Post on 05-Sep-2019
transcript
T R
A I A
N
3
Funcţia sinus sin : 1,1 este periodică (perioada principală T=2 ), impară, mărginită.
Restricția sin : , 1,12 2
este bijectivă și inversa ei este arcsin : 1,1 ,
2 2
Graficul
Funcţia arcsinus
arcsin : 1,1 ,2 2
este impară, mărginită, bijectivă, strict crescătoare.
arcsin sin , ,2 2
x x x
sin sin , 1,1arc x x x
arcsin arcsinx x
Tabel de valori:
Graficul
Funcţia cosinus cos : 1,1 este periodică (perioada principală T=2 ), pară, mărginită.
T R
A I A
N
4
Restricția cos : 0, 1,1 este bijectivă și inversa ei este arccos : 1,1 0,
Graficul
Funcţia arccosinus arccos : 1,1 0, mărginită, bijectivă, strict decrescătoare.
arccos cos , 0,x x x
cos arccos , 1,1x x x
arccos arccosx x
Tabel de valori:
Graficul
Funcţia tangentă
tg: \ ;2
k k
este periodică (perioada principală T= ), impară, nemărginită.
Restricția tg : ,2 2
este bijectivă și inversa ei este : ,2 2
arctg
Graficul
T R
A I A
N
5
Funcţia arctangentă
: ,2 2
arctg
este impară, mărginită, bijectivă, strict crescătoare.
arc , ,2 2
tg tgx x x
,tg arctgx x x
arc arctg x tgx
Tabel de valori:
Grafic
T R
A I A
N
6
Observație: graficele sunt simetrice față de prima bisectoare
Funcţia cotangentă ctg: \ ; .k k este periodică (perioada principală T= ), impară, nemărginită.
Restricția ctg : 0, este bijectivă și inversa ei este : 0,arcctg
Graficul
Funcţia arccotangentă
: 0,arcctg mărginită, bijectivă, strict descrescătoare.
arc , 0,ctg ctgx x x
,ctg arcctgx x x
arc arcctg x ctgx
T R
A I A
N
7
Tabel de valori:
1 0
Grafic
Observație: graficele sunt simetrice față de prima bisectoare
T R
A I A
N
8
Ecuații:
. .: 1,1
. .: 1,1
sin , ,2 2
sin
, ,2 2
cos , 0,arccos
, 0,
, ,2 2
, ,2 2
, 0,
, 0,
C E x
C E x
x a a
arc x a
x a
x a ax a
x a
x tga a
arctgx a
x a
x ctga aarctgx a
x a
Ecuații trigonometrice fundamentale:
sin 1 22
sin 0
sin 1 22
cos 1 2
cos 02
cos 1 2
x x k
x x k
x x k
x x k
x x k
x x k
1 arcsin / , 1,1sin
, 1,1
arccos 2 / , 1,1sin
, 1,1
/ , cos 0
/ , sin 0
kx a k k a
x ax a
x a k k ax a
x a
tgx a x arctga k k x
ctgx a x arcctga k k x
sin sin 2 2 1
cos cos 2 2
x y x y k sau x y k
x y x y k sau x y k
tgx tgy x y k
ctgx ctgy x y k
Pentru ecuaţiile de tipul sin cosa x b x c înmulţim egalitatea cu2 2
1
a b şi înlocuim
numerele obţinute cu sin respectiv cos, transformând apoi în formula sin sau
cos
T R
A I A
N
9
Ecuația se mai poate rezolva folosind identitatea fundamentală sau inlocuirea în funcție de 2
xtg
Exerciţii:
1. Calculați:
a) ) sin 0i arc ) sin1ii arc 1
) sin2
iii arc
b) 1
) sin2
i arc 3
) sin2
ii arc 1
) sin2
