16 Probleme, concursuri, olimpiade REZOLVĂRILE ...

16 Probleme, concursuri, olimpiade

FIZICA ŞI TEHNOLOGIILE MODERNE, vol. 5, nr. 3-4, 2007

REZOLVĂRILE PROBLEMELOR F7-F9, F12, PROPUSE PENTRU CONCURSUL REZOLVITORILOR ÎN FTM, VOL. I,

NR. 2 (2003)*)

Problema F7. O bară rigidă AB de lungime l şi de masă neglijabilă, având la capete fixate sferele cu masele m1 şi respectiv m2 (m1 > m2) de dimensiuni reduse (considerate puncte materiale), se poate roti în plan vertical, fiind sprijinită pe axul de rotaţie (suspensie), fix şi orizontal, în punctul O (vezi figura). Dacă bara este lăsată liber din poziţia orizontală, ea va oscila împreună cu sferele ca un pendul fizic. Neglijând frecarea în ax şi rezistenţa aerului, să se determine:

1) lungimea OA, astfel încât perioada oscilaţiilor mici ale acestui pendul să fie minimă. Care este această perioadă minimă Tmin ? În acest caz, care este distanţa centrului de masă C al pendulului de la punctul de suspensie O ?

2) forţa F care acţionează asupra axului de rotaţie în momentul trecerii barei prin poziţia de echilibru (pentru poziţia punctului O, stabilită anterior în 1)).

Cum s-ar schimba mărimea forţei F, dacă punctul prin care trece axa de rotaţie s-ar afla la o distanţă mai mică de la C sau mai mare, în comparaţie cu distanţa OC corespunzătoare perioadei minime a oscilaţiilor ?

Calculaţi mărimea acestei forţe pentru două cazuri particulare: OA = l/2 şi OA = 4l/5.

Aplicaţie numerică: m1 = 50g; m2 = 20 g şi l = 60 cm. Rezolvare. În manualul de fizică pentru clasa a 11-a, elaborat în baza Curriculumului

naţional de fizică pentru învăţământul liceal, lipseşte tema cu privire la pendulul fizic. Autorii se limitează doar la expunerea pendulului elastic şi a pendulului gravitaţional (matematic). În acelaşi timp, la diverse olimpiade de fizică organizate pentru elevii de liceu se propun probleme de concurs, a căror rezolvare presupune cunoaşterea de către elevi a teoriei pendulului fizic.

Pendulul fizic este definit ca un corp solid rigid ce poate oscila sub acţiunea forţei de greutate în jurul unei axe orizontale, numite axă de suspensie sau axă de rotaţie. Tema cu privire la pendulul fizic este dezvoltată în diverse lucrări didactice, adresate elevilor din clasele specializate cu profil fizico-matematic, în care se arată că în cazul oscilaţiilor mici perioada de oscilaţie a pendulului fizic are expresia (v., de exemplu, [1], §14.6, p. 410-412; [2], §51.4, p. 30-31):

T = 2π I/mga , (1) în care m este masa pendulului, g – acceleraţia gravitaţională, a – distanţa dintre centrul

de masă şi axa de rotaţie, I – momentul de inerţie al pendulului în raport cu axa de rotaţie, pentru care, conform teoriei lui Steiner ([3], §22.3, p. 219-220; [4], §6, p. 47-48) se poate scrie relaţia:

I = IC + ma2 = mρC2 + ma2 = m(ρC

2 + a2), (2) ______________________________

*) Rezolvarea problemei F11 va fi dată într-o lucrare practică, în care sunt expuse unele considerente cu privire la rezolvarea problemelor de fizică la tema „Proprietăţile corpusculare ale radiaţiei electromahnetice” şi care va fi publicată, alături de rezolvarea problemei F10, în unul din numerele viitoare ale revistei FTM.

Probleme, concursuri, olimpiade 17


unde IC este momentul de inerţie al pendulului în raport cu axa care trece prin centrul de masă C şi este paralelă cu axa de suspensie, iar ρC este raza de inerţie (sau raza de giraţie) a corpului în raport cu aceeaşi axă, pentru care, prin definiţie, avem:

ρC = /mIC . (3) Raza de inerţie a corpului se defineşte în mod analogic în raport cu orice axă α:

ρα = /mIa . În multe aplicaţii tehnice este necesar ca momentul de inerţie al corpurilor omogene faţă

de o axă, α, să se scrie sub forma Iα = m ρα2 . Deci, raza de inerţie a unui corp solid rigid în raport cu o axă poate fi definită ca distanţa de la axă până la un punct în care ar fi concentrată masa corpului şi care ar avea momentul de inerţie egal cu momentul de inerţie al corpului în raport cu axa dată.

Înlocuind (2) în (1) şi ţinând seama de (3), pentru perioada de oscilaţie a pendulului fizic obţinem expresia:

T = (2π / g ) maIca /+ = (2π / g ) aa C /2ρ+ (4) 1. Acum se poate răspunde uşor la întrebările formulate în punctul 1 al enunţului

problemei, bazându-ne pe o proprietate a pendulului fizic, şi anume: perioada de oscilaţie a unui pendul fizic este minimă atunci când distanţa a dintre centrul de masă şi axa de rotaţie este egală cu raza de inerţie, ρC, a corpului, definită prin (3). Într-adevăr, pentru aflarea extremelor funcţiei T(a), dată de (4), avem:

dT/da = (2π2/gT) (1 – ρC2/a2), (5)

de unde rezultă că condiţia dT/da = 0 se îndeplineşte, evident, atunci când a = am = ρC. (6)

Aici a fost păstrată numai soluţia valabilă din punct de vedere fizic. Este uşor de observat din (5) că pentru a<am rezultă dT/da < 0, iar pentru a>am rezultă

dT/da > 0 (sau că d2T/da2 > 0 pentru a = am). Prin urmare, pentru a = am funcţia T(a) are un minim, a cărui valoare se obţine înlocuind (6) în (4):

Tmin = 2π g/2 Cρ . (7) Vom calcula raza de inerţie, ρC , luând în vedere faptul că în problema considerată

m = m1 + m2, (8) iar conform definiţiei momentului de inerţie al unui sistem de puncte materiale în raport

cu o axă ([3], §22.2, p. 218-219), momentul de inerţie IC este: IC = m1(AC)2 + m2(BC)2 = m1b2 + m2(l - b)2. (9)

Întrucât C este centrul de masă, are loc relaţia m1b = m2(l - b),

de unde avem b = m2l/(m1 + m2). (10)

Înlocuind (10) în (9), se obţine IC = m1m2l2/(m1 + m2). (11)

Ţinând seama de (8), (11) şi (3), expresiile (6) şi (7) iau forma: am = ρC = 21mm ·l/ (m1 + m2); (12)

Tmin = 2π ( ) glmmmm //2 2121 ⋅+ . (13) Deoarece distanţa d = AO diferă de distanţa a = CO cu mărimea constantă b = AC,dată

de (10), d = a + b = a + m2l/(m1 + m2), (14)

pentru distanţa dm corespunzătoare perioadei minime de oscilaţie a pendulului avem: dm = am + b = ( 21mm + m2 ) l/(m1 + m2). (15)



Înlocuind în (12), (15) şi (13) valorile numerice, pentru mărimile căutate se obţine: am = 0,45 l = 27 cm; dm = 0,74 l = 44 cm; Tmin = 1,5 s. (16)

Este de menţionat că rezultatele (15), (12) şi (13) pot fi obţinute şi pe altă cale, fără a folosi teorema lui Steiner. Dacă pornim direct de la expresia pentru momentul de inerţie I al pendulului în raport cu axa de suspensie,

