Comportamentul Micro Economic Al Agentilor Economici in Conditii de Piata - Aplicatii

Lucrarea se adresează cu precădere studenţilor facultăţii de

Cibernetică, Statistică şi Informatică Economică, care studiază în anii II

şiIII Microeconomia, dar poate costitui un material de lucru şi pentru alţi

studenţi ai Academiei de Studii Economice ce au în programa analitică

studiul acestei discipline.

În capitolul întâi este analizat, cu ajutorul problemelor propuse,

comportamentul agenţilor economici pe pieţe cu concurenţă perfectă, legat

de deciziile pe care le iau atunci cand sunt confruntaţi cu astfel de piaţe.

Sunt analizate de asemenea diversele tipuri de echilibre ce pot apărea pe o

singură piaţă, într-o economie de schimb şi dacă acestea sunt optime

Pareto.

În capitolul al doilea este analizat, prin intermediul aplicaţiilor

prezentate, deciziile agenţilor economici privind volumul de output pe care

trebuie să-l producă, atunci când sunt confruntaţi pe o piaţă cu concurenţă

imperfectă de tip monopol, oligopol, duopol, cartel cât şi în situaţia în care

statul aplică taxe şi subvenţii.

Capitolul al treilea tratează din punct de vedere al aplicaţiilor,

efectele externe ale diferitelor tipuri de producţie asupra mediului şi

consumatorilor.

Ultima parte conţine un îndreptar matematic, care se doreşte a fi un

instrument minimal în înţelegerea rezolvării problemelor conţinute în

lucrarea de faţă.

Autorul

Comportamentul microeconomic

al agenţilor economici pe pieţe cu concurenţă perfectă 1

1.1 Echilbrul pe o singură piaţă

Problema 1

Considerăm o piaţă în situaţia de concurenţă perfectă pe care se vinde un

produs q la preţul p. Zece întreprinderi asigură producţia acestui bun. Costul

lor total este:

.423)( 23 +−= qqqC

Se cere:

1. Determinaţi oferta individuală a fiecărei întreprinderi;

2. Deduceţi oferta globală a ramurii;

3. Dacă preţul de echilibru pe termen scurt este calculaţi cantitatea

globală schimbată şi oferită de fiecare întreprinderi la acest preţ.

,8* =p

Rezolvare

1. Vom determina oferta individuală a unei firme, prin maximizarea

profitului său.

Profitul este:

.423 23 −+−=Π qqpq

Comportamentul microeconomic al agenţilor economici pe pieţe cu concurenţă perfectă

La optimum avem: .490490 22 qqpqqpq

−=⇔=+−⇒=∂Π∂

Pentru a maximiza profitul său pe termen scurt, producătorul trebuie să

egaleze costul său marginal cu preţul pieţei care îi este impus.

Se observă că este vorba de un maxim de profit deoarece:

04182

2

<+−=∂Π∂ q

q dacă şi numai dacă .

92

>q

Pentru 92

>q rezultă că Prin

rezolvarea ecuaţiei de gradul doi obţinem următoarele soluţii:

.04949 22 =−−⇒−= pqqqqp

.9

)94(92

9)94(

92

2/1

2

2/1

1

pq

pq

++=

+−=

Cum 92

>q reţinem numai soluţia q2. Totodată q2 trebuie să verifice o altă

restricţie şi anume: Deci q.min CMp ≥ 2 va fi oferta întreprinderii dacă şi

numai dacă , minCM fiind minimul costului mediu sau pragul

de rentabilitate al firmei. Pentru a găsi minimul costului mediu, este

suficient să găsim valoarea lui q pentru care

CMp min≥

CMCm = căci se ştie că costul

marginal intersectează costul mediu în punctul său de minim.

Deci, din CMCm = obţinem:

.0)446)(1(42349 222 =++−⇔+−=− qqqq

qqqq

Soluţia acestei ecuaţii este doar q = 1, iar .5== CMCm

Comportamentul microeconomic al agenţilor economici în condiţii de piaţă. Aplicaţii

În final oferta întreprinderii i este:

.5 pentru 9

)94(92 2/1

≥+

+= ppqi

2. Să deducem acum oferta globală a ramurii. Această ofertă globală a

ramurii este egală cu suma ofertelor individuale. Cum în această ramură sun

10 întreprinderi ce au aceeaşi funcţie de cost total vor avea deci aceeaşi

ofertă. Prin urmare oferta globală va fi:

.5 pentru 9

)94(1092010

2/1

≥+

+== ppqQ i

3. Pentru vom avea: )58(8* >=p

,9,119

)724(10920 2/1

* =+

+=Q

şi

.19,110

** ==

Qqi

Problema 2

Fie o piaţă în concurenţă perfectă pe care se vinde un produs q la

preţul p. Producţia este asigurată de două tipuri de întreprindere,

întreprinderi de tipul A şi întreprinderi de tipul B. Există 40 de firme de tipul

A şi 20 de firme de tipul B. Cererea totală pe această piaţă este:

.100040 +−= pQ D


Presupunem că întreprinderile indiferent de tipul lor au aceeaşi funcţie de

cost total: kqk

qqC +−−= 23 )12()( ,

k fiind o variabilă care reflectă nivelul înzestrării tehnice şi care este fix pe

termen scurt, k > 0.

Se cere:

1. Arătaţi că funcţia de cost total pe termen lung a fiecărei întreprinderi are

ca ecuaţie: ;22)( 23 qqqqCTL +−=

2. Presupunând că nici o firmă nu poate intra pe piaţă produsului q, şi

plecând de la funcţia de cost pe termen lung, determinaţi caracteristicile

echilibrului;

3. Presupunând că nu există bariere de intrare pe piaţa produsului q,

determinaţi caracteristicile echilibrului, considerând că funcţia de cost

total pe termen lung a întreprinderilor de tip B s-a modificat

în: ;232)( 23 qqqqCTL +−=

4. Cum va evolua piaţa pe termen lung dacă orice întreprindere poate avea

acces liber pe această piaţă?

Rezolvare

1. Calculăm funcţia de cost total pe termen lung. Se ştie că pe termen lung

0)(=

∂∂

kqC , k fiind o variabilă ce reprezintă înzestrarea tehnică, care pe

termen scurt este fixă. Din:

.0 deoarece 010)( 222

2

>=⇒=⇔=+−

⇔=∂

∂ kqkqkkq

kqC


Pe termen lung k = q şi funcţia de cost total se scrie:

.22)()12()( 2323 qqqqCTqqq

qqCT tltl +−=⇔+−−=

2. Trebuie mai întâi calculată oferta globală a ramurii. Dar cum atât

întreprinderile de tip A cât şi cele de tip B au aceeaşi funcţie de cost total pe

termen lung, rezultă că oferta toatală va fi de 60 ori oferta individuală.

Oferta individuală se obţine din maximizarea profitului:

.22 23 qqqpq −+−=Π

La optim avem:

24302430 22 +−=⇔=−+−⇔=Π′ qqpqqpq .

Este vorba de un maxim deoarece:

046 <+−=Π ′′ qqq 32

>q .

Dacă 024324332 22 =−+−⇒+−=⇔> pqqqqpq

Calculă 812)2(1216: −=−+=∆∆ pp de unde 0>∆ dacă şi numai dacă:

320812 >⇒>− pp .

În consecinţă dacă32

>p , există două soluţii:

3)23(

32

6)812(4 2/12/1

1−

−=−−

=ppq

3)23(

32

6)812(4 2/12/1

2−

+=−+

=ppq

din care nu vom reţine decât pe q2.


Totodată q2 trebuie să verifice o altă restricţie şi anume: Deci

q

.min CMp ≥

2 va fi oferta întreprinderii dacă şi numai dacă , min CM

fiind minimul costului mediu sau pragul de rentabilitate al firmei. Pentru a

găsi minimul costului mediu, este suficient să găsim valoarea lui q pentru

care căci se ştie că costul marginal intersectează costul mediu în

punctul său de minim.

CMp min≥

CMCm =

Din de unde 0)1(22243 22 =−⇔+−=+−⇔= qqqqqqCMCm

32 deoarece1 >= qq .

Deci putem spune că oferta unei întreprinderi i este:

.1cu 3

)23(32 2/1

≥−

+= ppqi

Oferta globală se scrie atunci:

.1cu )23(204060 2/1 ≥−+== ppqQ is

La echilibru, vom avea ecuaţia:

023051954 2 =+−⇔= ppQQ DS

ale cărei rădăcini sunt:

145,208

837,331951 =

−=p

6,288

837,331952 =

+=p .

Singura soluţie acceptată este: .145,201 =p

Se observă că dacă: - 02,194145,201 >=⇒= DQp

- ceea ce corespunde unei

cereri negative.

01446,282 <−=⇒= DQp


În concluzie, pentru ,145,201 =p

.78,45237,360

2,194 **

* =Π=== iiQqQ

3. Cum fiecare firmă realizează un profit, acest lucru va atrage numeroase

firme din ramură. În consecinţă oferta globală va creşte, preţul de echilibru

va scădea, ca de altfel profitul fiecărui producător. Atâta timp cât

întreprinderile din ramură vor realiza un profit, vor exista firme noi ce vor

dori să intre pe piaţă. Procesul se va încheia când profitul fiecărei

întreprinderi va fi nul.

De unde pe termen lung, atunci când piaţa este cu acces liber

iii CMCmp ==⇒=Π 0 . De altfel, profitul unei firme este nul când

costul său marginal taie costul său mediu. Obţinem deci:

.1* =tlp

Vom numi acest preţ, preţ de echilibru staţionar.

4. Pe piaţă există două tipuri de întreprinderi:

- Întreprinderile A ce au funcţia de cost pe termen lung:

.

.

22)( 23 qqqqCT Atl +−=

- Întreprinderile B ce au funcţia de cost pe termen lung:

232)( 23 qqqqCT Btl +−=


Deoarece întreprinderile au costuri diferite, vom descompune termenul lung

în două faze:

Faza I

Într-o primă fază sunt eliminate de pe piaţă, pe termen lung, întreprinderile

care au costurile cele mai ridicate. A avea un cost mai ridicat este echivalent

cu a avea un prag de rentabilitate mai ridicat.

Se ştie că pregul de rentabilitate al întreprinderilor de tip A este

Trebuie să-l determinăm pe cel al întreprinderilor B. .1* =Ap

Din sau 034232266 222 =⇒=⇔+−=+−⇔= qqqqqqqCMCm

43

=q .

Pentru a vedea care din cele două valori o vom reţine va trebui să

maximizăm profitul firmei B. Profitul se scrie:

qqqpq 232 23 −+−=Π .

La optim, avem:

26602660 22 +−=⇔=−+−⇔=Π′ qqpqqpq .

Se observă că este vorba de un maxim deoarece:

612 +−=Π ′′ qqq dacă şi numai dacă 21

>q .

De unde, dacă 21

>q .0266266 22 =−+−⇒+−=⇔ pqqqqp

Rezolvarea acestei ecuaţii conduce la soluţiile:

6)36(

21

12)1224(6 2/12/1

1−

−=−−

=ppq

6)36(

21

12)1224(6 2/12/1

1−

+=−−

=ppq


Deoarece 21

>q însemnă că singura soluţie acceptată este: .43

=q

Atunci când 875,087 avem,

43

==== CMCmq şi deci minimul costului

mediu este: 875,0min =CM

iar pragul de rentabilitate:

875,0=∗Bp .

În concluzie, oferta unei întreprinderi B este:

( )6

3621 2/1−+=

pq SB . 875,0≥p

În prima fază, întreprinderile A vor fi eliminate de pe piaţă deoarece costul

lor de producţie este mai ridicat decât al întreprinderilor B

( . )

.

875,01 ** =>= BA pp

În faza a II-a, cum pe piaţă nu mai există firme de tip A, vor pătrunde numai

firme de tipul B. Intrarea pe piaţă se va opri atunci când profitul

întreprinderii de

tip B va fi nul, şi asta se va întâmpla când costul său marginal este egal cu

costul său mediu.

Din rezultă BB CMCm = 875,0* =Bp


Problema 3

Fie o piaţă în concurenţă perfectă care vinde produsul y la preţul p.

Cererea pieţei este YD = -2p + 80. Zece întreprinderi asigură producţia.

Costul total este C(y) = 2y2+4y+8.

a) Scrieţi venitul total al firmei i, i = 1,..,10 Pentru valoarea preţului p = 14

faceţi reprezentarea grafică;

b) Determinaţi oferta globală a industriei;

c) Calculaţi preţul de echilibru pe termen scurt, cantitatea globală

schimbată şi oferta fiecărei întreprinderi la acest preţ.

d) Cum va evolua piaţa pe termen lung?

Rezolvare

a) Venitul total al întreprinderii i este VTi = pi yi. Deoarece preţul pieţei

este fixat de firmă, venitul total este de forma liniară adică o dreaptă ce

trece prin origine. Pentru p = 14 ⇒ VTi = 14yi.

VT 14

1 yi

VTi

b) Se determină în prealabil oferta individuală a fiecărei întreprinderi i.

Profitul fiecărei firme va fi :

842)( 2 −−−⋅=−⋅=∏ iiiiii yyypyCyp


La optim. p = C⇒+=⇒=−−⇒=∏ 440440'iiy ypyp m. Deci

pentru maximizarea profitului pe perioade scurte, producătorul trebuie să

egalizeze costul marginal cu preţul pieţei . Rezultă deci

y

04"yy <−=∏

i* = (p - 4)/4.

Pentru ca yi* să fie oferta întreprinderii i, trebuie impusă restricţia

, unde CminMCp ≥ Mmin este costul mediu minim, sau pragul de rentabilitate

al firmei. Pentru a găsi acest cost mediu minim trebuie găsită valoarea yi*

pentru care costul marginal este egal cu costul mediu.

Din Cm = CM ⇒ 4yi + 4 = 2yi + 4 + 8/yi ⇒ yi = 2.

Pentru yi = 2, Cm = CM = 12. Deci costul minim mediu este egal cu

12 unităţi monetare şi pragul de rentabilitate se atinge pentru valoarea

preţului p = 12.

Oferta întreprinderii i este : yis = (p - 4)/4 cu . 12≥p

Oferta globală este: ys = (5p - 20)/2 cu . 12≥p

c) Preţul de echilibru se găseşte la intersecţia ofertei globale cu cererea

globală şi valorile optimale vor fi:

(5p - 20)/2 = - 2p + 80 ⇒ 9p = 180 ⇒ p* = 20

oferta globală optimală este:

y* = 40 şi a fiecărei firme i : yi* = y*/10 = 4.

d) Evoluţia pieţei pe termen lung

Profitul pe termen scurt pentru întreprinderea i este strict pozitiv deoarece

p* = 20 > 12. Atrase de valoarea profitului şi alte întreprinderii vor intra în

branşă. Oferta globală va creşte, preţul de echilibru se va diminua ca şi


profitul fiecărei firme. Intrarea de noi firme se va face până ce profitul

producătorului va fi nul.

iMltmi CCp ==⇒=∏ 0

Profitul firmei va fi nul când costul marginal intersectează costul mediu

Cmi = CMi când preţul pieţei este egal cu pragul de rentabilitate p*i = 12.

Deci pe termen lung vom avea următoarele valori:

- pragul de rentabilitate p*i = 12 ;

- valoarea optimală la nivelul industriei: y* = 56(- 2*12 + 80);

- valoarea optimală la nivelul fiecărei firme este y*i = 2;

- numărul de întrepinderi pe piaţă când profitul este nul i*∏ =0 este N =

y*/y*i = 28 .

1.2 Piaţa produselor în regim concurenţial

Problema 4

Fie un produs perfect omogen care se schimbă pe o piaţă unde se întâlnesc

60 de cumpărători şi 40 de producători. Informaţia circulă perfect iar accesul

este total liber.

Presupunem că cererea individuală din bunul respectiv este de

forma:

p = -12q + 100

iar funcţia costului marginal (Cm) a fiecărei întreprinderi este de forma:

Cm = 4q + 40.

Se cere:

1° Să se calculeze preţul bunului şi cantitatea totală schimbată;

2° Cantitatea vândută precum şi venitul total al fiecarei întreprinderi.


Rezolvare

Din funcţiile cererii individuale:

p = -12q + 100 => q = -1/12 p + 100/12

şi deduce cererea totală:

QD = 60q = -5p + 500 => p1/5QD + 100.

Cum pe termen scurt oferta se confundă cu costul marginal avem:

q = Cm = 4q + 40 => p = ¼ p – 10

şi în plan general:

Q0 = 40q = 10p + 400 => p = 1/10Q0 + 40.

La echilibru, avem:

QD = Q0 = 200; p = 60

Având 40 de producători, obţinem

q0 = Q0/40 = 5

VT = pq0 = 300.

Problema 5

Considerăm că mai multe întreprinderi lucrează cu următoarele costuri:

Cantităţi produse

Costuri fixe (CF)

Costuri variabile

(CV) 1 60 80 2 60 170 3 60 230 4 60 275 5 60 310 6 60 340 7 60 375 8 60 420 9 60 480 10 60 575 11 60 705 12 60 875


Se cere:

1. Să se determine nivelul de producţie şi profitul pe termen scurt pentru

fiecare întreprindere, presupunând că preţul pieţei este de 95 u.m.;

2. Să se spună cum variază aceste date pe termen lung;

3. Să se precizeze numărul de întreprinderi care vor interveni pe piaţă pe

termen lung, considerând că cererea totală evoluează după cum

urmează:

Cantitatea cerută 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240

Preţ 100 95 90 85 80 75 70 65 60 55 50 45

Rezolvare

1. Reamintim că în condiţiile pieţei cu concurenţă perfectă, firma este prea

mică pentru a putea influenţa formarea preţului. Pentru ea, preţul este o dată.

Ea este “beneficiara” preţului, în limbajul economiştilor.

În consecinţă, cererea care-i este adresată este perfect elastică: de unde

orizontalitatea dreptei EF, trasată pornind de la p = OE = 95(vezi graficul de

la pagina 24).

Orice patron raţional încetează să producă când preţul de producţie coincide

cu costul marginal. El nu va câştiga şi nici nu va pierde cu ultima unitate

produsă şi de asemenea nu va fi interesat să continue, dar el realizează un

profit de pe urma unităţilor anterior produse, egal cu diferenţa între preţul de

vânzare şi costul mediu în aşa fel încât beneficiul său total să fie egal cu

valoarea acestei diferenţe înmulţită cu cantitatea produsă.

Deci: p = Cm = 95 => q = 10

∏ = (p - CTM)q = (95 – 63,5)10 = 315.


Dacă urmărim pe grafic se observă că:

OI: nivelul producţiei;

EFIO: total venituri;

HGIO: costul total;

EFGH: beneficiul total.

2. Existenţa unui profit care să atraga noi întreprinderi în bransa respectivă,

(oferta totală creste, cererea rămânând neschimbată) provoacă o cădere a

preţului.

Producţia fiecarei întreprinderi ca şi beneficiul ei se micşorează putin câte

puţin.

Afluxul de întreprinderi noi se opreşte de indată ce nu mai este profit de

împărţit. Acest lucru se întâmplă când costul marginal şi cel mediu coicid.

În acest punct se fixează preţul pe termen lung.

Deci:

Cm = CM = p => p = 60 şi q = 9

∏ = (p - CTM)q = 0

Se observă pe grafic că: OJ: preţul pe termen lung;

OK: nivelul producţiei pe termen lung;

JCKO: venituri totale egal cu costul total.

3. Preţul pe termen lung fiind fixat la 60, cererea totală se stabileşte la 180

unităţi. Fiecare întreprindere fabrică 9 unităţi, atunci pe piaţă vor exista: n=

180/9 = 20 întreprinderi


Cm

A

D

CT

faza costurilor crescătoare

Q

CT

700

600

500

400

300

200

100

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

K I 11 12

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

10

20

30

40

50

170

CFM, CVM, CTM, Cm

0

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160

0 Q

faza costurilor descrescătoare

CFM

B

F E

CVM

CTM

H J

G C

S


Problema 6

Pe o piaţă cu concurenţă perfectă sunt n firme pentru care funcţia de cost

total este de forma:

CTi (qi) = 0,1qi2 + 2qi + 5/2, ∈∀ i {1, 2,...,n}

unde qi reprezintă cantitatea produsă de fiecare firmă. Dacă presupunem că

cererea de pe piaţă este de forma:

p = 10 –Q/20 ; ∑=

=n

iiqQ

1

în care p este preţul de vânzare iar Q producţia tuturor firmelor, se cere:

1. Să se găsească nivelul de producţie al fiecarei întreprinderi în cazul în

care analiza are loc pe termen lung.

2. Să se deducă nivelul producţiei totale (a “industriei”, a tuturor

producătorilor) precum şi numărul de producători care îşi exercită

activitatea pe piaţă.

Rezolvare

1° În cazul concurenţei perfecte pe termen lung echilibrul este atins când

costul mediu (CM) şi costul marginal (Cm) sunt egale.

Cum CMi (qi) = CTi(qi) = 0,1qi + 2 + 5/2qi şi Cmi (qi) = [CTi(qi)]’ = 0,2qi + 2

se găseşte:

CMi (q) = Cmi(qi) => qi = 5

2° Plecând de la faptul că preţul coincide cu costul marginal şi costul mediu,

avem:

p = Cmi(qi) = 0,2(5) + 2 = 3


Introducând această valoare în funcţia de cerere, se găseşte volumul

producţiei (q) industriei:

3 = 10 – Q/20 => Q = 140 ˆ

şi, în consecinţă, numărul de întreprinderi care acţionează pe piaţă este:

n = Q/qi = 28.

