Date post: | 12-Feb-2016 |
Category: |
Documents |
Upload: | reisslercsmn |
View: | 34 times |
Download: | 1 times |
Utilitate și aversiune
la risc
Poziţionare în curiculă
Utilitate și Aversiune la Risc
Loterii şi Funcţii de utilitate
Funcţii de utilitate concave
Indicatorul aversiunii absolute la risc
Conceptul de Risc – apariţia teoriei riscului
Logica probabilităţilor vs. Logica clasică
Logica matematică clasică:
adevărat - fals
Logica probabilităţilor:
adevăruri parţiale
Conceptul de Risc – apariţia teoriei riscului
Teoria Riscului
Bernoulli (1738): utilitatea marginală
descrescândă
Knight (1921): Incertitudine vs. Risc
Neumann şi Morgenstern (1944): probabilităţi
obiective
Savage: probabilităţi subiective
Arrow (1964) şi Debreu (1959): teoria evaluării
activelor
Utilitatea şi Aversiunea la risc
Paradoxul St. Petersburg
Să presupunem că doi parteneri participă la un
joc de aruncare a monedei în mod repetat.
Primul partener primeşte
$1 dacă apare pajura după prima aruncare,
$2 dacă pajura apare prima dată numai la a doua
aruncare,
4$ dacă pajura apare prima dată numai la a treia
aruncare
şi aşa mai departe...
Paradoxul St. Petersburg
2
1
2
1
pajură
cap
$21
$20
$2n-1
2
1
2
1 2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
$22
Paradoxul St. Petersburg
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
12
8
14
4
12
2
11)( 1
n
WE
n
n
n
2
1
2
1
pajură
cap
$21
$20
$2n-1
2
1
2
1 2
1
2
1
2
1
2
1
2
1$22
Paradoxul St. Petersburg
- concluzie -
Oamenii ar trebui să plătească un infinit
de bani pentru dreptul de a juca acest joc
pe măsură ce n creşte la infinit.
E evident că nu acesta este
comportamentul uman.
Prin urmare, venitul aşteptat reprezintă o
măsură insuficientă a valorii unui joc.
Investitorii raţionali- Reprezentare sub forma utilităţii aşteptate -
Sunt consideraţi Raţionali investitorii care au un sistem de preferinţe „consecvent” pentru planuri de consum aleatoare.
Un plan de consum este o loterie cu privire la stările viitoare posibile ale naturii:
x~p4
p3
p2
p1
x1
x4
x2
x3 y~q3
q2
q1
y3
y2
y1
Investitorii raţionali- Reprezentare sub forma utilităţii aşteptate -
Preferinţele au reprezentare sub forma utilităţii
aşteptate dacă există o funcţie U astfel încât
yUExUEyx ~~ ~~
probxUxUE ~
4321 ,,,
)]([)]([)]([)]([~44332211 xUpxUpxUpxUpxUE
x~)( 2x
)( 1x
)( 4x
)( 3x
)( 1p
)( 2p
)( 3p
)( 4p
“Preferat lui”
Investitorii raţionali- Reprezentare sub forma utilităţii aşteptate -
Investitorii sunt raţionali dacă
Pot face comparaţii între jocuri
Pot face aceste comparaţii în mod consecvent:
~~ yx
~~ zy ~~ zx
Aversiunea la risc
Definiţie:
Un individ are aversiune la risc dacă nu este
dispus să accepte orice joc cu aşteptare nulă
(actuarially fair gamble – un joc pentru care
valoarea aşteptată este 0).
Rezultat:
Aversiune la risc = Funcţia de utilitate este
concavă
Demonstrarea Aversiunii la Risc
Paradoxul St. Petersbourg – utilitate marginală
descrescândă
Dacă avem aversiune la risc (nu există un joc cu
aşteptare nulă) atunci U este concavă (utilitate
marginală descrescândă)
U este o funcţie concavă - demonstraţie
Oricare ar fi w1 şi w2 cu w1< w2 şi p o
probabilitate, fie un joc de forma
Să presupunem că averea iniţială este
Atunci, un investitor cu aversiune la risc va
refuza jocul cu aşteptare nulă, adică
h~
0)1( 21 hpph
210 )1( WppWW
201000 )1(~
hWUphWUphWUEWU
Concavitatea funcţiei de utilitate
2121 11 WUpWpUWppWU
WUEWEU~~
WUEWEU~~
Echivalentul
certitudine
Despre valoarea primei de risc
WEUWEUWEWEWEUWEUWEU~
'~~~~
'~~
2~~~''
2
1~~~'
~~WEWWEUWEWWEUWEUEWUE
0
02
'
''
2
1
WU
WU
Coeficientul de
aversiune la risc
Arrow Pratt
E numai o aproximare;
funcţionează numai
pentru riscuri “mici”.
Toate momentele de
ordin mai mare decât 2
sunt neglijabile în raport
cu dispersia
0
Venituri asteptate
(ca medie)
E(W)
Utilitatea Mediei – daca am
avea media cu certitudine
U[E(W)]
Utilitatea
medie
E[U(W)]
Utilitatea
VenituriW1 W2
U(W1)
U(W2)
Aversiunea la
risc
π