MATEMATICĂ , clasa a XI – a ALGEBRĂ SUPERIOARĂ (simbol AL - XI)

AL - XI. 001 Se dau matricele ( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=4,15,03,02

A ; ( )

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−=

53

21

6,01B

Să se calculeze matricea C = A + B.

a) ; b) c) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

3211

C ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

205,01

C ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1001

C

d) ( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=013,02

C e) ( )

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −=

211

16,0C f) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2011

C

AL - XI. 002 Se dau matricele pătratice de ordinul al doilea şi

.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

6435

E

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

7321

F

Să se calculeze matricea A = 2E – 3F

a) b) c) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=91

1213A ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−=

911213

A ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−

=91

1213A

d) e) f) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

911213

A ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=91

1213A ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=91

1213A

AL - XI. 003 Fie . ( )Z3

313112

201MA ∈

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−=

94 Culegere de probleme Dacă să se calculeze ( ) xxf 3= ( )Af .

a) b) c) ( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−=313112

603Af ( )

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−=319116

203Af ( )

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−=939336

603Af

d) e) ( ) f) ( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−=913132

203Af

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−=319132

601Af ( ) 3IAf =

AL - XI. 004 Să se calculeze produsul de matrice A⋅B, unde

, ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

210123

A⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

231

B

a) b) c) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛117

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛63711

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2132711

d) e) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛7

11 ( )3711 f) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

3711

AL - XI. 005 Să se rezolve ecuaţia matriceală:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

7342

5221

X

a) b) c) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1102

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0120

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛4311

Algebră XI 95

d) e) f) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2521

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1141

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1012

AL - XI. 006 Să se rezolve ecuaţia matriceală:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

521234311

111012111

X

a) b) c) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−

035254

023

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

031151023

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

031151123

d) e) f) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

035154013

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−

235054023

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−

135254

023

AL - XI. 007 Să se rezolve ecuaţia matriceală

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅

610896

143432321

X

a) b) c) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=1111

X ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=101

110X

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

112211112

X

d) e) f) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

321213

X ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=111

111X ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

132321

X

AL - XI. 008 Aflaţi astfel ca matricea diagonală constantă R∈a

96 Culegere de probleme

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

aa

aX

000000

să fie soluţia comună a ecuaţiilor matriceale

( ) 1123

321 =⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛X şi ( ) 1

321

123 =⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛X

a) 103

=a b) 102

=a c) 101

=a

d) 3

10=a e)

210

=a f) 10=a

AL - XI. 009 Să se determine toate matricile X, cu proprietatea că XAAX = ,

unde A = . ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1321

a) ; α,β∈R b) c) ; α∈R αβ α

1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 00 1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

αα2

0⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

d) ; α∈R e) ; α,β∈R f) ; α,β∈R 1 23 1

αα

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

α ββ α

23⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

α ββ α⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

AL - XI. 010 Să se determine matricea X care verifică relaţia: . 23

2 2 43 3 6

⎛⎝⎜⎞⎠⎟ =

−−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟X

a) X = ( b) X = c) X = )1 1 2−1 1 20 0 0−⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟

1 12 2−⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟

d) X = e) X = f) X = ( )1 2 3−112−⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1 12 2

−−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Algebră XI 97

AL - XI. 011 Care este valoarea parametrului a∈R pentru care există x,y,z,t ∈R , nu

toţi nuli, astfel încât ? x ya

z ta

1 21 2

2 11 1

1 31 2

1 31

0 00 0

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

− −−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

a) b) a c) aa = 1 = 0 = −1 d) a = 2 e) a = −2 f) a = 4 AL - XI. 012 Să se determine constantele reale p şi q pentru care matricea

A = satisface relaţia A1 0 10 1 01 0 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

3=pA2+qA .

a) b) p qp q= − =2 , 3 = = −3 , 2 c) p q= =1 4, d) p q= − = −2 , 3 e) p q= =2 , 1 f) p q= =1 3,

AL - XI. 013 Să se rezolve ecuaţia matriceală X . 2 2 31 1 01 2 1

1 2 31 3 2

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟=

−− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

a) X = b) X = c) X = 6 31 54 12 14− −− −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

6 32 214 23 14− −− −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2 4 61 3 21 2 2−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

d) X = e) X = f) X = 6 4

31 25 11

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

5 31 44 12 10−−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

6 32 214 23 14−−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

AL - XI. 014 Să se determine matricea X care verifică ecuaţia

. 1 20 13 1

1 2 23 0 3

12 6 9−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=− −

−− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

X

98 Culegere de probleme

a) X = b) X = c) X = 5 0 13 2 1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

