PROGRESII ARITMETICE ☻Def: Se numeste progresie aritmetica un sir de numere reale in care fiecare termen se obtine din termenul anterior adunand o constanta numita ratie (r) ☻Proprietate :trei numere a,b,c sunt in progresie aritmetica daca b e medie aritmetica intre a si c adica a ☻ n =a 1 +(n-1)r S ☻ n = unde am noatat cu S n =a 1 +a 2 +a 3 +a 4 + …+a n PROGRESII GEOMETRICE ☻Def: Se numeste progresie geometrica un sir de numere reale in care fiecare termen se obtine din termenul anterior inmultind cu o constanta numita ratie (q). ☻Proprietate :trei numere a,b,c sunt in progresie geometrica cu termeni pozitivi daca b e medie geometrica intre a si c adica . in general pentru o progresie geometica cu termeni oarecare a,b,c sunt in progresie geometrica daca b 2 =ac a ☻ n =a 1 q n-1 S ☻ n = unde am noatat cu S n =a 1 +a 2 +a 3 +a 4 +…+a n
Transcript
PROGRESII ARITMETICE
☻Def: Se numeste progresie aritmetica un sir de numere reale in care fiecare termen se obtine din termenul anterior adunand o constanta numita ratie (r)
☻Proprietate :trei numere a,b,c sunt in progresie aritmetica daca b e
medie aritmetica intre a si c adica ☻an=a1+(n-1)r
☻Sn= unde am noatat cu Sn=a1+a2+a3+a4+…+an
PROGRESII GEOMETRICE
☻Def: Se numeste progresie geometrica un sir de numere reale in care fiecare termen se obtine din termenul anterior inmultind cu o constanta numita ratie (q).
☻Proprietate :trei numere a,b,c sunt in progresie geometrica cu
termeni pozitivi daca b e medie geometrica intre a si c adica . in general pentru o progresie geometica cu termeni oarecare a,b,c sunt in progresie geometrica daca b2=ac☻an=a1qn-1
☻Sn= unde am noatat cu Sn=a1+a2+a3+a4+…+an
PROBABILITATI
☻Probabilitatea=MEDIILE
☻ Media aritmetica a n numere este
☻ Media geometrica a n numere este
☻ Media armonica a n numere este
☻ Media ponderata a n numere cu ponderile
este
LOGARITMI
☻ =puterea la care il ridic pe a astfel incat sa dea pe b.
☻ exista doar pentru
☻ (cu ajutorul acestei formule orice numar real poate fi scris ca log in orice baza vreau)
☻ revine la ☻ logab+ logac= loga(bc)
☻logab- logac= loga( ) ☻logabp=p logab
☻
☻☻☻daca a>1 functia log e crescatoare adica logab> logac b>c ☻daca a<1 functia log e descrescatoare adica logab> logac b<c
EXPONENTIALA
☻
☻
☻
☻
COMBINARI
☻Permutari de n se noteaza Pn
Pn=n! si reprezinta numarul de multimi ordonate ce se pot forma cu n elemente
☻Aranjamente de n luate cate k se noteaza
reprezinta nr de submultimi ordonate de cate k elemente ce se pot forma dintr-o multime cu n elemente
☻Combinari de n luate cate k se noteaza
reprezinta nr de submultimi neordonate de cate k elemente ce se pot forma dintr-o multime cu n elemente.
☻Numarul tuturor sumultimilor unei multimi cu n elemente este 2n
☻Numarul submultimilor cu cate k elemente ale unei multimi cu n
elemente este
FUNCTII☻ Punctul A(a,b) se afla pe graficul functiei f daca f(a)=b☻ Punctele de intersectie dintre graficele a doua functii f si g
se rezolva sistemul Solutiile (x,y) reprezinta coordonatele punctelor de intersectie.☻Inversa functiei f:
Daca atunci
☻Intersectia cu Ox a graficului functiei f se rezolva ecuatia f(x)=0Daca x e o solutie a ecuatiei f(x)=0 .Punctul A(x,0) e un punct de intersectie dintre axa Ox si graficul functiei f.
☻Intersectia cu Oy a graficului functiei f Se calculeaza f(0) daca 0 e in domeniu de definitie.
Punctul B(0,f(0)) reprezinta intersectie dintre axa Oy si graficul functiei f.
