Date post: | 09-Apr-2018 |
Category: |
Documents |
Upload: | stoicasimo |
View: | 251 times |
Download: | 4 times |
of 86
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
1/86
MATRICI I DETERMINANI
MATRICI
1.1. Despre matrici
Acest concept l-am ntalnit nca din primul an de liceu, atunci cnd s-a pusproblema rexolvarii unui sistem de dou ecuaii cu dou necunoscute x, y, de forma
=+
=+''' cybxa
cb ya x.
Acestui sistem i-am asociat un teblou ptratic, care conine coeficieniinecunoscutelor (n prima linie sunt coeficienii lui x, y din prima ecuaie, iar in a doua
linie figureaz coeficienii luix,y din ecuaia a doua):
''
ba
ba.
Am numit acest tablou matrice ptratic (sau matricea sistemului). Pe cele doucoloane ale matricei figureaz coeficienii luix (pe prima coloan a, 'a ) i respectivcoeficienii luiy (pe a doua coloan b, 'b ).
Definiie. Se numete matrice cu m linii i n coloane (sau de tip nm ) untablou cu m linii i n coloane
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
2/86
m nmm
n
n
aaa
aaa
aaa
. . .
. . .. . .. . .. . .
. . .
. . .
21
22 22 1
11 21 1
ale crui elemente ija sunt numere complexe.
Uneori aceast matrice se noteaz i ( jiaA = unde mi ,1= i nj ,1= . Pentru
elementul ija , indicele i arat linia pe care se afl elementul, iar al doilea indice j indicpe ce coloan este situat.Mulimea matricilor de tip nm cu elemente numere reale se noteaz prin
( )Rnm, . Aceleai semnificaii au i mulimile ( )Znm, , ( )Qnm, , ( )Cnm, .
Cazuri particulare1) O matrice de tipul n1 (deci cu o linie i n coloane) se numete matrice linie i areforma
( )naaaA ...21= .2) O matrice de tipul 1m (cu m linii i o coloan) se numete matrice coloan i areforma
=
ma
a
a
B. . .
2
1
.
3) O matrice de tip nm se numete nul (zero) dac toate elementele ei sunt zero. Senoteaz cu O
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
3/86
=
0. . .00
. . .. . .. . .. . .
0. . .00
0. . .00
O .
4) Dac numrul de linii este egal cu numrul de coloane, atunci matricea se numeteptratic.
=
n nnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
. . .
. . .. . .. . .. . .
. . .
. . .
21
22 22 1
11 21 1
.
Sistemul de elemente ( )nnaaa ...2211 reprezint diagonala principal amatriciiA, iar suma acestor elemente nnaaa ... 2211 +++ se numete urma matricii
A notat Tr(A) =
=n
i
iia1
. Sistemul de elemente ( )1121 ... nnn aaa reprezint
diagonala secundar a matriciiA.Mulimea acestor matrici se noteaz ( )Cn . Printre aceste matrici una este foarte
important aceasta fiind
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
4/86
=
1. . .00
. . .. . .. . .. . .
0. . .10
0. . .01
nI
i se numete matricea unitate (pe diagonala principal are toate elementele egale cu 1,iar n rest sunt egale cu 0).
1.2. Operaii cu matrici
1.2.1.Egalitatea a dou matrici
Definiie. Fie ( jiaA = , ( jibB = ( )Cnm, . Spunem c matricile A, B suntegale i scriemA = B dac jia = jib , ( ) mi ,1= , ( ) nj ,1= .
Exemplu: S se determine numerele reale x, y astfel nct s avem egalitatea dematrici
=
++
x
x
yx
yxx
290
12
20
1.
R. Matricile sunt egale dac elementele corespunztoare sunt egale, adic:
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
5/86
=
=
=+
=+
.292
00
1
21
xyx
xyx
x
Rezolvnd acest sistem gsim soluiax = 1,y = -3.
1.2.2.Adunarea matricilor
Definiie. Fie ( jiaA = , ( jibB = , ( jicC = ( )Cnm, . Matricea C se numetesuma matricilorA,B dac: jic = jia + jib , ( ) mi ,1= , ( ) nj ,1= .
Observaii1) Dou matrici se pot aduna dac sunt de acelai tip, adic dac au acelai numr delinii i acelai numr de coloane, deciA,B ( )Cnm, .2) Explicit adunarea matricilorA,B nseamn:
m nmm
n
n
aaa
aaa
aaa
. . .
. . .. . .. . .. . .
. . .
. . .
21
22 22 1
11 21 1
+
m nmm
n
n
bbb
bbb
bbb
. . .
. . .. . .. . .. . .
. . .
. . .
21
22 22 1
11 21 1
=
+++
++++++
m nm nmmmm
nn
nn
bababa
bababa
bababa
. . .
. . .. . .. . .. . .
. . .
. . .
2211
222 22 22 12 1
111 21 21 11 1
.
