34

CAPITOLUL II

FUNCII COMPLEXE

1. Corpul numerelor complexe. Construcia i reprezentarea numerelor complexe.

Imposibilitatea rezolvrii unor ecuaii algebrice n corpul numerelor reale R a condus pe algebritii italieni n secolul XVI s introduc noi expresii de forma 1+ ba ba,, R, numite numere imaginare. Numerele "imaginare" apar pentru prima oar n lucrrile lui Cardan (sec. XVI). Denumirea de numere imaginare a fost atribuit datorit faptului c n epoca respectiv nu s-a putut da o reprezentare intuitiv a acestor numere. n 1763, Euler ntreprinde pentru prima oar un studiu sistematic al acestor numere introducnd i simbolul " i ". n 1797, Gauss d interpretarea geometric a numerelor complexe, ca puncte ale unui plan. Fie R2 produsul cartezian al perechilor ordonate (x,y) de numere reale. Definim pe R2 operaiile de adunare i nmulire prin : (1) (x,y) + (x',y') = (x+x', y+y') ; (2) (x,y) (x',y') = (xx'- yy', xy'+x'y). Prin definiie, mulimea numerelor complexe C este mulimea R2 dotat cu operaiile de adunare i nmulire (R2,+,.); mulimea C nzestrat cu cele dou operaii are o structur de corp comutativ. Elementele corpului C se numesc numere complexe. Fie A mulimea numerelor complexe de forma (x, 0), deci A={( xx ),0, R}. A C i A este un subcorp al lui C deoarece: (x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0) A, i (x, 0)(y, 0) = (xy, 0) A . S definim aplicaia f : R A prin f(x) = (x, 0), xR. Aceast aplicaie este o bijecie i conserv operaiile de adunare i nmulire : f(x+y) = f(x) + f(y) i f(xy)=f(x)f(y) . Rezult c f este un izomorfism de corpuri de la R pe A. Acest lucru permite identificarea mulimii A cu R. Astfel vom nota numrul complex (x,0) cu x deci (x, 0) = x. n particular, zeroul (0,0) i unitatea (1,0) din corpul numerelor complexe se identific cu numrul real 0 i unitatea real 1. n consecin putem scrie (0,0) = 0 i (1,0) = 1.

35

Fie B = yy),.0{( R } C. Observm c B se poate identifica cu punctele din R2 situate pe axa Oy. Observm c : (0, y) + (0,y') = (0, y+y') B i (0,y) (0,y') = (-yy', 0) B. Aceasta arat c B nu este un subcorp al corpului numerelor complexe C. n particular, (0,1) (0,1) = (-1,0) = -1 . Vom nota i = (0,1) i astfel i2 = -1, xi = (0, x), x R. Numrul complex i se mai numete i unitate imaginar, iar numerele complexe de forma xi (xR), numere pur imaginare. Dac z = (x,y) este un numr complex oarecare, atunci : z = (x,y) = (x,0) + (0,y) = x + iy, care reprezint expresia algebric a numerelor complexe. n aceast scriere, x = Re z i y = Im z reprezint respectiv partea real i partea imaginar a numrului complex z. Prin modulul numrului complex z = x + iy se nelege numrul nenegativ definit prin relaia :

22 yxz += .

Prin conjugatul unui numr complex z = x + iy se nelege numrul z = x - iy. n afar de aceast reprezentare geometric punctual mai este cunoscut i reprezentarea vectorial a numerelor complexe. Astfel, numrului complex z = x + iy, i se ataeaz vectorul liber ale crui componente pe axele de coordonate sunt x i y . n acest fel se realizeaz o bijecie ntre corpul C i mulimea vectorilor liberi.

Scrierea numerelor complexe sub form trigonometric. Operaii cu numere complexe.

n calculul cu numere complexe este foarte util scrierea acestora sub form trigonometric. Numrul complex z = x + iy se poate scrie sub form trigonometric :

(1) z = )sin(cos i+ unde x

ytgz == , , x = sin,cos =y .

Unghiul fcut de vectorul corespunztor lui z cu sensul pozitiv al axei Ox se numete argument i se noteaz : = zarg .

36

y M(x,y) y z

0 x x

Aceluiai numr complex z, z 0, i corespund o infinitate de determinri ale argumentului, care difer ntre ele printr-un multiplu de 2pi. Vom numi determinare principal a argumentului lui z, z 0, notat arg z, acea determinare care verific inegalitile : - pi < arg z pi. Adunarea (respectiv scderea) numerelor complexe 111 iyxz += i

222 iyxz += se definesc prin : (2) )()( 212121 yyixxzz += . Aceste operaii au ca semnificaie geometric adunarea respectiv scderea vectorilor corespunztori :

y y

2z

1z 21 zz +

1z

2z 0 x

0 x

2z 21 zz

Se observ c 21 zz reprezint distana dintre punctele 1z i 2z . Fie 1z = )sin(cos 111 i+ i 2z = )sin(cos 222 i+ . nmulirea numerelor complexe 1z i 2z se definete astfel :

37

(3) 21zz = )]sin()[cos( 212121 +++ i . Observm c 2121 zzzz = i .argarg)arg( 2121 zzzz += Dac kz C, kz = )sin(cos kkk i + , ),...,2,1{ nk atunci : (4) nzzz ...21 = )]...sin()...[cos(... 212121 nnn i +++++++ . Dac nzzz === ...21 = z = )sin(cos i+ atunci : (5) nz = )sin(cos ninn + . Dac lum pe 1= se obine formula lui Moivre : (6) =+ ni )sin(cos nin sincos + . mprirea numerelor complexe 1z , 2z se efectueaz dup regula : (7) )]sin()[cos( 2121

2

1

2

1

+= iz

z .

Observm c : 2

1

2z1z

z

z= i arg

2

1

z

z = 21 argarg zz .

Rdcina de ordinul n se definete astfel : (8) )sin(cos 22

n

kn

knn iz pipi ++ += , }.1,...,2,1,0{ nk Din punct de vedere geometric, cele n rdcini ale lui z sunt vrfurile unui poligon regulat cu n laturi nscris n cercul cu centrul n origine i de raz n . O form important de reprezentare a numerelor complexe se datoreaz lui Euler. Notnd iei =+ sincos ( formula lui Euler ), numrul complex z se poate scrie sub forma: zzez i arg,, === numit forma exponenial a numerelor complexe.

2. Elemente de topologie n corpul numerelor complexe.Proiecia stereografic.

Fie C mulimea numerelor complexe. Aplicaia d : CXCR definit prin : (1) ),( 21 zzd = 21 zz , 21 , zz C , se numete metric sau distan pe mulimea C. n continuare nu vom face deosebire ntre numrul complex z i punctul M(z), imaginea lui geometric din planul Gauss. Definiia 1 . Vom numi disc deschis cu centrul n punctul aC i de raz r >0 mulimea : (2) = zra {),( C, az

38

Prin disc nchis cu centrul n aC i de raz r > 0 vom nelege mulimea : (3) = zra {),( C, az r} . Definiia 2. Numim cerc cu centrul n a i de raz r >0 mulimea : (4) S(a,r) = z{ C, az =r} . Mai jos sunt reprezentate cele trei mulimi:

y y

* * * * * *z

* z * a * * * a * * * * * *

* r * * r * * *

0 x 0 x ),( ra ),( ra

y

* *z

* a * r * *

0 x ),( raS

39

Mulimea C pe care s-a definit metrica d este un spaiu metric. Pe mulimea C, relativ la distana d vom introduce topologia d , numit topologia asociat distanei d. Mulimea de pri d a spaiului metric (C, d) definit prin :

(5) }),(,0,);({ UrzrUzCUd >= , unde (C) reprezint mulimea tuturor prilor mulimii C, este o topologie pe (C,d), numit topologia asociat distanei d .

y

),( 0 rz 0z

r V 0 x

Definiia 3. Submulimea V se numete vecintate a unui punct Cz 0 dac exist discul Vrz ),( 0 ( figura de mai sus).`

Dac CV este o vecintate a lui Cz 0 , atunci punctul 0z se numete punct interior lui V. Mulimea punctelor interioare ale unei mulimi V se numete interiorul lui V i se noteaz cu

0V sau IntV .

