§ 2.5 Discretizarea sistemelor în timp continuu - aut.upt.ro · Dragomir, T.L., Teoria...

Dragomir, T.L., Teoria sistemelor, Curs anul II CTI, 2014/2015 94

§ 2.5 Discretizarea sistemelor în timp continuu

Discretizarea unui sistem în timp continuu reprezintă operaţia prin care unui sistem în timp continuu i se asociază

un sistem în timp discret care atunci când lucrează cu secvenţele rezultate prin eşantionarea semnalelor de intrare

ale sistemului în timp continuu, fie că reproduce la ieşire, în momentele de discretizare a timpului, în mod exact

mărimea de ieşire a sistemului în timp continuu (semnal eşantionat), fie că o aproximează.

În primul caz spunem că sistemul în timp discret este o realizare invariantă a sistemului în timp continuu, iar

metodele de discretizare le denumim metode de obţinere a realizărilor invariante. Ele sunt aplicabile numai când

semnalul de intrare este de un tip bine precizat (realizări invariante la semnal treaptă, la semnal rampă etc.).

În al doilea caz vorbim despre discretizare prin metode de aproximare. Ele se utilizează în situaţii când semnalul de

intrare este oarecare. Există mai multe tipuri de metode de discretizare prin aproximare. În cadrul paragrafului ne

referim numai la cele cunoscute sub denumirea de metode de substituţie. Aspectul practic care ne interesează este

cel al implementării de regulatoare numerice.

Paragraful este destinat prezentării tipurilor de problemelor de discretizare şi metodelor de discretizare necesare

pentru rezolvarea problemelor asociate sistemelor hibride rezultate prin interconectarea de subsisteme analogice şi

numerice.

1. Tipuri de probleme de discretizare

Ca suport pentru prezentarea problemelor de discretizare se consideră cazul practic al sistemelor de reglare numerică

cărora le sunt aplicabile ambele metode. Sistemele de reglare numerică sunt structuri hibride în care procesul condus

este de regulă de tip analogic, iar regulatorul este tip digital. În Fig. 1 se prezintă o astfel de structură de reglare.

Fig. 1. Structură convenţională de reglare numerică

În figură P este procesul condus (sistem în timp continuu), iar RN este regulatorul numeric (sistem în timp discret).

Legătura dintre cele două părţi se realizează prin convertorul numeric-analogic CNA şi convertorul analog-numeric

CAN. Semnalele notate cu litere supraliniate sunt semnale eşantionate, adică semnale în timp discret necuantizate în

amplitudine, iar cele notate cu litere nesupraliniate sunt semnale analogice. RN comandă procesul prin semnalul de

comandă [k]}u{ şi se informează despre situaţia procesului condus prin semnalul de reacţie [k]}y{ obţinut prin

eşantionarea şi conversia analog-numerică a mărimii de reglate y(t). Prin semnalul de referinţă [k]}w{ se prescrie

pentru y un regim de funcţionare dorit.


În scopul dezvoltării unor modele utilizabile pentru sinteza sistemului de reglare, CNA şi CAN se înlocuiesc, în

contextul precizat în continuare, cu structurile sistemice reprezentate în Fig.1 deasupra acoladelor.

CNA converteşte semnalul discret (şir de numere) ]}k[u{ generat în RN la momentele kh, k Z, într-un

semnal în timp continuu u(t), de tip scară cu trepte de durată h. Operaţia este pusă pe seama unei structuri

seriale alcătuită dintr-un convertor - generator de impulsuri şi un element de memorare, numit element de

reţinere (ER) 1). Semnalele asociate CNA din Fig. 1 sunt ilustrate în Fig. 2. Convertorul - generator de

impulsuri, imaginat ca element ce prezintă facilităţile de conversie numeric-analogică şi de generare de

impulsuri Dirac, asociază la ieşirea lui fiecărei valori u [k] = ku din secvenţa ]}k[u{ , aplicată la intrare la

momentul hk , un impuls Dirac )hkt(uk rezultând semnalul în timp continuu u~ (t) de tip pieptene

(distribuţie periodică) 2). Convertorul generator de impulsuri este simbolizat printr-un întrerupător care se

închide periodic, cu perioada h, pe intervale de timp infinit mici care includ momentele în care se aplică

semnalul ]}k[u{ . Elementul de reţinere produce din fiecare impuls Dirac )hkt(uk o treaptă de durată h

şi cu aceeaşi amplitudine şi polaritate ca ale impulsului, rezultând semnalul scară u(t).

