+ All Categories
Home > Documents > STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

Date post: 02-Feb-2016
Category:
Upload: robert-prince
View: 137 times
Download: 15 times
Share this document with a friend
261
EDITURA UNIVERSITĂŢII TRANSILVANIA DIN BRAŞOV EUGENIA SECARĂ STATICA ŞI CINEMATICA CU APLICAŢIILE LOR TEHNICE
Transcript
Page 1: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

EDITURA UNIVERSITĂŢII TRANSILVANIA DIN BRAŞOV

EUGENIA SECARĂ

STATICA ŞI CINEMATICACU APLICAŢIILE LOR

TEHNICE

Page 2: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf
Page 3: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf
Page 4: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf
Page 5: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

Cuprins

. 3 . 1 . P r i n c i p i u l i n e r t i e i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5

. 3 . 2 . P r i n c i p i u l a c l i u n i i f o 4 e i . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5

.3.3. Pr inc ip iu l para le logram ulu i . . . . . . . . . . . . . . . 153.4. Pr inc ip iu l act iun i i g i a l reacl iun i i . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4. Not iuni fundamentale. . . . 16

2. Fo4a. Sisteme de fo4e.. . . . . . . . . . . . . ' . . . . . . " ' . . - - .172.1 . Forla ca vector alunecetor 172 .2 . C las i f i ca rea fo r te lo r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3. Expresia forteiink-un sistem de referinta

t r i o r togona l d rep t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 92 .4 . l v l omen tu l unu i vec to r i n rapo r t cu un punc t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 .s .Momen tu l unu i vec to r i n rapo r t cuoaxe . . . . . . . . . 252.6. Cuplur i de vector i . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.7. Reducerea fo4elor. . . . . . . . . .33

2.7. 1. Reducerea unei forte intr-un punct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.7.2. Opea\t i e lementare de echivalenla . . . . . . . . . . . . . . . .342.7.3. Reducerea unui s istem de for, te intr-un punct. . . . . . . . . . . .352.7.4. Exptesiaanal i t icd a torsorului de reducere.. . . . . . . . . . . . . .372 .7 .5 . To rso ru l m in ima l . Axa cen t ra le . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422 .7 .6 . Teo rema Va r i gnon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.7 .7 . Caz]Utlle posibile de reducere ale unui

s i s t emde fo4e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Page 6: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

MEcANcA

2 .8 . Ech iva len ta s i s temu lu i de fo r te . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.9. Reducerea sistemelor de forte cop|anare.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50

2 .9 .1 . Me toda ana | i t i ce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502. 1 0. Reducerea sistemelor de fo(e concurente.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52

2 .10 . ' 1 .Me todaana | i t i ce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522 .11 . Reducerea s i t eme lo r de fo r te pa ra |e |e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2 .11 .1 . Me toda ana | i t i ce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.11.2. Cazuri de teducere a fortelor para|e|e. . . . . . . . . . . . . . . . .57

2.12. Reducerea sistemelor de cuplur i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .582 . ' 13 . Ao l i ca t i i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

. . . . . 733.1. Centrul de masa al unui s istem de puncte mater iale. . . . . . . . . 733.2. Momente stat ice. Teorema momentelor stat ice.. . . . . . . . . . . . . . . . . 753.3. Centrul de masd al corpur i lor omogene . . . . . . . . . . . . . . . . 773 .4 . Teo reme le l u i Pappus g i Gu ld in . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793 .5 . Ao laca t i i . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Ech i l ibrul punctului mater ia1.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .894 .1 . Ech i l i b ru l punc tu lu i ma te r i a l 1 ibe r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.2. Echi l ibrul punctului mater ial supus la legeturaIa '6 1 rcca re . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.2. 1. Legatur i le punctului mater ial . Axioma legetur i lor . . . . .894.2.2. Ecnlllbrul punctului material rezemat pe o

suo ra fa te ne tede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.2.3. Echi l ibrul punctului mater ial rezemat pe o

cu rba ne tedd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.3. Echi l ibrul punctului mater ial supus la legatur i cu frecare . . . . 94

4 .3 .1 .F reca readea luneca re . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.3.2. Echilibrul punctului material rezemat pe o

suprafata aspra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.3.3. Echi l ibrul punctului mater ial rezemat pe o

curbe aspre.4.4. Apl icat i i . . . . .

9799

Page 7: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

Gupntns

5. Echi l ibrul sol idului r ig id. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ' . . . . " . .1095 .1 . Ech i l i b ru l so l i du lu i r i g id | i be r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.2. Echi l ibrul sol idului r ig id supus la legatur i fer i f recare.. . . . . . . . .1105 .3 . Cazu r i l e de ech i l i b ru a le so l i du lu i r i g id . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ' 11 55.4. Aot icat i i . . . . . . 115

6. Stat ica s is temelor de sol ide r ig ide. . . . .6.1 . Teoreme pentru studiul echiiibrului sistemeior

deco rpun . . . . . . . .6.2. Apl icat i i

7. Echi l ibru l cu f recare a l so l idu lu i g i a l s is temelor de sol ide. ' . . . .1307.1. Frecarea de a lunecare. . . . . 1307 . 2 . F r c c a r c a d e r o s t o g o l i r e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 1

7 . 2 . 1 . S t u d i u l r o l i i t r a s e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 27 . 2 . 2 . S t u d i u l r o t i i m o t o a r e . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 3

7 . 3 . F r e c a r e a i n l a g a r e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 57.3.1. Frecarea in lageru l radia l . . . . . . . . . . . . . . . . . 1357 . 3 . 2 . F r e c a t e a d e p i v o t a r e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 6

7 . 4 . F r e c a r e a f i r e l o r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 87 . 5 . F r e c a r e a p e p l a n u l i n c l i n a t . . . . . . . . . . . . . . . . . . ' 1 3 9

7 . 6 . P a n a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 07 . 7 . g u r u b u l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 27 . 8 . S c r i p e l i . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 47 . 9 . A p l i c a l i i . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 6

. . . . . . . . 1 2 1

121123

Page 8: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

MEcANTcA

8.1 .6. Componentele vltezei 9i acceleraliei in.^6rdnnatp nr) larF . 1U

8.1 .7. Componentele vitezei 9i acceleratiei peaxele triedrulut Frenet . .

8 .1.8. Apl ica l i i

9. Cinematica sol idufui r ig id. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . " ' . . . . . . ' . . .17 49 .1 . M igca rea de t rans la t i e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1749.2. Migcarea de rotat ie cu axa f ixa a r ig idu|ui . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

9 .2 .1 . D is t r i bu t i av i t eze lo r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1809 .2 .2 .D is t r i bu t i aacce |e ra l i i 1o r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1829 .2 .3 . Ap l i ca t i i . . . . . . . . 1U

9.3. Miscarea el icoidald a r ig idului . . . . . . . . . . . . 1909 .3 .1 . Exp res ia ana l i t i ca a v i t eze lo r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1919 .3 .2 . Exp res ia ana l i t i cd a acce le ra ! i i 1o r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 939.3.3. Apt icat i i . . 195

9.4. Migcarea plan paraleld a rigidului . .. 1989 .4 .1 . D is t r i bu t i a de v i t eze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

9.4.1 .1 . Determinarea centrului instantaneude ro ta t i e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

9.4. 1.2. Centroidele (baza gi rostogol i toarea). . . . . . . . . . .2019.4.2. Diskibutia accelera!iilor in migcarea

Dlan-oaralela. . . . . . . . . .2029.4.3. Metode pentru determinarea distribuliei

de viteze in migcarea plan-paralele9.4.3.1. Metoda centrelor instantanee de rotat ie . . . . .9.4.3.2. Metoda rabaterii vitezelor9.4.3.3. Metoda planului v i tezelor. .

9 .4 .3 .4 . Me toda p ro iec t i i l o r v j t eze1or . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.4.4. Metode determ inarea distributiei acceleratiilor

in miscarea plan-paralele9.4.4.1 Metoda polului accelerat i i lor . . . . . . .9.4.4.2 Metoda planului accelerat i i |or . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.4 5. Aol icat i i9.5. Mrgcarea sol idului r ig id cu un punct f ix. . . . .9 6 Mrgcarea generala a ngidului

165167

2U2U206207210

2 1 12 1 12 1 32 1 5223230

Page 9: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

Cupnns

10. Migcarea re|at iv i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23610. '1. Migcarea relat ive a punctului mater ia| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

10 .1 .1 Genera l i t d t i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23610.1.2 Compunerea vi tezelor in mi$carea relat ive . . . . . . . . . . . .23710.1.3 Compunereaaccelerat i i lor in migcarea relat iva . . . . . 23910 . ' l . 4 Ao l i ca t i i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?40

10.2. Migcarea relat iva asol idului r ig id . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24710 .2 .1 Genera l i t i t i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2471 0.2.2 Compunerea vitezelor in migcarea relativd

a so l i du lu i r i g id . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248'10.2.3. Compunerea acceleratiilo in migcarea relativa

a so l i du lu i r i g i d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

11. Apl ical i i a le c inematic i i in teh nic5.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25011 .1 . T ransmis ia p r i n cu re |e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25011.2. Transm is ia pr in rol i d in, tate . . . . . . . . . . . . . . . . .2521 1.3. Transmisia pr in gurub melc-roata me|cata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25411 .4 . l v l ecan isme p lane ta re . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25611 .5 . Mecan ismu l une i benz i t rasnpor toa re . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

speci f ice in d inamice.. . . . . . . . . . . . . . . . . .26212 .1 . Genera l i t a t i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26212.2. Lucrul mecanic. . . . . . . . . . . . .263

12.2.1 . Luctul mecanic al fortelor ce aclioneazdasuora ounc tu lu i ma te r i a1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

'12.2.2. Lucrul mecanic al fortelor ce actioneazeasupra r ig idului

12.3. Puterea mecanice . . . . .12.4. Randamentul mecanic12.5. l \4omente de inert ie mecanice..

12.5. '1. Momentele de inert ie mecanice ale r ig idului . . . . . . . .12.5.2. Momentele de inert ie ale corpur i lor de rotat ie. . . . . . .12.5.3. Variatia momentelor de ine4ie la

t rans la t i a axe |o r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2851 2.5.4. Vatialia momentelor de inerlie la rotatia axelor ..... 29012 .5 .5 . Axe g i momen te p r i nc ipa le de i ne ( ie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

268271272275276280

Page 10: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf
Page 11: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf
Page 12: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf
Page 13: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

1

INTRODUCERE iN MECANICA

1.1. DEFINITIA Sl DIVIZIUNILE MECANICII

Mecanica clasica este $tiinta naturii care studiaza deplasarea relat'vea corDurilor materiale macroscopice, cu viteze neglijabile fale de aceeade propagare a undelor electromagnetice in vid

in funclie de natura corpurilor studiate Mecanica clasica se impartein: Mecanica teoretice (sau Mecanica corpurilor solide rigide)' Mecanicacopurilor solide deformabile (Rezistenla materialelor, Teoria elasticitdtil,Teoria plasticitatii) 9i Mecanica fluidelor care la randul sau cuprlndeAeromecanica (sau Mecanica gazelor) 9i Hidromecanica (sau Mecanlcal ichidelor) .

Din ounct de vedere istoric Mecanica teoretica sau newtoniand a fostprima care a apdrut; bazele sale au fost puse de Galileo Galilei li lsaacNewton.

l\4ecanica teoretice poate fiimpa4ite in trei pe4i: statica, cinematicasi dinamica.

Statica este acea parte a Mecanicii care se ocupa cu studiulsistemelor de fo4e echivalente 9i al condiliilor de echilibru

Cinematica studiaza migcarea sistemelor mater iale far6 a luain considerare masele lor 9i for le le care ac! ioneaze asupra acestors t s teme.

Dinamica este partea Mecaniciicare studiaza migcarea sistemelormateriale, tinand seama de fortele care aclioneazd asupra lor 9i maseleacestora. Dinamica este esenta Mecanicii, ea face legAtura intre fortegi migcare.

Page 14: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

MEcAr'lrcA

1.2. MODELE FOLOSITE iN MECANICA

Pentru a descrie corpurile pe care le studiaze, mecanica teoreticaacceptS urmatoarele modele:

a. Punctul material care se define$te ca fiind un corp cu masd finitadar cu dimensiuni negl i jabi le.

Acest model are ca elemente: punctul geometric (reprezinte poziliacorpului) 9i masa (ca marime ce mesoara ine4ia corpului)

b. Sistemul de puncte materiale este format din totalitatea punctelormateriale luate in considerare 9i aflate in interactiune mecanice.

c. Continuul material reprezintii o infinitate de puncte materiale careocupd in mod continuu un anumit domeniu din spatiu. Un element de spa!iuoricat de mic din acest domeniu finit conline materie.

d. Solidul rigid este un continuu material avand distanle invariabileintre punctele care-l alcetuiesc. Se admite cd el poate prelua sarcini oricatde marifera sa se deformeze. Eleste modelul fundamental al Mecanicii.

Solidul rigid (corpul solid rigid) este o forma abstracta a corpului solidreal, avand ca scop simplificarea studiului.

Dupi forma pe care o au solidele rigide se pot clasifica astfel:- Linie materiala este modelul prin care se reprezinte un corp avand doua

din dimensiunile sale (lalimea gigrosimea) relativ micicomparativ cu lungimeaElementele liniei materiale sunt: o linie geometrica (dreapta sau curbe)

reprezentand axa corpului gi o mase distribuite in lungul ei.Liniile materiale pot fi bare (cand prezinte rigiditate mare la schimbarea

formei) sau fire (dace sunt flexibile).- Suprafala materiale este modelul la care doue din dimensiuni

( lungimea 9i ld l imea) sunt mult mai maridecat a t reia (grosimea).Elementele suprafetei materiale sunt o suprafate geometraca (plana

sau curbd) reprezentand suprafata mediand a corpului gio masa distribuitape unitatea de suprafate mediane.

Suprafetele materiale pot fi placi daca prezinta rigiditate la schimbareaformei sau membrane dace suntflexibile.

- Volumul material (blocuri) este modelul la care cele trei dimensiunasunt de acelaSi ordin de mdrime.

Elementele volumului material sunt corpul geometric ai masa distribuitain volum.

Page 15: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

1. lrraoouctnt iN MEcANlca

1.3. PRINCIPIILE FUNDAMENTALE ALE MECANICII

La baza Mecanici istau un numar de legisau pr incipi i fundamentale,care au fost enunlate de lsaac Newton gi care sunt admise ca postulate.

1.3.1. Pr inciPiul ine4iei

Un punct material igi pastreaza starea de repaus sau de ml9carerectilinie gi uniforma, atet timp cat nu intervine o acliune mecanice cares5-i modifice aceasta stare.

1.3.2. Pr inciPiul acl iuni i fo4ei

Fo(a care actioneaza asupra unuipunct material, iiimprima oacceleraliedirijata dupa suportul fo4ei, avand acelagi sens cu ea 9i modulul egal curaportul dintre modulul fo4ei 9i masa punctului.

Expresia vectoriala a acestui principiu poarte denumarea de ecuatiafundamentala a Dinamicii, scriindu-se:

15

F = m a ( 1 1 )

Daca F=0 , rezul ta d = O , ceea ce conf i rmi pr incipiul ine4iei $iindice ce acest principiu 9i principiul ine4iei nu sunt in contradictie

1.3.3. Pr incipiul paralelogramului

Doua fo4e care simultan actioneazdasupra unui punct material, au acelagiefectmecanic asupra punctului ca 9i o fo4dunic5, avand marimea gidireclia diagonaleiparalelogramului construit cu cele douafo4e ca laturi (fig.1.1).

Forla R astfel definita Poartanumele de rezultanta. iar fo4ele 9i senumesc componente. Expresia vectorialaa acestui principiu este:

H = l - r + l - : = m ( a r + 4 2 ,

Fig.1.1

(1 2)

Page 16: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

1 6 MEcANca

Acest principiu este prezentat de Newton in comentariul sau la legeaa doua, ca un corolar.

1.3.4. Pr incipiul act iuni i 9 i a l reacl iuni i

Actiunile reciproce dintre doua puncte materiale sunt intotdeauna egale9i dir|Jate in sensuri contrarll.

ru = rt, (1 .3)

in relatia (1.3) indicele "i" reprezint6 punctul (corpul) care suportaactiunea iar indicele "j" reprezintd punctul (corpul) din partea ceruia setransmite actiunea.

1.4. NOTIUNI FUNDAMENTALE

La baza Mecanicii teoretice stau urmetoarele notiuni fundamentale:spatiul, timpul 9a masa.

Spaliul este o entitate abstracte care reflecte forma obiectivd deexistenta a materiei, care caracterizeazd dimensiunile corpurilor 9i pozilialor relativa.

Spatiul este infinit, tridimensional, continuu 9i izotrop. Acesta estespatiuleuclidian, care permite aplicarea geometrieieuclidiene 9ia calcululuiinfinitezimal.

Timpul este tot o entitate abstracte a Mecanicii, reflectand obiectivexistenta mater iei , care caracter izeaza dutala, succesiunea sausimultaneitatea fenomenelor.

Timpuleste infinit, continuu, omogen, ireversibil, universal. El misoarddurata gi succesiunea fenomenelor.

Masa este o mdrime scalara pozitive care reflecta proprietelile ine(ialegi de gravita!ie ale materaet.

Page 17: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

FORTA. SISTEME DE FORTE

2.1. FORTA CA VECTOR ALUNECATOR

Forta aplicatd unui punct material are caracter de vector legat.Se va arata ca in cazul cand forta actioneaze asupra unui solid rigid

ea, are caracter de vector alunecator.intr-adevdrin cazulunuacorp solid rigid distanta intre doua puncte oarecare

ramane aceeagi, cand asupra corpului actioneaza un sistem de fo4etinite.Aceaste conditie nu se poate realiza in natura, dar pentru ca deformaliilematerialelor sunt relativ mici, intr-o prime aproximatie acestea se neglijeazd.

Asupra r ig idului d in f ig.2.1. act ioneazedoua fo4e egale in modul, de sensuri contrare,apl icate in punctele A gi B. Aceste for leanulandu-se reciproc, nu au nici un efect asuprarigidului in sensul c5 daca acesta se afla inrepaus fatd de un reper fix, se va afla incontinuare in repaus, dace rigidul se gesea inmigcare, el va continua sa se migte ca gi candnimic n-ar fi intervenit din exterior.

Forta aplicatd unui solid rigid are caracterde vector alunecator, sau altfel spus punctulde aplicatie al fortei poate fi deplasat pesuportul sau, ferd ca efectul forlei asuprar ioidului sa se schimbe.

Fi9.2.1.

Fie fo4a F apticata in punctul A (fig.2.2a) al unui rigid. intr-un punct

oarecare B al rigidului, pe suportulfo4ei F , se aplr€ fo(ele F gr - f (tg.z.z,O).Cum fortele aplicate in B sunt egale Si direct opuse, rigidul se compoda ca

in situatia initiale. Considerand fo4ele F drn A gi F din B acestea fiind

tr

Page 18: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

M:cltrrcl

egale in modul gi opuse ca sens se anuleaza reciproc, astfel cd asupra

rigiduluiva acliona fo(a I av6nd punctulde aplicalie in B (fig.2.2,c).Pentru a opera corect cu aceasta mtrime mecanicd este de retinut gi

faptul ca fo4a aplicata unui punct material sau asupra unui corp deformabilare caracter de vector leqat.

Fio.2.2.

2.2. CLASTFTCAREA FORTELOR

Dupd modul de actionare gi dupd natura lor fo(ele se im part in:a. Fo4e exterioare - sunt fo4e care se exercite asupra unui sistem ma-

terial. datorate actiunii mecanice a unui sistem materialexterior sistemuluiconsiderat (de exemplu: fo4ele de atractie din partea Soarelui gia celorlalteplanete pentru sistemul Pdmant-Lund).

b. Fo4e interioare - sunt fo4ele care se exercita intre punctele materialeapa(inand aceluiagi sistem, potrivit principiului actiunii gi al reactiunii (deexemplu: fo4ele de atraclie dintre Pamant 9i Luna in sistemul PemanfLuna).

c. Forte de legatura - sunt acele forte care inlocuiesc legaturilegeometrice impuse corpurilor.

Aceste trei categorii de fo4e pot fi fo4e concentrate sau fo4e distribuite.Fo4a concentrate este forta cu actrune punctuala.Fo4a distribuitd este forta care revine unei portiuni elementare dintr-

un mediu material asupra ceruia actioneazi. Din acest punct de vederese 0eoseDesc:

1 8

Page 19: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

2. Fon1l. Srsreue oe Fonlr

- forle volumice sau de masa, distribuite in intregul volum al corpurilor,ca de exemplu greutatea corpurilor, fo4ele electrice gi magnetice;

- forte superficiale sau de suprafale, care actioneazi pe suprafetele corpu rilor,cum sunt fo(ele de frecare, presiunea gazelor, rezistenta aerului etc;

- forte distribuite liniar care aclioneaze pe o dreapti sau o curba oarecare.Fortele se impart dupd criterii mai particulare in:

- forte percutante sunt fo4e care ac!ioneaza in intervalul de timp foartemic al unei ciocniri gi au intensitate foarte mare;

- forte centrale - al ceror suport trece mereu printr-un punct fix, numitcenkulfortelor;

- fo(a conservativa - se poate exprima prin gradientul unei funclii scalarede coordonatele punctului de aplicatie al fortei,

- fo4a de ine4ie - reacliunea pun_ctului material aplicate corpului care iiimprimd acestuia o acceleratie a (F = -ma) ,

- fortd disipativa care produce lucrul mecanic netransformabilin energiecinetice (de exemplu forta de frecare);

- forle elastice (F = *t) - forla de atractie sau respingere a carui

modul este proportional cu distanta de la punctul material asupra cdruiaactioneaza la centrul de atraclie sau respingere considerat.

2.3. EXpRESTA FORTETiNTR-UN STSTEM OE REFERTNTATRIORTOGONAL DREPT

Fie forta F aplicata in punctulA(x,y,z). Proiectiile fo4ei pe axele unuisistem de referinta cartezian ortogonal drept constituie laturile unuiparalelipiped (fig.2.3), a carui diagonalS este fo4a gi care au expresiile:

X = F coscr

Y = Fcos0 et)

Z = F cos./Exoresia analitica a fortei devine

F=xi+v j +zr Q2)sau

,to

. . . i \l - = F l l COsu + l cos l l + Kcosyl (2 3)

Page 20: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

20 MecmrrcA

Fi9.2.3.

in funclie de componente modulul forleieste:-^ ; ---;

F = t l X ' + Y ' + Z ' (2 4)Directia fo4ei este date de unghiurile directoare ale ceror cosinusuri sunt

XXt . Jx2 +Y2 +22YY

a n e R = - =F Jx 'z +Y\z 'z

In cazul particular in care fo4a se afla intr-un plan, de exemplu planulxoy (fig.2.a) proiectiile sale pe axe vor fi:

X = F C O S aI{Y=Fcos l J

L. = o

(2 s)an< v =' F ^ l x 2 + Y 2 + 2 2

(26)

Page 21: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

2. Fonrl. Srsrerae oe Fonle 2',1

Fig.2.4

Expresia analiticS a fortei se va scrie

F x i ' Y J F ( i c o s o ' j c o s P )

- t . - \= r - l r cos t r + JSrnc /iar modulul sau:

F=^ tF *

(2 7)

(2 8)

Directia fo(ei se va determina cu ajutorul cosinusurilor directoare, astfel:

X

(2 e)cos 0 = san(r =

2,4. MOMENTUL UNUI VECTORiN RAPORT CU UN PUNCT

Fie vectorul V avind suportul (A) 9i originea in punctul de aplicatie A,

pozitionatprin vectorul i fald de un punct fix 0 (fig.2.5. ).

Momentulvectorului V in raport cu punctul0 este exprimatde produsul

vectorial dintre vectorul de pozitie i al punctului de aplicatie A al vectorului

Y

r/X' + Y'

Page 22: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

22 MEcANTA

(^)

qi vectorul V :

; / v \ - v

Momentul unui vector in raport cu un punct (moment polar) este vectorcvasi legatde punctulconsiderat, avand propnetatib produsuluivectorial, adicS:

a. Directia vectorului moment polar este perpendiculara pe planul (P),in care se afla punctul 9i suportul vectorului;

b. Sensul vectorului M0 { V I este dat de regula gurubului drept;

c. Modulul momentului polar se poate calcula astfel:

t r , to(v) =r v s ina

rvr.(V)= v o

(2 10)

(2 11)

(212],

unde o este unghiul dintre sensurile pozitive ale vectorilor i 9i V , iar d

este distanla de la punctul 0la suportul (A) al vectorului v .Momentul unui vector in raport cu un punct este nul cand:a ) i =o

b) V = 0 (cazulbanal)

c) vector i i ig i V suntcolrneanCazurile a gi c conduc la concluzia cd momentul unui vector in raport

cu un punct este nul cand punctul se gasegte pe suportul vectorulut.

Page 23: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

2. Fonn. Srsrrue oe Fonre 23

Relatia (2.10) se poate dezvolta cu determinantul:

l i i i_ , - ' Iv"(v)= lx v z

lv" vy v,

unde x, y, z sunt coordonatele punctului de aplicalieAal vectorului, iar V,,V,, V. sunt proiec,tiile vectorului pe axele unui triedru cartezian ortogonalOiyz. Atunci expresia momentului polar:

N4" lv) M. . i * t r , t , j .w, iva avea proiectiile momentului polar pe axele sistemuluicartezian Oxyz.

Ittr" = v v, z v,

JMy = z .v" x .v .

l M z = x . V y y . V x

Proprietetile momentului pola'1. Variatia momentului polar prin schimbarea punctului de aplicatie al

vectorulur.

Dacd punctul de aplicatie al vectorului V se mutd din A in A, pesuportul (4, )ll(A) (fig.2.6), iar punctul 0 remane neschimbat, atunci momentuloolar va fi:

(2 13\

(, 1/'\

Fig.2.6

Page 24: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

A MEcANTcA

M6(v)= ' :

N4i(v)=M;(v).AA,,v

| \. v i , A A r . V i . V . A A r . V

\ . /

decr :

(215)

2. Varialia momentului polar cu schimbarea poluluaDacA polulse schimM din O in 01 iarsupo(ulvectoruluidmane neschimbat

(fig.2.7) momentul vectorului V in raport cu 01 se calculeazd astfel:' r - t ( ' )

M" l v l r , V O.O+OA V O,O. V .OA. V' \ / '

adicd:

M" {v) M"(v l ' o ,o v (216)" j \ / " \ i

3 Momentul polar al vectorului y este rnvariant fala de

t\1"

Fi9.2.7.a)alunecarea vectorului pe suportul seu;in figura 2.8. observem ca atunci cand punctul de aplicatie al vectorului

se mute din A in 41 pe acelagi suport (D) atunci:

(q

- | ' \M o ( v ' } - 1 1 ' v - [ i + A A r . J x v = i

Page 25: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

2. Fonrn. Srsreur oe Fonrr ZJ

cur Rn, ll V rezulta nl, ' V = O gi oblinem:

M"lV)= i " n

fir,tl

ilL(9

A,(^)

Fi9.2.8.

b) mutarea polului pe o dreapte paralele cu vectoruldat;Cand polul O' este arbitrar ales pe suportul (A, ) ll (A) (fig.2.8) vectorul

moment va fi:- | r > \ ,

Mo{v l i ' .V lo 'OrOAl v O 'O.v 'OA.v\ /

9i cum o,d l lV se obl ine:

Mo,(v) = i , , v (2 18)

2.5. MOMENTUL UNUI VECTOR iN RAPORT CU O AXA

Momentul unui vector ri calculat in raport cu o axd este proiectia peaxe a momentului vectorului calculat in raport cu un ounct oarecare al axei

Cu notatiile din fig. 2.9. 9i in conformitate cu aceasta definilie rezultal

(2 17\

u,,(V) = vto(v) cos " (219\

Page 26: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

Meclrrcl

M,(v l Mo e ( i v ) e { i v e } (2 20)

M rit

Fi9.2.9.Proprietatile momentului axial

a. Momentul unui vector in raport cu o axe nu depinde de pozitia poluluipe axa.

Pentru a demonstra aceasta proprietate se considera pe axa (A)punctele O gi O j ( f ig.2. '10) gise calculeaza momentele M.,9i Mn,. Trebuie

t , , tM, , r / ro, e { i v l e l lo ,o rJ v I e

l l

r - \ , , , - \ , , , . , (221)lo .o v l e { i .v ) e ( i ' v ) d M\\ . /

/ - ldeoarece produsul mixt OlOr V .e - 0 avand vector i i O1O gt e

\ )

co l in iar i .b. Momentul axial al unui vector este invariant fa(d de alunecarea

vectorului pe suportul sau.Aceaste proprietate rezulti din relatii le de definilie (2.19) , (2.20) gi

avand in vedere ce momentul polar frrf " (V) nu r" roOifice cu alunecarea

Page 27: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

2. Fonu. Srsrrue or Fonre 27

vectorului pe suportul seu.c. Momentul unui vector in raport

cu o axe este nul c5nd vectorir i , Vgi e care compun produsul mixt

M .1v ) - 1 i . V ) . e sun t cop lana r r' \ / \ |

Acesta are loc cAnd vectorii V 9i6 sunt coplanari.

Prin urmare momentul unuivectorin raport cu o axe este nul c6nd . :suportul vectorului g i axa sunt M'

coplanare. in particular aceasta seintample cand:

- vectorul este paralel cu axa;- vectorul intersecteaza axa;- vectorul este situat pe axa.

Fi9.2.10

2.6. CUPLURI DE VECTORI

Doivectori egaliin modul, de sensuri contrare, situati pe suportiparaleliformeazi un cuplu de vectori (fig.2.11). Cei doi vectora ai cuplului reprezintaaceleagi marimifizice. Distanta "d" dintre dreptele suport (A) Si(A') poartadenumirea de bratul cuplului, iar planul P in care sunt continute dreptelesuport se numegte planul de acl iune al cuplului .

(q

Fiq.2.11.

Page 28: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

MEcANcA

Mdrimea care misoard actiunea unuicuplu este momentul cuplului.

Utilizand notatiile dtnfig.2.12. momentul cuplului de vectori V 9i - V talade polul O este:

Mo rA V rB { V l (h - r r ) V' \ l

-BA

l\1.astfel incat se obline:

(222)

Din relatia (2.22) rezulte cd momentul unuicuplu este un vector liber gi este invariant fatede schimbarea polului . Direct ia momentululcuplului este perpendiculard pe planul cuplului,sensul este dat de regula burghiului drept, iarmodulul seu este egal cu produsul dintremodulul vectorului Si bratul cuplului .Mo =BA .V .s i nq=V .d 12 .23 ] rFig.2.12.

Proprietdtile cuplurilora. Suma proiectiilor celor doivectorice alc5tuiesc cuplul pe o axe oarecare

este nula. Proiectand ceidoivectoriaicupluluipe axelede coordonate (fig.2.13)suma proiectiilor pe aceiagi axa este nuld.

b. DouA cupluri care au acelaqi moment sunt echivalente, iar efectullor mecanic este acelagi.

Fie un cuplu format din vector i i V gr- V cubratulcuplulurd(f ig2.14).Valoarea cuplului este M V.d .

Acest cuplu poate fi inlocuit cu oricare alt cuplu de vectori V, 9i - V1situat in acelagi plan avand acelagi sens 9i aceiaSi valoare numerice amomentului:

V l d l=V d (2 .24 ,in care d, este bratul noului cuplu.

Pentru a demonstra aceasta, intr-un punctoarecareA se iau doivectoriegali de sens contrar V, gi -V, . Vectorii V Si -V prin compunere dau

Mo-BA*V

Page 29: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

A'il'Fi9.2.13.

rezultanta i , in contrnuare se compune R cu -V obtinand o noud

rezultantd - V, , egala, paralele, de sens contrar cu V, , situat la distanla d,

de suportul acestuta.

Astfel cuplul V Si - V s-a transformat in cuplul V, , - V, situat in

acelagi plan, avdnd acelagi sens gi aceiagi valoare numerica cu cuplulinitial, ceea ce trebuia demonstral

VVV,

Fi1.2.14

Page 30: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

30 MEcANcA

Din aceaste oroorietate rezulti:b1. Un cuplu poate fi rotit oricum in propriul sau plan, fdri ca efectul

sau se se schimbe. Acesta este un caz particular al proprietA!ii anterioare,

incare V, = y 9i d,=d(f ig.2.15). Cele doud cuplur i sunt echivalente.

Fig. 2.1 5

b2. Se poate inlocui un cuplu dat de moment M = V . dcare se admite un bratde parghie d1, astfelca V1 d1 - V

cu un al t cuplu'd ( f is 2 16)

a

Fi9.2.16.

Page 31: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

2. Foan. Srsreue or FonTe

c. Un cuplu dintr-un plan poate fi translatat in alt plan paralel, fdra caefectul sdu se se modifice.

Fie cuptu de vector i V, -V apl ical i in puncteleA,A, ( f |g.2.17) s i tuatein planul P

31

2VBzli -"

P

^J--.ai,4d

-2\'T -

PFig 2 17

Se traseaza dreapta oarecareAoB (AO = OB), apoidreapta A,OB, (ArO= OB.). in puncteleA,O,B se introduce sistemulde vectori paraleliin echilibru

^. . , . . , \( v . 2v . v ) . l a |npunc te leA . .u , .b . s l s temu l l v .

- zv , vJ

Se observe cd vectorii din A, A, 9i O flind doi cate doi egali gi opugr se

anuleaza, raman deci vectorii V 9i -V cin B gi B, care alcetuiesc un cupluidentic cu cel dat, dar situat in planul P' paralel cu P

c. Doue cupluri situate in plane diferite (neparalele) pot fi inlocuite cuun sigur cuplu avand momentul egal cu suma vectoriala a momentelorcuplurilor componente.

Fie fl1 9i ll2 planele corespunzatoare celor doud cupluri, D dreapta

lor de intersect ie, iar A 9i B doua puncte si tuate pe aceastd dreapta.Transformand cuplurile date in cupluri echivalente, se poate ca cele

doua cuplur i in i t ia le sd aibe bratul de parghie AB (f ig.2.18).

cuplul de tor le (F,, F,) s i tuat in planul f l1 9i cuplul de for le

in planul f I2 .

Fie

l r z , r > |

Page 32: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

32 MEcANTcA

Fig.2.18.- ' : :Fo4ele Fr 9i F, aphcate in A au rezultanta R , iar fo4ele F1 9i F2

din B au rezultanta paralela egala 9i de sens contrar f. p) .' \ ' /

Prin urmare cele doua cupluri pot fi inlocuite cu cuplul rezultantelor

(i. i) avano oralul de parghie AB

NotSnd M"{Rl= M vectorul moment care reprezinte cuplul fo4elor" \ /

lR , R ) ; MB{Fr I = Mr 9 i Me lFz }= M2 vec to r i i momen t a i cup lu r i l o r\ / - \ _ /

lF, , F, I resoect iv lF, , F, | .\ ' t \ _ - t

g i cunoscand ca : M = R .49 i a r p i = i , * i , , se ob l i ne :

M - Mr+ Mz e.25)relatia care trebuia demonstrata.

Relalia (2.25) poate fi extinsa (din aproape in aproape) pentru n cuplurisituate in plane diferite.

Page 33: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

2. Fonra. Srsreue or FonTe

2.7. REDUCEREA FORTELOR

2.7.1. Reducerea unei forte intr-un punct

A reduce o forte intr-un punctinseamne a oinlocuacu elemente mecanicelegate de punctul considerat, care sd producd acelagiefect ca gi forta datd.

Se determinim elementele de reducere in punctul O ale forter F = AB(fis 2 let

Pentru aceasta se introduc in O fo(ele opuse p 9i F avind modulul

' lorl

Fi9.2.19.

Se observa ca fo4a data F - AB 9r forla F din O formeaza un

cuplu de fo4e care se poate reprezenta prin vectorul moment p1' dat de

expresra:

ti/l ; - tr

Pe lange momentul Mo , in punctul O a rdmas gi fo(a f .

Astfel cd o fo(d se poate reduce intr-un punct O, introducand in acestpunct o fota egale, paralela 9i de acelagi sens cu fo(a data gi un cuplureprezentat prin momentul fortei date in raport cu O.

(2.26)

Page 34: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

v MEcANTcA

Elementele din O, forta f 9i cuplul de fo4e reprezentat prin momentul

Mo,senumescelementedereducerein Oalefo4eidate (torsoruldereducere

in O) Sialcetuiesc sistemul echivalent in O, cu fo4a F aphcate in A

Vectorii F gi Mo sunt perpendiculari.

Presupunand cunoscuti vectorii f 9i M" se poate determina bralul

fortei F, Op - d astfel:

H r f " - r t f -O r f

deci : Mn - dx F

inmullind vectorial la stanga relatia cu F rezulti: f r ffrf" -f r (,j t f)I

Dezvoltand dublul produs vectorial grtrnand seama ca F 9i d suntperpendiculari, se obtine:

F x M o = F z d

adice:

(2 27\

2.7.2. Operalii elementare de echivalenta pentru vectorialu necitori

Operaliile elementare de echivalenta se pot aplica vectorilor alunecetorifard ca efectul lor mecanic asupra unui solid rigid sd se modifice, astfel;

a) punctul de aplicalie al unui vector alunecetor se poate deplasa pesuportul lui;

b) se pot introduce (sau suprima) in acelagi punct doi vectori egali gide sens contrar avand acelagi suport;

c) doi vectori concuren(i se pot inlocui prin rezultanta lor,

, . F .M^

F '

Page 35: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

2. Fonrl. Srsreue oe Fonrr

d) se poate descompune un vector dupe doud directii concurenterespectand regula paralelogram ului.

2.7.3. Reducerea unui sistem de fo4e intr-un punct

Fie F, un sistem de n fo4e aplicat unuicorp rigid, avand punctele de

aplicalie 41 A, , ,A. Dace O este un punct oarecare al corpulur, sagasim elementele mecanice (echivalente) care aplicate in O produc acelagiefect ca gi sistemul dat (fig.2.20).

Fiecare for,te F, poate fi redusa in O, aplicand in acest punct forte

Fi9.2.20.

egale, paralele gi de acelagi sens cu forlele date precum gi cupluri

reprezentate prin momentele M, (r 1, , n) egale cu momentele fo4elor

u a r e I r r c P l ! , r r v u v .

M, = ( "F Q28 )

in care I sunt vectorii de pozilie aioriginilor fo4elor date in raport cu O.Astfel in punctul O se oblin:

a) n fo4e concurente, fiecare in parte paraleli, egala, de acelagi senscu fo4ele date, a ciror sume vectoriald este:

n

K = r r + F , + . . . + rn = 2 T i

r-1

35

(229\

Page 36: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

MECANTcA

b) n cupluri de fo4e reprezentate prin cele n momente ttlt . n."rt"

cupluri se reduc la un cuplu rezultant (a se vedea proprietatea 4 din

paragraful (2.6.1))alcarut moment Mo este

Mo = Mr+Mz + . . . +M" = IM

Relaf ia (2.30)se mai scr ie] '

M o O A r . F l . O A ? F 2 ' O A n . F n ) O A . F

(2 30)

(2 31)

(2 32)

Fo4a rezul tanta R 9i cuplul rezul tant reprezentat pr in

Mn formeazd un sistem echivalent cu sistemul de fo4e dat aplicat corpului.