I(d) = m1d2 + m2(l – d)2 (2a) şi expresia pentru a, scrisă conform definiţiei centrului de masă al unui sistem de puncte

materiale în aproximaţia mecanicii newtoniene ([3], §15.6, p. 160-161), a = [m1d – m2(l – d)]/(m1 + m2) = [(m1 + m2)d – m2l]/(m1 + m2),

atunci ţinând seama de (8) expresia (1) ia forma: ( ) ( )[ ] ( )[ ]glmdmmdlmdmdT 221

22

21 /2 −+−+= π

şi problema se reduce la determinarea extremelor funcţiei T(d). Dacă însă pentru I folosim expresia

I(a) = m1(a + b)2 + m2 [l – (a + b)]2, atunci va trebui să fie aflate extremele funcţiei

( ) ( ) ( )[ ] ( )gammbalmbamaT 212

22

1 /2 ++−++= π . Se poate arăta că prin rezolvarea ecuaţiei care se obţine pentru d sau a ecuaţiei pentru a

se ajunge la rezultatele deja cunoscute (15) şi (12), cum era şi de aşteptat, dar, cum se vede, pe o cale nu atât de simplă ca prima.

2. Să trecem la punctul 2 al problemei. Asupra sistemului acţionează forţele de greutate,

m1g şi m2g, şi forţa de reacţiune normală din ax, N. Conform legii mişcării centrului de masă ([5], 4.2, p. 112-113), în momentul trecerii barei prin poziţia de echilibru, avem:

(m1 + m2) aC = N – m1g – m2g, (17) unde aC este acceleraţia centrului de masă, orientată spre axa de rotaţie şi egală cu

aC = ω2a, (18) ω - viteza unghiulară a barei în acest moment. Forţa exercitată de pendul asupra axului de suspensie, F, potrivit legii a treia a lui

Newton, este egală în modul cu reacţiunea N şi e orientată în sens opus, F = -N, şi, prin urmare, F = N. Ţinând seama de (17) şi (18), pentru mărimea căutată, F, se obţine:

F = N = (m1 + m2) (g + ω2a). (19) Deoarece frecările în ax şi rezistenţa aerului se neglijează, iar lucrul forţei de reacţiune

normală în ax este egal cu zero, energia mecanică totală, E, a sistemului este constantă: E = Ec + Ep = const. sau ∆Ec + ∆Ep = 0. (20)

Considerând drept nivel zero al energiei potenţiale, Ep, poziţia iniţială orizontală a barei şi folosind pentru energia cinetică de rotaţie, Ec, a pendulului în jurul axei fixe expresia ([4], §10, p. 64-65):

Ec = Iω2/2 , (21) din (20) rezultă relaţia

Iω2/2 – m1gd + m2g(l – d) = 0, de unde

ω2 = 2[(m1 + m2)d – m2l]g/I . (22) Înlocuind (22) în (19) şi ţinând seama de (2), (3), (8), (10), (11) şi (14), pentru forţa F se

obţine: F = 1 + 2[(m1 + m2)d – m2l]a·[m1m2l2/(m1 + m2) + (m1 + m2)a2] -1(m1 + m2)g =

= (D + 3)(m1 + m2)g/(D + 1), (23) unde

D = m1m2/[(m1 + m2)d/l – m2]2. (24)



Bineînţeles, dacă pentru momentul de inerţie I se foloseşte expresia (2a), se obţine acelaşi rezultat (23).

Este uşor de observat din (23) şi (24) că odată cu creşterea (descreşterea) distanţei d şi, prin urmare, în baza relaţiei (14), odată cu creşterea (descreşterea) distanţei a, forţa F creşte (descreşte). Deci, pentru d < dm (deci, a < am) avem F(d) < F(dm) (F(a) < F(am)), iar pentru d > dm (deci, a > am) avem F(d) > F(dm) (F(a) > F(am)).

În calitate de exemplu, vom calcula forţa F în trei cazuri particulare: 1) d = dm (a = am); 2) d = l/2 < dm (a < am); 3) d = 4l/5 > dm (a > am).

În primul caz, când distanţa axei de suspensie a pendulului de la capătul A al barei este aceea pentru care perioada micilor oscilaţii e minimă, adică e dată de (15) şi, prin urmare, distanţa axei de suspensie de la centrul de masă C este dată de (12), pentru forţa F exercitată de pendul asupra axului de suspensie în momentul trecerii barei prin poziţia de echilibru, din (23) şi (24) rezultă:

F = 2(m1 + m2)g. (25) În celelalte două cazuri, în baza aceloraşi relaţii (23) şi (24), pentru forţa F se obţin,

respectiv, expresiile: F = [4m1m2 + 3(m1 – m2)2] (m1 + m2)g/[4m1m2 + (m1-m2)2] =

= [3(m12 + m2

2) – 2m1m2]g/(m1 + m2) (26) şi

F = [25m1m2 + 3(4m1 – m2)2] (m1 + m2)g /[25m1m2 + (4m1-m2)2] = = [3(16m1

2 + m22) + m1m2] (m1 + m2)g/(16m1

2 + m22 + 17m1m2). (27)

Înlocuind în (25)-(27) valorile numerice, obţinem respectiv:

1) F = 1,4 N; 2) F = 0,94 N; 3) F = 1,5 N.

EXERCIŢIU În cazul în care bara este lăsată liberă din poziţia verticală, să se determine:

1) cu câte procente, η, va creşte forţa exercitată de pendul asupra axului de suspensie în momentul trecerii barei prin poziţia de echilibru în primele două cazuri, examinate mai sus, d = dm (deci, a = am) şi d = l/2, în care s-a considerat că bara a fost lăsată liberă din poziţia orizontală ?

2) forţa F exercitată de pendul asupra axului de suspensie în acelaşi moment, dacă sfera cu masa m1 se află la distanţa L (care poate varia) de la capătul B al barei, sfera cu masa m2 este fixată la capătul A al acesteia, iar axa de rotaţie trece prin punctul B. Calculaţi forţa F pentru cazurile particulare L = l/4; l/2; 3l/4. Cum se va modifica rezultatul, dacă sferele vor fi schimbate cu locul?

R.: 1) η = 2/(D+3), unde D este dat de (24); numeric, η = 50%; 27%.

2) F(L) = [5(m1L + m2l)2 + m1m2(l - L)2] g/(m1L2 + m2l2); numeric, F(L) = 2,5 N; 3,1 N; 3,4 N.

REFERINŢE [1] Д. Джанколи. Физика, том 1. М. «Мир», 1989. [2] Б. М. Яворский, А. А. Пинский. Основы физики, том 2. М. Физматлит, 2000. [3] Б. М. Яворский, А. А. Пинский. Основы физики, том 1. М. Физматлит, 2000. [4] Физика. Учебник для 10-го класса с углубленным изучением физики. Под редакцией А. А. Пинского, О. Ф. Кабардина. М. Просвещение, 2004. [5] Mihai Marinciuc, Spiridon Rusu. Fizica. Manual pentru clasa a 10-a. Chişinău, IEP Ştiinţa, 2001.

Conf. univ. Dr. Pavel CATANĂ



Problema F8. S-a constatat că vara, când în exterior temperatura este Te' = 30°C,

temperatura apei dintr-un rezervor termoizolat creşte liniar în timp, de la T0 = 15°C la Ti'=

20°C, într-un interval oarecare de timp. Stabiliţi până la ce valoare va scădea temperatura apei Ti în acelaşi interval de timp iarna,

când în exterior temperatura este Te" = −10°C, dacă iniţial apa era la aceeaşi temperatură T0.