3 2 45 1 3−⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟

3 2 35 1 4−⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟

d) X = e) X = f) X = 5 0 3

3 2 4− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

5 2 43 0 3− −

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 1 10 1 1− −

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

AL – XI. 015 Să se rezolve ecuaţia matricială

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−⋅

543112351

121210321

X

a) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−−−

−=162441169844

41X ; b)

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

162441169844

41X

c) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−=

162441169844

41X ; d)

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

087121431

21X

e) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−−−=

162441169844

41X ; f)

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−=

087121431

21X

AL –XI. 016 Să se determine toate matricile formate cu elemente din codul binar

Algebră XI 99

B={ care să transforme prin înmulţire matricea coloană în matricea coloană

}1,0⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

321

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

4213

a) şi b)

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

001100010001

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

001100010011

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

110001100010

c) şi d)

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

101010001011

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

101010001100

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

001101110011

e) şi f)

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

101001110100

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

001100010001

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

111100010001

AL - XI. 017 Să se rezolve ecuaţia: , X∈M⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=14

1212X 2(Z).

a) X = b) X = c) X = şi X = 2 31 2−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− −−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2 31 2

2 31 2−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− −−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2 31 2

100 Culegere de probleme

d) X = i i

i i

3 63

23

3

−⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

e) X = f) X = 2 31 2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− −− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2 31 2

AL - XI. 018 Să se determine toate matricile X ∈M2( Z ) astfel ca: X 2 = . 1 02 1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

a) b) şi c) −−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 01 1

1 01 1−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 01 1

1 01 1−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

d) şi e) şi f) şi −− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 01 1

1 01 1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 01 1−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 01 1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 01 1

1 01 1− −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

AL - XI. 019 Se dau matricele A cu m∈R.. Să se

determine valorile lui m ∈R astfel încât să existe trei constante nu toate nule, a,b,c∈R cu condiţia aA+bB+cC = 0, 0 - matricea nulă.

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 22 0

0 11 0

32 0

, ,B Cm

a) b) c) orice m = 1 m = 0 m∈R d) m∈∅ e) 45

=m f) m = −54

AL - XI. 020 Să se calculeze suma: . ( )

11 2 3 1

2 3

1

k k kk kk

n

− +

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

=∑

a)

( ) ( )( ) ( )

( )( )⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

++−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++++

32132

21

6121

21 2

nnnnnn

nnnnnnnn b) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− !332

!3!2!nnnnnnnn

c) ( ) ( )( ) ( )

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

++++

!3323

16

1212

1

nnnn

nnnnnnnn d) ( )⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+− 13211 32

nnnnn

Algebră XI 101

e) f) ( ) ( ) ( )

( ) ⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎝

⎛− !6!3!2!

!4!3!2!nnnnnn

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

− !332!1 32

nnnnnnn

AL – XI. 021 Dacă ( )3121 i+−=ω iar , să se determine numărul ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

11

2ω

ωA

an∈ R astfel încât să avem ( ) ∈∀⋅=+++ nAaAAA n

n ,...32 N . a) b) 2222 +n 1 −−n c) 22 − n

d) e) 22 1 +−n 12 1 −−n f) . 12 1 +−n

AL - XI. 022 Dacă este o rădăcină a ecuaţiei xω 2+x+1 = 0 şi n = 3p, p∈N*, să se calculeze suma:

ω ω ω

ω ω ω

k k k

k k kk

n 2 3

3 21

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

=∑ .

a) b) c) ω ω

ω ω

2

2

n

n

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

− −− −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 11 1

nn

0 00 0

nn⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

d) e) f) ω ω ω

ω ω ω

2 3

2

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟2

ω ω ω

ω ω ω

2 3

3 2

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

nn

0 00 0⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

AL – XI. 023 Fie ; , unde ε este o rădăcină

cubică complexă a unităţii şi fie ecuaţia matriceală AX = B. Fie S suma modulelor elementelor matricei X. Atunci :

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

εεεε

2

2

11

111A

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=11111

2

2

εεεε

B

a) S = 4; b) S = 16; c) S = 3; d) S = 31+ ; e) S = 31− ; f) S = 32 +

102 Culegere de probleme AL – XI. 024 Fie M mulţimea tuturor matricelor cu 4 linii şi 5 coloane în care toate elementele sunt numerele +1 şi - 1 şi astfel încât produsul numerelor din fiecare linie şi din fiecare coloană este -1 . Să se calculeze numărul elementelor mulţimii M. a) 2 b) 7 c) 6 d) 4 e) 0 f) 1