Problema 7

Pe o piaţă cu concurenţă perfectă sunt 15 întreprinderi care au o structură a

costului (CT) identic, de forma

CT = [ q/2 + 1]q + 6

unde q semnifică volumul producţiei. Cererea care se adresează acestei pieţe

este :

QD = - 85p + 485

Se cere:

1. Să se găsească nivelul preţului şi al producţiei care realizează echilibrul

pe această piaţă;

2. Să se caracterizeze echilibrul pe termen scurt al fiecarei firme atunci când

producţia individuală variază de la q = 1 la q = 10;

3. Să se analizeze evoluţia acestei pieţe pe termen lung;

4. Să se descrie ce vor deveni firma şi industria la echilibru în ipoteza în

care statul impune o taxă asupra producţiei de o unitate monetară pe

bunul vândut. Pentru a duce la bun sfârşit raţionamentul, ne vom plasa

din nou în condiţiile de la punctul 1.


Rezolvare

1. Considerând că orice producător este raţional, oferta fiecărei firme va fi

obţinută prin egalarea preţului cu costul marginal.

Cum: Cm = q + 1 = p => q = p - 1

se obţine o funcţie de ofertă globala (Q0) de 15 ori mai mare:

Q0 = 15p – 15

care, confruntată cu funcţia de cerere, permite să se stabilească echilibrul:

p = 5

Q = 60

2. Ştiind că

CM = CT/q = q/2 +1 + 6/2

Cm = (CT)` = q + 1

construim tabelul următor:

Q 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

CM 7,5 5 4,5 4,5 4,7 5 5,4 5,7 6,1 6,6

Cm 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Preţul pieţei fiind de 51, echilibrul firmei apare imediat:

p = Cm = 5 => q = 4

∏ = (5 – 4,5)4 = 2.

Cum există 15 întreprinderi, se găseşte cantitatea care reprezintă oferta

totală calculată la întrebarea precedentă (60).


3. Pe termen lung, aşa cum a fost explicat şi la problema precedentă, se

observă la nivelul firmei.

Cm = CM => q + 1 = ½q + 1 + 6/q => q = 2√3 = 3,46

Deci q = 3,46 => p = 4,46

∏= 0

La nivelul întregii industrii (a întregii branşe), cererea creşte datorită

scăderii preţului:

QD = -85 p +485 = 105,9

pe când numărul de întreprinderi necesare pentru a satisface această cerere

se dublează:

n = QD/q = 30

4. Datorită efectului de taxare, funcţia de ofertă se rescrie:

301515)1(15 −=−−= ppQO .

Rezultă un prim echilibru din confruntarea cu cererea, astfel:

QO = QD => p = 5,15; Q = 47,25; q = 3,15

Impunerea taxei a antrenat o relaxare a activităţii şi o majorare a preţului.

Dat fiind că vechiul preţ era de 5 iar cel nou de 5,15 sau de 4 dacă luăm în

calcul taxele, concluzionăm că producătorii suportă în proporţie de 87%

greutatea efortului cerut faţă de numai 13% pentru consumatori.


Problema 8

Se presupune că avem de a face cu o piaţă care răspunde ipotezelor de

concurentă pură şi perfectă. Pe această piaţă acţionează 3500 de

întreprinderi de trei tipuri diferite:

- n1 întreprinderi de tipul 1



Aceste 3 tipuri de întreprinderi se diferenţiază prin costurile totale, care au

formele:

CT1(q) = 3q2 + 6q + 14

CT2(q) = 2q2 + 8q + 18

CT3(q) = q2 + 10q + 20

Cu n1 = 1000

n2 = 2000

Cererea care se adresează acestei pieţe este:

QD = -0,25p + 16 998,336

1. Să se determine funcţiile de ofertă ale fiecarei firme pe termen scurt, apoi

oferta totală.

2. Să se specifice caracteristicile echilibrului pe termen scurt: preţ, oferte

individuale, oferta totală.

3. Cum va evolua această piaţă pe termen lung. Daţi preţul de echilibru,

ofertele individuale şi totală precum şi numărul de întreprinderi.

Care este profitul întreprinderilor?


Rezolvare

1. Ştiind ca n3 = 500 (3500 – n1 – n2) vom începe prin a aminti că fiecare

întreprindere se străduieşte să-şi egaleze costul marginal preţului astfel

încât să poată fi imediat indentificate funcţiile de oferte individuale (q°):

p = Cm1 = 6q + 6 => q°1 = (p-6)/6

p = Cm2 = 4q + 8 => q°2 = (p-8)/4

p = Cm3 = 2q + 10 => q°3 = (p-10)/2

Funcţia de ofertă totală (Q°) este atunci:

Q° = n1q°1 + n2q°2 + n3q°3 = 1000(p-6)/6 + 2000(p-8)/4 + 500(p-10)/2

Adică: Q° = 916,647p – 7500

De unde: p = 26,7182

2. La echilibru Q° = QD = -0,25p + 16998,36

Q° = QD = 16 991,68

q°1 = 3,453 Q°1 = n1q°1 = 3453

q°2 = 4,6795 Q°2 = n2q°2 = 9539

q°3 = 8,359 Q°3 = n3q°3 = 4179,6

3. Pe termen lung vor rămâne pe piaţa numai întreprinderile ale căror costuri

sunt cele mai mici.

Să căutăm atunci minimul acestor costuri medii.

min CM1 => min[3q + 6 + 14/q] => CM`1 = 3- 14/q2 = 0

=> q = + √14/3 = 2,16 => CM1 (2,16) = 18,9615

min CM2 => min[4q + 8 +18/q] => CM`2 = 2 – 18/q2 = 0 => q = 3 =>

CM2(3) = 20


min CM3 => min[2q +10 +20/q] => CM`3 = 2-20/q => q = √20 = 4,472 =>

CM3(4,472) = 18,9442

De fapt, numai întreprinderile de tipul 3 vor acţiona pe termen lung.

La scară individuală, vom găsi:

q°3,tl = 4,472; p°3,tl = 18,944; ∏3,tl = 0

şi pe plan global Qtl = 916,667; ttl – 7500 = 16993,6

n3,tl = QOtl/q3,tl =3800 întreprinderi.

Problema 9

Fie o piaţă unde se întâlnesc două funcţii de cerere şi de ofertă astfel:

qD1 = apt + b

q°1 = cpt-1 +d

unde q reprezintă cantităţile, p pretul, a, b, c şi d fiind parametrii (a<0, b, c,

d > 0)

Se cere:

1. Să se calculeze preţul de echilibru.

2. Să se calculeze ecuaţia recurentă a preţurilor.

3. Să se discute evoluţia ca tendinţă după cum variază parametrii.

Rezolvare

1. La echilibru, există o staţionaritate a preţului:

pt = pt-1 = ...... = p*

de unde:

ap* + b = cp* + d

deci: p* = (d-b)/(a-c)


2. Trei ecuaţii servesc la descrierea evoluţiei preţurilor:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=+=

=

− dcpqbapq

qq

tOt

tDt

Ot

O

1

1

Din acestea decurge:

(1) pa

bdpacp 1t1tt β+α=

−+= −−

Punând a

=α c şi a

=β bd −

În acelaşi mod se va scrie:

(2) 21 βα += −− tt ppcare introdusă în (1), va da:

(3) 22 βαβα ++= −tt pp

şi cum

(4) 32 βα += pp

( )23

−− tt

(1) devine

şi tot aşa, prin recurenţă, se obţine: 53 βαββαα +++= −tt pp

=++++++= −− βαββαβαβαα 221 LttO

tt pp

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

+=+= ∑−

= ααβααβα

111 t

Ot

t

Oi

iO

t pp

pentru că este o progresie geometrică de raţie α. ∑i

iα


După ce dăm factor comun pe , obţinem: tαα

βα

βα−

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−+=

11Ot

t pp şi

mai mult, înlocuind α şi β cu respectivele valori ajungem la:

[ ] ∗∗ +−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

−−

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−−

−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= ppp

ac

cabd

cabdp

acp O

tt

t 0

3. Evoluţia sistemului este strâns dependentă de compararea valorilor

absolute a pantelor ofertei şi cererii:

• dacă |c|=|a|: sistemul admite oscilaţii întreţinute; 0lim pp tt ⎯⎯→⎯ ∞→

• dacă |c|<|a|: sistemul admite oscilaţii convergente; ∗∞→⎯⎯→⎯ pp ttlim

• ∞⎯⎯→⎯ ∞→ttplim dacă |c|>|a|: sistemul admite oscilaţii divergente.

Problema 10

O întreprindere produce un bun cu funcţia de cost total de forma: CT=q2+3q

iar cererea căreia i se adresesză este: QD=-4p+200.

1. Să se evalueze producţia, preţul şi profitul pe termen lung în cazul unei

pieţe cu concurenţă perfectă.

2. Aceleaşi întrebări în cazul pieţei monopsonice.


Rezolvare

1. Având ecuaţia de cost total, se deduc cele de cost mediu(CM) şi cost

marginal(Cm)

3−== qq

CTCM

( ) 32 −=′= qCTCm

De asemenea, în ceea ce priveşte veniturile avem:

( ) 5021

5041

5041

2

+=′=

+=⋅=

+==

qVTV

qqqVMVT

qpVM

m

Pe termen lung se ştie că CM = VM, de unde:

( )( ) ( )[ ] 04,4234,424,424,39

4,39

4,42

2 =×−−×=−=∏

==

=

∗

∗∗

∗

CTVTqCMp

q

c

c

c

2. În regim monopsonic se porneşte de la CM=VM:

( )( ) ( )[ ] 02,21*32,212,21*2,18

2,18

2,21

2 =−−=∏

==

=

∗

∗∗

∗

m

m

m

qCMpq


Inexistenţa profitului se explică prin faptul că cumpărătorul fiind singurul de

pe piata isi impune condiţiile cele mai bune.

Problema 11

Fie o economie redusă, compusă din trei consumatori şi doi

producători. Consumatorul dispune de un venit considerat ca dat. Cei

doi producători A şi B fabrică două bunuri X şi Y cu ajutorul unui singur

factor L (munca), bunuri care sunt cerute de cei trei consumatori.

i Ri

Vom nota cu , cantitatea de muncă utilizată de producătorul A şi cea

folosită de B, iar prin s rata salariului. Funcţia de utilitate pentru fiecare

dintre cei trei consumatori U este

LA LB

h hhh yxU = , ,1=h 2, 3. Restricţia

bugetară este , unde h = 1, 2, 3. hyhxh ypxpR +=

Funcţiile de producţie a bunurilor X şi Y sunt :

pentru producătorul A, L x yA A= +2A2

B2 pentru producătorul B. L x yB B= +2

Se cere:

1. Determinaţi expresiile cererilor individuale din cele două bunuri şi ale

cererilor globale.

2. Determinaţi expresiile ofertelor de bunuri pentru fiecare producător şi

cele ale ofertelor globale.

3. Stabiliţi expresia preţurilor şi la echilibru. px py

4. Calculaţi preţurile şi cantităţile schimbate pe piaţă când ,

, şi s = 4.

R1 10=

R2 8= R3 4=


Rezolvare

1. Fiecare consumator exprimă o cerere individuală raţională de fiecare

bun care este o funcţie de venitul de care dispune şi de preţuri. Problema pe

care trebuie să o rezolve fiecare consumator este cea a repartizării optimale

a venitului său între bunurile X şi Y.

⎩⎨⎧

+==

111

111 maxypxpR

yx U

yx

de unde:

ixx

ii D

pRx ,2

== şi yRp

Dii

yy i= =

2 , , i = 1, 2, 3

deoarece funcţiile de utilitate au aceeaşi formă. Sunt funcţii crescătoare în

raport cu venitul şi descrescătoare în raport cu preţurile.

Cererile globale sunt :

xiixx p

RRRDD2

3213

1,

++==∑

=

şi

yiiyy p

RRRDD2

3213

1,

++==∑

=

.

2. Producătorii oferă bunurile X şi Y astfel încât să obţină un profit maxim.

( )22AAAyAxAAyAxA yxsypxpsLypxp +−+=−+=Π

02

02

=−=Π

=−=Π

AyA

A

AxA

A

sypy

sxpx

∂∂∂∂

de unde

sp

y

spx

yA

xA

2

2

=

= şi

sp

y

spx

yB

xB

2

2

=

=


Matricea hessian: este strict negativ definită deci soluţia

obţinută realizează un maxim.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

2s- 0 0 2s

H

Ofertele globale sunt :

; spxxO x

BAx =+= sp

yyO yBAy =+=

3. Determinarea preţului de echilibru se va face egalând ofertele globale şi

cererile globale.

implică : O Dx = x

( )2

2

321321 sRRRp

pRRR

sp

xx

x ++=⇒

++= ∗

O Dy = y , implică:( )

2

2321321 sRRR

pp

RRRsp

yy

y ++=⇒

++= ∗

4. O Dx x∗ ∗= =

444

p px y∗ ∗= = 44

1.3 Echilibrul general într-o economie de schimb

1.3.1 Schimbul pur a două bunuri

de către doi cumpărători

Problema 12

Se consideră o economie de schimb cu două bunuri şi doi consumatori.

Consumatorul 1 are ca funcţie de utilitate: 12

11

12

11

1 log32log

31),( xxxxU +=


iar consumatorul 2: 22

21

22

12

1 log31log

31),( xxxxU +=

unde desemnează consumul de bun h al individului i, i = 1, 2 şi h = 1, ihx

2. În economie este disponibilă o unitate din fiecare bun.

Se cere:

1) Determinaţi ecuaţia curbei contractelor (locul geometric al optimului

Pareto). Să se scrie această ecuaţie sub forma . )( 11

12 xfx =

Reprezentaţi această curbă în diagrama lui Edgeworth.

2) Să presupunem că resursele de bun 1 şi 2 sunt egal împărţite între

consumatori. Determinaţi raportul q al preţului bunului 2 la preţul

bunului 1 pentru cantităţile consumate de fiecare individ la echilibru.

Verificaţi că acest echilibru este un optim Pareto şi reprezentaţi-l grafic.

Rezolvare

1. La optimul Pareto, rata marginală de substituţie a bunului 2 cu bunul 1

este aceeaşi pentru cei doi consumatori. Din punct de vedere grafic, curbele

de indiferenţă pentru cei doi consumatori sunt tangente şi au deci aceeaşi

pantă.

i

i

i

i

i

xUxU

RMS

2

11/2

∂∂∂∂

= i = 1, 2

deci pentru i = 1 11

12

1/2 2xxRMS i =

şi pentru i = 2 21

22

1/2 2xxRMS i = .


La optimul Pareto avem: 21

22

11

12

2 xx

xx

= . (1)

Pe de altă parte, suma consumurilor celor doi consumatori trebuie să fie

egală cu cantitatea disponibilă (pentru fiecare bun în parte):

(2) ⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=+

1

122

12

21

11

xxxx

Condiţiile (1) şi (2) definesc un optim Pareto: 11

12

11

12

11

2 xx

xx

−−

=

de unde: 11

111

2 12

xxx+

= ce reprezintă ecuaţia curbei contractelor.

Curba contractelor trece prin originile celor două sisteme de axe şi în plus

curba contractelor este crescătoare şi concavă deoarece:

011

12 >

dxdx şi 01

12

12

2

<xdxd .

2. Notăm cu p1, p2 preţurile unitare ale bunurilor 1 şi 2 iar cu 1

2

ppq = .

O!

X11

X2

2

X21

X1

2

Curba contractelor

Curbe de indiferenţă pentru consumatorul 1

Curbe de indiferenţă pentru consumatorul 2

O


Fiecare consumator deţine prin ipoteză jumătate din fiecare bun.

Consumatorul 1 alege şi astfel încât să maximizeze utilitatea sa

respectând restricţia sa bugetară:

11x 1

2x

2211

22111

ppxpxp +=+

Prin împărţire la p1 se obţine relaţia: 2

112

1

211

qxppx +

=+

de unde: 2

112

11

qqxx +=+ .

Vectorul de consum optimal este caracterizat de condiţia

2

111/2 p

pRMS = adică qx

x 12 1

1

12 = de unde

qxx

111

22

= .

Înlocuind în ecuaţia bugetară se obţine qqxqx

31

61 1

211

+=

+= .

Un calcul similar pentru consumatorul 2 dă qqxqx

41

41 2

221

+=

+= .

Pentru realizarea echilibrului pieţelor, cantităţile consumate sunt egale cu

cantităţile disponibile (ce este cerut de unii este oferit de ceilalţi). Echilibrul

pieţei unu se scrie: adică 121

11 =+ xx

571

41

61

=⇒=+

++ qqq

Se verifică uşor că 5712

212 =⇒=+ qxx

Deci: ⎪⎭

⎪⎬

⎫

==

==

73

53

74

52

22

21

12

11

xx

xx


consumuri ce satisfac optimul Pareto. Echilibrul este ilustrat în graficul

următor:

Problema 13


Consumatorul 1 are funcţia de utilitate U1 = x1Ax1B. consumatorul 2 are

funcţia de utilitate U2 = 2x2Ax2B, unde xij desemnează consumul de bun j (j =

A, B) de către agentul i (i = 1,2). În această economie există 10 unităţi de

bun A şi 10 unităţi de bun B. Dotările iniţiale ale consumatorului 1 sunt

Ax1 = 4 şi 6. Dotările iniţiale ale consumatorului 2 sunt =Bx1 Ax 2 = 6 şi

Bx 2 = 4.

Este acesta un echilibru Pareto?

4/7 1/2

3/5 1/2 O!

3/7 1/2

2/5 1/2

1) Dacă pA = 1 şi pB = 2 este acesta un echilibru general?

2) Să se determine echilibrul general.


Rezolvare

1) Optimul Pareto se realizează atunci când RMS1 = RMS2. Calculăm RMS a

agentului 1 şi RMS a agentului 2. Se ştie că RMS între bunurile A şi B indică

în ce măsură se poate substitui bunul A cu bunul B astfel încât să se rămână

pe aceeaşi curbă de indiferenţă, adică pentru a păstra aceeaşi satisfacţie.

Se ştie că Ui = f(xA, xB). Diferenţiala totală a lui Ui se scrie

BB

iA

A

ii dx

xUdx

xUdU

∂∂

+∂∂

=

Dar de-a lungul unei curbe de indiferenţă, nivelul de utilitate este constant

. 0=⇒ idU

Rezultă deci: ⇒∂∂

−=∂∂

BB

iA

A

i dxxUdx

xU

RMSdxdx

xUxU

B

A

B

i

A

i

=−=

∂∂∂∂

În cazul numeric al problemei avem:

RMS1 = 23

46

1

1

1

1

1

1

===

∂∂∂∂

A

B

B

A

xx

xUxU

,

iar RMS2 = 32

64

22

2

2

2

2

2

2

2

2

====

∂∂∂∂

A

B

A

B

B

A

xx

xx

xUxU

.

Cum RMS1 ≠ RMS2 putem afirma că nu ne situăm într-un echilibru Pareto.


2) Ne situăm într-un echilibru general dacă:

RMS1 = RMS2 =B

A

pp

.

Dar cum RMS1 ≠ RMS2 ⇒oricare ar fi preţul bunului A şi a bunului B, (pA,

pB) putem afirma că nu ne aflăm într-un echilibru general.

3) Determinarea echilibrului general revine la a determina raportul B

A

pp

astfel încât optimul Pareto şi echilibrul general să fie verificate.Pentru

aceasta procedăm în 3 etape:

3.1.) etapa I

- determinăm funcţiile de cerere ale fiecărui consumator.

Pentru simplificare vom pune U = TxAxB; cu T = 1 pentru consumatorul 1 şi

T = 2 pentru consumatorul 2. Avem de rezolvat problema următoare (pentru

consumator):

⎩⎨⎧

=+ RxpxpxTx

BBAA

BAmax

unde R este venitul consumatorului, pA, pB sunt preţurile bunurilor A, B.

Lagrangeanul se scrie:

)( BBAA xpxpRUL −−+= λ )( BBAABA xpxpRxTx −−+= λ .

La optim, avem:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=∂∂

=∂∂

=∂∂

0

0

0

λLxLxL

B

A

de unde ⎪⎩

⎪⎨

⎧⇔

=−−=−=−

000

BBAA

BA

AB

xpxpRpTxpTx

λλ


⎪⎩

⎪⎨

⎧

+===

⇔)3()2()1(

BBAA

BA

AB

xpxpRpTxpTx

λλ

⇔⇔)2()1(

⇒=B

A

A

B

pp

TxTx

λλ

B

A

x

x

B

A

A

B

pp

UU

pp

xx

B

A =⇒= '

'

.

De unde, la optim B

AAB p

xpx =⇒ (b). Înlocuind în (3) pe xB

AA

B

AABAA p

Rxp

xppxpR2

* =⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⇒ şi

BB p

Rx2

* = ; şi fiind

funcţiile de cerere ale consumatorilor. Înlocuind cu datele problemei şi

ştiind că R

*Ax *

Bx

1 = 4pA + 6pB şi

R2 = 6pA + 4pB

B

BAB

B

BAB

A

BAA

A

BAA

pppx

pppx

pppx

pppx

246

264

246

264

*2

*1

*2

*1

+=

+=

+=

+=

⇒

3.2.) etapa a II-a: Calculul cererilor nete.

Cererea netă a agentului 1, de bun A este AAA xxCN 1*11 −= .

Cererea netă a agentului 1, de bun B este BBB xxCN 1*11 −= . Cererea netă a

agentului 2, de bun A este AAA xxCN 2*22 −= . Cererea netă a agentului 2, de

bun B este BBB xxCN 2*22 −= .

Concretizậnd la datele problemei, avem:

A

BA

A

BAA p

ppp

pPpCN2

644

264

1+−

=−+

=


B

BAB p

ppCN2

641

−=

A

BAA p

ppCN2

462

+−=

B

BAB p

ppCN2

462

−= .

