, a2 = 0, ..., ap = 0]

Observaţii:

Dacă L liberă ⇒ 0V ∉ L;Dacă L = {v}, v ≠ 0v (un singur element)⇒ L liberă;L este liberă ⇐⇒ [∀v ∈ L⇒ v ∉ Span(L ∖ {v})];L = {v1, ..., vp} m. finită este liberă⇐⇒ [a1v1 + ... + apvp = 0⇒

a1 = 0, a2 = 0, ..., ap = 0]

Observaţii:

Dacă L liberă ⇒ 0V ∉ L;Dacă L = {v}, v ≠ 0v (un singur element)⇒ L liberă;L este liberă ⇐⇒ [∀v ∈ L⇒ v ∉ Span(L ∖ {v})];L = {v1, ..., vp} m. finită este liberă⇐⇒ [a1v1 + ... + apvp = 0⇒ a1 = 0, a2 = 0, ..., ap = 0]

Observaţii:

Dacă L liberă ⇒ 0V ∉ L;Dacă L = {v}, v ≠ 0v (un singur element)⇒ L liberă;L este liberă ⇐⇒ [∀v ∈ L⇒ v ∉ Span(L ∖ {v})];L = {v1, ..., vp} m. finită este liberă⇐⇒ [a1v1 + ... + apvp = 0⇒ a1 = 0, a2 = 0, ..., ap = 0]

Definiţia 10.3

(Bază)

O mulţime de vectori B ⊂ V se numeşte bază a lui V dacă:B este liberă;

Span(B) = V (adică, B generează tot spaţiul V).

Thm 10.4 (de caracterizare a bazei)

Mulţimea B = {ei}i∈I este o bază a spaţiului vectorial KV ⇐⇒[∀v ∈ V , v ≠ 0V există şi sunt unici un nr. finit de vectoriei1 , ei2 , ..., ein ∈ B, există şi sunt unici scalarii ai1 , ..., ain ∈ K∗astfel ı̂ncât v = ai1ei1 + ai2ei2 + ... + ainein ].

Definiţia 10.3 (Bază)

O mulţime de vectori B ⊂ V se numeşte bază a lui V dacă:B este liberă;

Span(B) = V (adică, B generează tot spaţiul V).

Thm 10.4 (de caracterizare a bazei)

Mulţimea B = {ei}i∈I este o bază a spaţiului vectorial KV ⇐⇒[∀v ∈ V , v ≠ 0V există şi sunt unici un nr. finit de vectoriei1 , ei2 , ..., ein ∈ B, există şi sunt unici scalarii ai1 , ..., ain ∈ K∗astfel ı̂ncât v = ai1ei1 + ai2ei2 + ... + ainein ].

Definiţia 10.3 (Bază)

O mulţime de vectori

B ⊂ V se numeşte bază a lui V dacă:B este liberă;

Span(B) = V (adică, B generează tot spaţiul V).

Thm 10.4 (de caracterizare a bazei)

Mulţimea B = {ei}i∈I este o bază a spaţiului vectorial KV ⇐⇒[∀v ∈ V , v ≠ 0V există şi sunt unici un nr. finit de vectoriei1 , ei2 , ..., ein ∈ B, există şi sunt unici scalarii ai1 , ..., ain ∈ K∗astfel ı̂ncât v = ai1ei1 + ai2ei2 + ... + ainein ].

Definiţia 10.3 (Bază)

O mulţime de vectori B ⊂ V

se numeşte bază a lui V dacă:

B este liberă;

Span(B) = V (adică, B generează tot spaţiul V).

Thm 10.4 (de caracterizare a bazei)

Mulţimea B = {ei}i∈I este o bază a spaţiului vectorial KV ⇐⇒[∀v ∈ V , v ≠ 0V există şi sunt unici un nr. finit de vectoriei1 , ei2 , ..., ein ∈ B, există şi sunt unici scalarii ai1 , ..., ain ∈ K∗astfel ı̂ncât v = ai1ei1 + ai2ei2 + ... + ainein ].

Definiţia 10.3 (Bază)

O mulţime de vectori B ⊂ V se numeşte bază a lui V

dacă:

B este liberă;

Span(B) = V (adică, B generează tot spaţiul V).

Thm 10.4 (de caracterizare a bazei)

Mulţimea B = {ei}i∈I este o bază a spaţiului vectorial KV ⇐⇒[∀v ∈ V , v ≠ 0V există şi sunt unici un nr. finit de vectoriei1 , ei2 , ..., ein ∈ B, există şi sunt unici scalarii ai1 , ..., ain ∈ K∗astfel ı̂ncât v = ai1ei1 + ai2ei2 + ... + ainein ].

Definiţia 10.3 (Bază)

O mulţime de vectori B ⊂ V se numeşte bază a lui V dacă:B este liberă;

Span(B) = V (adică, B generează tot spaţiul V).

Thm 10.4 (de caracterizare a bazei)

Mulţimea B = {ei}i∈I este o bază a spaţiului vectorial KV ⇐⇒[∀v ∈ V , v ≠ 0V există şi sunt unici un nr. finit de vectoriei1 , ei2 , ..., ein ∈ B, există şi sunt unici scalarii ai1 , ..., ain ∈ K∗astfel ı̂ncât v = ai1ei1 + ai2ei2 + ... + ainein ].

Definiţia 10.3 (Bază)

O mulţime de vectori B ⊂ V se numeşte bază a lui V dacă:B este liberă;

Span(B) = V

(adică, B generează tot spaţiul V).

Thm 10.4 (de caracterizare a bazei)

Mulţimea B = {ei}i∈I este o bază a spaţiului vectorial KV ⇐⇒[∀v ∈ V , v ≠ 0V există şi sunt unici un nr. finit de vectoriei1 , ei2 , ..., ein ∈ B, există şi sunt unici scalarii ai1 , ..., ain ∈ K∗astfel ı̂ncât v = ai1ei1 + ai2ei2 + ... + ainein ].

Definiţia 10.3 (Bază)

O mulţime de vectori B ⊂ V se numeşte bază a lui V dacă:B este liberă;

Span(B) = V (adică,

B generează tot spaţiul V).

Thm 10.4 (de caracterizare a bazei)

Mulţimea B = {ei}i∈I este o bază a spaţiului vectorial KV ⇐⇒[∀v ∈ V , v ≠ 0V există şi sunt unici un nr. finit de vectoriei1 , ei2 , ..., ein ∈ B, există şi sunt unici scalarii ai1 , ..., ain ∈ K∗astfel ı̂ncât v = ai1ei1 + ai2ei2 + ... + ainein ].

