Clasa a II-a - Neutrino | Neutrino · IV. 184 Cel mai rapid animal terestru şi cel mai bun...

1

Clasa a II-a

II. 181 O scândură lungă de 240 cm se taie în patru bucăţi, apoi fiecare bucată se taie în câte trei bucăţi. Câte tăieturi au fost făcute ?

* * *

2

II. 182 Suma a trei numere este egală cu 72. Suma primelor două numere este egală cu 52, iar al treilea număr este cu 15 mai mic decât al doilea. Aflaţi cele trei numere.

* * *

3

II. 183 Familiile Avram, Barbu şi Constantin au următoarele numere de telefon: 531 844 , 523 752 , respectiv 514 651, toate respectând o aceeaşi regulă matematică. Dacă numărul de telefon al familiei Duma, respectând aceeaşi regulă, este de forma 5a2 9bc, puteţi găsi numărul de telefon al familiei Duma ? (Explicaţi ! Acest ultim îndemn poate că nu ar trebui dat ! Ar trebui să ştiţi că orice rezultat trebuie justificat, într-un fel sau altul ! ) Aşadar, dacă aţi găsit numărul , ne spuneţi care este ?

* * *

4

II. 184 O revistă de matematică are 62 de file. De câte ori apare cifra 5 în numerotarea paginilor ? * * *

5

II. 185 Cei patru membri ai familiei Popescu pleacă într-o excursie cu autoturismul. Bogdan nu stă pe locurile din faţă, Cristina nu stă în faţa tatălui său, tatăl stă în stânga lui Bogdan. Cine conduce autoturismul ?

* * *

6

II. 186 David şi George merg împreună la şcoală. În timp ce David face 5 paşi, George face 6 paşi. Dacă David ajunge la şcoală în 25 de minute, în câte minute ajunge George la şcoală ?

* * *

7

II. 187 David, George şi Ionuţ au împreună 24 de caiete. Dacă David îi dă un caiet lui George şi două caiete lui Ionuţ, atunci fiecare dintre cei trei prieteni va avea acelaşi număr de caiete. Câte caiete are fiecare dintre cei trei ? * * *

8

II. 188 Care dintre următoarele numere nu respectă regula pe care o respectă celelalte: 14374, 35275, 12132, 57297, 67182 ?

* * *

9

II. 189 Andrei are 10 ani; acum trei ani, fratele său Bogdan avea cu patru ani mai puţin decât Andrei. Câţi ani va avea Bogdan peste opt ani ?

* * *

10

II. 190 În trei găleţi sunt 31 kg de prune. În prima şi a doua găleată sunt în total 20 de kg de prune, iar în a treia găleată sunt cu 3 kg mai multe prune decât în prima găleată. Câte kg de prune sunt în fiecare dintre cele trei găleţi? * * *

11

Clasa a III- a

III. 181 În trei zile Daniela a citit un sfert din paginile unei cărţi. Aflaţi câte pagini are cartea dacă în prima zi a citit 15 pagini, iar în fiecare dintre următoarele zile a citit un număr dublu de pagini faţă de ziua precedentă.

Neta Novac, prof.înv.primar, Reşiţa

12

III. 182 Pentru o oră de lucru, un muncitor primeşte 6 euro. Ştiind că se lucrează 8 ore pe zi, află ce sumă va primi o echipă formată din 5 persoane în 10 zile.

Mariana Mitrică, prof. înv. primar, Reşiţa

13

III. 183 La litere diferite corespund cifre diferite, iar la litere identice corespund cifre identice. Găsiţi numărul ROL ştiind că:

C O RC O RO A C

+ şi

R A CR A CC A L

+.

Dragoş Dan Popa, profesor, Reşiţa

14

III. 184 Victor este cu 21 de ani mai tânăr decât Traian. Dacă în toamna anului 2014 Traian împlineşte 63 de ani, aflaţi în ce an s-a născut Victor.

* * *

15

III. 185 Dacă 3 kg de ardei şi 2 kg de roşii costă 22 de lei, iar un kg de roşii şi 2 kg de ardei costă 13 lei, aflaţi cât costă 4 kg de ardei şi 5 kg de roşii.

Iulia Cecon, profesoară, Oţelu – Roşu

16

III. 186 Un bunic are tot atâţia ani câte luni are nepotul său, iar suma vârstelor lor este 65 de ani. Câţi ani are bunicul ?