Determinaţi temperatura minimă critică a aerului, la care apa va începe să îngheţe în intervalul de timp considerat.

Indicaţie. Căldura transmisă printr-un înveliş termoizolant este proporţională cu diferenţa ∆T între temperaturile din exterior şi interior, intervalul de timp τ cât are loc schimbul de căldură şi suprafaţa S de contact: Q = kSτ∆T.

Rezolvare. Căldura transmisă printr-un înveliş termoizolant TkSQ ∆= τ (1)

Aici k este coeficientul de transport termic [1] pentru învelişul termoizolat dat. Atât vara cât şi iarna căldura este transmisă din exterior în interior sau viceversa este

determinată de relaţia (1) care se va aplica în fiecare caz. Deoarece temperatura apei din rezervor creşte sau scade liniar în timp se va considera valoarea medie a acesteia acolo unde va fi cazul. Astfel avem

( )''' mede TTkSQ −= τ (2)

unde 2

0'

' imed

TTT += . (3)

(în rezolvarea acestei probleme simbolul temperaturie s-a notat cu prim pentru situaţia ce are loc vara iar cu secund respectiv iarna; ; indicii „e” şi „i” sunt folosiţi pentru temperaturile din exteriorul şi, respectiv, interiorul rezervorului cu apă.))

Vara căldură transmisă duce la încălzirea apei, prin urmare ( )0TTcmQ i −= '' (4)

unde c este căldura specifică iar m masa apei din rezervor. Iarna căldura cedata în urma răcirii apei din rezervor

( )"" iTTcmQ −= 0 (5) este transmisă prin învelişul termoizolant mediului considerat termostat

( )""" emed TTkSQ −= τ , (6)

unde 2

0"

" imed

TTT += (7)

Egalând raporturtul (5) la (4) cu raportul (6) la (2), ţinând cont de (3) şi (7) obţinem

0

0

0

0

22TTTTTT

TTTT

ie

ei

i

i

−−−+

=−−

''

""

'

"

(8)

care reprezintă o relaţie liniara în raport cu "iT sau "

eT . Pentru datele şi cerinţele problemei avem CTi

o76," = . Apa din rezervor va începe să îngheţe atunci când temperatura ei va fi mai mică de 0˚ C.

Astfel pentru CTio0" = avem, conform relaţiei (8) CT critic

eo30−=" , ceea ce reprezintă

temperatura critică a mediului la care după intervalul considerat apa începe să îngheţe

REFERINŢE 1. Кухлинг Х., Справочник по физике, Москва, Мир 1985, р.208

Sergiu CÂRLIG LICEUL „PROMETEU”, CHIŞINĂU



Problema F9. Să se calculeze căldura degajată în circuitul reprezentat în figură după comutarea întrerupătorului K din poziţia iniţială 1 în poziţia 2.

Rezolvare. Căldura totală Q degajată în sistem se poate calcula indirect pe baza bilanţului energiilor: lucrul efectuat de sursa de curent cu t.e.m. ε la trecerea sarcinii ∆q prin ea se transformă în caldură şi se consumă la variaţia energiei condensatoarelor W(2)- W(1). Deci

( ) ( )12 WWQq −+=∆ε , de unde

( ) ( )21 WWqQ −+∆= ε . Când întrerupătorul se află în poziţia 1, avem :

( ) ( )121

21 CW ε= ,

unde

( ) ( )210

1021

CCCCCC

C+++

= .

Sarcina condensatorului C1 este dată de expresia ( )

210

21

10

111 CCC

CCCC

Cqq++

=+

= ε ,

în care s-a ţinut cont că sarcina sistemului este ( ) ( )11 Cq ε= .

Când întrerupătorul K se află în poziţia 2, avem : ( ) ( )222

21 CW ε= ,

unde ( ) ( )210

2012

CCCCCC

C+++

= .

Sarcina condensatorului C1 este egală cu sarcina sistemului : ( ) ( )22 Cq ε= .

Prin sursă trece sarcina ( )

210

101

2

CCCCC

qqq++

=−=∆ ε

Substituind expresiile obţinute pentru ∆q şi W în relaţia pentru Q, obţinem: ( )

210

2102

2 CCCCCC

Q+++

•=ε .

Prof. univ. Dr. habil. Alexandr Kliukanov

FACULTATEA DE FIZICĂ UNIVERSITATEA DE STAT DIN MOLDOVA

Problema F12. Pentru a iniţia reacţia de fuziune în deuteriu e necesară temperatura T =

108 K. Astfel de temperatură poate fi obţinută la descărcarea electrică a unei baterii de condensatoare într-un tub cu deuteriu rarefiat. Tensiunea de străpungere este U = 20 kV, iar descărcarea durează τ= 1 s.

Să se determine intensitatea medie a curentului electric şi capacitatea bateriei de condensatoare, necesare pentru a iniţia reacţia de fuziune în masa m = 0,1 g de deuteriu atomic.

C C CK

1 20

1 2ε



Rezolvare. Energia bateriei de condensatoare

W = CU2/2 declanşează descărcarea electrică în deuteriu. Lucrul curentului electric

L = IUt este egal cu energia condensatoarelor:

IUt = CU2/2 unde t este timpul descărcării electrice, I – intensitatea medie a curentului electric; U –

tensiunea pe condensatoare. Energia condensatoarelor se transformă în energia de ionizare a atomilor de deuteriu, Wion, energia cinetică a ionilor, Wci , şi energia cinetică a electronilor, Wce:

W = Wion + Wci + Wce,

unde Wion = (m/M)WiNA şi Wci = Wce = (m/M)3RT/2.

Aici Wi = 13,6 eV = 2,18·10-18 J - este energia de ionizare a atomului de deuteriu; NA = 6,02·1023 mol-1 - numărul lui Avogadro; M = 2·10-3 kg/mol - masa molară a deuteriului; R = 8,31 J/(mol·K) - constanta universală a gazelor.

După unele transformări elementare, pentru intensitatea medie a curentului electric obţinem relaţia I = W/Ut, iar pentru capacitatea bateriei de condensatoare C = 2W/U2 .

Efectuând calculelor numerice, se obţine: Wion = 7·1011 J; Wci = 6·107 J; W = 1·108 J

şi deci I = 5 kA; C = 0,5 F.

Conf. univ. Dr. Anatol SÎRGHI FACULTATEA DE FIZICĂ

UNIVERSITATEA DE STAT DIN MOLDOVA



A 37-A OLIMPIADĂ INTERNAŢIONALĂ DE FIZICĂ

SINGAPORE, 8-17 IULIE 2006

Publicăm în continuare soluţiile problemelor teoretice, propuse la a 37-a Olimpiadă Internaţională de Fizică (Singapore, 8-17 iulie 2006), preluate din Proceedings of the 37th International Physics Olimpiad „Challenging limits, forging bonds”, World Scientific, 2007. P. 95-114. Traducere neoficială.

Enunţurile problemelor teoretice au fost publicate în FTM, vol 5, nr. 1-2, 2007.

