| Date post: | 17-Oct-2015 |
| Category: |
Documents |
| Upload: | camelia-lupu |
| View: | 139 times |
| Download: | 4 times |
of 107
i
NICULAE MANAFI
BAZELE MECANICII APLICATE
PARTEA III-a CINEMATICA
CONINUTUL
9. CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL ........................................... 137 9.1 Generaliti ........................................................................................... 137
9.1.1 Parametrii cinematici generali ...................................................... 137 9.1.2 Parametrii cinematici unghiulari ................................................... 139
9.2 Parametrii cinematici ai micrii n diferite sisteme de coordonate ..... 140 9.2.1 Coordonate carteziene .................................................................. 140 9.2.2 Coordonate polare ......................................................................... 143 9.2.3 Coordonate cilindrice.................................................................... 147 9.2.4 Cordonate sferice .......................................................................... 148 9.2.5 Coordonate intrinseci (Frenet) ...................................................... 151
9.3 Micri particulare ale punctului material ............................................ 155 9.3.1 Micarea rectilinie ........................................................................ 155 9.3.2 Micarea circular ......................................................................... 156 9.3.3 Micarea uniform pe elicea circular .......................................... 158 9.3.4 Micarea oscilatorie armonic ...................................................... 159
10. CINEMATICA SOLIDULUI RIGID..................................................... 161 10.1 Generaliti ......................................................................................... 161 10.2 Parametrii cinematici ai micrii solidului rigid ................................. 162 10.3 Micri particulare simple ale solidului rigid ..................................... 165
10.3.1 Micarea de translaie ................................................................. 165 10.3.2 Micarea de rotaie ...................................................................... 166 10.3.3 Micarea elicoidal ..................................................................... 169
10.4 Micarea plan-paralel ........................................................................ 171 10.4.1 Caracteristici generale ale micrii ............................................. 171 10.4.2 Puncte speciale n planul micrii ............................................... 173 10.4.3 Studiul vectorial al vitezelor i acceleraiilor ............................. 178 10.4.4 Metode grafo-analitice ................................................................ 180 10.4.5 Metoda analitic.......................................................................... 189
10.5 Micarea corpului cu un punct fix ...................................................... 196
11. MICRI COMPUSE ............................................................................. 199 11.1 Generaliti ......................................................................................... 199 11.2 Micri compuse ale punctului material ............................................. 200
11.2.1 Studiul vectorial i matriceal al parametrilor cinematici ............ 200 11.2.2 Metoda analitic.......................................................................... 207
ii
11.3 Micri compuse ale solidului rigid .................................................... 213 11.3.1 Definirea micrilor .................................................................... 213 11.3.2 Parametrii cinematici n cazul general ........................................ 213 11.3.3 Parametri unghiulari ai micrii absolute ................................... 215
11.4 Micri compuse particulare ............................................................... 216 11.4.1 Compuneri de translaii............................................................... 216 11.4.2 Compuneri de rotaii paralele ..................................................... 217 11.4.3 Compuneri de rotaii concurente ................................................ 218
12. CINEMATICA SISTEMELOR DE CORPURI ..................................... 220 12.1 Generaliti ......................................................................................... 220 12.2 Transmisii mecanice simple ................................................................ 221 12.3 Transmisii complexe prin fire ............................................................. 223 12.4 Mecanisme uzuale simple ................................................................... 226
12.4.1 Mecanismul biel-manivel ........................................................ 226 12.4.2 Mecanismul patrulater articulat .................................................. 228 12.4.3 Mecanismul cu culis oscilant .................................................. 233 12.4.4 Mecanism cu lan cinematic deschis ........................................... 234
137
Partea III-a CINEMATICA
9. CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL
9.1 Generaliti
9.1.1 Parametrii cinematici generali
Caracterizarea micrii unui punct material se face de regul printr-un grup de mrimi fizice reunite sub denumirea general de parametri cinematici. Acetia sunt poziia, viteza i acceleraia.
a) Poziia la un moment dat a unui punct material M se indic n raport cu un reper O (fig.9.1) printr-un vector de poziie
)(trOMr (9.1)
Acesta este o funcie de timpul t continu, uniform i derivabil de cel puin dou ori. Locul geometric al poziiilor succesive ocupate de punct n timpul micrii reprezint traiectoria de deplasare.
Relaia vectorial (9.1) se poate proiecta n diferite sisteme de coordonate; ecuaiile scalare astfel obinute, n care t este variabila independent, reprezint ecuaiile parametrice ale traiectoriei. n sistemul de coordonate carteziene, de exemplu, ele vor fi de forma:
)()()( tzztyytxx (9.2)
Prin eliminarea variabilei t ntre ecuaiile parametrice se obine ecuaiile analitice ale traiectoriei. n cazul unei traiectorii coninute ntr-un plan, de exemplu n xOy, se va gsi o singur ecuaie de forma 0yxf ),(
corespunztoare unei curbe n acest plan. O traiectorie tridimensional va fi
descris prin dou ecuaii, 0zyxf1 ),,( i 0zyxf2 ),,( , respectiv prin curba
de intersecie a suprafeelor n spaiu definite prin aceste relaii. Pe orice traiectorie poziia la un moment dat a
punctului M poate fi indicat i printr-o coordonat intrinsec, mrime scalar, reprezentnd lungimea poriunii din traiectorie msurat fa de un punct de
referin 0M (fig.9.2):
)(tsMMs 0 (9.3)
Aceast relaie este numit i ecuaia orar a traiectoriei. Coordonata intrinsec s poate servi n unele demonstraii drept variabil intermediar.
b) Viteza este o mrime fizic vectorial care indic modul n care variaz n raport cu timpul poziia unui punct material pe traiectorie, respectiv vectorul de poziie r . Pe o traiectorie )(T (fig.9.3) un punct material se deplaseaz din
M n 1M ntr-un interval de timp t , parcurgnd arcul de curb sMM1 .
Fig.9.1
Fig.9.2
traiectoria
O
M
s
138
Variaia vectorului de poziie este rMM1 . Viteza medie a deplasrii este
t
rvm
(9.4)
Vectorul mv este coliniar i de acelai sens cu
r . Se poate defini viteza instantanee n poziia M ca limit a acestui raport atunci cnd durata deplasrii tinde ctre 0. Astfel:
rdt
rd
t
trttr
t
rtvv
0t0t
)()(limlim)( (9.5)
Viteza instantanee se exprim prin derivata de ordinul nti n raport cu timpul a vectorului de poziie. Trebuie fcut precizarea c n Mecanic derivatele n raport cu timpul efectuate asupra mrimilor vectoriale sau scalare se noteaz prin unul sau dou puncte aezate deasupra simbolului respectiv.
Relaia (9.5) se mai poate prelucra i n modul urmtor:
st
s
s
|r |
|r |
r
t
s
s
|r |
|r |
r
t
rv
sdtds1
0t0t0t0t0t
limlimlimlimlim (9.6)
n aceast relaie este versorul tangentei Mt la traiectoria )(T (fig.9.4) iar 0s dac coor-
donata intrinsec crete. Relaia (9.6) demon-
streaz faptul c viteza v este ntotdeauna tangent la traiectorie iar sensul ei coincide cu sensul de efectuare a micrii.
a) Acceleraia este deasemenea o mrime fizic vectorial care indic modul n care
variaz n raport cu timpul viteza v a punctului
material. Ca i n cazul vitezei se exprim o acceleraia medie sub forma:
t
vam
(9.7)
n care )()( tvttvv este variaia vecto-
rului vitezei la trecerea din M n 1M (fig.9.5).
Acceleraia instantanee n punctul M se determin prin calcularea limitei
raportului din aceast relaie atunci cnd t tinde ctre 0.
vdt
vd
t
vtaa
0t
lim)( (9.8)
sau, innd cont de definirea vitezei,
rdt
rda
2
2 (9.9)
Fig.9.3
Fig.9.4
Fig.9.5
O
O
sensul
micrii
t
139
Acceleraia este deci prima derivat a vitezei n raport cu timpul i cea de a doua derivat a vectorului de poziie n raport cu acelai parametru.
Se descompune acceleraia dup direciile tangentei i normalei n M la curba traiectoriei (fig.9.6):
nt aaa (9.10)
Componenta tangenial ta exprim variaia vitezei ca mrime; dac are acelai
sens cu v , mrimea vitezei crete. Componenta normal na caracterizeaz
variaia direciei vectorului vitezei; ea se afl ntotdeauna n interiorul curburii
traiectoriei. Vectorul acceleraiei a se va afla n consecin de aceeai parte cu curba traiectoriei fa de tangent.
9.1.2 Parametrii cinematici unghiulari
Pe lng parametrii cinematici menionai mai nainte, mrimi vectoriale, n micarea plan intervin i nite mrimi scalare grupate sub denumirea general de parametri unghiulari. Acetia sunt unghiul de poziie, viteza unghiular i acceleraia unghiular. Pentru simbolizarea acestor mrimi se utilizeaz de obicei literele greceti.
Relaiile dintre parametrii unghiulari sunt similare celor dintre parametrii vectoriali studiai. n capitolul precedent.
a) Unghiul de poziie este fcut de o dreapt mobil, de exemplu raza OM (fig.9.7), cu o direcie de referin fix care este de obicei axa Ox sau o paralel la aceasta. Unghiul de poziie este un unghi orientat, msurndu-se de la direcia de referin la cea mobil i se consider pozitiv dac sensul lui coincide cu sensul trigonometric. Ca i vectorul de poziie el este o funcie de timpul t continu, uniform i derivabil de cel puin dou ori: )(t (9.11)
b) Viteza unghiular descrie modul de variaie n raport cu timpul al unghiului de poziie. Pornind de la o vitez unghiular medie:
t
m
(9.12)
n care este variaia unghiului de poziie la trecerea
din M n 1M , se exprim viteza unghiular instantanee
n poziia M (fig.9.8):
dt
d
tt
0tlim)( (9.13)
Fig.9.6
Fig.9.7
Fig.9.8
O
tangenta
O
normala
O
140
Viteza unghiular se reprezint grafic printr-o sgeat curb n jurul vrfului unghiului de poziie, n cazul de fa punctul O. Sensul vitezei unghiulare corespunde sensului de rotaie al razei OM, respectiv sensului de deplasare al punctului M pe traiectorie. Ea este pozitiv dac are sensul trigonometric.
c) Acceleraia unghiular caracterizeaz modul de variaie al vitezei
unghiulare n raport cu timpul. Pentru o variaie a vitezei unghiulare (fig.9.9), acceleraia unghiular medie:
t
m
(9.14)
conduce la obinerea acceleriei unghiulare instantanee n poziia M:
dt
d
tt
0tlim)( (9.15)
innd cont i de definiia vitezei unghiulare,
2
2
dt
d (9.16)
i acceleraia unghiular se reprezint printr-o sgeat curb n jurul vrfului unghiului de poziie. Ea este pozitiv dac are sensul trigonometric. Dac i au acelai sens, rotaia este accelerat.