Fig. 2. Referitoare la semnalele asociate în modelare convertorului numeric-analogic CNA

CAN este modelat printr-o structură care conţine un singur element: eşantionatorul - convertor, simbolizat tot

printr-un întrerupător. Se consideră că eşantionatorul - convertor efectuează periodic, la momentele hk , atât

1) Elementul de reţinere reprezintă cel mai simplu element de refacere a semnalelor în timp continuu, numit în general “extrapolator de ordinul zero” (zero order holder (ZOH)). 2) Maniera în care au fost modelate procesele care au loc în CNA are acoperire doar în ceea ce priveşte dependenţa dintre intrare şi ieşire. Semnalul u~ (t) nu există în realitate. În convertoarele reale informaţia u [k] = ku , generată secvenţial, este reţinută în registre ale căror conţinuturi sunt modificate la momentele k·h şi folosite pentru comanda adecvată a unui sistem de comutatoare ale unor circuite electronice. La ieşirea acestora rezultă un semnal u(t) cuantizat în amplitudine. În mod obişnuit, datorită valorii foarte mici a cuantelor, se face abstracţie de această cuantizare considerând, în acord cu cele menţionate, semnale eşantionate. Prin aceasta se simplifică modelarea şi calculele de proiectare.


operaţia de eşantionare cât şi operaţia de conversie analog-numerică a valorilor eşantioanelor, furnizând la ieşire

semnalul eşantionat y [k], ky)hk(y]k[y 3). În Fig.3 sunt ilustrate semnalele asociate CAN din Fig.1.

Fig. 3. Referitoare la semnalele asociate în modelare convertorului analog - numeric CAN

Făcând în Fig. 1 înlocuirile menţionate se obţine structura din Fig. 4. Regulatorul RN intervine asupra lui P prin ER

la a cărui ieşire rezultă un semnal scară cu trepte de durată h. Nivelurile treptelor semnalului scară depind de modul

de variaţie în timp a mărimii de comandă ]}k[u{ aşa cum sugerează Fig.2. O altă caracteristică a schemei din Fig.4

este faptul că evoluţia mărimii de ieşire a procesului nu este observată de către regulatorul numeric în mod continuu

ci în mod discret, la momentele de discretizare hk , sincron cu apariţia treptelor în funcţia scară u(t). Sincronizarea

este redată în Fig. 4 prin linia întreruptă care uneşte cele două întrerupătoare.

Fig. 4. Schema bloc a unui sistem de reglare numerică.

Pentru analiza şi sinteza sistemului de reglare numerică este necesar un model al procesului P care să redea, în

condiţiile prezentate, legătura dintre ]}k[u{ şi ]}k[y{ la momentele de discretizare kt th, t T 4) adică un

model care să facă legătura între secvenţele t tu[t] u(th)

T T şi tt

y[t] y(th)

TT. Metoda prin care se pot

obţine astfel de modele pentru sistemele liniare se numeşte metoda realizării invariante la semnal treaptă. Metoda

3) Şi de data aceasta, maniera în care au fost modelate procesele dintr-un CAN are acoperire doar în ceea ce priveşte dependenţa dintre intrare şi ieşire. În realitate fenomenele sunt complexe şi se desfăşoară într-un ansamblu alcătuit dintr-un circuit de eşantionare şi reţinere şi din convertorul analog-numeric propriu-zis. Circuit de eşantionare şi reţinere funcţionează alternativ în regim de sistem de urmărire a semnalului de intrare şi în regim de eşantionare la momentele k·h, durata procesului de conversie fiind considerată foarte mică. După conversie rezultă semnalul y [k], )hk(y]k[y cuantizat în amplitudine. Datorită valorii foarte mici a cuantelor, în mod obişnuit se face abstracţie de cuantizarea în amplitudine, ceea ce conduce la simplificarea modelării şi a calculelor de proiectare. 4) Mulţimea T coincide cu mulţimile Z sau N, după cum semnalele se consideră bilaterale sau unilaterale.


face parte din categoria realizărilor invariante 5). În cazul de faţă, în contextul schemei de reglare din Fig.4,

obţinerea unor astfel de modele ale proceselor reprezintă prima problemă de discretizare abordată în cadrul

paragrafului. Operaţia de obţinere o denumim discretizare pentru realizare invariantă la semnal treaptă

(discretizare pentru RIST), iar rezultatul realizare invariantă la semnal treaptă (RIST) sau discretizatul cu pasul h

al procesului în timp continuu.

Al doilea tip de probleme de discretizare care apar în mod frecvent îl reprezintă discretizările prin aproximare.

