UNIVERSITATEA DIN BUCURESTI
FACULTATEA DE MATEMATICA SI INFORMATICA
SCOALA DOCTORALA DE MATEMATICA
CONTRIBUTII LA ANUMITE CLASE
DE ECHILIBRU GENERALIZAT
Rezumat
Coordonator: Doctorand:
Prof.Dr. VASILE PREDA Biolan Bogdan-Corneliu
BUCURESTI,
2015
Dedicated to my missing father, Ion Biolan!
CUPRINS
INTRODUCERE .................................................................................................................... 1
CAPITOLUL 1
Existenta Echilibrului. Echilibru Nash ……………….............................
3
1.1 Mecanisme competitive generalizate .......................................................................... 3
1.2 Aplicatii ale teoremei de existenta ............................................................................ 3
1.3 Teoremele Welfare ................................................................................................... 3
1.4 Echilibru Nash .......................................................................................................... 4
1.5 Probleme de Echilibru Nash Generalizate ........................................................................ 4
CAPITOLUL 2 GNEP in dimensiune infinita si optimizare semiinfinita. O abordare de tip
interval cu aplicatii.........................................................................................
5
2.1 O abordare interval folosind teorema multiplicatorilor lui Lagrange ................................. 5
2.2 Regula Multiplicatorilor Lui Lagrange ............................................................................... 7
2.3 Optimizare interval semi-infinita neneteda utilizand subdiferentiale limita
………………………………………….............................................................................
7
2.4 Functii interval si aplicatii in economie ale GNEP ……………………………………... 12
CAPITOLUL 3 Probleme de echilibru generalizat cu presupuneri relaxate ..................... 15
3.1 Rezultate cunoscute ...................................................................................................... 15
3.2 Existenta solutiei pentru Problema de Echilibru Generalizat(GEP)............................... 16
3.3 Existenta solutiei pentru GEP pentru aplicatii (r,s)-α-β-monotone…………………… 17
3.4 Existenta solutiei pentru GEP pentru aplicatii ρ-mixt relaxat monotone
…………………………....…………………………………………………………….
18
CAPITOLUL 4 Probleme de echilibru mixt
generalizate...............................................................................................
19
4.1 Definirea problemei si ultimele rezultate…..…........................................................ 19
4.2 Preliminarii ………………………………………….................................................. 19
4.3 Rezultate de existenta pentru probleme de echilibru mixt generalizate ............................. 20
4.4 Un algoritm de proiectie hibrid.……………………….................................................. 22
BIBLIOGRAFIE ......................................................................................................................... 24
INTRODUCERE
In aceasta teza vom studia unele clase de probleme de echilibru Nash generalizate.
Problemele de echilibru Nash generalizat reprezint¼a jocuri necooperative în care
strategia �ec¼arui juc¼ator poate depinde de strategiile juc¼atorilor rivali. Aceste clase
de probleme sunt de mare actualitate în prezent, datorit¼a importantei deosebite
pentru modelarea problemelor economice, precum si pentru modelarea problemele
de rutare din retelele de comunicare. Conceptul de echilibru introdus de Rosen în
1965, în strâns¼a leg¼atur¼a cu abordarea bazat¼a pe inegalit¼ati variationale, prezint¼a o
mare important¼a din punct de vedere teoretic si din punct de vedere al posibilit¼atilor
de implementare cu ajutorul tehnicii de calcul. Faraci a extins conceptul de echilibru
introdus de Rosen în 1965 la cazul spatiilor in�nit dimensionale. Unul din obiectivele
tezei const¼a în extinderea acestui tip de echilibru obtinut de Faraci la cadrul mai
general al claselor de functii interval.
Recent, Facchinei et al. au dovedit c¼a solutiile unor clase de probleme de echili-
bru Nash generalizat în spatii de dimensiune �nita pot � obtinute prin rezolvarea
unor inegalit¼ati variationale, în locul rezolv¼arii unor inegalit¼ati cvasi-variationale.
Pentru a demonstra o parte din rezultatele principale, în tez¼a sunt folosite conditiile
Knaster-Kuratowski-Mazurkievicz asociate problemelor de echilibru Nash general-
izat. Rezultatele obtinute sunt extinse la cadrul in�nit dimensional. Aceast¼a ex-
tensie este motivat¼a de faptul c¼a toate problemele de echilibru dependente de timp
necesit¼a utilizarea unor inegalitati variationale în spatii de dimensiune in�nita. În
plus, studiul problemelor aleatoare de echilibru se poate face folosind o abordare
bazata pe inegalitati variationale de�nite pe spatii de probabilitate.
Capitolul 1, Existence of Equilibrium. The Nash Equilibrium, contine rezultate
fundamentale privind conceptul de echilibru si proprietatii ale acestuia, precum
si metode de determinare a punctelor de echilibru. Sunt prezentate trei teoreme
fundamentale ale teoriei echilibrului general, care a�rm¼a c¼a, în cazul formul¼arii unor
ipoteze corecte, (i) exist¼a un echilibru concurential; (ii) un echilibru competitiv este
1
Pareto e�cient; si (iii) o alocare e�cient¼a Pareto conduce la un echilibru competitiv cu
pl¼ati de transfer. Sunt evidentiati mai multi algoritmi pentru rezolvarea problemelor
de echilibru Nash generalizat, precum si rezultate de convergenta global¼a si local¼a.
În Capitolul 2, Generalized Nash Equilibrium Problems in in�nite dimension
and semiin�nite optimization. An interval approach with applications, este studiat
un caz special de echilibru Nash, corespunz¼ator cazului în care functiile pay-o¤
sunt descrise prin functii interval. Rezultatele originale din Sectiunea 2.1 au ca
punct de plecare extinderea metodei multiplicatorilor Lagrange utilizând analiza
interval. In Sectiunea 2.2 sunt reformulate mai multe probleme de optimizare într-
un cadru mai general, iar pentru rezolvarea acestora este utilizat algoritmul Particle
SwarmOptimization. Conceptele originale introduse în acest capitol sunt cuprinse în
de�nitiile 2.2, 2.3 si 2.4. Sunt obtinute rezultate originale privind existenta punctului
interval de echilibru, acestea �ind prezentate în Teoremele 2.1, 2.2, 2.3, 2.4 si 2.5.
In Capitolul 3, Generalized equilibrium problems with relaxed assumptions, sunt
introduse conceptele noi de functie (r-s) - (� � �) - monoton¼a generalizat¼a si de
functie � - mixt relaxat monoton¼a generalizat¼a. Contributiile originale obtinute
în Sectiunea 3.2 sunt cuprinse în Teoremele 3.1 si 3.2, privind existenta solutiei
problemelor de echilibru generalizat. Contributiile originale obtinute în Sectiunea 3.3
sunt cuprinse în Teoremele 3.3 si 3.4, care se refer¼a la rezultate de existent¼a pentru
problemele de echilibru asociate noului concept de functie (r-s) - (���) - monoton¼a
generalizat¼a, introdus în tez¼a. Contributiile originale obtinute în Sectiunea 3.4 sunt
cuprinse în Teoremele 3.5 si 3.6, privind rezultate de existent¼a pentru problemele de
echilibru asociate noului concept de functie � - mixt relaxat monoton¼a generalizat¼a,
introdus în tez¼a.
În Capitolul 4, Generalized mixed equilibrium problems, sunt obtinute mai multe
teoreme de existent¼a si sunt construite metode de aproximare succesiv¼a pentru prob-
leme de echilibru generalizat mixt corespunz¼atoare unor familii num¼arabile de functii
non-expansive. Rezultatele originale obtinute sunt cuprinse in Teoremele 4.1 si 4.2,
precum si în corolarul Teoremei 4.2.
2
Chapter 1
Existenta echilibrului.Echilibru
Nash
Acest capitol contine rezultate generale de echilibru precum si marea teorema de
echilibru a lui John Nash.
1.1 Mecanisme competitive generalizate
1.2 Aplicatii ale teoremei de existenta
1.3 Teoremele Welfare
Teorema 1.2. (Prima TeoremaWelfare). Daca preferintele sunt strict monotone,
atunci orice echilibru al GCM este Pareto e�cient.