Remarcăm că o cerere netă negativă corespunde unei oferte nete.

3.3) etapa a III-a: Determinarea echilibrului general.

La echilibru general, suma cererilor nete pentru fiecare bun este nulă,

aceasta înseamnă că:

⇒⎩⎨⎧

=+=+

00

21

21

BB

AA

CNCNCNCN

⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−+−

=+−+−

02

4664

02

4664

B

BABA

A

BABA

ppppp

ppppp

⎩⎨⎧

⇒=−=+−0101001010

BA

BA

pppp

101010 =⇒=+−B

ABA p

ppp .

Deci la echilibru general 1=B

A

pp

. Luậnd de exemplu pe pB = 1 p⇒ A = 1 şi

în aceste condiţii

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

⇒2555

*1

*1

*1

Uxx

B

A

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

5055

*2

*2

*2

Uxx

B

A

şi în plus


⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−=−==

111

1

2

2

1

1

B

A

B

A

CNCNCNCN

de unde la echilibru general p1 = p2 =1 şi agentul 1 va vinde o unitate de bun

B şi cumpără o unitate de bun A. Invers, consumatorul 2 va vinde o unitate

de bun A şi va cumpăra o unitate de bun B. În aceste condiţii satisfacţia celor

doi consumatori va creşte. În sfârşit, vom fi într-un optim Pareto căci:

RMS1 = RMS2 = 1.

Problema 14


Consumatorul 1 are funcţia de utilitate . Consumatorul 2 are

funcţia de utilitate unde x

BA xxU 1211 =

2222 2 BA xxU = ij desemnează consumul de bun j (j =

A, B) de către agentul i (i =1, 2).

În această economie, există 4 unităţi de bun A şi 4 unităţi de bun B.

Notăm cu Ax1 şi Bx1 dotările iniţiale ale agentului 1 şi cu Ax2 şi Bx2 cele

ale agentului 2.

1) Ce condiţii trebuiesc impuse asupra repartiţiei dotărilor iniţiale pentru a

fi la optimul Pareto ?

2) Deduceţi ecuaţia curbei contractelor.

Reprezentaţi această curbă în diagrama lui Edgeworth.

3) Punctul X(1, 2) este un optim Pareto ?


Rezolvare

1) Determinarea condiţiei ce trebuie impusă asupra dotărilor iniţiale pentru a

fi un optim Pareto.

Suntem într-un optim Pareto dacă RMS1 = RMS2. Calculăm RMS a agentului

1 şi a gentului 2. (RMS între bunurile A şi B indică în ce măsură trebuie

substituit bunul A cu bunul B pentru a rămậne pe aceeaşi curbă de

indiferenţă, adică pentru a păstra aceeaşi satisfacţie)

Se ştie că Ui = f(xA, xB) şi ca atare, diferenţiala este

BB

iA

A

ii dx

xUdx

xUdU

∂∂

+∂∂

= . Cum de-a lungul unei curbe de indiferenţă,

nivelul de utilitate este constant 0=⇒ idU . Rezultă deci:

⇒∂∂

−=∂∂

BB

iA

A

i dxxUdx

xU

RMSdxdx

xUxU

B

A

B

i

A

i

=−=

∂∂∂∂

.

Pentru agentul 1: A

B

xxRMS1

11

2= .

Pentru agentul 2: A

B

xxRMS

2

22 2= .

Cunoscând dotările iniţiale *1

*1

12

A

B

x

xRMS =⇒ şi *2

*2

2

2 A

B

x

xRMS = .


Dar la optimul Pareto avem RMS1 = RMS2

A

B

A

B

x

x

x

x

2

2

1

1

2

2=⇒

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=⇒

A

B

A

B

x

x

x

x

2

2

1

1

41 (2.5). Ca atare dacă dotările iniţiale

respectă condiţia (2.5), ne situăm într-un optim Pareto.


2) Deducerea ecuaţiei curbei contractelor.

Se ştie că curba contractelor este locul geometric al punctelor optim Pareto

(cele ce satisfac condiţia (2)). În plus, se ştie că în această economie, există

4 unităţi de bun A şi 4 unităţi de bun B. Rezultă deci:

⇒⎩⎨⎧

=+=+

44

21

21

B

AA

xxxx

B

)2(

12

12

44

⇒⎩⎨⎧

−=−=

BB

AA

xxxx

⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=A

B

A

B

xx

xx

1

1

1

1

44

41

A

AB x

xx1

11 316

4−

= (3) ecuaţie ce reprezintă curba contractelor.

Reprezentarea grafică cu ajutorul diagramei lui Edgeworth este:

Pentru: x1A = 1 ⇒ x1B = 0.3

x1A = 2 ⇒ x1B = 0.8

x1A = 0 ⇒ x1B = 0

x1A = 4 ⇒ x1B = 4.

Pentru orice punct de pe curba contractelor, nu există nici o altă repartiţie a

consumurilor care să crească satisfacerea unui agent fără să diminueze

satisfacţia unui alt agent.

0.8 0.3

x2A

x1A

x2B

x1B

0 Agentul 1 1 2 3

0’ Agentul 2


3) Este punctul X(1, 2) un optim Pareto ?

Pentru ca punctul X(1, 2) să fie un optim Pareto el trebuie să aparţină curbei

contractelor (deci trebuie să verifice ecuaţia (2)).

Pentru 1341 1

)2(

1 =⇒= BA xx . Ori 1342 ≠ deci X nu este un optim Pareto.

Problema 15

Se consideră o economie de schimb cu 2 bunuri şi 2 consumatori.

Consumatorul 1 are funcţia de utilitate , iar consumatorul 2

are funcţia de utilitate , unde x

2/11

2/111 3 BA xxU =

4/1222 4 BA xxU = ij desemnează consumul de

bun j (j = A, B) de către agentul i (i = 1, 2).

În această economie există 12 unităţi de bun A şi 9 unităţi de bun B. Dotările

iniţiale ale agentului 1 sunt: 31 =Ax şi 61 =Bx , iar cele ale agentului 2 sunt:

92 =Ax şi 32 =Bx .

Se ştie că funcţiile de cerere ale unui consumator având funcţia de utilitate

sunt: )0( >= TxTxU BAβα

AA P

Rx)( βα

αα

+= şi

BB P

Rx)( βα

ββ

+= .

Se cere:

1) Scrieţi funcţiile de cerere ale celor 2 consumatori.

2) Determinaţi echilibrul general.

3) Echilibrul este optimal Pareto?

4) Reprezentaţi rezultatele în cadrul diagramei lui Edgeworth. Comentaţi.

5) Este verificată legea lui Walras?


Rezolvare

1) Fie R1 şi R2 veniturile consumatorilor 1, respectiv 2. Atunci funcţiile de cerere sunt:

BB

AA

BB

AA

PRx

PRx

PRx

PRx

554

222*

22*

2

1*1

1*1

==

==

Putem calcula venitul fiecărui agent folosind dotările iniţiale. Astfel:

R1 = 3PA + 6PB

R2 = 9PA + 3PB

Ca atare:

B

BAB

A

BAA

PPPx

PPPx

263

263

*1

*1

+=

+=

iar

B

BAB

A

BAA

PPPx

PPPx

539

5)39(4

*2

*2

+=

+=

2) Pentru determinarea echilibrului general trebuie să determinăm raportul

B

A

PP astfel încât să fie verificat echilibrul general.

Procedăm în 2 etape:

- calculăm cererile nete: ___

*ijijij xxCN −=

Astfel: A

BAAAA P

PPxxCN2

63___

1*11

+−=−=

B

BABBB P

PPxxCN2

63___

1*11

−=−=

A

BAAAA P

PPxxCN5

129___

2*22

+−=−=

B

BABBB P

PPxxCN5

129___

2*22

−=−=

(o cerere netă negativă corespunde unei oferte nete)


- determinarea echilibrului general

La echilibru general, suma cererilor nete pentru fiecare bun este nulă:

⇒⎩⎨⎧

=+=+

00

21

21

BB

AA

CNCNCNCN

⎩⎨⎧

=−=+−0543305433

BA

BA

PPPP

05433 =+−⇔ BA PP 636,13354

==B

A

PP

.

Considerând PB = 1⇒PA = 1,636.

În aceste condiţii:

545,0545,034,034,0

531,478,12545,3455,566,834,3

21

21

*2

*1

*2

*1

*2

*1

=−=−==

======

BB

AA

BB

AA

CNCNCNCNUUxxxx

ceea ce conduce la concluzia că la echilibru general, agentul 1 va vinde

0,545 unităţi de bun B şi va cumpăra 0,34 unităţi de bun A.

Invers, agentul 2 va vinde 0,34 unităţi de bun A şi va cumpăra 0,545 unităţi

de bun B. În aceste condiţii, satisfacţia celor 2 consumatori va creşte.

3) Echilibru este optimal în sens Pareto?

Pentru realizarea echilibrului general trebuie să avem RMS1 = RMS2 = B

A

PP şi

ca atare se realizează un echilibru optimal în sens Pareto (care cere doar ca

RMS1 = RMS2).


4) Diagrama lui Edgeworth este reprezentată în continuare.

Pentru reprezentarea diagramei lui Edgeworth s-au luat în considerare:

- punctul C(3, 6) ce reprezintă dotările iniţiale ale agentului 1;

- punctul D(9,3) ce reprezintă dotările iniţiale ale agentului 2;

- punctul E(3,34; 5,455) ce reprezintă optimul agentului 1 după efectuarea

schimbului, adică la echilibru general;

- punctul F(8,66; 3,545) ce reprezintă optimul pentru agentul 2 după

efectuarea schimbului, adică la echilibru general.

6 5,455

3 3,34

3 3,545

9 8,66

x1B

x2A

x2B

x1A0

Agentul 1

E

F

D

C

0’ Agentul 2

De remarcat că punctele C şi D sunt suprapuse; analog pentru punctele E şi

F. In al doilea rând s-a trasat curba de indiferenţă a agentului 1 ce trece prin

punctul C, adică curba asociată nivelului de utilitate

=12,728. 2/12/1*1 6)3(3 ⋅⋅=U

Analog pentru agentul 2 s-a trasat curba de indiferenţă ce trece prin punctul

D şi are nivelul de utilitate asociat . Se remarcă

că punctul E (sau F) este în zona numită “de avantaj mutual în raport cu

punctul C (sau D)”

378,47)3()9(4 4/1*2 =⋅⋅=U


În această parte haşurată, consumatorii 1 şi 2 au o satisfacţie mai mare decât

cea obţinută în punctul C (sau D).

Echilibrul general este dat de această regiune.

5) Legea lui Walras stipulează că suma valorilor, la preţurile Pj, (j = A, B)

a cererilor nete a tuturor bunurilor este nulă:

PA(CN1A + CN2A) + PB(CN1B + CN2B) = 0.

Dar la echilibru general: şi deci legea lui Walras este

verificată.

⎩⎨⎧

=+=+

00

21

21

BB

AA

CNCNCNCN

1.3.2 Schimbul pur a două inputuri

de către doi producători

Problema 16

Se consideră o economie de schimb cu 2 factori de intrare K şi L şi două

produse 1 şi 2. Producătorul 1 este caracterizat de funcţia de producţie

, iar producătorul 2 este caracterizat de funcţia de producţie

.

12/1

11 LKQ =

3/12

3/122 2 LKQ =

În această economie, disponibilitatea factorilor de producţie sunt: 100=K

şi 100=L . Dotările iniţiale ale producătorului 1 sunt: 601 =K şi 301 =L ,

iar cele ale producătorului 2 sunt: 402 =K şi 702 =L .

Se cere:

1) Definiţi şi calculaţi ecuaţia curbei contractelor producţiei.

2) Repartiţia iniţială a dotărilor corespundeunui optim de producţie?

3) Determinaţi echilibrul general.


Rezolvare

1) Se ştie că mulţimea punctelor de pe curba contractelor de producţie

reprezintă utilizări eficiente în sensul că pentru acestea este imposibil ca

output-ul unui producător să crească fără să diminueze pe cel al altuia.

La optim RMST1 = RMST2. Vom calcula RMST (rata marginală de sustituţie

tehnică). Se ştie că Qi = f(K, L) dLLQdK

KQdQ ii

i ∂∂

+∂∂

=⇒

Dar de-a lungul isocuantei, nivelul output-ului este constant . 0=⇒ idQ

Ca atare: ⇒∂∂

−=∂∂

dLLQ

dKKQ ii

RMSTdLdK

KQLQ

i

i

=−=

∂∂∂∂

Deci: 2

2

1

1

2

22

1

11 2

2

LK

LK

LKRMST

LKRMST

=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=

=(1).

În plus . Înlocuind în (1) vom avea ⎩⎨⎧

⇒=+=+100100

21

21

LLKK

⎩⎨⎧

−=−=

12

12

100100

LLKK

1

11 200

100L

LK−

= (2) ce reprezintă ecuaţia curbei contractelor de producţie.

2) Dotările iniţiale corespunzătoare unui optim de producţie verifică relaţia

RMST1 = RMST2, adică 2

2

1

12LK

LK

= .


Ştiind că: ⇒==

==

7030

4060

21

21

LL

KK

2

2

1

1

744

2

L

K

L

K=≠=

şi în consecinţă nu ne aflăm într-un optim de producţie.

3) Determinarea echilibrului general revine la determinarea raportului rw ,

w şi r fiind preţurile muncii, respectiv al capitalului.

Vom face această determinare în trei etape.

Etapa I: determinarea cererilor optimale de factori pentru cele două

întreprinderi. Pentru simplificare vom pune cu : βα LTKQ =

12/1,1 === βαT pentru primul producător,

3/13/1,2 === βαT pentru al doilea producător.

Programul ce trebuie rezolvat este: . ⎩⎨⎧

=+ oCwLrKQmax

Langrangeanul:

L )()( rKwLCLTKwLrKCQ oo −−+=−−+= λλ βα

La optim avem:

⇒

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=−−=∂∂

=−=∂∂

=−=∂∂

−

−

)3(0

)2(0

)1(0

)1(

)1(

rKwLCL

rLKTKL

wLKTLL

oλ

λα

λβ

βα

αα


rw

LKTLKT

λλ

αβ

βα

βα

=⇔ −

−

)1(

)1(

)2()1(

rw

KQLQ

rw

LK

=

∂∂∂∂

⇒=⇔αβ

)4(LrwKβα

=⇒

Înlocuind pe K în ecuaţia (3) ⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⇒ L

rwrwLCo βα

⇒+

=⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

wCLwwLC o

o )(*

βαβ

βα

din (4)r

CK o

)(*

βαα+

=⇒ .

),( ** KL reprezintă cererile optimale de factori de producţie.

Pentru producătorul 1: w

CL

32 01*

1 = ,r

CK3

01*1 =

Pentru producătorul 2: w

CL2

02*2 = ,

rC

K2

02*2 = , C02 fiind nivelul său de cost

iniţial.

Dar rwKrLwC 60301101 +=+=−−−−

. rwKrLwC 40702202 +=+=−−−−

Avem deci:

rrwK

rrwK

wrwL

wrwL

24070

36030

24070

312060

*2

*1

*2

*1

+=

+=

+=

+=


Etapa a II-a: calcularea cererilor nete de factori.

Cererea netă de factor K pentru agentul i (i = 1, 2) este

. −−

−= iiik KKCN *

Analog pentru factorul L: .Deci: −−

−= iiiL LLCN *

rrw

rrwKKCN K 3

12030603

60301

*11

−=−

+=−=

−−

wrw

wrwLLCN L 3

12030303

120601

*11

+−=−

+=−=

−−

rrw

rrwKKCN K 2

4070402

40702

*22

−=−

+=−=

−−

wrw

wrwLLCN L 2

4070702

40702

*22

+−=−

+=−=

−−

O cerere netă negativă corespunde unei oferte nete.

Etapa a III-a: determinarea echilibrului general.

La echilibru general, suma cererilor nete pentru fiecare factor este nulă. De

unde:

⎩⎨⎧

⇒=+=+

00

21

21

LL

KK

CNCNCNCN

⎩⎨⎧

⇒=−=−

03602700360270

rwrw

340360270 =⇒=−

rwrw .

Dacă se ia factorul r = 134

=⇒ w .

În aceste condiţii: . 5050

67,6633,33*2

*1

*2

*1

====

LLKK

În plus CN1K = -26,67, CN1L = 20, CN2K = 26,67, CN2L = -20.


La echilibru general producătorul 1 va diminua factorul capital cu 26,67

unităţi şi va creşte factorul muncă cu 20 unităţi. Invers, producătorul 2 va

creşte factorul capital cu 26,67 unităţi şi va diminua factorul muncă cu 20

unităţi. În aceste condiţii vom fi într-un optim de producţie căci RMST1 =

RMST2 = 4/3.

1.3.3 Echilibrul general într-o economie de schimb

Problema 17

Fie următoarea cutie a lui Edgeworth:

2/3 1/3 Bunul Y 1 5/6 2/3 7/2 ½ 5/12 1/3 7/24 1/4

1/6 1/3 5/12 ½ 7/12 2/3 9/12 5/6 E Bunul X


Punctul E de pe grafic reprezintă dotările iniţiale în bunuri X şi Y ale

consumatorilor 1 şi 2. Valoarea totală a fiecărui bun este de 10 unităţi.

Fiind date curbele de indiferenţă, se cere să completaţi tabelul următor:

Preţ

px/py

Cerere

pentru x1

Cerere

pentru Y1

Cerere

pentru x2

Cerere

pentru Y2

Exces

de cerere X

Exces

de cerere Y

3

3/2

1

2/3

1/3

Rezolvare

Preţ

px/py

Cerere

pentru x1

Cerere

pentru Y1

Cerere

pentru x2

Cerere

pentru Y2

Exces

de cerere X

Exces

de cerere Y

3 9/12 5/6 1/6 1/3 -1/12 1/6

3/2 7/12 2/3 1/3 5/12 -1/12 1/12

1 ½ ½ ½ ½ 0 0

2/3 5/12 1/3 2/3 7/12 1/12 -1/4

1/3 1/3 ¼ 5/6 17/24 1/6 -1/24

Problema 18

Fie o piatǎ cu concurenţǎ perfectǎ în care se vinde un produs q la preţul p.

Producţia acestui bun este asiguratǎ de douǎ întreprinderi A şi B. Costurile

totale de producţie ale celor douǎ întreprinderi sunt definite de relaţiile:

BAAAA qqqqC ++= 52)( 2

ABBBB qqqqC 43)( 2 −++= cu qqq BA =+


Cererea totalǎ din acest bun pe piaţǎ este:

QD = - p + 34.

Se cere:

1) Ce puteţi spuse de întreprinderile A şi B?

2) Calculati oferta globalǎ în ipoteza în care nici o firmǎ nu poate intra pe

piaţǎ (nu se va determina pragul de rentabilitate) ;

3) Determinaţi caracteristicile echilibrului. Este el optimal în sens Pareto?

4) Calculaţi surplusul consumatorilor şi surplusul celor douǎ firme;

5) Cum se internalizeazǎ externalitǎţile? Este noul echilibru optimal în sens

Pareto?

Rezolvare

1) Se observǎ cǎ 01)(>=

∂∂

B

AA

qqC şi 04

)(<−=

∂∂

A

BB

qqC

şi în consecinţǎ

întrepinderea A suferǎ o influenţǎ negativǎ din partea întreprinderii B şi

întreprinderea B suferǎ o influenţǎ pozitivǎ din partea întrepinderii A.

De fapt firma A îşi creşte costurile sale de producţie din cauza firmei B

(externalitate negativǎ) iar firma B îşi diminueazǎ costurile de producţie din

cauza firmei A (externalitate pozitivǎ).

2) Se ştie cǎ oferta globalǎ este egalǎ cu suma ofertelor individuale. Vom

determina oferta firmei A şi a firmei B.

Pentru A: BAAAAAAA qqqpqqCpq −−−−−=∏ 52)(max 2

La optim vom avea:

)1( 540540 AAAA

A Cmpqpqpq

=⇔+=⇔=−−⇒=∂∏∂


Pentru maximizarea profitului sǎu, producǎtorul trebuie sǎ egaleze costul

sǎu marginal cu preţul pieţei care îi este impus.( este vorba de un maxim

pentru cǎ 042

2

<−=∂∏∂

A

A

q)

Din (1) 4

554 −=⇒+=⇒

pqqp SAA ; este oferta întreprinderii A. S

Aq

Pentru B: . ABBBBBBB qqqpqqCpq 43)(max 2 +−−=−=∏

La optim, vom avea:

BBBB

B Cmpqpqpq

=⇔+=⇔=−−⇔=∂∏∂

320320 .

Analog 2

332 −=⇒+=

pqqp SBB ; reprezintǎ oferta întreprinderii B. S

Bq

Oferta globalǎ 4

113 −=+=

pqqQ SB

SA .

3) La echilibru, avem: 34p4

11p3QQ DS +−=−

⇔=

. 13*Q21*p =⇒=⇔

Caracteristicile echilibrului sunt:

a) Preţul echilibrului este p* = 21;

b) Cantitatea totalǎ schimbatǎ la acest preţ Q* = 13 ;

c) Firma A produce q*A = 4;

d) Firma B produce q*B = 9;

e) Profitul firmei A este ; 23* =∏ A

f) Profitul firmei B este ; 97* =∏B

g) Profitul global este . 120* =∏G


Echilibru nu este optimal în sens Pareto cǎci se ştie cǎ o economie

concurenţialǎ nu realizeazǎ producţii optimale în cazul efectelor externe.

Ea produce bunuri în exces cu impact pozitiv extern şi în minus bunuri ce

au impact negativ extern. Deci concurenţa perfectǎ nu conduce la un optim

Pareto.