Exemplu: S se calculezeA + B pentru:
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
6/86
1.
=
=511350,
103211 BA ;
2.
.01
10
,11
11
=
=BA
R. 1. Avem
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
7/86
611
141
511013
3-251-01
511 0
350
103
211
BA 2. Avem
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
8/86
10
21
0111
1101.
01
10
11
11BA
.
Proprieti ale adunrii matricilor
1A (Asociativitatea adunrii). Adunarea matricilor este asociativ, adic:
( ) ( )CBACBA ++=++ , ( )A,B, C ( )Cnm, .2
A (Comutativitatea adunrii). Adunarea matricilor este comutativ, adic:ABBA +=+ , ( )A,B ( )Cnm, .
3A (Element neutru). Adunarea matricilor admite matricea nul ca element
neutru, adic nmO , ( )Cnm, astfel nct A + nmO , = A, ( )A( )Cnm, .
4A (Elemente opuse). Orice matrice A ( )Cnm, are un opus, notat A ,
astfel nct( ) nmOAA ,=+ .
1.2.3.nmulirea cu scalari a matricilor
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
9/86
Definiie.Fie C i A = )jia ( )Cnm, . Se numete produsul dintrescalarul C i matricea A, matricea notat A ( )Cnm, definit prin A =
)jia .
Obs.: A nmuli o matrice cu un scalar revine la a nmuli toate elementele matricii cu acest scalar.
Deci A =
m nmm
n
n
aaa
aaa
aaa
. . .
. . .. . .. . .. . .
. . .
. . .
21
22 22 1
11 21 1
.
Exemplu Fie
=
1320
532
1
A . Atunci 6A =
640
31 83.
Proprieti ale nmulirii matricilor cu scalari
1S ( ) ( )AA = , ( ) , C, ( ) A ( )Cnm, ;
2S ( ) BABA +=+ , ( ) C, ( ) A,B ( )Cnm, ;
3S ( ) AAA +=+ , ( ) , C, ( ) A ( )Cnm, ;
4S AA =1 ,1 C, ( ) A ( )Cnm, ;
1.2.4. nmulirea matricilor
Definiie. Fie A = ( )ika ( )Rnm, , B = )jib ( )Rpn, . Produsul dintrematricile A i B ( n aceasta ordine), notat AB este matricea C = )jkc ( )Rpm, definit prin
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
10/86
=
=n
i
jiikjk bac1
, ( ) mk ,1= , ( ) nj ,1= .
Observaii
1) ProdusulAB a dou matrici nu se poate efectua ntotdeauna dect dacA ( )Rnm, ,B ( )Rpn, , adic numrul de coloane ale luiA este egal cu numrul de linii ale luiB, cnd se obine o matrice C = AB ( )Rpm, .2) Dac matricile sunt ptraticeA, B ( )Rn atunci are sens ntotdeauna att AB ct iBA, iar, n general,AB BA adic nmulirea matricilornu este comutativ.
Proprieti ale nmulirii matricilor
1I (Asociativitatea nmulirii). nmulirea matricilor este asociativ, adic
( ) ( )BCACAB = , ( )A ( )Cnm, , ( )B ( )Cpn, , ( )C( )Csp, .
2I (Distributivitatea nmulirii n raport cu adunarea). nmulirea
matricilor este distributiv n raport cu adunarea matricilor, adic( ) ( ) ,, CBCABACBCACCBA +=++=+ ( )A, B, Cmatrici
pentru care au sens operaiile de adunare i nmulire.3I Dac nI ( )Cn este matricea unitate, atunci
,AAIAI nn == ( )A ( )Cn .Se spune c nI este element neutru n raport cu operaia de nmulire a matricilor.
1.2.5.Puterile unei matrici
Definiie. Fie A ( )Cn . Atunci AA =1 , AAA =2 , AAA = 23 , ,AAA nn = 1 , ( ) n *N . (Convenim 2
0IA = ).
TEOREMA Cayley Hamilton. Orice matrice A ( )Cn i verificpolinomul caracteristic ( ) 0det = IA .
Pentru n = 2.
= dcba
A ba
dc
ba
A ==
d e t
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
11/86
dc
ba
dc
baIA10
01
.
) =++==
= 000
0d e t 2 bdaa db cdadc
ba
IA
( ) 02 =++ bcadda polinom caracteristic
Generalizat.( ) ( ) 0detTr 1 =+ nnn IAAAA
1. DETERMINANI
2.1. Definiia determinantului de ordin n 4
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
12/86
FieA= )jia ( )Cn o matrice ptratic. Vom asocia acestei matrici un numrnotat det(A) numit determinantul matricii A.
Definiie. Dac A= ( )11a ( )Cn este o matrice ptratic de ordinul nti,atunci
det(A) = 11a .