9.2 Parametrii cinematici ai micrii n diferite sisteme de coordonate
9.2.1 Coordonate carteziene
n sistemul de coordonate carteziene
(fig.9.10) vectorul de poziie al unui punct M de pe traiectorie este de forma:
kzjyixr (9.17)
Sistemul de referin Oxyz este fix i versorii
kji ,, sunt constani; n consecin numai
coordonatele sunt funciile de timp )()()( tzztyytxx (9.18)
Modulul vectorului de poziie este:
222 zyxr || (9.19)
Viteza punctului M are expresia analitic:
kvjvivv zyx (9.20)
Prin derivarea n raport cu timpul a vectorului de poziie se obine:
kzjyixrv (9.21)
i rezult proieciile vitezei pe axele de coordonate:
zvyvxv zyx (9.22)
Modulul vitezei se calculeaz cu relaia:
Fig.9.9
Fig.9.10
O
O
x
y
z
141
2z2y
2x vvvv || (9.23)
Expresia analitic a acceleraiei punctului M are forma:
kajaiaa zyx (9.24)
Se deriveaz viteza i se obine:
kzjyixkvjvivrva zyx (9.25)
Proieciile pe axele de coordonate ale acceleraiei vor fi:
zva
yva
xva
zz
yy
xx
(9.26)
Modulul acceleraiei se va calcula cu relaia:
| |a a a ax y z 2 2 2
(9.27)
n cazul particular al unei micri plane, raportat de obicei la un sistem de axe Oxy (fig 9.11), relaiile de mai sus capt o form simplificat:
jyixr 22 yxr || (9.28)
jvivv yx 2y
2x vvv || xy vvtg (9.29)
jaiaa yx 2y
2x aaa || xy aatg (9.30)
Problema 9.1 O bar n form de L se reazem cu extremitile sale A i B pe dou suprafee fixe (fig.9.12). Punctul A este deplasat cu o vitez constant pe orizontal. Se cere s se studieze micarea punctului C.
Date: l2AB , lAC , .|| constvvA
Cerute: Cr , Cv , Ca
Rezolvare: Toi parametrii cinematici sunt variabili n raport cu timpul prin intermediul
unghiului de poziie al barei )(t . Pentru
punctul A se poate scrie:
0y
l2xrA
sin
0v
vl2vv
y
x
A
cos (9.31)
de unde rezult:
cosl2
v (9.32)
Pentru punctul C se calculeaz coordonatele poziiei din care rezult traiectoria prin eliminarea lui :
Fig.9.11
Fig.9.12
x
B
O
A
y
x
y
O
142
0lxy4y5xly
ll2xr 222C
sin
cossin (9.33)
Traiectoria este un arc dintr-o elips cu centrul n O i cu semiaxele oblice. n continuare
v2
1lv
tgv2
1vll2v
v
y
x
C
cos
sincos
(9.34)
0a
l4
v1v
2
1a
a
y
3
2
2xC
coscos
(9.34)
Problema 9.2 La mecanismul din fig.9.13 bara AB are o micare de rotaie cunoscut; se cere s se determine poziia, viteza i acceleraia culisei C sub forma unui algoritm de calcul.
Date: lBCrABhOA ,,
,),(t
Cerute: CCC avx ,,
Rezolvare: Pentru poziia culisei se poate scrie ecuaia vectorial:
CBABOAOCrC (9.35)
care se proiecteaz pe axe prin ecuaiile:
sinsin
coscos
lrh0
lrxC (9.36)
Din cea de a doua ecuaie se determin:
l
rh
sinsin
(9.37)
Dac se deriveaz succesiv aceast ecuaie n raport cu timpul se obin derivatele unghiului :
coscosl
r (9.38)
cossincossin 22l
r (9.39)
Viteza i acceleraia punctului C se obin derivnd n raport cu timpul prima din ecuaiile (9.36):
sincossincos
sinsin
llrrxa
lrxv
22CC
CC (9.40)
Relaiile de calcul n funcie de datele problemei sunt grupate n algoritmul din tab.9.1.
Fig.9.13
B
O
A
C
y
x
143
Tabelul 9.1
Nr. Relaia Observaii
1 l
rh
sinsin
2 21 sincos 2
3
2
3
cos
cos
l
r
4
22
l
r1
sincossin
cos
5 coscos lrxC
6 sinsin lrvC
7 sincossincos llrra 22C
9.2.2 Coordonate polare
Acest sistem de coordonate, utilizat numai n cazul unor traiectorii plane,
este compus din lungimea razei vectoare i unghiul orientat pe care aceasta l face cu o direcie de referin fix (fig.9.14):
)()( tOMtrr (9.35)
Dac se asociaz coordonatelor polare un sistem cartezian cu Ox drept ax polar, exist relaiile de transformare:
sincos ryrx (9.36)
ca i cele inverse:
x
ytgyxr 22 (9.37)
Versorul ru are direcia i sensul razei vectoare
iar u este perpendicular pe aceasta n sensul
unghiului . n sistemul Oxy asociat (fig.9.15) ei au expresiile:
jiu
jiur
cossin
sincos (9.38)
Versorii sunt funcii de timp prin intremediul lui , astfel c:
r
r
ujiu
ujiu
sincos
cossin (9.39)
Fig.9.14
Fig.9.15
O (pol)
axa polar
(x)
(y)
O
144
Parametrii cinematici ai micrii punctului M se pot exprima n funcie de proieciile lor pe
direciile definite de versorii ru i u (fig.9.16)
prin expresiile analitice:
uauaa
uvuvv
urr
rr
rr
r
(9.40)
Prin derivare n raport cu timpul se obine pentru vitez i acceleraie:
ururururrv rrr (9.41)
ur2rurrurururururva r2
rr )()( (9.42)
Proieciile vitezei i acceleraiei n funcie de coordonatele polare sunt:
rv
rvr (9.43)
r2ra
rra 2r (9.44)
n unele aplicaii intereseaz nite parametri cinematici speciali, respectiv viteza
i acceleraia areolar, care exprim variaia n raport cu timpul a ariei acoperite de raza
vectoare OMr (fig.9.17) n timpul
micrii punctului material pe traiectorie. Pentru un interval de timp t foarte mic, aria
A poate fi ncadrat ntre dou sectoare
circulare de raze OM i 1OM , asimilabile
unor triunghiuri isoscele:
22 rr2
1Ar
2
1)( (9.45)
Aceast relaie poate fi prelucrat prin calcularea limitelor fiecrui termen atunci cnd 0t ; simultan i 0r .
dtd
r21
AdtdA
dtd
r21 2
2
0t0t
2
2
0t t2
rr
t
A
t2
r
)(limlimlim (9.46)
Ambele limite exterioare sunt egale i n consecin viteza areolar va fi:
22 r
2
1
dt
dr
2
1 (9.47)
Se mai observ c:
nruuruurrvrururrv
urr2
r2
rr
r
r
)()( (9.48)
Fig.9.16
Fig.9.17
O
O
145
unde n este un versor perpendicular pe ru i u .
Rezult c viteza areolar se mai poate scrie:
vr2
1 (9.49)
Acceleraia areolar se obine derivnd aceast relaie n raport cu timpul:
ar2
1vr
2
1vr
2
1 (9.50)
Problema 9.3 Un punct material M se
deplaseaz pe o curb pornind dintr-o poziie
iniial 0M (fig.9.18). S se calculeze viteza
i acceleraia punctului la un moment t oarecare.
Date: Ecuaiile parametrice ale curbei:
atrr 0 0 bt (9.51)
.)constb,a(
Cerute: Traiectoria, viteza v , acceleraia a .
Rezolvare: Ecuaia analitic a traiectoriei se obine eliminnd timpul ntre ecuaiile parametrice:
)( 00b
arr (9.52)
Se recunoate ecuaia spiralei lui Arhimede n coordonate polare. Din relaiile
(9.43) rezult proieciile vitezei pe direciile ru i u i modulul acesteia:
202222
r
0
ratrbavvv
atrbrbrv
arv)(||
)(
(9.53)
i, n continuare, din (9.44), cele ale acceleraiei:
2220
422r
0222
r
ba4atrbaaa
ab2r2ra
atrbrbrra
)(||
)(
(9.54)
Problema 9.4 Un punct material M se
deplaseaz pe o traiectorie eliptic cu vitez areolar constant pornind din poziia A aflat pe semiaxa mare a acesteia (fig.9.19).
Cunoscnd viteza iniial, s se calculeze vitezele n celelalte puncte extreme precum i durata de parcurgere a ntregii traiectorii.
Date: bOBaOA , semiaxele elipsei;
0A vv || viteza iniial.
Cerute: |||,||,| DCB vvv
Fig.9.18
Fig.9.19
O
D
C
B
A O
b a
F F
M
146
Rezolvare: Din geometria elipsei se cunoate c pentru orice punct M aparinnd acesteia suma distanelor la dou puncte fixe F i F, numite focare, este constant. Poziionnd mai nti punctul M n A i apoi n B, se determin: aBFa2MFMF ' (9.55)
Rezult c distana dintre centrul geometric O al elipsei i focarul F (fig.9.20) este:
22 bac (9.56)
Focarul se afl ntotdeauna pe semiaxa mare a elipsei i deci ba .
Se cunoate deasemenea c elipsa face parte din familia de curbe plane numite conice. Ecuaia general a unei conice n coordonate polare (cu polul n focarul F i axa polar suprapus axei de simetrie a acesteia) este de forma:
cose1
pr
(9.57)
n care apar constantele p parametrul conicei i e excentricitatea conicei. n aceast ecuaie tipul conicei este definit prin valoarea excentricitii ( 0e
pentru cerc, 1e0 pentru elips, 1e pentru parabol i 1e pentru hiperbol). n cazul elipsei excentricitatea se definete prin relaia:
a
ba
a
c
OA
OFe
22 (9.58)
Parametrul p se determin prelucrnd relaia (9.57) pentru coordonatele polare ale punctului A ( 0 , car ); se obine n final:
a
be1ap
22 )( (9.59)
Viteza areolar a punctului M se calculeaz din relaia (9.49) pus sub forma:
.sin|||||| constvr2
1vr
2
1 (9.60)
n care ),( 0 este unghiul dintre direciile vectorilor r i v . n punctul de
lansare A carA || , 0A vv || , 2/ ; n consecin:
.)( constcav2
10 (9.61)
n punctul B, aflat pe semiaxa mic, aFBrB || iar .
||||)sin(|||| BBBB vb2
1
a
bva
2
1vr
2
1 (9.62)
Echivalnd cu (9.61) se obine viteza n punctul B:
0B vb
cav
|| (9.63)
Fig.9.20
r
O F A
B
a b
c
147
Se observ c, din motive de simetrie, |||| BD vv . n punctul C, aflat la cealalt
extremitate a semiaxei mari, caFCrC || i 2/ . Procednd n mod
analog se calculeaz:
0C vca
cav
|| (9.64)
Aria total a unei elipse n funcie de valorile semiaxelor este abA
(rel.4.62). Timpul de parcurgere al traiectoriei eliptice se poate calcula, n cazul
unei viteze areolare constante, cu relaia:
)( cav
ab2AT
0
(9.65)
9.2.3 Coordonate cilindrice
Sistemul de coordonate cilindrice reprezint o extindere n spaiu a coordonatelor polare prin combinarea acestora cu un sistem cartezian Oxyz
(fig.9.21); direciile definite prin versorii ru i u se afl n planul Oxy n care
de obicei Ox servete drept ax polar. Traiectoriei reale (T) din spaiu i corespunde curba plan (T) ale crei puncte sunt poziionate prin coordonatele polare descrise n capitolul precedent. Grupul de coordonate cilindrice pentru un
punct M este alctuit din variabilele: )(' trOMr , )(t , )(' tzMMz (9.66)
Parametrii cinematici ai acestuia sunt:
kauauava
kvuvuvrv
kzurr
zrr
zrr
r
(9.67)
Pentru viteza i acceleraia punctului M proieciile pe direciile definite de cei trei versori sunt:
zv
rv
rv
z
r
(9.68)
za
r2ra
rra
z
2r
(9.69)
Problema 9.5 Un punct material M se deplaseaz pe o traiectorie n spaiu dat prin ecuaiile sale parametrice n coordonate cilindrice, pornind dintr-o poziie iniial aflat n planul Oxy (fig.9.22). Se cere s se identifice forma geometric a traiectoriei precum i parametrii cinematici ntr-o poziie oarecare.