iii arc
c) 2
) sin2
i arc
3
) sin2 3
ii arc
) sin 1iii arc
2. Calculați:
a) ) arccos0i ) arccos1ii 1
) arccos2
iii
b) 1
) arccos2
i 3
) arccos2
ii 1
) arccos2
iii
c) 2
) arccos2
i
3
) arccos2 3
ii
) arccos 1iii
3. Calculați:
a) ) arc 0i tg ) arc 1ii tg 1
) arc3
iii tg
b) ) arc 3i tg ) arc 1ii tg 3
) arc3
iii tg
c) ) arc 3i tg 5
) arc15
ii tg
18
) arc6
iii tg
4. Calculați:
a) ) arc 0i ctg ) arc 1ii ctg 1
) arc3
iii ctg
b) ) arc 3i ctg ) arc 1ii ctg 3
) arc3
iii ctg
c) ) arc 3i ctg 7
) arc21
ii ctg
15
) arc5
iii ctg
5. Calculați:
a) ) sin arcsin 0i ) sin sin1ii arc 1
) sin sin2
iii arc
T R
A I A
N
10
b) 1
) sin sin2
i arc 3
) sin sin2
ii arc 1
) sin sin2
iii arc
c) 2
) sin sin2
i arc
3
) sin sin2 3
ii arc
) sin sin 1iii arc
6. Calculați:
a) ) cosarccos0i ) cosarccos1ii 1
) cosarccos2
iii
b) 1
) cosarccos2
i 3
) cosarccos2
ii 1
)cosarccos2
iii
c) 2
) cosarccos2
i
3
) cosarccos2 3
ii
) cosarccos 1iii
7. Calculați:
a) ) arc 0i tg tg ) arc 1ii tg tg 1
) arc3
iii tg tg
b) ) arc 3i tg tg ) arc 1ii tg tg 3
) arc3
iii tg tg
c) ) arc 3i tg tg 5
) arc15
ii tg tg
18
) arc6
iii tg tg
8. Calculați:
a) ) arc 0i ctg ctg ) arc 1ii ctg ctg 1
) arc3
iii ctg ctg
b) ) arc 3i ctg ctg ) arc 1ii ctg ctg 3
) arc3
iii ctg ctg
c) ) arc 3i ctg ctg 7
) arc21
ii ctg ctg
15
) arc5
iii ctg ctg
9. Calculați:
a) 1
) sin arccos2
i 2
) sin arccos2
ii 3
) sin arccos2
iii
b) ) sin 1i arctg 1
) sin3
ii arctg
) sin 3iii arctg
c) ) sin 1i arcctg 1
) sin3
ii arcctg ) sin 3iii arcctg
10. Calculați:
a) 1
) cosarcsin2
i 2
) cosarcsin2
ii 3
) cosarcsin2
iii
T R
A I A
N
11
b) ) cos 1i arctg 1
) cos3
ii arctg
) cos 3iii arctg
c) ) cos 1i arcctg 1
) cos3
ii arcctg ) cos 3iii arcctg
11. Calculați:
a) 1
) arcsin2
i tg
2
) arcsin2
ii tg
3
) arcsin2
iii tg
b) ) arccos1i tg 1
) arccos2
ii tg 1
) arccos2
iii tg
c) ) 1i tgarcctg 1
)3
ii tgarcctg ) 3iii tgarcctg
12. Calculați:
a) 1
) arcsin2
i ctg
2
) arcsin2
ii ctg
3
) arcsin2
iii ctg
b) ) arccos1i ctg 1
) arccos2
ii ctg 1
) arccos2
iii ctg
c) ) 1i ctgarctg 1
)3
ii ctgarctg ) 3iii ctgarctg
13. Calculați:
a) 3
) sin arccos5
i 4
) sin arccos5
ii 5
) sin arccos13
iii
b) 1
) sin2
i arctg 1
) sin3
ii arctg ) sin 5iii arctg
c) 1
) sin2
i arcctg 1
) sin5
ii arcctg ) sin 2iii arcctg
14. Calculați:
a) 4
) cosarcsin5
i 3
) cosarcsin5
ii 12
) cosarcsin13
iii
b) 1
) cos2
i arctg 1
) cos3
ii arctg ) cos 2iii arctg
c) ) cos 2i arcctg 1
) cos4
ii arcctg ) cos 2iii arcctg
15. Calculați:
a) 3
) arcsin5
i tg 4
) arcsin5
ii tg 12
) arcsin13
iii tg
b) 3
) arccos5
i tg 4
) arccos5
ii tg 5
) arccos12
iii tg
c) ) 2i tgarcctg 1