17

III. 187 Andreea s-a gândit la un număr. După ce l-a dublat, a scăzut din rezultat 80. Noul rezultat l-a dublat şi a scăzut apoi iar 80, obţinând numărul 0. La ce număr s-a gândit Andreea ?


18

III. 188 Bunica are 42 de păsări (găini, raţe şi gâşte). Găinile sunt de 3 ori mai multe decât raţele, iar raţele sunt de două ori mai puţine decât gâştele. Câte găini are bunica ?

* * *

19

III. 189 Câte numere de patru cifre au suma primelor două cifre egală cu 4?

20

* * * III. 190 În câte feluri pot fi colorate cele şase pătrăţele din figura alăturată folosind culorile roşu, galben şi albastru, astfel încât două pătrăţele alăturate să nu aibă aceeaşi culoare ? (două pătrăţele sunt alăturate dacă au o latură comună)

* * *

21

Clasa a IV-a

IV. 181 Doi fraţi au împreună 120 timbre. Ca să aibă acelaşi număr de timbre, fratele mare îi dă celui mic un sfert din numărul său de timbre. Câte timbre a avut fiecare copil la început?

Elisaveta Vlăduţ, prof. înv. primar, Reşiţa

22

IV. 182 Cu un sfert din banii care-i avea, Marta a cumpărat 2 enciclopedii cu 45 de lei bucata, iar din rest 6 stilouri cu 20 de lei bucata şi 5 cărţi. Cât costă o carte?

Elisaveta Vlăduţ, prof. înv. primar, Reşiţa

23

IV. 183 O scândură lungă de 336 cm se taie în patru bucăţi, apoi fiecare bucată se taie în câte trei bucăţi. Câte tăieturi au fost făcute şi ce lungime are fiecare dintre bucăţile obţinute ?

* * *

24

IV. 184 Cel mai rapid animal terestru şi cel mai bun sprinter din regnul animal este ghepardul. Pe distanţe scurte viteza sa atinge 105 km pe oră. În câte secunde parcurge un ghepard distanţa de 350 de metri ?

Nicoleta Toader, prof. înv. primar, Oţelu – Roşu

25

IV. 185 Singura pasăre care zboară cu spatele, fiind şi cea mai mică din lume, este pasărea Colibri. Bătăile inimii sale ajung la 1200 pe minut, iar viteza cu care zboară este de aproximativ 15 metri pe secundă.

a) De câte ori bate inima acestei păsări în 15 secunde ? b) Dacă zboară fără oprire, pasărea Colibri parcurge un kilometru într-un minut ?


26

IV. 186 Cel mai înalt copac din lume este un arbore din specia sequoia gigant şi care are o înălţime de 115 metri. Un alpinist care se caţără cu o viteză de 4 metri pe minut face pauză câte un minut la fiecare 20 de metri escaladaţi. Poate ajunge alpinistul în vârful copacului în mai puţin de jumătate de oră?


27

IV. 187 Nadia şi Saşa au împreună 12 prune. Dacă Nadia îi dă 2 prune lui Saşa, atunci ea va avea de două ori mai multe fructe decât Saşa. Câte prune are fiecare dintre cei doi ?


28

IV. 188 Un grup ( , , )x y z de trei numere naturale nenule, cu x y z< < , se spune că este de tipul ( , )n p dacă x y p+ = şi x y z n+ + = .

a) Determinaţi numărul natural p ştiind că există un grup de tipul (123, )p format din trei numere naturale consecutive.

b) Calculaţi câte grupuri de tipul (123,50) există. Lucian Dragomir, profesor, Oţelu – Roşu

29

IV. 189 Jocul adunării ( , )p k constă în următoarele: se alege un număr natural x , apoi se adună la acesta un număr natural p , la rezultatul obţinut se adună din nou numărul p , şi tot aşa, la fiecare rezultat obţinut se adună numărul p , efectuând în total k adunări. Alin alege numărul 10 şi joacă adunarea (4, )k , iar Cristian alege numărul 4 şi

joacă adunarea ( ,670)p . Determinaţi numerele k şi p ştiind că amândoi au obţinut în final numărul 2014. Lucian Dragomir, profesor, Oţelu – Roşu

30

IV. 190 Determinaţi numerele A şi B care trebuie puse în ultimul tabel al fiecăruia dintre rândurile de mai jos:

16 9623 69⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

24 9615 75⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

27 18935 175⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

53 15917 A⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

164 41385 77

636 106287 41

848 106369 41

459 51595 B

Lucian Dragomir, profesor, Oţelu – Roşu

31

Clasa a V-a

V. 301 Calculaţi câte numere naturale de trei cifre au proprietatea că cifra zecilor este egală cu media aritmetică a celorlalte două cifre.