Punctul 0z este un punct de acumulare pentru mulimea V dac orice disc ),( 0 rz conine un punct 0zz astfel nct : }){\),(( 00 zrzV . Mulimea punctelor de acumulare o vom nota cu V' i o vom numi mulimea derivat a lui V. Dac Vz 0 i exist ),( 0 rz astfel nct }{),( 00 zVrz = , atunci punctul 0z este un punct izolat al mulimi V.

nchiderea mulimi V reprezint mulimea /___ VVV = . O mulime V este deschis dac V=

0V .

Mulimea V este nchis dac /VV . Se poate arta c V este nchis ___

VV = .

40

Mulimea CV este o mulime mrginit dac exist discul ),0( r astfel nct ),0( rV . O mulime mrginit i nchis se numete compact. Un punct Cz 0 se numete punct frontier pentru mulimea CA dac orice vecintate V a punctului 0z conine puncte att din mulimea A ct i din complementara sa C(A). Mulimea punctelor frontier a mulimii A se noteaz Fr A i se numete frontiera lui A. Dac cel puin unul din numerele x =Re z , y =Im z este infinit, vom scrie =z i vom spune c reprezint punctul de la infinit al planului complex. Definiia 4. Numim vecintate a punctului =z exteriorul unui cerc cu centrul n origine, adic mulimea : (6) },{ rzCzV >=

.

Pentru a obine imaginea geometric a punctului =z al planului complex vom defini proiecia stereografic, care stabilete o coresponden biunivoc ntre punctele unei sfere i punctele planului complex al lui Gauss. Aceast coresponden a fost indicat de B. Riemann. S considerm o sfer S de diametru 1 tangent n punctul O la planul euclidian raportat la sistemul de axe rectangulare Oxy n care am reprezentat numerele complexe . Fie N punctul de pe sfera S diametral opus lui O. Vom considera spaiul euclidian tridimensional raportat la sistemul de axe rectangulare O unde O i O coincid cu Ox respectiv cu Oy, iar axa

O se suprapune peste diametrul ON, N (0,0,1). Fie M un punct oarecare din planul Oxy de afix z = x + iy i s notm cu P = P( ,, ) punctul diferit de N unde dreapta MN taie sfera S : z

N

P*

y O

x M

41

n acest fel, fiecrui punct M din plan (sau fiecrui numr complex Cz ) i va corespunde un punct unic P al sferei S, P N. Invers, dndu-se

un punct P, PS, P N, dreapta care trece prin N i P va intersecta planul Oxy ntr-un punct unic M. Vom spune c punctul M este proiecia stereografic (din N) al punctului P. Relaiile dintre coordonatele punctului P( ,, ) i coordonatele punctului M(x, y) sunt : (7) 22

22

2222 1;

1;

1 yxyx

yxy

yxx

++

+=

++=

++= .

Cnd z , atunci PN deci proiecia stereografic a polului nord N este punctul de la infinit =z al planului complex 0= . Mulimea numerelor complexe C mpreun cu punctul =z reprezint nchiderea lui C , deci }{

__

= CC . Definiia 5. Mulimea E C este convex, dac pentru orice descompunere n dou mulimi disjuncte i nevide A i B cel puin una din aceste mulimi are un punct de acumulare n cealalt mulime, deci : == /,, BABAEBA sau BA / . Dac o mulime este deschis i convex, vom spune c acea mulime este un domeniu. O mulime deschis este convex dac i numai dac oricare dou puncte ale sale pot fi unite printr-o linie poligonal coninut n acea mulime. Definiia 6. Un domeniu CD este simplu conex,dac orice curb simpl nchis , coninut n D, delimiteaz un domeniu mrginit avnd frontiera ,este inclus n D,adic D :

y

D

0 x

42

Un domeniu care nu este simplu conex vom spune c este multiplu conex. Prin introducerea unor tieturi, adic noi frontiere, domeniul poate deveni

simplu conex. Ordinul de conexiune se obine adugnd o unitate la numrul minim de tieturi pentru ca domeniul respectiv s devin simplu conex.

Exemplu. Domeniul D din figura de mai jos este triplu conex :

D ( 3C )

2T 1B ( 1C ) 2B * 2A ( 2C ) 1T 1A

Prin tieturile 1T i 2T el devine un domeniu simplu conex avnd ca frontier mulimea : ).()()()()()()( 22221111321

= ABBAABBACCC .

3. iruri i serii de numere complexe.

A. iruri de numere complexe.

Definiia1. Numim ir de numere complexe aplicaia += nnn xiyxnfCNf ,)(,: * R, ny R. Vom nota : *)( Nnnz sau simplu ( nz ).

Spunem c irul ( nz ) este mrginit dac + Rc astfel nct : nczn , N*.

Definiia 2. (cu vecinti) Spunem c irul ( nz ) este convergent dac exist un Cz astfel nct n afara oricrei vecinti V a lui z se afl un numr finit de termeni ai irului. Notm zzn

n=

lim sau nzzn , .

Definiia 3. (cu ) Spunem c ( nz ) este convergent dac exist un Cz astfel nct pentru orice 0> exist un rang n N cu proprietatea c

pentru orice nN, nn s avem :

43

,0 astfel nct nn s avem

44

Dac irul sumelor pariale ( nS ) este convergent i are limita S spunem c seria

=1nnw este convergent i are suma S adic: Sw

n

n =

=1. Dac

irul ( nS ) este divergent spunem c seria

=1nnw este divergent.

O serie de numere complexe poate fi scris :

=

=

=

+=1 11 n n

nn

n

n viuw , unde Rvu nn , .

Are loc :

Teorema 1. O serie de numere complexe nw este convergent dac

i numai dac nu i nv sunt convergente.

Demonstraie. Notm nnnn uuuswwwS +++=+++= ...,.. 2121 i

nn vvv ...21 ++= . Avem nnn isS += . Dar nw este convergent dac i

numai dac irul ( nS ) este convergent ceea ce are loc dac i numai dac irurile ( ns ) i ( n ) sunt convergente adic, dac i numai dac seriile nu

i nv sunt convergente.

Definiia 1. Seria nw se numete absolut convergent dac seria

nw este convergent.

Definiia 2. Dac seria nw este convergent iar nw este

divergent, seria nw se numete semi-convergent.

Observaie. O serie absolut convergent este convergent dar reciproca nu este n general valabil . O serie de numere complexe este absolut convergent dac i numai dac att seria prilor reale ct i seria prilor imaginare sunt absolut convergente.