Date: Poziia iniial ),,( 0rM 000 ,
Ecuaiile parametrice ale traiectoriei:
atrr 0 bt0 ctz ( cba ,, constante). (9.70)
Cerute: Ecuaiile analitice ale traiectoriei, || v , || a
(9.66)
Fig.9.21
O
z
(x)
(y)
148
Rezolvare: Forma traiectoriei este obinut prin eliminarea timpului ntre ecuaiile parametrice de mai sus:
)()( 000 rra
cz
b
arr (9.71)
Prima ecuaie reprezint o suprafa riglat, generat de o dreapt paralel cu Oz care se sprijin pe o spiral arhimedic aflat n planul orizontal; cea de a doua este o suprafa conic obinut prin rotirea complet a unei drepte concurent cu Oz, n jurul acesteia. Traiectoria, rezultat prin intersecia acestor suprafee, este n
consecin o spiral nfurat pe o suprafa conic. Se calculeaz n continuare viteza:
22022
z
0
r
catrbav
cv
atrbv
av
)(||)( (9.72)
i acceleraia:
2202
z
02
r
a4atrbba
0a
ab2a
atrba
)(||
)(
(9.73)
9.2.4 Cordonate sferice
Sistemul de coordonate sferice este
compus din lungimea razei vectoare i din dou unghiuri de poziionare a acesteia fa de o direcie fix dintr-un plan de referin.
)()()( tttrOMr (9.74)
De obicei coordonatele sferice sunt corelate cu
un sistem de coordonate carteziene, alegndu-se
Oxy ca plan de referin; unghiul orientat se
msoar de la axa Ox la proiecia OM a razei vectoare pe planul Oxy iar unghiul orientat se msoar de la aceast proiecie la raza vectoare (fig.9.23)
*).
ntre coordonatele celor dou sisteme exist relaiile: sinsincoscoscos rzryrx (9.75)
precum i cele inverse:
*)
n unele tratri teoretice unghiul se msoar de la axa Oz la raza vectoare.
Fig.9.22
Fig.9.23
O
z
y
x
O
(z)
(x)
(y)
149
22
222
yx
z
x
yzyxr
tgtg (9.76)
Raportat la o sfer virtual de raz OM (fig.9.24, a), sistemul de coordonate sferice poate fi tratat ca o asociere a dou sisteme de coordonate polare aflate n plane diametrale perpendiculare unul pe cellalt, respectiv planul de referin fix xOy i planul mobil zON care conine punctul M. Triedrul de
versori specifici sistemului este alctuit din ru pe direcia razei vectoare OM,
u perpendicular pe raza vectoare n planul mobil zON n sensul unghiului
(fig.9.24, b) i u perpendicular pe plan n sensul unghiului (fig.9.24, c).
Aceti versori sunt variabili n raport cu timpul ca direcie; pornind de la expresiile lor vectoriale n sistemul cartezian asociat se calculeaz:
jiu
kjiu
kjiur
cossin
cossinsincossin
sinsincoscoscos
(9.77)
i derivatele n raport cu timpul:
uuu
uuu
uuu
r
r
r
sincos
sin
cos
(9.78)
Expresiile generale ale parametrilor cinematici sunt:
uauauaa
uvuvuvv
urr
rr
rr
r
(9.79)
b) c)
a)
Fig.9.24
O
x
y
z
M
N
M
O N
M
z
x
y O
N
M
150
Pentru vitez i acceleraie se fac operaiunile de derivare specifice:
urururururrv rrr cos (9.80)
ur2r2r
urr2rurrr
ururur
ururururururva
2r
222
rr
)sincoscos(
)cossin()cos(
cossincos
cos
(9.81)
S-au determinat astfel proieciile vitezei i acceleraiei pe direciile versorilor menionai, respectiv:
cos
rv
rv
rvr
(9.82)
sincoscos
cossin
cos
r2r2ra
rr2ra
rrra
2
222r
(9.83)
Problema 9.6 Micarea unui punct material M este cunoscut prin ecuaiile sale parametrice n coordonate sferice. S se recunoasc traiectoria punctului, durata unui ciclu de micare, i s se calculeze parametrii cinematici la momentul t = 0,5 secunde.
Date: Ecuaiile parametrice ale traiectoriei:
t2
1tbconstar sin. (9.84)
n care: m1a , rad6b , 1s
Cerute: Traiectoria, T , |v| , |a|
Rezolvare: Punctul M are o micare oscilatorie sinusoidal n raport cu cercul ecuatorial al unei sfere de raz a (fig.9.25):
26
2b sinsin (9.85)
Un ciclu complet de micare, cu revenire n poziia iniial 0M , are loc pentru
2 i deci
sec44
T2T2
1
(9.86)
ntr-un moment oarecare al micrii proieciile vitezei i acceleraiei pe direciile specifice coordonatelor sferice date de (9.82) i (9.83) sunt:
cos
cos
av
2abv
0v
21
r
(9.87)
2aba
a2aba
a2baa
2
2
412
22
41222
r
cos
cossinsin
coscos
(9.88)
Fig.9.25
O
x
y
z
M
N
151
Efectund calculele pentru 50t , , 6 , 4 , se obine n final:
sm3614
3vvvv 222r /,||
(9.89)
223222r sm54316
1
6
1aaaa /,|| (9.90)
9.2.5 Coordonate intrinseci (Frenet)
Poziia unui punct M pe o traiectorie n spaiu se poate preciza i prin coordonata intrinsec: )(tss (9.91)
respectiv lungimea poriunii de traiectorie parcurs pornind dintr-o poziie iniial
0M (fig.9.26). Parametrii cinematici ai
micrii punctului se pot exprima n funcie de aceast coordonat. Pentru studiul variaiei acestor parametri se face apel la unele cunotiine din Geometria diferenial.
Vectorul de poziie fa de reperul fix O este: )]([)( tsrsrr (9.92)
Pornind de la definiia general a derivatei, cu notaiile din fig.9.26, se poate face urmtoarea prelucrare pentru derivata vectorului de poziie n raport cu s:
1
0s0s
0s0s0s
s
r
r
r
s
r
r
r
s
r
s
srssr
ds
rd
limlim
limlim)()(
lim
(9.93)
Argumentul primei limite este un vector de modul unitar pe direcia 1MM .
Atunci cnd 0s , 1M tinde ctre M iar aceast direcie devine tangenta Mt la
traiectorie; vectorul unitar devine versorul al tangentei. Variaiile finite || r
i s tind simultan ctre 0 astfel c limita raportului lor este 1.
Traiectoria este o curb continu, fr puncte singulare, astfel c ntr-un punct oarecare al ei se poate construi o singur dreapt tangent Mt. Pe aceast tangent versorul este ndreptat n sensul de cretere al variabilei s; el este variabil ca direcie n funcie de poziia punctului M : )(s (9.94)
Variaia versorului n funcie de coordonata s se definete prin derivata:
ss
sss
ds
d
0s0s
lim
)()(lim (9.95)
Fig.9.26
s
O
t
(T)
152
Se consider segmentul de curb finit
sMM1 (fig.9.27, a) i un punct interme-
diar M care aparine acestuia. Prin cele trei puncte se poate construi un cerc care aproxi-
meaz segmentul 1MM printr-un arc:
Rs (9.96) Versorii )(s i )( ss , tangeni la traiec-
toria real, sunt perpendiculari pe razele CM
i 1CM care delimiteaz acest arc de cerc.
(fig.9.27, b). Variaia este evideniat ca diferen ntre versorii )( ss i )(s . Se
prelucreaz relaia (9.95):
s
ss
0s0s0s
0s0s
limlimlim
limlim
(9.97)
Argumentul primei limite reprezint un vector de modul unitar, cu sensul spre interiorul curburii traiectoriei, a crui direcie coincide cu MC cnd 0s .
lim
0s (9.98)
n consecin reprezint versorul normalei n punctul M la traiectorie. n cea de a doua limit || i tind simultan ctre 0 astfel c:
10s
lim (9.99)
innd cont de (9.96), cea de a treia limit se mai poate scrie:
1
R
1
Rs 0s0s0s
lim
)(limlim (9.100)
La limit punctul 1M tinde s se suprapun peste M iar arcul finit s devine un
arc infinitezimal ds; cercul de aproximare devine cercul de curbur al traiectoriei n punctul M; punctul C, devenit centru de curbur, se afl pe normala la traiectorie iar CM reprezint raza de curbur. Planul care
conine cercul de curbur se numete plan osculator. Prin regruparea relaiilor de mai sus i echivalarea cu rel.(9.95) se obine
derivata versorului tangentei la curb n raport cu coordonata intrinsec s:
1
ds
d (9.101)
litera greceasc niu
a)
b)
Fig.9.27
C
R
153
Triedrul de referin, cunoscut sub numele de triedrul Frenet, este compus din trei
direcii reciproc perpendiculare: tangenta la curb n punctul M, normala principal (pe care se afl centrul de curbur C) i binormala (fig.9.28). Versorii acestor
direcii sunt , i . Derivatele
lor n raport cu coordonata s sunt cunoscute
sub denumirea de formulele lui Frenet.
Pentru studiul parametrilor cinematici este important numai prima formul a lui Frenet, respectiv (9.101), demonstrat mai nainte.