Pentru a prezenta problema se consideră tot structura din Fig.4. Spre deosebire de cazul RIST, când regulatorul RN

se proiectează direct ca sistem în timp discret, pe baza modelului discretizat al procesului condus, de data aceasta

regulatorul RN se asociază, ca model de aproximare, unui regulator în timp continuu R proiectat pentru un sistem de

reglare în timp continuu, fictiv, care trebuie să conducă procesul P și să realizeze aceleași performanțe ca și sistemul

de reglare numerică din Fig.4.

Pentru a explica modul de asociere notăm în Fig.4 cu P conexiunea serie a blocurilor CNA, P şi CAN. Se obţine

structura simplificată de sistem de reglare numerică din Fig.5a. Având în vedere că blocurile sistemului din Fig.4

sunt separabile iar convertoarele elemente liniare sistemului din Fig.5a îi asociem sistemul în timp continuu din

Fig.5b, cu rol de structură de calcul şi nu de structură fizică.

Asocierea se face parcurgând următorii paşi:

i) Se deplasează CAN în faţa procesului P şi se grupează potrivit algebrei schemelor bloc cele două

convertoare CAN şi CNA într-un singur subsistem în timp continuu numit element de eşantionare şi

reţinere EER, ca în Fig.6. Cele două întrerupătoare se înlocuiesc prin unul singur cu rol de simplu

eşantionator (extrage din semnalul u(t) impulsuri Dirac la momentele de eşantionare). EER este

amplasat în faţa procesului P.

Fig. 6. Referitoare la modul în care rezultă elementul de eşantionare şi reţinere (EER)

5) Realizările (discrete) invariante faţă de o anumită formă a semnalului de intrare asigură între mărimile de intrare, stare şi ieşire exact aceleaşi dependenţe ca şi modelele în timp continuu considerate la momentele de discretizare kt kh, k T . În acest context vorbim despre realizări invariante la semnal treaptă atunci când semnalul u(t) este un semnal scară, despre realizări invariante la semnal rampă când u(t) este ieşirea unui extrapolator de ordinul I ş.a.m.d.

- a - - b - Fig.5. Structuri de reglare referitoare la problema discretizării prin aproximare

P0 R w

u y

y P RN

w

u


ii) Se grupează apoi, tot potrivit algebrei schemelor bloc, EER împreună cu procesul P sub forma

blocului în timp continuu P (are atât la intrare cât şi la ieşire semnale analogice).

iii) Blocul P fiind un sistem în timp continuu, pentru reglare se foloseşte un regulator în timp continuu R

care, așa cum s-a precizat, trebuie să asigure pentru schema din Fig. 5b aceleaşi performanţe ca şi

regulatorul RN pentru schema din Fig.4.

Problema discretizării prin aproximare se pune cu privire la regulatorul R, proiectat pentru procesul P, în sensul că

prin discretizarea lui R trebuie să rezulte un regulatorul numeric RN care să conserve pentru sistemul de reglare

performanțele impuse la proiectare. Practic, discretizarea constă în generarea unui algoritm care trebuie să

aproximeze potrivit unei metode numerice comportarea regulatorului în timp continuu R. Întrucât semnalul de

intrare în regulatorul R provine de la procesul reglat, el nu mai aparține unei clase de semnale bine precizată ci este

de o formă oarecare. Pentru ca aproximarea să fie admisibilă este necasar ca pasul h folosit în formulele de

discretizare să fie foarte mic. Acest mod de a proceda este cunoscut sub denumirea de metoda cvasi-continuităţii:

dacă pasul de discretizare a timpului este suficient de mic, sistemul din Fig.5a cu RN asociat regulatorului R va

avea o comportare apropiată de cea a sistemului din Fig. 5b, proiectat.

Întrucât obiectul discretizării îl reprezintă regulatorul R, la intrarea căruia avem un semnal oarecare, regulatorul RN

obținut ca rezultat al discretizării va opera cu un semnal eșantionat care nu mai corespunde unui semnal în timp

continuu cu o formă bine precizată între două momente de discretizare succesive (cum se întâmplă în cazul RIST).

Ca urmare, semnalul de la ieșirea lui RN va fi întotdeauna o aproximare a semnalului de la ieșirea lui R. În acest

context distingem un al doilea tip de operaţii de discretizare denumite operaţii de discretizare prin aproximare

(d.a.). Metodele de discretizare prin aproximare se folosesc de regulă în varianta cunoscută sub denumirea de

metode de substituţie sau metode de transformare. Cele mai cunoscute metode de substituţie sunt metoda

dreptunghiului şi metoda trapezului.

