Capitolul 4 - Studiul Fenomenului de Scurtcircuit

8/7/2019 Capitolul 4 - Studiul Fenomenului de Scurtcircuit

http://slidepdf.com/reader/full/capitolul-4-studiul-fenomenului-de-scurtcircuit 1/70

CENTRALE ELECTRICE – partea electrică

70

CAPITOLUL 4

STUDIUL FENOMENULUI DE SCURTCIRCUIT

4.1 IntroducereInstalaţiile electrice sunt prevăzute cu protecţii la scurtcircuite acolo unde

există discontinuităţi în reţea. Acestea sunt, de regulă, punctele în care se modifică secţiunea transversală. Curentul de scurtcircuit trebuie determinat pentru fiecarenivel în instalaţie pentru a determina caracteristicile echipamentului care să rezistela solicitările corespunzătoare.

Ssc - puterea de

scurtcircuit echivalent ă

Sarcina

Isc la bornele trafo

Isc

Ssc

Caracteristici ap. comu-ta ţieşi reglaj protec ţii

Caracteristici ap. comu-taţie şi reglaj protec ţii

Caracteristicicomponente re ţea:- bare : sec ţiune,lungime, material;-cabluri : tip,izola ţie, lungime,secţiune, material;- caracteristicimontaj ş i mediu :temperaturamediului ambiant,

pozare, num ăr circuite paralele.

cosϕ, coeficientsimultaneitate,durata deutilizare asarciniimaxime,

prognoza

Transformator U sc [%]



Isc

Isc Curent nominal

LEA (LEC)Căderi tensiune

Fig. 4.1 Algoritmul de calcul a curenţilor de scurtcircuit pentru proiectarea instalaţiilor electrice




71

Diagrama din figura 4.1 redă proceduraşi etapele pentru determinarea

curenţilor de scurtcircuitşi parametrii rezultanţi corespunzători diverselor protecţii.În scopul corectei selectări şi reglări a dispozitivelor de protecţie se folosescşigraficele din figurile 4.2, 4.3şi 4.4.

În principiu, trebuie calculate două valori ale curentului de defect:- curentul maxim de scurtcircuit, folosit pentru a determina:

• capacitatea de rupere a întrerupătoarelor;• capacitatea de conectare a întrerupătoarelor;• stabilitatea electrodinamică a componentelor de reţea şi a

echipamentelor de comutare.Curentul maxim de scurtcircuit corespunde unui defect în imediata

apropiere a bornelor din aval ale dispozitivului de protecţie. Acesta trebuie calculat

exact, cu un coeficient de siguranţă.- curentul minim de scurtcircuit, esenţial pentru selectarea caracteristiciitimp-curent pentru întrerupătoareşi siguranţe, în particular când:

• conductoarele sunt lungişi/sau impedanţa sursei este relativmare;

• protecţia vieţii depinde de funcţionarea întrerupătorului sau asiguranţei fuzibile

Important este că valoarea minimă a curentului de scurtcircuit corespundela un defect la capătul îndepărtat al liniei protejate, în general pentru un scurtcircuitfază-pământ la JTşi fază-fază la MT (neutru izolat) în cele mai severe condiţii deexploatare (defect la capătul linieişi nu în aval faţă de protecţie, un transformator sub tensiune în cazul existenţei a două unităţi, etc.).

Fig. 4.2 Caracteristica I2t a unui conductor, în funcţie de temperatura mediului ambiantşicurentul maxim admisibil

I2t = k 2A2

θ1 > θ2

Iadm1< Iadm2

5s

I

t




72

Fig. 4.3 Protecţia unui circuit folosind un întrerupător

O altă observaţie importantă este aceea că, indiferent de tipulscurtcircuitului (curent minim sau maxim)şi în orice situaţie, dispozitivul de protecţie trebuie să deconecteze defectul în interiorul unui interval td, care să protejeze din punct de vedere al solicitărilor termice, conductorul protejat:

∫ ≤ 222 Ak dt i (fig. 4.2, 4.3şi 4.4)

Fig. 4.4 Protecţia unui circuit folosind siguranţe

Curentul decalcul

Caracteristica I2t acablului

Is Ir Iadm Isc ICR I

t

Caracteristica timp-curent a

întrerupătorului

Supra-sarcina

tranzitorie

Caracteristica I2t a

cablului

Is Ir Iadm I

t

Caracteristica timp-curent a siguranţei

Supra-sarcina

tranzitorie




73

unde A este secţiunea transversală a conductorului iar k este o constantă calculată

pe baza diferiţilor factori de corecţie ce ţin de pozarea conductoarelor, numărulcircuitelor paralele, etc.

4.1.1 Principalele tipuri de scurtcircuiteÎn instalaţiile electrice pot să apar ă mai multe tipuri de defecte.Principalele caracteristici ale acestora sunt legate de:- durată (autolichidare, regimul tranzitoriu, stabilizat);- cauza;- aspecte mecanice (ruperea unui conductor, contactul accidental a două

conductoare via un alt corp conductor);- supratensiuni interne sau atmosferice;- deteriorarea izolaţiei datorită efectelor termice, umidităţii sau mediului

coroziv;- localizarea (interiorul sau exteriorul unei maşini sau tablou electric);Scurtcircuitele pot fi:- fază-pământ, circa 80%;- fază-fază, circa 15%; acestea degenerează, adesea, în scurtcircuite

trifazate;- trifazate, numai 5%.Cele trei tipuri de scurtcircuite sunt prezentate în figura 4.5.

Efectele scurtcircuitelor Efectele sunt variabile depinzând de tipulşi durata scurtcircuitului, locul

din instalaţie unde s-a produs caşi de puterea de scurtcircuit a sursei. Efecteleinclud:

- la locul defectului, prezenţa arcului electric, determinând:• deteriorarea izolaţiei;• topirea conductoarelor;• incendiişi afectarea vieţii

- pe circuitul defect, for ţe electrodinamice rezultând în• deformarea barelor;• deconectarea cablurilor;

• creşterea excesivă a temperaturii prin efect Joule cu risculdeterior ării izolaţiei.- pe alte circuite din reţea sau de lângă reţeaua considerată:




74

• goluri de tensiune pe durata necesar ă izolării defectului, durată care poate fi de la câteva milisecunde la câteva sute demilisecunde;

• deconectarea unei păr ţi a reţelei, mărimea acesteia depinzând demodul de proiectareşi de selectivitatea dispozitivelor de protecţie;

• instabilitate dinamică şi/sau pierderea sincronismului maşinilor electrice;

• perturbaţii ale circuitelor de controlşi monitorizare, etc.

Fig. 4.5 Diferite tipuri de scurtcircuite: 1) 3FN -trifazat cu punere la pământ ;2) 3F - trifazat f ăr ă punere la pământ; 3) 2FN - bifazat cu punere la pământ; 4)

2F - bifazat f ăr ă punere la pământ; FN - monofazat

4.1.2 Determinarea curentului de scurtcircuit O reţea maximum simplificată include o sursă de c.a. de putere constantă,

un întrerupător, o impedanţă de scurtcircuit care reprezintă impedanţa echivalentă a

`a

c b

a

c b

a

c b

a

c b

ac b

1) 2)

3) 4)

5)




75

reţelei din amonte faţă de întrerupător şi o impedanţă de sarcină Zs, conform figurii

4.6.Într-o reţea reală, impedanţa sursei este formată din combinarea tuturor

impedanţelor elementelor reţelei din amonte incluzând toate nivelele de tensiune.În fig. 4.6, când întrerupătorul este închis, curentul care apare are valoarea proiectată, de regim normal. Dacă se produce un scurtcircuit între punctele Aşi B,impedanţa neglijabilă dintre aceste două puncte determină un curent de defect devaloare mare Isc limitat numai de impedanţa Zsc.

Fig. 4.6 Schema simplificată a reţelei

Curentul Isc se dezvoltă în condiţii de regim tranzitoriu, depinzând dereactanţa Xşi de rezistenţa R care determină impedanţa Zsc:

22 X R Z sc += În reţelele de distribuţie, reactanţa X=Lω este, în mod normal, mult mai

mare decât rezistenţa R iar raportul R/X are valori între 0.1şi 0.3. Raportul estevirtual egal cu cosϕsc pentru valori mici:

22cos

X R

R sc

+=ϕ

Totuşi, condiţiile regimului tranzitoriu care prevalează în evoluţiacurentului de scurtcircuit difer ă, depinzând de distanţa dintre locul defectuluişisursă. Distanţa nu este, în mod necesar, fizică, dar înseamnă că impedanţelegeneratorului sunt mai mici decât impedanţa de legătur ă dintre generator şi loculdefectului.

4.1.2.1 Cazul defectului îndep ă rtat fa ţă de generator (surs ă de putere infinit ă )

Dacă se consider ă că sursa are o putere infinită, influenţa impedanţeigeneratorului sincron asupra curentului de scurtcircuit este nulă (xg = 0, r g = 0) şi,ca urmare, studiul fenomenului se simplifică mult.

A

B

R X

Zsc

Zse




76

Din punct de vedere practic, se poate considera această situaţie în cazul în

care impedanţa sursei este sub 10% din cea totală, de la sursă la locul defectului.Se consider ă un circuit trifazat simetric cu punctul k drept loc al defectului,

ca în fig. 4.7. În figura 4.8 este reprezentată schema monofilar ă echivalentă.Înaintea producerii scurtcircuitului, tensiunileşi curenţii formau sisteme

simetrice, conform ecuaţiilor (4.1), în careα este faza iniţială a tensiunii iar ϕ,defazajul între curentşi tensiune înaintea producerii defectului.

Fig. 4.7 Schema simplificată a circuitului trifazat scurtcircuitat

Fig. 4.8 Schema simplificată monofilar ă a circuitului trifazat scurtcircuitatalimentat de la sursa de putere infinită

π−α+ω=

π−α+ω=

α+ω=

π−α+ω=

π−α+ω=

α+ω=

)3

4sin(

)3

2sin(

)sin(

)34sin(

)32sin(

)sin(

t I i

t I i

t I i

t U e

t U e

t U e

mc

mb

ma

mc

mb

ma

(4.1)

După apariţia defectului, impedanţa circuitului se micşorează cu R’şi L’.Valorile tensiunilor sunt descrise de ecuaţiile următoare:

R k

K

ER k

R k

L

L

L

R’

R’

R’

L’

L’

L’M

M

M

K

R k Lk R’ L’r g=0xg=0Sg=?E=U=ct.




77

+++=

+++=+++=

dt di

Ldt di

M dt di

M i Ru

dt di

M dt di

Ldt

diM i Ru

dt di

M dt di

M dt di

Li Ru

ck

back c

cbk

abk b

cba

k ak a

(4.2)

Circuitul trifazat fiind simetricşi funcţionând echilibrat, se poate scrie că 0=++ cba iii (4.3)

şi, dacă se notează Lk = L-M valoarea inductivităţii rezultante pe fază, se poate scriegeneric, pentru orice fază:

dt

di

Li Ruk

k k k k += (4.4)Soluţia ecuaţiei (4.4) este, pentru faza a:

a pT t

k pmk iiCet I i a +=+ϕ−α+ω=−

)sin( (4.5)

unde:- I pm , valoarea maximă a curentului periodic de scurtcircuit;- φk = arctg(ω Lk /Rk )=arctg( X k /Rk );- T a = L k /Rk = X k /( ω Rk ), constanta de timp a circuitului scurtcircuitat;- C , constanta de integrare care se obţine din condiţiile iniţiale ale

producerii scurtcircuitului.

Analizând expresia (4.5) a curentului de scurtcircuit rezultă că i p este ocomponentă periodică, sinusoidală, de frecvenţă fundamentală iar ia o componentă aperiodică, amortizată exponenţial cu constantaT a, a cărei valoare iniţială estechiar constanta de integrareC (ia0 = C ).

Determinarea constantei C se face considerând faptul că, la t = 0, curentulnu se poate modifica brusc deoarece ar rezulta o tensiune indusă ( )/( dt di Lu L = infinită. Acest lucru este fizic imposibil astfel că la t = 0 curentul descurtcircuit este egal cu cel din regim normal:

+==+==+==

0000

0000

0000

ac pckcc

ab pbkbb

aa pakaa

iiii

iiii

iiii

(4.6)

Rezultă, pentru faza a000 paaaa iiiC −== (4.7)

Similar, pentru fazele bşi c.




78

Se înlocuieşte, în expresia generală a curentului de scurtcircuit, valoarea

determinată pentruC , dată de relaţia (4.7)şi se obţine:aT t

k pmmk pmka e I I t I i−

ϕ−α−ϕ−α+ϕ−α+ω= )]sin()sin([)sin( (4.8)

Pe celelalte faze fenomenul este identic dar defazat în timp cu2π /3:

π−ϕ−α−π−ϕ−α+π−ϕ−α+ω=

π−ϕ−α−π−ϕ−α+π−ϕ−α+ω=

−

−

a

a

T t

k pmmk pmkc

T t

k pmmk pmkb

e I I t I i

e I I t I i

)]3

4sin()3

4sin([)34sin(

)]32sin()

32sin([)

32sin(

(4.9)Rezultă că, în momentul apariţiei scurtcircuitului în punctul k (fig. 4.8),

datorită micşor ării impedanţei circuitului, curentul creşte foarte multşi poate ficonsiderat ca fiind format din două componente: una periodică sinusoidală (i p) şiuna aperiodică (ia) denumită şi componenta continuă.

Din punct de vedere practic dar şi ca ipoteză de bază în cele ce urmează,rezistenţa circuitului scurtcircuitat, între sursă şi locul defectului, se poate neglija înraport cu reactanţa, astfel că defazajul între componenta periodică şi tensiune esteφk ≈ π /2 ceea ce înseamnă că tensiunea este defazată înainte cuπ /2 faţă decomponenta periodică a curentului de scurtcircuit.

Figura 4.9 redă cele două componenteşi curentul total de scurtcircuit.

Fig. 4.9 Componentele curentului de scurtcircuit trifazat simetric-150

-100

-50

0

50

100

150 I

t

ia

i p

ik =i p+i a




79

4.1.2.1.1 Valorile extreme ale curen ţ ilor de scurtcircuit în cazul în care,

anterior defectului, circuitul func ţ iona în gol (I m = 0)În scopul determinării valorilor extreme se foloseşte ecuaţia (4.8) şi

sistemul de ecuaţii format din derivatele par ţiale ale curentului în raport cuvariabilelet, α , I m şi φ:

=ϕ−α−=ϕ∂

∂

=ϕ−α=∂∂

=ϕ−α−ϕ−α+ϕ−α+ω=α∂

∂

=ϕ−α−ϕ−α−ϕ−α+ωω=∂

∂

−

−

−

−

0)cos(

0)sin(

0)]cos()cos([)cos(

0)]sin()sin([1)cos(

a

a

a

a

T t

mka

T t

m

ka

T t

k pmmk pmka

T t

k pmma

k pmka

e I i

e I i

e I I t I i

e I I T

t I t

i

(4.1)

Din ultimele două ecuaţii ale sistemului (4.8) rezultă

=⇒=−

−ϕ−α⇒=ϕ−α−

00

00)sin(

mT t

m I e I a

(4.11)

Introducând condiţiile (4.11) în primele două ecuaţii ale sistemului (4.10),rezultă:

ϕ−α=ϕ−α+ω

ϕ−α−=ϕ−α+ωω

−

−

a

a

T t

k pmk pm

T t

k pma

k pm

e I t I

e I T

t I

)cos()cos(

)sin(1)cos((4.12)

şi se obţine, f ăcând raportul, termen cu termen, al celor două ecuaţii din (4.12):

k

k ak k

a R X

T tg tg T

−=ω−=ϕ−α⇒ϕ−α−=ω )()(1

dar )( k k

k tg R X

ϕ−=− deci 0=α . Deoarece 0=ϕ−α , rezultă că 0=ϕ .