Definiie. Determinantul matricii
=
22 1
11 1
aa
aaA este numrul
( ) 21122211det aaaaA =
22 1
11 1
aa
aa=
i se numete determinant de ordin 2. Termenii 2211aa , 2112aa se numesc termenii
dezvoltrii determinantului de ordin 2.Definiie. Determinantul matricii
=
3 33 23 1
2 32 22 1
1 31 21 1
aaa
aaa
aaa
A este numrul
322311332112312213312312322113332211)det( aaaaaaaaaaaaaaaaaaA ++=i se numete determinant de ordin 3. Termenii care apar n formul se numesc termeniidezvoltrii determinantului.
Pentru calculul determinantului de ordin trei se utilizeaz trei tehnici simple:
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
13/86
Regula lui SarrusFie determinantul de ordin 3, .3,1, == jijiad Pentru a calcula un astfel de
determinant se utilizeaz tabelul de mai jos.
(am scris sub determinantprimele dou linii)
Se face produsul elementelor de pe diagonale.Produsul elementelor de pe o diagonal descendent estecu semnul plus. Avem trei astfel de produse:
312312322113332211 ,, aaaaaaaaa .Produsul elementelor de pe o diagonal ascendent estecu semnul minus. Avem trei astfel de produse:
322311332112312213 ,, aaaaaaaaa .
Suma celor ase produse d valoareadeterminantului dde ordin 3. Acest procedeu de calcul se numete regula lui Sarrus.
Regula triunghiuluiAm vzut c determinantul de ordin trei are n dezvoltarea sa ase termeni, trei cu
semnul plus i ali trei cu semnul minus.Primul termen cu plus se gsete nmulind elementele de pe diagonala principal,
iar ceilali doi, nmulind elementele situate n vrfurile celor dou triunghiuri care au olatur paralel cu cu diagonala principal. Dup aceeai regul, referitoare la diagonalasecundar, se obin termenii cu minus.Obs.: Att regula lui Sarrus ct i regula triunghiului se aplic numai determinanilor de ordin 3.
Exemplu. S se calculeze prin cele dou metode de mai sus determinantul
013
120
103
=d
R.Regula lui Sarrus.
[ ] ( ) 9036000000)1(1)3(123)1(03110023 =++++=++++=d
2 32 22 1
1 31 21 1
3 33 23 1
2 32 22 1
1 31 21 1
aaaaaa
aaa
aaa
aaa
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
14/86
Regula triunghiului
[ ] ( ) 9036000000)1(1)3(1231103)1(0023 =++++=++++=d
Recurent (sau dezvoltare dup o linie sau o coloan)
Determinantul de ordin 3 are 6 ( = 3!) termeni dintre care trei sunt cu semnul plus,iar ceilali cu semnul minus.Are loc urmtoarea proprietate:
33
221
31
3 33 1
2 32 11 2
21
3 33 2
2 32 21 1
11 )1()1(
)1()d e
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaaA , (1)
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
15/86
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
16/86
Definiie. Determinantul matricii A= )jia de ordin n este suma produselorelementelor din prima linie cu complemenii lor algebrici adic
( ) ( ) nnn
DaDaDaDaA 111
131312121111 1...det++++= .
Observaii
1) Elementelor, liniilor i coloanelor matricii A le vom spune de asemenea elementele,liniile i coloanele determinantului
n nnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
. . .
. .. . .. . .. . .
. . .
. . .
)d e t (
21
22 22 1
11 21 1
= .
2) Formula din definiie spunem c reprezint dezvoltarea determinantului de ordin ndup elementele primei linii.3) Definiia determinantului de mai sus este nc puin eficient (o voi ilustra mai jospentru n = 4). De aceea se impune stabilirea unor proprieti ale determinanilor care sfie comode att din punct de vedere al teoriei i din punct de vedere calculatoriu. Acesteproprieti le prezint n paragraful urmtor.4) Continund cu explicitarea determinanilor de ordin n 1 din definiie( )nDDD 11211 ,...,, se obine pentru )det(A o sum de produse de elemente din
determinant, fiecare produs coninnd elemente situate pe linii i coloane diferite.5) Determinantul este o funcie ( ) CCn :det .
Exemplu S se calculeze determinantul de ordin 4:
00111110
0021
2101
=d .
R. Aplicm definiia dat mai sus pentru n = 4 i dezvoltm determinantul dupelementele liniei nti. Avem:
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
17/86
(
011
110
021
2
011
110
021
1
001
110
001
0
001
111
002
1d=
= 12100 =+ ,unde determinanii de ordin 3 i-am calculat prin una din metodele prezentate ladeterminanii de ordin 3.
2.3. Proprietile determinanilor
.1
P Determinantul unei matrici coincide cu determinantul matricii transpuse,
adic dacA ( )Cn , atunci ( ) ( )AAt
detdet = .
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
18/86
Demonstraie. Fie
= dcba
A i
= dbca
A
t
.
Atunci ( ) bcadA =det , iar ( ) bcadAt =det . Prin urmare ( ) ( )AA tdetdet = .