Sistem ul format din R gi M" se numegte torsorul dereducereinO

al sistemului de forle dat Si se noteaze:

, - . , ( ' lrolF,)=

lR'Mo.,JDoua sisteme de forte sunt echivalente, cand reduse in acelagi punct

dau torsoride reducere identici.Dace torsoria de reducere intr-un punct a doud sisteme de fode sunt

egali, atunci cele doua sisteme de forte vor avea torsori de reducere egaliin raport cu orice punct.

Cand un sistem de fo(e se reduce intr-un punct la un torsor nul

/ , ' \

lR = 0,M" = 0.J sistemut de fo4e este echivalent cu zero ln aceste caz

fortele sunt in echilibru. Acest sistem nu produce nici un efect asupra rigidului.Pe baza celor anterior aretate, rezulta cd dacd torsorul de reducere

intr-un punct al unui sistem de fo4e este nul, atunci torsorul de reducerein raport cu orice alt punct este nul, pentru sistemul de fo(e considerat.

Page 37: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

2. Fonrl. Stsreue oe Fonrt

t_ . _ ')Produsul scalar al elementelor torsorului de reducere R,M0 se

\ " ,

numegte automoment sau trinom invariant. Automomentul se calculeazdcu rela!ia:

A=R Mo=X M"+Y Mv+Z 'M . ( 233 )

Relal ia (2.33) reprezinte expresia anal i t ica a automomentului .Automomentul poate fi nul daca:

a ) K=u ;

O1 frrf, =O ;

c1 R 9i M'o sunt perpendiculari.

2.7.4. Expresia analitica a torsorului de reducere

Fie n forte lFr,Fr, . . . ,F" ls i tuate or icum in spal iu, dar apl icate unui

singur solid rigid, raportate la un sistem de referinld triortogonal drept Oxyz(tig.2.21). Punctele de aplicatie ale acestor fo4e sunt 41, A,,..., Anavandcoordonatele (x,,y,z). Notam X,Y,Z proiecliile pe axe ale fotei reprezentative

a sistemulur F., astfel incit putem scrie

F =X i . i+Y j+2 , i

Vectorul de pozilie al punctului de aplicatie al forlei Fi este:- i

l i =x r ' l +Y r ' l +z KElementele torsorului de reducere in O sunt:

K = A l + \ ' l + L K

Mo =M" i +Mr ' i +M. k

Cunoscand ce vectorul rezultant este suma forlelor, adice:

37

(2u)

(2 35)

(2 36)

(2 37)

Page 38: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

38 MEcANTcA

r - l l l

prin identificarea componentelor pe axe din relalii le (2.36) 9i (2.38) se obline:

x=Ix "=I", ,z->z

Fi9.2.21

RIFI(^ iY1zk)

1

Mdrimea fo4ei rezultante R va fi:r-- -

a . t Y z L v z L 7 .

(2 38)

(2 3e)

(2.40)iar orientarea fo(ei rezultante este datd de cosinusurile directoare:

cos(n or) =

cos(n ov) =(2 41)

cos(n, oz) =

Tinand seama de relalia (2.37) qi de faptul ca momentul rezultant sepoate scrie gi sub forma:

x 2 + Y 2 + 2 2

Page 39: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

2. Fonre. Stsremt ot Fonre 39

M o (2 42).

rezulti mirimile proiecliilor momentului pe axe ca fiind:

t r , t S l " z . . ' v t1 2 \ ' t ' t ' t | |

r l

M.=t l z .x . x .z . )' t . / r \ " " '' ' (2.43\

M = t l xY vX . lz / 2 \

r - l

I/larimea momentului rezultant este:

(2 44\

iar cosinusurile directoare ale momentului rezultant au expresiile

l - ' - l

t i i kn n l '

=Fi r=Fl ' y, zt 1 ' r x Y , z )' ' |

"o"f r^, o*J\ - / Jtvtl *Mj +vl

.o"lr^ ou I\ " ') /vi +ttl i +tvtl (2 45)

.o.f r^ o'J\ " / Jutf +trli +lvti

Proprietilile torsorului de reducere

1. Vectorul rezultant R nu depinde de pozilia punctului de reducere.este un invariant al sistemului de forte dat, deoarece insumarea vectoriloreste definita pe clasa vectonlor liberi.

2. Momentul rezultant M^ variaza cu schimbarea polului (fi9.2.22)

w. = Jwi +Mf+Ml

Page 40: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

40 MEcANTcA

O,A = ri'- o,o* i9 i

n n f l . \ _ lnr^=F{i ' ' r l F 'o,b i . r l" '1 1 |

= o,o" i, * 214 "r1 =o,o' n*r;= l l l

deci : Mo, = Mo+ OrO* R (2.46)

relatia exprimd teorema momentelor.3. Automomentul (scalarul torsorului sistemului de forte dat) este o

merime constante, se numegte gi trinom invariant.

Fig.2 22

relalia (2.46) vom obline:Daca inmultim scalar cu R

Page 41: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

41

R.lHrt" =tt l t .+o,o RI

adica:

R Mo, = R'Mo = consta

4. Daca torsorul sistemului de fo4e dat fale de un punct este nul' el

rdmane nul pentru orice alt punct de reducere

Din retatia (2.46) pentru R - 0 9i Mo = 0 rezulti cd M"' = 0

Se spune ca un asemenea sistem de forte este echivalent cu un

torsor nul, iar solidul rigid asupra ceruia aclioneaza este in echil'bru

5. Daci R = 0, vectorul moment rezultant al sistemului de forle dat

este in.,aiLnt tala de polul de reducere 9i are caracter de vectorliber'---p.""r.ta proprieiate rezulta din relatia (2 46)' pentru condilia data

M", . M. Indlferent de polul de reducere

6. Locul geometric al punctelor de reducere in raport cu care momentul

rezu|tantramaneneschimbat(candR+0) 'esteformatdindreptepara|elecu rezultanta.

in relatia (2.46) daci M", - Mo , rezulta:

2. Fon1a. Stsrttte oe Fonr, e

OIOxR=0Relatia (2.48) este satisfacute cand: O, se confund6 cu O' caz care nu

prezinta intres; R = 0 situalie care nu respecta condilia enuntatd' R 9i

Op rrnt paraleli, adice punctele de reducere o, 9i O se gasesc pe o

paralela la R ."- 7. eroreclia momentelor rezultante, ale aceluiagi sistem de forle' car-

culate in raport cu doua puncte O 9i o| pe dreapta care unegte aceste

puncte este constanta daca O,O l lR

(2.48)

Page 42: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

42 MECANTCA

Presupunand ca e este versoruldirectiei

scalar cu e, rezul t i :

e lM". = 114"1 9,9' PI

adicd

Mo, . e - Mo esau

pr. Mo, : pr. Mo

, -, l X ' + Y ' + Z '

O1O relalia (2.46) imultita

(2 4e)

de fapt egalitatea proiecliilor celor doua momente pe O.O .

De retinut este ca: a reduce un sistem de forte oarecare in raport cuun punct oarecare situat pe rigid inseamne a-l inlocui cu un sistem maisimplu format din vectorul rezultant gi vectorul moment rezultant care auacelagi efect mecanic asupra rigidului.

2.7.5. Torsorul minimal. Axa centrala

Proiectia momentului rezultant al sistemului de fo4e (fig.2.23) pedirectia vectorului rezultant este un invariant.

Presupunand ca in punctulde reducere O, vectorir R Er 1i1^ formeazd

un unghi { t ( f ig.2.23), atunci :

R . t t i " =n f r l " . cosa =R .Mn (250 )

de unde proiectia

Mmtn = Mn (2 51)R . M . X M " + Y M , + Z M .

Mn:

Vectorul

M- '"

M- n coliniar cu rezultanta R se va scrie

. . R R .M . ;- t V t D . - - t a' 'R (2 52)

Page 43: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

2. Fonn. Srsreue oe Fonre 43

giva reprezenta momentul minim, ca vector.( . l

Torsorul r.,n I R Mm,n compus din rezultanta R\ . /

gi momentul minim Mr, , este Oenumit torsor minimal.Locul geometric al punctelor in raport cu care un

sistem de forle oarecare se reduce la un torsor m ini-mal se numegte axe centrale.

Fie A un punct al axei centrale ince necunoscuta(fig.2.24). Torsorul de reducere in punctulAal sistemului

t - ' \t P [ , | -

de for te dat va f i r ln . [^ ' 'u ' .nJ . Reducend s is temulE i ^ 2 1 2

de forte dat intr-un punctoarecare O se oblrne fo4a rezultantd R grmomentul

rezultant Mo . Pentru a determina ecualia analitice a axei centrale se tineseama de relatia (2.46) conform cdreia:

M e - M o + A O x R - M o O A r R (2 s3)

Fi9.2.24

Page 44: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

4 MEcAflcA

Notim i, - OA vectorul de pozilie al punctului A de pe axa decentrala (A) in raport cu punctul O. Din relatia (2.53) rezulte:

i ^ "R-M" -M, ' , "(2u)

Ecualia (2.54) este o ecualie vectoriala in care necunoscuta este

vectorulde pozilie i.. al punctului A de pe axa centrale. inmullind vectorial

la stanga cu R relalia (2.5a), se obtine:

| - . ' \R { i , R ) -R M" M , " , " 1, \ _ J

adicd:

R 2 . i , { R i , ) R R . M . R . M , ' , ( 2 b b )' \ ' /

cum vectorii R 9i Mnl," sunt coliniari, rezulta:

. R . M ^ R . i " -i .

. ^ " . . . ^ ' . R e . b 6 l' R ' R '

in relatia (2.56) se noteaza cu ,l- = + astfel cd:R '

_ R ,M" ^ :,R ,

Relalia (2.57) reprezinta solu!ia generala a ecuataei vectoriale (2.55),altfel spus relatia (2.57) reprezinta ecualia vectoriale a axei centrale, care

;este o dreapta (A) paralele cu R , trecand prin punctul A determinat de

vectorulde pozitie OA . Din (2.57) se observd ca axa centrala este situata

la distanla rn.," de polul O, masurata perpendicular pe planul vectorilor R

9i Mo , cu:

(2.57)

Page 45: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

2. Fonrl. Srsrene or Fonre 45

Punctul A" fiind astfel determinat, axa centrale este o dreapta (A):paraleld cu R ce trece prin A" Vectorul de pozilie al punctuluiA" este:

R.Mo .s i n - n ,r , ,n,n oA" _;

z.R 'R

-

)t

A

(2 58)

(2 5e); ; R .M""R '

Ecuatia analitica a axei centraleSe considere sistemul cartezian triortogonal drept Oxyz gi un sistem

oareca re de fo r te F , ca re se reduce i n po lu l O l a to rso ru l

rn R.M" | ( t ig.2.25) intr-un al t punct o, momentul va f i :" \ " ) -

V., = fvf"* O,O' n (2.60)

F ,' l

A,

\

Page 46: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

.15 MECANTcA

Dace punctul 01 se afle chiar pe axa centrala atunci:

M o , = M r n

astfel cd:

M.n - Mo+ o rox R - Mo oo , xR-Mo i r

deoarece vectori R 9i Mr,n sunt coliniari

Notand cu X, t Z proieclii le pe axe ale vectorului R gicu l\4^, Mr, M,

proiectiile pe axe ale vectorului M j se poate scrie.

n=x i+v j+2 . i , s i(2 62)

M" =M, i +Mr ' . j +M , . k

Cunoscand ca vectorul de pozilie i\ al unui punct curent Oj(x,y,z) alaxei centrale are expresia:

i r - x . i+y . j+z . iinlocuind (2.62), (2.63) in rela!ia (2.61), ob!inem

M, i +M, l +M, i *v. i+z. i )

(2u)sau dupd identificare:

M" (vz zY) - t'xM, - (zX xZ) - )Y (2 65)

M, (xv yx)= n

Eliminand scalarul ). din (2.65) rezultd ecualiile carteziene ale axeacenlrale:

rR- , tR(2 61\

(2 63)

Page 47: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

2. Fonra. Srsteue or Fonre 47

M, yZ+zY t r t t ' zX+xZ _ M, xY+yX ,

YZ

2.7.6. Teorema Varignon

Fie R 9i Mo elementele torsorului de reducere intr-un punct A al

axei centrale (fig.2.24) 9i O un punct oarecare.in conformitate cu relatia (2 46) se poate scrie:

M o = M n + O A x R (2 67)

in cazulsistemelor de forte particulare (concurente, paralele, coplanare)exista puncte de moment nul,

Mo : i n xR

sau:

- L ,M =) ' t i F l -4 . R

" / - , t \ ' It=1

Relatia (2.69) este cunoscuta sub denumirea de teorema Varignon,exprimand faptul cd momentul rezultant al unui sistem de forte (vectori)

care respecta conditia MA - 0 este egal cu momentul rezultantei lor

determinat in raport cu acelagi pol O.

Proiectia expresiei (2.69) pe o axe de versor e, pentru acela9i caz

M = 0 , conduce la teorema Varignon in raport cu o axa:

(270)

Teorema Varignon se poate aplica doar in cazurile pa(iculare alesistemelor de forte (vectori), a caror moment minim este nul, adica pentrusisteme care se reduc in raport cu axa centrale la o rezultanta unica

Astfel un sistem de fo4e concurente are momentul nul in punctul deconcurente. Rezulta ca $i momentul minim este nul, iar suportul rezultantei,trecand prin punctul de concurenta, este chiar axa centrale.

(2.66)

(2 68)

(2 6e)

rrr" e-(r . nc)

Page 48: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

I Mecmrca

in cazul unui sistem de forle coplanare momentul in raport cu un

punct O din planul fo4elor este perpendicular pe ecest plan d f il o . Con-form relaliei (2.52) M.

"=0.Un sistem de fo4e paralele se reduce in raport cu un punct la vectorulrezultant gi la momentul rezultant situat intr-un plan perpendicular pedirecliile fortelor. Rezultd deci cd M.

"=0.2.7.7. Cazurile posibile de reducere ale unui sistem de fo4e

Pe baza proprietelilor torsorului de reducere, se pot stabilii patru cazuride reducere ale unui sistem de forle dat, astfel:

1 . Cand i nva r i an tu l Mo .R+0 sau X .M ,+Y .M, +2 .M ,+0 ,

rezultanta R + 0 9i momentul rezultant M" + O Unghiuldintre elementele

torsorutur (R,M.)- a * 1 . in acest caz se spune ca torsoruteste complet.z

Acesta se reduce la torsorul minimal R,Mn situat pe axa centralS, care\ , /

este bine determinata.

2 . Cend R .M" * 0 da r R + 0 . Ana l i t i c

X .M" + Y .M , +Z .Mz - O g i X2 + Y2 +22 + O . i n aces t caz po t

exista doud satuatii:

a. Mo = 0, analitic l\4, =0, M, =0 , M. = 0. Sistemul se reduce la

rezultanta unica R aplicatd in punctulde reducere O.

b. cr =;, altfel spus M^ 9i R sunt perpendiculare. Acest sistem se

reduce la o singura forta R situatA pe axa centrald (A), astfel cA:

M" - i t 'R

Page 49: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

2. Foatl. SrsreMe oe Fonyr 4S'

adica momentulrezultant alsistemuluide fo4e dat, in O este egalcu momentulrezultantei de De axa centrald. la care se reduce sistemul.

in situatiile de la punctula. gi b. sistemulde fo4e se reduce la o rezultantaunica; pentru acest sistem de forte este valabild teorema Varignon.

3 . Cand R -0 , M^ +0 . Ana l i t i c X2 +Y2 +22 =O 9 l

Ml +Mf+Ml + 0Sistemul se va reduce la un cuplu unic reprezentat prin momentul

M-M. .

4. Cind R - 0, Mo - 0 . Sistemul de fo(e este in echilibru. Acest

caz este foarte important in tehnica, deoarece trebuie sa fie indepliniteurmatoarele gase conditii:

v \ - v n . v Sv d 7 Sz n" - 1 , " / - ' - " ' ' - / , - "M. t {y z, z ,Y, \ o,w, - l (z x x,z) - o, (271\M.=)(x,v , yx)=o

Reciproc, in cazul cand condit i i le (2.71) sunt indepl in i te, s istemul deforte este in echilibru.

2.8. ECHTVALENTA SISTEMULUI DE FORTE

Uneoriin practicd se pune problema inlocuiriiactiunii unui sistem defo(e dat, asupra unui corp, cu acliunea unui alt sistem de fo4e care diferain generalde primul prin numerulfo(elor gi prin intensitatea, direc!ia, sensullor, dar care se aibi acelagi efect mecanic asupra corpului.

Pentru ca doue sisteme de forte sd fie echivalente este necesar gisuficient ca fiecare din cele doua sisteme de forte sA se reduce in raportcu acelaqi punct O la acelagi torsor.

Urmatoarele observalii se pot face in legature cu sistemele de for\eechivalente:

1. Doua sisteme de forte sunt echivalente daca pot rezulta unul din

Page 50: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

50 MECANTcA

celalalt printr-o succesiune de operatii elementare de echivalenta;2. Doua sisteme de forte care au acela$i torsor fald de acelagi punct,

se pot deduce unul din celelat printr-o succesiune de operalii de echivalenla;3. Daca doud sisteme de forte au acelagi torsor in raport cu un punct

O, ele au acelagi torsor in raport cu orice alt punct O, gi acelagi momentrezultant in raport cu orice axA (A).

2.9. REDUCEREA SISTEMELOR DE FORTE COPLANARE.

2.9.1. Metoda anal i t ic i

, . ==Fre un sistem de n fo4e Fr, F2,. . . , Fn si tuate in acela9i plan(f ig.2.26),

de exemplu planul XOY Reducand sistemul de fo4e in punctul O se obline:

- o rezultante R situatd in planul fortelor

R-tr - i)x +l lvr 1 r = 1 r = l

(2 72)

\F ,t

A(x,v,o)

Fi9.2.26

Page 51: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

2. Fonn. Srsrrur or FoaTr

- un moment rezultantmomentul fiecerei forle inplanul xOy).

Mo=) . { l F l -r - 1

Cu expresiile (2.75) rezultd:

M . : xY -yX

9i av6nd in vedere relalia (2.73) se poate scrie:

k)(xv y ,x , ) k (xY yx)

sau:

r -1

M 0 perpendicular pe planul forlelor (intrucatraport cu O, este un vector perpendicular pe

[ T t " v v Y \ r o u e '' ' . / - \ " t , t " ' l \ . t r l

(276\

i i ii ' r oix , Y, o

In punctul A al axei centrale sistemul de forte dat se reduce Ia

rezultanta unice R . deoarece momentul minim este nul.Duoa exorimarea analiticd a elementelor torsorului de reducere in

originea sistemului de referinld, cu relalia (2.66)!inand seama de (2.72) 9i(2.73), ecua!ia axei centrale devine:

xY zX M, xY+YXXYO

sau

(274)

M, xY+yX-02 n (275)

Relaliile (2.75) reprezinta o dreapta in planul fortelor (xoy), care

intersecteaza axele de coordonate in prn"t"r" f $;O;Ol qi I o; !.;O'lY \ - x

t(i"r')-r=1

i rR (277)

Page 52: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

MECA TA

ceea ce dovedegte valabilitatea teoremei Varignon in cazul forlelor

coplanare(cu p a g ) .in cazul sistemului de fo4e coplanare sunt trei cazuri posibile de

reducere la cel mai srmplu srstem1. Dace sistemul se reduce la o rezultantd unicd:a. care poate fi situata pe axa centrala (A) ce trece prin punctul de

roarrnoro aen; I r i l - n

b. situatd pe dreapta de ecuatie vectoraald:

i ^ xR -Mo

daca M" +0 .

2. Cand R = 0 9i Mo + 0 sistemul de fo4e coplanare este echivalent cu

un cuplu de moment Mo , perpendicular pe planulfortelor.

3. Presupunand R = O gi ttit- - O sistemul de forte coplanare este in

echilibru.

2.10. REOUCEREA SISTEMELOR DE FORTE CONCURENTE

2.10.1 . Metoda anat l t lca

, . ; 1 ,Un srstem de forle F,(i =1 ,n) concurente intr-un punct A f.g.2.27,

se reduce in raport cu punctul de concurenla la o rezultanta unrca: R - | Ft1

t -avand modutul n = ,/Ri +Ri +Rl , unde:

n" - jx; n,:Iv,, n. -Lz, ,r l = 1

Page 53: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

2. Fon1a. Stsrrut ot Fonlr 53

iar cosinusurile directoare sunt:

cos{R ox) } :cos(n ovl- } :cos(n,oz) ?

Momentul in punctul de concuren,ti este evident Ma - 0 .

Momentul minim este nul astfel cd suportul rezultantei R trecand prinA este insegi axa centrale a sistemului de fote concurente.

in raport cu un punct O care nu este situat pe axa centrale 9i nu estenici punctul de concurentd al fortelor date, rezulta:

^ , ; . \ - i ; " R/ r ' I

i 1

relalie care exprime valabilitatea teoremei Varignon inconcurenle.

Momentul rezultant al unui sistem de for-te concurente (pentru R + 0 ;este perpendicular pe forta rezultante.

(2 78)

cazul fortelor

Page 54: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

54 MECANTCA

2.11. REDUCEREA STSTEMELOR DE FORTE PARALELE.

2.11 .1. Metoda anal i t ic i

Fie un sistem de n fo4e paralele in spalru F ( i - 1, . . . , n) Notdm cu sversorul directiei comune a fo(elor (fi9.2.28), astfel ce:

(2.7e],

Reducand sistemulde fo4e in originea sistemuluide referinld se oblinetorsorul de reducere format din:

. ' :- vectorul rezultant R paralel cu drrectra comuna a fortelor,

- un moment rezultant M'o situat intr-un plan perpendicular pe directia

comunea fo4elor. Proiectia momentuluirezultant pe direclra rezultantei R este

nule, astfel € momentul minim Mo - 0 . De asemenea trinomul invariant va

i,/ t^'/ t r ^

e(^)

Page 55: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

2. FoRTA. Srsreur or Fonre

avea valoarea zero R .Mo ' 0 . Rezultanta sistemului de fo(e F va fi:

n n r l _ ) -R-t i : t (F e)= ) F, | " (280)

; i l i iin raport cu punctul O momentul sistemului de forte este:

nr"-i1r 11 llr (r ")] 21rr ir qr 1 r l

=lFr r "\ r 1

unde: i sunt vectorii de pozitie ai punctelor de aplica,tie ale fo(elor date in

raport cu punctul O de reducere.

ln cazul for le lor paralele f i ind indepl in i te condi! i i le fVfo - O qi

R l l e, M" Iti deci R Mo - 0 , rezultd cd este valabild teorema Varignon

grsrstemul de fo4e paralele poate ft inlocutt cu forta rezultanta R al caruisuport este axa centrald.

F re P un punct de pe axa centrah. vectorul sau de poztlie este i OPTinand seama de (2.80), (2.81) 9i apl icand teorema Varignon:

55

Mo= ixRse obline:

- [ / " , ) lT l r r . . r " l ; . l lsF el 0/ l l ' t ' t l " l ' l l /4 t t t \ 4 ) li 1 l \ i l

sau:

(2 81)

(282]'

(2 83)

" f ( n \ IFltr i) ."1 i l f r e o

l - - ' r = l '

)

(2ut

Page 56: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

56 MEcANTcA

respectrv:

t " " II r i - iF r e o , "o^ ,I ?

\ ze ,

Relalaa (2.85) exprima condi,tia de coliniaritate a doi vectori.

Produsul (2.85) este nul daca primul factor este coliniar cu e!, saudaca este nul:

T t r . i i Tp - . r . e.L'

" ' l-" (2 86)

i = 1 i 1

in care )" este parametru scalar. Din (2.86) rezulta ecuatia vectoriala a axeicentrale a sistemului de forte paralele:

(2 87t

1Notend: /1 = -

n , unde p este alt parametru, scalar arbitrar, seTp/2 1

1

va obtine:i -% ! .e (288)

* . t/ ) l

in relalia (2.88) s-a notat cu: ic (2.89)r ip/ ) '

Daca fo4ele Fi i9i pastreaza modulele gi punctele de aplicatie, dar se

rotesc cu un unghi, atunci axa centrala se va roti cu acelagi unghi in jurul

punctului G al carui vector de pozi,tie este iG care nu depinde de direclia

tF i1

n nTr ! r/ ) t / - l

r = 1 r - l

Page 57: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

2. Fonra. SrsremE oe Fonte

fortelor. Punctul G poartd denumirea de centrul fo(elor paralele.Expresia (2.89) este mult utilizate in tehnice pentru determinarea

centrelor de greutate ale corpurilor. Vectorii de pozilie gi in functie decomponentele lor pe axe suntl

i c - x c . i +yo . l +zo . i ( 2 .90 )

r i - x r . i +y r . J+2 , . f Q .91 \inlocuind expresiile (2.90) 9i (2.91) in (2.89) gi identificand coeficien!ii

tui i, j, ti , rezulta coordonatele centrului fortelor paralele:

Tr. ' f r/- , ' L '- ' Y' Lr ' z '. - | I I IX c - - n i ! 5 - . 2 5 t - Q . 9 2 )

Sr ! r Yr/ - L t / J |t 1 1 1 1

2.11.2. Cazuri de reducere a fo4elor paralele

Pot fi intalnite urmatoarele cazuri de reducere a sistemelor de fortepararere:

a. daca R = 0, Mo - 0 sistemul de for,te se afla in echilibru,

b. cand R + 0, Mo + 0 sistemul de forte este echivalent cu fo4a

rezultante R avand ca suport axa centrala a fortelor paralele:

c. daca R + 0, Mo - 0 sistemul de fo4e se reduce la o rezultante R

avand ca suport axa centrale ce trece prin O ,

d. daca R - 0, Mo + 0 sistemul de fo4e este echivalent cu un cuplu

rezultant situat intr-un plan paralel cu directia comune a fo4elor.

Page 58: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

58 MECANTCA

2.12. REDUCEREA SISTEMELOR OE CUPLURI

Consideram un sistem de n cupluri de fo4e, care actioneaze in diferiteplane (fi9.2.29). Cum rezultanta fiecarui cuplu este nuld gi rezultantasistemului va fi nuld.

'"/ / r,.Fig.2.29.

in raport cu un punct oarecare O momentul rezultant al sistemului decupluri este egal cu suma momentelor cuplurilor date:

trr \- trit

i =1

/ - . \in care M, reprezinte momentului cuplului {F, F, l .

Fiecare vector Mi este independent fate de polul de reducere, astfel

ce momentul rezul tant al s istemului de cuplur i va f i un vector l iber.Modulul momentului rezultant se calculeazi cu relatia:

-F '

\F,

(2 e3)

t"" .M" - , i tM: r z f tr l , tvt, cos{Hl .m. )

I I r -h I( 2 % )

Page 59: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

2. Fonra. Srsreue o: Foare 59

in care prima sume are n termenr, iar a doua n(n 1)

t"rr"ni.2

Luam cuplul de forte fp, g'l situat intr-un plan P perpendicular pe\ t

Mo, pr in urmare momentul cuplului este tocmai (avand modulul

Mo =F d ) 'Pe baza teoremelor de echivalenle a doue sisteme de forte, rezultd

cd sistemul de 2n forte care formeaze cele n cupluri, este echavalent cu

cuplul fo4elor (F, f) , oo"r""" se reduc in punctul O la acelagi torsor.

Concluzionam ce un sistem de cupluri situate in diferite planuri, poate fiinlocuit cu un cuplu unic numit cuplu rezultant, respectand conditiile ante-rior mentaonate.

Cand cuplurile date sunt situate in plane paralele, sistemul esteechivalent cu un cuplu rezultant situat intr-un plan paralel cu planele date

(inkucat vectorii M i au aceiagi directie, perpendaculara comuna a planelor).

in acest caz din (2.93) rezulta:

F . d \ - p . " t, e _

/ 2 , i v l

i 1

in care (F .d,) poate fi pozitiv sau negativ in functie de sensul normalei

comune la planurile cuplurilor.

Este posibil la reducerea sistemelor de cupluri c" fvf" - O , ceea ce

inseamna ca sistemul este in echilibru.

M o

(2 95)

Page 60: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

60 Meclrrcl

2.13. APL|CAT|I

Probleme rezolvate2.13.1. Dandu-se sistemul de forte din f ig. 2.30. 9i cunoscand

intensitdtiile fortelor: F j=40 N, F,=50 N, F3=40 N; se cere:a) Sa se reduca sistemul de fo4e in punctele O,C gi dupe axa centrala.b) Sa se determine ecuatia vectoriald 9i analitice a axei centrale

z

C

/t I)A \

B

D

F2a

F:

ut3

Frl . /,./

Fi9.2.30.Rezolvare.Expresiile analitice ale forlelor sunt:

F, - +o[; - BA -^3 i 4kF, r-" . 50 30 i 40k' ' BA 'lzsr. = +oj

Vectorul rezultant al sistemului de forte dat este:

R-F, *F , +F. -SOi++01Modulul vectorului rezultant va fi:

+ 4O2 =50N

Page 61: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

2, Fon1a. Srsreue oe Fonle 61

Momentul rezultant in punctul O este Hrf "

= | ffif o ,nOe,

i l k -Mo, r , , -OBrF , -3 2 0 - 80 i 120 j

10040

M,., oD'F" o i l l noi' l30 0 40i

Mqqr = o

iar frrf . -gOiastfel ce torsorul de reducere in punctul O este:

| [301Itnl : l+o I

l l

-/-\ I Lol'o\"i I [*llM" l_ 0 ]

[ [ 0 ]

Torsorulde reducere in C este format din vectorii R 9i y- .

Pentru a determina momentul rezultant in punctul C aplicdm teoremamomentelor:

ff,f "

- ftf" * COt nastfel ce:

Page 62: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

62 MEcANTcA

i I [ lI

M.=8oi+ 3 2 41-240i 12oj 6o i" l

30400

Prin urmare torsorulde reducere in punctul C este:

. " ( . )

-

. / i \ j pn , r I, " f / l ' ' ' ' ' . " 1

Momentul minim

iar:

[ .0]tRl = 401

L0ll24ol

tM"l- 1201L 601

ln ounctele axeicentrale sistemul de forte se reduce Ia torsorul minim

R. I \ i tM.n "_ ' , ' " .R 28 .8 i r 38 .4 j

R '

[ .ol{Rl -

l40 ll0 l

[28 8]

lM, i " l : 38 ,4

l0 lare ecuatia vectoriale:b) Axa centrald

r = O + / Kunde:

Page 63: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

2. Foap. Srsreme o: Fonle 63

l i i i llso +o o

d=* 'Y;- to : , o-

1,28kR2 25oo

9i d = 1 ,28astfel cd:

i = 1,28k +,t(:oi + +oi)

Ecua!iile carteziene ale axea centrale sunti

M" yZ+zY Mt l l ja _ M, xY+yX

ad icd :

80 + 402 302 30y 40x

30400

l z+1 .28 - 0 . -sau: l r -

' . . , ; reprezintd ecuat i i le celor doue plane la intersect ia

carora se gdseite axa centrala.

2.13.2. Pentru sistemul de forle gi momente din figura 2.31 unde secunosc: A(3,2,4) 9i M,= 26 N.m, M,= 36 N.m, iar F, = 10 N, F, = 20 N, F.= 12 N, Fr = I N sa se determrne:

a) Torsorul de reducere in O;b) Torsorul minim;c) Ecua,tia analitice a axei centrale.

Rezolvarea) Expresiile analitice ale fortelor sunt:

Page 64: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

64 MEcANTcA

C F, D

BF,

t1lo )

l/r/

F"

D'

AFiq.2.31.

. c B ' 3 i 4 kF , - F , . " - 1 0 . - ' " ' 6 i 8 k

U D 3

F, - zoj; , ^ .t r : - l z l

Fq-8k

iar fo4a rezultantd:

R - lF -A i *B l' ' / J l

Momentele fo4elor fate de punctul O sunt:

i j ir . - ]o o 4 -24j

luo 8

- l i j i

F,-10 0 4- -80 i

10200

Hrf", - OC

Mo, = oC

Page 65: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

2. Foan. Srsreur or Fonrr 65

l i i klMo. oA. Fr 13 2 41 4Bi 36k

lo nol

l i i iMoo OA'. F4 13 2 0 16i 24i

looafrrf , = ZOi s, Hll, - SOi

oec i : n l t " : l f r r f , = fOi

astfel incat torsorulin punctul O este:

[ [61{n}= e

/ - \ 0,"1r,= J

-t,rol

{ru. }= o IL [0]

b) Momentul minim al sistemului de forle va fi:

i l*" - u-Yj .o - 3,6i +4,8yR'

iar torsorul minim:

Page 66: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

oo MEcat{rcA

. ' ""( i ) -

c) Ecuatiile carteziene ale axei centrale sunt:

M" yZ+zY ' M , zX+xZ M . - xY+yX

3 ,6+82 4 ,8 6z_ t I * 6y680

iar cele doua plane la intersectia carora se va gasi axa centrala sunt:

l4x-3y=0

2.13.3. Pe muchi i le unui cub de latura "a" acl ioneaza un sistem deforle de merime F (1i9.2.32). Se se reducd sistemul de forte in raport cuvarful O gi in raport cu axa centrala

Rezolvare:Elementele torsorului de reducere sunt:

R-4F r i

Mo, _o

v"--" i . r t ar j

M" l a . i . a . j l Fk - a .F . j r a .F . iv r \

- l

Moo a j r t a .F .

IulRl- I

o

. [.'u]M',n I = 4,8

0

Page 67: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

2. Fonrn. Srsrelae oe Fontr b /

Fi9.2.32.^ rn

M- a . i . r . i a .F . i

deca : Mo =2a .F . i 2a .F . j - a .F . k

iar torsorul de reducere in O:

."(t ) -

Io]lRl-10

l4F l

frl{M"} - aF

:1' l

Momentul minim este:

M'"" * { " *

-a^F^ ' . l+ x l aF kR' 16F ' \ /

Page 68: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

MEcANTcA

iar torsorul minim va f i :

Probleme propuse1. Sistemul de fortp gi momente din figura 2.33 actioneaza dupa muchiile

g id iagonala unui para le l ip iped. Dacd F, = 49 1, F, = 50 N, F. = 40 N , M, =6 N.m. M = 8 N.m. s i se ca lcu leze:

a) Torsorul de reducere in O si C;b) Automomentul:c) Momentu l min im;d) Ecuatia vectoriala a axei centrale.

Raspu ns:

* " ( . ) =

'"(r ) =

foll=l o

L4F ]

. [o]. r" l - o

L ah l

. [.0]Rl - 1401l0 l

. l,o)M"l - 0

Iu]

f30l{R} :140

l0l| 2341

{H,t"} = | - tzo I

168

' " (F )=

Page 69: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

2. Fonra. Srsrrur or Fonle 69

D

D

AFi9.2.33.

Ma - 44 '4,

16 i 12 ii 14qk

-+2(30 i+ao j )

C

r)M,

M

t t J

2. Dupe muchiile 9i diagonalele unui cub de laturd "a" actioneazaurmAtorul sistem de forle (fi9.2.34).

F, uE ru, F, 2 N. Fr 4"4 N.- ^ 4 . , -t - 4 2 v 2 N . F 5 3 N . F 6 2 N .

Sa se determine:a) Torsorul in punctele B giA',b)Torsoru l min im,c) Ecuatia axei centrale.Respu n s :

'",-,1J P ti ' ' 1

lMul

t',1lr

[ ' ] ,

=a] 2

I 1e l

{lo

t/F,

\-(J, z

F,

IB

Page 70: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

70 MEcANTcA

IoliM^, f = -3a 1 |

lg l

Fi9.2.34

Iu]tRl- l 2

l1 l

Iul{R} = 2l

L1lI a l ;

1M"I - -1 2A O

1

-,r,-1

- t t r |, R I i

Page 71: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

2. Fonl. Srsreue oe Fonle

f ( r , l l * *v +22-12al '

f ( 2 , ) 16x+65y +22 -72a

3. Pentru sistemul de forte gi momente din figura 2.35 se cer sa secatcuteze:

a) Torsorul in punctele A gi B':b)Automomentul ;c) Momentul minim;d) Ecualia vectoriala a axeicentrale.Se cunosc:

F, = 4Ja4 N, Fz = 15 *, F. - 5.,,4 N, Fo - 8 N,

M ,=14Nm,M, :16Nm.

DA'

F;d t '2F

Rispuns:

| ,ol{n}=l ro I

| 15 I[r sol

tM8]--1e61[36 1

[- ''ol

-ruiL 15 I

. [ 'u]l - 101

84

Rl

M^

a) .^(F ) - * ( ' ) -

Page 72: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

72 MEcANTcA

o) A- -2116,c ) M R - 8 7 , 8 '

fo 3ol [ 1o]ol {'} - | 3,52 + l 16

15751 I 15 l

Page 73: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

3

CENTRE DE MASA

3.1. CENTRUL DE MASA AL UNUI SISTEM DE PUNCTEMATERIALE

in campul gravitational terestru asupra sistemelor materiale actioneazafo4ele de atraclie. Ele sunt o importanta categorie de forte paralele. Asupraunei particule de masa "m" fo4a de atractie care actioneazd este:

G - m'r i (3 1)numite gi fo4a gravifice sau greutate. Se observd ca aceast6 forte depindede: masa particulei materiale gi de acceleratia gravitalionala "9".

La suprafata Pamantului se poate aprecia c6mpul gravific ca fiindconstant, neglijand varialia direcliei gi intensitiilii vectorului g .

Asupra unuisistem de n puncte materiale A,,...,A. avdnd masele m1,...,m"

(frg.3.1) aclroneaza fo(ele G,(i = t, ..,n) Sistemul de puncte materiale

aflandu-se intr-un domeniu restrans la suprafata Pamantului, putem considera

fo(ele S ca fo(e paralele; ele suntvectori legali.

Sistemul acestor forte paralele este echivalent cu o rezultanta unica,numita greutatea sistemului material gi ea are ca suport axa centrald.

G - IG (32)t 1

Punctulde aplicalie C al greutelii G se numegte centrulde greutateal sistemului de puncte materiale.

Centrul de greutate C in raport cu un pol O se determini prin vectorul

de pozilie i" dat de relatia (2.90), in care F, s-a inlocuit G:

Page 74: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

74 MEcANTcA

A,{m,)

A(m") G

G"Ei^ '2 1

\ - ; ^/ -

' i - '

sa/ r

- l

1

(3.3)

iar in raport cu un sistem de referintd cartezian avand originea in O,coordonatele sale sunt:

\ - " r : \ - ' , r : S ,n/ J ^ i v t / - t ' " / - ' ' " '

x" - -= ,y " L= , r " - ! I e .4 )

Ic, Ic, lc1 i 1 - 1

Dacet inem seamaca d' - t ' d 9i cd masa sistemului de puncte

materiale este data de suma maselor punctelor materiale, , - i t

I

atunci relatia (3.2) devine:

Page 75: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

3. Csrrar Dr MrsA

A - ; \ - , - r \ r . ;r 1

Analog din (3.3) 9i (3.4) se va obline:

l imo I ' '; r l r 1l " =

n =

n

I ' 's lmt 1

(3 5)

(3 6)

(3 7)

iar coordonatele centrului de mase sunt:

Lmtx'r 1

T-z J lr = 1

\ ' , - , , \ - , - ,1 ) " ' i t | / , '

' ' i ' '

r l , _ r l, y c

n , . ( "Sm !m

/ ) / 2 |

I r = l

3.2. MOMENTE STATICE. TEOREMA MOMENTELOR STATICE

in expresiile (3.7) ale coordonatelor centrului maselor unui sistem deounc te ma te r ia le i n te rv in l a numara to r sume le

s-Zm'x' ' L^ 'y , Zm'z , care se numesc momente stat ice in raport

cu planele de coordonate yOz, xOz, respectiv xoy gi se noteaza Syoz,Sxoz, respectiv Sxoy.