Teorema 1.4. (A doua teorema Welfare). Presupunand ca preferintele sunt
convexe, continue si strict monotone si multimea productiilor este convexa, inchisa
si marginita. Atunci, daca��exh ;�eyf sunt Pareto e¤cient si exh este strict poz-
itiv pentru toti h, atunci exista preturile p si balanta de transfer fT hg astfel incat
perechea��exh ;�eyf este un echilibru alocat, tinand cont de mecanismul dat,
pentru �ecare p, consumatorul h va avea venitul p � !h +Pf
�hfp � eyf + T h.
3
1.4 Echilibru Nash
Vom enunta teorema de echilibru a lui John Nash(1950):
Fie G = (S; u) un joc �nit de n persoane in forma sa normala.
S = S1 � S2 � : : : � Sn, S este nevida denotand multimea strategiilor fesabile,
(Sk)k=1;n sunt multimea strategiilor individuale, u : S ! R reprezinta functia de
utilitate.
1.5 Probleme de echilibru Nash generalizate
GNEP este problema a�arii x� 2 X(x�) astfel incat pentru toti � = 1; N , urma-
toarele au loc:
��(x�;� ; x�;��) � ��(x
� ; x�;��) unde: �� reprezinta functiile de utilitate asociate
�ecaruia dintre jucatori, pentru toti x� 2 X�(x�;��):
4
Chapter 2
GNEP in dimensiune in�nita si
optimizare semiin�nita. O
abordare de tip interval cu
aplicatii
2.1 O abordare interval folosind teorema multi-
plicatorilor lui Lagrange
2.1.1 Preliminarii
Fie J1 si J2 doua functii de tip interval, J1; J2 : X ! MI(R) functille de utilitate
astfel incat J1(�; u2) este convexa si Gateaux diferentiabila pentru toti u2 2 X2 si
J2(u1; �) este convexa si Gateaux diferentiabila, pentru toti u1 2 X1.
De�nitia 2.3. Spunem ca u = (u1; u2) este punct de echilibru interval pentru
GNEP daca urmatoarele au loc:
(1) J1 (u1; u2) = min fJ1 (u1; u2) ; u1 2 K1(u)g, unde u2 este �xat;
(2) J2 (u1; u2) = min fJ2 (u1; u2) ; u2 2 K2(u)g, unde u1 est �xat;
Din rezultate binecunoscute de analiza convexa (a se vedea e.g. Teorema 3.8 din
5
[4]), u = (u1; u2) este considerat optim interval daca si numai daca:
D1JL1
�u1; u2
� �u1 � u1
�� 0; 8u1 2 K1(u) \
�u1 : JU1
�u1; u2
�� JU1
�u1; u2
�,
(2.2)
D1JU1
�u1; u2
� �u1 � u1
�� 0; 8u1 2 K1(u) \
�u1 : JL1
�u1; u2
�� JL1
�u1; u2
�,
(2.1)
D2JL2
�u1; u2
� �u2 � u2
�� 0; 8u2 2 K2(u) \
�u2 : JU2
�u1; u2
�� JU2
�u1; u2
�,
D2JU2
�u1; u2
� �u2 � u2
�� 0; 8u2 2 K2(u) \
�u2 : JL2
�u1; u2
�� JL2
�u1; u2
�,
undeD1 siD2 sunt derivatele Gateaux ale JL1 (�; u2) ; JU1 (�; u2) si JU2 (u1; �) ; JL2 (u1; �),
respectiv.
Fie � : X ! X�1 �X�
2 ,
��u1; u2
�=
0BBBBBB@D1J
L1 (u
1; u2)
D1JU1 (u
1; u2)
D1JL2 (u
1; u2)
D1JU2 (u
1; u2)
1CCCCCCA : (2.3)
De�nitia 2.5. Spunem ca L (�) = fx : (x) � �g, unde � 2 R , este multimea
sub-nivel a lui : X ! R.
Este clar atunci ca (2.2) este echivalent cu:
�(u)T (u� u) � 0;8u 2�K1 (u) \ LJU1
�JU1 (u
1; u2)�\ LJL1
�JL1 (u
1; u2)��
��K2 (u) \ LJU2
�JU2 (u
1; u2)�\ LJL2
�JL2 (u
1; u2)��.
Rezolvand inegalitatea de mai sus asociata lui � si multimiiK (pe scurt: V I(�; K)),
inseamna a gasi u = (u1; u2) 2 K astfel incat sa avem urmatoarea inegalitate varia-
tionala:
�(u)T (u� u) � 0;8u 2 K: (2.4)
Teorema 2.1. Fiecare solutie a inegalitatii variationale V I(�; K) este solutie a
6
jocului interval de tip GNEP.
2.2 Regula Multiplicatorilor Lui Lagrange
Teorema 2.3. (i) Fie u o solutie a inegalitatii variationale V I(�; K) astfel incat
constrangeri adecvate pentru V I(�; K) au loc in u. Atunci u este o solutie a GNEP�
joc interval astfel incat ambii jucatori au in comun aceeasi multiplicatori ai lui
Lagrange.
(ii) u eate o solutie a GNEP-joc interval astfel incat constrangeri adecvate au
loc in u si ambii jucatori au in comun aceeasi multiplicatori ai lui Lagrange. Atunci
u este solutie a inegalitatii variationale V I(�; K).
2.3 Optimizare interval semi-in�nita neneteda uti-
lizand subdiferentiale limita
2.3.1 Preliminariii
De�nitia 2.6. Pentru un punct x� 2 X; � se numeste subgradient al unei functii
convexe f daca
(x� x�)T � � f(x)� f(x�); 8x 2 X:
De�nitia 2.7. Pentru un punct x� 2 X; � se numeste subgradient al functiei
strict convexe f daca
(x� x�)T � < f(x)� f(x�); 8x 2 X; x 6= x�:
De�nitia 2.8. Multimea tuturor subgradientilor lui of � in x� se numeste sub-
diferentiala lui � in x� si se noteaza cu @�(x�):
7
Consideram urmatoarea problema de optimizare:
min F (x)
relativ la gi (x) � 0; i = 1;m;
x 2 C;
(P)
unde F (x) =�fL (x) ; fU (x)
�este o functie de tip interval, fL (x) ; fU (x) si gi (x) :
X ! R sunt functii continue si convexe, X este un spatiu real, local convex si C
este o submultime a lui X.
Notam
X0 =�x 2 X
��gi (x) � 0; i = 1;m; x 2 Cmultimea punctelor fesabile a problemei primale (P ).
2.3.2 Conditii Necesare Si Su�ciente De Optimalitate
In aceasta sectiune dam niste conditii necesare si su�ciente de optimalitate pentru
probleme de optimizare interval nenetede.
Lema 1 (Sun & Yang, 2013) Fie x o solutie fesabila pentru problema (P ). Atunci x
estesolutie optimala pentru problema (P ) daca si numai daca x este solutie optimala
a urmatoarelor probleme de optimizare deterministice (P1) si (P2) :
min fL (x)
relativ la fU (x) � fU (x)
g (x) � 0;
x 2 C;
(P1)
min fU (x)
relativ la fL (x) � fL (x)
g (x) � 0;
x 2 C:
(P2)
8
Acum consideram urmatoarea problema deterministica de optimizare semiin�nita
neneteda citata in [69]:
min ' (x)
relativ la ai (x) � 0; i 2 I
x 2 Rn; (SIP)
unde ' si ai; i 2 I; sunt functii local Lipschitz de la Rn la R [ f+1g :
Teorema 2.4. Fie x o solutie optimala pentru problema M (SIP ) si I0(x) =
fi 2 I : gi (x) = 0g : Presupunem ca ' si gi; i 2 I0(x) sunt Lipschitz in vecinatatea
lui x , si gi pentru i 2 InI0(x) este continua in x: Atunci exista un � = (�i)i2I ; unde
�i � 0 si � �i 6= 0 pentru o multime �nita de i 2 I; astfel incat:
0 2 @L' (x) +Xi2I
�i@Lgi (x)
si
�igi (x) = 0; i 2 I:
Acum dam conditiile necesare de optimalitate Kuhn-Tucker-Yucker pentru prob-
lema interval neneteda:
min F (x)
subject to gi (x) � 0; i 2 I
x 2 C
; (ISIP)
unde F (x) =�fL (x) ; fU (x)
�este o functie interval, fL (x) ; fU (x) si gi (x) : X ! R
sunt functii reale continue si convexe, X este un spatiu real, local convex si C este
o submultime convexa a lui X.