Pentru viteza i acceleraia punctului M exist relaiile generale:
vvvv 222 vvvv || (9.102)
aaaa 222 aaaa || (9.103)
Pentru calculul vitezei se deriveaz vectorul de poziie care este funcie de timp prin intermediul coordonatei s . innd cont de rel.(9.93) se obine:
vsdt
ds
ds
rd
dt
rdv (9.104)
care reconfirm cele artate n cap.9.1.1, respectiv c viteza este tangent la traiectorie i n sensul de efectuare al deplasrii. Rezult proieciile:
0v0vvsv (9.105)
Versorul tangentei este funcie de timp prin intermediul coordonatei s, astfel c:
s
dt
ds
ds
d
dt
d (9.106)
Pentru calculul aceleraiei se deriveaz relaia (9.102) a vitezei;
2s
sssva
(9.107)
i rezult proieciile acceleraiei:
0avs
asa22
(9.108)
Se observ ca acceleraia este coninut n planul osculator. Raza de curbur ntr-un punct al traiectoriei se poate determina echivalnd acceleraia din acest sistem cu cea exprimat n alt sistem de coordonate (carteziene, polare, etc.).
Problema 9.7 Un punct material se mic cu o acceleraie tangenial
constant pe o traiectorie parabolic (T) pornind din origine cu viteza iniial 0v
(fig.9.29); la un moment 1t el are coordonatele ),( 11 yxM . S se determine
ecuaia orar a traiectoriei, viteza, acceleraia i raza de curbur ntr-o poziie oarecare.
Fig.9.28
s
tangenta
C
normala
principal
binormala
154
Date: Ecuaia parabolei:
221 yx (9.109)
Constantele: 0v , 1t , 1x , 1y ;
Cerute: )(tss , v , a , a ,
Rezolvare: Se determin mai nti lungimea arcului de traiectorie elementar:
dyy1dydydx1
dydxds
22
22
)(
)()((9.110)
Se integreaz aceast relaie:
)sh(arg yy1ydyy1dss212
21y
0
2s
0 (9.111)
i se pun condiiile date pentru punctul M:
)sh(arg)( 1212
1121
11 yy1yyssOM (9.112)
Se noteaz prin 0a valoarea necunoscut a acceleraiei tangeniale i se
integreaz relaia de definiie a acesteia n raport cu timpul:
.constasa 0 10 Ctasv 212
021 CtCtas (9.113)
Constantele de integrare 1C i 2C se determin din condiiile iniiale:
0120 vC0Cvs0s0t ,, (9.114)
iar valoarea 0a din condiia c la momentul 1tt , 1ss :
211010 ttvs2aa )( (9.115)
Cu aceste determinri ecuaiile de micare devin:
00 vtav (9.116) tvtas 02
021 (9.117)
Se deriveaz relaia (9.109) n raport cu timpul:
y2yx
22
21 yavayyyxyyxyx (9.118)
Proieciile vitezei i acceleraiei pe axele sistemului cartezian sunt:
sin
cos
vv
vv
y
x (9.119)
cossin
sincos
aaa
aaa
y
x (9.120)
n care direcia tangentei la traiectorie este definit prin relaiile:
y
1
dydx
1
dx
dytg (9.121)
Se fac nlocuirile n relaia (9.118) i se obine pentru acceleraia normal:
32
222
y1
v
y
va
)(cossin
sin
(9.122)
Raza de curbur va avea relaia de calcul:
2322 y1av )( (9.123)
Fig.9.29
O
M
C
x
y
(T)
155
9.3 Micri particulare ale punctului material
9.3.1 Micarea rectilinie
Se alege un sistem de referin cartezian cu axa Ox suprapus traiectoriei rectilinii a punctului M (fig.9.30). Parametrii cinematici au n acest caz formele
simplificate:
iaaivvixr (9.124)
n care:
dt
dvaa
dt
dxvv xx (9.125)
n momentul iniial punctul se gsete n poziia 0M n care parametrii
cinematici au proieciile 000 avx ,, .
Micarea rectilinie uniform variat se caracterizeaz prin faptul c accele-
raia rmne constant i egal cu valoarea din momentul iniial, respectiv 0a .
Relaiile (9.125) se pot prelucra n modul urmtor:
tavvdtadtadv 00t
00
t
0
v
v0 (9.126)
2021
00
t
0 00
t
0
x
xtatvxxdttavdtvdx
0 )( (9.127)
Micarea rectilinie uniform se efectueaz cu o vitez constant, respectiv cu acceleraie nul pe toat durata deplasrii
Recapitulnd, relaiile corespunztoare celor dou tipuri de micri sunt:
202
100
00
0
tatvxx
tavv
constaa .
(9.128)
tvxx
constvv
0a
00
0 . (9.129)
Problema 9.8 : Un punct material cade de la o nlime dat fr vitez iniial (fig.9.31). S se stabileasc durata cderii i viteza la atingerea solului.
Date: h, g Cerute: t, v
Rezolvare: Cderea se execut cu acceleraia gravitaional constant, micarea fiind n consecin uniform variat. Se alege Oy ca ax de referin, cu originea n punctul de plecare. Legea de micare se obine din relaiile (9.128) n care se particularizeaz
ga0 , 0v0 i 0x0 . Rezult:
221 gtygtvga (9.130)
La nivelul solului hy i se obine:
gh2vgh2t (9.131)
Ultima relaie este cunoscut i ca formula lui Galilei.
Fig.9.30
Fig.9.31
M O
x x
g
h
y
O
156
9.3.2 Micarea circular
Punctul M descrie o traiectorie circular de raz
.constR n jurul punctului O (fig.9.32). ntre parametrii
unghiulari , , , definii n cap.9.1.2, exist relaiile:
dt
d
dt
d (9.132)
asemntoare celor dintre x, v i a de la micarea rectilinie (rel.9.125). Se reamintete c parametrii unghiulari sunt mrimi orientate, pozitive n sens trigonometric. Cazurile
particulare corespunztoare sunt micarea circular uniform variat i micarea circular uniform; relaiile caracteristice acestora se obin prin analogie cu (9.128) i (9.129):
202
100
00
0
tt
t
const
.
(9.133)
t
const
0
00
0
.
.
(9.134)
Parametrii cinematici ai micrii punctului M pe traiectoria circular pot fi studiai n diferite sisteme de coordonate.
a) n coordonate carteziene (fig.9.33)
Coordonatele punctului M i traiectoria acestuia (obinut prin eliminarea
variabilei ) sunt definite prin relaiile:
222 RyxRy
Rx
sin
cos (9.135)
Prin derivarea n raport cu timpul a coordonatelor se obin proieciile pe axe ale vitezei (fig.9.33, a) i modulul acesteia:
RyxvvvxRyv
yRxv222
y2x
y
x
||
cos
sin
(9.136)
Se deriveaz n continuare n raport cu timpul proieciile vitezei pentru obinerea acceleraiei i a modulului acesteia (fig.9.33, b):
Fig.9.32
a) b)
Fig.9.33
O
M
R
O
M
R
x
y
O
M
R
x
y
157
242y2x2
yy
2xx
Raaaxyxxva
yxyyva
||
(9.137)
b) n coordonate polare (fig.9.34)
Se observ c coordonata polar .constROMr i deci derivatele ei n raport cu timpul sunt nule. Pentru proieciile vitezei (fig.9.34, a) se utilizeaz relaiile (9.41):
0rvr vRrv Rvvv
22r || (9.138)
Se confirm i n acest caz c n micarea circular viteza este perpendicular pe
raz i are acelai sens cu viteza unghiular . Pentru acceleraie (fig.9.34, b) se particularizeaz relaiile (9.42):
Rr2ra
Rrra 22r
2422r Raaa || (9.139)
Acceleraia dup direcia razei OM este ndreptat ntotdeauna ctre polul O iar
cea perpendicular pe raz are acelai sens cu acceleraia unghiular .
c) n coordonate intrinseci (Frenet) (fig.9.35)
Alegnd punctul 0M ca poziie de referin, coordonata intrinsec este
arcul de cerc RMMs 0 . Punctul O este centrul de curbur iar raza de
curbur este R .
a) b)
Fig.9.34
a) b)
Fig.9.35
O
M
R
O
M
R
O
M
R
O
M
R
158
Pentru vitez (fig.9.34, a) se pornete de la relaiile (9.105) obinndu-se:
RRsvv (9.140)
Pentru acceleraie (fig.9.34, b) se utilizeaz relaiile generale (9.108):
2
222
RR
Rsa
RRsa
2222 Raaa || (9.141)
Se constat i n acest caz c acceleraia tangenial a are sensul dat de iar
aceleraia normal a este ndreptat ntotdeauna ctre centrul O.
n continuare, att n abordarea teoretic ct i n aplicaiile n care intervin micri circulare, se vor prefera notaiile i relaiile de calcul (9.140) i (9.141).
9.3.3 Micarea uniform pe elicea circular
Traiectoria punctului material M este o spiral nfurat pe suprafaa unui cilindru circular drept de raz R (fig.9.36). Distana ntre spire msurat pe generatoarea cilindrului (pasul elicei) este constant,
astfel c .constpMMMM 2110 Se
consider un sistem de referin cartezian cu axa Oz suprapus axei cilindrului i Ox trecnd prin poziia
iniial 0M . Pe desfurata suprafeei cilindrului
traiectoria elicoidal devine o dreapt nclinat cu
unghiul fa de orizontal (fig.9.37). n relaia:
RR2
p
R
z
tg (9.142)
s-a introdus constanta:
tgR2p (9.143)
Proiecia *M n planul Oxy , poziionat prin unghiul fa de axa Ox (fig.9.38), are o micare circular cu viteza unghiular .const
Poziia punctului M n sistemul cartezian este data de coordonatele: cosRx sinRy z (9.144)
Fig.9.36
Fig.9.37 Fig.9.38
O R
z
y
x
M
M
p z
R
x
y
159
Pentru vitez se calculeaz proieciile:
zvxRyvyRxv zyx cossin (9.145)
i rezult modulul:
cos||
Rtg1RRyxvvvv 2222222z
2y
2x
(9.146)
n continuare, se calculeaz proieciile acceleraiei i modulul acesteia:
0vayxvaxyva zz2
yy2
xx (9.147)
22222z2y
2x Ryxaaaa || (9.148)
n triedrul Frenet parametrii cinematici au expresiile:
cos
RMMs 0
coscos
RRsv
0sa
2
222 Rsa
cos
(9.149)
Se poate calcula raza de curbur echivalnd acceleraiile totale:
22
222 RRRa
coscos|| (9.150)
9.3.4 Micarea oscilatorie armonic
Un punct material M se
deplaseaz pe o traiectorie rectilinie oscilnd ntre dou poziii extreme, echidistante fa de un punct fix O (fig.9.39).
Oscilaia se numete armonic dac legea de micare se exprim printr-o funcie trigonometric sinus sau cosinus. Raportnd aceast deplasare la o ax Oy vertical, legea de micare este descris printr-o expresie de forma:
)sin(sin tAAy (9.151)
n care A, i sunt constante. Terminologia specific micrilor oscilatorii armonice este urmtoarea:
y elongaia, A amplitudinea,
pulsaia, faza iniial, t faza,
T perioada, f frecvena.