SOLUŢII PROBLEMA TEORETICĂ 1: GRAVITAŢIA ÎNTR-UN INTERFEROMETRU CU NEUTRONI Geometria. Fiecare muchie a diamantului are lungimea

θcosaL = şi distanţa între muchiile

paralele este θθθ

sin2)2sin(cos

aaD == . Aria este produsul acestora, LDA = , deci:

(1.1) θtan2 2aA = Înălţimea H la care o rotire cu φ ridică OUT1 de asupra IN este φsinDH = sau (1.2) φθ sinsin2aH = Lungimea drumului optic. Doar cele doua linii paralele pentru IN si OUT1 contează, fiecare având lungimea L . Cu lungimea de unda de Broglie 0λ pe partea IN şi 1λ pe partea OUT1, avem

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−=∆

1

0

010

1cos λ

λθλλλ

aLLNopt

Impulsul este 0λ

h sau 1λ

h , respectiv, şi legea conservării energiei se scrie

MgHhM

hM

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

10 21

21

λλ

ceea ce presupune

2

20

2

1

0 21h

HgM λλλ

−=

Ştiind că 2

20

2

hHgM λ este de ordinul a 710− , aceasta se simplifică:

Hh

gM 202

2

1

0 1 λλλ

−=

şi obţinem



Hh

gMaNopt202

2

0 cosλ

θλ=∆

sau

(1.3) φθλ sintan2 02

2

2

ah

gMNopt =∆

Un mod mai compact de a scrie această expresie este:

(1.4) φλ

sin0

VA

Nopt =∆

unde (1.4) 2313 1597.0101597.0 nmcmmV =×= − este valoarea numerică a parametrului de volum V .

Există o interferenţă constructivă (intensitatea înaltă în OUT1) când drumurile optice ale celor două drumuri diferă cu un număr întreg, ,....2,1,0 ±±=∆ optN , şi avem o interferenţă destructivă (intensitatea joasă în OUT1) atunci când ele diferă cu un număr întreg plus o

jumătate, ,....25,

23,

21

±±±=∆ optN . Variaţia lui φ de la o90−φ până la o90=φ ne dă:

VA

Nopt090

90

2λφ

φ=∆

=

−=

o

o

ceea ce ne spune că:

(1.5) V

Acicluri 02

#λ

=

Date experimentale. Pentru cma 6.3= si o1.22=θ avem 253.10 cmA = , astfel încât:

(1.6) nmnm 1441.053.102

1597.0190 =

××

=λ

şi 30 de cicluri complete pentru nm2.00 =λ corespund ariei:

(1.7) 22 98.1153.102

1597.030 cmcmA =××

=

PROBLEMA TEORETICĂ 2. BARĂ ÎN MIŞCARE. Relatii de baza. Poziţia x~ apare pe imagine dacă lumina a fost emisă de acolo la un moment care este anterior momentului luării imaginii cu timpul de propagare a luminii T care este dat de cxDT /~ 22 += In timpul T , segmentul respectiv al barei s-a deplasat cu distanţa vT , astfel încât poziţia lui reală x la momentul luării imaginii este: (2.1) 22 ~~ xDxx ++= β Rezolvând în raport cu x~ , găsim (2.2) 222 )(~ xDxx γβγλ +−= Lungimea aparenta a barei. Datorită contracţiei Lorentz, lungimea reală a barei în mişcare este γL , astfel încât poziţiile reale ale celor două capete ale barei sunt:

γ20Lxx ±=± albarei

spatecapatuldinatacapatuldpentru )inf(

Fotografia luată de camera obscură arată imaginile capetelor barei la



20

20 )

2()

2(~ LxDLxx ±+−±=± γβγγγ

Lungimea aparentă −+ −= xxxL ~~)(~0 este deci

(2.3) 20

220

20 )

2()

2()(~ LxDLxDLxL ++−−++= γβγγβγγ

Deoarece bara se deplasează cu viteza constantă v , avem vdt

dx=0 şi deci întrebarea este dacă

)(~0xL creşte sau descreşte cand 0x creşte. Reprezentăm grafic cele două rădăcini patrate:

Diferenţa rădăcinilor patrate cu ``-'' şi ``+'' apară în expresia pentru )(~

0xL , şi această diferenţă evident descreşte când 0x creşte. (2.4) Lungimea aparentă descreşte tot timpul. Imagine simetrică. Din considerente de simetrie, lungimea aparentă de pe imaginea simetrică este lungimea reală a barei în mişcare, din cauză că lumina de la cele două capete a fost emisă simultan pentru a ajunge la diafragma camerei obscure în acelaşi timp, adică:

(2.5) γLL =~

Pozitiile aparente ale capetelor sunt astfel încât +− −= xx ~~ , sau

20

220

20

2 )2

()2

(2~~0 LxDLxDxxx −+−++−=+= +− γβγγβγγ

Împreună cu

20

220

2 )2

()2

(~~ LxDLxDLxxL−++++−=−= −+ γβγγβγγ

γ

aceasta ne spune că

22

)/(2)

2( 00

22

02 LxLLxLxD β

βγ

βγγγγ

γ ±=−±

=±+

Aşa cum şi trebuie, atât versiunea cu semnul + , cât şi versiunea cu semnul - ne dau acelaşi răspuns pentru 0x , şi anume:



(2.6) 220 )

2(γ

β LDx +=

De aceea, imaginea mijlocului barei pe fotografia simetrică este situată în:

222220

20

20 )

2()()

2()()(~ LDLDxDxx βγβγγβγγβγγ +−+=+−=

care este la distanţa 00~

2~~ xLxxl −=−= + γ

de la imaginea a capătului frontal, deci

(2.7) 2222 )2

()()2

()(2

LDLDLl βγβγγβγγ

+++−=

sau

(2.7)

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+++−=

2222 )2

()()2

()(

212 LDLD

LLl

βγγ

β

γ

Imagini foarte timpurii si foarte târzii. La un moment de timp foarte timpuriu, avem o valoare foarte mare negativă pentru 0x , astfel încât lungimea aparentă pe fotografia foarte timpurie este:

LLxLLtimpuriu ββγβ

−+

=+=−∞→=11)1()(~~

0

În mod similar, la un moment de timp foarte târziu, avem o valoare foarte mare pozitivă a lui 0x , astfel încât lungimea aparentă pe fotografia foarte târzie este:

LLxLLtirziu ββγβ

+−

=−=∞→=11)1()(~~

0

Urmează că tirziutimpuriu LL ~~ > , deci: (2.8) Lungimea aparentă este de 3 m pe imaginea timpurie şi de 1 m pe imaginea târzie. In continuare, avem:

,~~~~

tirziutimpuriu

tirziutimpuriu

LLLL

+

−=β

astfel încât 21

=β , şi viteza este

(2.9) 2cv =

Urmeaza că 1547.13

2~~2

~~==

+=

tirziutimpuriu

tirziutimpuriu

LL

LLγ . În combinaţie cu

(2.10) mLLL tirziutimpuriu 73.1~~ == aceasta ne dă lungimea pe imaginea simetrica:

(2.11) mLLLL

Ltirziutimpuriu

tirziutimpuriu 50.1~~~~2~ =

+=



PROBLEMA TEORETICĂ 3. CAMERA DIGITALĂ Doi factori limitează rezoluţia unei camere difitale ca instrument fotografic: difractia produsă de apertură şi dimensiunea unui pixel. Pentru difracţie, rezoluţia unghiulară Rθ este raportul dintre lungimea de undă λ a luminii şi apertura D a camerei,

DRλθ 22.1=

unde factorul standard 1.22 reflectă forma circulară a aperturii. Cand se ia o imagine, obiectul de obicei este suficient de departe de la fotograf pentru ca imaginea să se formeze în planul focal al camerei, unde un chip CCD trebuie deci să fie plasat. Criteriul de difracţie Rayleigh afirmă că două puncte ale imaginii pot fi distinse dacă ele sunt separate cu mai mult de

