PROIECT Corpul cuaternionilor1.1. IntroducereNoiunea de corpa aprut n urmancercrilor de abstractizarei Corpul cuaternionilorMASTERAND:NEDELCU COSTINAFACULTATEADE STIINTE, MATEMATICA-DIDACTICA,AN IIUNIVERSITATEA DUNAREA DE JOS,GALATI2011-2012de extinderela alte mulimiaregulilor de calcul cu numere raionale. Spre deosebire de inelul ntregilor Z, inelul numerelor raionale Q are proprietatea, eseniala in definirea noiunii de corp, c oriceelement diferit de0esteinversabil. Astfel, dacntr-uninel avemoadunare, o nmulire i o scdere, care deriv din adunare, ntr-un corp avem n plus o mparire prin elemente nenule care deriv din nmulire.1.2. Definiie i exemple remarcabile:Definiia 1: Un triplet ( K ; + ; ) se numete corp dac sunt satisfcute urmtoarele proprietai:a) ( K ; + ; ) este inel;b) 0 1 (inelul K are cel puin dou elemente );c) Orice element din K \ {0} este inversabil.Defini ia 2 : Corpul ( K ; + ; ) se numete corp comutativ (cmp) dac, n plus, operaia este comutativ.Exemple: 1) Inelele comutative ( K ; + ; ) , undeK= Q, R sau C , sunt corpuri comutative deoarece U(K) = K*.2) Un exemplu de corp necomutativ este corpul cuaternionilor, H . 1.3. Corpul cuaternionilorCuaternionii formeaza o algebra integra normata peste corpul numerelor reale, dedimensiune 4 ceea ce a condus la utilizarea lor in modelarea structurii 4-dimensionale spatiu-timp in care traim. La scurt timp dupa descoperirea lor au fost folositi in analiza vectoriala ceea ce a dus, asa cum spera Hamilton, la utilizarea lor in fizica. Multe dintre ecuatiile fizicii matematice au fost rescrisefolosindcuaternionii. Incomunicaresevorprezentaexempledeastfel deecuatii rescrise cu ajutorul cuaternionilor.Fie inelul 2(C) al matricelor ptratice de ordin 2 peste corpul C i H2(C), unde H = ;'

,_

C ,.Avem c H este un subinel al lui 2(C) .ntr-adevr, innd seama c suma, respectiv produsul conjugailor a dou numere complexe este conjugatul sumei respectiv produsului numerelor, avemi.H

,_

,_

+

,_

,_

i ii.H

,_

+ +

,_

+ +

,_

,_

oricare ar fiH

,_

,_

,. AadarH,mpreuncu operaiile obinuite de adunare i nmulire a matricelor,este la rndul su un inel.Matricea

,_

1 00 1 este elementul unitate a lui H.Mai mult, H este corp. ntr-adevr, dac h =

,_

,_

0 00 0 , atunci numrul real 2 2 este nenul. Inversul lui h este

,_

1h.Deci H este un corp numit corpul cuaternionilor, elementele sale fiind numite cuaternioni. Definim funciaH R : , prin

,_

aaa00) ( , care este un morfism de corpuri, deci injectiv.Aceasta ne permite s identificm numrul real a cu cuaternionul

,_

aa00.Notm

,_

iii00,

,_

0 11 0j,

,_

00iik, a cror nmulire este definit prin tabla i j ki - 1 k - jj - k - 1 ik j - i - 1Se observ c H este un corp necomutativ. Dac i a a1 0 + i i b b1 0 + sunt numere complexe, putem scrie

,_

=

,_

+ + +i a a i b bi b b i a a1 0 1 01 0 1 0=+

,_

,_

+

,_

iiaaaa0000001100

,_

,_

+

,_

,_

+00000 11 0001100iibbbb= k b j b i a a1 0 1 0+ + +.Deci orice cuaternion h H poate fi scris, n mod unic, sub forma h = dk cj bi a + + +, unde a, b, c, dsunt numere reale.Este important s observm c o ecuaie cu coeficieni n corpul necomutativ Hpoate s aiba mai multe rdcini dect gradul su. De exemplu, i, j, k sunt rdcini ale ecuaiei0 12 + x , acest lucru nefiind posibil n cazul corpurilor comutative. 1.4. AplicatiiProblema 1: Fie Q(i) = { x + yix, y Q, i2 = - 1}. S se arate c(Q(i), + ; ), unde + i sunt adunarea respectiv nmulirea numerelor complexe , este corp comutativ. Soluie: Dacz1 = x1 + y1i ,z2 = x2 + y2i Q(i), atunci :z1 + z2 = ( x1 + x2 ) + ( y1 + y2 )i Q(i),z1z2 = ( x1 x2 - y1y2 ) + ( x1 y2 + y1x2 )i Q(i),de unde rezult c+isunt legi de compoziie pe Q(i). Adunarea i nmulirea sunt comutative i asociative, iar nmulirea este distributiv fa de adunare deoarece aceste proprieti sunt valabile pe C. 0 = 0 + 0iQ(i) i 1 = 1 + 0iQ(i) sunt elemente neutre fa de adunare respectiv nmulire. Observndi coricezQ(i)areopusul z, deducemc(Q(i); +; )esteinel comutativ cu 0 1.Rmne s artm c pentru orice z Q(i), z = x + yi , z 0, existz Q(i) astfel nct z z = 1. ntr-adevr ,z= z1 = yi x +1 = 2 2x yyi x+ = 2 2x yx+ - 2 2x yy+i Q(i)i satisfacezz= 1.Problema 2:(i).Sa se arate ca multimea matricelor de forma cu a,b,c,dIR formeaza un subcorp K al lui M4(IR) izomorf cu corpulcuaternionilor . (ii). Determinati centrul lui H.Soluie: (i). FieM=cu= a+ib si= c+di. Se observa ca asocierea: M defineste un morfism de inele de la corpul cuaternionilor in M4(IR). Observam:AAt= = == ( )I4 det (AAt)= ( )det I4 det A detAt= ( ), det A=det At det A= ,pentru A O4det A 0 A inversabila Observatie:Consideram K multimea expresiilor de forma a+ib+cj+dk , a,b,c,dIR.Definind pentru doaua elemente din K suma pe componenete si produsul polinomial vom avea (K, +, ) corp izomorf cu corpul H al cuaternionilor.Fie=+ i+ j+ ksi= + i+ j+ kcu operatiile:= ( )+( )i +( )j +( )k H= ( ) + ( + - )i + +( - + + )j + ( + - + )k H(ii). Fie x= a+ib+cj+dk un cuaternion cu centrulin H. Din conditia de comutarex y=yx ai-b-ck+dj=ai-b+ck-dj c=d=0.Din conditia de comutarex j=jx b=0.In concluzie, centrul lui H este IR. Bibliografie:1.Probleme de algebra Dumitru Busneag, Florentina Chirtes, Dana Piciu, Editura Universitaria, Craiova,20022.Teoria grupurilor - D. Buneag, Ed. Universitaria, Craiova,19943. Corpuri - Corneliu Mnescu-Avram, art.publicat in Revista Virtual Info MateTehnic, Anul I Nr. 3-4/20114. Algebra Liniara, Geometrie Analitica si Elemente de Geometrie Diferentiala Vladimir Balan, Bucuresti, 2011