Cap.1. Introducere în Rezistenţa Materialelor

1. Generalităţi

Rezistenţa materialelor este disciplina inginerească ce studiază comportarea materialelor concretizată în elemente de construcţii supuse la diferite solicitări, astfel încât să se obţină o siguranţă maximă în exploatare la un preţ de cost cât mai redus.

Rezistenţa materialelor se ocupă cu rezolvarea următoarelor tipuri de probleme: 1. Determinarea eforturilor interioare şi a deformaţiilor ce iau naştere într-un material sub acţiunea sarcinilor

exterioare cunoscute; 2. Verificarea pieselor unei construcţii existente, comparând valorile maxime ale tensiunilor şi deformaţiilor

cu anumite limite admisibile; 3. Dimensionarea pieselor unei construcţii noi, adică alegerea materialului şi calculul dimensional astfel

încât să fie asigurată funcţionarea ireproşabilă a acstora luând în calcul aspectul economic al consumului de materiale şi manoperă. O dimensionare completă şi precisă presupune calculul dimensiunilor respectând următoarele condiţii:

condiţia de rezistenţă; condiţia de rigiditate (de deformaţii); condiţia de stabilitate.

Rezistenţa materialelor s-a desprins din Mecanică aceasta fiind la rândul său o ramură a fizicii. Rezistenţa materialelor se bazează pe cunoştinţe de matematică, fizică, chimie, tehnologia materialelor, etc.

Rezistenţa materialelor se înrudeşte cu o serie de discipline înglobate într-o disciplină largă, numită Mecanica aplicată sau Mecanica tehnică. Aceste discipline sunt: Teoria elasticităţii, Teoria plasticităţii, Teoria vibraţiilor mecanice, Teoria stabilităţii elastice, Statica şi Dinamica construcţiilor, Încercările mecanice ale materialelor. Pe baza rezistenţei materialelor se studiază: Organele de maşini, Teoria mecanismelor. Pentru rezolvarea celor trei tipuri de probleme, Rezistenţa materialelor utilizează aparatul matematic şi deducţia logică asociate cu studii experimentale. Trebuie specificat că principalele legi ale Rezistenţei materialelor sunt legi stabilite pa cale experimentală (chiar Legea fundamentală a Rezistenţei materialelor, Legea lui Hooke, este experimentală). De asemenea, în calculele de rezistenţa materialelor intervin anumite caracteristici cantitative ale materialelor care sunt evaluate doar pe cale experimentală.

2. Noţiuni de Rezistenţa materialelor

2.1.Clasificarea materialelor După natura deformaţiilor căpătate:

elastice - corpurile se deformează sub acţiunea forţelor aplicate, dar revin la forma şi dimensiunile iniţiale după îndepărtarea acestora;

plastice - corpurile se deformează sub acţiunea forţelor aplicate, dar nu mai revin la forma şi dimensiunile iniţiale după îndepărtarea acestora;

elastoplastice - corpurile se deformează sub acţiunea forţelor aplicate, dar revin parţial (mai mult sau mai puţin) la forma şi dimensiunile iniţiale după îndepărtarea acestora; Observaţie: Între anumite limite, toate materialele prezintă o comportare elastică încât calculul de

rezistenţă se va face în ipoteza că toate materialele sunt elastice în anumite limite precizate.

După mărimea deformaţiilor căpătate înainte de rupere: fragile sau casante - prezintă deformaţii foarte mici, neglijabile, înainte de rupere (fonta, sticla,

etc.); tenace sau ductile - prezintă deformaţii apreciabile înainte de rupere (cuprul, plumbul, aluminiul,

etc.);

După proprietăţile manifestate pe diverse direcţii în spaţiu, plecând din acelaşi punct:

1

izotrope - prezintă aceleaşi proprietăţi de-a lungul tuturor direcţiilor care pleacă dintr-un punct determinat (metalele turnate, etc.);

anizotrope - prezintă proprietăţi diferite de-a lungul diferitelor direcţii care pleacă dintr-un punct determinat (lemnul, etc.).

După proprietăţile manifestate în diverse regiuni ale spaţiului:

omogene: prezintă aceleaşi proprietăţi în tot volumul ocupat (aluminiul pur, etc.); neomogene: prezintă proprietăţi diferite în diferite zone ale volumului ocupat (beton armat)

2.2.Clasificarea corpurilor

Bare- corpuri sau elemente de construcţii la care una dintre dimensiuni (lungimea) este mult mai mare decât celelalte două ca ordin de mărime.

Ele pot fi: după mărimea axei longitudinale:

bare scurte; bare lungi;

după forma axei longitudinale:

bare drepte; bare curbe:

bare în plan; bare în spaţiu;

după mărimea secţiunii:

bare subţiri (fire); bare groase;

după forma secţiunii: bare cu secţiune regulată;

bare cu secţiune constantă; bare cu secţiune variabilă;

bare cu secţiune neregulată; bare cu secţiune constantă; bare cu secţiune variabilă;

Observaţie: Firele sunt bare cu secţiune neglijabilă, flexibile şi lucrează doar la întindere.

Plăci - corpuri sau elemente de construcţii la care două dintre dimensiuni (lungimea şi lăţimea) sunt apropiate ca ordin de mărime şi mult mai mare decât cea de-a treia (grosimea).

Ele pot fi: după mărimea suprafeţei mediane:

plăci mici; plăci mari;

după forma suprafeţei mediane:

plăci plane; plăci curbe;

plăci cu curbură simplă; plăci cu curbură dublă;

după mărimea grosimii suprafeţei mediane:

plăci subţiri (membrane); plăci groase;

după forma grosimii suprafeţei mediane:

plăci cu grosime constantă; plăci cu grosime regulată; plăci cu grosime neregulată;

plăci cu grosime variabilă;

2

plăci cu grosime regulată; plăci cu grosime neregulată;

Observaţie: Membranele sunt plăci cu grosime neglijabilă, flexibile şi pot prelua numai forţe situate în

planul propriu.

Blocuri - corpuri sau elemente de construcţii la care cele trei dimensiuni sunt apropiate ca ordin de mărime.

2.3. Clasificarea forţelor:

♦ După poziţia în spaţiu a punctului de aplicaţie: ♦ forţe de suprafaţă - acţionează pe anumite părţi ale suprafeţei exterioare a corpului; ♦ forţe de volum - acţionează în toate punctele corpului exterior;

♦ După locul punctului de aplicaţie: ♦ forţe exterioare:

♦ forţe direct aplicate (sarcini); ♦ forţe de legătură (reacţiuni);

♦ forţe interioare;

♦ După domeniul de acţiune: ♦ forţe concentrate - acţionează pe un domeniu atât de mic încât poate fi considerat un punct; ♦ forţe distribuite - acţionează pe un domeniu finit;

♦ forţe uniform distribuite- intensitatea sarcinii distribuite p este constantă; ♦ forţe liniar distribuite - intensitatea sarcinii distribuite p variază de la 0 la o valoare maximă

pmax ♦ dstribuite după o lege oarecare p(x);

♦ După modul în care variază în timp intensitatea lor:

♦ forţe statice - sunt constante în timp ca intensitate, sau pleacă de la 0 (zero) şi cresc până la o valoare finală după care rămân constante;

♦ forţe dinamice - intensitatea lor variază în timp: ♦ forţe de şoc - se aplică brusc astfel încât intensitatea lor variază foarte mult în timp foarte

scurt; ♦ forţe variabile - la care intensitatea variază continuu în timp după o lege periodică;

3.Forţe interioare sau eforturi secţionale

Forţele interioare se pun în evidenţă prin metoda secţiunilor. Fie un corp supus acţiunii sistemului forţelor exterioare:F1 , F2 ,F3 ,F4 ,F5

Se practică prin acest corp o secţiune S ce împarte corpul în două părţi: partea I şi partea a II-a. Cele două părţi separate nu se mai găsesc în echilibru.

Bucata I astfel separată nu mai este în echilibru. Pentru a se păstra totusi echilibrul, trebuie ca în secţiunea S să se introducă nişte elemente mecanice echivalente cu efectul pe care bucata a II a îl avea asupra bucăţii I înainte de separare. Convenim să aplicăm aceste elemente în centrul de greutate al secţiunii S. Pentru bucata a II-a situaţia este similară. În acest caz, R şi M se numesc eforturi în secţiunea S. Aceste eforturi reprezintă efectul rezultant al tuturor forţelor care acţionează între perechile de puncte corespunzătoare celor două feţe ale secţiunii S. Dacă se ia în studiu una din părţi (de exemplu, partea a II-a), ce se raportează la un sistem de axe ortogonale Oxyz, se constată că forţa R şi momentul M pot fi descompuse după cele trei direcţii, deoarece ele au direcţii oarecare în spaţiu.

Se observă că în cazul cel mai general, în secţiunea unei bare, a unui corp, lucrează 6 mărimi mecanice, numite forţe interioare sau eforturi secţionale:

3

N - forţa axială; T (TY ,TZ) - forţa tăietoare (de forfecare); Mi(MiY ,MiZ) - momentul încovoietor; Mt - momentul de torsiune. Dacă în secţiune lucrează numai una din aceste mărimi

mecanice avem de-a face cu o solicitare simplă, iar dacă în secţiune lucrează două sau mai multe mărimi mecanice diferite avem de-a face cu o solicitare compusă. Solicitările simple sunt:

♦ solicitările axiale: ♦ întinderea (în secţiune există doar +N); ♦ compresiunea (în secţiune există doar -N);

♦ forfecarea sau tăierea (în secţiune există doar T) ♦ torsiunea sau răsucirea (în secţiune există doar Mt ) ♦ încovoierea (în secţiune există doar MI)

Convenţii de semne: • Forţele axiale se consideră pozitive dacă sunt de întindere şi negative dacă sunt de compresiune; • Forţele tăietoare se consideră pozitive dacă produc rotirea secţiunii în sens orar şi negative dacă produc

rotirea secţiunii în sens invers; • Momentul încovoietor este pozitiv dacă deformează bara astfel încât să devină convexă şi negativ dacă

deformează bara astfel încât să devină concavă; • Momentul de torsiune este pozitiv dacă este un moment motor şi negativ dacă este un moment rezistent.

4.Reazeme şi reacţiuni În raport cu corpurile înconjurătoare, elementele de construcţie pot avea mai multe tipuri de rezemări

(sau legături): reazemul simplu (articulaţia mobilă); reazemul dublu (articulaţia); reazemul triplu (încastrarea); legătura prin fire.

Se ştie că un corp liber în spaţiu posedă 6 grade de libertate (6 posibilităţi de mişcare): 3 translaţii de-a

lungul sistemului triortogonal Oxyz şi 3 rotaţii în jurul celor trei axe. Dacă o legătură împiedică unui corp o translaţie, atunci ea intervine cu o forţă de legătură (o reacţiune) având direcţia mişcării sustrase (împiedicate) şi sensul - invers acesteia. Dacă o legătură împiedică unui corp o rotaţie în jurul unei axe, atunci ea intervine cu un cuplu de forţe (moment concentrat) având direcţia mişcării sustrase (împiedicate) şi sensul - invers acesteia.

4

1.Reazemul simplu (articulaţia mobilă)

Este reazemul care împiedică o mişcare de translaţie corpului rezemat. Ca urmare, reazemul simplu introduce ca necunoscută o forţă de legătură (o reacţiune) având direcţia normalei la suprafaţa de contact în acel punct. In plan rezultă că celelalte două posibilităţi de mişcare (cealaltă posibilitate de translaţie şi posibilitatea de rotaţie în jurul punctului de sprijin) există.

2.Reazemul dublu (articulaţia fixă) Este reazemul care îi permite corpului să aibă în permanenţă un punct fix. Poate fi de două feluri:

articulaţia spaţială (sferică) - apare în cazul unor solicitări în spaţiu al corpului şi care asigură trei posibilităţi de rotire în jurul celor trei axe ale sistemului triortogonal Oxyz, şi împiedicând cele trei translaţii. Ea introduce ca necunoscută o forţă de reacţiune cu direcţie oarecare în spaţiu, practic introducând trei necunoscute şi anume cele trei componente pe axe ale acetei forţe.

articulaţia plană (cilindrică) - intervine când bara este solicitată de un sistem de sarcini în plan. Ea introduce ca necunoscută o forţă de reacţiune în plan, deci practic intervine cu două necunoscute: componentele pe cele două axe ale forţei. Articulaţia plană împiedică cele două translaţii şi permite doar rotirea în jurul celei de-a treia axe.

3.Reazemul triplu (încastrarea)

Este reazemul care se obţine prin pătrunderea unui corp cu o porţiune a sa într-un alt corp fix. Dacă asupra unui corp acţionează un sistem de forţe şi momente spaţiale, încastrarea împiedică toate cele 6

posibilităţi de mişcare. Practic, încastrarea introduce ca necunoscute cele 3 componente pe axe ale forţei de reacţiune şi cele 3 componente ale momentului concentrat din încastrare. Dacă asupra unui corp acţionează un sistem de forţe şi momente în plan, încastrarea împiedică toate cele 3 posibilităţi de mişcare din plan (două translaţii în plan şi o rotaţie în jurul axei perpendiculare pe plan). Practic, încastrarea plană introduce ca necunoscute cele 2 componente pe axe ale forţei de reacţiune şi momentul concentrat din încastrare.

4.Legătura prin fire Este tipul de reazem prin intermediul căruia un corp este legat prin mai multe fire care sunt solicitate

la întindere. Acest reazeme introduc ca necunoscute tensiunile din fire, care sunt forţele ce au direcţia firelor întinse, sensul orientat către interiorul firului, iar punctul de aplicaţie este punctul de legătură dintre fir şi corp.

5.Tensiuni şi deformaţii

5.1.Tensiuni Se consideră un corp în echilibru sub acţiunea unui sistem de forţe exterioare şi una din cele două bucăţi obţinute prin secţionarea corpului cu o secţiune oarecare, S. În toate punctele elementului de arie ∆A acţionează forţe interioare care determină o rezultantă ∆F, numită efort elementar şi care are mărime, direcţie şi sens oarecare. Acest efort elementar se poate descompune în două elemente, ∆N şi ∆T, conform figurii. Toate componentele ∆N însumate pe întreaga secţiune S vor determina o rezultantă axială, numită forţa axială N, iar toate componentele ∆T însumate pe întraga secţiune S vor determina o rezultantă pe direcţia normală pe direcţia axială, numită forţa tăietoare sau forţa de forfecare T din acea secţiune.

5

Se consideră că ∆A se micşorează treptat, restrângându-se în jurul centrului său de masă, la limită tinzând spre acest punct. Ca urmare, rezultanta ∆F se modifică şi, la limită, va tinde către forţa interioară din punctul ce marchează centrul elementului de arie. Tensiunea medie reprezintă raportul dintre rezultanta DF şi elementul de arie D A.

Tensiunea efectivă într-un punct reprezintă limita raportului dintre rezultanta ∆F şi elementul de arie ∆ A, când ∆A tinde la 0. A

Fpm ∆∆

=

lim F dFp

A 0 A dA∆

= =∆ → ∆

Componenta lui p dirijată după normala la secţiunea barei se numeşte tensiune normală şi se

notează cu s. Componenta lui p dirijată după direcţia tangentei la secţiunea barei se numeşte tensiune tangenţială

şi se notează cu t. Tensiunea p şi cele două componente ale sale, σ si τ sunt elemente mecanice de ordin superior vectorilor, numite tensori, între ele existând următoarele relaţii de legătură:

2 2 2

2S.I.

p

pF, , pL

σ+ τ =

σ + τ =

⎡ ⎤σ τ =⎣ ⎦

5.2.Deplasări şi deformaţii

Sub acţiunea sarcinilor (forţe şi momente) exterioare, corpurile se deplasează şi, ca urmare, particulele lor componente capătă deplasări. Deformaţiile pot fi:

1. elastice (reversibile) - acele deformaţii care dispar complet după îndepărtarea sarcinilor exterioare;

2. plastice (ireversibile) - acele deformaţii care nu dispar după îndepărtarea sarcinilor exterioare; 3. elasto-plastice (reale) - acele deformaţii care dispar doar parţial după îndepărtarea sarcinilor

exterioare; În Rezistenţa materialelor se consideră că între anumite limite deformaţiile corpurilor sunt perfect

elastice. Se consideră un corp oarecare şi 3 puncte ale

sale situate la distanţe foarte mici, dar finite. Cele 3 puncte definesc segmentele de dreaptă AB şi AC şi unghiul din A.

)AB,AC(ABl ∠=α=Se notează

Se introduc următoarele definiţii:

1. Deformaţia liniară totală sau absolută este diferenţa dintre lungimea finală şi lungimea iniţială a unui segment de dreaptă.

[ ] mllll I.S01 =∆−=∆

2. Deformaţia liniară specifică sau relativă este raportul dintre deformaţia liniară totală şi lungimea iniţială a segmentului de dreaptă.

Deformaţia liniară specifică este o mărime adimensională.

Când 0

01

0 lll

ll −=

∆=ε

0lsi0ll)b0lsi0ll)a

01

01

<∆<ε⇒<>∆>ε⇒>

6

In cazul a) deformaţiile se numesc: alungire specifică, respectiv, alungire totală, iar în cazul b) deformaţiile se numesc: scurtare specifică, respectiv, scurtare totală. 3. Deformaţia unghiulară totală (lunecarea totală) este diferenţa dintre mărimea finală şi mărimea iniţială

. unecarea specifică) este valoarea cu care se modifică mărimea

6.Legătura între tensiuni şi deformaţii

6.1.Curba caracteristică a materialelor

Legătura între tensiuni şi deformaţiile specifice se numeşte legea fundamentală a Rezistenţei Materia

zintă două capete d

artea centrală a epruvetei, având diametru d0 se numeşte porţiune calibrată

a unui unghi.

4 Deformaţia unghiulară specifică (lunghiului drept. Deformaţia unghiulară specifică este o mărime adimensională.

lelor şi se determină exponenţial cu ajutorul unor probe confecţionate din materialul care ne interesează, probe denumite epruvete.Forma şi dimensiunile epruvetelor depind de tipul încercării.

În cazul încercării la întindere epruveta are forma de bară cu secţiune circulară şi pree secţiune mai mari, necesare pentru prinderea epruvetei în dispozitivul maşinii de încercat (Fig1.).

P şi ea se calibrează la

ambele capete.Pe porţiunea calibrată se trasează două repere la o distanţă l0 numită lungime iniţială. Pentru deducerea legii fundamentale, epruveta se fixează la o maşină de întindere care aplică la capete

forţe eg

Secţiunea S0 a porţiunii calibrate se calculează cu relaţia:

ale cu valori care cresc de la 0, treptat, la valori din ce în ce mai mari. 2dπ 0

0S4

=

Forţa F se repartizează uniform în punctele secţiunii transversale.

În orice moment se poate calcula tensiunea normală σ cu formula:0

FS

σ = .

De asemenea se poate calcula deformarea specifică: 0

0 0

l lll l

−∆ε = = .

Cu aceste elemente se întocmeşte următorul tabel:

F l ε σ

00 =F 0l 0=oε 00 =σ

00 ≠F 1l

0

01

lll

o−

=ε 0

10 S

F=σ

10 FF > 12 ll

0

02

lll

o−

=ε 0

20 S

F=σ

nF nl

0

0

llln

o−

=ε 0

0 SFn=σ

[ ] .,rad 0.I.S01 =α∆α−α=α∆

π∆=γ

2

l0

F F

d0

Fig.1

7

Într-un sistem de axe ε,σ, ortogonal se reprezintă valorile găsite i rezultă o curb continuă, numită curba caracteristică a materialelor, care exprimă legătură grafică între tensiune şi deformare specifică. (Fig.2).

n ct P

ş ăa

α

1

Se duce tangenta la curbă într-u pun ( )∈∀ curbei şi se exprimă tangenta unghiului α format de tangenta la grafic cu orizontala:

( ) Efddtg / =ε=εσ

=α .

E= modulul de elasticitate longitudinal (Young). In cazul încercării de răsucire, se obţine o legătură grafică similară între tensiunea tangenţială şi

lunecăr

ile specifice γ. (Fig.3).

( ) Gddgtg / =γτ

=γ=β ;

G = modul de elasticitate transversal (Coulomb). upă curba caracteristică, materialele se împart în: - materiale care ascultă de legea lui Hooke şi la care curba are o porţiune iniţială rectilinie.

În această categorie intră oţelurile, lemnul, etc. Aceste curbe prezintă o porţiune iniţială rectilinie.

Tipică pen

D

- materiale care nu ascultă de legea lui Hooke.

6.2.Curbe caracteristice ale materialelor care ascultă de legea lui Hooke

tru această curbă este curba caracteristică a oţelului moale. (Fig.4).

σr

σ

σσσ

ε

AB

α

F .

...

C

E

Fig.4

D

σ

σ2

σn

σ

1

2

n

P

εεn ε2 ε1

Fig.2

( )γτ g=

β γ

P

τ

Fig.3

8

Porţiunea OA e un segment de dreaptă puţin înclinat spre dreapta. Se notează cu α unghiul pe care OA îl face cu abscisa.

ε=σ⇒=ε

=ε

=α EEd

tg σσd

(1)

tală a rezistenţei materialelor pentru întindere. Pe toată zona rectilinie tensiunile σ sun o liniare specifi

proporţionalitate este egal cu modulul de elasticitate longitudinal (Young). La oţeluri: E=2,1 10 Mpa.

tru că până la

n punctul C curba are o tangentă orizontală. Tensiunea corespunzătoare punctului C se notează σ si se nume

evin foarte mari. După C apare o zonă CDE, unde σ oscileaz

lor, încât pe EF se constată din nou o creştere a ten

la ruperască, dar eforturile unitare scad până când în G se produce

rup rea

Relaţia (1) exprimă legea lui Hooke sau legea fundament pr porţionale cu deformările ce ε. Factorul de

5

Tensiunea corespunzătoare punctului A se notează σp si se numeşte limită de proporţionalitate. După punctul A, curba nu mai este o dreaptă, ci o curbă propriu-zisă care se apleacă treptat spre

dreapta. Tensiunea corespunzătoare punctului B se notează σe si se numeşte limită de elasticitate penacest punct materialul se comportă perfect elastic.

Î cşte limită de curgere sau limita marilor deformaţii.

