pavel_ene = INTRODUCERE ÎN TEHNICA IZOLĂRII VIBRAŢIILOR SI A ZGOMOTULUI

8/20/2019 pavel_ene = INTRODUCERE ÎN TEHNICA IZOLĂRII VIBRAŢIILOR SI A ZGOMOTULUI

1/256

Gheorghe ENE Cristian PAVEL

INTRODUCERE ÎN TEHNICA IZOLĂRII

VIBRAŢIILOR ŞI A ZGOMOTULUI

MATRIX ROMBUCUREŞTI


2/256

Gheorghe ENE Cristian PAVEL

INTRODUCERE ÎN TEHNICA IZOLĂRII

VIBRAŢIILOR ŞI A ZGOMOTULUI

MATRIX ROM


3/256

BUCUREŞTI 2012

© MATRIX ROMC.P. 16-162

062510 - BUCUREŞTItel. 021.411.36.17, fax 021.411.42.80e-mail: [email protected]

www.matrixrom.ro

Editura MATRIX ROM este acreditată de

CONSILIUL NAŢIONAL AL CERCETĂRII ŞTIINŢIFICE DINÎNVĂŢĂMÂNTUL SUPERIOR

Referen ţ i ş tiin ţ ifici: prof.univ.dr.ing. Cornel MARIN

conf.univ.dr.ing. Amelitta LEGENDI

Tehnoredactare computerizată: prof.univ.dr.ing. Gheorghe ENEing. Marina DOGARU

ISBN

Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a RomânieiENE, Gheorghe

Introducere în tehnica izolării vibraţiilor şi a zgomotului./ Gheorghe Ene, Cristian Pavel

Bucureşti, Matrix Rom, 2012Bibliogr.

ISBN

II. PAVEL, Cristian


4/256

PREFAŢĂ

În urma reorganizării recente a învăţământului superior tehnic românesc,majoritatea facultăţilor a optat pentru reducerea numărului de ore alocate studiuluidisciplinei de vibraţii mecanice. Unele facultăţi au adoptat soluţia mutării acesteidiscipline în cadrul studiilor de masterat, altele au considerat că noţiunile respectivepot fi predate în cadrul disciplinelor de specialitate.

Sub o formă sau alta, problematica dinamicii structurilor mecanice elastice nupoate să lipsească din programa de pregătire a inginerului mecanic de la oricespecializare.

Apreciind că domeniul combaterii vibraţiilor şi zgomotului nu este suficient

acoperit cu lucrări de specialitate, autorii acestui volum s-au axat pe cele mai uzitatemăsuri folosite în vederea diminuării efectelor negative ale vibraţiilor şi zgomotelorproduse de maşini în timpul funcţionării acestora. Lucrarea de faţă se recomandă singură prin subiectul propus, autorii străduindu-se să sistematizeze şi să sintetizeze– printr-o modalitate cât mai directă şi clară – informaţiile referitoare la domeniulizolării vibraţiilor şi a zgomotelor.

În cazul în care maşinile şi echipamentele cu care acestea sunt înzestrate nusunt proiectate, realizate, montate şi reglate în mod corespunzător funcţionarea lorpoate fi însoţită de o serie de efecte nedorite: transmiterea de solicitări dinamice către

fundaţie sau către elementele de construcţii învecinate, producerea de zgomot cunivel ridicat, realizarea unor performanţe scăzute sau, uneori, chiar îndeplinireanecorespunzătoare a rolului lor funcţional. Prin urmare, proiectarea, realizarea,montarea şi reglarea echipamentelor cu acţiune vibrantă trebuie realizate despecialişti cu pregătire adecvată.

În elaborarea monografiei s-a considerat utilă inserarea cât mai multor exempleconcrete de calcul privind dimensionarea, proiectarea şi utilizarea cât mai eficientă adispozitivelor pentru diminuarea efectelor nocive ale vibraţiilor şi zgomotelor.

Lucrarea este utilă atât studenţilor şi masteranzilor de la facultăţile tehnice deprofil cât şi inginerilor care lucrează în domeniul proiectării şi exploatării maşinilorpentru industrii de proces.

13 noiembrie 2012 Autorii


5/256

CUPRINS

Partea I. IZOLAREA ANTIVIBRATORIE A MAŞINILOR 7

1. PROBLEME GENERALE PRIVIND FUNDAŢIILE DE MAŞINI ŞIIZOLAREA ANTIVIBRATORIE A MAŞINILOR 7

1.1. Protecţia împotriva vibraţiilor 71.2. Cerinţe privind construcţia şi amplasarea fundaţiilor de maşini 81.3. Cauzele vibraţiilor maşinilor 8

1.4. Turaţia critică a rotorilor 91.5. Izolarea antivibratorie a maşinilor 131.6. Modele dinamice pentru calculul fundaţiilor 16

2. ELEMENTE SPECIFICE DIN TEORIA VIBRAŢIILOR MECANICE 19

2.1. Vibraţiile sistemelor cu un grad de libertate 202.1.1. Parametrii vibraţiilor forţate 202.1.2. Efectul amortizării 24

2.1.3. Capacitatea elastică a izolatorilor de vibraţii 272.1.4. Compunerea constantelor elastice 29

2.1.5. Transmisibilitatea vibraţiilor 292.2. Vibraţiile sistemelor oscilante cu două grade de libertate 362.3. Calculul izolării vibraţiilor 402.4. Efectele nocive ale vibraţiilor 45

3. ELEMENTE UTILIZATE PENTRU IZOLAREA VIBRAŢIILOR 53

3.1. Arcuri din oţel 553.1.1. Noţiuni generale 553.1.2. Caracteristici ale arcurilor elicoidale cilindrice 57

3.1.3. Construcţia izolatorilor de vibraţii cu arcuri de oţel 683.2. Izolatori din cauciuc şi elastomeri 77

3.2.1. Noţiuni generale 773.2.2. Forme constructive de izolatori din cauciuc 78

3.2.3. Calculul elementelor izolatoare de vibraţii confecţionatedin cauciuc 87

3.3. Amortizoare electrovâscoase utilizate în aplicaţiile rotorilor 129


6/256

4. RECOMANDĂRI PRIVIND PROIECTAREA ŞI CONSTRUCŢIAFUNDAŢIILOR DE MAŞINI ŞI A IZOLĂRII VIBRAŢIILOR 135

4.1. Principii generale pentru proiectarea fundaţiilor de maşini 1354.2. Materiale utilizate pentru realizarea elementelor componente ale

fundaţiilor de maşini 1364.3. Recomandări privind calculul dinamic al fundaţiilor de maşini 1374.4. Recomandări privind izolarea vibraţiilor 1404.5. Recomandări privind adoptarea schemei de rezemare elastică 1454.6. Recomandări privind realizarea practică a fundaţiilor de maşini 1484.7. Dispozitive de ancorare 154

4.8. Reazeme reglabile 155

4.9. Amortizorul (absorbitorul) dinamic 156

4.9.1. O metodă de proiectare a absorbitorilor

dinamici de vibraţii 162

BIBLIOGRAFIE I 167

Partea a II-a. COMBATEREA ZGOMOTULUI 169

5. NOŢIUNI ŞI FENOMENE SPECIFICE ACUSTICII 169

5.1. Unde acustice (sonore) 169

5.2. Viteza sunetului 170

5.3. Lungimea de undă 1715.4. Presiunea şi intensitatea acustică 1725.5. Caracteristicile unei surse sonore 173

5.6. Nivelul acustic 174

5.7. Propagarea undelor sonore în aer liber. Viteza sunetului în aer 1765.8. Atenuarea sunetului în aer 176

5.9. Influenţa vântului şi a temperaturii asupra propagării sunetului 1805.10. Propagarea undelor acustice în corpurile solide 181

6. SURSE DE ZGOMOT 185

6.1. Acţiunea dăunătoare a zgomotului asupra organismului uman 1876.1.1. Domeniul de audibilitate 187

6.1.2. Nivelul de tărie 1886.2. Efectele nocive ale zgomotului asupra omului 189

6.2.1. Acţiunile dăunătoare ale zgomotului 1906.2.2. Norme privind nivelul admisibil de zgomot 194


7/256

7. METODE PENTRU COMBATEREA ZGOMOTULUI 197

7.1. Reducerea zgomotului prin măsuri de protecţie activă 1977.2. Reducerea zgomotului prin măsuri de protecţie pasivă 1987.3. Absorbţia undelor sonore 201

7.4. Reflexia undelor sonore 2027.5. Insonorizarea încăperilor zgomotoase 2037.6. Criterii privind absorbţia zgomotelor 204

7.6.1. Absorbţia poroasă 2047.6.2. Absorbţia rezonantă 2107.6.3. Reducerea nivelului zgomotelor cu ajutorul carcaselor

şi atenuatoarelor 218

8. COMBATEREA ZGOMOTULUI INDUSTRIAL 233

8.1. Reducerea nivelului de zgomot produs de lagăre 2338.2. Reducerea nivelului de zgomot produs de angrenaje 237

8.3. Reducerea nivelului de zgomot produs de suflante şiturbosuflante 241

8.4. Reducerea zgomotului produs de maşinile electrice 244 8.5. Reducerea nivelului de zgomot produs de diferite procese

tehnologice 248

8.6. Reducerea nivelului de zgomot prin insonorizarea locurilor

de muncă 250

BIBLIOGRAFIE II 255


8/256

Partea I. IZOLAREA ANTVIBRATORIE A MAŞINILOR

1. PROBLEME GENERALE PRIVIND FUNDAŢIILE DE MAŞINI ŞI

IZOLAREA ANTVIBRATORIE A MAŞINILOR

1.1. Protecţia împotriva vibraţiilor

Vibraţiile produse de o maşină în timpul funcţionării se transmit sub formă deunde elastice, prin intermediul legăturilor dintre aceasta şi clădirea în care se găseşte,spre maşinile învecinate şi spre diferitele elemente ale construcţiei. Pentru a reducetransmiterea vibraţiilor, legăturile dintre maşină şi elementele cu care aceasta vine încontact trebuie să fie cât mai puţin rigide. Evitarea cuplajului rigid se referă atât lalegătura dintre maşină şi fundaţie, cât şi la legătura dintre maşină şi alte elemente aleansamblului din care aceasta face parte (arbori, canale, conducte etc.).