Introducând condiţiile 0=α , 0=ϕ , 0=m I şi2π=ϕk în cea de a doua ecuaţie a

sistemului (4.10), rezultă:0)

2cos( =π−ωt I pm




80

Deoarece 0≠ pm

I rezultă 0)2

cos( =π−ωt ceea ce înseamnă că

22π=π−ωt decit = 0.01s pentru f = 50 Hz.

Prin urmare, curentul de scurtcircuit are valoarea maximă în condiţiile0=α , 0=ϕ , 0=m I şi t = 0.01s (4.13)

Condiţiile (4.13), introduse în expresia curentului de scurtcircuit dată de(8), conduc la:

aT t

pm pmka e I f I i−π−−+π−π= )]

2sin(0[)

201.02sin( (4.14)

Dacă se ţine cont şi de faptul că Rk = 0 ca urmare a faptului că s-a

considerat circuitul scurtcircuitat pur inductiv ( 2π=ϕk ), rezultă că ∞==k

k a R

LT ,

se obţine

pm pm pmka I I I i 2)2

sin()2

sin( =π−−π=

În final rezultă că valoarea maximă a curentului de scurtcircuit este pmka I i 2max = (4.15)

Pe celelalte două faze, bşi c, curentul de scurtcircuit maxim se obţine în

condiţii similare, 0=ϕ , 0=m I şi t = 0.01s dar pentru 032 =π−α şi respectiv

034

=π

−α .Pentru determinarea valorii minime a curenţilor de scurtcircuit, examinând

relaţia (4.8), se poate observa că aceasta poate să apar ă în două situaţii:- după un timp relativ mare după momentul producerii defectului

( ∞→t ), caz în care există numai componenta periodică deamplitudine I pm;

- la momentult = 0 dacă ia0 = 0 ceea ce înseamnă )sin()sin( k pmm I I ϕ−α=ϕ−α

Dacă se ţine cont de ipoteza anterioar ă conform căreia2π=ϕk (circuitul

scurtcircuitat este pur inductiv), se poate scrie că: α−=ϕ−α cos)sin( pmm I I (4.16)

Egalitatea (4.16) are loc în două cazuri:




81

a) π±=α⇒=α

=

20cos

0m I

b) π±=ϕ=α⇒π±=α⇒=α

ϕ=α⇒=ϕ−α⇒=ϕ−α

220cos

00)sin(

În concluzie, valoarea minimă a curentului de scurtcircuit se atinge dacă la momentult = 0 curentul este nul iar tensiunea are valoarea maximă:

)2

sin( π±= ma U u .

Expresiile curenţilor de scurtcircuit pe cele trei faze, în cazul în carecircuitul funcţiona anterior în gol ( I m = 0), sunt următoarele:

π−ϕ−α−π−ϕ−α+ω=

π−ϕ−α−π−ϕ−α+ω=

ϕ−α−ϕ−α+ω=

−

−

−

a

a

a

T t

k pmk pmkb

T t

k pmk pmkb

T t

k pmk pmka

e I t I i

e I t I i

e I t I i

)3

4sin()3

4sin(

)3

2sin()3

2sin(

)sin()sin(

(4.17)

4.1.2.1.2 Valorile extreme ale curen ţ ilor de scurtcircuit în cazul în care,anterior defectului, circuitul func ţ iona în sarcin ă (I m ≠ 0)

Dacă anterior producerii scurtcircuitului curentul de sarcină era diferit dezero, condiţiile pentru apariţia valorii maxime curentului de defect rezultă dincondiţiile

0,0,0 =ϕ∂

∂=α∂

∂=∂

∂ kakaka iit

i

în careika este dat de (4.8). Derivatele par ţiale menţionate sunt:

=ϕ−α−=ϕ∂

∂

=ϕ−α−ϕ−α+ϕ−α+ω=α∂

∂

=ϕ−α−ϕ−α−ϕ−α+ωω=∂

∂

−

−

−

0)cos(

0)]cos()cos([)cos(

0)]sin()sin([1)cos(

a

a

a

T t

mka

T t

k pmmk pmka

T t

k pmma

k pmka

e I i

e I I t I i

e I I T

t I t

i

(4.18)




82

Din ultima ecuaţie rezultă 2

0)cos( π±=ϕ−α⇒=ϕ−α .

Înlocuind valoarea obţinută în primele două ecuaţii din sistemul (4.18)rezultă:

ϕ−α=ϕ−α+ω

ϕ−α−±=ϕ−α+ωω

−

−

a

a

T t

k pmk pm

T t

k pmma

k pm

e I t I

e I I T

t I

)cos()cos(

)]sin([1)cos((4.19)

Făcând raportul celor două ecuaţii, termen cu termen, se obţine:)]sin([)cos( k pmmk pma I I I T ϕ−α−±=ϕ−αω

k

k

k

k a

k pm

k pmm

R X

R LT

I I I =ω=ω=

ϕ−α ϕ−α−± )cos( )sin( (4.20)

Conform ipotezei iniţiale2π=ϕk şi rezultă

nk k I

I I

pm

pmm ....3,2,1;0sinsin

cos=π=α⇒=α⇒∞=

αα+±

(4.21)

Valorile extreme ale curentului de scurtcircuit, în cazul I m ≠ 0, se obţin

pentru α = k π şi2π=ϕ−α . Introducând aceste două condiţii în cea de a doua

derivată par ţială a sistemului (4.18) se obţine:

0)]cos()cos([)cos( =ϕ−α−ϕ−α+ϕ−α+ω − aT t

k pmmk pm e I I t I (4.22)

Pentru prima perioadă (k = 0), se obţine

st t t t I pm 01.022

0)2

cos( =⇒π=ω⇒π=π−ω⇒=π−ω (4.23)

Rezultatele şi condiţiile menţionate până aici, ,2

, π±=ϕ−ακπ=α

permit stabilirea condiţiilor şi a situaţiilor care conduc la obţinerea valorilor extreme. Acestea sunt date de relaţiile (4.24).

Setul de valori date de (4.24) la care se adaugă condiţia Rk = 0 (Ta = ∞) sevor înlocui, pe rând în expresia curentului de scurtcircuit dată de (4.8). Rezultatele

sunt următoarele:




83

st d

st c

st b

st a

01.0,2

,)

01.0,2

,)

01.0,2

,0)

01.0,2

,0)

=π−=ϕπ=α

=π=ϕπ=α

=π=ϕ=α

=π−=ϕ=α

(4.24)

Cazul a) ∞==π=ϕ=π−=ϕ=α ak k T R st ,0,2

,01.0,2

,0 :

aT t

pmm pmka e I I I i−π−−π++π−+π= )]

20sin()

20sin([)

20sin(

Rezultă m pm pmm pmka I I I I I i +=++= 2 (4.25)

Cazul b) ∞==π=ϕ=π=ϕ=α ak k T R st ,0,2

,01.0,2

,0

aT t

pmm pmka e I I I i−π−−π−+π−−π= )]

20sin()

20sin([)

20sin(

Rezultă m pm pmm pmka I I I I I i −=+−= 2 (4.26)

Cazul c) ∞==π

=ϕ=π

−=ϕπ=α ak k T R st ,0,2,01.0,2,

aT t

pmm pmka e I I I i−π−π−π+π+π−π−π= )]

2sin()

2sin([)

2sin(

Rezultă m pm pmm pmka I I I I I i −−=−−−= 2 (4.27)

Cazul d) ∞==π=ϕ=π=ϕπ=α ak k T R st ,0,2

,01.0,2

,

aT t

pmm pmka e I I I i−π−π−π−π+π−π+π= )]

2sin()

2sin([)

2sin(

Rezultă m pm pmm pmka I I I I I i +−=−+−= 2 (4.28)




84

Iaa

a

c’

a’

φ φk

α

Ua

U b

Uc

Ia

I b

Ic

I pa

I pb

I pc

b’

b

c

Iab

Iac

t

ω

Fig. 4.10 Diagrama fazorială a curenţilor şi tensiunilor la momentul t = 0

Curentul maxim este m pm I I +2 şi apare în cazul în care sarcina

anterioar ă producerii scurtcircuitului avea un caracter capacitiv (2π−=ϕ ), aspect

util din punct de vedere practic, de exemplu pentru situaţia comutării bateriilor decondensatoare conectate în instalaţii de medie sau joasă tensiune pentrucompensarea factorului de putere.

4.1.2.1.3 Varia ţ ia în timp a curentului de scurtcircuit. Diagrama fazorial ă . Diagrama fazorială a curenţilor şi tensiunilor la momentul t = 0 al

producerii defectului, pentru cazul sursei de putere infinită, este reprezentată înfigura 4.10 pe baza relaţiilor (4.1)şi (4.8).

Valorile instantanee se obţin f ăcând proiecţia fazorilor pe axa timpului.Evoluţia în timp a tensiunilor şi curenţilor, în regim normalşi de

scurtcircuit, este prezentată în figura 4.11.




85

Fig. 4.11 Evoluţia în timp a fenomenului de scurtcircuit trifazat simetric pe cele trei faze

în cazul sursei de putere infinită (sau al defectului îndepărtat de sursă)

Componenta periodică a curentului de scurtcircuit (i p) are amplitudineaconstantă deoarece s-a considerat tensiunea constantă ca urmare a faptului că sursaeste de putere infinită iar căderea de tensiune pe impedanţa internă a acesteia estenulă.

Componenta aperiodică se amortizează exponenţial cu constanta de timpTa. Curentul de scurtcircuit total se obţine prin sumarea grafică a celor două

Faza a

ia

ua

i pa

ikaiaa

Ta t

iaa0

Işoca

Faza b

u b

iab0

ikb

i pb

i b

iab

t

işocb

Faza c

ic

Regim tranzitoriu Regim stabilizat de scurtcircuitRegim normal

i pcuc

işocc

tikc

iac

iac0




86

p pm I I 2=

componente. Constanta de timp Ta se determină grafic cu ajutorul subtangentei în

origine la componenta aperiodică.Se poate observa că valoarea maximă a curentului de scurtcircuit apare în

prima perioadă şi este cu atât mai mare cu cât curentul aperiodic iniţial este maimare. Valoarea maximă a curentului de scurtcircuit se numeşte curent deşoc.

Regimul de funcţionare al circuitului, cuprins între t = 0şi momentul încare s-a amortizat componenta aperiodică, se numeşte regim tranzitoriu descurtcircuit. După acest moment, circuitul se va găsi, teoretic, în regim permanent(stabilizat) de scurtcircuit când există numai componentă periodică a cărei valoareefectivă se notează cu I∞. Practic, regimul de scurtcircuit nu durează, în instalaţiilereale, decât până în momentul declanşării întrerupătorului care protejează zonarespectivă.

4.1.2.1.4 Cazuri particulareCazurile particulare se refer ă la momentul apariţiei scurtcircuitului în

raport cu faza tensiunii (α), la defazajul între curentşi tensiune înaintea produceriidefectului (φ) şi la relaţia dintre aceste două mărimi care intervin în calcul, cazuridescrise analitic anterior în paragraful 4.1.2.1.2.

Pentru situaţia în care curentul de sarcină anterior defectului era nul sau poate fi neglijat, se pot defini două cazuri extreme:

- α = ϕ = π /2, în care nu apare componentă aperiodică iar curentul esteacelaşi pe durata regimului tranzitoriuşi a regimului stabilizat, conformfigurii 4.12.

Fig. 4.12 Reprezentarea grafică a situaţiei α = ϕ = π /2 care determină valoareaminimă a curentului de scurtcircuitşi lipsa componentei aperiodice

- α = 0, faza iniţială a tensiunii este nulă, caz care conduce la o asimetrieextremă a curentului de defect aşa cum rezultă din figura 4.13.






88

În cazul circuitelor complexe, ramificate, componenta aperiodică într-o

ramur ă se poate determina folosind calculul operaţional:

∑=

=n

j

T t

p

jaaaj

j

eii1

0 (4.31)

unde iaoj este valoarea iniţială a curentului aperiodic par ţial iar p j (j = 1, 2, 3,..., n)sunt r ădăcinile ecuaţiei caracteristice Z(p) = 0 a circuitului. Dacă ramurilecircuitului nu conţin capacităţi, valorile p j sunt realeşi negative.T aj reprezintă constantele de timp ale curenţilor aperiodici par ţiali.

Determinarea componentei aperiodice în modul prezentat implică unvolum mare de calcule, gradul ecuaţiei caracteristice mărindu-se cu câte un ordin pentru fiecare ramur ă R, L în paralel. În calculele practice se foloseşte o relaţieaproximativă care nu conduce la erori mari:

aeT t

aoa eii−

= (4.32)unde ia0 este valoarea iniţială ce se determină din condiţiile iniţiale ale ramuriirespective iar T ae este constanta de timp echivalentă a circuitului ce se calculează cu relaţia

ke

keae R

LT =

în care Lke este inductanţa echivalentă a schemei calculată considerând toaterezistenţele sunt nule iar Rke este rezistenţa echivalentă a schemei calculată considerând toate reactanţele sunt nule.

4.1.2.1.6 Coeficientul de şocCurentul total de scurtcircuit va avea valoarea maximă în prima

semiperioadă, valoare numită curent deşoc şi care se defineşte astfel:

pm

soc soc I

ik = (4.33)

Coeficientulk şoc indică influenţa componentei aperiodice, denumită şicomponentă de curent continuu, asupra curentului deşoc.

Dacă se consider ă cazul practic cel mai nefavorabil care, aşa cum a fostdemonstrat anterior în situaţia în care curentul de sarcină anterior producerii

defectului Im = 0, este caracterizat prin condiţiile 0,0 =ϕ=α în ipoteza2π=ϕk ,

curentul deşoc apare la sfâr şitul primei semiperioade, lat = 0.01s:




89

)1(2

)]2

0sin()00[sin()2

0sin(

01.0

01.0

01.0

)01.0()01.0()01.0(max

a

a

a

T o

p soc

T pm pm soc

T o

pm pm soc

st a st p st p sock

e I i

e I I i

e I I i

iiiii

−

−

−

===

+=

+=

π−−−+π−+π=

+===

unde I p este valoarea efectivă a componentei aperiodice a curentului de scurtcircuit.Rezultă

aT

pm

soc soc e

I i

k 01.0

1−

+==

deci

soc p soc k I i 2= (4.34)

Termenul aT t

e se numeşte coeficient de amortizare a componenteiaperiodice a curentului de scurtcircuit.