Până în C, deformaţiile sunt mici, dar după C ele dă ca valoare (scade) dar deformările cresc foarte mult. E o zonă în care materialele îşi pierd rezistenţa. În M se observă o revenire a rezistenţei materiale

siuni σ concomitent cu creşterea deformării ε. În F, tangenta la curbă este orizontală. Tensiunea corespunzătoare lui F este σr si se numeşte rezistenţa

e (tensiune maximă). Pe ramura FG, deformarea continuă să cree . Deformarea specifică corespunzătoare punctului G este εr –lungire specifică la rupere (alungire la

rupere). Curba caracteristică obţinută astfel este curbă caracteristică convenţională (aparentă). Din curbă reiese, paradoxal, că ruperea are loc pentru o valoare a efortului unitar mai mică decât o

valoare deja suportată σr. Aceasta, pentru că în permanenţă σ a fost calculată cu formula:0S

nu este constant pentru că pe măsură ce epruveta se lungeş ţiunea se micşorează.

Dacă se calculează valoarea lui σ prin raportul

F, unde S0 s-a

presupus constant. În realitate S0 te, sec

=σ

realS din fiecare moment, atunci valorile obţinute

permit trasar

F

e unei curbe caracteristice reale la care ultimul punct corespunde efortului unitar maxim.

După depăşirea punctului F, subţierea epruvetei se localizează în zona viitoarei secţiuni de rupere

tuirea la rupere a ma

Până în E, curba caracteristică reală coincide cu curba caracteristică convenţională.

(apare un fenomen local de gâtuire). Raportul dintre valoarea secţiunii transversale şi secţiunea iniţială se numeşte gâ

terialului şi exprimă deformabilitatea materialului pe direcţie transversală.

0

r0S

=Ψ (2) SS −

În procente:

%100S

SS r0 − (3) 100Z0

=Ψ⋅=

Limita de elasticitate tehnologică este egală cu tensiunea corespunzătoare unei deformări permanente de 0,02% din lungimea iniţială a epruv

Limita de curgere tehnologică este egală cu tensiunea corespunzătoare unei deformări de 0,2% din lungime

Hooke care exprima legătura între tensiunea tangenţiala (τ) şi lunecările γ poate fi găsită prin răsucirea unei epruvete. (

etei (σ0,02).

a iniţială a epruvetei (σ0,2).

6.4.Curbe caracteristice pentru alte tipuri de solicitări Legea lui

Fig.8). ( )gτ = γ Gτ = γ unde G este modulul de elasticitate transversal, care este o constanta de material.

9

Pt. otel, MPa101,8G 4Ol ⋅=

portă în general identic la coOţelurile se comală a curbe d ter brusc

mpresiune şi la întindere. Singura diferenţă apare în zona fin lor. La întin ere, curba se mină , iar la compresiune ea merge la ∞, pentru că materialul se

ta este un caz tipic de comportare diferită la întindere faţă de compresiune. (Fig.10).

sv rsală

Din studiul experimental al întinderii s-a observat timp ce epruveta se lungeşte pe direcţia solicitării, pe direcţia transversală are loc un fenomen de mişcar ţiunii = contracţie transversală

deformează oricât de mult, fără a se rupe. (Fig.9). Fon

7.Contracţia tran e

că în e a sec .

Considerând o bară în situaţia ă aplicarea forţei F la capetele barei (Fig.11).

iniţială şi apoi în situaţia ulterioară dup

( )1 00 1 0 0

0 0

l ll l l l l l l 1l l

−∆= = ⇒ ∆ = ε ⇒ = + ∆ = + ε (4)

i pe direcţia transver

ε

Ş sală:

( )1 0 0d d d d 1⇒ = +∆ = +

1 0t 0 t

0 0

t

d dd 0 d d d d

−∆= < ⇒ ∆ = ε

ε

7.1.Legă

S-a găsit că raportul dintre cele două deformaţii liniare specifice e o constantă pentru un material dat. Modulul s-a notat cu ν şi se numeşte coeficientul lui Poisson (coeficient de contracţie transversală).

ε = (5)

tura dintre ε şi εt

υεεεευ - =⇒= t

t (6)

În general [ ]0;0,5υ∈ . Din experienţe s-a găsit că pentru cele mai multe materiale 35,025,0 ÷=υ .

Pentru oţeluri 3,0=υ ; Pentru lemn 25,0=υ ; Valorile lui ν s-au găsit pe cale experimentală şi se

află în tabele. În locul lui ν se mai foloseşte υ1

=m numită constanta lui Poisson.

℘

Fig. 8

ε

Fig. 9

-mpresiune

-

σ σ întindere

ε

co

d1

lo

do

l1

FF

Fig.11

10

7.2.Var cţiunii transversale

iaţia se

: A Secţiunea transversală are aria iniţială 21dCd= unde d1 şi d2 sunt ce0 le două dimensiuni ale secţiunii transversale. Cele două dimensiuni se deformează conform relaţiilor:

( ) ( )( ) ( )

1f 1 t 1

2f 2 t 2

d d 1 d 1

d d 1 d 1

= + ε = − υε

= + ε = − υε

(7)

După deformare, aria transversală devine:

( ) ( )2 21 1f 2f 1 1A d d C d d 1 A 1 2 = = −υε = − µε +µ ε

( )2 0

1 0 A A 1 2⇒ = − υε (8)

ci de ordinul al doilea. arei, în urma deformării se porneşte de la relaţia volumului

iniţial V , şi apoi se exprimă volumul final V . 0 2 0 0

2

V C A l=

S-au eliminat termenii ce conţin infiniţii mi Pentru determinarea variaţiei volumului b

0 1

( ) ( ) ( )1 2 0 0 0V C A 1 l 1 V 1 1 2⎡ ⎤= −νε + ε = + ε − µ⎣ ⎦ (9)

. (10) Deformaţia volumică specifică este raportul dintre ∆V ul iniţial.

La întindere, pentru ε>0, volumul barei creşte. La compresiune, volumul se micşorează. Variaţia volumului este:

( )1 0 0V V V V 1 2∆ = − = ε − νşi volum

( )VV 1 2∆

ε = = ε − ν (11) 0V

Pentru o bară solicitată la nul numai dacă −

întindere sau compresiune, ε≠0 şi εV poate fi 1 0,5 02 =⇒= νν , este cazul lichidelor ideale şi al cauciucului.

ν Dacă =0 (pentru plută), apare o variaţie maximă a volumului.

e construcţii. Principiile economiei de materiale impun ca tensiunile reale să fie cât mai apropiate de zistenţele de rupere. Acest lucru însă nu poate fi realizat pentru că orice suprasolicitare neprevăzută poate

duce la depăşirea rezis ferite aplicaţii şi-n construcţia de maşini se ă anumite limite. Rezultă

8.Rezistenţe admisibile şi coeficienţi de siguranţă

Scopul principal al rezistenţei materialelor este de a evita apariţia fenomenelor de rupere a elementelor dre

tenţei de rupere şi deci la distrugerea construcţiei. Mai mult, în diimpune ca deformaţiile căpătate-n funcţionare să nu depăşeasc

că tensiunile reale trebuie să fie mult mai mici decât rezistenţa de rupere sau chiar decât limita de curgere. În general, tensiunile reale trebuie să aibă valorile cuprinse în domeniul elastic.

Definiţie: Rezistenţa admisibilă reprezintă valoarea maximă a tensiunilor la care poate fi solicitat acel material în deplină siguranţă. Se notează: σa sau τa.

Definiţie: coeficientul de siguranţă (c) reprezintă raportul dintre tensiunea limită şi rezistenţa admisibilă.

1csau 1 >=>= rrcττ

σσ

(12) aa

În construcţia de maşini se preferă folosirea unui coeficient de siguranţă calculat în raport cu limita de curgere:

1 (13) csau 1 c >=>=a

c

a

ccc

τσ

gate de natura materialului, tipul solicitării, destinaţia construcţiei, durata funcţionării. Valorile lui c şi σa sau τa se găsesc în tabele în cărţile de spe

τσ

Alegerea coeficientului de siguranţă, respectiv a rezistenţei admisibile este subordonat unor anumite

cerinţe lecialitate.

11

9.Ipoteze de bază în rezistenţa materialelor

. Ipoteza mediului ma olumul unui corp. Ca o consecinţă importa lculului diferenţial şi integral.

4. parativ cu dimensiunile acestora, deformaţii care nu modifică configuraţia generală a

5. ăţii legii lui Hooke – pentru toate materialele se poate aplica legea lui Hooke în

teza lui Saint-Venant – consideră c odul de distribu locală a sarcinilor influenţează apreciabil modul de solicitare în zona respectivă, dar devine neglijabil în zone mai depărtate. De exemplu, pentru o bară încastrată, tensiunile în capătul liber depind foarte mult dacă sarcina P e concentrată sau distribuită pe o anumită lungime. În schimb, în secţiunea din încastrare, tensiunile sunt aceleaşi în cele două cazuri.

Cap.2.Reprezentarea diagramelor de eforturi Diagramele de eforturi sunt reprezentari grafice sugestive care indica modul de variatie al eforturilor de-a lungul barei, fiind foarte utile in calculele de verificare sau de dimensionare. 2.1.Eta

Pentru a studia realitatea prin aparatul matematic, rezistenţa materialelor schematizează această

realitate pe baza unor ipoteze simplificatoare. 1 terial continuu – consideră că materialul umple continuu v

ntă trebuie precizată posibilitatea utilizării comode a ca

2. Ipoteza izotropiei – consideră că materialul are aceleaşi proprietăţi în toate direcţiile care pornesc din acelaşi punct.

3. Ipoteza omogenităţi perfecte – consideră că materialul are aceleaşi proprietăţi în toate punctele. Ipoteza micilor deformaţii – consideră că sub acţiunea sarcinilor, corpurile capătă deformaţii foarte mici comconstrucţiei. Ipoteza valabilitdomeniile de solicitare existente.

6. Ipoteza lui Bernoulli (ipoteza secţiunilor plane) – consideră că o secţiune plană şi normală pe axa barei înainte de deformaţie rămâne tot plană şi normală pe axa barei şi după deformare.

7. Ipo ă m ţie

pele de lucru pentru reprezentarea diagramelor de eforturi: 1) Se figurează bara cu dimensiunile şi modul de rezemare respectiv şi cu toate sarcinile ce sunaplicate.

t

2) In funcţie de tipurile de reazeme, se figurează necunoscutele (reacţiuni şi cupluri). mecanic.

Pentru problemele cu bare încărcate complex în spaţiu se pot scrie 6 condiţii scalare de echilibru:

3) Se determină necunoscutele din reazeme, utilizând condiţiile de echilibru

X 0 Y 0 Z 0= = =∑ ∑ ∑

x y zM 0 M 0 M 0= = =∑ ∑ ∑

C B

D

A

D

F A C

B

P P

12

Pentru problemele cu bare încărcate în plan, se pot scrie trei condiţii scalare de echilibru:

rile reale de cţiune ale acestora coincid cu sensurile arbitrare alese iniţial.

orile rezultă negative, înseamnă că sensurile reale sunt inverse celor alese iniţial.

ecesităţi, se ele

şi se păstrează partea

e partea de bară îndreptată se reduc la centrul de greutate

forturi cu ajutorul

ru N, T, Mt se reprezintă deasupra liniei de reper, iar pentru Mi

ză cu ajutorul relaţiilor diferenţiale

yX 0 Z 0 M 0= = =∑ ∑ ∑

Observaţie: Sensurile iniţiale ale necunoscutelor sunt arbitrare. Dacă în urma calculelor, rezultă valori pozitive pentru necunoscute, înseamnă că sensua Dacă val 4)Se stabilesc intervalele de monotonie ale barei, adică intervalele pe care nu se produc modificări în ceea ce priveţte distribuţia forţelor exterioare. 5)Se stabileşte un sens de parcurs al barei, de regulă de la stânga la dreapta, dar, după n

nsul de parcurs de la dreapta la stânga (de obicei sensul de la dreapta se alege pentru ultimpoate alege şi seintervale ale barei, în vederea simplificării calculelor). 6)Se scriu expresiile analitice ale eforturilor secţionale într-o secţiune curentă de pe fiecare interval monoton al barei, utilizând regulile de calcul. Pentru determinarea corectă a expresiilor analitice ale eforturilor se ţine cont că: a)secţiunea curentă împarte bara în 2 părţi; b)se aplică metoda secţiunilor, adică se elimină o parte a barei şi se păstrează cealaltă (de exemplu, dacă sensul de parcurs este de la stânga la dreapta, se elimină partea din stânga secţiunii

in dreapta). d c)toate forţele şi cuplurile de forţe aplicate pal secţiunii considerate ţinând cont de regulile de reducere şi de convenţiile de semne. 7)Se reprezintă grafic expresiile analitice de mai sus, având în vedere următoarele: -pentru fiecare efort se alege o axă de referinţă (o origină) a diagramei, care respectă configuraţia şi dimensiunile barei;

eşte o scară de reprezentare; -se stabil -în raport cu liniile de reper (axele de referinţă), se trasează diagramele de e

gmense telor perpendiculare, proporţionale (la scara aleasă) cu valorile calculate; pe fiecare câmp al diagramelor de eforturi se precizează semnul acestora, închis într-un cerc; -prin convenţie, valorile pozitive pentsub linia de reper. Pentru barele nesolicitate de momente repartizate care să determine încovoierea, construirea diagramelor T şi M, ca de altfel şi controlul corectitudinii lor se efectueaîntre N, T, M şi sarcina distribuită p. In cazul barelor drepte, relaţiile diferentiale intre M, T si p sunt:

dM dTT p= = − dx dx

reprezentarea diagramelor:

a)intensitatea sarcinii distribuite, luată cu semn schimbat, este egală cu panta diagramei forţei tăietoare in secţiunea respectivă;

rvalele de bară neincărcate, diagrama T se prezintă valori constante; egale în

aloare

ţa tăietoare se anulează, momentul încovoietor prezintă extrem;

Din aceste relaţii se pot formula câteva observaţii necesare pentru d b)pe inte c)în secţiunile în care acţionează forţe exterioare, diagrama forţei tăietoare prezintă salturi v şi in acelaşi sens de acţiune cu acele forţe; d)intensitatea forţei tăietoare dintr-o secţiune este egală cu panta diagramei momentului încovoietor din acea secţiune; e)pe intervalele in care: -forţa tăietoare este pozitivă, momentul încovoietor creşte; -forţa tăietoare este negativă, momentul încovoietor descreşte; -forţa tăietoare este nulă, momentul încovoietor este constant; f)în secţiunile în care for

13

g)diagrama momentului încovoietor prezintă salturi numai în secţiunile în care sunt aplicate cupluri ntele acestor cupluri; n grad superioară expresiei funcţiei de

(pentru legi olinom

ste antisimetrică

coincizând cu axa de simetrie indirectă, momentul încovoietor este nul.

i de simetrie sunt egale cu

exterioare, salturi egale în valoare şi in acelaşi sens de acţiune cu mome h)pe fiecare interval de bară, expresia forţei tăietoare este cu usarcină, iar expresia momentului încovoietor este cu un grad superioară funcţiei forţei tăietoarep iale ale lui p). i)dacă pe toată lungimea barei sau numai pe una din părţi, diagrama forţei tăietoare eatunci pe aceleiaşi părţi, diagrama momentului încovoietor este simetrică şi invers; f)în secţiunea dreaptă care coincide cu axa de simetrie directă a barei, forţa tăietoare este egală cu zero şi în secţiunea dreaptă, Dacă o forţă concentrată exterioară acţionează în secţiunea ce coincide cu axa de simetrie directă a barei, valorile numerice ale forţei tăietoare în secţiunile din stanga şi din dreapta axejumătate din această forţă.

2.2.Regulile de calcul ale eforturilor secţionale

A)Forţa axială (N) într-o secţiune curenta a unei bare este egală cu suma proiecţiilor pe axa barei ale tuturor forţelor situate în stânga secţiunii, sau ale celor din dreapta, conform convenţiilor de semne. B)Forţa tăietoare(T) într-o secţiune curenta a unei bare este egală cu suma proiecţiilor pe o

erpendiculară la axa barei (T , T ) ale tuturor forţelor din stânga sau ale celor din dreapta, conform onvenţ

p y zc iilor de semne. C)Momentul de torsiune (Mt ecţiilor pe axa barei ale tuturor momentelor forţelor şi ale cuplurilor din stânga secţiunii sau ale celor din dreapta, conform convenţiilor de semne. D)

) într-o secţiune curenta a unei bare este egal cu suma proi

Momentul încovoietor(Mi) ţiune curenta a unei bare este egal cu suma proiecţiilor pe o n la axa barei (My, Mz) ale tuturor momentelor forţelor şi ale cuplurilor din stânga secţiunii sau ale celor din dreapta conform convenţiilor de semne.

într-o secormală

anică se cunoaşte că o forţă P, aplicată într-un ce în alt punct O la o forţă paralelă, egală şi de

acelaşi sens cu forţa dată, precumate faţă de punctul de reducere

zuri particulare de încărc

2.3.Reguli de reducere a încărcărilor Din Mecpunct A, se redu

şi la un cuplu al cărui moment este egal cu momentul forţei d Momentul M este perpendicular pe planul haşurat, definit de forţa dată şi de punctul de reducere.

Ca ări:

1)Reducerea în cazul barelor drepte a)Dacă în punctul O al unei bare acţionează for ă longitudinal, atunci într-o secţiune oarecare A a barei, apare o forţă axială de înti secţiunii.

ţa dirijatndere N=+P, indiferent de poziţia x a

b) Dacă forţa are sens invers, rezultă o forţă axială de compresiune N=-P, indiferent de poziţia x a secţiunii.

14

Reducerea unei forţe dirijată perpendicular pe bară face să se obţin cţiunea oarecare A o

= +P şi un moment încovoietor M = P x

distribuită p, aceasta se poate reduce la o zultantă, aplicată în punctul de la jumătatea intervalului OA. Ca urmare, în secţiunea oarecare B se obţine o

) Dacă pe intervalul OA=a acţionează o sarcină liniar distribuită u intensitatea maximă p, ea poate fi redusă la o rezultantă.

ă în seforţă tăietoare T Dacă forţa are sens invers se obţine: T= -P si M = - P x c) Dacă pe intervalul OA=a al barei acţionează sarcina uniformre

forţă tăietoare T= pa/2 si un moment incovoietor M= pa (x-a/2) Dacă sarcina distribuită este orientată invers, se vor obţine, prin reducere, expresii identice, având însă semnul minus. dcReducerea la secţiunea B conduce la o forţă tăietoare T=Tz=+P =pa/2 şi la un moment încovoietor M= P (x-2a/3)

punct C aflat în intervalul OA, atunci rezultă:

Dacă reducerea se face în raport cu un 2 2

2 3

pa x pxT ⎛ ⎞= =2 a 2a

px x px2a 3 6a

M

⎜ ⎟⎝ ⎠

= =

Dacă sarcina distribuită este orientată invers, se vor obţine, prin reducere, expresii identice având semnul minus.

ntervalul OA=a acţionează o sarcină istribuită după o lege oarecare, astfel încât intensitatea

şi trece prin punctul G' , a cărui poziţie este dată de:

e) Dacă pe idsa este p=p(x), atunci sarcina totală este:

aP p(x)dx= ∫

0

15

a

0G a

0

p(x)xdx

OG ' x

p(x)dx

= =∫

∫

Atunci, în secţiunea oarecare se obţine o forţă tăietoare T=+P şi un moment încovoietor M=P(x-xG)

f) Momentul unui cuplu de forţe, dirijat în lungul barei se reduce într-o secţiune oarecare A, la un moment de torsiune Mt = +M0.

Dacă M0 are sens contrar, se obţine Mt = -Mo.

g) Momentul unui cuplu de forţe dirijat perpendicular pe axa barei, se reduce într-o secţiune oarecare la un moment încovoietor Mi=My=M0.

Aplicatii 1)Se cere sa se reprezinte diagramele de eforturi pentru bara simplu rezemată, încărcată cu forţa concentrată P din fig.1 .

Rezolvare: Din ecuaţiile de echilibru static:

1 2

(1) 2

Z 0 V V PM 0 P a V l= ⇒ + =⎧⎪

⎨ 0= ⇒ ⋅ − ⋅ =⎪⎩

∑∑

rezultă reacţiunile:

1 2P b P aV ;V ;

l l⋅ ⋅

= =

Fig.1 Forţa tăietoare este constantă pe cele două porţiuni

;laPPVT;

lbPVT 123131

⋅−=−=

⋅== −−

În secţiunea 3, în diagrama T apare un salt egal cu P. Momentul încovoietor are expresiile pe cele doua intervale:

xlbPxVM 131 ⋅⋅

=⋅=− ; 1

3

pt.x 0 M 0P bpt.x a M a

l

= ⇒ =⎧⎪⎨ ⋅

= ⇒ = ⋅⎪⎩

16

'xlaP'xVM 232 ⋅⋅

=⋅=− ; 2

3

pt.x ' 0 M 0;P apt.x ' b M b

l

= ⇒ =⎧⎪⎨ ⋅

= ⇒ = ⋅⎪⎩

Valoarea maximă a momentului incovoietor este l

baPM max⋅⋅

= şi se înregistrează în secţiunea 3

unde curba forţei tăietoare intersectează axa absciselor. 2) Se cere sa se reprezinte diagramele de eforturi pentru bara simplu rezemată, încărcată cu sarcină

uniform distribuită (fig.2) Rezolvare :Se înlocuieşte sarcina distribuită cu o rezultantă

care e o forţă concentrată egala cu 6ql aplicată la mijlocul porţiunii 3-2.