În Fig. 7 sunt precizate, folosind structura din Fig.4, canalele informaţionale cărora le corespund cele două metode

de discretizare: canalul r.i.s.t. şi canalul d.a.. Pentru un sistem de reglare dat, cum este cel din Fig. 1, cele două

metode se exclud reciproc: se foloseşte fie o metodă, fie cealaltă. 6)

Fig.7. Canalele informaţionale luate în considerare în cazul discretizării pentru RIST (canalul r.i.s.t.) şi în cazul discretizării prin aproximare (canalul d.a.).

6) Discretizarea pentru RIST se aplică proceselor şi nu se aplică legilor de reglare. Discretizarea prin aproximare se aplică regulatoarelor şi nu se aplică proceselor.


2. Realizări invariante la semnal treaptă pentru sisteme fără timp mort

Formulele folosite la discretizarea pentru RIST se obţin pe baza structurii din Fig.8. Ea se regăsește atât în Fig. 4 cât

și în Fig.7 (canal r.i.s.t.). Procesul P , discretizat, este liniar.

Din punctul de vedere al metodelor de calcul distingem două situaţii după cum avem de discretizat: i) modele în

domeniul timp sau ii) modele în domeniul imaginilor. În prima situaţie se operează cu modele intrare-stare-ieşire, în

a doua cu funcţii de transfer. Rezultatele obţinute în cele două situaţii sunt echivalente în ceea ce priveşte

dependenţa intrare-ieşire.

u y P ER

u~u y

h h

Fig.8. Structura considerată pentru stabilirea formulelor de discretizare pentru RIST.

În prima situaţie presupunem că procesul P are MM-ISI:

)t(Du)t(Cx)t(y)t(Bu)t(Ax)t(x (1)

în care u mR , x nR , y pR , tT = [t0, tf ]. Pentru a obţine RIST considerăm intervalul de timp [tk, tk+1) =

[kh, (k+1)h) T cuprins între două momente de discretizare consecutive. Semnalele care interesează sunt

reprezentate în Fig. 9. Figurile a, b şi c ilustrează etape referitoare la constituirea semnalului u(t) din semnalul u .

Prin aplicarea semnalului u(t) la intrarea procesului P se obţine la ieşire semnalul y(t) (figura d), iar din acesta, prin

eşantionare, rezultă semnalul )t(y (figura e).

RIST associata sistemului (1) se obţine cu formulele:

d d

d d

x[t 1] A x[t] B u[t], ty[t] C x[t] D u[t]

Z , (2)

DD ,CC ,Bdve)h( B ,e)h(A dd

h

0

Avd

Ahd

(3)

unde h este pasul de discretizare, iar A, B, C şi D sunt matricele sistemului în timp continuu (1).

Exemplu: Să se determine RIST pentru sistemul de poziţionare

)t(2x)t(1x

cC

01y(t)

u(t)

bB

10

)t(2x)t(1x

A

0010

)t(2x)t(1x

T

(4)


y P

u

Soluţie: În acest caz avem

10t1

e)t( At . Deci

10h1

)h(Ad ,

h

0

Avh

0

Avd BdveBdve)h(B

h2

h

dv

vdv

dv1v

dv10

10v1

Bdv)v(2

h

0

h

0h

0

h

0

h

0

,

iar RIST asociată sistemului de poziţionare este:

21 1

2 2

1

2

x [t 1] x [t]1 h 0.5h u[t]x [t 1] x [t]0 1 h

x [t]y[t] 1 0

x [t]

(4')

În (4') s-a renunţat la supralinierea lui u şi y având în vedere că în condiţiile

utilizării timpului normat această notație are un caracter redundant.

Rezumat: În cazul aplicării metodei de discretizare pentru obţinerea unei reali-

zări invariante la semnal treaptă (RIST) asociate sistemului în timp continuu

(1) pentru un pas de discretizare a timpului de valoare h, rezultatul îl reprezin-

tă sistemul în timp discret (2) ale cărui matrice se calculează cu formulele (3).

Pentru exemplul dat, sistemului în timp continuu (4), reprezentând procesul P

din Fig.8, i se asociază sistemul în timp discret (4') reprezentând blocul P

din Fig.10.

Fig.10. Schemă bloc asociată sistemului în timp discret (9')

În a doua situaţie de calcul, se consideră cunoscută funcţia de transfer H(s)

a blocului P din structura din Fig.8 şi se determină, în aceleaşi ipoteze ca şi în prima situaţie, funcţia de transfer

H(z) corespunzătoare canalului yu . Formula de calcul se stabileşte parcurgând 2 etape: I) determinarea

funcţiei de transfer HER(s) a elementului de reţinere; II) determinarea funcţiei de transfer H(z) corespunzătoare

dependenţei dintre )z(u şi )z(y .