45

Observaie. Pentru studiul convergenei absolute a seriilor de numere complexe se utilizeaz criteriile de convergen pentru serii cu termenii pozitivi. Pentru studiul naturii seriilor de numere complexe pot fi utilizate criteriile de convergen pentru seriile de numere reale.

4. Funcii complexe de o variabil real. Limita ntr-un punct. Continuitate. Derivata i difereniala. Integrala Riemann. Primitiv.

Fie E R . Definiia 1. Numim funcie complex de variabil real , aplicaia : (1) f : E R C sau (2) f(t) = x(t) + i y(t) , t R unde x(t)= Re f(t) i y(t) = Im f(t) .

Rezult c o funcie complex de variabil real este determinat de o pereche ordonat x = x(t) i y = y(t), t E de funcii reale de variabil real. Definiia 2. Spunem c un numr complex l C este limita funciei f(t) n punctul 0t E' dac pentru orice 0> exist un numr 0)( > astfel nct oricare ar fi t E , 0tt , dac )(0 astfel nct pentru

Ettt

46

Valoarea acestei limite se noteaz )( 0/ tf sau dttdf )( 0

i se numete

derivata funciei f n punctul Et 0 . Propoziia 3. Condiia necesar i suficient ca o funcie complex f s fie derivabil ntr-un punct este ca funciile reale x(t) i y(t) s fie derivabile n acel punct. Se poate scrie : }{\,)()()()()()( 0

0

0

0

0

0

0 tEttt

tytyi

tt

txtx

tt

tftf

+

=

, de unde

trecnd la limit cnd 0tt , obinem egalitatea : (4) )()()( 00/0/ tyitxtf += . Menionm c regulile de derivare pentru funciile reale se pstreaz i n cazul funciilor complexe de variabil real. Fie f o funcie complex derivabil pe E R . Prin difereniala lui f n punctul Et 0 vom nelege numrul complex: (5) 00/0 ,)()( ttdtdttftdf == . Explicitnd, relaia (5) poate fi scris i astfel : (6) )()()( tidytdxtdf += , unde dttxtdx )()( /= i dttytdy )()( /= Regulile de difereniere cunoscute pentru sum, produs i ct se pstreaz i pentru funciile complexe. Definiia integralei Riemann pentru funciile complexe de variabil real este analoag cu cea dat pentru funciile reale. Fie funcia complex ],[),( battf R. S considerm o diviziune d a lui ],[ ba prin punctele:

btttttatd nkk =

47

0> exist un numr 0)( > , astfel nct, oricare ar fi diviziunea d cu )()(

48

Definiia 1. Spunem c funcia complex definit n domeniul D C este derivabil n punctul Dz 0 , dac exist i este unic:

(1) 0

0 )()(lim0 zz

zfzfzz

.

Valoarea acestei limite se noteaz )( 0/ zf i se numete derivata funciei f(z) n punctul Dz 0 . O funcie derivabil ntr-un punct se numete monogen n acel punct. O funcie monogen n fiecare punct al domeniului D se numete olomorf pe domeniul D sau monogen (monos = unul, genos = a da natere) pe domeniul D. Propoziia 1. (Condiiile de monogeneitate a lui Cauchy-Riemann). Pentru ca funcia complex f(z) = u(x,y) + iv(x,y) definit n domeniul D s fie monogen n punctul Diyxz += 000 , este necesar ca funciile u i v s admit derivate pariale de ordinul nti n punctul ),( 00 yx i s satisfac relaiile:

(2) ),(),(),,(),( 00000000 yxx

vyxyuyx

yvyx

x

u

=

=

numite condiiile de monogeneitate ale lui Cauchy-Riemann. Demonstraie. Pentru 0, zzDiyxz += , putem scrie:

(3) )()()],(),([)],(),([)()(

00

0000

0

0

yyixxyxvyxviyxuyxu

zz

zfzf+

+=

y z z

0y 0z z 0 0x x

S presupunem c 0zz pe un drum paralel cu Ox: 0xx i 0yy =

Din (3) obinem: (4)

+

=

0

000

0

0000

/ ),(),(),(),(lim)(0 xx

yxvyxvi

xx

yxuyxuzf

xx.

Dar existena derivatei f'( )0z implic existena limitelor:

49

(5) ),(),(),(lim 000

000

0

yxx

u

xx

yxuyxuxx

=

i (6) ),(),(),(lim 00

0

000

0

yxx

v

xx

yxvyxvxx

=

.

Din relaiile (4), (5) i (6), obinem: (7) ),(),()( 00000/ yx

x

viyxx

uzf

+

= .

Presupunnd c 0zz , pe un drum paralel cu axa imaginar Oy, atunci

0xx = i 0yy . Din (3) obinem:

(8)

+

=

0

000

0

0000

/ ),(),(),(),(1lim)(0 yy

yxvyxvyy

yxuyxui

zfyy

care implic existena limitelor:

(9) ),(),(),(lim 000

000

0

yxyu

yyyxuyxu

yy

=

i

(10) ),(),(),(lim 000

000

0

yxyv

yyyxvyxv

yy

=

.

Din (8), (9) i (10) gsim: (11) ),(),(1)( 00000/ yxy

vyxyu

izf

+

= .

Comparnd relaiile(7) i (11) rezult necesitatea condiiilor (2) i astfel propoziia este demonstrat. Propoziia 2. Fie f(z)=u(x,y)+iv(x,y) olomorf n domeniul D (se noteaz f H(D). Dac u i v admit derivate pariale de ordinul doi continue n D atunci funciile u(x,y) i v(x,y) sunt armonice, adic: 0,0 == vu ,unde

2

2

2

2

yx

+

= , reprezint operatorul lui Laplace.

6. Determinarea unei funcii olomorfe pe un domeniu cnd se cunoate partea real sau partea imaginar. Exemplu.

S presupunem c f(z)=u(x,y)+iv(x,y) este o funcie monogen pe un domeniu D. Funciile u(x,y) i v(x,y) verific condiiile lui Cauchy-Riemann:

50

yv

x

u

=

i x

v

yu

=

.

S presupunem c se cunoate funcia u(x,y). Funcia u(x,y) fiind partea real a funciei monogene f(z) , este o funcie armonic n D. Cunoscnd funcia u(x,y), vom calcula derivatele funciei v(x,y):

yu

x

v

=

,

x

u

yv

=

i difereniala sa:

dyx

udxyudv

+

= .

n partea dreapt a egalitii avem o diferenial total exact, deoarece

=

yu

yxu

x u fiind funcie armonic , 02

2

2

2

=

+

yu

x

u. Funcia

v(x,y) se poate exprima printr-o integral curbilinie independent de drum, (1) dy

x

udxyuyxv

AM

+

=),(

),( 00 yxA fiind un punct fix, iar M(x,y) un punct arbitrar din D. Drumul de la A la M se parcurge de obicei pe dou segmente de dreapt paralele cu axele de coordonate (figura), dac acestea sunt cuprinse n domeniul D.

y

),( 0 yxC ),( yxM

D

),( 00 yxA ),( 0yxB

0 x

Calculnd integrala pe drumul ABM, se obine:

+

=

x

x

y

y

dttxx

udtytyuyxv

0 0

),(),(),( 0

iar dac se alege drumul ACM,

51

=

y

y

x

x

dtytyudttx

x

uyxv0 0

),(),(),( 0 .