,22.1 #Ffx R λθ ==∆ (3.1) ceea ce ne dă

mx µ22.1=∆ dacă alegem cea mai mare apertură posibilă (sau ceea mai mică valoare 2# =F ) şi luăm

nm500=λ pentru lungimea de undă tipică a luminii de zi. Rezoluţia digitală este dată de distanţa l între centrele a doi pixeli învecinaţi. Pentru

camera noastra de 5 Mpix această distanţă este aproximativ

mNLl

P

µ65.15==

În mod ideal, noi ar trebui să egalăm rezoluţia optică şi rezoluţia digitală astfel încât nici un aspect să nu fie supraspecificat. Punând rezoluţia optică dată în expresia pentru rezoluţia digitală, obţinem

(3.2) .8232

Mpixx

LN ≈⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∆

=

Acum cautând apertura optimă necunoscută, menţionăm că trebuie să avem xl ∆≥ , adică 0# FF ≤ , cu

34.14222.1 00

0 ===NN

NLFλ

Deoarece această valoare #F nu este disponibilă, alegem cea mai apropiată valoare cu cea mai mare rezoluţie optică: (3.3) 110 =F

Când privim o imagine de la distanţa z de ochi, unghiul (mic) între doua puncte învecinate este zl /=φ unde, ca şi mai sus, l este distanţa între punctele îvecinate. Deci,

(3.4) cmcmrad

dpilz 1555.141082.5

300/1054.24

2

≈=×

×== −

−

φ.

Oul fiert tare. Întregul ou trebuie sa atingă temperatura de coagulare. Aceasta înseamnă că creşterea temperaturii este CCCTTT c

ooo 614650 =−=−=∆ . Aşadar, cantitatea minimă de energie pe care trebuie să o transmitem oului astfel încât el să se coaguleze în întregime este dată de TVCU ∆= µ , unde 3/4 3RV π= este volumul oului. Astfel găsim

(3.5) .16768)(3

40

3

JTTCRU c =−=πµ



Ecuaţia simplificată a fluxului de căldură ne permite să calculăm câtă energie a fost transmisă oului prin suprafaţa lui în unitatea de timp. Pentru a obţine o valoare aproximativă, pentru moment presupunem că centrul oului este la temperatura iniţială CT o4= . Scara tipică a lungimilor este Rr =∆ şi diferenţa de temperatură asociată cu ea este 01 TTT −=∆ , unde

CT o1001 = (apa în fierbere). Astfel, obţinem: (3.6) 2

01 2458/)( −=−= WmRTTkJ Căldura este transferată de la apa în fierbere la ou prin suprafaţa oului. Aceasta ne dă (3.7) WTTkRJRP 3.19)(44 01

2 ≈−== ππ pentru cantitatea de energie transferată oului in unitatea de timp. De aici estimăm timpul τ necesar pentru ca o cantitate necesară de căldură să pătrundă în ou până la centrul lui:

(3.8) min5.148693.19

167683 01

02

≈==−−

== sTTTT

kCR

PU cµτ

Fulgere. Sarcina totală Q este tocmai aria suprafeţei de sub curba din figură. Datorita formei ei triunghiulare, imediat obţinem:

(3.9) CIQ 520 ==τ

Curentul mediu este

(3.10) kAI

QI 502

/ 0 === τ

doar o jumătate din valoarea maximă. Deoarece partea de jos a norului este încărcată negativ şi pământul este încărcat

pozitiv, situaţia în esenţă este aceea a unui condensator plan-paralel gigantic. Cantitatea de energie acumulată imediat inainte de declanşarea fulgerului este 2/0hQE unde hE0 este diferenţa de potenţial între partea de jos a norului şi sol, şi fulgerul eliberează această energie. În total, pentru un fulger obţinem astfel energia JhQE 8

0 105.72/ ×= . De aici rezultă că am putea alimenta un bec de 100 W timp de

(3.11) hW

Jt 10100

105.7105.61032 8

9

6

≈×

×××

=

Vase capilare. Considerând toate capilarele, avem:

.10 37 smPaDpRtotal

−⋅=∆

=

Se presupune că toate capilarele sunt conectate în paralel. Analogia între legile lui Ohm şi Poiseuille ne dă rezistenţa hidraulică R a unui capilar:

RN

Rtotal

=1

Astfel obţinem

totalRRN =

pentru numărul de vase capilare în corpul uman. Acum calculăm R utilizând legea lui Poiseuille,

,105.48 14164

−−⋅×≈= smkgr

LRπη

şi ajungem la



(3.12) 97

16

105.410

105.4×=

×≈N

Fluxul de volum este vSD total= , unde 2rNStotal π= este ara totala a secţiunii transversale asociată cu toate vasele capilare. Atunci obţinem:

(3.13) ,44.08

12

2−⋅=

∆== smm

Lpr

rNDv

ηπ

unde expresia a doua este obţinută considerând un singur vas capilar. Zgârie-nori. Când stratul de aer este la inaltimea z de asupra pământului, aerul din strat are presiunea )(zp şi temperatura )(zT şi stratul are volumul )()( zAhzV = , unde A este aria sectiunii transversale şi )(zh este grosimea stratului. La orice înălţime dată z , combinăm legea gazului ideal NkTpV = ( N este numărul de molecule în strat) cu legea adiabatică constpV =γ sau 1)( −∝ γγ ppV

pentru a conchide că γγ Tp ∝−1 . Prin diferenţiere se obţine TdT

pdp γγ =− )1( ,

astfel încât

(3.14) p

dpTdT )/11( γ−= .

Deoarece stratul nu este accelerat, greutatea trebuie să fie echilibrată de forţa ce rezultă din diferenţa de presiune în partea de sus şi de jos a stratului. Considerând forţele ce acţionează în jos ca pozitive, avem forţa rezultantă

,)]()([0 hdzdp

hVmg

kTpVzphzpANmg +=−++=

astfel încât Tp

kmg

dzdp

−= sau

(3.15) .dzTp

kmgdp −=

Luate împreună, aceste două expresii arată că

dzk

mgdT )/11(1 γ−−=

şi de aceea avem

k

mgHTT jossus )/11( γ−−=

pentru o clădire de înălţimea H , ceea ce ne dă (3.16) CTsus

o6.20= pentru km 1H = şi CTjos

o30= .



CONCURSUL MEMORIAL “SCHWARTZ” - 2007

Miron POTLOG Prof. grad didactic superior

LICEUL „NICOLAE IORGA”, CHIŞINĂU

Din 1991, Fundaţia “SCHWARTZ” organizează Concursul Memorial cu acelaşi nume, un concurs sub chemarea fizicii şi a chimiei, la care anual sunt invitaţi un număr tot mai mare de elevi şi profesori din ţară şi din ţările învecinate.

În acest an, a fost organizată ediţia a XVII-a a Concursului Memorial “SCHWARTZ” în ultima sâmbătă a lunii octombrie. Manifestarea a avut loc la Liceul Teoretic “ADI Endre” din Oradea în data de 27 octombrie 2007.

Concursul este inclus în calendarul competiţional al Ministerului Educaţiei şi Cercetării. Organizarea este susţinută de Inspectoratul Şcolar al Judeţului Bihor. Elevii din R. Moldova participă la Concurs începând cu anul 1995, fiind invitaţi de către organizatorul concursului dr. Istvan Elekes Bartos, prin intermediul inspectorului de fizică al judeţului Bihor, prof. Valentin Cucer (cu rădăcini în jud. Soroca). Judeţele participante trimit câte 4-12 elevi pe nivel de clasă, însoţiţi de către 1-2 profesori de fizică.