)2
ii tgarcctg ) 5iii tgarcctg
T R
A I A
N
12
16. Calculați:
a) 3
) arcsin5
i ctg 4
) arcsin5
ii ctg 5
) arcsin13
iii ctg
b) 4
) arccos5
i ctg 3
) arccos5
ii ctg 12
) arccos13
iii ctg
c) ) 2i ctgarctg 1
)2
ii ctgarctg ) 6iii ctgarctg
17. Calculați:
a) 3 4
) sin arcsin arcsin5 5
i
5 12
) sin arccos arccos13 13
ii
b) 1
) sin 2arcsin3
i
1
) sin 3arcsin4
ii
c) 3
) sin 2arccos4
i
4
) sin 3arccos5
ii
18. Calculați:
a) 3 4
) cos arccos arccos5 5
i
5 12
) cos arccos arccos13 13
ii
b) 3
) cos 2arccos4
i
4
) cos 3arccos5
ii
c) 1
) cos 2arcsin3
i
1
) cos 3arcsin4
ii
19. Determinați o formulă algebrică și precizați domeniul de existență pentru fiecare expresie : a) ) sin arcsini x ) sin arccosii x ) sin arciii tgx
b) ) sin arci ctgx ) sin sinii arc x ) sin cosiii arc x
c) ) arcsini tgx ) arcsinii ctgx )iii
20. Determinați o formulă algebrică și precizați domeniul de existență pentru fiecare expresie : a) ) cos arcsini x ) cos arccosii x ) cos arciii tgx
b) ) cos arci ctgx ) cos sinii arc x ) cos cosiii arc x
c) ) arccosi tgx ) arccosii ctgx )iii
21. Determinați o formulă algebrică și precizați domeniul de existență pentru fiecare expresie : a) ) arcsini tg x ) arccosii tg x ) arciii tg tgx
b) ) arci tg ctgx ) sinii arctg x ) cosiii arctg x
c) ) arci tg tgx ) arcii tg ctgx )iii
22. Determinați o formulă algebrică și precizați domeniul de existență pentru fiecare expresie : a) ) arcsini ctg x ) arccosii ctg x ) arciii ctg tgx
T R
A I A
N
13
b) ) arci ctg ctgx ) sinii arcctg x ) cosiii arcctg x
c) ) arci ctg tgx ) arcii ctg ctgx )iii
23. Arătați că :
a) 3 3
) arcsin arccos5 5 2
i
5 12
) arcsin arcsin13 13 2
i
b) 12 12
) arcsin arccos13 13 2
i
4 3
) arccos arccos5 5 2
i
c) 1 1
) arcsin arccos2 2 2
i
1 2 2
) arccos arccos3 3 2
i
24. Arătați că :
a) arcsin arccos , 1,12
x x x
b) arc arc ,2
tgx ctgx x
c) 2 *2
1arc arc ,
2tgx tg x
x
25. Rezolvaţi ecuaţiile: a) ) 2 sini arc x ) 6 sin 1ii arc x ) 4 sin 2 1iii arc x
b) ) 4arccosi x ) 3arccos 1ii x ) 4arccos 2 1iii x
c) ) 4arci tgx ) 3arcc 1ii tg x ) 6arc 4 1iii tg x
26. Rezolvaţi ecuaţiile: a) 2) 2 sin 4 12 10i arc x x 2) 6 sin 5 5,5ii arc x x
b) 2 2) 4arccos 3 2
2i x x
1) 2012arccos2 0xii
c) 2) 3arc 4 3 3i tg x x 2) 6arcc 5 6 3ii tg x x
27. Rezolvaţi ecuaţiile:
a) ) sin 0,5i x 2
) sin2
ii x 3
) sin2
iii x
b) 1
) sin2
i x 1
) sin2
ii x 3
) sin2 3
iii x
c) 1
) sin5
i x ) sin 0,1ii x 3
) sin2
iii x
28. Rezolvaţi ecuaţiile:
a) ) sin 2 0,5i x 2
) sin32
ii x 4 3
) sin5 2 3
xiii
b) 1
) sin2 2
xi
1) sin
6 2
xii
3
) sin 2,52
iii x
T R
A I A
N
14
c) 1
) sin 24