Din ecuaţiile de echilibru static:

1 2

(1) 2

Z 0 V V 6qlM 0 6ql 7 l V 10l 0= ⇒ + =⎧⎪

⎨ = ⇒ ⋅ − ⋅ =⎪⎩

∑∑

se calculează reacţiunile:

1 2V 1,8ql;V 4,2ql;= = Expresiile forţei tăietoare pe intervale sunt:

1 3

33 2

2

T 1,8ql cstpt.x 0 T 1,8ql

T 1,8ql q xpt.x 6l T 4, 2ql

−

−

= =⎧⎪ = ⇒ =⎧⎨ = − ⋅ ⇒ ⎨⎪ = ⇒ = −⎩⎩

Fig.2. Forţa tăietoare se anulează ( ) în punctul 4, situat la distanţa x=1,8l faţă de secţiunea 3. 023 =−T Expresiile momentului încovoietor pe intervale sunt:

11 3 1 2

32 2

33 2 1

2

pt.x 0 M 0MM V x xl pt.x 4l M 7,2ql

qx pt.x 0 M 7,2qlM V (4l x)2 pt.x 6l M 0

−

−

⎧ = ⇒ =⎧⎪= ⋅ =⎪ ⎨= ⇒ =⎪ ⎪⎪ ⎩

⎨⎧⎪ = ⇒ =⎪= + − ⎨⎪

= ⇒ =⎪⎪ ⎩⎩

Pe porţiunea 3-2, momentul încovoietor variază parabolic. În secţiunea 4, pentru x =1,8 l, se obţine valoarea maximă:

2 2max

qM 1,8ql 5,8l (1,8l) 8,82ql2

= ⋅ − =

3) Se cere sa se reprezinte diagramele de eforturi

pentru bara simplu rezemată, solicitată de un cuplu concentrat (fig.3). Rezolvare: Ecuatiile de echilibru static:

1 2

(1) 1

Z 0 V V 0M 0 V l M= ⇒ − =⎧⎪

⎨ 0= ⇒ ⋅ − =⎪⎩

∑∑

Reacţiunile sunt:

1 2MV V l

= − =

Forţa tăietoare este constantă în lungul barei:

17

1 3 3 2MT T constl− −= = =

Momentul încovoietor:

11 3 1

2

22 3 2

3

pt.x 0 M 0MM V x x Ml pt.x a M a

lpt.x ' 0 M 0

MM V x ' x ' Ml pt.x ' b M bl

−

−

⎧ = ⇒ =⎧⎪⎪ = ⋅ = ⎨⎪ = ⇒ = −⎪⎪ ⎩

⎨= ⇒ =⎧⎪ ⎪⎪ = − ⋅ = − ⎨= ⇒ = −⎪ ⎪⎩⎩

În punctual 3 apare un salt egal cu M, valorile în secţiunile adiacente fiind

3stg 3drbM M ; M M

l l= =

a−

2ql;M 28ql= =

;

4) Se cere sa se reprezinte diagramele de eforturi pentru bara în consolă încărcată cu forţă

concentrată P=10 ql şi sarcină distribuită q pe lungimea egala cu 8l (fig.4). Rezovare: Din ecuaţiile de echilibru static:

1 12

(1) 1 1

Z 0 V 10ql 8ql 0 V 2ql 0 sens corect

M 0 M 10ql 2l 8ql 6l 0 M 28ql sens corect

= ⇒ − + − = ⇒ = > ⇒⎧⎪⎨

= ⇒ − − ⋅ + ⋅ = ⇒ = ⇒⎪⎩

∑∑

se calculează reacţiunile din încastrare: V 2

1 1 Forţa tăietoare are experesiile:

⎪1 2 1

2 3 1

2

3

T V 2ql const.T V P qx 2ql 10ql qx

pt.x 0 T 8qlpt.x 8l T 0

−

−

⎧⎪

= − = − =⎪= − + − = − + −

⎪ = ⇒ =⎧⎪ ⎨⎪

⎨

= ⇒ =⎩⎩având un salt egal cu P=10 ql în secţiunea 2. Momentul încovoietor are expresiile pe intervale:

Fig.4.

212

1 2 22

2 22 2

2 33

pt.x 0 M 28qlM 28ql 2ql x

pt.x 2l M 32ql

qx pt.x 0 M 32qlM 28ql 2ql(2l x) 10ql x2 pt.x 8l M 0

−

−

⎧ ⎧ = ⇒ = −⎪⎪ = − − ⋅ ⎨⎪ = ⇒ = −⎪⎪ ⎩⎨

⎧⎪ = ⇒ = −⎪= − − + + ⋅ −⎪ ⎨= ⇒ =⎪⎪ ⎩⎩

18

5)Se cere să se construiască diagramele T şi M la bara din figura 5. Se cunoaste q= 4 N/m Rezolvare

Din ecuaţiile de echilibru static:

1 2 1 2

(1) 2

Z 0 V V 4 3 0 V V 12M 0 4 1 0,5 4 2 1 V 3 0= ⇒ + − ⋅ = ⇒ + =⎧⎪

⎨ = ⇒ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ =⎪⎩

∑∑

se calculează reacţiunile: 1 2V 10N; V 2N= = Semnele sunt pozitive, ceea ce inseamnă că sensurile alese iniţiale sunt corecte.

19

Expresiile forţei tăietoare pe intervale sunt:

33 1

1

11 4 1

4

4 2 2

pt.x 0 T 0T qx

pt.x 1m T 4N

pt.x 0 T 6NT q(1 x) V

pt.x 2m T 2NT V 2N cst

−

−

−

⎧ = ⇒ =⎧= − ⇒ ⎨⎪ = ⇒ = −⎩⎪

⎪ = ⇒ =⎧⎪ = − + + ⇒⎨ ⎨ = ⇒ = −⎩⎪⎪ = − = − =⎪⎪⎩

Forţa tăietoare se anulează ( ) în punctul situat la distanţa x=1,5 m faţă de secţiunea 1.

1 4T − = 0

Expresiile momentului încovoietor pe intervale sunt: Fig.5.

23

3 11

21

1 4 14

24 2 2

4

pt.x 0 M 0qxMpt.x 1m M 2Nm2

pt.x 0 M 2Nmq(1 x)M V xpt.x 2m M 2Nm2

pt.x ' 0 M 0T V x '

pt.x ' 1m M 2Nm

−

−

−

⎧ = ⇒ =⎧= − ⇒⎪ ⎨ = ⇒ = −⎪ ⎩

⎪ = ⇒ = −⎧+⎪ = − + ⋅ ⇒⎨ ⎨ = ⇒ =⎩⎪⎪ = ⇒ =⎧⎪ = ⋅ ⇒ ⎨ = ⇒ =⎪ ⎩⎩

pt x=1,5 m se obţine valoarea de extrem a momentului incovoietor: Mmax=2,5 Nm

Cap.3.Caracteristici geometrice ale sectiunilor plane 3.1.Definitii si formule generale de calcul Se considera o sectiune plana oarecare raportata la un sistem de axe yOz.

Se delimiteaza un element de arie infinit mic dA situat la distantele z, y si r de axele Oy, Oz si, respectiv, de punctul O.

1. Momentul static S al unei suprafete plane calculat in raport

cu o axa este egal cu suma produselor dintre elementele de arie dA si distanta acestora la axa considerata.

yA

S zd= A∫ zA

S yd= A∫ (1)

2. Momentul de inertie axial al unei suprafete plane calculat in raport cu o axa este egal cu suma produselor dintre elementele de arie dA si patratele distantelor acestora la axa considerata.

2y

A

I z d= ∫ A A

A

y z

(2) 2z

A

I y d= ∫3. Momentul de inertie centrifugal al unei suprafete plane calculat in raport cu o pereche de axe Oy

si Oz este egal cu suma produselor dintre elementele de arie dA si distantele acestora la cele doua axe considerate.

yzA

I zyd= ∫ (3)

4. Momentul de inertie polar al unei suprafete plane calculat in raport cu un pol este egal cu suma produselor dintre elementele de arie dA si patratele distantelor acestora la polul considerat.

2 2 2O

A A

I r dA (z y )dA I I= = + = +∫ ∫ (4)

Observatia 1: Momentul de inertie polar este egal cu suma momentelor de inertie axiale calculate in raport cu o pereche de axe perpendiculare ce trec prin acel pol.

Observatia 2: [S] = m3 , mm3 [I] = m4 , mm4

5. Raza de inerţie a unei figuri plane în raport cu o axă sau cu un punct este rădăcina pătrată a raportului dintre momentul de inerţie respectiv şi aria totală a figurii.

Semnificaţia fizică a razelor de inerţie este aceea că raza de inerţie reprezintă distanţa de la axa sau polul considerat până la un punct fictiv în care ar fi concentrată intreaga arie a secţiunii.

y ozz y 0

I IIi i iA A

⎧⎪ = = =⎨⎪⎩ A

(5)

6.Modulul de rezistenţă al unei secţiuni plane în raport cu o axă sau cu un punct este egal cu raportul dintre momentul de inerţie respectiv şi distanţa de la axa sau polul considerat până la cel mai îndepărtat punct al secţiunii.

y Oy z O

max max max

I IIzW W WZ y

⎧= =⎨

⎩ r=

z

=

(6)

3.2.Variaţia momentului de inerţie cu translaţia axelor de coordonate

Considerăm o secţiune plană raportată la două sisteme de axe paralele ZOY si Z'O'Y', astfel încât:

z' = z-a y' = y-b (7) Momentul de inerţie axial Iy calculat cu relaţia de definiţie, va fi:

'

2 2y '

A A2 2

A AA

2y ' y y

2z ' z z

2O yO

z 'y ' zy y z

I z dA (z a) dA

z dA a zdA a dA

I I 2aS a A

I I 2bS b A

I I e A 2aS 2bS

I I bS aS abA

= = −

= − +

= − +

= − +

= + − −

= − − +

∫ ∫

∫ ∫ ∫ (8)

Relaţiile (8) se mai numesc şi formulele lui Steiner. Obs. Daca sistemul iniţial este un sistem central de axe (adică originea O a sistemului coincide cu

centrul de greutate al secţiunii) atunci momentele statice sunt nule, adică Sy=Sz=0 Ca urmare, formulele lui Steiner se simplifică şi devin:

20

abAIIIAeII

IAbII

IAaII

GG

GG

GG

zyyz

G2

GO

z2

zz

y2

yy

+=≥+=

≥+=

≥+=

(9)

Se observă că momentele de inerţie axiale şi polare prezintă cele mai mici valori în raport cu sistemul

central de axe. Reguli ce decurg din formula (9): 1. Momentul de inerţie axial al unei secţiuni plane în raport cu o axă este egal cu momentul de inerţie

axial calculat în raport cu axa centrală paralală la care se adaugă produsul dintre aria secţiunii şi pătratul distantei dintre cele două axe.

2. Momentul de inerţie polar al unei secţiuni plane în raport cu un pol oarecare este momentul de inerţie polar în raport cu centrul de greutate al secţiunii la care se adaugă produsul dintre aria secţiunii şi pătratul distanţei dintre cele două puncte.

3. Momentul de inerţie centrifugal al unei secţiuni plane în raport cu două axe perpendiculare este momentul de inerţie centrifugal în raport cu sistemul central de axe paralele cu primele la care se adaugă produsul dintre A şi distanţele între axe.

4.Momentul de inerţie centrifugal al unei secţiuni plane in raport cu două axe perpendiculare este egal cu suma tuturor produselor dintre elemente de arie şi distanţele acestora la axele considerate.

Se observă că momentele de inerţie axiale şi polare sunt nişte scalari totdeauna pozitivi, pe când momentele de inerţie centrifugale pot fi pozitive, negative sau nule.

Dacă secţiunea plană prezintă o axă de simetrie, atunci momentul de inerţie Izy în raport cu un sistem ce conţine axa de simetrie, e nul.

3.3.Variaţia momentelor de inerţie în raport cu rotaţia axelor de coordonate Elementul de arie dA are coordonatele y şi z în raport cu sistemul yOz, iar noile coordonate, y1 şi z1,

în raport cu noul sistem de axe, y1O z1, rotit cu unghiul a faţă de vechiul sistem, sunt:

1

1

y ycos zsin

z z cos ysin= α + α⎧

⎨ = α − α⎩Aplicând relaţiile de definiţie pentru momentele de inerţie rezultă următoarele expresii ale

momentelor de inerţie în raport cu noul sistem:

zyO

yzzy

zy

yzzyzy

z

yzzyzy

y

III

2cos2sin2

2sin2cos22

2sin2cos22

III

I

IIIII

I

IIIII

I

11

1

1

+=

α+α⋅−

=

α+α⋅−

−+

=

α−α⋅−

++

=

(10)

Valori extreme ale momentelor de inerţie

Pentru determinarea valorilor extreme ale momentelor de inerţie se calculează derivata în raport cu

unghiul 2α şi se anulează:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

==α+α−

=α

=−=α−α−

−=α

0I2cosI2sin2

IzIy2d

dI

0I2cosI2sin2

IzIy2d

dI

1z1yyz1z

1z1yyz1y

(11)

21

Valorile extreme ale momentelor de inerţie axiale se numesc momente de inerţie principale, iar axele

se numesc axe principale de inerţie. Direcţiile principale de inerţie sunt date de:

2şi

22tg 121

zy

yz

III π

+=⇒−

=α ααα (12)

Din (12) rezultă că axele principale de inerţie sunt perpendiculare între ele. Faţă de una din axe avem

cel mai mare moment de inerţie, iar faţă de cealaltă, cel mai mic. Prin înlocuirea lui (12) în relaţia (10) rezultă valorile extreme:

IIIII

I 2yz

2zy

zyminmax, 4)(

21

2+−±

+= (13)

Momentul de inerţie este maxim faţă de axa principală din primul cadran dacă Izy, < 0 şi este minim,

dacă Izy > 0. Pentru determinarea valorilor extreme ale momentelor de inerţie centrifugale, se calculează derivata

de ordinul I in raport cu unghiul dublu a momentului de inerţie centrifugal şi se anulează:

2k= K22

I2II

2tg02sinI2cos2

)II(2d

dI

11

yz

zyyz

zy1z1y

π+αα⇒π+α=α⇒

−=α⇒=α−α

−=

α (14)

Momentele de inerţie centrifugale au valori extreme faţă de un sistem rotit cu 45 în raport cu axele principale centrale de inerţie. Valorile momentelor de inerţie centrifugale extreme sunt:

IIII 2yz

2zyyz 4)(

21

2,1+−±= (15)

Dacă se notează cu u şi v axele principale centrele de inerţie, ecuaţia elipsei centrale de inerţie este:

1iv

iu

2u

2

2v

2=+ (16)

unde: AI

i;AI

i uu

vv == (17)

iar Iu, Iv sunt respectiv Imax, Imin. Dacă cel puţin una din axele centrale este axă de simetrie, atunci axele principale centele de inerţie

coincid cu axele centrale. 3.4.Caracteristici geometrice ale secţiunilor plane simple 1. Dreptunghiul Se consideră o secţiune plană în formă de dreptunghi, cu laturile b

şi h, raportată la sistemul central de axe yOz. Un element de arie al acestui dreptunghi se poate considera ca o fâşie îngustă, de lungime b şi înălţime dy, situată la distanţa y de axa Oz.

22

Momentul de inerţie axial al secţiunii dreptunghiulare, în raport cu axa Oy, se poate scrie:

2lbhbdzzdAzI

3

A

2h

2h

22y === ∫ ∫

−

Procedând în mod similar, se găseşte momentul de inerţie axial al secţiunii dreptunghiulare, în raport cu axa Oy.

2lhbhdyydAyI

3

A

2b

2b

22z === ∫ ∫

−

Momentul de inerţie polar, în raport cu punctul 0, se calculează cu relaţia:

233

O d2l

A2l

hb2l

bhIzIyI =+=+=

în care: A este aria secţiunii dreptunghiului; d - diagonala dreptunghiului. Datorită simetriei faţă de axele Oy şi Oz, momentul de inerţie centrifugal al dreptunghiului este nul,

Izy = 0. Razele de inerţie se calculează cu relaţiile:

;b289,032

bbh2l

hb

AIi

3

zz ==== ;h289,0

32h

bh2l

bh

AI

i

3

yy ====

;d289,032

dA2l

Ad

Aii

2

OO ====

respectiv, modulele de rezistenţă:

;6

hb

2b2l

hb

yI

W2

3

max

zz ===

6Ad

2d2l

Ad

rI

W

2

max

0O === ;

6bh

2h2l

bh

zI

W2

3

max

yy ===

2. Pătratul

Dacă secţiunea plană are forma de pătrat, formulele de calcul pentru caracteristicile sale geometrice

se pot deduce, foarte uşor, înlocuind în formulele de la secţiunea dreptunghiulară b=h=a. Momentele de inerţie:

;322aI

4

O = Iyz = 0 ;2l

aII4

zy ==

Razele de inerţie:

;322aiO = ;a289,0

32aii zy ===

Modulele de rezistenţă:

;6

aW23

O = ;6

aWzWy3

==

23

3. Cercul Se considera un cerc de diametru d raportat la sistemul de axe yOz avand originea in centrul

cercului. 4 4

Or dI2 32π π

= =

Din cauza simetriei figurii faţă de cele două axe, există relaţia: zyzyO I2I2III ==+=

de unde rezulta expresiile momentelor de inerţie axiale:

64d

4r

2I 44

O π=

⋅π=Iy = Iz =

Datorită simetriei, momentul de inerţie centrifugal este nul, Izy = 0. Razele de inerţie ale secţiunii circulare sunt:

;2r

4d

d4.

64d

AI

ii 2

4y

zy ==π

π=== .

2r

22d

d4.

32d

AI

i 2

4O

O ==π

π==

Modulele de rezistenţă:

;32d

d2

64d

2dI

WW34

yzy

π=⋅

π===

16d

d2

32d

2d

IW

34O

Oπ

=⋅π

==

4.Semicercul In raport cu sistemul de axe ce trece prin centrul cercului din care provine semicercul, momentele de

inerţie vor avea expresiile:

128dII

4

zyπ

== 64d

128d2I

44

Oπ

=π⋅= 0Izy =

In raport cu axele ce trec prin centrul de greutate G al semicercului, avem:

224

yG 3d2

8d

128dI ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛π

π−

π=

128dI

4

zGπ

=

224

zGyGG 3d2

8d

128d2III ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛π

π−

π⋅=+= 0IzGyG =

5.Triunghiul dreptunghic Se consideră o secţiune plană în formă de triunghi dreptunghic, cu

laturile b şi h, raportată la sistemul central de axe yOz, avand originea in centrul de greutate al triunghiului.

Momentele de inerţie axiale ale secţiunii triunghiulare în raport cu axele Oy şi Oz sunt:

36bhI

3

y = ; 36

hbI3

z =

Momentul de inerţie polar, în raport cu punctul 0, se calculează cu relaţia:

24

233

O d18A

36hb

36bhIzIyI =+=+= ;

unde: A este aria secţiunii triunghiului; d - ipotenuza triunghiului dreptunghic.

Momentul de inerţie centrifugal: 72bhIzy

22=

Razele de inerţie se calculează cu relaţiile:

;23

h2/bh

36bh

AI

i

3

yy === ;

23b

2/bh36

hb

AIi

3

zz === ;

23d

A8l

Ad

AI

i

2

OO ===

respectiv, modulele de rezistenţă:

;24

bh

3h2

36bh

zI

W2

3

max

yy === ;

24hb

3b2

36hb

yIW

23

max

zz ===

max

OO r

IW =

unde ( )21max d,dmaxr =

2 2 2

1 2

2b 2h h 2bd ; d3 3 3 3

⎧⎪ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = +⎨ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪⎩

3.5.Caracteristicile geometrice ale secţiunilor plane compuse

În cazul secţiunilor plane compuse, pentru determinarea caracteristicilor geometrice, se procedează astfel:

1)Se descompune figura (secţiunea) dată în figuri simple. 2)Se alege un sistem de axe convenabil. 3)În raport cu acest sistem se determină coordonatele zGI, yGI, ale centrelor de greutate G, ale

figurilor simple componente. 4)Se calcutează coordonatele zG şi yG ale centrului de greutate G al figurii cu formulele:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

∑∑∑

∑

i

GiiG

i

GiiG

AyA

y

AzA

z n,1i = (1)

5) Se figurează sistemul central de axe yGGzG 6) Se calculează momentele de inerţie ale secţiunii compuse ca fiind sume algebrice ale momentului

de inerţie ale figurilor componente (pentru momentele de inerţie ale figurilor suprafeţelor care se extrag din secţiune se adoptă semul (-)

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=+=

=

=

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

n

1i

iZGYGZGYG

n

1i

iGYGZGG

n

1i

iYGYG

n

1i

iZGZG

II

IIII

II

II

(2)

25

unde (3) G Gi

G Gi

G G G Gii

i 2Z Z i i i G Gi

i '2 'Y Y i i i G Gi

i 'Z Y Z Y i i i

I I A d ; d dist(z , z

I I A d ; d dist(y , y

I I A d d ;

⎛ = + =⎜⎜ = + =⎜⎜ = +⎝

)

)

;n,1i ≡ n= nr. figurilor componente 7) Se calculează modulele de rezistenţă ale figurii compuse folosind relaţiile de definiţie:

GYZmax

GG

max

YY

max

ZZ I,I,I,unde;

rI

W;zI

W;yI

WGG

GG

GG

=== sunt calculate cu (2)

8) Se calculează razele de inerţie cu relaţiile din definiţie. 9) Caracteristicile geometrice ale secţiunii compuse date în raport cu orice alt sistem de axe

translatat faţă de sistemul central de axe se calculează aplicând formulele lui Steiner relativ la întreaga figură. Aplicatii 1. Să se calculeze caracteristicile geometrice ale secţiunii din figură. Rezolvare Datorită simetriei figurii în raport cu cele două axe, centrul de

greutate al acesteia coincide şi cu centrul cercului şi cu cel al dreptunghiului. Ca urmare, sistemul central de axe are originea în O

Figura se descompune în cercul de diametru = 4a şi în dreptunghiul cu dimensiunile b = 2a şi h = a, care se extrage din suprafaţa totală.

Momentele statice în raport cu sistemul central de axe sunt nule. Momentul de inerţie centrifugal este nul pentru că cele două axe ale

sistemului sunt axe de simetrie. Momentele de inerţie axiale şi momentul de inerţie polar sunt:

( ) ( ) ( ) 43434

2y

1yy a4,12

12aa2

64a4

12bh

64dIII =

⋅−

π=−

π=−=

( ) ( ) ( ) ( ) 43434

2z

1zz a9,11

12a2a

64a4

12hb

64dIII =

⋅−

π=−

π=−=

( ) 44zyO a3,24a9,114,12III =+=+=

Modulele de rezistenţă se calculează cu formulele de definiţie:

34

max

yy a2,6

a2a4,12

zI

W === 34

max

zz a95,5

a2a9,111

yIW ===

34

max

OO a15,12

a2a3,24

rI

W ===

Razele de inerţie sunt:

( )

2 4y z

y z2 2

42 2 2O

o 2

I I12, 4a 11,9ai 1,1a iA A10,56a 10,56a

I 24,3ai 1,5a A 2a 2a 10,56aA 10,56a

= = = = = =

= = = = π⋅ − =

1,08a

Întrucât cele două axe ale sistemului central sunt axe de simetrie, momentele de inerţie principale

centrale coincid chiar cu Iz şi Iy, iar axele centrale sunt şi axe principale centrale de inerţie. Semiaxele elipsei centrale de inerţie coincid cu iz şi iy.

26

2. Să se calculeze momentele de inerţie axiale şi modulele de rezistenţă pentru secţiunea din figură in raport cu sistemul yz..