4. Se ştie cǎ surplusul firmelor este egal cu diferenţa dintre încasǎri şi costul

de producţie. Deci surplusul întreprinderii este:

SI = 120

iar surplusul consumatorilor este egal cu suma surplusurilor individuale.

Pentru a-l calcula, este suficient sǎ considerǎm funcţia de cerere globalǎ:

QD = - p + 34

Preţul maxim (pe care consumatorii sunt gata sǎ-l plǎteascǎ) este p = 34.

Dar p* = 21 şi Q* = 13 surplusul consumatorilor (S) este deci: ⇒

5,842

13)2134(=

×−=S

Surplusul social (SS) are forma :

SS = S + E I şi deci S = 204,5.

5. Este vorba de maximizarea profitului global.

Profitul global este: G∏

)()()( BBAABAG qCqCqqp −−+=∏

. ABBBAABAG qqqqqqqqp 4352)( 22 +−−−−−+=∏


La optim, avem:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−−=−−

⇒=

∂∏∂

=∂∏∂

)2( 042014

0

0

B

A

B

G

A

G

qpqp

q

q

Din (2) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

−=

⇒

24

41

pq

pq

SB

SA

493

493 −

=⇒−

=+pQpqq SS

BSA .

Din QD = QS ⇒ p* = 20,71 şi Q* = 13,3

.În plus este vorba de un maxim global căci 042

2

<−=∂∏∂

A

G

q şi

0820

04

2

22

2

2

2

>=−

−=

∂∏∂

∂∂∏∂

∂∂∏∂

∂∏∂

B

G

AB

G

BA

G

A

G

qqq

qqq

Caracteristicile acestui nou echilibru sunt:

a) Preţul de echilibru este p* = 20,71

b) Cantitatea totală schimbată la acest preţ Q* = 13,3

c) Firma A produce q*A = 4,927

d) Firma B produce q*B = 8,355

e) Profitul firmei A este ∏ *A = 20,497

f) Profitul firmei B este ∏ *B = 97,869


g) Profitul global este ∏ *G = 118,366

h) Surplusul consumatorilor este S = 88,378

i) Surplusul firmelor A şi B este SE = 118,366

j) Surplusul social este SS = 206,744

În concluzie, se remarcă că firma A creşte producţia sa iar firma B o

diminuează. Totuşi surplusul celor doi producători scade.

Surplusul social este mai ridicat pe baza faptului că avem de-a face cu o

creştere a surplusului consumatorilor rezultată din scăderea preţului de

echilibru. Se spune că noua situaţie este optimală în sens Pareto.

2

Comportamentul microeconomic al agenţilor economici

pe pieţe cu concurenţă imperfectă

2.1 Echilibrul pieţei de monopol

Problema 19

Considerăm o întreprindere care se găseşte într-o situaţie de monopol.

Cererea care i se adresează are forma:

D(p)= -2p+10, p fiind preţul produsului.

1.Să se scrie funcţia inversă a cererii.

2.Să se deducă expresia venitului total, venitului marginal si a venitului

mediu.

Rezolvare

1.Plecând de la funcţia de cerere D(p)= -2p+10 si notând cu y cantitatea

cerută, avem:

521102 +−=⇒+−= yppy , deci funcţia inversă cererii se scrie:

521)( +−= yyp

Comportamentul microeconomic al agenţilor economici pe pieţe cu concurenţă imperfectă

2.Se ştie că venitul total este VT=p(y)*y.

Deci yyyyVT 5215

21 2 +−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

5+−=⇒∂∂

= yVTy

VTVT mm

521

+−=⇒= yVTy

VTVT MM

p (0,5)

Vm VTM

5 10 y

Problema 20

Fie o inteprindere care se găseşte în situaţie de monopol.

Cererea ce i se adresează este D(p)=-2p+10, p fiind preţul produsului y.

Costul total al monopolului se scrie C(y)=y2+3y.

1.Să se determine preţul, cantitatea şi profitul înteprinderii in condiţiile in

care întreprinderea doreşte să-şi maximizeze profitul.

2.Deduceţi venitul total al monopolistului.

Comportamentul microeconomic al agenţilor economici în în condiţii de piaţă. Aplicaţii

Rezolvare

1.Profitul se scrie )()( yCyyP −⋅=Π , unde P(y) este funcţia inversă

funcţiei de cerere.

Deci ⇒−=⇒−=⇒+−==2

5)(2

5102)( yypypppDy

yyyy 3521 2 −−⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=Π

Dar (1) mmq CVyyyy =⇔+=+−⇔=−−+−⇒=Π 32503250'

La optim, monopolistul trebuie sa aleagă un volum de producţie astfel încât

venitul sau marginal sa fie egal cu costul sau marginal.

Este vorba de un maxim al profitului (rata de creştere

a venitului marginal este mai mică decât rata de creştere a costului

marginal).

''" 0 mm CV <⇔<Π⇔

Este evident, căci . 03" <−=Π

Din (1) 32*23 =⇒−=−⇒ yy .

In aceste condiţii 32*

3145*)(

21* =Π⇒=+−= yp .

2.Venitul total este dat de formula 928)( =⇒⋅= VTyypVT .

Problema 21

Funcţia inversă a de cererii a unei întreprinderi aflată în situaţie de monopol

este p=100-2y, p fiind preţul produsului y.


Costul total al monopolului este 103

)( 23

+−= yyyC .

1.Determinaţi preţul si cantitatea de echilibru ale monopolului.

2.Deduceţi valoarea profitului intreprinderii.

Rezolvare

1.

mm CVyyy

yyyyyCyyp

=⇔−=−⇒=Π

−+−⋅−=−⋅=Π

241000'

103

)2100()()(max

2

23

(1)

La optim, monopolul trebuie sa aleagă un volum de producţie astfel încât

venitul sau marginal sa fie egal costul marginal.

Pentru a avea un maxim trebuie ca ''0" mm CV <⇔<Π .

Dar 0,022" ≥<−−=Π yy .

Din (1)

005,92

4042

02

40420404

01002

2

1

2

>=+−

=

<−−

=⇒>=∆

⇒=−+⇒

y

y

yy

Pentru y*=9,05 avem p*=81,9.

1. 025,566)(**** =−=Π yCyp

Problema 22

Fie o piaţă a unui bun de consum y, caracterizată de funcţia de

cerere:

0,)( >−= apapD


Acest bun este produs de un monopol A plecând de la un bun intermediar x,

pe baza tehnologiei descrisă de funcţia:

cxy =

Bunul intermediar este şi el produs de un alt monopol B. Monopolul B are

funcţia de cost:

2

)(2xxC =

Preţurile sunt fixate în felul următor: în primul rând, monopolul B

alege preţul q pentru bunul intermediar şi odată q fixat, monopolul A alege

preţul p al bunului y.

Se cere:

1) Fie q preţul bunului intermediar ce verifică aqc < . Determinaţi p în

funcţie de q, ce permite monopolului A să obţină maximum de

profit, cât şi producţia de bun şi cererea de bun intermediar .

Determinaţi profiturile

)(qp

)(qy )(qx

)(qAΠ şi )(qBΠ obţinute de cele două

monopoluri A şi B.

2) Monopolul B alege preţul q anticipând că monopolul A va fixa preţul

determinat de relaţia obţinută la punctul 1. Determinaţi preţul

ales de B, preţul ce rezultă şi profitul fiecărui monopol la

echilibru, şi .

)(qp mq

)( mm qpp =

)(qmAΠ )(qm

BΠ

3) Monopolul A decide să încorporeze monopolul B. Odată cele două

monopoluri integrate, preţul p va fi fixat de aşa manieră încât să

maximizeze profitul total al structurii verticale formată de cele două

monopoluri, . Determinaţi preţul ales şi profitul total

. Arătaţi că şi că . Interpretaţi rezultatele.

BA Π+Π=Π MpMΠ mM pp < M

BMA

M Π+Π>Π


Rezolvare

1. Fie q preţul bunului intermediar.

Dacă A alege un preţ p, producţia sa este:

papDy −== )(

iar costul său va fi:

cyxqcyyC == ,)( ,

deci profitul lui A este: )()( paqcpapA −+−=Π .

Preţul este preţul ce maximizează acest profit: )(qp AΠmax .

Din 2

)(0 qcaqpp

+=⇒=

∂Π∂ .

producţia de bun de consum şi cererea de bun intermediar sunt:

2

)()(2

)( qcacqxqcaqy −=⇒

−= .

În acelaşi mod putem scrie că A alege producţie y pentru care venitul său

marginal, a-2y, este egal cu costul său marginal, ceea ce dă y, şi . )(qp )(qx

Profitul monopolului B este dat de:

2

)()(2qxqqxB −=Π ,

adică

)4(8

)(8

)(2

)( 222

qcacqqcacqcacqcaqcB +−

−=

−−

−=Π .

2. Se ştie că dacă B alege preţul q, va obţine profitul )(qBΠ , pentru că

el anticipează că A va fixa un preţ . )(qp


El alege deci q astfel încât să maximizeze )(qBΠ , ceea ce implică:

0)(42)(4 32 =−+−=Π qcacqcca

dqqd B

Se va obţine astfel:

)4()2(

2

2

cccaqm

++

= şi 2

2

4)3(

ccapm

++

= .

Un calcul direct ne dă profitul:

22

2

)4( cam

A +=Π şi

)4(2 2

2

cam

B +=Π .

Se pot obţine aceleaşi rezultate plecând de la egalitatea: mm CV = .

Pentru B, funcţia de cerere inversă se scrie:

2

2c

xacq −=

iar venitul marginal va fi:

2

4c

xacVm−

= .

Egalând cu se va obţine: mV mC42 +

=c

acx , ceea ce va da utilizând

funcţia de cerere inversă.

mq

3. Deoarece cele două monopoluri sunt integrate într-o întreprindere,

profitul său total este:

2

2xpy −=Π ,

cu cyxpay

=−=


ceea ce dă :

2

)( pap −−=Π . )( 22 pac −

zeze profitul: Πmax .Întreprinderea urmăreşte să-şi maximi

Deci:

2

22

2)1(0)(20

ccappacpa

p∂M

++

=⇒=−+−⇒=Π∂

Profitul total va fi:

22

2

)2(2 caM

+=Π

mM pp <Se verifică uşor că :

( )( ) ( )( ) 64234142 22 +<++⇒+

<+

ccccc

)3()1( 222222

<⇒+++ ccaca (adevărat).

De asemenea, pentru profiturile totale, obţinem:

( )( ) ( )2

2

22

222

22426

ca

cca Mm

BmA +

=Π<+

+=Π+Π

Se observă că o structură separată conduce la un preţ final mai ridicat decât

reflectă adevăratul cost de

structura integrală : mM pp < .

Din punct de vedere al eficacităţii sociale a producţiei este mai bună o

structură integrală. De fapt, dacă întreprinderile sunt separate, primul

monopol introduce o distorsiune a preţului său în raport cu costul marginal

şi monopolul A face faţă unui cost marginal ce nu

producţie în termen de factor prim de producţie.


În plus, chiar el introduce o distorsiune suplimentară în raport cu acest cost

marginal deja prea ridicat, prin puterea sa de monopol pe piaţa bunului de

consum. Astfel, se vorbeşte de o dublă marginalizare.

Rezultatul este un preţ mai ridicat decât preţul ce maximizează profitul total.

onsecinţa este tru a

creşte profiturile lor, ceea ce este de dorit din punct de vedere al eficacităţii

socia

ia

de mo ă lin

resupunem de asemenea că funcţia de cost total pe termen scurt se scrie:

c > 0, unde CF este costul fix al monopolului

Să se determine profitul monopolului şi să se reprezinte grafic.

Curbe y) sunt aici drepte, având aceiaşi ordonata la origine şi

egală d -b, respectiv -2b.

Funcţia de cost marginal si mediu se scriu:

CM(y) =a-2by

C că cele două monopoluri au interesul să fuzioneze pen

le.

Problema 23

Presupunem că funcţia de cerere inversă a unei întreprinderi aflată în poziţ

nopol, este de form iară:

p(y)=a-by; a > 0, b > 0

P

CT(y)=CF+cy2,

Rezolvare

Funcţiile de venit total si venit marginal se scriu:

VT(y) =p(y)-ay-by2

Vm(y) =a-2by

le Vm(y) şi VT(

cu a, pantele fiin

Cm(y) =2cy


cCFyCostu diu este minimal pentrul me = . În acest punct CM=Cm

Profitul mono i tru o producţie caracterizată de

egalitatea : Vm(y)=Cm(y) adică

a-2b =2c ceea ce dă:

polulu este maximal pen y

y y

( )( )( )cb

cbapcb

ay++

=+ 2

2ˆ2

Profitul optimal se scrie:

=ˆ

( ) ( ) CFcb

ay =Π ˆ

El este p

−+4

2

ozitiv dacă: ( )cbaCF+

<4

2

adică dacă costurile fixe nu sunt prea

ridicate ( ) ( ) ( ) ( ) =−−−=−⋅=Π 2ˆˆˆˆˆˆ ycCFybayCTyypy

( ) ( ) ( )22

22 cbya

⎜⎜ cCFcb

acb

aba+

−−+⎟⎟

⎠

⎞

⎝

⎛+

⋅−

A

m

CM

Cm

y

G

F

D

0

Cm, CM, Vm,VM

y

a

C

B VMV

c CF

2ba

ba


( ) ( ) ( )2222

442 cbcaCF

cbba

cba

+−−

+−

+=

( )( )( ) ( ) CF

cbaCF

cbacb

cba

−+

=−+

+−

+=

442

222

Această condiţie este verificată pe figura de mai sus. În punctul de

intersecţie al dreptelor Vm(y) şi Cm(y), costul mediu este inferior preţului

a.î. profitul este pozitiv. Acesta este egal cu suprafaţa dreptunghiului

Surplusul total este maxim în punctul G, producţia y* este atunci definita de

egalitatea preţ si cost marginal

ABCD.

cbay2

ˆ+

=

Cu cît CF este mai mic, cu atât vârful curbei costului mediu este mai jos,

aceasta se traduce prin deplasarea curbei CM in jos. Din această cauză

distan tre preţul unitar( care este egal cu VM) şi costul mediu (CM)

creşte, prin urm dreptunghiului ABCD).

reprezintă produc D(p) p reţul de

vânzare. Să se determine preţul, profitul şi ecartul relativ (rata abaterii)

ţa în

are creşte profitul monopolului(aria

Problema 24

Considerăm un monopol care are funcţia de cost total notată CT(y) unde y

ţia. El se confruntă cu o cerere unde este p

pCpE m−

= dacă monopolul urmăreşte să-şi maximizeze profitul.


Vom lua în calcul două situaţii:

1) D(p ) = , α > 1 şi CT(y) = cy α−p

2) D(p ) = a-bp , a > 0, b > 0 şi CT(y) = y2

Rezolvare

1) Profitul exprimat în funcţie de preţ:

( ) ( ) ( ) ( )yCTpyypp −⋅=Π

( ) αα −− −=Π cppp 1

( ) αα1

−− =⇒= ypppD

Profitul este maximal ⇒

( ) ( )1

010 1'

−=⇒=+−⇒=Π −−−

ααα αα cpcppp

Producţia este deci:

⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

−α

αα

1cy costul total=cy

Profitul va fi atunci: α

αα

αα −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−⋅

−=−=Π

11cccypy

( )α

αα

α

αααα

ααααααα

−

−

−−−− ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−⋅⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−⋅=⋅−⋅=Π

1

1

111

111

111 ccc

Ecartul relativ (rata abaterii) este pCpE m−

= adică

( )

1

111

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

==α

ααααcE


Ilustrarea grafică a rezultatului este dată de figura următoare: P p Cerere Cm=c Vm(y) = y producţie

Dacă se notează V(y)=yD-1(y) ⇒ Producţia şi preţul de monopol se obţin din

Vm(y)=Cm(y)

Notând ( ) ( )pDPDpp ⋅′

=ε , elasticitatea preţ a cererii, vom avea:

( ) ( )⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎝

⎛+=

ppyCm ε

11 în z=D(p) ceea ce ne dă:

( )pE

ε1

−= , ecartul relativ este egal cu inversul elasticităţii preţ a

cererii (în valoare absolută).

În acest caz se verifica că ( ) αε −=p


2. Profitul ( ) ( ) ( )2bpabpapp −−−=Π

( ) 0=Π′ p (Condiţia ca profitul să fie maximal). Este dat de

ecuaţia:

( ) ( )( )bb

bapbpabbpa++

=⇒=−+−12

2102

Producţia este prin urmare: ( )bay+

=12

şi costul total este y2.

Profitul va fi atunci:

( )( ) ( ) ( )bb

ab

abb

baypy+

=+

−++

=−=Π141414

21 2

2

2

2

22

Dar Cm(y) =2y

Ecartul relativ este

( )( )

( )( ) bba

bbb

abbbam

pypE

211

2112

112212

+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−++

=⇒−

=

Egalând Vm(y)=Cm(y) ⇒ obţinem producţia şi preţul de monopol

yb

ba 22=

−

Se poate verifica egalitatea dintre E si inversul elasticităţii preţ a

cererii:

( )bpa

bpp−−

=ε în valoare absolută, pentru preţul optimal.


Problema 25

Notăm cu p(y) funcţia inversă a funcţiei de cerere şi cu C(y) costurile totale

ale unei întreprinderi aflată în poziţia de monopol, p fiind preţul

produsului y.

Fie β elasticitatea cererii în raport cu preţul.

1.Arătaţi că venitul marginal al monopolistului este egal cu:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=β11)(ypVm

2.Calculaţi venitul marginal când D(p)=p-α ,α > 1, şi C(y) = 2y. Determinaţi

profitul maxim al firmei şi ecartul relativ.

Rezolvare

1. y

VTVm ∂∂

= Dar VT=p(y)*y. Deci, )(' ypypV ym +⋅= .

Elasticitatea cererii în raport cu preţul este:

yp

py

py

py

pq ⋅∂∂

=⇒∂∂

= βξ :,

Dar '

11

yPypp

y=

∂∂

=∂∂

yPyP

yyP

P yy ⋅=⋅=⇒

')()(

'1β

Dar

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

+=⇒=⋅−⇒

⇒−

=⇒−=⋅⇒+⋅=

ββββ

β

11)()()()())((

)()()(')('

yPyPyPVyPyPV

yPVyPyPVyPyPyPV

mm

mmyym

(*)


2.

a)Vm se poate calcula pe baza formulei (*).

Din

α

ααα

αα

α

αααβ

1

11

11

11

)()(

:

−

−−−

−−

−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⇒

=⇒=⇒==

−=−=⋅−=∂∂

=

yV

yyPypppDy

ppppp

py

py

m

Să calculăm profitul maxim:

[ )().(max ycyyp −Π ] unde p(y) este este funcţia inversă a funcţiei de cerere

02)1(1-0 2y - y max1

'y

1-=−−⇒=Π⇒=Π

−αα α

αα yy

21 1

=−

⇒−α

αα y

⇔ Vm = Cm (3)

Pentru a fi un maxim trebuie ca 0 '' <Π yy

Dar = ''yyΠ 1 deoarece 0 1

21 1

><−

−−−

αα

α αα

y

Din (3) (4) )1(y 2)1(y1

2y *1-1

αααα

αα α

αα −=⇒−=⇒

−=⇒ ,

În aceste condiţii 1

2*

−=ααp

Şi deci, αα

αα

αα

αα

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=Π

212

21

12*

α

αα

αα

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=Π

212

12*

α

αα

α⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=Π

21

12*


De altfel, ştim că ecartul relativ este egal cu inversul elastcităţii preţ a

cererii(în valoare absolută).

yp

Eε1

=

Dar , de undeαε −=yp α

1=E

In concluzie:

Pretul de echilibru este: 1

2*

−=ααp

Cantitatea de echilibru este: α

αα

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=2

1*y

Profitul monopolistului este: α

αα

α⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=Π

21

12*

(si α1

=E

Problema 26

Se consideră un monopol care produce un bun de o calitate variabilă.

Calitatea este măsurată printr-un indice s, cu 10 ≤≤ s .Costul producerii

unei cantităţi y de calitate s este:

( ) sysyC =,

Cererea din bunul produs de monopol este exprimată de către un

consumator reprezentativ, cu venitul R şi al cărui nivel de utilitate este:

Ms

xxU +−=2

2


atunci când consumă o cantitate x de bun de calitate s, la preţul p şi dispune

de un venit rezidual pxRM −= pentru efectuarea altor cheltuieli.

Se cere:

1. Pentru un bun de preţ p şi de calitate s, determinaţi cererea

consumatorului, ; ( )spD ,

2. Calitatea s este fixată. Determinaţi în funcţie de s, preţul şi

cantitatea ce maximizează profitul monopolului. Calculaţi, de

asemenea, profitul corespunzător.

)(spm

)(sxm

3. Să presupunem că monopolul poate să-şi aleagă calitatea. Determinaţi

calitatea , preţul şi cantitatea vândută ce maximizează

profitul monopolului.

MS Mp Mx

4. Exprimaţi surplusul colectiv (suma dintre surplusul consumatorului şi

profitul întreprinderii), în funcţie de x şi s. Arătaţi că dacă se fixează

nivelul de calitate , creşte surplusul total, atunci când creşte

cantitatea vândută în raport cu . Arătaţi, de asemenea, că dacă se

fixează cantitatea vândută de , va creşte surplusul toatal scăzând

calitatea bunului în raport cu .

MSMx

MxMS

5. Determinaţi producţia şi indicele de calitate ce maximizează

surplusul colectiv. Comentaţi rezultatele.