Se pot considera cazurile extreme:a) Circuite pur inductive cu Rk ≈ 0, T a → ∞ iar k şoc = 2. Componenta

aperiodică este teoretic neamortizată. Practic, rezistenţa unui circuit nu este nulă şi,ca urmare,k şoc < 2 iar componenta aperiodică se amortizează într-un timp relativscurt.

b) Circuite pur rezistive cu Lk ≈ 0, T a = 0 iar k şoc = 1. Nu există componentă aperiodică iar durata regimului tranzitoriu de scurtcircuit este zero.Din cele două cazuri limită rezultă

21 << sock (4.35)Aşa cum a fost demonstrat anterior, în cazul existenţei curentului de

sarcină (Im ≠ 0), condiţiile de apariţie a valorii maxime a curentului de scurtcircuitsunt

∞==π=ϕ=π−=ϕ=α ak k T R st ,0,2

,01.0,2

,0

conducând, conform relaţiei (4.25) la un curent deşoc egal cu2I pm + I m. În acestcaz coeficientul deşoc este mai mare ca 2:

222max >+=+== pm

m

pm

m pm

pm

soc soc I

I I

I I

I

ik

Uzual, X k / Rk = 15÷20 astfel că Ta ≈ 0.045. În acest caz




90

8.11045.001.0

=+=−

ek soc şi rezultă că

p p soc I I i 55.228.1 ≈=

Coeficientul de şoc, prin intermediul coeficientului de amortizare

( 8.0045.001.0

=−

e ) caracterizează influenţa componentei aperiodice asupra curentuluide defect.

Coeficientul deşoc se poate determinaşi direct, cu ajutorul unor caracteristici, în funcţie de parametrii circuitului ( X, R) aşa cum rezultă din figura4.14.

4.1.2.2 Cazul scurtcircuitului apropiat de generator (sursa de putere finit ă )

În paragraful anterior a fost analizat regimul tranzitoriu de scurtcircuittrifazat simetric în cazul sursei de putere infinită, surse teoretic de impedanţă nulă şi care au tensiunea la borne constantă.

Fig. 4.14 Dependenţa coeficientului deşoc de raportul R/X

În multe cazuri sursele nu pot fi aproximate ca având puterea infinită astfelcă tensiunea la bornele lor se modifică în funcţie de sarcina cerută. Situaţii de acestfel se întâlnesc în cazul în care scurtcircuitul are loc la bornele generatorului, pe

barele centralei sau în imediata apropiere a acestuia. În aceste situaţii componenta periodică a curentului de scurtcircuit nu mai păstrează amplitudinea constantă pe parcursul regimului tranzitoriu, aşa cum rezultă din figura 4.15.

2.0

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0R/X

k 2.0

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0R/X

k




91

Fig. 4.15 Regimul tranzitoriu de scurtcircuit în cazul generatorului sincron f ăr ă RAT

Amplitudinea componentei periodice este determinată atât de variaţiatensiunii electromotoare (t.e.m.) a generatorului câtşi de variaţia reactanţeiacestuia. După amortizarea curenţilor liberi din înf ăşur ările generatorului, curentul periodic se stabilizează la o anumită valoare (I∞), mai mică decât valoarea iniţială cu cât scurtcircuitul este mai apropiat de sursă.

Dacă generatorul are RAT, acesta sesizează scăderea tensiunii la borneşicomandă creşterea tensiunii de excitaţie, deci a t.e.m. Constanta de timp a RATdetermină o oarecare întârziere a fenomenului de creştere a amplitudinii curentuluide scurtcircuit conform figurii 4.16.

Determinarea expresiei curentului de scurtcircuit în cazul alimentării de lao sursă de putere finită implică studiul comportării generatorului sincron în regimtranzitoriu.

Fig. 4.16 Regimul tranzitoriu de scurtcircuit în cazul generatorului sincron cu RAT

Regim stabilizatRegim tranzitoriu

t

ikp

u

Regim supratranzitoriu Reg tranzit

R A T

Reg stabilizat

cu R A T

ikp

u




92

4.1.2.2.1 Modelarea generatorului sincron

Maşina sincronă este astfel construită încât prezintă două axe de simetrie încuadratur ă electrică. Deşi inducţia megnetică în întrefier are o repartiţie spaţială oarecare, după o curbă alternativă, comportarea maşinii sincrone este determinată în principal de armonica fundamentală. Pentru determinarea ecuaţiilor generaleîntr-o formă simplificată, dar f ăr ă a introduce erori foarte mari, se fac următoareleipoteze simplificatoare:

- se consider ă generatorul sincron ca având două axe de simetrie, dşi q, încuadratur ă electrică, solidare cu rotorul;

- se consider ă circuitul magnetic nesaturat (µFe = ∞);- înf ăşur ările sunt repartizate sinusoidal de-a lungul pasului polar;- întrefierul maşinii, pe un pas polar, este constant;În aceste condiţii se poate considera inducţia ca având o repartiţie

sinusoidală pe un pas polar.În figura 4.17 sunt prezentate schemele maşinii realeşi echivalente.Ecuaţiile diferenţiale care descriu funcţionarea maşinii reale sunt

următoarele:a) pentru fazele statorice:

−Ψ−=

−Ψ−=

−Ψ−=

cc

c

bb

b

aa

a

Ridt

d u

Ridt

d u

Ridt

d u

(4.36)

b) pentru înf ăşurarea de excitaţie:

f f f

f i Rdt

d u +

Ψ= (4.37)

c) pentru înf ăşur ările de amortizare:- longitudinală

d d d i R

dt d

1110 +Ψ= (4.38)

- transversală

qqq i R

dt

d 11

10 +Ψ

= (4.39)

unde Ψ, R, i reprezintă fluxul total, rezistenţa şi respectiv curentul înf ăşur ăriiconsiderate.




93

c

ω

IcUc

I1q

Ia

Uf

I1d

Ua

If

θ

U b

I b

q

a

b

Uf

θ

I1qd

ω

Id UdI1d

Uf

If

I1q

Uq

Iq

q

d

Fig. 4.17 Schema maşinii sincrone reale (a)şi echivalente (b)

Diversele înf ăşur ări rotorice, cu excepţia celei de excitaţie, au fostconsiderate ca fiind concentrate după axele dşi q.

Considerând sistemele trifazate de curenţi, tensiunişi fluxuri ca fiindsimetrice, deci neglijând componenta homopolar ă, matricea de trecere dincoordonate d, q în a,b,c are forma următoare:

π−θ−π−θ

π−θ−π−θ

θ−θ

)3

4sin()3

4cos(

)3

2sin()3

2cos(

sincos

(4.40)

unde 0θ+ω=θ t reprezintă unghiul axei rotitoare d cu axa fixă a fazei a.Cu ajutorul matricei (4.40) se pot calcula curentul, fluxulşi tensiunea fazei

a funcţie de aceleaşi mărimi în coordonate d,q:

θ−θ=θΨ−θΨ=Ψ

θ−θ=

sincossincos

sincos

qd a

qd a

qd a

uuu

iii

(4.41)

Înlocuind mărimile (4.41) în prima ecuaţie din sistemul (4.36), rezultă:




94

)sincos()sincos(sincos θ−θ−θΨ−θΨ−=θ−θqd qd qd

ii Rdt

d uu

sau

θ+θ−θθΨ+Ψ

θ+θθΨ+Ψθ−

=θ−θ

sincoscossinsincos

sincos

qd qq

d d

qd

Ri Ridt d

dt

d

dt d

dt d

uu

Ordonând după cosθ şi sinθ, rezultă:

0(sin(cos =−Ψ

−θΨ−θ−+θΨ−Ψ+θ qq

d qd qd

d Ridt

d

dt d

u Ridt d

dt d

u (4.42)

Pentru ca egalitatea (4.42) să fie îndeplinită trebuie ca

−θΨ−Ψ

−=

−θΨ+Ψ−=

qd q

q

d q

d

d

Ridt d

dt

d u

Ridt

d

dt

d u

(4.43)

Relaţiile (4.43), împreună cu (4.37), (4.38)şi (4.39), reprezintă ecuaţiiletensiunilor ansamblului stator – rotor în teoria celor două reacţii cu neglijareacomponentei homopolare.

Fluxurile totale ale fiecărei înf ăşur ări se reprezintă prin intermediulinductivităţilor propriişi reciproce. În ceea ce priveşte inductivităţile reciproce, seconsider ă numai influenţa înf ăşur ărilor de pe aceeaşi axă, cea a înf ăşur ărilor de peaxa perpendicular ă considerându-se nulă. Ca urmare, se poate scrie:

+=Ψ++=Ψ

++=Ψ+=Ψ

++=Ψ

qaqqqq

f ad d ad d d d

d ad d ad f f f

qaqqqq

d ad f ad d d d

iM i L

iM iM i L

iM iM i L

iM i L

iM iM i L

111

111

1

1

1

(4.44)

unde f qd qd L L L L L ,,, 1,1 sunt inductivităţile proprii ale înf ăşur ărilor statorice după axele dşi q, ale înf ăşur ărilor de amortizare longitudinală şi transversală şi respectiva înf ăşur ării de excitaţie iar aqad M M , sunt inductivităţile reciproce aleînf ăşur ărilor de pe axa dşi respectiv q.

4.1.2.2.2 Ecua ţ iile generatorului sincron sub form ă opera ţ ional ă Ecuaţiile (4.37), (4.38), (4.39)şi (4.43) au dezavantajul că sunt dificil de

rezolvat. Considerând ipoteza iniţială conform căreia toate mărimile suntsinusoidale, se poate folosi calculul operaţional care are avantajul că permite




95

transformarea ecuaţiilor diferenţiale liniare în ecuaţii algebrice. Operatorul de

derivare d/dt se înlocuieşte prin variabila complexă p.Pentru simplificarea în continuare a calculelor se stabilescşi următoarele

condiţii:- mărimile se exprimă în unităţi relative nominale; în acest mod,

considerând rotorul ca având viteza de rotaţie constantă ωs, rezultă:

s sdt d

dt d ω=θ+ω=θ )( 0

iar în unităţi relative nominale, luând ca mărime de bază pentru viteza de rotaţiechiar valoarea sincronă, se poate scrie

1)(1 ** =θ→=ωdt d

s

- circuiteleşi mărimile rotorice sunt raportate la stator şi exprimate înunităţi relative nominale;- se operează numai cu variaţiile mărimilor, variaţii datorate perturbaţiilor

şi notate cu∆; valorile totale ale mărimilor respective se vor obţine prin sumareavariaţiei la valoarea iniţială, aplicând teorema suprapunerii efectelor, lucru posibilîntrucât s-a presupus anterior că toate circuitele magnetice sunt nesaturate, deciliniare.

În aceste condiţii, ecuaţiile (4.37), (4.38), (4.39), (4.43)şi (4.44) devin:

)()()( pi R p p pu f f f f +∆Ψ=∆ (4.45)

)()(0 111 pi R p p d d d ∆+∆Ψ= (4.46)

)()(0 111 pi R p p qqq ∆+∆Ψ= (4.47)

)()()()( pi R p p p pu d qd d ∆−∆Ψ+∆Ψ−=∆ (4.48)

)()()()( pi R p p p pu qd qq ∆−∆Ψ−∆Ψ−=∆ (4.49)

)()()()( 1 pi X pi X pi X p d d d ad f ad d ∆+∆+∆=∆Ψ (4.50)

)()()( 1 pi X pi X p qaqqqq ∆+∆=∆Ψ (4.51)

)()()()( 1 pi X pi X pi X p d ad d ad f f f ∆+∆+∆=∆Ψ (4.52)

)()()()( 111 pi X pi X pi X p f ad d ad d d d ∆+∆+∆=∆Ψ (4.53)

)()()( 111 pi X pi X p qaqqqq ∆+∆=∆Ψ (4.54)

În expresiile fluxurilor s-au introdus reactanţele şi nu inductanţeledeoarece, în mărimi relative nominale ** L x = :




96

*** ; L L

L

L

L x

L

L L

nn s

s

n

==ωω==

4.1.2.2.3 Reactan ţ ele opera ţ ionale şi constantele de timpPentru determinarea expresiei curentului de scurtcircuit este necesar ă

cunoaşterea constantelor de timp ale diferitelor înf ăşur ări ale generatorului sincron.Pornind de la ecuaţiile operaţionale (4.45)÷ (4.54) determinate mai sus, se pot găsireactanţele operaţionaleşi apoi constantele de timp.

A) Generatorul sincron f ăr ă înf ăşur ări de amortizareÎn acest caz 01 =∆ d i şi 01 =∆ qi astfel că maşina echivalentă va avea doar

trei înf ăşur ări: componenta pe axa d a înf ăşur ării statorice, înf ăşurarea de excitaţieşi respectiv componenta pe axa q a înf ăşur ării statorice. Variaţiile fluxurilor celor trei înf ăşur ări, descrise de ecuaţiile (4.50), (4.51)şi (4.52) devin:

)()()( pi X pi X p d d f ad d ∆+∆=∆Ψ (4.50’)

)()( pi X p qqq ∆=∆Ψ (4.51’)

)()()( pi X pi X p d ad f f f ∆+∆=∆Ψ (4.52’)

Din ecuaţia (4.51’) rezultă reactan ţ a opera ţ ional ă transversal ă :

qq

qq X

pi

p p X =

∆∆Ψ

=)()(

)( (4.55)

Relaţia (4.55) arată că, în cazul generatorului sincron f ăr ă înf ăşur ări deamortizare, reactanţa operaţională transversală este constantă şi egală cu reactanţasincronă transversală, rezultat evident deoarece pe axa q nu există decât o singur ă înf ăşurare.

Pentru determinarea reactanţei sincrone longitudinale este necesar ă efectuarea unor calcule suplimentare.

Se folosesc ecuaţiile (4.52’)şi (4.45) înlocuind, în cea de a doua, variaţiafluxului înf ăşur ării de excitaţie dată de prima ecuaţie. Rezultă:

)()()()( pi R pi pX pi pX pu f f d ad f f f ∆+∆+∆=∆

Grupând termenii se obţine)()()()( pi pX pi R pX pu d ad f f f f ∆+∆+=∆

de unde rezultă expresia creşterii curentului în înf ăşurarea de excitaţie:

f f

d ad f f pX R

pi pX pu pi

+∆−∆

=∆)()(

)( (4.56)




97

Înlocuind )( pi f ∆ dată de (4.56) în ecuaţia (4.50’), rezultă:

)()()()(2

pi pX R

pX X pu

pX R X

p d f f

ad d f

f f

ad d ∆

+−+∆

+=∆Ψ

Se fac notaţiile:

)1()(

0 f f

ad

f f

ad

pT R X

pX R X

p A+

=+

= (4.57)

f f

ad d d pX R

pX X p X

+−=

2

)( (4.58)

)()()()()( pi p X pu p A p d d f d ∆+∆=∆Ψ (4.59)

Expresia reactanţei operaţionale longitudinale X d (p) poate fi adusă la o altă formă care evidenţiază constanta de timp a curenţilor liberi. În acest scop, relaţia(4.58) se scrie astfel:

0

'

0

'

0

0

'0

2

2

11

1

1

1

)()(

)(

f

fod

f

d

d f

d f

d f d

f f

f

ad d

f

f d

f f

ad f f d d

pT

pT X

pT X X

pT X

pT

X pT X

pX R

X X

X R

X p X

pX R

pX pX R X p X

++

=+

+=

++

=

=+

−+=

+−+

=(4.60)

unde:

- f

f f R

X T =0 , constanta de timp a înf ăşur ării de excitaţie cu circuitul

statoric deschis (în gol);

-d

d f f X

X T T

'

0'0 = , aceeaşi constantă de timp dar în cazul circuitului statoric

în scurtcircuit;

- f

ad d d X

X X X

2' −= , reactanţa tranzitorie longitudinală.