Funcţia de transfer a ER este

u[k]

t kh (k+1)h

u

- a -

u(kh)u[k]

t kh (k+1)h

u~

- b -

u((k 1)h)

u[k 1]

u(kh)u[k]

t

u

kh (k+1)h - c -

)kh(y

)h)1k((y

t kh (k+1)h

y

- d -

y[k ]y(kh)

y[k 1]y((k 1)h)

t

y

kh (k+1)h - e -

Fig. 9. Semnale asociate

schemei din Fig.8.


se1)s(H

hs

ER

. (5)

Formula de calcul a f.d.t. a RIST asociată unui STC cu f.d.t H(s) este:

1H(z) (1 z ) ℨ 1H(s)s

. (6)

În aplicarea formulei (6) se parcurg trei etape:

i) Se calculează produsul )s(Hs1 , adică transformata Laplace a răspunsului

la semnal treaptă, şi se aduce expresia )s(Hs1 la o formă pentru care se

pot utiliza tabelele de transformare;

ii) Se calculează ℨ 1 H(s)s

(transformata z a răspunsului la semnal treaptă

unitară al procesului P eşantionat cu pasul h) folosind tabelele de transformare.

iii) Se înmulţeşte rezultatul cu z

1zz1 1 , ceea ce echivalează cu o împărţire prin z

z 1 (care reprezintă

transformata z a semnalului treaptă unitară discretă).

Notă: De regulă z de la numitor se simplifică întrucât ℨ 1 H(s)s

conţine pe z ca factor la numărător.

Exemplu: Să se calculeze funcţia de transfer a realizării invariante la semnal treaptă pentru cazul când

)2s(s1s)s(H

(a), h = 0.2 sec.

Soluţie: Se calculează produsul: )2s(s

1s)s(Hs1

2

. O expresie de această formă nu apare în tabelele de

transformare. Pentru a folosi tabelele recurgem la descompunerea:

)2s(s4

41

)2s(s2

21

)2s(s1

)2s(s1)s(H

s1

22

pentru care din tabelele de transformare reţinem

liniile

)s(f )z(f

2

2a

s (s a)

ah 2 ah ah

2 ah(ah 1 e )z (1 ahe e )z

(z 1) (z e )

a

s(s a)

ah

ah(1 e )z

(z 1)(z e )

)k(u

t kh

u~

- a -

)k(u

t

u

kh (k+1)h

- b -

Fig.11. Referitoare la obţine-rea funcţiei de transfer a ER.


Aplicând aceste formule pentru 2.0h ,2a sec rezultă

ℨ 1 H(s)s

=)ez()1z(2

z)e1(4.0

4.0

+

)ez()1z(4z)ee4.01(z)e6.0(

4.02

4.04.024.0

.

În final, cu formula (6) obţinem

1H(z) (1 z ) ℨ 1 H(s)s

=)ez(2

e14.0

4.0

+

)ez()1z(4)e6.01(z)e6.0(

4.0

4.04.0

,

respectiv

)ez()1z(41e6.2z)e4.1()z(H 4.0

4.04.0

(b).

Rezumat: În cazul aplicării metodei RIST pentru un sistem în timp continuu fără timp mort cu funcţia de

transfer H(s), pasul de discretizare a timpului având valoare h, rezultatul îl reprezintă sistemul în timp

discret cu funcţia de transfer H(z) dată de formula (6).

Pentru exemplul dat, sistemului în timp continuu cu funcţia de transfer (a), reprezentând procesul P din

Fig.8, i se asociază, pentru un pas de discretizare a timpului h = 0.2 sec sistemul în timp discret cu funcţia

de transfer (b) reprezentând blocul P din Fig.10.

3. Discretizarea prin aproximare

Sistemul în timp continuu pentru care se determină o realizare sistemică în timp discret prin metoda discretizării prin

aproximare, corespunde blocului R din Fig.5b sau „canalului d.a” din Fig.7. Presupunem că R are MM

)t(Du)t(Cx)t(yx)t(x , )t(Bu)t(Ax)t(x 00 . (7)

Sistemului (7) îi corespunde schema bloc din Fig.12. În schemă apar trei tipuri de operaţii: însumări, înmulţiri cu

constante şi integrări. Procedural, primele două operaţii se efectuează la fel indiferent dacă sistemul este un sistem în

timp continuu sau un sistem în timp discret. Operaţia de integrare, căreia îi corespunde blocul din cadrul reprezentat

cu linie întreruptă, nu are un echivalent exact în timp discret. Ea poate fi însă aproximată folosind diferite formule

utilizate în metodele de integrare numerică. Ideea discretizării prin aproximare constă în esenţă tocmai în această

manieră de aproximare.

x

A

uB

y D

Cx

X0

Fig.12. Schemă bloc asociată MM-ISI (7).