Prin definitie momentul statjc al unui sistem de puncte materiale inraport cu un plan este suma produselor dintre masele punctelor materiale gidistanlele acestora la plan. Dupi cum aceste puncte se gasesc de o partesau de alta a planului, distantele se vor considera pozitive sau negative.

Agadar momentele statice ale unui sistem de puncte materiale inraport cu planele yOz, xOz, xoy se pot scrie:

_+^+^+Sroz U mix, : 5\oz -

Lm,V S\ov - Zm,z,

r = 1 i = 1 r = 1

Page 76: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

76 MEcANTcA

Considerand masa sistemului de puncte materiale M, atunci putemenunla teorema momentelor statice: momentul static al unui sistem depuncte materiale in raport cu un plan, este egal cu produsul dintre masasistemului (M) 9i distanta de la centrulde masa la plan. Rezulte din acestenunl ca daca momentul static in rapo( cu un plan este nul, atunci centrulde masa se gasegte in acel plan.

n

Avind in vedere ca ) m M rezultd relatrrle:r 1

n n n

I r , * -Mx": lm,y My, : lm,z Mz.I I r - l - 1

Aceste relatii exprima teorema momentelor statice enunjata mai sus.Cand sistemul de puncte materiale se gaseSte intr-un plan (de exemplu

xOy) atunci se calculeaze momentele statice in raport cu axele Ox gi Oy,astfel:

n n^ f - s -5, -

Zm y, respecrv sv Lm,x- 1 | I

Momentul static al sistemului de puncte materiale in raport cu unpunct poa(a denumirea de moment static polar. El se calculeaza cu relatia:

a \-- ;" o , / , " ' i " '

l - l

Pentru determinarea momentelor statice ale rigidului se utilizeazeurmatoarele relatii:

^ f ^ fs , . ^ , l x . dm Mx . , s " . , l v dm Mv . :

J '(s ) (s )

S.^ - fz dm - Mz^:^vv

( s )

pentru momeltele statice planare gi rlspectrvS , l v . dm Mv . ; Sv l x . dm Mx .^ J -

ss

pentru momentele statice axiale.

Page 77: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

3. CENTRE DE MASA

3.3. CENTRUL DE MASAAL CORPURILOR OMOGENE

Numim corpuri omogene acele corpuri a caror densitate sau masaspecifica este constante, in orice punct al corpului.

Pentru a calcula pozilia centrului de masa al unui continuu material(fig.3.2), acesta se imparte intr-un numer infinit de mase elementare dm,

avand vectori de pozitie r in raport cu originea sistemului cartezian. lnacest mod se obtine vectorul de pozitie al centrului de masa C al solidului:

n

f - ,l r . om

; J| . .- Jo'

gi de asemenea coordonatele centrului de masd C:

[ x dm [y o ' [ z dmX . - ' , , y . " . t z r - - ,

Jd. Jdr Jd.

(3.8)

,/? O\

F ig32

1. Pentru volume omogene (blocur i) : dm=pdVVectorul de pozilie al centrului de mase are expresia:

Page 78: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

r- r- fr ovJ r 'dm J r , '0v r

; V _ V Vrc -;-'

Jo' jlov lou (310)

V V

iar coordonatele centrului de masa vor fi:

f . . . f . . . f

Jx.dv Jv ov Jz dv* " - Y . - ; y " = Y . , 2 " - ! ,"

Jdv Jou Jou (311)

V V V

2. Pentru suprafele omogene de grosime "t" constanta (placi): dm=p.tdAPozilia centrului de masa se determina cu ajutorul vectorului de pozilie:

f i ar fr ,, dA fi anJ J J

; A A Ac c .

Jdr Jn on JdA \v ' ' '

A A A

avand coordonatele:

[x dA [v on [z dAJ J ' J

x c o , . . y . o . r Z , o n

JdA JdA JdA (313)A A A

3. Pentru liniiomogene de suprafati constantii S a secliunii (bare) :dm=p sdL

Expresia vectorului de pozitie al centrului maselor este:

t . f . . . f . . .

Jr .dm Jr . / , dL Jr dL; t l lr c n , \ J . r e ,

Jd. Jn ot- JdL

iar coordonatele sale vor fi:

Page 79: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

3. Cerrne De MrsA I J

Jx ot-x " - ! . ; y " -

JdLL

[z dLJL'

lot-JL

Io.L

l. .I V . O LJ '

A - 2zJx.dL

(3 15)

(3 18)

/ ? 1 0 \

3.4. TEOREMELE LUI PAPPUS SI GULDIN

1 . Teorema intai:Aria suprafetei generate de o curbe pland care se rotegte in jurul unet

axe din planul sau, ferd a o intersecta, este egala cu produsuldintre lungimeacurbei gi lungimea cercului descris de centrul de masd al curbei.

Fre curba AB de lungrme L a cdruicentru de greutate se gdseste la distantaxc de axa (A). Considerand un element decurbi dL, acesta pran rotatie genereaza ariaelementare:dA -2n dL (3 16)

Aria descrisd de intreaga curbe va fi:

(3 17)

tr;^ ', 1

se oblinel

A - 2nxe .L

Tinand seama de teorema momentelorstatce:

Jx dL-xo L

Nota: Rotalia curbei in jurul axei nu este obligatoriu a se face pe uncerc intreg, prin urmare forma generale a relaliei 3.19 este:

A - d . xo . L

2. Teorema a doua:Volumul generat prin rotirea unei suprafele plane (omogene), in jurul

unei axe din planul sau pe care nu o intersecteaze, este egal cu produsulintre aria consideratd gi lungimea cercului descris de centrul de masa alaner.

Page 80: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

80 MEcAr{rcA

Presupunem ca aria A (fi9.3.4) se rotegte in jurul axei (A) din planulsau; un element de arie dA va genera un volum elementar:

dV - 2 rx .dA (3 20)

(^)

Fi9.3.4.

Volumul intregului corp generat prin rotire va fi:

v - zf t lx 'o^

Tinand seama de teorema momentelor statice Jx dA = xG A,

inlocuind aceasta expresie in (3.21) se obline:

V -2me .A (3 22)

Cu aceleagiconsideralii ca la prima teoreme se obline forma generalea relaliei 3.22 ca fiind:

V = d xc .A

3.5. APLtCATtI

Probleme rezolvate3 .5 .1 . Cen t ru l de masd a l une i ba re omogene , de sec l i une

constanta.sub formd de arc de cerc.Se consideri arcul de cerc cu unghiul la centru 2d gi raza R.

Axa Oy este axa de simetrie a arcului de cerc; centrul de masa alarcului de cerc se afla pe Oy, astfel ci xo = 0.

Se aleoe un element de arc avand urmetoarele caracteristici:

(3 21)

Page 81: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

3. Cerrar De MrsA 81- lungimea elementara dl;- unghiul la centru d0;- fata de axa Oy este pozilionat la

unghiule.Cu aceste valori se ob!ine lungimea

arcului elementar ca f i ind:d t - Rdd

iar ordonata centrulur sau de masa:

Y - RcosdAceste valori introduse in formula

centrului de mase ne conduc la;

l . . , lR 'zcosa.ddlY o t r

, c - t - -

"l o l r - . -J JR .od

^ sin aYc - x -

u(3 23)

unde s este sem iunghiul la centru in radiani.

3.5.2. Centrul de masa al unui sector circular.Se considerd sectorulcircular de razd R gi unghiul la centru 2(I (fig.3.6.)Datorita simetriei fate de axa Oy va rezulta abscisa centrului de masd

nula: xc = 0.Se a lege a r i a e lemen ta re dA

situatd la:- unghiul e fata de axa Oy gi avand

unghiul la centru de;- raza p Iale de O gi avand una din

latur i de mdrime dp .Astfel cd ar ia elementare are

mdrimea:

dA = pdo .dp

iarordonata centrului de masd C alarieiFi9.3.6.

Page 82: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

82 MEcANrci

y = pcos aCu aceste merimiformula centrului de masd devine:

t !n 'coso.do.de

efectuand integralele, rezulti

2 ^ s i n t tV - : K

J Q

Yr = as lnX9 l y2 - acosXLa distanta x de Oy se ia un

element de arie dA, avand latimeadx g i i nd l ! imea med ie y . A r iaelementara dA se poate asimila c-un dreptunghi. avand centrul de

/ " \masa C x. ' s iana dA v .dx

Prin urmare:

t , - Il x oA l x . y ox

l dA l v dxJ ) '

t r t . . , ^I p-op lcos t / .o f /

J JO a

Yc[ [o 'an'ae I u. ao lae

J ' , ' )

1L

3.5.3. Sd se determine centrul de masa al unei pleci avand formasuprafetei hagurate din figura 3.7., cunoscand ce este cuprinsa intre curbele

,T= a sin x iar intre

t

(324\

Se observa ce oana la ita superioara a ariei hagurate este7t

t [m

descrisa de curba y1

Y z = ? C O S x '

Fi9.3.7.

este descrasd de curba

Page 83: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

3. Cerrar Dr MrsA 83

Cu aceste observa,tii:

X ^

4 2

l a x s i n x . dx + l axcosx .dxJ J S n t n / ^ \o l z \ l z l

4 \ / _ 1 7

2

l a cos x .dxJ

^(z ,E) 4fl a s rnx .ox+

J0

tar

r [v 'anY G ; r -' Jo^

;

r fv' o"z l v ox

J -

2

a(n -z)

Ja2 s in 'x .dx+ Ja 'cos 'x dx

1 0 ;

fl a s t n x . ox +

J0

2fl a cos x dx

^ 2' ( n2 \8 \ /

^(r-..lt) a(z "tr)

3.5.4. Se se determine centrul de greutate al unui con circular dreptde indltime H giavand raza bazei R (fig.3.8.)

Sistemul de referinte ales are originea in varful conului 9i axa Oz esteaxa de simekie a conului.

Page 84: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

u MEcANTcA

Fig.3.8

Este evident cel

xc - 0 s i y c - 0

Se alege un element de volum dV situat la ineltimea z de Oy giavand raza r.

Volumulelementar poate fiasimilatcu un cilindru, avand raza r giinaltimea

dz. Atunci rezulte: dV = 2 . dz,iar din asemdnarea triunghiurilorse de-duce:

r z R . . R :' - - sau t " - 2 . as t f e l ca : dY . n l ^ z ' dz .

RHHH 'Cota z a centrului de masa se obline ca fiind:

[z .dv. G - ?

JdV

'i. R' .I r , ,

z - oz?

- - H

4r K -l f t ^

iH '2 2 . d z

Page 85: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

3. Crrrnr De MrsA

3.5.5. Sd se determine centrulde mas5 aluneiemisfere de razd R (fig.3.9)Alegem sistemul de referinle cu originea in centrul geometric al sferei

din care a fost decupate emisfera sicu axa Oz ca axa de simetrie a emisferei.

Fi9.3.9.Atunci coordonatele:

x G = 0 s i y c - 0

Se alege un elementde volum dV situat la cota z de axa Oy gicare poatefi asimilat cu un cilindru cu indllime dz gi avand razabazei r.

Atunci vo lumul dV = m2 , dz, apl icand teorema Pi tagora gasim:

12 -R2 z2 astfel cd:

ov - ,r(K- z- J az

gi cota centrului de masd a emisferei rezultS:

85

[, z(a' z')az

I"(*' z')az

Probleme propuse1. Sa se calculeze coordonatele centrului de masa al liniei materiale

omogene formata din trei semicercuride raze R, 2R, 4R, avand centrele ino., o", o"

| , . ,l z - dv

' C .

JdV

?

Page 86: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

qA MEcANTcA

F i g . 3 . 1 0 .

2R7

zoKX ^ -

t 1 t

2. Determinali coordonatele centrului de masa pentru suprafataomogena din f ig.3.11 .

Fig. 3.11.

Page 87: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

3. CENTRE DE MASA

Raspu n s:

xc - 0'5Ryc = 0,63R

3. Sa se determine coordonatele centrulua de mase al suprafeleiomogene hagurate din f ig.3.12.

Rdspuns:

xc - 3'73Y" = 2'86

4. Determ inati centrul de greutate alsuprafelelor omogene hagurate in flg.3.13.

RAspuns:

xc - O'3rY c - O'26rzc - O'14r

5. Determinali centrul de greutate alunei calote sferice (pline), de raza R giinellime h.

Respuns:

E;^ 1 1 ' ,

Page 88: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

88 MEcANTcA

s(zn n)'7 - - _-u

4(3R h)

Fig. 3.14.

Page 89: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

4

ECHILIBRUL PUNCTULUI MATERIAL

4.1. ECHILIBRUL PUNCTULUI MATERIAL LIBER

Un punct material liber are treigrade de libertate, deoarece pozitia sa inspatiu nu este conditionata de anumite restriclii impuse coordonatelor sale

Asupra unui punct material liber pot acliona doar forle exterioareconcurente, astfel incat conditia de echilibru se scrie sub formd:

- vectoriald:

n-o- scalara:

Sv n .Sv -n .Sz o/ r " '

- ' L - '

unde IX,, tY, tZ sunt proiecliile vectorului R pe axele sistemului dereferinta cartezian.

4.2. ECHILIBRUL PUNCTULUI MATERIAL SUPUS LALEGATURI FARA FRECARE

4.2.1. Legi tur i le punctului mater ial . Axioma legi tur i lor .

in activitatea practice pozi,tia punctelor materiale este condilionata delegaturile pe care le au, ca de exemplu obligatia de a pastra contactul cu: altepuncte materiale, anumite curbe sau suprafele. Aceste legdturiale punctuluimaterialii restrang numerulgradelor de libertate (W)dupa cum urmeaza:

a) punctul material cu pozitia impusd are W = 0;b) punctul obligat sa remand pe o curbe are W = 1. in acest caz

coordonatele punctului (x,y,z) trebuie sd verifice ecuatiile celor douasuprafete la intersectia carora se gesegte curba respectiva gi prin urmaredoar o singure coordonata este independente;

(4 1)

(4 2)

Page 90: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

90 MEcANTA

c) punctul material obligat sd ramand pe o suprafa!4, matematic revine laverificarea ecuatiei suprafetei de citre coordonatele punctului, astfelca W = 2

Contactul (rezemarea, agezarea) pe o curba, suprafata sau alt punctse materializeaza prin fo4e de legStura (reactiuni).

De retinut ca asupra unui punct material cu legaturi actioneaze douafeluri de fo(e:

a. forte date (exterioare sau active),b. fo4e de legeture (reacliuni sau fo4e pasive), depind doar de existenla

legaturii.intre cele doui tipuri de forle exista o deosebire esenliald gi anume

aceea c5 fo(ele exterioare au tendinla de a accelera sau decelera migcareapunctului material, in timp ce fo(ele de legatura intezac migcarea punctuluimaterial dupa anumite directii.

Din activitatea practicd s-a desprins axioma legeturilor, care se poateenumta astfel:

Legdtura mecanica poate fiinlocuita cu ofo(e denumitefortii de legatura(in cazul unui rigid cu un sistem de fote), punctul material sub actiuneafortelor exterioare gi a celor de legeture poate fi tratat ca gi cand ar fi liber.

Notand rezultanta for,telor exterioare cu R' 9i rezultanta forlelor de

legatura cu R" , conditia de echilibru este:

n'+n" - O (4.3)

4.2.2. Echilibrul punctului material rezemat pe o suprafalanetedi

Punctul material M este obligat sd remana pe suprafata netede, datede ecuatia carteziana:

f(x, y, z) = 0 (4)

Asupra punctului material M actioneaza un sistem de forte F, care

poate fi inlocuit cu rezultanta R' .Deplasarea punctuluidupe direclia normalei la suprafate nu se poate

face, astfel ca legatura se va inlocui cu o forla normala N, avand sensulopus sensului de migcare interzis de legaturd. in acest mod reacliuneasuprafe.tei netede se exprima prin relatia:

Page 91: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

4. EcHrLrenuL PulcluLut Mlrtntel 91

r.r - r..vr = rf af i* af i * af kl\dx Ay ' Az )

in care. ). - este parametru scalar.

R ' + ) " . V f = 0gr de asemenea:

,lf ;tt ,)fX ' r ) . - - 0 : Y ' r r . ^ 0 . Z ' ) . ^ 0

dx Ay Az

(4 5)

y1 - grad f este gradientul functiei f, este vectorul care defineStedirectia normalei la suprafate.

Rezultanta fortelor direct aplicate (R' ) trebuie sa fie normala lasuprafata de spruin, pentru ca punctul material sa ramane in echilibru peaceastd suprafate. Aceasta condi,tie de echilibru se scrie:

(4 6)

(4 7)

Relatiile (4.7) 9i (4.4) formeaze sistemul de ecualii din care se potdetermina necunoscutele x,y,z,), (parametrul ), determina valoarea reactiunii

normale N ).

Page 92: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

JZ MECANTCA

4.2.3. Echilibrul punctului material rezemat pe o curbineteda

Considerdm punctul material M (fi9.4.2), obligat se remana pe curba(f)aflate la intersectia planelor (nj)Si (nr). Asupra punctului aclioneazd un

sistem de forte exterioare F . echivalent cu rezultanta i' .

Pentru ca punctul M sa fie in echilibru pe curba f, trebuie ca reacliunea

R' sd se gdseasce intr-un plan normal la curba de sprijin.

React iunea curbei ( l )apare ca suma a reaclruni lo, N,,N, a celor

doud plane n, 9i n, ( f ig.4.3) care expr imd:

N - N r + N z - ) ' t Y f t + ) " 2 ' Y f z

Condilia de echilibru (4.3) devrne:^ - ^K + / . 1 V T r + y ' ' z Y l z - U

iar ecuatiile scalare de echilibru vor fi:

(4.8)

(4 e)

- / * r Ir F " l

Page 93: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

4. EcHrr-rsnuL Putcrurut MltentaL 93

,:$ ;)fX ' + ] . .

' ' 1 + i "

' ' 2 = 0(iX OXAf .:tf

Y ' + ) . , " ' r + ) . , . ' ' 2 = 0av -av.x ,tf

Z ' + ) . . . - ' 1 + i , " . " 2 - 0?z 'Az

f,(rv,z) = of r (x,y,z) - O

(4 10)

in care f1(x,y,z) = 0, f,(x,v,z) = 0 sunt ecualiile suprafetelor (n1) respectiv (r,).Din sistemul de ecuatii (4.10) se vor deduce necunoscutele x,y,z (pozitia

de echilibru) 9i 1,1, ),, care determind valorile componentelor fo4eide legdturaN, respectiv N,. In consecinta valoarea reactiunii va fi data de relatia:

(4 11],

Fig.4 3.

Page 94: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

94 MECANEA

4.3. ECHILIBRUL PUNCTULUI MATERIAL SUPUS LALEGATURI CU FRECARE

4.3.1. Frecarea de alunecare

Experimental s-a observat cd la contactul intre un punct material 9i osuprafatasau ocurbd materaaE (in generalla contactula doud corpuri), bgaturaactioneaze asupra punctuluicu o fo4e de rezistentd la alunecare pe suprafatd,respectiv pe curba. Aceasti fo4a se afla in planultangent suprafelei (respectivdup5 tangenta la cudl'5)gieste indreptata in sens contrartendinleide deplasare.

Notati cu i (fig.4.4), fo(a se datoreaze asperitalibr suprafelelor corpurilor incontact gi se numegte fortd deaderenle daca corpurile nu sedeplaseaza unul fate de celelalt gifo4a de frecare (de alunecare)dacecele doue corpuri se deplaseazeunul in raport cu celdlalt.

Pe un plan inclinat corpulremane in repaus pana laovaloarea unghiului (1 num e unghi de fecaregi notate cu g sau altfel spus:

0<c r -< ,p (4.12)

Din figura 4.4 se observa cd tgo

to. - T""

N

T ^ . , , - ^N

(4.13)

in aplicatii se considera ca forta de aderente maxima este egali cuforta de frecare.

Coulomb a stabilit legile frecarii uscate (in anul 1781 ), care sunt:1. Valoarea maxime a fo4ei de frecare nu depinde de viteza relativa a

corpurilor in contact gi nici de marimea suprafetei de contact dintre corpuri,2. Valoarea maximd a fortei de frecare depinde de natura corpurilor gi

de starea suprafetelor in contact.3. Valoarea maximd a fo(ei de frecare de alunecare este propo4ionale

cu valoarea reacliunii normale N.

Fig 4.4

Page 95: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

4. EcHtLtenur Purcrulut Mlrtntnr 95

Relatia urmdtoare sintetizeaze aceste legi:

T-"" - ;r 'N

unde I reprezinte coeficientul de frecare la alunecare.

(414],

Cand viteza relative a corpurilor este nuld, coeficientul de frecare senumegte coeficient de aderentd, se noteazd cu po gi de obicei are valorimai mari decat coeficientul de frecare la alunecare.

Observam ce o problema de frecare introduce o necunoscute in plus(componenta tangenlialA T) comparativ cu problema unei legaturi ideale.

Cand intereseaze doar pozitiile limitd in care punctul material rdmanein repaus se utilizeaze rclatia (4.14).

Problemele de frecare in general sunt probleme cu mai multe soluIiipentru ce exista zone intregi pe o curbe sau pe o suprafaje in care esteposibi l echi l ibrul , deci :

T<p N (4 15 )

4.3.2. Echilibrul punctului material rezemat pe o suprafala

Considerdm un punct material M pe o suprafala aspre (fig.4.5.). Sistemul

de forte care actioneazd asupra punctuluiare rezultanta R'. Pentru echilibru,

reactiunea suprafe,tei R trebuie sd fie egala grde sens contrar lur R' , astfelcS:

R '+R=o (4 16 )

Reacliunea R formeaze cu il,n"" R' I

normala N la suprafata unghiul(r.Rezulti:

too=I- N (4 17)'

Notam cu I unghiul dintrenormali gi suportul reacliunii lalimita echilibrului, astfel cd:

(4 18)

Tr* 11 .N

N N F ig45tgq =

Page 96: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

Ito MEcaNrA

I n c a z u l e c n r l r D r u l u r : l / l m a ^

T T-^.

gi inca: tgcr < tgq

sau u<q (4 1e)

Observem ce pentru echilibru supo(ul rezultantei R' a fortelor efectivaplacate, trebuie sa face cu normala la suprafale un unghi mai mic decatunghiulde frecare.

Presupunem in punctulM normala MN la suprafata S ( f ig.4.6.) .

N ,

Fi9.4.6.Locul geometric al dreptelor care formeaza cu normala l\4N un unghi

egal cu unghiul de frecare p se numegte con de frecare.Pentru ca punctul material M sd se gdseascd in echilibru pe suprafata

asprd, este necesar ca suportul rezultanler R' a fo4elor efectiv aplicatesa fie in interiorul conului de frecare (in punctul M).

Conditia (4.19) se poate scrie:cos (r > cos Q

iar cu relal i i le (4.1 5) 9i (4.18) qt i ind ce:1

fficos Q -

(4 20)

Page 97: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

4. EcHTL|BRUL Putcrulur MlrennL 97

relalia (4.20) devine:

1

! r + F

Observand ca:

COS (I =

unde ri este versorul normal la suprafa,te, avand expresia:

- af . af . 0f-n - l + l + K

dx Ay' azia t .

n'=x ' . i+Y' j+z 'krezultd expresia analitica a condi!iei de echilibru:

tsiR' , . n

(4.21)

(422\

(4 23)

(4.24)

Ji ' 'z +Y' \z ' '

1- r " '

r /1 + p'

(4.25)

4.3.3. Echilibrul punctului material rezemat pe o curbiaspra

Presupunem punctul material lvl obligat sa ramana pe curba fixa (f) dinfig.4.7. Trasdm tangenta T la curba in punctul M gidreptele care formeaze cu

acesta un unghi complementar unghrutuide frecare (90' ,p). Locul geo-

metric al acestor dreDte este conul de frecare.

Notand unghiul format de suportul rezuttantei R' cu tangenta la curbaprin 0. conditia de echrlbru se scrie:

.- 1lL J > - O' 2

/ . T ) ' / , r f 1 2 / , { \ t+ + l\ d x i \ a y / \ a z l

lx ' t r*v 'd *z 'dlaxAyaz

(4 26\

Page 98: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

MEcANTcA

F ig47

sunt ecuatiale parametrice ale curbei, atunci:

Pentru ca un punct materialse se geseasc; in echilibru pe ocurbe aspra, rezultanta fortelorexter ioare efect iv ap l icatepunctului, trebuie sa fie in exteriorulconului complementar de frecare.

Daca notem t ve rsoru Itangentei la curbi, adicd:

r dx : dv . dz . , " " , ,t = t + 1 t + K \ e 2 . ,

d)" d)" -

d7"incare: x= x( f ) ; y = y( I ) ; z = z( f )

cos []=ElR' , . t

x,d" *d7,

Y 'oY *Z ' ozdl" d)"

(4 28\

(4 2e)

x, dx * Y, dY *z 'd t lI d)" d). dr l < , , r- rGox l I oy l l oz \

+ l | + |il,) \d). / \ d), /

iar conditia (4.26) scrisd sub formecos B < sintp

oevtne:

(4 30)Rela!ia (4.30) reprezinta conditia de repaus a punctului material M, in

conditiile anterior stabilite.

Page 99: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

4. EcxrLrenuL Puttcrurur Mlreatal qq

4.4. APLICATII

Probleme rezolvate

4.4.1. O sferd mice de greutate G se sprrlini pe un plan inclinat cuunghiul(x faF de orizontala (fig.4.8). Sfera este legatd cu un flrcareformeazaunghiul 0 cu verticala ce trece prin A. Sfera fiind in echilibru, se se deter-mine reactiunea planuluigi efortul din fir.

Rezolvare:

Notam cu T efortuldin

fir gi il fo4a de reacliune a, ^ + . ,ptanurur . Foqere b, | , r \

sunt in echi l ibru, e le segasesc in acela$ i p lan(planul vertical perpendi-cular pe planul inclinat pe

care-l determina G 9i N).A l e g e m a x e l e d e

coordonate in acest planast fe l ca axa y se f ieperpendiculard pe planulinclinat in punctul G, iar axax este in lungul p lanulu i .

Ecuat i i le de echi l ibru sunt:

Dupe rezolvarea sistemului de ecuatii obtinem:

GsinB' "'=

"it(o - 1])

4.4.2. Pe suprafata interioare a conului din figura 4.9. se spnline punctul' ^ ^

material M de greutate G. Punctul este respins de un plan ftx O. caretrece prin axa conului, cu o fo4a perpendiculara pe plan gi propo4ionale cu

JGsinc rsin(c * I l) = 0

lN Gcosc+Tcos(c+B) =0

Fi9.4.8.

Gs inusin(cr + B)

Page 100: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

100 MEcANrca

distanta punctului la acestplan. Se se determine poziliilede echilibru ale punctului pecon Si reactiunile conului in

RezolvareSe alege ca plan Q planul

xoz. Poz4ia punctului M estedeterminata de coordonatele e ,(r, r(fig.4.9), iar(r este jumatateaunghiului de la varful conului

((r : const) . Fala de

sistemul c€rtezian ales, punctulM are coordonatele:

x - r s i n0 cos0y = r . s i n0 s i n0Z = f . C O S a r

Fortele care ac!aoneaza asupra punctului material sunt:

- greutatea proprie G (paralela cu axa Oz),

- forta F de respingere a planului xoz (paraleld cu axa Oy), avandva loa rea : F = k . y - k . r . s i nn . s i nO ,

- reactiunea normali N a suprafetei conului (continutii in planulzOM),Ecual i i le de echi l ibru ale punctului sunt:

f - Ncosu . cos0 - 0

Jk . r . s i no . s i n0 Ncosc r . s i n0 - 0

lNs inc G - 0

in acest sistem de ecuatii, necunoscute sunt: r, e, N. DupA rezolvarerezulta:

G .ctgrr

K Stn u.Se observe ca existd doua pozitii de echilibru in planul yoz simetrice

fata de axa Oz (punctele M,,M, in f ig.4.9).

^ , 9 / t ,l \ = - . : - , V - = , 1 -

sin (1 I

F ig49

Page 101: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

4. Ecnrlrenur Purcrurur MltennL

4.4.3. Un punct material M este rezemat pe semicercul de razd r dinfig.4.10. Punctul este atras de extremitdlile A gi B ale diametrului cu forlele

F, respectiv F, , propo(ionale cu distantele AM respectiv BM. Coeficientul

de proportionalitate fiind k, se se determine reactiunea semicercului.

Rezolvare.Unghiul e este parametrulcare determinii pozilia punctului M pe cerc.

Alegem sistemul de coordonate cu originea in M gi axele dupe tangentain M la cerc Ai perpendicular pe aceasta (fig.4.10).

Se scriu cele doua ecuatii de echilibru:

I F " s i ne +F "cose -0

l- F, coso F, sin0 + N = 0Din enun!ul problemei rezulti:

F r =k .MA=k .2 r . cos0Fz =k MB = k .2 r . s i nO

inlocuind aceste valori in sistemul de ecuatii. duoa rezolvare se obtine:N - 2 . k . r

4.4.4. Un punct materialM de greutate G poate aluneca fara frecarepe o bare ce are forma unei parabole cu axa verticala Oy (fig.4.11). Punctul

este atras de axa parabolei cu fo4a F propo(ronala cu distanta la aceastaaxa. Se se determine pozitia de echilibru a punctului material.

101

Fi9.4.10.

Page 102: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

MECANTcA

Rezolvare:Ecuatia parabolei este y = px'?Punctul material M se gesegte sub

acliunea fo4elor:n a l

r- n ifiind supus legeturilor:

f(x,y z) y px2 0 si g(x.y,z) OCondr l ia de echi l rbru (4.10) devine.

2px10

sau:kx+2Gox -0

kaSadar. G = ; independent de distanta x (a punctului M fatd de axa'20

Oy), M ramane in echilibru pe parabola in orice punct dacd este indepliniteaceastd conditie.

4.4.5. Un punct material de greutate G se gesegte pe un plan aspru,inclinat cu u ngh iu I o fald de orizontaE (fig.4. 1 2). Dace asu pra punctu lu i actioneazafo4a F , se se determine valoarea acesteiforte pentru ca punctul sa ramana inrepaus pe plan.

Rezolvare:Asupra punctului mater ial

act ioneaze pe lange G 9i F,

reacl iuni le N gi i .Existd doud sensuri posibile

a le tend in , te i de dep lasa re apunctului M (fig.4.12,b Si fig.4.12,c)

Forla de aderenle in fiecarecaz este indreptate in sens contrartendinlei de deplasare.

lf" : "

;l="

Fig.4.12.

Fi9.4.11 .

Page 103: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

4. EcHrrrgnur Purcrulur Mlle ntnr

Fig.4.1 3.Presupunand tendin la de a lunecare in jos ( f ig .4.12,b) , condi l i i le de

echi l ibru sunt :

l T . F cos , ' Gs ino 0

lN Fs in r r Gcosu=0LT < P N

Din rezolvarea sistemului de ecuatii se obtine:

G(sintr u cos cr)| . ,

COS( I+PS ln ( rdaca sin <r p cos cr > 0

Dacd sinu pcoscr < 0, adicd tgu < l - t punctul M nu aluneca injos, indiferent de fo4a F. Este aga numitul fenomen de autofranare.

Presupunem ca tendinla de alunecare a punctului M este in sus(ig.a.12,cl, ceea ce conduce la urmdtoarele ecualii de echilibru:

I T+Fcoso Gs inu -O

JN Fs inc r -Gcosc=0

lT < p . l ' l

Dupa rezolvarea sistemului de ecua[ii rezult6:

G(sinn + pcostr)

103

F<cos(x psrnd.

, daca cosu ;rsino ' 0

Page 104: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

104 MEcaNrcA

Daca cosc{ . ps ino < 0 Sau tgo > 1 punc tu l mater ia l nutl

aluneca in sus oricare ar fi fo4a F (autoblocare).Pentru ca punctul material se ramana in repaus, el nu trebuie se alunce

nici in jos nici in sus. Atunci repausul se realizeaza cand:

1a F . l ( ceea ce P resupune m<1)

G(sin tr + pr cos tr)- daca tgd F Pentru F

cos o p, sin., '

1-dace p < tgo. < - pentrufr

G(s inu pcosn ) - G(s in . r ' p rcoso )a t a

cos u + trr" sin (I cos cr p sin c

1b. < p (ceea ce presupune [>1)

l-r

1- daca tgo < pentru F <

- daca tgcr > p pentru F >

G(sino + p cos u)n n c d I < l n d

- oaca 1 < tga < p pentru orice F;tr

G(s ino pcoso)

cos(r + ! .s lnc

4.4.6. Determinalipozitaile in care un punct materialde greutate G rdm6nein repaus pe o el ice aspre. El icea are ecual i i le parametr ice

hx-Rcose, y=Rsin0; z- 0 , iar coef ic ientulde frecare este [ .

all

Page 105: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

4, EcHruenul Puttctuuut Mnrenmr 105

Rezolvare:Din ecualiile parametrice ale elicei gasim:

9I - Rrino : 9I - Rcoso ;d0 d0 d0 2n

iar proiectiile pe axele sistemului de referinF cartezian ale greutelii punctuluimateriale sunt:

X -0 ;Y -0 ;Z= mgConditia (4.30) se scrie:

, . non'2n , f t

adicd:

SA U:

n

2nRSe observa ca in aceasta inegal i tate nu intervine nic i una din

coordonatele punctului, ceea ce se poate interpreta astfel: dace inegalitateaeste indeplinite, punctul material ramane in repaus ca orice punct alelicei,daca inegalitatea nu este indeplinita punctul material nu sta in repaus innic i unul din punctele el icei .

Probleme propuse4.4.7. Un punct materialde greutate Q este ridicat pe peretele inte-

rior al unei emisfere cu ajutorul unui fir care trece peste un scripete A gi lacapatul caruia suspendd greutatea P (fiT.4.14).

Neglijand frecarile sa se determine unghiulcr pentru ca punctul mate-r ia l se f ie in echi l ibru.

RAspuns:P2x

n, -

r / 4n 'R ' + h '

/ \ 2(- ms)

+ S P z Q 2ct' = aTCCOS

Page 106: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

106 MEcANTcA

4.4.8. Punctul material NI degreutate P poate aluneca ferafrecare pe un cerc. Asuprapunc tu lu i ac l i oneaze fo r l a

orizontala F . Sa ." determinepozitia de echilibru a punctului 9ireacliunea cercului.

Rdspuns:

Fig.4.14.Disculie:

- c6nd F + "c , , t gc=0

o=0sauu -n ,

- c A n d F = 0 , t g a = . r ,

- cand F -P , t gc r : 1 ,

Fig 4 15.

4.4.9. O bard de greutate neglijabild este fixate prin intermediul unuiinel de un perete vertical (fig.4.16) cu capatul sau A. Prin celalat capit (B)trec firele orizontale BC ai BD legate de perete in C Si D simetric fala de Ogi firulvertical de care suspenda greutatea Q. Sd se determine eforturiledin fire gi forta din bard.

Raspuns:

o tsp

.PI O ( I - -

t-

J l Is a u ( I - ^ ;

5nsau ( I - :

4

1l

2

1l

2s inn

N - Q

cos p

+ H -

o

F

P

Page 107: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

4. Ecxrr-rgnuL Puttcturut Marentlr 107

4 .4 .1 -0 . Un punc t ma te r ia l degreutate Q este obligat sa ramana pe odreaptd D-D (fig.4.'17) care face unghiulu cu planul orizontal. Asupra punctului

actioneaze fo4a orizontali H avand va-

o.;toatea

t 9l lona F 0e valoare

^a. l i ra.r i , . l rantai

Sa se de te rm ine ungh iu lvaloarea reacliunii dreptei .

3 Q

cr gi

RAspuns:

N=Qa-45 "

4.4.11. Determinali pozitiile incare un punct material de greutateF se afld in repaus pe o sferi aspra,avand raza R. Coeficientulde frecaredintre punct gi sfera este p.

Respuns: daca se considereaxa z a sistemulur de refer inlaverticala, punctul material se va geslin echilibru pe doua calote sfericepozifionate iala de Oz prin cotele: D

Fig.4.16.

RR

Jr-r ' Jr-p'4.4.12. O bild de greutate G se afld in echilibru pe suprafata unei

sfere de razd R 9i este legate prin farul AM = | de punctul fix A. Dreapta AOeste verticala, iar distanta de la A la sfera este AB = d.

Sd se geseasce efortul drn fir gi reactrunea N a sferei.Rdspu ns:

R+dP R

N = I IR+d

Fig.4.17.

Page 108: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

108 MEcaNrcA

F ig .4 .18 .

4.4.13. in cazul problemei 4.4.7. cunoscand ca e este unghiul defrecare dintre peretele emisferei gi punctul material, se se determine unghiul(} pentru pozitia de echilibru (fig.4.19)

Rdspuns: presupunand tendinta de alunecare in jos pe emisfera segdsegte

rs(;. *) cts(., + e) - 2

Fig.4 19.

Page 109: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

5

ECHILIBRUL SOLIDULUI RIGID

5.1, ECHILIBRUL SOLIDULUI RIGID LIBER

Se spune ce un solid rigid este liber, dace pozitia sa in spaliu nu estegeometric restrictionata. Un astfel de corp poate executa gase migcari(trei translatii in lungul axelor sistemului de referin,ti 9i trei rotatii in jurulacestor axe), se spune ci un astfel de corp are gase grade de libertate.

Solidul rigid este in echilibru, cand sistemul de fo4e exterioare careactioneaza asupra lui are torsorulin orice punct nul:

n-o,Mo -o (5 1)Relatiile (5.'1)formeaza ecualiile vectoriale de echilibru ale rigidului, cerora

le corespund urmatoarele gase ecuatii scalare de echilibru:

S v n . \ - t v t n/ - " " ' / , ' ' " .

Iv, =o; lH,t ,-o

Zz,=o; l t t t , , -o

Cand asupra rigidului actioneaze sisteme particulare de fo4e, relaliile(5.2) se particulaflzeaza dupA cum urmeazd:

a) Rigid supus actiunia unui sistem de fo4e concurente, situate in acelagiplan (de exemplu xOy). Conditiile de echilibru sunt:

Fx, =o;tY =o (5.3)

b) Rigid supus actiunii unui sistem de fo(e concurente in spatiu. inacest caz sunt trei conditii de echilibru:

(5 2)

Page 110: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

110 MEcANTcA

Ix =o'Iv,-o;lz,-oi i i

c) Rigid supus acliunii unui sistem de fo4e coplanare (de exemplu dinplanul xOy). in acest caz condiliile de echilibru se scriu:

!x o: fY o: fv- o/) Z-/ /-. ''

r i

d) Rigid supus acliunii unui sistem de fo4e paralele in spaliu. Presupunemca fortele sunt Daralele cu axa Oz, astfel conditiile de echilibru vor fi.