Fig.9.39 Fig.9.40
A
A
O
M
y
y
O
P
M
A
y
y
x
160
Semnificaia acestor termeni poate fi mai uor pus n eviden dac se face o analogie ntre micarea oscilatorie armonic i micarea circular uniform (fig.9.40). Astfel, un punct P se deplaseaz pe o traiectorie circular de raz A cu
viteza unghiular .const pornind din poziia iniial 0P . Unghiurile de
poziie ale razelor, respectiv i , sunt raportate la o ax Ox; legtura dintre
ele corespunde rel.(9.134). Proiecia M a punctului P pe direcia axei Oy va oscila fa de punctul O dup legea de micare descris de rel.(9.151). Perioada T, reprezentnd timpul n care se execut o oscilaie complet, este echivalent duratei unei rotaii complete a punctului P n jurul lui O, iar frecvena f reprezint numrul de oscilaii efectuate ntr-o secund. Relaiile corespunztoare sunt:
2T
1f
2T2T (9.152)
Relaia f2 permite interpretarea fizic a pulsaiei n cazul micrii osci-
latorii drept numrul de oscilaii efectuat ntr-un interval de 2862 , secunde.
Viteza i acceleraia se obin derivnd relaia (9.151): )cos( tAyv (9.153)
22 ytAva )sin( (9.154)
Analogia cu micarea circular uniform se pstreaz i n acest caz; viteza i acceleraia punctului M se pot obine proiectnd pe Oy viteza i acceleraia punctului P (fig.9.41).
Diagramele de variaie ale parametrilor cinematici sunt reprezentate n fig.9.42. La
momentul iniial 0t acetia au valorile:
sincossin 2000 AaAvAy (9.155)
Fig.9.41
Fig.9.42
t
v y
a
0
O
P
M
x
y
161
10. CINEMATICA SOLIDULUI RIGID
10.1 Generaliti
Pentru studiul micrii unui corp solid rigid sunt necesare dou sisteme de coordonate (fig.10.1):
sistemul de referin fix 1111 zyxO (SRF);
sistemul de referin mobil Oxyz (SRM), solidar cu corpul.
Versorii 111 kji ,, ai sistemului de referin
fix sunt constani n timp ce versorii kji ,, ai
sistemului de referin mobil sunt variabili ca direcie n raport cu timpul. Pentru determinarea acestei variaii se pornete de la produsele scalare care se pot forma cu versorii respectivi:
1ik1kj1ji
0kk0jj0ii
(10.1)
Prin derivarea acestor relaii n raport cu timpul se obine:
0kkjjii (10.2)
yxz kiikjkkjijji (10.3)
S-au introdus notaiile zyx ,, a cror semnificaie va fi evideniat n
continuare. Amintind c proiecia unui vector pe o ax se obine din produsul
scalar al vectorului respectiv cu versorul acelei axe, pentru un vector oarecare V
din SRM se poate scrie o relaie de forma:
kjVjjViiVkVjViVV zyx )()()( (10.4)
Se nlocuiete V prin i i se prelucreaz relaia obinut:
i
001
kji
kkijjii
0
iii zyx
yz
)()()( (10.5)
Se procedeaz n mod analog i pentru ceilali doi versori obinndu-se n final
expresiile cunoscute n Mecanic sub numele de relaiile lui Poisson:
kkjjii (10.6)
n aceste relaii apare viteza unghiular , vector care caracterizeaz micarea de rotaie a SRM n raport cu SRF i, implicit, rotaia general a corpului cruia i este ataat acest sistem de referin. Pentru acest vector
expresia analitic n SRM este:
kji zyx (10.7)
Fig.10.1
x
y
z
O
SRF
162
iar proieciile sale pe axe sunt definite de relaiile (10.3). Vectorul este
deasemenea variabil n raport cu timpul astfel c se definete acceleraia unghiular :
kji zyx (10.8)
ca derivat n raport cu timpul a vitezei unghiulare:
kjikji zyxzyx (10.9)
Se observ c:
0kji
kjikji
zyx
zyxzyx
)(
)()()(
(10.10)
i se poate scrie pentru proieciile n SRM ale acceleraiei unghiulare:
zzyyxx (10.11)
10.2 Parametrii cinematici ai micrii solidului rigid
Dac unui corp solid rigid i se ataeaz un
sistem de referin mobil propriu (SRM), parametrii cinematici generali ai micrii
corpului sunt poziia Or , viteza Ov i acceleraia
Oa ale originii O a acestui sistem, precum i
viteza unghiular i acceleraia unghiular cu care se rotete corpul fa de sistemul de
referin fix (SRF) (fig.10.2). n cele ce urmeaz se stabilesc relaiile
care permit determinarea poziiei, vitezei i
acceleraiei unui punct oarecare P al corpului.
a) Poziia. Punctul P se poziioneaz n SRM prin vectorul de poziie
local r iar n SRF prin vectorul 1r . ntre acetia exist relaia:
rrr O1 (10.12)
care se poate dezvolta sub forma:
kzjyixkzjyixr 1O1O1O1 (10.13)
n aceast relaie versorii 111 kji ,, i coordonatele locale x, y, z ale punctului P
sunt constante iar coordonatele OOO zyx ,, ale originii O i versorii kji ,, sunt
variabile n raport cu timpul. Cele 6 variabile independente reamintesc c un corp
liber are 6 grade de libertate 3 translaii dup direciile axelor SRF i 3 rotaii n raport cu aceste axe (cap.6.1).
Axele sistemului mobil pot fi poziionate n sistemul fix prin unghiurile directoare prezentate n tab.10.1; pentru Ox, de exemplu, acestea sunt
reprezentate n fig.10.3.
Fig.10.2
x
y
z
O P
163
Tabelul 10.1
11xO 11 yO 11zO
Ox x x x
Oy y y y
Oz za z z
Relaia (10.12) se poate pune sub forma matriceal:
z
y
x
z
y
x
z
y
x
zyx
zyx
zyx
O
O
O
1
1
1
coscoscos
coscoscos
coscoscos
(10.14)
n forma simbolic aceast relaie matriceal se scrie:
r1 = rO R r (10.14)
unde R este matricea de rotaie a sistemului mobil fa de cel fix.
n particular, dac sistemul mobil se afl
cu Oxy suprapus peste 111 yxO (fig.10.4),
unghiurile directoare au valorile:
022
22
22
zzz
yyy
xxx
(10.15)
ntr-o astfel de situaie, ntlnit n cazul micrii plan-paralele, relaia matriceal (10.14) devine:
z
y
x
100
0
0
z
y
x
z
y
x
O
O
O
1
1
1
cossin
sincos
(10.16)
care se poate simplifica prin suprimarea elementelor corespunztoare variabilei z.
b) Viteza. Se deriveaz n raport cu timpul relaia (10.12):
rrr O1 (10.17)
i se exprim vectorii rezultai prin expresiile lor analitice n sistemul de referin mobil
*). Astfel:
kvjvivvr zyx1 (10.18) kvjvivvr OzOyOxOO (10.19)
reprezint vitezele absolute ale punctelor P i O (atributul absolut se refer la vitezele punctelor fa de sistemul de referin fix). n continuare:
*)
Raportarea la sistemul de referin mobil este impus de necesitile calculului dinamic
Fig.10.3
Fig.10.4
O
x
O
x
y
164
rkzjyix
kzjyixkzjyixr
)(
)()()(
(10.20)
Acest termen corespunde unei viteze locale a punctului P faa de originea O a
sistemului de referin mobil. Pentru viteza punctului P se poate scrie n consecin:
rvv O (10.21)
expresie cunoscut sub numele de relaia lui Euler pentru viteze. Proieciile pe axele sistemului de referin mobil ale vitezei provin din prelucrarea acestei relaii:
yxOzz
xzOyy
zyOxx
zyxOzOyOx
xyvv
zxvv
yzvv
zyx
kji
kvjvivv
(10.22)
Relaia matriceal echivalent pentru calculul proieciilor vitezei are forma dezvoltat:
z
y
x
0
0
0
v
v
v
v
v
v
xy
xz
yz
Oz
Oy
Ox
z
y
x
(10.23)
creia i corespunde relaia simbolic:
v = vO + r (10.24)
Prin s-a notat matricea antisimetric asociat vitezei unghiulare .
c) Acceleraia. Se deriveaz n raport cu timpul relaia (10.17):
rrr O1 (10.25)
Ca i n cazul vitezelor se exprim vectorii rezultai prin expresiile lor analitice n
sistemul mobil. Pentru punctele P i O se obin acceleraiile absolute:
kajaiaar zyx1 (10.26) kajaiaar OzOyOxOO (10.27)
innd cont de rel.(10.20), acceleraia local a punctului P fa de O va fi:
)()()( rrrrrdt
dr
dt
dr (10.28)
Se regrupeaz aceste derivate i se obine expresia:
)( rraa O (10.29)
care este cunoscut sub numele de relaia lui Euler pentru acceleraii. Relaia se mai poate scrie:
yxxzzy
zyxzyxOzOyOx
xyzxyz
kji
zyx
kji
kajaiaa
(10.30)
rezultnd pentru proieciile pe axele sistemului de referin mobil expresiile:
165
)()(
)()(
)()(
zyyxzxyxOzz
yxxzyzxzOyy
xzzyxyzyOxx
yzzxxyaa
xyyzzxaa
zxxyyzaa
(10.31)
i aceste relaii pot fi puse sub o form matriceal; pentru simplificarea
scrierii se introduce mai nti viteza local a punctului P fa de O sub forma:
z
y
x
0
0
0
v
v
v
xy
xz
yz
POz
POy
POx
(10.32)
astfel c echivalentul matriceal al relaiei (10.31) va fi:
POz
POy
POx
xy
xz
yz
xy
xz
yz
Oz
Oy
Ox
z
y
x
v
v
v
0
0
0
z
y
x
0
0
0
a
a
a
a
a
a
(10.33)
Relaiilor de mai sus le corespunde forma matricial simbolic:
A = aO + r + ( r) (10.34)
Prin i s-au notat matricile antisimetrice asociate vectorilor i *)
10.3 Micri particulare simple ale solidului rigid
10.3.1 Micarea de translaie
Translaia se caracterizeaz prin aceea
c orice dreapt a corpului rmne tot timpul micrii paralel cu ea nsi, fapt valabil i pentru axele sistemului de referin mobil (fig.10.5). n expresia:
kzjyix
kzjyixrrr 1O1O1OO1
(10.35)
numai coordonatele OOO zyx ,, sunt variabile
independente. n consecin un corp n translaie are trei grade de libertate.
Versorii kji ,, sunt constani iar derivatele lor sunt nule:
0
0
0kk
0jj
0ii
(10.36)
*)
Forma simbolic este util la realizarea programelor de calculator care opereaz cu blocuri de matrici
Fig.10.5
x
y
z
P
O
166
Din relaiile lui Euler se deduce:
O
O
O
O
aa
vv
rraa
rvv
)(
(10.37)
n micrea de translaie toate punctele corpului au la un moment dat aceeai vitez i aceeai acceleraie.