Teorema 2.5. Fie x o solutie optimala a problemei (ISIP ): Presupunem ca
fL; fU si gi; i 2 I(x) = fi 2 I jgi (x) = 0g sunt Lipschitz in jurul lui x ,si gi pentru
i =2 I(x) este continua in x: Atunci esxista �� =��L
�; �U
��> 0 si �� = (��i )i2I �
9
0; ��i 6= 0 pentru o multime �nita de i 2 I; astfel incat
0 2 �L�@LfL (x) + �U�@Lf
U (x) +Xi2I
��i@Lgi (x)
si
��i gi (x) = 0; i 2 I:
Teorema 2.6. Fie x o solutie fesabila a problemei (ISIP ); astfel incat exista
�L�> 0; �U
�> 0,�� = (��i )i2I � 0; �� 6= 0 cu ��i 6= 0 pentru o multime �nita de
i 2 I; astfel incat
0 2 �L�@LfL�(x) + �U
�@Lf
U (x) +Xi2I
��i@Lgi (x) ; (2.2)
��i gi (x) = 0; i 2 I:
Daca fL si fU sunt (�; �fL); (�; �fU ) strict pseudo-invexe, gi; i 2 I (x) sunt (�; �gi)
quasi-invexe in x si
�fL + �fU = 0; (2.3)
atunci x este o solutie optimala pentru problema (ISIP ):
De�nitia 2.9. x este o solutie optimala locala a problemei (ISIP ) daca exista
� > 0 astfel incat x este o solutie optimala in B� (x) multimea admisibila pentru
(ISIP ):
Teorema 2.7. Fie x o solutie fesabila a problemei (ISIP ): Presupunand fL; fUsi
gi; i 2 I (x) sunt invexe in vecinatatea lui x: Deasemenea presupunem ca DL =
?; DU = ?: Atunci x este o solutie optima locala a problemei (ISIP ):
2.3.3 Dualitate. O problema duala interval de tip Wolfe
In aceasta subsectiune consideram problema duala de optimizare interval de tip
Wolfe pentru problema (ISIP ) si niste rezultate de dualitate sunt expuse. Relativ
la (ISIP ) consideram urmatoarea problema duala interval de tip Wolfe:
10
max f (u) +Pi2I�igi (u)
s.t. 0 2 �L@LfL (u) + �U@LfU (u) +
Pi2I�i@Lgi (u)�
�L; �U�> 0;
(WISID)
unde �i � 0 si �i 6= 0 pentru o multime �nita de i 2 I: Notam prin�u; �L; �U ; �
�o solutie fesabila pentru (WISID): Deasemenea observam ca o solutie fesabila�u0; �
L0 ; �
U0 ; �0
�pentru (WISID) este o solutie optima pentru (WISID) daca nu
exista�u; �L; �U ; �
�fesabila pentru (WISID) astfel incat
f�u0�+Xi2I
�0igi�u0�� f (u) +
Xi2I
�igi (u) :
Teorema 2.8. (Dualitate Slaba) Fie x o solutie fesabila pentru (SIP ) si�u; �L; �U ; �
�o solutie fesabila pentru (WISID): Presupunem ca fL; fU si gi; i 2 I sunt
��; �L
�;��; �U
�si (�; �i) ; i 2 I invexe respectiv, cu �L�L + �U�U +
Pi2I�igi � 0: Daca gi pentru i =2
I (x) = fi : gi (x) = 0g este continua in x, atunci
f (x) � f (u) +Xi2I
�igi (u) :
Teorema 2.9. (Dualitatea tare) Fie x o solutie optimala pentru (ISIP ); fL; fU
si gi; i 2 I satisfac ipotezele teoremei dualitate slaba. Daca problemele PL(x)
si PU(x) [107] satisfac constrangeri adecvate de tip cali�care, atunci exista � =��i�i2I ; �
L; �U> 0 astfel incat
�x; �
L; �U; ��este solutie optimala pentru (WISID)
si valorile obiectiv corespunzatoare sunt egale.
Teorema 2.10. (Dualitate Strict Convexa) Fie ex si �x; �L; �U ; �� o solutie opti-mala pentru (ISIP ) si (WISID) respectiv. Presupunand ca fL; fU si gi; i 2 I sunt
(�; �L); (�; �U) si (�; �i); i 2 I respectiv functii convexe si pentru orice solutie fesabila
x pentru (ISIP ); gi este continua in x pentru orice i 2 I (x) = fi : gi (x) = 0g. Daca
constrangeri adecvate de tip cali�care sunt indeplinite de problemele�PL(x); PU(x)
�si fL is (�; �L) sunt strict convexe sau fU is (�; �U) este strict convexa sau exista
11
� 2 fL;Ug astfel incat fU este (�; ��) strict convexa in x w.r.t.(in raport cu) �,
atunci ex = x:
Teorema 2.11. Fie ex si�x; �L; �U ; �� solutii fesabile pentru (ISIP ) si (WISID)
respectiv, astfel incat �LfL (ex) + �UfU (ex) � �
LfL (x) + �
UfU (x) +
Pi2I�igi (x) apli-
catia x �LfL + �
UfU +
Pi2I�igi ieste (�; �) strict convexa in x; cu � > 0: Atunciex = x si x este solutie optimala pentru (ISIP ):
2.4 Functii interval si aplicatii in economie ale
GNEP
2.4.1 Modelul Matematic
Fie X si Y doua spatii Banach si �e Z = X � Y spatiul produs si �e z = (x; y) un
element al lui Z. Varaiabila x corespunde primului jucator iar y corespunde celui
de-al doilea. Fie C � Z nevida, convexa si �e f; g : X ! R doua functionale de tip
interval, cunoscute si sub numelede functii de pay-o¤ astfel incat fU (�; y) respectiv
fL (�; y) sunt convexe si Gateaux di¤erentiabile pentru toti y 2 Y si gU(x; �) respectiv
gL(x; �) sunt convexe si Gateaux diferentiabile pentru toti x 2 X.
2.4.2 Modelul Economic
Notam prin:
rt;i return-ul asset-ului i la momentul t, unde rt;i =�rLt;i; r
Dt;i
�, evident: rLt;i � rDt;i;
�i;j;t =��Li;j;t; �
Di;j;t
�covarianta dintre rt;i si rt;j, unde �
Li;j;t � �Di;j;t;
ct;i =�cLt;i; c
Dt;i
�costul tranzactiei asset-ului i la momentul t;
xt;i investitia i la momentul t;
dt;i =�dLt;i; d
Dt;i
�este dat;
Ct =nPi=1
ct;ixt;i+dt;i costul tranzactiei, Ct =�CLt ; C
Dt
�=
�nPi=1
cLt;ixLt;i + dLt;i;
nPi=1
cUt;ixUt;i + dUt;i
��t =
��Lt ; �
Dt
�evaluarea riscului maxim al portofoliului la momentul t, unde
�Lt � �Dt ;
12
lt;i =�lLt;i; l
Dt;i
�rata de turnover a asset-ului i, unde lLt;i � lDt;i;
lt =�lLt ; l
Dt
�evaluarea riscului minim al portofoliului la momentul t, cu lLt � lDt ;
et diversi�carea minima a portofoliului la mom t�th period portfolio;
WT (x) =
"W0
TYt=1
nXi=1
xt;irLt;i � CL
t
!;W0
TYt=1
nXi=1
xt;irDt;i � CD
t
!#pro�tul la sfarsitul perioadei t; t = 1; T .
FieWT (x)L = W0
TYt=1
nXi=1
xt;irLt;i � CL
t
!;WT (x)
L = W0
TYt=1
nXi=1
xt;irDt;i � CD
t
!.