Propagarea prin sol a vibraţiilor produse de maşină este mult diminuată dacă:- fundaţia maşinii este separată de fundaţia clădirii;- fundaţia se izolează faţă de sol (izolaţia se realizează fie prin introducerea, în spaţiuldintre fundaţie şi sol, a unui strat din materiale cu proprietăţi de amortizare – pâslă,rumeguş de lemn etc. – fie prin lăsarea între fundaţie şi sol, pe întreg conturulfundaţiei, a unui spaţiu de aer cu lăţimea suficient de mare (interval acustic);- pânza freatică, care eventual s-ar găsi sub fundaţie, este situată la o adâncimesuficient de mare (pentru a nu crea un mediu favorabil transmiterii vibraţiilor).

În vederea limitării transmiterii vibraţiilor la proiectarea fundaţiei unei maşinitrebuie să se ţină seama de toţi factorii de care depind rezolvarea problemei: maşinacare produce vibraţiile, blocul de fundaţie, terenul pe care aceasta se plasează, stratulelastic izolator de vibraţii, clădirea şi maşinile învecinate.

Elemente privind ma şina:- intensitatea, direcţia şi frecvenţa forţelor perturbatoare;- dimensiunile de gabarit ale maşinii, amplasarea diferitelor accesorii (conducte etc.);- masa maşinii şi poziţia centrului de masă.

Elemente privind funda ţ ia - masa fundaţiei şi poziţia centrului de masă;- forma blocului de fundaţie;- momentele de inerţie ale acestuia.

Elemente privind terenul de funda ţ ie

- coeficienţii de elasticitate ai pământului;- presiunea admisibilă pe teren.

Elemente privind stratul elastic

- constantele elastice ale acestuia.Protecţia împotriva vibraţiilor se realizează pe baza principiilor izolării şii ă ii


9/256

Maşinile realizează, în general, mişcări vibratorii cu mai multe grade delibertate (translaţii şi rotaţii). În cele ce urmează se analizează numai vibraţiile cu ungrad de libertate (translaţia în lungul axei verticale sau rotaţia în jurul uneia din axe).Atunci când este necesar trebuie însă să se ţină seama şi de celelalte grade de libertate(capitolul al II-lea).

1.2 Cerinţe privind construcţia şi amplasarea fundaţiilor de maşini

Instalaţiile industriale şi echipamentele componente ale acestora suntamplasate pe fundaţii specifice, de construcţie adecvată. Ca regulă generală,fundaţiile maşinilor cu acţiune dinamică trebuie să fie separate atât de fundaţiile altorechipamente învecinate cât şi de fundaţiile clădirii, pentru a nu transmite vibraţii şiacestora. Totodată, ele trebuie să preia greutatea maşinilor şi echipamentelor anexeprecum şi forţele dinamice transmise de acestea şi să asigure stabilitatea maşinii pe

fundaţie în orice situaţie, inclusiv în cazul mişcărilor seismice.Construcţia şi amplasarea fundaţiilor pentru echipamentele cu acţiune dinamică depind de o serie de cerinţe:- cerinţe impuse de specificul zonei amplasamentului fundaţiei (caracteristicileterenului în care este amplasată fundaţia şi topografia acestuia, clima specifică zonei,gradul de seismicitate al zonei);- cerinţe impuse de configuraţia geometrică a maşinii şi a echipamentelor anexeacesteia (gabaritele acestora);- cerinţe impuse de încărcările fundaţiei (greutatea maşinii şi a echipamentelor anexeacesteia, solicitările dezvoltate de maşină în diferite situaţii – pornire, lucru efectiv,oprire, reparaţii);- cerinţe impuse de realizarea fundaţiei (capacitatea portantă a terenului, limităriimpuse de tasarea terenului, consolidarea suplimentară a terenului, drenarea apelorfreatice etc.);- cerinţe impuse de activităţile de întreţinere a maşinii (asigurarea accesului la maşină şi la echipamentele anexe ale acesteia, posibilitatea montării şi demontării instalaţiilorpentru ridicarea şi manevrarea maşinii şi a anexelor acesteia etc.);- cerinţe economice (costul de investiţie al fundaţiei, costuri privind operaţiunile de

întreţinere şi reparare etc.).

1.3 Cauzele vibraţiilor maşinilor

Vibraţiile produse de maşini în timpul funcţionării lor au cauze foarte diferite:natura procesului tehnologic pe care îl realizează maşina, principiul de funcţionare almaşinii şi modul de acţionare al acesteia, erorile de execuţie şi montaj ale elementelorcomponente ale maşinii, uzura acestora etc.

Natura procesului tehnologic pe care îl realizează este cauza vibraţiilorproduse de unele tipuri de maşini tehnologice: concasoare, site vibratoare, elevatoare

cu cupe, ciocane de forjă etc. În aceste cazuri, vibraţiile pot fi diminuate prinuniformizarea funcţionării maşinilor respective şi prin utilizarea unei izolări active


10/256

eficiente, pentru a evita transmiterea vibraţiilor către alte echipamente sau construcţii învecinate.

Principiul de func ţ ionare este cauza apariţiei vibraţiilor la maşinile cu mişcarealternativă: motoare, compresoare şi pompe cu piston etc. La acest tip de maşini,cauza apariţiei vibraţiilor sunt forţele periodice care apar în timpul funcţionării lor.

Vibraţiile produse de aceste maşini pot fi diminuate prin construcţie adecvată (deregulă, reducerea maselor în mişcare alternativă şi echilibrarea corespunzătoare aforţelor de inerţie produse de acestea).

Erorile de execu ţ ie şi montaj constituie cauzele apariţiei vibraţiilor, îndeosebi în cazul maşinilor cu mişcare de rotaţie: motoare electrice, turbine etc. Diminuareavibraţiilor acestor maşini se realizează prin construcţia şi echilibrarea statică şi/saudinamică corespunzătoare.

Prin urmare, vibraţiile produse de către maşini în timpul funcţionării lor pot fidiminuate în foarte mare măsură prin proiectarea şi construcţia adecvată a acestora.

Vibraţiile care nu pot fi evitate prin aceste măsuri pot fi diminuate prin proiectarea şirealizarea corespunzătoare a izolării antivibratorii.

1.4. Turaţia critică a rotorilor

Se consideră un rotor format dintr-un disc (volant) de masă m, montat pe unarbore orizontal de masă neglijabilă. Datorită erorilor de fabricaţie şi de montaj aleelementelor componente (arbore şi disc) ale rotorului şi neomogenităţii materialuluidin care se realizează discul, centrul de greutate C al acestuia nu se va plasa pe axaarborelui (punctul A), între acestea existând excentricitatea AC = e (fig. 1).

Fig. 1. Ansamblul disc-arbore în mişcare de rotaţie.

O - punctul în care axa centrelor lagărelor intersectează planul median al discului;

A - punctul în care axa arborelui deformat intersectează planul median al discului;

C - centrul de greutate al discului.

C

O

e

δ ⋅= k F e

( ) 2ω δ ⋅+⋅= emF i

z


11/256

Când ansamblul disc-arbore se roteşte în jurul liniei lagărelor (axa arborelui, înrepaus) cu viteza unghiulară constantă ω , arborele capătă, sub acţiunea forţeicentrifuge dezvoltate de discul montat excentric, deformaţii de încovoiere, producândvibraţia rotorului.

Vibraţiile de încovoiere ale rotorului au pulsaţia proprie:

mk =0ω , (1.1)

în care m este masa discului; k - constanta elastică la încovoiere a arborelui;

0 - pulsaţia proprie a vibraţiilor de încovoiere ale arborelui.Deoarece săgeata de încovoiere a arborelui este în general foarte mică, se poate

considera că mişcarea de rotaţie a discului are loc în planul normal la linia lagărelor.În figura 2 sunt prezentate elementele discului dezechilibrat, aflat în mişcare derotaţie, corespunzătoare planului median al acestuia.

Fig. 2. Elementele discului dezechilibrat în mişcare de rotaţie (secţiune transversală prin

planul median al sistemului oscilant).

AC = e – excentricitatea discului; OA = δ – săgeata de încovoiere a arborelui sub acţiunea

foţei centrifuge produsă de discul (plasat excentric) în mişcare de rotaţie.

În timpul rotirii, discul dezechilibrat generează forţa centrifugă:)(2 emF i +⋅⋅= δ ω (1.2)

unde m este masa discului; ω – viteza unghiulară a acestuia; e – excentricitateadiscului (datorată inexactităţilor de execuţie); δ – săgeata de încovoiere a arborelui.

Forţa elastică a arborelui este determinată de relaţia:δ ⋅= k F k (1.3)

unde k este constanta elastică la încovoiere a arborelui în dreptul discului; δ – săgeatade încovoiere a arborelui.

Atunci când mişcarea este staţionară şi amortizarea este neglijabilă, cele două

forţe, definite de relaţiile (1.2) respectiv (1.3), se echilibrează:)(2 emk +⋅⋅=⋅ δ ω δ (1.4)

O x

y

C

A

e

δ

t ⋅ω


12/256

2

0

2

022

0

2

2

2

2

2

1

−

⋅=

−

⋅=

−

⋅=

⋅⋅−

⋅⋅=

ω

ω

ω

ω

ω ω

ω

ω

ω

ω

ω δ e

e

m

k

e

mk

em. (1.5)

Relaţia (1.5) este reprezentată grafic în figura 3.

Fig. 3. Variaţia săgeţii arborelui în funcţie de raportul 0 ( - viteza unghiulară a

discului (pulsaţia forţei perturbatoare); 0 - viteza unghiulară critică a discului (pulsaţia

proprie a a sistemului vibrator)).

Analizând graficul din figura 3 se constată următoarele:- Atunci când 0= apare fenomenul de rezonan ţă, săgeata arborelui tinzând

spre infinit. În această situaţie, viteza unghiulară ω a rotorului devine egală cupulsaţia proprie 0 a vibraţiilor de încovoiere şi poartă denumirea de viteză unghiular ă critică. Tura ţ ia critică a rotorului reprezintă turaţia corespunzătoarevitezei unghiulare critice şi se determină cu relaţia:

rot/min][,30 0

π

⋅=cn . (1.6)

Dacă rotorul funcţionează cu o turaţie mai mare decât cea critică, el va treceprin zona de rezonanţă atât la pornirea, cât şi la oprirea maşinii. Deoarece în acestesituaţii amplitudinile vibraţiilor cresc în timp, pentru reducerea acestora, este necesar,fie ca trecerea prin turaţia critică (zona de rezonanţă) să se facă cât mai rapid, fie să seutilizeze dispozitive adecvate pentru limitarea amplitudinilor vibraţiilor.