Definiţia 10.3 (Bază)

O mulţime de vectori B ⊂ V se numeşte bază a lui V dacă:B este liberă;

Span(B) = V (adică, B generează tot spaţiul V).

Thm 10.4 (de caracterizare a bazei)

Mulţimea B = {ei}i∈I este o bază a spaţiului vectorial KV ⇐⇒[∀v ∈ V , v ≠ 0V există şi sunt unici un nr. finit de vectoriei1 , ei2 , ..., ein ∈ B, există şi sunt unici scalarii ai1 , ..., ain ∈ K∗astfel ı̂ncât v = ai1ei1 + ai2ei2 + ... + ainein ].

Definiţia 10.3 (Bază)

O mulţime de vectori B ⊂ V se numeşte bază a lui V dacă:B este liberă;

Span(B) = V (adică, B generează tot spaţiul V).

Thm 10.4

(de caracterizare a bazei)

Mulţimea B = {ei}i∈I este o bază a spaţiului vectorial KV ⇐⇒[∀v ∈ V , v ≠ 0V există şi sunt unici un nr. finit de vectoriei1 , ei2 , ..., ein ∈ B, există şi sunt unici scalarii ai1 , ..., ain ∈ K∗astfel ı̂ncât v = ai1ei1 + ai2ei2 + ... + ainein ].

Definiţia 10.3 (Bază)

O mulţime de vectori B ⊂ V se numeşte bază a lui V dacă:B este liberă;

Span(B) = V (adică, B generează tot spaţiul V).

Thm 10.4 (de caracterizare a bazei)

Mulţimea B = {ei}i∈I este o bază a spaţiului vectorial KV ⇐⇒[∀v ∈ V , v ≠ 0V există şi sunt unici un nr. finit de vectoriei1 , ei2 , ..., ein ∈ B, există şi sunt unici scalarii ai1 , ..., ain ∈ K∗astfel ı̂ncât v = ai1ei1 + ai2ei2 + ... + ainein ].

Definiţia 10.3 (Bază)

O mulţime de vectori B ⊂ V se numeşte bază a lui V dacă:B este liberă;

Span(B) = V (adică, B generează tot spaţiul V).

Thm 10.4 (de caracterizare a bazei)

Mulţimea B = {ei}i∈I

este o bază a spaţiului vectorial KV ⇐⇒[∀v ∈ V , v ≠ 0V există şi sunt unici un nr. finit de vectoriei1 , ei2 , ..., ein ∈ B, există şi sunt unici scalarii ai1 , ..., ain ∈ K∗astfel ı̂ncât v = ai1ei1 + ai2ei2 + ... + ainein ].

Definiţia 10.3 (Bază)

O mulţime de vectori B ⊂ V se numeşte bază a lui V dacă:B este liberă;

Span(B) = V (adică, B generează tot spaţiul V).

Thm 10.4 (de caracterizare a bazei)

Mulţimea B = {ei}i∈I este o bază

a spaţiului vectorial KV ⇐⇒[∀v ∈ V , v ≠ 0V există şi sunt unici un nr. finit de vectoriei1 , ei2 , ..., ein ∈ B, există şi sunt unici scalarii ai1 , ..., ain ∈ K∗astfel ı̂ncât v = ai1ei1 + ai2ei2 + ... + ainein ].

Definiţia 10.3 (Bază)

O mulţime de vectori B ⊂ V se numeşte bază a lui V dacă:B este liberă;

Span(B) = V (adică, B generează tot spaţiul V).

Thm 10.4 (de caracterizare a bazei)

Mulţimea B = {ei}i∈I este o bază a spaţiului vectorial KV ⇐⇒

[∀v ∈ V , v ≠ 0V există şi sunt unici un nr. finit de vectoriei1 , ei2 , ..., ein ∈ B, există şi sunt unici scalarii ai1 , ..., ain ∈ K∗astfel ı̂ncât v = ai1ei1 + ai2ei2 + ... + ainein ].

Definiţia 10.3 (Bază)

O mulţime de vectori B ⊂ V se numeşte bază a lui V dacă:B este liberă;

Span(B) = V (adică, B generează tot spaţiul V).

Thm 10.4 (de caracterizare a bazei)

Mulţimea B = {ei}i∈I este o bază a spaţiului vectorial KV ⇐⇒[∀v ∈ V , v ≠ 0V

există şi sunt unici un nr. finit de vectoriei1 , ei2 , ..., ein ∈ B, există şi sunt unici scalarii ai1 , ..., ain ∈ K∗astfel ı̂ncât v = ai1ei1 + ai2ei2 + ... + ainein ].

Definiţia 10.3 (Bază)

O mulţime de vectori B ⊂ V se numeşte bază a lui V dacă:B este liberă;

Span(B) = V (adică, B generează tot spaţiul V).

Thm 10.4 (de caracterizare a bazei)

Mulţimea B = {ei}i∈I este o bază a spaţiului vectorial KV ⇐⇒[∀v ∈ V , v ≠ 0V există şi sunt unici

un nr. finit de vectoriei1 , ei2 , ..., ein ∈ B, există şi sunt unici scalarii ai1 , ..., ain ∈ K∗astfel ı̂ncât v = ai1ei1 + ai2ei2 + ... + ainein ].

Definiţia 10.3 (Bază)

O mulţime de vectori B ⊂ V se numeşte bază a lui V dacă:B este liberă;

Span(B) = V (adică, B generează tot spaţiul V).

Thm 10.4 (de caracterizare a bazei)

Mulţimea B = {ei}i∈I este o bază a spaţiului vectorial KV ⇐⇒[∀v ∈ V , v ≠ 0V există şi sunt unici un nr. finit de vectori

ei1 , ei2 , ..., ein ∈ B, există şi sunt unici scalarii ai1 , ..., ain ∈ K∗astfel ı̂ncât v = ai1ei1 + ai2ei2 + ... + ainein ].

Definiţia 10.3 (Bază)

O mulţime de vectori B ⊂ V se numeşte bază a lui V dacă:B este liberă;

Span(B) = V (adică, B generează tot spaţiul V).

Thm 10.4 (de caracterizare a bazei)

Mulţimea B = {ei}i∈I este o bază a spaţiului vectorial KV ⇐⇒[∀v ∈ V , v ≠ 0V există şi sunt unici un nr. finit de vectoriei1 , ei2 , ..., ein ∈ B,

există şi sunt unici scalarii ai1 , ..., ain ∈ K∗astfel ı̂ncât v = ai1ei1 + ai2ei2 + ... + ainein ].

Definiţia 10.3 (Bază)

O mulţime de vectori B ⊂ V se numeşte bază a lui V dacă:B este liberă;

Span(B) = V (adică, B generează tot spaţiul V).