În acest context considerăm un element de transfer integrator cu orientarea u y având modelul matematic

t

0t0 )()y(ty(t) du . În Fig. 13, de principiu, se consideră o variaţie arbitrară a semnalului de intrare u(t) pe un

interval de timp cu lungimea unui pas de discretizare [kh, (k+1)h). Pe acest interval avem

1)k(k

khdtu(t)y(kh)1)h)y((k . (8)

)kh(u

)h)1k((u

t kh (k+1)h

u h)1k(

khdt)t(u

M

P’ N

Q

P N’

u(t)

Fig. 13. Referitoare la aproximarea numerică a operaţiei de integrare.

Datorită formei oarecari a semnalului de intrare integrala din membrul drept se poate evalua numai prin aproximare.

Trei dintre modurile de aproximare posibile sunt următoarele:

)h)1k((u)kh(uhMNPQ)h)1k((uhPQPM

)kh(uhQNMNQNPMdt)t(u

21

h)1k(

kh )MT()MDA()MDR( (9)

Aproximările se bazează pe interpretarea grafică a integralei în sens Riemann h)1k(

kh

dt)t(u . Acesteia îi corespunde

aria QNPM a dreptunghiului curbiliniu QNPM . Pentru valori mici ale lui h ea poate fi aproximată prin ariile:

QNMN , a dreptunghiului QNMN - caz în care vorbim despre metoda Euler sau metoda

dreptunghiului retardată (MDR),

PQPM , a dreptunghiului PQPM - când vorbim despre metoda dreptunghiului avansată 7),

MNPQ a trapezului rectiliniu MNPQ - caz în care vorbim despre aproximarea Tustin sau

metoda trapezului.

Folosirea pentru o problemă dată a uneia dintre cele trei metode - MTR, MDA sau MT – reprezintă opţiunea

utilizatorului.

7) Atributele “retardată” şi “avansată” se referă la faptul că dreptunghiurile considerate au în comun cu trapezul curbiliniu latura din stânga, corespunzătoare momentului kh (aflat în “urmă”), respective latura din dreapta, corespunzătoare momentului (k+1)h (situat “înainte”).


Rezultatul obţinut poate fi folosit în mai multe moduri. Unul dintre ele îl constituie stabilirea unor formule de

substituţie. Aceasta este calea urmată în continuare. Pentru a stabili formulele de substituţie înlocuim (9) în (8).

Aplicând convenţia de notare a argumentului „timp normat” folosită în secţiunea 1, rezultă succesiv:

12

h u[t]y[t 1] y[t] h u[t 1]

h u[t] u[t 1]

, tT

respectiv

t

t t t1

t t2

h {u[t]}{y[t 1]} {y[t]} h {u[t 1]}

h {u[t]} {u[t 1]}

T

T T T

T T

▯▮

12

h u(z)(z 1)y(z) h zu(z)

h (1 z)u(z)

. (10)

În consecinţă, pentru aproximarea comportării unui ET-I cu funcţia de transfer s1)s(H , se pot folosi un sistem în

timp discret cu orientarea u(z) y(z) şi funcţia de transfer

(MT)

(MDA)

(MDR)

1z1zh

1zzh1z

h

)z(u)z(y)z(H

21

. (11)

Având în vedere remarca privitoare la tipul operaţiilor care apar în schema bloc din Fig.12 şi omiţând problema

tehnică a iniţializării, în locul schemei din Fig.12 se consideră schema din Fig.14 în care blocul integrator a fost

înlocuit cu un bloc având funcţia de transfer (18).

x H(z)

A

uB

y D

Ců

Fig.14. Schemă bloc asociată folosirii formulei (11)

Din punct de vedere formal problema înlocuirii revine la substituirea lui s1 prin:

(MT)

(MDA)

(MDR)

1z1zh

1zzh1z

h

s1

21

(12)


Pentru a evidenţia că este vorba de aproximare, în schema din Fig.14 intrarea blocului cu funcţia de transfer H(z) s-a

notat cu ů.

În concluzie, aplicarea metodei pentru discretizarea prin aproximare constă în alegerea uneia dintre cele trei formule

comasate în (13) şi efectuarea substituţiei corespunzătoare în funcţia de transfer a sistemului în timp continuu care

trebuie discretizat.

Exemplu: i) Să se determine modelul sistemului în timp discret asociat prin metoda dreptunghiului

avansată sistemului în timp continuu )t(a3)t(u2)t(u5 (c). ii) Să se determine funcţia de transfer a

sistemului în timp discret asociat prin metoda dreptunghiului retardată algoritmului de reglare redat de

funcţia de transfer 2

1H(s)s 2s 5

(d). În ambele cazuri pasul de discretizare a timpului este h.