- Atunci când ω1 < ω0 (funcţionare în anterezonanţă), săgeata δ > 0; dacă rotaţiase face în jurul punctului O1 (fig. 3), centrul de greutate C al discului se află în afarasegmentului O1 A, în prelungirea acestuia ( ).

- Atunci când ω2 > ω0 (funcţionare în postrezonanţă), săgeata δ < 0; dacă rotaţia

se face în jurul punctului O2, centrul de greutate C se află între linia lagărelor (punctulO2) şi axa deformată a arborelui (punctul A) ( ).

δ

0ω

0

2

ω

ω

1

0

1

ω

ω

1O

2O

A

C

O C Geδ

O CG


13/256

- Atunci când turaţia rotorului are valori foarte mari, adică atunci când ∞→ ,rotorul se autocentrează, centrul de greutate C apropiindu-se de linia lagărelor până se suprapune peste punctul O.

- La rotirea cu viteza unghiulară , poziţia relativă a punctelor O, A şi C nu semodifică. Deoarece rotirea punctului A în jurul axei lagărelor se face cu aceeaşi

viteză unghiulară ca şi rotirea punctului C în jurul axei arborelui, mişcarea senumeşte precesie sincronă.Relaţia (1.5) arată că săgeata arborelui şi, prin urmare şi amplitudinea

vibraţiilor, sunt proporţionale cu excentricitatea e pentru orice valoare a vitezeiunghiulare . Prin urmare, pentru ca rotorul să funcţioneze cât mai liniştit,excentricitatea acestuia trebuie să fie cât mai mică posibil, adică centrul de greutate aldiscului să fie cât mai apropiat de axa arborelui. Aceasta se realizează prinechilibrarea statică a rotorului.

Echilibrarea statică constă în amplasarea, în zona periferică a discului, a unei

mase de echilibrare m0. Masa de echilibrare se plasează astfel încât centrul degreutate al ansamblului disc-masă de echilibrare să fie situat pe axa arborelui (fig. 4).

Fig. 4. Schema echilibrării statice.

G

O

x

y

z

ε ω ,

rotor

prismă

cadru

şurub

adiţional

şurub pentru

reglarea poziţiei

orizontale

0m 0mm +

m A C

r

e

a) b)

c) d)


14/256

În situaţia în care mărimea excentricităţii e este cunoscută, valoarea masei deechilibrare m0 se determină din relaţia (fig. 4):

memr ⋅=⋅ 0 . (1.7)Deoarece, în general, mărimea excentricităţii e nu este cunoscută, determinarea

masei de echilibrare m0 nu se realizează prin calcul, ci experimental, utilizând un

stand de echilibrare statică.Standul de echilibrare statică constă, în principiu, din două suporturi

orizontale, paralele, între care se aşază, prin intermediul fusurilor, rotorul supusechilibrării (fig. 4c). Construcţia suporturilor şi gradul de prelucrare al suprafeţeloracestora se adoptă astfel încât frecarea de rostogolire a fusurilor pe suporturi să fieneglijabilă.

Când rotorul aşezat pe suporturi va fi în repaus, centrul lui de greutate se vaafla în planul diametral vertical care conţine axa arborelui, dedesubtul acesteia. Înaceastă situaţie, pe verticala care trece prin centrul de greutate, deasupra axei

arborelui, se plasează o masă de echilibrare de o valoare oarecare după care discul sescoate din această poziţie, lăsându-l liber. Dacă discul are tendinţa de a se roti pentrua ajunge în poziţia de echilibru stabil, masa de echilibrare se va înlocui cu alta devaloare mai mare decât prima. Operaţiunea continuă până când echilibrul disculuieste indiferent (discul nu va mai avea tendinţa de rostogolire) – fig. 4d.

În unele situaţii, echilibrarea statică se realizează nu prin adăugarea unei maseide echilibrare ci prin îndepărtarea din rotor, din partea opusă acesteia, a unei masecorespunzătoare de material, printr-o prelucrare mecanică oarecare (găurire, deexemplu).

Mişcarea de rotaţie a volantului are loc în planul normal la linia lagărelornumai în situaţia în care acesta este montat pe arbore la jumătatea distanţei dintrelagărele acestuia. În general, însă, mişcarea volantului nu se produce în planul normalla linia lagărelor, ci într-un plan care face un anumit unghi cu acesta. Acest lucru sedatorează deformaţiei arborelui care, la rândul ei, este influenţată atât de poziţia demontaj a volantului (care poate să nu fie montat la mijlocul distanţei dintre lagăre),cât şi de varianta de rezemare a acestuia (volant montat între reazeme, volant montat

în consolă). În asemenea situaţii, studiul vibraţiilor trebuie să ţină seama şi de efectulgiroscopic, care va modifica valorile turaţiilor critice.

1.5. Izolarea antivibratorie a maşinilor

Vibraţiile echipamentelor (maşini, utilaje etc.) care conţin surse de vibraţii setransmit, prin intermediul sistemelor de rezemare (fundaţii), celorlalte echipamenteaflate pe acelaşi amplasament. Pentru a asigura o protecţie eficientă împotrivavibraţiilor este necesară, după caz, fie izolarea activă (de la sursa de vibraţii lafundaţie), fie izolarea pasivă (de la fundaţia care vibrează la maşinile sau aparatelecare trebuie protejate împotriva vibraţiilor) (fig. 5).

Izolarea activă se utilizează pentru reducerea forţelor dinamice transmise de

către echipamentele producătoare de vibraţii fundaţiilor acestora.


15/256

Izolarea pasivă se utilizează îndeosebi pentru protejarea maşinilor de preciziesau aparatelor de măsurare, prin reducerea amplitudinii vibraţiilor transmise acestorade către mediul înconjurător (suport, structură de rezemare etc.).

Fig. 5. Schema de principiu a sistemului de izolare antivibratorie.

a – izolare activă; b – izolare pasivă. 1 – maşină; 2 – grupul de elemente elastice pentru

izolarea antivibratorie; 3 – suportul (fundaţia) maşinii.

Eficienţa izolaţiei antivibratorii se evaluează prin factorul de transmitere sautransmisibilitatea vibraţiilor. În cazul izolării active, transmisibilitatea se apreciază prin forţa transmisă de maşină fundaţiei prin elementele de izolare antivibratorie, iar

în cazul izolării pasive, prin amplitudinea transmisă de la sistemul de rezemare(fundaţie) la maşină (aparat etc.).

Pentru ca o maşină care produce vibraţii în funcţionare să nu le transmită fundaţiei, trebuie ca ea să fie rezemată elastic pe fundaţie. Maşina fiind masa carevibrează, pulsaţia proprie a acesteia este dată de relaţia:

mk p = (1.8)

unde m este masa maşinii care vibrează; k – rigiditatea rezemării elastice.Pulsaţia perturbatoare fiind cunoscută, se determină raportul p şi, în

continuare, amplitudinea vibraţiei şi forţa transmisă fundaţiei. Pentru a realiza oizolare activă eficientă a vibraţiilor, este necesar să se adopte în mod adecvatmărimile m şi k , astfel încât să se evite funcţionarea la rezonanţă, iartransmisibilitatea vibraţiilor către fundaţie să aibă valori subunitare, adică:

10 ≤= F F T T (F T – mărimea maximă a forţei transmise fundaţiei; F 0 - mărimeamaximă a forţei) (fig. 6).

Pentru ca amplitudinea vibraţiilor să fie redusă şi transmisibilitatea acestora să

aibă valori T < 1 este necesar ca raportul 2> p (ω – pulsaţia forţei perturbatoare;

mk p = – pulsaţia proprie a sistemului elastic). Aceasta înseamnă că izolarea

antivibratorie trebuie astfel realizată încât să asigure funcţionarea sistemului în regim

m x

( ) t F t F sin0 ⋅=

k

1

T F

a

2

3

m x

t uu ω sin0 ⋅=

k

1

b

2

3


16/256

de postrezonanţă deci cu pulsaţie proprie redusă, adică grupul elastic de rezemaretrebuie să aibă rigiditate redusă (să fie “moale”).

Considerând vibraţiile forţate f ără amortizare, amplitudinea acestora estedefinită de relaţia:

2

0

22

0

22

0

1

1

ω ω ω ⋅−

=

⋅−

=

−

⋅=

mk

F

p

k k

F

p

k

F A (1.9)

unde s-a ţinut seama de relaţia (1.8).Dependenţa separată a amplitudinii vibraţiilor de parametrii m şi k este

prezentată în figura 6.Se observă că amplitudinea vibraţiilor poate fi micşorată, fie mărind rigiditatea

k (fig. 6 a), fie mărind masa m (fig. 6 b).În prima situaţie, dacă rigiditatea creşte foarte mult (adică legătura dintre

maşină şi fundaţia acesteia este practic rigidă) are loc o reducere importantă aamplitudinii sistemului (fig. 6 a). Această soluţie însă se utilizează rar şi numai încazul când maşina care vibrează are masa mică, iar fundaţia acesteia are masa foartemare.

Fig. 6. Variaţia amplitudinii vibraţiei unui sistem elastic în funcţie de parametrii m şi k.

a – masa m a sistemului este constantă, iar rigiditatea echivalentă k a rezemării este

variabilă; b - rigiditatea echivalentă k a rezemării este constantă, iar masa m a sistemului

este variabilă.

Mărirea masei m (fig. 6 b) conduce la reducerea amplitudinii vibraţiilor, însă această soluţie implică folosirea unei fundaţii pe care maşina se prinde rigid, fundaţiecare apoi trebuie rezemată elastic pe sol (pardoseală).

La izolarea activă (fig. 6a), mărimile care determină calitatea izolării vibraţiilorsunt: amplitudinea acestora şi forţa transmisă solului (pardoselii).

Din cele prezentate, fundaţia maşinii are un dublu rol:- să asigure o valoare admisibilă a presiunii pe care maşina o transmite solului

(pardoselii);- să realizeze izolarea antivibratorie.

