Astrofizica stelaraCursul 5

Victor E. Ambrus,

Universitatea de Vest din Timis,oara

Cont, inutul cursului

Capitolul III. Procese radiativeI III.1. Radiat, ia corpului negru.I III.2. Propagarea luminii.I III.3. Mis, carea sarcinilor ın camp electromagnetic extern.I III.4. Propagarea radiat, iei electromagnetice.I III.5. Radiat, ia emisa de distribut, ii localizate de sarcini.I III.6. Radiat, ia emisa de sarcinile accelerate.I III.7. Spectre atomice.I III.8. Ecuat, iile Boltzmann s, i Saha.

III.3. Mis, carea sarcinilor ın camp electromagnetic extern.III.3.1. Fort, a Lorentz.

I Asupra unei sarcini electrice nerelativiste q ın mis, care ıntr-un campmagnetic B act, ioneaza Fort, a Lorentz:

F = qv × B. (1)

I Deoarece F · v = 0, fort, a Lorentz nu efectueaza lucru mecanic.I Componenta paralela cu B a fort, ei F|| = 0, ın timp ce F⊥ = qv⊥B.I Alegand B = Bk, ecuat, iile de mis, care sunt:(

vxvy

)= qB

m

(vy−vx

)⇒(

vxvy

)+(

qBm

)2(vxvy

)= 0.

I Componentele vitezei pot fi descrise printr-o lege de oscilat, iearmonica cu viteza unghiulara Larmor (de ciclotron) ωc :

vx = −v⊥ sinωct, vy = ∓v⊥ cosωct, ωc = |q|Bm . (2)

I Semnul ∓ se refera la semnul sarcinii q, semnul superiorcorespunzand cazului cand q > 0 iar cel inferior cazului cand q < 0.

I Traiectoria particulei va fi de tip elicoidal, de raza Larmor RL ınplanul perpendicular pe B:

x = x0 + RL cosωct, y = y0 ∓ RL sinωct, z = z0 + vz t,

RL = v⊥ωc

= mv⊥|q|B . (3)

I Sarcinile negative (semnul de jos) vor parcurge traiectoria ın senstrigonometric, ın timp ce sarcinile pozitive (semnul de sus) vorınainta ın sensul acelor de ceasornic.

I Fiindca RL e mica ın comparat, ie cu distant, ele din spat, iul interstelar,q urmeaza traiectorii elicoidale de-a lungul liniilor de camp magnetic.

I In limita magnetohidrodinamica, cand conductivitatea electrica aplasmei este infinita (rezistivitatea plasmei este nula), teorema luiAlfven prezice ca legatura dintre liniile de camp magnetic s, imis, carea sarcinilor este reciproca.

I In mediile suficient de dense, coliziunile dintre particule duc ladistrugerea legaturii, precum s, i a liniilor de camp magnetic.

III.3.2. Legea lui Ampere.

I Legea lui Ampere se scrie:∫Σ

j · ds =∮

∂ΣH · d l . (4)

I Fluxul de curent printr-o suprafat, a Σ produce un camp magneticcircular pe suportul ∂Σ al acestei suprafet, e.

I In norii magnetici cosmici, ec. (4) e satisfacuta pretutindeni.I Exista configurat, ii ın care campurile magnetice s, i curent, ii de sarcina

sa fie astfel aranjat, i ıncat sa nu apara vreo fort, a care sa distrugaechilibru. Configurat, ia rezultanta poarta numele de camp magneticfara fort, e.

I Ecuat, iile hidrodinamice pentru astfel de plasme implica j × B = 0.

III.3.3. Legea lui Faraday.

I Legea lui Faraday se scrie:∫Σ

∂B∂t · ds = −

∮∂Σ

E · d l . (5)

I Variat, ia ın timp a fluxului magnetic printr-o suprafat, a Σ induce uncamp electric de-a lungul suportului ∂Σ al acestei suprafet, e.

I Acest efect se foloses, te ın betatron pentru accelerarea purtatorilor desarcina.

I Intr-un nor cosmic, o cres, tere rapida a lui B poate rezulta dintr-ocompresie a acestuia pe o direct, ie perpendiculara pe B, fie ın urmacoliziunii cu alt nor, fie cu particulele expulzate de supernove.

I Procesul mai sus amintit poate crea raze cosmice, ınsa doar deenergii joase.

III.3.4. Oglinzi magnetice.I Fie un camp magnetic static a carui B variaza de-a lungul axei z .I Ecuat, ia ∇ · B = 0 scrisa ın coordonate cilindrice (R, ϕ, z) implica:

1R ∂R(RBR) + ∂z Bz = 0.

I Presupunand ca ∂z Bz nu depinde de R, rezulta:

BR = −R2∂Bz∂z .