.2
P Dac toate elementele unei linii (sau coloane) dintr-o matrice sunt nule,atunci determinantul matricii este nul.
Demonstraie. Avem 00000 == cddc
i 00000 == bddb .
.3
P Dac ntr-o matrice schimbm dou linii (sau dou coloane) ntre eleobinem o matrice care are determinantul egal cu opusul determinantului matricii iniiale.
Demonstraie. Prin schimbarea liniilor s art c avem egalitatea
dc
ba
ba
dc
= .
Avem evident ( )bcadadbc = .
.4
P Dac o matrice are dou linii (sau coloane) identice, atunci determinantulsu este nul.
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
19/86
Demonstraie. Verific pentru linii (i tot odat pentru coloane). Avem:
0 == bababa
ba.
.5
P Dac toate elementele unei linii (sau coloane) ale unei matrici sunt nmulitecu un numr , obinem o matrice al crei determinant este egal cu nmulit cudeterminantul matricii iniiale.
Demonstraie. Verificm pentru linii proprietatea.
dc
babacbda
dc
ba
=== .
.6
P Dac elementele a dou linii (sau coloane) ale unei matrici suntproporionale, atunci determinantul este nul.
Demonstraie. Verificm pentru linii.
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
20/86
0
=== aaba
ba
ba
ba
.
.7P
Dac linia i a unei matriciA este suma a doi vectori, atunci determinantul eieste egal cu suma a doi determinani corespunztori matricelor care au aceleai linii caA,cu excepia liniei i unde au cte unul din cei doi vectori.
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
21/86
nn
ii
n
n nn
i ni
n
n nn
i ni nii
n
aa
bb
aa
aa
aa
aa
aa
baba
aa
. . .
. . .. . .. . .. . .
. . .. . .. . .
. . .
. ..
. . .. . .. . .. . .
. . .. . .. . .
. . .
. . .
. . .. . .. . .. . .
. . .. . .. . .
. . .
1
1
11 1
1
1
11 1
1
11
11 1
+=++
.
Demonstraie. Am de artat c:
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
22/86
dc
ba
dc
ba
dc
bbaa
''''
+=++
.
ntr-adevr membrul stng este egal cu ( ) ( ) cbbcdaadbbcdaa '''' +=++ .Membrul drept este cbdabcad '' + i egalitatea se verific.Obs.: O proprietate analog are loc i pentru coloane.
.8
P Dac o linie (o coloan) a unei matrici ptratice este o combinaie liniar decelelalte linii (coloane), atunci determinantul matricii este zero.
.9
P Dac la o linie (o coloan) a matricii A adunm elementele altei linii(coloane) nmulite cu acelai numr, atunci aceast matrice are acelai determinant ca imatriceaA.
Demonstraie. Voi aduna la linia nti 1L linia a doua nmulit cu .Vom nota acest fapt prin 21 LL + . Avem:
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
23/86
111111
11
1111
11
0
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
bbaa
67 PP.
.10
P
( ) 1det
=nI
.11
P ( ) ( ),detdet AA n = A ( )Cn .
.12
P Dac A= )jia este o matrice triunghiular (sau diagonal), atunci( ) nnaaaA ...det 2211= . (Valoarea determinantului este egal cu produsul elementelor de
pe diagonala principal).
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
24/86
.13
P Dac A, B ( )Cn , atunci ( ) ( ) ( )BAAB detdetdet = (Determinantulprodusului a dou matrici ptratice este egal cu produsul determinanilor acelor matrici).
n particular ( ) ( )( ) ,detdet nn AA = n *N .
Teorem. Determinantul unei matrici A ( )Cn este egal cu suma produselordintre elementele unei linii iL ( )ni ,1= i complemenii lor algebrici, adic
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) inni
ini
i
ii
i
ii
i
i DaDaDaDaA++++ +++= 1...111det 3
3
32
2
21
1
1 .
(Formula lui ( )Adet d dezvoltarea determinantului dup elementele liniei i).
Aceast teorem permite s calculm determinantul unei matrici dup oricarelinie. Se va alege acea linie care are mai multe zerouri sau pe care se pot realiza (ct maiuor) mai multe zerouri.
Observaie: innd seama de proprietatea 1P teorema precedent are loc i
pentru coloane sub forma:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) njjn
njj
j
jj
j
jj
j
j DaDaDaDaA++++ +++= 1...111det 3
3
32
2
21
1
1 .
2.4. Calculul inversei unei matrici
Definiie. Fie A ( )Cn . Matricea A se numete inversabil dac existmatriceaB ( )Cn cu proprietatea c nIABBA == , nI fiind matricea unitate.
Matricea B din definiie se numete inversa matricii A i se noteaz 1= AB .Deci
nIAAAA == 11
.
Teorem. Matricea A ( )Cn este inversabil dac i numai dac( ) .0det A O astfel de matrice se numete nesingular.