A A

a b

k m 0 0 0m 02m 03m 0k 02k 03k

k F 0

k

F

20

2

0

ω m

F

20

2 ω m

F


17/256

Cazul invers, când pardoseala este sursă de vibraţii datorită vibraţiilortransmise de alte maşini (fig. 6 b), aceasta constituie obiectul izolării pasive, situaţiefrecvent întâlnită pentru a feri de acţiunea vibraţiilor aparate de măsură, aparaturaelectronică, maşinile de mare precizie etc. Izolarea pasivă are la bază aceleaşiprincipii ca şi izolarea activă. Coeficientul de transmisibilitate în cazul izolării pasive

este definit de raportul 10 ≤= u AT ( A –amplitudinea vibraţiilor aparatului rezemat;u0 – amplitudinea mişcării perturbatoare (amplitudinea vibraţiilor pardoselii)). Pentruizolarea eficientă a vibraţiilor este necesar ca valorile coeficientului detransmisibilitate să fie, pe cât posibil, cât mai mici. Acest lucru se realizează atuncicând 2> p (ω – pulsaţia forţei perturbatoare; p - pulsaţia proprie a sistemuluielastic), iar amortizarea din sistemul de rezemare are valori cât mai mici.

1.6. Modele dinamice pentru calculul fundaţiilor

Modelul cu un grad de libertate (cu o masă)

Modelul dinamic cel mai simplu este cel cu un singur grad de libertate, formatdintr-o singură masă (maşină, fundaţie etc.), care realizează o mişcare de translaţie şisistemul de rezemare al acesteia (fig. 7).

Fig. 7. Modelul dinamic cu un grad de libertate.a – cu rezemare elastică; b - cu rezemare vâscoelastică; c - cu rezemare prin elemente elastice

şi elemente de amortizare cu frecare.

Rezemarea masei se poate realiza utilizând, după caz, diferite soluţiiconstructive (fig. 7):- rezemare elastică (numai cu elemente elastice);- rezemare vâscoelastică (elemente elastice şi elemente de amortizare vâscoasă);

- rezemare cu elemente elastice şi elemente cu amortizare coulombiană (frecareuscată).


18/256

Următorul model dinamic se utilizează în cazul izolării active şi pasive avibraţiilor, pentru modelarea sistemelor care au mişcări vibratorii numai după direcţiaverticală (fig. 8).

Fig. 8. Sistem vibrator cu o singură masă.

a - izolarea activă; b – izolarea pasivă.

Modelul cu două grade de libertate (cu două mase)

Modelul cu două grade de libertate se utilizează pentru reprezentarea diferitelorechipamente tehnologice dinamice, care se montează pe fundaţii prin intermediulunor elemente de rezemare elastice sau vâscoelastice (fig. 9).

Fig. 9. Modelul dinamic cu două grade de libertate.

a – cu rezemare elastică; b - cu rezemare vâscoelastică.

m

( )t x

( )t F xk F c ⋅= dt

dxcF a ⋅=

dt

dxc xk F T ⋅+⋅=

a

m

( )t x

( )t x0

b


19/256

Exemple de utilizare ale modelului cu două grade de libertate:- Echipament dinamic rezemat pe fundaţie prin intermediul unor elementevâscoelastice, fundaţia fiind aşezată pe sol (considerat, de asemenea, vâscoelastic);- Echipament dinamic rezemat direct (rigid) pe fundaţie, aceasta fiind plasată, prin

intermediul unor elemente vâscoelastice, într-o cuvă aşezată pe sol (considerată vâscoelastică);- Echipament dinamic rezemat direct pe un suport (placă) rigid, acesta fiind plasat,prin intermediul unor elemente vâscoelastice, într-o cuvă aşezată pe sol (considerată vâscoelastică).


20/256

2. ELEMENTE SPECIFICE DIN TEORIA VIBRAŢIILOR

MECANICE

Fără a avea pretenţii exhaustive, vom trece în revistă cele mai importantecriterii de clasificare a vibraţiilor. Distingem astfel următoarele tipuri de vibraţii:a) după numărul de grade de libertate:

- vibraţii cu un singur grad de libertate;- vibraţii cu două sau mai multe grade de libertate;- vibraţii cu un număr infinit de grade de libertate.

b) după forma ecuaţiei diferenţiale a mişcării:- vibraţii liniare;- vibraţii neliniare.

c) după cauzele care produc vibraţia:- vibraţii libere sau naturale (produse de o cauză iniţială care încetează imediatdupă începerea mişcării);

- vibraţii forţate sau întreţinute (produse de forţe perturbatoare care î şi continuă acţiunea în timpul mişcării oscilante);

- vibraţii cu caracteristici variabile sau vibraţii parametrice (provocate de cauzeexterioare sau interioare care acţionează asupra unui parametru al sistemuluioscilant);

- vibraţii autoîntreţinute (provocate de cauze din interiorul sistemului, vibraţii

care apar şi dispar odată cu începerea şi terminarea mişcării oscilante).d) după consumul de energie mecanică din timpul mişcării oscilante:

- vibraţii amortizate (la care se consumă energie mecanică în timpul vibraţiei);- vibraţii neamortizate (la care nu se consumă energie mecanică în timpul

vibraţiei).e) după legea variaţiei în timp a mişcării:

- vibraţii deterministe (caracterizate printr-o variaţie complet definită în timp,legea de mişcare fiind precizată prin relaţii analitice);

- vibraţii aleatoare (caracterizate printr-o variaţie parţial definită în timp, legeade mişcare fiind exprimată numai cu ajutorul parametrilor statistici şiprobabilistici).

f) după deformaţiile ce apar la corpurile care vibrează:- vibraţii axiale sau longitudinale;- vibraţii transversale sau de încovoiere;- vibraţii torsionale sau de răsucire.


21/256

2.1 Vibraţiile sistemelor cu un grad de libertate

2.1.1 Parametrii vibraţiilor forţate

Ecuaţ

ia vibraţ

iilor forţ

ate ale sistemului cu o singură

masă

(un grad delibertate) din figura 10 are forma:

t F xk xc xm ⋅⋅=⋅+⋅+⋅ ω sin0&&& (2.1)

Fig. 10. Sistem vibrator cu o singură masă.

în care m este masa rezemată elastic; k – rigiditatea sistemului de rezemare;c – coeficientul de amortizare vâscoasă; x – deplasarea; F 0 – amplitudinea forţeiperturbatoare produsă de sursa de vibraţii; – pulsaţia acesteia; t – timpul.

Utilizând notaţiile:

m

cn =⋅2 - factorul de amortizare; (2.2)

m

k p = - pulsaţia proprie a sistemului elastic, (2.3)

ecuaţia (2.1) devine:

t m

F x p xn x ⋅⋅=⋅+⋅⋅+ ω sin2 02&&& (2.4)

Neglijând vibraţiile amortizate care au importanţă numai la începutul mişcării,soluţia ecuaţiei (2.4) reprezintă deplasarea masei m sub acţiunea vibraţiilor forţatestaţionare şi are forma:

( )ϕ −⋅⋅= t A x sin (2.5)

unde A este amplitudinea vibraţiei (deplasarea maximă a masei m); ϕ - unghiul dedefazare dintre deplasarea x şi forţa perturbatoare F , definit de relaţia:

m

( )t x

( )t F xk F c ⋅= dt

dxcF a ⋅=

dt

dxc xk F T ⋅+⋅=


22/256

2

222

1

22

p

p p

n

p

ntg

ω ω

ω ϕ

−

⋅⋅

=

−

⋅⋅= (2.6)

Amplitudinea vibraţiei se obţine pentru valoarea maximă a forţeiperturbatoare F :

00

0 Ak

F A x A st ⋅=⋅= (2.7)

în care xst este deplasarea statică a masei m (produsă de forţa F 0 aplicată static); A0 – factorul de amplificare definit de relaţia:

22220

41

1

⋅

⋅+

−

=

p p

n

p

A

ω ω

. (2.8)

În cazul când n = p, adică:

m

k p

m

cn cr ===

2, (2.9)

coeficientul de amortizare c atinge valoarea limită (la care, în urma unui impulsiniţial, masa m nu mai vibrează), numită coeficient de amortizare critic ccr :

pcr f mmk pmc ⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅= π 422 (2.10)

( f p – frecvenţa proprie).În relaţiile (2.6) şi (2.8) mărimea pn=ζ reprezintă factorul de amortizare

(fracţiunea de amortizare critică) definit ca fiind raportul dintre coeficientul deamortizare c şi coeficientul de amortizare critic ccr :

mk

c

c

c

p

n

cr ⋅⋅

===

2ζ . (2.11)

Analizând reprezentarea grafică a factorului de amplificare (fig. 11)se observă că:

- atunci când pulsaţ

ia forţ

ei perturbatoare este redusă

în comparaţ

ie cu pulsaţ

iaproprie a vibraţiei ( 0≈ p ), indiferent de amortizarea din sistem, factorul deamplificare tinde către valoarea 10 = A , amplitudinea vibraţiei devenind egală cudeformaţia statică st x .

Observaţie: Rezultă că, în asemenea situaţii, deplasarea masei în orice momentpoate fi determinată, cu suficientă precizie, considerând că forţa F 0 este aplicată static( k F xst 0= );

- în situaţiile în care p>> , factorul de amplificare tinde către valoarea zero,

mărimea amplitudinilor vibraţiilor forţate nefiind practic influenţată de amortizareadin sistem;


23/256

- atunci când pulsaţia forţei perturbatoare şi pulsaţia proprie sunt apropiate ca valoare(ω /p = 1) are loc fenomenul de rezonanţă, când factorul de amplificare şiamplitudinile vibraţilor cresc foarte mult, fiind puternic influenţate de amortizareadin sistem;- vârful curbei de rezonanţă se găseşte pe ordonata:

mk

c

c

c

p cr ⋅⋅−=

−=

411

22ω , (2.12)

indiferent de mărimea forţei perturbatoare.

Fig. 11. Variaţia factorului de amplificare 0 A în funcţie de rapoartele pω şi pn [4].

Examinarea relaţiei (2.12) arată că rezonanţa are loc la ω /p = 1 numai dacă însistemul elastic nu există amortizare. Dacă în sistem există amortizare, vârful curbeide rezonanţă se deplasează uşor spre stânga, pe măsură ce coeficientul de amortizarecreşte.

La vibraţiile neliniare, vârful curbei de rezonanţă se deplasează spre stânga sauspre dreapta, în funcţie de caracteristica elementului elastic.