In raport cu axa z, momentul de inerţie axial al întregii figuri

se determină ca sumă algebrică a momentelor de inerţie ale figurilor componente

( ) ( ) ( ) ( ) ( )7 i 1 2 6(3) (4) (5)y y y y y y y y

i 1I I I I I I I I I

== = + + + + + +∑ 7

y

( ) 433

111y mm1440

121210

12hb

I1

=⋅

=⋅

=

( ) ( )

( ) ( )2

3 322 2 2 22 2y 2 2 2 2 2y

3 2y y

b h 18 4I I A d b h d 18 4 8 4704mm12 12

I I

⋅ ⋅= + ⋅ = + ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅ =

=

4

( ) ( ) ( ) ( )

25 3(4) 2 44 4 4 4y

5 6 7 4y y y y

4y

b h b h 1 9 6 9 6I 6 4 6 12 3942mm36 2 3 36 2

I I I I

I 1440 2 4704 4 3942 26616mm

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎛ ⎞= + + + ⋅ = + ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

= = =

⇒ = + ⋅ + ⋅ =

In raport cu axa z, momentul de inerţie axial va fi: ( )∑

==

7

1i

izz II

( ) 433

111z mm1000

121012

12bh

I =⋅

=⋅

=

( ) ( ) 433

223z

2z mm1944

12184

12bh

II =⋅

=⋅

==

( ) ( ) ( ) ( )23 3

4 5 6 7 2 44 4 4 4z z z z

h b h b 1 6 9 9 6I I I I 9 3 121,5 243 364,5mm36 2 3 36 2⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎛ ⎞= = = = + ⋅ ⋅ = + ⋅ = + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

Rezultă:

4o

zy

4z

mm32962634626616IyIzI

0Imm6346145838881000I

=+=+=

==++=

Modulele de rezistenţă axiale şi polar sunt:

3

max

OO

3

max

zz

3

max

yy

mm206160

32962rI

W

mm5,7090

6346y

IW

mm35,166160

26616z

IW

===

===

===

27

Cap.4. Solicitari axiale simple

4.1.Tensiuni la solicitarile axiale simple (tractiune si compresiune) O bara dreapta este supusa la o solicitare axiala simpla (la intindere sau compresiune) daca bara este solicitata la capete de doua forte axiale, egale si de sens opus. Se considera o bara dreapta solicitata la tractiune prin aplicarea la capete a doua forte egale si de sens opus P, orientate catre exteriorul barei (daca fortele sunt orientate catre interiorul barei are loc solicitarea de compresiune).

Datorita solicitarii exterioare, in bara apar tensiuni normale considerate constante in orice punct al sectiunii transversale a barei, avand formula:

PA

σ = (1)

Relatia (1) stabileste marimea tensiunii normale s la solicitarea axiala de intindere (sau tractiune) a unei bare cu aria sectiunii transversale A si solicitata de forta P.

Conditia de rezistenta a barei cere ca valoarea tensiunii efective dezvoltata in bara sa fie mai mica decit rezistenta admisibila a materialului din care este confectionata bara. Cu relatia (1) se poate calcula aria sectiunii transversale A, daca se cunoaste forta de intindere si se alege valoarea rezistentei admisibile. In acest caz, relatia foloseste la dimensionare si se scrie sub forma:

neca

PA ≥σ

(2)

Atunci cand sunt cunoscute fortele exterioare care actioneaza asupra barei si dimensiunile acesteia, relatia (1) poate folosi la verificarea eforturilor unitare ce iau nastere pe sectiune si se scrie sub forma

ef aef

PA

σ = ≤ σ (3)

Cand se cunosc dimensiunile sectiunii transversale si materialul din care este executata piesa, cu ajutorul relatiei (1) se poate calcula sarcina pe care o poate suporta. In acest caz, relatia se scrie sub forma:

max cap ef aP P A= ≤ ⋅σ (4)

Observatii 1.Relatiile (1), (2), (3) si (4) sunt valabile si pentru solicitarea de compresiune.

2.Pentru o bara supusa simultan si la forte de intindere si la forte de compresiune, trebuie sa se adopte semnul + pentru intindere si semnul – pentru compresiune. Ca urmare, si tensiunile vor fi pozitive pentru intindere si negative pentru compresiune.

4.2.Deformatii si deplasari la barele drepte solicitate la intindere Daca tensiunile ce se produc intr-o bara dreapta de sectiune constanta de arie A si de lungime l, solicitata la intindere nu depasesc limita de elasticitate, intre tensiuni si deformatii exista relatia: (5) ε⋅=σ Enumita Legea lui Hooke. Inlocuind in relatia (5) relatia (1) si, tinand cont de relatia de definitie a deformatiilor liniare specifice :

ll∆

ε = (6)

se obtine: P lEA l

∆= ⋅ (7)

de unde rezulta ca deformatia absoluta totala a barei:

P ll

E A⋅

∆ =⋅

(8)

28

Din aceasta relatie se observa ca deformatia totala a barei este proportionala cu lungimea acesteia si invers proportionala cu produsul E A, care poarta numele de rigiditate la solicitare axiala. Aceasta relatie, ca si relatia (1), poate fi scrisa ca relatie de dimensionare, de verificare sau pentru determinarea fortei capabile, dupa cum urmeaza: - pentru dimensionare,

neca

P lAE l

⋅≥

⋅∆ (9)

- pentru verificare,

ef aef

P llE A

l⋅∆ = ≤ ∆

⋅ (10)

-pentru determinarea fortei capabile,

caplP A E

l∆

≤ ⋅ (11)

in care este deformatia liniara absoluta admisibila (alungire sau scurtare). al∆ In cazul in care forta axiala variaza in lungul grinzii, sectiunea acesteia ramanand constanta, in relatiile (2), (3), (9) si (10) se foloseste valoarea maxima a fortei axiale.

Daca bara este formata din n tronsoane, astfel incat tronsonul i are lungimea , forta axiala variaza in functie de x, aria sectiunii transversale variaza in functie de x si materialul din care este confectionat tronsonul este , atunci formula de calcul pentru deformatia absoluta este:

il

iE

i

ni

l i ii 1

P (x) dxlE A (x)=

⋅∆ =

⋅∑ ∫ (12)

De obicei, cand se impune unei piese sa raspunda si conditiei de rezistenta si celei de rigiditate, pentru dimensionare se folosesc relatiile (2) si (9), alegandu-se, in final, solutia cea mai favorabila, adica dimensiunea cea mai mare.

4.4.Tensiuni şi deformaţii la bare drepte ţinând cont de greutatea proprie

La barele de lungime mare care se află în poziţie verticală este necesar să se ţină cont de greutatea

proprie în calculul la întindere sau compresiune. Se consideră bara dreaptă verticală de lungime l , cu sectiunea constata A, cu rigiditatea EA=ct. confecţionată din material omogen cu greutatea specifică . Bara este incastrată la capătul superior şi solicitată la întindere de o forţă P la capătul liber, precum şi de greutatea proprie. Într-o secţiune aflata la distanta x de capătul liber, forţa axială este egală cu

γ

AxPNx γ+= A

B

CP

iar efortul unitar

xAP

ANx

x γ+==σ (18)

Deci, şi variază liniar de-a lungul barei. La extremităţile barei valorile tensiunilor normale sunt:

xN xσ

min1 AP

σ==σ

max2 lAP

σ=γ+=σ (19)

secţiunea periculoasă este la capătul încastrat al barei. Pentru dimensionare se egalează amax σ=σ şi se obţine

lPA

anec γ−σ

= (20)

La bare cu lungimi foarte mari se poate produce ruperea acestora sub greutate proprie (P=0; rr lγ=σ ). Lungimea de rupere sub efectul greutăţii proprii se calculează cu relaţia:

29

γσ

= rrl (21)

Aungirea a întregii bare se obţine integrând pe lungimea : l∆ l

.EA

lA21P

E2l

EAPldx l

AP

E1dx l

2

ll0

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ γ+

=γ

+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ γ+=∆=∆ ∫ ∫

Ţinând de greutetea barei , se obţine: lAG γ=l Gl P

EA 2⎛∆ = +⎜⎝ ⎠

⎞⎟ (22)

iar pentru , 0P =EA2Gll =∆ (23)

Bara de lungime mare şi secţiune constantă este o soluţie neeconomică

de utilizare a materialului. Soluţia corectă o constituie bara de egală rezistenţă la întidere sau compresiune, la care efortul unitar normal este constant în lungul barei. Aria secţiunii barei trebuie să varieze de-a lungul acesteia după o lege exponenţială.

Legea exponeţială de variaţie a secţiunii barei este

ax

x 0A A eγσ= ⋅ (25)

In cazul barei de egală rezistenţă, aria secţiunii inferioare este:

;P

aσ=A0

(26) iar aria sectiunii superioare:

a

l

maxa

PAγσ=

σe (27)

Greutatea barei de egală rezistenţă se determina din conditia de echilibru static a tuturor fortelor axiale care solicita bara:

PAG amax −σ⋅= (28) iar alungirea totala este:

l la a

0 0l dx dx

E Eσ σ

∆ = ε = =∫ ∫ l (29)

Constructiv, o bară de egală rezistenţă este dificil de executat. Ea se înlocuieste printr-o bară cu variaţie în trepte a secţiunii

transversale, realizabilă constructiv mai simplu. Aplicând succesiv formula de dimensionare (20) pentru bara din figura se obţine

1anec 1 l

PAγ−σ

= ; G ef 111 Alγ= ; (30)

2a

1nec 2 l

GPAγ−σ

+= ; G ef 222 Alγ= ; (31)

na

1n1l

G...Gγ−σ++ −

nec nPA +

= ef nnn Al; G γ= ; (32)

Alungirea totală se determină prin însumarea alungirilor tronsoanelor componente ale barei:

n21 l...lll ∆++∆+∆=∆ (33)

30

unde: 11 1

l 1l P GEA 2

⎛ ⎞∆ = +⎜ ⎟⎝ ⎠

. (34)

22 1

2

l 1l P GEA 2

⎛∆ = + +⎜⎝ ⎠

2G ⎞⎟ (35)

nn 1 2

n

l 1l P G G ... GEA 2

⎛ ⎞∆ = + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

n (36)

Observaţie Formulele de calcul stabilite pentru barele verticale lungi solicitate la întindere sunt valabile şi pentru barele verticale solicitate la compresiune ţinând cont şi de greutatea proprie, care este de asemenea o forţă de compresiune dacă nu intervin fenomene de pierdere a stabilităţii.

4.5.Sisteme static nedeterminate solicitate axial Sistemele static nedeterminate solicitate axial sunt sisteme de bare la care numărul necunoscutelor depăşeşte numărul condiţiilor de echilibru mecanic (cel mult 6). Diferenţa dintre numărul total de necunoscute şi numărul condiţiilor reprezintă gradul de nedeterminare al sistemului. Pentru rezolvarea unor asemenea probleme se completează numărul condiţiilor de echilibru cu un număr corespunzător de ecuaţii deduse din analiza modului de deformare a sistemului respectiv, astfel incât să se obţină un sistem cu număr egal de ecuaţii si necunoscute.

În general, pentru un sistem dat static nedeterminat, rezolvarea problemelor presupune parcurgerea următoarelor etape:

1) se scriu ecuaţiile de echilibru static; 2) se stabileşte gradul de nedeterminare G=N-n, unde: n= numărul de ecuaţii de echilibru static,

N= numărul de necunoscute; 3) se stabilesc condiţiile de compatibilitate a deformaţiilor, adică relaţiile geometrice între

deformaţiile diferitelor bare din sistem; 4) cu ajutorul legii lui Hooke se explică deformaţiile axiale ale barelor în funcţie de eforturi şi se

introduc în ecuaţiile deformaţiilor; 5) se rezolvă sistemul complet de ecuaţii obţinut şi se determină eforturile longitudinale din toate

barele sistemelor.

A. Bară dublu articulată solicitată axial

Se consideră o bară dreaptă articulată la ambele capete şi acţionată pe deschidere de o forţă axială P. Din condiţiile de echilibru static:

1) ΣZ=0, 2) ΣM=0

rezultă reacţiunile verticale din reazeme: V1=V2=0 Condiţia de echilibru static din mecanică:

ΣX=0 => PHH 21 =+

Rezultă o ecuaţie şi două necunoscute, deci problema este simplu static nedeterminată, întrucât gradul de nedeterminare este egal cu 1. Se completează ecuaţia (1) cu o ecuaţie ce decurge din analiza deformării barei. Bara, fiind articulată la ambele capete, nu poate să-şi modifice lungimea iniţială (nu are posibilităţi de deplasare pe orizontală), deci:

f i totl l l= =⟩∆ = 0 =∆+∆=∆ −+ 2331tot lll a b 0∆ + ∆ = ⇒ 0b)PH(aH 11 =⋅−+⋅⇒

=> ⎨ => ( )⎩

⎧+=+⋅

=+bPbaH

PHH

1

21

31

=>

1aPH

1bPH

2

1

⋅=

⋅=

ac2

2

ata11

1

AHAH

σ≤=σ

σ=σ≤=σ

Pentru verificarea barelor se calculează tensiunile la tracţiune şi compresiune şi se compară cu rezistenţele admisibile ale materialului la cele două solicitări:

accmax

cmax

attmax

tmax

AN

AN

σ≤=σ

σ≤=σ

Obvervaţie. La oţeluri care se comportă aproape identic la întindere faţă de compresiune, adică se ia în calcul şi se face verificarea pentru această valoare. ,acat σ=σ )

p,n

( cmaxtmax ,max σσ La alte materiale, cum este, de exemplu, fonta, care au comportări diferite la întindere faţă de compresiune, adică cele două condiţii trebuie satisfăcute simultan. acat σ≠σ B. Sisteme de bare paralele solicitate axial Se consideră o bară foarte rigidă (deci, practic, nedeformabilă) dispusă orizontal şi suspendată prin bare verticale sau fire având rigidităţi mult mai mici. Fiecare bară i e caracterizată prin mărimile: Distanţa de la bara i la bara n se notează: Distanţa de la suportul forţei P la bara n se

notează: În bare se creează tensiuni datorită solicitării cu forţa P. Apar n necunoscute: unde i=1....n. Pot fi scrise două condiţii de echilibru:

.iii I,A,E.d n,i

.d n,P ;Ni

(1)

ni

i 1n 1

n i i,ni 1

y 0 N P

M 0 N d P d

=−

=

⎧= ⇒ =⎪

⎪⎨⎪ = ⇒ ⋅ = ⋅⎪⎩

∑ ∑

∑ ∑ Se obtine un sistem de 2 ecuaţii cu n necunoscute, adica se obtine un sistem de (n-2) ori static nedeterminat. Bara rigidă, având rigiditatea foarte mare, nu se deformează sub acţiunea sistemului de forţe, doar barele i se deformează, suportând alungiri, astfel încât bara rigidă se deplasează 1N 2N iN nNpe verticală în jos, putând fi supusă unei rotiri cu un P unghi α faţă de direcţia iniţială a axei sale. Deci mai pot fi scrise următoarele relaţii din triunghiurile asemenea care se formeaza:

cstd

lld

ll...d

lld

lltg,1n

1nn

1n,2n

2n1n

3,2

23

2,1

12 =∆−∆

=∆−∆

==∆−∆

=∆−∆

=α−

−

−−

−− (2)

În relaţiile (2) apar n-2 egalităţi, deci rezultă în final un sistem format din (1)+(2), din n egalităţi cu n necunoscute, deci un sistem determinat. În relaţia (2) se înlocuiesc cu deformaţiile absolute prin expresiile corespunzătoare solicitărilor axiale:

32

i ii

i i

N llE A

∆ = (3), unde i= n,1

În final, se verifică barele articulate: aii

ii A

Nσ≤=σ (4), unde i= n,1

C. Bare cu secţiuni neomogene solicitate axial Sunt barele la care în secţiunea transversală apar cel puţin 2 sau mai multe materiale diferite. Se consideră o bară de construcţie simetrică, la care materialele componente reprezintă cilindrici concentrici. Bara este supusă la compresiune prin intermediul a 2 plăci pentru ca efectul compresiunii să apară la toate materialele.

Lungimile iniţiale ale pieselor ansamblului sunt: llii = Compresiunea, prin intermediul plăcilor, determină ca toate materialele să se deformeze la fel, adică cu aceeaşi cantitate astfel încât lungimile lor finale:

n,1i,ctlfi ==

n,1i,ctlll ii

fii ==−=∆⇒ (1)

ctll

ll i

i

ii =

∆=

∆=ε⇒ (2)

adică, (3) n21 .... ε==ε=ε

Dar: ii

ii AE

N⋅

=ε (4)

Condiţia de echilibru mecanic:

PNn

1ii =∑

= (5)

=> 1 ecuaţie; n necunoscute, adica sistem de (n-1) ori static nedeterminat

Din (3) şi (4) =>

∑∑

∑

==

=

⋅=

⋅=

⋅==

⋅=

⋅ n

1iii

n

1iii

n

1ii

nn

n

22

2

11

1

AE

P

AE

N

AEN...

AEN

AEN (6)

Egalând pe rând, fiecare raport cu ultimul, se determină necunoscutele:

=>

1 11 n

i ii 1

i ii n

i ii 1

n nn n

i ii 1

P E ANE A

..........P E AN

E A

..........P E AN

E A

=

=

=

⎧⎪

⋅ ⋅⎪ =⎪⋅⎪

⎪⎪⎪⎪ ⋅ ⋅

=⎨⎪ ⋅⎪⎪⎪⎪ ⋅ ⋅⎪ =⎪

⋅⎪⎩

∑

∑

∑

=> n,1i =

În final, se verifică materialele: n,1i,AE

EPAN

ain

1iii

i

i

ii =σ≤

⋅

⋅==σ

∑=

33

D. Solicitări axiale produse de variaţii de temperatură Variaţiile temperaturii produc lungirile sau scurtările barelor. Dacă aceste deformaţii sunt împiedicate, atunci în bare apar eforturi de întindere sau compresiune, chiar în lipsa unor forţe exterioare. Avem o bară montată fix între 2 pereţi rigizi la o temperatură . Se cunosc; temperatura iniţială, lungimea şi aria secţiunii barei, precum şi materialul acesteia (constanta de material E), adică: i ,E, A.

0t

,0t Are loc o creştere de temperatură cu ∆t. Dacă bara ar fi liberă să se dilate, ea s-ar alungi cu: tll t ∆⋅⋅α=∆ ∆ (1) unde α=coeficient de dilatare termică dar pereţii nu permit dilatarea şi deci apare o solicitare de compresiune pe care o exercită pereţii asupra barei. Problema este static nedeterminată. Pentru că, în final, ,0ltot =∆ atunci putem scrie:

tAENAElNtl0lll Nttot ∆⋅α⋅⋅=⇒

⋅⋅

=∆⋅⋅α⇒=∆−∆=∆ ∆

unde N= forţa de reacţiune a pereţilor

atEAN

σ≤∆⋅α⋅==σ N N

l D1. Bara prezintă un joc iniţial δ până la perete Ca să apară solicitarea datorită variaţiei de temperatură, trebuie ca:

tl adică l t δ>∆⋅⋅αδ>∆ ∆ lt

⋅αδ

>∆

În acest caz, condiţia de definire este:

( )δ−∆⋅⋅α⋅⋅

=⇒δ=∆−∆ ∆ tllAENll Nt

În final se calculează, în mod obişnuit, tensiunile din bară. Aplicatii

1. O bară dreaptă este articulată la capete şi solicitată de forţele din figură. Bara are secţiunea inelară constantă cu d/D = 0,8. Să se reprezinte diagrama forţelor axiale şi să se dimensioneze bara, dacă se admite σa = 120 MPa şi să se calculeze deplasarea punctelor de aplicaţie ale forţelor. Se cunoaşte unghiul de inclinare a fortelor fata de axa longitudinala a barei: α= 60°

Rezolvare Datorită simetriei forţelor faţă de axa x a barei, reacţiunile verticale sunt nule, iar reacţiunile orizontale XA şi XB din cele două articulaţii nu se pot determina numai cu ajutorul ecuaţiei de echilibru:

A BH 30 2 60 0,5 H 0− + ⋅ ⋅ + = Articulaţiile fiind fixe, lungimea finală este

identică cu cea iniţială, deci alungirea totală a barei este egală cu 0: 1 3 3 4 4 2

A A A

l l l lH *600 (H 30) *1000 (H 30) *800 0

EA EA EA

− − −∆ = ∆ + ∆ + ∆ =

− += + + =

34

Astfel, din condiţia de deformaţie se obţine 24 HA = 60 kN , ceea ce permite să se calculeze din ecuaţia de echilibru reacţiunile: HA = 2,5 kN şi HB = - 32,5 kN. În figură este trasată diagrama forţelor axiale. Dimensionarea se face pentru forţa axială maximă Nmax = 32,5 kN. Condiţia de rezistenţă a barei la solicitarea axiala este:

))D/d(1(D

N4AN

22max

−π==σ < aσ

))D/d(1(

N4D 2

a

max

−πσ= = 2)8,01(120*

32500*4−π

= 27,43 mm

Se adopta D = 30 mm şi d = 0,8D = 24 mm

Deplasarea punctului de aplicatie al fortei P1

321 1 3

1 5 2 2H l 2,5 10 600 4 2,94 10

EA 2 10 (30 24 )−− ⋅ ⋅ ⋅

δ = = = ⋅⋅ ⋅ π −

mm

Deplasarea punctului de aplicatie ale fortelor P2 3

22 2 42 5 2 2

H l 32,5 10 800 4 51,083 10EA 2 10 (30 24 )

−− ⋅ ⋅ ⋅δ = = = ⋅

⋅ ⋅ π − mm

2. O bară dreaptă rigidă este articulată la un capăt şi menţinută în poziţie orizontală de patru bare articulate la capete, verticale, având aceeaşi lungime şi rigiditate, ca în figură. Se cere să se determine eforturile produse sub acţiunea forţelor P în barele verticale precum şi deplasarea capătului liber al barei orizontale. Rezolvare: Cele patru bare articulate sunt supuse la tracţiune şi în ele vor apare eforturile N1, N2, N3 şi N4 , orientate dinspre articulaţii către interiorul barelor. In articulaţie apar două reacţiuni, una orientată pe direcţie orizontală, iar cealaltă, pe direcţie verticală. Pot fi scrise 3 ecuaţii de echilibru static ale forţelor ce solicită bara rigidă:

0

0 1 2 3 4

0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 1

X 0; X 0

Y 0 Y N N N N 2P 0

M 0 l N 2l N 3l N 5l N 4l P 5l P 0

= =

= + + + + − =

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅

∑∑∑ = deci problema este triplu static nedeterminată. Pentru stabilirea ecuaţiilor de deformaţie se consideră poziţia deformată a sistemului. Bara orizontală fiind rigidă, se roteşte dar nu se deformează. Între alungirile ∆l1, ∆l2, ∆l3 şi ∆l4 se pot scrie relaţiile de proporţionalitate:

3 32 4 1 21 2 3 4

1 1 1

l Nl l N N l2; 3; 5 unde l ; l l şi ll l l EA EA EA

∆∆ ∆= = = ∆ = ∆ = ∆ = ∆ =

∆ ∆ ∆4l N l

EA

Prin înlocuire se obţine N2 = 2N1, N3 = 3N1, N4 = 5N1,

35

iar ecuaţiile de echilibru permit acum determinarea reacţiunilor:

0 0 1 2 3 421 9 18 27 45H 0 V P N P N P N P N P

39 39 39 39 39−

= = = = = =

Deplasarea capătului liber al barei rigide coincide cu alungirea absolută a barei articulate 4 şi este:

EA39Pl45

EAlNl 4

4 ==∆

3.O grindă rigidă, având greutatea P, este suspendată cu trei

bare de oţel cu secţiuni egale. La montaj se constată că barele laterale au lungimea l1=3m, iar bara din mijloc este mai scurtă cu ∆l=3 mm. Bara se montează forţat. Să se determine tensiunea normală produsă în cele trei bare dacă se dau P = 45 kN şi A = 500mm2. Să se compare valorile obţinute cu tensiunile care s-ar produce dacă cele trei bare ar avea lungimi egale.