Construcia lui 1A presupune urmtorii pai:
Pasul 1. (Construcia transpusei)
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
25/86
Dac
=
n nnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
. . .
. . .. . .. . .. . .
. . .
. . .
21
22 22 1
11 21 1
,
atunci construim transpusa luiA
=
n nnn
n
n
t
aaa
aaa
aaa
A
. . .
. . .. . .. . .. . .
. . .
. . .
21
22 21 2
11 21 1
.
Pasul 2. (Construcia adjunctei)
Matricea
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
=
+++
+++
+++
n n
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
DDD
DDD
DDD
A
1. . .11
. . .. . .. . .. . .
1. . .11
1. . .11
2
2
1
1
2
2
2 2
22
2 1
12
1
1
1 2
21
1 1
11
*
obinut din At , inlocuin fiecare element cu complementul su algebric se numeteadjuncta matriciiA.
Pasul 3. (Construcia inversei) Se ine cont de teorema precedent i se gsete c:
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
26/86
,
. . .000
. . .. . .. . .. . .. . .
0. . .00
0. . .00
**
==
d
d
d
AAAA iar de aici.11 ** nIA
dAAA
d ==
Ultimele egaliti aratc
2.5. Ecuaii matriciale
Voi prezenta n continuare o tehnic de rezolvare a unor ecuaii de formaCAX = , CXA = , CAXB = , undeA,B, Csunt matrici cunoscute, iarXeste matricea
de aflat. Astfel de ecuaii se numesc ecuaii matriciale.Astfel de ecuaii se pot rezolva numai atunci cnd A, B sunt matrici ptratice
inversabile.
Pentru rezolvarea ecuaiei CAX = nmulim la stnga egalitatea cu 1A i
avem: ( ) ( ) CAXCAIXCAXAACAAXA 111111 ==== .Deci soluia ecuaiei date este CAX 1= .
Pentru determinarea soluiei ecuaiei CXA = vom nmuli la dreapta cu 1A ianalog vom gsi 1=CAX , soluia ecuaiei matriciale.
Pentru gsirea soluiei ecuaiei CAXB = nmulim egalitatea la stanga cu 1A ila dreapta cu 1B i obinem 11 = CBAX .
( )*1
det
1A
AA =
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
27/86
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
28/86
APLICAII
1. Manual
pg. 67 S se determine numerele realex, y,z astfel nct s aib loc egalitatea dematrici, n cazurile
1)
=
+
01 9
11
067
321 xy
yx
yx
=
===+=+
=+
===
=
00
22 01 05 71 82 87 71 963
1 1471 967
3
1 14
1 1431 132
11
yyyyyy
yx
y
xyxxyyx
13
1 18
2d a r
3
1 14
=
=
=
=
xx
y
yx
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
29/86
2)
+=
+ yyy
xyxyxx
4583
2732
==
=
=+
==+=+=
yxyx
yx
yyx
yyyyyx
242
57
83
13332232
21d a r
2=
=
=x
y
yx
3)
+
=
+
63
11
3
13 2x
xy
xy
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
30/86
+==
=
=
=+=+++=+
xyxy
xxxxxxxy
66
33
11
05413613222
( ) ( ) ( ) ( ) 5015055055054 122 ==+=+=+= xxxxxxxxxxx
12
= xI. dac 5=x , atunci 11=yII. dac 1=x , atunci 5=y
4)
=
+ z
x
z xy xy z
x y
4
05
3
0
( )
( )
( )
yxy
yxzyxzz yz x
xyyxyx
x yxy
yxxyzxyy xy z
zyxx zx y
443
3033
43
43
044
00
055
22
2
+=+
+==+=
+=
+
++=
+
+=+=+
==++=
pg. 71 1. S se calculeze BA+ n cazurile:
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
31/86
1)
= 4031
A,
= 3542
B.
=+
++ ++=+ 15
13)3(4)5(04321 BABA
2)
+
=ii
iiiA
10
31,
++
=iii
iiB
1
1231
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
32/86
+=+
++++ +++++=+ 001322
)(110132)31(1
iiiBA
iiiiiiiiiiBA
2. Se consider matricile
=
11 21 02
5214
222
m
m
A ,
=
0651
3604
11mn
B ,
=
165
210
1141
p
mC .
S se determine m, n,p astfel nct CBA =+ .
==
=+
===+
==+
112
62
2424
312
pp
mm
mmmm
nn
.
Deci
=
=
=
1
2
3
p
m
n
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
33/86
pg. 75 1. Se consider matricile )(, 3,2 CBA .
=i
iA
320
11,
+= 11
01
ii
iB .
S se calculeze: iBA 23 , BiA 2+ .