Thm 10.4 (de caracterizare a bazei)

Mulţimea B = {ei}i∈I este o bază a spaţiului vectorial KV ⇐⇒[∀v ∈ V , v ≠ 0V există şi sunt unici un nr. finit de vectoriei1 , ei2 , ..., ein ∈ B, există şi sunt unici

scalarii ai1 , ..., ain ∈ K∗astfel ı̂ncât v = ai1ei1 + ai2ei2 + ... + ainein ].

Definiţia 10.3 (Bază)

O mulţime de vectori B ⊂ V se numeşte bază a lui V dacă:B este liberă;

Span(B) = V (adică, B generează tot spaţiul V).

Thm 10.4 (de caracterizare a bazei)

Mulţimea B = {ei}i∈I este o bază a spaţiului vectorial KV ⇐⇒[∀v ∈ V , v ≠ 0V există şi sunt unici un nr. finit de vectoriei1 , ei2 , ..., ein ∈ B, există şi sunt unici scalarii ai1 , ..., ain ∈ K∗

astfel ı̂ncât v = ai1ei1 + ai2ei2 + ... + ainein ].

Definiţia 10.3 (Bază)

O mulţime de vectori B ⊂ V se numeşte bază a lui V dacă:B este liberă;

Span(B) = V (adică, B generează tot spaţiul V).

Thm 10.4 (de caracterizare a bazei)

Mulţimea B = {ei}i∈I este o bază a spaţiului vectorial KV ⇐⇒[∀v ∈ V , v ≠ 0V există şi sunt unici un nr. finit de vectoriei1 , ei2 , ..., ein ∈ B, există şi sunt unici scalarii ai1 , ..., ain ∈ K∗astfel ı̂ncât

v = ai1ei1 + ai2ei2 + ... + ainein ].

Definiţia 10.3 (Bază)

O mulţime de vectori B ⊂ V se numeşte bază a lui V dacă:B este liberă;

Span(B) = V (adică, B generează tot spaţiul V).

Thm 10.4 (de caracterizare a bazei)

Mulţimea B = {ei}i∈I este o bază a spaţiului vectorial KV ⇐⇒[∀v ∈ V , v ≠ 0V există şi sunt unici un nr. finit de vectoriei1 , ei2 , ..., ein ∈ B, există şi sunt unici scalarii ai1 , ..., ain ∈ K∗astfel ı̂ncât v = ai1ei1 + ai2ei2 + ... + ainein ].

Thm 10.5

Dacă B = {e1, ..., en} ⊂ V este o bază a lui KV , cu n vectori,atunci orice bază a lui V are exact n vectori.

Definiţia 10.6 Dimensiunea spaţiului vectorial

În acest caz (adică: există o bază cu n elemente ı̂n V ) spunem căspaţiul KV are dimensiunea n, notăm

dimK V = n.

Observaţii:

Definiţia şi teorema anterioară sunt valabile şi ı̂n caz infinit;

Vom lucra a seminar, de obicei, cu spaţii vectoriale dedimensiune finită;

În cazul finit: dimK V = numărul de elemente al unei baze=numărul maxim de vectori liniari independenţi din KV=numărul minim de generatori ai lui KV .

Thm 10.5

Dacă B = {e1, ..., en} ⊂ V

este o bază a lui KV , cu n vectori,atunci orice bază a lui V are exact n vectori.

Definiţia 10.6 Dimensiunea spaţiului vectorial

În acest caz (adică: există o bază cu n elemente ı̂n V ) spunem căspaţiul KV are dimensiunea n, notăm

dimK V = n.

Observaţii:

Definiţia şi teorema anterioară sunt valabile şi ı̂n caz infinit;

Vom lucra a seminar, de obicei, cu spaţii vectoriale dedimensiune finită;

În cazul finit: dimK V = numărul de elemente al unei baze=numărul maxim de vectori liniari independenţi din KV=numărul minim de generatori ai lui KV .

Thm 10.5

Dacă B = {e1, ..., en} ⊂ V este o bază a lui KV ,

cu n vectori,atunci orice bază a lui V are exact n vectori.

Definiţia 10.6 Dimensiunea spaţiului vectorial

În acest caz (adică: există o bază cu n elemente ı̂n V ) spunem căspaţiul KV are dimensiunea n, notăm

dimK V = n.

Observaţii:

Definiţia şi teorema anterioară sunt valabile şi ı̂n caz infinit;

Vom lucra a seminar, de obicei, cu spaţii vectoriale dedimensiune finită;

În cazul finit: dimK V = numărul de elemente al unei baze=numărul maxim de vectori liniari independenţi din KV=numărul minim de generatori ai lui KV .

Thm 10.5

Dacă B = {e1, ..., en} ⊂ V este o bază a lui KV , cu n vectori,

atunci orice bază a lui V are exact n vectori.

Definiţia 10.6 Dimensiunea spaţiului vectorial

În acest caz (adică: există o bază cu n elemente ı̂n V ) spunem căspaţiul KV are dimensiunea n, notăm

dimK V = n.

Observaţii:

Definiţia şi teorema anterioară sunt valabile şi ı̂n caz infinit;

Vom lucra a seminar, de obicei, cu spaţii vectoriale dedimensiune finită;

În cazul finit: dimK V = numărul de elemente al unei baze=numărul maxim de vectori liniari independenţi din KV=numărul minim de generatori ai lui KV .

Thm 10.5

Dacă B = {e1, ..., en} ⊂ V este o bază a lui KV , cu n vectori,atunci orice bază a lui V

are exact n vectori.

Definiţia 10.6 Dimensiunea spaţiului vectorial

În acest caz (adică: există o bază cu n elemente ı̂n V ) spunem căspaţiul KV are dimensiunea n, notăm

dimK V = n.

Observaţii:

Definiţia şi teorema anterioară sunt valabile şi ı̂n caz infinit;

Vom lucra a seminar, de obicei, cu spaţii vectoriale dedimensiune finită;

În cazul finit: dimK V = numărul de elemente al unei baze=numărul maxim de vectori liniari independenţi din KV=numărul minim de generatori ai lui KV .

Thm 10.5

Dacă B = {e1, ..., en} ⊂ V este o bază a lui KV , cu n vectori,atunci orice bază a lui V are exact n vectori.

Definiţia 10.6 Dimensiunea spaţiului vectorial

În acest caz (adică: există o bază cu n elemente ı̂n V ) spunem căspaţiul KV are dimensiunea n, notăm

dimK V = n.

Observaţii:

Definiţia şi teorema anterioară sunt valabile şi ı̂n caz infinit;

Vom lucra a seminar, de obicei, cu spaţii vectoriale dedimensiune finită;

În cazul finit: dimK V = numărul de elemente al unei baze=numărul maxim de vectori liniari independenţi din KV=numărul minim de generatori ai lui KV .