I Scriind v = vReR + vϕeϕ + vzk, rezulta:

Fz = −qvϕBR = qvϕR2

∂Bz∂z . (6)

I In cazul cand particula este legata de linia de camp, putem aproximaR ' RL = mv⊥/|q|B, ın timp ce vϕ se poate gasi din ec. (2):

vϕ = − sinϕvx + cosϕvy = ∓v⊥ ⇒ qvϕ = −|q|v⊥,

unde s-a utilizat relat, ia sinϕ = ∓ωct, conform ec. (3).

I Ec. (6) poate fi rescrisa ın funct, ie de momentul magnetic µ:

Fz = mvz = −µ∂z Bz , µ = mv 2⊥

2B . (7)

I Cand RL∂z Bz � B, avem BR � B s, i vz ' v||:

mv|| ' −µ∂sB, (8)

unde s reprezinta coordonata de-a lungul liniei de camp.I Inmult, ind relat, ia (8) cu v|| = ds/dt rezulta:

mv||dv||dt = d

dt

(mv2

2 − Bµ)' −µ

dB||dt ⇒

dµdt ' 0.

I µ variaza nesemnificativ cand B−1∂sB � 1⇒µ e invariant adiabatic.I Condit, ia ca o particula care la B = B0 are ınclinat, ia θ = θ0 a vitezei

v0 fat, a de B0 sa fie reflectata este sa ajunga ıntr-o zona unde B sasatisfaca:

µ = mv2 sin2 θ02B0

= mv2

2B ⇒ B = B0

sin2 θ0. (9)

I Configurat, ia rezultanta poarta numele de oglinda magnetica, saudop magnetic.

III.3.5. Accelerat, ia Fermi.I O pereche de oglinzi magnetice poarta

numele de capcana magnetica.I Enrico Fermi a propus capcana

magnetica drept un mecanismpentru accelerarea razelor cosmice.

I Sa presupunem ca o particula ıncarcata patrunde ıntr-un nor al caruicamp magnetic act, ioneaza precum o oglinda magnetica, reflectandparticula.

I Deoarece F L nu efectueaza lucru mecanic, energia particulei laies, irea din nor va fi egala cu cea la intrarea ın nor, ın sistemulpropriu al norului.

I Daca norul se deplaseaza ınspre particula, viteza acesteia la ies, ire vafi mai mare, s, i invers pentru cazul cand norul se deplaseaza ınacelas, i sens cu particula.

I Accelerat, ia Fermi este eficace ın sistemele care prezinta unde de s, oc,de exemplu ın cazul exploziei supernovelor, unde particulele suficientde energetice pot depas, i frontul undei de s, oc, ınsa datoritaconfigurat, iei campului magnetic, sunt reflectate ınapoi catre unda des, oc, de unde sunt din nou oglindite ınspre exterior.

1Sursa: M. Harwitt, Astrophysical concepts (Springer, 2006).

III.4. Propagarea radiat, iei electromagnetice.III.4.1. Ecuat, iile Maxwell.

I Ecuat, iile Maxwell sunt:

∇ ·D =ρ, ∇× E =− ∂B∂t ,

∇×H =∂D∂t + j , ∇ · B =0. (10)

I Ec. Maxwell trebuie suplimentate cu urmatoarele ecuat, ii auxiliare:

D =εE , B =µH, j =σE , ∂tρ+∇ · j =0.

I In cazul absent, ei purtatorilor de sarcina liberi (ρ = 0), rezultaecuat, ia de unda:

µε∂2E∂t2 + µσ

∂E∂t −∇

2E = 0. (11)

I Conductivitatea σ depinde de relat, ia dintre λrad s, i drumul libermijlociu al purtatorilor de sarcina.

I In timp ce la ν mari, σ ' 0, ın domeniul radio, propagarea e.m. prinionosfera terestra e puternic atenuata.

I Radiat, ia cu λ suficient de mare e absorbita de mediul interstelar.

III.4.2. Vectorul Poynting.I Ecuat, iile Maxwell pot fi rearanjate pentru a obt, ine:

∂tu = −σE2 −∇ · S,I unde densitatea de energie u a campului e.m. s, i vectorul Poynting

S au expresia:

u = 12 (εE2 + µH2), S = E ×H. (12)

I Aplicand teorema Gauss-Ostrogradski rezulta:∫V

∂u∂t dV = −

∫VσE2dV −

∮∂V

S · ds. (13)

I Primul termen din dreapta reprezinta energia cinetica transmisacatre sarcinile din mediu.

I Al doilea termen corespunde fluxului de energie e.m. radiata prinsuprafat, a volumului V .