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
34/86
2782
31
2222
022
960
333
11
01
2
320
11
323
ii
i
ii
i
i
i
ii
i
i
i
i
i BA
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
35/86
1242
1
2222
022
320
1
11
01
2
320
11
2
ii
ii
ii
i
i
ii
ii
i
i
i
iBi A
pg. 87 1. Calculai produsele de matrici BA , unde
a)
=
103
112A i
=
01
12
13
B
=
++++++++
=310
39
003109
012126AB
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
36/86
b)
=
3
1
2
A i ( )321=B
=
963
321
642
AB
c)
=02
1
i
iA i
=
10
3iiB
( )
=
++++
=62
2
1032002
11301 ii
iiii
iiiiAB
d)
=
725
643124
A i
=5
42
B
=
33
52
5
AB
e)
=
535
615
943
A i
=
354
798
465
B
=263229
17272213911
AB
2. S se calculeze ( )Af , dac:
= 1211
A ; 22 75)( IXXXf +=
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
37/86
14
21
12
11
12
112AAA
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
38/86
0736
70
07
51
55
14
21
10
017
12
115
14
21)(Af
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
39/86
3. Fie
= 1011
A. S se calculeze nA , *Nn .
10
21
10
11
10
112AAA
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
40/86
10
31
10
11
10
2123AAA
=10
1
nA
n
Inducie matematic )1()( + kPkP
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
41/86
+
=+
10
111
n
A
n
10
11
10
11
10
11 nnAAAnn
(A)
Deci = 10
1n
An .
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
42/86
pg. 120 1. Calculai determinanii de ordinul doi:
1) 5232)1(3132
11
=+==
2) 13231)2()1(
23
11===
3) ( 0331)3(3333
13=+==
2. Calculai determinanii de ordinul trei:
1)
[ ]
36)1(5124)1()2()2(5641)1(3)1(2
354
116
212
=++++=
70
]18108[6046
=
=+=
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
43/86
2) [ =++++=
65043203)5()5(45030632640335
502
88
2464
]0240[100036
===
=+++=
3) [ =++++=
321321)3()2()1()3(33)2(221)1(1
132
213
321
42
636
]666[2781
===
=++=
3. Calculai determinanii urmtori:
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
44/86
1)
000
111
111
111
111
111
111
dcbadcba
cba
cba
ddd
cba
cba
cba
dcdbda
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
45/86
2)
0001
1
aaa
ccc
bbb
acc
cbb
baa
aaa
ccc
bbb
acc
cbb
baa
acaac
cbccb
babba
4. S se rezolve ecuaiile:
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
46/86
1) 0
1
1
1
=
xxxx
xx
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
47/86
0
1
11
10
1)1(
1)1(
1
1)1(1 312111
xx
x
x
x
xx
x
x
x
xx
x
x
x
xx
x
x
x
xxxxxxxx =+ 10)()(1 222 =+=++ 01320 2323322 xxxxxx
=+==+ 0)1)(1()1(20)1()1(20122 222223 xxxxxxxxxx
10)1(0)12)(1( 12 === xxxxx
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
48/86
2
1
1981012
3
2
2
=
==+==
x
xxx
Deci
1,
2
1x .
5. S se rezolve ecuaiile:
1) 0
011
101
110
110
=
x
x
x
x
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
49/86
0
11
01
10
)1(
011
11
10
)1(1
01
101
11
)1(1
01
10
110
)1(041312111
x
x
x
xx
x
x
x
x
x
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
50/86
011
01
10
011
11
10
01
101
11
0
x
x
x
xx
x
x
x
[ ] [ +++++++++ 001111(1111100)1101101()1111100(0 xxxxxxxx[ ] =++++ 0)010111()111100( xxxxxxx
=+++ 0)1()21()1( 32 xxxxxx
=++ 0121 242 xxxxxx=+=+ 042042 2424 xxxxx
042
00)42(
3
1
3
=+
==+
xx
xxxx
6. Fie )(, 3 RBA pentru care0)det()det()det()det( ==+== BABABA . S se arate c 0)det( =+yBxA ,
Ryx ,)( .
0),()det( 442
3
2
2
3
1 =+++==+ yxyyxxyxPyBxA
Pentrux = 0 iy = 100)det()1,0( 4 === BP
Pentrux = 1 iy = 000)det()0,1( 1 === AP
Pentrux = 1 iy = 100)det()1,1( 32 =+=+= BAP
Pentrux = 1 iy 1=
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
51/86
00)det()1,1( 32 === BAP032 ==
Deci 0)det( =+yBxA
2. Bacalaureat
pg. 94 1. S se determine matriceaXdin ecuaia
03
39
63
62
47
31
2
32
21
32
3X
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
52/86
32
2132
03
3963
14
8162
3X
+
=
32
21
32
1 21
1 15
1 21
3X
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
53/86
=13
96
13
3X
=51
32
51
X
2. a) Gsii matriceaX )(2 R astfel nct
13
21
33
12
10
21
Xb) S se determine m R astfel nct sistemul urmtor s fie compatibil
i apoi rezolvai-l:
=+
=
=+
myx
yx
yx
3
12
1
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
54/86
a)
13
21
33
12
10
21X
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
55/86
33
12
13
21
10
21
33
12
13
21
10
21XX
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
56/86
40
13
22
2
40
13
1202
120140
13
10
21
tzz
yxx
tztz
yxyx
yxX
X
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
57/86
==+
==+=+
==
=
442
51612
002
3
ttz
yyyx
zz
x
Deci
=40
53X .