Soluţie: i) Sistemului îi corespunde funcţia de transfer

s125

s13

2s53)s(H

, iar în conformitate cu

(19) rezultă 1

1zhz

s1 z5h25

h35z)h25(

hz3

1zhz25

1zhz3

)s(H)z(H

. Întrucât (z)a(z)uH(z) , avem

15z2h53h

(z)a(z)u

, respectiv (z)a3h(z)u5z(z)u2h)(5 1 . În consecinţă modelul în timp discret

este [t]2h5

3h1][t2h5

5[t] auu

(c').

ii) De data aceasta se rescrie H(s) sub forma

2

2

s15

s121

s1

)s(H

, astfel că

221

22

2

2

2

2

1zh

s1 z)h5h21(z)h1(21

zh

)1z(h5

1zh21

)1z(h

)s(H)z(H

(d ').

Rezumat: În cazul aplicării metodei de discretizare prin aproximare (în varianta cunoscută sub denumirea

„metoda substituţiei”) unui sistemului în timp continuu fără timp mort având funcţia de transfer H(s),

pasul de discretizare a timpului fiind h, rezultatul se obţine substituind în expresia lui H(s) pe s1 cu una

dintre expresiile din (13). Rezultatul poate fi utilizat pentru a stabili apoi modele în domeniul timp sub

formă de ecuaţii recursive.

Pentru exemplul dat sistemelor în timp continuu (c) şi (d), reprezentând procesul P din Fig.8, li se

asociază, pentru un pas de discretizare a timpului h sistemele în timp discret (c') şi (d') reprezentând blocul

P din Fig.10.


Notă: Se ştie că pentru sistemele în timp continuu caracterul integrator este asociat cu prezenţa polului p =

0, iar caracterul derivator cu cea a zeroului z = 0. Se observă că potrivit relaţiilor (12) polului p = 0 din

cazul sistemelor în timp continuu îi corespunde pentru sistemele în timp discret polul z = 1. La fel, zeroului

z = 0 din cazul sistemelor în timp continuu îi corespunde în timp discret zeroul z = 1. Așadar, pentru STD

caracterul integrator este asociat cu prezenţa polului p = 1, iar caracterul derivator cu cea a zeroului z = 1.

Aplicând 8) metoda de discretizare prin aproximare prezentată pentru sistemele în timp continuu cu funcţiile de transfer

01

01asabsb)s(H

(13)

şi

012

2

012

2

asasabsbsb)s(H

(14)

se obţin sisteme în timp discret cu funcţiile de transfer

10

101

z1z)z(H

(15)

şi

20

11

20

112

zz1zz)z(H

, (16)

respectiv cu modelele intrare – ieşire în domeniul timp discret ]1t[u]t[u]1t[y]t[y 0101 (17)

şi ]2t[u]1t[u]t[u]2t[y]1t[y]t[y 012012 (18)

Formulele de legătură între coeficienţii din relaţiile (13) şi (14) în cazul aplicării MDR, MDA şi MT sunt următoarele:

01

01asabsb)s(H

1α 0α 2β 1β 0β

(15), (17) MDR -

110

aaha -

11

ab

110

abhb

(15), (17) MDA -

101

ahaa

- 1010

ahabhb

101

ahab

(15), (17) MT -

10

10

a2ha

a2ha

-

10

10

a2ha

b2hb

10

10

a2ha

b2hb

012

2

012

2asasa

bsbsb

)s(H

1α 0α 2β 1β 0β

8 Partea scrisă cu roşu nu apare ca subiect de examen. Oricare dintre cazurile din tabel se poate obţine în mod direct pe baza rezumatului care precede partea scrisă cu roşu.


(15), (17) MDR 2

21a

a2ha 2

212

0a

ahaha 2

2ab

2

21a

b2hb 2

212

0a

bhbhb

(15), (18) MDA 21

20

21ahaha

a2ha

212

0

2ahaha

a

21

20

212

0

ahahabhbhb

212

0

21ahaha

b2hb

212

0

2ahaha

b

(15), (18) MT

212

0

22

0

a2ha

4ha

)a4

ha(2

212

0

212

0

a2ha

4ha

a2ha

4ha

212

0

212

0

a2ha

4ha

b2hb

4hb

212

0

22

0

a2ha

4ha

)b4

hb(2

212

0

212

0

a2ha

4ha

b2hb

4hb

Aceste formule permit, prin particularizare, stabilirea algoritmilor de reglare în timp discret asociabili legilor de

reglare tipizate.