\ - z - n \ - u n . \ - t r i t n/ L w / t " \ v / ' ' ' v |

i l(5 6)

e) Rigid sub actiunea unui sistem de cupluri oarecare in spatiu. Condiliilede echilibru rezulte:

F t t t . - o : F t r i t " o ; ) r r i t , o rq z r/ r x / - y

f) Rigid supus acliunii unui sistem oarecare de forle 9i cupluri de fortein spatiu. intr-un astfel de caz sunt gase condilii de echilibru:

tx -o: fv-o:Fz.-o/ 2 t 2 2 ' L r '

i l

f nr, o: lv, o: lv, oi i i

(5 4)

(5 5)

(5.8)

5.2. ECHILIBRUL SOLIDULUI RIGID SUPUS LA LEGATURIFARA FRECARE

in practicd in general se intalnesc corpuri supuse la legeturi. Legaturilesunt materializate de corpuri cu care este in contact, sau de care estelegat corpul studiat. Existenla legaturi implicd reducerea numarului gradelorde libertate ale corpului. In functie de felul legaturii (rezemare, articulalie,legdture cu fir etc) aceasta aclioneaze asupra corpului material cu forle delegaturd gi (sau) cupluride legdture.

Legeturile cel maides intalnite in activitatea practice sunt:a. Reazemul

Reazemul este legetura care constrange un corp dat sa ramana mereuin contact cu o curbi sau o suprafala data. In general reazemul impune

Page 111: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

5. EcHrLrenuL SoLtouLut Rtcto 1',t1

corpului sA remana in contact (sd se rezeme) pe un alt corp.in figura 5.1 suprafala (S) pe care se

reazemd (sprijina) corpul (C), este lucie,fixe, foarte rezistente incat sa nu sedeformeze, indi ferent de modul cum

aclioneaza for,tele f asupra corpului gi

de marimea acestor forle. Pentru cangidul sa fie in echilibru. fortele exterioare

F, trebuie sd se reduca in A (punctul de

rezemare) la o rezultanta unicd R' .Aceasta rezultantd kebuie sA se afle

pe direclia normala la suprafala (S). Dace

momentul fo4elor F, in punctulA nu ar fiE i n F 4

nul, legetura nu ar putea impiedica rostogolirea corpului C pe suprafala S.Reacliunea suprafetei asupra corpului ([1) are direc!ia normalei la (S)

9i sensul contrar m igcarii im piedicate de (S).Reazemul nu permite deplasarea corpului pe direclia normala la

suprafata de sprijin. Reazemul anuleaze deci un grad de libertate.Reprezentarea grafica a unui reazem se face ca in figura 5.2.

Reozem fix Reozem mobil

Fi9.5.2.

in aplicatii, cand in urma rezolverii se obline valoare negativa pentru

reactiunea N. atunci pentru realizarea echilibruluisensul lui N este invers

Page 112: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

112 MEcANTcA

celui presupus ini t ia l .b. ArticulatiaSe spune despre un corp cd este articulat intr-un punct fjx O dacd se

poate roti in jurul acestui punct. O astfel de articulatie se numegte articulatiesferice (fig.5.3).

Dace corpul se poate roti in Jurul unei axe fixe, se spune ce are oarticulatie cilindrice (fig.5.4).

Fi9.5.3. Fi9.5.4.

Contactul intre sfera (din capatulcorpului) 9i cavitatea sfericd (fixd) -fig.5.3- se realizeaze intr-o infinitate de puncte. in fiecare drn aceste punctelegatura transmite o fo(a, astfel incat sistemul fo(elor de legeture este unsistem de forte concurente in centrul sfereide contact, reducandu-se la o

- ; . . , . . - - .rezurtanla unrca K (rg.5.5)Articulalia sferica introduce trei necunoscute in ecuatiile de echilibru

9i anume proiecliile reacliunii pe axele unui sistem triortogonal drept.

Fi9.5.6.

Page 113: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

5, Ectitt-tgnur Sorrourur Rrcto 1 1 3

In cazul articula!iei cilindrice toate fo4ele dintrepot reduce la o rezultanti unicd aclionand intr-uncilindrului de contact.

Art iculat ia c i l indr ica introduce in ecua! i i lenecunoscute, care oot fi:

- valoarea reacliunii R " gi unghiul pe care ea ilformeaze cu o direclie data,sau

- cele doui componente ale reacliunii i " pe doui directii cunoscute.Pen t ru co rpu l

ac,tionat de fo4e in spatiu,ce le doud a r t i c u l a t i icilindrice anuleaze cincagrade de libertate, prinurmare, in aplicalii vorintroduce cinci reactiuninecunoscute (trei fo4e 9idoua momente).

c.lncastrareaIn Trgura b. / sunl

date exemple de corpurilncastrate. Se spu nedespre un corp (C)cd esteincastratin alt corp, atuncicand o parte a corpului(C)este imobilizata (fixati,blocate) de celdlalt corp.in acest mod corpului (C)i-au fost suprimate toategradele de libertate (elnupoate efectua n ici omrScare).

c J u y r a

corpului actioneaze unsistem de fo4e coplana-re, legatura (incastrarea)va introduce for le dereac t i une s i t ua te i nace lag i p la n , a s t f e I

arbore gi alezaj seplan normal la axa

de ech i l i b ru doue

Fig.5.7.

Page 114: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

114 MEcANtcA

incastrarea se nume9te plana.- rezultanta reactiunilor introduce doue necunoscute scalare gi anume

componentele pe doue direclii din planulfo4elor;- momentul rezultant al fo4elor de legdtura introduce ca necunoscuta

valoarea sa numerice. (El aclioneazd dupd normala la planulfo4elor).Cdnd asupra corpului aclioneaze un sistem de forte in spaliu, in

incastrare va rezul ta un torsor, care in calcule va introduce $asenecunoscute (valorile X, Y Z, M", M,, M.). incaskarea se numegte spatiala.

d. Legetura cu firFirele se considera ci au greutate negl i jabi la sunt f lexibi le 9i

inextensibile.Dacd considerem un corp suspendat de punctul fix O prin intermediul

firului Olvl (fig.5.8), deoarece firul are lungime constanta, punctul de prindereM se poate deplasa pe interiorul unei sfere (de raze OM). Altfel spus punctulM se reazeme pe fala interioard a unei sfere. Legetura se poate inlocui cu oforte pe directia normalei la suprafata sferei, adica dupe direclia firului 9i cusensul spre O (centrul sferei).

in aolicatiica necunoscute intervine valoarea efortuluidin fir.e. Legetura cu bara

Bara este rigida atat cend este intinsa catgicand este comprimate. Rezuftaca reacliunea legaturiiaclioneaza in lungul barei putand avea ambele sensuri

Deci legdtura cu bare este bilaterald.Pentru ca bara se suporte eforturidoarde intindere sau de compresiune

se considera ca este articulatd la cele doua capete (pentru probleme inspatiu articulatii sferice, iar pentru probleme in plan cu articulalii ciljndrice).

Fi9.5.8. F i ^ q O

Page 115: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

5. EcHrLrenur Souour-ur Rroto

5.3. CAZURILE DE ECHILIBRU ALE SOLIDULUI RIGID

Se observa ca legaturile anuleaze un numdr diferit de migcari posibileale rigidului, introducand tot atatea necunoscute scalare (forte, momente).

in spaliu pot fi scrise qase ecualii sclare de echilibru, iar in plan doartrei ecuatii scalare de echilibru (m = 6 respectiv m = 3).

Notand n numirul reac!iunilor (necunoscutelor) introduse de legdturigi cu r rangul matricei coeficientilor necunoscutelor, ca gi cel al matriceisistemului de ecuatia (makicea coeficientilor largita prin coloana termenilorliberj) sunt posibile urmatoarele situatii:

a) Cand n = r = m se pot determina toate necunoscutele, prin urmaresolidul rigid este in echilibru neconditionat.

b) CAnd n = r < m din cei p = m - r determinanli caracterlstici, prinanularea lor se pot obtine p relalii suplimentare, care formeazd conditiilesuplimentare de echilibru.

Cum n < m dintr-o ecuatie de echilibru se poate determina o conditiesuplimentare de echilibru.

Acesta este cazulcand solidul rigid este in echilibru conditionat.c) Cand n > r, adica numerul necunoscutelor este mai mare decat numirul

ecualiilor principale, sistemul de ecuatiide echilibru este nedeterminat. Sespune in acest caz solidul rigid este static nedeterminat. Gradul denedeterminare este dat de numdrul necunoscutelor arbitrare q = n - r

5.4. APLtCATII

Probleme rezolvate5.4.1. Bara AB de lungime L gi greutate G este articulate in A 9i liber

rezemate in B pe un plan inclinat (fig.5.10). Se se determine reactiuniledin articulatie gi reazem.

Rezolvare:Articula!ia din A introduce ca necunoscute valorile Xa gi YA; rezemarea

din B introduce pe direclie perpendiculare pe plan reactiunea No . de marime

necunoscuta.Putem scrie treiecuatiide echilibru, deoarece sistemulde fo4e este

in plan, avem trei necunoscute, urmeazd cd problema este stat icdeterminate neconditionat.

115

Page 116: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

116 MEcANrca

Fiq.5.10.

Se alege sastemul de axe xAy din figure gi se ob,tin ecuatiile:

Ix -oI" =o

Zz'-o

;Xo N rs i nP=Q

;Y r G+NBcosp -0

; G . i cosu+Nr .Lcos (o+ [ ] ) - 0

Rezolvand sistemul de ecuatiase obtine:

2(ctoB toa) 2(1 - totr . tou)

t . l - -r r B - ^ , . ^ \- z(cos lJ tg0 .srn l t l

5.4.2. Cunoscand ca bara din fig. 5.1 1 . are lungime | 9i greutate P 9ica formeaza unghiul o cu planul orizontal, se se determine reactiunilenecunoscute gi conditia de echilibru.

Rezolvarein punctele de sprijin A gi C, rezemarea introduce cate o reactiune

normald pe suprafala de reazem, respectiv pe suprafala barei. Firul decare suspende greutatea G se seclioneaza gi se introduce tensiunea T.

X^

Page 117: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

5, EcHrLrenul Solroulut Rtcto 117

' F i9 .5.11.

Problema este pland, pot fi scrise trei ecualii de echilibru:

I x -o ;Ncs inc r T -0

fv o :N^ N^cosa-P oZ r l

)Mo .0 :Nc . . ' rP ^ cosu T . l . s i no 0s ln (1 z

Rezolvand sistemul se obline:

Plsin 2u

., ^ Pls in 2cr cosul \ a - r + .

4{ l s in ' r r - a l\ /

pentru echilibru trebuie respectata conditia: lsin3 o - a > 0, adicd

. 1 as ln - ( I >

I5.4.3. Determinali reactiunile din incastrarea A a consolei AB din

fig.5.12, actionatd de sarcina liniar distribuita p N/m 9i de o fona P inclinatacu 60" fate de orizontala.

a(t sin' "

a)

Page 118: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

118 MEcANTcA

Rezolvare.incastrarea din A introduce ca necunoscute valorile XA, YA, MA. Fo(a

uniform distribuite este echivalente cu forta concentrate aolicate in centrulde greutate al triunghiului. Valoarea forlei concentrate este egala cu aria

suprafeteidupe care este dastribuita fo(a p .

Ecuat i i le de echi l ibru sunt :

Ix '-0,

I" =0,

x^ p 1-o^2, t :

y^ 9*p. la-oz z

r tv t^ o:M^ ! l 2 l .P5,-o/ - / ^ ^

23 2

Rezolvand sistemul de ecuatii se oblin:

Px" --^2

Yo - -{pl r /3P I, / \ I

/ - \

rr,r" -r lP lapl^ [3 2 )

Page 119: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

5. EcxrLrenuL Souourur Rrcro

5.4.4. Bara AB = 31 9i greutatea Q = 8P se spr|JinA in A pe un planorizontal, bara formeaze cu planulorzontal un unghi de 60". Cunoscirnd cd DE

este o bara rigida 9i cd in lungul bareiAB aclioneaza o fo4d F N/m distribuitatriunghiular (fig. 5.13), iar la capatul B forta orizonble P, se se determine:

a) Marimea fo4ei orizontale F care trebuie aplicate in A pentru ca barasa ramana in echilibru in conditiile enuntate.

b) Efortul din bara DE 9i reacliunea din reazemulA.

Rezolvare:Fo4a distribuite in lungul barei este echilaventa cu forta concentrata

actionand in centrul de greutate al triunghiului.

119

3pl

F2l

Fi9.5.13.

Page 120: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

120 Meclrrca

Rezemarea din A introduce ca necunoscute valoarea nor-malei yo ,

iar bara rigida DE introduce ca necunoscub valoarea tensrunrr i .Sistemul de ecuatii este:

FX , . O ; F . " I s i nu Ts inc t p .0L'1 2

? n l

)Y , . 0 :Yo { ' coso Q .Tcos r r 0z

IFMo 0 . " f ' lO . l . cos , , rT .2 l r p .3 t s i n t r O

z2Dupe rezolvarea sistemului se obtine:

T = 0,078P ; YA - 6,453P ; F - 0,419PProblema propusd:1. Bara cotit5 ABC (fi9.5.14) este suspendate cu un fir BO. Dace

greutatea ei pe unitate de lungime este p 9i unghiulABC = (1 , sd se deter-mine unghiul F format de AB cu orizontala in pozitia de echilibru. Se cunosc:AB = 2a, BC = 2b.

Respuns

tsp - a2 + b2 cos ct,

b2 sin tr

Fig. 5. 14.

Page 121: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

6

STATICA SISTEMELOR DE SOLIDERIGIDE

Ansamblurile de doui sau mai multe rigide legate intre ele prin legaturimecanice (prin intermediul carora i9i transmit acliuni reciproce) se numescsisteme de rigide.

Asupra rigidelor sistemului actioneaza urmatoarele categorii de forte:a) fo4e exterioare;

Fortele exterioare la randul lor se pot impdr(ii in:a.1) fo(e exterioare de legdtura (sunt reacliunile din legeturile exterioare

ale s is temulu i de corour i ) .a.2) fo4e exterioare date;

b) forte interioare.For,tele interioare reprezinte interacliunile reciproce ale corpurilor din

care este alcdtuit sistemul.

6.1. TEOREME PENTRU STUDIUL ECHILIBRULUISISTEMELOR DE CORPURI

Considerdm un sistem de trei corpuri situate intr-un plan, (pleci plane)legate intre ele prin articula!ii (in B Si C). Acest sistem (fig.6.1) este artaculatin A 9i rezemat in D. Asupra corpurilor aclioneazd un sistem de fo(e 9i

momente, care se reduc in punctele O,, O,, O. la torsonr ln, ,U, )\ ' l

/ - \{R r ,M , ) respec t i v {R , ,M , I'

Asupra sistemu)uide ccirpuri vor mai actiona:- fo4e de legatura exterioare (in A reactiunea din articulalie R^ 9i in D

reacliunea normala iD );- forte de legatura interioare (reactiunile din B gi C), egale gi direct opuse.

Page 122: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

122 MEcANTcA

l ( r : l ( r2UY"O r l ( 2 r

Fiq.6.1.Presupunem cd sistemul este in echilibru, prin urmare fiecare corp

al sistemului este in echilibru (conditie necesare gi suficienta).Descompunem sistemul de corpur i in corpur i le componente,

introducand in locul legdturilor fortele corespunzdtoare, astfel ca fiecarecorp poate fitratat ca gi cand ar fi liber (fig.6.2).

Fig.6.Z.

in conformitate cu cele aretate la "echi l ibrul sol idului r ig id l ibei 'torsorul fortelor aplicate (rigidului) trebuie sA fie nul. Ecua,tiile vectorialede echi l ibru pentru cele trei corpur i sunt:

Ro rR ! .R r , - 0 :M , -Me {n . ) . Mo ( * . ) 0

R , , R ! R , r - O :Mo , * . , . M , , Mo ,o ) , Mo , * , , r - O (6 .1 )

Rr, R; No o , Mo,*. I

' Mo,* , ' M. Mo,n", o

M,);

Page 123: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

6. Snrrcr SrsrrllteLon oe Souo: Rtcto:

insumind pr imele trei ecuat i i g i u l tamele trei , avand in vedere ca

. i ; ; ;R.2 - R r r . R23 R , , 9 t de asemenea M . , ^ M . , * r . , .

Me1nr,) = -Me(*r1 se obl ine:

: : . ; . ; . aRo R i R !+R i .No 0

M, rM^ - M , M^ - M , M^ - [ / ^ . O^ | . t ^ l ^ . 1 - ^ l ^ J A | | \ D |

(6 2)Relatiile (6.2) reprezinta conditia ca torsorul fonelor efectiv aplicate 9i

din legeturile exterioare se fie nul.Echilibrul sistemuluise poate reduce la echilibrul unui presupus solid,

rezultat prin solidificarea sistemului de corpuridat. Rela(iile (6.2) reprezinteteorema solidificdrii qi care se poate enunla astfel: conditiile de echilibruale soliduluj sunt necesare gi sistemelor de solide.

Dacd sistemul de corpuri este in echilibru, atunci fiecare corp se vaafla in echilibru (in conformitate cu definitia echilibrului unui sistem decorpuri), de asemenea gi pdrtile componente ale sistemuluivor fi in echilibru.Din sistemul de n corpuri prin solidificarea cate n-i (i = 1 ,..., n-1 ) se obtin ksubsisteme denumite pa(i (k < n). Fiecare parte va fi in echilibru. Deexemplu: solidificand corpurile (Cr)$i (C,), echilibrul acestei pirti, rezultdmatematic la a scrie suma primelor doua ecuatii ii a ecuatiilor patru gic inci din (6.1), obt inandu-se:

Ro+Rf+R !+R . , - 0M, M^, - , r M, . M^, . M^. o

A l F . ' - A t ^ . I A t ^ . , l

Astfel s-a demonstrat teorema echilibrului pertilor: daci un sistem decorpuri se gesegte in echilibru sub acliunea unor fo4e atunci 9i o pa(eoa recare a sistemului se va afla in echilibru sub actiunea fortelor aferente ei.

6.2. APLICATII

Probleme rezolvate6.2.1. O sfere omogena de greutate G se spnlina pe cubul de greutate

P gi de un perete vertical (fig.6.3.a). Cubul este legat de perete printr-obare BC, realizand echilibrul sistemului. Neghjand frecarile sa se deter-mine tensiunea din bara.

123

(6 3)

Page 124: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

't24 MEcANTcA

Fig. 6.3 a

Rezolvare:Pentru a studia echilabrul corpurilor componente ale sistemului se

aplicd teorema echilibrului pertilor. Se izoleazA fiecare corp (cubul 9i sfera)trecand toate forlele care ac!ioneaza pe fiecare din ele. Se scriu ecualiilede echi l ibru:

a) pentru cub:

I x - o :T N^ s i n t r o/2

Fy o : N-P N^ cosu o/2

) Mn . 0 :P ] Nx T .b .No .as inu -0I

b) pentru sfere:

Ix -o ;Nos inu N. -gfv . o :N^cosc G-o/ r l

Dupd rezolvarea sistemului de ecua!ii se oblin:

Nn - ;N ,

G . t go : T G t ga :cos (I

P^ G(a b)N -P+G.X - - ' t ou

2 (e+G) P+G

Page 125: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

6. Srarrcl SrstetteLon or Solto: Rtctot 125

o N,

\ ., ct\ n ,x-'

Fig.6.3 b

6.2.2. Pentru sistemul de bare din fig. 6.4a cunoscand P = 24N,q = 8N/m, a = 4m, sd se calculeze reactiunile interioare 9i exterioare.

Fg 6 4 a

RezolvareUtilizand teorema echilibrului pertilor se izoleaza barele 9i se trec

forlele gi reacliunile care aclioneaza pe fiecare dintre ele, dupa care sescriu ecuatiile de echilibru:

Page 126: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

126 MEcANlcA

Xo+3aq+Xr -0

Yo +Yr -9

3aq . l + XR .3a Mo - 02

X r + X r - Q

YE P Y8 -0

P . a 2 a P Y . . 3 a - 0t;

X, 4J3P '^-

P 2P r X, 0

- 1Y. -4../3P. -Y- -0'2

t;4xF 3a.2P 2a.P-a.afae f -0.

T ' .

N F---->

I t

X, J t

X

vP

2i

L

Fig 6 4b

Page 127: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

5. Srlrrcr Srsremeron or Soltoe Rtctoe 127

in urma rezolvdrii sistemului de ecualii se ob!in:

X o = 3 a q + 9 P ; Y o = ' 1 , 3 3 P ; M A = 4 , 5 a 2 q 1 6 , 5 P ,A A

Ya= 5P;

YA=tP ;

X a = X r = 5 , 5 P ; X F = 3 , 5 P ;

x^ 5 .5P 3ao . Y . 1p . v . 1p .zJsp .'33

Probleme propuse

Fi9.6.5.

1. Determinali reacliunile necunoscute pentru sistemulde bare din fig. 6.5.Raspuns:

r r ( \ \Y . - U d l - l c o s ' n I' 4 ' 2 \ 4 )

1 1 , 1 \\ -

' ( ) t

' G l I

- - c o s s I' 4 ' 2 \ 4 )

x , = x , , = l G r i n 2 o8

1 1 \Y , , - G I l c o s ' n I, ,

\ 4 )

N , . = l c " o s a' 4

..-A ,J . )

r\.

42a3 -

o2

d_s3

Gzo3

Page 128: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

128 MEcANTcA

2. Se considere bara AB de greutate negluabila, sustinute prin trei tije(fig.6.6)aticulate in C $iD. Asupra bareiactioneaze fortaconcenkata P = 80kN,forta distribuita q = 20kN/m Si momentul M = s0kNxm, iar unghiurile a = 30" 9ib = 45'. Se se determine eforturile din tije dacd | = 5m, l,=1m, l,=1m.

Raspuns:

N - 98,45 kNN1 - 69,83 kNN, = 65,93 kN

3. Trei bare fdrd greutate proprie, cu lungimile: AC = 41, BD = 21,

Ct= 4lJ, stau in echilibru ca in figura 6.7, fiind aclionate de o fo(i 2P

DEorizontala la = Si de forla P la jumdtatea barei BD. Bara BD este

zarticulatd la jumatatea celorlalte doud bare.

Sd se determine reacliunile din A, B, C, D, E.

Page 129: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

6. Snncl Srsreu:lon or Soltoe Rtcroe 129

Rdspuns:

Px^ 2P.Y^- .

tt

PX"=4P: Y" - ;

2P

X"=2P: Y"=- ,4

Xo :4P ;P'D r '

N, = : '' 4

Fi9.6.7.

Page 130: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

7

ECHILIBRUL CU FRECARE ALSOLIDULUI 9l AL SISTEMELOR DE

SOLIDE

7.1. FRECAREA DE ALUNECARE

in cazul cind intr-un reazem simplu migcarea de alunecare esteimpiedicate, atunci, intocmai ca in cazul punctului material, pe langa

reacliunea normald N va acliona 9i o forla tangenlrala i care se oprn.tendinleide alunecare, alcarei modul, potr iv i t experientelor lu i Coulomb,este limitat potrivit inegaljtdtii:

t+ .-,l r a p r \ l

Coeflcientul p are valoridiferite in cazul repausuluigi al mrgcdrii in repausel poada numele de coeflcient de aderenle $0, iar in migcare numele decoeficient de frecare de alunecare dinamic Fd. Experienta arata ca po > FdProblemele de frecare de alunecare introduc necunoscute in plus (forleletangentiale) 9i inegaliteli. Din aceaste cauza problemele respective sunt ingeneral nedeterminate. Ele pot fi determinate in cazul in care se cautaconfiguraliile de echilibru la limita gi cand corpul este gata sa alunece.

Complicaliile fa!5 de cazul punctului materaal constau in faptul ce uncorp poate fi spr|Jinit in mai multe puncte, deci aparin problema mai multeinegalitatide forma celei de mai sus.

in funclie de natura materialelor suprafetelor care vin in contact, valorilecoeficientilor de frecare de alunecare sunt prezentate in tabelele dinmemoratoare.

Page 131: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

7. EcHtLtenuL cu Fnrclne

7.2. FRECAREA DE ROSTOGOLIRE

Presupunem ca intre o roate gi un plan orizontal se realizeaze contactul

intr-un singur punct (fig.7.1). in axul O roata este solicitatd de sarcina G

gi de forta orizontali F care tinde sd deplaseze roata pe orizontala.

Fig 7.1

Corespunzator acestor acliuni,. _ . . =apar ronere 0e regalura N gr | . aorca

reacliunea normale respectav forta defrecare de alunecare in punctulA

Pen t ru ca roa ta sa nu serostogoleasca (sa fie in echilibru),trebuie ca suma momentelor tuturorfotelor in raport cu un punct sa fie nula.

Alegand sd scriem ecuatia demomente in punctulA. atunci Fxr = 0ceea ce este posibi l dacd F=0,(deoarece raza rolii nu este zero).

Se cunoagte din practica faptulce echi l ibrul poate exista gi candasupra rolii a4ioneazd oforta orizontalanu prea mare. S-ar parea ca avem oneconcordantd intre teorie gi practica.

Pentru a ne apropia de realitatemodelul aratat in f ig. 7 '1 t reburecorectat. in aceste scop vom tineseame de deformaliile rotii gi ale ceiide rulare. Datoritd acestor deformatiicontactuldintre roatd gicale se va facepe o suprafale in jurul punctului A.

in fiecare din cele "i" puncte de con-tact se introduc componentele [, 9i

f l t tg. l .2) React iunr le N, suntdistribuite neuniform pe pata de con-tact ceea ce conduce la deplasarearezultantei N faF de diametrulverticalal rotii cu "s" in sensulfortei motoare.

131

/s-_{

" )

TN

Fig 7.2

Page 132: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

132 MEcaNrcA

Cu o buni aproximare suportul+ . :rezultanter T a fortelor T, poate tr

considerat cd trece prin punctulADace reducerea sistem u lu l

fortelor de legetura se face in punctulteoretic A, (fig.7.3) atunci in A se vaintroduce un moment numit momentde frecare la rostogol i re avandva|oarea:

M , = s .Nunde s se numegtefrecarii de rostogolire.

Fi9.7.3.

7.2.1. Studiul rot i i t rase

Se considera roata trasd a unui vehicul (fig.7.4). Presupunem c; tendintade alunecare este in sens ascendent, iartendinla de rostogolire in sensulorar

Reacliunile care apar t t, i, M, , sunt indicate in figurd, iar ecuatiile de

echilibru sunt:

(7 't)

coef ic ient al

)X , - 0 : F .Gs ino T 0

Iv , - o ; N Gcosa: o

) t t t ^ - 0 ; M ,+Gs inc . r F . r=0

T<p NM, <s N

Rezolvand sistemul de ecuatii oblinem:N=Gcosa , T=F Gs ina , M , -F . r r .Gs inu

9 iF Gs inc r < p .Gcosc r ; F . r G . r s i na < s .G

explicitand, forla de tragere F este:

f r sc ( s i n "+Fcos . r ) ;I< / c t

i F < G s inc r + : cosa ]l \ t . /

(7 2)

Ft-_r

" )

A

\ 7 /

; AT M

N

(7 3)

Page 133: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

7. EcHTLtsRUL cu FREcaRE 133

Cea maimice din condiliile (7.3)este hotdratoare, astfel ca Pentru:

a) t l > hotdratoare ester

conditia( . \

F < G l S l n L ( + C O S G\ r , l

iar roata se va rostogoli cand Fdepa$este aceasta limite.

b) f t < hotdratoare ester

condilia

F<G(s inc+pcos t r )

roata va aluneca dace F depagegte aceastd limita.

7.2.2. Studiul rotii motoare

Considerdm roata motoare a unui vehicul, asupra c5reia actioneazdgreutatea aferenti G, reac,tiunea vehiculului tractat F gicuplul motor M (fig.7.5).

Fi9.7.4.

Page 134: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

134 MEcANTcA

Rezolvare:

Reactiunile N, i, M, au sensurile din figurd. Condiliile de echilibru se

scriu sub forma:

! x 0 T F Gs in r r - 0/ J " l

IY=o; N Gcosu-o' +M , M=O Q4)

T< p NM, <s N

Rezolvarnd sistemul se obtine

T -F+Gs ina ; N=Gcosa , M ,=M F . r r .G s i n oapoi

F+Gs ino< g .Gcos t r ; M -F . r G r s i no<s .Gcos t rdin care rezulte:

F < G(g cos rr sin c)

M < F . r + Grs inc r + sG cosc r .Din a doua inegalitate rezulte valoarea minimd necesare momentulul

cuplului motor, pentru ca tractarea (remorcarea) sd fie posibild:

v- r ( r *c" ino*9c"o"o)

( 7 5 )

( 7 6 )

(7 8)

(7 7)

Din (7.5) rezulta valoarea minima a coeficientului de frecare u ca fiind:

F+Gs in r r-

GcosrtDacA I este mai mic decat aceasta valoarea, tractiunea nu este

posibila indiferent cat de mare este valoarea cuplului motor. De exemplucand rotile motoare ale unui automobil sunt in contact cu zApada inghelateuna dintre ele se invarte pe loc, automobilul nu se poate deplasa, dincauza valorii mici a coeficientului de frecare dintre cauciuc si zaoadainghelate.

Page 135: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

7. ECHTL|BRUL cu FRECARE

7.3. FRECAREAiN LAGARE

7.3.1. Frecarea in lagirul radial

Se intalnegte fie in cazul migcarii fusurilor mobile in lagere radialefixe, fie la migcarea rolelor mobile pe fusurifixe; migcarea poate fiin acelagitimp rostogolire 9i alunecare in cazul lagerului cu joc, sau numai rostogolirein cazul lagirului strans.

ln cazul lagerelor uscate sau semiuscate se vor aplica principiile frecariiuscate care conduc la rezultate aDroximatave.

in fig.7.6a s-a prezentat o secliune perpendiculara pe axa unui lagarcu joc 0ocul este cu mult exagerat).

Teoretic, contactul dintre fus gi cuzinet se face dupd generatoareacare trece prin C (fig.7.6c), dar practic dupd suprafata calotei cilindriceCC, pe toata lungimea lagerului .

Fortele care solicite fusul se reduc in punctul O la torsorul format din

P 9i M" . Elementele mecanic echivalente ale fo4elor de legatura in raport

cu un punct oarecare al zoner de contact Co ( frg.7.6b) sunt i .N.M,.

a. D.

Fi9.7.6.

Relalii le pentru echilibrul fusului sunt:

135

Page 136: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

136 Mecauci

(7 e)

Pentru echilibrul fusuluitrebuie satisfecute ultimele doua ecuatii din

[N Pcosa - 0T Ps in ( I = 0

J Mo +M, +P. rs ino = 0T_ .p .N

lM, <s N

(7.9). Din rezolvarea sistemului (7.9) rezulta:

M^ < P.r f s in a + 9"oro l' l -

- ' r - - - - ' )

Ig(I < ft

9 i

s ing= +=^ ; cosc= 1

Jt * p' !q. rf

(7 10)

(7.111'

(7 12]'

5

F +, fNotam F' r - - - i - g i in locuind(7.12) in(7 10)seobt ine:

t / 1 + P '

M o < M , = p t ' . P . r (7 13)

In relatia (7.13) p' se nume$te coeficientul global alfrecarii din articulatie,iar u'.P r reorezinta valoarea maximd a momentuluifrecerii din articulatie.

7.3.2. Frccarca de pivotare

Considerem un arbore verticalavand sectiunea transversale inelara carese sprijini intr-un lager (fig.7.7a). inke toate punctele de contact dintre arboregi lager presupunem ca existd coeficientul de frecare de alunecare trr gipresiunea p, aceiagipe toata suprafalade rezemare. Razele coroaneicircularesunt notate cu R respectiv r.

Elementul de arie este:dA - p .dp .de

Reactiunea normald pe elementul de arie se scrie:(7.14)

Page 137: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

7. EcHrrrsnul cu Fneclnr 137

Momentul fati de centrul O al fortei de frecare elementara estel

d M o = p . d T - p 2 p p d p d 0 (7 17)

Momentul cuplului de frecare (de pivotare) va fi suma acestor momenteelementare:

dN=p .dA-p .p dp .d0iar fo4a de frecare corespunzatoare

dT -p .dN=F .p .p .dp .de

i n l o c u i n d r e l a t i a ( 7 . 1 9 ) i nexpresra ( / .1 8) rezul ta momentu lcuplulur de frecare de pivotare caf i ind:

Presiunea

N'

nlR' r t , |

\ /

nr^ -?ur. rR] t ]" 3 R ' r '

?M- - : uNR

J

scrise sub forma:

Mp=v N

(7 15)

(7 16)

(7 20)

(7 21)

(7 .22\

2 '^.,- n u D I K -2 n R

f t . . f . ^ | .l l u 0 o ' . do .du -u P l ou lF -

0 r

' . t )

(7 18)

(7 1e)

Dacd sectiunea transversale aarborelui ve( ical este circulare,atunci r = 0, iar din (7.20) se obtine:

Formulele (7.20) gi (7.21) pot fi

i n ca re v poa r te nume le decoe f r c ren t de p rvo ta re g i a reexpresiile:Fig 7.7

Page 138: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

138 MEcANTcA

2 R 3 1 3 )r , - l u ' ^ ^ S i v= :uR

3 R ' - r ' 3 '(7 23)

corespunzatoare arborelui cu sectiunea transversald o coroana circulard9i respectiv o sectiune transversala circulara.

7.4. FRECAREA FIRELOR

in cazul maginilor simple in componenta cerora intrd cabluri, funii, curelede transmisie, benzi de franare, aceste elemente pot fi modelate prin fire. Oprobleme importanta care se pune este impiedicarea aluneceria lor pesuprafelele pe care sunt infegurate pentru ca maginile simple respective sdpoate funcliona in conditii optime. Din aceasta condilie rezulta necesitateastudiului frecdrii firelor

Sa consideram ca la periferia unuidisc de raza R este infagurat un firflexibilgi inextensibil (fig.7.8). Coeficientul de frecare la alunecare este fr,iar unghiul de infagurare (unghiul la centru) este a. Tensiunale din fir sunt T,9iT, (presupunem T,<T,

Fi9.7.8.

Pe un element de fir (fig.7.8b) corespunzator unghiului la centru d0,actioneaza:

- eforturile S gi S + dS corespunzatoare unghiurilor 0 respectiv e + de;- forta de reactiune normale a tamburului este dN;

Page 139: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

7, EctttLtenur cu Fnecane

- fo(a de frecare la limita de alunecare F.dN.Ecualiile de echilibru ale firului pe direclia tangenliale Si pe directia

normalS sunt:

139

f r o, scos dA r u dN - ls - dslcos

du o:

L ' " " " " ' 2 F - ' \ v " " ' " " " z

lr, o: oru ssin f -(s . os)sin dj o

Sti ind ci sin{=99. "o"

99 = 1 se obtine:'222

p d N d S = 0

dN s do ds ?=o

(7 221

(7 23)

/.lQ= U O U

SPrin integrare:

' i ds ; .

l = t , . l oui r ;

obtinem relatia lui Euler:

T , = l . e t ' " ,

Neglijand infinitii mici de grad superior 9i fecand raportul ecuatiilor,rezulle.

(7 24),

(7 25)

(7 26)

penku T, forta motoare gi tendinta de migcare spre stanga a firului.Unghiul o de infagurare este in radiani.

7.5. FRECAREA PE PLANUL INCLINAT

Planul inclinat este utilizat pentru ridicarea sau coborarea corpurilor.

Problema care se pune este de a gasr valoarea fo4er F necesara ndicdrii

greutatii Q (fi9.7.9) Asupra corpului mai aclioneazd reacliunea normald a

planului N gi forta tangentiala i . Ecuatiile de echilibru dupa direclia planului

s a u I n S T 2 = u . uT,

Page 140: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

14 MECANcA

incl inat gi perpendicular pe el , cutendinla de urcare pe plan sunt:

P Qs ina T -0N Qcosa = 0T<p N

(7 27)d in ca re se ob t i ne ( l a l im i taechi l ibrului) :

P - Q(sina + p cos n)

(7 28],Notand P - tgQ (a- unghiulde

sin(tr + ,o)D r \

cos (P

in relalia (7.29) pentru ca P < Q

sin(a + ro)

cos q

F i g . 7 . 9

frecare) rezulta:

este necesar ca:

(7 2e)

(7 30)

Atunci cand relatia (7.30) nu este indeplinita, P > Q, adicd fo(anecesara pentru a ridica corpul pe planul inclinat este mai mare decatfo4a necesari pentru a-l ridica pe verticald gi prin aceasta planul inclinatnu mai este avantajos.

7.6. PANA

Este un element de imbinare demontabi le ( f ig.7.10a). Se monteaza

prin batere (de exemplu cu forla P ) intre doue piese (A) gi (B). in cele maimulte cazuri baza penei este un triunghi isoscel. Asupra suprafetelor celordoue piese cu care este in contact pana actioneaza prin presiuni normalegi forte de frecare. Considerand unghiul la v6rfal penei ca fiind 2u, notand

/ - \s in (u+q) .

" i " l | , r , J , dec i : c+2tp<I

Page 141: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

7, EcHrLrenul cu FREcARE 14'l

reactiunea normale N, gi fo4a de frecare pN, intr-un punct i de pe suprafalalaterala a penei, atunci pe drreclia verticala se obtine ecualia:

P+2(f r . r )s in.r z( l r ,n)cos" -o

S i :

e - z(1ru )(sin" + p cos o) (7 31\

I N

lAtTr l r : f ' r \

c,o,

Fi9.7.10.

Pana impinge lateral una din piese cu fo4a Q care se obtine din ecuatiade proiec(ii pe orizontale (fig.7.10c).

o { f ru ' lcos" . { f uN )s ina o

\ / - ,1 ' l \z- , ' ' l

de unde:

o - (I * )(cos " r, sin ")

iar p = tgrp (7.32)

impertind relatia (7.31) la (7.32) rezultd:

P=2Qsrn d. + fr cos (1- 2a ts(o +q) (7 33)a n q , / l q l n d

Se observe ce pentru aceiagi fo4i de batere P se obtine o presiune Qcu atat mai mare cu cat unghiur i le u 9i 9 sunt mai mici .

Cand pana se scoate dintre pisele (A) Si (B) se schimba sensulfo4elorde frecare gica urmare:

P = 20 .ts(a - e) (7 u)

Page 142: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

142 MEcAr{rcA

7.7.9URUBUL

9urubuleste un cilindru circular drept, pe suprafala ceruia este prelucratin forma de elice un canal care se numegte filet.

gurubul se asambleaza cu o piesd numiti piulile. Aceasta are unalezaj (gol) cilindric pe suprafala cdruia este prelucrat un filet, avandaceleagi elemente geometrice ca gifiletul gurubului.

Privitor la ansamblul gurub - piulitd se pot intalni urmatoarele cazu ri:a. piulita este fixd iar gurubul are o migcare elicoidale (rotatie in jurul

axei sale gi in acelagi t imp o translat ie in lungul ei) ; de exemplu: presa cu9urub, gurubul de presiune;

b. gurubul este fix gi piulila are migcare elicoidale, ca in cazul guruburilorde asamblare:

c. piulita are migcare de rotalie gi gurubul migcare de translalie cumeste gurubul binoclului ;

d. qurubul are migcare de rotalie iar piulila migcare de translalie ca incazul gurubului conducator de la strung.