i x ) sin 0,22
xii
5) sin
3 2
xiii
29. Rezolvaţi ecuaţiile:
a) ) sin 0,52
i x
2) sin
3 2ii x
3
) sin4 2
iii x
b) 1
) sin5 2
i x
1) sin 2
6 2ii x
2 3
) sin3 2 3
iii x
c) 1
) sin12 3
i x
) sin 2 0,4
12ii x
10
) sin5 3 3
xiii
30. Rezolvaţi ecuaţiile: a) ) sin sin 2i x x ) sin sin3ii x x ) sin sin 4iii x x
b) ) sin 2 sin3i x x ) sin3 sin 4ii x x ) sin 1 sin 2 1iii x x
c) ) sin sin 32
ii x x
) sin sin 2
4iii x x
31. Rezolvaţi ecuaţiile: a) 2) sin sin 0i x x 2) sin sin 0ii x x 2) 2sin 3sin 0iii x x
b) 2) 2sin sin 0i x x 2) 2sin sin 0ii x x 2) 2sin 3sin 0iii x x
c) 2)2sin 2 sin 0i x x 2) 2sin 2 sin 0ii x x 2 1) sin 0
2iii x
32. Rezolvaţi ecuaţiile: a) 2) 2sin 3sin 1 0i x x 2) 2sin 3sin 1 0ii x x
b) 2) 2sin 2 2 sin 2 0i x x 2) 2sin 2 3 sin 3 0ii x x
c) 2)4sin 2 2 3 sin 6 0i x x 2) 4sin 2 2 3 sin 6 0ii x x
33. Rezolvaţi ecuaţiile:
a) ) cos 0,5i x 2
) cos2
ii x 3
) cos2
iii x
b) 1
) cos2
i x 1
) cos2
ii x 3
) cos2 3
iii x
c) 1
) cos5
i x ) cos 0,1ii x 3
) cos2
iii x
34. Rezolvaţi ecuaţiile:
a) ) cos2 0,5i x 2
) cos32
ii x 4 3
) cos5 2 3
xiii
b) 1
) cos2 2
xi
1) cos
6 2
xii
3
) cos 2,52
iii x
c) 1
) cos24
i x ) cos 0,22
xii
5) cos
3 2
xiii
T R
A I A
N
15
35. Rezolvaţi ecuaţiile:
a) ) cos 0,52
i x
2) cos
3 2ii x
3
) cos4 2
iii x
b) 1
) cos5 2
i x
1) cos 2
6 2ii x
2 3
) cos3 2 3
iii x
c) 1
) cos12 3
i x
) cos 2 0,4
12ii x
10
) cos5 3 3
xiii
36. Rezolvaţi ecuaţiile: a) )cos cos2i x x ) cos cos3ii x x ) cos cos4iii x x
b) ) cos2 cos3i x x ) cos3 cos4ii x x ) cos 1 cos 2 1iii x x
c) ) cos cos 32
ii x x
) cos cos 2
4iii x x
37. Rezolvaţi ecuaţiile: a) 2) cos cos 0i x x 2) cos cos 0ii x x 2) 2cos 3 cos 0iii x x
b) 2) 2cos cos 0i x x 2) 2cos cos 0ii x x 2) 2cos 3 cos 0iii x x
c) 2)2cos 2 cos 0i x x 2) 2cos 2 cos 0ii x x 2 1) cos 0
2iii x
38. Rezolvaţi ecuaţiile: a) 2) 2cos 3cos 1 0i x x 2) 2cos 3cos 1 0ii x x
b) 2) 2cos 2 2 cos 2 0i x x 2) 2cos 2 3 cos 3 0ii x x
c) 2)4cos 2 2 3 cos 6 0i x x 2) 4cos 2 2 3 cos 6 0ii x x
39. Rezolvaţi ecuaţiile:
a) 1
)3
i tgx ) 1ii tgx ) 3iii tgx
b) 3
)3
i tgx ) 1ii tgx ) 3iii tgx
c) ) 0,1i tgx 2
)4
ii tgx 3
)2
iii tgx
40. Rezolvaţi ecuaţiile:
a) 1
) 23
i tg x ) 3 1ii tg x ) 2 3iii tg x
b) 3) 1
3i tg x
2) 1
3ii tg x
2 3) 3
4
xiii tg
c) 3
)3 3
i tg x
) 1
5ii tg x
3
) 34
xiii tg
41. Rezolvaţi ecuaţiile: a) ) 2i tg x tgx ) 3ii tg x tgx ) 2 3iii tg x tg x
T R
A I A
N
16
b) ) 1 2 1i tg x tg x 2) 1
3ii tg x tg x
2 3)
4
xiii tg tgx
c) ) 23 2
i tg x tg x
)
5 3ii tg x tg x
42. Rezolvaţi ecuaţiile: a) 2) 0i tg x tgx 2) 0ii tg x tgx 2) 3 0iii tg x tgx
b) 2) 2 0i tg x tgx 2) 2 0ii tg x tgx 2) 3 0iii tg x tgx