Relaţia (4.60) permiteşi determinarea limitelor de variaţie a reactanţeioperaţionale longitudinale:

'

0 )(lim d d t p X p X ==

∞→ d d t p X p X =∞→

→ )(lim0




98

Se constată că reactanţa operaţională longitudinală are ca valoare iniţială

valoarea tranzitorie 'd X iar ca valoare finală (la sfâr şitul procesului tranzitoriu,după amortizarea curenţilor liberi) reactanţa longitudinală sincronă d X .

B) Generatorul sincron cu înf ăşur ări de amortizareÎn acest caz calculele pentru determinarea reactanţelor operaţionale şi a

constantelor de timp sunt mai laborioase.Reactanţa operaţională transversală se determină asemănător reactanţei

longitudinale de la generatorul f ăr ă înf ăşur ări de amortizare, existând acelaşi număr de înf ăşur ări pe axele respective. Deosebirea constă în absenţa creşterii tensiunii înînf ăşurarea de amortizare aceasta fiind scurtcircuitată.

Cu aceste consideraţii şi ţinând seama de mersul calculului la determinarea

reactanţei longitudinale a generatorului f ăr ă înf ăşur ări de amortizare, relaţiile finalesunt:

qqq

aqq i

pX R

pX pi ∆

+−=∆

111 )( (4.61)

qqq

aqqq i

pX R

pX X p 1

11

2

)()( ∆+

−=∆Ψ (4.62)

Reactan ţ a opera ţ ional ă transversal ă are expresia:

qq

aqqq pX R

pX X p X

11

2

)(+

−=

sau, după unele transformări:

01

''1

01

''01

11

1)(

q

qq

q

qqqq pT

pT X

pT

X pT X p X

++

=++

= (4.63)

în care:

-q

qq R

X T

1

101 = , constanta de timp a înf ăşur ării de amortizare transversală, cu

circuitul statoric deschis (în gol);

-q

qqq X

X T T

''

01''

1 = , aceeaşi constantă de timp dar cu circuitul statoric în

scurtcircuit;-

q

aqqq X

X X X

1

2'' −= , reactanţa transversală supratranzitorie.




99

Similar reactanţei operaţionale longitudinale a generatorului f ăr ă înf ăşur ări

de amortizare, se pot determina limitele de variaţie a reactanţei operaţionaletransversale în cursul procesului tranzitoriu de scurtcircuit:''

0)(lim qq

pt

X p X =∞→

= qq

t p

X p X =∞→

→)(lim

0

Valoarea iniţială a reactanţei operaţionale transversale este egală cureactanţa supratranzitorie transversală ''

q X pentru ca, după amortizarea curenţilor liberi în înf ăşur ările axei q, să devină egală cu reactanţa sincronă transversală q X .

Pentru determinareareactan ţ ei opera ţ ionale longitudinale se ţine cont de prezenţa a trei înf ăşur ări pe axa d. Înlocuind în relaţiile (4.45)şi (4.46) expresiilemărimilor )( p f ∆Ψ dată de relaţia (4.52) şi respectiv )(1 pd ∆Ψ dată de relaţia

(4.53), se obţine un sistem de două ecuaţii având drept necunoscute mărimile)( pi f ∆ şi )(1 pi d ∆ de forma:

∆−=∆++∆∆−∆=∆+∆+

)()()()()()()()()(

111

1

pi pX pi pX R pi pX

pi pX pu pi pX pi pX R

d ad d d d f ad

d ad f d ad f f f (4.64)

ale cărui soluţii sunt:

=∆

=∆

)()()(

)()(

)(

11 p D

p D pi

p D

p D pi

d d

f f

(4.65)

unde:

++

=

∆−∆−∆+

=

+∆−∆−∆

=

d d ad

f f f

d ad ad

d ad f f f d

d d d ad

ad d ad f f

pX R pX

pX pX R p D

pi pX pX

pi pX u pX R p D

pX R pi pX

pX pi pX pu p D

11

1

11

)(

)()(

)(

)()()(

)(

(4.66)

Înlocuind mărimile date de (4.65) în (4.50) rezultă:

)()()(

)()(

)(1

pi X p D p D

X p D

p D X p d d

d ad

f ad d ∆++=∆Ψ (4.67)

După prelucrarea relaţiei (4.67)ţinând seama de (4.66) se obţine:)()()()()( pi p X pu p A p d d f d ∆+∆=∆Ψ (4.67’)




100

unde:

)()()( 11

p D X pX R p A ad d d += (4.68)

)()()(

'

p D p D

X p X d d = (4.69)

În relaţiile (4.68) şi (4.69) notaţiile nou introduse au următoarelesemnificaţii:

'11

'

''' )(

d d ad

ad f f

pX R pX

pX pX R p D

++=

în care reactanţele, determinate pentru cazul rotorului scurtcircuitat, au forma:

d

ad

ad

ad ad X

X X X X

X X X σσ

σ =+='

'2

'ad f

d

ad f f X X

X X

X X +=−= σ

'1

2

1'1 ad d

d

ad d d X X

X X

X X +=−= σ

unde σ X , f X σ şi d X 1σ sunt reactanţele de dispersie ale înf ăşur ării statorice, deexcitaţie şi de amortizare longitudinală date de relaţiile următoare:

ad d d

ad f f

ad d

X X X

X X X

X X X

−=−=

−=

σσ

σ

11

Dacă se dezvoltă cei doi determinanţi din relaţia (4.69), rezultă:

d f f d d f ad d f

d f f d d f ad d f d d

R R p R X R X p X X X

R R p R X R X p X X X X p X

11122

1

1'11

'22''1

'

)()()()(

)(+++−+++−

= (4.69’)

din care rezultă:

1)()(

1)()()(

1

12

1

2

1

1

1

'1

'2

1

2'

1

'1

'

+++−

+++−=

p

R

X

R

X p

R R

X

R

X

R

X

p R X

R

X p

R R X

R X

R

X

X p X

d

d

f

f

d f

ad

d

d

f

f

d

d

f

f

d f

ad

d

d

f

f

d d (4.69’’)

unde: f f f R X T /0 = este constanta de timp a înf ăşur ării de excitaţie cu statorulîn gol;




101

d d do R X T 111 /= , constanta de timp a înf ăşur ării de amortizarelongitudinală cu statorul în gol;

f f f R X T /'' = , constanta de timp a înf ăşur ării de excitaţie cu circuitulstatoric scurtcircuitat;

d d d R X T 1'1

'1 /= , constanta de timp a înf ăşur ării de amortizare longitudinală

cu circuitul statoric scurtcircuitat.Relaţia (4.69’’) devine:

1)()(

1)()()(

010211

1

2

010

'1

'2'1

'

'1

'

1

2''

1'

+++−

+++−=

pT T p X X

X X

R R X T T

pT T p X X

X X

R R X

T T

X p X

d f d f

d f

d f

ad d f

d f d f

d f

d f

ad d f

d d

sau

1)()(

1)()()(

0102

1

2

010010

'1

'2'1

'

2''

1''

1'

+++−

+++−=

pT T p X X

X T T T T

pT T p X X

X T T T T

X p X

d f d f

ad d f d f

d f d f

ad d f d f

d d

Ţinând seama că 01

2

1 σ=−d f

ad

X X X este coeficientul de dispersie la mers în

gol iar '1 '1

'

'

σ=−d f

ad

X X X coeficientul de dispersie la funcţionarea în scurtcircuit, se

obţine în final expresia reactanţei operaţionale longitudinale în cazul generatoruluisincron cu înf ăşur ări de amortizare:

1)(1)(

)(010

20100

'1

'2'1

''

+++σ+++σ

= pT T pT T

pT T pT T X p X

d f d f

d f d f d d (4.70)

Limitele de variaţie ale acestei reactanţe sunt:

''

0100

'1

''

0)(lim d

d f

d f d d

pt

X T T

T T X p X =

σσ

=∞→

= d d

pt

X p X =→

∞→)(lim

0

Valoarea iniţială, din momentul producerii scurtcircuitului, este egală cureactanţa supratranzitorie longitudinală iar cea finală, după amortizarea curenţilor liberi, devine egală cu reactanţa sincronă longitudinală.




102

4.1.2.2.4 Tensiunea electromotoare tranzitorie şi supratranzitorie

Pe durata regimului tranzitoriu de scurtcircuit, tensiunea electromotoare ageneratorului se modifică datorită variaţiei fluxurilor diverselor înf ăşur ări. Pentrudeterminarea expresiilor analitice ale tensiunilor electromotoare este necesar să seconsidereşi în acest caz, separat, generatorul f ăr ă şi cu înf ăşur ări de amortizare.

Pentru determinarea tensiunii electromotoare se vaţine seamaşi de faptulcă în circuitele inductive curentul nu poate avea discontinuităţi (variaţii bruşte).

A) Generatorul sincron f ăr ă înf ăşur ări de amortizareConsiderând circuitele magnetice nesaturate, diagrama fluxurilor după axa

longitudinală, în regim normal, este reprezentată în figura 4.18a. Curentul dinînf ăşurare de excitaţie determină fluxulΨf care se descompune în fluxul utilΨd şicel de dispersieΨσf .

b)

Ψ f

Ψ σ f Ψ d

Ψ δd Ψ ad

Ψ Σf

∆Ψ σ f = ∆Ψ δd

a)

Ψ ’

Ψ σ f

Ψ Σf

Ψ ’δ

∆Ψ f

Ψ ’d

Ψ ’ad

∆Ψ ad

Fig. 4.18 Diagrama fluxurilor generatorului sincron în regim normal (a)şi de scurtcircuit (b)

La rândul său, fluxul utilΨd poate fi considerat ca diferenţa fazorială dintrefluxul în întrefier Ψδd şi fluxul de reacţie longitudinală a statoruluiΨad. Atunci,fluxul de înlănţuire a înf ăşur ării de excitaţie ΨΣf se compune din fluxul de dispersieΨσf şi fluxul în întrefier Ψδd.

În momentul producerii scurtcircuitului, curentul statoric creşte, ceea ceare drept efect mărirea fluxului de reacţie longitudinală cu ∆Ψad conform figurii4.18b. Întrucât fluxul de înlănţuire al înf ăşur ării de excitaţie trebuie să r ămână constant, în aceasta va apare un curent care dă naştere unui flux suplimentar ∆Ψf care anulează creşterea reacţiei statorice:

0=Ψ∆+Ψ∆ ad f (4.71)




103

Exprimând mărimile în unităţi relative nominaleşi, în plus, raportând

mărimile rotorice la stator, relaţia (4.71) devine:0=∆+∆ f f ad d X I X I (4.71’)

Deoarece se modifică fluxul înf ăşur ării de excitaţie, de laΨf la Ψf +∆Ψf , semodifică şi fluxul de dispersie al acestei înf ăşur ări deci şi fluxul în întrefier,r ămânând constant fluxul de înlănţuire ΨΣf (fig. 4.18b). Ca urmare a modificăriifluxului în întrefier se schimbă şi tensiunea electromotoare a maşinii. Pentru adetermina noua valoare a tensiunii electromotoare se exprimă partea din fluxul deînlănţuire a excitaţiei care este cuplată cu statorul:

f f d ΣΨσ−=Ψ )1(' (4.72)

unde

ad f

f

f

f f X X

X

+=ΨΨ

=σσ

σΣ

reprezintă coeficientul de dispersie al înf ăşur ării de excitaţie iar f X σ reactanţa descă pări a înf ăşur ării de excitaţie.

Se mai poate scrie:

ad f

ad d ad f ad d ad f f

ad f

ad

ad d f f ad f

f ad f f d

X X X

I X I X I X X I X X

X

X I X I X X

X

++=++

+=

=++

−=Ψ+Ψσ−=Ψ

σσ

σ

σ

σ

2

'

])([

))(1())(1((4.73)

Acestui flux îi corespunde tensiunea electromotoare:

'22

'd d q

ad f

ad d d d q

ad f

ad d qq X I jU

X X X

I j X I jU X X

X I j E E +=

+−+=

+−=

σσ(4.74)

Tensiunea electromotoare determinată cu relaţia (4.74) reprezintă tensiuneaelectromotoare tranzitorieşi caracterizează generatorul sincron f ăr ă înf ăşur ări deamortizare în momentul producerii scurtcircuitului.

B) Generatorul sincron cu înf ăşur ări de amortizareRepetând raţionamentele din cazul maşinii f ăr ă înf ăşur ări de amortizareşi

ţinând seama de prezenţa înf ăşur ării de amortizare longitudinală, se determină expresia tensiunii electromotoare supratranzitorii transversale similar ă celeiexprimate de relaţia (4.74):

''''d d qq X I jU E += (4.75)

Prezenţa înf ăşur ării de amortizare transversală determină, în acest caz,apariţia unei componente longitudinale a tensiunii electromotoare supratranzitorii:




104

''''qqd d X I jU E += (4.76)

4.1.2.2.5 Calculul curentului de scurtcircuit în cazul sursei de putere finit ă Procesele electromagnetice tranzitorii, în cazul unui scurtcircuit brusc, ce

separ ă generatorul de restul sistemului sunt destul de complicate. Pentru studierealor se fac o serie de aproximaţii simplificatoare care nu deformează esenţialdesf ăşurarea reală a fenomenului.

A) Generatorul sincron f ăr ă înf ăşur ări de amortizareLa producerea scurtcircuitului, tensiunea la locul defectului se anulează.