Dacă în sistemul vibrator din figura 10, forţa de excitaţie (perturbatoare) estechiar forţa de inerţie centrifugă produsă de masă excentrică în mişcare de rotaţie saude un rotor care nu este perfect echilibrat, proiecţia acestei forţe pe direcţia x amişcării de vibraţie este determinată de relaţia:

( ) t r mt C t F ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅

ω ω ω sinsin 200 (2.13)

unde C este forţa centrifugă de inerţie; m0 – masa excentrică rotitoare sau masarotorului; r 0 – excentricitatea masei rotitoare (distanţa dintre centrul de greutate almasei rotitoare şi axa de rotaţie); ω – viteza unghiulară de rotaţie a masei excentrice

sau a rotorului (aceeaşi cu pulsaţia forţei perturbatoare).Ecuaţia diferenţială a mişcării este:

0 1

1

2

2

3

3

4

0 A

p

0= pn

112,0= pn

353,0= pn

500,0= pn

707,0= pn


24/256

t r m xk xc xm ⋅⋅⋅⋅=⋅+⋅+⋅⋅

ω ω sin200&&& (2.14)

Amplitudinea vibraţiei, în acest caz, are expresia:

0

200

2222

200

41

1 A

k

r m

p pn

p

k

r m A ⋅

⋅⋅=

⋅

⋅+

−

⋅⋅⋅

= ⋅⋅

ω

ω ω

ω (2.15)

unde A0 este factorul de amplificare definit de relaţia (2.8).

Ţinând seama că mk p = , relaţia (2.14) capătă forma:

⋅⋅

⋅

⋅=⋅

⋅

⋅⋅=⋅

⋅⋅=

⋅⋅⋅

2

2

000

02

200

0

200

.. p A

m

r m A

pm

r m A

k

r m A

ω ω ω (2.16)

Relaţia (2.16) poate fi scrisă şi sub forma:

*0

00

2222

2

00

41

Am

r m

p p

n

p

p

m

r m A ⋅

⋅=

⋅

⋅+

−

⋅⋅

= ⋅⋅

ω ω

ω

(2.17)

Factorul de amplificare în acest caz se exprimă prin relaţia:

2222

2

*0

41

⋅

⋅+

−

=

p p

n

p

p A

ω ω

ω (2.18)

a cărei reprezentare grafică este prezentată în figura 12 [1].Ecuaţia mişcării este:

( )ϕ −⋅⋅= t A x sin (2.19)unde defazajul ϕ este definit de relaţia (2.6).

În relaţia (2.17) masa m include şi masa m0 a masei excentrice rotitoare sau arotorului. Dacă masa m a maşinii nu include şi masa m0 a rotorului, atunci relaţia(2.17) devine:

*0

0

00

2222

2

0

00

41

Amm

r m

p p

n

p

p

mm

r m A ⋅

+

⋅=

⋅

⋅+

−

⋅+

⋅=

⋅

⋅

⋅

⋅

ω ω

ω

. (2.20)

În cele prezentate s-a admis că stratul elastic (teren de fundaţie, arcuri sau altel t l ti ) t i ti ă li i ă f ţă d f ţi di ă bl l d


25/256

fundaţie aşezat pe el realizează vibraţii liniare. Acest lucru se apropie foarte mult derealitate pentru fundaţia aşezată pe arcuri de oţel. Ipoteza rămâne valabilă însă şipentru fundaţia rezemată pe izolatori din cauciuc, dacă deformaţiile acestora suntmici, adică izolatorii lucrează pe o porţiune a curbei forţă-deformaţie care poate ficonsiderată liniară.

Fig. 12. Curbele de variaţie ale factorului de amplificare *0 A , în funcţie

de factorul amortizare (n/p) şi de raportul pulsaţiilor (ωωωω /p).

2.1.2 Efectul amortizării

Amortizarea constă în transformarea în căldură a unei părţi a energieisistemului, prin frecarea internă a materialului izolatorilor sau prin frecarea externă pe diferite suprafeţe.

Frecarea internă a materialului depinde de o serie de factori care îlcaracterizează: compoziţia chimică, structura, omogenitatea, tensiunile interne,temperatura, starea de tensiuni (determinată de mărimea şi frecvenţa solicitărilor). Eaeste evaluată, de regulă, prin raportul dintre energia disipată la un ciclu (bucla dehisterezis) şi energia furnizată sistemului, corespunzătoare unui ciclu.

Unele materiale (cauciucul, pluta, pâsla, solurile necoezive) au valori mari alefrecării interne şi, prin urmare, se caracterizează prin capacitate mare de amortizare,altele (metalele, de exemplu) au frecare internă redusă şi deci capacitate mică deamortizare.

Frecarea de suprafaţă sau frecarea de sistem (cum mai este denumită) aparedatorită mişcării relative ale suprafeţelor în contact. Tipurile uzuale de frecare de

suprafaţă sunt:

5

1

1

2

2

3

3

4

*0 A

pω

0= pn

54

6

0,1

0,2

0,3

0,50,71,0

2,0


26/256

- frecarea uscată (Coulomb), specifică amortizoarelor cu frecare uscată, la care forţade frecare este constantă, independentă de viteză;- frecarea vâscoasă, specifică amortizoarelor hidraulice, la care forţa de frecare esteproporţională cu viteza.

La vibraţiile forţate, efectul amortizării vibraţiilor poate fi apreciat analizând

curbele de variaţie ale factorului de amplificare (fig. 11). Se observă că diferitelecurbe se depărtează una de cealaltă numai în zona rezonanţei (aproximativ,ω /p =0,5…1,5), adică amortizarea influenţează asupra amplitudinii vibraţiilor numaidacă maşina funcţionează în zona rezonanţei. Când se trece prin rezonanţă (lapornirea sau oprirea maşinii), factorul de amplificare la rezonanţă se obţine dinrelaţiile (2.8) şi (2.18) pentru ω /p = 1:

c

c

c

c

p

n A cr

cr

rez ⋅=

⋅

=

⋅

=⋅

=2

1

2

1

2

1

2

1,0

ζ . (2.21)

Amplitudinea la rezonanţă este cu atât mai mică cu cât amortizarea este maiputernică.

Amortizoarele de vibraţii sunt necesare îndeosebi:- pentru maşinile care funcţionează în regim de postrezonanţă care, la pornire şi laoprire, trec prin rezonanţă, iar la trecerea prin rezonanţă amplitudinile vibraţiilorcresc periculos de mult;- pentru amortizarea rapidă a vibraţiilor libere ale maşinilor care produc şocuri întimpul funcţionării (concasoare de diferite tipuri, ciocane hidraulice sau pneumaticeetc.).

Efectul amortizării poate fi evaluat prin diferite mărimi, cele mai uzuale fiind:- fracţiunea de amortizare critică:

f m

c

mk

c

pm

c

c

c

p

n

cr ⋅⋅⋅=

⋅⋅

=⋅⋅

===π

ζ 422

(2.22)

unde f este frecvenţa proprie;- decrementul logaritmic al amortizării:

22

1

4

2ln

cmk

c

x

x

−⋅⋅

⋅⋅== π

δ , (2.23)

unde x1, x2 sunt două amplitudini succesive ale vibraţiei libere amortizate.Pentru amortizări mici, 1,0≤ζ , relaţia (2.23) devine:

ζ π π

δ ⋅⋅=⋅

⋅=

⋅

⋅= 2

pm

c

mk

c (2.24)

- factorul de pierderi:

π

δ ζ =⋅= 2d (2.25)

- factorul de amplificare la rezonanţă (relaţia (2.21)):

c

c

c

c

p

n Acr

rez ⋅=

⋅

=

⋅

=⋅

= 2

1

2

1

2

1

2

1,0 ζ .


27/256

Valori ale fracţiunii de amortizare critică ζ , decrementului logaritmic δ şifactorului de amplificare la rezonanţă rez A ,0 , pentru diferite materiale şi construcţii,

sunt prezentate în tabelul 1 [3].

Tabelul 1. Valori ale fracţiunii de amortizare critică ζ , decrementului logaritmic δ şi

factorului de amplificare la rezonanţă rez A ,0 , pentru diferite materiale şi construcţii.

Materialul sau construcţia ζ δ rez A ,0

MATERIALE

Oţel de construcţie 0,00143 0,009 350

Fontă cenuşie 0,0183 0,115 27,4

Plută naturală 0,00302 0,019 165

Lemn de stejar 0,00955 0,06 52,4

Lemn de fag 0,00795 0,05 63,0

Cauciuc natural 0,01…0,08 0,062…0,5 50…6,35

Cauciuc stirol-butandien 0,05…0,15 0,31…0,94 10…3,33Cauciuc policloropren 0,03…0,08 0,19…0,50 16,6…6,25

Cauciuc butilic 0,05…0,5 0,31…3,63 10,0…1,0

CONSTRUCŢII

Scânduri lipite 0,00955 0,06 52,4

Grinzi de beton armat 0,0455 0,28 11,2

Cadre din beton armat 0,0302 0,19 16,5

Fundaţii de turbine din beton 0,064 0,4 7,8

Fundaţii de turbine din oţel 0,016…0,032 0,1…0,2 31,2…15,16

Fundaţii de maşini din beton 0,05 0,28 10,0

Alte fundaţii de maşini 0,04 0,25 12,5

Terenuri de fundaţie 0,10 0,6 5,0

Amortizoarele hidraulice de vibraţii alcătuite dintr-un cilindru care conţine unlichid vâscos în care se deplasează un piston, se caracterizează prin valori alefactorului de amortizare [3]:

5,01,0 ⋅⋅⋅==cr c

cζ .

Solurile se caracterizează prin capacităţi mari de amortizare, consumândenergia şi transformând-o în căldură, atât prin frecarea internă, cât şi prin frecareadintre particulele lor. Capacitatea de amortizare a solurilor exprimă prin factorul deamortizare ζ , ale cărui valori sunt prezentate în tabelul 2 [3].

Tabelul 2. Valori ale factorului de amortizare pentru diferite soluri.

Felul solului ζ

Nisip uscat şi pietriş 0,03…0,07

Nisip uscat 0,01…0,03

Nisip uscat, saturat cu pietriş 0,05…0,06

Argilă 0,02…0,05

Factorul de amortizare al solurilor se determină analitic folosind relaţia [3]:


28/256

st cr p

S g

c

c ⋅⋅⋅==

ρ ζ

2

1 (2.26)

în care ρ este densitatea solului, [kg/m3]; g – acceleraţia gravitaţională, [m/s2], S – ariasuprafeţei tălpii fundaţiei, [m2]; pst – presiunea statică exercitată de fundaţie pe sol

( S gm pst ⋅=

(m – masa ansamblului maşină-fundaţie)), [ N/m2

].

2.1.3 Capacitatea elastică a izolatorilor de vibraţii

Sub denumirea generică de izolatori de vibraţii se înţeleg elementele elastice acăror deformaţie face posibilă mişcarea vibratorie, respectiv izolarea antivibratorie amaşinilor.