Rezolvare: Ecuaţiile de echilibru static sunt: N1 = N3, N2 – 2N1 – P = 0. După deformarea barelor, grinda rămâne orizontală, datorită

simetriei fizice şi geometrice, deci lungimile celor trei bare deformate trebuie să fie egale. Notând cu ∆l1 deformaţia barelor laterale care sunt comprimate şi cu ∆l2 pe a celei din mijloc care este întinsă, se poate scrie:

2 2 1 11 2

1 2

1 21 2

N l N ll l l lEA EA

P l EA P 2 l EA N - ; N3 3l 3 3l

N NP l E P 2 l- ; A 3A 3l A 3A 3l

∆ = ∆ +∆ ⇒ + = ∆

∆ ⋅ ∆ ⋅= + = +

E∆ ⋅ ∆σ = = + σ = = +

⋅

Numeric se obţine: σ1 = 45000 / 15000 + 3*2,1*105 / (3*3000) = 40 MPa σ2 = 45000 / (3*500) + 2*3*2,1*105 / (3*300)=170 MPa

Barele exterioare sunt comprimate, iar cea din mijloc este întinsă. Când barele sunt executate corect, l1 = l2 deci ∆l = 0. Ca urmare, rezultă:

221 mm/N30

500345000

A3P

=⋅

==σ=σ

5. Se cere să se dimensioneze o tijă de oţel de secţiune circulară, cu lungimea l=900m, solicitată la întindere de o forţă P=270kN. Dimensionarea se va face în trei ipoteze: a – ca bară de secţiune constantă b – ca bară de egală rezistenţă la întindere; c – ca bară compusă din trei tronsoane, fiecare de lungime l1 ,m300=

Se dau: şi γ=78,5kN/m 3 MPa10*1,2E,MPa90 5a ==σ

Se vor calcula lungimea şi greutatea fiecărui tip de bară. Rezolvare

a) Pentru bara de secţiune constantă aria secţiunii este:

256 mm13953

10*9*10*5,7890270000

lPA =

−=

γ−σ=

−

36

Greutatea barei în acest caz este: ,kN8,98510*5,78*10*900*13953lAG 63 ==γ= −

iar lungimea totală va fi:

mm23410*858,9*2110*27*

13953*10*1,210*9G

21P

EAll 54

5

5=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=∆

b)În cazul barei de egală rezistenţă, aria secţiunii inferioare este:

,mm62d,mm300090

270000PA 02

a0 ===

σ=

iar secţiunea superioară:

,mm6561e901027ePA 290

510951085,74a

l

nmax =⋅

⋅=

σ=

⋅⋅−⋅σγ

.mm92dmax =

aσ Greutatea barei în acest caz este: A max

,kN5,32010*2790*6561

PAQ4

amax

=−=

=−σ⋅=

iar alungirea totală este:

mm38610*1,2

900000*90E

ll 5a ==

σ=∆ A min

P b)

+

c) În cazul barei formată din trei tronsoane egale, de lungime l ,m2001= dimensionarea se face cu relaţia:

( )( ) ( )ia2a1a

1ia

i l........llPA

γ−σγ−σγ−σσ

=−

Aria necesară pentru fiecare tronson se calculează începând de jos în sus, adică de la cea mai

mică arie către cea mai mare: 2

55

4

1anec1 mm4063

10*3*10*85,79010*27

lPA =

−=

γ−σ=

−

( ) ( )

( ) ( )2

355

24

31a

2a

nec3

2255

4

21a

anec2

mm745310*3*10*85,790

10*81*10*27l

PA

mm550310*3*10*85,790

90*10*27l

PA

=−

=γ−σ

σ=

=−

=γ−σ

σ=

−

−

Greutatea totală a tijei compusă din tronsoane va fi:

( ) ( ) ,kN400745355034063*10*5,78*10*3AAAlG 65

3211 =++=++γ= − greutatea fiecărui tronson fiind:

,1ii lAG γ= respectiv: G =95,6 kN, =128,7 kN, G =174 kN. 1 2G 3

37

Alungirile tronsoanelor vor fi:

54 31

1 1 51

5321

2 1 2 52

51

3 1 2 3 53

l 1 3*10 1l P G * 27*10 *95,6*10 111,7mmEA 2 22,1*10 *4063

l 1 3*10 1l P G G * 270 95,6 128 10 111,7mmEA 2 22,1*10 *5503

l 1 3*10l P G G G 270 95,EA 2 2,1*10 *7453

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∆ = + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∆ = + + = + + ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞∆ = + + + = +⎜ ⎟⎝ ⎠

31746 128,7 *10 111,7mm2

⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟⎝ ⎠

Alungirea totală va fi: mm335ll i ≅Σ∆=∆În comparaţie cu bara de egală rezistenţă, consumul de metal la celelalte două bare este mai mare cu:

%8,24%1005,320

5,320400G =−

=∆ pentru bara din tronsoane,

%6,207%1005,320

5,3208,985G =−

=∆ pentru bara de secţiune constantă.

În comparaţie cu bara cu tronsoane, la bara de secţiune constantă consumul de metal este mai mare cu:

%.45,146%100400

4006,985G =−

=∆

În figura a), b) şi c) s-au trasat şi diagramele cotate ale tensiunilor normale în MPa în lungul

celor trei bare.

maxσ + + minσ P P a) c)

Cap.5. Calculul conventional al barelor la forfecare

5.1.Tensiuni si deformaţii

Dacă asupra unei bare acţionează două forţe transversale P, egale şi de sens contrar, perpendiculare pe axa longitudinală a barei, atunci se produce o solicitare de forfecare sau de tăiere. Sub acţiunea forţelor, bara se deformează, producându-se lunecări γ, iar in secţiunile transversale solicitate se dezvoltă tensiuni tangenţiale τ.

P=T

P=T

a

h

γ

Calculul convenţional este aplicat frecvent in cazul barelor de secţiune mică şi admite că tensiunile tangenţiale sunt paralele cu forţa aplicată şi repartizate uniform pe suprafaţa secţiunii transversale a barei

38

APP dA 0 P A 0A

− + τ = ⇒ − + τ = ⇒ τ =∫ (1)

Relatia (1) stabileste marimea tensiunii tangenţiale la solicitarea de forfecare a unei bare cu aria secţiunii transversale A şi solicitată de forţa P.

Condiţia de rezistenţă a barei cere ca valoarea tensiunii efective dezvoltată in bara să fie mai mică decât rezistenţa admisibilă a materialului din care este confecţionată bara.

Atunci cand sunt cunoscute fortele exterioare care actioneaza asupra barei si dimensiunile acesteia, relatia (1) poate folosi la verificarea tensiunilor ce iau nastere pe sectiune care se compară cu tensiunea admisibilă sau cu cea de rupere si se scrie sub forma

ef aef

PA

τ = ≤ τ (2)

unde, in cazul materialelor omogene si izotrope, se poate admite τa = (0.5-0.8)σa, in conformitate cu teoriile de rezistenta.

Cu relatia (1) se poate calcula aria secţiunii transversale A, daca se cunoaşte forţa de tăiere şi se alege valoarea rezistenţei admisibile. In acest caz, relaţia foloseste la dimensionare si se scrie sub forma:

neca

PA ≥τ

(3)

Cand se cunosc dimensiunile sectiunii transversale si materialul din care este executata piesa, cu ajutorul relatiei (1) se poate calcula sarcina maximă (forţa tăietoare capabilă) pe care o poate suporta sau al forţa de rupere prin forfecare:

max cap a rup rP P A , respectiv P A= = τ = τ . (4) Relaţiile de mai sus se utilizează la calculul la forfecare al elementelor de imbinare, ca nituri, buloane, pene, suduri, etc. Deformaţia de forfecare constă dintr-o deplasare relativă a unei secţiuni faţă de alta situată la distanţa a . Dacă materialul satisface legea lui Hooke, atunci se obţine:

vtg v aP aa v

P G ADar GG GA

⎫γ γ = ⇒ = γ ⎪ ⋅⎪⇒ =⎬τ ⋅⎪τ = γ ⇒ γ = =⎪⎭

(5)

unde g este deformaţia unghiulară specifică Aceasta relatie, ca si relaţia (1), poate fi scrisă ca relaţie de verificare, dimensionare, sau pentru determinarea forţei capabile, dupa cum urmează: - pentru verificare,

efa

ef

P avG A

⋅= ≤

⋅ av (6)

- pentru dimensionare,

necP aAG v⋅

≥⋅

(7)

-pentru determinarea fortei capabile,

capvP GA GAa

≤ = γ (8)

unde produsul GA dintre modulul de elasticitate transversal şi aria secţiunii transversale se numeşte modul de rigiditate la forfecare . Deformaţia relativa sau specifica este

v Pa GA

γ = =

39

5.2.Probleme de calcul al imbinarilor

Dimensionarea buloanelor solicitate la întindere Diametrul bulonului se calculează din condiţia de rezistenţă la intindere a tijei bulonului:

a2i

P PA d

4

σ = = ≤ σπ

(9)

în care: aσ este rezistenţa admisibilă la întindere a materialului. di<d este diametrul secţiunii nete, măsurat la fundul filetului. Rezultă valoarea diametrului interior

ia

4Pd =πσ

(10)

Pentru filetul metric, relaţia intre diametrul interior şi cel exterior este: 2

id 0,75d

⎛ ⎞ ≈⎜ ⎟⎝ ⎠

(11)

De regulă, materialul din care se confecţionează buloanele este OL 38 şi se recomandă valori pentru rezistenţa admisibilă, in funcţie de precizia prelucrării filetului (valori

mai mari - pentru filetare la strung, şi valori mai mici – pentru filetare la cu filiera). a 48MPa 60MPaσ = ÷

Dacă se ţine cont şi de solicitarea la răsucire a tijei datorată strângerii cu efort a piuliţei, se recomandă ca rezistenţele admisibile să fie 75% din valorile recomandate, adică

. a 36MPa 45MPaσ = ÷Înălţimea hc a capului bulonului se determină din condiţia ca tija să nu se smulgă din capul

bulonului după o secţiune cilindrică, datorită strângerii. Se pune condiţia de rezistenţă la forfecare sau tăiere a capului bulonului:

a1 c

P PA dh

τ = = ≤ τπ

(12)

unde 2i

adP4π

= σ (13)

Rezultă: 2i a c a

1 d dh4π σ =π τ ,

de unde rezultă 2

aic

a

d1h4 d

σ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ τ⎝ ⎠d . (14)

Considerând valorile rezistenţelor admisibile: a 60MPaσ = a 14MPaτ = , se obţine relaţia:

ch 0,7d≈ (15) Înălţimea hp a piuliţei se calculează din condiţia de rezistenţă la forfecare a filetului:

a2 p

P PA dh

τ = = ≤ τπ

(16)

Rezultă: 2i a p a

1 d dh4π σ =π τ

2

aip

a

d1h d4 d

σ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ τ⎝ ⎠0,7d= (17)

40

Datorită neuniformităţii transmiterii forţei de întindere se recomandă majorarea valorii obţinute pentru înălţimea piuliţei la:

ph 0,8d= (18) DIMENSIONAREA BULOANELOR SOLICITATE LA FORFECARE În acest caz, buloanele sunt supuse la forfecare în una sau mai multe secţiuni, depinzând de numărul tablelor care se îmbină. La îmbinarea cu un singur bulon, având o singură secţiune de forfecare (fig. 1), diametrul bulonului se calculează din condiţia de rezistenţă la forfecare:

a2i

P PA d

4

τ = = ≤ τπ

(19)

Se obţine:

ia

4Pd =πτ

(20)

iar dacă îmbinarea este făcută cu n buloane

ia

4Pdn

=πτ

(21)

În cazul îmbinării cu un bulon supus la forfecare după două secţiuni (fig. 2), se pleacă de la

formula

ia

4Pd2

=πτ

(22)

Condiţia de rezistenţă a îmbinării la presiunea de contact se poate utiliza pentru dimensionare sau pentru verificare, daca deja dimensionarea a fost realizată:

c a3

P PA dt

σ = = ≤ σ c

ac

(23)

unde d este diametrul bulonului, iar t grosimea plăcii pe care are loc contactul Rezistenţa admisibilă de contact σ se determină conform relaţiei:

( ) aac σσ 25,1 −= , (24) în care σ este rezistenţa admisibilă minimă a materialului din tijă, respectiv din placă.

a

BULONAREA TABLELOR

Grosimea t a tablei se calculează din condiţia de rezistenţă la presiunea de contact. Dacă bulonul are o singură suprafaţă de forfecare, se poate scrie:

a2P PA d

4

τ = = ≤ τπ

2a

1P d4

⇒ = π τ , (25)

41

2a

c ac c

1 dP 4dt dt

π τσ = ≤ σ ⇒ σ = ≤ σac

8,0

(26) (26)

Făcând înlocuirile: Făcând înlocuirile: 8,0 aσ şi aac σσ 2= , se obţine =aτt 0,3d≈ (27)

Lăţimea b a tablei se determină din condiţia de rezistenţă la solitarea de tracţiune in dreptul secţiunii slăbite (fig. 4a.IV), adică:

( )2a a

1P d b d t4

= π τ = − σ (28)

Înlocuind t 0,3d= şi aa στ 8.0= , se obţine (29) b 2,5d=

Ţinând cont de neuniformitatea repartizării tensiunilor pe secţiune, se majorează valoarea:

db 3= (30) Distanţa de la capătul platbandei până la axul golului se determină din condiţia de rezistenţa la forfecare după secţiunile C-D şi E-F (fig. 4a.).

2a

a

1 dP 4e2et 2t

π ττ = ≤ τ ⇒ = (31)

pentru se obţine (32) t 0,3d= e 1,3d≈ Neuniformitatea repartizării tensiunilor τ pe secţiunile considerate conduce la o majorare a dimensiunii e la valoarea: (33) e 1,5d=

Aplicatii 1. Un arbore canelat transmite un moment de torsiune Mt=50 kNm. Dimensiunile arborelui şi ale canelurilor sunt: D=80mm, d=68mm, h=8mm, b=14mm si l=120mm. Arborele are n=6 caneluri şi este confecţionat din oţel la care se admite pa=340MPa şi τ a=160Mpa. Se cere să se facă verificarea arborelui. Rezolvare Daca se admite ca forţa este preluata in mod egal pe fiecare canelura, atunci forta pe una dintre ele are expresia:

kN1,245668

1010502dnM2

P33

t1 =

⋅⋅⋅⋅

==

Tensiunea de forfecare este:

,MPa160MPa14512014

101,245blP 3

1t <=

⋅⋅

==τ

iar presiunea pe suprafata de contact:

MPa340pMPa31,2551208

101,245hlP

p a

31 =≤=

⋅⋅

==

42

2. Se cere să se calculeze dimensiunile a, b, b1, c si d pentru îmbinarea din figură. Se cunosc : P=200 kN şi rezistenţele admisibile ,

, pa 180MPaσ =

MPa135a =τ a=350 MPa.

Rezolvare Se pune condiţia de rezistenţă a tijei la tracţiune:

aef AP

σ≤=σ unde aria secţiunii transversale este : A = a2

Se obţine: a

2 Paσ

≥ , de unde rezultă:

.mm34180

10200Pa3

a=

⋅=

σ≥

Din condiţia de rezistenţă la presiunea de contact dintre capul tijei şi manşon:

a1

ef pAPp ≤=

se obţine:a

2211 p

PabA ≥−=⇒

respectiv: .mm42b56,4134350

1020apPb 1

24

2

a1 ≅⇒=+

⋅=+≥

Dimensiunea d se obţine din condiţia de rezistenţă la forfecare a umărului manşonului:

a2

ef AP

τ≤=τ ,Pdb4Aa

12 τ≥=⇒

respectiv: .mm981,8145424

1020b4Pd

4

a1≅=

⋅⋅⋅

=τ

≥

Din conditia de rezistenţă la tracţiune a manşonului se obţine:

a3

ef AP

σ≤=σ a

21

23

PbbAσ

≥−=⇒ ,

respectiv: mm54mm62,5342180

1020bPb4

21

a≅=+

⋅=+

σ≥

4. O forţă P = 540kN solicită o îmbinare cu doua bolţuri ca în figura . Se cere să se determine dimensiunile d, h, b, l. Se cunosc: σa=180Mpa; τa=140Mpa si pa=350Mpa. Rezolvare Din condiţia de rezistenţă la forfecare a celor două bolţuri se obtine:

a1

ef AP

τ≤=τ a

2

1P

4d4A

τ≥

π=⇒ ,

de unde:

mm35d1401054dPd

4

a=⇒

⋅π⋅

≥⇒πτ

≥

Din condiţia de rezistenţă la presiunea pe gaură se determină grosimea h a tablelor:

a2

ef pAPp ≤=

a2 p

Phd2A ≥=⇒ , de unde:

.mm22hmm04.22353502

1054hdp2

Ph4

a=⇒=

⋅⋅⋅

≥⇒≥

43

Din condiţia de rezistenţă a tablelor la tracţiune se obţine dimensiunea b

a3

ef AP

σ≤=σ ( )a

3 2Pd2b

2hA

σ≥−=⇒ ,

respectiv: .mm20736,206352180221054d2

hPb

4

a≅=⋅+

⋅⋅

=+σ

≥

Cota l se determină din condiţia de rezistenţă a teblelor la forfecare

a4

ef AP

τ≤=τ a

4Plh4Aτ

≥=⇒ ,

de unde se obţine:

.mm4583,43140224

1054l4

≅=⋅⋅

⋅≥

5. O forţă P=210kN solicită îmbinarea din figura Elementele îmbinarii sunt din otel cu σ a=100Mpa. Se cere să se facă verificarea imbinării. Rezolvare: Tija se verifica la următoarele solicitări: -întindere:

;7570)3070(

000.210AP

a1

ef σ≤=⋅−

==σ

-forfecare:

;2570602

000.210AP

a2

ef τ≤=⋅⋅

==τ

-strivire:

;p1007030000.210

APp a

3ef <=

⋅==

Pana se verifică la următoarele solicitări:

-forfecare: a4

ef MPa70503020

000.210AP

τ<=⋅⋅

==σ

-strivire: a5

ef pMPa63,6330)70180(

000.210APp <=

⋅−==

Cap.6. Solicitarea de rasucire a barelor drepte O bară dreaptă este solicitată la răsucire dacă în secţiunea transversală acţionează un moment dirijat în lungul axei barei. Se va studia răsucirea barelor de secţiune axial-simetrică.

6.1.Calculul momentului de răsucire Atunci când o asupra unei bare acţionează mai multe cupluri exterioare, cu componente (sau dirijate) în lungul axei barei, este necesară construcţia unei diagrame de momente de răsucire. Dacă un arbore transmite puterea N (CP) la turaţia n (rot/min), momentul de răsucire se calculează cu

relaţia: tNM 70258 [N mm].n

= •

Dacă se cunoaşte puterea P (kW) şi turaţia n (rot/min), atunci: tPM 95493 [N mm].n

= •

44

6.2. Tensiuni în bare de secţiune axial-simetrică Se constată că dacă pe suprafaţa cilindrică a unei bare se trasează generatoare şi cercuri paralele, formând o reţea de pătrate curbilinii, după solicitarea barei la răsucire, pătratele devin romburi, lungimea laturilor rămânând neschimbată. De asemenea, secţiunile transversale rămân plane. Se deduce că un element de bară decupat în vecinătatea suprafeţei este solicitat numai de eforturi unitare tangenţiale, altfel eforturile unitare normale ar fi produs lungirea laturilor.

Dacă dintr-o bară încastrată la un capăt, solicitată la răsucire, se decupează un element central de rază r si lungime dx (fig.1), atunci generatoarea CB ocupă poziţia CB′ în urma solicitării, iar raza OB se deplasează în poziţia OB' . Unghiul este unghiul de

lunecare specifică, iar .

γ='ˆBCBϕdBOB ='ˆ

Se constată că B B ' dx r d= γ • = • ϕ ;

deci: θϕγ •== rdxdr unde: ;

dxdϕθ = (1)

se numeşte unghi de răsucire specifică. Aplicând legea lui Hooke pentru tensiuni tangentiale, rezultă

G G rτ = ⋅ γ = ⋅ ⋅θ (2) deci tensiunile tangenţiale variază liniar

a între momentul de răsucire tM tensiu A·r

r dF r dA G r dA G I

cu distanţa la centrul secţiunii. Se consideră că acestea sunt perpendiculare pe rază (fig.2), ceea ce pe contur se deduce direct, pe baza dualităţii eforturilor unitare tangenţiale. Pentru a stabili legătur şi nile τ, se calculează suma momentelor elementare τ·d faţă de punctual O:

2t p

A A AM = ⋅ = ⋅ τ ⋅ = θ ⋅ = ⋅θ⋅∫ ∫ ∫

unde I r dA= ∫ este momentul de inerţie polar al secţiunii

transversale. Rezultă expresia unghiului de răsucire specifică

2p

A

t

p

Mθ =

GI (3)

care, înlocuit în (2), duce la relaţia căutată pentru tensiune: tM r

τ = p

I

(4)

Tensiunea tangenţiala maxima este: t max t tM r M M ⋅

τ = = =maxpp p

max

;II Wr

(5)

iar pp

max

IW ;

r= (6)

este modulul de rezistenţă polar al secţiunii transversale. La secţiunea circulară cu diametrul d avem:

3dπpW

16= (7)

La secţiunea inelară, având diametrul exterior D şi cel interior d, rezultă:

45

4 4(D d )π −4 4p

pI (D d )32W ; D D 16D2 2

π −= = = (8)

Relaţia (5) este utilizată sub următoarele trei forme:

de dimensionare:

-formula

nectMW = p

aτ (9.a)

-formula de verificare: tM ; τ = ≤ τef apW

(9.b)

-formula momentului de răsucire capabil: (9.c)

În relaţiile (9), capt p aM W ; = ⋅ τ

aτ este reziste

.3.Deformatii la rasucire

Din relaţiile (2) şi (3) rezultă unghiul de răsucire pentru un element de bară de lungime dx:

nţa admisibilă la răsucire. 6

t

t pp

MdM G I ϕ= ⋅θ⋅ ⇒ θ = =

dx G I⋅

t

p

M dxd ; GI

ϕ = (10)

unde pGI este modulul de rigiditate la răsucire.