Ca urmare, variaţia tensiunii în acest punct este∆U = -U 0 sau, sub formă operaţională

pU

pU 0)( −=∆

unde u0 este tensiunea anterioar ă producerii defectului. Componentele variaţieitensiunii după axele dşi q au expresiile:

pU

pU U U d d d d

00 )( −=∆⇔−=∆ (4.77)

p

U pU U U q

qqq0

0 )( −=∆⇔−=∆ (4.78)

Dacă se consider ă generatorul f ăr ă reglaj automat al tensiunii (RAT), în primul moment tensiunea la bornele înf ăşur ării de excitaţie r ămâne constantă ( 0=∆ f U ) iar relaţiile (4.56)şi (4.59) devin

∆=∆Ψ+∆−=∆

)()()(

)()(

pi p X p

pX R pi pX

pi

d d d

p f

d ad f (4.79)

În continuare, relaţiile (4.48)şi (4.49) din setul de ecuaţii operaţionale alegeneratorului sincron în condiţiile în care seţine cont de relaţia (4.51’)şi desistemul (4.79), devin:

∆−∆+∆−=−=∆

∆−∆+∆−=−=∆

)()()()()(

)()()()()(

0

0

pi R pi p X pi pX p

U pU

pi R pi X pi p pX p

U pU

qd d qqq

q

d qqd d d

d

sau, ordonând după )( pid ∆ şi )( piq∆ , obţinem:




105

∆++∆=

∆−∆+=

)()()()(

)()(])([0

0

pi R pX pi p X p

U

pi X pi R p pX pU

qqd d q

qqd d

d

(4.80)

Determinantul principal al sistemului (4.80) este

)()]()([)()()(

)( p X X R pX R p pX p D R pX p X

X R p pX p D d qqd

qd

qd +++=⇒+−+

=

Ceilalţi determinanţi sunt:

qqqd d

qq

qd

d X p

U R pX

pU p Di

R pX p

U

X

p

U

p Di 000

0

)()()( ++=⇒+

−=

)(])([)()(

)()( 00

0

0

p X p

U R p pX

p

U p Di

p

U p X

pU

R p pX p Di d

d d

qq

qd

d d

q −+=⇒

+=

Rezultă:

)()(

)()()( 00

p pD

U X U pX R

p D p Di

pi qqd qd d

++==∆ (4.81)

)()()]([

)()()( 00

p pDU p X U p pX R

p D p Di

pi d d qd qq

−+==∆ (4.82)

Dacă se ţine cont că, aşa cum a fost demonstrat anterior, relaţia (4.60)

0

'0

11

)( f

f d d pT

pT X p X

++

=

şi înlocuind X d (p) în expresia determinantului principal, acesta devine:

0

'0

0

'0

11

))(11

()( f

f d qq

f

f d pT

pT X X R pX

pT

pT pX R p D

++

++++

+=

şi dacă de înlocuieşte d

d f f X

X T T

'

0'0 = rezultă:

0

'0

0

'0

1))(

1()(

f

d f d qq

f

d f d

pT

X pT X X R pX

pT

X pT X p R p D

++

++++

+=




106

Ecuaţia caracteristică, ce va permite calculul necunoscutelor )( pid ∆ şi)( piq∆ , se obţine anulând determinantul sistemului:

0))(( '0

'0

20 =++++++ d f qd qqd f d f X pT X X X R pX X T p pX RpT R

Dezvoltândşi ordonând după p, rezultă:

0)(

)(2

0'

02

20

'0

3'

=++++++++++

qd f qd f d q

f d qd f qqd

X X R pT X X T R RX RX

pT RX X X T RX p X X

care, prin împăr ţire laT f0, devine:

0)

()(

0

2

0

'22

0

'3'

=+

++

+

++++++

f

qd

f

qd

qd f

qd d qqd

T

X X R pT

X X R

X X R pT

X X RX RX p X X

(4.83)

Soluţiile ecuaţiei (4.83) permit determinarea componentelor libere, înnumăr de trei, ale curenţilor statorici după axele d şi q. Deşi prin schimbareacoordonatelor a, b, c în d, qşi efectuarea calculelor în operaţional, problemadeterminării componentelor libere se reduce la rezolvarea unei ecuaţii algebrice degradul trei, aceasta r ămâne dificil de soluţionat în cazul general.

Pentru a înlesni rezolvarea ecuaţiei caracteristice (4.83), se consider ă unelesimplificări suplimentare: astfel, rezistenţele R f şi R, fiind mult mai mici decâtreactanţele, se pot anula pe rând.

Dacă se anulează rezistenţa circuitului de excitaţie, R f = 0, rezultă T f0 = ∞ iar ecuaţia caracteristică devine:

0)()( '22'3' =++++ p X X R p RX RX p X X qd d qqd (4.84)care are următoarele soluţii:

=

+−+±+−=

02

)(4)]([(

3

'2

''2''

2,1

p

X X

R X X X X X X R X X R p

qd

qd qd qd qd

Soluţiile p1 şi p2 pot fi scriseşi astfel:2

'

'

'

'

2,1 2)(

12( −

−±+

−=qd

qd

qd

qd

X X

X X R j

X X

X X R p (4.85)

Partea reală a soluţiilor p1,2 este negativă, rezultând de aici că ambelecomponente ale curenţilor liberi sunt amortizate în timp cu constanta




107

R X

X X R

X X T

qd

qd a

2'

'

)(2

=+= (4.86)

unde)(

2'

'

2qd

qd

X X R

X X X

+= este reactanţa de succesiune inversă a generatorului

sincron f ăr ă înf ăşur ări de amortizare, pentru armonica de frecvenţă fundamentală.Coeficientul păr ţii imaginare a soluţiilor p1,2 reprezintă pulsaţiile relative

ale celor doi curenţi liberi, după axele dşi q:2

'

'

2,1 2)(

1−

−±=ωqd

qd

X X

X X R(4.87)

Expresia din paranteză este suficient de mică în raport cu unitatea astfel că se poate neglijaşi rezultă:12,1 ±=ω

iar soluţiile p1,2 se pot scrie sub forma:

jT

pa

±−≈ 12,1 (4.88)

Cele două soluţii, determinate în aproximaţia R f = 0, concordă suficient de bine cu realitatea; a treia însă ( p3 = 0) ar indica neamortizarea curentului liber corespunzător, ceea ce contravine realităţii. Pentru a o determina cu suficientă corectitudine, în ecuaţia (4.83) se consider ă R = 0şi R f ≠ 0, ecuaţie care devine:

00

'2

0

3'

=+++ f

qd

qd f

qd

qd T

X X

p X X pT

X X

p X X Rezultă

0)(1(0

'2 =++ f

d d q T

X p X p X (4.89)

din care rezultă cea de a treia soluţie:

0'3

f d

d

T X

X p −= (4.90)

care, fiind reală şi negativă, indică faptul că respectiva componentă liber ă este oexponenţială amortizată în timp cu constanta

d

d f d X

X T p

T '

03

' 1 =−= (4.91)

Odată determinate soluţiile ecuaţiei caracteristice, se poate trece de laimaginile curenţilor date de relaţiile (4.81)şi (4.82) la originalele lor în funcţie de




108

timp. Pentru a simplifica metodologia de trecere se consider ă rezistenţele statoriceşi rotorice ca fiind nule. Această ipoteză nu conduce la erori mari în ceea ce priveşte valorile curenţilor deoarece rezistenţele sunt mult mai mici decâtreactanţele. Totuşi, considerarea rezistenţelor ca fiind nule, ar conduce la concluzianeamortizării componentelor libere ceea ce nu ar fi adevărat. Pentru a înlăturaaceastă eroare, în componentele libere determinate în ipoteza anulării rezistenţelor,se vor introduce constantele de timp determinate mai sus, relaţiile (4.86)şi (4.91).

Ca urmare, dacă R = 0şi R f = 0, relaţiile (4.81)şi (4.82) devin:

'20

'200

)1()1()(

d

d

qd

qqd qd

X p

U

X X p p

U X U pX pi

+=

++

=∆

qd

d d qd q

X X p p

U p X U p pX pi '2

00

)1()()](

)(+

−=∆

în care s-aţinut cont că ')( d d X p X = pentru R = R f = 0.Folosind relaţiile de trecere de la imagini la original:

t p

sin1

12 ⇔+

şi t p p

cos1)1(

12 −⇔

+

se obţin expresiile originalelor creşterilor curenţilor:

)cos1(sin)( '0

'0 t

X

U t

X

U t i

d

q

d

d d −+=∆ (4.92)

)cos1(sin)( 00t

X U

t X

U t i

q

d

q

qq −−=∆ (4.93)

Dacă se ţine seama că

'0

'

'0

00''

00d

q

d

qd d d qq

X

U

X

E ii X E U −=→−=

q

d qqqd X

U ii X U 0

000 =→=

şi aplicând teorema suprapunerii efectelor, se obţin curenţii după cele două axe:

t X

U t

X

U

X

E iii

d

q

d

d

d

qd d d cossin '

0'0

'

'0

0 −+=∆+= (4.94)

t X U t

X U iii

q

d

q

qqqq cossin 000 +=∆+= (4.95)

În expresiile (4.94)şi (4.95), termenul ''0 / d q X E reprezintă valoarea iniţială

a componentei periodice a curentului de scurtcircuit iar ceilalţi termeni,




109

componentele libere, în ipoteza supraconductibilităţii circuitelor (anularea

rezistenţelor statoriceşi rotorice). Dacă se iau în considerare constantele de timp,deci amortizarea componentelor libereşi faptul că la sfâr şitul regimului tranzitoriucomponenta periodică devine d q X E /0 , relaţiile (4.94)şi (4.95) devin:

t e X

U t e

X

U e

X

E

X

E

X

E i aad T

t

d

qT t

d

d T

t

d

q

d

q

d

qd cossin)( '

0'00

'

'00 ' −−−

−+−+= (4.94’)

t e X U

t e X

U i aa T

t

q

d T t

q

qq cossin 00 −−

+= (4.95’)

Folosind matricea de transformare (4.40) pentru trecerea din coordonate d,q în coordonate a, b, c se poate scrie expresia curentului de scurtcircuit pe faza a:

)sin(cos

)sin(sin)cos(cos)cos(sin

)cos()sin()cos(

00

00

0'0

0'0

00

'

'00

00'

θ+−

−θ+−θ+−θ++

+θ+

−+=θ+−θ+=

−

−−−

−

t t e X U

t t e X

U t t e

X

U t t e

X

U

t e X

E

X

E

X

E t it ii

a

aaa

d

T t

q

d

T t

q

qT t

d

qT t

d

d

T

t

d

q

d

q

d

qqd ka

Dacă se utilizează relaţiile cunoscute din trigonometrie

expresia curentului de scurtcircuit poate fi scrisă sub forma

a

ad

T t

qd qd

d q

T t

qd qd

qd T

t

d

q

d

q

d

qka

et U t U X X

X X

eU U X X

X X t e

X

E

X

E

X

E i

−

−−

θ+−θ+−

+

θ+θ+

−θ+

−+=

)]2cos()2sin([2

)cossin(2

)cos(

0000'

'

0000'

'

00

'

'00 '

(4.96)

)]sin()[sin(21cossin

)]cos()[cos(21coscos

)]cos()[cos(21sinsin

β+α+β−α=βα

β+α+β−α=βα

β+α−β−α=βα




110

Expresiile curenţilor de scurtcircuit pe celelalte faze sunt similare, cu

menţiunea că în argumentele funcţiilor trigonometice se scad 2π/3 respectiv 4π/3,corespunzător fazelor bşi c.Analiza relaţiei (4.96) a curentului de scurtcircuit conduce la următoarele

concluzii:- există o componentă de frecvenţă fundamentală a cărei amplitudine

conţine un termen constant în timp E q0 /X d , ce reprezintă amplitudineacurentului de scurtcircuit stabilizat, peste care se suprapune ocomponentă amortizată cu constanta de timpT’ d . La momentul iniţial,componenta aperiodică amortizată are valoarea E’ q0 /X’ d ;

- a doua componentă din ecuaţia (4.96) este cea aperiodică, denumită şide c.c., amortizată în timp cu constantaT a;

- cea de a treia comoponentă este de frecvenţă dublă, amortizată în timpcu constantaT a; ea este determinată de nesimetria rotoruluişi, aşa cumse observă analizând relaţia (4.96), în cazul rotorului simetric ( X q ≈

X’ d ) această componentă este nulă sau, practic, neglijabilă.

Fig. 4.19 Curentul totalşi componentele sale, în cazul scurtcircuitului trifazat simetric la bornele generatorului f ăr ă înf ăşur ări de amortizareşi care funcţiona, anterior producerii

defectului, în gol

Relaţia (4.96) permite determinarea expresiei curentului de scurtcircuit atâtîn cazul defectului la bornele generatorului câtşi într-un punct oarecare al reţelei lacare acesta este conectat. În al doilea caz, la reactanţele statorice trebuie adăugată valoarea reactanţei exterioare, până la locul defectului. Acelaşi lucru trebuie f ăcut

şi pentru calculul constantelor de timp: la rezistenţa statorică R se adaugă rezistenţaexterioar ă Rext . Ca valori pentru tensiunileU d0 şi U q0 se consider ă cele din punctul de

scurtcircuit, în momentul imediat anterior apariţiei defectului.

i p2Ipm0

ika

işoc

iai p

T’d

Tat

I pm20

ia0




111

În figura 4.19 este reprezentat curentul de scurtcircuit pe faza a, conform

relaţiei (4.96). S-a considerat că generatorul funcţiona anterior în gol, deci ika0 = 0.Ca urmare, la t = 0 trebuie respectată condiţiaia0 + I pm20 = I pm0

unde ia0 este valoarea iniţială a componentei aperiodice,i pm20 valoarea maximă iniţială a componentei periodice de frecvenţă dublă iar i pm0 este valoarea maximă iniţială a componentei periodice de frecvenţă fundamentală.

Curentul totalika rezultă prin însumarea grafică a celor trei componente.După amortizarea componentelor libere, curentul pe fază se stabilizează la valoareacorespunzătoare regimului permanent de scurtcircuit, E q /X d cos(t+θ0 ).

B) Generatorul sincron cu înf ăşur ări de amortizare

Determinarea expresiei curentului de scurtcircuit în acest caz este maidificilă din cauza prezenţei înf ăşur ărilor de amortizare care complică evoluţiareactanţelor operaţionale. Din aceeaşi cauză ecuaţia caracteristică devine de ordinulcinci.