Constanta elastică unui element elastic este determinată de relaţia:

st xF k = (2.27)

unde xst = f este deplasarea determinată de forţa F, în sensul de acţiune al acesteia.În funcţie de utilizarea lor, elementele elastice pot fi montate în mai multemoduri: în paralel, în serie sau mixt. Dacă sub fundaţie sunt mai multe elementeelastice care în timpul vibraţiei au aceleaşi deplasări, ele sunt montate în paralel.Dacă, spre exemplu, între maşină şi sol este montat un strat elastic, acesta împreună cu solul, reprezintă două elemente elastice montate în serie. La montajul mixt,elementele elastice sunt legate atât în paralel, cât şi în serie.

La izolatorii liniari curba caracteristică forţă-deformaţie reprezintă o dreaptă (arcurile din oţel, de exemplu). Izolatorii neliniari au o capacitate de mare deamortizare, ceea ce face ca la încărcare curba caracteristică forţă-deformaţie să nu fieidentică cu cea de descărcare (elemente elastice din cauciuc, de exemplu). Pe zonerestrânse forţă-deformaţie (în domeniul deformaţiilor mici), izolatorii neliniari, potavea comportare liniară, asigurând o frecvenţă proprie constantă:

st p

x

g f ⋅

⋅=

π 2

1 , [ Hz] (2.28)

unde g este acceleraţia gravitaţională, [m/s2]; xst – deformaţia statică (săgeata), [m]. Iată câteva constante elastice ale diferitelor tipuri de elemente izolatoare devibraţii:

- Plăci solicitate la compresiune, cu o forţă normală la suprafaţa plăcii:[ ]m N S C

h

S E k x x ,⋅=

⋅= (2.29)

unde E este modulul de elasticitate al materialului plăcii, [ N/m2]; S – aria suprafeţeiplăcii, [m2]; h – grosimea plăcii, [m]; h E C x = – coeficientul contracţiei elastice,[ N/m3].- Pentru plăci solicitate la lunecări în planul lor:

[ ]m N S C h

S Gk Y y ,⋅=

⋅= (2.30)


29/256

unde G este modulul de elasticitate al materialului plăcii, [ N/m2]; S – aria suprafeţeiplăcii, [m2]; h – grosimea plăcii, [m]; hGC Y = – coeficientul contracţiei elastice,[ N/m3].- Pentru soluri, coeficientul de contracţie elastică este definit de relaţia:

x

p

C

x

x =

(2.31)unde p x este presiunea de apăsare, [ N/m

2]; x – tasarea, [m]; C x – coeficientul decontracţie elastică pentru translaţia după direcţia verticală, [ N/m3].

Experienţa arată că pentru valori mici ale presiunii de apăsare asupra solului,relaţia (2.31) este liniară, adică C x este constant. Valorile lui C x depind de condiţiile

în care s-a f ăcut determinarea experimentală a lui (presiunea p, respectiv suprafaţa deapăsare S ). Coeficientul C y pe direcţia y are valori de forma x y C C ⋅= 5,0 . Valorile

coeficientului de contracţie elastică sunt prezentate în tabelul 3.

Tabelul 3. Valori ale coeficientului de contracţie elastică xC şi yC .

Categoria

terenului

Felul terenului

Presiunea

statică

admisibilă

pa, [MN/m2]

Cx,

[MN/m3]

I

Terenuri slabe (argilă în stare plastică,

pământ nisipos, terenuri de categoriile II şi

III amestecate cu mâl)

< 0,15 < 3·107

II Terenuri de rezistenţă mijlocie (argilă în

limitele de plasticitate, nisipuri)

< 0,35 < 6·107

III Terenuri rezistente (argilă tare, nisip cupietriş, loess, argilă cu loess)

< 0,35 0,60 >10·107

Notă:

Valorile sunt valabile pentru S > 10 m2. Pentru suprafeţe S mai mici, valorile din tabel se vor

înmulţi cu factorul S 2,3 .

Valorile yC se determină din relaţia: x y C C ⋅= 5,0 .

- Pentru bare solicitate la compresiune (sau la întindere) relaţia (2.29) devine:

[ ]m N l A E k x ,⋅= (2.32)

unde A este aria secţiunii transversale a barei, [m2]; l – lungimea acesteia, [m].- Pentru bare solicitate la răsucire, constanta elastică are expresia:

[ ]m N l

d G

l

I Gk

p,

32

4

⋅

⋅⋅=

⋅=

π (2.33)

unde G este modulul de elasticitate al materialului plăcii, [ N/m2]; I p – modulul deinerţie polar al secţiunii barei, [m3]; l – lungimea barei, [m]; d – diametrul acesteia,[m].

- Pentru bare solicitate la încovoiere, constanta elastică depinde de rigiditatea la încovoiere E·I p, de lungimea barei, modul de rezemare al acesteia şi de punctul de


30/256

barelor solicitate la încovoiere se utilizează relaţia k = F/ xst , unde deformaţia(săgeata) statică xst = f se determină prin metodele specifice disciplinei Rezistenţamaterialelor.

2.1.4 Compunerea constantelor elastice

Izolaţiile antivibratorii ale maşinilor constau, de cele mai multe ori, din maimulte elemente elastice. Constanta elastică a ansamblului de elemente elastice, caredetermină pulsaţia proprie a sistemului, se determină prin compunerea acestora.

Constanta elastică a elementelor montate în paralel se determină cu relaţia:

nk k k k +++= ...21 , (2.34)iar a celor montate în serie:

nk k k k

1...

111

21

+++= . (2.35)

2.1.5 Transmisibilitatea vibraţiilor

Se consideră sistemul oscilant din figura 10, excitat de forţa armonică ( ) t F t F sin0= . Deplasarea masei m este:

( )ϕ −⋅⋅= t A x sin (2.36)

unde amplitudinea deplasării masei m este:

0

0

0 Ak

F

A x A st ⋅=⋅=

(2.37) în care xst este deplasarea pe care ar produce-o forţa F 0 aplicată static; A0 – factorulde amplificare, definit de expresia (2.8).

Resortul elastic k şi amortizorul c (fig. 10) transmit platformei pe care esteaşezat sistemul oscilant, în orice moment, forţele corespunzătoare deplasării x,respectiv vitezei x& a masei m:

xk F e ⋅= ; xcF a &⋅= , (2.38)

forţa rezultantă fiind:

xc xk F F F aeT &⋅+⋅=+= (2.39)Ţinând seama de relaţiile (2.36) şi (2.37), expresiile (2.38) devin:

( )ϕ −⋅⋅⋅⋅= t A xk F st e sin0 ;

( )ϕ −⋅⋅⋅⋅⋅= t A xcF st a cos0 . (2.40)

Se constată că cele două forţe transmise platformei sunt defazate cu 2π .

Amplitudinea forţei rezultante este:222

022

0222

022 ω ω ⋅+⋅⋅=⋅⋅⋅+⋅⋅= ck A x A xc A xk F st st st T (2.41)

sau, ţinând seama că k F xst 0= :


31/256

2

22

00222

00 1k

c AF ck AF F T

ω ω

⋅+⋅⋅=⋅+⋅⋅= . (2.42)

Deoarece mcn =⋅2 şi mk p = , relaţia (2.42) poate fi pusă sub forma:

22

00 41

⋅

⋅+⋅⋅=

p pn AF F T ω . (2.43)

Transmisibilitatea vibraţiilor se defineşte ca fiind raportul dintre forţa F T transmisă platformei şi amplitudinea F 0 a forţei perturbatoare:

22

00

41

⋅

⋅+⋅==

p p

n A

F

F T T

ω . (2.44)

Dacă se ţine seama de expresia (2.20), care defineşte factorul de amplificare,

relaţia (2.44) devine:

2222

22

00

41

41

⋅

⋅+

−

⋅

⋅+

=+

==

p p

n

p

p p

n

F

xckx

F

F T T

ω ω

ω

&. (2.45)

Raportul amplitudinilor forţelor transmise platformei de către amortizor şi de

că

tre arc este:

⋅⋅=

⋅

⋅=

⋅=

p p p

n

k

c

F

F

e

a ω ζ ω ω

22 (2.46)

unde s-a ţinut seama că mcn =⋅2 şi mk p = .

Fig. 13. Variaţia transmisibilităţii T în funcţie de raportul pω , pentru izolarea activă cu

0 1 2

2

3

4

6

8

T

pω 2


32/256

Deoarece mărimea pn=ζ are de regulă valori mici, forţa transmisă deamortizor fundaţiei este mult mai mică decât cea transmisă de arc.

În lipsa amortizării (c = 0, n = 0), relaţia (2.45) capătă forma:

2

00 1

1

−

===

pF

kx

F

F T T

ω

. (2.47)

a cărei reprezentarea grafică este prezentată în figura 13.Din relaţia (2.47) şi figura 13 se observă că la rezonanţă ( 1= p )

transmisibilitatea ∞→T . Pentru ca sistemul dinamic să nu transmită forţe platformeipe care este aşezat trebuie ca 1 pω (funcţionare în regim de post-rezonanţă).

Reprezentarea grafică a relaţiei (2.45) este prezentată în figura 14.

Fig. 14. Variaţia transmisibilităţii T în funcţie de rapoartele pω şi cr cc pn ==ζ , pentru

izolarea activă cu elemente vâscoelastice [4].

Analizând graficul din figura 14 se constată următoarele:- la rezonanţă ( 1= p ), transmisibilitatea are valori finite:

22

2

004

41

⋅

⋅

⋅+

=+

==

p p

n

p

n

F

xckx

F

F T T

ω

&. (2.48)

- toate curbele trec prin punctul de coordonate ( 2= pω , T=1) adică, pentru

2= pω transmisibilitatea are valoare T = 1, indiferent de amortizarea din sistem;

0 0,5 1 1,5 2 2,5

2

4

6

8

T

2 pω

05,0= pn

05,0= pn

1,0= pn

2,0= pn

4,0= pn 4,0= pn


33/256

- utilizarea izolatorilor cu valori mari ale factorului de amortizare pn=ζ esteeficientă în domeniul de rezonanţă ( 5,15,0 ⋅⋅⋅= p );

- pentru valori 2> pω , izolarea vibraţiilor este cu atât mai eficientă cu cât factorulde amortizare pn=ζ are valori mai mici.

Aceste constatări sunt mai evidente dacă transmisibilitatea se reprezintă grafic în coordonate logaritmice (fig. 15).