c) 2) 3 0i tg x tgx 2) 3 0ii tg x tgx 2) 1 0iii tg x
43. Rezolvaţi ecuaţiile:
a) 2) 3 1 3 0i tg x tgx 2) 3 1 3 0ii tg x tgx
b) 2) 3 3 1 1 0i tg x tgx 2) 3 3 1 1 0ii tg x tgx
c) 2) 3 4 3 3 0i tg x tgx 2) 3 2 3 3 0ii tg x tgx
44. Rezolvaţi ecuaţiile:
a) 1
)3
i ctgx ) 1ii ctgx ) 3iii ctgx
b) 3
)3
i ctgx ) 1ii ctgx ) 3iii ctgx
c) ) 0,1i ctgx 2
)4
ii ctgx 3
)2
iii ctgx
45. Rezolvaţi ecuaţiile:
a) 1
) 23
i ctg x ) 3 1ii ctg x ) 2 3iii ctg x
b) 3) 1
3i ctg x
2) 1
3ii ctg x
2 3) 3
4
xiii ctg
c) 3
)3 3
i ctg x
) 1
5ii ctg x
3
) 34
xiii ctg
46. Rezolvaţi ecuaţiile: a) ) 2i ctg x ctgx ) 3ii ctg x ctgx ) 2 3iii ctg x ctg x
b) ) 1 2 1i ctg x ctg x 2) 1
3ii ctg x ctg x
2 3)
4
xiii ctg ctgx
c) ) 23 2
i ctg x ctg x
)
5 3ii ctg x ctg x
47. Rezolvaţi ecuaţiile: a) 2) 0i ctg x ctgx 2) 0ii ctg x ctgx 2) 3 0iii ctg x ctgx
b) 2) 2 0i ctg x ctgx 2) 2 0ii ctg x ctgx 2) 3 0iii ctg x ctgx
c) 2) 3 0i ctg x ctgx 2) 3 0ii ctg x ctgx 2) 1 0iii ctg x
T R
A I A
N
17
48. Rezolvaţi ecuaţiile:
a) 2) 3 1 3 0i ctg x ctgx 2) 3 1 3 0ii ctg x ctgx
b) 2) 3 3 1 1 0i ctg x ctgx 2) 3 3 1 1 0ii ctg x ctgx
c) 2) 3 4 3 3 0i ctg x ctgx 2) 3 2 3 3 0ii ctg x ctgx
49. Rezolvaţi ecuaţiile: a) )sin 2 cosi x x )sin 5 cos 2ii x x )sin 4 cos3iii x x
b) )sin 2 1 cosi x x )cos 2 1 sin 5ii x x )sin 4 cos 3 1iii x x
c) 1)sin 2 1 cos
2i x x
)sin 5 1 cos 23
ii x x
)cos 3 sin 2 16
iii x x
50. Rezolvaţi ecuaţiile: a) 2 2)2sin cos 3sin 1 0i x x x 2) sin cos 0ii x x
b) 2 2)sin 14cos 11sin 10 0i x x x 2) 2cos 5 7sinii x x
c) 2 2)5sin 2cos 3sin cos 0i x x x 2 2) sin cos cos 0ii x x x
51. Rezolvaţi ecuaţiile: a) )cos2 cos 1i x x ) cos2 3cos 2 0ii x x
b) )cos2 sin 0i x x ) cos2 sin 1 0ii x x
c) 2)cos2 sin 1 0i x x 2) 2cos2 2sin 1 0ii x x
52. Rezolvaţi ecuaţiile: a) )sin cos 0i x x ) sin cos 0ii x x
b) )cos 3sin 0i x x ) 3sin cos 0ii x x
c) )3sin 3cos 0i x x ) 33sin cos 0ii x x
53. Rezolvaţi ecuaţiile: a) )sin cos 1i x x ) sin cos 1ii x x
b) )cos 3sin 1i x x ) 3sin cos 1ii x x
c) )sin 3cos 1i x x ) 33sin cos 3ii x x
54. Rezolvaţi ecuaţiile: a) 2sin 2 2sin 2cos 1 0x x x
b) sin 2 2sin cos 1 0x x x
c) sin 2 cos2 sin cos 1 0x x x x
55. Rezolvaţi ecuaţiile: a) 2 2sin 4sin 2 7cos 0xx x
b) 2 23sin sin cos cos 2xx x x
c) 2cos 3sin cos 1x x x
56. Rezolvaţi ecuaţiile:
a) 2 2 2 3
2sin sin 2 sin 3x x x
b) 2 2 2 32 6 10
2cos cos cosx x x
T R
A I A
N
18
c) 2 2 2 26 cos 3 cos 4sin sin x xx x
57. Rezolvaţi ecuaţiile: a) 3 3 32 3sin sin sin 3sin sin 2 sin 3x x x x x x
b) 3 3 32 3cos cos cos 3cos cos 2 cos3x x x x x x
c) 3 3 32 4sin cos cos 3sin cos 2 cos 4x x x x x x