Presupunem piulita fixe iar gurubul mobil (fig.7.11). Rezultatele stabilitevor fi valabile gi in celelalte cazuri.

Asupra gurubului actioneazd;- un cuplu motor situat intr-un plan perpendicular pe axa gurubului

(transmis de cheie) al cArui moment este P.l;- forta rezistenta Q, pe directia axei gurubului gi cu sens contrar sensului

de inaintare al acestuia,- in lungulfiletului uniform distribuite, reactiunile flancului piulilei asupra

flancului filetului tr,l, 9i F,.Pe un element de filet dS (fig.7.12) actioneaze reactiunea normald dN

(dupe normala la elice din planul tangent) 9i fo4a de frecare la alunecare dF(dupatangenta laelice)avand sensulcontrar tendinleide migcare a gurubului.

Scriem doua ecualir de echtltbru gi anume:- ecuatia de proiectie pe axa gurubului,- ecuatia de momente in raport cu axa gurubului.

Q - l dNcoso - l dFs ino 0(6) {6) (7 35)

? f

P l l dNs inu r l dFcosa . r 016r r6 t

Page 143: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

7. EcHTL|BRUL cu FRECARE 143

9 i : dF = p .dN

Fiq.7.11.

Dupa inlocuire rezulta:

q - (cosc psincr) Joru( s )

P l = r(sinu + pcos") Jar.r( s )

Tinand seama ca p - tg9 9i impa(ind relatiile din (7.36) membru cumembru, se obline:

e flts(" +,r') (7 37)

tn care:r - este raza gurubului,u - unghiul el icei ,e - unghiul de frecare.Relatia (7.37) indici valoarea lui P la limita echilibrului, cand gurubul

incepe sa avanseze in sensul fo4ei PLa dequrubare fortele de frecare igi schimbe sensul astfel ca se obline:

Fi9.7.12.

(7 36)

Page 144: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

14 MEcANTcA

Dacd P are valoriin afara acestuidomeniu, gurubul se migci accelerat fatide piulita. in acest caz fo(a Q cerute se obtine cu valoarea extreme a lui P:

t-T'nt' t)Pentru echilibru gurubului domeniul valorilor lui P este:

Trn(" *)<e<9ts1o*,p1

e",, =f tq"*,p1

(7 38)

(7 39)

(7 42t

(7 43)

(7 44)

(7 40\

Cand o < e valoarea minime a lui P este negativd, atunci gurubul ramanein echilibru. indiferent de valoarea luiQ. Este cazulautofixarii. ink-o asemeneasitualie, pentru degurubare pe bralulAB trebuie sa actioneaze o forta minimaavand sensul contrar lui P

7.8. SCRTPETI

Peste scripetele din figura7.13. este trecut un f,r, avind la unadin extremititisarcina care trebuie ridicata Q, iar la cealalta extremiiate fo4a motoare P

Tinand seama de frecarea din axul scripetelui, ecuatia de momente inraport cu aceasta este:

P R + Q R + p , N r = 0 (7 41)In care:

R este raza scripeteluir reprezinte raza axului (fusulul)$1 coeficientul global de frecare din axul scripetelui.N este valoarea reactiunii normale a axului asupra scripetelui, cu:

N = JP'? + Q'z+ 2PQ cosei

daca cele doua forte (P $i Q ) sunt paralele, atunci:N = P + Q

gi in locuind relat ia (7.43) in (7.4 ' l )se oblane:

^ R+p , . r ^R_p1 . r

Page 145: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

7. EcHrrrenur cu Faeclne 145

F i9.7.1 3.in realitate cablul opune o rezistenta la incovoiere, numita rigiditate

funiculard; acesta este motivul pentru care, in potiunile in care se infdgoardsau se desfdgoard (BB1 respectivAAl), curbura cabluluivariazd continuu.Ca urmare in partea unde se aplicd forla motoare, firul se apropie de axulscripetelui cu e,, iar in partea unde aclioneaza forla rezistenta, firul sedeperteaza de axul scripeteluicu s, (fig.7.14).

Ecua!aile de echilibru la limite devin:

P (R - c . ) a (R ' e , ) F , . r 'N o

9 i N = P + Qde unde fo4a motoare:

^ ^R+e ,+p , rl - = L l

-

R e , - P , ' r

. R , c " u , . fNotand cu /- -

t.K 1 2 F ] . r

(7 45)

(7 46)

Page 146: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

146 MEcANrca

Fiq.7.14.

a tunc i P - l .Q (7 47)in care ). line seama de rigiditatea funaculara gi de frecarea din articulatie(se observa ca ),>'l ).

7.9. APLtCATtI

Probleme rezolvate7.9.'1. O bara A1A, de greutate G gi lungime I se sprqind cu frecare in

A j pe un plan orizontal ii in A, pe un plan vertical (fig.7.1 5).Coeficienlii de frecare fiind p, 9i p/ se se determine valoarea minima

a unghiului L( penku care bara ramane in repausRezolvare:Ecua,tiile de echalibru sunt:

Tx =o: N^ T.-oZJri- rr)Y 0 , Nr .T2 G o

I) Mo O : G^cosu N , l s i nu T r . l cosa -0

zI < p 'N,Tz ( FzNz

Page 147: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

7. EcHrLrenul cu FREcaRE 147

Dupa rezolvare se obtine:

1 u .u , 1 u ,u ,to(a ' ' SaU . I - arctq-

21., -

2lt,

7.9.2. Pentru rulmentul cu bile al unui lagar, se se determine valoareamomentului de frecare.

Rezolvare:Presupunem ce sarcina radiala a rulmentului este preluatd de o singurd

bi ta.intr-un punct de contact intre fus gi una din bilele rulmentului se

dezvolta: reactiunea normale N, , fo4a de frecare T, , momentul de frecare

rvr (ng / . r ba).

Page 148: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

MEcANicA

Fi9.7.16.

Scriem ecuatia de momente fala de centrul O al fusului gi fald decentrul Oj al b i le i :

9 l

M, : s,N,Ml - szN,

in sistemul de ecuatii s-a considerat cazul limite, cand fusul 9i bilelesunt pe punctul de a se rostogoli: S-a notat s1 coeficientul de frecare larostogolire intre fus gi bila, iar s, coeficientul de frecare la rostogolire intrebild gi lager. Dupa rezolvarea sistemului se obtine:

/ ^ ^ ^ \trrt, r lFru ll

sr ' 5z > l' ' u ' ' \ 2 r , r )

7.9.3. Sd se determine cuplul M necesar rotatiei uniforme a arboreluidin figura, cunoscand cd fo4a sa axiala P este suportata de un pivot conic.Presiunea pe lagdr este constanta, iar coeficientulde frecare este $ (fig.7.17).

Rezolvare:Pe un element de arie dA actioneazd forta de frecare elementara

dT = p r . dN = p .p .dA - p p .p .dp d0Ecuatia de momente fati de O este:

u, =(11) r+) t r , t ,T.2r , M, Mi 0

Page 149: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

7. EcxrrreauL cu Fntcaae 149

dM-p dT=p .p .p ' . dp .d0Pentru intregul pivot:

v: jorr,r=u nJr( s ) t 1

d ; d ;

A , A ,

2 n-dp

l 0u -J0

PLP3 sin tr

Fig.7.17.

in relalia cuplului M s-a notat prin d1= 2r, gidr= 2r, iar presiunea p pesuprafata elementard este:

n -A s rn ( l n {d j - d i l . s i n r r

7.9.4. Determinativaloarea fo4ei P necesare pentru franarea volantuluidin figura 7.1 8. Coeficientul de frecare intre bandd 9i volant este p.

4P

Page 150: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

150 MEcar.rcA

Fi7.7.18.Rezolvare:Se sectioneazd banda gi se introduc tensiunile Si, SlEcualiile de momente pentru volant 9i parghie sunt:

M S,R+ SrR = 0Pb + S ,a 51 (2R a ) =0

Tinand sema de rela!ra Euler

Sr - Sz €r'nse oo!ne,

Mflzn a1g"' alp _ r . l

Rb(eF 1)

7.9.5. Pentru sistemul de scripeli din figura 7.19 format dintr-un scripetefix gi trei scripeli mobili (palan exponenlial), sa se gdseascd valoarea fortei Pnecesare ridicdrii unei greutati Q.

Rezolvare:Dupd seclionarea firelor gi introducerea tensiunilor se scriu ecuatiile

de echilibru oentru fiecare scrioete:

Page 151: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

7. EcHrlrsnur cu Fneclnr 151

P=),1l +Tr -T ,l - l r ,T .+To=T ,Ts = lTnTu+Tu=qTs - lTo

Rezolvand sistemulde ecua,tii rezultd:

1 4

(r" + t)-Generalazand pentru n

scripeli mobili:

7.9.6. Pentru palanulcu mufle din fig. 7 20 sdse determine valoarea Pnecesa rd r i d i ce r i i unu isemifabricat Q.

Rezolvare:Se observe cd aceaste

constructie de palan esteformatd dintr-un sistem de2n scripeti, in doud varianteconstructive: n scripeti ficgi9i n scripeli mobili.

Se secfioneazi firele,se introduc tensiunile gi sescriu ecualiile de echilibru,avandu-sein vedere cesubactiunea fo4eiP este ridicatsemifabricatul Q impreuneFiT.7.19.

Page 152: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

152 MEcaNrcA

cu mufla mobile.Q = T i + T ? + T 3 + T 4 +

+ T + T' 5 6p= lT rT, = )'T,Tr= )'T,T. = ),T.To = )'T'

Rezulti dupd rezolvare:

).6(l 1)P_o i iDaca sistemuleste format din 2n

scripeli, atunci:):^(")" 1\

r = \ l -

7.9.7. Pentru scripetele diferentialdin fig. 7.2'1. peste care este infeguratun lant, sd se gaseasce vabarea fo4eimotoare P

Rezolvare:Scr i ind ecuat i i le de echi l ibru

pentru troliu gi pentru scripetele mobil,se obt ine:

T r ' r +P .R - l R=0T r T _ n n

dar 9r:f t - )"Tz

r d r u u P c r E . u r v d r s .

P }

K ( r + /

R)" rRaportul - se nume$te raport de demultiplicare, constituind

r ( t r+^ , ,o principala caracteristicd a scripetelui diferenlial.

Fig.7 20.

Page 153: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

7. EcHrLtsRuL cu FRECARE 153

7.9.8. Determinati valorile raportuluiP/Q pentru care sistemul din fig.7 .22.este in echilibru. Se cunosc: coeficientulde frecare la alunecare pe planulinclinatp, 9i coeficientul global al piederilor dinscripete )..

Rezolvare:Considerdm cd P are tendinta de

cadere Si Q se afle la limita echilibrului.Dupa separa rea co rPur i l o r . P r i nsectionarea firelor. se scriu ecuatiile deechilibru pentru fiecare corp, rezultand:

lQs in0+u N T3=0lN ocosc - 0] r " R-r , r" r=or.+r- i -olr, - r",

de unde dupd rezolvare se gese9te:

I l r l . t r ) (s ina pcosa)Q R '

Admitand cd tendinta de migcare arfi opuse (P are tendinla de a urca peverticale), atunci sistemul de ecuatii este:

lQs ina u N T .=0I

lN Q cos et - 0IT " r - IT , Rf , + f " P -O

lT, - l"T1

9i deci :

p r ( t+L ) .' : r l S l n u - U C O S f t loRxSe observa cd nu forta P i9i schimba sensul, ci cd este necesara

conditia a>p pentru ca migcarea in al doilea sens sa poate avea loc.

Fiq.7.21.

Page 154: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

1y MEcAfircA

Fig.7.22.

Sistemul remane in echilibru dace este indeplinita condilia:

. { 1+ ) .1 . P' . ' ' ^ ' - : ' { a i n , , ucosu l ' '

t . l f i ) l s i na r ucosu }R T OR

7.9.9. Tamburul din fig. 7.23a este actionat de momentul M. Sa sedetermine valoarea minima a fortei F necesara pentru franarea tamburuluicunoscend cd ! este coeficientul de frecare intre sabotul de frane gi tambur,iar i. este coeficientulglobal al pierderilor in scripeti:

Rezolvare:Se izoleaza corpurile gi se introduc reactiunile necunoscute.Sistemul de ecuatii de echilibru va fi:

tr_=,"r1

r 1 + r 2 : r 3

T .R_M - O

lT . . l +T .b Na -0

Page 155: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

7. Ecxrrrsnur cu FRECARE 155

iar la l imi ta ech I bru lu i T = t rN.

Rezolvand sistemul de ecuatii se obline

t^\

Fig. 7.23.

M).'?(a - pb)

p n . ( t+r )

Page 156: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

156 MEcAr{cA

Probleme propuse1. Pe o suprafale avand configuralia reprezentate in fig.7.24, se

reazdma in A 9i C o bara de greutate P gi lungime L.S5 se determine reactiunile din A 9i C ca gi unghiulJ pentru pozitia

de echilibru limita (cand bara este gata sa alunece), cunoscand coeficientulde frecare m inke bara Si suprafata.

Fi9.7.24.Raspuns:

P INo-^ tg \ , ' ( t g , t F )

z l rP I

N . = l s i n r ozr

2. O bara AB = | de greutate Q, inclinate cu a fata de orizontale, estesimplu rezemata cu frecare in B (coeficientul de frecare fiind p) gi farafrecare in A. De capatul A este legat un fir la capitul caruia suspendegreutatea P Se se determine limitele intre care trebuie se varieze P pentruca bara sa ramane in echilibru (fig.7.25)

Rdspuns:a )n*

r P r *

2(tou u'l 2(too u I

3. Un troliu este franat cu ajutorul franei cu banda din fig. 7.26.Cunoscand lungimea L a barei OA de greutate neglUabili 9i coeficientulde frecare p dintre banda de fr6nare 9i roata, sa se determine valoareafo4ei F necesara pentru mentinerea echilibrului.

Page 157: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

7. Ecsrrranul cu Fneclne 157

Respuns:

- 2Qre"f' = ( e . -

Fi9.7.25. Fi9.7.26

4. Se consideri sistemul de corpuri din fig. 7 .27 , la carc se cunoscgreutdt i le G, Q 9i razele R=|, r=l /2, lungimi le OA = 41, AB=21, unghiul a gide asemenea coeficientii de frecare [, S. Se neglijeaza greutatea bareiOA si frecarea din articulatia O.

Fi9.7.27.

Page 158: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

158 MEcANTcA

Se cer:1. Valoarea maxima a greutatii P pentru echilibru,2. Recl iuni le din A;3. Efortul din fir gi reacliunile din B Si O.Raspuns:

- cR ( s )1 )H- " " -

r l s l n ( / t

Rcosu ,

2 ) . Xo = (G+Q + P )s i n o

Yo = (G+Q+P)cosu

3) Mn - G is inu - 2 l (G + 2Q + P ;cos , r P l

I s \ f R )X^ GL s ina r cosu l L l s i n t ' l Os rnu" \ K , / \ | )

a : p / "

\y^ - . '

1 s in . , , ] cos , , cos , , . Qcos , . ,' r \ K . /

5. Determinali fo4a minimi P 9i reacliunile din O, A gi B pentru poziliade echilibru a sistemului de corpuri dinfig. T .28. Se cunosc: greutSlile G =2 daN, Q = 20 daN, coeficientul de frecare intre tambur 9i tamponul defranare p = 0,1, unghiula=20' gidimensiuni le a = 100 mm, b = 200 mm.

Respuns:Pmin = 94 daNXo = 9,2 daNYo = -89,6 daNNA = 14 ,1 daNNB=-4 ,7daN

N = Gcosa

r, = Gf sina * 9.o.ol\R /

M, = sG cos q

Page 159: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

7. EcHrLrenuL cu FREcARE

Fi9.7.28

6. Care este valoarea forteiminime F care kebure aphcata la capetulA al parghiei din fig.7.29. pentru a frana greutatea q dac5 se cunoscrazele R gi r ale scripetelui, bralele a $i b ale parghiei, greutatea P gicoeficientulde frecare I dintre bande gi scripete.

Ftg.7.29.

E _ br .Rl ;r

-]aR[e '? ,)

Page 160: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

I

CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL

8.1. ELEMENTE GENERALE ALE MISCARII PUNCTULUI

8.1 .1. General i t i l i

La "Cinematica punctului material" se studiazd migcarea acestuia intimp, fard a lua in considerare cauzele migcarii, decifdrii a stabili legeturadintre forlele care actioneaze asupra punctului material Si migcarea acestuaa.

lvligcarea unui punct material este definite, cand este posibil la oricemoment t sd se determine pozitia lui fald de reperul ales.

Pozitia punctului material fata de reperul ales este cunoscuta dacdse define$te vectorul de pozilie i al punctului, fala de originea O a reperuluica funclie de timp

i = i ( t ) ( 8 1 )

F i g . 8 . 1

Page 161: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

8. CrHemlrrca PuHctuLur Matentnl

Rela!ia (8.1) reprezinta legea migcdrii.

in raport cu reperul cartezian (fag.8.1 ), funclia vectoriala i(t) poate fidefinita cu aJutorula treifunctii scalare:

x=x ( t ) ; y=y ( t ) ; z=z ( t ) ( 82 )Relatiile (8.2) reprezintd ecualiile parametrice ale migcarii.

8.1.2. Traiectoria migcirii

Loculgeometric al pozitiilor succesive ale punctului material in migcarese nume$te traaectorae.

Ecualiile (8.2) pot fi: o curb6, un arc de curba sau o succesiune dearce de curba.

Vectorul de pozitie i al punctului M in migcare pe curba (C) (fig.8.1)se scrie:

i = x(t) . i + y(t) . j + z(t) . t i (8.3)incare i , j ,k sunt versor i i axelor s istemului cartezian ( f ig.8.1).

8.1.3. Vi teza

punct material in migcare pe traiectoria C (fig.8.2).Presupunem cd la momentul t punctul

se afla in M, iar la momentultj se gdsegtein pozi t ia M] '

Intervalul de timp At = t1- t fiind foarte

mic, se asimileaza arcul MM1 cu coarda Ai.Varialia Ai a vectoruluide pozitie in

16; intervalul de timp At se numegte vitezamedie gi este defrnita de relatia.

161

Fis 8.2 u". = 4! (84)

Atunci cand intervalul Oe timp lt iiiOe spre zero, viteza medie tindespre pozitia limita, tangenta la traiectorie gi poarte denumirea de vitezainstantanee:

^ i d i .v = l f m = = f

rt+o At dt(8.5)

Page 162: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

1e. MEoANTcA

Vectorul viteza instantanee are punctul de aplicatie in M, suportultangent la curba (C), iar sensul corncide cu sensulde migcare al punctului.

Din relatia de definilie (8.5) rezulti ecuatia dimensionald a vitezei:

t v l = : = 1 . T 1. , 7

din M in M1 trecand de la viteze v

in M, la viteza vr = v + Av in M,(fls 8 3)

Acceleratia medie pe po4iuneaMM1 este data de relatia:

(8 7)

Limita acestui raport cand Att i nde sp re ze ro rep rez in teacceleratia in M:

lv dva= m = =v= r

8.1.4. Acceleralia

Se presupune ca in intervalul de timp At punctul material se deplaseaza

(8 6)

(c)

\ ".\

Fig 83

(8 8)ru+o At dt

Acceleratia este un vector a carei expresie matematica este derivatavitezei in raport cu timpul sau derivata a doua a vectorului de pozitae inraport cu timpul. Rezulta ca ecuatia dimensionala a acceleratiei se scriel

lal = t t 2 (8 e)

8.1.5. Componentele vitezei 9i acceleraliei in coordonateca rtezien e

in sistemul de referanta cartezian (fig.8.4) pozitia punctului M estedefinita de vectorul de pozitie:

r=x t+y l+zK (8 10)in care: x = x(t); y = y(t); z = z(t) reprezinte ecuatiile parametrice ale

trarectorier, iar versorii axelor fixe i,j.i sunt constanti in timp.

L

t -

Page 163: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

8. CrHemnrrca PuHcrurur MetentnL 163

M(x,y,z)

Viteza v se obline prin derivarea in raport cu timpul a vectorului de

pozi l ie i :

v= i = i i +y j +2kin care proiecliile vitezei pe axele sistemuluide coordonate sunt:

v x = i , v y = y , v z = z

Mdrimea vitezei va fi:

r - r----- 7- ^v = t / v f + v i +v i = l ; x ' +Y ' +2 '

In conformatate cu relatia (8.8) acceleratia se calculeaza ca derivataintara a vitezei, astfel:

a=v= r=X t+yJ+zk (8 14)

in care proiectiile acceleratiei pe axele sistemului de coordonate sunt:

(8.11)

(8.12)

(8 13)

a" = I , a , = i , a .=2

Nlarimea acceleratiei este:I ) l : , - ,a la i t a i ' a i , t * ' - r ' .2 '

(8 15)

(8 16)

Pentru migceri in plan se poate lua ca sistem de referinta sistemulxOy. in acest caz vectorul de pozilie al punctului M se scrie:

r=X t+y l (8.17)

Page 164: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

164 MEcaNrcA

Vectorul viteza se calculeaza

v= r=x t+yJiar mdrimea vitezei va fi:

coordonate polar pe n trustudierea miqcarii punctuluimaterial in plan (fig.8.5). Se

noteaza cu d, gi ri,, versorii

direcliilor razeivectoare i gia perpendicularei la aceastain sensul crescator a lui e.

P a n t . l . c o n l t a t , -" " r - . - - J

calcula viteza ga acceleratia ,-,t r e b u i e s d s e c u n o a s c 5 -

expresiile vectorilor e, gi e(l

ca giderivatele lor, astfel:

e r = c o s 0 i + s i n 0 j

d, , = s ine i+cose Jgi deci:

e r = - S t n t t U l + c o s o 0 J

(8 18)

(8 1e)

Vectorul acceleratie se va calcula astfel:

d - v= i i +y i j ( 8 .20 )

Marimea acceleraliei la migcarea punctuluiin plan se obtine:r - f -

a= r la i +aj = , l t< ' t i ' (8 21)

8.1.6. Componentele vitezei gi acceleraliei in coordonatepo la re

in unele cazur i este mai convenabi l se se ut i l izeze sistemul de

(8 22)

(8 23)

= e(- s ine. i + coso J) =e6{, (8 24l

= o(coso i + sine. J) = ea, 1a zs1

Fig.8.5

= cose .e . i s i ne . e j

Page 165: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

8. Cnelrarrcn Purclurur Mntentnu 155

Migcarea punctului M este determinata daca se cunosc coordonateler s i e in funct ie de t imp:

(8.26)Relatiile (8.26) reprezintd ecuatiile parametrice ale traiectoriei.Prin eliminarea timpului intre cele doud relalii, se obline ecualia

traiectoriei:

r= r ( t ) ,0=0( t )

r = r(0)

Vectorul de pozitie r = OM se scrie:

i = r . e ,

raport cu timpul:

t = i= i . d ,+ r e , = i ! , 1195 , ,

V r = I , V o = r 0

Modulul vitezei se obline:r - t -

, , 1 , , 2 , , 2 - t ; z , . z i zv + l ! r r r v

Viteza punctului M se obtine prin derivarea vectorului de pozitie in

(8 27\

(8.28)

(8 30)

(8 31)

(8 2e)Notand componentele vitezei in coordonate polare cu V.9i V" rezulta:

Acceleratia se obtinederivand in rapo( cu timpulexpresia vectoruluiviteza:

i = t i d , - i e , . i 0€ t , , r 0e , . r , r e , ( r r o t ) e , r ( z i u r r u )e , .

(8 32)Notand componentele acceleraliei in coordonate polare cu a, 9i a,

rezultd:

a , = i 162

a , , =2 i6+ r0

Modulul acceleralieiva fi dat de:

a , la l .a?. J( . .o ' ) ' . l2 ie-re l? (8 33)

8.1.7. Componentele vitezei 9i acceleraliei pe axele triedruluiF renet

Triedrul Freneteste un triedru mobil cu originea in punctul M (fig.8.6)avand ca axe:

Page 166: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

MecmrcA

- tangenta la curba, orientata pozitiv in sensul de cregtere al arcului s,al cerui versor se noteazd cu i ,

- normala, orientatd pozitiv spre centrul de curbure al traiectoriei, avandversorul notat cu v ,

- binormala, adicd normala perpendiculara pe planul format de versorii

i 9i i astfel ca triedruli , v, I s6 formeze un triedru drept. Se noteaza

cu I versorul binormalei.

Planrectifiant

Planosculator

165

F ig .8 .6

Migcarea pe curba (l') este definita de functia scalaras - s( t)

Relalia (8.34) reprezintA ecuatia orara a migcaflr.Viteza punctului M este:

, . ASV = l l m = S

\i '0 AtVectorul vitezi are expresia:

v=6 . i

(8 34)

(8 35)

(8 36)

Page 167: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

8. Cnemarrca Purcrulur MatentaL

Acceleratia se ob!ine derivand vectorul viteze in raport cu timpul:

d v b i d i ( 837 )

d i 1 -Dar: , = v

osp

r l i r lc I id e c i i = 1 : - _ . i . s = : . i , ( 8 . 3 8 )

ds dt p p

inlocuind relalia (8.38) in (8.37) se obtine:

. . . . 6 - - v 2 -a S I I v - V T I v / R ? o \

pp

in care p reprezinta raza de curbure a traiectoriei in punctul considerat.Componentele acceleratiei pe axele triedrului Frenet sunt:

- acce le ra l ra tangen l i a la a . -S .V

v '- acceleratia normale: a. - (8.40)t ,

- acceleralia binormala: afl = 0

8.1.8. Apl ical i i

Probleme rezolvate:1. SA se studieze migcarea unui punct material M pe un cerc de raza

R, cunoscand ce la momentul t = 0 punctul se gdsegte in Mo iar la timpult se gesegte in M (fig.8.7).

Rezolvare:a)in sistemul de coordonate cartezian (fig.8.7 a).

Pozitia punctului M pe cerc este determinata de unghiul 0 = 0(t).Vectorulde pozilie al punctului M in raport cu originea sistemului de

referin!5 este:' ' :

r r c r t { - (a Kcosu . , r * (0 -F<s rn0JJ

Vectorulviteza se obtine ca derivata intaia a vectorului de pozilie con-form relaliei (8.'11):

V i Ros ind i .Rucos r r j

167

Page 168: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

168

unde componentele vitezei pe axele sistemului de coordonate sunt:

vx = -Re sinf)

vv = Rocoso

v

M(x,v)

Fig.8.7.a

MeceHrcA

iar modululvrtezei este dat de:

Derivata intaia a unghiului 0 se numegte viteza unghiulare gi se noteaza

.d0 . .AeC U r r r = t ) = = l t m

dt '\t-o At

astfel ca i -n, , s ino . i - R,, ' cosO j

iar : v = RoVectorul accelera!ie conform relatiei (8.14)va fi:

d v ( R r i s ino Ro2coso ) i . (Recose n0 ' s inu ) i

v=Jv l +v f =ne

Page 169: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

8. Cneurrrca PurctuLut Mntentnr- 169

avand componentele pe axele sastemului de coordonate:

a , = Rds ine -R02cosO

av = Rdcos0 R02 sin0

Valoarea accelera!iei se calculeaze cu relatia (8.21):

Derivata a doua a unghiului0 se numegte acceleratie unghiulard gi senoteaza cu:

do .. Au-rE = H = u r = = l l m

dt {_o At

Cu aceasta notatie acceleratia se scrie ca fiind:

d - ( Rcs ine R , ' ' ?s ine ) i r (Rccose Rcu2s rn6 ) j

9 i :

b)in triedrul Frenet (fig. 8.7 b)Ecuatia orara a migcerii este:

s = s ( t )= ReUtilizand expresiile vitezei gi accelera,tiei

deduse (8.36) respectiv (8.37) rezulte:- ; - - -

v - s r - K t , T = K { r

iar v = Ro)

Vectorul acceleratie:

a 5 1 , - \ ' K ( r T I v = t { c . I + R n r ' vpR

iar valoarea acceleratiei:

Se observa ca s-au obtinut aceleagi valori ale vitezei gi accelera(ieica gi in coordonate carteziene.

, = nl"ff i = nf( dsino o'?cose)' * (ecose - e'zsine)'? =

Fig. 8.7.b

0_R

Page 170: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

lm MecnHrcA

2. Un punct material M se migcd uniform cu viteza vo pe o elicecirculare (fig.8.8). Sd se studieze migcarea acestui punct cunoscand razaR a bazei cilindrului gr panta o a elicei intre unghrul o gi pasul ehcei pexiste relalia P = 2ft R.tgG.

Fig.8.8Rezolvare:

a) in sistemul decoordonate cartezian ecualiile parametriceale elicei sunt:x = Rcos0 ; y=Rs in0 ; z=R€ tgq

Vectorul de pozi,tie al punctului M se scrie conform relatiei (8.1 0):

i - Rcos0 i+ Rs in0 . j +R0 tgc r ' k

Vectorul viteza este:

t i -Rgs ino i R6cos0 j Re tgu k-Rar s in0 i . Rru cos0 j r Ror tgu .k

Proiec!iile vitezei pe axele sistemului de coordonate vor fi:vx = -R(D sin e, vy = Ro cos0;vz = Ror tgo

iar valoarea vitezei rezultd:

r . R1.,v , / v : I v - ' v i ' Rr ' ' J l I tozq - -

t ' cosq

Page 171: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

8. CrHenarrcr PurctuLut MatentaL

Vectorul accelera!ie in conformitate cu relalia (8.14) va fi:

a - v . I R02coso Res inu l i . I no2s ino Rocose i i\ / \ / '

rRb ton . k I R , , ' ' cosu -Rcs ino l . i ,- \ l

' ( - R , u t s i n u . R c c o s O ) j r R u t g o i

Proieclii le acceleraliei pe axele de coordonate sunt:

a* = Rto2 cos0 Re s in0a , = R c o 2 s i n e + R e c o s 0a' = Re tgrr

Cunoscand ca punctul M se migca uniform rezultd ce: c = 0 deci:

a R , ' r ' c o s O . i - R u , ' s i n 0 j

iar :

3 , = R r o 2 c o s 0ay = F ( ' r ' -

S lnH

a z = 0

t -deci a= , , !a i +ai , +al =Ra'

Se poate determina raza de curbure a elicei, utilizand urmatoarea relatie:

Mi$carea fiind uniforma se obline:

v 2 R 2 u , 2 1 R'

a cos2cr R,r2 cos2o

b)in triedrul Frenet migcarea pe elice este uniforma cu viteza Vo, astfelcd se poate scrie legea orare:

S = v o t + S o

deciviteza va avea doar componentA tangentiala:

17'l

Page 172: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

172 MecaHrcA

v .=S=Yoiar accelera[ia doar com ponenta dupi normali:

: 2 . , 2-::' ^a , = U = U ; 4 .

p p

in care p este raza de curbura a elacei.Se poate calcula p egaland valorile acceleratiilor obtinute in coordonate

carteziene 9i triedrul Frenet. Astfel:

K { r , -vBp

gi de aici avand in vedere ce:

Rs e d e d u c e : p = ,

cos_ d

rezultat care de altfel se cunoagte de la geometrie analiticd.

Probleme propuse:1. Traiectoria descrise de un punct materaal M situat pe periferia unui

disc care se rostogolegte fera se alunece pe un plan orizontal este o cicloida(fi9.8.9). Se considera ca raza discului este R, ce viteza t0 cu care sedeplaseaza centrul disculuieste constanta gi ca la t = 0 centrul C se gaseape axa Moy, iar punctul M in originea Mo a sistemului de axe xMoy.

R r,r-

COS(I

I

F ig.8.9

Page 173: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

8. Cneulrca Purcrulur Mlrenrn-

Si se determine viteza gi acceleratia punctului M ca gi raza de curburda traiectoriei.

Rdspuns:

r i R, ' (1 cose) i - R, ' ' s ine j :

V = ZF (u , S ln - :2

a H 0 , - S l n 0 | F ( ( | , - C O S U J :

a = K ( l ) - ,A

p = 4 R s i n ^ .2

2. Un punct material A se migca pe evolventa unui cerc de raza Rpornind din 4. Cunoscand ce viteza unghiulara o = constanta sa se dermine:

a)expresia analitice a vectoruluide pozilie;b) expresia analitice a vitezei 9i modulul vitezei;c) expresia analitice a acceleratiei gi modulul acceleratiei;d) raza de curbure a evolventei.Respuns:

a ) i = R(cose +es ine ) i + (Rs inO necose ) i ;b ) v=RU0cos0 i r R00s inu j :

v = Re e ;c)a = Re'?(cose - 0sine) i + Re'?(sinO + 0cose)i ;

a=ne 'J+d;d )p = R0

3. $tiind ca ecualiile de migcare ale unui punct in coordonate polare

sunt: p = po e'tt, 0 = pt sa se afle traiectoria sa gase se determine vitezagi accelera(ia punctului.

Raspuns: Ecuatia traiectoriei punctului este spirala logaritmicd

. e ' ;

" 'r f 1f ;. e " t ( " ' + g ' ? ) .

173

P = P o

a = p o

Page 174: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

I

CINEMATICA SOLIDULUI RIGID

9.1. MIgCAREA DE TRANSLATIE

Un solid rigid executa o migcare de translatie daca o dreapte oarecareapa4inand acestuia, remane tot timpul migcdrii paralele cu ea insAgi

Translaliile pot fi:a) rectilinia (traiectoriile punctelor rigidului sunt linii drepte) cum ar fi:

migcarea caroseriei unui autovehicul care parcurge un drum rectilinau,miscarea unuiascensor, miscarea unui piston in anteriorul unui cilindru etc.

b) circulare (traiectoriile punctelorr ig idului sunt cercur i ) ca de exemplu:migcarea scaunului unui scranciob,migcarea bielei de cuplare a doua roti( f ig.9.1) etc.

c) alte translatii (traiectoriile punctelorrigiduluisunt alte curbe) care se pot intalnica de exemolu la biela de cuolare a rotilorunei locomotive (flg 9 2) unde un punct descrie o crclorda scurta etc.

/'fx---,,--l-\/ .y,--1--7-----;1uA,\(x'i ( 8,-)\_-/ \_-/

F i g . 9 . 1

Fig.9.2in conformitate cu definilia axele Ox, Oy, Oz ale sistemuluide referinta

mobi l rdman paralele cu ele insele in t impul migcar i i ( f i9.9.3).Pozilia unui punct oarecare M al rigiduluifata de sistemul de referinte

fix x,O,y,z, se definegte prin vectorul de pozilie:

IcrO 3

Page 175: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

9. CrHenlrrca Solrour-ur Rre ro 175

r /O 1\

(e 2)

(e.3)

Fig.9.3

Viteza punctului M se calculeaza ca fiind

. d i dr^ do" t d t d t

- d t

in care:

di"r = v0 este viteza punctului O fale de originea sistemului ded t -

referintd fix

dd -dt

= v',ro reprezinta viteza punctului M in raport cu punctul de

referinla O. (9 4)Dar cum Ox, Oy, Oz reman paralele cu ele insele in timpul migcerii,

rezulti ce versorii lor i, j,i sunt constanti ca marime 9i directie, astfel:

d o d , ,vuo =fr=fr(x i+y j+zk)-O (e.5)

inlocuind relaliile (9.3), (9.4), (9.5)in relalia (9.2) se obtine:

Page 176: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

176 MecaHrcA

Vl,,t = V o

de unde gi :(e 6)

3r.r = 3o (9 7)

adicA in m igcarea de translatie un punct oarecare M al rigidului are aceeagiviteza Siaceeagr acceleratie ca gr punctulde referinta.

Se poate concluziona ca toate punctele rigidului in migcarea detranslatie are aceiagi vitezd gi aceeagr acceleralre

Astfel cinemataca rigidului in migcarea de translatie se reduce lacinematica unui punct oarecare al acestuia, de preferintd centrul de greutate.

9.1.1 ADl icat i i

Probleme rezolvate:1. lv lecanismul plan din f igura 9.4 a se compune din piesele A gi B

care pot executa numai migcdri de translatae in plan, astfel incat ramanmereu in contact ln punctul C. Cunoscand cd deplasarea piesei A este h,s5 se determine deolasarea h. a piesei B.

Rezolvare:in figura 9.4 a s-au facut

urmatoarele notatii:- deplasarea punctului de con-

tact C apa4inand pieseiA, este:NP = h

- dep lasa rea punc tu lu i Capa4inand piesei B este NM;

- deplasarea varfului C al pieseiB in raport cu piesa A este NIP;

Folosind teorema sinusuluirezulta:

h h., MPsin(( l + 0) s inq sin0

de unde se obline:

sin (rn . = f l -' sin(c + l])

b.

Fig.9.4

^ \' ' P

Page 177: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

9. Cnrelanrrca SoLrourur Rrcro

9r :

M P = h : i n p ,s in(c + B)

2. in figura 9.5 este reprezentat un dispozitiv cu pene la care secunosc: deplasarea s1, viteza vj gi acceleralia a1 a elementului 1 . Se sedetermine: deplasarea sl viteza vr giacceleralia a, a elementului2.

Rezolvare:Aplicand teorema sinusului obtinem:

t , =s ,sin 0 sin tr

de unde deplasarea elementului2 va f i :

s tn qS . - S r . -' sin ll

Derivand in raport cu timpul deplasarea s2 rezu[a viteza elementului 2:

. s in(x srnov " s " s , v ,' s i n0 s i n0

De asemenea prin derivarea vitezei se obtine acceleratia, astfel:

. s l n G s t n da" - v " v , - a ,' s i n l ] s i n [ }

Constructiv existe urmatoarele cazuri:- 0 = 90" Si atunci rezulte:

s , s , . s i no . v , v , s i nu .a , - a r ' s i no

177

oL

E i ^ O q

Page 178: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

MEcANTcA

- B = 90" - cr situatie in care rezultd:s2 = s1 tgc{, v2 = v1 tgu;a2 = ai tgo

Probleme propuse:1. Se consaderd doua prisme in miscarea de translatie (fig.9.6). La

momentul initial (t = 0) punctele A gi D ale celor doue prisme coincid. PrismaDEFG coboara pe verticald dupd legea s = a^t'?, unde a^= q66s16n1

Cunosc6nd unghiul (1 ai CB = 2FG =2l sa se calculeze valoarea vitezei prismeiABC cand prisma DEFG atinge planulorazontal.

Rispuns:

2. O place dreptunghiulard ( f ig.9.7)ABCD se m igcd i n t r -un p lan f i i ndconduse de ba re le O1A g i OrD delungime l. Sd se studieze migcarea placii

1 ^daca: Q =

t t t ' , OlOz = AD.

Raspuns:

F i g . 9 . 6

V A = t . t l = V e = V o = V c

"o=R".qf , 'cJ=" ,3. O pane triunghiulare (avand

secliunea triunghi isoscel) se afldintre doui prisme A gi B (fig. 9.8).Cele doue prisme au vitezele de

translatie i1 respectiv ir. Sd sedetermine viteza penei triunghiuare.

Respuns:F i g . 5 . 7

178

t= (v1 , v r ) r + ; ( v , * v r ) . t go . j

" V[-'r, ' i(", *f ,r"

v 1 = 2 J a o l c t g . r

lar

Page 179: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

9. Cnelrnncr SoLtouLut Rtcto

F ig .9 .8

4. Sa se studieze mi$carea de translatie curbilinie a unei pedale debicicletd (fig.9.9), gtiind cd bicicleta merge cu 12 Km/h, iar roata aclionatadirect de pe pedale face o rotatie, in timp ce roata bictcletei (care are razaR de 300 mm) face trei rotatii.