Pe ucire totală este: ntru o bară de lungime l, unghiul de răs1

tM dx

p0

;GI

ϕ = ∫

Dacă bara are secţiune constantă şi = const. pe toată lungimea, atunci: tM

tM l

p;

GIϕ = (11)

Uneori se impune o valoare admisibilă aθ a unghiului de răsucire specifică, astfel că din relaţia (3) zultă re o formulă de dimensionare:

46

tMθ = ≤ θ

nect

pa

MI⇒ =apG I⋅

; Gθ

(12)

.5.Calculul arcurilor cilindrice elicoidale

Arcul cilindric elicoidal poate fi considerat o bară curbă în spaţiu. Dacă

pire strânse, la care înclinarea elicei este foarte mică, forţa axială şi mom

a arcuri cu r ză mare de înfăşurare, în comparaţie cu diametrul sârmei, efectul forfecării este neglijabil, solicitarea principală fiind răsucirea.

6

înclinarea spirelor este mare, forţa P, redusă în centrul de greutate al secţiunii transversale, produce toate cele patru solicitări simple: compresiune, forfecare, încovoiere şi răsucire.

La arcurile cu sentul încovoietor se pot neglija, rămânând forţa tăietoare T=P şi momentul de

răsucire .RPMt •= L a

Din formula de dimensionare la răsucire (9,a), în cazul secţiunii circulare, rezultă: 3 Md PRπ t

pW ;16

= = =τ τ

(13) a a

deci: 3a

16P Rd ; ⋅=

π⋅ τ (14)

cu care se calculează diamet Numărul de spire n se calculează pe baza formulei săgeţii arcului. Aceasta se deduce uşor, egalând

ă cu săgeata f, cu energia de deformaţie la răsucire.

relaţie rul sârmei arcului.

lucrul mecanic produs de forţa P când arcul se comprim2t tM dx M l1 P f ;

2 2GI 2GI⋅ = =∫

p pl

unde 4

t pdM P R; l 2 Rn; I32π

= ⋅ = π = ;

Rezultă săgeata arcului: 3

464P R nf ; ⋅ ⋅

= G d⋅

(15)

Relaţia (15) se mai scrie sub forma: 4

3GdP f kf ; = =

64R n (16)

unde k este constanta elastică a arculuiDacă se impune valoarea constantei elastice

.

;f

k∆

= P∆

din relaţia (16) rezultă numărul de spire: 4

3Gdn ;

64R k=

⋅

Daca se tine seama si de efectul fo ie tertei ta toare, nsiunea maxima intr-un arc elicoidal se stabileste astfel :

nea maxima, datorita rasucirii, este : .dPR16

=τ Tensiu31

π

Tensiunea datorita forfecarii, este : 22

d

P4AP

π==τ

Tensiunea maxima totala este : max 1 2 316PR d1

4Rd⎛ ⎞τ = τ + τ = +⎜ ⎟π ⎝ ⎠

Pentru oţelurile de arcuri, 210 N / mmτ = ⋅ .

6.6. Răsucirea barelor cu secţiune dreptunghiulară Studiul răsucirii barelor de secţiune dreptunghiulară se face în cadrul teoriei elasticităţii, deoarece în

acest ca arelor se deplasează.

2 4a 400 600N / mm ;G 8,5− =

z ipoteza lui Bernoulli nu mai este valabilă, secţiunile b

In cazul sectiunii dreptunghiulare, tensiunea maxima se produce la mijlocul laturii mari a dreptunghiului:

maxt

maxM ;τ = τ = yx 2h bα ⋅ ⋅

La mijlocul laturii mici:

Unghiul de răsucire specifică se calculează cu relaţia: max maxzx yx ;τ = γ ⋅ τ

47

t2

M ;h b Gβ ⋅ ⋅ ⋅

Valorile cienţilor α, β şi γ sunt date în tabelul 1:

θ =

coefi

bh

1 1,5 2 2,5 3 10 ∞

α 08 0,231 46 0,258 67 3 33 0,2 0,2 0,2 0,31 0,3β 1 0,196 9 0,249 3 3 3 0,14 0,22 0,26 0,31 0,33γ 1 0,859 0,705 0,766 0,753 0,742 0,742

ţi care tilize gener de foÎn general, pentru sec uni oare se pot u relaţii alizate rma:

tmax ; τ = θ t ;=

M M

t tW G I⋅unde este modulul de rezistenţă la torsiune (răsucire), iar -momentul de

inerţie la torsiune (răsucire al secţiunii. Valorile acestora se dau în manuale de specialitate.

a se dimensioneze un arbore cu sectiune circulara, care transmite o putere N=80kw, sub o turatie n=1000 rot/min, astfel incat sa satisfaca simultan criteriile de rezistenta si rigiditate. Se dau:

tW tI

Aplicatii

1.Se cere s

aτ =35N/mm si aθ =0,3 /m. Rezolvare

a) Dimensionarea din conditia de rezistenta la torsiune. Se aplica formula:

0

t 9550 9550= =N 80M 764Nm⋅ =

n 10003 3

3tp

a3

M 764 10 d 'W 25,47 1030 16

16 25,47 10d ' 49,9mm.

⋅ π= = = ⋅ =τ

⋅ ⋅⇒ = =

π

Se alege d’=50mm. b)Dimensionarea din conditia de deformatie.

35tM 764 1⋅

ef 4 4pGI 8,1 10 50⋅ ⋅ π ⋅

0 32 1, 49 10 rad / mm−⋅= = = ⋅ (1) θ

6a

0,31800,30 / m rad / mm 5, 24 10

1000−

π⋅θ = = = ⋅ rad/mm (2)

Se constata ca deformatia data de relatia (1) este mai relatia (2). Pentru a nu depasi aceasta deformatie, se face dimenionarea pornind de la conditia de deformatie, cu ajutorul

tiei ) .Se aplica formula:

mare decit deformatia admisibila, data de

rela (13 4j 4 4

p 4a

M 764 10 d"I 181 10 mmG 8,1 10 5,24 10−

⋅ π= = = ⋅ = ⇒

θ ⋅ ⋅ ⋅ 6

4''

32

32 181 10d 65,4mm⋅ ⋅= =

π

Se adopta d=66 mm.

se aplica doua cupluri si se cere:

48

2.Asupra barei din figura

a) sa se reprezinte diagrama momentelor de rasucire ; b) sa se dimensioneze bara, cunoscand aθ =55N/mm , M0=2 KNm, i =0,3 m ; Ip1 =2 Ip2 = 2 Ip.

trare apar doua momente necunoscute, M1 si M2.Ecuatia

= 0 al cu zero . Se aplica reatia :

Rezolvare. a)Problema este simplu static nedeterminata datorita faptului ca in sectiunea din incas

de echilibru mecanic scrisa pentru momente fata de axa barei este: M1 - 3M0 + M0 - M2

Bara fiind incastrata la capete ,unghiul total de rasucire,pe lungimea ei este eg( ) ( ) ( )

49

02

00101011 =⋅

32323 +−

=++⋅

=∆IGIGϕ

⋅−

⋅ pppp

lMMMIG

lMIG

lM

Rezulta:

− MlMM

.75,083,75,4

819

0201 kNmMMkNmMM ===

b)Dimensionarea se face pentru sectiunea periculoasa, adica pentru sectiunea corespunzatoare momentului de torsiune maxim:

36019 M 4,75 108 ⋅

= = =3

3 3 1pnec 1

a

d 16 95 10W 95 10 mm d 78,8mm50 16

π ⋅ ⋅⋅ = ⇒ = =

τ π

Se verifica portiunea de bara cu diametrul d : 4 41p1 1 1

dI d d 7832 2; 2; dπ

= = = = =244p2 22

60 2

ef a3 32

1,8 65,6mm1I 2 2dd

325 5M 2 10 168 8 23,5N / mm

d 65,616

=π

⋅ ⋅ ⋅τ = = = < τ

π ⋅

3) Trei bare din materiale diferite sunt solicitate la torsiune ca in figura 2. Stiind ca sectiunea lor este elara, sunt montate concentric, incastrate la un capat si legate intre ele printr-o placa la capatul liber, sa se

calculez

ele trei bare fiind prinse la capete prin intermediul placii, se vor deforma identic, deci:

ine tensiuniile tangentiale care se produc in cele 3 bare. Rezolvare : C

.IGIGIG

;3p

3t

2p

2t

1p

1t321 ==θ=θ=θ (1) MMM

321 unde s-au notat Mt1 Mt2 Mt3 momentele de torsiune suportate de fiecare bara. Ecuatia de momente fata

de axa barei este .MMMM 3t2t1t0 ++= (2)

Folosind proprietatile sirului de rapoarte, relatia (1) se mai poate scrie :

1t t2 t3 0M M M M= = = (3)

1 p1 2 p2 3 p3 1 p1 2 p2 3 p3G I G I G I G I G I+ +

Egaland pe rand, primele trei rapoarte cu ultimul, se obtin

expresiile momentelor de torsiune corespunzatoare fiecarei bare :

G I

1

1 2 3

2

1 2 3

3

1 2 3

0 1 pt1

1 p 2 p 3 p

0 12 pt2

1 p 2 p 3 p

0 13 pt3

1 p 2 p 3 p

M G IM ;

G I G I G I

M G IM ;

G I G I G I

M G IM

G I G I G I

=+ +

=+ +

=+ +

(4)

Conform relatiei de determinare a tensiunii tangentiale la solicitarea de torsiune, obtinem:

( )

( )

( )

1 1

1 1 2 3

2 22

12 1 2 3

3 3

3 1 2 3

t p0 1 11 p

p 11 p 2 p 3 p

t p0 2 22 p

1

p 21 p 2 p 3 p

t p0 3 33 p3

p 31 p 2 p 3 p

M 2M d G ; WW d2 G I G I G I

M 2M d G ; WW d2 G I G I G I

M 2M d G ; WW d2 G I G I G I

τ = = =+ +

τ = = =+ +

τ = = =+ +

I

I

I

(5)

4.Sa se dimensioneze un arc elicoidal cu raza de infasurare R=50 mm, avand numarul de spire n=10,

stiind ca este solicitat cu o forta P=1200 N si ca materialul are rezistenta admisibila . Sa se determine tensiunea tangentiala maxima care se produce in arc. Se va considera G = 8,5*10

24 /105,8 mmNa ⋅=τ4N/mm2

Rezolvare: a) Se foloseste formula de dimensionare din conditia de rezistenta la torsiune:

mm98,7600

50120016PR16d;PRM16dW

aaa

t3

p =π⋅⋅⋅

=πτ

=τ

=τ

=π

=

Se adopta d=8mm

b) Sageata arcului elicoidal se calculeaza cu formula :

mm276885000

1050120064Gd

nPR64f4

3

4

3=

⋅

⋅⋅⋅==

c) Valoarea tensiunii tangentiale maxime se calculeaza cu formula :

21max mm/N624

50481600

R4d1 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +τ=τ

50

Cap.7. Solicitarea de incovoiere a barelor drepte O bară dreaptă este solicitată la încovoiere dacă în secţiunea transversală acţionează un moment al cărui vector este perpendicular pe axa barei. Incovoierea pură este solicitarea produsă atunci când în secţiunea transversală acţionează numai un moment încovoietor, dirijat în lungul unei axe centrale principale de inerţie a secţiunii. Incovoierea simplă este solicitarea produsă de acţiunea simultană a unui moment încovoietor şi a unei forţe tăietoare. Incovoierea oblică este produsă de un moment a cărei direcţie nu coincide cu direcţiile axelor centrale principale de inerţie a secţiunii.

7.1 Incovoierea pură a barelor drepte

Se consideră o porţiune de lungime dx dintr-o bară de

secţiune constantă, solicitată la încovoiere pură (fig. 1). In urma aplicării momentelor încovoietoare M, bara se deformează ca în figura, cele două secţiuni situate iniţial la distanţa dx rotindu-se relativ cu unghiul dφ, dar rămânând plane, conform ipotezei lui Bernoulli.

Dacă s-ar presupune că bara este formată din fibre longitudinale, atunci s-ar observa că, în urma încovoierii barei,

unele fibre se întind, altele se comprimă. Formula tensiunlor , sau formula lui Navier, este:

y

M zI⋅

σ = (5)

Tensiunea normala maxima are expresia:

maxmax

yy ymax

M z M MII W

z

⋅σ = = = , (6)

unde: yy

max

IW

z= (7)

este modulul de rezistenţă axial al secţiunii transversale. La secţiunea circulară cu diametrul d,

43y

y

dI d64W d d 322 2

π⋅π⋅

= = = (8)

La secţiunea inelară, având diametrul exterior D şi cel interior d,

( ) ( )

4 44 4

yy

D dD dI 64W D D 32D

2 2

π −π −

= = = (9)

La secţiunea dreptunghiulară, cu baza b şi înălţimea h,

32y

y

b hI b h12W h h 62 2

⋅⋅

= = = . (10)

Relaţia (6) este utilizată sub următoarele forme:

51

formula de dimensionare:

necya

MW =σ

; (11,a)

formula de verificare:

ef ay

MW

σ = ≤ σ ; (11,b)

formula momentului încovoietor capabil: (11,c) cap y aM W= ⋅σ

În relaţiile (11), σa este rezistenta admisibilă la încovoiere, iar M – cel mai mare moment încovoietor din bară, care se spune că acţionează în „secţiunea periculoasă”.

O grindă rezistă cu atât mai bine la încovoiere cu cât Wy este mai mare. Forma secţiunii transversale este cu atât mai raţională, cu cât Wy este mai mare, pentru un consum de material cât mai mic, deci pentru o valoare cât mai mică a ariei secţiunii transversale A.

Aplicatii 1.Pentru bara simplu rezemată, încărcată ca în figură, se cere: a)Să se reprezinte diagramele de eforturi. b)Să se dimensioneze bara din condiţia de rezistenţă la încovoiere, cunoscâdu-se rezistenţa

admisibilă la solicitarea de încovoiere σa = 120MPa. c) Să se reprezinte diagrama tensiunilor normale a pe înălţimea secţiunii (6) situată la distanţa egală cu 1,5m faţă de reazemul din dreapta.

Se cunosc: P = 10 kN; q = 20 kN/m; M1 = 20

kN*m ; M2 = 10 kN*m Rezolvare:

a).Determinarea reacţiunilor se face din condiţiile de echilibru static. în reazemele simple(l) şi (2) apar numai reacţiunile V1 şi V2. Alegem sensurile iniţiale orientate de jos în sus.

reale. sensurilecu coincid initial adoptate Sensurile026V024V 0V5MP42q2M0M

0Pq2VV0Z

21

2210

21

⇒>=>=⇒⎩⎨⎧

=−−+⋅+⇒==−−+⇒=

∑∑

Determinarea expresiilor analitice ale eforturilor pe intervale:

1 3 1

13 4 1

4

a) Forta taietoare TT V 24kN cst.

x 0; T 24kNT V qx 24 20x

x 2; T 16kN

−

−

= = =

= =⎧= − = − ⇒ ⎨ = = −⎩

b)Momentul încovoietor

11 3 1

3

x 0; M 0M V x 24x

x 1; M 24kNm−= =⎧

= = ⇒ ⎨ = =⎩

52

( ) ( ) 22 2 23 4 1 1

4

x 0;M 0M V 1 x M qx / 2 24 1 x 20 10x 44 24x 10x

x 1m;M 52kNm−= =⎧

= + + − = + + − = + − ⇒ ⎨ = =⎩

( ) ( ) 44 5 1 1

5

x 0;M 52kNmM V 3 x M 2q 1 x 72 24x 20 40 40x 52 15x

x 1;M 26kNm−= =⎧

= + + − + = + + − − = − ⇒ ⎨ = =⎩

( ) 22 5 2 2

5

x ' 0; M 0M V x ' V x ' 26x '

x ' 1m; M 26kNm−= =⎧

= − − = = ⇒ ⎨ = =⎩

În intervalul 3-4, forţa tăietoare se anulează: T3-4 = 0 => 24 – 20x= 0 => x = 1.2 m Ca urmare, în această secţiune momentul încovoietor va avea un extrem care se calculează înlocuind

pe x =1,2m în expresia momentului încovoietor din acea secţiune ptr: x=1,2m Mmax = M3-4(1.2) = 44 + 24 * 1,2 – 10 * 1,22 = 58,4 kN*m b). Dimensionarea barei constă, practic, în determinarea dimensiunii "a" a secţiunii transversale,

pornind de la formula lui Navier:

σmax = 1maxa

y

MW

≤ σ 1maxy

a

MW⇒ ≥

σ

unde ׀Mimax׀ reprezintă valoarea cea mai mare în mărime absolută a momentului încovoietor (care se ia din diagrama de momente)

Mimax = 58,4 kN*m = 58,4*106N*mm σa = 120 MPa = 120 N/mm2 Rezultă:

a

max1Mσ

= 58,4*106/120 = 487000 mm3 = 487 cm3

Modulul de rezistenţă axial Wy se calculează pentru secţiunea dată cu definiţia:

max

yy z

IW =

unde Iy se determină ca sumă algebrică a momentelor de inerţie axiale ale celor două figuri simple

în care se descompune figura dată (cerc şi dreptunghi) calculate în raport cu axa centrală orizontală. Datorită simetriei figurii faţă de cele două axe, centrul de greutate coincide chiar cu centrul cercului

şi cu centrul de greutate al dreptunghiului care se extrage.

Rezultă: ( ) ( ) ( ) ( ) 434

2y

1yy a190

12a4a2

64a8III =−

π=−=

Datorită coincidenţei axelor y1, y2 şi y3, pentru calculele momentelor de inerţie se folosesc relaţiile obişnuite, fără a se aplica formulele lui Steiner.

34

y a5.47a4a190W =⇒

Se egalează expresia lui Wy (care depinde de a) cu valoarea calculată: 487cm3.

cm2.25.47

487a487a5.47 33 ≅=⇒=

53

c). Tensiunea normală a variază liniar pe înălţimea unei secţiuni, luând valoarea egală cu 0 în axa neutră şi valori extreme în fibrele extreme ale secţiunii.

Datorită simetriei secţiunii faţă de axa y-y, valorile lui s din fibrele extreme: inferioară şi superioară, sunt egale.

1 1 2 26 1 1 6 2 2

6 6y

M z M zI I− −

− −σ = σ =y

Întrucât secţiunea 6 se află în intervalul (4-5), valoarea momentului încovoietor M se determină înlocuind pe x = 0,5m (distanţa de la (4) la (6)) în expresia momentului din intervalul 4-6.

( )

( )

( )MPa99.88

2219088101044

10508.4422190a190I

mm88224a4zzkNm448525.016525.0Mm5.0x

4

33

66

444y

2211

64

2211=

⋅⋅⋅=σ=σ⇒

⋅===

=⋅====−=⋅−=⇒=

−−

−−

−

Cum M4 > 0, semnul lui σ se stabileşte în funcţie de efectul pe care încovoierea îl are asupra fibrelor longitudinale ale barei. Prin deformare, bara devine convexă, adică fibrele situate sub fibra neutră sunt supuse la întindere, deci σ va fi pozitiv, iar pentru fibrele situate deasupra fibrei neutre, fibre care se scurtează, σ va fi negativ.

2. Pentru grinda cu console încărcată ca în figură se cere: 1)Să se reprezinte

diagramele de eforturi 2)Să se dimensioneze bara

din condiţia de rezistenţă la încovoiere, cunoscând σa = 70MPa

3) Să se reprezinte diagrama tensiunilor σ în secţiunea (2)

Se cunosc: q=20kN/m; P=60kN; M==60kN*m.

Rezolvare 1)

a)Determinarea reacţiunilor din reazemele simple (1) şi (2).

Se scriu condiţiile de echilibru static:

( )

1 2

21

Z 0 V V 7q P 0

M 0 q 2 1 q 5 2.5

= ⇒ + − − =

= ⇒ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅∑∑ P 6 V 7 M 0+ ⋅ − ⋅ + =

( )

( )1 2 2

1

630V V 200 V 90kN 0 sens corect7

V 200 90 110kN 0 sens corect

⇒ + = ⇒ = = >

⇒ = − = >

b) Determinarea expresiilor analitice ale forţei tăietoare.

Variabila x care poziţionează secţiunea curentă se alege de la capătul din stânga al intervalului până la secţiune

54

33 1

1

11 4

4

x 0;T 0T qx 20x

x 2m;T 40kN

x 0; T 70kNT 2q qx 70 20x

x 2; T 30kN

−

−

= =⎧= − = ⇒ ⎨ = = −⎩

= =⎧= − = − ⇒ ⎨ = = −⎩

( )4 5 1

2 5 2

6 2

T q 7 V 140 110 30kN cstT V 90kN cstT 0

−

−

−

= − ⋅ + = − + = − =

= − = − =

=

c) Determinarea expresiilor analitice ale momentului încovoietor.

( )

323 1

1

12 21 4 1

4

x 0;M 0M qx / 2 10x

x 2m;M 40kNm

x 0;M 40kNmM q 2 1 x qx / 2 V x 10x 70x 40

x 5;M 60kNm

−

−

= =⎧= − = − ⇒ ⎨ = = −⎩

= = −⎧= − ⋅ ⋅ + − + = − + − ⇒ ⎨ = =⎩

( )

( )

44 5 1

5

22 5 2

5

6 2

x 0;M 60kNm7M q 7 x V 5 x 30x 60x 1m;M 30kNm2

x ' 0;M 60kNmM M V x ' 60 90x '

x ' 1m;M 30kNmM M 60kNm

−

−

−

= =⎧⎛ ⎞= − ⋅ + + + = − + ⇒ ⎨⎜ ⎟ = =⎝ ⎠ ⎩= = −⎧

= − − = − + ⇒ ⎨ = =⎩= − = −

Se constată că forţa tăietoare se anulează în interiorul intervalului (1-4). Ca urmare, momentul încovoietor va avea un extrem care trebuie determinat.