b)
=+
=
=+
myx
yx
yx
3
12
1
yxyx ==+ 11
3
22312112 ==== yyyyyx
31
3211 === xyx
3
5
3
21
3
2
3
133 =+==+=+ mmmmyx
3. a) Fie matriceaA )(2 R ;
= 10
1 aA , 0a . S se calculeze 2A i 3A
i apoi s se determine nA , *Nn n funcie de n.b) S se afle ,,,, vuyx numere reale astfel nct
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
58/86
11
01
10
11
vu
yx
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
59/86
a)
10
21
0111010
11011
10
1
10
12 a
a
aaaaa
AAA
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
60/86
10
31
0111010
1210211
10
1
10
2123 a
a
aaaaaAAA
= 10
1
nAn
Inducie matematic )1()( + kPkP
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
61/86
+
=+
10
)1(11
an
A
n
10
)1(1
0111010
11011
10
1
10
11 an
a
nanan a
AAA
nn (A)
Deci
=
10
1 naAn .
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
62/86
b)
1
1
10
01
11
01
11
01
10
11
v
u
yvy
xux
vu
vyux
vu
yx
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
63/86
Deci
=
1110
vuyx .
4. a) S se determine ,,,, vuyx astfel nct:
28
13
213
1
uv
xy
vu
yx
b) S se detrmine matriceaA astfel nct:
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
64/86
.
424
251
111
117
316
5142A
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
65/86
a)
28
13
123
1
28
13
213
1
uv
xy
vu
yx
uv
xy
vu
yx
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
66/86
=+=+
==+=+
=
++
212
813
1
33)(
28
13
1231
vu
vu
xy
yxyx
uvvu
xyyx
12
342
133
13
xy
yxy
yyyx
xyyx
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
67/86
=
=
==+
=
=+
=+ 0
3
273)93(2
93
212
813
u
v
vvv
vu
vu
vu
b)
424
251
111
117
316
514
2A
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
68/86
316
514
121
148
2316
514
121
148
2 AA
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
69/86
=
=155932
2 21 01 081642 AA .
pg. 147 1. S se rezolve ecuaia:
0
=
xaaa
axaa
aaxa
aaax
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
70/86
=
=+
= 0
000
000
000
000
0
000
000
000
000
0
ax
ax
axax
aaaa
aaaa
aaaaaaaa
ax
ax
axax
xaaa
axaa
aaxaaaax
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
71/86
[ axaxaxaxaxax
ax
ax====
+4,3,2,1
4311
0)(00)()(000
00
00
)1()(
2. Dac 321 ,, xxx sunt rdcinile ecuaiei 01722 23 =++ xxx s se
calculeze determinantul
213
132
321
xxx
xxx
xxx
d= .
= =++
=++
=++ 1 72
2
01 722
321
323121
321
23
xxx
xxxxxx
xxx
xxx
)(3
3
3
3
2
3
1321
213
132
321
xxxxxx
xxx
xxx
xxx
++=
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
72/86
=++
++++=++
++++=++
+=++
=++
=++
5 122)22(2)(2)(
5 1)(2)(2
)(01 722
01 722
01 722
3
3
3
2
3
1
323121
2
321
2
3
2
2
2
1
321
2
3
2
2
2
1
3
3
3
2
3
1
3
2
3
3
3
2
2
2
3
2
1
2
1
3
1
xxx
xxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxx
xxx
xxx
553
3
3
2
3
1 =++ xxx
455)17(3)(33
3
3
2
3
1321 =+=++= dxxxxxxd
Siruri marginiteDefinitii: 1.Spunem ca sirul ( Xn)n este margin sup(majorat)( ) b R a.i
Xn b, () n.
2.Spunem ca sirul ( Xn)n este margin inf (minorat )( ) a R a.i
a Xn, () n .
3.Spunem ca sirul (Xn)n este marginiteste si majorat si minorat
( ) a,b R a.i a Xn b () n.
Prop. Sirul (Xn) n este marginit ( ) MR a.i Xn M, ( ) n!Obs. (Xn) M -M Xn M.