Bunăoară, legii de reglare PI cu funcţia de transfer )s1

T1(1KH(s)I

R asocierea se face rescriind expresia sub

forma sT

KsTKH(s)I

RIR

. Identificând-o cu funcţia de transfer din primul tabel vom avea IR1 TKb ,

R0 Kb , I1 Ta , 0a0 etc.

4. Despre implementarea regulatoarelor numerice și jitter

Presupunem că regulatorul numeric RN al unui sistem de reglare numerică se obține prin discretizarea cu

MDR și pasul h = 0.01 sec. a regulatorul PI cu filtrare având funcția de transfer:

1012501

02011

s.s.

(s)HR .

Modelul în timp discret se obține efectuând substituția 1

0101z-.

s . Rezultă

20214080

2015080

2 .z.z.z-.

).)(z(z).(z-.(z)HRN

, (1)

respectiv algoritmul de reglare

][0.2-][1.2][0.4-][][ 212180 tctctata.tc , (2)

despre care s-a discutat și în exemplul de la sfârșitul secțiunii 2 C) din § 2.3.

În mod obișnuit un algoritm de reglare numerică, cum este algoritmul (2), este proiectat (sintetizat) în

ipoteza că se implementează în timp real ca un task periodic ale cărui instanțe se execută în cursul fiecărui pas h de

discretizare a timpului , )[ hth,th , pe un subinterval de timp )[][ hth,thhth,th . Principalele operații

care trebuie efectuate în intervalul )[ hth,th sunt: i) achiziționarea valorii y[t] de la procesul condus, prin

intermediul CAN, ii) calcularea erorii de reglare a[t]=w[t]-y[t], iar după aceea calcularea cu relația (2) a valorii


curente c[t] a mărimii de comandă, iii) transmiterea valorii c[t] a mărimii de comandă, prin intermediul CNA spre

procesul condus.

Nerespectarea în implementare a ipotezei menționate (neadecvarea implementării la ipotezele de proiectare

ale regulatorului) poate compromite în diferite moduri performanțele sistemului de reglare. Aceasta înseamnă că

pentru reușita implementării în proiectarea algoritmului de reglare trebuie să se țină seamă de modul de

implementare și invers, în implementare să se respecte ipotezele pe care s-a bazat proiectarea.

Bunăoară, în situațiile în care resursele de procesare folosite pentru implementarea RN (1) pe baza

algoritmului de reglare (2) sunt limitate, este probabil ca execuția algoritmului de reglare să nu se mai poate efectua

exact în intervalul ][ hth,thI . Sunt posibile diferite situații: decalarea intervalului în timp I, modificarea

lungimii intervalului I, amplasarea momentului hth în cursul următorului pas de discretizare a timpului,

neefectuarea în ordine a operațiilor i), ii) și iii) etc. Toate aceste abateri sunt denumite, la fel ca și în electronica, prin

termenul de jitter 9). Efectele jitterului constau în degradarea valorilor indicatorilor de performanță ale sistemului de

reglare (creșterea suprareglajului, creșterea timpului de reglare etc.) și pot ajunge până la pierderea stabilității

sistemului de reglare.

Din punct de vedere matematic degradarea performanțelor poate fi explicată observând că datorită jitterului

utilizarea algoritmului de reglare (2) nu mai corespunde RN (1) calculat. Astfel, dacă sistemul de reglare rămâne în

regim liniar algoritmul de reglare efectiv implementat va corespunde unei alte funcții de transfer decât (1), iar dacă

sistemul ajunge în regim de funcționare neliniar performanțele se pot modifica în mod complet neașteptat.

Având în vedere aspectele prezentate înseamnă că la proiectarea unui RN trebuie să se țină seamă, prin

intermediul programatorului de taskuri, și de resursele care se vor folosi la implementare și invers, să se folosească

resurse adecvate complexității calculului (co-design).

9) În electronică și telecomunicații se utilizează în mod curent termenul „jitter” pentru a denumi fluctuațiile care apar în durata

tactului folosit în cursul transmisiei. Astfel de fluctuații reprezintă perturbații parazite care modifică brutal caracteristicile

semnalelor transmise (atât spectrul de fază, cât și spectrul de amplitudine) și performanțele sistemului de transmisie.

http://en.wikipedia.org/wiki/Jitter, http://de.wikipedia.org/wiki/Jitter.

Date post:	16-Oct-2019
Category:	Documents
Upload:	others
View:	105 times
Download:	2 times

§ 2.5 Discretizarea sistemelor în timp continuu - aut.upt.ro · Dragomir, T.L., Teoria...

Documents