32

* * * V. 302 Trei prieteni joacă următorul joc: Dintr-un teanc de zece cărţi întoarse cu faţa în jos, numerotate de la 1 la 10, extrag fiecare câte trei cărţi. Este câştigător cel care obţine cea mai mare sumă a numerelor de pe cele trei cărţi extrase. Adrian extrage trei cărţi şi exclamă: Am obţinut suma 14 ! Bogdan extrage şi el trei cărţi şi constată că a obţinut suma 15. Înainte de a-şi vedea cărţile, Cristian exclamă: Am câştigat ! Are dreptate Cristian ?

33

* * * V. 303 Trei prieteni discută despre un al patrulea. Cristi spune: Dan are cel puţin 5 mingi de fotbal ! Ionel zice şi el: Da’de unde, are mai puţin de 5 ! Armin se amestecă în discuţie: Sigur are cel puţin una ? Câte mingi are Dan, ştiind că numai unul dintre cei trei prieteni are dreptate ?

* * *

34

V. 304 Se consideră numerele 2 2A a a= + şi 23 3 2 23B b b b= + + . a) Determinaţi numărul a pentru care A este pătrat perfect; b) Determinaţi numerele a şi b pentru care 37 3A B⋅ = ⋅ .

* * *

35

V. 305 Mihai pleacă din Arad spre Sibiu, la ora 8, conducând un autoturism cu viteza medie de 60 km pe oră. Dan pleacă din Arad tot spre Sibiu, pe acelaşi drum, la ora 9, pe o motocicletă, conducând cu viteza medie de 90 km pe oră. La ce distanţă de Arad Dan îl ajunge pe Mihai ?

* * *

36

V. 306 Ana alege un număr natural, îl înmulţeşte cu 2, la rezultat adună 3 şi suma obţinută o împarte la 4. Ionela alege şi ea un număr, îl înmulţeşte cu 4, la rezultat adună 3 şi suma obţinută o împarte la 2. Este posibil ca, în final, cele două prietene să obţină acelaşi număr ?

* * *

37

V. 307 La ora de matematică de la clasa a V a, dacă aşezăm câte 2 elevi într-o bancă, rămân 7 elevi în picioare, iar dacă aşezăm câte 3 elevi într-o bancă, rămân 5 locuri libere în bănci. Câte bănci sunt în cabinetul de matematică şi câţi elevi sunt în clasa a V a ?

Mariana Mitrică, prof. înv. primar, Reşiţa

38

V. 308 Răzvan îşi aduce aminte că la un concurs de matematică au participat 83 de elevi. Cristi ştie sigur că numărul fetelor participante a fost cu 18 mai mare decât cel al băieţilor participanţi. a) Să se stabilească dacă Răzvan a reţinut numărul participanţilor la concurs . b) Să se stabilească dacă următoarea afirmaţie a lui Răzvan este adevărată : Numărul elevilor participanţi este de

fapt mai mare decât 80 şi mai mic decât 85. * * *

39

V. 309 În fiecare zi din luna octombrie, Laurenţiu rezolvă câte o problemă de aritmetică. Pentru o problemă rezolvată corect primeşte de la părinţi câte 2 lei , dar pentru o problemă rezolvată greşit i se ia un leu.

a) Ar putea Laurenţiu, la sfârşitul lunii octombrie, să îşi cumpere un atlas zoologic care costă 60 de lei ?. b) Poate avea Laurenţiu la sfârşitul lunii octombrie exact 17 lei ? Dar exact 14 lei ?