În primii ani participanţilor- elevi din clasele X-XII şi studenţi - li se propunea câte un test-grilă cu 30 subiecte de fizică. Cu anii, structura testelor s-a modificat, numărul subiectelor a fost redus la 10 (fără grilă de răspunsuri). Din ele două probleme sunt de chimie.

Datorită prietenului nostru, profesor Bartos Elekes, R. Moldova a fost reprezentată la 12 ediţii ale concursului.

Trei ani la rând, echipa de la Chişinău s-a clasat pe locul I între echipe.

Rezultatele obţinute de elevii din R. Moldova în ultimii trei ani:

Anul 2005 (ediţia a XV-a)

Vanovschi Vladimir, clasa a XI-a, Liceul “Nicolae Milescu-Spătaru”, premiul I Sanduleanu Ştefan, clasa a X-a, Liceul “Mircea Eliade”, premiul II Lopuşanschi Mariana, clasa a X-a, Liceul “Mircea Eliade”, premiul III

Anul 2006 (ediţia a XVI-a):

Sanduleanu Ştefan, clasa a XI-a, Liceul “Mircea Eliade”, premiul I Vanovschi Vladimir, clasa a XII-a, Liceul “Nicolae Milescu-Spătaru”, premiul II



Bogdan Radu, clasa a X-a, Liceul “Nicolae Iorga”, premiul III Ivanov Sergiu, clasa a XII-a, Liceul “Gaudeamus”, premiul III Lemesevschi Dumitru, clasa a X-a, Liceul “Gaudeamus”, premiul III

Anul 2007 (ediţia a XVII-a):

Sanduleanu Ştefan, clasa a XII-a, Liceul “Mircea Eliade”, premiul I Arbuleac Eugeniu, clasa a X-a, Liceul “Gaudeamus”, premiul III Bodnariuc Ecaterina, clasa a XII-a, Liceul “Nicolae Iorga”, premiul III Lemesevschi Dumitru, clasa a XII-a, Liceul “Gaudeamus”, premiul III Lopuşanschi Mariana, clasa XII-a, Liceul “Mircea Eliade”, premiul III

Cea mai importantă modificare a programului tradiţional o constitue introducerea

conferinţei dedicate fizicii experimentale, o ocazie de întâlnire a profesorilor experimentatori, având motto-ul: “Fizica studiată fără experimente devine o simplă culegere de formule neinteligibile”. S-a organizat o expoziţie de materiale didactice, realizate de profesorii experimentatori, urmată de conferinţe pe teme de fizică experimentală.

Este de menţionat meritul deosebit al dlui prof. dr. Bartos Elekes Istvan, care este iniţiatorul Concursului, dar şi sponsorul echipei de la Chişinău, fapt pentru care îi aducem sincere mulţumiri.

În continuare, prezentăm cititorilor subiectele propuse la ediţia a XVII-a Concursului (2007). Pentru fiecare problemă este indicată sursa sau autorul.

CLASA A X-A 1. Dispunem de o lentilă convergentă, având distanţa focală f. Pe axa optică principală a lentilei, în afara dublei distanţe focale 2f este plasat un obiect real punctiform. Folosind instrumente de desen adecvate, construiţi imaginea acestui obiect dată de lentilă.

Barto(Bartos Elekes Istvan)

2. Determinaţi înălţimea h de la care un corp cade liber şi timpul T al mişcării, dacă ştiţi că în ultima secundă a mişcării (τ =1,0 s) corpul parcurge k =0,19 parte din înălţimea totală.

(Manual de fizică, clasa a IX-a, 1990)

3. Un automobil se deplasează cu o mişcare uniform accelerată pe un drum orizontal. Viteza sa la un moment dat fiind v0=18 km/h, automobilul atinge după un interval oarecare de timp viteza v=72 km/h, efectuînd pentru aceasta un lucru mecanic L=150 kJ. Puterea medie a motorului pe intervalul de timp considerat este P =15 kW. Să se determine: a. greutatea automobilului; b. spaţiul parcurs în mişcarea uniform accelerată; c. forţa de tracţiune dezvoltată de motor, presupunând rezistenţele întâmpinate de automobil nule. Se va considera g=10 m/s2.



(Olimpiadă, 1959)

4. Un corp cu masa m =50 kg cade liber în aer. După ce a străbătut un spaţiu h=122 m, trebuie oprit în timpul t =5s. Ce forţă trebuie aplicată corpului?

(Bacalaureat, Franţa)

5. Trei bărci de câte 90 kg merg una după,alta pe un lac liniştit, cu viteza de l0 m/s fiecare. Din barca de la mijloc se aruncă din acelaşi moment din mers, în barca din faţă şi în cea din spate câte un sac de l0 kg, cu viteza de 2 m/s faţă de barca din mijloc. Ce viteză finală are fiecare barcă?

(Olimpiadă, 1957)

6. Un tren trece cu viteza v=20 m/s paralel cu un zid lung care se află la o distanţă necunoscută x. Un călător din tren descarcă o armă şi după 3 secunde aude ecoul. Fiind dată viteza sunetului vs=340 m/s, să se determine distanţa x.

(Şcoala politehnică -Bucureşti, 1945)

7 Doi copii, de înălţimi egale h=l,7m se joacă într-o sală, pe ritmul unei tobe aruncând o minge mică unul la celălalt, la fiecare bătaie a tobei. Intervalul de timp dintre două bătăi consecutive este de τ =2 s, iar distanţa dintre copii este d=10,27 m. Determinaţi înălţimea minimă a sălii (H) astfel încât copiii să poată juca liniştit.

(Bartos Elekes Istvan) 8. Corpul de masă m1 ridică printr-un sistem de scripeţi ca în figură, un corp de masă m2. Se neglijează frecările şi masa scripeţilor. a. Să se determine acceleraţia sistemului. b. Care este raportul maselor celor două corpuri pentru care sistemul se află în echilibru?

(Olimpiada, U.R.S.S.)

9. Într-un vas cu secţiune constantă se află o coloană de 10 cm soluţie 10%. Din vas printr-un robinet picură încontinuu soluţia. În momentul când se deschide robinetul, dintr-o biuretă începe să se adauge din această soluţie dar de 12%. Presupunând că soluţia se omogenizează instantaneu şi densitatea rămâne constantă tot timpul, se cere: a. raportul celor doua viteze de picurare dacă la un moment dat presiunea hidrostatică în vas creşte de 1,5 ori faţă de cea iniţială? b. care va fi concentraţia procentuală în acest moment?

(Pap Laszlo)

10. Într-un vas se găseşte O2 la presiunea p0. Se produc scântei electrice în interiorul vasului şi se constată după revenire la condiţiile iniţiale o scădere a presiunii la 90% faţă de cea iniţială. a. Stabiliţi formula cu care se poate calcula densitatea amestecului de gaze ce se formează. b. Calculaţi densitatea amestecului în condiţii normale. c. Cu cât la % variază densitatea faţă de cea iniţială?

(Pap Laszlo)



CLASA A XI-A 1. Dispunem de o lentilă divergentă, având distanţa focală f. Pe axa optică principală a lentilei, în afara dublei distanţe focale 2f este plasat un obiect real punctiform. Folosind instrumente de desen adecvate, construiţi imaginea acestui obiect dată de lentilă.