( ) ( ) ( ) kNm5,72405,3705,3105,3Mm5,3xpentru

5,3x0x20700T22

43

41

=−+−=⇒=

=⇒=−⇒=

−

−

Diagramele sunt reprezentate în figură Din diagrama de momente se adoptă valoarea maximă (în valoare absolută) a momentului

încovoietor:

36

a

maxi

6maximaxi

mm036000.170

105.72M

mmN105.72kNm5.72MM

=⋅

=σ

⇒

⋅⋅===

Pentru secţiunea barei, care este reprezentată printr-o figură compusă, trebuie determinată expresia modulului de rezistenţă axial Wz în funcţie de necunoscuta a.

max

yy z

IW =

unde: ( ) ( ) ( ) ( )6y

)5(y

)4(y

)3(y

2y

1y

6

1i

iyy IIIIIIII ++++−== ∑

=este momentul de inerţie axial calculat în raport cu axa centrală orizontală. zmax- este distanţa maximă de la axa centrală orizontală, la fibra cea mai îndepărtată, inferioară sau

superioară a secţiunii. Se descompune figura în: (1) - pătratul de latura 6a, (2) - cercul de diametru 4a, (3), (4). (5), (6) - triunghiuri dreptunghice isoscele de latura 3a. Datorită simetriei, centrul de greutate al figurii coincide cu centrul cercului şi cu centrul pătratului. Datorită faptului că cele 4 triunghiuri dreptunghice au dimensiuni egale, iar centrele lor de greutate

sunt dispuse la aceeaşi distantă de axa z, momentele lor de inerţie Iz vor fi egale.

55

( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 2 (3)y y y y

4 4 3 224

43

y

4 3

I I I 4I

6a 4a 3a 3a 9a 3a4 122.44a12 64 36 2 3

122.44aW 40.8a3a

103640.8a 1036 a 2.95cm40.8

= − + =

⎡ ⎤π ⎛ ⎞⎢ ⎥= − + + =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

⇒ = =

⇒ = ⇒ = =

Se adoptă a=30mm. 3) Diagrama tensiunilor normale a variază liniar pe înălţimea secţiunii, trecând prin 0 în axa neutră

şi luând valori maxime în fibrele extreme ale secţiunii. Trebuie să calculăm numai σ în fibra inferioară a secţiunii (2), care este identică cu cea din fibra

superioară a acesteia.

( )

MPa9.575.72

6070MM

MM

sau

MPa47.54308.401060

Ia3M

IyM

max

2

max

2

max I

Iamax

I

I

max

2max

3

6

z

12

z

212max

==σ=σ⇒=σσ

=⋅

===σ −

Diferenţa de valori se datorează faptului că am adoptat pentru a o valoare majorată, de la 29,5 mm

la 30mm. Dacă s-ar fi calculat σmax(2) luând pe a=29,5mm ar fi rezultat exact σmax2 = 57,9/MPa. Diagrama tensiunilor σ arată ca în figură.

7.3.Deformaţiile barelor drepte solicitate la încovoiere

Admiţând valabilitatea ipotezei lui Bernoulli, studiul deformaţiilor barelor drepte solicitate la încovoiere se reduce la studiul formei deformate a axei barei, denumită linia elastică a barei.

Se notează cu v – săgeata barei (deplasarea pe direcţia z) în secţiunea x şi cu φ unghiul de rotire al secţiunii transversale, egal cu înclinarea tangentei la linia elastică a barei.

Admiţând ipoteza micilor deformaţii, se fac următoarele aproximări:

ϕϕ ≅= tgdxdv

, (13)

Fig.2.

222

3 22 2

d v1 ddx

dxdv1dx

= ≅ρ

⎡ ⎤⎛ ⎞+⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

v. (14)

Din relaţia (14) se obţine: 2

2y

1 M dE I dx

= =ρ ⋅

v (15)

56

În cazul sistemului de axe din figura, deoarece derivata a doua 2

2

dxvd

este negativă când momentul M

este pozitiv, relaţia (15) devine:

( )2

2 y

M xd vE Idx

= −⋅

. (16)

Relaţia (16) se numeşte ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei. Prin integrarea acestei ecuaţii se obţin expresiile analitice ale pantei şi săgeţii în orice secţiune a barei. Metoda integrării analitice a ecuaţiei liniei elastice a barei, prezentată în continuare prin două exemple,

se aplică la bare cu încărcare relativ simplă, cu maxim două deschideri cu ecuaţii diferite ale momentului încovoietor.

a). Metoda integrării analitice Se porneşte de la ecuaţia diferenţială a fibrei medii deformate:

y2

2

EIM

dxzd=

care se integrează de 2 ori succesiv, obţinându-se ecuaţia rotirii şi, respectiv, ecuaţia săgeţii:

11

x

0 yC)x(ECdx

EI)x((M

dxdz

+=+−=ϕ= ∫ (17)

( ) 2112

x

oCxC)x(FdxC)x(ECdxz ++=+=+ϕ= ∫∫ (18)

Se consideră cunoscute expresiile momentului M(x) ca funcţii de sarcini şi de distanţa x. Dacă bara are n intervale, atunci ecuaţia diferenţială a fibrei medii deformate se integrează de 2 ori pentru fiecare interval, obţinându-se n sisteme de câte 2 ecuaţii şi rezultând 2n constante de integrare. Determinarea constantelor se face utilizând: a) condiţii la limită, specifice fiecărui tip de reazem: - în reazemele fixe sau mobile, săgeata este egală cu 0; - în încastrare, săgeata şi rotirea sunt egale cu 0. b) condiţii de continuitate – care afirmă că într-o secţiune k care aparţine la 2 intervale consecutive, săgeata şi rotirea calculate din relaţiile corespunzătoare intervalului din stânga sunt egale cu cele calculate din relaţiile corespunzătoare intervalului din dreapta.

)k(dr

)k(st

)k(dr

)k(st zz

ϕ=ϕ

= ecuaţii )1n(22n2 −=−⇔

Se obţine, astfel, un sistem de 2n ecuaţii cu 2n necunoscute: .C..........C n21 După determinarea constantelor, problema determinării deformaţiilor într-o secţiune curentă se rezolvă astfel: 1-se stabileşte cărui interval al barei aparţine secţiunea curentă. 2-se determină distanţa x de la capătul din stânga al acestui interval până la secţiunea curentă. 3-se înlocuieşte această a lui x în cele 2 ecuaţii corespunzătoare intervalului respectiv, obţinându-se, astfel, rotirea şi săgeata în secţiunea curentă. b).Metode energetice pentru calculul deplasării linear elastice Metodele energetice permit determinarea diferitelor tipuri de deformaţii pornind de la expresia energiei potenţiale de deformaţie totale a sistemului material considerat:

2 222 22 y ytz z

y zl l l l lt y

T dx M dxM dxT dx M dxN dxU k k2EA 2GA 2GA 2GI 2EI 2EI

= + + + + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫z

Pentru un sistem de bare drepte şi curbe:

57

i i i

i i i

2 22 y zy zl l l

i i i22 2yt z

l l lt y zi i i

T ds T dsN dsU k2EA 2GA 2GA

M dsM ds M ds2GI 2GI 2GI

= + +

+ + +

∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫

∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫

k +

În practică, în majoritatea sistemelor supuse la încărcări complexe, termenii proveniţi din forţele axiale şi cele tăietoare sunt neglijabile faţă de cele ce provin din încovoiere şi răsucire. În relaţiile de mai sus, valorile coeficienţilor k sunt: pentru dreptunghi k=6/5 iar pentru cerc k=10/9. b1)Calculul deplasărilor liniar elastice prin metoda lui Mohr-Maxwell Relaţia generală de calcul a deplasărilor:

t ti i ii i l l l l

M m dsNn ds Tt ds M m dsf kEA GA GI EI

= δ = + + +∑ ∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫ ∫ i

în care: - n este forţa axială produsă de sarcina fictivă egală cu 1; - t este forţa tăietoare produsă într-o secţiune oarecare de sarcina fictivă, iar k este un factor ce depinde de forma secţiunii; - m este momentul de răsucire produs într-o secţiune oarecare de sarcina fictivă egală cu unitatea, iar Ip este pentru barele circulare momentul de inerţie polar al secţiunii barei;

t

- m este momentul încovoietor produs într-o secţiune oarecare de sarcina fictivă egală cu unitatea şi dirijată în direcţia deplasării.

i

Pentru calculul deplasărilor se pot folosi şi expresii simplificate: - la arce:

∑∫∑ ∫ +=δ= li

li

ii EIdsMm

EAdsNnf

- la cadre:

∑∫=δ=i

lii

ii EIdsmMf

- la grinzi cu zăbrele:

∑∫=δ= li

ii EAdsNnf

Exemple: 1. Bara în consolă încărcată cu o forţă în capăt Se consideră bara din figura. Momentul încovoietor în secţiunea x are expresia: ( ) xPlPxM ⋅+⋅−= . Ecuaţia diferenţială a fibrei medii deformate este:

( )2

y 2d vE I M x P l P xdx

⋅ = − = ⋅ − ⋅ .

Prin două integrări succesive se obţine:

2

y ydv P xE I E I P L x Cdx 2

⋅⋅ = ⋅ ⋅ϕ = ⋅ ⋅ − + 1,

2 3

y 1x P xE I v P l C x C2 6

⋅⋅ ⋅ = ⋅ − + ⋅ + 2 .

Constantele de integrare C1 şi C2 se determină pe baza condiţiilor la limită; în încastrare, pana şi săgeata sunt nule: 00 ==xϕ ; 00 ==xv .

58

Rezultă C1=C2=0, deci expresiile pantei şi săgeţii devin:

2

y

P l xxE I 2l

⎛ ⎞⋅⎜ ⎟ϕ = −⎜ ⎟⋅ ⎝ ⎠

,

3 2 3

2 3y

P l x xvE I 2l 6l

⎛ ⎞⋅⎜= −⎜⋅ ⎝ ⎠

⎟⎟

.

În capătul barei, pentru x = l, săgeata maximă este:

3

maxy

P lv f3E I⋅

= =⋅

.

2.Grinda încastrată la un capăt şi încadrată cu o sarcină uniform repartizată

Dacă se ia originea axelor de coordonate în extremitatea

liberă a grinzii în poziţia iniţială, momentul încovoietor este dat de expresia

2

2px2xxpM −=⋅⋅−= ,

care păstrează aceeaşi formă pentru toate secţiunile.

Ecuaţia diferenţială a axei deformate va fi

2 2

y 2d v pxEI

2dx= .

Integrând de două ori, se obţin ecuaţiile generale pentru unghiuri şi săgeţi: 3

y 1dv pxEI Cdx 6

= +

4

y 1px

2v C x C24

= + +EI .

Constantele de integrare C1 şi C2 se determină scriind că în secţiunea de încastrare unghiul şi săgeata sunt

nule, adică: pentru x = l , dv 0dx

= şi v = 0.

Înlocuind aceste valori în ecuaţiile generale, se găseşte: 3

1plC6

= − , 4

2plC , 8

=

iar ecuaţiile definitive pentru unghiuri şi săgeţi vom avea forma: 3 3

y ydv pEI EI tg (x l );dx 6

= ϕ = −

4 3 4y

pEI z (x 4l x 3l )24

= − + .

Din aceste situaţii, pentru x = 0 se obţin valorile maxime ale unghiului şi săgeţii la extremitatea liberă a grinzii:

31 1

zx 0

dv pltgdx 6EI=

⎛ ⎞ = ϕ = − ≈ ϕ⎜ ⎟⎝ ⎠

; 4

1z

plv f8EI

= =

59

3.Grinda simplu rezemată la capete încărcată cu o sarcină concentrată

Să considerăm grinda de deschidere l, încărcată cu o

sarcină concetrată P, aplicată la distanţele a şi b de cele două reazeme.

Pe cele două intervale a şi b, momentul încovoitor variază după legi diferite; în consecinţă şi axă deformată va fi reprezentată prin două curbe diferite, care se racordează în dreptul sarcinii.În acest caz, se scrie ecuaţia diferenţială a axei deformate pentru fiecare porţiune de grindă şi se integrează separat. Pentru aceasta, se calculează mai întâi

reacţiunile: ,11bP

V = l

PV a=2

şi apoi se scrie expresia mometului încovoietor în două secţiuni, din care una pe primul interval, la distanţa x de reazemul din stânga şi cealaltă pe al doilea, la distanţa x’ de reazemul din dreapta:

xl

PbxVM x == 1 pentru ax ≤ ;

xl

PaxVM x ′=′=′ 2 pentru bx ≤′ .

Ecuaţiile diferenţiale ale axei deformate pentru cele două porţiuni sunt: 2

y 2d v PbEI x

ldx= − pentru ax ≤ ,

2y 2

d v PaEI xldx

′= −′

pentru bx ≤′ ,

în care v şi v’ reprezintă săgeţile corespunzătoare secţiunilor considerate. Prin integrarea ecuaţiilor de mai sus, se obţin ecuaţiile unghiurilor :

2y 1

dv PbxEI C ;dx 2l

= − +

2y 1

dv PaxEI Cdx 2l

′= − +′

.

Integrând din nou, rezultă ecuaţiile săgeţilor: 3

y 1PbxEI v C x C

6l= − + + 2 ;

3y 1

PaxEI v C ' x C '6l′

′= − + + 2

0

.

Cele patru constante de integrare se determină din condiţiile pe reazeme şi din condiţia de continuitate a axei deformate. Se scriu întâi condiţiile pe cele două reazăme, în dreptul cărora săgeţile sunt nule:

- în secţiunea 1, pentru x = 0, săgeata z = 0 ; - în secţiunea 2, pentru x’= 0, săgeata z’= 0 ;

deci, prin înlocuirea în ecuaţiile săgeţilor, rezultă: 2C = ; C '2 0= . De asemenea, axa deformată fiind o curbă continuă, cele două ramuri se racordează în dreptul sarcinii,

adică: pentru x = a şi x’ = b, săgeţile corespunzătoare celor două ramuri sunt egale, iar unghiurile egale şi de semne opuse:

v v '= ; dv dv 'dx dx

= −′

.

Înlocuind în ecuaţiile generale pentru unghiuri şi săgeţi pe ax = , bx =′ , şi 022 =′= CCegalând între ele părţile din dreapta, conform condiţiei de continuitate, se obţine:

60

3 31 1

Pba PabC a C' b6l 6l

− + = − + ,

2 21 1

Pba PabC C2l 2l

− + = + + ' ,

de unde: ( ) ( ) ( )2 21

Pab Pab PbC 2b a l b l6l 6l 6l

= + = + = − b ;

( ) ( ) 2 21

Pab Pab PaC ' 2a b l a (l a )6l 6l 6l

= + = + = − .

Cu aceste valori ale constantelor, ecuaţiile unghiurilor devin:

( )2

2 2 2y

dv Pbx Pab PbEI (2b a) l b 3xdx 2l 6l 6l

⎡ ⎤= − + + = − −⎢ ⎥⎣ ⎦,

( ) ( )2

2 2 2y

dv ' Pax Pab PaEI 2a b l a 3xdx 2l 6l 6l

′ ⎡ ⎤′= − + + = − −⎢ ⎥⎣ ⎦′ ,

iar ecuaţiile săgeţilor:

( ) ( )3

2 2 2y

Pbx Pab PbxEI v 2b a x l b x6l 6l 6l

⎡ ⎤= − + + = − −⎢ ⎥⎣ ⎦;

( ) ( )3

2 2 2y

Pax Pab PaxEI v ' 2a b x l a x6l 6l 6l′ ′ ⎡ ⎤′ ′= − + + = − −⎢ ⎥⎣ ⎦

Unghiurile de înclinare ale tangentelor la linia elastică în punctele de reazem se obţin făcând x = 0 în ecuaţia tangentelor şi în ecuaţia , cu observaţia că pentru ramura din dreapta unghiurile sunt negative: 0=′x

(1yx 0

dv Pabtg 2b adx 6lEI=

⎛ ⎞ = ϕ = +⎜ ⎟⎝ ⎠

) ;

2yx 0

dvz Pabtg (2a b)dx 6lEI′=

⎛ ⎞ = ϕ = − +⎜ ⎟′⎝ ⎠.

Săgeata comună ambelor ramuri în dreptul sarcinii când aceasta are o poziţie oarecare pe grindă. Poziţia şi valoarea săgeţii maxime în acest caz (când ba ≠ ) vor avea loc în punctul unde unghiul de înclinare al tangentei la linia elastică este nul. Săgeata maximă se produce la stânga sarcinii, în secţiunea de abscisă

( )3

2 abax +=

Dacă sarcina este aplicată la mijlocul grinzii, adică a b l / 2= = s-a văzut mai înainte că săgeata maximă are loc în secţiunea din dreptul sarcinii. În acest caz, valoarea săgeţii va fi x l / 2=

3

1a b y2

Plv48 EI= =

=⋅

,

iar unghiurile în dreptul reazemelor sunt egale între ele

2

1y

Pltg tg16 EI 2ϕ = = − ϕ

⋅

Aplicatii 1. Să se determine rotirea secţiunii (2) şi săgeata secţiunii (6) pentru bara încastrată încărcată ca în figură, prin două metode:

a) metoda parametrilor iniţiali; b) metoda Mohr-Maxwell. P1 = 2ql, P2 = ql, M = 2ql2.

61

SoluţieSe determină necunoscutele din încastrare, şi anume: reacţiunea verticală V1 şi momentul din

încastrare M1 (H1 = 0).

( )

1 1 2 1

1 1 1 22 2

1

0 2 0 3

0 2 3 5 6

6 10 2 6 8

qZ V I P P V ql

0M M ql l P l M P l

M ql ql

Σ = ⇒ − − + = ⇒ =

Σ = ⇒ − + ⋅ + ⋅ − − ⋅ =

⇒ = + − − =

Ecuaţiile rotirii şi săgeţii pentru metoda parametrilor iniţiali sunt:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

3 32

0 1 11 2 2 3 3 4

21

4 54 42 3

0 0 1 11 2 2 3 3 4

3 2

14 5

2 42 6 6

55

2

2 42 6 24 24

5 56 2

Z Z

q x l q x lxEI EI M x V

P x lM x l

q x l q x lx xEI EI x EI x M V

x l x lP M

ϕ ϕ

ϕ

− − −

−

− − −

−

− −= + − + − +

−+ + −

− −= ⋅ + ⋅ + − + − +

− −+ +

A doua relaţie, cea a săgeţii, se obţine prin integrarea primei relaţii. Parametrii iniţiali, şi anume rotirea şi săgeata în secţiunea din încastrare sunt egali cu 0, astfel încât ecuaţiile devin:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

3 322

1 2 2 3 3 42

2

4 54 42 3

2

1 2 2 3 3 43 2

2

4 5

2 48 3

2 6 6

2 52 5

2

2 48

2 6 24 24

5 52 2

6 2

Z

q x l q x lxEI ql x ql

ql x lql x l

q x l q x lx xEI ql ql

x l x lql ql

ϕ− − −

−

− − −

−

− −= − + − +

−+ + −

− −= − + − +

− −+ +

Pentru determinarea rotirii φ2 a secţiunii (2) se înlocuieşte x = 2l (care determină poziţia secţiunii (2) faţă de capătul din stânga al barei) în toţi termenii situaţi în stânga barei verticale care are indicii 1-2:

( )2 3

22

21 18 2 32l qlql l ql

EI EIϕ

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⋅ − =⎢ ⎥⎣ ⎦

0

Pentru determinarea săgeţii y6, mai întâi observăm că secţiunea (6) aparţine intervalului (2-3) şi că ea se găseşte la distanţa x = 3l faţă de capătul din stânga al barei. Ca urmare, se înlocuieşte x = 3l în ecuaţia a doua, cea corespunzătoare săgeţii; în toţi termenii situaţi în stânga barei verticale care are indicii 2-3.

( ) ( ) ( )2 3 4 4

26

3 3 3 21 28 32 6 24l l l l qlZ ql ql q

EI EI

⎡ ⎤−⎢ ⎥= ⋅ − + =⎢ ⎥⎣ ⎦

2,54

62

Metoda Mohr-MaxwellPentru determinarea rotirii φ2, se introduce în secţiunea (2) a barei un cuplu = 1 cu sens iniţial pozitiv

(se face abstracţie de încărcarea exterioară a barei) şi se determină expresiile momentului încovoietor în acest caz. În încastrare apare un moment egal cu 1, dar de sens opus,

1 2 2 3 3 4 4 52; 1 1 0.m m m m− − − −= − = = = − + = Expresiile momentului încovoietor pentru încărcarea exterioară dată iniţial sunt:

( )

( ) ( )( ) ( )

21 2

2 22 2

2 3

2 23 4

2 24 5

8 3

8 3 2 32 2

8 3 4 2 2

8 3 5 2 2 2 2

M ql qlx

qx xM ql ql l x ql qlx q

M ql ql l x ql l x ql qlx2M ql ql l x ql l x ql qlx ql qlx

−

−

−

−

= − +

= − + + − = − + −

= − + + − + = +

= − + + − + − − = −

Se foloseşte formula:

( )( )

( )

22

20

2 32

1 1 8 3 1

2 108 2 32

l

lii

M mdx ql qlx dxEI EI

l qlql l qlEI

ϕ⎡ ⎤

= ⋅ = − + −⎢ ⎥⎣ ⎦

= ⋅ − =

∑∫ ∫ =

Celelalte 3 integrale erau identice cu 0, datorită expresiilor m = 0 de pe ultimele trei intervale. Determinarea săgeţii Z6 În secţiunea (6) se introduce o forţă concentrată = 1 pe direcţia necunoscută ce trebuie determinată,

adică pe direcţie verticală, cu sens iniţial orientat de sus în jos. Se determină necunoscutele din încastrare, şi anume: V1 = 1 şi M1 = 1*3l= 3l, cu sensurile din

figură, şi se scriu expresiile momentului încovoietor m' corespunzătoare acestei încărcări.

( )( )

1 2

2 6

6 3

' 3 1 3' 3 1 2

' 3 1 3 1

m l x lxm l l x l x

m l l x x

−

−

−

= + ⋅ = −

= − + + = − +

= + + − ⋅ = 0

Analog 3 4 4 5' 'm m− −= = 0Săgeata Z6 se determină cu relaţia:

( )( )

( ) ( ) ( )

( )

23

60

2 2212 3 2 2

0

3 2 3 3 4 43 2

1 1 8 3 3

2 212 3 24 2 9 82 2 2

2 22,543 2 3 33 2 2 3 3 2 4

l

lii

Z M mdx ql qlx l x dxEI EI

l lqxql qlx l x dx ql l ql qlEI

l l ql l l q l qlql ql l ql qlEI

⎡= ⋅ = − + − + +⎢

⎣⎡⎤⎛ ⎞⎢+ − + − − + = ⋅ − − +⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢⎥⎝ ⎠ ⎦ ⎣

⎤+ + ⋅ − + − − =⎥

⎥⎦

∑ ∫ ∫

∫ Observaţie:

Deoarece, prin calcul, φ2 a rezultat pozitiv, înseamnă că sensul rotirii secţiunii (2) coincide cu sensul momentului egal cu 1 introdus în acea secţiune, adică sensul orar.