I Rezulta ca S reprezinta densitatea de flux de energie e.m.I Densitat, ii de energie ıi corespunde presiunea izotropa

P = 13εE2 + µH2

8π . (14)

III.4.3. Propagarea undelor electromagnetice prin vid.I Sa consideram o unda plana ce se propaga de-a lungul axei x .I Presupunand frontul de unda infinit, derivatele dupa y s, i z se

anuleaza, astfel ca:

∂x Ex =0, ∂tEx =0, ∂x Ey =− µ∂tHz , ∂x Ez =µ∂tHy ,

∂x Hx =0, ∂tHx =0, ∂x Hy =ε∂tEz , ∂x Hz =− ε∂tEy .

I Ecuat, iile de mai sus implica ca daca unda se propaga de-a lunguldirect, iei n avem:

H = n × E , n ·H = 0, n · E = 0. (15)I Deoarece E s, i H sunt perpendiculare pe direct, ia de propagare,

undele e.m. se numesc unde transversale.I Solut, iile sunt de tip armonic.I Pentru unda plana polarizata liniar avem:

Ex =Ez = 0, Ey =E0 cos(ωt − kx),

Hx =Hy = 0, Hz = kµω

E0 cos(ωt − kx),

ın timp ce relat, ia de dispersie este ω2 = k2/µε.

III.4.4. Propagarea undelor e.m. prin plasme rarefiate.I La trecerea unei unde plane printr-o plasma rarefiata, purtatorii de

sarcina sunt accelerat, i de catre campul electric:

mr = qE(r , t)⇒ r = − qmω2 E . (16)

I Datorita masei lor, ionii raman practic imobili, ın timp ce dislocuireae− produce un camp de polarizare P:

P = nqr = − ne2

mω2 E = (ε− ε0) E , (17)

unde n e densitatea electronilor.I Rezulta ca ε = ε0 − ne2/mω2, ceea ce duce la relat, ia de dispersie:

ω2 = k2

µ(ε0 − ne2/mω2) . (18)

I In mediul cosmic, de regula µ = µ0. Rezulta:

ω2 = k2c2 + ω2p, ωp =

√ne2

ε0m ∼ 56 n1/2(rad/s), (19)

unde n este masurat ın m−3, ωp ≡√

kBT/mL2 poarta numele defrecvent, a plasmei iar L este lungimea Debye.

I Pentru ω < ωp, k devine imaginar iar unda nu se poate propaga. Incazul ionosferei terestre, νp ∼ MHz, astfel blocand penetrareaatmosferei de catre undele radio cosmice.

I In timp ce viteza de faza ω/k > c, viteza de grup nu depas, es, te c:

U ≡ ∂ω

∂k = c√1 + ω2

p/c2k2= c√

1 + ω2p/(ω2 − ω2

p). (20)

I Sa consideram propagarea radiat, iei emise de un pulsar aflat ladistant, a D.

I Presupunand ca mediul interstelar e omogen, timpul de calatorieeste ∆t = D/U, iar variat, ia acestuia cu ω pentru ω � ωp este:

d∆tdω ' −

Dcω2

pω3 = − e2

ε0mcDnω3 . (21)

I Ultima egalitate arata ca d∆t/dω (cantitate masurabila) depinde demasura de dispersie D =

∫ D0 n(`)d` = D 〈n〉.

I Din masuratori rezulta ca 〈n〉 ∼ 0, 03 cm−3, ceea ce permitedeterminarea lui D din masurarea d∆T/dω.

III.4.5. Rotat, ia Faraday.I Sa consideram propagarea unei unde electromagnetice de-a lungul

unui camp magnetic de induct, ie B0 (n||B0).I Asupra unui electron care se deplaseaza perpendicular pe B0 va

act, iona suplimentar fort, a electromagnetica F = qE + qv × B.I Alegand B0 = kB0, presupunem o traiectorie circulara a electronilor

ın planul xOy :

r = R(i cosωt ± j sinωt), v = ±ω(−y i ± x j), (22)

unde semnul de sus corespunde mis, carii ın sens trigonometric iar celde jos corespunde sensului acelor de ceasornic.

I Cand electronul este nerelativist, efectul lui B poate fi neglijat.I Fort, a Lorentz datorata campurilor E s, i B0 va avea expresia:

mr = qE + qv × B0 ⇒ r = emω(ω ∓ ωc)E . (23)

I Semnul termenului ωc = eB/m este ∓ deoarece q = −e < 0.

I Din definit, ia polarizarii (17), rezulta:

ε± = ε0

[1−

ω2p

ω(ω ∓ ωc)

], (24)

unde ωp =√

ne2/ε0m reprezinta frecvent, a plasmei (19).I Semnul + (-) corespunde unei mis, cari ın sens (anti)trigonometric a

electronului, corespunzand unei unde polarizate circular spre dreapta(stanga).