Thm 10.5

Dacă B = {e1, ..., en} ⊂ V este o bază a lui KV , cu n vectori,atunci orice bază a lui V are exact n vectori.

Definiţia 10.6

Dimensiunea spaţiului vectorial

În acest caz (adică: există o bază cu n elemente ı̂n V ) spunem căspaţiul KV are dimensiunea n, notăm

dimK V = n.

Observaţii:

Definiţia şi teorema anterioară sunt valabile şi ı̂n caz infinit;

Vom lucra a seminar, de obicei, cu spaţii vectoriale dedimensiune finită;

În cazul finit: dimK V = numărul de elemente al unei baze=numărul maxim de vectori liniari independenţi din KV=numărul minim de generatori ai lui KV .

Thm 10.5

Dacă B = {e1, ..., en} ⊂ V este o bază a lui KV , cu n vectori,atunci orice bază a lui V are exact n vectori.

Definiţia 10.6 Dimensiunea spaţiului vectorial

În acest caz (adică: există o bază cu n elemente ı̂n V ) spunem căspaţiul KV are dimensiunea n, notăm

dimK V = n.

Observaţii:

Definiţia şi teorema anterioară sunt valabile şi ı̂n caz infinit;

Vom lucra a seminar, de obicei, cu spaţii vectoriale dedimensiune finită;

În cazul finit: dimK V = numărul de elemente al unei baze=numărul maxim de vectori liniari independenţi din KV=numărul minim de generatori ai lui KV .

Thm 10.5

Dacă B = {e1, ..., en} ⊂ V este o bază a lui KV , cu n vectori,atunci orice bază a lui V are exact n vectori.

Definiţia 10.6 Dimensiunea spaţiului vectorial

În acest caz

(adică: există o bază cu n elemente ı̂n V ) spunem căspaţiul KV are dimensiunea n, notăm

dimK V = n.

Observaţii:

Definiţia şi teorema anterioară sunt valabile şi ı̂n caz infinit;

Vom lucra a seminar, de obicei, cu spaţii vectoriale dedimensiune finită;

În cazul finit: dimK V = numărul de elemente al unei baze=numărul maxim de vectori liniari independenţi din KV=numărul minim de generatori ai lui KV .

Thm 10.5

Dacă B = {e1, ..., en} ⊂ V este o bază a lui KV , cu n vectori,atunci orice bază a lui V are exact n vectori.

Definiţia 10.6 Dimensiunea spaţiului vectorial

În acest caz (adică:

există o bază cu n elemente ı̂n V ) spunem căspaţiul KV are dimensiunea n, notăm

dimK V = n.

Observaţii:

Definiţia şi teorema anterioară sunt valabile şi ı̂n caz infinit;

Vom lucra a seminar, de obicei, cu spaţii vectoriale dedimensiune finită;

În cazul finit: dimK V = numărul de elemente al unei baze=numărul maxim de vectori liniari independenţi din KV=numărul minim de generatori ai lui KV .

Thm 10.5

Dacă B = {e1, ..., en} ⊂ V este o bază a lui KV , cu n vectori,atunci orice bază a lui V are exact n vectori.

Definiţia 10.6 Dimensiunea spaţiului vectorial

În acest caz (adică: există o bază cu n elemente ı̂n V )

spunem căspaţiul KV are dimensiunea n, notăm

dimK V = n.

Observaţii:

Definiţia şi teorema anterioară sunt valabile şi ı̂n caz infinit;

Vom lucra a seminar, de obicei, cu spaţii vectoriale dedimensiune finită;

În cazul finit: dimK V = numărul de elemente al unei baze=numărul maxim de vectori liniari independenţi din KV=numărul minim de generatori ai lui KV .

Thm 10.5

Dacă B = {e1, ..., en} ⊂ V este o bază a lui KV , cu n vectori,atunci orice bază a lui V are exact n vectori.

Definiţia 10.6 Dimensiunea spaţiului vectorial

În acest caz (adică: există o bază cu n elemente ı̂n V ) spunem căspaţiul KV

are dimensiunea n, notăm

dimK V = n.

Observaţii:

Definiţia şi teorema anterioară sunt valabile şi ı̂n caz infinit;

Vom lucra a seminar, de obicei, cu spaţii vectoriale dedimensiune finită;

În cazul finit: dimK V = numărul de elemente al unei baze=numărul maxim de vectori liniari independenţi din KV=numărul minim de generatori ai lui KV .

Thm 10.5

Dacă B = {e1, ..., en} ⊂ V este o bază a lui KV , cu n vectori,atunci orice bază a lui V are exact n vectori.

Definiţia 10.6 Dimensiunea spaţiului vectorial

În acest caz (adică: există o bază cu n elemente ı̂n V ) spunem căspaţiul KV are dimensiunea n,

notăm

dimK V = n.

Observaţii:

Definiţia şi teorema anterioară sunt valabile şi ı̂n caz infinit;

Vom lucra a seminar, de obicei, cu spaţii vectoriale dedimensiune finită;

În cazul finit: dimK V = numărul de elemente al unei baze=numărul maxim de vectori liniari independenţi din KV=numărul minim de generatori ai lui KV .

Thm 10.5

Dacă B = {e1, ..., en} ⊂ V este o bază a lui KV , cu n vectori,atunci orice bază a lui V are exact n vectori.

Definiţia 10.6 Dimensiunea spaţiului vectorial

În acest caz (adică: există o bază cu n elemente ı̂n V ) spunem căspaţiul KV are dimensiunea n, notăm

dimK V = n.

Observaţii:

Definiţia şi teorema anterioară sunt valabile şi ı̂n caz infinit;

Vom lucra a seminar, de obicei, cu spaţii vectoriale dedimensiune finită;

În cazul finit: dimK V = numărul de elemente al unei baze=numărul maxim de vectori liniari independenţi din KV=numărul minim de generatori ai lui KV .

Thm 10.5

Dacă B = {e1, ..., en} ⊂ V este o bază a lui KV , cu n vectori,atunci orice bază a lui V are exact n vectori.

Definiţia 10.6 Dimensiunea spaţiului vectorial

În acest caz (adică: există o bază cu n elemente ı̂n V ) spunem căspaţiul KV are dimensiunea n, notăm

dimK V = n.

Observaţii:

Definiţia şi teorema anterioară sunt valabile şi ı̂n caz infinit;

Vom lucra a seminar, de obicei, cu spaţii vectoriale dedimensiune finită;

În cazul finit: dimK V = numărul de elemente al unei baze=numărul maxim de vectori liniari independenţi din KV=numărul minim de generatori ai lui KV .