*x *S

Rezolvare

1. Consumatorul îşi determină cererea maximizându-şi utilitatea în raport

cu x, respectând condiţia . 0≥x

pxRs

xxxU −+−=2

)(max2


de unde se obţine:

( ) ( )⎩⎨⎧

≥<−

=⇒=−−⇒=1,01,1

,010pdacăpdacăps

psDpsx

dxdU

2. La o cantitate fixată, monopolul fixează preţul astfel încât să maximizeze

profitul:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )pspsxspsxpxsxCpxsspDCsppD −−=−=−=−=−=Π 1,,,,

ceea ce duce la:

( ) 0210 =−+⇒=Π pss

dpd

( )

( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−=Π

−=

+=

41)(

21)(

21)(

2sss

sssx

ssp

m

m

m

3. Monopolul alege [ ]1,0∈s astfel încât să maximizeze profitul:

. )(max smΠ

Valoarea reţinută verifică 10 ≤≤ s deoarece: şi

pentru .

0)1()0( =Π=Π mm

0)( >Π sm 10 ≤≤ s

Valoarea optimală verifică:

( ) ( ) ( )( ) 04

311412

41)( 2

=−−

=−

−−

=∂

Π∂ ssssss

sm

,

ceea ce dă : 91

31,

32

31,

31

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛== mMmMM xxppS .


4. Surplusul consumatoarului, S asociat unui consum x este:

s

xS2

2

=

Doarece monopolul vinde o cantitate x la preţul sxp −=1 , el relizează un

profit:

( ) ( )sxxsxsp

2

1 −−=−=Π .

Surplusul colectiv este:

( )s

xxsSW2

12

−−=Π+= .

Fixăm mai întâi: 2*

23

32

31 xxWSS −=⇒== , astfel: x

xW 3

32−=

∂∂ .

Luând: 031

91

>=∂∂

⇒==x

Wxx M

Surplusul creşte dacă va creşte cantitatea. Este vorba aici de un rezultate

obişnuit: la o cantitate dată, monopolul produce prea puţin.

Fixăm acum cantitatea la 91

=Mx .

Surplusul colectiv este:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

∂∂

⇒−−

= 118

191

1621

91

2ssW

ssW

Pentru 01811

21

91

31

<−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

∂∂

⇒=s

Ws .

reducerea cantităţii a permis creşterea surplusului.


5. şi maximizează W. *x *S

Deci:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=⇒

=+−=∂∂

=−−=∂∂

⇒

9231

02

01max

*

*

2

2, x

s

sxx

sW

sxs

sW

Wsx

Se observă că şi . MSS =* Mxx >*

Faptul că corespunde proprietăţii conform căreia monopolul ce

caută profitul maximal produce o cantitate inferioară celei ce maximizează

surplusul colectiv, pentru a beneficia de un preţ de vânzare mai ridicat.

Mxx >*

Egalitatea rezultă din compensaţia celor două efecte. Pe de o parte,

aşa cum s-a verificat la întrebarea precedentă, pentru reducerea

calităţii de către monopol la o producţie dată creşte surplusul colectiv.

Invers, un nivel de producţie mai ridicat ( )conduce la preferarea

unui indice al calităţii mai ridicat. În acest exerciţiu, cele două efecte se

compemsează exact dar acest lucru este specific modelului. În cazul unor

ipoteze diferite asupra funcţiilor de cost şi cerere, monopolul va putea să

aleagă un nivel al calităţii mai mare sau mai mic decât nivelul social.

MSS =*

Mxx =*

Mxx >*

2.2 Echilibrul pieţei cu concurenţă monopolistică

Problema 27

Fie o industrie în concurenţă monopolistă conţinând N întreprinderi notate j

=1,...,N. Vom nota cu pj preţul fixat de întreprinderea j şi presupunem că

cererea ce i se adresează întreprinderii j notată este definită astfel: jdy

( ) , , >0j jd

py p pN

α β γ α β γ−= + −


unde p este media preţurilor la nivelul industriei, adică

1

1 Nj

jp p

N =

= ∑

Se cere să se definească echilibrul în cazul concurenţei monopolistice

Rezolvare

Aşa cum este definită expresia lui fiecare întreprindere primeşte 1/N din

cererea totală

jdy

pα β− dacă toate îşi fixează un preţ uniform 1 2 ... np p p p= = = =

Dacă întreprinderea j fixează un preţ pj inferior mediei preţurilor p , ea

beneficiază de un report pozitiv. Deci:

jd

pyN

α β−>

Dacă jp p> rezultă jd

pyN

α β−< .

Aceasta permite reprezentarea curbelor D şi d pentru firma j. Curba D

defineşte cererea dacă toate întreprinderile fixează un acelaşi nivel de

preţ p:

jdy

jp p p= = ⇒ ecuaţia lui D este:

: j

jd

pD yN

α β−=

Din contră, curba d defineşte cererea adresată întreprinderii j în funcţie

de p

jdy

j dacă toate celelalte întreprinderi îşi menţin neschimbat un anumit nivel

al preţului.


Dacă notăm cu p* acest nivel, obţinem:

( ) *1 jN p pp

N− +

=

şi deci pentru curba d:

( ) ( )( )**

2

11 jjj

d

N p pN p py

N N Nα β γ

− −− += − +

adică:

( ) ( )*

2

1 1j jd

N p Ny p

N N N N Nγα β βγ

− −⎛ ⎞⎛ ⎞= − − − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Pentru ca 1 2 ... N *p p p p= = = = să definească un echilibru de concurenţă

monopolistă trebuie să existe interesul ca fiecare întreprindere j să fixeze un

preţ *jp p= , presupunând că celelalte întreprinderi îşi menţin preţul la

acelaşi nivel.

Întreprinderea j se comportă deci ca un monopol cu o funcţie a venitului

mediu ce se deduce din curba d (adică pj).

Această funcţie a venitului mediu se scrie:

( )( )( ) ( )

* 21

1

jj N N N p N y

pN N

α β γβ γ

− − − −= ∗

+ −

Ea defineşte preţul la care întreprinderea j se gândeşte că va putea vinde

cantitatea yj presupunând că celelalte menţin preţul la p*.

Venitul total, VTj =)1(

))1)((( 2*

−+−−−−

=NN

yyNpNNNypjj

jj

γβγβα

Venitul marginal va fi: jmV

( )( )( )

* 21 21

jj

m

N N N p NV

N Nα β γ

β γ− − − −

=+ −

y


Presupunem că fiecare întreprindere are o funcţie de cost total. Pentru

întreprinderea j ea este: ( )j jCT y CF cy= +

Aceasta înseamnă, că pe termen lung, costul marginal este constant.

Alegerea optimală a întrprinderii j este definită de egalitatea costului

marginal şi a venitului marginal (Cm=c).

(**)2

)1()1)(()1(

2)1)((

2

2

NNNccpNNNy

cNN

yNpNNN

j

j

−−−−−−=

=−+

−−−−

•

•

γβγβαγβ

γβα

Preţul optimal ales de întreprinderea j este definit de ecuaţia curbei d, adică,

din (*) şi (**):

)1(22)1()1)((

−+−++−−−

=•

NNNNccpNNNp j

γβγβγβα

Va fi vorba efectiv de un echilibru al concurenţei monopoliste dacă

întreprinderea j alege un preţ p*, adică dacă avem:

( )( ) ( )( )

** 1 1

2 2 1N N N p c c N

pN N

α β γ β γβ γ

− − − + + −=

+ −N

adică:

( )( ) ( )

*

1 1c N

p cN N

α ββ γ

−= +

+ + − N

Se poate observa că preţul de echilibru p* tinde către costul marginal c dacă

, adică dacă numărul de întreprinderi devine foarte mare, echilibrul

pe piaţa monopolistă seamănă din ce în ce mai mult cu cel de pe piaţa cu

concurenţă perfectă unde preţul este egal cu costul marginal.

N →∞


Invers, dacă N=1 * 2

cp α ββ+

⇒ = ceea ce corespunde preţului de monopol.

Sunt deci o mulţime de situaţii intermediare mergând de la monopl la

concurenţă perfectă.

În particular, se constată că marja unitară faţă de costul variabil este o

funcţie descrescătoare de numărul de întreprinderi prezente pe o piaţă. Cu

cât N creşte cu atât *p c− scade.

De fapt echilibrul pe termen lung nu corespunde echilibrului cu concurenţă

perfectă (preţ egal cu costul marginal) decât dacă nu există cost fix (CF=0).

Dacă întreprinderile suportă costuri fixe, profitul se anulează pentru un preţ

superior costului marginal şi aceasta defineşte numărul de întreprinderi N*

care pe termen lung aparţin industriei.

Problema 28

Considerăm o piaţă în concurenţă monopolistică pe care o întrteprindere

vinde un bun unei clientele a cărei cerere se exprimă sub forma:

0,0; ><+= babaqp

Evolutia costurilor sale medii urmează funcţia:

2γβα ++= qCM

Se cere:

1. Să se aminteasca specificaţiile acestei structuri de piaţă.

2. Să se dea valorile de echilibru pe termen scurt.


3. Să se descrie evolutia echilibrului (pentru calcul se va presupune că

ordonata la origine a funcţiei de cerere devine b ' şi că ea este în legătură cu

ceilalţi parametri din expresia:

)(4)( 2' ab −=− αγβ

Rezolvare

1. După cum sugerează chiar numele, o piaţă cu concurenţă monopolistică

ţine atât de concurenţa perfectă cat şi de monopol. Este vorba de concurenţă

în măsura în care pe de o parte numărul celor care intervin pe piaţă este de

aşa natură încât niciunul dintre ei nu este capabil să-şi impună

condiţiile(atomicitatea ofertei ) şi pe de altă parte fiecare întreprindere poate

intra sau din contra poate ieşi fără cea mai mică dificultate (libera intrare şi

libera ieşire) .Neîncrezator în strategia concurentelor, fiecare producator va

acţiona de unul singur.

Din punct de vedere al monopolului mai putem spune că produsul realizat

este eterogen . Existenţa acestei diferenţieri permite deci o modulare a

volumului producţiei şi a nivelului de preţ, dar această modulare este foarte

limitată deoarece bunurile pe care le produc firmele concurente sunt

considerate ca bunuri puţin substituibile .

2. Pe termen scurt prevalează condiţiile de monopol exprimandu-se liber,

fiecare întreprindere işi maximizează profitul prin egalarea venitului

marginal cu costul marginal, adică:

ba

bapa

bq +−−

=−−

= ])(2

[;)(2

**

αβ

αβ


3. Pe temen lung, acest echilibru nu este stabil deoarece, din cauza

concurenţei, industria bunului respectiv atrage noi întreprinderi.

În faţa acestui aflux, fiecare producător se vede constrâns să-şi micşoreze

preţul de vânzare dacă are intenţia de a vinde o cantitate de bunuri

neschimbată sau să-şi micşoreze cadenţa producţiei dacă nu doreşte să-şi

modifice preţul de vânzare. Curbele de venit sunt translatate, procesul

terminându-se atunci când curba venitului mediu ajunge tangentă la curba

costului mediu:

( ) ( ) 02 =−−′+−⇒++=′+⇒= γβαγβα qbqaq

qbaqCMVM

Dat fiind faptul că, în conformitate cu enunţul, discriminantul este nul

( [ ] −−′=∆ 2βb ( )[ ] [ ] ( ) )aba −=−′⇒=−−− αγβγα 404 2 , această

ecuaţie admite o rădăcină dublă

( ) ( ) ba

bapa

bq ′+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−′−

=⇒−′−

=α

βα

β2

ˆ2

ˆ

În final, deoarece b’<b datorită translatării, se observă că: şi . ∗< qq ∗< pp

Cantităţile oferite, ca şi preţul se micşorează pe termen lung. Vom reţine

faptul că fiecare întreprindere are un astfel de nivel de producţie în aşa fel

încât nu-i permite să-şi atingă minimul costului mediu. S-ar putea ca

avantajul pe care l-ar avea din scăderea costului său mediu să fie

contrabalansat prin acceptarea preţului de vânzare astfel încât să-şi poată

vinde producţia.

Altfel spus, echilibrul pe temen lung are loc într-o zonă în care costul mediu

continuă să scadă. Nu se poate încă vorbi de o stare de optimalitate. Iată de

ce, adesea, concurenţa monopolistică se mai numeşte economie de risipă.


Problema 29

Funcţia de cost mediu al unei întreprinderi monopolistice se notează

qqCM γβα ++= pe când cererea căreia i se adresează este de forma

p=aq+b. Aceste funcţii au parametri definiţi astfel: a < 0 < α < β < b < γ şi

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−>

αab

2−β ba

Se cere:

1. Să se găsească cantitatea şi preţul de echilibru al acestei pieţe.

2. Să se precizeze care ar trebui să fie atitudinea statului dacă ar dori să

protejeze pe consumatori prin plafonarea preţului de vânzare la

ba

bap +⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−−

=α

β4

3. Săse arate că la echilibru elasticitatea cererii depăşeşte unitatea în valoare

absolută.

Rezolvare

1. Să ne amintim că la echilibrul monopolului avem egalitate:

Vm=Cm

(Vm)’<(Cm)’


care înseamnă că pe de o parte, condiţia de ordinul I( venitul marginal Vm

trebuie să fie egal cu costul marginal Cm) iar în al doilea rând că ritmul de

creştere al venitului marginal este mai mic decât ritmul de creştere a costului

marginal.

În cazul nostru avem:

( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

+=′=⇒++=⋅=⇒++=

+=′=⇒+==⇒+=

βαγβαγβα qCTCmqqqCMCTqCM

baqVTVmbqaqpqVTbaqp

22

22

2

Deci :

( ) ( ) ba

bapa

bqCV mm +⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=⇒>−−

=⇒= ∗

αβ

αβ

20

2

( ) ( ) α<⇒′<′ aCmVm (ceea ce este precizat în enunţ)

2.Intr-o astfel de ipoteză, statul ar fi nevoit sa acorde o subvenţie (s)

întreprinderii monopolistice egală cu:

s= p -p∗= – ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−−α

βa

ba2

>0

3.Se demonstrează usor că venitul marginal al monopolistului şi elasticitatea

cererii(ε ) sunt strâns legate.

Cum Vm = pq =>Vm=dq

dVT =dqdp

⋅q+p

şi dat fiind faptul că:

ε = q

dq /qp

dpdq

pdp .= =>

dqdp =

εqp


rezultă că:

Vm=p(1+ε1 )=p(1-

ε1 ), căci ε < 0

Ori, daca ⎟ε ⎟ < 1, Vm < 0,ceea ce este puţin probabil pentru că, producatorul

raţional nu are nici un interes sa producă într-o fază în care randamentele

sunt negative(pentru că în acest caz nu ar putea avea loc egalitatea Vm= Cm

fiindcă Cm are toate şansele să fie pozitiv). Se verifică că:

⎟ε ⎜>1

2.3 Echilibrul pieţei de monopol

cu discriminarea preţurilor

Problema 30

Un monopolist are posibilitatea de a-şi “segmenta” clientela împărţindu-şi

producţia pe două pieţe a şi b.

Functiile de cerere (qi), unde pi (i=1,2) sunt preţurile, se scriu sub forma:

q 1 =25-p 1 si q 2 =75-3p 2

Se cere:

1. Să se efectueze o prezentare formalizată a teoriei echilibrului

monopolului discriminant.

2. Să se aplice aceasta pentru a determina raportul cantitatilor qa si qb

vândute în mod real.

3. Să se deducă dacă preţurile de echilibru corespunzătoare justifică

diferenţierea lor.

4. Să se compare elasticitatea celor două cereri.


Rezolvare

1.Să ne imaginăm două categorii de clientelă (1 şi 2) care se adresează unui

monopol cu cereri de forma:

D1 =p1 =f1(q 1 ) şi D =p =f2 2 2(q ) 2

Deoarece ele se confundă cu veniturile medii, venitul total devine:

VT=f (q )⋅q +f (q )⋅q 1 1 1 2 2 2

iar cel al profitului:

Π=VT-CT=f (q )⋅q +f (q )⋅q -ϕ(q 1 +q ) 1 1 1 2 2 2 2

Costul total fiind o funcţie (ϕ) de cantităţile produse.

Se demonstrează atunci folosind condiţia de ordinal I că: )()().( 21

''' qqqfqqfiqiiii

Oqiqi +−+=Π ϕ

=>Vm i (q ,q 2 )=C1 m(q +q ); i={1,2} 1 2

Prin urmare, venitul marginal al fiecărui produs este egal cu costul marginal

al producţiei totale. Amintindu-se de legătura existentă între venitul

marginal şi elasticitatea cererii, stabilim o relaţie între preţurile bunurilor

astfel:

1) Vm 1 = p 1 [1+1/ε 1 ]

2) Vm 2 = p 2 [1+1/ε 2 ]

Din 1) şi 2) =>p 2 = p1 [(1+1/ε 1 )⋅(1+1/ε 2 )]

Din care concluzionăm pe de-o parte că preţurile nu sunt egale decât dacă

elasticităţile cererilor sunt identice si, pe de altă parte, că un preţ scăzut

echivalează unei elasticităţi crescute, şi reciproc.


In ceea ce privesc condiţiile de ordinal II, alternanţa semnelor trebuie să se

succeadă astfel încât:

Vm 1 -Cm < 0 şi

''

2'

'''1

mmm

mmm

CVCCCV−−

−− > 0 deci,( )( )-( >0 ''1 mm CV − ''

2 mm CV − 2' )( mC

ceea ce duce obligatoriu la condiţia:

( ) < 0 ''2 mm CV −

Veniturile marginale ale produselor cresc într-un ritm mai lent decât costul

marginal al producţiei.

2. Din funcţiile de cerere, se obţin ecuaţiile preţurilor:

1) q 1 = 25 - p 1

2) q = 75 - 3p 2 2

Din 1) şi 2) = > p = 25 - q 1 şi p 2 = 25 - 1/3q 1 2

Si prin urmare, ale veniturilor totale si marginale:

1) VT 1 =p 1 q 1 =25q 1 -q 21

2) VT =p q =25q -1/3q 2 2 2 222

şi deoarece Vm şi V1 m 2 sunt egale cu costul marginal al producţiei totale

Cm, avem

1) Vm 1 =Cm(q 1 ,q ) 2

2) Vm 2 =Cm(q 1 , q ) 2

Din 1) şi 2) => =3 ^q 2 1

^q


3. Preţurile corespunzătoare sunt deci:

2112211 p ˆ ˆ25ˆ3125p şi ˆ25ˆ =⇒−=−=−= pqqqp

Cum ele sunt egale, orice diferenţiere este inutilă

4. De la prima intrebare se vede imediat că elasticităţile (ε ) celor 2 cereri

sunt echivalente:

1) Vm 1 = [1+1/1

^p ε 1 ]

2) Vm 2 = [1+1/2

^p ε 2 ]

Din 1) şi 2) => ε 1 =ε 2 deoarece Vm 1 = Vm 2 şi = 1

^p 2

^p

Problema 31

Să presupunem că un monopol este confruntat pe două pieţe ale căror curbe

de cerere sunt:

222

111

2100)(100)(

ppDppD

−=−=

Să admitem că costul marginal este egal cu 20 unităţi. Dacă monopolistul

poate discrimina în termeni de preţ, ce preţ trebuie să practice pe fiecare

piaţă pentru a-şi maximiza profitul.


Rezolvare

Calculăm funcţiile de cerere inversă:

250)(

100)(

222

111

yyp

yyp

−=

−=

Egalitatea costului marginal şi a venitului marginal pe fiecare piaţă ne

conduce la: 2111111111 100)100()()( yyyyyypyV −=−==

11 2100)(1

yyVm −=

250)

250()()(

22

222

22222y

yyy

yypyV −=−==

22 50)(2

yyVm −=

2050202100

2

1

=−=−

yy

Soluţiile sunt:

30,40 *2

*1 == yy

Inlocuind în funcţiile de cerere inversă, obţinem preţurile 35,60 *2

*1 == pp

În acest caz profitul este:∏(y1,y2) = p1(y1).y1 + p2(y2) y2 –

CT(y1+y2)=60.40+30.35 - CT(y1+y2)=3450- CT(y1+y2)

Dacă monopolistul trebuie să practice acelaţi preţ pe fiecare piaţă, calculăm

mai întâi cererea totală(prin însumare orizontală):

12211 3200)()()( ppDpDpD −=+=


Curba cererii inverse este:

33

200)( yyp −=

Condiţia de egalitate între venitul marginal şi costul marginal:

2032

3200

=− y

Care ne dă ca soluţie: şi 70* =y3143* =p iar profitul în acest caz va fi:

∏(y) = p(y).y – CT(y1+y2) = 70.43,33- CT(y1+y2)= 3031 - CT(y1+y2)

Se observă că monopoliustul este mai avantajos dacă practică preţuri

diferenţiate pentru cele două pieţe.

2.4 Echilibrul monopolului public şi privat

Problema 32

Funcţia de producţie a unui monopol care se scrie: Q=(K L E )/9 face

legătura între outputul Q si 3 inputuri (factori de producţie) K,L si E ale

căror preţuri sunt p =1, p =9 şi p =18 .Pe de altă parte preţul bunului

fabricat depinde de cantitate prin expresia:

2/1 2/1 3/1

k L E

P=216Q 2/1−

Se cere:

1. Să se stabilească funcţiile de cost total, mediu si marginal pe termen lung.

2. Să se deducă cantitatea produsă, preţul de echilibru şi eventualul profit.


3. Dacă presupunem că monopolul devine public, să se calculeze din nou

preţurile şi cantităţile care corespund unei gestionări la echilibru şi aceleia a

unei tarifări la nivelul costului marginal. Să se discute despre avantajele şi

dezavantajele în cele 2 cazuri.