40

V. 310 Pentru o mulţime finită M se notează cu ( )s M suma elementelor sale. Să se determine mulţimile A şi B de numere naturale nenule care satisfac simultan următoarele proprietăţi : a) Dacă x A∈ , atunci ( )2 1 ;x B+ ∈ b) A şi B au câte trei elemente ; c) ;A B∩ ≠∅ d) 7 ( ) 3 ( ).s A s B⋅ = ⋅

Prof. Adriana Dragomir , Oţelu – Roşu

41

Clasa a VI-a VI. 301 Arătaţi că pentru orice număr natural n există un număr natural p astfel încât 2 3 2 12 3 4n np+ +< < ⋅ .

* * *

42

VI. 302 Pe o insulă trăiesc oameni cinstiţi care spun întotdeauna adevărul şi mincinoşi care întotdeauna mint. Un explorator a întâlnit doi băştinaşi A şi B. Băştinaşul A a spus : Cel puţin unul dintre noi doi ( A şi B ) este mincinos. Băştinaşul B a spus : Nici unul dintre noi doi nu spune acum adevărul. Poate stabili exploratorul cum sunt cei doi (cinstiţi sau mincinoşi) ?

Olimpiadă Rusia

43

VI. 303 La un meci de fotbal al naţionalei ţării noastre, trei prieteni au îmbrăcat tricouri de culoare roşie, galbenă, albastră şi şi-au scris pe spate câte un număr (al jucătorului favorit) – fiecare altă culoare şi alt număr. Se ştie că : 1) Sergiu nu are tricoul galben şi nu are numărul 5 . 2) Cine are tricoul galben , are numărul 7 . 3) Cine are numărul 10 nu are tricoul albastru . 4) Costel nu are numărul 10 . 5) Sorin nu are numărul 7 . Puteţi găsi ce tricou şi ce număr are fiecare dintre cei trei prieteni ?

Lucia Dragomir

44

VI. 304 Fiecare fată dintr-un grup de patru prietene are câte un gen de muzică preferată şi câte o materie preferată, diferite de ale celorlalte. Se ştie că : 1) Alina preferă muzica simfonică şi nu îi place istoria . 2) Roxana preferă matematica şi nu îi place muzica populară. 3) Fetei căreia îi place muzica populară , îi place şi geografia. 4) Fetei căreia îi place muzica rock nu îi place fizica. 5) Bianca nu suportă muzica rock . 6) Fetei căreia îi place istoria nu îi place muzica dance. Puteţi găsi ce gen de muzică preferă Lucia şi cui îi place fizica ?

Alin Drăgan, inginer, Cluj – Napoca

45

VI. 305 O carte ciudată este o carte în care toate paginile sunt numerotate cu numere formate numai din cifre impare (1,3,5,7,9, etc.). Determinaţi ce număr se află pe a 50-a pagină a unei cărţi ciudate.

Concurs Iaşi, 2009

46

VI. 306 Albă ca Zăpada şi cei şapte pitici au suma vârstelor egală cu 216 ani. Dacă se ştie că piticii au vârstele numere naturale consecutive, arătaţi că, dacă Albă ca Zăpada are vârsta egală cu cea a unuia dintre pitici, atunci ea are vârsta celui mijlociu.

Concurs Mangalia, 2009

47

VI. 307 O mulţime se numeşte utilă dacă conţine cel puţin trei numere pare consecutive. Câte mulţimi utile conţine mulţimea { }2,3,4,5,6,7,8 ?

Olimpiadă Călăraşi

48

VI. 308 Un număr se numeşte fiul unui alt număr dacă este format cu două dintre cifrele numărului iniţial, numit tata. Dintre numerele de trei cifre cu ultima cifră 0, aflaţi toţi taţii cu 891 mai mari decât unul dintre fiii lor.

Concurs Iaşi

49

VI. 309 În mulţimea { }1,2,3,...,n a primelor n numere naturale nenule, 123 de numere se divid cu 2, dar nu se divid cu 4, iar 62 de numere se divid cu 4, dar nu se divid cu 8. Aflaţi numărul n.

Concurs Cluj – Napoca

50

VI. 310 Bunica împarte merele dintr-un coş celor trei nepoţi astfel: primul primeşte jumătate din numărul merelor plus jumătatea unui măr, al doilea primeşte jumătate din numărul merelor rămase şi jumătatea unui măr, iar al treilea primeşte jumătate din câte au rămas plus jumătatea unui măr. În coş au rămas 4 mere întregi. Câte mere au fost în coş?