AL - XI. 025 Se consideră matricea M = , a,b,c,d∈R. Să se determine a bc d⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

condiţiile în care există p,q∈R , unici astfel ca M 2-pM-qI = 0, I fiind matricea unitate, 0 matricea nulă. Să se determine în acest caz valorile lui p şi q. a) b = c, a = d, p = a, q = b2-a2 b) b,c∈R, a = d, p = 2a, q = bc-a2

c) b = c, a,d∈R, p = a+d, q = b2-a2 d) b ≠ 0 sau c ≠ 0 sau a ≠ d, p=a+d, q = bc-ad

e) b = 0, c = 0, a = d, p = a+d, q = bc-ad f) b ≠ 0, a ≠ d, c∈R, p = a+d, q = -ad AL - XI. 026 Fie A,B,C ∈ Mn ( C ) cu proprietăţile A+B = AB, B+C = BC, C+A = CA. Pentru ce valoare m∈R are loc egalitatea A+B+C = mABC ?

a) b) m = 1 m =12

c) m =14

d) m = 3 e) m =34

f) m =13

AL - XI. 027 Fie A = o matrice nenulă cu ad = bc , a,b,c,d∈R. Să se

determine (în funcţie de elementele matricii A) numărul real r asfel încât să aibă loc egalitatea A

a bc d⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

n = rn-1A pentru orice n∈N, n ≥ 2. a) r = a-d b) r = a+d c) r = b+c

d) r = b-c e) r = a+c f) r = b+d

Algebră XI 103

AL - XI. 028 Să se determine puterea N∈n a matricei . ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

123012001

A

a) b) ,101001

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

nn

nn

abaA

nnb

na

n

n

+=

=22

2,

101001

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

nn

nn

abaA 2nb

na

n

n

=

=

c) d) ,101001

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

nn

nn

abaA 22

2

nb

na

n

n

=

=,

101001

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

nn

nn

abaA

nnb

na

n

n

+=

=2

2

e) f) ,101001

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

nn

nn

abaA

nnb

na

n

n

+=

=2

2

2,

101001

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

nn

nn

abaA

nnb

na

n

n

−=

=2

AL - XI. 029 Fie matricea A = . Calculaţi det P(A), unde P(x) = x1 20 3⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ 100 - 1.

a) 0 b) 1 c) -1 d) 99 e) 100 f) -100

AL - XI .030 Fie A = . Să se arate că A1 20 1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ n este de forma: An = şi să se

10 1

an⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

determine apoi an , n ∈ N. a) b) a a an n n+ = + =1 2, n2 a a an n n+ = =1 1, c) a a an n n+ n= + =1 1,

d) a a e) f) an n nn

+ = =1 2 , 2 2 na a an n nn

+ = + =1 2, a a an n n+ = =122 2,

AL - XI. 031 Să se determine An, n∈N*, unde A∈M3(Z) este o matrice care verifică

104 Culegere de probleme

α

α

α

relaţia: (1 1+x 1+x2) = (1 x x2)A pentru orice x∈R .

a) A b) A n c) A n n

n n=⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

11 1 01 1 1

nn

=⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1 0 01 00 1

n n=⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

10 1 00 0 1

d) A e) A n f) A n n

n n=

− −⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

10 1 00 0 1

n n=

−⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

10 1 00 0 1

nn

n=⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1 10 00 0

AL - XI. 032 Fie matricea A = . Să se calculeze A , (n ≥ 1). cos sinsin cos

α αα

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

n

a) A b) A n nn n

n n=

−⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

cos sin

sin cos

α α

α α

n nn n

=−⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟

cos sinsin cos

α αα α

c) A d) A n n n nn n

=−⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟

cos sinsin cos

α αα

n nn n

=−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

cos sinsin cos

α αα α

e) A f) An n n nn n n

=−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

cos sinsin cos

α αα

n n n

n n

=−⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

1 1

1 1

cos sin

sin cos

α α

α α

AL - XI. 033 Să se calculeze

12

323

212

30

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

.

a) b) c) −

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 00 1

1 00 1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

0 11 0−

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Algebră XI 105

d) e) f) 0 11 0−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

0 11 0

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 00 1−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

AL - XI. 034 Fiind dată matricea A = , să se calculeze matricea A⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

100110011

n,

n∈N*.

a) An =

( )

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ −

10010

411

2

n

nnn

b) An =

( )

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ −

10010

211

n

nnn

c) An = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

10010

31nnn

d) An = e) A⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

100310

31 2

nnn

n = f) A⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −

10010

112

32

nnn

n =

( )

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ +

10010

211

n

nnn

AL - XI. 035 Fie matricea A =

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

100211031

211

. Să se arate că An, n ≥ 1 are forma

10 10 0 1

a ba

n n

n

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

şi să se determine an şi bn.

