24 Probleme, concursuri, olimpiade

FIZICA ŞI TEHNOLOGIILE MODERNE, vol. 10, nr. 1-2, 2012

APLICAREA LEGII CONSERVĂRII ENERGIEI LA REZOLVAREA PROBLEMELOR DE ELECTROSTATICĂ (I)

Conf. univ. dr. Mihail POPA

Universitatea de Stat „Alecu Russo” din Bălţi E-mail: miheugpopa@yahoo.com

Rezumat: În articol este analizată aplicarea legii conservării energiei în electrostatică. Sistemul electric este format din sarcini electrice aflate în câmp electrostatic care interacţionează între ele. Sunt date exemple de probleme rezolvate privind lucrul mecanic exterior efectuat la îndepărtarea sau apropierea armăturilor condensatorului şi sunt propuse probleme pentru rezolvare individuală.

Cuvinte cheie: electrostatică, lucru, condensator, armături, sursă.

Legea conservării energiei stabileşte forma generalizată a balanţei energetice pentru toate transformările posibile din orice sistem fizic. Ea poate fi scrisă sub forma:

QWLext , (1) unde extL este lucrul efectuat de forţele exterioare asupra sistemului considerat, W variaţia energiei sistemului, Q cantitatea de căldură degajată în sistemul fizic.

Vom conveni că dacă 0Lext , atunci asupra sistemului se efectuează un lucru pozitiv, iar dacă 0Lext , atunci sistemul efectuează un lucru pozitiv asupra mediului exterior; dacă

0W , atunci energia sistemului creşte, iar dacă 0W , energia sistemului descreşte; dacă 0Q , atunci sistemul cedează căldură, iar dacă ,0Q sistemul absoarbe căldura.

În acest articol vom analiza cum „funcţionează” legea conservării energiei în cadrul temelor Capacitatea electrică. Condensatoare. Energia câmpului electric. Aici, sistemul electric este format din sarcini electrice ce interacţionează între ele în câmp electrostatic.

Vom analiza fiecare termen al ecuaţiei (1) în parte. Energia W poate avea mai multe forme.

1. ENERGIA UNUI SISTEM DE SARCINI ELECTRICE

Energia potenţială a unui sistem format din două sarcini electrice punctiforme, 1q şi

2q , aflate la distanţa 12r una de alta, se scrie sub forma:

2211 qq21W , (2)

unde 1 este potenţialul câmpului electrostatic produs de sarcina 2q în punctul în care se află sarcina 1q , iar 2 – potenţialul produs de sarcina 1q în punctul în care se deplasează sarcina

2q . Dacă la sistemul dat de sarcini se adaugă succesiv sarcinile N543 q,...,q,q,q , atunci

energia potenţială a sistemului format din N sarcini este

N

1iiiq

21W , (3)

unde i este potenţialul câmpului produs în punctul unde se află sarcina iq de către toate sarcinile electrice, în afară de sarcina i.

Probleme, concursuri, olimpiade 25

FIZICA ŞI TEHNOLOGIILE MODERNE, vol. 10, nr. 1-2, 2012

2. ENERGIA UNUI CONDUCTOR ÎNCĂRCAT

Energia unui conductor încărcat este practic egală cu lucrul total (suma lucrurilor elementare) necesar pentru a deplasa sarcina q (suma sarcinilor dq ) de la infinit pe suprafaţa conductorului:

C2

qqdqC1dq

CqdqdLdLLW

2q

0

q

0

q

0i

n

1ii

. (4)

Ţinând cont de relaţia dintre capacitatea C, sarcina q şi potenţialul conductorului , obţinem

2

C2

qC2

qW22

. (5)

3. ENERGIA UNUI CONDENSATOR ÎNCĂRCAT

Reamintim că condensatorul este un sistem format din doi conductori (armături, plăci) care are următoarea proprietate: dacă de la o armătură se ia sarcina q şi se transmite celei de-a doua armături (adică una din armături se încarcă cu sarcina q , iar alta – cu sarcina q ), atunci liniile de intensitate ale câmpului electric creat vor pleca de pe armătura încărcată pozitiv şi se vor intra în cea încărcată negativ.