Integrala (1) determin funcia v(x,y) n afara unei constante aditive, deci funcia f(z)=u(x,y)+iv(x,y) va fi determinat n afara unei constante aditive . Se observ uor c f(z) astfel determinat este monogen. ntr-adevr, deoarece sub semnul de integral este o diferenial exact, avem:

dyx

udxyudv

+

= , de unde rezult yu

x

v

=

,

x

u

yv

=

.

n mod analog se arat c, dat fiind o funcie v(x,y) armonic n D, exist o funcie f(z)=u(x,y)+iv(x,y) monogen pe D. Funcia u(x,y) este determinat n afara unei constante aditive prin integrala curbilinie independent de drum:

(2) dyx

vdxyvyxu

AM

=),(

i cu aceasta f(z) este determinat n afara unei constante aditive . Exemplu . Se d yeyzv x sin),( = . S se determine funcia monogen f(z)=u(x,y)+iv(x,y) tiind c f(0)=1. Se verific uor c v(x,y) este armonic. Din condiiile de monogeneitate obinem:

yex

v

yuye

yv

x

u xx sin,cos =

=

=

=

.

Deci: dyyedxyedu xx = sincos i dyyedxyeyxu x

AM

x= sincos),( .

Integrnd pe drumul ABM din figura de mai sus, obinem:

+==x

x

y

y

xxxoxxx yeyeyeyedyyedxyeyxu0 0

0000 coscoscoscossincos),(

i deci: Cyeyxu x += cos),( C - constant arbitrar

)cos( 00 yeC x= . Rezult c: yieCyezf xx sincos)( ++= . Din condiia f(0)=1 gsim C=0.

Obinem funcia monogen: yieyezf xx sincos)( +=

52

sau

iyxiyxx eeeyiyezf +==+= )sin(cos)(

i deci:

zezf =)( .

7. Interpretarea geometric a derivatei. Transformarea conform. Exemplu.

Fie f(z)=u+iv o funcie definit n domeniul D. Presupunem c f(z) este monogen n punctul Diyxz += 000 i 0)( 0/ zf . Vom nota w=f(z) i

)( 00 zfw = . Funcia f determin transformarea: (1) u = u(x,y) , v = v(x,y)

ntre planele (z) i (w). n planul (z) al variabilei se consider un arc de curb (C) care are o extremitate n )( 00 zM (figura).

)( (w) y (C) (z) v N(w) U M(z) T

/ /

)( 00 zM )( 00 wN 0 x /0 u

Vom nota cu )( imaginea curbei (C) prin transformarea punctual (1) ntre planele complexe (z) i (w). Deoarece 0)( 0/ zf , putem scrie:

(2) sauzf

zz

ww

zz

wwzf

zz

wwzf

zz

zzzz

=

=

=

).(argarglim

,lim)(;lim)(

0/

0

0

0

00

/

0

00

/

0

00

.

53

Transformatele punctelor 0M i M de pe curba (C) sunt respectiv punctele 0N i N de pe curba )( . Fie / i unghiurile formate de secanta MM 0 i tangenta TM 0 n

0M la curba (C) cu axa Ox. Imaginile acestora prin transformarea (1) vor fi unghiurile / i ale secantei NN 0 i ale tangentei UN 0 n 0N la curba imagine )( din planul (w) cu axa Ou. Observm c:

(3) '_______00'00 , ii eNNwweMNzz == i notnd cu s arcul de curb

_______

0 MM pe (C) i S arcul _______

0 NN de pe curba )( , obinem:

(4) )()''(0

0)'(

0

00

/

00

/

0

limlimlim)(

=

==

i

zz

i

zz

i

zze

s

Se

s

SMMs

SMN

eMMMN

zf ,

deoarece 1lim 0)( 00

=

s

NM

zzMM

i 1lim 0)( 0

0

=

S

MN

zzNN

.

Din relaiile (2) i (4) obinem: (5)

s

Szf

zz

= 0lim)( 0/

i (6) =)(arg 0/ zf . Am obinut :

Propoziia 1. O funcie monogen ntr-un punct 0z , avnd derivata diferit de zero )0)(( 0/ zf , transform elementele de arc din vecintatea punctului )( 00 zM n elemente de arc proporionale cu modulul derivatei n punctul 0z . Argumentul derivatei funciei n 0z este unghiul cu care trebuie rotit n sens direct tangenta TM 0 pentru a deveni paralel cu tangenta

UN 0 la curba )( . [Se admite c axele de coordonate din planele (z) i (w) sunt paralele]. Definiia 1. Transformarea punctual (1) ntre planele (z) i (w) se numete transformarea conform dac pstreaz unghiurile. Propoziia 2. O funcie f(z) olomorf ntr-un domeniu D avnd derivata diferit de zero n D definete o transformare conform. Demonstraie. Fie )(),( 21 CC dou curbe din planul (z) ce trec prin punctul DzzM 000 ),( i 0)( 0/ zf . Imaginile acestor curbe n planul (w) vor fi )( 1 i )( 2 .

54

Curbele imagine )( 1 , )( 2 trec prin punctul )(),( 0000 zfwwN = (figura).

y (z) v 2U (w) 2T 1T 1U )( 2C / )( 2

)( 1C )( 1 2 1 2 1

)( 00 zM )( 00 wN

0 x 0 u Fie 1 , 2 unghiurile pe care le formeaz tangentele 10TM i 20TM n punctul 0M la curbele )( 1C i )( 2C cu axa Ox i 1 , 2 unghiurile pe care le formeaz tangentele imagine 10UN , 20UN n punctul 0N la curbele )( 1 , )( 2 cu axa Ou. Unghiurile 12 = i 12/ = reprezint unghiurile sub care se taie respectiv perechile de curbe ),( 21 CC i ),( 21 . Obinem:

(7) 11220/ )(arg ==zf de unde: (8) === 1212 ,

sau = ,deci curbele )( 1C i )( 2C se taie sub acelai unghi ca i curbele imagine )( 1 i )( 2 . Cu aceasta propoziia este demonstrat. Exemplu. Considerm funcia Czzzfw == ,)( 2 . Deoarece 0)(/ zf , dac 0z , rezult c f(z) realizeaz o transformare conform n tot planul complex cu excepia originii. Observm c xyyxvyxyxu 2),(,),( 22 == , i c f este olomorf n )2)(( / zzfC = . Imaginile dreptelor x = 1 i y = 1 din planul (z) vor fi parabolele: )( 1 Ryyvyu == ,2,1 2 i ( )2 :,2,12 Rxxvxu == )( 1 v 0/ 90= )( 2 y )( 1C )2,0(0N x=1

u

090= (-1,0) '0 (1,0) y=1 )( 2C 0 )1,1(0M x (0,-2)

55

Imaginea dreptei x = 1 )( 1C este parabola )( 1 avnd ecuaia )1(42 = uv , iar imaginea dreptei y = 1 )( 2C este parabola )( 2 de ecuaie

)1(42 += uv . Aceste dou parabole sunt ortogonale i trec prin )2,0(0N din planul (w), imaginea punctului )1,1(0M din planul (z). Observm c se pstreaz unghiurile prin transformarea conform 2)( zzf = ).90( 0==

8. Integrala curbilinie n planul complex. Exemplu. Definiie. Principiul de calcul. Proprieti.

Fie _____

AB un arc de curb n planul complex (z) definit parametric prin ecuaiile:

(1) x = x(t), y = y(t), ],[ bat . Vom presupune c funciile x(t) i y(t) sunt continue mpreun cu derivatele de ordinul nti pe [a,b] : y

* nn MzB =)( D 2M * * 1M kP kM *

00 )( MzA = 0 x

S considerm o diviziune (d) a intervalului [a,b] prin punctele de diviziune

(2) btttttta nkk =

56

unde },...2,1,0{),( nktzz kk = . Norma diviziunii (d) a intervalului [a,b] este numrul )(max)( 11 = kknk ttdv . n fiecare subinterval ],[ 1 kk tt alegem un punct arbitrar k . Acestui punct i corespunde prin z = z(t), ],[ bat , pe arcul

___________

1 kk MM un punct intermediar )( kkP , corespunztor numrului complex )( kk z =

Arcului _____

AB i corespunztor diviziunii (d) a intervalului [a,b] i asociem cu ajutorul funciei f(z) numrul complex

(2) =

=

n

kkkkd zzaff

11 ))(()( .