Olimpiadă Harghita

51

Clasa a VII-a

VII. 301 Un elev a simplificat o fracţie de forma abbc

ştergând b atât de la numǎrǎtor cât şi de la numitor, obţinând

totuşi rezultatul corect. Câte astfel de fracţii existǎ cu proprietatea că, simplificând greşit, obţinem un rezultat corect ? (cifrele a,b,c sunt nenule şi distincte)

* * *

52

VII. 302 La un concurs de matematicǎ au fost date 30 de probleme.Pentru fiecare problemǎ rezolvatǎ corect s-au acordat câte 5 puncte, iar pentru fiecare problemǎ rezolvatǎ greşit s-au scǎzut câte 3 puncte. Câte probleme a rezolvat corect un elev care a obţinut un total de 118 de puncte?

Concurs Timiş

53

VII. 303 Se consideră numerele 12 23a n m= + şi 3 10b n m= + , unde ,m n∈ . Arătaţi că, dacă 17 este un divizor al lui a, atunci 17 este un divizor şi al lui b.

Olimpiadă Argeş

54

VII. 304 Se dă unghiul propriu XOY. Pe latura (OX se iau punctele diferite A şi B, iar pe latura (OY se iau punctele diferite C şi D astfel încât .OA OB OC OD+ = + Mediatoarele segmentelor (AB) şi (CD) se intersectează în punctul M.

a) Demonstraţi că ( ) ( ).MA MB≡

b) Arătaţi că punctul M este situat pe bisectoarea unghiului XOY . Prof. Mircea Fianu, Bucureşti

55

VII. 305 Se consideră un număr natural n care are produsul cifrelor egal cu un număr prim p. Determinaţi numerele n şi p ştiind că 156.n p+ =

Olimpiadă Hunedoara

56

VII. 306 Un burete care conţine 99% apă cântăreşte 600 g. După ce se evaporă o parte din apă, buretele conţine 98% apă. Cât cântareşte acum buretele?

Olimpiadă Harghita

57

VII. 307 Ce termeni ai sumei 1 1 1 1 1 12 4 6 8 10 12+ + + + + trebuie şterşi astfel încât suma termenilor rămaşi să fie egală

cu 1 ? Olimpiadă SUA

58

VII. 308 Să se găsească numerele naturale m şi n pentru care 13 2 80.m n+ − =

Alina Buzuriu, studentă, Cluj – Napoca

59

VII. 309 Să se arate că nu există două numere naturale nenule astfel încât suma lor să fie egală cu 39, iar produsul lor să se dividă la 39 .

* * *

60

VII. 310 Pe podeaua unei camere placate cu gresie în formă de pătrat cu latura de 4 m sunt 600 de furnici. Să se arate că în orice moment găsim cel puţin 3 furnici care sunt pe una din plăcile de gresie, care sunt tot în formă de pătrat, dar cu latura de 25 cm.

Dragoş Unguraş, inginer, Timişoara

61

Clasa a VIII-a VIII. 301 Mulţimea numerelor naturale nenule se împarte în grupe astfel : (1,2),(3,4,5),(6,7,8,9),... astfel încât în prima grupă sunt 2 numere , în a doua grupă sunt 3 numere , ... , în a zecea grupă sunt 11 numere şi păstrăm această regulă de a grupa numerele naturale consecutive.

a) Cu ce număr începe grupa 2007 ? b) În a câta grupă se găseşte numărul 2007 ?


62

VIII. 302 Determinaţi numerele întregi a şi b pentru care 1 2 3 4a b ab+ + = .


63

VIII. 303 Să se determine numerele întregi a şi b pentru care

2 .1 1

a bb a a b

+ =+ + +

Lucian Dragomir, profesor, Oţelu - Roşu

64

VIII. 304 Determinaţi numerele naturale n pentru care există x∈ astfel încât 1 1 1... 1

1 1 2 1x x x x x n x n+ + + =

+ + + + + + + + +.