Astfel, energia unui condensator încărcat este egală cu lucrul total (suma lucrurilor elementare) efectuat pentru a deplasa sarcina q (suma sarcinilor dq ) de pe o armătură a condensatorului pe cealaltă:

C2

qqdqC1dq

CqdqdLLW

2q

0

q

0

q

021

n

1ii

. (6)

Ţinând cont de relaţia dintre capacitatea C, sarcina q şi tensiunea pe condensator U , obţinem formula pentru energia condensatorului încărcat (sub mai multe forme):

2

CU2

qUC2

qW22

. (7)

Energia condensatorului poate fi exprimată şi prin mărimile ce caracterizează câmpul electric în spaţiul dintre armături. Pentru aceasta, vom ţine seama de formula de calcul al capacităţii condensatorului plan:

d

SC r0 , (8)

unde S este aria suprafeţei de suprapunere a armăturilor, d – distanţa dintre armături,

mF1085,8 12

0 este constanta electrică (permitivitatea electrică a vidului), r -

permitivitatea electrică relativă (constanta dielectrică) a mediului dielectric. Substituind relaţia (8) în (7), obţinem:

V2

ESddU

2d2SU

2CUW

2r0

2r0

2r0

2

. (9)

unde intensitatea câmpului electricdUE , iar volumul spaţiului dintre armături, ocupat de

câmpul electric, dSV .

26 Probleme, concursuri, olimpiade

FIZICA ŞI TEHNOLOGIILE MODERNE, vol. 10, nr. 1-2, 2012

Dacă câmpul electric este omogen (ceea ce are loc într-un condensator plan), energia conţinută în el este distribuită în spaţiu cu o densitate constantă ew , egală cu energia câmpului electric ce revine unui volum egal cu unitatea al câmpului electric:

VWwe 2

E 2r0

=r0

2

2D

2ED

. (10)

unde ED r0 reprezintă o altă mărime caracteristică câmpului electric, numită deplasare electrică (sau inducţie electrică).

În afară de cele enumerate mai jos, energia sistemului mai poate include energia potenţială a sarcinilor aflate în câmp gravitaţional, energia cinetică a corpurilor încărcate, energia elastică a resorturilor agăţate de sarcini, etc.

În continuare, vom analiza lucrul forţelor exterioare extL . În afară de lucrul mecanic „tradiţional” (de exemplu, lucrul efectuat pentru îndepărtarea plăcilor condensatorului), în cazul unui sistem electric se poate vorbi de lucrul câmpului electrostatic exterior. De exemplu, lucrul elementului galvanic efectuat la încărcarea sau reîncărcarea unui condensator constă în crearea unei diferenţe de potenţial între armăturile condensatorului. Aceasta se realizează printr-o metodă relativ simplă: elementul galvanic preia sarcina de la o armătură a condensatorului şi o transmite celeilalte. Sursa, de fapt, nu creează sarcinile electrice, ci doar le transportă, iar sarcina totală a sistemului rămâne constantă, adică se conservă.

În diferite surse, câmpul electric necesar pentru transportul sarcinilor este creat de diferite „mecanisme”. În elementele galvanice şi acumulatori acestea sunt reacţiile electrochimice, în dinamuri – inducţia electromagnetică. Trebuie menţionat că în aceste surse câmpul electric este extern, din afară. Când prin sursa cu tensiunea electromotoare E , sarcina

q „curge” de la borna negativă spre cea pozitivă, forţele secundare efectuează lucrul EqLsursa . (11) În acest caz, dacă q > 0, atunci 0Lsursa şi elementul galvanic se descarcă; dacă însă

q < 0, atunci 0Lsursa şi în sursă se acumulează energia chimică (sau magnetică). În final, cantitatea de căldură nu poate fi altceva decât cea obţinută la trecerea

curentului electric prin rezistor, determinată prin legea lui Joule-Lenz: RtIQ 2 . (12) În continuare, propunem câteva probleme rezolvate cu aplicarea legii conservării

energiei referitoare la lucrul mecanic exterior efectuat la îndepărtarea sau apropierea armăturilor condensatorului.

PROBLEME REZOLVATE Problema 1.1. Două condensatoare plane, identice, de capacitate electrică C, sunt conectate fiecare la câte un element galvanic cu t.e.m. E . La un moment oarecare un condensator este deconectat de la sursă, iar celălalt rămâne conectat. Apoi se îndepărtează lent plăcile condensatoarelor, micşorând astfel de n ori capacitatea electrică a fiecărui condensator. Se cere lucrul mecanic efectuat în fiecare caz. Rezolvare: Dacă procesul de modificare a sarcinii electrice pe plăcile condensatorului decurge lent, atunci practic nu se degajă căldură sau se degajă în cantitate foarte mică. Într-adevăr, dacă prin rezistorul R trece sarcina q în timpul t , atunci cantitatea de căldură degajată este:

tRqtR

tqtRIQ

222

. (13)

Probleme, concursuri, olimpiade 27

FIZICA ŞI TEHNOLOGIILE MODERNE, vol. 10, nr. 1-2, 2012

Pentru valori suficient de mari ale lui t cantitatea de căldură Q poate fi oricât de mică. În primul caz, elementul galvanic este deconectat, de aceea sarcina de pe armăturile

condensatorului rămâne constantă: ECq .