Atunci conditiile de optimalitate (2.2) sunt:8>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>:
0 �TXt=1
nXi=1
WT (x)L
rLt;i � cLt;inXi=1
xt;irLt;i � CLt
�rLt;i � rLt;i
�
0 �TXt=1
nXi=1
WT (x)D
rDt;i � cDt;inXi=1
xt;irDt;i � CDt
�rDt;i � rDt;i
�hrLt;i; r
Dt;i
i� 0
9>>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>>;(6)
Urmatoarea problema de optimizare poate � formulata:
max WT (x)
s.t.
"nXi=1
xt;irLt;i � CL
t ;nXi=1
xt;irDt;i � CD
t
#��RLt ; R
Dt
�"
nXi=1
nXk=1
xt;ixt;k�Li;k;t;
nXi=1
nXk=1
xt;ixt;k�Di;k;t
#� �t"
nXi=1
xt;ilLt;i;
nXi=1
xt;ilDt;i
#� lt
�nXi=1
xt;i ln(xt;i) � et
nXi=1
xt;i = 1
xt;i � 0; i = 1; n; t = 1; T
(7)
Problema (P1) poate � reformulata ca:
max WT (x)L
max WT (x)D
s.t. x 2
(8)
Conditiile (8) reprezinta problema (P2). Din nou problema poate � rescrisa ca:
13
max f(x) = �WT (x)L + (1� �)WT (x)
D
s.t. x 2 (9)
Conditiile (9) de mai, se numesc problema (P3) care poate � transformata adau-
gand restrictiile din [62], intr-o problema de optimizare neliniara:
max f(x) = �WT (x)L + (1� �)WT (x)
D
s.t.nXi=1
xt;irDt;i �
nXi=1
cDt;ixt;i + dDt;i
!� RL
t
nXi=1
nXk=1
xt;ixt;k�Li;k;t � �Dt
nXi=1
xt;ilDt;i � lLt
�nXi=1
xt;i ln(xt;i) � et; t = 1; T
nXi=1
xt;i = 1; t = 1; T
xt;i � 0; i = 1; n; t = 1; T
(10)
Conditiile (10) formeaza problema (P4), si poate � rescrisa in urmatoarea prob-
lema (P5) de optimizare neliniara :
max f(x) = �WT (x)L + (1� �)WT (x)
D
s.t. RLt �
nXi=1
xt;irDt;i �
nXi=1
cDt;ixt;i + dDt;i
!!0; t = 1; T
nXi=1
nXk=1
xt;ixt;k�Li;k;t � �Dt � 0; t = 1; T
lLt �nXi=1
xt;ilDt;i � 0; t = 1; T
et +nXi=1
xt;i ln(xt;i) � 0; t = 1; TnXi=1
xt;i � 1 = 0; t = 1; T
�xt;i � 0; i = 1; n; t = 1; T
14
Chapter 3
Probleme de echilibru
generalizat cu presupuneri
relaxate
3.1 Rezultate cunoscute
Fie K o submultime nevida a unui spatiu real Banach X. Fie � : K � K ! R o
functie reala si �e f : K � K ! R o functie de echilibru, i.e. f(x; x) = 0, pentru
toti x 2 K.
Consideram urmatoarea problema de echilibru generalizat: gasiti x 2 K ca sa
avem urmatoarea relatie:
f(x; y) + �(x; y)� �(x; x) � 0;8y 2 K (3.1)
De�nitia 3.5. O functie f : K � K ! R se numeste mixt relaxat � �
��monotona, daca exista functiile � : K ! R cu �(tx) = tp�(x), pentru toti
t > 0 si � : K �K ! R, astfel incat
f(x; y) + f(y; x) � �(y � x) + �(x; y);8x; y 2 K; (3.6)
15
unde
limt!0
�tp�(y � x)
t+�(x; ty + (1� t)x)
t
�= 0 (3.7)
si p > 1 este constant.
De�nitia 3.6. O aplicatie � : K � K ! R [ f�1,+1g se numeste 0-
diagonalconvexa daca, pentru orice submultime �nita fx1; x2; :::; xng a lui K si
�i � 0; i = 1; n cunXi=1
�i = 1 si x =nXi=1
�ixi, avem ca :
nXi=1
�i�(x; xi) � 0: (3.13)
3.2 Existenta solutiei pentru Problema de Echili-
bru Generalizat(GEP)
Teorema 3.1. Presupunand ca f : K�K ! R este mixt relaxat ����monotona,
hemicontinuoua in primul argument cu f(x; x) = 0, pentru toti x 2 K. Fie � :
K � K ! R convexa in al doilea argument. Atunci problema mixta de echilibru
generalizat (3.1) este echivalenta cu urmatoarea problema. Gasiti x 2 K astfel incat:
f(y; x) + �(x; x)� �(x; y) � �(y � x) + �(x; y);8y 2 K; (3.14)
unde �(tx) = tp�(x) si p > 1 este constant.
Teorema 3.2. Fie K nevida, marginita inchisa submultime a unui spatiu Banch
real X. Fie f : K � K ! R o aplicatie mixt relaxat � � ��monotona, hemicon-
tinua primul argument, convexa in al doilea argument cu f(x; x) = 0, 0-diagonal
convexa si inferior semicontinua. Fie �; : K � K ! R, � convexa in cel de-al
doilea argument, (x; y) = �(x; y)� �(x; x) si este 0-diagonal convexa, si inferior
semicontinua; � : K ! R este slab superior semicontinua si � : K � K ! R este
slab superior semicontinua in cel de-al doilea argument.Atunci problema mixta de
echilibru generalizat (4.2) admite solutii.
16
3.3 Existenta solutiei pentru GEP pentru apli-
catii (r; s)� �� ��monotone
De�nitia 3.7. O functie f este spusa (r; s)� (�; �) daca urmatoarele au loc:1
r
�erf(x;y) � 1
�+1
r
�erf(x;y) � 1
�� �(y � x) + �(x; y), r � s; r si s diferiti de 0,
adica:
fr(x; y) + fs(y; x) � �(y � x) + �(x; y), r � s, unde :
fr(x; y) =1
r
�erf(x;y) � 1
�:
De�nitia 3.8. O aplicatie � : K�K ! R [ f�1,+1g este 0-diagonal convexa
daca, pentru orice multime �nita fx1; x2; :::; xng a luiK si�i � 0; i = 1; n cunXi=1
�i =
1 si x =nXi=1
�ixi, avem ca :
nXi=1
�i�(x; xi) � 0: (3.13)
Teorema 3.3. Presupunand ca fr : K � K ! R este mixt relaxat � �
��monotona, hemicontinuoua in primul argument cu fr(x; x) = 0, pentru toti
x 2 K. Fie � : K � K ! R convexa in al doilea argument. Atunci problema
mixta de echilibru generalizat (3.1) este echivalenta cu urmatoarea problema. Ga-
siti x 2 K astfel incat:
1
r
�erf(y;x) � 1
�+ �(x; x)� �(x; y) � �(y � x) + �(x; y);8y 2 K; (3.14)
where �(tx) = tp�(x) and p > 1 is a constant.
Teorema 3.4.Fie K nevida, marginita inchisa submultime a unui spatiu Banch
real X. Fie fr : K �K ! R o aplicatie mixt relaxat � � ��monotona, hemicon-
tinua primul argument, convexa in al doilea argument cu fr(x; x) = 0, 0-diagonal
convexa si inferior semicontinua. Fie �; : K � K ! R, � convexa in cel de-al
doilea argument, (x; y) = �(x; y)� �(x; x) si este 0-diagonal convexa, si inferior
17
semicontinua; � : K ! R este slab superior semicontinua si � : K � K ! R este
slab superior semicontinua in cel de-al doilea argument.Atunci problema mixta de
echilibru generalizat (4.2) admite solutii.
3.4 Existenta solutiei pentru GEP pentru apli-
catii ��mixt relaxat monotone
De�nitia 3.9. ' : K �K ! R se numeste ��diagonal convexa, daca pentru orice
multime �nita fx1; x2; :::; xng din K si �i � 0, i = 1; n, cunPi=1
�i = 1 si x =nPi=1
�ixi,
avem canPi=1
�i'(x; xi) � ��mini=1;n
d(x; xi).