Analog, y6 a rezultat pozitivă, ceea ce înseamnă că deplasarea reală a secţiunii (6) este pe direcţie verticală, de sus în jos, adică sensul săgeţii coincide cu sensul sarcinii egale cu 1 care a fost introdusă în secţiunea 6.

63

2. Pentru bara încărcată ca în figură se cere: 1) să se reprezinte diagramele de eforturi 2) să se dimensioneze bara din condiţia de

rezistenţă la încovoiere, ştiind că σa = 100 MPa, şi să se determine σmax.

3) să se calculeze apoi, rotirea secţiunii 4, situată la distanţa x = 4,5 m faţă de capătul din stânga al barei, folosind metoda parametrilor iniţiali. Se cunosc: q1=30 kN/m;q2 = 20 kN/m, P1 = 15 kN, P2 = 25 kN; M1 = 10 kN m; M2 =35 kN m. Rezolvare: 1. Determinarea reacţiunilor:

( )

1 1 1 1 2 2

1 1 1 2 2 2 21

1 2 2 1

0 2 2 00 2 1 2 1 2 5 0M V− ⋅ =

140 , 5 135 .

Z P q V q VM M P q q P

V V kN V kN V kN

Σ = ⇒ − + − + =Σ = ⇒ − − ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ +

⇒ + = = ⇒ = Determinarea expresiilor analitice ale eforturilor.

( )

00 1 1 1

1

11 2 1 1 1 2

2

3 2 22

020 1 1 1 1

1

0; 1515 30

2 ; 75

0; 602 60 2

2 ; 20

5

0; 1010 15 15

2 ; 1002

x T kNT P q x x

x m T kN

x T kNT P q V q x x

x m T kN

T V kN

x M kNmxM M P x q x xx m M kNm

−

−

−

−

= =⎧= − − = − − ⇒ ⎨ = = −⎩

= =⎧= − − + − = − ⇒ ⎨ = =⎩= − = −

= = −⎧= − − − = − − − ⇒ ⎨ = = −⎩

( ) ( )

( )

2

1 2 1 1 1 2 1

2 2

1

2

33 2 2

2

2 2 12

10 30 15 50 60 10 135 100 60 100; 1002 ; 20

' 0; 0' 5 '

' 3 ; 15

xM M P x q x q V x

x x x x x xx M kNmx m M kNm

x MM V x x

x m M kNm

−

−

= − − + − + − + =

− − − − − − + = − + −

= = −⎧⇒ ⎨ = = −⎩

= =⎧= − = ⇒ ⎨ = =⎩

2. Dimensionarea secţiunii transversale Datorită faptului că figura dată are axa verticală ca axă de simetrie, centrul de greutate se găseşte pe

axa z a sistemului z G y ales ca sistem iniţial. 2.1) Figura se descompune în dreptunghiul 1, două triunghiuri (2) şi (3) şi cercul (4) => YG = 0

64

4

1 1 1 2 2 3 3 44

1 2 3 4

1

2 2

2 2 2

4 2 4 224 0 4 42 3 2 3 2,234

24 4

i Gii G G G

G

ii

A ZA Z A Z A Z A ZZ

A A A AA

a a a aa a a a aa

a a a

π

4G

π

=

=

+ + −= =

+ + −

⋅ ⋅⋅ + + −

= =+ −

∑

∑=

Se figurează sistemul central de axe zG G yG. 2.2. Dimensionarea secţiunii barei. Se utilizează formula lui Navier:

max maxmax

max

i ia y

y

M MW

Wσ σ

σ= ≤ ⇒ ≥

Se calculează momentul de inerţie axial IyG în raport cu axa centrală orizontală:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

31 2 4 22

3 32 22 2

6 42 24 0,234

12

4 22 2 0,43 1,234

36 64

⎡ ⎤⎢ ⎥= + − = + +⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢+ − +⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣

G G G Gy y y ya a

I I I I a a

a a aa a a a

ππ 432

⎤⎥ =⎥⎦

a

( )

43

max

max

32 14,32,234

2,234 ;1,766

= = =

=

GG

yy

I aW aZ a

Z max a a

Se foloseşte formula lui Navier şi rezultă: max≥G

iy

a

MW

σ.

La limită, mergand la egalitate se obţine:

6

3 6 3100 1014,3 10 41,2100

a mm a⋅= = ⇒ = mm

Tensiunea tangenţială maximă se înregistrează în fibra neutră a secţiunii în care se înregistrează valoarea absolută maximă a forţei tăietoare, adică în secţiunea (1), în stânga ei înregistrându-se valoarea -75kN.

maxmax

y y

y y yG

T S

b Iτ −

−=

( ) ( )2

3

2,2346 2 7,1574

1,766 1,766 1,7662 8 2 0,558 12,1722 2 3

−

− ∆

= + =

= − = − − =

y y

y y

ab a a aa

a a aS S S a a a a

( )33

max 475 10 12,172 41,2

2,3487,157 41,2 32 41,2⋅ ⋅

⇒ = =⋅ ⋅ ⋅

MPaτ

65

3. Pentru determinarea rotirii secţiunii 4 se scriu ecuaţiile rotirilor şi săgeţilor:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

3 22 2

00 1 1 2

2 3

2 3

4 32 3 4

0 00 1

4 3 4 2

1 2 2 3

30 2 135 2 20 21510 302 6 6 2 6

25 4 10 435 4

2 3

30 2 135 210 15 302 6 24 24 6

20 2 25 4 10 4 35 424 6 12 2

− −

−

−

− −

− − −= + + + − − +

− −+ − − −

− −= + ⋅ + + + − − +

− − − −+ − −

x x xx xEI EI x

x xx

x xx x xEIz EIz EI x

x x x x

ϕ ϕ

ϕ

3

Pentru determinarea parametrilor iniţiali se pun condiţiile la limită în reazeme relativ la deformaţii. Se

ştie că în reazeme săgeata este nulă.

pentru 1 0 08 12 0 0 2 20 15 303 2yx m Z EI EIϕ= ⇒ = ⇒ = + + + +

64

pentru 3

3 0 0

4 4 3 4 3 4

157 0 0 7 5 496

30 30 135 20 25 5 357 5 5 5 3 324 24 6 24 6 6 2

zx m Z EI EIϕ= ⇒ = ⇒ = + + ⋅ +

+ − − + + − − 2

7

3

Prin rezolvarea sistemului de două ecuaţii cu necunoscutele φ0 şi y0 se obţine: 2

03

630

1200Zo

EI kNm

EI knm

ϕ = −

=

Ca urmare, în ecuaţia rotirilor, cunoscând înlocuind pe x = 4,5m în toţi

termenii situaţi în stânga barei cu indicii 2-3 (secţiunea (4) aparţine acestui interval) se obţine:

20 630EI kNmϕ = −

( )3 3 22

4

2 2 32

3 6

4 5 4

30 4,515 30 2,5 135 2,5 20 2,5630 4.5 10 4,52 6 6 2 6

20 2,5 25 0,5 10 0.5 35 0,5 443,336 2 3

443,33 10 10 0,0228 1,3122.1 10 32 41,2

⋅ ⋅ ⋅= − + ⋅ + + + − − + +

⋅ ⋅ ⋅+ − − ⋅ = −

⋅ ⋅⇒ = = − = −

⋅ ⋅ ⋅o

EI

kNm

rad

ϕ

ϕ

3

2. Pentru grinda rezemată, cu încărcarea din figură, se cere: 1)Să se reprezinte diagramele de eforturi; 2)Să se dimensioneze bara, ştiind că pe intervalul 3 - 4 are secţiunea transversală ca în figură, iar pe

restul lungimii are secţiunea dreptunghiulară 5a x 4a. Se cunosc: q = 10kN/m, P = 10 kN, P = 20kN, M=50kNm .

Soluţie1) Diagramele se reprezintă obişnuit şi arată ca in figură.

66

Reactiunile rezulta din ec. de echilibru: V1 = 6kN, V2 = 4kN 2)Secţiunea dreptunghiulară este solicitată de momentul

maxim M = 46 kNm, deci se aplică formula lui Navier în secţiun. (5):

( )22 6max

25 4 46 10

6 6 10⋅ ⋅

= = = =ya

a a MbhWσ

Rezulta: a3 = 34500mm3. Secţiunea slăbită este solicitată de momentul M = 22 kNm. Se calculează poziţia centrului de greutate ( situat pe axa de simetrie a figurii la distanta egala cu 2,8 a fata de fibrele inferioare ale sectiunii) şi se calculează modulul de rezistenţă axial in raport cu axa y care trece prin centrul de greutate : Wy = 2,857a3. Se aplică formula lui Navier şi rezultă:

2,857a3 = 220000mm3 , a3 = 77004mm3 adica a = 43mm. Evident, soluţia care se adoptă este a = 43mm, adică cea

mai mare dintre cele două variante.

Cap.8. Stabilitatea echilibrului elastic al barelor drepte Când s-a studiat solicitarea simplă de compresiune axială, dimensiunile transversale ale pieselor au

fost determinate pe baza condiţiilor de rezistenta.

apA

σ σ= ≤

Fenomenul de trecere a unei piese din starea de echilibru stabil in cea de echilibru nestabil, atunci când sarcinile aplicate ajung la o anumită valoare critică se numeşte flambaj.

Flambajul poate să apară nu numai ia barele solicitate la compresiune, dar şi la cele solicitate la încovoiere sau răsucire.

A calcula o piesă la flambaj înseamnă a determina valoarea forţei critice Pf şi a alege foiţa reală P de (c) ori mai mică, numărul c purtând numele de coeficient de siguranţă la flambaj, deci:

fPP

c=

Forţa critică de flambaj produce in bara comprimata o tensiune normala denumită tensiune critica.

ff

PA

σ =

Comparând valoarea tensiunii normale critice de flambaj cu limita de proportionalitate a materialului, se poate întâmpla ca ea sa fie inferioară sau superioară acestei limite. In primul caz avem de-a face cu fenomenul de flambaj elastic, iar in al doilea, de flambaj plastic. Tensiunile normale critice sunt tensiuni periculoase pentru bara comprimată. De aceea, pentru a asigura stabilitatea formei rectilinii a barei comprimată de forţa P, este necesar ca la condiţia de rezistenţă

apA

σ σ= ≤

67

să se mai adauge şi condiţia de stabilitate

afpA

σ σ= ≤

in care af este rezistenţa admisibilă la flambaj, care poate fi calculată cu relaţia:

faf c

σσ =

8.1. Formula lui Euler pentru calculul forţei critice de flambaj la barele drepte comprimate Forţa critică de flambaj Pf, adică forţa de comprimare axială minimă capabilă să menţină in echilibru o

bară comprimată, uşor curbată, este necesară pentru aflarea tensiunilor normale critice f. Există patru cazuri clasice de bare solicitate la compresiune care diferă intre ele numai prin felul

reazemelor şi anume: 1- bara articulată la ambele capete: 2- bara încastrată la un capăt şi liberă la celălalt: 3- bara încastrată la un capăt şi articulată la celălalt: 4- bara încastrată la ambele capete. La flambaj se consideră că axa barei este deformată intr-o secţiune x, cu o săgeată y şi se caută

valoarea sarcinii P de compresiune axială care produce o astfel de deformaţie. Pentru rezolvarea problemei se poate utiliza ecuaţia diferenţială simplificată a axei deformate a barei, cunoscută de la studiul încovoierii:

( )2

2M xd z

EIdx= −

Valoarea minimă a forţei critice de flambaj in cele patru cazuri clasice se determină cu o relaţie ce are forma generală unitară:

2min

2ff

EIPl

π=

care se numeşte formula lui Euler. Mărimea lf reprezintă distanţa intre două puncte de inflexiune consecutive ale axei deformate,

presupusă prelungită la infinit şi poartă numele de lungime de flambai a barei. La barele cu secţiune pătrată, circulară, inelară, la care momentele de inerţie in raport cu axele

centrale sunt egale intre ele, flambajul se poate produce in orice direcţie. Daca secţiunea barei are momente de inerţie diferite pe diverse direcţii, aşa cum este cazul secţiunii

dreptunghiulare, flambajul barei se va produce pe direcţia cu moment de inerţie minim. Lungimea de flambaj depinde de lungimea reală a barei şi de felul de rezemare al acesteia si are,

pentru cele patru cazuri studiate, următoarele valori: - cazul 1). lf = l; - cazul 2). lf = 2l; - cazul 3). lf = ½ = 0,71; - cazul 4). 1f = 1/2 = 0,51;

unde l este lungimea reală a barei.

8.2.Formulele Tetmayer-Iasinski pentru flambajul plastic Cunoscând expresia generală a forţei critice de flambaj pentru barele drepte solicitate la compresiunea

axială, se poate calcula tensiunea normală critică de flambaj Qf dacă se împarte valoarea forţei Pf prin aria A a secţiunii transversale a barei:

2 2min

2 2

min

ff

f f

P EI Ea l A l

i

π πσ = = =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Notând coeficientul de subţirime sau de zvelteţe rezultă:

68

2

2min

ff

l Ei

πλ σλ

= ⇒ =

Soluţia teoretică obţinută de Euler se verifică experimental numai pentru barele subţiri şi lungi, cu un coeficient de zvelteţe mare şi unde se aplică legea lui Hooke.

In practică, se folosesc pentru studiul flambajului peste limita de proporţionalitate formule obţinute pe cale experimentală, cele mai cunoscute fiind formulele stabilite de L. Tetmajer si F.lasinski.

Pentru barele de oţel şi lemn tensiunea normală critică de flambaj variază după dreapta: f a bσ λ= −

Iar pentru barele de fontă variază cu parabola 2f a b cσ λ λ= − +

Coeficienţii a, b şi c din formulele de mai sus se determină prin încercări directe pentru fiecare material. Pentru o serie de materiale, mai des întâlnite in practică, valorile acestor coeficienţi se găsesc in STAS-uri şi manuale inginereşti.

8.3.Calculul la flambaj al barelor comprimate Forţa reală care acţionează asupra unei bare cu lungimea mare şi secţiunea mică in lungul axei sale

longitudinale trebuie să fie mai mică decât sarcina critică de flambaj. Tensiunea normală efectivă de compresiune care apare intr-o secţiune normală pe axa barei trebuie să fie mai mică decât cea critică de flambaj.

Calculul la flambaj al barelor comprimate constă in: 1.- a dimensiona o bară, dacă se cunoaşte coeficientul de siguranţă, c; 2.- a verifica valoarea lui c dacă bara este dimensionată şi i se cunosc toate elementele geometrice. Pentru dimensionarea unei piese se parcurg următoarele etape: -se stabileşte modul de rezemare şi lungimea de flambaj lf; -se alege un coeficient de siguranţă c, după importanţa piesei, din STAS-uri şi mărimile lf şi c se

introduc in formula lui Euler:

( )

2min

2fP EIP

c c lπ

α= =

din care rezultă momentul de inerţie:

( )2min 2

Pc lI

Eα

π=

-se adoptă forma optimă a secţiunii şi se calculează aria A a acesteia. -se alege materialul şi anume, atât timp cât tensiunile normale critice nu depăşesc limita de

proporţionalitate a materialului, singura caracteristică mecanică care determină rezistenţa barei la pierderea stabilităţii este modulul de elasticitate longitudinală E. I

Observaţii:1. Pentru piesele care pot să flambeze, cele mai recomandabile forme de secţiuni sunt cele care au

acelaşi moment de inerţie pe toate direcţiile, adică secţiunile circulare, inelare sau pătrate. 2.Secţiunea inelară este mai avantajoasă decât cea circulară, având, pentru aceeaşi cantitate de

material, un moment de inerţie mai mare decât cea circulară . 3.Dacă este nevoie să realizăm o secţiune compusă din două profile I sau U, trebuie să avem in vedere

faptul că acestea nu lucrează bine la flambaj, când sunt luate individual, deoarece se înregistrează o diferenţă mare intre momentele de inerţie centrale. Pentru a evita această deficienţă, cele două profile trebuie depărtate una de alta şi solidarizate cu zăbrele de dimensiuni mici, astfel incât cele două profile să lucreze ca o singura bară.

- cunoscând momentul de inerţie minim lmjn şi aria secţiunii A, se calculează raza de inerţie minimă:

minminIiA

=

apoi se determină coeficientul de zvelteţe:

69

min min

fl li i

αλ = =

Valoarea lui λ poate determina apariţia a două situaţii: 1) λ > λ0 deci piesa este solicitată in domeniul flambajului elastic, adică dimensionarea cu formula lui

Euler este buna. 2) λ < λ0, adică piesa este solicitată in domeniul plastic, deci dimensionarea cu formula lui Euler nu

este corectă. In aceasta situaţie, calculul se continuă cu formulele flambajului plastic, după cum urmează: - cu valoarea lui X se determină efortul unitar critic de flambaj, aplicând formulele Tetmajer-lasinski; - se calculează apoi tensiunea normală de compresiune simplă:

PA

σ =

- se calculează coeficientul de siguranţă la flambaj:

f fPc

Pσσ

= =

Dacă valoarea obţinută pentru c cu această relaţie este egală sau mai mare ca valoarea aleasă pentru coeficientul de siguranţă, atunci dimensionarea făcută este corectă. In cazul când se obţine o valoare a lui c mai mică decât cea aleasă, se vor mări treptat dimensiunile piesei si apoi se recalculează mărimile imin, λ şi σ, până când se obţine coeficientul de, siguranţă dorit.

Dacă se cere verificarea la flambaj a unei piese, ale cărei elemente geometrice sunt cunoscute, atunci trebuie să determinăm coeficientul de siguranţă la flambaj. In această situaţie se procedează după cum urmează:

- Se calculează coeficientul de zvelteţe şi se compară cu λ 0 stabilind zona de flambaj in care se află piesa.

-Daca λ > λ0 se determina Pf şi apoi se determină c;- Daca λ < λ0 se determină σf, apoi se calculează forţa critică

f fP Aσ=

şi apoi rezultă c, care se compară cu cel admisibil.

Metoda de calcul la flambaj a pieselor comprimate, folosind formula lui Euler, are dezavantajul că depinde de coeficientul de zvelteţe şi de coeficientul de siguranţă, ori, valorile coeficientului c sunt variabile şi nu există norme tehnice oficiale pentru ele, rămânând ca acestea sa fie alese de proiectanţi. Valorile extreme ale lui c sunt: minim c=4 si maxim c=28.

Rezistenta admisibila la flambaj σaf este definită de relaţia:

faf

Pc Aσ

σ = =

Aplicatii

1. O bară dublu articulată la ambele capete, confecţionată din oţel este solicitată de o forţă axială P=1400 N. Ştiind că : 1=18 m, diametrul secţiunii circulare a barei este d=24 mm, să se calculeze coeficientul de siguranţă faţă de pericolul de flambaj al barei. Se cunoaşte constanta E = 2 x 105MPa .

Soluţie

Se calculează aria secţiunii 2

452.164dA mmπ

= =

Se calculează momentul de inerţie axial minim al secţiunii: 4

64min z ydI I I π

= = =

Raza de inerţie minimă se calculează cu relaţia de definiţie:

70

4

min2

64 6

4

min

dIi m

A d

π

π= = = m

Pentru bara dublu articulată la ambele capete lungimea de flambaj este: 1800fl l mm= =

Ca urmare coeficientul de zvelteţe:

min300fl

iλ = =

Tensiunea critică de flambaj se calculează cu relaţia lui Euler: 2 2 5

2 22 10 22

300fE MPaπ πσ

λ⋅

= = =

Tensiunea efectivă se calculează cu relaţia:

3.1efP MPaA

σ = =

Coeficientul de siguranţă:

7.1f

efc

σσ

= =

2. Să se calculeze forţa critică de flambaj Pcr şi tensiunea critică de flambaj în cazul unui stâlp

încastrat la un capăt şi articulat la celălalt, de lungime 1=1,5 m si având secţiunea inelară cu D=40 mm iar d=30 mm . Se cunoaşte constanta elastică a materialului E= 0,7 x 105MPa şi limita de proporţionalitate a acestuia σp = 180MPa.

SoluţieMomentul de inerţie al secţiunii circulare inelare este:

( )4 44 4 17540 30 [ ]

64 64 64

D dI c

π π π−

⎡ ⎤= = − =⎣ ⎦4m

Aria secţiunii drepte a barei este:

( )2 2 27 [ ]4 4

A D d cmπ π= − =

Raza de inerţie a secţiunii:

min 1.25Ii cA

= = m

In cazul barei încastrate la un capăt şi articulată la celălalt, lungimea de flambaj este: 0.7 1.05fl l m= =

Ca urmare, coeficientul de zvelteţe:

min84fl

iλ = =

Dar 0 62p

Eλ πσ

= = Deci λ > λ0.

In acest caz , forţa critică de flambaj se determină cu formula lui Euler: 3

2 54.6 10 54.6mincr

f

EIP N kl

Nπ= = ⋅ =

71

Tensiunea critică de flambaj este:

100crcr

P MpaA

σ = =

3. O bară este articulată la un capăt şi încastrată la celălalt, de lungime l, fiind confecţionată dintr-un

material la care se cunoaşte coeficientul de zvelteţe şi modulul de elasticitate longitudinal:E= 2,1 x 105 N/mm2

λ0 = 105, Se cunosc si: . 4 4 4 4 4 4min72 10 ; 32 10 32 10= ⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅y zI mm I mm I mm

Să se calculeze forţa de compresiune P astfel încât bara să nu flambeze, cunoscând coeficientul de siguranţă c = 3,5 si l = 1m. Se cunoaşte pentru cazul flambajului plastic relaţia 3040 11.2fσ λ= − .

Soluţie

3.5ff

Pc P

P= ⇒ = ⋅P

Cum bara este articulată la un capăt şi încastrată la celălalt, lungimea de flambaj este: lf = 0,707 x l000 = 707mm -

Formula lui Euler, valabilă pentru domeniul flambajului elastic este:

( )2

min2=f

f

EIPl

π

unde: { }min zI = min I , yI

Momentele de inerţie axiale ale secţiunii transversale sunt:

4 4 4 4 4 4min72 10 ; 32 10 32 10= ⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅y zI mm I mm I mm

4P = 390 10 N ⇒ ⋅ Verificăm dacă ne situăm in domeniul elastic:

2min

min, , 2400 11,54= = = ⇒ =f

min minl Ii A mm i

i Aλ mm

061.265λ λ⇒ = < deci ne situăm in domeniul plastic, deci calculul anterior nu este corect Folosind formula lui Tetmeyer-Yasinsky, avem:

2 23040 11,2 61,265 2353,83 235,383

235,383 24

235,383 24 1614,0543,5

= − ⋅ = =

⇒ = ⋅ = ⋅

⋅⇒ = =

f

f

daN Ncm mm

P c P

P N

σ

72