Calculul comportă aceleaşi etape ca la generatorul sincron f ăr ă înf ăşur ăride amortizare. Folosind aceleaşi premize caşi în cazul precedent (lipsa reglajuluiautomat, variaţia tensiunii în punctul de scurtcircuit) relaţiile (4.80) devin

∆++∆==∆

∆−∆+==∆

)()]([)()()(

)()()()]([)(

0

0

pi p pX R pi p X p

U pU

pi p X pi p pX R p

U pU

qqd d q

q

qqd d d

d

(4.97)

singura deosebire faţă de relaţiile (4.80) constând în aceea că a fost introdusă reactanţa operaţională X q(p) în locul reactanţei X q. Soluţia sistemului (4.97) este:

−+==∆

++==∆

)()()]([

)()(

)(

)()()]([

)()()(

00

00

p pD

U p X U p pX R

p D

p Di pi

p pD

U p X U p pX R

p D p Di

pi

d d qd qq

qqd qd d

(4.98)

unde D(p) este determinantul principal al sistemuluişi are expresia)()()]()][([)( p X p X p pX R p pX R p D qd qd +++= (4.99)

Înlocuind în relaţia (4.99) reactanţele operaţionale date de (4.63)şi (4.70) pentru generatorul sincron cu înf ăşur ări de amortizare, obţinem:

)1](1)([)(

010100100

5423324150

qd f d f pT pT T T T a pa pa pa pa pa p D

++++σ+++++= (4.100)

unde:






113

rezultă:

''

1

11

111

11

11

21

2''1

'

1111

)()]([

)(

)(

))(())((

)(

d

d f ad

d f ad d f

d f ad d f d f ad

d f ad d f

d f d

ad d f

d ad ad d ad f

ad ad d ad f d d

X

X X X

X X X X X X

X X X X X X X X X X X X X X

X X X X X X X

X X X X X X

X X X X X X p X

=++

+=++

+++=

++

++=

−++−++

=

σσ

σσσϖσ

σσσσσσσ

σσσσ

σσσσσ

σσ

σσ

Pentru determinarea lui X q(p) se consider ă expresia (4.63) în care se

anulează rezistenţa R1q (T 1q0 = ∞) şi rezultă:

''

01

''01

1)( q

q

qqqq X

pT

X pT X p X =

+

+=

În aceste condiţii, relaţia (4.99) devine:'''''''' ))(()( qd qd X X pX R pX R p D +++= (4.99’)

iar ecuaţia caracteristică se simplifică:0)()( ''''2''''2'''' =++++ qd qd qd X X R p X X R p X X (4.103)

ale cărei soluţii sunt:2

''''

''''

''''

''''

2,1 2(

12

)( −−±

+−=

qd

d q

qd

qd

X X

X X R j

X X

X X R p (4.104)

Ca urmare, constanta de timp a curenţilor liberi, determinaţi cu acestesoluţii, este:

R X

X X R

X X T

qd

qd a

2''''

''''

(2

=+

= (4.105)

unde ''''

''''

22

qd

qd

X X

X X X

+= reprezintă reactanţa de succesiune inversă a generatorului

sincron cu înf ăşur ări de amortizare.Pentru calculul aproximativ a celorlalte trei soluţii, în relaţia (4.100) se

anulează rezistenţa rotorică R, restul rezistenţelor fiind nenule. Se obţine:

)()()1()( 2 p X p X p p D qd += (4.106)Soluţiile se obţin anulând, pe rând, reactanţele operaţionale.Ţinând seama

de relaţia (4.70), anularea reactanţei operaţionale longitudinale conduce la ecuaţia






115

a) Expresia componentei periodice a curentului longitudinal se modifică

datorită existenţei înf ăşur ării de amortizare longitudinală; ca urmare, apar doi curenţi liberi, amortizaţi, cu constantele de timpT d ’ şi T d ’’ :

'''

'

'0

''

''00

'

'00)( d d T

t

d

q

d

qT

t

d

q

d

q

d

qdp e

X

E

X

E e

X

E

X

E

X

E t i

−−

−+

−+=

Valoarea iniţială este în acest caz E q0’’/X d ’’ pentru ca, după amortizareacomponentelor libere determinate de prezenţa înf ăşur ărilor de excitaţie şiamortizare longitudinală, curentul stabilizat să devină E q0 /X d .

b) Expresia curentului transversal conţine în acest cazşi o componentă periodică:

''0

''

''00)( qT

t

q

d

q

d

q

d

qpe

X

U

X

E

X

U t i

−

−+=

a cărei valoare iniţială este E d0’’/X q’’ iar după amortizarea componentei libere,determinată de prezenţa înf ăşur ării de amortizare transversală, curentul stabilizat să devină U d0 /X q.

c) În expresiile componentelor libere se înlocuiesc reactanţele X d ’ , X q cu X d ’’ respectiv X q’’ .

Ca urmare, expresiile curenţilor după cele două axe au forma:

aad d T t

d

qT t

d

d T

t

d

q

d

qT

t

d

q

d

q

d

qd te

X

U te

X

U e

X

E

X

E e

X

E

X

E

X

E i

−−−−+

−+

−+= cossin ''

0''0

'

'0

''

''00

'

'00 '''

(4.113)

aaq T t

q

d T t

q

qT

t

q

d

q

d

q

d q te

X

U te

X

U e

X U

X

E X U

i−−−

−+

−+= cossin ''

0''00

''

''00 '

(4.114)

Folosind matricea de transformare (4.40), se determină curentul descurtcircuit de pe faza a, de forma:

)sin()cos( 00 θ+−θ+= t it ii qd ka

Înlocuindid dat de (4.113)şi iq dat de (4.114) în relaţia care defineşte ika,rezultă (4.115).

Analiza expresiei curentului de scurtcircuit (4.115) evidenţiază prezenţaaceloraşi componente caşi în cazul generatorului sincron f ăr ă înf ăşur ări de

amortizare, cu menţiunea că, în acest caz, datorită prezenţei înf ăşur ărilor deamortizare, reactanţele X d ’’ şi X q’’ sunt apropiate ca valori astfel încât componentade frecvenţă dublă poate fi neglijată.




116

a

aq

d d

T t

qd qd

d q

T t

qd qd

qd T

t

q

d

q

d

q

d

T

t

d

q

d

qT

t

d

q

d

q

d

qka

et U t U X X

X X

eU U X X

X X t e

X U

X

E X U

t e X

E

X

E e

X

E

X

E

X

E i

−

−−

−−

θ+−θ+−

+

+θ+θ+

−θ+

−+−

−θ+

−+

−+=

)]2cos(2sin([2

)cossin(2

)sin(

)cos(

0000''''

''''

0000''''

''''

00

''

''00

0'

'

0''

''

00'

'

00

''

'''

(4.115)

În figura 4.20 este reprezentat curentul de scurtcircuit pe faza a, conform(4.115), pentru cazul generatorului funcţionând, anterior producerii defectului, îngol în ipoteza producerii defectului la trecerea tensiunii prin zero.

Fig. 4.20 Curentul totalşi componentele sale, în cazul scurtcircuitului trifazat simetric la bornele generatorului cu înf ăşur ări de amortizareşi care funcţiona, anterior producerii

defectului, în gol

S-au folosit notaţiile:

)cos( 0'

'

0''

''

00'

'

00''''

θ+

−+

−+=

−−t e

X E

X E e

X E

X E

X E i d d T

t

d

q

d

qT

t

d

q

d

q

d

q p

I pm0

I’’ pm0

ika

ika

i’ p

ia

işoc

I’ pm0

ia0t

i’ p+i p’’

i’’




117

)sin( 00''

''

00''''

θ+

−+−=

−

t e X U X E X U i qT

t

q

d

q

d

q

d p

4 .1.3 Regimul permanent de scurtcircuit Valoarea curentului de scurtcircuit stabilizat, după amortizarea curenţilor

liberi, este determinată de o serie de factori, atât interni, dependenţi de maşină cumsunt simetria sau nesimetria rotorului, prezenţa reglajului automat de tensiune câtşiexterni, printre care influenţa consumatorilor, prezenţa altor surse, etc.

4.1.3.1 Influen ţ a rotorului cu poli aparen ţ iPrezenţa rotorului cu poli aparenţi se manifestă printr-o nesimetrie după

cele două axe, reactanţele X d şi X q având valori diferite. Se consider ă diagramafazorială pentru cazul funcţionării pe o sarcină inductivă Z ext , cel mai frecventîntâlnit în practică, diagramă construită în ipoteza neglijării rezistenţei statorice,figura 4.21.

Ψφ

δ I

Ud

q

dId

Uq

jX dIdEq

U

Iq

Fig. 4.21 Diagrama fazorială a maşinii sincrone funcţionând pe o sarcină inductivă Zext

În acest caz, tensiunea electromotoare este dată de relaţia:d d qq X I U E += (4.116)

Deoareceext qext d q R I X I U +=




118

unde X ext şi Rext sunt reactanţa şi respectiv rezistenţa circuitului exterior, relaţia

(4.116) devined d ext qext d q X I R I X I E ++= (4.116’)

Conform figurii 4.21, se poate scrie:

ext q

ext d d q X X

R I ctg I I

+=ψ= (4.117)

Cu relaţiile (4.116’)şi (4.117) se obţine curentul longitudinal:

2))(()(

ext ext qext d

ext qqd

R X X X X

X X E I

++++

= (4.118)

şi curentul transversal:2))(( ext ext qext d

ext qq

R X X X X

R E I

+++= (4.119)

Curentul de scurtcircuit total, în cazul generatorului cu poli aparenţi, areexpresia:

2

2222

))(()(

ext ext qext d

ext ext qqqd pa

R X X X X

R X X E I I I

+++++

=+= (4.120)

Pentru a putea determina influenţa nesimetriei rotorului, se compar ă acestcurent cu cel rezultat în cazul unui generator cu poli înecaţi ( X d = X q). În acest cazexpresia (4.120) devine:

22)( ext ext d

q pi

R X X

E I ++

= (4.121)

Se introduc notaţiile: d q X X α= şi d ext X R β= .

Influenţa cea mai mare a nesimetriei rotorice se va resimţi în cazulcircuitului exterior pur rezistiv ( Rext = 0). În acest caz, relaţiile (4.120)şi (4.121)devin:

qd

qd d

d d pa E

X E

X X

X X I

)( 2

22

222

2222

β+αβ+α=

β+αβ+α

= (4.120’)

qd

q

d d

pi E X

E X X

I )(

112222 β+α

=β+

= (4.121’)

Raportul celor doi curenţi conduce la relaţia:




119

2

22

222

2

222

)1(11)( )1)((11

β+α α−β+=−β+α β+β+α+=β+αβ+β+α

==λ pi

pa I

I

(4.122)Din expresia (4.122) se constată că raportul curenţilor este supraunitar. Ca

urmare, curentul de scurtcircuit în cazul generatorului cu poli aparenţi este maimare. Considerând acest raport ca o funcţie de

d

ext

X R=β

se poate găsi condiţia de maxim. În acest scop se anulează derivata în raport cu β :

0)(

)1(2))(1()1(2

)1(212

122

22

22

2

=β+α

α−β−β+αα−β+αα−β

β+α α−β+

=β∂λ∂

Rezultă α=β şi valoarea maximă a raportului:

αα+=λ

21

max

Pentru valorile curenteα = 0.6, rezultă λ max ≈ 1.03. Se constată că încalculul curentului de scurtcircuit permanent se poate neglija influenţa nesimetrieirotorului, eroarea fiind mică.

4.1.3.2 Influen ţ a reglajului automat de tensiune

Reglajul automat de tensiune, efectuat cu dispozitive speciale, are dreptscop menţinerea tensiunii la bornele generatorului la valoarea dorită. Indiferent de principiul constructiv, regulatorul automat de tensiune – R.A.T. – acţionează asupra excitaţiei generatorului pentru anularea abaterii tensiunii de la valoarea prescrisă. În regim de scurtcircuit, tensiunea la bornele generatorului se micşorează mai mult sau mai puţin, în funcţie de locul unde s-a produs defectul. Ca urmare,RAT sesizând reducerea tensiunii, intr ă în funcţiune şi măreşte nivelul de excitaţie pentru a readuce tensiunea la valoarea prescrisă. Restabilirea tensiunii nu este posibilă întotdeauna deoarece nivelul de excitaţie nu poate creşte nelimitat,existând o valoare plafon, căreia îi corespunde o t.e.m. limită – E qlim. Dacă scurtcircuitul este mai îndepărtat, prin ridicarea nivelului de excitaţie, se poaterestabili tensiunea nominală la bornele generatorului; în caz contrar, deşi excitaţiaeste la valoarea plafon, tensiunea la bornele generatorului este mai mică decât ceanominală. În particular, în cazul scurtcircuitului la bornele generatorului, tensiuneaacestuia este nulă.

Va exista o anumită valoare a impedanţei de scurtcircuit exterioare, numită impedanţă critică Z cr , care delimitează cele două situaţii.




120

Pentru determinarea impedanţei critice se face următorul raţionament:

a) Dacă impedanţa exterioar ă până la locul defectului este mai mică decâtcea critică, generatorul funcţionează cu excitaţia plafon, cu t.e.m. limită E qlim , iar curentul de scurtcircuit stabilizat poate fi determinat cu relaţia:

22

lim

)( ext d ext

q

X X R

E I

++= (4.123)

b) Dacă impedanţa exterioar ă este mai mare decât valoarea critică,generatorul funcţionează cu un nivel de excitaţie sub plafon, având la bornetensiunea nominală. Curentul de scurtcircuit stabilizat are expresia:

ext

n

Z U

I = (4.124)

c) Dacă impedanţa exterioar ă este egală cu valoarea critică, generatorulfuncţionează cu excitaţia plafon care, în acest caz, îi asigur ă la borne tensiuneanominală. Ca urmare, curentul de scurtcircuit stabilizat se poate determina cuoricare din relaţiile (4.123) sau (4.124), rezultând aceeaşi valoare:

cr

n

cr ext d cr ext

q

Z U

X X R

E =

++ 2.

2.

lim

)((4.125)

Înlocuind în relaţia (4.125) Rext.cr = Z cr cosφ şi X ext.cr = Z cr sinφ şi ordonânddupă Z cr se obţine ecuaţia:

0sin2)( 222222lim =−ϕ−− nd cr nd cr nq U X Z U X Z U E

de unde rezultă impedanţa critică:

1

)1(sinsin

2

2lim

2

2lim2

−

−+ϕ+ϕ=

n

q

n

q

d cr

U

E

U

E

X Z (4.126)

Din relaţia (4.126) se constată că, pentru un anumit argumentφ, impedanţacritică este funcţie numai de parametrii generatorului: X d , E qlim şi U n.

În concluzie, în cazul generatoarelor prevăzute cu RAT, la determinareacurentului de scurtcircuit stabilizat, se foloseşte fie t.e.m. plafon E qlim, fie tensiuneanominală la borneU n, după cum impedanţa exterioar ă până la locul defectului estemai mică, respectiv mai mare decât impedanţa critică.

În cazul particular la generatoarelor f ăr ă RAT, curentul de scurtcircuitstabilizat se determină cu relaţia (4.125) în care se consider ă t.e.m. a generatoruluiexistentă în momentul producerii defectului, E q. Dacă aceasta nu se cunoaşte atunci poate fi determinată aproximativ cu relaţia:




121

22 )sin()cos( d q IX U U E +ϕ+ϕ= (4.127)

în care U, Işi φ sunt mărimile corespunzătoare regimului anterior produceriiscurtcircuitului.

4.1.3.3 Influen ţ a sarciniiInfluenţa sarcinii se manifestă în două moduri:a) Determină nivelul de excitaţie a generatorului în regimul anterior

defectului. Acest nivel este mai mare decât cel corespunzător funcţionării în golşi,în lipsa RAT se menţine pe tot timpul evoluţiei procesului de scurtcircuit. Caurmare, în calculul curentului de scurtcircuit, generatorul trebuie considerat caavând acest nivel de excitaţie.

b) Modifică mărmeaşi distribuţia curenţilor din schemă.Se consider ă un exemplu simplu, conform figurii 4.22 în care există

generatorul cu tensiuneaU şi curentul I , ramura avariată având X k şi I k precumşi oramur ă conţinând o sarcină concentrată Z sarc parcursă de I sarc . Se constată că prezenţa sarcinii în paralel cu ramura avariată duce la mărirea curentului debitat desursă şi la micşorarea tensiunii la bornele generatorului. Ca urmare a micşor ăriitensiunii se reduceşi curentul de scurtcircuit din ramura avariată.