Un caz particular l constituie roto-
translaia, micare n care punctele unui corp aflat n translaie descriu traiectorii circulare. Situaie se ntlnete, de exemplu, la biela unui mecanism patrula-
ter paralelogram (fig.10.6) la care
RBOAO 21 i 21OOAB . n timpul
micrii biela AB rmne paralel cu baza 21OO iar punctele ei descriu
traiectorii circulare identice, avnd aceeai vitez i aceeai acceleraie. Dac
manivela AO1 se rotete cu .const atunci pentru un punct oarecare M al
bielei viteza i acceleraia sunt:
Rvvv BAM (10.38) 2
BAM Raaa (10.39)
10.3.2 Micarea de rotaie
n micarea de rotaie dou puncte ale corpului rmn tot timpul fixe n spaiu. Se consider teoretic c legturile pentru fixarea
acestor puncte, notate prin 1O i 2O , sunt nite
articulaii sferice (fig.10.7). Dreapta care le unete este axa de rotaie a corpului. Toate punc-tele acestuia descriu traiectorii circulare de raz
RPO ' n plane perpendiculare pe ax.
Fr a reduce din generalitate, cele dou sisteme de referin, fix i mobil, se aleg cu originea comun ntr-unul din punctele fixe i cu
axele 11zO i Oz suprapuse axei de rotaie. Se
observ c poziia corpului este complect deter-minat printr-un singur parametru unghiul de
poziie )(t format de axa mobil Ox cu axa fix 11xO ; n consecin, un
corp aflat n micare de rotaie are un singur grad de libertate. n aceste condiii:
0a0v OO (10.40)
iar relaiile lui Euler pentru viteza i acceleraia unui punct oarecare P devin:
aarra
rv
)( (10.41)
Fig.10.6
Fig.10.7
A B
M
y
O
P
x
167
Pentru studiul parametrilor unghiulari expresiile analitice
ale versorilor sistemului de referin mobil (fig.10.8):
.
cossin
sincos
constkk
jij
jii
1
11
11
(10.41)
se deriveaz n raport cu timpul:
0k
ijij
jjii
11
11
sincos
cossin
(10.42)
Se fac nlocuirile n relaiile (10.3) i se obine:
kkk
kkk
jjijji
0kiik
0jkkj
z
z
z
y
x
(10.43)
Rezult c n micarea de rotaie vectorii i sunt ntotdeauna coliniari cu axa de rotaie a corpului.
Se analizeaz proprietile vectorilor vitezei i acceleraiei din rel.(10.41), Astfel, pentru vitez se poate scrie:
vsens
vdir
Rrrrv
rv .
sin),sin(
(10.44)
Proprietile acceleraiei tangeniale sunt urmtoarele:
asens
adir
Rrrra
ra .
sin),sin(
(10.45)
Pentru acceleraia normal sunt valabile proprietile:
':
':.
),(sin
)(
OPasens
POcoliniaradir
Rvva
vra
2
(10.46)
Pentru acceleraia total modulul se calculeaz cu relaia:
4222
Raaa (10.47)
n aceast analiz se regsesc caracteristicile micrii circulare pentru oricare punct al corpului. Viteza i cele dou componente ale acceleraiei se afl n acelai plan cu traiectoria, perpendicular pe axa de rotaie.
Fig.10.8
y
O
x
168
Se analizeaz n continuare viteza i acceleraia unui punct oarecare n coordonate carteziene, punndu-se n eviden i elementele necesare calculului matriceal al proieciilor acestora.
Pentru vitez se poate scrie:
0v
xv
yv
zyx
00
kji
rv
z
y
x
(10.48)
Relaiile matriceale (10.23) i (10.24) devin:
z
y
x
000
00
00
v
v
v
z
y
x
(10.49) v = r (10.50)
Se procedeaz n mod analog pentru acceleraii:
0a
yxa
xya
0xy
00
kji
zyx
00
kji
rra
z
2y
2x
)(
(10.51)
Relaiile matriceale (10.33) i (10.34) iau forma simplificat:
z
y
x
z
y
x
v
v
v
000
00
00
z
y
x
000
00
00
a
a
a
(10.52)
a = r + v 10.53) S-au gsit i pe aceast cale att pentru vitez ct i pentru acceleraie
relaiile de calcul specifice micrii circulare (cap.9.3.2).
Referitor la distribuia de viteze i acceleraii se pot face constatrile: punctele corpului aflate pe o aceeai dreapt perpendicular pe axa de
rotaie au att vitezele ct i acceleraiile proporionale cu distana R la axa de rotaie; n reprezentrile grafice vrfurile acestor vectori se vor afla pe aceeai linie (fig.10.9 i fig.10.10);
punctele corpului aflate chiar pe axa de rotaie au viteza i acceleraia nule )( 0R ;
punctele aflate pe o paralel oarecare la axa de rotaie au aceiai vitez i
aceeai acceleraie (acelai R).
Fig.10.9 Fig.10.10
P1
O
P2
P3 P1
O
P2
P3
169
10.3.3 Micarea elicoidal
n aceast micare dou puncte ale corpului rmn tot timpul pe o dreapt fix. Aceste puncte, notate n fig.10.11 prin O i O*, pot fi considerate drept nite articulaii cilindrice care permit, pe lng rotaia n jurul axei fixe, i o alunecare n lungul acesteia. Pentru
simplificarea tratrii se alege 11zO drept ax de
rotaie iar axa Oz a sistemului mobil se alege
coliniar cu ea .)( constkk 1 .
Un corp n micare elicoidal are dou grade de libertate; poziia corpului este
determinat prin cota )(tzz OO a originii
sistemului de referin mobil i unghiul de rotaie
)(t al axelor acestui sistem. Micarea
elicoidal poate fi considerat compus din dou micri distincte efectuate simultan: o translaie n lungul axei fixe cu parametrii cinematici:
kakvkza
kvkzv
OOOO
OOO
(10.54)
i o rotaie n jurul acestei axe cu parametrii unghiulari stabilii n capitolului precedent:
kkk
kk
(10.55)
Se observ c aceti vectori sunt coliniari cu axa de rotaie fix.
Relaiile lui Euler pentru viteza i
acceleraia unui punct oarecare P (fig.10.12 i 10.13) devin:
aaavraa
vvrvv
OO
OO (10.56)
n care s-a notat
rv (10.57)
componenta vitezei tangent la cercul OP, corespunztoare rotaiei corpului n jurul axei fixe. n aceste relaii vectorii aav ,, au caracteristicile (modul,
direcie, sens) date de relaiile (10.44), (10.45) i (10.46). n coordonatele carteziene ale sistemului de referin mobil, proieciile
vitezei sunt:
Fig.10.11
Fig.10.12
Fig.10.13
P
O*
O
x
y
O
O
P R
z
O
O
P
R
z
170
Oz
y
x
O
vv
xv
yv
zyx
00
kji
kvv
(10.57)
Relaia matriceal pentru calculul acestor proiecii are forma simplificat:
z
y
x
Oz
y
x
z
y
x
v
v
v
v
0
0
v
v
v
0
x
y
z
y
x
000
00
00
v
v
v
(10.58)
Forma simbolic echivalent se poate scrie:
v = r v = vO + v (10.59)
n care v este o matrice coloan intermediar corespunztoare vitezei v cu care
are loc rotaia.
Se procedeaz n mod asemntor pentru acceleraia punctului P:
Oz
2y
2x
O
aa
yxa
xya
0xy
00
kji
zyx
00
kji
kaa
(10.60)
Relaia matriceal pentru calculul proieciilor este:
z
y
x
Oz
y
x
v
v
v
000
00
00
z
y
x
000
00
00
a
0
0
a
a
a
(10.61)
i forma simbolic echivalent:
a = aO + r + v (10.62) n urma analizei efectuate mai sus se pot pune n eviden cteva constatri
referitoare la distribuia de viteze i acceleraii n micarea elicoidal. Astfel: att distribuia de viteze ct i cea de acceleraii se pot obine prin
suprapunerea a dou cmpuri de viteze i, respectiv, acceleraii unul de translaie n lungul unei axe fixe i unul de rotaie n jurul acestei axe;
corpul nu are puncte de vitez nul; n cazul particular al unei translaii
uniforme n lungul axei de rotaie )( 0aO , punctele acesteia pot avea
acceleraia nul; punctele de vitez i acceleraie minime se afl pe axa de rotaie.
Un caz particular al micrii elicoidale l constituie micarea de urub, folosit n general la transformarea unei micri de rotaie n micare de translaie sau invers. ntre parametrii poziionali ai corpului exist o relaie de legtur de
forma .)( constCCzO , corpul avnd astfel numai un singur grad de
libertate. Punctele corpului care execut o astfel de micare descriu traiectoriile elicoidale analizate n cap.9.3.3. Din relaia (9.142) se deduce relaia de legtur:
2
pzO (10.63)
171
unde .constp este pasul elicei. Aceast relaie se extinde i la nivelul vitezei i
acceleraiei cu care se execut translaia menionat:
2
pa
2
pv OO (10.64)
Problema 10.1. Un urub cu filet
ptrat, cu pasul p, este rotit fr deplasare
axial cu o turaie n (fig.10.14). El antreneaz o culis filetat care se poate deplasa n lungul urubului, fr a se putea roti. S se calculeze viteza cu care are loc translaia culisei.
Date: mm10p , minrot120n / ;
Cerute: , v ; Rezolvare: Blocarea axial a urubului determin o translaia n sens invers a culisei. Relaia de transformare a turaiei n vitez unghiular este:
][][
[][secrad
30
n
minsec60
min]rotnrotrad2
(10.65)
Pentru viteza culisei se utilizeaz prima relaie (10.64):
secmm2030
n
2
pv
(10.66)
10.4 Micarea plan-paralel
10.4.1 Caracteristici generale ale micrii
Micarea plan-paralel a corpului solid rigid, deosebit de important pentru aplicaiile tehnice, se definete prin aceea c trei puncte necoliniare ale corpului (un plan al acestuia)
rmn tot timpul coninute ntr-un acelai plan fix din spaiu planul micrii (fig.10.15).
Se observ c toate punctele corpului aflate pe o perpendicular la planul micrii descriu traiectorii identice n plane paralele cu
acesta; vitezele i acceleraiile lor sunt egale cu cele ale punctelor aflate n acest plan.
OBAOBA aaavvv (10.67)
n aceste condiii studiul micrii plan-paralele va fi redus la cel al punctelor corpului coninute n planul micrii.
Fr a reduce din generalitate, sistemul de referin mobil (SRM) se alege cu axele Ox i Oy n planul micrii. Poziia corpului n raport cu sistemul de
Fig.10.14
Fig.10.15
v
B
A
O
planul
micrii
172
referin fix (SRF) este astfel cunoscut prin coordonatele punctului O i prin unghiul de rotaie al acestor axe n raport cu cele fixe (fig.10.16). Variabilele
independente:
)()()( ttyytxx OOOO (10.68)
indic faptul c un corp aflat n micare plan-paralel are trei grade de libertate dou translaii n planul micrii i o rotaie n jurul unei axe perpendicular pe
acesta.