Lucian Dragomir, profesor, Oţelu - Roşu

65

VIII. 305 Să se arate că dacă ( ), 2,4x y∈ , atunci şi ( ) ( )3 3 12 2,4 .xy x y− − + ∈

* * *

66

VIII. 306 Notăm cu a , b lungimile catetelor şi cu c lungimea ipotenuzei unui triunghi dreptunghic dat. Să se arate

că : 32

a a b b c c+ <

RMT

67

VIII. 307 Se spune că o mulţime M de numere reale pozitive se numeşte artistică dacă orice element al său este media geometrică a două elemente ale mulţimii M. a) Să se arate că există o infinitate de mulţimi artistice ; b) Să se arate că nu există mulţimi artistice care au 2014 elemente .

Gabriel Popa, profesor, Iaşi

68

VIII. 308 Să se arate că : 4 8 9 0 , .x x x+ + ≥ ∀ ∈ Lucian Dragomir, profesor, Oţelu – Roşu

69

VIII. 309 Numerele 1 , 2 , 3 , ... , 100 sunt scrise pe 100 de bileţele ( câte un număr pe fiecare bileţel ). Se aleg la întâmplare două bileţele şi în locul lor se pune un bileţel pe care este scris modulul diferenţei numerelor de pe cele două bileţele ( cele două bileţele se aruncă). Procedăm la fel cu cele 99 de bileţele care se obţin , ş.a.m.d. până când rămâne un singur bileţel. Ce paritate are numărul scris pe acest bileţel ?

RMT

70

VIII. 310 Se spune că un triplet ( )0 , ,t a b c= se transformă după un pas în tripletul

( )1 1 1 1, , ( , 1, 1)t a b c a b b c= = + + − , iar după încă un pas în tripletul ( )2 2 2 2 1 1 1 1, , ( , 1, 1)t a b c a b b c= = + + − , procedeul de transformare repetându-se pas cu pas ; după n astfel de paşi obţinem tripletul ( ), , .n n n nt a b c= a) Să se găsească tripletul în care se transformă după trei paşi tripletul ( )0 1,1,2 ;t = b) Să se determine numărul minim de paşi după care obţinem din ( )0 1,1,2t = un triplet ( ), ,n n n nt a b c= cu 2007;na ≥ c) Să se arate că din tripletul ( )0 1,1,2t = nu se poate obţine un triplet nt cu 2007.n n na b c+ + =


71

Clasa a IX-a IX. 261 Demonstraţi că pentru orice numere reale strict pozitive este adevărată inegalitatea

2 3 3 33 2 3 2 3 2 2

x y y z z xx y z y z x z x y

+ + ++ + ≤

+ + + + + +.


72

IX. 262 Se notează cu F mulţimea funcţiilor :f → care au proprietatea că (2 3 ) 2 ( ) 3 ( ), ,f x y f x f y x y+ = + ∀ ∈ .

a) Arătaţi că F conţine cel puţin două funcţii neconstante; b) Calculaţi (2014)g ştiind că g∈F şi (10) 0.g =


73

IX. 263 Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia { } [ ]3 4 2x x+ = . Iulia Cecon, profesoară, Oţelu – Roşu

74

IX. 264 Arătaţi că numerele reale 1 2 ... na a a< < < sunt în progresie aritmetică dacă şi numai dacă 2

2 1 3 2 1 1

1 1 1 ( 1)...n n n

na a a a a a a a−

−+ + + =

− − − −.

Concurs Braşov

75

IX. 265 Se consideră un triunghi ABC şi punctele ( ), ( )E AB F AC∈ ∈ astfel încât 14

AE FCEB AF

= = . Dacă M este

mijlocul lui (AB), N este mijlocul lui (AC) şi R este mijlocul lui (EF), arătaţi că punctele M, N şi R sunt coliniare. Concurs Buzău

76

Clasa a X-a

X. 261 Arătaţi că dacă în triunghiul ABC avem 2 2,4 3

A b cπ= = ⋅ , atunci tg .B∈

* * *

77

X. 262 O mulţime M de numere complexe are proprietăţile următoare: a) i M∈ . b) 2z M z M∈ ⇒ ∈ . c) 2 (1 )z M z M∈ ⇒ + ∈ . Arătaţi că 5 M∈ şi (1 3)i M+ ∈ .


78

X. 263 Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3 12 2 2 4x x xx x−+ = + ⋅ . Dragoş Dan Popa, profesor, Reşiţa

79

X. 264 Se consideră un triunghi ABC în care 2 2 22b c a+ = şi 3

A π= . Calculaţi cos 2 cos 2B C+ .