Definiia 1. Funcia f(z), Dz este integrabil pe arcul DAB _____ , dac exist un numr complex I cu proprietatea c, pentru orice 0> , exist un numr 0)( > astfel nct, oricare ar fi diviziunea d cu )()(

57

innd seama de definiia integralei curbilinii i de faptul c funciile u(x,y) i v(x,y) sunt continue pe _____AB iar x(t), y(t) au derivate continue cu excepia unui numr finit de puncte, rezult:

{ } ==b

aABddv

dttytytxvtxtytxudyyxvdxyxuf )()](),([)()](),([),(),()(lim ///0)( ,

i

{ } +=+=b

aAB

ddvdttytytxutxtytxvdyyxudxyxvf )()](),([)()](),([),(),()(lim ////

0)(_____

.

Proprieti ale integralei curbilinii : 1. =

_____ _____

;)()(AB BA

dzzfdzzf ;

2. CdzzgdzzfdzzgzfAB AB

AB

+=+ ,,)()()]()([_____

;

3. +=_____ _____ _____

_____

,)()()(AB AC CB

ABCdzzfdzzfdzzf ;

4. LMdzzfAB

_____

)( , unde )(sup_____

zfMABz

= i L este lungimea arcului _____

AB .

Observaie. Integralele curbilinii pe contururi nchise luate n sens direct se noteaz . Exemplu. S se calculeze integrala:

=

C az

dzI

unde (C) este un cerc cu centrul n punctul a i de raz r (figura) care este parcurs n sens direct:

y

M(z) r a

(C) 0 x

58

Punnd ]2,0[, pi += ireaz , obinem: diredze

razii

==

,

11

i

===

pi pi pi

2

0

2

0

21 ididireer

I ii

9. Teorema lui Cauchy.

Pentru a defini integrala curbilinie a unei funcii f(z) pe o curb (C) am presupus c f(z) este continu pe (C) fr alte ipoteze referitoare la existena sau comportarea funciei n puncte care nu aparin curbei (C). n cele ce urmeaz vom presupune c f(z) este olomorf ntr-un domeniu D i c (C) este coninut n D. Integralele curbilinii au proprieti care depind de ordinul de conexiune al domeniului. Vom considera mai nti cazul domeniului simplu conex. Teorema lui Cauchy. Dac f(z) este olomorf ntr-un domeniu simplu conex D, atunci:

(1) =C

dzzf 0)(

oricare ar fi curba nchis C coninut n D. Demonstraie. Vom presupune n plus c )(/ zf este continu pe D (dei aceast ipotez nu este necesar, fapt dovedit de E.Goursat). Fie ),(),()(, yxivyxuzfiyxz +=+= ; avem:

(2) ++=C CC

udyvdxivdyudxdzzf )( .

S presupunem c (C) este o curb simpl i s notm cu domeniul care are frontiera ( ))( DC (figura) : y

D

(C)

0 x

59

Integralelor din membrul drept al relaiei (2) li se poate aplica formula lui Green:

dxdyyP

x

QdyyxQdxyxPC

=+ ),(),(

n ipoteza c x

Q

i yP

sunt continue pe . Continuitatea lui )(/ zf

implic continuitatea derivatelor yv

x

v

yu

x

u

,,, i aplicnd formula lui

Green obinem:

= dxdyyu

x

vvdyudx

C

(3) i

=+ dxdyyv

x

uudyvdx

C

.

Dar f(z) este olomorf n D. Deoarece D , n toate punctele domeniului sunt satisfcute condiiile de monogeneitate Cauchy-Riemann:

yv

x

u

=

i x

v

yu

=

; deci cele dou integrale din (3) sunt nule i

pe baza relaiei (2) gsim =C

dzzf 0)( i teorema este demonstrat.

Teorema lui Cauchy poate fi extins i n cazul cnd domeniul este multiplu conex. Astfel, fie f(z) o funcie olomorf n domeniul dublu conex delimitat de curbele nchise )( 1C i )( 2C conform figurii:

y

D B A

)( 2C

x

0 )( 1C

60

Efectund tietura _____

AB , obinem domeniul simplu conex }{\____

ABD = ,

avnd ca frontier curba )()()()(__________

21 BAABCC = , unde )( 1C este parcurs n sens direct iar )( 2C n sens invers. Aplicnd teorema lui Cauchy pentru domeniul simplu conex D delimitat de curba )( , obinem:

(4) =+++=+C

BAC

ABC

dzzfdzzfdzzfdzzfdzzf 0)()()()()(_____

2_____

1

.

Cum =+BAAB

dzzfdzzf 0)()( i

+

=

2 2

)()(C C

dzzfdzzf

formula (4) ne d: (5)

+

=

1 2

)()(C C

dzzfdzzf .

Prin ++ 21 ,CC , am notat faptul c )( 1C i )( 2C se parcurg n sens direct. n cazul unui domeniu multiplu conex delimitat de curbele )( 1C ,

)( 2C ,, )( nC unde )( 1C , )( 2C ,, )( nC sunt exterioare ntre ele i interioare unei curbe (C), C (figura) avem: dac f(z) este olomorf n domeniul , n mod analog, prin practicarea unor tieturi ntre C i curbele )( 1C ,

)( 2C ,, )( nC obinem formula lui Cauchy pentru domenii multiple conexe:

y

)( 1C )( 2C

)( nC )( 3c

)( kC 0 (C) x

(6) =

=

n

k CC k

dzzfdzzf1

)()(

(curbele )( 1C , )( 2C ,, )( nC sunt parcurse n sens direct).

61

10. Formula integral a lui Cauchy.

Fie f(z) o funcie olomorf ntr-un domeniu simplu conex D i C o curb simpl nchis coninut n D. Notm cu domeniul mrginit care are frontiera C (figura) )( D

y

D (C) a r *z

0 x

Teorema 1. Dac se dau valorile funciei f(z) pe curba (C), atunci funcia este complet determinat n , i anume:

(1)

=

C

dzaz

zfi

af )(21)(pi

.

Demonstraie. Fie ( ) un cerc cu centrul n punctul a i de raz r, interior lui (C) (figura). Funcia

az

zf

)( este olomorf n domeniul dublu

conex delimitat de curba (C) i cercul ( ). Conform teoremei lui Cauchy pentru domeniile dublu conexe, avem:

(2)

+

=

=

dz

az

afdzaz

afzfdzaz

zfdzaz

zfC

)()()()()(

Observm c =

piiaz

zf 2)( .