Rezolvare

1. Să ncepem prin a rezolva:

min [ =p K+p L+p E] ]CT k L E

cu restricţia:

Q=91 K 2

1

L 21

E 31

= −

Q

Formăm Lagrangianul:

L= p K+p L+p E +k L E λ [ -−

Q91 K 2

1

L 21

E 31

]

Condiţiile de ordinal I sunt:

118018

;0)1( 3/12/1

2/13/12/12/1 ===>=−=

∂∂ −

kpdeoareceEL

KELKpkKL λλ

9162018

;0)2( 3/12/1

2/13/12/12/1 =

−==>=−=

∂∂

lpdeoareceEK

LELKplKL λλ

18486027

;0)3( 2/12/1

3/23/22/12/1 ===>=−=

∂∂ −

EpdeoareceLK

EELKpEKL λλ

(4) 3/12/12/1

91;0 ELKQL

==∂∂λ

Deci din (1) si (2) se obtine o relatie intre K si L ;

LK 9=


şi de asemenea din (2) si (3) se stabileşte o relaţie între E si L:

LE31

=

Introducând aceste rezultate în funcţia de producţie, se găseşte :

3/43/43/12/123/12/1 )31()

31()9(

91)(

91 LLLEKLQ ===

Din această expresie se obţine:

4/34/34/3 ;27;3 QEQKQL ===

Funcţiile de cost se obţin astfel imediat:

- costul total =++= EpLpKpCT ELK4/372Q

- costul mediu CM=Q

CT =72Q 4/1−

- costul marginal Cm=(CT) ' =54Q 4/1−

2. Soluţiile derivă din comportamentul raţional al producătorului care

doreşte să-şi maximizeze profitul π : 4/32/1 72216)( QQQCpQCTVT −=−=−=Π

deci 054108 4/12/1' =−=Π −− QQQ

de unde Q=16; p=54; 288=∧

π

Dacă ne aflăm la echilibru, profitul devine nul:

24;81;0 === eee pQπ

pe cand dacă ne aflăm la o tarifare la nivelul costului marginal avem:

4

4/1 5454 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇒== −

tttmt p

QQCP

ceea ce în final dă: 1152;256;5,13 −=== ttt Qp π


În consecinţă dacă tarifarea la nivelul costului marginal este favorabilă

colectivităţii – productie mai mare( ) şi la un preţ mai mic ( )

ea este dazavantajoasă pentru monopol. Aceasta din urma este constrânsă să

producă cu pierderi(

et QQ > et pp <

185,13 =<= CMpt ) pentru că el se află în faza

randamentelor crescătoare. Aceasta înseamnă că la echilibrul care evita un

bilanţ deficitar este preferabil situaţiei înregistrate situaţiei de la intrebarea

precedentă deoarece si ; şi mai simplu această situaţie este

sursă de ineficienţă economică.

QQe >∧

< ppe

Problema 33

Se consideră un monopol a cărei funcţie de cost total este ( )2

2yFYCT +=

şi care se confruntă pe piaţă cu o cerere a cărei funcţie este de forma

D(p)=a-py unde, y, p desemnează volumul producţiei, respectiv preţul de

vânzare.

Se presupune că a2 > 6F

Calculaţi, în următoarele trei cazuri, preţul optimal, profitul realizat,

surplusul total al consumatorilor si surplusul colectiv. Comparaţi rezultatele.

1. Monopol privat; monopolul îşi alege preţul astfel încât să-şi maximizeze

profitul.

2. Monopol public supus unei constrângeri de echilibru bugetar. Monopolul

trebuie să echilibreze cheltuielile şi veniturile(încasări=costuri) şi să

satisfacă cererea. El urmăreşte să maximizeze surplusul colectiv.

3. Tarifarea la cost marginal. Monopolul trebuie să fixeze un preţ egal cu

costul său marginal şi să satisfacă cererea.


Rezolvare

Profitul monopolului exprimat în funcţie de p este dat de:

( ) ( ) ( ) Fpapapp −−

−−=Π2

2

Surplusul total al consumatorului este egală cu aria haşurată:

Cm

Cerere

CM

y

p

Surplus exprimat în funcţie de p este:

( ) ( )2

2papS −=

Surplusul colectiv W(p)= surplusul total al consumatorilor + profitul

monopolului

( ) ( ) ( ) ( ) FpappSppW −−=+Π=

1.Monopol privat:

Preţul ce maximizează profitul este dat de: ( ) 0=Π′ p

( )3

202 appapap =⇒=−+−=Π′


Se obţine deci:

FaWaSFaap −==>−=Π=9

2;18

;06

;3

2 222

2.Monopol public supus unei constrângeri de echilibru bugetar.

În acest caz profitul este nul şi monopolul fixează un preţ egal cu

costul mediu

⇒+=2Y

YFCM echilibrul este obţinut egalând preţul p=a-y cu

costul mediu.

2Y

YF+ =a-y

Această ecuaţia admite două soluţii pozitive. Soluţia care maximizează

surplusul colectiv corespunde celui mai ridicat volum de producţie, adică:

362 Faay −+

= . Obţinem deci rezultatele următoare unde, M indică că

este vorba de o tarifare la nivelul costului mediu:

963;0;

362 222 FaaFaWSFaap MMMM

−+−===Π

−−=

3.Tarifarea la nivelul costului marginal

Cm(y) = y. Echilibrul este obţinut în y = p = a-y ⇒ y = p = 2a . Se

obţin deci în acest caz soluţiile următoare(prim indicele m am desemnat

cuvântul marginal).

2apm = Fa

m −=Π8

2

8

2aCm = FaWm −=4

2


Compararea rezultatelor

Se observă că un monopol nereglementat ce-şi maximizează profitul va

tarifa la nivelul costului marginal si costului mediu(profitul este pozitiv in

primul caz si p > pM). Acest lucru este ilustrat pe figura următoare:

pret

a p pM pm

Cm(y)

Vm(y)

Cerere

CM(y)

a/2 a y

unde Vm(y) desemnează venitul marginal.

Venitul total este VT(Y)=Y(a-Y), deci Vm(Y)=a-2y

Tarifarea la nivelul costului marginal va conduce la un preţ superior costului

mediu cand profitul ,este pozitiv adică când amΠ 2 > 8 F.

Un calcul direct arată că S < SM şi S < Sm: surplusul consumatorilor este

minimal când monopolul îşi alege singur treţul.

Din contră, vom avea Sm < SM dacă pm > pM, adică dacă a2 > 8F. De altfel

surplusul consumatorilor este cu atât mai mare cu cat preţul este mai scăzut.

Se verifică cu uşurinţă că W < WM < Wm


Surplusul colectiv este maxim când întreprinderea tarifează la nivelul

costului marginal(a se vedea figura următoare)

pret

p pM pm

Cm(y)

Vm(y)

C

Cerere

D

E

A

B

F

Dacă autoritatea de tutelă a monopolului decide asupra modului de

reglementare utilizând drept criteriu surplusul colectiv, ea va alege deci

tarifarea la nivelul costului marginal. Să ne amintim aici că întreprinderea

operează într-o zonă a deseconomiilor de scală dacă costul său mediu(pe

termen lung) este crescător, deci dacă costul marginal este superior costului

mediu. Dacă a2 > 8F tarifarea la nivelul costului marginal conduce deci la a

produce într-o zonă a deseconomiilor de scală. Profitul este atunci pozitiv.

Din contră, în caz contrar, preţul este inferior costului mediu iar monopolul

are pierderi dacă acesta tarifează la nivelul costului marginal. Pentru a

permite monopolului să funcţioneze, autoritatea va trebui atunci

sa-l subvenţioneze. Ori, subvenţionarea monopolului s-ar putea dovedi

nedorită(de exemplu, costurile administraqtive pot să fie foarte ridicate iar

O Surplusul net al costului fix a y W+F= aria OAEF WM+F=aria OBDF Wm+F=aria OCF


resursele autorităţilor limitate). Dacă autoritatea de tutelă nu vrea să

subvenţioneze întreprinderea, ea va fi nevoită să impună o tarifare la nivelul

costului mediu. Să notăm de asemenea că este mai uşor de calculat costul

mediu(este suficient să se cunoască costul total şi producţia) decât costul

marginal(trebuie cunoscută funcţia de producţie).

Autorităţile vor putea prefera să impună o tarifare la nivelul costului mediu

mai degrabă decât să pună în aplicare un sistem complicat şi puţin fiabil

pentru a estima costul marginal

2.5 Echilibrul monopolului supus taxelor şi subvenţiilor

Problema 34

Fie o întreprindere în situaţie de monopol.Cererea ce i se adresează este:

yD= -p + 60 p fiind preţul de vânzare al produsului.

Funcţia de cost total al monopolului este:

C(y)=3y2 /2 +2y

Se cere:

1) Determinaţi preţul, cantitatea şi ecartul relativ atunci când profitul

firmei este la echilibru.

2) Aceeaşi întrebare dacă statul decide să impună un impozit forfetar T0 ,

T0 >0.

3) Aceeaşi întrebare dacă statul pune un impozit a cărei sumă este

proporţională cu numarul unităţilor produse (taxă pe unitate).

Se notează cu ‘t’ rata marginală de impozit t = 20%.

4) Care este surplusul consumatorilor în cele trei cazuri? Comentaţi.


Rezolvare

1) Pentru întreprindere este vorba să-şi maximizeze profitul ∏

∏ = p(y)y – c(y) = (-y +60)y - 3y2 /2 –2y

unde p(y) este funcţia inversă a cererii ⇒ y = -p + 60 ⇒ p = -y + 60

La optim Π’y = 0 ⇔ Vm = Cm ⇔ -5y = -58 ⇒ y = 58/5 = 11,6 .

Deoarece Π’’yy < 0 ( Π’’yy = -5) ⇒ este vorba de un maxim.

In aceste condiţii p∗ = -58/5 + 60 = 242/5 . Deci Π∗ = 336,4.

Ecartul relativ pm

pCp

ε1

−=−

, – elasticitatea directă cerere – preţ. pε

Dar py

py

py

pyp .:

∂∂

=∂∂

=ε ⇒ 6060

.)60(+−

−=+−∂

+−∂=

pp

pp

pppε =

=60+p

p Dar p*=242/5 şi prin urmare =-121/29 pε

Atunci ecartul relativ este: %96,231229

291211

==−

=−pCp m

2) Fie T0 impozitul forfetar. Întreprinderea urmăreşte să-şi maximizeze

profitul

Π = p(y)y – c(y) - T0 ⇒ Π = -y 2 + 60y –3y2/2 –2y - T0

La optim avem Π’y = 0 ⇔ Vm = Cm ⇔ -5y = -58 ⇒ y∗ = 58/5 = 11,6

⇒ p∗ = 242/5


Deci Π* = 336,4 - T0 , T0 > 0.

Ecartul relativ rămâne neschimbat %96,23=−pCp m

Observaţie Perceperea unui impozit forfetar nu modifică decât profitul

monopolistului, în sensul că il diminuează.

3) Fie t = rata marginală de impozitare. Scopul întreprinderii este să-şi

maximizeze rata profitului Π. Dar:

Π = p(y)y – c(y) – ty , ty find impozitul proporţional.

De unde: Π = -y 2 + 60y –3y2/2 –2y –ty . La optim avem:

Π’y = 0 ⇔ -5y + 58 –t = 0 ⇔ Vm = Cm + t

La optim, monopolul trebuie sa aleagă un volum de producţie astfel încât

venitul său marginal sa fie egal cu costul său marginal mărit cu taxa

marginală de impozitare t. În plus este vorba de un maxim de profit căci:

Π’yy = -5 < 0

Din -5y = - 58 + t ⇒ y∗ =(58-t)/5. În aceste condiţii p*=-(58-t)/5+60=

=(242+t)/5, de unde:

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=Π5

585

5825

5823

558

5242 2

* tttttt

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+−+−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−+−

=10

1020317424845

5825

5823

5242

558 tttttttt

= ( )10

5810

)58(5.5

)58(10

5290.5

58 2ttttt −=

−−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−


Dacă t = 20% ⇒ 5

8,5751002058

* =−

=y , 5

2,242* =p , ∏*=334,08

Ecartul relativ: %86,232,242

8,57==

−pCp m

Observaţie. Se remarcă că o taxă pusă pe unitatea de produs are ca efect

diminuarea cantităţii produse de către monopol, creşte preţul

output-ului, scade profitul şi ecartul relativ al firmei.

4) Se ştie că surplusul consumatorului este egal cu suma surplusurilor

individuale ale fiecarui consumator.Surplusul unui consumator este egal cu

diferenta intre suma de bani maximală pe care consumatorul este dispus să o

cheltuiască pentru a obţine o anumită cantitate de bun şi cheltuiala pe care

trebuie să o suporte pentru a obţine această cantitate de bun.

Deoarece y = -p + 60 ⇒ consumatorul este gata sa plătească până la

p = 60 pentru a obţine o unitate de output.Distingem trei cazuri:

a) Cazul cand nu există fiscalitate. Surplusul consumatorului este:

28,672

558

524260

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

b) Cazul cand există o fiscalitate forfetară. Aşa cum s-a văzut, această

fiscalitate lasă atât preţul cât şi cantitatea de echilibru neschimbate ⇒ S =

67,28


c) Cazul existenţei unei taxe pe unitate

81,662

58,57

52,24260

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

Deoarece în acest caz preţul de echilibru creşte, surplusul consumatorului

scade.

Problema 35

Fie o întreprindere în situaţie de monopol. Cererea ce i se adresează este y =

-2p + 42 , p fiind preţul de vânzare al produsului .Funcţia de cost total al

monopolistului este: c(y) = 3y2. Se cere:

1. Determinaţi preţul, cantitatea şi profitul firmei la echilibru.

2. Aceeaşi întrebare dacă statul impune o taxă pe profit. Notăm cu θ1 rata

marginală de impozitare θ1 = 30%.

3. Aceeaşi întrebare dacă statul decide să aplice un impozit proporţional de

20% (θ2 = 20%) asupra veniturilor.

Rezolvare

1.Pentru întreprindere este vorba de maximizarea profitului său:

Π(y) = p(y)y – C(y), p(y) fiind funcţia inversă a cererii si care aici este

p(y) = (-1/2)y + 21 , deci y = - 2p + 42

Funcţia profit este: Π = [(-1/2)y + 21]y -3y2

La optim avem:

Π’y = 0 ⇔ Vm = Cm ⇔ 7y = 21 ⇒ y∗ = 3


Este vorba de un maxim căci Π’yy = -7 < 0

În aceste condiţii p* = (–1/2) × 3 + 21 = 39/2 = 19,5 şi deci Π* = 63/2 = 31,5

2. Dacă statul impune un impozit de rată θ1 = 30%, atunci, impozitul net va

fi:

ΠN = (1 -θ1)Π ⇒ ΠN = (1 -θ1)[ p(y)y – C(y)]

De unde ΠN = (1 -θ1)[(-1/2)y2 + 21y - 3y2].

La optim vom avea: δΠ/δy =0 ⇔ (1 -θ1)(-y +21 – 6y) = 0 ⇔ 7y =2

y* = 3 ⇒ p* =19.5 şi ∏vechi= 31,5

ΠN = (1 -θ1)Π = (1 – 30/100)31,5 = (70×31,5)100 = 22,05

Observatie. Se poate vedea că o taxă pe profit nu afectează comportamentul

monopolistului: preţul şi cantitatea de echilibru rămân

neschimbate.

3. Statul impune un impozit proporţional de 20% pe venituri. Pentru

întreprindere este vorba să-şi maximizeze profitul:

Π(y) = (1 -θ2) [p(y)y] – c(y) , θ2 este rata marginală de impozitare a

veniturilor

( ) 222 321

21 1 yyy −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−=Π⇒ θ

La optim, avem:

( )( ) ( )( ) yyyydyd 621-10621-10 22 =+−⇔=−+−⇔=Π θθ

ceea ce dă: mmm CVV =− 2θ , adică: ( ) mm CV =− 1 2θ

Este vorba de un maxim de profit pentru că:

yyΠ′′ ( ) 61 2 −−−= θ <0 deoarece 2θ ( ]1,0∈


Din ( ) ( ) ( ) ( )222 12161621 1 θθθ −−=−+−⇒=+−− yyy

=*y2

2

7)-1(21

θθ

−=2,47 deoarece 2θ =20%

În aceste condiţii:

[ ]( )

( )( )2

2

2

22

2

2

*

721321

72121421

)7(2)1(2121

221

242p

θθ

θθθ

θθ

−−

=

=−

+−−=

−−

−=

=−=−

=yy

*p =19,765

( ) ( )[ ]( )

( ) ( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( ) ( )( )2

22

22

22

22

22

2

2

22

2

2

**2

*2***2

72121

2613

7121

71213

7213211

7121

3131

θθθ

θθ

θθ

θθθ

θθ

θθ

−

−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −−

−

−=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

−−−

−−−

=

=−−=−−=Π ypyyyp

*Π =20,753

Se poate remarca faptul că o asemena fiscalitate scade cantitatea produsă de

monopolist şi creste preţul de echilibru. Acesta va determina diminuarea

surplusului consumatorilor. Deasemenea, cum şi profitul întreprinderii este

mai scăzut, putem afima că un impozit proporţional pe venituri are un efect

negativ asupra surplusului social.


Problema 36

Considerăm o întrepindere care se găseşte într-o situaţie de monopol.

Funcţia inversă a cererii este:

1021

+−= yp

Funcţia de cost total al monopolistului este ( ) 2yyC =

Se cere:

1. Determinaţi preţul, cantitatea şi profitul firmei la echilibru dacă statul

decide să-i acorde o subvenţie forfetară , >0 0S 0S

2. Aceeaşi chestiune dacă subvenţia este menţinută proporţional cu numărul

unităţilor produse.

Se notează , rata marginală de subvenţie =10% S S

În ce caz surplusul social este mai ridicat?

Rezolvare

1. Pentru firmă, este vorba de maximizarea profitului Π

( ) ( ) ( ) 0 SyCyypy +−=Π , fiind subvenţia forfetară 0S

( ) 022 10

21y Syyy +−+−=Π

La optim, avem:

mm CVyydyd

=⇔=+−⇔=Π 2100


310* =y (Este vorba de un maxim deoarece 32

2−=

Π

dyd <0)

In aceste condiţii 325* =p

In plus 00*

350

9150 SS +=+=Π

2. maximizarea profitului duce la

( ) ( )( )ySyCyyp +−=Π maxmax , =fiind suma subvenţiei yS

deci, ySyyy +−+−=Π 22 1021 proportionale

La optim, avem:

31,10

3102100 * =

+=⇒=⇔−=+−⇔=

Π SyCVSyydyd

mm

deoarece S =10%

În aceste condiţii 6

9,49* =p şi în plus 17665,16* ≈=Π

Observaţie Se remarcă că în cazul unei subvenţii proporţionale, preţul de

echilibru este mai scăzut şi în consecinţă cantitatea oferită este mai mare.

Cât despre profit, nu putem spune nimic. Acesta depinde de valoarea . 0S

3. Se ştie că surplusul social = ∑ surplusurilor firmelor si a consumatorilor.

Dar surplusul monopolistului este egal cu profitul său.

Surplusul consumatorilor = ∑ surplusurilor individuale ale fiecărui

consumator.


Surplusul unui consumator = diferenţa între suma maximală de bani ce este

dispus să o cheltuiască pentru a obţine o anumită cantitate de bun şi

cheltuiala pe care o suportă pentru achiziţionarea cantităţii considerate.

Aici consumatorul este gata să plătească p=10 pentru a achiziţiona o unitate

de output.

Distingem 2 cazuri:

1. Cazul subveţiei forfetare:

Surplusul consumatorului este 777,22

310

32510

1 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=S

Surplusul întreprinderii este 01 350 SSI +=

Surplusul social este 01 444,19 SSS +=

2. Cazul subvenţiei proporţionale

Surplusul consumatorului este 833,22

31,10

69,4910

2 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=S

Surplusul întreprinderii este 172 =SI

Surplusul social este 833,19222 =+= SISSS

În total:

a) dacă =0,389 0S 21 SSSS =⇒

În acest caz, surplusul social va fi deci identic in cazul celor 2 subventii.


b) dacă < 0,389 0S 21 SSSS >⇒

În acest caz, surplusul social va fi mai mare dacă subvenţia este

proporţională.

c) dacă >,389 0S 21 SSSS <⇒

In acest caz, surplusul social va fi mai mare dacă subvenţia este forfetară.

Deci pentru consumatori este preferabil ca subvenţia să fie proporţională

deoarece . 12 SS >

2.6 Echilibrul pieţelor de tip cartel

Problema 37

Revenim la problema 5, şi presupunem că, nemulţumite de soarta lor,

întreprinderile sunt tentate să se unească şi să formeze un cartel. Se înţeleg

ca pentru un preţ anume, fiecare dintre ele să fabrice o cantitate similară.

Se cere:

1. Să se stabilească costurile totale şi costurile marginale ale cartelului.

2. Să se calculeze veniturile totale şi marginale.

3. Să se determine nivelurile de producţie ale cartelului şi a fiecărei

întreprinderi făcând o comparare cu regimul concurenţial.

4. Să se determine preţul de vânzare care va fi în aceeaşi măsură apropiat de

cel din concurenţă.