Thm 10.5

Dacă B = {e1, ..., en} ⊂ V este o bază a lui KV , cu n vectori,atunci orice bază a lui V are exact n vectori.

Definiţia 10.6 Dimensiunea spaţiului vectorial

În acest caz (adică: există o bază cu n elemente ı̂n V ) spunem căspaţiul KV are dimensiunea n, notăm

dimK V = n.

Observaţii:

Definiţia şi teorema anterioară

sunt valabile şi ı̂n caz infinit;

Vom lucra a seminar, de obicei, cu spaţii vectoriale dedimensiune finită;

În cazul finit: dimK V = numărul de elemente al unei baze=numărul maxim de vectori liniari independenţi din KV=numărul minim de generatori ai lui KV .

Thm 10.5

Dacă B = {e1, ..., en} ⊂ V este o bază a lui KV , cu n vectori,atunci orice bază a lui V are exact n vectori.

Definiţia 10.6 Dimensiunea spaţiului vectorial

În acest caz (adică: există o bază cu n elemente ı̂n V ) spunem căspaţiul KV are dimensiunea n, notăm

dimK V = n.

Observaţii:

Definiţia şi teorema anterioară sunt valabile şi ı̂n caz infinit;

Vom lucra a seminar, de obicei, cu spaţii vectoriale dedimensiune finită;

În cazul finit: dimK V = numărul de elemente al unei baze=numărul maxim de vectori liniari independenţi din KV=numărul minim de generatori ai lui KV .

Thm 10.5

Dacă B = {e1, ..., en} ⊂ V este o bază a lui KV , cu n vectori,atunci orice bază a lui V are exact n vectori.

Definiţia 10.6 Dimensiunea spaţiului vectorial

În acest caz (adică: există o bază cu n elemente ı̂n V ) spunem căspaţiul KV are dimensiunea n, notăm

dimK V = n.

Observaţii:

Definiţia şi teorema anterioară sunt valabile şi ı̂n caz infinit;

Vom lucra a seminar,

de obicei, cu spaţii vectoriale dedimensiune finită;

În cazul finit: dimK V = numărul de elemente al unei baze=numărul maxim de vectori liniari independenţi din KV=numărul minim de generatori ai lui KV .

Thm 10.5

Dacă B = {e1, ..., en} ⊂ V este o bază a lui KV , cu n vectori,atunci orice bază a lui V are exact n vectori.

Definiţia 10.6 Dimensiunea spaţiului vectorial

În acest caz (adică: există o bază cu n elemente ı̂n V ) spunem căspaţiul KV are dimensiunea n, notăm

dimK V = n.

Observaţii:

Definiţia şi teorema anterioară sunt valabile şi ı̂n caz infinit;

Vom lucra a seminar, de obicei, cu spaţii vectoriale dedimensiune finită;

În cazul finit: dimK V = numărul de elemente al unei baze=numărul maxim de vectori liniari independenţi din KV=numărul minim de generatori ai lui KV .

Thm 10.5

Dacă B = {e1, ..., en} ⊂ V este o bază a lui KV , cu n vectori,atunci orice bază a lui V are exact n vectori.

Definiţia 10.6 Dimensiunea spaţiului vectorial

În acest caz (adică: există o bază cu n elemente ı̂n V ) spunem căspaţiul KV are dimensiunea n, notăm

dimK V = n.

Observaţii:

Definiţia şi teorema anterioară sunt valabile şi ı̂n caz infinit;

Vom lucra a seminar, de obicei, cu spaţii vectoriale dedimensiune finită;

În cazul finit:

dimK V = numărul de elemente al unei baze=numărul maxim de vectori liniari independenţi din KV=numărul minim de generatori ai lui KV .

Thm 10.5

Dacă B = {e1, ..., en} ⊂ V este o bază a lui KV , cu n vectori,atunci orice bază a lui V are exact n vectori.

Definiţia 10.6 Dimensiunea spaţiului vectorial

În acest caz (adică: există o bază cu n elemente ı̂n V ) spunem căspaţiul KV are dimensiunea n, notăm

dimK V = n.

Observaţii:

Definiţia şi teorema anterioară sunt valabile şi ı̂n caz infinit;

Vom lucra a seminar, de obicei, cu spaţii vectoriale dedimensiune finită;

În cazul finit: dimK V = numărul de elemente al unei baze=

numărul maxim de vectori liniari independenţi din KV=numărul minim de generatori ai lui KV .

Thm 10.5

Dacă B = {e1, ..., en} ⊂ V este o bază a lui KV , cu n vectori,atunci orice bază a lui V are exact n vectori.

Definiţia 10.6 Dimensiunea spaţiului vectorial

În acest caz (adică: există o bază cu n elemente ı̂n V ) spunem căspaţiul KV are dimensiunea n, notăm

dimK V = n.

Observaţii:

Definiţia şi teorema anterioară sunt valabile şi ı̂n caz infinit;

Vom lucra a seminar, de obicei, cu spaţii vectoriale dedimensiune finită;

În cazul finit: dimK V = numărul de elemente al unei baze=numărul maxim de vectori liniari independenţi din KV=

numărul minim de generatori ai lui KV .

Thm 10.5

Dacă B = {e1, ..., en} ⊂ V este o bază a lui KV , cu n vectori,atunci orice bază a lui V are exact n vectori.

Definiţia 10.6 Dimensiunea spaţiului vectorial

În acest caz (adică: există o bază cu n elemente ı̂n V ) spunem căspaţiul KV are dimensiunea n, notăm

dimK V = n.

Observaţii:

Definiţia şi teorema anterioară sunt valabile şi ı̂n caz infinit;

Vom lucra a seminar, de obicei, cu spaţii vectoriale dedimensiune finită;

În cazul finit: dimK V = numărul de elemente al unei baze=numărul maxim de vectori liniari independenţi din KV=numărul minim de generatori ai lui KV .

Exemple

a) RÐ→R 3, e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1),

B = {e1, e2, e3}⇒ dimRR3 = 3; e1 =Ð→i , e2 =

Ð→j , e3 =

Ð→k .

b) RRn, e1 = (1,0, ...,0), e2 = (0,1, ...,0), ...en = (0,0, ...1)B = {e1, ...en} s.n. baza canonică ⇒ dimRRn = n.

Thm.10.7 (de completare la o bază)

Într-un spaţiu vectorial KV orice submulţime liberă poate ficompletată la o bază a spaţiului.Corolar: Orice spaţiu vectorial admite cel puţin o bază.