Funcia f(z) fiind monogen n punctul a, este continu n acest punct i astfel putem scrie evaluarea

(3)

62

unde dzds = reprezint elementul diferenial de curb pe arcul ( ). Cum 0> este arbitrar, fcnd 0 obinem: 0)()( =

dzazafzf

.

innd seama de relaiile (2) i de cele de mai sus, obinem formula (1) numit formula integral a lui Cauchy. Formula integral a lui Cauchy poate fi scris i pentru un domeniu multiplu conex. Astfel, n baza formulei lui Cauchy pentru domenii multiplu conexe, dac a este un punct din domeniul de olomorfie al funciei f(z), avem formula integral a lui Cauchy pentru domenii multiplu conexe:

(4) =

=

C

n

k C

dzaz

zfi

dzaz

zfi

afK

1

)(21)(

21)(

pipi .

Are loc i: Teorema 2. Fie f(z) o funcie olomorf n domeniul simplu conex D, delimitat de curba nchis (C) neted pe poriuni. Atunci funcia f(z) este indefinit derivabil n D i:

(5) +

=

Cn

n dzaz

zfi

naf 1)( )(

)(2

!)(pi

unde a este un punct oarecare situat n interiorul lui (C). Formula (5) se obine uor prin inducie, derivnd n raport cu a, sub semnul integralei egalitatea:

=

C

dzaz

zfi

af )(21)(pi

. Aceasta justific faptul c o funcie olomorf este indefinit derivabil i )()( zf k este olomorf ,....}2,1{k .

11. Serii de puteri. Teorema lui Abel. Dezvoltri n serie Taylor

Fie irul de funcii CDDzzf n ,)),(( . Spunem c irul de funcii considerat este convergent n punctul Dz 0 dac irul de numere complexe

))(( 0zf n este convergent. Definiia 1. irul de funcii Dzzf n )),(( este uniform convergent pe mulimea DA ctre funcia Azzf ),( , , dac pentru orice numr 0> exist un numr natural )(0 n astfel nct pentru )(0 nn > s avem: Azzfzf n

63

Fie seria de funcii

=1)(

n

n zf . Spunem c seria este convergent n Dz 0 ,

dac seria

=10 )(

n

n zf . este convergent. Mulimea punctelor de convergen

ale seriei le numim mulimea de convergen. Definiia 2. Seria de funcii

=1)(

n

n zf este uniform convergent pe

mulimea DA i are suma funcia AzzS ),( , dac irul sumelor pariale ))(( zSn al seriei

1)(zf n , unde:

DzzfzfzfzS nn +++= ),(...)()()( 21

converge uniform pe mulimea A ctre S(z). Are loc: Propoziia 1. Fie Dzzf

n

n

=

,)(1

, o serie de funcii i 0,0

>

=

n

n

n uu , o

serie convergent. Dac pentru orice DAz , i nn uzfNn )(, ,atunci

seria de funcii

=1)(

n

n zf , este uniform convergent pe mulimea DA .

Dac nnn zczf =)( , sau nn azc )( , obinem seriile de puteri:

=1n

n

n zc , sau

n

n

n

n cazc ,)(1

=

i Ca .

Are loc: Teorema lui Abel. Pentru orice serie de puteri

=1n

n

n zc exist un numr

R 0 numit raz de convergen, cruia i corespunde n planul complex cercul z=R numit cerc de convergen, avnd urmtoarele proprieti:

1. n interiorul cercului de convergen Rz < seria de puteri este absolut convergent; 2. n exteriorul cercului de convergen Rz > seria este divergent; 3. n orice disc interior cercului de convergen Rrz

64

nnc

n

R lim___

,

1

==

(1) sau

n

n

c

c

n

R 1lim___

,

1 +

==

.

Dezvoltri n serie Taylor. Fie f(z) o funcie olomorf ntr-un domeniu D i a un punct interior lui D. Considerm un cerc (C) cu centrul n punctul a i de raz r situat n domeniul de olomorfie (figura)

y

D r u z a

C x

0 Vom nota cu z un punct interior cercului (C) i , i cu u un punct oarecare de pe (C), rau = . Conform formulei lui Cauchy putem scrie: (2)

=

C

duzu

ufi

zf )(21)(pi

.Observm c :

(3)

+

++

+

=

=

+

auaz

nn

auaz au

az

au

az

au

az

auauzu 11

...111

111 1

nlocuind relaia (3) n (2), vom obine: (4) +

++

+

=+

C Cn

Cn

n

Rduau

ufiazdu

au

ufiazdu

au

ufi

zf 12 )()(

2)(

...)()(

2)(

21)(

pipipi

unde

(5)

=+

+

Cn

n

nazauau

duufi

azR )]()[()()(

2)(

1

1

pi .

65

innd seama de expresia derivatelor unei funcii olomorfe,

+

=

Cn

n

au

duufi

naf 1)( )(

)(2

!)(pi

egalitatea (4) devine:

(6) nnn

Razn

afaz

afafzf ++++= )(

!)(

...)(!1

)()()()(/

.

Notnd )(sup zfMCz

= , obinem pentru termenul complementar nR :

+

+

+

C

n

Cn

n

n udrr

Mrau

udufazR

pipi1

2)(

2

1

1

1

adic 1+

n

nrr

MrR

. Cum 1

= pa

parezf p .

nlocuind pe )(z cu expresia sa, obinem urmtoarele formule de calcul a reziduului: 1) dac z = a este un pol multiplu de ordinul p al funciei f(z) atunci: (3) )1()]()[()!1(

1)( =

=p

azp zfaz

parezf ;

2) dac z = a este un pol simplu,

(4) azzfazarezf == )]()[()( .

Dac )()()(

zhzg

zf = i dac f(z) are pe a un pol simplu atunci h(a) = 0. n acest caz:

(5) )()()( / ah

agarezf = .

Teorema reziduurilor. Exemplu.

Fie f(z) o funcie olomorf ntr-un domeniu D i C o curb nchis, simpl coninut n D. S notm cu domeniul mrginit care are frontiera C.

70

Dac D , adic dac n nu exist singulariti ale funciei f(z), n virtutea teoremei lui Cauchy =

C

dzzf 0)( .

S presupunem acum c n se afl un numr finit de singulariti ale funciei f(z), poli sau puncte singulare eseniale naaa ,...,, 21 (figura).

y

D

)( k ka

( n ) ( 2 ) C na 1a ( 1 ) 2a

O x

Aceste singulariti sunt evident izolate. Pentru fiecare punct ka vom considera un cerc k cu centrul n ka i cu raza k suficient de mic, astfel ca n interiorul lui s nu mai existe o alt singularitate a funciei f( z ) diferit de ka . Dac n ,...,, 21 sunt suficient de mici, cercurile n ,...,, 21 nu au puncte comune i sunt coninute n . Aplicnd teorema lui Cauchy pentru domenii multiplu conexe,

+++=1 2

)(...)()()(n

dzzfdzzfdzzfdzzfC

.

innd seama c },...,2,1{),(2)( nkafirezdzzf kk

=

pi , obinem o teorem

important prin aplicaiile sale:

Teorema reziduurilor (Cauchy). Dac n interiorul domeniului mrginit de curba C funcia )(zf are un numr finit de singulariti,

naaa ,...,, 21 , poli sau puncte singulare eseniale, atunci:

(6) )(2)(1

kC

n

kafrezidzzf

=

= pi .