Fig. 15. Variaţia transmisibilităţii vibraţiilor în funcţie de raportul f/f 0=ω /p, f - frecvenţa

forţei perturbatoare, f 0 – frecvenţa de rezonanţă (ω – pulsaţia forţei perturbatoare;

p – pulsaţia proprie) şi de factorul de amortizare cr cc pn ==ζ [5].

Pentru ca sistemul să nu transmită forţe dinamice platformei pe care este aşezat,trebuie ca transmisibilitatea să aibă valori 1 pω (funcţionare în regim de post rezonanţă).

Studiile teoretice şi experimentale privind comportarea sistemelor vibratoarearată că amplasarea sub fundaţie a unui strat elastic gros produce o atenuareimportantă a forţelor dinamice pe care fundaţia le transmite solului pe care esteaşezată, pe când, dacă stratul este subţire, forţele dinamice se transmit aproape în

întregime.De asemenea, comportarea stratului elastic este cu atât mai bună cu cât fundaţia

exercită o presiune mai mare asupra acestuia. La valori foarte reduse ale presiunii,stratul elastic se comportă ca un rigid. Prin urmare, la proiectarea fundaţiilor

0,1 0,2 0,5 1,0 2 3 5 7

0,1

0,2

0,5

1,0

2

3

57

0,01

0,02

0,05

0,03

0,07

0,3

0,7

10T

p f f ω =0

0=ζ

0 , 0 5

0

0 ,1

0 ,2

0 , 5

0,05

0,1

0,2

0,5

1,0

0,1=ζ


34/256

maşinilor trebuie să se adopte valori ridicate ale presiunii exercitate de fundaţie pestratul elastic, apropiate de cele admisibile. Dacă suprafaţa de aşezare a fundaţieiconduce la valori prea reduse ale presiunii, atunci stratul elastic continuu se va

înlocui cu straturi de dimensiuni mai mici, ale căror suprafeţe însumate să conducă lao valoare a presiunii apropiată de cea admisibilă.

Maşinile care vibrează transmit solului, prin stratul izolator, o forţă variabilă acărei amplitudine este:

0F T F T ⋅= (2.49)(T – transmisibilitatea; F 0 – amplitudinea forţei perturbatoare) şi care producefenomenul de oboseală a solului.

Ca şi în cazul altor materiale, caracteristicile de rezistenţă la oboseală sunt maireduse decât cele datorită solicitărilor statice. De aceea, în calculul de rezistenţă, forţavariabilă de amplitudine F T se înlocuieşte printr-o forţă statică echivalentă definită derelaţia:

0, F T F F T est ⋅⋅=⋅= µ µ (2.50)unde µ este coeficientul de oboseală al materialului asupra căruia se exercită forţavariabilă transmisă.

Dacă forţa F T variază după un ciclu simetric (între +F T şi -F T ) coeficientul laoboseală are valoarea 0,21 == − µ µ , iar dacă variază după un ciclu oscilant, valoarea

5,10 == µ µ .Forţa totală transmisă terenului se obţine prin însumarea dintre greutatea

ansamblului maşină-fundaţie şi forţa statică echivalentă:

0,, F T gmF GF est t st ⋅⋅+⋅=+= µ (2.51)

Presiunea statică produsă asupra terenului de forţa F st,t este:

S

F T gm p t st

0,

⋅⋅+⋅=

µ (2.52)

unde S este aria suprafeţei de aşezare a fundaţiei pe sol.Presiunea statică totală pst,t nu trebuie să depăşească valoarea admisibilă pa.

Uneori, un calcul mai comod se face numai pentru presiunea statică datorată greutăţiiansamblului maşină-fundaţie, pe baza unei presiuni admisibile reduse:

ast p

S

gm p ⋅≤

⋅= 4,0 (2.53)

Examinând curbele de variaţie ale transmisibilităţii (fig.14) se disting maimulte situaţii importante pentru practică, în funcţie de modul de montare a maşinii pefundaţie: direct pe fundaţie (fig. 16 a), prin intermediul unei suspensii elastice (fig.16 b) şi prin intermediul unei suspensii elastice cu amortizare vâscoasă (fig. 16 c).

La aşezarea maşinii direct pe funda ţ ie, considerată nedeformabilă (montajrigid), deoarece lipsesc atât elementele elastice (k = ∞) cât şi cele de amortizarevâscoasă (c = 0), transmisibilitatea este egală cu unitatea (T = 1), adică forţaperturbatoare se transmite în întregime fundaţiei (figura 16 a).

În cazul în care între maşină şi fundaţie (considerată masivă şi cu rigiditatefoarte mare) există o suspensie elastică (fig. 16 b) amortizarea vâscoasă lipseşte (sau


35/256

este atât de mică încât poate fi neglijată) (c = 0), iar transmisibilitatea estedeterminată de relaţia:

2

0

2

1

1

1

1

−

=

−

=

f

f

p

T ω

(2.54)

a cărei reprezentare grafică este dată în figura 13.

Fig. 16. Scheme de montare a maşinilor pe fundaţie.

a - montare rigidă; b – montare cu elemente elastice; c – montare cu elemente elastice şi cu

elemente de amortizare.

În acest caz, pentru 10 = f f transmisibilitatea devine maximă, iar pentruvalori 30 > f f transmisibilitatea se poate determina cu relaţia [13]:

20

≈

f

f T . (2.55)

Situaţia cea mai convenabilă din punctul de vedere al izolării vibraţiilor esteaceea în care transmisibilitatea este nulă, lucru care nu poate fi realizat practic. De

aceea se caută ca transmisibilitatea să fie cât mai mică posibil, corespunzătoarevalorilor raportului 20 ≥= p f f ω .

Dacă raportul dintre frecvenţa forţei perturbatoare şi frecvenţa proprie are valori20


36/256

elastic era dezavantajos 20 0), transmisibilitatea este maximă pentru valoriale frecvenţelor 10


37/256

Fig. 17. Variaţia coeficientului de transmisibilitate maxim în funcţie de coeficientul deamortizare relativă [1].

Transmisibilitatea maximă depinde deci numai de valorile coeficientului deamortizare relativă cr cc=ζ (fig. 17). Pentru amortizări relativ mici,transmisibilitatea maximă se poate determina cu relaţia [13]:

cr c

cT

⋅

=⋅

≈

2

1

2

1max

ζ . (2.57)

2.2 Vibraţiile sistemelor oscilante cu două grade de libertate

Proprietăţile sistemului vibrant cu două mase sunt utilizate în mod curent laproiectarea şi construcţia fundaţiilor de maşini.

La fundaţia modelată printr-un sistem oscilant cu o singură masă este posibil capulsaţia proprie rezultată din calcul să aibă valoare apropiată de cea a vitezeiunghiulare a maşinii, prin urmare să existe pericolul de rezonanţă. Într-o asemeneasituaţie trebuie să se modifice una dintre mărimile care intervin în relaţia:

m

k p x p = , (2.58)

fie constanta elastică k x a rezemării, fie masa m a sistemului. În general, din motiveconstructive, nu este posibilă o reducere a masei faţă de valoarea care a fost prevăzută iniţial. O mărire apreciabilă a masei (cu 100 %, de exemplu) realizează, cu cheltuielimari, o reducere a pulsaţiei proprii cu numai circa 30 %, ceea ce nu este eficient dinpunct de vedere economic. Prin urmare, soluţiile constructive pentru rezolvarea

problemei trebuie să se orienteze spre modificarea valorii constantei elastice k x asistemului de rezemare.


38/256

La terenuri foarte moi, mărirea valorii k x se poate realiza fie prin întărireachimică a pământului, fie prin folosirea piloţilor.

În cazul terenurilor de consistenţă normală sau a celor foarte tari, reducereaconstantei elastice se poate realiza numai prin utilizarea unor elemente elastice:arcuri, elemente elastice din cauciuc, plută etc.

Fig. 18. Sistem vibrator cu o două mase.

Din motive constructive, elementele elastice, îndeosebi cele discrete (arcuri,

izolatori din cauciuc) nu pot fi aşezate direct pe pământ, acestea necesitând utilizareaunei fundaţii intermediare. Rezultă astfel montajul din figura 18.

Sunt posibile două variante:- Maşina de masă m1 este aşezată, prin intermediul elementelor elastice cu constantak 1, pe fundaţia de masă m2, acest ansamblu fiind plasat apoi pe solul de constantă elastică k 2;- Maşina de masă m1 este rezemată pe fundaţia de masă m2, prin intermediulelementelor elastice cu constanta k 1, întreg acest ansamblu fiind aşezat ulterior, prinintermediul arcurilor de constantă elastică k

2, într-o cuvă plasată în sol.

Ecuaţiile diferenţiale ale mişcărilor maselor 1m şi 2m sub acţiunea forţeiperturbatoare t F ⋅⋅ sin0 :

( ) t F x xk xm ⋅⋅=−+⋅ sin021111 && ; (2.59)

( ) 02221122 =⋅+−−⋅ xk x xk xm && .

Soluţiile particulare ale sistemului de ecuaţii (2.59) sunt de forma:t A x x ⋅⋅= sin11 ; (2.60)

t A x x ⋅⋅= sin22 .