Componenta de translaie a micrii are loc cu parametrii cinematici ai punctului O , respectiv:
SRMn0ajaiava
0vjvivrv
SRFn0zjyixr
OzOyOxOO
OzOyOxOO
O1O1OO
)(
)(
)(
(10.69)
Parametrii unghiulari ai componentei de rotaie se stabilesc n modul
descris n cap.10.3.2, relaiile (10.41) (10.43). Se menioneaz relaiile finale:
kkk
kkk
z
z
(10.70)
Prelucrnd prima relaie a lui Euler se obin proieciile vitezei unui punct oarecare:
0v
xvv
yvv
zyx
00
kji
jvivrvv
z
Oyy
Oxx
OyOxO
(10.71)
Din cea de a doua relaie a lui Euler se obin proieciile acceleraiei:
0xy
00
kji
zyx
00
kji
jaiarraa OyOxO
)( (10.72)
0a
yxaa
xyaa
z
2Oyy
2Oxx
(10.72)
Se confirm astfel c vectorii vitezei i acceleraiei pentru oricare punct al corpului sunt paraleli cu planul micrii. Se recunoate deasemenea suprapunerea a dou cmpuri de viteze i, respectiv, acceleraii unul corespunztor unei
translaii n planul micrii cu Ov i Oa i altul corespunztor rotaiei cu i
n jurul unei axe perpendiculare pe acest plan.
Fig.10.16
O
y
x
SRF
SRM
173
Pornind de la caracteristicile micrii plan-paralele, expuse mai sus, studiul distribuiei de viteze i acceleraii se poate face pentru punctele corpului situate n planul micrii. Cele dou sisteme de referin, fix i mobil, se reprezint numai prin axele coniute n acest plan. Viteza i acceleraia unghiular se reprezint ca n fig.10.17 i se consider pozitive n sens trigonometric.
Ca i n celelalte tipuri de micri, toi parametrii cinematici se raporteaz la sistemul de referin mobil.
10.4.2 Puncte speciale n planul micrii
Se identific ntr-o prim etap punctele corpului aflate n planul micrii a
cror vitez este nul. Fie ),( II yxI un astfel de punct avnd n SRM poziia i
viteza:
0rvv
jyixr
IOI
III
(10.73)
Din relaiile (10.71) se deduce:
OxI
OyI
IOyIy
IOxIx
vy
vx
0xvv
0yvv (10.74)
Se constat c la un moment dat exist un singur punct al corpului care are viteza nul; el se poate afla oriunde n
planul micrii, putnd excede limitele corpului fizic. Deoarece Ov i sunt
mrimi variabile n raport cu timpul, acest punct nu are o poziie fix. Proprietatea esenial a punctului de vitez nul este pus n eviden
calculnd viteza unui punct oarecare P (fig.10.18):
IP
0v
rvIPrvrvv
I
IOIOO
)( (10.75)
Caracteristicile vectorului acestei viteze sunt:
vsensIPvdir
IP2IPIPIPvIPv
;.
sin),sin( (10.76)
Se recunosc caracteristicile vitezei unui punct n micare de rotaie n jurul lui I (rel.10.44). Aa cum s-a artat mai sus, punctul I are o poziie variabil n timp i din acest motiv el este numit centru instantaneu de rotaie (CIR).
Fig.10.17
Fig.10.18
O
y
x
O x
I
y
P
174
Distribuia de viteze pentru toate punctele corpului aflate n planul micrii corespunde unei
micri de rotaie n jurul CIR. Astfel, vitezele
punctelor A, B i C din fig.10.19 au modulele
proporionale cu distanele la CIR:
ICvIBvIAv CBA |||||| (10.77)
Vitezele sunt perpendiculare pe razele respective i au
sensul dat de viteza unghiular . Rezult c poziia CIR poate fi determinat dac se cunosc direciile a numai dou viteze ale corpului, la intersecia perpendicularelor pe acestea.
Un studiu asemntor se poate face i pentru
acceleraii. Fie ),( JJ yxJ punctul din planul micrii a
crui acceleraie este nul:
0rraa
jyixr
JJOJ
JJJ
)( (10.78)
Din relaiile (10.72) se deduc coordonatele acestuia:
24
Ox2
OyJ
24
Oy2
OxJ
2JJOyJy
2JJOxJx
aay
aax
0yxaa
0xyaa
(10.79)
i n acest caz exist n planul micrii un singur punct al corpului de acceleraie
nul, variabil n timp ca poziie. Se observ c coordonatele punctului J sunt
diferite de cele ale punctului de vitez nul I i, n consecin:
0a0v IJ (10.80)
Punctele I i J coincid doar n cazul unui centru de rotaie permanent, respectiv n absena componentei de translaie a micrii. n cazul particular n care componenta de rotaie a micrii plan-paralele este absent sau atunci cnd viteza unghiular ia la un moment dat valoarea 0 , centrul instantaneu de rotaie se va gsi la infinit.
Pentru acceleraia unui punct oarecare P (fig.10.20) se poate scrie:
aaJPJP
0a
rra
JPrJPrarraa
J
JJO
JJOO
)()(
)]([()()(
(10.81)
Se poate recunoate n relaia de mai sus acceleraia specific unei micri de rotaie, de aceast dat n jurul punctului J. Caracteristicile componentei tangen-iale sunt:
asensJPadir
JP2JPJPJPaJPa
;.
sin),sin( (10.82)
Fig.10.19
Fig.10.20
I
C
B
A
O x
J
y
P
175
Pentru componenta normal se face dezvoltarea produsului dublu vectorial prin produse scalare:
JPJPJPJPa 2 )()()( (10.83)
i se pun n eviden caracteristicile:
JPasensJPcoladir
JPa 2
:,..
(10.84)
Pentru acceleraia total se calculeaz modulul i unghiul fcut cu raza JP:
22
4222
JP
JP
a
aJPaaa
||
||tg|||||| (10.85)
Punctul J este numit centrul instantaneu al
acceleraiilor. Dei corpul nu execut o rotaie instantanee n jurul acestui punct, cum se ntmpl n cazul CIR, distribuia de acceleraii pentru toate punctele corpului aflate n planul micrii corespunde unei astfel de situaii. (fig.10.21).
Se constat c micarea plan-paralel, prezentat n analiza din capitolul precedent ca o compunere ntre o translaie cu parametrii cinema-tici ai punctului O i o rotaie n jurul unei axe Oz perpendicular pe planul micrii, poate fi tratat i ca o rotaie n jurul unei axe instantanee de rotaie, deasemenea perpendicular pe planul micrii n centrul instantaneu de rotaie.
Problema 10.2. O bar rectilinie AB, poziionat prin unghiul , se reazem cu ambele extremiti pe dou drepte perpendiculare una pe cealalt (fig.10.22, a). Extremitatea A este deplasat cu o vitez dat pe dreapta orizontal. S se gseasc centrul instantaneu de rotaie al barei, locul geometric al acestuia fa de un sistem de referin fix i fa de sistemul de referin mobil ataat barei; s se calculeze vitezele pentru extermitatea B, mijlocul M i s se gseasc cea mai mic vitez.
Fig.10.21
a) b) c) Fig.10.22
J
B
A
A
B
A
B
I
D
M
A
B
C
I
M
D
O
y
x
baza
rostog.
176
Date: l2AB , )(t , vvA || , MBAM ;
Cerute: ),( yxI , ),( 11 yxI coordonatele CIR n SRF i SRM;
0yxf ),( , 0yxf 111 ),( locul geometric al CIR n SRM i SRF;
minMB vvv ,,,
Rezolvare: Sistemul de referin fix 11yOx se alege suprapus direciilor fixe pe
care se reazem bara iar sistemul de referin mobil Axy are o ax suprapus acesteia (fig.10.22, b). n micarea plan-paralel direciile vitezelor tuturor punctelor sunt perpendiculare pe razele care le unesc cu CIR (fig.10.19).
Reciproc, CIR se va afla la intersecia perpendicularelor pe direciile a dou viteze. Vitezele extermitilor barei sunt coliniare cu dreptele fixe; perpendicularele n A i B pe aceste direcii se vor intersecta n punctul I cutat. n cele dou sisteme de referin acest punct are coordonatele:
2
1
1
l2ADy
l2ACxSRMnI
l2OBy
l2OAxSRFnI
cos
sincos
cos
sin
(10.86)
Curba reprezentnd locului geometric al CIR n sistemul de referin fix este cunoscut n Mecanic sub denumirea de baz ; cea care reprezint locul geometric al CIR fa de sistemul de referin mobil este numit rostogolitoare. Ecuaia bazei se obine eliminnd parametrul variabil n raport cu timpul, n cazul
de fa unghiul , ntre cele dou coordonate. Se obine:
0l4yxyxf 22121111 ),( (10.87)
Se recunoate ecuaia unui cerc cu centrul n O, de raz l2OI . Se procedeaz
n acelai mod cu coordonatele punctului I n sistemul de referin mobil; se obine ecuaia rostogolitoarei:
0ly2yxyxf 22 ),( (10.88)
Locul geometric este un cerc cu centrul n punctul M, de raz lMI . Se observ
c cele dou locuri geometrice (n problema de fa, dou cercuri) sunt reciproc tangente n CIR; n timpul micrii barei curba mobil se rostogolete fr alunecare peste curba fix. Se calculeaz viteza unghiular:
sin
||
l2
v
IA
vA (10.89)
i, n continuare, distribuia de viteze pentru punctele cerute (fig.10.22, c):
sin||||
cos||
tg||
vIDvv
2
vIMv
vIBv
Dmin
M
B
(10.90)
177
Problema 10.3. Bara rectilinie AB
se reazem cu extremitatea A n interiorul unei adncituri de form semicircular i n
punctul C aflat la marginea acesteia (fig.10.23). Poziia la un moment dat a
barei este cunoscut prin unghiul . Punctul A este deplasat pe semicerc cu vitez constant. S se studieze distribuia de viteze i de acceleraii. Date: )(,, tlABROA
.|| constvvA
Cerute: ),(),,( JJII yxJyxI
CBACB aaavv ,,,,,,
Rezolvare: Punctul A al barei are o micare circular uniform n jurul centrului geometric O; viteza lui este perpendicular pe raza OA iar acceleraia este coliniar cu aceasta.