71

Observm c n fond teorema reziduurilor este o traducere convenabil a teoremei lui Cauchy pentru domenii multiplu conexe folosind noiunea de reziduu. Utilitatea sa const n faptul c pentru calculul reziduurilor avem mijloace relativ simple. Exemplu. S se calculeze integrala: dz

zI

C

z ++

=

1sin1 pi

unde C este elipsa 194

22

=+yx

.

n interiorul domeniului mrginit de (C) sunt dou singulariti ale funciei

zzf z

+

+=

1sin1)(

pi

, i anume 1=z pol simplu i 0=z punct singular

esenial izolat. Folosind teorema reziduurilor avem: )]0()1([2 rezfrezfiI += pi . Observm c: 1)sin1()]()1[()1( 11 =+=+= == zzzzfzrezf pi . Pentru a calcula reziduul relativ la punctul singular esenial 0=z , vom dezvolta pe f(z) n serie Laurent n jurul acestui punct: ( )...1...)1()sin1(

11)( 33!31!1132 ++++=++= zzz zzzzzf

pipipi

valabil pentru 10

72

Notnd cu (C) o curb nchis ce conine originea i parcurs n sens indirect, obinem innd seama de noiunea de reziduu (8) dzzf

izfrez

Cz == )(2

1)]([pi

.

Din (6) i (8) deducem uor egalitatea: (9) 0)]([)(

1=+

=

=

kzk zfrezarezf .

14. Aplicaii ale teoremei reziduurilor. Teorema semireziduurilor. Exemple.

n cele ce urmeaz vom da cteva clase de integrale ce pot fi calculate folosind teorema reziduurilor. n cazul cnd integrala care trebuie calculat nu este o integral pe o curb nchis, arcul de curb pe care se integreaz trebuie completat printr-un alt arc de curb convenabil ales. De obicei aceast completare se face prin arce de cerc sau drepte. Integralele care apar se calculeaz folosind urmtoarea

Lem (Jordan)

1. Dac 0)()(lim =

zfazaz

i (C) este un arc de cerc de pe cercul Raz = , astfel nct )arg( az , atunci

0)(lim0

=

dzzfCR

.

2. Dac ( ) 0)(lim =

zfazR

atunci

0)(lim = CR

dzzf .

I. Calculul integralelor de forma:

dxxQxP

+

)()(

unde )()(

xQxP

este ireductibil.

Pentru ca integrala s existe i s fie convergent vom presupune c polinomul )(xQ are numai rdcini complexe i c gradul polinomului )(xQ este mai mare dect gradul lui )(xP cu cel puin dou uniti. Considerm

73

funcia complex )()()(

zQzP

zf = unde rdcinile nzzz ,...,, ,21 ale polinomului

)(xQ situate n planul complex deasupra axei reale, vor fi poli pentru funcia f(z). Ducem un semicerc )( de raz R i cu centrul n origine, situat deasupra axei reale (figura) care cuprinde toi polii funciei )(zf :

y

)( 2z

nz* R 2* z

1* z

x

-R 0 R

Notm cu ],[)()( RRC = parcurs n sens direct. Aplicnd teorema reziduurilor obinem:

(1) =

=

+

=+n

kzz

R

RK

zrezfidxxQxPdz

zQzP

1)(2)(

)()()(

pi

Deoarece 0)(lim =

zfzz

avem

= 0)()(lim dzzQ

zPR

. Cu acestea, trecnd la

limit cnd R n (1) obinem: (2)

=

==

n

kzz k

zrezfidxxQxP

1)(2)(

)(pi ,

unde membrul drept reprezint suma reziduurilor funciei P(z)/Q(z) relativ la polii situai deasupra axei reale.

II. Calculul integralelor de forma: pi

2

0

)cos,(sin dR unde R este

raional. Dac se face schimbarea de variabil iez = , cnd parcurge intervalul ]2,0[ pi , z descrie cercul 1=z o dat i numai o dat, n sens direct.

74

Folosim formulele lui Euler:

+=

=

zz

zz

i1

21

cos,1

21

sin .

Din relaia diedz i= rezult dziz

d 1= .Integrala devine: dzzRIz=

=

11 )(

dup care aplicm teorema reziduurilor pentru calculul integralei pe 1=z .

Exemplu. S se calculeze: +=pi

0 sin45dI .

Cu substituia iez = , integrala devine:

==+

=

+=

12

112 252

;)(51

zz zi izzdzI

izdz

zI ,

Funcia de sub semnul integral are polii simplii iziz 2,2 21

== , dintre care

numai primul este interiorul cercului 1=z . Reziduul relativ la acest punct

este:i

zrezfiz 3

1)(31 =

=

, i deci 3

2pi=I .

Teorema semireziduurilor .Exemplu. Fie (C) o curb nchis neted pe poriuni ce cuprinde n interior un numr finit de puncte singulare izolate nzzz ,...,, 21 ale funciei f(z) :

y

D * nz

* 2z Q B A 0z )( * 1z P (C) 0 x

Dac pe curba (C) se afl punctul 0z , pol al funciei f(z) i n 0z curba (C) are tangent unic, atunci: (3) =

=

+=C

zzk

n

kzfrezizfrezidzzf

0)]([)(2)(

1pipi

75

Demonstraie. Fie )( un cerc cu centrul n punctul 0z i de raz R. Conform teoremei reziduurilor putem scrie relaiile:

(4) =

==+

____ ______

\1

)(2)()(QPC PAQ

n

kzzk kzrezfidzzfdzzf pi

0____ ______ 1

\1

)(2)(2)()( zzn

kk

QPC PBQ

n

kzzk zrezfizrezfidzzfdzzf k =

==

= +=+ pipi

...)(...)()( 00100

1 +++++

=

n

n zzczzcczz

czf

Observm c:

(5) 0)()(lim0

=

+

PBQPAQRdzzfdzzf (

==

PBQPAQRcdzzfcdzzf pipi 11

0)(,)(lim ) .

Pentru 0R integralele din seria Taylorian sunt nule. Adunnd relaiile (4) i trecnd la limit ( 0R ), n baza relaiei (5) obinem formula (3). Observaie. n general, teorema semireziduurilor, poate fi scris sub forma: =

=

=

=

+=C

az

m

jzz

p

kjK

zrezfizfrezidzzf11

)()(2)( pipi

unde _____

,1, pkzk = i _____

,1, mjj = reprezint respectiv punctele singulare din interiorul lui (C) i de pe curba (C) ale funciei f(z). Exemplu. S se calculeze integrala:

=

=

1 )1(z zzdzI

Funcia are polii simplii z = 0 i z = 1 Cercul )( de ecuaie 1=z trece prin polul z = 1. y

0 1 x

Aplicnd teorema semireziduurilor, obinem: 10 )()(2 == += zz zrezfizrezfiI pipi

76

Avem: 1)()( lim0

0 ==

=zzfzrezf

zz i 1)]()1[()( lim

11 ==

=

zfzzrezfz

z .

Deci: .iI pi=

15. Funcii elementare.

a) Funcia radical: zzf =)( . Fie 2

iez = ; obinem pentru f(z) dou valori: (1) 22 )(,)( 21

ii ezfezf == . Deci funcia radical este o funcie multiform. Funciile 1f i 2f se numesc ramurile funciei f(z). Fie )( 00 zM i )(zM dou puncte din planul complex (w) (figura) avnd respectiv argumentele 0 i .