Teorema 3.5. Let f : K � K ! R be �1�mixt relaxat monotona, in primul
argument, �2�convexa in al doilea argument, cu f(x; x) = 0;8x 2 X.
Fie ' : K �K ! R , �3�convexa in al doilea argument.
Atunci, problema mixta de echilibru generalizat (3.1) din Sectiunea 3.1 este
echivalenta cu urmatoarea problema: Gasiti x 2 K astfel incat:
f(y; x) + �(x; x)� �(x; y) � �0d(x; y);8y 2 K, where �0 2 R.
Teorema 3.6. Fie K nevida, marginita inchisa submultime a unui spatiu Banch
real X: Fie f : K � K ! R; �1�mixt relaxat monotona, hemicontinua in primul
argument, �2�convexa in al doilea argument cu f(x; x) = 0, �3�diagonal convexa
si slab inferior semicontinua. Fie �; : K � K ! R, � �4�convexa in al doilea
argument, (x; y) = �(x; y) � �(x; x) si �5�diagonal convexa, si slab inferior
semicontinua. Fie d : K � K ! R, d � 0 slab superior semicontinua in al doilea
argument, si �1 � �0, �3 + �5 � 0.
Atunci problema mixta de echilibru generalizat (4.2) admite solutii.
18
Chapter 4
Probleme de echilibru mixt
generalizate
4.1 De�nirea problemei si ultimele rezultate
Fie � 2 R:
De�nitia 4.1. O functie T : C ! E� este spusa a � (�; � � �) monotona daca
exista functia � : C � C ! E� si functia � : E � E ! R astfel incat
(Tx� Ty; �(x; y)) � ��(x; y); x; y 2 C
4.2 Preliminarii
Fie E un spatiu Banach real si �e U = fx 2 E : jjxjj = 1g sfera unitate a lui E.
De�nitia 4.2. Un spatiu Banach E este spus strict convex daca pentru orice
x; y 2 U ,
x 6= y implica jjx+ yjj < 2
De�nitia 4.3. Un spatiu Banach E este uniform convex daca si numai daca
19
�(�) > 0 pentru toti � 2 (0; 2], unde � : [0; 2]! [0; 1] este de�nita dipa cum urmeaza
�(�) = inf
(1� kx+ y
2k : x; y 2 E; jjxjj = jjyjj = 1; jjx� yjj � 1
)
De�nitia 4.4. Un spatiu Banach E se numeste neted daca limita
limt!0
jjx+ tyjj � jjxjjt
(4.1)
exista pentru orice x; y 2 U .
Pentru rezolvarea problemei mixte de echilibru, presupunem urmatoarele conditii
asupra bifunctiei f :
(i1) f(x; x) = 0, 8x 2 C
(i2) f is �1-monotona, i.e. f(x; y) + f(y; x) � �1d(x; y), pentru toti x; y 2 C,
d : C � C ! R+ si �1 2 R.
(i3) Pentru toti y 2 C, f(�; y)este slab superior semicontinua
(i4) Pentru toti x 2 C, f(x; �) este �2�convexa, �2 2 R.
4.3 Rezultate de existenta pentru probleme de
echilibru mixt generalizate
Teorema 4.2. Fie E spatiu Banach neted, re�exiv, strict convex si o submultime
C nevida, marginita, inchisa si convexa a lui E.
Deasemenea, consideram:
(j1) o aplicatie T : C ! E� �� hemicontinua si � � � relaxed monotona
(j2) o bifunctie f : C � C ! R satisfacand (i1)�(i4).
(j3) o functie inferior semicontinua si �3-convexa, ' : C ! R
Fie r > 0 si z 2 C si presupunem ca
(j4) �(x; x) = 0;8x 2 C
(j5) Pentru orice u; v 2 C �xati, aplicatia x!< Tv; �(x; u) > este �4�convexa
20
(j6) limt!0
�(x; (1� t)x+ ty)
t= 0 pentru orice x; y 2 C
Daca �2 + �3 + �4 � 0, atunci problemele 4.2 si 4.3 sunt echivalente:
Gasiti x 2 C astfel incat f(x; y)+'(y)+ < Tx; �(y; x) > +1
r< y�x; J(x�z) � '(x);8y 2 C
(4.2)
Gasiti x 2 C astfel incat f(x; y)+ < Ty; �(y; x) > +'(y)+1
r< y�x; J(x�z) >� '(x)+�(x; y);8y 2 C
(4.3)
Teorema 4.3. Fie C o multime nevida, marginita, inchisa si convex submultime
al unui spatiu Banach E neted, re�exiv, strict convex si �e T : C ! E� o aplicatie
�-hemicontinuoua si relaxata si �� � monotona. Fie f o bifunctie de la C �C in R
satisfacand (a),(c) and (d) si �e ' o functie inferior semicontinua si convexa de la
C la R. Fie r > 0 si z 2 C. Presupunand ca
(k1) �(x; y) + �(y; x) = 0;8x; y 2 C
(k2) pentru orice u; v 2 C �xati, aplicatia x!< Tv; �(x; u) > este �4-convexa si
inferior semicontinua
(k3) � : E � E ! R este inferior semicontinua in primul argument; adica
pentru orice sir fx�g,daca x� converge la x in �(E;E�) aceasta implica �(x; y) �
lim inf �(x�; y), 8y 2 E
(k4) z(y; u) = f(y; u) + hTy; �(u; y)i + '(u) � '(y) +1
rhu� y; J(y � z)i este
convexa in al doilea argument.
Atunci solutia problemei (4.2) este nevida: adica, exista x0 2 C astfel incat
f(x0; y) +'(y)+ < Tx0; �(y; x0) > +1
r< y� x0; J(x0� z) � '(x0);8y 2 C: (4.4)
Teorema 4.4. Fie C o multime nevida, marginita, inchisa si convex submultime
al unui spatiu Banach E neted, re�exiv, strict convex si �e T : C ! E� o aplicatie
21
�-hemicontinuoua si relaxata si �� � monotona. Fie f o bifunctie de la C �C in R
satisfacand (i1)-(i4) si �e ' o functie inferior semicontinua si convexa de la C la R.
Fie r > 0 si de�nim �r : E ! C dupa cum urmeaza:
�r(x) =
(z 2 C : f(z; y)+ < Tz; �(y; z) > +'(y)+
1
r< y�z; J(z�x) >� '(z);8y 2 C
)(4.5)
pentru toti x 2 E. Presupunand ca
1. �(x; y) + �(y; x) = 0, pentru toti x; y 2 C
2. pentru orice u; v 2 C �xati, aplicatia x !< Tv; �(x; u) > este �4-convexa si
inferior semicontinua si aplicatia x!< Tu; �(v; x) > este inferior semicontinua
3. � : E ! R este slab inferior semicontinua
4. pentru orice x; y 2 C, �(x; y) + �(y; x) � 0
Atunci, urmatoarele au loc:
1. �r este single valued
2. < �rx� �ry; J(�rx� x) >�< �rx� �ry; J(�ry � y) > pentru toti x; y 2 E
3. F (�r) = EP (f; T )
4. EP (f; T ) este inchisa si convexa
4.4 Un algoritm de proiectie hibrid
Fie E un spatiu Banach uniform convex si neted si �e C nevida, marginita, inchisa
si convexa, submultime a lui E. Deasemenea �e f o bifunctie de la C � C la R si
o aplicatie T : C ! E�.
22
Teorema 4.5. Presupunem ca bifunctia f satisface conditiile (i1)-(i4) si T o
aplicatie � � � relaxat monotona.
Daca fSngn�0 este un sir de aplicatii non-expansive care veri�ca conditia NST,
Sn : E ! C, astfel incat 6= ;, unde =Tn�0
F (Sn) \ EP (f; T ), si fxngn�0 este
unsir din C, dat de8>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>:
x0 2 C;D0 = C;
Cn = �cofz 2 C : jjz � Snzjj � tnjjxn � Snxnjjg; n � 0
un 2 C astfel incat
f(un; y) + '(y)+ < Tun; �(y; un) > +1rn< y � un; J(un � xn) >� '(un);8y 2 C; n � 0;
Dn�1 = fz 2 Dn1 :< un � z; J(xn � un) >� 0g; n � 1;
xn+1 = PCn\Dnx0; n � 0;(4.6)
0 < tn < 1; 0 < rn < 1 pentru orice n si limn!1 tn = 0, lim infn!1 rn > 0, atunci
sirul fxngn converge tare la PS0x0 sau Px0.