I Considerand o unda e.m. de frecvent, a ω, componentele polarizatespre dreapta s, i spre stanga vor avea numere de undak± = ω

c√ε±/ε0 = k ∓∆k, unde

k ' ω

c

(1−

ω2p

2ω2

), ∆k '

ωcω2p

2cω2 . (25)

I Relat, iile de mai sus sunt valabile cand ω � ωp, ωc .I Deoarece ∆k > 0, undele polarizate spre stanga se propaga mai lent

decat cele polarizate spre dreapta, ceea ce duce la un defazaj ıntrecele doua componente ale undei e.m.

I Sa consideram o unda polarizata liniar de-a lungul axei x :

E =E0i cos(ωt − kz) = E0(e+ + e−),e+ =i cos(ωt − k+z) + j sin(ωt − k+z),e− =i cos(ωt − k−z)− j sin(ωt − k−z). (26)

I Sa presupunem ca regiunea de plasma are o dimensiune liniara∆z = H.

I In prezent, a plasmei, k+ 6= k−, ceea ce induce un defazaj ∆φ laies, irea din plasma:

∆φ = φ− − φ+ = H(k− − k+) ' 2H∆k. (27)I Acest defazaj induce o rotire a direct, iei de polarizare cu un unghi δθ:

∆θ = ∆φ2 '

ω2pωcH2cω2 . (28)

I Ecuat, ia de mai sus se poate scrie sub forma integrala:

∆θ = e3

2ε0m2ec

1ω2

∫dz n(z)B(z). (29)

I ∆θ e proport, ional cu B s, i n s, i invers proport, ional cu ω2.I Masurarea lui ∆θ pentru radiat, ia provenind de la pulsari permite

estimarea campului magnetic al galaxiei.

Probleme

1. Sa se arate ca raza Larmor corespunzatoare unui proton care sedeplaseaza cu viteza de 10 km/s pe o direct, ie perpendiculara pe uncamp magnetic de induct, ie B = 10−11 T este mica ın comparat, ie cudistant, ele interstelare s, i chiar interplanetare.

[R: RL ' 107 m ' 7× 10−5 U.A.]2. Pornind de la ecuat, iile Maxwell (10), sa se arate ca intensitatea

campului magnetic H satisface:

µε∂2H∂t2 −∇

2H = 0.

Ce presupuneri a trebuit sa facet, i referitoare la ε, µ s, i σ pentru aajunge la expresia de mai sus?

3. Intr-o regiune a spat, iului, B cres, te de la 10−6G la 10−5G de-alungul unei perioade de 107ani (adiabatic). Sa se gaseasca energiafinala Ef a unei sarcini nerelativiste q cu energia init, iala Eipresupunand ca aceasta se mis, ca fara coliziuni ın planulperpendicular pe B. [Raspuns: Ef = 10Ei ]

Probleme

4. Fie distant, a dintre un observator s, i o sursa de unde e.m. egala cuD = NL (N ∈ Z). Presupunem ca B = |B| este constant ıntre sursas, i observator. Direct, ia acestuia este paralela cu direct, iaobservator-sursa. Orientarea vectorului B este constanta pe fiecareport, iune de lungime L, ınsa aceasta variaza aleator de la o port, iunela alta. Sa se arate ca variat, ia direct, iei de polarizare a unei undee.m. plane care se propaga de la sursa ınspre observator este:

θ ∼√

NL(

2πne3Bm2c2ω2

).

Probleme5. Un proton avand energia init, iala E0 = 1010 eV calatores, te pe direct, ia

de mis, care a doi nori interstelari care se deplaseaza cu vitezele ±V(V = 7 km/s). La fiecare ıntalnire cu protonul, norii act, ioneaza caoglinzi magnetice, reflectandu-l ınapoi. Separarea init, iala a noriloreste d0 = 1015 m.a) Sa se arate ca ın urma unei ciocniri, factorul Lorentz al protonului

cres, te cu:

δγ = 2Vc√γ2 − 1 + 2(V /c)2

1− (V /c)2 γ.

b) Sa se estimeze numarul de ciocniri necesare pentru dublarea energieiprotonului. [R: ∼ 1, 5× 104]

c) Numarul de ciocniri necesare ın cazul ın care particula este un electron.d) Sa se arate ca timpul necesar pentru efectuarea a n ciocniri este

aproximativtn '

d0

2V [1− exp(−2nV /c)].

e) Sa se estimeze timpul necesar pentru dublarea energiei protonului.[R: ∼ 1140 ani]

f) Presupunand ca atunci cand distant, a dintre nori este d . d0/10, sa seestimeze energia maxima pe care o poate dobandi protonul prin acestproces. [R: γmax ' 100,Emax ' 0, 1 TeV]