(Bartos Elekes Istvan)

2. Prima jumătate a unei distanţe d=150m este parcursă de un corp în timpul t1=10 s, iar a doua jumătate în t2=5,0s , mişcarea fiind uniform variată. Determinaţi acceleraţia şi viteza iniţială a corpului.

(Manual de fizică, clasa a IX-a, 1990)

3. Un proiectil explodează în punctul cel mai de sus al traiectoriei sale, la înălţimea h=300 m, despicându-se în două părţi egale. După un timp τ =4.0 s una dintre ele cade pe pământ pe verticala locului, unde s-a produs explozia. La ce distanţă D de locul tragerii va cădea a doua jumătate a proiectilului, dacă prima a căzut la distanţa d=200 m ? Nu se ţine seama de rezistenţa aerului.

(Manual de fizică, clasa a XII-a, 1979)

4. Două pendule electrice având lungimile de 20 cm sunt suspendate în acelaşi punct. Masa fiecărui pendul este de 0,l g, iar unghiul dintre firele de suspensie este de 90°. Să se determine sarcina electrică de pe fiecare pendul, sferele având aceeaşi sarcină.

(Institutul politehnic, 1956)

5. Se montează un circuit ca în figură. Tensiunea electromotoare a unei baterii este E1=12 V, iar rezistenţa sa interioară r1=l Ω. Care va trebui să fie t.e.m. a bateriei E2 cu rezistenţa interioară r2=3 Ω, pentru ca prin rezistorul R să nu treacă curent electric?

(Olimpiadă, Polonia) E-561

6. In figură este reprezentat un circuit ramificat. Curentul debitat de sursă în acest circuit are intensitatea I0, în cazul în care toate rezistoarele au rezistenţa R. Ce devine intensitatea curentului din circuit dacă două rezistenţe opuse îşi dublează valoarea?

(Concursul şcolilor medii, 1963)



7. Un motor termic având ca substanţă de lucru un gaz ideal funcţionează conform ciclului reversibil din figura alăturată. Se consideră cunoscute temperaturile T1 şi T1, coeficientul adiabatic γ=Cp/Cv precum şi raportul de compresie ε=V4/V1. Să se determine randamentul acestui motor termic.

(Culegere de probleme de fizică pentru liceu, 1985)

8. 17 picături dintr-o soluţie de trioleină în benzină, cu concentraţia de 0,1%, ocupă l,0 cm3. Lăsând să cadă o picătură din această soluţie pe suprafaţa apei dintr-un vas se formează o pată circulară, monomolecular, cu diametrul de 31cm. Cunoscînd densitatea trioleinei ρ=0,90 g/cm3 şi masa molară µ=282 kg/kmol, determinaţi: a. grosimea stratului; b. volumul unei molecule (presupusă de formă cubică); c. ce se mai poate determina din acest experiment?

(Manual de fizică, clasa a Xl-a, 1978)

9. Să se precizeze locul grupării – NO2 care intră în compoziţia următoarelor derivaţi aromatici, prin nitrare. Se ştie că As se găseşte în coloana a V-a şi B în coloana a III-a a

Tabelului periodic. (Pap Laszlo)

10. Care este substanţa organică care prin oxidare energică (KMnO4 acidulat) dă următoarele substanţe: a. 1 mol propanonă + 1 mol acid propanoic; b. 1 mol acid 2-ceto-propanoic + 2 moli de CO2 + 2 mol H2O; c. 1 mol acid 1,6-hexandioic; d. 1 mol de acid 5-ceto hexanoic.

(Pap Laszlo)

CLASA A XII-A 1. Avem două lentile convergente, având distanţele focale f. Cele două lentile sunt dispuse coaxial, distanţa d dintre ele fiind mai mare decât suma distanţelor focale ale lor. Pe axa optică principală comună, între focar şi dublul distanţei focale 2f a primei lentile (L1), mai aproape de focarul ei, este plasat un obiect real punctiform. Folosind instrumente de desen adecvate construiţi imaginea acestui obiect, dată de sistemul de lentile.




2. Un proiectil explodează în punctul cel mai de sus al traiectoriei sale, la înălţimea h=200 m, despicându se în două părţi egale. După un timp τ =5.0 s una dintre ele cade pe pământ pe verticala locului, unde s-a produs explozia. La ce distanţă D de locul tragerii va cădea a doua jumătate a proiectilului, dacă prima a căzut la distanţa d=100 m. Nu se ţine seamă de rezistenţa aerului.


3. Patru condensatoare alcătuiesc o baterie legându-se întîi ca în schema din figura a, apoi ca în figura b. Dacă capacităţile condensatoarelor sunt diferite, ce relaţie trebuie să existe între ele pentru ca, trecând de la schema a la schema b, capacitatea bateriei să nu se schimbe?

(Olimpiadă, U.R.S.S.)

4. 263 picături dintr-o soluţie de trioleină în benzină, cu concentraţia de 0,3%, ocupă 10 cm. Lăsând să cadă o picătură din această soluţie pe suprafaţa apei dintr-un vas se formează o pată circulară, monomoleculară, cu diametrul de 43 cm. Cunoscând densitatea trioleinei ρ=0,90g/cm3 şi masa molară µ=282 kg/kmol, determinaţi: a) grosimea stratului; b) volumul unei molecule (presupusă de formă cubică); c) ce se mai poate determina din acest experiment?


5. Într-un cilindru orizontal de lungime L închis la ambele capete se află un piston mobil, de secţiune S şi masă m. Pistonul împarte cilindrul în două compartimente egale, unde se află aer la presiunea p0. Se neglijează grosimea pistonului în raport cu lungimea cilindrului. Cu o metodă oarecare pistonul este scos din poziţia de echilibru pe o distanţă ∆x neglijabilă faţă de lungimea cilindrului. Să se determine perioada micilor oscilaţii ale pistonului.

(Bartos Elekes Istvan) 6. Pe un drum de câmpie a trecut un tractor cu şenile, lăsând urme sub forma unor adâncituri distanţate una de alta cu l=30 cm. Perpendicular pe aceste urme s-a deplasat un cărucior cu două roţi având două arcuri (fiecare arc se comprimă cu l cm la o încărcare de l kg pe cărucior). Cu ce viteză s-a deplasat căruciorul perpendicular pe urmele lăsate, dacă în timpul mişcării el este adus la rezonanţă? Căruciorul cu încărcătură cu tot, avea l0 kg.

(Olimpiadă, Polonia)

7. Un circuit serie este format dintr-o bobină şi un condensator. La rezonanţă puterea activă a circuitului este P=25 W, valoarea tensiunii la bornele condensatorului Uc0=500 V, iar valoarea tensiunii la bornele circuitului U=5 V. Să se determine: a. rezistenţa precum şi reactanţele circuitului la rezonanţă; b. factorul de putere al circuitului dacă valoarea frecvenţei se dublează, iar tensiunea la borne se menţine constantă

(G Cone, Probleme de fizică, 1986)



8. Pentru circuitul reprezentat în figură curentul şi tensiunea sunt în fază la frecvenţa ν=400 Hz. Dacă se cunosc L=50 mH, R=25 Ω, C=0,8 µF, să se calculeze: a. valoarea şi caracterul reactanţei X; b. tensiunea U care creează prin condensator un curent de intensitate Ic=0,1 A.

(G Cone, Probleme de fizică, 1986)

9. Se dă derivatul halogenat C4H7Cl. a. Cîţi izomeri de poziţie cu catenă deschisă fără ramificaţie are derivatul halogenat? b. Cîţi izomeri optici activi rezultă prin adiţia HBr la derivatul halogenat de mai sus?