* * *

80

X. 265 Arătaţi că dacă , 3n n∈ ≥ , atunci este adevărată inegalitatea 1 1 .n nn n+ + ≤

* * *

81

Clasa a XI-a

XI. 261 Demonstraţi că şirul ( ) 1n nx ≥ definit prin 1 1x = , 2

1 2 , 12 2

n nn

n n

x xx n

x x++

= ∀ ≥+ +

este convergent.

Dan Dragoş Popa, profesor, Reşiţa

82

XI. 262 Pentru orice matrice ( )2A∈M se consideră 2 2( ) det( ) det( )Ag n A n I A n I= − ⋅ + + ⋅ , cu n ∗∈ .

a) Determinaţi mulţimea { }2| ( ) ( )A AH n g n g n∗= ∈ = .

b) Arătaţi că mulţimea ( ){ }2 | (2) 2AG A g= ∈ =M este infinită. Dan Dragoş Popa, profesor, Reşiţa

83

XI. 263 Fie ( )1 0,1x ∈ şi şirul ( )n nx ∗∈ definit prin

21 1 , 1.n n nx x x n+ = − + ∀ ≥ Să se calculeze ( )1 2lim ... nn

x x x→∞

⋅ ⋅ ⋅ .

* * *

84

XI. 264 Dacă ( )2,A B M∈ satisfac AB BA= şi 2 2det( ) 0A B+ = , să se arate că det det .A B= ** *

85

XI. 265 În reperul cartezian xOy se consideră dreptele de ecuaţii 1 2 3 4: 2 2 0, : 4 0, : 2, : 4 3 0.d x y d x y d y d x y− − = + − = = − + = Să se găsească vârfurile triunghiurilor care au

medianele 1 2 3, ,d d d şi în care 4d este una dintre înălţimi. Lucian Dragomir, profesor, Oţelu – Roşu

86

Clasa a XII-a

XII. 261 Se consideră funcţia 21: , ( )

2 2xf f x

x x+

→ =+ +

.

a) Calculaţi ( )lim ( ) x

xx f x

→∞⋅ .

b) Calculaţi (0)F ştiind că F este primitiva funcţiei f pentru care ( 1) 0F − = . c) Demonstraţi că pentru orice primitivă F a funcţiei considerate este adevărată inegalitatea 2 ( ) ( ) , ,F x F y x y x y⋅ − ≤ − ∀ ∈ .


87

XII. 262 Se spune (aşa convenim noi să spunem aici..) că orice funcţie derivabilă [ ): 0,f +∞ → strict crescătoare şi cu (0) 0f = are proprietatea (P).

a) Arătaţi că funcţia [ ): 0,g +∞ → , 2( ) xg x x e= ⋅ are proprietatea (P). b) Arătaţi că orice primitivă F , cu (0) 0F = , a unei funcţii care are proprietatea (P) are de asemenea proprietatea (P).

c) Demonstraţi că dacă o funcţie f are proprietatea (P), atunci există (0,1)c∈ astfel încât 2'( ) 2( ) 1

f c cf c c

=−

.


88

XII. 263 Fie şirul ( )n nx ∈ definit prin 11 1 , nx

n nx e x n++ + = + ∀ ∈ , cu 0 0x > .

a) Să se arate că şirul este bine definit; b) Să se arate că şirul este convergent şi să se calculeze limita sa .

* * *

89

XII. 264 Pe mulţimea ( )0,M = ∞ se consideră legea de compoziţie " "∗ care satisface următoarele proprietăţi: a) ( )1 1 , ;x x x M+ ∗ = ∀ ∈ b) ( ) ( )xy z x y z∗ = ∗ , , ,x y z M∀ ∈ .

Să se studieze dacă legea este asociativă,dacă admite element neutru şi să se calculeze ( )2 2 1 .∗ +

* * *

90

XII. 265 Să se arate că nu există niciun morfism de grupuri ( ) ( ): , ,f ∗+ → ⋅ pentru care 0

lim ( ) 0.x

f x→

=

Dumitru Buşneag, prof. univ. dr., Craiova

Date post:	22-Jan-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	20 times
Download:	1 times

Clasa a II-a - Neutrino | Neutrino · IV. 184 Cel mai rapid animal terestru şi cel mai bun...

Documents