Exemple

a) RÐ→R 3,

e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1),B = {e1, e2, e3}⇒ dimRR3 = 3; e1 =

Ð→i , e2 =

Ð→j , e3 =

Ð→k .

b) RRn, e1 = (1,0, ...,0), e2 = (0,1, ...,0), ...en = (0,0, ...1)B = {e1, ...en} s.n. baza canonică ⇒ dimRRn = n.

Thm.10.7 (de completare la o bază)

Într-un spaţiu vectorial KV orice submulţime liberă poate ficompletată la o bază a spaţiului.Corolar: Orice spaţiu vectorial admite cel puţin o bază.

Exemple

a) RÐ→R 3, e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1),

B = {e1, e2, e3}⇒ dimRR3 = 3; e1 =Ð→i , e2 =

Ð→j , e3 =

Ð→k .

b) RRn, e1 = (1,0, ...,0), e2 = (0,1, ...,0), ...en = (0,0, ...1)B = {e1, ...en} s.n. baza canonică ⇒ dimRRn = n.

Thm.10.7 (de completare la o bază)

Într-un spaţiu vectorial KV orice submulţime liberă poate ficompletată la o bază a spaţiului.Corolar: Orice spaţiu vectorial admite cel puţin o bază.

Exemple

a) RÐ→R 3, e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1),

B = {e1, e2, e3}

⇒ dimRR3 = 3; e1 =Ð→i , e2 =

Ð→j , e3 =

Ð→k .

b) RRn, e1 = (1,0, ...,0), e2 = (0,1, ...,0), ...en = (0,0, ...1)B = {e1, ...en} s.n. baza canonică ⇒ dimRRn = n.

Thm.10.7 (de completare la o bază)

Într-un spaţiu vectorial KV orice submulţime liberă poate ficompletată la o bază a spaţiului.Corolar: Orice spaţiu vectorial admite cel puţin o bază.

Exemple

a) RÐ→R 3, e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1),

B = {e1, e2, e3}⇒ dimRR3 = 3;

e1 =Ð→i , e2 =

Ð→j , e3 =

Ð→k .

b) RRn, e1 = (1,0, ...,0), e2 = (0,1, ...,0), ...en = (0,0, ...1)B = {e1, ...en} s.n. baza canonică ⇒ dimRRn = n.

Thm.10.7 (de completare la o bază)

Într-un spaţiu vectorial KV orice submulţime liberă poate ficompletată la o bază a spaţiului.Corolar: Orice spaţiu vectorial admite cel puţin o bază.

Exemple

a) RÐ→R 3, e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1),

B = {e1, e2, e3}⇒ dimRR3 = 3; e1 =Ð→i , e2 =

Ð→j , e3 =

Ð→k .

b) RRn, e1 = (1,0, ...,0), e2 = (0,1, ...,0), ...en = (0,0, ...1)B = {e1, ...en} s.n. baza canonică ⇒ dimRRn = n.

Thm.10.7 (de completare la o bază)

Într-un spaţiu vectorial KV orice submulţime liberă poate ficompletată la o bază a spaţiului.Corolar: Orice spaţiu vectorial admite cel puţin o bază.

Exemple

a) RÐ→R 3, e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1),

B = {e1, e2, e3}⇒ dimRR3 = 3; e1 =Ð→i , e2 =

Ð→j , e3 =

Ð→k .

b) RRn,

e1 = (1,0, ...,0), e2 = (0,1, ...,0), ...en = (0,0, ...1)B = {e1, ...en} s.n. baza canonică ⇒ dimRRn = n.

Thm.10.7 (de completare la o bază)

Într-un spaţiu vectorial KV orice submulţime liberă poate ficompletată la o bază a spaţiului.Corolar: Orice spaţiu vectorial admite cel puţin o bază.

Exemple

a) RÐ→R 3, e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1),

B = {e1, e2, e3}⇒ dimRR3 = 3; e1 =Ð→i , e2 =

Ð→j , e3 =

Ð→k .

b) RRn, e1 = (1,0, ...,0), e2 = (0,1, ...,0), ...en = (0,0, ...1)

B = {e1, ...en} s.n. baza canonică ⇒ dimRRn = n.

Thm.10.7 (de completare la o bază)

Într-un spaţiu vectorial KV orice submulţime liberă poate ficompletată la o bază a spaţiului.Corolar: Orice spaţiu vectorial admite cel puţin o bază.

Exemple

a) RÐ→R 3, e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1),

B = {e1, e2, e3}⇒ dimRR3 = 3; e1 =Ð→i , e2 =

Ð→j , e3 =

Ð→k .

b) RRn, e1 = (1,0, ...,0), e2 = (0,1, ...,0), ...en = (0,0, ...1)B = {e1, ...en}

s.n. baza canonică ⇒ dimRRn = n.

Thm.10.7 (de completare la o bază)

Într-un spaţiu vectorial KV orice submulţime liberă poate ficompletată la o bază a spaţiului.Corolar: Orice spaţiu vectorial admite cel puţin o bază.

Exemple

a) RÐ→R 3, e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1),

B = {e1, e2, e3}⇒ dimRR3 = 3; e1 =Ð→i , e2 =

Ð→j , e3 =

Ð→k .

b) RRn, e1 = (1,0, ...,0), e2 = (0,1, ...,0), ...en = (0,0, ...1)B = {e1, ...en} s.n. baza canonică ⇒

dimRRn = n.

Thm.10.7 (de completare la o bază)

Într-un spaţiu vectorial KV orice submulţime liberă poate ficompletată la o bază a spaţiului.Corolar: Orice spaţiu vectorial admite cel puţin o bază.

Exemple

a) RÐ→R 3, e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1),

B = {e1, e2, e3}⇒ dimRR3 = 3; e1 =Ð→i , e2 =

Ð→j , e3 =

Ð→k .

b) RRn, e1 = (1,0, ...,0), e2 = (0,1, ...,0), ...en = (0,0, ...1)B = {e1, ...en} s.n. baza canonică ⇒ dimRRn = n.

Thm.10.7 (de completare la o bază)

Într-un spaţiu vectorial KV orice submulţime liberă poate ficompletată la o bază a spaţiului.Corolar: Orice spaţiu vectorial admite cel puţin o bază.

Exemple

a) RÐ→R 3, e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1),

B = {e1, e2, e3}⇒ dimRR3 = 3; e1 =Ð→i , e2 =

Ð→j , e3 =

Ð→k .

b) RRn, e1 = (1,0, ...,0), e2 = (0,1, ...,0), ...en = (0,0, ...1)B = {e1, ...en} s.n. baza canonică ⇒ dimRRn = n.

Thm.10.7

(de completare la o bază)

Într-un spaţiu vectorial KV orice submulţime liberă poate ficompletată la o bază a spaţiului.Corolar: Orice spaţiu vectorial admite cel puţin o bază.