179

F ig .9 .9

Rdspuns:Componentele vitezei pedalei sunt:

i = v" = 0(p rcos0)

Y - r0s in0in care s-a notat cu p = Ol, distanla de la punctul O la

instantaneu de rota,tie al pedalei (OA = OB = r)Componenteleacceleratiei pedalei sunt:

I = a , = o (o r cose )+ ro2 s ino. . l r ^ : . ) ^ \y av - r \$s lnts-s costs)

cenlrul

I

6-]}

\E

IIrl

Page 180: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

180 MecaHrcA

9.2 MIgCAREA DE ROTATIE cU AXA FIXAA RIGIDULUI

Un solid rigid efectueaze o migcare de rotatie cu axa fixe daca in tot timpulmigcirii doue puncte ale rigidului raman fixe (fig. 9. 10). Axa care unegte celedoua puncte fixe se numegte axd de rotatie. Asemenea migcare executa:acele unuiceasornicin raportcu cadranul, o roat5 alciruiax este fixat de batiulunei magini, axul cu came gi arborele cotit al unui motor cu ardere interne etc.

F i9 .9 .10

Se aleg sistemelede referinte fix x1O1y1219i mobil xOyz astfelincat originile Oi 9i Osa coincida, iar axelede rotalie olzj gi oz sase suprapund pe axade rotalie a corpului.

Migcarea rigiduluieste definita dacd secunoag te fu n c l i ascalare:0 = 0(t) (e 8)unde 0 este unghiulfor-matde axele O1x1 giOxrespectiv O,y, 9i OV.

Poz i t i a unu ipunct oarecare M al

rigidului este definita de vectorul de pozilie p. Punctul M va descrie uncerc cu centrul pe axa de rotalie 9i cu raza R egala cu distanta punctuluiM la axa de rotatie.

Vectorul viteza unghiulard r'i este dirijat dupi axa de rotatie gi esteacelagi pentru toate punctele rigidului.

9.2.1 Distributia vitezelor

La cinematica punctului material s-a aratat ca dace punctul se migcdpe cerc atunci v = ox p, rezultd cd viteza punctului M al rigidului inmiscarea de rotatie cu axa fixe este:

o

or=o

Page 181: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

9. Crxemmrce Solrour-ur Rre ro 18',1

- d oV : - ; = ( 0 x p

ot

Agadar viteza punctului M este un vector

vectorilor <o 9i f, av6nd sensul dat de regulamarime este:

V = ( t ) . p S i n e

v x = o r Y , v y = o J x ;

9i mdrimea vitezei:t ; :

v = o r i x ' + V ' - c o R

(e s)perpendicular pe planul

$urubului drept gi a carei

(e 11 )

(9.12\

(e 14)

(e 15)

(9 10)

Pentru a determina distributia vitezelor se exprima analitic vectonr (')

gi p in sistemul de referinta mobil, astfel:

p = x i + y j + z k

t , l = a r k

Cu expresi i le (9.11), (9.12) qi l inand seama de relat ia (9.9) se obt ine

l i i *lr ; = t i r o=JO 0 o l= - c ' r v i +o rx i ( 9 .13 )

n".rrta "or

JJn"yntetzelvitezel punctutui M pe axele sistemutui mobat:

Din relalia (9.14) rezulta urmitoarele proprietdtiale distributieivitezelorin migcarea de rotalie cu axa fixa:

a) Singurele puncte care au viteza nule sunt cele situate pe axa derotat ie. Egaland cu zero vx 9i v,din (9.14) se obt ine x = 0, y = 0 carereprezinta ecuatia axei de rotatie (Oz).

b) Vitezele sunt continute in plane perpendiculare pe axa de rotatiepentru ca in (9.14) v. = 0.

c) Punctele situate pe o dreapti paralelS cu axa de rotatie au aceeagiviteza (fig.9.11), deoarece se observe din (9.14) ca proiecliile vitezei nucontin cota z.

d) Pe o dreapta care intersecteazd axa de rotalie sub un unghidrept,vectorulviteze variaz; liniar. Merimea vitezei este propo4ional; cu distanlaOA (f ig.9.11). Vi tezele tuturor punctelor sunt paralele intre ele gaperpendiculare pe aceasta dreapti.

Page 182: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

'tv. MecnrrcA

F ig .9 .11

9.2.2 Distribulia acceleratiilor

Expresia acceleraliei se obtine derivand in raport cu timpul vectoruvitezd (9.9) astfel:

. d i d , . . . d ( . j d . ;a = l t , r . r r l o r r , , '

d t d t ' '

d t d tunde:

d , , , d / , , d i- - - l o , K l + r Ddt dt \ / dt

^ - . , d o.-a araEt ca: = eot

rar - ' - 0 deoarece axa Oz este fixadt

(e 16)

(e 17r,

(e.18)

/ o 10 \

inlocuind relalii le (9.17), (9.18), (9.19)Si (9.9) in (9.16) se obline expresiavectorului accelera{iei ca fiind:

- = i , , p+ro x(co r [ ) (9 .20)

Expresiile analitice ale vectorilor p, (D gi ; se inlocuiesc in relatia(9.20) ob!indndu-se:

Page 183: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

9. Gnelrrlrrcn Solrout-ut Rtoto 183

a= i xP+ r i , . ( r i x

ol;l

=( "y

o , 'x ) i * ( .x , ' v )J

Componentele acceleratiei punctului M peaxele sistemului mobilsunt

l i j i I i io)-o o r+l o o

xyz l l oy (0x

a9a0ar:

a , = € Y ( ' ) 2 X ; ? y = E x - r t 2 Y ' ? . - 0

(s.21)

(9.22],

(e 23)

ale d is t r ibut ie i

l\4drimea acceleratiei punctului M este:

' . - . 2 r -l 1 ) \ ' Ia i l ( uY , " ' x ) t l c x - , " 'Y ' ] RVc ' ' , u '

Din expresiile (9.22) rezullit urmatoarele proprietatiacceleraliilor in migcarea de rotalie cu axe fixe:

a) Singurele puncte cu acceleratia nula sunt cele de pe axa de rotalie.Aceasta afirmatie rezultd amediat dace se egaleaza cu zero proiectiileacceleraliei a, respectrv a".

b) Acceleratiile sunt coritinute in plane normale pe axa de rotalie (fig.9.12)

pentru ca a. = 0Fig. 9 12

Page 184: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

MeclHrcA

c) Punctele situate pe o dreapta paralela cu axa de rotatie au aceeagiacceleratie (fig.9.12) deoarece expresiile (9.22) ale acceleratiilor nu depindde cota z.

d) Pe o dreapta perpendiculare pe axa de rota!ie, vectorul accelera!ievariazd liniar. Mirimea acceleratiei este proporlionala cu distanla OA(fig.9.12), iar directia sa formeazd cu dreapta (D) un unghi I.

Considerand cd (D) este suportulaxei ox din relaliile (9.22) se obline:

tar:

(e 23)

tgq - = const (s 24],

Dace vectorul acceleralie unghiulare e este nul, atunci 0) = constantgi rezult5 cd migcarea de rotalie este uniforme.

Dace vectorul accelera!ie unghiulara €. este difent de zero gr constant,atunci migcarea de rotatie poate fi:

a)uniform accelerati, daci t,i .e > 0 ;b)uniform incetinitd, dacd oi s < 0;

9.2.3 Apl ical i i

Probleme rezolvate:1. Un volant in migcare de rotatie fata de o axe fixa are la un moment

dat viteza unghiulari oro. Dupi N rotatii facute din acest moment, volantulse opregte datorite frecerilor din lagire. S; se determine acceleraliaunghiulara e a volantului, presupuse constantd, viteza gi acceleralia unuipunct de pe cercul de razd R la jumetatea intervalului de timp pane laopr ire. Apl icat ie numerica: R = 200 mm, oo= lns1, N = 10 rotal i i .

Rezolvare:Legea de migcare a volantului este:

- + 26 = r ^ 1 l l

" 2

9 i0 ) = 0 ) 0 e t

in momentu l opr i r i i t= tJ ,0)= 0 9 i e = 27rN.

2 x = r t t 2 x ; a y = e X ; a r = O

latI

ti' 2

Page 185: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

9. Crremerrcn Solrour-ur Rroro 185

Cu aceste consideralii rezoNand sistemul celor doud ecualii se obtine:2( 0 n \ t

4 r N 1 0

iar

. 4 r N . ^ ^t 1 - - - = z v s

(uo

Jumataliile intervalului de timp pana la oprire, ii corespunde timpul:t

t , = L - - 1 o s' 2

in acest moment viteza unghiulara a volantului este:

( r ) nU J ) - - = l I S- 2

Viteza unui punct de pe cercul de razd R rezulte in acest moment astfel:

v" = 9Lq = 9.629rn7 g' 2

lar accelera(ia acestui punct este:

a , l a ' , , a ' ' ) nJ t t oon ' : 1 , 96m/s2I | 1 0

2. Pe un disc vertical de centru O fix gi raze R, avand axa de rotalieorizontala, este infagurat un fir la capdtul cdruia suspende greutatea PSolidar cu discul se rotegte 9i bara OA de lungime l. De extremitatea A abarei este legat un fir care trece peste scripetele mic din O1 (fig.9.'13). Laextremitatea acestui fir suspenda greutatea Q. Greutatea P se migcauniform cu viteza v. La momentul t = 0 bara OA se gisegte pe orizontalaOO, (OO, = l) Sd se determine viteza greutatii Q.

Rezolvare:Corpul P strebate pe verticala pand la momentul t, distanla:

in acest interval de timp unghiul de rotalie al discului impreuna cubara OA, este:

^ s v t

Page 186: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

185 MecnrrcA

adica:

^ v t4 R

Fig 9.13

CorpulQ are o migcare de translatie peverticald caracterizate prin cota z.Dace se noteaze cu L lungimea firului AQ, atunca cota z tezultd.

Hz = L A O r = L 2 l s i n ^

2

astfel ca:w t

z = L A S l n2R

Viteza corpului Q la un moment dat va fi:

^ . v v t v l v tv^ z- 2t cos cos.2R2RR2R

3. U n disc circular avand raza R = 100 mm se rotegte in jurul unei axeperpendiculare pe planul seu (fig.9.14 a). 9tiind ca viteza punctului A estetangenta la disc Ai are marimea vA = 1000 mm/s 9i ca direclia vitezei

punctului B este AB, se se determine pozilia axei de rotatie gi vitezelepunctelor B, O gi C.

Rezolvare:La interseclia perpendicularelorin A gi B pe direcliile vitezelor vA respectiv

VB se obline punctulOl in care axa de rotalie intersecteazd discul(fig.9.14 b).

Page 187: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

9. Cneunrrce SoltouLur Rtcto 187

Viteza unghiulara de rotatie este:

1000= = 5 r a o / S200o,A

Cu aceast i va loare a lu i (o secalculeazd vitezele punctelor B, C Ai Oastfel:

v B = v c = 5 1 0 O a A = 7 0 5 m m / s

4V ^ = V ^ = 5 U U m m / S

" a ^

in figura 9.14 b s-au reprezentat atatdirecliile 9i sensurile vitezelor calculatecat gidastributia vitezelor pe diametrul O,A.

Probleme propuse:1. Flanga de pe axul principal al unui

motor are o migcare de rota(ie uniformecu tural ia n = 600 rot /min pani inmomentu l cand es te f rana ta . D inmomentulfranirii roata se migce unaformintarziat $i se opregte dupe 10 secunde.

Se se determine:a)viteza unghiulara a flangei pand in

momentul cand incepe frdnarea;b)acceleralia unghiulare a flangei in timpul franarii;c)viteza gi acceleralia unui punct de pe flange aflat la R = 100 mm la

t impult = 5s de la inceperea franer i i ,d)numarul de rotalii pe care-l face flanga din momentul cand a fost

franate pana cand se opregte.Raspuns:

a)( l ) o = 20radl s

b )xo = )n1v61 "z

'

c ) v j =314cm/s ;a r j = 62 ,8cm/s2 ;a . , , =9860cm/s2

F i g . 9 . 1 4

o

\ l /

d)N = 50

Page 188: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

MEcaNrcA

2. Un paralelipiped de muchiiOA=30 mm, OC=40 mm, OD=120 mm serotegte uniform in jurul diagonalei sale OE cu viteza unghiulara ()=26 rad/s(fig.9.15). Sa se determine vitezele collurilor A, B gi D ale paralelipipedului.

Raspuns:

i a = t2 j zqk ; ve -759mm/s

iB SA i n j . u , 12O0mmi s

v D 1 2 I I Z 4 R , u D / 5 . b u m m / S

3. Un disc circular de razaR se rotegte in jurul unei axeperpendiculare pe planu I sdu(f ig.9.16). Cunoscand vi tezapunc tu lu i A de pe pe r i f e r i adisculuiin mdrime vA, directieAB,mer imea coa rde i AB 9 i deasemenea d i rec t i a v i t eze ipunctului B, sa se determine:

a)axa de rotatie,b)viteza unghiular;,c ) v i t eza punc tu lu i B ca

marime Qi sens;d) viteza centrului discului;

Rdspu ns:F i n O ' 1 5

a) axa de rotatie este perpendiculare in C pe planuldiscului;

b)( ' ) = 3rad/ s;

c )vB = 720mm / s ;

d ) vo=360mmis .

4. O placa petrata ABCD avand .latura de I metri, se rotegte in planul Ysau injurul centrului O ( f ig.9.17). Sase determine viteza 9i acceleraliavarfurilor A, B, C gi D gtiind ca vitezaunghiulara este o) = 4 rad/s.

188

F i g . 9 . 1 6

Page 189: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

9. CrHelrnrrca SououLut Rte to 189

Raspuns:^ , t :

V A = V B = V c , = V D = Z | V Z m i S

o e = ? a - a " = g o = 3 1 n f 2 6 7 t z

5. Variind regimulde rotire al unuivolant,accelera!ia punctelor de la periferia sa faceun unghi cr = bt, unde b este o constanta(f ig.9.18). 9t i ind ce vi teza unghiulare in i l ia laeste oo gicd variatia regimului de funclaonare

are loc in intervalul de timp 0 < t < I sa se2b'

-- - -

determine viteza gi acceleratia unghiulard infunctie de timp.

Rdspu ns:

. ' _ b . ,o" ' - b+oo lncosb t '

0,fr b' tgbtL = -

( - b + r o o l n c o s b t ) -

6. O placa dreptunghiulare OABC se gdsegte in migcare de rotatie injurul uneiaxe perpendiculare pe planul ei. Cunoscand viteza vB a punctuluiB, gtiind cd ea este perpendiculard pe diagonala OB 9i cd directia vitezeipunctului C este dupd latura BC (fig.2. 19) se cer:

a)axa de rotatie;b)vi teza unghaulare a placi i ;c) merimea 9i sensul vitezei punctului C;d) marimea, direct ia gi sensulvi tezei punctuluiA;

Respuns:

a)Axa de rotatieeste perpendiculara in O pe planuldreptunghiului;

b ) t ' r =6 rad / s ;

c ) vc = 360 mm / s ;

d)vA = 240 mm / s.

Fig. 9.17

Or; ^ -

F ig. 9 .18

Page 190: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

1g) MEcANTcA

Fig 9.19

9.3. MI9CAREA ELICOIDALA A RIGIDULUI

Un rigid efectueazd o migcare elicoidale dacii doud puncte ale salereman tot timpul migcerii pe o dreapta fixa din spatiu. Dreapta se numegteaxa migcerii elicoidale. In timpul migcdrii rigidul se deplaseaza in lungulacestei drepte, avand totodate gi o migcare de rotatie in lurul ei. Astfel demigcare au gurubul intr-o piulilS fixa, glontele pe teava unei arme etc.

Se considere un sistemde re fe ran la f i x x r Ory121(fi9.9.20) astfel ca axa OF1sa coincide cu axa migceriie l icoidale gi un sistem derefer inld mobi l sol idar curigidul, a cdrui axa Oz coin-cide cu axa O jz|

Vectorul de pozi[ie alunua punct l\4 al rigidului sepoate scrie ca fiind:

i = ro *p (9 .25 )Viteza ca derivata intaia

a vectorulua de pozitie este:

v - i = i o +p (9 .26 )

in care:

b - no (9 27)

'-/,

..t,

6*eMI

a

o

o

Fig.9.20

Page 191: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

9, Cneunrrcl SoLroulur Rtcto 191

deoarece vectorul de pozilie al punctului M fala de originea sistemului dereferinti mobil are modul constant 9i orientarea variabila.

inlocuind (9.27) Si (9.28) in relalia (9.26) se obtine vectorul viteze.

v= r i o+ t i rD (929 )

Derivata intaia in raport cu timpul a relatiei (9.29) ne va da expresiavectorului acceleratie:

. d i d i . dr ' ' dpa -

dr dt dt dtCunoscand ca:

dt^dt

d(D

ot

d p- = ( , ) _ p

ot

(e 28)

(e 30)

(s.31)

(9 32)

(e 33)

prin in locuirea relat i i lor (9.31), (9.32), (9.33) in (9.30) se obt ine expresiavectorului acceleralae:

d= io +e,. p+or " (( ' , ' 0) (934)

in care ao are direclia vectorului t0 , iar acceleralia unghiular6 E are

directia vitezei unghiulare o) .

9.3.1 Expresia analitica a vitezelor

Vectorii care intervin in relatia (9.29) se exprime analitic in sistemulde referinta mobil astfel:

Vo =vok ; r i l =o rk ; [ =x i+Y j +zk (9 .35 )

Cu relaliile (9.35) distribulia vitezelor in miqcarea elicoidala este:

- i j i lV = Vo + al x p = vo k +

10 0 r,r = roY

I tY '

Page 192: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

192 MEcANTcA

Proiecliile vectorului viteze pe axele sistemului mobil sunt:

Vx = -0 ) y ;vy - ( l ) X , vz = v0 (9 .37)

Mlarimea vitezei este:

(e 38)

Din relatiile (9.37) rezulta urmitoarele proprietetiale distributieide viteze:a)Nu existd puncte ale rigidului care sa aiba viteza nule. Puncteie de

pe axa migcdrii elicoidale au cea mai mice valoare a vitezei gi anume to(f ig.9.21), (deoarece x = 0, Y = 0)

b)Punctele situate pe o dreapta paralela cu axa migcdrii elicoidale auaceiagiviteze, pentru ca relatiile (9.37) nu depind de cota z.

c)Pe o dreapte (A) perpendiculara pe axa migcdrii elicoidale, vectoriivitezi variaza liniar cu distanta oA (fig.9.21).

2 (x2 +y ' )+v l

Fig.9.21

Page 193: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

9. CrHemarrca Solrour-ur Rre ro

9.3.2 Exoresia analitici a acceleratiilor

in relatia (9.34) inlocuind expresiile analitice ale vectorilor se obtine:

I;

=( "v , ' x ) i * ( "x

. ' y ) i *ao t<

de unde componentete acceteraliei pe axele sistemutui o" *i"rt"tJg"3lli

193

6=60+e' [+oix(r , ix f )=aok+; i : l - l ; Jx Y z |

( 0 Y o ) x

d x = t Y t o - X , 3 u = s 1 - , , , - Y , d z = d o

Cu relatiile (9.40) se calculeazd marimea acceleratiei:

(e 40)

(e 41)Din expresiile componentelor accelera!iei rezultA proprietatile distributiei

acceleratfi lor in migcarea elicordala:a)Nu existd puncte ale rigidului care sd aibd accelerataa nu15. Punctele de

pe axa migceriielicoidale au acceleralia cea mai mica gi anume a0k (fig 9.22).b)Pe o dreapte AB paralele cu axa migcerii elicoidale toate punctele au

acceleratii egale, intrucat proiecliile acceleratiei (9.40) nu depind de cota z.c)Pe o dreapta (A) perpendiculare pe axa m igcdrii elicoidale, vectorul

acceleralie variaza liniar (fig.9.22).Proprietetile enumerate evidenliaze caracterul migcerii elicoidale de

migcare compusa din doua migcan $i anume una de translal ie in lungulaxei migcdrii gi una de rotalie in jurul acestei axe.

Un caz part icular al migcar i i e l icoidale este migcarea de gurub(migcarea elicoidale cu pas constant).

in migcarea de gurub existd o legAtura liniara permanenta intre celedoue migceri componente, cea de translalie gi cea de rotalie.

In migcarea de gurub toate punctele rigidului descriu elicii, de acelagipas trasate pe cilidrii avand aceeagi axe.

La studaul migcarii punctului material pe elicea cilidrica s-a aratat ceintre cota z a punctului care descrie elicea, pasul p gi unghiul e exista relatia;

Page 194: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

194 Mecnrrcl

z = R0 tgrr (s 42)

(e 43)

Fig.9.22

St i ind ca: Rtqa = I2 n

unde I=h esteoasul redus.2 I t

rezulta ca: z-heCu aceste relalii se obline:

d z , , d 0V " V " K K n K - n r u Kdt dt

de unde: a6 = hek

(s.44\

(e 45)

(e 46)

(e 47)

Page 195: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

9. Cneunrrca SoLtouLut Rtcto 195

9.3.3 APlicalii

Probleme rezolvate:1. Un gurub care are raza R gi pasul p se rotegte uniform cu n rotatii

pe minut. Se cer: a)viteza de inaintare a gurubului; b)viteza giacceleratiaunui punct de pe extenorul filetului:

Apl ical ienumerica: R = 100mm, p=4mm, n = 180 roumin.Rezolvare:$urubul are o migcare elicoidale. Viteza unui punct M care are vectorul

de pozilie i este:

i n r= i o+o l t iPentru a determina viteza de inaintare vo a gurubului se are in vedere

ca gurubul inainteaze cu distanta p la o rotatie a sa. Intr-o secundd gurubulse rotegte de 180:60 = 3 ori, deci inainteaze cu 3p, respectiv cu 3.4 = 12mm. Rezultd de aici ca vo= 12 mm/s

Viteza de rotatie a punctului lvl va fi:

i, = <,r x i 9i v, = c,r r sin(o-r, i) = o-' R

astfel ce:. . 1 R O

v " "R ' - : - - 100 600 rT -1880mm/s30 30

Viteza punctului M este:t ; ^ r ^

vM /vl -v l , l ' tz2 t 18802 188omm/s

Acceleralia punctului M este dati de relalia:

drr.r = ao +i tt i +r'r t (ri t i)

Migcdrile de rotalie de inaintare a gurubului sunt uniforme, rezulta ca:

d o = 0 9 i c o = 0 d e u n d e :

a l r = t r r x ( r o x r J

Rezult6 cd acceleralia are numai componenta dupa normala principala,adice:

, ' ^ ^ ' 2

ay R.,2 , o[^ ,-J'J

36ooomm/s2

Page 196: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

1$ MecnHrcA

2. Dandu-se un gurub cu diametrul exterior d gi pasul p care plecanddin repaus are dupe tr secunde turalia n1 roumin, sd se gaseasce expresiilevitezelor i0 gi 0; ca gi viteza gi acceleratia la momentul t1 a unui punctde pe periferia gurubului, considerand migcarea uniform accelerate.

Rezolvare:in momentul t , v i teza unghiulare a gurubuluieste:

- . r [ r30

Tinand seama ce:

inlocuind expresia vitezei unghiulare orj gi t1 rezultd:

7 r n r

30 t l

decr:

n f l ra ) = , I

30 t1

Din relatia intre vo 9i o in migcarea de $urub se obtine:

u o = P<t 2tt

oe unoe:

. . p , , ' P n r ." 2 n 6 0 t 1

De asemenea:

0 n ra " = -" 6 0 t r

Viteza unui punct de pe periferia gurubului, la momentul t1, va fi:

Acceleratia punctului are mdrimea.

/ ; 2

"6'l;J ("',* o r t )

Page 197: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

9. Cnemnrtce Soltour-ut Rte to

Probleme propuse:1. Un gurub av6nd pasul p gi raza exterioare r inainteaza intr-o piulite

fixe, astfel ca deplasarea sa in lungulaxei se face cu acceleralia constantaao. Se se determine viteza gi acceleratia unui punct de pe periferia gurubulul.

Rdspuns:

f , ^ tu^ ="^t ' i r* f !11- V \ P i

3 e = ? o

2. Se se determine viteza de inaintare a unui gurub in lungul axelmigciriielicoidale, daca raza $urubuluieste r, unghiulde inclinare alfiletuluieste q., iar gurubul se rotegte cu n rovmln.

Rdspuns:

. . nn r tgc r"30

3. O glisierd G, sub formd de pana cu unghiul planului inclinat (r esteaclionate de o a doua glisierd G, pusa in migcare de un gurub diferential,avand portiunea filetata cu pasul pl pe dreapta, iar cea cu pasul p, pestanga (fig.9.23). Se cere viteza de deplasare a glisierei G1, dacd manivelade antrenare este rotitd cu n ture pe mlnut.

Rdspuns:

no , + p ,v = -- ctoct

60

197

Ei^ O 2?

Page 198: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf
Page 199: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

9. Cneurrrcn SoLrourut Rtcto

9.4.1 Distribu!ia de viteze

Un punct oarecare M al rigidului are vectorul de pozitie fald de originea

sistemului de referinla fix, i .Din figura 9.24 se poate scrie.

i = i s+Pastfel ca viteza punctului M rezultd:

V= r= ro+p

unde: i0 = V0 reprezinta viteza originii sistemului de referinte mobil gieste

199

paralela cu planul director;

l a f : p = 1 9 x p

in locuind re la l i i le (9.50) 9 i (9 .51) in (9.49) se ob! ine:

v = r i o + r i ' p

(e 48)

(e 4e)

(e.50)

(e 51)

(e.52)in relatia (9.52) inlocuind expresiile analitice ale vectorilor se obtane:

V - V ^ . . l + V ^ . , , y ) . i * ( v " r+ ,x ) i

(e 53)de unde rezultd urmdtoarele proprietdti ale distributieavitezelor:

a) Vitezele punctelor rigidului sunt continute in plane paralele cu planulfix x1O1y1zl pentru cd proieclia pe axa Oz a vitezei este nuli,

b) in migcarea plan-paralele distribulia vitezelor este identica cu ceadin m igcarea de rotatie, ca gi cand rigidul s-ar roti in jurul axei instantanee

de rotatie cu viteza unghiulard (,) ;c) Exista puncte a ceror viteze este nula. Coordonatele lor se oblin

prin anularea componentelor vitezei, pe axele sistemului mobil, rezultatedin relatia (9.53);

Punctele rigidului care au viteze nula la un moment dat se gasesc peo dreapte paraleld cu axa Oz, numite axa instantanee de rotalie.

i i irlo o ,,1 = {"""

l xv z l

Page 200: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

MEcANTcA

9.4.1.1 Determinarea centrului instantaneu de rotaliePunctul in care axa instantanee de rotatie inteape planul xoy, se

numegte centru instantaneu de rotalie. De obicei el se noteaze cu LPozilia centrului instantaneu de rotatie se poate determina la un mo-

ment dat utilizand proprietatea distributaei vitezelor in migcarea plan-paralelade a fi identica cu cea din migcarea de rotatie. Astfel in migcarea derotatie, viteza unui punct oarecare este un vector perpendicular pe razacercului descris de punct , afl6ndu-se in planul normal pe axa de rotatie,iar merimea vitezei este proportionale cu raza. Rezulta pentru mi$careaplan-paraleld ca daca se cunosc directiile vitezelor a doud puncte aler ig idului , centrul instantaneu de rotat ie se gasegte la intersec! iaperpendicularelor duse pe directiile vitezelor celor doua puncte (fi9.9.25a). Cand cele doua viteze au aceeagi directie, iar marimile lor sunt cunoscute(fig.9.25 b 9i 9.25 c) se utilizeaze proprietatea vitezelor in miscarea derotatie de a varia liniar pe o dreapta perpendiculare pe axa de rotalie.

Fig.9.25Daca se cunoagte marimea vitezei intr-un punct, de exemplu in A, se

poate determina viteza unghiulari gi apoi vitezele celorlalte puncte, astfel:

m

b.a .

V n = o l A

de unde:

I A

V g = r o l B

(e 54)

/o 66\

(e 56)

,- no---*-aAql'-

\ Bg=*iB

,.io lo)

\ l

o#?

86,'

/--:\' i f

A-

| , ,,.5(,,ni \,

i---+evB

ta l .

Page 201: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

9. Cneumcl SoLrouLut Rtoro 201

giinlocuind (9.55) in (9.56)va rezulta viteza punctului B:

(e 57)

9.4.1.2 Centroidele (baza 9i rostogolitoarea)ln timpul migcerii plan-paralelea rigidului centrul instantaneu de rotatie i$i

schimbe pozitia in fiecare moment, descriind un loc geometric denumitcentroide.Centroida poate fi exprimati in raport cu sistemul de referinle fix, caz

in care se numeqte centroide fixe sau baze. Cand centroida se exprimd inraport cu sistemul de referinte mobil (solidar cu ragidul) poarta numele decentroida mobila sau rostogolitoare.

Baza gi rostogolitoarea sunt doua curbe tangente in centrul instantaneude rotatie. in timpul migcdrii rigidului baza ramane fixd iar rostogolitoarease rostogolegte ferd se alunece peste baza.

Centroidele se pot determina atat prin procedee geometrice cat gi pecale analitica. Metoda analitica de determinare a centroidelor conste inexprimarea in functie de un parametru (de exemplu un unghij)a coordonatelorcentrului instantaneu de rotatie, atatin sistemulde referinte fix cat giin sistemulde referinta mobil. Prin eliminarea parametrului se obtin ecuatiile centroidelor

Pentru o ugoaraintelegere se prezinteca aplicalie determi-narea centro idelorpentru o bara de lungi-me AB = 2l care sem iSce astfel i ncatcapdtul A se depla-seazd pe O ,x , cu

I1 viteza v, iar capatul B

Fi9.9.26

se dep laseaza peo,y, ( f ig.9.26).

S€ alege sistemulde refennli fix x,O,y, 9isistemul de referinlamobil xAy.

Viteza capdtuluiA al barei este dirijate in lungul axei O,x,, iar al capatului B in lungul axei O,y,.

Cen t ru l i ns tan taneu de ro ta t i e se geseg te l a i n te rsec t l aperpendicularelor duse in A gi B pe directia celor doua viteze.

IBtA

( I':l')

Page 202: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

frz MEcANrca

Se alege unghiulvar iabi l 0 = OrAB .Coordonatele centrului instantaneu de rotatie in sistemul de referintd

f ix sunt:

Jx, = 2lcos rp

Iy , = 2 ls inp

fixe (bazei):

x l+y l -+ t ' o

mobi l sunt:

Jx = 2ls inrpcos g = ls in2q

iy = 2ls in '? e = l (1 + cos29)

mobile (rostogolitoarei):

x 2 * y 2 2 l y o

Eliminand parametrulj intre relatiile (9.58) se obline ecualia centroidei

Relatia (9.59) este ecuatia unuicerc cu centrul in O, 9i de razd 21.Coordonatele centrului instantaneu in raoort cu sistemul de referinte

(9.58)

(e 5e)

(9 60)

(e 61)

Eliminand oarametrul o intre relatiile (9.60) rezulta ecuatia centroidei

adice un cerc cu centrul in punctul C(O, l), (mlJlocul bareiAB) 9i care areraza | (fi9.9.26).

9.4.2 Distribulia acceleraliilor in migcarea plan-paralelS

Distributia de acceleratii se obtine derivand in raport cu timpul relalia(9 52):

a= i= i 0 + c , r x p+ r i x [= -o + i x [+o i r ( cL r x p ) (9 .62 )

Vectorii o gi a fiind perpendiculari pe planul director, vor fi dirijatidupa axa Oz.

inlocuind expresiile analitice ale vectorilor din relatia (9 .62) rczufte.

Page 203: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

9. CrHeuarrcr SoLtouLut RtGto 203

i l i ld " d o . i n " i ( , ' i . p ) a " " i . " o , j - 0 0 c r

l x v zt -.l :,i l = t"", " y ,o' x)i r (ao, *., , 'y)i

c o x 0

(e 63)De unde proiectiile acceleratiei pe axele sistemului de referinta mobil

au urmetoarele expresii:

ax = aox s Y n 'x ,a, = ao, + ex . ] ,2Y ,az - O (ee)Relatia (9.63) permite enunlarea urmetoarelor proprieteli ale distribuliei

acceleraliilor in migcarea plan-paraleld:a)Acceleratiile punctelor sunt con!inute in plane paralele cu planul fix

x,O,y, , deoarece componenta a.= 0;b)Exista puncte care au la un moment dat acceleralia nule. Aceste

puncte sunt situate pe o dreapti paraleld cu Oz. Coordonatele acestorpuncte satisfac relatiile rezultate din egalarea cu zero a expresiilor (9 63).

in planul xoy exista un singur punct P care are acceleratia nula.Acest punct se numegte polul acceleratiilor, iar coordonatele sale rezulte

din condit ia aM - 0, ast fel :

o , ' . a o , € a o ,

E a^ . + o ) _

a^ . .

c)in migcarea plan-paralela distributia acceleraliilor este identica cucea din migcarea de rotatie, ca gi cum corpul s-ar roti in jurul dreptei alecarei puncte au acceleratia nula la un moment dat.

(es)

Page 204: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

M MEcANTcA

9.4.3 Metode pentru determinarea distributiei de viteze inmigcarea plan-paralel i

Majoritatea mecanismelor intalnite in tehnica au elemente cu miscareplan-paralele. De aceea este important sd se cunoascd unele metodefolosite pentru determinarea vatezelor acestor mecanisme.

9.4.3.1 Metoda centrelor instantanee de rotaliePentru un mecanism studiat cu aceastd metode se determina: centrele

instantanee ale diferitelor elemente ale mecanismului, vitezele unghiulareinstantanee ale acestor elemente si vitezele diferitelor ouncte.

Pentru exem pl i f i -care se considerd me-canismul din f ig.9.27.

Pentru pozilia datase presupune ce elemen-te le geometnce sun tcunoscute gi ca vitezaunghiulara (or a barei O jAeste date

E lemen tu l 1 a remigcare de rotatie in jurulpunctului frx O,, astfelca /1vrteza punctului A este "perpendiculard pe O,Aavand sensulin sensul lui(1)1' lar valoarea:

vn = to r 'O rA

Fig.9.27

(2.65)

Punctul B apa(ine atat elementului 2 cat 9i elementului 3.Pentru ca apa(ine elementului 3, care se rotegte cu viteza unghiulare

(D3 in jurul punctului fix Ol viteza punctului B va fi perpendiculare pe OrB,iar sensul sau este dat de (r3.

La interseclia normalelor pe vectorii VA gi VB se gisegte centrulinstantaneu de rotatie ll Viteza unghiulard a elementului 2 se determinidin relatia:

l2

,R / . ,hY

/ \

(e 66)

Page 205: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

9, Crrer,rmrca SoLrouLur Rtoto 205

oe unoe:

v A' r2 =; (9.67)

in care vA este dat de relatia (9.65), astfel cd:

o,At | 1 2 = t D 1 ' _ | ( 9 ' 6 8 )

Cunoscand centrul instantaneu de rotalie l, ca gi viteza unghiulard.,,este posibile determinarea vitezei oricerui alt punct de pe elementul 2, cade exemplu vB gi vc Astfel:

V a - 0 z . l z B ( 9 . 6 9 )

gi inlocuind rela!ia (9.68) rezulta:

o,A. -vs =ui '

f l2B (9.70)

Viteza punctului C este perpendiculard pe lrc ai are valoarea:v6 = o 2.12C (9.71)

9i util izand (9.68) se obline:

o,A .^vc = r , r r ! ' lzC (9.721

Elementul 5 se rotegte cu viteza unghiulara or, in.jurul punctului fix03. Punctul D va avea viteza perpendiculara pe O3D cu sensul dat de o)5

La intersectia perpend icularelor duse pe direclii le vitezelor ic Si

tD se gasegte centrul instantaneu 14. Viteza unghiulare 0)4 se determind

din relalia:

v6 =rr ra. l4C (9.73)

de unde:

v c(D4 =

| i /- (9.74\

Cunoscand (9.71 ) rezulte:

o,A l,ct o =tu, ji fr (9.75)

Cu valoarea vitezei unghiulare (,)4 se calculeaza viteza punctului D:

Vo = (,) q l+D (9.76)

Page 206: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

ffi MecnHrcA

gi deci:

o,A l ,c . V ^ = u , . - j l , U

tA toc -

Viteza unghiulard a elementului 5 este:

vD OrA l2C l4D' o. ,D lA l4c o3D

(977)

(e.78)

9.4.3.2 Metoda rabaterii vitezelorSe considerd un rigid care are migcare plane. Vitezele a doud puncte

A Si B ale sale sunt rio 9i v" (fig.9.28). Ducand perpendiculare pe directiilevitezelor se obtine centrul instantaneu

de rotalie L Se rabat vectorii vA Si

iB cu 90" in acelagi sens pana lainterseclia cu direc[iile lA respectiv lB.Punctele de intersectie se noteazd a9i b ( f ig.9.28). S-a obt inut ab / / AB.

Valorile vitezelor sunt:Ve = t , r . lA (9 .79)

v B = o ) l B

oe unoe:(e 80) I

F i7.9.28

IA IA(e 81)

dar gi :

vR Bb (e 82)IB IB

decr:

Aa Bb= = 0) (9.83)IA IB

Ca exemplu la mecanismul din fi9.9.29 se cunoagte viteza tA gi se

cere sd se determine viteza iB . Se rabate cu 900 viteza i A oblinandu-se

\2 /' \ / r \ /

Page 207: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

9. CrHemarrcn SoLtouLut Rtcto 207

Fig. I 29

punctul a la interseclia cu directiaO1A gi pr in a paralela la AB; lainterseclia cu OrB se noteazd b. Serabate Bb cu 900 pand la intersectracu perpendiculara dusd pe directia

OrB. Astfel s-a obtinut vectorul tB

9.4.3.3 Metoda planuluivitezelor

Se numegte plan al vitezelorreprezentarea la o anumitd scare in

raport cu un pol arbitrar ales, a vitezelor mai multor puncte ale unui corp sausistem de corpuri care au o miscare plana. Cu ajutorul planului de viteze sepoate afla viteza oric5rui punct al sistemului de corpuri pentru acel moment.

Metoda este mult utllizata la studiul mecanismelor.Constructia planuluivitezelor se bazeaza pe rela,tia care leage vitezele

a doud puncte ale unui r ig id in migcarea plane (9.52).Aceaste relatie pentru exemplul dan fig.9.30 a se scrie:

Vrr.r = Vn + <Lr >< AM

\ in r =v l +vnrn

(e.84)

(e 85)

b.