23
Bibliography
[1] Agarwal, R.P., ORegan, D., Sahu, D.R., Fixed Point Theory for Lipschitzian-
Type Mappings with Applications. Springer, Dordrecht, 2000
[2] Amiri, N.M., Nasseri, S.H., Duality in fuzzy number linear programming by use
of a certain linear ranking function, Applied Mathematics and Computation,
180, 206-216, 2006.
[3] Ansari, Q.H, Konnov, I.V., Yao, J.C., Existence of a solution and variational
principles for vector equilibrium problems, Journal of Optimization Theory
and Applications 110, 3, 481-492, 2001.
[4] Ansari, Q.H., Yao, J.C., On nondi¤erential and nonconvex vector optimization
problems, J. Optim.Theory Appl. 106, 475�488, 2000.
[5] Aoyama, K., Kimura, Y., Takahashi, W., Toyoda, M., Approximation of com-
mon �xed points of a countable family of nonexpansive mappings in a Banach
space. Nonlinear Anal. 67, 2350-2360, 2007.
[6] Bauschke, H.H., Matouskova, E., Reich, S., Projection and proximal point
methods: convergence results and counterexamples. Nonlinear Anal., 56, 715-
738, 2004.
[7] Biolan, B., A Lagrange multiplier approach using interval functions for gen-
eralized Nash Equilibrium in in�nite dimension, Scienti�c Bulletin, University
Politehnica of Bucharest, 2015, accepted for publication.
24
[8] Biolan, B., Nash Equilibrium for a Special Class of Interval Functions. Ap-
plications to Economy, Procedia Economics and Finance, 22, 587�594, 2015.
[9] Biolan, B., De la teorema Fan minimax la echilibrul Nash, Studii si Cercetari
de Calcul Economic si Cibernetica Economica, 1-4, 2014.
[10] Biolan, B., The Weighted Log-Lindley distribution and its applications to
lifetime data modeling, 19th European Young Statisticians Meeting, Prague,
31 August - 4 September 2015
[11] Biolan, B., On equilibrium problem with relaxed monotonicity, The 18th
Conference of The Romanian Probability and Statistics Society, Bucharest, 8
Mai 2015.
[12] Biolan, B., Nash Equilibrium for a Special Class of Interval Functions. Ap-
plications to Economy, 2nd International Conference Economic Scienti�c Re-
search �Theoretical, Empirical and Practical Approaches �ESPERA 2014,
Bucharest, November 13-14, 2014.
[13] Biolan, B., On Nash Equilibrium by Lagrange multipliers approach using
interval functions, The 17th Conference of The Romanian Probability and
Statistics Society, Bucharest, April 25-26, 2014.
[14] Biolan, B., An approach of Nash equilibrium in in�nite dimension, The 16th
Conference of The Romanian Probability and Statistics Society, Bucharest,
April 26-27, 2013.
[15] Blum, E., Oettli W., From optimization and variational inequalities to equi-
librium problems. Math. Stud., 63, 1-4,123-145, 1994
[16] Bruck, R.E., On the convex approximation property and the asymptotic bahav-
iour of nonlinear contractions in Banach spaces. Israel J. Math. 38, 304-314,
1981
25
[17] Bruck, R.E., Properties of �xed-point sets of nonexpansive mappings in Banach
space. Trans. Am. Math. Soc., 179, 251-262, 1973.
[18] Canovas, M.J., Lopez, M.A., Mordukhovich, B.S., Parra, J., Variational analy-
sis in semiin�nite and �nite programming, I: stability of linear inequality sys-
tems of feasible solutions. SIAM J. Optim., 20, 1504�1526, 2009.
[19] Canovas, M.J., Lopez, M.A., Mordukhovich, B.S., Parra, J., Variational analy-
sis in semiin�nite and �nite programming, II: necessary optimality conditions.
preprint.
[20] Chen, Y. Q., A multi-period portfolio selection optimization model by using
interval analysis, Economic Modelling 33, 113-119, 1999.
[21] Chen, Y., On the semi-monotone operator theory and applications, Journal of
Mathematical Analysis and Applications, 231, 1, 177�192, 1999.
[22] Combettes, P.L., Hirstoaga, S.A., Equilibrium programming in Hilbert spaces.
J. Nonlinear Convex Anal., 6, 1, 117-136 2005
[23] P. Daniele, S. Giu¤ré, G. Idone, A. Maugeri, In�nite dimensional duality and
applications, Matematische Annalen, 339, 221-239, 2007.
[24] Dinh, N., Morukhovich, B.S., Nghia, T.T.A.: Subdi¤erentials of value func-
tions and optimality conditions for DC and bilevel in�nite and semi-in�nite
programs. Math. Program. Ser. B. doi:10.1007/s10107-009-0323-4
[25] Ellaia and A. Hassouni, Characterization of nonsmooth functions through their
generalized gradients, Optimization, 22, 3, 401�416, 1991.
[26] Facchinei, F., Fisher, A., Picialli, V., On generalized Nash games and varia-
tional inequalities, Operations Research Letters, vol. 35, no. 2, March 2007,
pp. 159-164.
[27] Fan, K., A generalization of Tychono¤s �xed point theorem. Mathematische
Annalen 142, 305-310, 1961.
26
[28] Fang, Y.P., Huang, N.J., Variational-like inequalities with generalized
monotone mappings in Banach spaces. Journal of Optimization Theory and
Applications, 118, 2, 327�338, 2003.
[29] F. Faraci, F. Raciti, On generalized Nash equilibrium in in�nite dimen-
sion: the Lagrange multipliers approach, Optimization: A Journal of Math-
ematical Programming and Operations Research, 2012, pp. 1-18, DOI:
10.1080/02331934.2012.747090.
[30] Gao, X., Optimality conditions for non-smooth multiobjective semi-in�nite
programming, Lecture Notes in Electrical Engineering 218, 467-474, 2013.
[31] Genal, A., Lindenstrass, J., An example concerning �xed points. Israel J. Math.
22, 81-86, 1975.
[32] Giannessi, F., Maugeri, A., Pardalos, P.M., Equilibrium problems: Nonsmooth
Optimization and Variational Inequality Models. Kluwer Academics Publish-
ers, Dordrecht, Holland, 2001.
[33] Goberna, M.A., Lopez, M.A., Linear semi-in�nite programming theory: an
updated survey. Eur. J. Oper. Res. 143, 390�405, 2002.
[34] Goeleven, D., Motreanu, D., Eigenvalue and dynamic problems for variational
and hemivariational inequalities. Commun. Appl. Nonlinear Anal. 3(4), 1-21,
1996.
[35] Gunzel, H., Jongen, H.T., Stein, O., Generalized semi-in�nite programming:
on generic Local minimizers. J. Global Otim. 42, 3, 413�421, 2008.
[36] Gustafson, S.A., Semi-in�nite programming: approximation methods. In:
Floudas, C.A., Pardalos, P.M. (eds.) Encyclopedia of Optimization, pp. 3404�
3408. Springer, Berlin, 2009.
27
[37] Gustafson, S.A., Semi-in�nite programming: methods for linear problems. In:
Floudas, C.A., Pardalos, P.M. (eds.) Encyclopedia of Optimization, pp. 3424�
3429. Springer, Berlin, 2009.
[38] Hettich, R., Kortanek, K.O., Semi-in�nite programming: theory, methods and
applications. SIAM Rev. 35, 380�429 (1993)
[39] Hettich, R., Kaplan, A., Tichatschke, R., Semi-in�nite programming: nu-
merical methods. In: Floudas, C.A., Pardalos, P.M. (eds.) Encyclopedia of
Optimization, pp. 3429�3434. Springer, Berlin, 2009.