Problema consider ării în calcule a sarcinii este dificilă întrucât este formată în special din motoare a căror reactanţă este greu de apreciat, fiind funcţie dealunecare (la motoarele asincrone care constituie majoritatea) iar aceasta, la rândulei, depinde de tensiune.

U, IIsarcZsarcXk

Ik

k Fig. 4.22 Exemplu de circuit pentru ilustrarea influenţei sarcinii

Pentru un calcul aproximativ, care urmăreşte determinarea valorii maximea curentului de scurtcircuit, se poate recurge la o reprezentare simplificată asarcinii, printr-o reactanţă concentrată, neglijând rezistenţa.

Determinarea reactanţei echivalente a sarcinii generalizate se face pornindde la condiţia ca, în regim normal, pur inductiv, la bornele generatorului să existetensiunea nominală. În aceste condiţii, relaţia (4.116) devine:

d nq IX U E += (4.116’)




122

Tensiunea la borne poate fi exprimată şi funcţie de reactanţa sarcinii, sub

forma: sarcn IX U = (4.128)

Din relaţiile (4.116’) şi (4.128) se obţine pentru reactanţa sarciniigeneralizate expresia:

nq

nd sarc U E

U X X

−= (4.129)

Ik

I

U

0 1 2 3

0.5

1.0

1.5

Fig. 4.23 Influenţa sarcinii asupra regimului stabilizat de scurtcircuit

În figura 4.23 este prezentată o comparaţie între curbele de variaţie acurentuluişi tensiunii pentru o sarcină reală (cu linie continuă) şi o sarcină echivalentă (cu linie întreruptă). Se constată o concordanţă acceptabilă între

curbele corespunzătoare, în cele două cazuri. Cu linie punct s-au reprezentataceleaşi mărimi în cazul neconsider ării sarcinii ( Z sarc = ∞). Se observă că această ipoteză introduce erori considerabile.

4.1.3.4 Influen ţ a altor surseÎn multe situaţii practice scurtcircuitul este alimentat de mai multe

generatoare aflate în zonă, la distanţe electrice diferite. Considerarea unui generator fie cu tensiunea electromotoare limită, fie cu tensiunea nominală se face în urmaunor aproximaţii succesive.

Pentru exemplificare, se consider ă schema din figura 4.24.Într-o primă etapă se consider ă circuitele pur inductive. Dacă reactanţa de

scurtcircuit este mai mică decât reactanţa critică corespunzătoare primuluigenerator ( X k < X cr1) atunci acesta se introduce în calcule prin tensiuneaelectromotoare limită (Eqlim1). În caz contrar (X k > X cr1) se introduce prin tensiuneanominală (U n1). La fel şi celelalte generatoare, aflate mai departe de loculdefectului.




123

X2X1Xk

k

G1 G2 G3

Fig. 4.24 Schema considerată pentru studiul influenţei altor surse asupra curentului descurtcircuit

Pentru prima situaţie ( X k < X cr1) se pune problema modului de considerarea sursei următoare (G2). Dacă X k + X 1 este mult mai mică decât X cr2 , şi acestgenerator se introduce prin tensiunea electromotoare limită şi reactanţa sa sincronă.Această presupunere trebuie însă verificată prin calcule. În acest scop se determină

curentul debitat de sursa G2 şi, dacă acesta rezultă mai mare decât curentul critic( I cr = U n /Z cr ), ipoteza este bună. În caz contrar, se consider ă generatorul G2 printensiunea sa nominală.

În cazul în care X k + X 1 este apropiat ca valoare sau mai mare decât X cr2 esterecomandabilă introducerea lui G2 prin tensiunea nominală. Şi în acest caz seimpune verificarea ipotezei prin compararea curentului cu cel critic.

În mod similar se procedează cu sursele aflate mai departe de loculdefectului. Dacă printre sursele din schemă sunt unele f ăr ă RAT, acestea seintroduc prin tensiunea electromotoare E q anterioar ă producerii defectuluişi prinreactanţa longitudinală.

În cazul consider ării şi a rezistenţelor, calculele se complică simţitor, atâtdin cauza necesităţii de a opera cu mărimi complexe, câtşi din cauza necesităţii

cunoaşterii fazei tensiunii fiecărei surse în parte. Din aceste motive, în calculele practice se prefer ă utilizarea schemelor pur inductive. Considerarea rezistenţelor seimpune doar atunci când au valori apropiate de cele ale reactanţelor sau cândtrebuie efectuate calcule foarte exacte.

4.1.4 Comportarea dinamic ă a excita ţ iei generatorului sincronCaracteristicile dinamice sunt analizate, în cele ce urmează, în situaţiile de

for ţare şi dezexcitare rapidă. For ţ area excita ţ iei constituie un procedeu de mărire a stabilităţii

funcţionale a generatorului sincron, prin mărirea tensiunii la borne. În principiu,for ţarea excitaţiei constă în creşterea bruscă a nivelului de excitaţie până lavaloarea limită (plafon), în cazul scăderii masive a tensiunii la bornele

generatorului sincron. Aşa cum a fost analizat anterior, dacă distanţa electrică până la locul defectului nu este prea mică, prin for ţarea excitaţiei se poate readucetensiunea maşinii la valoarea nominală. Procedeeleşi fenomenele care au locdepind de modul de realizare a excitaţiei şi de tipul generatorului sincron.




124

Dezexcitarea rapid ă este un procedeu ce are drept scop protejarea

generatorului sincron împotriva defectelor interioareşi constă în stingereacâmpului magnetic. Astfel, considerând schema din figura 4.25, orice defect înzona generatorului, până la întrerupătorul de înaltă tensiune I, este separat decelelalte surse prin declanşarea întrerupătorului dar r ămâne alimentat de lagenerator. Pentru lichidarea defectului este necesar ă şi dezexcitarea generatorului,lucru realizat de automatul de dezexcitare rapidă – ADR.

G T I

Fig. 4.25 Delimitarea zonei neprotejate prin declanşarea întrerupătorului I

4.1.4.1 Comportarea dinamic ă a excitatoarelor rotativeExcitatoarele rotative sunt generatoare de curent continuu cu excitaţie în

derivaţie sau mixtă, instalate de regulă pe acelaşi ax cu generatorul sincron.Excepţie fac, în general, hidrogeneratoarele la care excitatoarea este separată,antrenată de un motor de curent alternativ.

Există, în principal, două tipuri de excitatoare rotative:- cu autoexcitaţie, fig. 4.26;- cu excitaţie separată, alimentată de la o subexcitatoare, fig. 4.27.

=

k

G

R ,i R f1,i f1

Ex

R

Fig. 4.26 Schema de principiu a GS cu excitatoare cu autoexcitaţie

În circuitul de excitaţie al excitatoarei se află şi un reostat R pentru reglajul

tensiunii la bornele excitatoareişi, implicit, a curentului de excitaţie a generatoruluisincron G, deci a tensiunii acestuia.Pentru for ţarea excitaţiei, în paralel cu reostatul R se află un contact

normal deschis al unui contactor k. Scăderea tensiunii la bornele generatoruluisincron sub o anumită valoare este sesizată de un releu de minimă tensiune care




125

comandă punerea sub tensiune a bobinei contactorului; ca urmare, contactul k se

închide şi rezistenţa de reglaj R esteşuntată iar tensiunea excitatoarei – decicurentul de excitaţie a generatorului sincron – ajunge la valoarea maximă (limită).Creşterea curentului de excitaţie nu are loc instantaneu ci cu o anumită întârziere,determinată de constantele de timp ale circuitelor generatorului sincron.

=

k

G

R ,i R f1,i f1

U

R

=

R 1

R f2,i f2

U f1ExSE x

Fig. 4.27 Schema de principiu a GS cu excitatoare cu excitaţie separată

Cazul excitatoarei rotative cu autoexcita ţ ieÎn regim normal de funcţionare, tensiunea nominală la bornele

generatorului sincron se obţine pentru o anumită valoare a tensiunii de excitaţieU fn, determinată grafic de intersecţia dreptei ce reprezintă căderea de tensiune pecircuitul de excitaţie al excitatoarei

)( 11 R Riu f f f +=

cu carcateristica în sarcină a excitatoarei (punctul A din figura 4.28):Când are loc for ţarea excitaţiei prinşuntarea rezistenţei de reglaj R, dreapta

căderii de tensiune îşi modifică panta devenind R f1i f1 iar punctul de funcţionare sedeplasează în Bşi determină tensiunea de excitaţie uf1lim.

Procesul tranzitoriu provocat deşuntarea rezistenţei de reglare este descrisde ecuaţia diferenţială:

f f f f

f ui Rdt

di L =+ 11

11 (4.130)

Integrarea acestei ecuaţii pe cale analitică este dificilă din cauzadependenţei neliniare a tensiunii de curent. Se poate recurge la o integrare grafică pornind de la relaţia:

111

1 f f f f f

f i Ruudt

di L −=∆= (4.131)

Se poate trasa caracteristicai f1(t) şi, folosind caracteristica în sarcină aexcitatoarei, din figura 4.29, rezultă caracteristicau f = f(t).




126

uf1lim

i

u

ufnA

B

if1(R f1+R)if1R f1

ifn ifmax

Fig. 4. 28 Comportarea dinamică a excitatoarei rotative cu autoexcitaţie

uf1lim

t

u f

ufn

Tf1

Fig. 4. 29 Rezolvarea grafică a ecuaţiei diferenţiale (4.130)

În figura 4.29 s-a reprezentat cu linie plină curba u f = f(t) şi cu linieîntreruptă aceeaşi dependenţă dar aproximată cu o exponenţială de forma

)1)(( 1lim1

f T t

fn f fn f euuuu−

−−+= (4.132)

Constanta de timp a înf ăşur ării de excitaţie T f1 are, în mod obişnuit, valoricuprinse în limitele 0.3 – 0.6 s, valoare ce poate fi considerată drept mare.

Cazul excitatoarei rotative cu excita ţ ie separat ă Se consider ă schema de principiu din figura 4.27 ale cărei caracteristici de

funcţionare sunt reprezentate în figura 4.30.






128

devine nesigur ă din cauza problemelor de comutaţie determinate de curenţii mari,

de ordinul kiloamperilor, necesari pentru alimentarea circuitului de excitaţie.Există o mare diversitate de soluţii, în funcţie de schema de alimentare pe

partea de curent alternativ precumşi de sistemul de redresare.Astfel, ca sursă de curent alternativ pentru alimentarea sistemului de

redresare, se poate folosi un generator auxiliar de curent alternativ, de frecvenţă medie, coaxial cu generatorul sincron, fig. 4.31. Excitarea generatorului auxiliar seasigur ă de la o excitatoare pilot E p de curent alternativ cu autoexcitaţie sau cu policu magenţi permanenţi. Prin dispunerea indusului generatorului auxiliar şi asistemului de redresare pe rotor, se elimină inelele de contact, fig. 4.32, faptdeosebit de important în cazul curenţilor foarte mari.

Comportarea dinamică a acestui sistem de excitaţie este asemănătoare cucea a excitatoarelor rotative cu excitaţie separată. Asemănarea este determinată de

prezenţa excitatoarei pilot a generatorului auxiliar. Sistemul de redresare cusemiconductoare este neiner ţial, neinfluenţând constanta de timp a sistemului deexcitaţie.

Prin utilizarea redresoarelor comandate se elimină rezistenţa de reglaj.Aceste sisteme de excitaţie prezintă a comportare dinamică foarte bună,

constant lor de timp fiind mică, de ordinul sutimilor de secundă; ca urmare,tensiunea de excitaţie a generatorului sincron poate fi modificată practicinstantaneu ceea ce este util în cazul alimentării unor consumatori de putere, cuvariaţii de sarcină pronunţate.

4.1.4.3 Influen ţ a reglajului excita ţ iei asupra generatorului sincronVariaţia tensiunii de excitaţie se resimte în variaţia corespunzătoare a

curentului de excitaţie al generatorului sincron.Deşi tensiunea de excitaţie are o variaţie continuă, pentru simplificare se va

studia modificarea curentului de excitaţie considerând că tensiunea se modifică prin salt, de la zero laU f . Suplimentar, se consider ă următoarele ipotezesimplificatoare:

- se neglijează saturaţia circuitelor magnetice;- nu se iau în considerare înf ăşur ările de amortizareşi influenţa fierului

rotorului;- calculele se efectuează în unităţi relative raportate la stator.În aceste două condiţii se consider ă două situaţii:- circuitele statorice deschise;

- circuitele statorice închise pe o reactanţă exterioar ă X ext .




129

T G

I

RAT

R

E E p

TC

TT

Fig. 4.31 Sistem de excitaţie cu generator auxiliar de c.a. de frecvenţă medie

E

TT

T G

RAT

R E p

TC Fig. 4.32 Sistem de excitaţie cu generator auxiliar de c.a. de frecvenţă medieşi sistem de

redresare pe rotor

Circuitele statorice deschiseVariaţia curentului de excitaţie la creşterea tensiunii de excitaţie prin salt

este descrisă de ecuaţia diferenţială următoare:

f f f f

f ui Rdt

di X =+ (4.137)

a cărei soluţie este de forma:

)1( 0 f T t

f

f f e

R

ui

−−= (4.138)

undeT f0= X f /R f este constanta de timp a înf ăşur ării de excitaţie cu statorul în gol.Din relaţia (4.138) se constată că i f are o creştere exponenţială, stabilindu-

se în final la valoarea de regim permanentu f /R f .

Circuitele statorice închise pe o reactan ţă exterioar ă În acest caz, la aplicarea tensiunii de excitaţie va apareşi în stator un

curent; dacă se neglijează rezistenţele statoriceşi de sarcină, curentul statoric este




130

inductivşi determină o reacţie pur longitudinală. Procesele tranzitorii sunt descrise

de următorul sistem de ecuaţii diferenţiale:

=

−=+

=++

dt di

X u

udt

di X

dt

di X

ui Rdt

di X

dt

di X

d ext q

qd

d f

ad

f f f d

ad f

f

(4.139)

Necunoscuta este curentul de excitaţie. Din ultimele două ecuaţii rezultă

dt

di

X X X

dt di f

ext d

ad d

+−=

şi, înlocuinddid /dt în prima ecuaţie, rezultă:

f f f f

ext d

ad f ui R

dt

di

X X X

X =+

−− (4.140)

a cărei soluţie este:

)1('

f T

t

f

f f e

R

ui

−−= (4.141)

în care

)(1 2'

ext d

ad f

f f X X

X X

RT

+−=

reprezintă constanta de timp a înf ăşur ării de excitaţie cu statorul închis pe oreactanţă exterioar ă.

Şi în acest caz variaţia curentului de excitaţie este exponenţială dar constanta de timp este mai mică decât în cazul statorului în gol.