Fig.9.30

Page 208: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

m MEcaNrcA

Viteza unui punct oarecare Nil, apare ca o sume de doud viteze:- viteza punctului de referinte A cunoscute in modul 9i direclie ( va );- v i teza punctului M in migcarea de rotal ie in jurul punctului A

iv,c = o) x AM , care este perpendiculare pe dreapta AM;Viteza unui punct oarecare I/l se poate determina cu ajutorul planului

vitezelor dace se cunosc:- viteza punctului de referinta A,- directia vitezei punctului M sau pozilia centrului instantaneu de rotalie,

oriviteza unghiulara ('i in momentu considerat.Se alege un polarbitrar p (fig.9.30 b) 9i se reprezintd la scare viteza

punctului de referinla A. Prin pol se duce o paraleld la direclia vitezel

punctului M ( t lM), iar prin varful vectorului Vo se traseaza o perpendiculare

pe AM. Astfel se formeazi un triunghi ale carui laturi sunt vectorii dinrelatia (9.85). Se noteaza cu litere mici (a, m etc.)varfurile vitezelor punctelor(A, M etc.) in poligonul de viteze. Vectorii care unesc aceste puncte se

numesc viteze relative (-6 = tr,4A in fig.9.30 b). Se observa ca vitezelepunctelor rigidului au originea in polul vitezelor.

Pentru exemplificare se considere mecanismul din fig.9.31, in carese cunosc dimensiunile geometrice, viteza unghiulari c,r, gi se cere se sedetermine vitezele celorlalte puncte.

Fig.9.31

Viteza punctului A are marimea:

v l = c o t O r A (e 86)

Page 209: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

9. Cneuenca SoLtout-ut Rte to 209

gi direclia perpendiculardpe O,A in sensul vectoru-lui c i , . Se alege polulvitezelor (un punct arbi-trar) p gi se deseneaza

tA (fig 9 32).Vi teza punctului B

se scrie conform relatiei(e.85):

\ia = ve + vee (9.87)

S e n s u l v e c t o r u l u i

vB este paralelcu direc-

tia de deplasare a culiseidin B (// x-x), astfel ca prinpol se duce o paralela cu

x-x, iar prin a se tras€azi perpendiculara peAB (direqiavectorului tBA . Interseclia

celor doue directii se noteazd b. Din pol pand in b este vectorul vB .

Pentru a determina vateza punctului C se observa ca directia acestuivector este perpendiculara pe COI astfel ce prin p se duce perpendiculardpe CO. Conform relatiei (9.85) se scrie

(e.88)

Prin b se traseaza direc(ia vectorului tcB , adica o perpendiculara pe

BC. Aceaste dreaptd intersecteazi perpendiculara la CO, in c.Viteza punctului D este perpendiculari pe CO,. Pe baza proprietelilor de

asemenare intre mecanism (fig.9.3'l) 9i planul vitezelor (fig.9.32), rezultd cadeoarece punctul D se gesegte pe CO,, punctul d se va gesi pe bp, astfel

O2C _ pcord Pd

oe unoe:

. o,Do0 =- . ' DC' orc

Din p pane in d este vectorul VD.

(e.8e)

Fig.9.32

(e e0)

Page 210: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

MecnrrcA

Nota: Punctele fixe avand viteza nule se regisesc in poligonul deviteze in Dol.

9.4.3.4 Metoda proiec!iilor vitezelorSe considerd un rigid care executS o miqcare pland (fi9.9.33).Intre v i tezele a doud puncte ale r ig iduluiA Si M

se scrie conform relatiei (9.52):

v y = v x + o ' A M r o 0 1 \

Multiplicand scalar aceaste relatie cu versorul

e al vectorului Ai/ se obtine:/ - \

6 . t M = 6 . V A + d l r , r x A M /

Produsul mixt este nul deoreceecolineari gi ca urmare rezulta ca:

zl0

(e 87)

9i A-fi sunt

(e. e2)lntrucat produsul scalar dintre un vector 9i un

versor reprezinta proieclia vectorului pe direcliaversorului rezulta:

it',t. = vl. , /O O?\

Astfelin migcarea plane a unui rigid, proiectiilevitezelor a doue puncte pe dreapta determinate de acestea sunt egale.

Ca apl icat ie se considerd mecanismuldin f ig.9.34.Viteza punctului A este perpendiculare pe directia OA in sensul vitezei

unghiulare o gi are marimea:

vA = () 'OA (s%)Pentru a determina viteza punctului B, se proiecteazi pe directia AB

vectorul ia obtinand AA' Se ia apoi BB'=AA'. Se ridicd o perpendiculare

in B' intersectand direclia orizontald oblinandu-se iB. Se proiecteaza

apoi vectorul iB pe directia BC gi se noteaza 8". Se ia CC'=BB" 9i seduce perpendicu{ara in C' pe BC. La interseclia acesteiperpendiculare cuperpendiculara in C pe direclia CD se obtine extremitatea vectorului ic .

Page 211: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

9. CrHeuarrcn SoLrourur Rtoto 211

Fio. 9.34

9.4.4 Metode determinarea distributiei acceleratiilor inmigcarea plan-paraleli

9 .4.4.1 Metoda polu lu i accelera l i i lorAceastd metoda este analoage metodeicentrelor instantanee de rotatie

folosite la determinarea vitezelotin figura 9.35 se presupun ca sunt cunoscute: acceleralia punctului

A, v i t eza ungh iu la rd o ) 9 iacceleralia unghiulard c.

Pentru a determina polu Iacceleraliilor, se traseazd prin Ao semidreaptt care in sensulindicat de r formeazd cu vectorul

"lao unghiul A = arctg+( ! J -

Pe aceasta semidreapte sera un segmenr:

Fig.9.35/o oq\

Page 212: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

MEcANTcA

Dace se considere sistemul de axe xAy astfel ales ca axa Ax sa

coincidd cu suportul vectorului aA gi aplicand formulele (9.64) in care

ao,=ao iar aor=0 se oblin coordonatele polului acceleraliilor:

A2

( u aa c ?ax - - ; ' ; , y - ^ - -

, ' r ' + e ' ( , ) - + [ '

0e unoe:

ts,p=i=4s'or=

(e.e6)

(e e7)

/o oR\

ro oq\

(e 1 00)

Distributia acceleralii lor este aceeagi ca gi cand rigidul s-ar roti injuru l po lu lu i J . Pentru a determina accelera l ia unui a l t punct B, se

construiegte o semidreaptd de aceeagi parte fali de JB, ca 9i aA fala de

JA gi care face un unghi g cu JB. Pe aceaste semidreapta se ia:

eB JBS a U : f = -

A " L J A

- JBde unde : l a8 l= aA l -

Ca exemplu de aplicare a metodei consideram un disc circular (fig.9.36)care se rostogolegte fera se alunece cu viteza unghiulare 0) = const. Pe unplan orizontal. Centrul discului O se deplaseazd rectiliniu gi uniform astfelcd acceleralia sa este nuld.

De a i c r rezu l td ca po lL .acce le ra l r i l o r J co inc ide cu O .Accelerat ia u ng h iu lara este deasemenea nuld.

Pentru un punct oarecare B.acceleratia are doar componentacentripeti, deci este dinlati dupddirectia BO in sensul de la B cetre

t ^ ^U 9l are valoarea aB = (o - UE .

Cand discul crrcular se migcaaccelerat (frg.9.37) rostogolindu-se

o * " '

Fig. I 36

Page 213: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

9. CrHemrrrcr SoLtouLut Rtcto 213

fara sd alunece pe un plan orizontal,presupunem ca la un moment dat

centrul sduAarevi teza VA gi acce-

leral ia aA.Viteza unghiulare va fi:

r , r = f (9 .10 ' .

iar acceleratia unghiulara:

. v 1 d a

R Rin care R este raza discului.

ln continuare se aplica constructia ca gi in cazul anterior.

9.4.4.2 Metoda planului acceleraliilorEste analoaga cu metoda planului vitezelor. Aceasta metoda este

reprezentarea la o anumite scara, faF de un polarbitrar ales, a acceleraliilormai multor puncte ale unua rigid sau sistem de rigide, la un moment dat.

Fie un corp in migcare plan-paraleld (fig.9.38) 9i doud puncte alesale situate in planul director:

- A un punct de referinld a cdruiacceleratie se presupune cunoscutd:

- M un punct oarecare,intre acceleraliile celor doua

puncte se poate scrie rela!ia (9 53)

du - i n+ i r f + rox ( t r r r p )(9 103)

cu vectorii ,,r gi r perpendicularipe planul director.

In relalia (9.103) se observa cavec'torul acceleralie al punctului M estecompus din suma urmdtorilor termeni:

- vectorul aa care este cuprins in planul director;

- vectorul e xf = g. t . ; = 6.ANl i=aun. i=aian care este cont inutin planul director gi reprezintd acceleratia tangentiala a punctului M fala de

(e 102)Fiq.9.37

7ueil

Fig 9 38

Page 214: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

zl4 MecaHrca

punctul A;

2 - 2 2 ^ r 2- v e c t o r u l , i . ( ' , ; . ' i ) u r " ( , " p i | , u 2 p u

' p u

' u l ' ] ' u

p AlVl, , 2' " "

v a "o v . a i rop

care este de asemenea conlinut in planul director, este orientat dupd direcliaversorului v gi reprezinta acceleratia normal5 a punctului M fala de punctulA.

qA h^2ra . la . i c .na

ay = aa +dya =dn +dile + airnin care:

dMA = di r tA rdMA

Pentru exemplificare se considerd mecanismul din fig.9.39, la caresunt cunoscute vitezele unqhiulare ale tuturor elementelor determinatedin planul vitezelor.

Acceleratia punctuluiA este:

6o= o" o f(e.1 06)

Pentru reprezentareagraf ica se alege un pol(fig.9.40) prin care se duceo directie paraleld cu O1Agi pe care se traseazd aAcu sensul de la A spre Oj.

Acceleralia punctului Bva fiparalelS cu direclia dedeplasare a culisei gi poate fi scrisd in functie de acceleratia punctuluiA:

5" =ao +- io +af io (e 107)Grafic se traseaza prin pol o paraleld cu directia x-x, iar prin a se

duce o oaralela la AB oe care se ia in sensul de la B sore A valoareaalo =co! na (e 108)

In continuare se traseaza o perpendicularii pe AB prin b' La intersectiaacestei perpendiculare cu paralela dusa prin p la directia x-x se gasegte

(2 104)

(2.105)

Page 215: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

9. Cnprunrrca Solrour-ul Rloro 215

Fig.9.40

a 5 = A l + a i

punctul b. Din polpane i n b es tevectorul aB.

Se determinA inmod analog accelera-l ia punctului C. Sescr ie acceleral iapunctului D legand-ope de o parte deacceler4ia luiB, iar pede al te parte demigcarea elementuluicq.- 6=6u+ - l r+a ig

(9.109)9 i

(9 110)

Grafic se duce prin b o paralele la BC pe care se ia de la C spre B

vectorul echipolent cu -i, , deci de modul:

alB =( ' ' j3 cB (e 111 )Prin c' se duce o perpendiculare pe BC. Se construiegte apoi vectorul

di paralel cu OrC Ai avand modulul:

at"=of, orC (s 112)Prin c" se duce perpendiculara la OrC. La intersectia acesteidirectii

cu perpendiculara dusa prin c' la BC se afla punctul c. Din pol panA in ceste vectorul a. .

9.4.5 AplicatiiProbleme rezolvate1. Doua roti solidare de raze R gi r sunt antrenate simultan cu doue

cremaliere (fig.9.41). Punctele A gi B au vitezele cunoscute tl > t2 . Sese determine pozitia centrului instantaneu de rotalie, viteza unghiulard

Page 216: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

z6 MecnHrcA

instantanee gi viteza centrului comunal celor doud roli.

Rezolvare:La interseclia perpendicularei 1n

A 'iB pe !&zeb v1 respectiv vl cudreapta ce unegte extrem i tal i le

vitezelor tr gi v2 se gasegte centrulinstantaneu al migcdrii.

Drn asemanarea trrunghrurilor for-mate se ob!ine:

v , (R + r )t R ' , '

Y t Y z

Sa n^rta e.r 'a . i

V ,v 2 t o l B d e u n d e : , ' : :, I B

$ i

v 1 = ( D ( r + R + l B )

astfel ce:

vl v, = trl(r 1 3) de unde: or vr -

l 'r + RDin aceste relatii rezulta cd:

v 2 Y t . Y z

l B r + Riar:

v , R + v r rV " = u r l U" R+ r

2. Dandu-se mecanismuldin figura 9.42 avand lungimile barelorOJA,AB, CD, OrD cunoscute. Pentru pozilia din figurii si se determine vitezelepunctelor A, B, C, D 9i viteza unghiulara a barei OrD.

RezolvarelBara O,Aexecutd o migcare de rotatie cu viteza unghiulard o,=const.Viteza punctului A va fi:

V 4 = o 1 O l A

Fig.9.41

Page 217: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

9. CrHeulrrcn Solrour-ur Rre ro 217

O 2o ;

L '

v-

I s lII

O 1

Fig.9.42Bara AB are migcare plan paralele cu centrul instantaneu in t,. Se

poate scrie ca:o ) 1 . O 1 4 = o 2 I 2 A

oe unoe:o ,A

0 ) . = ( 0 i . - -' ' I r A

iar .

r ) Av s u r 2 l 2 8 = r ' r . i ' " ' t r g

r 1 ^

9 i :o 'A

V C , " 2 . l 1 C , r , . - ' l 2 Ct 2 n

Centrul instantaneu al migcdrii barei CD se afle in t2, astfel ce sepoate scrie:

v6 = to3 . l3C

9 i :

v 5 = t o 3 . l 3 D

Tinand seama ce viteza punctuluiC a fost determinata anterior se deduce:

a2

(o =ct.

vD

Page 218: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

A8 MecerrcA

N v l ^ . ^

( r l . l r u - o j r ' l l uI z A

0e unoe:

o l A I ' Cn ) 3 = 0 ) l

t '| 2/ '1 | 3U

iar:

o,A r ,c . v h = u r , . . . l , u

" t 2 A t 3 C '

Cum se poate scrie gi cd:

Vo = coq O:D

rezulta ci:

vD OrA l2C l zD' ' 4 o rD

- ' l 2A l 3c o2D

3. O bard AB se deplaseaza intr-un plan fix, astfel ce trece mereu prinpunctul C, iar extremitatea sa A alunecd pe un semicerc de razA r (R9.9.43).

Si se determine centroidele migcarii plane ale barei giviteza punctuluiC de pe bara in functie de viteza punctuluiA gi de unghiul q.

Rezolvare:Vi teza punctului A

este perpendiculara pedreapta OrA, iar vitezapunctului C de pe bara areca suport bara AB, rezulteca centrul instantaneu albarei este pe cercul cucentrulin Oj gi de raza r.

Acest cerc reprezintacentroida fixe Cf

La acest rezultat sea junge dace se sc r i ucoordonatele centru lu iinstantaneu de rotalie linraport cu sistem u I dereferintd fix x1O1y1:

Fig.9.43

Page 219: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

9, Cneunrrca SoLrouLur RrGto 219

X r = r ' c o s 2 Q

Y 1 = r s i n 2 9

Eliminand unghiul variabil 9 se obtine ecualia centroidei fixe sau bazeica fiind:

x l +y l =12adica cercul C|

ln rapor t cu s is temul de axe xAy cent ru l ins tan taneu la recoordonatele:

x=2 rcosey = 2 rs ina

El iminand parametrulq se obt ine:

x 2 + Y 2 = 4 1 2

reprezentand un cerc de raza 2r gi care arc centrul in A. Este cercul C.,reprezentand centroida mobila sau rostogolitoarea.

La acest rezultat se ajunge observand ce in raport cu bara centrulinstantaneu I rdm6ne mereu la distanlaAl = 2r, de punctulA. Deci loculgeometric al punctului I este cercul C,.

Viteza punctului A are valoarea:vA =(!) ' lA =( l ) 2r

decr:

2 rViteza punctului C de pe bare are valoarea:

V a ^V . r u l U - Z f S l n O V A S l n 0"2 r

Probleme propuse:1. La mecanismul din figura 9.44 roata de raza r se rostogolegte ferd

alunecare pe periferia discului fix de razi R, fiind condusa de manivelaOA. Pe periferia rotii mobile este articulate biela BC de lungime L Lamomentul considerat, AB este perpendiculara pe OA. Sd se calculezevitezele de rotalie ale rotii mobile 9i bielei ca 9i vitezele punctelor B 9i C.

Rdspuns:

Page 220: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

n Mecarrcn

R+r( 0 1 = ( l . ) -

I

R+r-

'll' r't : ,^vB = ( , , Vz(K + rr ;

Fig 9.44

Fig.9.45

bx., yl o2 = 0 ecuatia bazei

b2 x2 +b2 y2 xa = 0 ecuatia rostogolitoarei

,1n-4( '- ' { ' l )vc

f -

2. Manivela O1O = 2r se rotegtecu (00 = const. in jurul punctului 01(fig.9.45). Ea conduce in migcareaplana un disc de raza r care serostogolegte fare alunecare ininteriorul suprafetei cilindrice de razdR=3r .

Sd se calculeze vitezele 9iacceleraliile punctelor A gi B alediscului .

Respuns:

v A = 4 r o ) o ;

v a = 2 n D r 0 , t o ,^ )

a ^ = l r n o '

au=2^!iru'f,3. Bara AB alunecd cu capdtul

sau A pe dreapta O,y, (frg.9.46) Sitrece mereu printr-un punct fix N4(01M = b). Sa se determine bazaci r^c l^^^ l i t^2rat

Rdspuns:

Page 221: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

9. Cnemrrrcl Sor-rouLut Rtoto

Fig.9.46

4. Un unghidreptAMC se migce in planulsdu astfelincat extremitatea Aaluneca pe axa ordonatelor iar MC trece mereu prin B situat pe O,x, la distanlaa de O,. Sa se afle centroida fixa $icentroida mobild daci AM = O,B (fi9.9.47).

Fig.9.47

Page 222: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

MecrrrcA

Rezolvare:Ecuatia centroidei fixe:

y l - 2ax l +a2 -o

Ecuatia centroidei mobile:

x2 2ay + a2 =0

5. Pentru mecanismuldin fi9.9.48 cunoscand elementele geometrice9i viteza unghiulard (1)1 = const. a manivelei O1A, si se determine vitezelegiacceleratiile punctelor mecanismuluiin poziIia indicate utilizand planulde viteze gi accelera[ii (OrB =BC gi OrC = OrD).

Fig.9.48

6. Cunoscand elementele geometrice gi or, = const. pentru mecanismuldin fi9.9.49, sa se determine pentru pozilia indicata vitezele gi acceleratiilepunctelor sale, utilizand metoda planuluide viteze giacceleratii.

Page 223: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

9. CrHeunrrcn SolrouLut Rte to 223

Fig.9.49

9.5. MI9CAREA SOLIDULUI RIGID CU UN PUNCT FIX

La studierea migcdrii unui rigid cu un punct fix se considere ce atatsistemul de referintd fix cat gi cel mobil sunt solidare cu rigidul $i auaceiagi origine (fig.9.50). Spre deosebire de migcarea de rotalie cu axe

fixd, vectoriivitezd unghiulard to gi

acceleralie unghiulare ; au dreptesuport diferite, variabile in timp.

in aceastd migcare punctelerigidului se deplaseaza pe sfereavand ca razd distanla de la acestepuncte la punctul fix Or. Astfel unpunc t oa reca re M a l r i g idu lu idescrie o curbd pe o sferd de razeoM=p .

Viteza punctului M este datede relatia:

i y = [ = c , r r pFig.9.50 (e 113)

Page 224: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

2A MecerrcA

Punctele care au viteza nula la un moment dat, sunt cele situate pedreapta suport a vectorului (D (aceasta dreapta (D) este variabile ca pozi(ie).

De aici se desprinde concluzia ce in orice moment exista o dreapte(A) ale carei puncte au viteza nule, iar distributia de viteze se face ca 9icum rigidul s-ar roti in jurul acestei axe.

Axa (A) se numegte axa instantanee de rotatie. Locul geometric alaxei instantanee de rotalie in raport cu sistemul de referintd fix este un concu varful in O, numit con herpolodic. Locul geometric al axei instantanee derotalie in raport cu sistemul de referinta mobil esteun con cu v6rfulin O. numit con oolodic. Aceste douaconuri sunt cunoscute sub numele de conurile luiPoinsot. in timpul migcarii rigidului, conul polodic serostogolegte fera sa alunece pe conul herpolodic,avand ca generatoare comune axa instantanee derotatie din momentul respectiv (fig.9.51 ).

Acceleretia punctului M (fig.9.50) se calculeazacu relatia:

dy = t : , . f +o i , . (o ' [ )

Se observd ci acceleralia unui punct al rigidului inmigcareade rotatie cu punctflx, are doue componente:

a)a x D = a;ot accelera,tia tangenliala;

b)co x (t,i x [) = diot acceleratia normalS.F i g . 9 . 5 1

Din (9.114) se deduce cd sangurul punct de accelerat ie nule este O,.

9.5.1 Aplicalii

1. Un con circular drept cu inellimea O,O = h 9i raza bazeiOA = R, serostogolegte ferd se alunece pe un plan fix (fig.9.52). Centrul O al bazeiare

o migcare uniforme cu viteza t0 . Sa se afle vitezele punctelor 41 (diametralopus punctuluiA) 9i M1, M, extremita[ile diametrului paralel cu planul fix.

Rezolvare:in momentul considerat, generatoarea de contact dintre plan gi con

este O,A. Mlgcarea conului este o rostogolire farA alunecare, astfel cdvarful O j al conului remane fix, iar vitezele tuturor punctelor dreptei OrAsunt zero in momentul considerat

in acel moment dreapta O.A este axa instantanee de rotatie.

( 9 1 1 4 )

Page 225: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

9. Cnemlrrca SolrouLut Rte to 225

OC

0e unoe:

Fig.9.52

inel t ime in t r iunghiu l OlOA se deduce ca:

Viteza unghiulara 0 derotal ie in jurul axei O1A segdsegte cu formula:vo =OC a r

ins tan tanee de ro ta t i e apunctului O, adica distanta dela punctul O pane la dreaptaO,A. Observdnd ca OC este

gesesc in planul CN41Mlgi CM, ' Valor i le lor sunt :

, ; - -v o v s . { h ' + R 'oc hR

Raza instantanee de rotatie a punctuluiAr este 2 OC, deci se obline:

v A j = 2 . O C . o = 2 . v 0

Razele instantanee de rotalie ale punctelor M1 9i M2 sunt CMi gi CMr.Rezultd:

Cl\/, = 6114, = !6c' - otvl,t =

Vitezele v, gi v, ale punctelor Mr gi l\4, sefiind perpendiculare pe razele instantanee CM,

Y t = V z - C M , . t o = V o

2. Un con circular drept avand indllimea h = 40 mm 9i raza bazei r = 30mm se rostogolegte fdrd se alunece pe un plan orizontal, avand vdrfulfixat peacest plan. $tiind ce viteza centrului cercului de bazii este de 480 mm/s, sese determine: viteza unghiulari (,), acceleratia unghiulara e , viteza giacceleratia punctului M.

Rezolvare:

r ;---,,/2 h' + R'

h

Page 226: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

2S MeclrrcA

Conul se rostogo-legte farA alunecare peplan, rezulta ca genera-toarea de contact cuplanul (consideratd axam ob i l a Oy ) es te od reap t i a le ca re ipuncte au viteza nula.Aceaste dreapta esteaxa i ns tan tanee derotatie.

in t impul migc6r i iaxa i ns tan tanee derotatie descrie planul (7r), deci axoida fixa este chiar acest plan, conulherpolodic fiind degenerat intr-un plan in acest caz.

in timpul migcerii fiecare generatoare vine in contact cu planul jucandrolul de axa instantanee, iar axoida mobild (conul polodic) este tocmaiconul a cerui migcare o studiem.

Migcarea conului se poate caracteriza cu ajutorul vectorului (i) situatde-a lungul axei mobile Oy (axa instantanee) gi egal cu suma celor doivectori viteza unghiulard oi, gi r,r, . Migcarea poate fi descompusa indoua rotalii astfel: o rotalie in jurul axei de simetrie A cu viteza unghiulare<i, 9i o rotatie (care are loc in acelagi timp) in jurul axei oz cu viteza

unghaulard 61 . Daca viteza punctului C are sensul din figuri rezulte sensul

vectorului 6i , care determine $i sensul celorlalti doi vectori - 9i ,,i2.Viteza punctului C se poate exprima in doua moduri:

1) in migcarea propriu-zisd pentru a determina viteza punctului C,consideram ca aceasta descr ie un cerc, intr-un plan normal axeiinstantanee Oy, avand raza CrC, astfel cA:

vc = co CzC

9i: C2C = hsincr

.^ 30 120de unde: CzC 40 24 mm

3. Consideram migcarea descompusa in cele doud rotatii componente.Cum punctul C se geseqte pe axa A, datorite rotatiei cu viteza unghiulara

Cz Cs Y

Fig.9.53

Page 227: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

9. CrNeirlrrca Solrour-ur Rrcro

6 2 , viteza sa este nula. Rezulti cd:

vc = CrC o runoe:

crc oc2 h.cos ' 40 f - 1 !o sz t t505

Egaland viteza luiC obtinuta prin cele doua metode, se obline:24a=32 ,J t t =480 mm/ s

De aici rezulta:

' 0 ) 1 = 1 5 r a d / s'

r o - 2 0 r a d l s

Din paralelogramul format in fi9.9.53 rezultd cd:

' l = t oz +n t lde unde:

, t j 2 = 2 5 r a d l s

Acceleratia unghiulara ; se obtine prin derivarea in raport cu timpul a

vitezei unghiulare oj .

Dar to = -20j fiand un vector de modul constant, dar de direclie

variabrla. dreapta Oy rotindu-se cu viteza unghiulard r,, , 1 5 i . Atunci:

d, ' , - ;

" d t ( . t r , ' r 1 . f i ) , 0 1 . , ' , l c K . { z u l J - J U U I

Viteza punctului l/ va fi:- : ; ^ ^ - *V M = O / U l V l = Z V l Y W t v l

Olvl oM cos 2c j . ov sin z" i

9 i :

OM-50 . : j ' 50 ^ - - k 14 j 48k25 ' 25

Rezulte ca:

227

Page 228: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

a MecnHrcA

tar:

oect:

vM - 20 j ' ( r+ i+aa i )= so i

6 r = i " O l i l + r 0 , . ( ( D , , i ) = i ' O l i + o i * v "

aM =300i , , ( t+ i+ae[ )* ( zo i ) , . ( so i ) = -1aa0oj +2280k

Probleme propuse:1 . Axoidele migcarii unui corp

cu un punct fix O sunt doue conuride rotatie (fig.9.54). Un punct A depe axa oz 'a axo ide i mob i l e ,determinat prin distanta OA, are o

migcare uniforma cu viteza to .Fie Oz axa axoidei fixe. Semi-

unghiurile de la varf ale axoidei fixegi mobile sunt q gi p. Sd se afle;

a) timpul T in care axoida fixdeste parcursa in intregime deaxoida mobild;

b) valoarea vitezei unghiulareinstantanee de rotalie a corpului,

Raspuns:

2 n OA sin(cr B)^ \ ' ro l | - -

v o Fig. 9 54

b ) ( ) = u 0

' OA .s i no2. Un con circular drept avand unghiul la varf de 90" 9i lungtmea

generatoarei de 160 mm lungime, se rostogolegte fare sa alunece pe oplace orizontala r, in jurul varfului sdu fix O (fig.9.55).

inillimea OC a conului executd o miqcare de rotatie in jurul axei fixe,normale in O pe planul pl ic i i ( r ) , cu vi teza unghiulard constanta

o t = 27rs 1 . Sd se determine vitezele gi acceleraliile punctelor A, B, C ale

conului , ca giaccelerat ia unghiulare a conului a .

Page 229: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

9. Crremarrcn Solrour-ur Rtoto 229

Ei^ O 4q

Respuns:

va = o ;aA = 64n2 cmS 2 ;

ve=32 I r cms 1 ;a , =64nE12 ms 2 ,

vc = 16r cms 1 ;a" = 3212 cms 2 ;

t =4 r2 rad / s2 .

3. Un con circular drept avand unghiul la varf de 60" 9i inallimea de100 mm, se rostogolegte uniform fira sA alunece pe conul fix (S) dinfig.9.56. indllimea OC a conului (C) se rotegte in jurul axei de simetrie a

conului (S) cu vi teza unghiulara constante (Dt = 4rs r .sasedetermine

vitezele gi acceleratiile punctelor A, 8, C apa4inand conului (C), ca 9lacceleralia unghiulard a conului.

Fig 9 56

Page 230: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

n MecertcA

Raspuns:

v a = 0 ; a A = 3 2 0 n 2 c m S 2 ;

v a = 8 O r c m s 1 ; a B = 3 3 0 n 5 n 2 m s 2 ;

v c = 4 0 n c m s 1 ; a 6 - 1 6 0 1 2 c m s 2 ,

t = 16,"8 12 rad I s2 .

9.6 MIgCAREA GENERALAA RIGIDULUI

Un rigid are o m igcare generale daca viteza originii reperului solidar cu

rigidul ( t0 ) Si viteza unghiulard ( 6 ) a acestui reper sunt vectori oarecare.

a. o.

Fig.9.57

unei axe (A) ce trece prin punctul A'carerotatii punctele B" gi C"aJung in B' 9i C'.

Astfel un rigid poate fi adus dintr-o pozitie oarecare in alti pozitieoarecare printr-o translalie gi o rotatie cu punct fix.

Considerdm un rigid in migcarea generale (fig.9.58). Fie M un punctoarecare al rigidului, A un punct de referinta solidar cu rigidul 9i o un punctfix din spaliu. Dupa un timp infinit mic At rigidul ajunge intr-o pozilie infinitapropiata. Ca urmare dreaptaAM ajunge in A,M,, printr-o rotatie cu vitezaunghiulare r,r injurul axei (A), trece din AM in AM' Si apoi otranslaliedin

Fie un ragid (fig.9.57 a)9i A, B, C pozi l i i le a t reipuncteale sale la momentult , iar A' , B' , C' pozi t i i leacelo rag i puncte lamomentul t + At (fig.9.57 b).Pentru a aduce rigidul dinprima pozitie in pozilia adoua, se imprima acestuiao migcare detranslalie careaduce punctul A in A', iarpunctele B 9i C in pozifiileintermediare B"respectiv C".

Pentru a se trece lapoz i l i a f i na la , se ddrigidului o rotatie in jurul

ramane fix. in urma acestei

Page 231: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

9. Cneunrrcn SoLrourur Rrcto

AM' in A,M,. Dreapta (A) trece prinpunctul A presupus fix.

Fata de punctul fix O vectorulde pozilie al punctului M se scrie:

l i \ 4 = r A + P ( 9 1 1 5 )

Viteza punctului M se oblinederivand relatia (9.11 5), astfel:v t 4 ' l v ' h 4 + P

a ^ . ; -

( 9 1 1 6 )

( 9 1 1 7 )

Fig.9.58

relatia (9.11 8) devine:

p F, = MMi * MTvl, A&Din figura 9.58 se observa ce:

P P r = A P

A& + A/vl, = Ail * rr,rM.'* rr,r q/o 1 t R \

cum, f f i=p l ;Af i=p

(9 11e)

(e 120)

(9 121\

(s 122)

gi se asemenea: M'M1 = AJqlCu aceste constatdri relatia (9.1 19) devine:

AP = MMi

Se cunoagte cd:

. d o , A oo = l = I l m l'

dt ^t 'o At

9i cu (9.120) se poate scrie:

. MM'O : l t m - = U = 0 ) x t )'

\ t 'o At

in care s-a notat i viteza punctului M pe arcul elementar Mlil' in migcareade rotatie in Jurul axei (A).

inlocuind relatiile (9.117) Si (9.122) in (9.116) se obtine viteza punctuluiM al r ig idului ca f i ind:

Page 232: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

m MEcANTcA

(e.123)

Cum p = or x O determina viteza in migcarea punctului M fate deounctul A. se noteaza:

; i = t i ><P=v rocu care relalia (9.123) devine:

i r = i x+ r i yasau:

r i y =v , , "n" ' + i ,o t

Astfel migcarea punctului lM se compune dintr-o migcare de translalae

cu viteza iA 9i dintr-o m igcare de rotalie in jurul axei (A), ce trece prin A,

cu viteza unghiulara ; .Acceleratia punctului lvl al rigidului se obtine derivand relatia (9.123):

V M = V A + ( r ) x p

a" = i r = da +e xp+r i x ( t i x i r )sau :

d y = a o + - y a

in care s-a notat cu:

drur =i ' [+tu ' ( t ' r , .P)

(e.124)

(e 125)

(e 126)

(e 127)

(e 128)

rio l rO\

De asemenea se poate scrie cd acceleratia punctuluiA al rigidulurare

doua componente: acceleratia de translatae ( dA ) giacceleralia de rotalie (aro ).Toate migcerile rigidului prezentate in acest capitol sunt cazuri

particulare ale migcerii generale a rigidului, astfel:

a)dace 6 = 0 atunci gi ; = 0 se obline o migcare de translalie. Dacdinplus ta este constant in timp migcarea de translatie este rectilinie $i uniformd;

b) dace iA = 0 deci 9i ae - 0 milcarea este de rotatie cu axa fixe

sau cu punct fix. Cand in plus (') este constant in timp migcarea derotatie a rigidului este uniforme;

c) daca iA = ho gi aA = ha migcarea este de rototranslalie,

d) dace vectorul ta este permanent cuprins intr-un plan fix (r), iar (,) estepermanent perpendicular pe planulfix (n), atuncise obline migcarea plan-parabE.

Page 233: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

9. CrHelrancr SoLtouLut Rtcto

Relatia (9.123) evidenliazd o serie de proprieteli ale distribufieivitezelor in cazul migcarii generale a rigidului, dupa cum urmeaza:

a) Proiectiile vitezelor a doua puncte ale rigidului pe dreapta care unegtecele doud puncte sunt egale.

Pentru a demonstra aceasta proprietate, se considera doud puncteAgi M ale unui rigid aflat in migcare generald (fig.9.59).

Conform relatiei (9.123) intre vitezelecelor doue Duncte se ooate scrie:

i rv = i r +t r l xAM (e 130)

233

Se inmullegte scalar aceastd rela,tie cu

versorul e al directiei AM gi rezultd:

v M v A . ; . A l V l e ( 9 1 3 1 )

9 i

(s 132), I . l

oeoarece proousut mrxt 1. , . AMI e 0

( 4114 este colinrar cu e 1 se obline:

vM .6 = tA .e (9 .133 )

Fig. g.5g PrVn,6, = Prve," , (9.134)

b) Proiecliile vitezelor punctelor unui rigid in migcarea generala, pe

direclia vectorului o sunt egale.Fie A 9i M cele doua puncte ale r ig idului ( f ig.9.60).

Relalia (9. 130) se inmullegte scalar cu versorul d,., al directieivectorului

viteze unghiulare d :/ " ' \ . ; / o . ? F \Vnr 'e . . vA e I I ' 1 ,

. A lv l . / c , , \ v rcc ]

deoarece (; ' nlrt) 0,, - 0 pentru ci ri 9i e,, sunt colineari rezulta:

/ - \V M 6 = i A e + ( r o x A M / . e

t M . e , , = t A . e , ,

p r V . = 0 r v , , . , ,

(s 136)

(e 137)

Page 234: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

& MecarrcA

Aceasta propr ietate evidenl iazefaptulcd in migcarea generald nu existepuncte de viteze nule (deoarece proiec,tiavitezelor diferitelor puncte pe direcliavectorului ri este aceeagi). Daca vectorii

v gi t'i sunt perpendiculari intr-un punct,proprietatea se menline pentru toatepunc te le , i a r m igca rea r i g idu lu i setransforme intr-o m igcare plan-paraleld.

Se obse rva de asemenea cadistributia vitezelor in migcarea generalda rigidului are doi invarianti gi anume:

- vectorul 6 , invariant vectorial;- proiecl ia v i tezei t pe direcl ia

vectorului (r) :

Pr vr, . , r = (e .138 )

c) Distributia vitezelor in miscareagenerala este identica cu aceea a uneimigcdri elicoidale. Pentru a demonstraaceasta este suficient sa se arate ceexist5 puncte a ceror viteza este coliniard

cu vectorul or .Pentru un asemenea punct notat P

(fig.9.61 ) relatia (9.'123) se scrie:

io = ria + ri " io (9.139)

Se inmulle$te vectorial la stangarelatia (9. 1 39), obtinandu-se:

to r io = n; t io +t i , , (c i , , io)

(e 140)

cum Vo = V,,, rezulti:

Fig.9.60

+; ( , ; . i )=o F i g . 9 . 6 1

( 9 . 1 4 1 )

Page 235: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

9. Cneuerrcn SoLtouLut RtGto 235

/ - \ - - t -J v " ' l t r r ^ l u t u r ' r ^ - 0

P I P

0e unoe:

_ ( ( l ) . rp) (o r i x io

0 ) _ 0 ) _

AP^ = - = i- P^P = r- ).1'r =

Notand:(r'

giinlocuind in relatia (9.143) rezulte:

6 r v of ^ = / t t D + - -

Relalia (9.145) reprezinta ecua!ia vectorialA a unei drepte (4") careeste paralela cu (A), ce trece prin punctul P". Aceasta dreaptd se determinecu aiutorul urmAtoarei relatii:

0 ) . r ^2 ' "

o x v A2

(9.142)

(e 143)

(9 144\

(e 145)

(9 146)

Prin urmare migcarea cea mai generala a unui rigid se reduce 1npunctul P la o migcare compusa dintr-o translalie in lungul dreptei (Ae) cu

viteza tp 9i o rotatie in jurul aceleiagi drepte cu vlteza unghiulara ; , adicala nigte migcari instantanee de gurub.

Dreapta (4") care reprezinte loculgeometric al punctelor P se numegteaxa instantanee a milcerii.

Loculgeometric alaxelor instantanee ale migceriiin raport cu sistemulde referinte mobil este o suprafala numitd axoida mobile, iar in raport cusistemul de referintd fix o suprafalS denumita axoida fixa. Cele doua axoidesunt tangente, axoida mobila rostogolindu-se fala de axoida fixa in lungulgeneratoarei comune gialunecand in acelagitimp pe aceasta.

Distr ibut ia accelerat i i lor este datd de relal ia (9.127). Se poatedemonstra ca distributia acceleraliilor in migcarea generale a rigidului,este identicd cu cea a unui rigid cu punct fix, ca gi cand rigidul ar avea capunct fix polul acceleratiilor.

Page 236: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

10

MI9CAREA RELATIVA

10.1. M I$CAREA RELATIVA A PUNCTULUI MATERIAL

10.1.1 ceneral i t i t i

ln natur i nu exista sistem de refer in!5 f ix. Pentru major i tateaproblemelor sistemele de referinte legate de pemant se considere fixe.

Existd gi probleme care ampun raportarea la un sistem de referinticare se afld ln migcare fatd de un sistem fix.

Presupunand ce sunt cunoscuti parametrii cinematici care deflnescmigcarea punctului in raport cu sistemul de referinta mobil gi parametriicinematici ce caracterizeaza miQcarea sistemuluide referanta mobilfati decel f ix, nec u nosc u te leproblemei sunt parametriic inematic i care def inescmigcarea punctului fata desistemul de referin!e fix.

In migcarea relativa apunctului material intervinurmatoarele notiuni:

l .Migcarea absolutdeste migcarea punctului inraport cu sistemulde referintafix x101y1z1 (fig.10.1). Vitezagi acceleralia punctulua inaceasta migcare se numesc,viteze absolutd respectivacceleralie.