[40] Hettich, R., Still, G., Semi-in�nite programming: second order optimality con-
ditions. In: Floudas, C.A., Pardalos, P.M. (eds.) Encyclopedia of Optimiza-
tion, pp. 3434�3439. Springer, Berlin, 2009.
[41] J. Jahn, Introduction to the Theory of Nonlinear Optimization, Springer,
Berlin, 2006.
[42] Jongen, H.T., Stein, O., Smoothing methods for semi-in�nite optimization.
In: Floudas, C.A., Pardalos, P.M. (eds.) Encyclopedia of Optimization, pp.
3617�3622. Springer, Berlin, 2009.
[43] Kamraksa, U., Wangkeere, R., Existence theorems and iterative approxima-
tion methods for generalized mixed equilibrium problems for a countable family
of nonexpansive mappings. J. Glob Optim 54, 27-46, doi:10.1007/s10898-011-
9739-5, 2012
[44] Kanster, B., Kuratowski, C., Mazurkiewicz, S., Ein Beweis des Fixpunktsatzes
fur n-dimensionale Simplexe. Fundamenta Mathematicae 14, 132-137, 1929.
[45] Kanzi, N., Nobakhtian, S., Optimality conditions for non-smooth semi-in�nite
programming, Optimization 59(5), 717�727, 2010.
[46] Kanzi, N., Nobakhtian, S., Nonsmooth semi-in�nite programming problems
with mixed constraints, J. Math. Anal. Appl. 351, 22, 170�181, 2009.
28
[47] S. Karamardian and S. Schaible, Seven kinds of monotone maps, Journal of
Optimization Theory and Applications, 66, 1, 37�46, 1990.
[48] S. Karamardian, S. Schaible, and J. Crouzeix, Characterizations of generalized
monotone maps, Journal of Optimization Theory and Applications, 76, 3, 399�
413, 1993.
[49] Kent E. Morrison, The Multiplication Game, Math. Mag., 83, 100-110, 2010.
[50] Kimura, Y., Nakajo, K., Some characterizations for a family of nonexpansive
mappings and convergence of a generated sequence to their common �xed point.
Fixed Point Theory Appl. doi:10.1155/2010/732872, 2010.
[51] S. Komlósi, Generalized monotonicity and generalized convexity, Journal of
Optimization Theory and Applications, 84, 2, 361�376, 1995.
[52] Konnov, I.V., Yao, J.C., On the generalized vector variational inequality prob-
lems, Journal of Mathematical Analysis and Applications 206, 42-58, 1997.
[53] Konnov, I.V., Schaible, S., Duality for equilibrium problems under generalized
monotonicity, Journal of Optimization Theory and Applications 104, 2, 395-
408, 2000.
[54] Kortanek, K.O., Medvedev, V.G., Semi-in�nite programming and applications
in �nance. In: Floudas, C.A., Pardalos, P.M. (eds.) Encyclopedia of Optimiza-
tion, 3396�3404. Springer, Berlin, 2009.
[55] Kortanek, K.O., Zhang, Q., Semi-in�nite programming, semide�nite program-
ming and perfect duality. In: Floudas, C.A., Pardalos, P.M. (eds.) Encyclope-
dia of Optimization, 3439�3445, Springer, Berlin, 2009.
[56] H. W. Kuhn, Classics in Game Theory, 1887, Princeton University Press.
[57] Levitin, E., Tichatschke, R., A branch-and-bound approach for solving a class
of generalized semi-in�nite programming problems, J. Global Optim. 13, 3,
299�315, 1998.
29
[58] Li, D.H., Liqun, Q., Tam, J., Wu, S.Y., A smoothing Newton method for
semi-in�nite programming. J. Global Optim. 30, 169�194, 2004.
[59] Li, X.B., Li, S.J., Existence of solutions for generalized vector quasi-equilibrium
problems. Optim. Lett. 4, 1,17-28, 2010.
[60] Lin, L.J., System of generalized vector quasi-equilibrium problems with ap-
plications to �xed point theorems for a family of nonexpansive multivalued
mappings. J. Glob. Optim. 34, 1, 15-32, 2006.
[61] Liu, G.X.: A homotopy interior point method for semi-in�nite programming
problems, J. Global Optim., 37, 4, 631�646, 2007.
[62] Liu, Y.J., Zhang, W.G., Zhang, P., On the semimonotone operator theory and
applications, Journal of Mathematical Analysis and Applications 231, 177-192,
2013.
[63] Lopez, M., Still, G., Semi-in�nite programming, Eur. J. Oper. Res., 180, 491�
518, 2007.
[64] Mann, W.R., Mean value methods in iteration. Proc. Am. Math. Soc. 4, 506-
510, 1953.
[65] Markowitz, Portfolio selection, The Journal of Finance 7, 1, 77-91, 1952.
[66] Matsushita, S., Takahashi, W., Approximating �xed points of nonexpansive
mappings in a Banach space by metric projections. Appl. Math. Comput. 196,
422-425, 2008
[67] A. Maugeri, F. Raciti, On existence theorems for monotone and no-monotone
variational inequalities, Journal of Convex Analysis, vol. 16, 2009, pp. 899-911.
[68] J. Milnor, L.S. Shapley, On games of survival, Contrib. Theor. Games III,
Ann. Math. Studies 39, Princeton Univ. Press, 15-45, 1957.
30
[69] Mishra, S.K., Jaiswal, M., Le Thi, H.A., Nonsmooth semi-in�nite programming
problem using Limiting subdi¤erentials, J. Glob. Optim. 53, 285-296, 2012.
[70] Mond, B., Weir, T., Generalized Concavity and Duality, Generalized Concavity
in Optimization and Economics, Academic Press, New York, 1981.
[71] R. E. Moore, Methods and Applications of Interval Analysis, SIAM, Philadel-
phia, 1979.
[72] Mordukhovich, B.S., Variational Analysis and Generalized Di¤erentiation. I.
Basic Theory. Sp1ringer, Berlin, 2006.
[73] Mordukhovich, B.S., Variational Analysis and Generalized Di¤erentiation. II.
Basic Theory. Springer, Berlin, 2006.
[74] Mouda�, A., Second-order di¤erential proximal methods for equilibrium prob-
lems. J. Inequal. Pure Appl. Math., 4, 1, article 18, 1-7, 2003.
[75] Nadler, S,B�Jr., Multi-valued contraction mappings, Paci�c Journal of Math-
ematics 30, 475-488, 1969.
[76] Nakajo, K., Shimoji, K., Takahashi, W., Strong convergence to common �xed
points of families of nonexpansive mappings in Banach spaces. J. Nonlinear
Convex Anal. 8, 11-34, 2007
[77] Nakajo, K., Takahashi, W., Strong convergence theorems for nonexpansive
mappings and nonexpansive semigroups. J. Math. Anal. Appl. 279, 372-379,
2003.
[78] J. F. Nash, L. S. Shapley, A simple 3-person poker game, Contrib. Theor.
Games I, Ann. Math. Studies 24, Princeton Univ. Press, 105-116. D. J. New-
man (1959) A model for �real�poker, Oper. Res. 7, 557-560, 1950.
[79] M. A. Noor and W. Oettli, On general nonlinear complementarity problems
and quasi-equilibria, Le Matematiche, vol. 49, no. 2, pp. 313�331, 1994.
31
[80] G. Owen, Game Theory, 2nd Edition, 1982,Academic Press.
[81] V. Preda, On nonlinear-programming and matrix game equivalence, Australian
Mathematical Society Series B-Applied Mathematics, 35, 429-438, 1994.
[82] V. Preda, C. Balcau, On maxentropic reconstruction of countable Markov
chains and matrix scaling problems, Studies in Applied Mathematics, vol. 111,
1, 85-100, 2003.
[83] V. Preda, C. Balcau, On maxentropic reconstruction of multiple Markov
chains, Bulletin Mathematique de la Societe des Sciences Mathematiques de
Roumanie, vol. 50, 4, 2007, pp. 295-304.
[84] V. Preda, S. Dedu, C. Gheorghe, New classes of Lorenz curves by maximiz-
ing Tsallis entropy under mean and Gini equality and inequality constraints,
Physica A, Volume 436, 925-932, 2015, Elsevier
[85] V. Preda, On duality with generalized convexity, Bolletino Della Unione
Matematica Italiana, vol. 5A, 3, Oct. 1991, pp. 291-305.