(14) Lucrul mecanic este determinat de variaţia energiei condensatorului:

1n

2EC

C2EC

nC2

ECC2

qC2qWWWL

2222

1

2

12mec

. (15)

În cel de-al doilea caz, diferenţa de potenţial de pe condensator este constantă şi efectuează lucru şi elementul galvanic, de aceea WLL sursamec . (16) Prin sursă circulă sarcina electrică

0n11ECECE

nCqqq 12

. (17)

Deoarece sarcina este negativă, rezultă că elementul galvanic se încarcă şi lucrul acestuia:

n11ECEqL 2

sursa . (18)

Energia câmpului electric din condensator se micşorează cu:

W

n11

2ECEC

nC

21

2EC

2EC 2

222

1 (19)

Astfel, în cel de-al doilea caz lucrul mecanic este

n11

2ECLWL

2

sursamec . (20)

În concluzie, încărcarea elementului galvanic are loc pe contul lucrului efectuat la deplasarea armăturilor condensatorului şi al variaţiei energiei condensatorului. Trebuie menţionat că aici termenul „deplasarea armăturilor” nu joacă cel mai important rol, acelaşi rezultat s-ar fi obţinut şi în cazul altor variaţii care, în final, ar fi condus la micşorarea capacităţii electrice de n ori.

Problema 1.2. Un condensator plan se află într-un câmp electric exterior omogen, perpendicular pe armături, cu intensitatea 0E

. Pe armăturile condensatorului cu aria S sunt

repartizate sarcinile q şi q . Distanţa dintre armături este d . Ce lucru minim trebuie efectuat pentru a schimba armăturile cu locul? Examinaţi şi cazurile când: a) câmpul exterior este paralel cu armăturile; b) condensatorul este scos din câmpul electric exterior. Rezolvare: Lucrul mecanic va fi minim atunci când procesul are loc foarte lent, deoarece în acest caz nu se degajă căldură. Astfel, conform legii conservării energiei: WLmin . (21)

Pentru a găsi variaţia W vom folosi formula (9). Intensitatea câmpului electric dintre armăturile condensatorului se determină aplicând principiul superpoziţiei pentru intensitatea câmpului 1E

(în lipsa câmpului exterior) şi intensitatea câmpului exterior 0E

.

28 Probleme, concursuri, olimpiade

FIZICA ŞI TEHNOLOGIILE MODERNE, vol. 10, nr. 1-2, 2012

S

qd1

Sdq

d1

CqE

001

. (22)

La schimbarea cu locul a armăturilor, câmpul 1E

trece în 1E

, iar câmpul exterior nu se modifică, adică variaţia energiei câmpului electric se reduce la variaţia densităţii volumice de energie:

.dEq2dSEE2dS2

EEdS2

EEW 0100

2100

2100

(23) Dacă vectorii 0E

şi 1E

au acelaşi sens, atunci densitatea volumică de energie între

plăcile condensatorului la schimbarea armăturilor cu locul se micşorează, iar dacă vectorii 0E

şi 1E

sunt orientaţi în sens contrar, densitatea volumică de energie creşte. Astfel, în primul caz avem: ,dEq2A 0min (24) adică condensatorul tinde să se rotească şi el trebuie menţinut ( 0A ), iar în cazul al doilea .0dEq2A 0min (25)

În cazul când armăturile condensatorului sunt aşezate paralel cu cămpul electric exterior, vectorii 0E

şi 1E

sunt reciproc perpendiculari şi energia iniţială a câmpului electric se

determină cu relaţia

,

ddSEEW

21

200

in

(26)

iar lucrul minim

.dEq

2dSEE

2dSEEWL

2100

21

200

(27)

Dacă condensatorul este scos din câmpul electric exterior, în interiorul condensatorului avem 1E

, iar în exterior - 0E

. De aceea, L şi W vor avea aceeaşi valoare ca în cazul

precedent.

Problema 1.3. Două plăci metalice având suprafaţă S, aflate la distanţa d una de alta (mult mai mică comparativ cu dimensiunile plăcilor) sunt legate cu un conductor metalic şi se află într-un câmp exterior E

,

perpendicular pe plăci (Fig. 1.1). Ce lucru trebuie

efectuat pentru a apropia plăcile până la distanţa 2d

?