Dac punctul z descrie arcul ________

0 MM fr s nconjoare originea, atunci argumentul lui variaz de la 0 la , iar valorile funciilor i n punctul M(z) vor fi:

22

21 ,)(

ii

efezf == .

y M(z)

D

)( 00 zM 0 0 x

77

Dac punctul z descrie un arc ce unete pe 0M cu M nconjurnd originea, atunci argumentul lui variaz de la 0 la pi 20 + . Valorile funciilor 1f i 2f n punctul M(z) vor fi:

(2)

===

===

+

+

)()(

)()(

122/)2(*

2

222/)2(*

1

zfeezf

zfeezfii

ii

pi

pi

Deci valorile funciilor 1f i 2f se schimb cnd punctul z descrie un arc ce nconjoar originea. Din acest motiv punctul z = 0 se numete punct de ramificaie sau punct critic al funciei multiforme zzf =)( . Dac n planul complex efectum o tietur dup o semidreapt ce pleac din origine, atunci argumentul punctului poate lua valori numai ntre 0 i pi2 , deoarece z nu mai poate descrie arcul care s nconjoare originea. Prin tietura fcut funciile multiforme )(1 zf i )(2 zf devin funcii uniforme. Funcia n zzf =)( . este o funcie multiform, avnd n ramuri:

nkink ezf /)2(1 )( pi ++ = { }1,...,2,1,0 nk .

Punctul z = 0 este punctul de ramificaie sau punct critic al funciei f(z). Prin efectuarea unei tieturi n planul complex printr-o semidreapt ce pleac din origine funciile )(1 zf k + devin uniforme. b) Funcia exponenial i funcia logaritmic. Definim funcia exponenial ze prin:

(3) )sin(cos1lim yiyen

ze

x

n

n

z +=

+=

Aceasta este o funcie olomorf n tot planul C. Funcia ze ia orice valoare din planul complex n afar de 0. Fie

0, = iew . S determinm pe z astfel nct: iz ewe .== . Scriind z = x + iy, obinem iiyx eee == ., , de unde: (4) ln=x i Zkky += ,2 pi . Soluia general a ecuaiei we z = se numete logaritmul lui w, se noteaz Ln w i are expresia: (5) Ln )2(ln pi kiw ++= sau

(6) Ln )2(argln pikwiww ++=

78

unde arg w este argumentul principal al lui w. Pentru k = 0, obinem wiwLnw argln +=

care se numete valoarea principal a lui Ln w i se noteaz ln w. Deci: (7) ln wiww argln += .

Considernd pe w variabil punnd n (6) n locul lui w pe z, obinem funcia logaritmic: (8) Ln )2(argln pikzizz ++= iar pentru k = 0 valoarea principal (9) ln zizz argln += . Funcia logaritmic este o funcie multiform avnd o infinitate de ramuri. Aceste ramuri devin funcii uniforme dac efectum o tietur dup o semidreapt ce pleac din origine. c) Funcia zzf =)( . Dac 0z , atunci: (10) kizLnz eeez pi == 2ln n raport cu . distingem trei cazuri: 1. Z , deducem 12 = kie pi i din (10) zez ln = este o funcie uniform n tot planul complex. 2. Q , qp= p,q ntregi, prime ntre ele, 0q . Obinem funcia multiform q pzz = care are q ramuri i z = 0 punct de ramificaie. 3. C , funcia zzf =)( este o funcie multiform cu o infinitate de ramuri. d) Funcii circulare i inversele lor. Funcii hiperbolice. Funciile circulare sin z, cos z prin definiie sunt date de relaiile:

(11) 2

cos,2

siniziziziz ee

ziee

z +

=

= .

Deoarece ize are perioada pi2 , sin z i cos z au perioada pi2 . Dezvoltarea n serie de puteri este:

(12)

+++=

+

++=

...)!2()1(...!21cos

...)!12()1(...!3sin

22

121

3

n

zzz

sin

zzzz

nn

nn

Funcia tg z se definete astfel:

(13) 111

cos

sin2

2

+

== iz

iz

e

e

izz

tgz

79

i are perioada pi . Funcia w = f(z), definit de (14) cosw=z se numete arccos i se noteaz:w =Arccos z. Din (11) i (14) obinem:

21 zize iw = i deci: (15) )1(1cos 2zizLn

izArc =

Funcia (16) )1ln(1arccos 2ziz

iz =

se numete determinarea principal a funciei multiforme Arccos z. Funcia (15) are o infinitate de ramuri i dou puncte critice 1=z . Aceste ramuri devin funcii uniforme, dac efectum n planul complex dou tieturi de forma:

y

-1 0 1 x

Funcia w = Arcsin z este definit de ecuaia sin w = z. Obinem:

(17) )1(1sin 2zizLni

zArc =

Funcia (18) )1ln(1sin 2ziz

izArc =

se numete determinarea principal a lui Arcsin z. Putem scrie:

(19)

+

+=

zkzk

zArcarcsin)12(

arcsin2sin

pi

pi

80

Funcia w = Arctg z se definete prin ecuaia tg w = z, de unde iz

zizi

e iw +

= ,2

deci

+

=

zizi

iArctgz ln

21

care este o funcie multiform

avnd o infinitate de ramuri i ca puncte critice pe i .

Determinarea principal a lui Arctg z este :

(20)

+

=

zizi

iarctgz ln

21

.

Funciile hiperbolice shz i chz se definesc prin formulele:

(21) shz ,2

zz ee = chz

2

zz ee += .

De aici observm c: cos iz=ch z, sin iz=i sh z,ch 2 z-sh 2 z=1 . Aceste funcii hiperbolice ca i ze sunt funcii periodice de perioad pi2 i.

16. Probleme propuse.

1. S se studieze seriile urmtoare:

a)

=1 )2(n nin ; b)

=1 2cos

nn

in ; c)

=13

2

n

in

n

e.

2. S se calculeze:

+1

0 123 dtitit

.

3. S se determine funcia olomorf ),(),()( yxivyxuzf += cnd:

a) );ln2)((:;0)1(),ln(),( 22 zzfRfyxyxu ==+=

81

b) ))((:;14

,

22cos2),( tgzzfRf

ychxyshyxv ==

+=

pi ;

c) 21)1(,0)0(),(),( /22 ==++= ffyxxyxu ; derivabil

).)((: zzfR =

4. S se studieze transformarea conform:

2

11

+=

z

zw i s se afle imaginea cercului 1=z din planul (z).

5. S se dezvolte n serie Laurent funcia:

2332)( 2 +

+=

zz

zzf n domeniile: a) 1

82

c) .3:,)4)(1( 2 =+ zundeCzzzdz

C

.

8. S se calculeze integralele:

a)

+

dxx

x

162

;

b) Rbabxdxe ax >

,0,cos0

2

(integrala lui Poisson);

c)

+

= dxxx

xxI136

sin21 i

+

= dxxx

xxI136

cos22 ;

d) +pi

2

02)cos45(

d ;

e) >+pi

2

02 ,1,cos21

cosnad

aa

n *N .

9. S se calculeze :

a) iiz = ;

b) =z sh )1( i .

10. S se rezolve ecuaiile:

a) 2sin =z ;

b) 531 i

tgz = ;

c) 1= shzchz .