(Pap Laszlo)

10. 1149,24 g dintr-un amestec echimolecular de alcool şi acetonă cu acelaşi număr de carbon se găseşte într-un vas ce nu conţine nici un gaz şi care are volumul în afara volumului substanţelor şi a catalizatorului de Ni egal cu 10 l. Printr-un robinet vasul se leagă de un al doilea recipient cu volum de 100 1 prevăzut cu un manometru care indică l0 atm şi conţine H2. Se deschide robinetul şi se stabilesc condiţii de hidrogenare în primul vas. La terminarea hidrogenării se închide robinetul şi se constată că presiunea scade cu 0,91 atm după ce a fost restabilită temperatura iniţială. Să se stabilească formula moleculară a substanţelor aflate în primul vas.

(Pap Laszlo)

STUDENŢI 1. Avem două lentile, una convergentă (L1), alta divergentă (L2), având distanţele focale f. Cele două lentile sunt dispuse coaxial, distanţa dintre ele fiind mai mare decât suma distanţelor focale ale lor. Pe axa optică principală comună, între focar şi dublul distanţei focale 2f a primei lentile (L1), mai aproape de focarul ei, este plasat un obiect real punctiform. Folosind instrumente de desen adecvate, construiţi imaginea acestui obiect dată de sistemul de lentile.

(Bartos Elekes Istvan) 2. Sub ce unghi α faţă de orizontală trebuie aruncată o bilă de la baza unui plan înclinat cu unghiul β=20°, pentru ca după ciocnirea perfect elastică cu planul înclinat bila să revină în punctul de lansare?

(Concursul şcolilor medii - Ungaria, 1960)

3. Forma naturală a schemei echivalente a unei bobine reale este (RL)S (circuit RL serie), iar a unui condensator



real (RC)P (circuit RC paralel). De multe ori însă în practică avem nevoie de schemele echivalente ale lor în formă (RL)P respectiv (RC)S. a. Determinaţi formulele de transformare echivalentă din (RL)S în (RL)P la o anumită valoare ω. Se cunoaşte expresia factorului de calitate al circuitului serie: QS= ω LS/RS. b. Cum se modifică formulele în cazul QS>10 („bobine bune")? c. Determinaţi formulele de transformare echivalentă din (RC)P în (RC)S la o anumită valoare ω. Utilizaţi expresia tangentei unghiului de pierderi tgδ=tg(π/2- φ). d. Cum se modifică formulele în cazul tgδ<10-4 („condensatoare bune")?


4. Să se determine ordinul cel mai mare al spectrului de difracţie pe care-1 poate da o reţea cu 500 trăsături/mm, dacă lungimea de undă a luminii cu care se iluminează reţeaua este λ=590 nm. Să se studieze două cazuri: a. lumina cade sub incidenormală b. lumina cade sub un unghi de incidenţă de 30°.


5. O piesă ca aceea din figură este alcătuită prin articularea unui număr de bare omogene identice. Sistemul are greutatea P. Să se calculeze tensiunea ce acţionează în firul OM. Se neglijează frecările.

(Olimpiada, U.R.S.S.) 6. 105 picături dintr-o soluţie de trioleină în benzină, cu concentraţia de 0,2%, ocupă 5 cm3. Lăsând să cadă o picătură din această soluţie pe suprafaţa apei dintr-un vas se formează o pată circulară, monomoleculară, cu diametrul de 39 cm. Cunoscând densitatea trioleinei ρ=0,90 g/cm3 şi masa molară µ=282 kg/kmol: a. Determinaţi grosimea stratului. b. Determinaţi volumul unei molecule (presupusă de formă cubică). c. Ce se mai poate determina din acest experiment?


7. Un foton cu lungimea de undă λ=232 nm eliberează un fotoelectron de pe suprafaţa unui electrod de platină (L=5,29 eV). Calculaţi impulsul transmis electronului, dacă electronul este expulzat după direcţia de mişcare a fotonului, dar în sens contrar.


8. Un motor termic având ca substanţă de lucru un gaz ideal funcţionează conform ciclului reversibil din figura alăturată. Se consideră cunoscute temperaturile T1 şi T2, coeficientul adiabatic γ=Cp/Cv, precum şi raportul de compresie ε=V4/V1. Să se determine randamentul acestui motor termic.

(Culegere de probleme de fizică pentru liceu, 1985)

9. Pentru un amestec gazos de CO şi CO2 analiza arată un raport mc/mc= 1/2. a. Să se calculeze compoziţia în % de masă a amestecului. b. Să se arate pentru ce valori ale raportului mc/mo se exclude prezenţa simultană a celor două gaze.

(Olimpiada Internaţională Timişoara)



10. Într-o reacţie: A + B —» P relaţia dintre viteza de reacţie şi concentraţia substanţelor A şi B este dată de legea vitezei care se exprimă: v=k[A]a[B]b unde [A] şi [B] sunt concentraţiile exprimate în mol/l, iar k se numeşte constanta de viteză, a şi b sunt ordine de reacţie faţă de A respectiv B. Intr-o reacţie de mai sus a=1 şi valoarea numerică a lui k este egală cu 10-4. Din cauza unui accident s-a vărsat cerneală peste tabelul rezultatelor măsurătorilor, unde t este timpul exprimat în minute şi arată astfel: Se cunosc: raportul [B]0/[B]4=5 raportul [B]5/[B]10=6 raportul vitezelor V4/V10=1,6; Să se stabilească: a. Ordinul de reacţie faţă de B şi să se scrie expresia legii vitezei. b. Să se stabilească concentraţia lui B la t=0 şi t=5. c. Să se reproducă tabelul stabilind valorile lipsă neglijând variaţiile de volum.

(Pap Laszlo)

LUDOVIC SCHWARTZ Ludovic Schwartz s-a născut la 30 ianuarie 1925 la Arad. Când a împlinit 15 ani,

războiul izbucnise în Europa de patru luni. La 19 ani a trăit grozăvia primului bombardament asupra Aradului şi apoi teama deportării. Acest fapt l-a marcat profund, dar nu a povestit niciodată, păstrând adânca recunoştinţă patriei care l-a salvat, rămânându-i credincios până la moarte.

În toamna aceluiaşi an pleacă cu un personal spre Bucureşti pentru examenul de admitere şi drumul, datorită deselor alarme aeriene, a durat trei zile. Aceasta a fost adolescenţa profesorului Schwartz Ludovic.

În 1948 absolveşte Facultatea de Fizică şi Chimie a Universităţii din Bucureşti şi lucrează ca inginer într-o înterprindere orădeană timp de un an, după care, în 1948 îşi începe activitatea didactică pe care nu o va mai întrerupe până la moartea survenită în 1988, la data de 22 august.

A fost marcat să fie profesor. În amintirile lor, foştii săi elevi menţionează că orele de fizică erau ore în care rigoarea se împletea cu larga informaţie culturală, cu bucuria descoperirii efortului uman îndreptat spre cunoaştere. Orice formulă scrisă pe tablă era însoţită de citate din Rudyard Kipling (autorul lui preferat) sau consideraţii despre epoca respectivă: epoca lui Newton, a lui Pascal, a lui Leibniz, Einstein şi Bohr sau Enrico Fermi.

Date post:	28-Jan-2017
Category:	Documents
Upload:	ledang
View:	278 times
Download:	3 times

16 Probleme, concursuri, olimpiade REZOLVĂRILE ...

Documents