4.1.4.4 Influen ţ a înf ăş ur ă rilor de amortizareSe determină modul de variaţie a curentului de excitaţie la un generator cu

înf ăşur ări de amortizare, în cazul unei variaţii bruşte a tensiunii de excitaţie, de lazero la u f . Pentru simplificare se consider ă înf ăşur ările statorice deschise,generatorul funcţionând în gol. Schema de principiu, după axa longitudinală, estereprezentată în figura 4.33.

Ecuaţiile diferenţiale care descriu procesul tranzitoriu în înf ăşur ările deexcitaţie şi de amortizare longitudinală sunt următoarele (mărimile sunt în unităţirelative raportate la stator):




131

=++

=+++

0111

1

11

d d d

d f

ad

f f f d

ad d

ad

f

f

i Rdt

di X

dt

di X

ui Rdt di

X dt di

X dt

di

X (4.142)

care, sub formă operaţională, devin:

=++

=++

0)()()(

)()()(

1111

1

pi R pi pX pi pX

p

u pi R pi pX pi pX

d d d d f ad

f f f d ad f f (4.143)

Rezolvând sistemul (143) în raport cui f (p) şi i1d (p) , rezultă:

p

u

X p R pX R pX

R pX pi f

ad d d f f

d d f 22

11

11

))(()(

−++

+= (4.144)

f ad d d f f

ad d u

X p R pX R pX

X pi 22

111 ))((

)(−++

−= (4.145)

i1d

id=0

i

u

X1d

R 1d

Xf R f

d

Fig. 4.33 Înf ăşur ările axei longitudinale a maşinii sincrone echivalente

Întroducând noţiunea de coeficient de dispersie al celor două circuite:

d f

ad

X X X

1

2

0 1−=σ (4.146)

relaţiile (4.144)şi (4.145) devin:




132

p

u

R R R X R X p X X p

R pX pi

f

d f d f f d d f

d d f

111102

11

)()( +++σ+

= (4.144’)

f d f d f f d d f

ad d u

R R R X R X p X X p

X pi

1111021 )(

)(+++σ

−= (4.145’)

Prelucrând ecuaţiile (4.144’)şi (4.145’), scoţând for ţat produsul R f R1d de lanumitorişi rezistenţa R1d de la număr ătorul ecuaţiei (4.144’)şi f ăcând notaţiile:

- X f /R f =T f0, constanta de timp a înf ăşur ării de excitaţie;- X 1d /R1d =T 1d0, constanta de timp a înf ăşur ării de excitaţie,

se obţine:

f

f

d f d f

d f R

u

T T pT T p p

pT pi ]1)([

1)(

01001002 01 +++σ

+= (4.147)

d f

f

d f d f

ad d R R

u

T T pT T p

X pi

1010010021 1)(

)(+++σ

−= (148)

Originalele curenţilor se obţin aplicând teorema de dezvoltare a luiHeaviside:

−−−

+−

−=−−

21

21

201

21

201)( T t

d T t

f

f

f f e

T T T T

eT T

T T

R

ut i (4.149)

)(1)( 21

2111

T t

T t

d f

ad f

d ee

T T R R

X ut i

−−−

−−= (4.150)

unde constantele de timp sunt inversele r ădăcinilor ecuaţiilor caracteristice:1)( 0100100

2 +++σ d f d f T T pT T p (4.151)

r ădăcini care au expresia:

0100

01002

0100102,1 2

4)()(

d f

d f d f d f

T T

T T T T T T p

σσ−+±+−

=

Soluţiile p1,2 pot fi puse sub forma:

)1(2

)(

0100

0102,1 α

σ+

−= m

d f

d f

T T

T T p (4.152)

unde

2010

0100

)(4

1d f

d f

T T

T T

+σ

−=α (4.153)




133

Întrucât 01002

010 4)( d f d f T T T T σ>+ rezultă că r ădăcinile ecuaţieicaracteristice sunt realeşi negative deci curenţii liberi corespunzători suntaperiodici amortizaţi.

Constantele de timp au expresia:

010

0100

11 1

21d f

d f

T T

T T

pT

+σ

α−=−= (4.154)

010

0100

22 1

21d f

d f

T T

T T

pT

+σ

α+=−= (4.155)

sau, înmulţind şi împăr ţind cu (1+α), respectiv (1-α) relaţiile (4.154), respectiv(4.155)şi ţinând seama de (4.153) rezultă:

)(21

0101 d f T T T +α+

= (4.156)

)(2

10102 d f T T T +α−= (4.157)

Din relaţiile (4.156)şi (4.157) se constată că T 1 > T 2, diferenţa dintre elemărindu-se odată cu micşorarea coeficientului de dispersie. La limită, când σ0 = 0,T 1 = T f0 + T 1d0 şi T 2 = 0.

În continuare se analizează influenţa înf ăşur ării de amortizare asupravariaţiei curentului de excitaţie. În acest scop se consider ă cazurile extreme, cândînf ăşurarea de amortizare are rezistenţa infinită, respectiv când estesupraconductoare ( R1d = 0).

Pentru cazul când R 1d = ∞, ceea ce corespunde practic absenţei sale, rezultă T1=Tf0 şi T2=0, conform relaţiilor (4.156)şi (4.157). Ca urmare, curentul dinînf ăşurarea de excitaţie, rel.4.149, devine:

)1( 0 f T t

f

f f e

R

ui

−−= (4.149’)

Se observă că relaţia (4.149’) este identică cu relaţia (4.138) ce corespundesituaţiei funcţionării în gol a generatorului f ăr ă înf ăşur ări de amortizare.

Pentru cazul R1d = 0 rezultă T 1d0 = ∞, α = 1 ;i respectivT 1 = ∞ şi T 2 =σ 0T f0. Ca urmare, curentul din înf ăşurarea de excitaţie devine:

)1( 00 f T t

f

f f e

R

ui

σ−

−= (4.158)

În figura 4.34 s-a reprezentat curentul de excitaţie pentru cele două cazuriextreme, relaţiile (4.149’)şi (4.158)şi cel real când R1d ≠ 0 precumşi curentul dinînf ăşurarea de amortizare, relaţia (4.150). Se constată că prezenţa înf ăşur ării deamortizare conduce la mărirea vitezei de creştere a curentului de excitaţie. În ceea




134

ce priveşte fluxul principal al generatorului acesta este propor ţional cu suma

curenţilor rotorici.

t

if

R 1d=0

σ 0T f0 Tf0

uf /R f

R 1d ≠ 0

R 1d=∞

i1d

Fig. 4.34 Înfluenţa înf ăşur ării de amortizare asupra curentului de excitaţie

Considerând relaţiile (4.149)şi (4.150)şi aproximând raportul X ad /R1d ≈ T 1d0, rezultă:

−+

−

−+−=+

−−21

21

2

21

201001 1 T

t T t

d f

f

f d f e

T T

T e

T T

T T T

R

uii (4.159)

Din relaţiile (4.156)şi (4.157) rezultă:

01001001021 )(2

1)(2

1d f d f d f T T T T T T T T +=+α−++α+=+ (4.160)

iar relaţia (4.159) devine:

−+

−−=+

−−21

21

2

21

101 1 T

t T t

f

f d f e

T T T

eT T

T R

uii (4.161)

Al doilea termen din (4.161) are valoare mică şi se amortizează repedeastfel că prezenţa înf ăşur ării de amortizare încetineşte viteza de creştere a fluxuluigeneratorului deoareceT 1 > T 2.

În cazul înf ăşur ărilor statorice cuplate pe o reactanţă exterioar ă, studiereainfluenţei înf ăşur ării de amortizare este mai dificilă, sistemul de ecuaţii fiind maicomplicat, dar concluzia anterioar ă işi păstrează valabilitatea.




135

4.1.4.5 Dezexcitarea rapid ă

Dezexcitarea rapidă a generatorului sincron trebuie realizată astfel încât:- timpul de anulare a câmpului magnetic să fie cât mai mic;- supratensiunea la bornele circuitului de excitaţie să nu depăşească

valoarea admisă de clasa de izolaţie a acesteia.Ca timp de anulare (stingere) a câmpului se consider ă intervalul dintre

momentul decuplării excitaţiei şi momentul când tensiunea statorică nu maiîntreţine arcul la locul scurtcircuitului.

Supratensiunea admisibilă depinde de tensiunea de încercare a izolaţieiînf ăşur ării de excitaţie.

Există diverse procedee de dezexcitare rapidă, unele cu caracter general,aplicabile la orice tip de excitaţie, altele cu un caracter mai restrâns.

4.1.4.5.1 Dezexcitarea rapid ă cu rezisten ţă de desc ă rcareDezexcitarea se realizează prin conectarea înf ăşur ării de excitaţie a

generatorului sincron pe o rezistenţă de stingereşi deconectarea sa de la sursa deexcitaţie, figura 4.35.

În cazul unui defect intern, protecţia prin relee a generatorului sincrondetermină modificarea stării releului intermediar RI care îşi închide contactul săunormal deschis prin care se alimentează bobina contactorului K. Rezultatul esteînchiderea contactului normal închis K1şi deschiderea contactului normal închisK2. Excitaţia generatorului este deconectată de la sursă.

k1k2G

Ex

R s

Sursa de excita ţie

+RI

Fig. 4.35 Dezexcitarea rapidă cu rezistenţă de descărcare

După deconectare, curentul de excitaţie scade exponenţial. În absenţaînf ăşur ărilor de amortizare, expresia acestuia este de forma:

st T

t

f f e I i−

= 0 (4.162)unde I f0 este curentul de excitaţie anterior deconectării iar T st constanta de timp a procesului tranzitoriu de stingere a câmpului magnetic. Dacă statorul este în gol,constanta de timp are expresia:




136

s f

f

f s f

f

st R R

R

T R R

X

T +=+= 0 (4.163)Pentru ca arcul electric la locul defectului să se stingă trebuie ca tensiunea

indusă să scadă sub o anumită valoare. Curentul de excitaţie care determină această tensiune este:

st

st

T t

f fst e I i−

= 0

iar timpul de stingere rezultă

fst

f st st i

I T t

0ln= (4.164)

Deoarece curenţii I f0 şi i fst sunt nişte constante pentru un generator dat,rezultă că timpul de stingere depinde direct de constanta de timp. Ca urmare,reducerea timpului de stingere se realizează prin mărirea rezistenţei de stingere.Acest procedeu este, însă, în contradicţie cu a doua condiţie pe care trebuie să oîndeplinească sistemul de dezexcitare rapidă: limitarea supratensiunilor la borneleînf ăşur ării de excitaţie.

Pentru schema din figura 4.35, tensiunea la bornele excitaţiei, imediat după deconectare, are expresia:

f

s f

f

s f f s f f R

RU

R R

R I R I U === 000 (4.165)

unde U f este tensiunea la bornele excitaţiei anterioar ă deconectării (în regimnormal). Din relaţia (4.165) rezultă că, imediat după deconectare, tensiunea de

excitaţie creşte de R s /R f ori, deci este direct proproţională cu rezistenţa de stingere.Ţinând seamaşi de expresia timpului de stingere (4.164), în practică sealege o valoare intermediar ă a rezistenţei de stingere care să satisfacă ambelecondiţii; această valoare este de (3÷5) R f .

Prezenţa înf ăşur ării de amortizare are, în general, efecte negative în sensulcă măreşte constanta de timp de stingere decişi timpul de stingere. Întrucât această înf ăşurare preia o parte din energia câmpului magnetic din generator, sunt înlesnitecondiţiile de lucru ale instalaţiei de dezexcitare.

4.1.4.5.2 Dezexcitarea rapid ă prin tensiune constant ă la borneleînf ăş ur ă rii de excita ţ ie

Dezexcitarea rapidă cu rezistenţă de stingere are dezavantajul că viteza demicşorare a curentului se reduce la sfâr şitul procesului de stingere. Metoda dedezexcitare prin tensiune constantă înlătur ă acest neajuns, asigurând o variaţieliniar ă a curentului de excitaţie şi, corespunzător, reducerea timpului de stingere.




137

Ecuaţia diferenţială a procesului tranzitoriu din înf ăşurarea de excitaţie este

de forma:0)( =++ f f s

f f i R R

dt

di X (4.166)

Dacă se neglijează rezistenţa înf ăşur ării de excitaţie şi se notează produsul R si f =u f0 ca fiind tensiunea la bornele înf ăşur ării de excitaţie, presupusă constantă,rezultă:

00 =+ f f

f udt

di X (4.167)

Integrarea ecuaţiei (4.167) se poate face uşor, rezultând:

∫ ∫ −=−= f

f

i

I

t

f

f f

f

f f dt

X udidt

X udi

0 0

00

de unde

t X

u I i

f

f f f

00 −= (4.168)

Considerând, pentru simplificare, că stingerea arcului are loc în cazul încare curentul se anulează, timpul de stingere devine:

0

0

f

f f st u

X I t = sau st

s

f

s f

f f st T

R

X

R I

X I t ≈==

0

0 (4.169)

Dacă se compar ă relaţia a doua (4.169) cu (4.164) se constată că în cazulmenţinerii tensiunii constante, timpul de stingere se reduce de ln( I f0 /i fst ) ori.

În figura 4.36 este prezentată comparativ variaţia curentului de excitaţie încele două cazuri, conform relaţiilor (4.162), curba 1,şi (4.168), dreapta 2. Deasemenea, se reprezintă şi variaţia tensiunii la bornele înf ăşur ării de excitaţie.

Menţinerea tensiunii la bornele înf ăşur ării de excitaţie la o valoareconstantă se poate realiza folosind o proprietate a arcului electric scurt de a-şimenţine tensiunea constantă la borne când curentul variază în limite largi.

În figura 4.37 este prezentată schema de dezexcitare rapidă cu păstrareaconstantă a tensiunii. Funcţionarea schemei este următoarea: se închide contactulK2 care scurtcircuitează înf ăşurarea de excitaţie prin rezistenţa de limitare r.






4.1.4.5.3 Dezexcitarea rapid ă prin inversarea polarit ăţ ii tensiunii

de excita ţ iePrin inversarea tensiunii de excitaţie se obţine o reducere rapidă a

curentului de excitaţie dar, dacă nu se întrerupe circuitul de excitaţie în momentultrecerii prin zero a curentului, acesta poate creşte în sens invers.

În figura 4.38 se prezintă schema de inversare a tensiunii de excitaţie.

R2

2k2

2k1

1k2

1k1

G

Ex

Sursa deexcita ţie

R1

Fig. 4.38 Schema de dezexcitare rapidă prin inversarea polarităţii tensiunii de excitaţie

Funcţionarea este următoarea: se deschid mai întâi contactele 1K1, 1K2,excitaţia r ămânând conectată la sursă prin rezistenţele R1 şi R2. Pentru a evitasupratensiunile, se închid apoi contactele 2K1şi 2K2 prin care se inversează polaritatea. Este necesar ă respectarea acestei ordini pentru a evita scurtcircuitareasistemului de excitaţie.

Date post:	08-Apr-2018
Category:	Documents
Upload:	cirjila-puia
View:	235 times
Download:	0 times

Capitolul 4 - Studiul Fenomenului de Scurtcircuit

Documents