2.Migcarea relat ivaeste migcarea punctului in Fig. 10.1

Page 237: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

10. Mrscenee RELATTvA

raport cu sistemul mobil xOyz. Viteza gi acceleratia punctului in aceastemigcare se numesc viteze relativd respectiv acceleratie relative.

3.Migcarea de transport este migcarea punctului solidar cu reperulmobil, in raport cu sistemul de referinti fix. Viteza gi acceleratia punctuluiin aceasta migcare se numesc vitezd de transport respectiv acceleraliede transport.

Pentru a determina migcarea de transport se observd cd aceastaeste migcarea care ar avea-o punctul material dacd ar inceta migcarearelativd (s-ar solidariza cu sistemulde referinta mobil).

10.1.2 Compunerea vitezelor in miicarea relativi

Cunoscand mi$carea punctului lvl in raport cu sistemul de referintamobil(fig.10.1) Simigcarea sistemului mobil in raport cu sistemulde referintelix, sd determinem elementele cinematice (viteza gi acceleralia) ale punctuluiM fata de sistemul fix.

Vectorul de pozilae al punctului M fatd de sistemul fix se scrie:- . . I . . : - ;1 1 = ^ 1 h + y l I + 2 1 ^ 1 ( 1 0 1 )

incare: l,r,k1 suntversorii axelor sistemului de referinta fix, constantiint imp, iarx, , y, , z, sunt coordonatele punctului M in acest s istem, funcl i idet imp cont inue gi der ivabi le.

Vectorul de pozitie al punctului lvl in sistemul mobil este:

i =x i * y j+z i ( 10 .2 \

unOe: i, l, t< sunt versorii axelor sistemului de referinla mobil, variabili cadirectie, iar x, y, z sunt coordonatele punctului M in sistemul mobil gifunctii de timp continue gi derivabile.

Vectorulde pozilie al punctului M fala de sistemul de referinta fix, sescr ie ( f ig .10.1) :

q = r o + i (10 3)Prin deravarea relatiei (10.3) se obtine viteza absolute a punctului M:

237

dar:

9 r :

- t o

(10 4)

(10 5)

Page 238: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

m Mecettca

(10 6)

(10.7)

i gi se numegte viteza

(10 8)

(10 9)

(10.12)-

unde:

i i +V i+2k= : - := t 't,rl

reprezinta derivata relativa sau locale a vectoruluirelativa.

SeQt i ecd : i =o i r i ; j =o i ' j ; k= ro xksunt vectori constanti ca mdrime, variabili doar ca darectie, astfel ce:

: l - . \ :x l = x ( o x l J = u r r x t

: / - \Y J = Y 1 o r r l , f = t , t ' Y 1

zk - z(ti 'k) = r,r ,. zk

in care vectorul (o reprezinta variatia sistemului mobil fatd de cel fix.Asadar:

(10.10)

Cu relatiile (1 0.7) Si (1 0.10) derivata absoluta a vectorului de pozitie

( 1 0 . 1 1 )

lnlocuind relatiile (10.5) 9i (10.11 ) in (10.4), rezulte cd expresia vitezeiabsolute a ounctului M este data de relatia:

x r . v i z k , j . l x i v i z k l , ; . iI

r se scne:

: ( ) ff = +0 ) x f

aiV ^ = V ^ + + ( L r ^ f

in care:

ai =vr este viteza relative a punctului M in raport cu sistem ul mobil,i I

ca $i cand acesta ar fi fix;

Page 239: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

10. Mrscanea ReurrvA

ie + r,i " i = vt este viteza de transport a punctului M solidar cu

sistemul mobil, in migcare fal6 de sistemul de referinta fix;Cu aceste notalii relalia (10.12)devine:

(10 .13 )Relatia (10.13) reprezinta legea de compunere a vitezelor in migcarea

relativd care se enunta astfel: viteza absolutd a unui punct este egale cusuma vectoriala dintre viteza relatava gi viteza de transport a punctului.

10.1.3 Compunerea acceleratiilor in migcarea relativi

Dacd se der iveaze in raport cu t impul relal ia (10.12) se obl ineacceleratia absolute a punctuluiM, astfel:

239

d i . d V ^ d / ; i ) d , , ; d ia ^ = - - l l - | f l u . -

" d t d t d t \ , t , / d t d t

in care:

dt .d t

O a,'f e ' t a r..tz Atd t , l t

(10 14)

( 1 0 1 5 )

( 1 0 1 6 )

(10.17)

(1018 )

(10.1e)

t f(deoarece vectorul - este exprimat in sistemul de referinla mobil, iar

derivarea se face in sistemulde referinte fix).

dc,rdt

O f c f= + ( D x f

d taln locuind re la l i i le (10.15) , (10.16) , (10.17) 9 i (10.18) in (10.14) se obl ine

acceleratia absolutd a punctului M ca fiind:' 2 ; r ;

a " a ^ L r I r ' l t r ' r l ' - t Z t l' i l ' , 't

lgnorand migcarea de transport ( vo =0,ao = 0,o =0,4=0)seobl ine

din ( 10.19) acceleratia relativd:

Page 240: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

?fr MEcANTcA

- r iv . t ' (

-' ;.t a(

(10.20)

l r r r ^ . r r - I ^ l- U s l - - U I1,1 )

. dt 'a , = = 4 "' d t

Daci se ignore migcarea relativa, ca gicum r ar ficonstant ca mirime

, din relalia (10.19) se ob\ine acceleratia de transport:

+ i ' i +6 ' ( o i ' i )

Se observa ca in rela,tia (10.19) a acceleratiei absoluteaccelera!ia relative qi de transport mai intervine un termen:

, ' i ^_ _2 u . = Z r t V - = a ^

it

(1021)

pe langa

(10 22)

acesta se numegte acceleratie complementara sau acceleratia Coriolis.Din relalia (10.22) se deduce cA acceleratia Coriolis este nula dace

migcarea de transport este o translatie ((D = 0 ) sau dacd vectorii oi 9r ri,sunt paraleli.

Cu aceste notalii relalia (10.1 9) devine:

d " = i , + a t + a " (10 23)Relatia ('10.23)exprimA legea de compunere a acceleratiilor in migcarea

relativa: acceleratia absoluta a unui punct este egala cu suma vectorialadintre acceleratia relativa, acceleratia de transport qi acceleratia Coriolis.

10.1.4 Apl ical i i

1. Un disc de raza R se rotegte cu vitezd unghiulara constanti r,ro in.iurul unei axe perpendiculare pe planul seu ln O. Pe periferia disculut sedeolaseaze un Dunct l\4 cu viteza constante in u.

Se se determine viteza absoluta si acceleratia absoluta a ounctuluiM la un moment dat ( f ig.10.2).

Rezolvare:Viteza relativd a punctului M este:

Disculare migcare de rotatie, astfel ca viteza de transport a punctuluiM va fi:

V 1 = o e R

Page 241: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

10. Mrgcnnen ReurrvA u1iar viteza absolute rezulte:

v , l - l r uoR-uAccelera! ia relat iva a

punctuluiM are doue componente:

al =u=0 (Pentru ci u=cons-tan0

t t 2

' R

Acceleralia de transport apunctului M are componentele:

a i =rbsR=0 (deoarece oo=constant)

ai =orf rRAcceleralia Coriolis are direclia gi sensul determinate de produsul

vectorial:

a " = 2 < ' \ " i 'iar modulu l dat de:

ac = 2ro o u s in 90o

Cu aceste valori rezulta ce acceleratia absolute a punctului M este

, , 2d, - : , r ' , f rR .2 , "ous in9Oo

rt

2. U n tub inclinat cu 300 fata de axa verticale (A), se rotegte in jurul eicu viteza unghiulara o = 2t (fig.1 0.3 a). Un punct mobil M se deplaseazain interiorul tubului de la O spre A cu viteza u = constant. Sd se determineviteza gi acceleratia absoluta a punctului M la un moment dat.

Rezolvare:Punctul M se deplaseaze in lungul barei cu viteza relativa constanta:

Bara OA avand migcare de rotalie in jurul axei (A), viteza de transporta punctului [I are direclia tangenta la cercul de raza O'M, cu sensul dat deo 9i modulul :

vt = co O'M

o o l ^ v

Lo*1\+

Fig. 10.2

Page 242: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

?42 MeclnrcA

ii+ a'"

(^)

a.b.

Fig. 10.3

O'M - OMsin 30o

iar: OM = sf = u t adice drumul parcurs de M in migcarea relativa, deci:

U tv , = rD : :=u t z' 2

Prin compunerea vectorilor V, gi it se obtin direclia gi sensul vitezeiabsolute a punctului M, iar valoarea ei va fi:

r -v" = r /v i + v i = uJ1+ t"

Accelera!ia relativd a punctului [4 este:a, =v, = 0 (Pentru ce u = constant)

Accelera!ia de transport a punctului M are componentele:

a i = t i r 'O 'M

l tin care: ( ; = 2 iar O'N/ l = : - :

2

\ *o'L

Page 243: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

10. Mrscrner RErarrvA

astfel cii: af - u 1

2 a ' r r a . . . 39 1 . < l t = ( o \ r r v l = z u (

Acceleratia Coriolis are directia gi sensul dat de produsul vectorial:

a c = l o t V l

9i modulul :

a " =2 2u ts in l5Oo = 2u t

Din compunerea vectorilor ai,ai,dc (fig 10.3 b) rezulte acceleratiaabsoluta a punctului N4, de modul:

3. Un cerc avand Gza R se rote$te cu viteza unghiulara constanta<,r,=roo in jurul unei axe orizontale, continuta in planul cercului gi situata ladastanla 2R de centrul C al acestuia (fig.1 0.4 a). Un punct se deplaseazdpe circomferinla cerculua, avand o migcare circulara cu viteza unghiulara0),"r=2oo=constant. Sd se determine vitezele gi acceleratiile absolute alepunctului in pozitiile A, B gi D.

f, {'ox)u"B

it o(,or)

Fig. 10.4

Rezolvare:in migcarea relativa pe cercul de razd R cu co,"=2t|r0, vitezele liniare

ale punctului sunt egale in modul pentru cele trei pozitii, iar direclii le gisensurilor lor sunt indicate in fig. '10.4 a.

u.B

Page 244: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

MecmrcA

Vro = Vr, = VrD = (Dret 'R = 2(l)0 R

Vitezele de transport in punctele A, B gi D sunt date de migcarea derotalie a cercului cu or=(Do:

v t A = v t D = t o l 2 R = 2 o o R

9 i :Vru = trrr ' l ft - J6o P

Vitezele absolute se oblin prin compunerea vectorilor v, 9i v, pentru

fiecare pozi.tie (fig.10.4 b), astfel:

?A

ntvi + v[ = 2 ' l2 of R'

n t v [ +v [ = r /13 u r f R ;

r - - ^u"" = Jui +vl" =z.lz .l .a

Acceleratiile relative ale punctului au numaa componentele normaler'r," =2trro=ct., fiind egale in modul pentru poziliile A, B 9i D, directiile 9isensurilor acestora fiind reprezentate in fig 10.4 b:

2 ,o = ? ,u =a , " =a r l R=+u ' f r R

Acceleraliile de transport in puncteleA, B gi D au de asemenea numaicomponentele normale, or,=coo=constant:

a1o - a1o = or f 2R - 2 ( l ) ; R

a," =u,f 3R - 3,rfr R

Acceleraliile Coriolis sunt egale in modul pentru poziliile A 9i D,directiile gi sensurile sunt reprezentate in fig.10.4 b, astfel:

? " ^ =d "o =2 roo 2cooRs in l=4o f rR

9 i :a.u =2oto 2oro Rsin I = 0

Acceleraliile absolute ale punctului in cele trei pozitii se oblin prin

compunerea vector i lora. ,dr,dc pentru f iecare pozi t ie ( f ig.10.4 b), iarmodulele lor rezultd:

Page 245: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

10. Mrgcnnea RererrvA 245

=6,"6R

Probleme propuse:1. Mobi lu l M se deplaseaza cu vi teza constantd u, de-a lungul

meridianului de la sud la nord (fig.10.5). Se se determine viteza giacceleratiaabsolute a mobi lu lui M in momentulcand pozi t ia sa este data de unghiulp, gtiind ca viteza unghiulara a globului pamantesc este constante giegalacu o), iar raza este R.

Raspuns:

"" = i[' .

"l R'"".a

Fig. 10.5

2. Un triunghi dreptunghic isoscel OBA serotegte in planul siu in jurul vArfului O cu vitezaungh iu la rd cons tan ta o . Un punc t M sedeplaseaza pe latura AB cu viteza constante u,parcurgand distanta AB in timpul unei rotatiicomplete a tr iunghiului ( f ig.10.6). Sa se deter-mine viteza gi acceleratia absoluta a punctuluiM in momentul in care se afl6 in B. daca AB=a.

Rdspuns:

a0)

z 7 t

a a ) _

1I, l l . ," - r" '

Fig. 10.6

Page 246: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

?fi MecaHrcA

3. Tija AC se rotegte in jurulpunc tu lu i A . rezemandu-se i nacelagi t imp pr in intermediul unuiinel P pe un semicerc frx de raza'( f r9.10.7), ast fel incart rnelul estegh ida t pe semice rcu l APB. Lamomentulinilialt|Ja Ac este in pozrtieorizontala, coincizand cu diametrulAB, iar viteza sa iniliali este nuld.

Fig. 10.7

Cunoscand cd acceleratia unghiulara a tlei AC are valoarea e=kcos rp,unde k este un coeficient constant, sa se determine viteza absoluta a ineluluiq deasemenea componenta accelerataeiabsolute dupii tangente 9i normalaprincipala in functie de e.

Raspuns:

Y a - 2 r

a ; = Sk rs ine ;

a l =2k rcos tp .

4. in figura 10.8 sa reprezentat un mecanismformat din doud axe paralele, perpendiculare peplan in O gi Oj, manivela OA gi culisa O,B. Suntcunoscute: distanla dintre axe OO,=300 mm,lungimea manivelei OA=100 mm. Manivela OAse rotegte cu viteza unghiulare constante o=4s1.

Sa se determinela) viteza relativi 9i de transpo( a punctuluiA;b) viteza unghiulare (,)r a culisei, cand

manivela formeazd cu verticala unghiul 9=600;c) acceleralia relativd gi de transport a

punctului A;d) acceleralia unghiulard 11 a culisei in

momentul considerat.Raspuns:

2k s i na ;

Fig. 10.8

Page 247: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

a)vh - 2427 mmls ,

v \ =277 ,3 mmls .

b ) r r l 1 = 0 , 7 7 s 1

c)a,^ = 896 mm / s2 ;

a.tr^ = 213 mm I s2 '

ai^ = 778,8 mm I s2

d ) e , = 2 , 1 5 . z

Fig. 10.9

5. Mobilul M se deplaseaza pe perjferiadiscului D de raze R dupa legea s=AM=rt,(fig.10.9). Discul este articulat in A gi B cumanivelele O1A gi OrB care se rotesc in jurulp u n c t e l o r O r r e s p e c t i v O , d u p d l e g e a

q - r 3

o - l rao I' 4 8

Sd se determine viteza gi acceleratiaabsoluta a punctului M la momentul t=tr=2s,dacd O,A=OrB=200 mm gi R=160 mm.

Rdspuns:

v " = 7 6 3 m m / s ;

a" = 2130mm I s2 ,

10.2. M I9CAREA RELATIVA A SOLtDULUt RtctD

10.2.1 ceneratitati

in acest capitol se studiaze distribulia vitezelor gi acceleratiilor inmigcarea unui solld rigid in raport cu un sistem de referintd mobil. Se considereun rigid, un sistem de referinte fix 'ro (xoooyozo), un sistem de referinta mobilnr (xiO1y121) gi un sistem de referinte solidar cu rigidul r, (x iOryrzr), fig.1O.iO.

Page 248: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

?fi Mecarrca

Migcarea relat ive arigidului fali de reperul ft1este definiti de vectorul

V21 , viteza originei O, areperuluir, fala de reperulrT1, ca gi prin vectorulvitezaunghiulard o) 21 al rigiduluiin migcarea sa relative faldde reperul mobil 7I1.

l\/igcarea reperului nlfate de reperul fix ro este

def ini ta de vectorul t1o,viteza originel Or a reperu-lui rr fatd de reperul fto, ca gi prin vectorul vitezaunghiulara ;10 al migcdrii reperului n fata de reperul ;ro.

10.2.2 Compunerea vitezelor in miscarea relativA a soliduluir ig id

Conform relaliei (10.13)viteza absolute a unui punct oarecare NI alrigiduluieste suma vectoriala a vitezelordin migcarea relative gimigcarea detransport

Viteza relativd a punctului M (fig.10.2) este viteza in migcarea acestuiafata de reperul mobil 11, adica:

i , = izr +r, izr rOF (10 24)Viteza de transport este viteza punctului M considerat solidar cu

sistemulde referinta mobilr, in migcare fald de sistemul de referin16 fix n":

i r = i , o + r i r , o x O r M (10 25)Insumand rela!iile (10.24) 9i (10.25) se obtine viteza absoluta:

(10 26)Se poate demostra ca expresia (10.26) care reprezintd viteza unui

punct M al rigidului, poate fi generalizatd atunci cand ar exista mai multemigcar ide transport (maimulte t r iedre mobi le r , , nr, . . . , rn 1 iartr iedrulrn arf i sol idar cu r ig idul) , atunci :

va V. . Vr Vro , Vrr , , , "0 , d ,M r , . , r , r O2l \ , i

nr=In,, , ,*) ; , , , , .o$i 1 i 1

Fig. 10.10

(3 27\

Page 249: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

10. Mrscrnea RELAnvA

10.2.3 Compunerea acceleratiilor in migcarea relativi asol idului r ig id

in capitolul anterior s-a v5zut (relatia 10.23) cii acceleratia absolutd aunui punct oarecare M este suma vectoriale a acceleratiilor din migcarearelative, migcarea de transport gi a acceleratier Coriolis.

Acceleralia relative a punctului M (fig.10.10) in migcarea lui fa(d detriedrul mobil 7I1 este:

- - I . \

a, - a2, + t21 . O2M + (u2r x \c ' r . x OrMl (10.28)

in care: 421 este acceleratia originii triedrului 1I1 fat5 de triedrul rj;

;21 este acceleratia unghiulare in migcarea relativd a rigiduluifatade triedrul r,;

Considerand punctul M solidar cu triedrul mobil r,, din migcareaacestuia fate de triedrulfix ro se obtine acceleratia de transport:

. \d , d o ' c ,o . O,M + o.e . lu '1e ' O,M/ (10.29)

Acceleratia Coriolis este data de relalia:/ - l

a. = 26" ' lV21 + t - r21 " O2Mf (10 30)

Cu relatii le de mai sus rezulte acceleratia absolute:

a . d r , ' d , o . , : 2 r . O 2 l \ , i , r , o . O , f i , ' ; r , . ( , , " , . O , l r r l ) ,

+ ti,o x [6,s >< O,M]+ 2to,e ,, l i21 + r,rzr + OzM/

( 1 0 . 3 1 )Ca 9i in cazul vitezelor relalia (10.3'1) poate fi generalizate pentru

cazul mai mul tor t r iedre , r1, , r2 , . . . ,?r i .

49

Page 250: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

11

ALE CINEMATICIITEHNICA

In tehnice pentru transmiterea gitransformarea migceriide la un motorla magina unealta sunt necesare un numer de piese intermediare delegatu16, care in ansamblu alcatuiesc un lant c inematac denumitmecanism. Deci, din punct de vedere cinematic, un mecanism este unsistem de corpuri legate intre ele, care igi transmit unul altuia deplaserile,vitezele qi acceleratiile, pornind de la un element initial, numit elementconducdtor gi terminand cu un element f inal numit element condus.Cunogtintele de cinematica expuse in capitolele precedente igi gdsesc olarga aplicare in tehnica la studiul acestor mecanisme.

Deoarece studiul miscarii mecanismelor formeaze obiectul unei dis-cipline separate de "Teoria mecanismelor gi dinamica maginilor" in celece urmeaza sevor prezenta sumar, subforma de aplicatii, cateva exemplede mecanisme simple, utilizate in constructia de magini. in contrnuare sevor exprima pentru aceste mecanisme rapoartele de transmisie, acesteaconstituind elemente principale in proiectare.

Se deflnegte a fi raport de transmisie, raportul dintre viteza unghiulara(turalia) a rotii motoare giviteza unghiulara (turatia) a rotii conduse:

. o )1 n1' ' . .

tJ z n2

11.1. TRANSMISIA PRIN CURELE

Migcarea de rotalie a unei roli de razd R1 cu viteza unghiulard or, sepoate transmite unei alte roli de razi R, cu ajutorul unei curele detransmis ie ( f ig . 11 . 1) . Presupunand cureaua inextensib i la g i ca f recareadintre curea Si roti este suficient de mare pentru ca sa nu alunece cureaua

APLICATIIIN

( 1 1 1 )

Page 251: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

11 . Aerrcryrr ale CrHemarrcrr iH TetHrcA 251

Fig. 11 .1

. (r) r R,' '

t ' , t , R1

pe roli, ci sii se roteasce odata cu ele,merimile vitezelor punctelor punctelorde pe curea v. gr a celor de pe penfenacelor dou6 ro{i, sunt aceleagi:v = r r l 1 R 1 = o r 2 . R 2 . f i 2 )

Rezulte raportul (coef icientul) detransmisie:

Deci, raportul de transmisie este egal cu raportul invers al razelorrotllor de curea gi se poate exprima 9i prin intermediul turatiilor gi aldiametrelor celor doue roti.

Raportul de transmisie (11.3) este pozitiv cand sensurile de rotatieale rolilor O1 gi O2sunt aceleagi gi negativ in caz contrar Inversareasen luide rotatie se poate realiza dace se utilizeaze curele incrucigate.

In figura 11.2 se prezinta o transmisie multipla, formatd din maimultetransmisi i s imple.

Pentru fiecare din cele trei curele se obtine:

V r - 0 ) t . R r = 0 2 f 2 , V Z = c o Z R Z = r D s . f s ,

V 3 = o l 3 ' R 3 = o r 4 ' I 4 ,

oe unoe:

(11 3)

( 1 1 4 )( D , G l " l. 4

u r 4 R t . R 2 R J

Fig. 11 .2

Page 252: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

252 MrcarurcA

Observalii. a) expresia raportului de transm isie (11 .3) este aceeagigi in cazul transmisiei prin roti cu frictiune; b) transmisiile prin curele sepot folosi in anumite cazuri gi intre axe, care nu sunt paralele, fara a seproduce modificeri, din punct de vedere cinematic, dar in acest caz pericolulde alunecare a curelei sau azverliea ei in afara rotilor este mai mare gitrebuie luate mdsuri speciale de sigurantd.

11.2 TRANSM ISIA PRIN ROTI DINTATE

Un alt milloc de transmitere a migcarii de rotatie de la o roataconducetoare la o roata condusd, se poate realiza prin intermediul rotilorcu dinli care se angreneaza intre er.

Dace axele rolilor dinlate sunt paralele, dantura este taiate pe roticilindrice, iar dacd axele ro[ilor sunt concurente, dantura este teiata pe roticonice (de fapt trunchiuri de con).

La rotile dintate cilindrice angre-narea poate fl exterioard (fig. 11.3) sauinterioara (fig. 1 1.4). Principalele elementegeometrice ale unei roti dinlate cilindricesunt: cercul virfurilor, cercul fundurilor gicercul de rostogolire (rulare) care reprezintdlocul geometric al punctelor in care doueroti in angrenare au aceeagi vlteza.

La rotile dintate cilindrice cu danturedreaptd nedeplasate, cercul de rostogo-lire coincide cu cercul de divizare.

in cele ce utmeaze, pentru simplifi-care. vor fi desenate numai cercurile derostogol i re de razeRr 9i R2 (v. f ig. 11.39ifig 11 4;. in migcarea relativa, dintii uneiadin rotise rostogolesc Sialuneca in acelagitimp peste dintii celeilalte roti.

Migcarea relative a celor doua rotieste deci o migcare plane. Profllele dintilorse aleg astfel incat centrul instantaneu, inaceastd migcare plane, se fie tot timpulin punctul fix P al dreptei OrO2.

Fig. 11 .3

Fig 11.4

Page 253: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

11 . Aplrcrrrr are CTNEMATTcT iN TEHNTcA

Punctul P poarte numele de polul angrenerii. Punand conditia ca inpunctul P de tangenl; al cercurilor de rostogolire, cele doud roti au aceeagiviteza, rezulta:

Vp = t r r l R1 = o2 R2,

de unde rezulta raportul de transmisie:

253

. (r)r R,'

lr," Rj

(11 5)

(11 6)

Se poate evita folosirea razelor cercurilor de rostogolire, daca seexprima raportul de transm isie (11 .6) in funclie de numarul dintilor rotilor.Not6nd cu p pasul rotilor dintate (lungimea unui gol 9i a unui plin pe cerculde div izare), gi cu 21 gi 22 numarul lor de dint i , avem:

2 r R 1 = p z 1 , 2 n R 2 = p z 2 (11.7)

lmpa4ind relat i i le (11.7) 9i t inand seama de (11.6) se obt ine pentruraoortul de transmisie exoresia:

. o l r R , z ,

\ ) 2 X t Z 1

Fig. 11.5

comun, aga cum sunt conurile lui Poinsot in cazul rigidului cu punct fix,incat se poate scrie (fig. 11.5, b):

tr l2 = tr l , + r, l2t.

in calcule se iau razele medii Rtm gi R2m.Vitezele punctului comun P rezultS:

vo - o l l R1 r = t l 2 R2 . .

(11 e)

(11 8)

in cazul rot i lor d in lateconice ( f ig. 11.5,a), ca gi incazul rolilor dintate cilindrice,principalele elemente geome-tr ice sunt: conul varfu r i lor ,conul funduri lor 9i conul derostogolare. Pentru a se pro-duce o angrenare corectd,ad i c i o ros togo l i r e fe realunecare este necesar cacele doua conuri de rostogolireaie rolilor in angrenare sa fietangente gi sa aiba varful

( 1 1 1 0 )

Page 254: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

2y Mecnrtcl

Raportul de transmisie poate fi exprimat gi in acest caz prin intermediulnumarului de dinli 21 9 i 22 al rotilor dinlate $i prin intermediul unghiurilor c AiB exprimand razele mediiin triunghiurile dreptunghice OAP giOBP (fig. 11.5,a):

R z a i n ( 1 1 1 1 )

( 1 1 1 3 )

Daca unghiuldintre axele celor doua rot i este 90"(r-r ' l l - 90') . caz

des intalnit in practicd, raportul de transmisie se exprime astfel:

u ) r s i n B s i n Rr v l r'

o r , c in lqn ' n \ cos l l' - \ - -(11.12],

Transmiterea migcarii de rotatie intre doaarbori avand axele oarecarein spatiu, se realizeaze cu ajutorul rotilor dintate elicoidale. Dintii acestorroti sunt oblicifata de axa rotii, ei reprezentand porliunide elice, de unde gidenumirea de roata dintata elicoidale. O astfel de roate poate fi deci socotitaca fiind o portiune dintr-un gurub cu mai multe fileturi. Numdrul filetunlorde pe o roate corespunde numarului dintilor ei. Raportul de transmisie seexprima gi 1n acest caz. cu relalia

. ( r l r 22

' - l J z 2 1

11 .3. TRANSMISIA PRIN SURUB M ELC-ROATA M ELCATA

Aceaste transmisie cunoscute gi sub numele de gurub fara sfargifroata elicoidale, este un caz limitd al transmisiei orin roti elicoidale. incazul cand una dintre roti are diametrul foarte mic, dintii ei nu mai suntportiuni de elice, ci o elice continua (fig. 11.6), astfel incat ea nu sedeosebegte cu nimic de un $urub (melc). Numiirul dintilor este inlocuit inacest caz cu numirul fileturilor (inceputurilor).

Transmiterea migcdrii se face intre doue axe perpendiculare in spatiugi se realizeaze totodata o reducere substantiala a vitezei unghiulare agurubului melc. Aceaste transmisie este i reversibi le, din mot ive deautofranare, avand intotdeauna ca element conducetor gurubul melc iarca element condus roata melcate. Acest angrenaj este folosit in tehniceca reductor de viteze. cu raport de transmisie variind intre 'l... 80 lamagini gi ajungand pand la 500 la unele aparate de mare precizie gifinete.

Page 255: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

11. AplrcaTrr lle Cnemlrrcn ir TerHrcr 255

tl4?k2tR,,z,) 1i7

rrn ,, p)[jd.:1,/

Fig. 11.6 Fig. 11.7

in figura 11.6 s-a reprezentat o asemenea transmisie: cu 1 s-a notat gurubul

meb avand pasul p, raza R1 , numarulde inceputuri ni , unghiulde inclinare al

filetului {:t Ai viteza unghiulara (D 1 ; cu 2 s-a notat roata melcata avand raza

cerculuide rostogolire R2 , numerulde dinli 22 $i viteza unghiulare o 2 .Conditiile de angrenare implica gi aiciegalitate dintre pasul Surubului

gi pasul rotii melcate (grosimea unui dinte gi a unui gol masurate pecircumferinta cercului de rostogolire). Transmiterea migcdrii se face infelul urmator: in timp ce gurubul melc 1 face o rotatie completa cu unghiul01 =2r radiani , roata melcate 2 se rotegte cu unghiul 0r=2n1.,

corespunzitor unui dinte, adica cu un unghi de 22 ori mai mic. Dacd

me lcu l a re n i i ncepu tu r i , r oa ta me lca ta se ro teg te cu ungh iu l

o, = (2r Izr) n, .

Raportul dintre unghiurile de rotalie este:

8. 2r, z"0 ) ^ 2 n n i

r r i

in consecin!5, raportul de transmisie se exprimd astfel:

. ()r z.)' 1 2

e z o 1

(11 14)

--r... lO.

( 1 1 . 1 5 )

Page 256: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

2s5 MecarrcA

Raportul de transmisie (11.15) se poate expr ima gi in funct ie deelemenlele geometrice ale gurubului melc Ai a rotii melcate.

in figura 11 .7 este reprezentatd schematic aceasti transm isie in douaplane perpendiculare. Reprezentarea se face la un gurub cu Rletul pe dreapta,adica unul care, ingurubat intr-o piulita fixe, inainteaza in sensul vectoruluio)1 cu care este rotit gurubul.

Conform relatiei (9.36)viteza de "inaintare" a polului P pentru gurubulmelc si roatd melcata. este:

( 1 1 1 6 )

(11.17),

In tabelul 11 .1 sunt prezentate rapoartele de transmisie pentru diferitetransmisii utilizate in Constructia de masini.

11.4. MECANISME PLANETARE

Mecanismul planetar este alcatuit dintr-un sistem de roti dintateangrenate intre ele, ale ceror axe nu sunt fixe, ci mobile. Migcarea senumegte planetara intrucat fiecare roata are o migcare de rotatie propne injurul axei sale, precum gi o migcare de revolufie in jurul unei axe fixe,adica se comportd asemendtor unei planete sau unui satelit, deoarecediferite puncte ale rotilor descriu in migcarea lor, epicicloide, mecanismulplanetar se mai numegte mecanism epicicloidal.

Un astfel de mecanism, utilizat in constructia de ma$ini, este cel dinfigura 11.8, a. Eleste format din patru elemente: roata fixd O avand numdrulde dinli zo 9i raza cercului de rostogolire Ro, peste care se rostogolegteroata dintate 2, numitd satelit, cu numarul de dinla z, gi nze R2 rcatasatelit 2 executa o migcare plane gi este montate pe manivela 1, numit6bra! port satelit, bralul port satelit executa o migcare de rotatie cu axi fixdcu viteza unghiulare 0) r ; satelitul transmite migcarea de la bratul port satelit(elementul de intrare) la roata 3 cu danture interioara (elementulde ieqire),ce executa o migcare de rotatie cu axa fixe cu viteza unghiulard ro, .

v p = R ] c u , t g c r = p o 1 l 2 1 t = R / r 2 .

in consecinld, raportul de transmisie (11 .1 5) se scrie:

, o ) r 22 R2 2r 'R ,

"' t,t 2 21 Rt tgo p

Page 257: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

11. Aplrclrrr ALE CTNEMATTcT iN TEHNTcA 257

RAPOARTE DE TRANSMISIETabel 11.1

Tipul Schema lransmisiei Raporlul de transmitere

Cu ro t idefricl iune

!2

Ei , , \ n l R2 D2 01 61

f , : Rr D1 l l2 t :2 '

9rr = OAsinor: = OAsinlt

r), SlnlJ r.{ ) 2 s rnu i

. sinLJu l{ vU- - lr , = lgl l ;

s l n Q

Cu roli decufea

f . 'o

@>qP' ',.0curele incruci9ale

r , . R , D . n . r ,' ' '

, , , R , D , n , r , '

Cu rolldinlale cudrntidrepti

:

r . , z , R ,( ) 2 r ) z 1 K r

.97, t , "'br

\sr t , \ z )

( ' i z \ 21

Cu gurubmelc-foati

melcald

i ' , n r , . , R , z , 2nR ,'- (r2 n2 {: , Rrtgcl z, p

A Rrtg0 pas redus;

ni, numdrul de incepuluri

Cu cremalierd

Varialorcon ic

, nr r ' r , R

n ? t r 2 |

. ( ) 1 n 1 r

" o , n , R '

Page 258: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

258 MecnHrcA

Calculul raportului de Vansmisie la un astfel de mecanism reprezintdo aplica!ie deosebit de importantd a noliunii de axa instantanee de rotatie,a satelitului, care execute migcarea pland. Axa instantanee de rotatie

Fig. 11.8este paralela cu axa rotiifixe, in punctulde contact al satelitului cu aceastdroatd fixd (v. fig. 11.8,a).

Calculul raportului de transmisie la un astfel de mecanism se faceexprimand egalitatea vitezelor punctelor de contact dintre elemenretemecanismului (v. f ig. 11.8,b):

v[) = , , ' , (no + Rr) = . , , (P. R2), vf) =, , , rq,

gtiind ca: u!) = uf ' , |.".u115 lll = -i=0 2 R . R z

v\jl = o'.. 2R2; vf,) = u,. n..

gtiind ca; v!'?) - uyt , rezulte: (D 2 = R3o) l 2Rz

, i r ( ' r R 3 R 3'1 1 '12 '23 . l zrnl n, t zno - ar)

( 1 1 1 8 )

( 1 1 . 1 9 )

Tinand seama de (11.18) Si (11.19) raportul totalde transmisie este:

(11 20)

Raportul de transmisie (1'1.20) se poate exprima gi prin intermediulnumarului de dinti al rotilor dintate:

. ( u r 2 t Z .' ' , ' , , 2(2" zr ) 2(zo . zr ) (11 21)

Page 259: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

11 . Apr-rcnTrr lle CrHeunrrcrr ir Teunrca 259

tul de iegire 3, roata cu axd fix5 de rotatie, are viteza unghiulari o. . $i inacest caz raportul de transmisie al mecanismului planetar se determinapundnd condiIia de egalitate a vitezelor punctelor de contact (v.fig.11 .9,b).

uf) = u, , (Ro *nr)=to,(R. +Rr);

Un alt tip de mecanismplanetar, cu satelit dublueste prezentat in f igura11 .9, a. Migcarea de rotaliese transmite de la bralulport satel i t 1 la satel i tu ldublu 2 9i la roata dinlata 3,cu axa fixe de rotatie.

Elementulde intrare 1,bralul port satelit, are vitezaunghiular i or, , iar elemen-

' ' " (D g

F i n 1 1 O

orz Ra(r)3 Rz -Rz,

( R . + R , ) . ( R , R r , )

vf;) =o,rRr.

Din conditia vf) = utzt t".u,tt

' , = R , =

R 2

0 z R 6 + R r R . + R r .

v f ) = , r r ' lB = t , r , (R , R r ' ) ; v f ) = ,u . .R ,

Din conditia: vl2) = ut:l t"tu;,a

Raportul total de transmisae este:

i 1 ,3 = i12 . i23 - y1 =u r 3

(1122)

(11 23)

(11 24)

Exprimat pr in intermediul numerului de dint i a l rol i lor dinlate dincomponenta mecanismului, raportul de transmisie este:

R z R :

zz Tz(2, + zr . ) (2 , zr , ) (1't 25)

Page 260: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

260 MEcANTcA

11.5. MECANISMUL UNEI BENZI TRANSPORTOARE

Banda transportoare din figu ra 11.10, este antrenate de un motor electricN4 avand turatia n1 , prin intermediul unei transmisii prin Surubul melc 1 9iroata melcate 2, cuplata cu o transmisie prin curele 2-3. Cunoscand razelerotilor r2,r3 = r+,R3, numirul de dinli ai rolii melcate 22 !i numdrul deinceputuri ale melcului ni, ne propunem sa determinam: a) raportul total altransmasiei benzii transportoare 4; b) viteza benzii transportoare; c) la cedistante d se ageaza un vagonet pentru ca minereultransportat si cadd in el.

Fig. 11 .10a) Raportul total al transmisiei benzii transportoare este egal cu produsul

rapoartelor partiale de transm itere:

b) Viteza benzii transportoare, tinand seama ca cele doud role deantrenare au aceeaga raza 13 = 14 , devine:

, (u r , zz Rz 14 22 R3f 1 4 t 1 2 t 2 . J t 3 4

^ . -

, 'r4 n; t2 \ n tz

n n i n i f )V " ! t ^ l ^ r , ' 1 " .

i r .o - 30 z2R3 -

(11 26\

(11 27\

relalie in care s-a exprimat viteza unghiulare a motorului c,r, in func[ie de

tural ia lu i n1.

Page 261: STATICA SI CINEMATICA CU APLICATIILE LOR TEHNICE.pdf

11 , Apr-rcarrr rle CTNEMATTcT iN TEHNTcA

c) Pentru determinarea distanlei d la care cade un bulgare deminereu, de masa m gi greutate d, se va studra mrgcarea acestuia intr-un sistem de axe de coordonate cu originea in O ca in figura 11 10 Ecuatiile

d jferentiale ale migcarii se obtin proiectand ecuatia fundamentala m 6 F ,pe cele doue axe:

m l=0 , m1 i - mgIntegrend de doua ori gi in raport cu timpul, rezultS:

x=C1 ; y= g t+C2 ,

al2x C , t C 1 : y ' ^ C z l . C 4 .

2

Relatiile (11 .30) reprezinta ecuatiile parametrice ale traiectoriei ln funclie

de constante le C1,C2,C3 9 i C. care se determina d in condi l i i le in i t ia le

a le migcer i i :

t = 0 , x = 0 , y = H , r e z u l t a n d . C , = 0 g i C o = H ,

x = v o y = 0 , r e z u l t a n d C 1 = v b 9 i C 2 = 0

inlocuind cele patru constante in relalii le (11.30) rezultd ecualiileparametrice ale traiectoriei :

al2X = V * t . V = Y ] I H.'' ( 1 1 3 1 )

Eliminand parametrul var iabi l , t impul t , intre ecuat i i le (11.31) rezul taecuatia traiectonei un ui bulgdre de minereu

261

(11 2B)

(11 2s)

(11 30)

v = S1*H' 2r(,

Punand condilia ca (y=0, x=d) rezulta distanla d:

lza 'nt n t / ta ,2(n ro)" ' "

Vs 30 z rR t I g

(11 32)


Recommended