a) a nn =

2,

( )6

1+=

nnbn b) a nn =

2,

( )b

n nn =

+2 512

c) a nn =

+ 12

, ( )

bn n

n =+2 1

6 d) a n

n =2

, ( )

bn n

n =+3 5

24

106 Culegere de probleme

7e) , f) a nn = +2 3 b nn = +3 a nn =

+2 14

, ( )

bn n

n =+5 4

4

AL - XI. 036 Fie matricea A = . Să se calculeze A⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

100210321

n, n∈N, n ≥ 2.

a) b)⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −+

100210

2421 2

nnnn ( )

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ +

100210

1221n

nnn c)

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

100010001

d)

( )

( )

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

+

n

nnn

nnnn

002

10

33

1

e) f) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

nnnnnn

002032

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

100210321

AL - XI. 037 Să se calculeze An, n∈N* unde A = . ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

200010012

a) An = b) A⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −

n

nn

2000100122

n = c) A⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ +

n

nn

2000100122

n = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −

n

nn

2000100122

d) An = e) A⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

n

n

200010021

n = f) A⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

n

nn

200010212

n = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −

n

n n

200010012 2

AL - XI. 038 Care sunt valorile parametrului a∈R pentru care matricea

Algebră XI 107

A =

12

12

12

12

12

12

a a

a a

a a

−

−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

este inversabilă.

a) orice a∈R\{ b) orice a∈[-7,2] c) orice a∈R }1 2,

d) orice a∈ ( e) orice a∈] { }− ∞ ∪,1 9 { }1 2 3 4, , , f) orice a∈R\{ } 3 4,

AL - XI. 039 Să se calculeze inversa matricei ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

1694432111

A

a) b) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−=−

110120

0111A

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−−−

=−

21

253

168176

1A

c)

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−−

−

=−

21

253

16821

276

1A d) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−=−

110021112

1A

e)

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=−

101

5321

3125

1A f) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=−

100010001

1A

108 Culegere de probleme

AL - XI. 040 Să se determine parametrul R∈α astfel încât matricea ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

211

αA

să fie inversabilă şi apoi să se afle inversa sa.

a) ⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

++−

++−≠

21

2

21

22

;2

ααα

ααα b) ⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

++−

++−=

21

2

21

22

;2

ααα

ααα

c) ⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

++−

++−≠

22

22

21

;1

αα

αα

ααα d) ⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

++−

−−−=

21

2

11

12

;1

ααα

ααα

e) ⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

++−

+−

+=

21

2

12

11

;1

ααα

ααα f) ⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−

+

++−≠

11

11

22

12

;1

αα

ααα

AL - XI. 041 Matricea are rangul doi pentru: ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−−

βα745

0215432

a) 5,2 −== βα b) 10,1 −=−= βα c) 2,3 =−= βα d) 10,1 −== βα e) 1,3 −== βα f) 10,1 =−= βα AL - XI. 042 Să se determine valorile parametrilor reali α şi β pentru care matricea:

A = are rangul 2. β

αα

1 2 41 2 31 2 2 4

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

a) b) α β= =1, 1 α β= =12

1, c) α β= =1 12

,

Algebră XI 109

d) α β= − =12

1, e) α β= − =1 12

, f) α β= − = −12

12

,

AL - XI. 043 Se dă matricea . Să se determine parametrul

1 1 1 21 1 1

1 1 3 34 2 0

−

− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

a

a real a pentru care rangul matricei este egal cu 2. a) a = 4 b) a = -2 c) a = 3 d) a = 8 e) a = -1 f) a = 0 AL - XI. 044 Pentru ce valori ale parametrilor R∈ba, , matricele

şi au ambele rangul 2. ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−−=

11313

221aA

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−−=

baB113

4134221

a) 5

19,744

== ba b) 1,31

−== ba c) 744,

519

== ba

d) e) 2,1 −=−= ba 1,2 −== ba f) 31,1 =−= ba

AL - XI. 045 Fie matricea , ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

iiiA

ααα

αααR∈α ; dacă rangul matricii este 2,

atunci suma elementelor sale este soluţie a ecuaţiei: a) b) c) 012 =+x 092 =−x 013 =+xd) e) f) 0273 =− ix 014 =+x 0814 =−x AL - XI. 046 Să se determine valorile parametrilor R∈ba, pentru care matricea

110 Culegere de probleme

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−=112121

101

aa

bA

are rangul minim.

a) b) 1,1 == ba 1,1 −== ba c) 31,1 −== ba

d) 31,2 −== ba e) 2,2 == ba f)