In cazul in care 0 nu se afla in domeniul de definitie al functiei , graficul functiei nu taie axa Oy.☻ Compunerea functiilor
definim compunerea functiilor g si f
definita prin ☻ Functii injective. ♣Def: fie f:AB spunem ca f e injectiva daca x1x2 x1,x2A atunci f(x1) f(x2)♣Observatie: pentru functiile numerice putem folosi urmatoarea teorema :daca f e strict monotona atunci f e injectiva ☻ Functii surjective. ♣Def: fie f:AB spunem ca f e surjectiva daca yB xA astfel incat f(x)=y♣Def: fie f:AB se numeste imaginea lui f si se noteaza Imf sau f(A) multimea valorilor pe care le ia f(x) Imf={f(x)/xA}♣Teorema : f e surjectiva Imf=codomeniul☻ Functii inversabile. Inversa unei functii♣ O functie e inversabila daca si numai daca e bijectiva( adica simultan si injectiva si surjectiva)
♣Pentu a afla inversa unei funzctii procedez astfel:-plec de la f(x)=y -scot pe x in functie de y-expresia gasita e f-1(y)
FUNCTIA DE GRADUL DOI
☻Varful parabolei este -daca varful este punct de minim
este valoare minima iar punct de minim-daca a<0 varful este punct de maxim
este valoare maxima iar punct de maxim
☻Graficul functiei de gradul doi e tangent la axa Ox daca are
☻Graficul functiei de gradul doi e situat deasupra axei Ox daca are
☻Axa de simetrie pentru graficul functiei.
Dreapta de ecuatie e axa de simetrie pt parabola ce reprezinta graficul functiei de gradul doi.
☻Relatiile lui Viette
Pentru ecuatia de gradul doi cu radacini au loc relatiile:
☻Observatie
☻Ecuatia cu radacini este unde iar
☻o Conditia ca este
o Conditia ca este
o Conditia ca este
o Conditia ca este ☻
Conditia ca ecuatia sa aibe doua solutii reale este Conditia ca ecuatia sa aibe doua solutii egale este Conditia ca ecuatia sa nu aibe solutii reale este
NUMERE COMPLEXE☻ Forma algebrica a unui numar complex
a se numeste parte reala si ib se numeste parte imaginara notam
☻ Puterile lui i unde k este un numar intreg.
☻ Conjugatul unui numar complex este
☻ Proprietatile conjugatului
☻Modulul unui numar complex este
☻Proprietatile modulului unui numar complex
☻Ecuatia de gradul doi cu nu are radacini reale dar are radacini in multimea numerelor complexe anume
VECTORI IN PLAN
☻Modulul vectorului este
☻Produsul scalar a doi vectori si este
☻Suma a doi vectori si este
☻Conditia ca doi vectori sa fie coliniari doi vectori si sunt
coliniri daca exista a numar real astfel incat
Daca vectorii sunt dati sub forma si conditia
de coliniaritate revine la
☻Cosinusul unghiului dintre doi vectori si este
☻Conditia ca doi vectori sa fie perpendiculari este ca unghiul dintre ei sa
aibe 90 0 . Adica daca si conditia este ca
☻Daca si atunci
☻Daca vectorul de pozitie al lui A este se
mai noteaza
TRIGONOMETRIE
☻ ☻
☻ ☻☻ oricare ar fi x real
☻ ☻Semnele in cele 4 cadrane
Cadranul I
Cadranul II
Cadranul III
Cadranul IV
☻
☻
x 0 π/6(30o) π/4(45o) π/3(60o) π/2(90o)sinx 0 1
cos x 1 0
tgx 0 Nu exista
ctgx Nu exista
1 0
GEOMETRIE
☻Ecuatia dreptei AB : ☻Panta dreptei AB
o daca stiu doua puncte panta este o daca dreapta e data sub forma y=mx+n atunci m este panta
o daca ecuatia e sub forma ax+by+c=0 panta este o Obs : dreptele verticale (x=a) nu au panta
☻Ecuatia unei drepte cand stiu un punct A si panta m este
☻Conditia de paralelism a doua drepte
☻Conditia de perpendicularitate a doua drepte
☻Distanta dintre doua puncte
☻mijlocul segmentului AB este
☻Conditia ca trei puncte A,B,C sa fie coliniare
☻Punctul de intersectie dintre doua drepte se determina rezolvand sistemul facut de ecuatiile lor.
☻Aria triunghiului ABC este unde
☻Aria triunghiului
☻Aria triunghiului echilateral cu latura l este: ☻In triunghiul dreptunghic mediana e jumatate din ipotenuza
☻Aria triunghiului ABC (Heron) unde
☻Aria triunghiului ABC= = =☻Teorema lui Pitagora in triunghiul dreptunghic b2+c2=a2
☻Teorema cosinusului
☻Teorema sinusurilor unde R raza cercului circumscris triunghiului ☻Prima bisectoarea este bisectoarea cadranului 1 in reperul xOy si are ecuatia y=x.☻A doua bisectoarea este bisectoarea cadranului 2 in reperul xOy si are ecuatia y=-x.
☻Mediana in trunghi este segmentul ce uneste un varf cu mijlocul laturii opuse☻Mediatoarea unui segment e perpendiculara pe mijlocul segmentului☻Inaltimea in triunghi e perpendiculara din varf pe latura opusa☻Bisectoarea este semidreapta care imparte un unghi in 2 unghiuri congruente.
☻In trunghiul dreptunghic CONDITII DE EXISTENTA
☻
☻ exista oricare ar fi x real deci nu se pun conditii de existenta