Rezolvare: Plăcile condensatorului sunt echipotenţiale şi între ele nu există câmp electric. Lucrul efectuat pentru apropierea plăcilor este echivalent cu crearea unui câmp electric cu intensitatea E în volumul

2

Sd2ddSV

. (28)

Se obţine:

Fig. 1.1. Micşorarea distanţei dintre armături de la la

Probleme, concursuri, olimpiade 29

FIZICA ŞI TEHNOLOGIILE MODERNE, vol. 10, nr. 1-2, 2012

4

dSE2

dS2EV

2EWL

20

20

20

(29)

Problema 1.4. Una din plăcile condensatorului plan este agăţată de un resort (Fig. 1.2). Aria suprafeţei fiecărei plăci este S, iar distanţa dintre ele la momentul iniţial este d. Condensatorul este conectat pentru un timp scurt la sursă şi el se încarcă până la tensiunea U. Care trebuie să fie rigiditatea minimă a resortului, pentru ca plăcile condensatorului să nu se atingă? Se neglijează deplasarea plăcilor în timpul încărcării. Rezolvare: Ecuaţia de echilibru a plăcii agăţate de resortul elastic este: 0GFe

(30) În proiecţii pe o axă avem: gmxkGF0GF ee . (31) Conform legii conservării energiei:

dgm

2dxk

2UC

2xk 222

, (32)

de unde rezultă:

2UC

2dkdxk

2UC

2xk

2dk

2dxk2

2xkdgm

222222

(33) Substituind relaţia (31) în (33), obţinem:

2UC

2dk

2UC

2dkdxkdxk

2222

, (34)

de unde rezultă:

2

2

dUCk

. (35)

În final, propunem câteva probleme pentru rezolvate individuală. PROBLEME PROPUSE Problema 1. Aria suprafeţei fiecărei armături a unui condensator plan, cu aer, este S . Ce lucru mecanic trebuie efectuat pentru a mări lent distanţa dintre armăturile condensatorului de la 1x la 2x , în cazul când rămâne constantă:

a) sarcina electrică q de pe armăturile condensatorului; b) tensiunea pe condensator U ?

Răspuns: a) 120

2

xxS2

qL

; b)

21

122

0

xx2xxSUL

Fig. 1.2. Sistemul condensator electric - resort elastic

30 Probleme, concursuri, olimpiade

FIZICA ŞI TEHNOLOGIILE MODERNE, vol. 10, nr. 1-2, 2012

Problema 2. Două condensatoare plane identice, de capacitate C , sunt conectate în paralel şi încărcate până la tensiunea U . Armăturile unuia din condensatoare se îndepărtează lent la distanţă mare. Ce lucru mecanic se efectuează în acest caz?

Răspuns: 2UCL Problema 3. O plăcă subţire conductoare, cu suprafaţă S mare şi grosimea d, este plasată într-un câmp electric omogen cu intensitatea E, perpendicular pe suprafaţa plăcii. Ce cantitate de căldură se va degaja în plăcă, dacă se deconectează momentan câmpul electric? Ce lucru minim trebuie efectuat pentru a îndepărta placa din câmpul electric ?

Răspuns:2

dSELQ2

0min

REFERINŢE

1. Hristev, A., Manda, D., Georgescu, L., Borşan,D., Sandu, M., Gherbanovschi N., Probleme de fizică pentru clasele IX-X, Ed. Lumina, Chişinău,1996, 319 p.

2. Marinciuc, M., Rusu, Sp., Fizică, manual pentru clasa a 11-a, Ed. Univers Pedagogic, Chişinău, 2004, 274 p.

3. Popa, C., Fizica. Îndrumar metodic. 409 probleme rezolvate (nivel liceal), vol. II., Ed. VIE, Iaşi, 2000, p.396-744.

4. Иродов, И.Е., Задачи по общей физике, Наука, Москва, 1988, 447 с. 5. Буховцев, Б.Б., Кривченков, B.Д., Мякишев, Г.Я., Шальнов, В.П., Сборник задач

по элементарной физике, Наука, Москва, 1964, 439 с. 6. Boлкeнштейн, В.C., Кулежере де проблеме де физикэ женералэ, Ed. Лумина,

Кишинэу,1971, 390 p. 7. Гордюнин, C.A., “Закон сохранения энергии в электростатике”, Квант, Nr. 6,

1989, cc. 63-67. Primit la redacţie: 17 ianuarie 2012