[86] Preda, V., Dedu, S., Sheraz, M., New measure selection for Hunt and De-
volder semi-Markov regime switching interest rate model, PhysicaA 407, 350-
359, 2014.
[87] Preda, V., Nondi¤erentiable mathematical programs. Optimality and higher-
order duality results, Proceedings of the Romanian Academy Series A �Math-
ematics Physics Technical Sciences Information Science 9, 3, 179-183, 2008.
[88] Preda, V., On some su¢ cient optimality conditions in multiobjective di¤eren-
tiable programming, Kybernetika, 28, 4, 263-270, 1992.
[89] T. E. S. Raghavan, T. S. Ferguson, T. Parthasarathy and O. J. Vrieze, eds.,
Stochastic Games and Related Topics, 1991, Kluwer Academic Publishers.
32
[90] Reemtsen, R., Semi-in�nite programming: discretization methods. In:
Floudas, C.A., Pardalos, P.M. (eds.) Encyclopedia of Optimization, 3417�
3424. Springer, Berlin, 2009.
[91] Reich, S., Weak convergence theorems for nonexpansive mappings in Banach
spaces. J. Math. Anal. Appl. 67, 274-276, 1979.
[92] J. Robinson, An Iterative Method of Solving a Game, Annals of Mathematics
54, 296-301, 1951.
[93] J.B. Rosen, Existence and uniqueness of equilibrium points for concave n-
person games, Econometrica, vol. 33, 3, 1965, 520-534.
[94] Rubio, J.E., Semi-in�nite programming and control problems. In: Floudas,
C.A., Pardalos, P.M. (eds.) Encyclopedia of Optimization, pp. 3408�3417.
Springer, Berlin, 2009.
[95] W. H. Ruckle, Geometric games and their applications, Research Notes in
Mathematics 82, 1983, Pitman Publishing Inc.
[96] Schaible, S., Generalized monotonicity: Concepts and uses, in: F. Giannessi,
A. Maugeri (Eds.), Variational Inequalities and Network Equilibrium Prob-
lems, Plenum Publishing Corporation, New York, 289-299, 1995.
[97] M. Schechter, More on subgradient duality, Journal of Mathematical Analysis
and Application, 71, 251-262, 1979.
[98] Shapiro, A., On duality theory of convex semi-in�nite programming. Optimiza-
tion 54, 535�543, 2005.
[99] Shapiro, A., Semi-in�nite programming, duality, discretization and optimality
condition. Optimization 58(2), 133�161, 2009.
[100] L. S. Shapley, Stochastic Games, Proc. Nat. Acad. Sci., 39, 1095-1100, 1953.
33
[101] L. S. Shapley and R. N. Snow, Basic solutions of discrete games, Con-
trib.Theor.Games I, Ann. Math. Studies 24, Princeton Univ. Press, 27-35,
1950.
[102] Siddiqi, A.H., Ansari, Q.H., Kazmi, K.R., On nonlinear variational inequali-
ties. Indian J. Pure Appl. Math. 25(9), 969-973, 1994.
[103] Soleimani-damaneh, M., Jahanshahloo, G.R., Nonsmooth multiobjective opti-
mization using limiting subdi¤erentials. J. Math. Anal. Appl. 328, 281�286,
2007.
[104] S. Sorin, J. P. Ponssard, The LP formulation of �nite zero-sum games with
incomplete information, Int. J. Game Theory 9, 99-105, 1980.
[105] Stein, O., Adaptive convexi�cation in semi-in�nite optimization. In: Floudas,
C.A., Pardalos, P.M. (eds.) Encyclopedia of Optimization, 13�19. Springer,
Berlin, 2009.
[106] P. D. Stra¢ n, Game Theory and Strategy, Mathematical Association of Amer-
ica, 1993.
[107] Sun, Y.,Wang, L., Optimality conditions and dualityy in nondi¤erentiable
interval-valued programming, J. Ind. Manag. Optim. 9, 1, 131-142, 2013.
[108] Tada, A., Takahashi, W., Strong convergence theorem for an equilibrium prob-
lem and a nonexpansive mapping. In: Takahashi, W., Tanaka, T. (eds.), Non-
linear Analysis and Convex Analysis, 609-617, Yokohama Publishers, Yoko-
hama, 2007
[109] Tada, A., Takahashi, W.,Weak and strong convergence theorems for a nonex-
pansive mapping and an equilibrium problem. J. Optim. Theory Appl. 133, 3,
359-370, 2007.
34
[110] Takahashi, S., Takahashi, W., Strong convergence theorem for a generalized
equilibrium problem and a nonexpansive mappings in a Hilbert space. J. Non-
linear Anal. 69, 1025-1033, 2008
[111] Takahashi, W., Takeuchi, Y., Kubota, R., Strong convergence theorems by
hybrid meth-ods for families of nonexpansive mappings in Hilbert spaces. J.
Math. Anal. Appl. 341, 276-286, 2008.
[112] J. Tukey, A problem in strategy, Econometrica 17, 73, 1949.
[113] J. von Neumann, O. Morgenstern, The Theory of Games and Economic Be-
havior, 1944, Princeton University Press.
[114] Wangkeere, R., An extragradient approximation method for equilibrium prob-
lems and �xed point problems of a countable family of nonexpansive mappings.
Fixed Point Theory Appl., Article ID 134148, p 17, doi: 10.1155/2008/134148,
2008
[115] Wangkeeree, R., Kamraksa, U., An iterative approximation method for solv-
ing a general system of variational inequality problems and mixed equilibrium
problems. Nonlinear Anal. Hybrid Syst. 3, 615-630, 2009
[116] Wangkeeree, R., Kamraksa, U., A general iterative method for solving the
variational inequality problem and �xed point problem of an in�nite family of
nonexpansive mappings in Hilbert spaces. Fixed Point Theory Appl., Article
ID: 369215, p 23, doi: 10.1155/2009/369215, 2009.
[117] H.C. Wu, Duality theory for optimization problems with interval-valued objec-
tive functions, Journal of Optimization Theory and Applications, 144, 615-628,
2010.
[118] H.C. Wu, On interval-valued nonlinear programming problems, Journal of
Mathematical Analysis and Application, 338, 299-316, 2008.
35
[119] H.C. Wu,Wolfe duality for interval-valued optimization, Journal of Optimiza-
tion Theory and Applications, 138, 497-509, 2008.
[120] H.C. Wu, The Karush-Kuhn-Tucker optimality conditions in an optimization
problem with interval-valued objective function, European Journal of Opera-
tional Research, 176, 46-59, 2007.
[121] H.C. Wu, The Karush-Kuhn-Tucker optimality conditions in multiobjective
programming problems with interval-valued objective functions, European
Journal of Operational Research, 196, 49-60, 2009.
[122] Xu, H.-K., Strong convergence of approximating �xed point sequences for non-
expansive mappings. Bull. Austral. Math. Soc. 74, 143-151, 2006.
[123] Yao, J.C., Variational inequalities and generalized monotone operators, Math.
Oper. Res 19, 691-705, 1994.
[124] C. Z¼alinescu, Convex Analysis in General Vector Spaces, World Scienti�c,
Singapore, 2002.
[125] Zeidler, E., Nonlinear functional analysis and its applications-vol. I. Fixed-
Point Theorems, New York, Berlin Heidelberg Tokyo, 1986.
[126] Zeng, L.C., Schaible, S., Yao, J.C., Iterative algorithm for generalized set-
valued strongly nonlinear mixed variational-like inequalities, Journal of Opti-
mization Theory and Applications 124, 725-738, 2005.
[127] Zhang, Q., Optimality conditions and duality for semi-in�nite programming
involving B-arcwise connected functions, J. Glob. Optim. 45, 18, 615-629, 2009.
[128] H. C. Zhou and Y. J. Wang, Optimality condition and mixed duality for
interval-valued optimization. Fuzzy Information and Engineering, AISC, 62,
1315-1323, 2009.
36