Exemple

a) RÐ→R 3, e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1),

B = {e1, e2, e3}⇒ dimRR3 = 3; e1 =Ð→i , e2 =

Ð→j , e3 =

Ð→k .

b) RRn, e1 = (1,0, ...,0), e2 = (0,1, ...,0), ...en = (0,0, ...1)B = {e1, ...en} s.n. baza canonică ⇒ dimRRn = n.

Thm.10.7 (de completare la o bază)

Într-un spaţiu vectorial KV orice submulţime liberă poate ficompletată la o bază a spaţiului.Corolar: Orice spaţiu vectorial admite cel puţin o bază.

Exemple

a) RÐ→R 3, e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1),

B = {e1, e2, e3}⇒ dimRR3 = 3; e1 =Ð→i , e2 =

Ð→j , e3 =

Ð→k .

b) RRn, e1 = (1,0, ...,0), e2 = (0,1, ...,0), ...en = (0,0, ...1)B = {e1, ...en} s.n. baza canonică ⇒ dimRRn = n.

Thm.10.7 (de completare la o bază)

Într-un spaţiu vectorial

KV orice submulţime liberă poate ficompletată la o bază a spaţiului.Corolar: Orice spaţiu vectorial admite cel puţin o bază.

Exemple

a) RÐ→R 3, e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1),

B = {e1, e2, e3}⇒ dimRR3 = 3; e1 =Ð→i , e2 =

Ð→j , e3 =

Ð→k .

b) RRn, e1 = (1,0, ...,0), e2 = (0,1, ...,0), ...en = (0,0, ...1)B = {e1, ...en} s.n. baza canonică ⇒ dimRRn = n.

Thm.10.7 (de completare la o bază)

Într-un spaţiu vectorial KV orice submulţime liberă poate ficompletată

la o bază a spaţiului.Corolar: Orice spaţiu vectorial admite cel puţin o bază.

Exemple

a) RÐ→R 3, e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1),

B = {e1, e2, e3}⇒ dimRR3 = 3; e1 =Ð→i , e2 =

Ð→j , e3 =

Ð→k .

b) RRn, e1 = (1,0, ...,0), e2 = (0,1, ...,0), ...en = (0,0, ...1)B = {e1, ...en} s.n. baza canonică ⇒ dimRRn = n.

Thm.10.7 (de completare la o bază)

Într-un spaţiu vectorial KV orice submulţime liberă poate ficompletată la o bază a spaţiului.

Corolar: Orice spaţiu vectorial admite cel puţin o bază.

Exemple

a) RÐ→R 3, e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1),

B = {e1, e2, e3}⇒ dimRR3 = 3; e1 =Ð→i , e2 =

Ð→j , e3 =

Ð→k .

b) RRn, e1 = (1,0, ...,0), e2 = (0,1, ...,0), ...en = (0,0, ...1)B = {e1, ...en} s.n. baza canonică ⇒ dimRRn = n.

Thm.10.7 (de completare la o bază)

Într-un spaţiu vectorial KV orice submulţime liberă poate ficompletată la o bază a spaţiului.Corolar:

Orice spaţiu vectorial admite cel puţin o bază.

Exemple

a) RÐ→R 3, e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1),

B = {e1, e2, e3}⇒ dimRR3 = 3; e1 =Ð→i , e2 =

Ð→j , e3 =

Ð→k .

b) RRn, e1 = (1,0, ...,0), e2 = (0,1, ...,0), ...en = (0,0, ...1)B = {e1, ...en} s.n. baza canonică ⇒ dimRRn = n.

Thm.10.7 (de completare la o bază)

Într-un spaţiu vectorial KV orice submulţime liberă poate ficompletată la o bază a spaţiului.Corolar: Orice spaţiu vectorial

admite cel puţin o bază.

Exemple

a) RÐ→R 3, e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1),

B = {e1, e2, e3}⇒ dimRR3 = 3; e1 =Ð→i , e2 =

Ð→j , e3 =

Ð→k .

b) RRn, e1 = (1,0, ...,0), e2 = (0,1, ...,0), ...en = (0,0, ...1)B = {e1, ...en} s.n. baza canonică ⇒ dimRRn = n.

Thm.10.7 (de completare la o bază)

Într-un spaţiu vectorial KV orice submulţime liberă poate ficompletată la o bază a spaţiului.Corolar: Orice spaţiu vectorial admite cel puţin o bază.

Exemple

a) RÐ→R 3, e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1),

B = {e1, e2, e3}⇒ dimRR3 = 3; e1 =Ð→i , e2 =

Ð→j , e3 =

Ð→k .

b) RRn, e1 = (1,0, ...,0), e2 = (0,1, ...,0), ...en = (0,0, ...1)B = {e1, ...en} s.n. baza canonică ⇒ dimRRn = n.

Thm.10.7 (de completare la o bază)

Într-un spaţiu vectorial KV orice submulţime liberă poate ficompletată la o bază a spaţiului.Corolar: Orice spaţiu vectorial admite cel puţin o bază.

Thm*

(dimensiunea spaţiului generat de m vectoriı̂ntr-un spaţiu de dimensiune n)

Fie KV spaţiu vectorial cu dimK V = n şi B = {e1, e2, ..., en} obază. Dacă e′1, e

′2, ..., e

′m sunt m vectori ı̂n V astfel ı̂ncât

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

e′1e′2⋮e′m

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

= A ⋅

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

e1e2⋮en

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

,

deci A ∈Mm,n(K) atunci

dimK(Span{e′1, e′2, ...e′m}) = rangA.

Thm* (dimensiunea spaţiului generat de m vectori

ı̂ntr-un spaţiu de dimensiune n)

Fie KV spaţiu vectorial cu dimK V = n şi B = {e1, e2, ..., en} obază. Dacă e′1, e

′2, ..., e

′m sunt m vectori ı̂n V astfel ı̂ncât

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

e′1e′2⋮e′m

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

= A ⋅

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

e1e2⋮en

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

,

deci A ∈Mm,n(K) atunci

dimK(Span{e′1, e′2, ...e′m}) = rangA.

Thm* (dimensiunea spaţiului generat de m vectoriı̂ntr-un spaţiu de dimensiune n)

Fie KV spaţiu vectorial cu dimK V = n şi B = {e1, e2, ..., en} obază. Dacă e′1, e

′2, ..., e

′m sunt m vectori ı̂n V astfel ı̂ncât

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

e′1e′2⋮e′m

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

= A ⋅

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

e1e2⋮en

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

,

deci A ∈Mm,n(K) atunci

dimK(Span{e′1, e′2, ...e′m}) = rangA.