Siruri monotone
Definitie: Spunem ca sirul Xn este:
a) strict crescatorXn < Xn+1
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
73/86
(Rn): -1,-2,-3-n, strict descrescator
!Obs. Un sir crescator este marginit inf de primul termen XoUn sir care este crescator sau descrescator (respectiv strict) senumeste monoton (respective strict monoton)
Pentru a stabili monotonia unui sir se face diferenta a doi termeni a Ztermeni oarecare consecutivi si aceasta se compara cu 0.Daca termenii sirului este pozitiva se face raportul a doi termeniconsecutivi oarecare si se compara cu unu
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
74/86
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
75/86
www.eReferate.ro -Cea mai buna inspiratie
SIRURI FUNDAMENTALE
( SIRURI COUCHY )
Definitia 1:
Definitia 2:
Definitia 3:
Observtie!Cele trei definitii date sunt echivalente:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ).,,incatastfel,0
dacaCouchy)sir(saulfundamentaestesiruncaSpunem
NmnaaNN
a
mn
n
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .si,incatastfel,0
dacaCouchy)sir(saulfundamentaestesiruncaSpunem
+ NpNnaaNN
a
npn
n
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .,incatastfel,0
dacaCouchy)sir(saulfundamentaestesiruncaSpunem
NnaaNN
a
Nn
n
Definitia32Definitia1Defintia
http://www.ereferate.ro/http://www.ereferate.ro/8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
76/86
Criteriul lui Couchy:Un sir de numere reale este convergent daca si numai daca este sir Couchy.
Problem propuse spre rezolvare:
I. Utilizand criteriul lui Couchy sa se arate ca urmatoarele siruri sunt convergente:Rezolvare:
( ) ( ) convergentestelfundamentasir nn aa
25
121)
++
=n
nan
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + NpNnaaNN npn si,incatastfel,0
caDemonstram
( )( )
( )( ) ( )( )( )( )
( )( )
( )( )25525
25525
25910102491010
25525
2551212225
25
12
25
12
22
+++=
=+++
++++=
=+++
++++++=
=++
++++=+
pnn
p
pnn
pnnpnpnnpn
pnn
pnnpnn
n
n
pn
pnaa npn
( )( )
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
78/86
LIMITA FUNCTIEI LOGARITMICE
LIMITA FUNCTIEI LOGARITMICE
LIMITA FUNCTIEI
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
79/86
TRIGONOMETRICE DIRECTE
Daca punctual de acumulare este finit adica aR atunci
Deci limita functiei sinus intr-un punct de acumulare finit aR seobtine inlocuind pe x cu a
Daca a= atunci f nu are limita
Daca punctual de acumulare este finit adica, aR atunci
Deci limita functiei cosinus intr-un punct de acumulare finit aR seobtine inlocuind pe x cu a
Daca a apartine domeniului de definitie atunci :
Se poate lua :
Deci limita functie tangenta intr-un punct de acumulare din domeniulde definitie se obtine inlocuind pe x cu a
Deci limita functiei cotangenta intr-un punct de acumulare din domeniul dedef se obtine inlocuind pe x cu a
LIMITELE FUNCTIILORTRIGONOMETRICE INVERSE
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
80/86
Se demonstreaza ca daca a [-1,1] atunci
OBSERVATIE :Pentru toate functiile elementare , limita functiei in orice punct almultimii de definitie a , se obtine inlocuind pe x cu a .
OPERATII CU LIMITE DE FUNCTII
LIMITE REMARCABILE
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
81/86
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
LIMITA FUNCTIEITRIGONOMETRICE DIRECTE
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
82/86
Daca punctual de acumulare este finit adica aR atunci
Deci limita functiei sinus intr-un punct de acumulare finit aR seobtine inlocuind pe x cu a
Daca a= atunci f nu are limita
Daca punctual de acumulare este finit adica, aR atunci
Deci limita functiei cosinus intr-un punct de acumulare finit aR seobtine inlocuind pe x cu a
Daca a apartine domeniului de definitie atunci :
Se poate lua :
Deci limita functie tangenta intr-un punct de acumulare din domeniulde definitie se obtine inlocuind pe x cu a
Deci limita functiei cotangenta intr-un punct de acumulare din domeniul dedef se obtine inlocuind pe x cu a
LIMITELE FUNCTIILORTRIGONOMETRICE INVERSE
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
83/86
Se demonstreaza ca daca a [-1,1] atunci
OBSERVATIE :Pentru toate functiile elementare , limita functiei in orice punct almultimii de definitie a , se obtine inlocuind pe x cu a .
OPERATII CU LIMITE DE FUNCTII
LIMITE REMARCABILE
1.
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
84/86
2.
3.
9.
10.
11.
12.
13.
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
85/86
CUPRINS
1.Matrici........pag3*despre matrici*operatii cu matrici*propietatii*teorema lui Hamilton
2.Determinanti..........................................pag7*definitii*regula triunghiului*calculul inversei unei matrici*ecuatii matriciale
3.Sisteme de ecuatiiliniare.........................pag 14*metoda reducerii*metoda substitutiei*formulele lui CRAMER*metoda lui GAUSS
8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A
86/86
4.Chestiuni elementare despresiruri ...........pag13*siruri de numere reale*operatii cu limite si siruri
5.Limite defunctii........................................pag17*limita functiei logaritmice*limita functiei trig directe*operatii cu limite*limite remarcabile*limita functiei trig inverse