Rezolvare

Pentru 1. şi 2. facem tabelul următor, spunând că:

- costul total al cartelului este de 20 de ori mai mare decât acela din fiecare

întreprindere, deoarece condiţiile costului sunt presupuse identice;

- costul marginal poate fi dedus aplicând formula dQ

dCTCm = cu Q=20q; el

este egal de asemenea cu de 20 de ori costul marginal al fiecărei

întreprinderi;

- venitul total este egal produsului dintre cantităţi şi preţul de vânzare(

conform enunţului din problema 21);

- venitul marginal va fi: dQ

dVTVm = care este suplimentul de venit încasat cu

ocazia producţiei a 20 unităţi în plus. Q CT Cm P VT Rm

20 3200 - 100 2000 -

40 4600 1400 95 3800

60 5800 1200 90 5400

80 6700 900 85 6800

100 7400 700 80 8000

120 8000 600 75 9000

140 8700 700 70 9800

160 9600 900 65 10400

180 10800 1200 60 10800

200 12700 1900 55 11000

220 15300 2600 50 11000

240 18700 3400 45 10800


3. Condiţia de decizie optimală este Vm=Cm. Cum această egalitate nu se

produce, cartelul va produce 140, pentru că dacă ar produce 20 de unităţi

suplimentare, adică 160, venitul său marginal nu ar mai fi de ajuns să

acopere costul marginal.

Deci:

Q=140 q=140:20=70 ⇒

∏=1100 ⇒ ∏=1100:20=55

Formând un cartel, întreprinderile îşi văd nivelurile de activitate încetinând(

q=7 faţă de q=9) în regim concurenţial pe termen lung, dar ele obţin de

acum înainte un profit ceea ce nu era cazul mai înainte.

4. Cantitatea produsă fiind 140, se constată că p = 70 adică un preţ superior

celui din concurenţa pe termen lung(egal cu 60). Se adevereşte astfel

caracterul nefast al unui cartel: el jugulează producţia prin ridicarea

preţului.


2.7 Echilibrul pieţelor de tip duopol

Problema 38

Să ne imaginăm 2 întreprinderi în situaţii de duopol.Considerăm ca avem:

( ) ( )

222

211

2121

21

2

0,0,

yCTyCT

babyyayyfpyyy

=

=

<<++=+=+=

cu:

y - producţia totală;

y1, y2 - producţiile celor 2 întreprinderi

CT1, CT2 - funcţiile de cost ale celor întreprinderi

a, b – parametri.

Se cere să se descrie analitic modul de determinare a echilibrului pe această

piaţă în cazul în care cele 2 întreprinderi adoptă o strategie:

1. dublu satelit;

2. supremaţia simplă;

3. supremaţia dublă.

Dacă parametrul a=-2 şi b=80 să se compare diversele situaţii vis-a-vis de

producţie, de preţ şi de profituri.

Rezolvare

1. În această ipoteză, fiecare întreprindere se străduieşte să-şi maximizeze

profitul fără a prezice care ar fi volumul de producţie al firmei concurente.


( )[ ] ( ) ( )( )[ ] ( ) ( ) (2) 1

(1) 1

2122

22221222

1221

21121111

ybayyayybyyaCTVTybayyayybyyaCTVT⋅++−=−⋅++=−=Π

⋅++−=−⋅++=−=Π

Logica raţionalităţii impune respectarea a două condiţii:

- anularea derivatelor de ordin I:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) (4) 22

022

)3(12

012

112212

2

2

221121

1

1

−−−

==⇒=++−=∂Π∂

−−−

==⇒=++−=∂Π∂

abayyybayya

y

abayyybayya

y

φ

φ

- nenegativitatea derivatelor de ordin II:

( ) 01221

12

<−=∂Π∂ ay

şi ( ) 02222

22

<−=∂Π∂ ay

, căci a<0

Doarece nici una din cele 2 întreprinderi nu se preface că o domină pe

cealaltă, ne îndoim că echilibrul pieţei ar rezulta prin tatonare succesivă.

De fapt, dacă una din ele decide să producă o anumită cantitate,

cealaltă se va adapta: în funcţie de această adaptare, prima va reacţiona la

rândul ei, şi aşa mai departe. Astfel se schiţează funcţiile de reacţie care au

ca scop să exprime volumul producţiei unui duopolist în funcţie de volumul

de producţie a celuilalt, şi reciproc.

Aceasta este semnificaţia ecuaţiilor (3) şi (4). Evident, din momentul

în care cele 2 funcţii de reacţie sunt satisfăcute simultan, echilibrul pietei

este realizat. Aici găsim:

( ) ( ) ( )( )( )⎪

⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−+−−+−

=

+−+−

=⇒=

∗

∗

2812344

81234

2

2

2

21

1221

aaaaaby

aababy

yy φφ


2. Când există un duopol de supremaţie simplă unul din cei doi îşi impune

legea, să zicem primul iar cel de-al doilea se adaptează. Firma 1 presupune

funcţia de reacţie a celei de-a doua firme şi o integrează în propriul său

comportament, ceea ce, din punct de vedere matemetic, lucrul revine la a

introduce (4) în (1)

( ) ( )( ) ( )

( )22446

221 1

21

2

112

11 −−++−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−−−

+−=Πa

ybabyaayba

bayaya

Funcţia de profit nu mai are decât o singură variabilă, anularea derivatei de

ordinul I ne dă:

( )( ) ( )462

4ˆ022

446221

12

1

1

+−+−

=⇒=−

−++−=

∂Π∂

aababy

ababyaa

y

Datorită funcţiei de reacţie ( )12 yφ , deducem pe y2:

( ) ( )( )

( )( )246488

22ˆˆˆ 2

21

122 −+−−+−

=−−−

==aaa

aaba

byayy φ

Dacă, din contră, întreprinderea 2 ar fi căutat să obţină poziţia de lider, s-ar

fi obţinut aceleaşi valori:

( )( )( )

( )4622ˆ

1464810ˆ

22

2

2

1

+−+−

=

−+−−+−

=

aababy

aaaaaby

3. În acest caz, fiecare duopolist se străduieşte să domine piaţa. Regăsim

acelaşi comportament de producţie ca acela găsit când fiecare firmă dorea să

domine singură, adică:

( )

( )4622

4624

22

21

+−+−

=

+−+−

=

aababy

aababy


Începe atunci o luptă acerbă cu un final alternativ. Fie conflictul se ascute

până ce unul din combatanţi, ţinând cont de celălalt, recurge la un război al

preţului, în care caz, va fi declarat învingător întreprinzătorul al cărui nivel

al costului este mai mic, fie, avertizaţi de multiplele inconveniente pe care le

întâlnesc în acest gen de luptă, cei doi protagonişti preferă să se înţeleagă.

În primul caz avem de a face cu construirea unui monopol prin eliminare

iar în al doilea caz a unui monopol de înţelegere (de „cârdăşie”).

Prima alternativă ne trimite pur şi simplu la situaţia de monopol. Noi o

analizăm pe cea de a doua. Când aveam de a face cu un monopol de

„înţelegere”, cele două firme caută să-şi maximizeze profitul global.

( ) 212122

21

22

2121 22 bybyyayyyyya +++−−+=Π+Π=Π , adică:

( )

( )( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−+

=

−+

=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=++−=∂Π∂

=++−=∂Π∂

222

122

0222

0212

12

21

122

211

abayy

abayy

bayyay

bayyay

De unde rezultă:

( )232

23

2

1

+−=

+−=

aby

aby


4. Facem tabelul următor Y1 y2 Y=y1+y2 p Π1 Π2 Π=Π1+Π2

Dublu Satelit 10,9 7,27 18,17 43,6 356,43 211,26 567,69

Supremaţie

Simplă

(1 lider)

12 7 19 42 360 196 556

Supremaţie

Simplă

(2 lideri)

10,66 8 18,66 42,6 340,5 212,8 553,3

Supremaţie

Dublă 12 8 20 40 336 192 528

Înţelegere 10 5 15 50 400 200 600

Să facem câteva consideraţii majore ţinând cont că forma funcţiei de

cerere p=f(y1+y2) şi a curbelor de cost sunt determinante:

- duopolurile Cournot şi Stackelberg furnizează rezultate foarte

apropiate în termeni de cantităţi produse, de preţ şi de profituri

globale; când este pus în evidenţă un efect de supremaţie simplă,

repartizarea profiturilor devine mai favorabilă întreprinderea care-l

exersează;

- supremaţia dublă este însoţită de o micşorare a profiturilor

participanţilor.

- evident, monopolul de înţelegere constitue situaţia cea mai

profitabilă; creşterea puternică a preţurilor se datorează în mare

parte acestui fapt.


2.8 Echilibrul pieţelor de tip oligopol

Problema 39

O întreprindere îşi desface producţia pe o piaţă oligopolistică la un preţ p =

60 ştiind că costul său mediu depinde de cantitatea (y) prin relaţia ( )y23 .

Se cere:

1. Să se calculeze cantitatea pe care o oferă şi profitul pe care-l încasează

întreprinderea dacă ea are un comportament raţional;

2. Să se interpreteze modificările pe care le înregistrează cererea firmei

(p=VT) când producţia evoluează după cum urmează:

20;2120

20;2190

2

1

≥−=

<−=

ycandyp

ycandyp;

3. Să se stabilească funcţiile de venituri marginale şi să se traseze pe acelaşi

grafic cu acea a costului marginal;

4. Să se spună cum va evolua profitul dacă cantitatea produsă variază cu o

unitate de o parte şi de alta a valorii de echilibru (raţionamentul se va

face, pe de o parte plecând de la funcţiile de venituri totale calculate cu

datele de la întrebarea 2, iar pe de altă parte, a funcţiilor de costuri

totale);

5. să se găsească suma taxei pe unitate (t) prelevată de stat, astfel încât pe de

o parte această taxă să nu modifice cantitatea şi preţul de echilibru şi pe

de altă parte să producă cel mai bun randament fiscal.


Rezolvare

1. Întreprinderea oligopolistică îşi maximizează profitul: CTVT −=Π ceea

ce implică: ( ) ( ) mmq CVCTVT =⇒=′−′=Π′ 0

Ori: 6060 =⇒== mVypyVT şi yCyyCMCT m 323 2 =⇒=⋅=

De unde: . ∗∗∗∗ Π==== 600;1200;20 CTVTy

2. Cererea care i se adresează firmei care este de asemenea funcţia de venit

mediu - este frântă. Din enunţ, avem:

21

21602120

221802190

222

111

−=∂∂

⇒−=⇒−=

−=∂∂

⇒−=⇒−=

pypyyp

pypyyp

Deci, dacă întreprinderea doreşte să-şi crească preţul (∆p=+4 de exemplu) în

speranţa că-şi va mări profitul, ea îşi va vedea vânzările puternic micşorate

(-dy=-2dp1=-8) datorită sensibilităţii foarte mari a clientelei sale faţă de

bunurile fabricate de întreprinderile concurente.

Invers, o micşorare a preţului (∆p=-4) nu va duce la creşterea vânzărilor sale

decât moderat (dy=(-1/2)dp2=+2) pentru că firmele rivale vor reacţiona

imediat aliniindu-şi propriile preţuri.

Pe scurt, puternica elasticitate, apoi rigiditatea netă a vânzărilor la variaţiile

de preţ explică schimbarea pantei vânzării medii, într-un cuvânt „frântura”

sa.


3. După cum 20≥≤y , scriem:

qVqV

yyypVT

yyypVT

m

m

412090

21202190

2222

211 1

−=−=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⇒−==

⇒−==

Pe de altă parte, deoarece funcţia de cost marginal (Cm=3q) traversează zona

discontinuă, regula identităţii costului marginal şi a venitului marginal

devine caducă . O varieţie a lui Cm pe acest interval nu mai afectează nici

cantitatea nici preţul de echilibru.

q

Vm/Cm

30

90

10

Vm1=90-y

Cm=3y+10

Cm=3y

Vm2=120-4y

4. Când q ia valorile succesive 19,20,21, avem:

VT(19) = 153,5 CT(19) = 541,5

VT(20) = 1600 CT(20) = 600

VT(21) = 1638 CT(21) = 661,5


Astfel, când cantitatea produsă variază cu o unitate, se constată o scădere a

profitului global cu 12, căci:

Π(19) = VT(19)-CT(19) = 988 < Π(20) = 1000⇒ ∆Π = -12

De asemenea, când q creşte cu o unitate, profitul global se micşorează de

asemenea:

Π(21) = VT(21)-CT(21) = 967,5 < Π(20) = 1000⇒ ∆Π = -23,5

Astfel spus, orice depărtare faţă de cantitatea de echilibru nefiind profitabilă,

q=20 constituie un echilibru local.

5. Pentru ca prima condiţie să fie respectată trebuie păstrată egalitatea

Vm=Cm. Ori pentru y=20 avem: 40 ≤ Vm ≤ 70 după cum se ia în considerare

Vm2 sau Vm1. În plus, dat fiind că taxa se aplică fiecărei unităţi produse,

costul mediu trebuie să o conţină:

tyCM +=23

ceea ce transformă costul total şi costul marginal în:

tyCtyyCT m +=⇒+= 323 2

Prin urmare, dacă dorim să îndeplinim similar condiţia a doua, trebuie

reţinută valoarea venitului marginal cea mai mare:

70 = 3y + t ⇒ t = 10

Noua funcţie de cost marginal, paralelă cu precedenta, trece prin punctul

limită cel mai mare din partea punctată a curbei venitului marginal; se

observă că atât cantitatea cât şi preţul de echilibru nu sunt deloc modificate.

3

Problema 40

Într-un orăşel mic de pe malul mării, N

(numerotate j = 1,..N) îşi exercită activitatea lor în

Pescuitul este considerat ca o activitate product

măsurat prin cantitatea de peşte pescuită, iar facto

o parte pescadoarele (cu tot ansamblul de ec

necesar) şi pe de-altă parte suprafaţa de mare dispo

Notăm cu Y cantitatea totală de peşte pescuit (în

total de pescadoare, presupuse toate identice şi

exploatată.

Presupunem: Y = X1/2S1/2. Considerând S = 1 (de

este dată) rezultă că

Y = X1/2

Fie xj numărul de pescadoare corespunzătoare într

În practică X şi x1,…,xN sunt numere întregi, dar

variabile reale. Considerăm prin ipoteză, că canti

Externalităţi

întreprinderii de pescuit

aceleaşi ape.

ivă în care produsul este

rii de producţie sunt, pe de

hipament şi cu echipajul

nibilă.

tone pe an), cu X numărul

cu S suprafaţa maritimă

oarece suprafaţă maritimă

eprinderii j cu . ∑=

=N

jjxX

1

în calcule le vom trata ca

tatea de peşte pescuită de

Externalităţi

întreprinderea j, notată yj este proporţională cu numărul de pescadoare de

care dispune, adică:

YXx

y jj =

Se va nota cu ∏ cheltuielile ocazionate de pescuit, iar cu p preţul unei tone

de peşte.

Se cere:

1.Răspundeţi de ce ne aflăm în prezenţa externalităţilor?

2.Determinaţi numărul de pescadoare X* care maximizează profitul total al

celor N întreprinderi. Care este profitul maximal realizat de întreprindere,

în cazul unei repartizări egale a numărului de pescadoare.

3.Fiecare întreprindere j îşi alege numărul de pescadoare xj astfel încât să-şi

maximizeze profitul, considerând numărul pescadoarelor concurente ca

fiind dat.

Caracterizaţi echilibrul după care se conduce acest comportament. Toate

întreprinderile fiind identice, pentru acest echilibru cele N întreprinderi

dispun de acelaşi număr de pescadoare ce va fi calculat. Arătaţi că acest

număr este superior numărului optimal de pescadoare la nivel de

întreprindere, determinat la punctul 2.

^x

Calculaţi pierderea de profit la nivel de întreprindere corespunzătoare

acestui număr excesiv de pescadoare.

4) Pentru a controla numărul de pescadoare în activitate, sindicatul

întreprinderilor de pescuit este abilitat să elibereze licenţe. Fiecare

licenţă este vândută la un preţ q şi ea dă dreptul unui pescador particular

să opereze în zona maritimă de pescuit.


Încasările corespunzătoare vânzării licenţelor sunt retrocedate

întreprinderilor de pescuit într-o manieră forfetară: fiecare întreprindere

primeşte o fracţiune 1/N din aceste încasări.

Care trebuie să fie preţul licenţei dacă se doreşte să se ajungă la un număr

optimal de pescadoare?

Verificaţi că fiecare întreprindere realizează astfel profitul optimal

caracterizat la punctul 2.

Rezolvare

1) Producţia întreprinderii j, adică yj, se exprimă în funcţie de numărul de

pescadoare ale acestei întreprinderi xj şi de asemenea ca funcţie de numărul

total de pescadoare ale celorlalte întreprinderi adică:

2/12/1 )( −−

− +=== jjjjj

j XxxXxYXx

y unde

∑≠=

− =N

jii

jj xX1

O creştere a numărului de pescadoare funcţionale ale celorlalte întreprinderi

reduce cantitatea de peşte pe care pescadoarele întreprinderii j o poate

captura.

Profitul întreprinderii j, notat va fi deci redus dacă una din celelalte

întreprinderi îşi va creşte numărul de pescadoare.

j∏

jjjjjjj xXxpxxpy ππ −+=−=∏ −−

2/1)(

Externalităţi

Avem, deci:

Ne aflăm ca atare în cazul unei externalităţi negative de producţie deoarece:

dacă una din întreprinderi îşi măreşte numărul de pescadoare în activitate, ea

va reduce eficacitatea pescuitului la întreprinderile concurente.

2) Profitul total al celor N întreprinderi se scrie −−

∏

XpXXpY ππ −=−=∏−−

2/1

Maximul este atunci când 0=Π

dXd , adică 0

21 2/1 =−− πpX ceea ce dă

2

2

4*

πpX = .

În cazul unei repartizări egalitare a numărului de pescadoare, fiecare

întreprindere dispune de x* pescadoare: N

pN

Xx 2

2

4**

π==

şi se realizează o producţie y* definită de: ( )N

pXN

yπ2

*1* 2/1 == .

Fiecare întreprindere poate deci realiza un profit maximal X* definit de:

N

pxpyπ

π4

***2

=−=∏ .

3) La echilibru toate întreprinderile utilizează acelaşi număr de pescadoare

ce trebuie determinat. În aceste condiţii întreprinderea j va trebui să

exploateze optimal, acelaşi număr de pescadoare.

^x

^x


Atunci profitul întreprinderi j, atunci când este:

^)1( xNX j −=−

( ) jjjj xxNxpx π−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+=∏

− 2/1^1 .

Acest profit j∏ considerat ca funcţie de xj trebuie să şi atingă maximul în

. Avem: ^xx j =

( ) ( ) π−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −+=

∂

∏∂ −− 2/3^2/1^1

211 xNxpxxNxp

x jjjj

j .

Maximul profitului este definit de condiţia de ordinul întâi 0=∂

∏∂

j

j

x căci:

( ) ( ) =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −++⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −+−=

∂

∏∂ −− 2/5^2/3^

2

2

1431 xNxpxxNxp

x jjjj

j

( ) ( ) 014

1^2/5^<⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −+−=

−

xNx

xNxp jj

Maximul lui j∏ va fi efectiv realizat în căci ^xx j = 0=

∂

∏∂

j

j

x în ,

adică:

^xx j =

π=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−− 2/3^2/1^

2xNpxxNp ceea ce dă: ( )

32

22^

412

NNpx

π−

= .

Numărul total de pescadoare este şi fiecare întreprindere

realizează o producţie definită prin:

^^xNX =

^y 2

2/1^^

2)12(1

NNpX

Ny

π−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= .

Avem: *12*2^

xN

xx >⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= dacă N > 1.

Externalităţi

La echilibru, întreprinderile aleg deci un număr de pescadoare superior

numărului optimal. Profitul lor va fi definit prin: ^∏

3

2

3

22

2

2^^^

4)12(

4)12(

2)12(

NNp

NNp

NNpxyp

ππππ −

=−

−−

=−=∏ .

Numărul excesiv de pescadoare cauzează o pierdere de profit de

3

22

3

22^

4)1(

4)12(

4*

NNp

NNp

Np

πππ−

=−

−=∏−∏ .

Această pierdere este strict pozitivă pentru cel puţin o întreprindere.

4) Vom cerceta preţul licenţelor q astfel încât fiecare întreprindere cumpără

x* licenţe dacă concurenţii săi au cumpărat în total (N-1)x* licenţe.

În această ipoteză avem: X-j = (N-1)x* iar producţia întreprinderii j

Yj = xj[xj + (N-1)x*]-1/2 .

De altfel, încasările totale ale sindicatului provenite din vânzarea licenţelor

sunt egale cu q[xj + (N-1)x*].

Ştiind că întreprinderea j …. o fracţiune 1/N, profitul său se scrie:

( )[ ] ( ) ( )[ ]*1*1 2/1 xNxNqxqxNxpx jjjjj −+++−−+=∏ − π . Din condiţia

de ordinul întâi

( ) ( ) 0)11(1211

2/3^2/1^=−−−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −+−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −+=

∂

∏∂ −−

NqxNxpxxNxp

x jjjj

j π

se obţine valoarea xj ce maximizează j∏ .

Pentru ca această condiţie să fie verificată pentru xj = x* trebuie să avem:

( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=− −−

NqNxpxNxp 11*

2** 2/32/1 π şi deci


( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

Nq

NXp 11

211* 2/1 π de unde se obţine preţul optimal al

licenţelor:

π=q .

Intreprinderile realizează un profit:

( ) ( ) ***** xpyNxNqxqpyj ππ −=++−=∏

adică . ( ) Njj ,..,1* =∀∏=∏

Sistemul de licenţe permite deci aici, internalizarea externalităţilor negative

de producţie ce antrenează o creştere a numărului de nave.

Ineficacitatea funcţionării descentralizate a pieţei pusă în evidenţă la punctul

3, provine din faptul că descriem o economie ce are trei bunuri ca resurse

(peştele pescuit, pescadoarele şi marea) şi doar două pieţe unde preţurile

sunt determinate: piaţa peştelui şi cea a navelor.