Thm* (dimensiunea spaţiului generat de m vectoriı̂ntr-un spaţiu de dimensiune n)

Fie KV spaţiu vectorial

cu dimK V = n şi B = {e1, e2, ..., en} obază. Dacă e′1, e

′2, ..., e

′m sunt m vectori ı̂n V astfel ı̂ncât

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

e′1e′2⋮e′m

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

= A ⋅

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

e1e2⋮en

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

,

deci A ∈Mm,n(K) atunci

dimK(Span{e′1, e′2, ...e′m}) = rangA.

Thm* (dimensiunea spaţiului generat de m vectoriı̂ntr-un spaţiu de dimensiune n)

Fie KV spaţiu vectorial cu dimK V = n şi B = {e1, e2, ..., en} obază.

Dacă e′1, e′2, ..., e

′m sunt m vectori ı̂n V astfel ı̂ncât

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

e′1e′2⋮e′m

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

= A ⋅

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

e1e2⋮en

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

,

deci A ∈Mm,n(K) atunci

dimK(Span{e′1, e′2, ...e′m}) = rangA.

Thm* (dimensiunea spaţiului generat de m vectoriı̂ntr-un spaţiu de dimensiune n)

Fie KV spaţiu vectorial cu dimK V = n şi B = {e1, e2, ..., en} obază. Dacă e′1, e

′2, ..., e

′m sunt m vectori ı̂n V

astfel ı̂ncât

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

e′1e′2⋮e′m

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

= A ⋅

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

e1e2⋮en

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

,

deci A ∈Mm,n(K) atunci

dimK(Span{e′1, e′2, ...e′m}) = rangA.

Thm* (dimensiunea spaţiului generat de m vectoriı̂ntr-un spaţiu de dimensiune n)

Fie KV spaţiu vectorial cu dimK V = n şi B = {e1, e2, ..., en} obază. Dacă e′1, e

′2, ..., e

′m sunt m vectori ı̂n V astfel ı̂ncât

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

e′1e′2⋮e′m

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

= A ⋅

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

e1e2⋮en

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

,

deci A ∈Mm,n(K) atunci

dimK(Span{e′1, e′2, ...e′m}) = rangA.

Thm* (dimensiunea spaţiului generat de m vectoriı̂ntr-un spaţiu de dimensiune n)

Fie KV spaţiu vectorial cu dimK V = n şi B = {e1, e2, ..., en} obază. Dacă e′1, e

′2, ..., e

′m sunt m vectori ı̂n V astfel ı̂ncât

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

e′1e′2⋮e′m

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

=

A ⋅

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

e1e2⋮en

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

,

deci A ∈Mm,n(K) atunci

dimK(Span{e′1, e′2, ...e′m}) = rangA.

Thm* (dimensiunea spaţiului generat de m vectoriı̂ntr-un spaţiu de dimensiune n)

Fie KV spaţiu vectorial cu dimK V = n şi B = {e1, e2, ..., en} obază. Dacă e′1, e

′2, ..., e

′m sunt m vectori ı̂n V astfel ı̂ncât

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

e′1e′2⋮e′m

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

= A ⋅

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

e1e2⋮en

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

,

deci A ∈Mm,n(K) atunci

dimK(Span{e′1, e′2, ...e′m}) = rangA.

Thm* (dimensiunea spaţiului generat de m vectoriı̂ntr-un spaţiu de dimensiune n)

Fie KV spaţiu vectorial cu dimK V = n şi B = {e1, e2, ..., en} obază. Dacă e′1, e

′2, ..., e

′m sunt m vectori ı̂n V astfel ı̂ncât

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

e′1e′2⋮e′m

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

= A ⋅

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

e1e2⋮en

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

,

deci A ∈Mm,n(K)

atunci

dimK(Span{e′1, e′2, ...e′m}) = rangA.

Thm* (dimensiunea spaţiului generat de m vectoriı̂ntr-un spaţiu de dimensiune n)

Fie KV spaţiu vectorial cu dimK V = n şi B = {e1, e2, ..., en} obază. Dacă e′1, e

′2, ..., e

′m sunt m vectori ı̂n V astfel ı̂ncât

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

e′1e′2⋮e′m

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

= A ⋅

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

e1e2⋮en

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

,

deci A ∈Mm,n(K) atunci

dimK(Span{e′1, e′2, ...e′m}) = rangA.

Thm* (dimensiunea spaţiului generat de m vectoriı̂ntr-un spaţiu de dimensiune n)

Fie KV spaţiu vectorial cu dimK V = n şi B = {e1, e2, ..., en} obază. Dacă e′1, e

′2, ..., e

′m sunt m vectori ı̂n V astfel ı̂ncât

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

e′1e′2⋮e′m

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

= A ⋅

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

e1e2⋮en

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

,

deci A ∈Mm,n(K) atunci

dimK(Span{e′1, e′2, ...e′m}) = rangA.

Thm 10.8

(dimensiunea sumei a două subspaţii)

Fie V1,V2 două subspaţii ı̂n KV astfel ı̂ncât dimK V1

Thm 10.8 (dimensiunea sumei a două subspaţii)

Fie V1,V2 două subspaţii ı̂n KV astfel ı̂ncât dimK V1

Thm 10.8 (dimensiunea sumei a două subspaţii)

Fie V1,V2 două subspaţii ı̂n KV

astfel ı̂ncât dimK V1

Thm 10.8 (dimensiunea sumei a două subspaţii)

Fie V1,V2 două subspaţii ı̂n KV astfel ı̂ncât dimK V1

Thm 10.8 (dimensiunea sumei a două subspaţii)

Fie V1,V2 două subspaţii ı̂n KV astfel ı̂ncât dimK V1

Thm 10.8 (dimensiunea sumei a două subspaţii)

Fie V1,V2 două subspaţii ı̂n KV astfel ı̂ncât dimK V1

Thm 10.8 (dimensiunea sumei a două subspaţii)

Fie V1,V2 două subspaţii ı̂n KV astfel ı̂ncât dimK V1

Thm 10.8 (dimensiunea sumei a două subspaţii)

Fie V1,V2 două subspaţii ı̂n KV astfel ı̂ncât dimK V1

Thm 10.8 (dimensiunea sumei a două subspaţii)

Fie V1,V2 două subspaţii ı̂n KV astfel ı̂ncât dimK V1

Thm 10.8 (dimensiunea sumei a două subspaţii)

Fie V1,V2 două subspaţii ı̂n KV astfel ı̂ncât dimK V1

Thm 10.8 (dimensiunea sumei a două subspaţii)

Fie V1,V2 două subspaţii ı̂n KV astfel ı̂ncât dimK V1