R
vRvv 00A || (10.91)
R
vRa
220A || (10.92)
Punctul C al barei, aflat n contact cu marginea semicercului, are o vitez coliniar cu bara. Centrul instantaneu de rotaie se va gsi la intersecia prelungirii razei OA cu perpendiculara n C pe AB. Se observ c triunghiul dreptunghic ACI are ipotenuza R2IA . Alegnd un sistem de referin mobil Axy, cu axa x suprapus barei date, coordonatele CIR n acest sistem vor fi:
sincos R2ICyR2ACx II (10.93)
Pentru viteza i acceleraia unghiular ale barei AB se obin relaiile:
constR2
v
R2
vA ||
(10.94) 0 (10.95)
Din relaiile (10.85) se deduce:
00tg2
(10.96) R4
aJA
2A
|| (10.97)
Rezult c i centrul instantaneu al acceleraiilor J se va gsi pe prelungirea razei OA n sensul indicat de acceleraia punctului A. n sistemul de referin ales, coordonatele centrului acceleraiilor sunt:
sincos R4yR4x JJ (10.98)
Pentru vitezele cerute se fac calculele:
222IB2
IBB R4Rl4lR2
vyyxxIBv cos)()(|| (10.99)
sin|| vICvC (10.100)
Direciile acestor viteze sunt perpendiculare pe razele IB i respectiv IC, n sensul
dat de . Pentru acceleraiile acestor puncte se obine:
Fig.10.23
y
R O
J
x
I
A
B
C
178
222
22
JB2
JB22
B R16Rl8lR4
vyyxxJBa cos)()(||
(10.101)
22
2JC
2JC
22C 31
R2
vyyxxJCa sin)()(|| (10.102)
Din cauza absenei acceleraiei unghiulare , cele dou acceleraii sunt coliniare cu direciile JB i respectiv JC, avnd sensul ctre centrul J.
10.4.3 Studiul vectorial al vitezelor i acceleraiilor
Relaia lui Euler pentru viteza unui punct A (fig.10.24, a) are forma:
AOO
OA
vv
OAvv
(10.103)
n care prin AOv s-a notat viteza punc-
tului A fa de O, originea sistemului de referin mobil ataat corpului. Aceast vitez este perpendicular pe OA i are sensul dat de viteza
unghiular . Pentru un alt punct B viteza este:
OBvv OB (10.104)
Se face diferena ntre cele dou viteze:
ABOAOBvv AB )( (10.105)
i se obine viteza punctului B:
BAAB vvv (10.106)
Aceast relaie, n care nu mai apare viteza Ov , este cunoscut drept relaia lui
Euler pentru viteze n micarea plan-paralel. Reprezentarea grafic corespunz-toare acesteia este ilustrat n fig.10.24, b. Viteza relativ a punctului B fa de A are caracteristicile:
BABA
BA
BA
vsensABvdir
ABABABvABv
,.
),sin( (10.107)
Se poate proceda n mod asemntor pentru acceleraii. Cu notaiile din fig.10.25, a, se scrie pentru acceleraia punctului A:
AOOAOAOOOA aaaaaOAOAaa )( (10.108)
n care se recunoate acceleraia punctului A fa de originea O i componentele
ei tangenial i normal.
Pentru simplificarea notrii acceleraiilor, acolo unde este cazul, indicii i se aeaz n partea superioar a simbolului.
a) b) Fig.10.24
B
O
A
O
A
179
Pentru un alt punct B al corpului
acceleraia este:
)( OBOBaa OB
(10.109)
Se face diferena ntre cele dou acceleraii:
)(
)]([
)(
ABAB
OAOB
OAOBaa AB
(10.110)
i se expliciteaz acceleraia punctului B n funcie de cea a punctului A:
BAABABAAB aaaaaa (10.111)
S-a eliminat astfel acceleraia originii sistemului de referin mobil Oa . Aceast
expresie, cunoscut drept relaia lui Euler pentru acceleraii n micarea plan-paralel, este ilustrat n fig.10.25, b). Componenetele acceleraiei relative a punctului B n raport cu A au urmtoarele caracteristici:
BABA
BA
BA
asensABadir
ABABABaABa
,.
),sin( (10.112)
ABasensABcoladir
ABaABABa
BABA
2BA2
BA
:,..)(
(10.113)
Problema 10.4. Pentru bara AB din fig.10.22, a) (problema 10.2) se cunosc
viteza i acceleraia extremitii A. S se determine viteza i acceleraia extremitii B, precum i viteza i acceleraia unghiular a barei. Date: l2AB , )(t ,
vvA || , aaA || ;
Cerute: Bv , Ba , , .
Rezolvare: Relaia de legtur ntre viteze este:
BAAB vvv (10.114)
Se observ c viteza BAv este perpendicular
pe bara AB iar Bv are direcia OB. Vitezele
din aceast relaie se nsumeaz dup regula paralelogramului (fig.10.26, a); pentru stabili-
rea relaiilor geometrice ntre viteze este util i nsumarea dup regula poligonului (fig.10.26, b). Din aceast ultim reprezentare se deduce:
sinsin
vvv
A
BA (10.115) tgtg vvv AB (10.116)
a) b) Fig.10.25
b)
a)
Fig.10.26
O
A
O
A
B
A
B
O
180
Viteza unghiular a barei se calculeaz cu relaia:
sinl2
v
AB
vBA (10.117)
Sensul acesteia este dat de BAv ; n
cazul de fa sensul este cel trigono-metric. S-au obinut aceleai rezultate ca n problema 10.2.
Pentru calculul acceleraiilor se pornete de la ecuaia vectorial:
BABAABAAB aaaaaa (10.118)
n aceast relaie se cunoate componenta normal:
2
22
BAl2
vABa
sin (10.119)
avnd direcia barei AB i sensul de la B ctre A. Necunoscute sunt componenta
tangenial BAa care este perpendicular pe bar i acceleraia rezultant Ba care
are direcia OB. nsumrile vectoriale dup regula paralelogramului sunt
reprezentate n fig.10.27, a) iar cea dup regula poligonului n fig.10.27, b). Din aceast ultim reprezentare se deduce geometric:
sincoscos
sin
l2
va
1aaa
2BAA
BA (10.120)
cossintgsincos
2
2
BABABl2
vaaaa (10.121)
Se determin n final acceleraia unghiular a barei:
sincos l2
va
l2
1
AB
a 2BA (10.122)
al crei sens, dat de BAa , este de asemenea cel trigonometric.
10.4.4 Metode grafo-analitice
Determinarea pe cale grafo-analitic a distribuiei de viteze i acceleraii pemite o evaluare relativ simpl i imediat a acestor parametri pentru o poziie dat a unui corp aflat n micare plan-paralel. Este necesar reprezentarea grafic a elementelor geometrice semnificative ale corpului n poziia respectiv; tot la scar se reprezint i vitezele i acceleraiile punctelor de interes ale corpului. Unele dintre acestea pot fi determinate prin calcul, altele pot fi evaluate
n baza acestor reprezentri grafice; corectitudinea evalurii depinde de acurateea construciei grafice i de precizia msurrii.
a) b)
Fig.10.27
A
B
O
181
Metodele grafo-analitice nu sunt eficiente dac determinrile trebuie s fie repetate pentru toat succesiune de poziii ale corpului n cadrul unui ciclu cinematic sau atunci cnd se dorete obinerea unor rezultate foarte precise; n acest caz este preferabil utilizarea metodelor analitice.
Pentru determinarea distribuiei de viteze se prezint metoda centrului instantaneu de rotaie i metoda planului vitezelor. Pentru distribuia de acceleraii se prezint metoda planului acceleraiilor*).
a) Metoda centrului instantaneu de rotaie. S-a artat n cap.10.4.2 c distribuia de viteze pentru toate punctele corpului corespunde unei rotaii instantanee n jurul CIR unicul punct al corpului a crui vitez este nul la momentul respectiv. Viteza oricrui alt punct al corpului este perpendicular pe raza care l unete cu CIR i are sensul dat de viteza unghiular.
Pentru anumite corpuri identificarea poziiei CIR se poate face cu uurin examinnd condiiile funcionale. Astfel, la roata din fig.10.28, roat care se rostogolete fr alunecare peste o suprafa de sprijin fix (problema 6.1), punctul de pe periferia roii care intr n contact cu aceasta are la momentul respectiv viteza nul i devine astfel centru instantaneu de rotaie. Pentru cteva puncte de interes vitezele se calculeaz cu relaiile:
2RvvRvR2v DBCA (10.123)
Punctele roii aflate pe diametrul care trece prin centrul instantaneu de rotaie sunt proporionale cu distanele la punctul I; vrfurile acestor viteze, reprezentate la scar, se vor gsi pe o aceeai dreapt.
O situaie asemntoare se ntlnete la scripetele mobil din fig.10.29 format din dou discuri concentrice solidarizate ntre ele; pe discul mic este nfurat un fir mobil iar pe discul mare un fir a crui extremitate este fix. n timpul micrii scripetelui punctul de pe periferia discului mare care devine punct de tangen la firul fix are n acel moment viteza nul; el devine astfel centru instantaneu de rotaie. Pentru punctele de interes ale roii aflate pe diametrul orizontal vitezele sunt:
)( rRvRv AC (10.124)
n general, pentru determinarea poziiei centrului instantaneu de rotaie sunt necesare direciile vitezelor pentru dou puncte din configuraia corpului; perpendicularele pe aceste direcii se intersecteaz n CIR. Lungimile razelor care unesc CIR cu punctele de interes se determin grafic sau, atunci cnd este posibil, se calculeaz din relaiile geometrice care se pot stabili pentru construcia respectiv. Se exemplific metoda pentru cazul bielei unor mecanisme plane uzuale.
*)
Metoda bazat pe centrul instantaneu al acceleraiilor este destul de greoaie i nu prezint interes pentru aplicaii
Fig.10.28
Fig.10.29
D
B
A
C
I
R
I
C A
R r
182
Problema 10.5. Mecanismul biel-manivel (fig. 10.30).
Date:OA, AB, BC, BD, DC, )(t , 1 ;
Cerute: DCB2 vvv ,,, ;
Rezolvare: Articulaia B are viteza:
ABv 1B (10.125)
perpendicular pe AB n sensul lui 1 .
Direcia vitezei punctului C este coliniar cu suportul culisei i n consecin viteza ei va avea direcia x-x. Perpendiculara pe
direcia vitezei Bv va fi n prelungirea
manivelei AB; centrul instantaneu de rotaie al bielei se va gsi la intresecia acesteia cu perpendiculara n C pe direcia x-x. Din construcie rezult distanele IB, IC, ID. Viteza unghiular a bielei este:
1B
2IB
AB
IB
v (10.126)
Sensul acesteia este dat de Bv . Se calculeaz n continuare vitezele:
IDvICv 2D2C (10.127)
Direciile acestor viteze sunt perpendiculare pe IC i respectiv ID iar sensul lor
este dat de 2 . n poziia particular n care unghiul de poziie al manivelei este
2/ dreptele perpendiculare pe direciile vitezelor Bv i Cv sunt paralele
ntre ele iar CIR se afl la infinit. n acest caz 02 i biela BC execut o
translaie instantanee; punctele ei au n acel moment aceeai vitez. Problema 10.6. n fig 10.31 este dat
un mecanism patrulater articulat compus
din manivela 1, biela de form triunghiu-lar 2 i balansierul 3; manivela i balansierul sunt articulate n puncte fixe i pot executa micri de