Se fac următoarele notaţii:


39/256

1

12*1

m

k p = ;

2

212*2

m

k k p

+= ; (2.61)

2

1

m

m=α . (2.62)

Mărimea 2*1 p este pulsaţia proprie a masei m1 atunci când masa m2 esteimobilă, iar 2*2 p este pulsaţia proprie a masei m2 atunci când masa m1 este imobilă.Aşa cum se cunoaşte, pulsaţiile proprii ale sistemului vibrator cu două grade delibertate se determină rezolvând ecuaţia:

( ) 021

2122*2

2*1

4=

+

⋅+⋅+−

mm

k k p p p p (2.63)

valorile acestora fiind:

( ) ( )[ ] −++±++= 2121221121211212122,1 42

1mmk k mk mk k mk mk k

mm p (2.64)

Amplitudinile vibraţiilor masei m1 şi m2 au expresiile:

4

4*1

2

2*2

2

2*1

2

2*2

21

01

11

1

ω α

ω ω

ω

ω p p p

p

m

F A x

−

−⋅

−

−

⋅= ; (2.65)

4

4*1

2

2*2

2

2*1

2

2*1

22

02

11ω

α ω ω

ω

ω p p p

p

m

F A x

−

−⋅

−

⋅= . (2.66)

Considerând că rezemarea elastică pe arcuri este foarte moale, adică 12

2*1


40/256

12

2*2

2

2*1

21

02

−

⋅+

≈ ω

p

p

k k

F A x . (2.68)

Existenţa resoartelor elastice k 1 este deosebit de importantă, datorită lor are loctrecerea de la sistemul oscilant cu o masă la cel cu două mase. Dacă arcurile k 1 nuexistă, atunci sistemul cu două mase vibrează ca şi cel cu o singură masă de mărimem1+m2, având pulsaţia proprie:

21

22

mm

k p x

+= (2.69)

şi amplitudinea vibraţiei forţate:

222

0

1

1

x

x

p

k

F A

ω −

⋅= . (2.70)

Raportul x x A A 2=θ reprezintă factorul de reducere al amplitudinii masei m2 (fundaţia aşezată pe sol) ca urmare a existenţei arcurilor k 1:

2

2*`1

2*2

2

2

2

2

1

2

1

1

1

1

ω ω

ω

ϑ p

p

p

k

k A

A x

x

x⋅

−

−

⋅

+

== . (2.71)

Analizând relaţia (2.71) se observă că, dacă 02*`1 → p , adică arcurile k 1 auconstanta elastică mică, 0→θ , prin urmare masa inferioară m2 practic nu vibrează.Dacă, dimpotrivă, 2*`1 p creşte, valoarea mărimii θ creşte, de asemenea, ajungându-se

chiar în situaţia când 12 >= x x A Aθ , adică utilizarea arcurilor k 1 devine

dezavantajoasă. Acelaşi lucru se întâmplă şi la rezonanţă ( 22*2 ω = p ), când ∞→θ ,iar amplitudinea masei m2, ∞→2 x A .

Interesează şi deplasarea masei m1 (a maşinii) după introducerea arcurilor k 1.Comparând amplitudinea A x1 a masei m1, a sistemului cu două grade de libertate, cuamplitudinea A x a sistemului cu un singur grad de libertate (cu masa m1+m2) seconstată că:

a. Amplitudinea A x1 a maşinii scade ( A x1


41/256

b. Amplitudinea A x1 a maşinii creşte ( A x1> A x) dacă sunt îndeplinite condiţiile:2

12

222

1 2 ω ω ω mmk m . (2.75)

sau dacă este îndeplinită condiţia:2

12

22 2 ω ω mmk >− , (2.76)

indiferent de valoarea constantei elastice k 1.Practic, dacă aşezarea directă a fundaţiei pe sol nu reprezintă o soluţie tehnică

satisf ăcătoare, adoptând valori adecvate pentru mărimile θ şi α , se determină pulsaţia proprie *1 p după care, cunoscând valoarea acesteia, se dimensionează elementele elastice dintre maşină şi fundaţie.

Din cele expuse rezultă că, în cazul utilizării corecte a elementelor elastice,fundaţia maşinii, de masă m2, poate fi considerată imobilă. Din acest motivdimensiunile acesteia se adoptă din considerente constructive, studiindu-se numaivibraţiile maşinii (masei superioare m1). În acest fel, problema vibraţiilor sistemuluicu două mase se reduce la cea a vibraţiilor sistemului cu o singură masă, cudeosebirea că în locul constantelor elastice ale terenului se introduc cele alesistemului elastic dintre maşină şi fundaţie.

2.3 Calculul izolării vibraţiilor

Izolarea vibraţiilor echipamentelor se realizează cu ajutorul elementelorantivibratile (arcuri, elemente elastice din cauciuc etc.).

Gradul de izolare a vibraţiilor se exprimă prin relaţia:( ) %1001 ⋅−= T I (2.77)

Transmisibilitatea vibraţiilor de la maşină la fundaţia pe care aceasta esterezemată este determinată de relaţia (2.45):

2222

22

00

41

41

⋅

⋅+

−

⋅

⋅+

=⋅+⋅

==

p p

n

p

p p

n

F

xc xk

F

F T T

ω ω

ω

&

în care F T este forţa transmisă fundaţiei, iar F 0 – amplitudinea forţei perturbatoareprodusă de maşina care vibrează. Transmisibilitatea depinde de raportul p dintre frecvenţa vibraţiilor maşinii

şi frecvenţa vibraţiilor proprii ale sistemului precum şi de factorul de amortizare n/pal izolaţiei antivibratoare.


42/256

Dacă izolaţia antivibratoare este realizată din arcuri elicoidale, factorul deamortizare n/p al acestora are o valoare foarte mică şi se poate neglija. În această situaţie, relaţia (2.77) se modifică corespunzător şi capătă forma (2.47):

20

1

1

−

==

p

F

F T T

ω

Din relaţia (2.47) se observă că izolaţia antivibratoare reduce încărcăriledinamice transmise fundaţiei numai dacă

2> p

(2.78)

deoarece, în această situaţie, valoarea absolută a numitorului relaţiei devine mai maredecât unitatea.

Analizând relaţia (2.47) se ajunge la concluzia că o izolaţiei antivibratoare careare o valoare a factorului de amortizare mare conduce la creşterea încărcărilordinamice transmise fundaţiei, lucru care nu este de dorit. De aceea, pentru izolareavibraţiilor maşinilor, se preferă arcurile elicoidale cilindrice care asigură o izolaremai eficientă decât elementele din cauciuc, care au o valoare mare a factorului deamortizare. În majoritatea cazurilor practice se consideră suficientă o reducere de 20 de ori a încărcărilor dinamice transmise fundaţiei, adică dacă transmisibilitatea arevaloarea

05,0201 ==T . (2.79)

Rezolvând ecuaţia:

20

1

1

12 =

−

=

p

T ω

,

rezultă:

4,4≈ p

.

Atunci când, din diferite considerente, se impune o altă valoare pentrutransmisibilitatea T , mărimea raportului p se va determina în mod corespunzător.

O izolaţie antivibratoare eficientă se asigură atunci când: 0,5≥ p . În acestcaz, valoarea minimă a rigidităţii izolaţiei antivibratorii se determină de relaţia:

222

5

2

5

⋅⋅⋅=

⋅=⋅≤

f mm pmk

π ω (2.80)

unde m este masa maşinii; f – frecvenţa forţei perturbatoare care produce vibraţiileacesteia.

Cunoscând valoarea constantei elastice a izolaţiei antivibratile se poate realizadimensionarea acesteia.


43/256

Calculul izolării antivibratorii a maşinilor constă în adoptarea unei valoriconvenabile a raportului frecvenţelor 0 f f .

Pulsaţia de rezonanţă se determină cu relaţia:

[ ] Hz

x

g

gm

gk

m

k f

st

,

2

1

2

1

2

10 ⋅

⋅

=

⋅

⋅⋅

⋅

=⋅

⋅

=

π π π

(2.81)

unde k este constanta elastică a suspensiei elastice (stratului izolator), [ N/m];m – masa maşinii (inclusiv a suspensiei elastice), [kg]; g – acceleraţia gravitaţională (g = 9,81 m/s2); xst – deformaţia statică a stratului izolator ( k gm xst / ⋅= ), [m].

Frecvenţa forţei perturbatoare (frecvenţa de excitaţie) se determină cu relaţia:

[ ] Hzn

f ,602

=⋅

= (2.82)

unde ω este pulsaţia forţei perturbatoare (viteza unghiulară de rotaţie a maşinii), [s-1];

n - turaţia maşinii, [rot/min].Relaţia (2.81) permite determinarea cu uşurinţă a frecvenţei proprii a maşinii

numai prin măsurarea experimentală a deformaţiei elastice a sistemului elastic.Importanţă practică prezintă determinarea rapidă a eficienţei unei izolări date

şi, invers, realizarea, într-un caz concret dat, a unei izolări cu o eficienţă impusă.Utilizând relaţiile (2.47) şi (2.81) se obţine, atunci când rezistenţa internă suspensieielastice (amortizarea) este neglijabilă (c = 0), expresia:

+⋅≈

+⋅⋅

⋅

⋅=

+⋅⋅

⋅

=T

nT

n

g

T f

g xst

11

90011

1

4

360011

1

4

22222

π π

(2.83)

Utilizând relaţia (2.83) şi cunoscând turaţia maşinii (frecvenţa forţeiperturbatoare), se determină deformaţia statică care asigură o anumită transmisibilitate (eficienţă a izolării) impusă a vibraţiilor.

Analizând influenţa diferitelor mărimi care intervin în relaţia (2.83) rezultă următoarele concluzii:

- Pentru aceeaşi turaţie, transmisibilitatea este cu atât mai redusă (gradul deamortizare a vibraţiilor este mai ridicat) cu cât deformaţia statică este mai mare şi cucât constanta elastică este mai mică, deci cu cât suspensia este mai elastică.

- Pentru aceeaşi deformaţie statică, atenuarea şi constanta elastică a elementuluiizolator scad cu frecvenţa forţei perturbatoare. Ca urmare, vibraţiile de frecvenţă

joasă sunt mai dificil de amortizat şi necesită elemente foarte elastice (îndeosebiarcuri metalice) care, de multe ori, contribuie la instabilitatea maşinii pe suspensiaelastică.

- Pentru aceeaşi valoare a constantei elastice, gradul de amortizare a vibraţiilorşi deformaţia statică se măresc odată cu turaţia maşinii. Deci, un strat elastic dat nuizolează în condiţii identice toate tipurile de maşini.

- Pentru aceeaşi transmisibilitate (acelaşi grad de amortizare a vibraţiilor),deformaţia statică scade, iar rigiditatea creşte cu creşterea turaţiei. Prin calcul seconstată că aceeaşi amortizare se poate obţine fie pentru deformaţii statice mici şi


44/256

valori mari ale constantei elastice, fie pentru deformaţii statice mari şi valori mici aleconstantei elastice. Aceste concluzii depind şi de greutatea maşinii respective.

Prin urmare, deşi forţa transmisă de maşină fundaţiei se exprimă numai înfuncţie de raportul frecvenţelor, ea variază atât în funcţie de greutatea maşinii cât şide puterea acesteia. Practica confirmă această ultimă concluzie.

În tabelul 4 sunt prezentate valorile transmisibilităţii şi ale gradului deamortiz

Date post:	07-Aug-2018
Category:	Documents
Upload:	tom-tampon
View:	259 times
Download:	0 times

pavel_ene = INTRODUCERE ÎN TEHNICA IZOLĂRII VIBRAŢIILOR SI A ZGOMOTULUI

Documents