Nu există piaţă şi deci nici preţ unde să se facă tranzacţii cu dreptul de a

exploata natura.

Sistemul de licenţe vine să repare această insuficienţă a sistemului de pieţe:

determinarea unui preţ ce trebuie plătit pentru a putea exploata un pescador

a creat echivalentul unei pieţe suplimentare (cea a licenţelor) în care oferta

va fi fixată la nivelul X* şi unde preţul q determină întreprinderile să ceară

exact X* licenţe.

Se poate lua în considerare şi varianta de a atribui x* licenţe în mod gratuit,

fiecărei întreprinderi şi de a lăsa posibilitatea să se organizeze o piaţă de

licenţe între întreprinderi.

Pe această piaţă preţul licenţelor se va stabili la nivelul π=q şi fiecare

întreprindere va alege la acest preţ, să exploateze efectiv x* pescadoare.

Externalităţi

Problema 41

Fie o economie ce conţine două bunuri de consum, un factor de producţie

ce este disponibil într-o cantitate limitată ω şi două întreprinderi. Prima

produce bunul 1 în cantitatea y1 utilizând cantitatea x1 de factor şi având

funcţia de producţie cu randamente la scală constante:

y1 = x1

A doua întreprindere produce bunul 2 în cantitatea y2 plecând de la

cantitatea de factor x2, pe baza unei tehnologii deasemenea cu randamente la

scală constante: y2 = ax2

Parametrul a, considerat de întreprinderea 2 ca o dată, depinde de fapt de

activitatea întreprinderii 1 şi presupunem că a = y1. Suntem deci în prezenţa

unei externalităţi pozitive de producţie. Ipoteza conform căreia în economie

sunt numai două întreprinderi nu face decât să simplifice notaţiile. Nimic nu

se schimbă dacă se consideră un număr mare de întreprinderi identice ce

produc bunul 1 sau bunul 2. Relaţia a = y1 exprimă de fapt o relaţie între

producţia agregată de bun 1 şi parametrul a. Mulţimea de consumatori este

reprezentată de un consumator unic, proprietar al factorului de producţie, ce

consumă cantităţile c1 şi c2 de bun 1 şi 2 şi ale cărui preferinţe sunt descrise

de de funcţia de utilitate U = c1c2. Ipoteza unui unic consumator este şi ea

o ipoteză simplificatoare căci în economie există implicit un număr mare de

consumatori identici.

Se cere:

1) Reprezentaţi ansamblul producţiilor realizabile în planul (y1,y2).

2) Identificând c1 cu y1 şi c2 cu y2, determinaţi producţiile y1*, y2* ce

maximizează surplusul consumatorului.


3) Presupunem că pieţele din această economie funcţionează într-o manieră

perfect concurenţială. Considerăm preţul factorului de producţie egal cu

1 şi notăm cu p1, respectiv p2 preţurile bunurilor 1 şi 2. Care este valoarea

preţului p1 în cazul echilibrului general în economie? Arătaţi că la

echilibru general p2 = 1/y1.

4) Determinaţi valorile p1, p2, y1 şi y2 astfel încât să se realizeze echilibru pe

pieţele bunurilor 1 şi 2. Verificaţi că pentru aceste valori echilibrul este

realizat şi pe piaţa factorului de producţie. Caracterizaţi echilibrul general

astfel definit.

5) Statul decide să taxeze bunul 2. Pentru acest bun, preţul p2 devine p2 + t,

unde t desemnează taxa unitară. Veniturile fiscale sunt redistribuite

consumatorului sub formă de transfer forfetar. Arătaţi că o alegere

judicioasă a taxei t conduce la un echilibru general ce coincide cu

optimul definit la punctul 2.

Rezolvare

1. Mulţimea producţiilor realizabile corespunde mulţimii de perechi

ce pot fi obţinute repartizând cele ω unităţi de factor

între cele două întreprinderi. Ca atare (y

0,0 21 ≥≥ yy

1,y2) aparţin mulţimii pentru care

există astfel încât: 0,0 21 ≥≥ xxω≤+

==

21

212

11

xxxyy

xy

adică dacă: ω≤+1

21 y

yy . 00 21 ≥≥ yy

Externalităţi

Această mulţime este redată prin zona din figura de mai jos, delimitată de

parabola de ecuaţie:

)( 112 yyy −= ω

şi axa Oy1.

ω ω/2

A ω2/4

y2

y1

0

2. În figura următoare se identifică c1 lui y1 şi c2 lui y2. Cuplul optimal (y1*,

y2*) este obţinut în punctul B unde frontiera mulţimii producţiilor

realizabile este tangentă curbei de indiferenţă ce trece prin acest punct.

Un calcul elementar conduce la:

3

2*1

ω=y

92 2

*2

ω=y

Curba de indiferenţă

c1=y1 y1*

B

c2= y2

y2*

0


3. La echilibru general, întreprinderile 1 şi 2 produc cantităţile y1 şi y2 care

maximiyează profitul lor. Profitul întreprinderii 1 se scrie:

11111 )1( ypxyp −=−

Dacă p1> 1, acest profit este cu atât mai mare cu cât y1 este mai mare şi deci

nu există o situaţie în care să avem profit maxim.

Dacă p1< 1, profitul este maximal în y1 = 0 este nul şi deci orice nivel de

producţie pozitiv va conduce la un profit negativ. Acesta nu poate

corespunde la un echilibru general pentru că într-un astfel de echilibru avem

y1 = c1 > 0 si y2 = c2 > 0 (vom verifica la punctul următor că pentru orice

vector de preţuri (p1, p2), consumatorul cere o cantitate pozitivă din fiecare

bun). Singura soluţie posibilă este deci p1 = 1 şi profitul este în acest caz nul

oricare ar fi nivelul de producţie y1. Nivelul de producţie de echilibru pe

piaţa bunului 1 va fi determinat de cererea consumatorului.

Se regăseşte aici de fapt o proprietate generală care se enunţă în felul

următor: la echilibrul general al unei economii, pentru orice bun produs

printr-o tehnologie cu randamente la scală constante, preţul este egal cu

costul mediu şi profitul este nul. Demonstraţia acestei proprietăţi este

următoarea: dacă preţul este superior costului mediu, nu există nivel de

producţie ce maximizează profitul şi dacă preţul este inferior costului

mediu, profitul este maximal pentru o producţie nulă.

Aplicat întreprinderii 2, acest raţionament conduce la p2 = 1/a = 1/y1, şi cu

un profit nul.

Externalităţi

4. Venitul consumatorului fiind egal cu ω, cererile c1 şi c2 maximizează

U(c1, c2) = c1c2 cu restricţia bugetară:

p1c1 + p2c2 = ω,

ceea ce conduce la cererile:

2

21

1 22 pc

pc ωω

==

Echilibrul este realizat pe pieţele bunurilor 1 şi 2 dacă c1 = y1, c2 = y2,

p1 = 1 şi p2 = 1/y1 ce conduce la:

4

22

22

11

ω

ω

==

==

yc

yc

Cererea de factori de producţie este atunci egală cu ω/2 pentru fiecare

întreprindere, ceea ce corespunde unei cereri totale egale cu cantitatea

oferită ω. Acest rezultat este o aplicaţie a “Legii lui Walras”: într-o

economie ce conţine n pieţe (aici n = 3), echilibrul ce se realizează pe n -1

pieţe implică realizarea echilibrului şi pe ultima piaţă.

Producţiile acestui echilibru general corespund punctului A din

figura de mai jos.

B

c1= y1

A

0

c2= y2


Acestea diferă de producţiile optimale y1*, y2*. Trasând curba de indiferenţă

ce trece prin A, se observă că pentru a mări satisfacţia consumatorului, este

necesar să se crească producţia şi consumul de bun 1 şi să se reducă cele de

bun 2. De fapt orice punct din zona haşurată a figurii de mai sus va atât

realizabil şi preferabil lui A.

Această suboptimalitate a echilibrului concurenţial provine din

externalitatea producţiei. Prin creşterea producţiei sale peste y1 = ω/2,

întreprinderea 1 va contribui la ameliorarea productivităţii întreprinderii 2

(parametrul a va creşte) iar nu piaţa este cea care o determină să acţioneze

astfel.

De fapt aşa cum a mai fost precizat, conform cu ipoteza de randamente de

scală constante, întreprinderile sunt indiferente la nivelul producţiei acesta

fiind determinat de consumator. Acesta din urmă nu este conştient că mărind

cererea sa de bun 1 peste c1 = ω/2, el va fi la originea unei externalităţi de

producţie ce va reduce costul unitar al bunului 2 şi al cărui ultim beneficiar

va fi chiar el însuşi. Aşa cum s-a specificat şi în enunţ se presupune implicit

că există un număr mare de consumatori în această economie şi ca atare pare

foarte raţională supoziţia ca un consumator să considere neglijabil efectul

propriului său consumm de bun 1 asupra productivităţii factorului în

întreprinderea 2.

5. Restricţia bugetară a consumatorului se scrie:

Tctpcp +=++ ω2211 )(

unde T reprezintă transferul consumatorului. Funcţiile de cerere se scriu:

)(22 2

21

1 tpTc

pTc

++

=+

=ωω

Externalităţi

Pentru un nivel dat al taxei unitare t, echilibrul este realizat pe pieţele

bunurilor 1 şi 2 dacă c1 = y1, c2 = y2, p1 = 1, p2 = 1/y1 şi T = tc2. Ultima

egalitate exprimă faptul că transferul consumatorului este egal cu veniturile

fiscale. Aceasta conduce la :

22

1tyy +

=ω

[ ]tytyy+

+=

)/1(2 1

22

ω

Aceste două condiţii definesc producţiile de echilibru y1 şi y2 în funcţie de t.

Deasemenea mai putem scrie:

)( 112 yyy −= ω

1

21

2 1 tyyy+

=

Prima dintre aceste două egalităţi nu este alta decât ecuaţia frontierei

mulţimii producţiilor realizabile, descrisă la punctul 1. Cea de-a doua

ecuaţie defineşte o curbă crescătoare notată cu C pe figura de mai jos.

Alegând o valoare adecvată pentru taxa unitară t, C intersectează frontiera

producţiilor realizabile în y1 = y1* şi y2 = y2*. Acesta defineşte taxa

optimală ce este egală cu t = 3/2ω.

D0

B

A

y1 D1

C

0

y2


Pe figura de mai sus, dreapta D0 reprezintă dreapta de buget a

consumatorului la echilibru general în absenţa taxei, ceea ce conduce la

punctul A. La echilibrul cu taxă, dreapta de buget de deplasează în D1 şi

consumatorul alege punctul B.

Problema 42

Locuitorii unui oraş doreşc ca acesta să fie curăţat de poluare. Pentru aceasta

primăria oraşului culege informaţii despre factorii poluanţi. Datele obţinute

arată astfel: traficul auto emite anual 20 tone, iar poluarea industrială se

ridică la 15 tone.

Notând cu Ya poluarea provenită de la automobile şi Yi poluarea industrială

şi ştiind că operaţiunile de depoluare vor costa:

72

YC

2a

a += pentru automobile;

35YC 2ii += pentru poluare industrială;

atunci:

a) primarul oraşului consideră că toţi poluatorii ar trebui să fie interzişi. În

ce condiţii propunerea lui ar fi eficientă din punct de vedere economic?

b) s-a calculat că beneficiul realizat din reducerea poluării se obţine pe baza

formulei:

B = 0,25y2 + 2y + 49.

Externalităţi

Consilierul primarului îi sugerează acestuia o soluţie “echitabilă”, şi anume:

dacă emisia automobilelor este redusă cu 16 unităţi, iar cea a fabricilor cu

10 unităţi, atunci depoluarea va costa pentru fiecare sector 135 u.m. Costul

total va fi atunci de 270 u.m.

De altfel, beneficiul provenit din curăţarea a 26 de unităţi de poluare

este 270.

Criticaţi această analiză.

c) Care este nivelul optim din punct de vedere economic de curăţare a

fiecărei zone?

d) Sugeraţi o politică publică de atingere a acestui nivel optim.

Rezolvare

a) Dacă beneficiul marginal obţinut din interzicerea a 20 tone de emisie

poluantă provenită de la automobile este egal cu costul marginal CMa şi

beneficiul marginal din interzicerea a 15 tone de emisie industrială poluantă

este egal cu costul marginal CMi, atunci curăţarea totală va fi Pareto

optimală.

b) Primarul doreşte mai degrabă să egaleze beneficiile totale cu costurile

totale decât beneficiile marginale cu costurile.


c) Pentru a determina nivelul optim de curăţare trebuie egalate beneficiile

marginale cu suma pe orizontală a costurile marginale.

Astfel: ya = CMa yi = CMi/2.

Atunci y = ya + yi = 3CM/2 ⇒ CM=2y/3.

Egalând CM cu beneficiul marginal se obţine:

BM = CM 12y3y22

2yBM =⇒=+=⇒

Pentru a afla câte unităţi din cele 12 sunt unităţi de poluare auto şi câte

provenite din industrie se egalează CM = CMa = CMi.

Pentru y = 12, CM = 83122

=× . Atunci CMa = 8 şi ya = 8, CMi = 8 şi

yi = 4.

d) Pentru a atinge nivelul optim de poluare este necesară impunerea unei

taxe pe emisia poluantă.

I. Operaţii cu puteri în aceeaşi bază

mnm

n

xxx −=

nn

xx 1

=−

mnmn xxx +=

nn xx /1=

nmn m xx /=

nn axax =⇔=

na axax /1=⇔=

nmma axax /=⇔=

II. Derivatele parţiale şi diferenţiala totală 1. Cazul unei funcţii de o singură variabilă: )(xfy =

- derivata de ordinul întâi: dxdfxf =)('

- derivata de ordinul doi: 2

2

)(dx

fdxf =′′

M

- derivata de ordinul n: n

nn

dxfdxf =)()(

a) Derivatele funcţiilor elementare:

0)( )( =′⇒= xfcxf

N )( )( 1 ∈=′⇒= − nnxxfxxf nn

1 , )( )( 1 ≠∈=′⇒= − aRaaxxfxxf aa

0 x2

1)( )( >=′⇒=x

xfxxf

xx exfexf =′⇒= )( )(

0 1)( ln)( >=′⇒= xx

xfxxf

1 0, ln1)( log)( ≠>=′⇒= a x

axxfxxf a

xxfxxf cos)( sin)( =′⇒=

xxfxxf sin)( cos)( −=′⇒=

0 cos cos

1)( )( 2 ≠=′⇒= xx

xftgxxf

0 sin sin

1)( )( 2 ≠−=′⇒= xx

xfctgxxf

1) (-1, 1

1)( arcsin)(2

∈−

=′⇒= xx

xfxxf

1) (-1, 1

1)( arccos)(2

∈−

−=′⇒= xx

xfxxf

Rxx

xfarctgxxf 1

1)( )( 2 ∈+

=′⇒=

Rxx

xfarcctgxxf 1

1)( )( 2 ∈+

−=′⇒=

b) Derivatele funcţiilor compuse N )()( )()( 1 ∈′=′⇒= − n(x) uxnuxfxuxf nn

1 , )()( )()( 1 ≠∈′=′⇒= − aRa(x) uxauxfxuxf aa

0)( )(2

1)( )()( >′=′⇒= xu(x) uxu

xfxuxf

(x) uexfexf xuxu ′=′⇒= )()( )( )(

0)( )(

1)( )(ln)( >′=′⇒= xu(x) uxu

xfxuxf

1 0,)( ln)(

1)( )(log)( ≠>′=′⇒= ax u(x) uaxu

xfxuxf a

)(cos)( )(sin)( xu(x) uxfxuxf ′=′⇒=

)(sin)( )(cos)( xu(x) uxfxuxf ′−=′⇒=

0 0(cos )(cos

1)( )()( 2 ≠′=′⇒= xu(x) uxu

xfxtguxf

0 )sin( )(sin

1)( )()( 2 ≠−=′⇒= xxu

xfxctguxf

1) (-1, )( )(1

1)( )(arcsin)(2

∈−

=′⇒= xuxu

xfxuxf

1) (-1, )( )(1

1)( )(arccos)(2

∈−

−=′⇒= xuxu

xfxuxf

Rxxu

xfxarctguxf )(1

1)( )()( 2 ∈+

=′⇒=

Rxxu

xfxarcctguxf )(1

1)( )()( 2 ∈+

−=′⇒=

Diferenţiala totală a lui : )(xfy = dxxfxdf )()( ′=

2. Cazul unei funcţii de două variabile: ),( yxfz =

- derivata parţială de ordinul întâi în raport cu x: x

yxfyxf x ∂∂

=′ ),(),(

- derivata parţială de ordinul întâi în raport cu y: y

yxfyxf y ∂∂

=′ ),(),(

- derivata parţială de ordinul doi în raport cu x: 2

2 ),(),(x

yxfyxf x ∂∂

=′′

- derivata parţială de ordinul doi în raport cu x: 2

2 ),(),(y

yxfyxf y ∂∂

=′′

- derivata parţială de ordinul doi în raport cu x şi cu y:

yx

yxfyxf yx ∂∂∂

=′′ ),(),(2

,

Diferenţiala totală de ordinul întâi a funcţiei ),( yxfz = este:

dyyxfdxyxfdz yx ),(),( ′+′=

Diferenţiala totală de ordinul doi a funcţiei ),( yxfz = este: 2

,22 ),(),(2),( 22 dyyxfdxdyyxfdxyxfzd yyxx

′′+′′+′′=

Generalizare

Pentru o funcţie de mai multe variabile ),....,,,( 321 nxxxxfy = diferenţiala

totală de ordinul întâi este:

nnxnxnx dxxxxfdxxxxfdxxxxfdyn

),...,,(.....),...,,(),...,,( 21221121 21′++′+′=

III Extremele unei funcţii 1. Cazul unei funcţii de o variabilă: )(xfy =

a) Condiţia de ordinul întâi sau condiţia necesară de optim, din care se

deduc punctele de extrem:

0)( =′ xf

b) Condiţia de ordinul doi sau condiţia suficientă de optim:

- dacă optimul este un maxim; 0)( <′′ xf

- dacă optimul este un minim. 0)( >′′ xf

Cazul unei funcţii de două variabile: ),( 21 xxfy =

- fără restricţii:



⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=∂∂

=∂∂

0

0

2

1

xfxf


- O condiţie suficientă pentru ca un extrem să fie un maxim este:

0),( 21, 21<′′ xxf xx şi 0

22

21

12

21

,

,>′′

′′

′′′′

x

xx

xx

x

ff

ff

.

- O condiţie suficientă pentru ca un extrem să fie un minim este:

0),( 21, 21>′′ xxf xx şi 0

22

21

12

21

,

,>′′

′′

′′′′

x

xx

xx

x

ff

ff

.

- cu restricţii:

În acest caz se utilizează metoda multiplicatorilor lui Lagrange. Programul

ce trebuie rezolvat are forma :

⎩⎨⎧

= cxxgxxf

),(),(max

21

21

Funcţia Lagrange asociată are forma :

)),((),(),( 212121 xxgcxxfxx −+= λL ,

λ fiind multiplicatorul lui Lagrange.



⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=∂

∂

=∂

∂

=∂

∂

0),,(

0),,(

0),,(

21

2

21

1

21

λλ

λ

λ

xxx

xxx

xx

L

L

L


- se calculează matricea hessian bordată notată HB:

221

2

1

212

1

212

1

212

22

212

12

212

1

212

21

212

21

212

),,(),,(),,(

),,(),,(),,(

),,(),,(),,(

λλ

λλ

λλ

λλλλ

λλλλ

∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂

=

xxxxx

xxx

xxx

xxx

xxxx

xxx

xxxx

xxx

HB

LLL

LLL

LLL

HB este pozitiv în cazul unui punct de maxim;

HB este negativ în cazul unui punct de minim.

1. Bergstrom, T.C., Varian, H.

Workouts in intermediate "microeconomics" W.W. Norton & Company, N.Y., 1987

2. Dobson, S.,

Maddala, G.S., Miller Ellen

Microeconomics McGraw-Hill Book Company, 1995

3. Gallini, N.T. Problems solving in Microeconomics

W.H. Freeman and Company N.Y., 1988

4. Gravelle, H., Rees, R.

Microeconomics, Longman group UK Limited England 1992

5. Mansfield, Edwin Microeconomic Problems, Norton, N.Y.,

London 1991

6. Marin, D., Stancu, S., Roman, M.

Microconomie, Aplicaţii, Bucureşti, Editura ASE, 2000

7. Marin, D.,

Hartulari, C., Albu, C., Galupa, A.

Microeconomie. Teorie şi aplicaţii. Consumatorul şi producătorul, Bucuresti, Editura. ASE, 2000

8. Marin, D., Hartulari, C., Albu, C., Galupa, A.

Microeconomie. Teorie şi aplicaţii. Pieţe în concurenţă perfectă şi imperfectă, Bucuresti,Editura. ASE, 2000

9. Picard, P. Élements de microéconomie. Théorie et applications. Paris, Montchrestien, 1992

10. Piller, A. Microéconomie; manuel d'éxercices

corrigès Paris, Editura. Maxima, 1999

11. Redslob, A. Microéconomie; Exercices corrigès. Paris, Editura. Synonyme, 2000

12. Stancu, S.,

Andrei, T. Macroeconomie; teorie şi aplicaţii Bucureşti, Editura All, 1997

13. Varian, H. Microeconomic analysis, London, 1992

Date post:	27-Jun-2015
Category:	Documents
Upload:	giacomo-monamour
View:	203 times
Download:	2 times

Comportamentul Micro Economic Al Agentilor Economici in Conditii de Piata - Aplicatii

Documents