31,1 −=−= ba

AL - XI. 047 Se dă matricea: . Să se determine parametrii reali

1 2 11 2 11 2 1 12 4 2 2

βα −

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

α β,

pentru care rangul matricei să fie doi. a) b) αα β≠ ≠ −1, 1 β= ≠ −1 1, c) α β= ≠ −1 1, ; α β≠ = −1 1,

d) α β e) ≠ = −1 1, α β= = −1 1, f) α β= ∈1, R AL - XI. 048 Pe care din următoarele mulţimi de variaţie ale parametrilor reali

şi β matricea are rangul 3? α

βαα

1 2 41 2 31 2 2 4

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

a) b) [ ] [α β∈ − ∈ −11 1 4, , , ] ( )α β∈ −⎛⎝⎜

⎤⎦⎥

∈7 23

0 2, , ,

c) α β∈⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

∈ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

0 34

1 32

, , , d) ( )α β∈ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

∈3 35

0 1, , ,

e) α β∈ −⎡⎣⎢

⎞⎠⎟

∈⎡⎣⎢

⎞⎠⎟

12

1 12

2, , , f) ( ]α β∈ −⎛⎝⎜

⎤⎦⎥

∈12

2 0, , ,7

Algebră XI 111

AL – XI. 049 Se consideră matricea

. ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−=

1121025214222

αα

A

Să se precizeze valoarea parametrului α, pentru care rangul matricei este doi.

a) α = 3; b) α = 1; c) α = -5; d) α = 5; e) α = -3; f) α = 4 .

AL – XI. 050 Fie matricea

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+++=

16941321

1 32

aaaaaaaaxxx

A

Pentru ce valori reale ale lui a şi x matricea A are rangul 2? a) a = 0; x = 1 b) x = 1; a ∈ R c) a = 0; x ∈ R d) a = 0; x ∈(-1,2) e) pentru nici o valoare reală a lui a şi x. f) a = 0; x = 0

AL - XI. 051 Să se rezolve sistemul unde A= , B= . 2 5

3X Y AX Y B− =

− + =⎧⎨⎩

1 20 1−⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟

2 13 0⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

a) b) X YX Y=−⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

13 115 3

0 06 1

, =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

5 06 1

13 115 3

,

c) d) X YX Y=−⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

13 115 3

5 06 1

, =−⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟ =

− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 12 3

0 11 1

,

e) f) X = Y X Y=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

13 015 1

5 12 1

,−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 32 1

, =− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

5 12 1

112 Culegere de probleme AL - XI. 052 Să se precizeze care dintre perechile de matrice (X,Y), date mai jos,

reprezintă o soluţie a sistemului: .

1 01 1

0 11 1

2 22 3

1 21 1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⋅ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⋅ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

X Y

X Y

a) b) XX Y=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 00 1

1 00 1

, Y=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

0 11 1

1 00 1

,

c) Y X d) X Y =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

0 11 1

1 10 0

, =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 00 1

1 10 0

,

e) f) X Y X Y=−

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

0 11 1

1 10 0

, =−

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

0 11 1

1 00 1

,

AL - XI. 053 Să se calculeze determinantul:

214322021

a) 8 b) 6 c) 16 d) 17 e) 18 f) 0 AL - XI. 054 Să se calculeze determinantul:

11

112

aaaa

a

−−

−−=Δ

a) 0 b) 2a2 c) 4a2

d) 6a2 e) 1 f) -1

AL - XI. 055 Să se calculeze det ( )1−A dacă ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

102130041

A

Algebră XI 113

a) 1 b) 21

c) 111

− d) 71

e) 111

f) 51

AL - XI. 056 Fie matricea , ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1326

A ( )RMA 2∈

Să se determine mulţimea matricelor ( ){ }0det,0det =+== XAXXM

a) sau b) sau ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛yyxx

33

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ykyyky 22

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛yyyx

33

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛kyyxyy 22

c) sau d) sau ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛kyykyx

222

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛kyy

yky 22⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛kxkykyk2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛kykyxk2

e) sau f) sau ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛yky

kxkx⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ykyxx

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− xy

yx⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −xyyx

AL - XI. 057 Calculaţi determinantul Δ = −

−

x x

y y

y xy x

2

2

2 2

1

1 .

a) ( )( )( )Δ = + − +x y xy x y2 1 2 b) ( )( )( )Δ = − − −x y xy x y2 21

c) ( )( )( )Δ = − − +x y xy x y2 1 2 d) ( )( )( )Δ = + + +x y xy x y2 21

e) ( )( )( )Δ = − + + −x y xy x y2 1 2 f) ( )( )( )Δ = − − + +x y xy x y2 21