1

I. NOŢIUNI DE TEORIA ELASTICITĂŢII

I.1. Introducere

Teoria elasticităţii are ca obiect determinarea tensiunilor şi deformaţiilor, cu alte cuvinte a

stării de solicitare formată din starea de tensiune şi starea de deformaţie, care se produc în

interiorul elementelor de rezistenţă aflate sub acţiunea încărcărilor.

O clasificare a metodelor utilizate pentru determinarea stării de solicitare din elementele de

rezistenţă este prezentată schematic în fig. I.1.

Fig. I.1

În principiu, aplicarea teoriei elasticităţii poate rezolva orice stare de tensiune şi deformaţie, în

realitate însă, integrarea ecuaţiilor cu derivate parţiale ale teoriei elasticităţii conduce, chiar şi

pentru cazuri particulare, la complicaţii matematice mari.

Teoria elasticităţii stă la baza unor discipline dezvoltate ulterior, respectiv are legături strânse

cu discipline cum ar fi:

rezistenţa materialelor,

mecanica ruperii,

analiza experimentală a tensiunilor,

metode numerice de determinare a stării de solicitare,

termoelasticitate,

ştiinţa materialelor.

2

I.2. Teoria tensiunilor

I.2.1. Ecuaţiile diferenţiale de echilibru ale lui Navier-Cauchy

Se consideră un corp solid deformabil, secţionat printr-un punct din interiorul lui cu ajutorul

unui plan oarecare (fig. I.2). În planul secţiunii, în jurul punctului, se izolează un element de

suprafaţă cu aria dA, orientat spaţial prin normala exterioară n care face unghiurile ,, cu

axele sistemului xOyz.

Tensiunea totală np va avea proiecţiile pe axele de coordonate notate cu nznynx p,p,p . O altă

variantă de descompunere a tensiunii totale np este reprezentată prin componentele normală n

şi tangenţială n la planul secţiunii.

Fig. I.2

Pentru cazul particular în care planul de secţionare este luat perpendicular pe una din axele de

coordonate, de exemplu pe axa x, normala n va fi orientată după această axă, respectiv x, iar

proiecţiile tensiunii totale np vor fi xzxyxx ppp ,, . Se observă că tensiunea xxp reprezintă o

tensiune normală, notată cu x . Celelalte două componente reprezintă tensiunile tangenţiale,

notate cu xzxy , , ce acţionează în secţiunea perpendiculară pe axa de coordonate x , şi sunt

paralele cu axele de coordonate y , respectiv z . În mod analog, construind o secţiune

perpendiculară pe axa y (respectiv z ) se introduc şi celelalte componente yzyyx ,, (respectiv

zzyzx ,, ).

3

Pentru studiul variaţiei stării de tensiune dintr-un punct M al corpului solicitat (reprezentat în

fig. I.2) la trecerea într-un punct infinit apropiat, se decupează din jurul punctului M un

paralelipiped de laturi infinit mici dz,dy,dx . Feţele acestui paralelipiped cu muchiile

MCMBMA ,, se aleg drept plane de coordonate (reprezentarea elementului de volum, cu

tensiunile care acţionează pe feţele lui, este dată în fig. I.3).

Fig. I.3

Asupra elementului de volum acţionază două tipuri de forţe elementare:

forţele superficiale date de produsul dintre tensiuni, considerate uniform distribuite pe

feţele elementului de volum, şi ariile suprafeţelor elementare; astfel aceste forţe superficiale

lucrează în centrele de greutate ale suprafeţelor.

forţele masice (forţe de volum) de tipul forţelor gravitaţionale, ale căror componente care

acţionează asupra unităţii de volum se notează cu ZYX ,, .

Dacă solidul este în echilibru static, pentru volumul elementar trebuie să fie satisfăcute şase

ecuaţii scalare de echilibru:

0M0Z

0M0Y

0M0X

z

y

x

(I.1)

4

Din prima ecuaţie de echilibru se obţine:

0dzdydxXdydxdydxdzz

dzdxdzdxdyy

dzdydzdydxx

0X

zxzx

zx

yxyx

yxxx

x

(I.2)

unde se reduc termenii asemenea şi se simplifică cu 0dVdzdydx . Procedând în mod analog

şi pentru celelalte două ecuaţii de proiecţii de forţe se obţin ecuaţiile:

0Zzyx

0Yzyx

0Xzyx

zyzxz

zyyxy

zxyxx

(I.3)

denumite ecuaţiile diferenţiale de echilibru ale lui Navier-Cauchy.

În continuare se scriu ecuaţiile de echilibru de momente:

0Mx , de unde rezultă:

.02

dzdzdydxY

2

dzdzdydxZ

2

dzdzdydx

x2

dydzdydx

x

4.I2

dydzdy

2

dzdzdydydzdxdy

ydzdydxdz

z

2

dzdzdx

2

dzdzdxdy

y2

dydydx

2

dydydxdz

z

xyxy

xzxz

xzxyyz

yzzy

zy

yy

yzz

z

În ecuația (I.4) se neglijează infiniţii mici de ordinul 4 şi se reduc termenii asemenea, rezultând:

zyyz (I.5)

egalitatea fiind cunoscută ca legea dualităţii tensiunilor tangenţiale. Din ultimele două ecuaţii de

momente se obțin relațiile:

zxxzyxxy ; (I.6)

Ecuațiile de echilibru static conduc la trei ecuaţii diferenţiale care conţin şase funcţii

necunoscute, tensiunile: xzzxzyyzyxxyzyx ,,,,, .

În concluzie, problema teoriei elasticităţii este de trei ori static nedeterminată, rezolvarea ei

presupunând analiza deformaţiilor care se produc în corp şi utilizarea relaţiilor dintre deformaţii şi

tensiuni, care exprimă proprietăţile fizice ale solidului elastic.

5

I.2.2. Tensiuni în secţiuni înclinate. Tensorul tensiunilor.

Starea de tensiune dintr-un punct al unui corp solid deformabil solicitat este reprezentată de

tensiunile normale şi tangenţiale care acționează pe infinitatea de elemente de suprafaţă trec prin

punctul respectiv. Se poate demonstra că starea de tensiune dintr-un punct presupune cunoaşterea

tensiunilor care acționează pe trei elemente de suprafaţă ortogonale.

În acest scop, în punctul considerat M, se decupează un volum infinit mic sub forma unei

piramide triunghiulare elementare MABC (fig. I.4). Pe feţele cuprinse în planele de coordonate

sunt cunoscute tensiunile normale şi tangenţiale, urmând a se determina tensiunile care lucrează

pe suprafaţa înclinată ABC.

Fig. I.4

În fig. I.4 s-au reprezentat următoarele:

,,n este normala exterioară la faţa înclinată;

dA este aria feţei înclinate, ariile celorlalte feţe se determină proiectând dA pe cele trei

plane de coordonate

.cos,cos

cos,cos

cos,cos

dAzndAdydx2

1dA

dAyndAdzdx2

1dA

dAxndAdzdy2

1dA

z

y

x

(I.7)

6

np este tensiunea totală care lucrează pe suprafaţa de arie dA, ale cărei componente după

axele de coordonate sunt nznynx ppp ,, ; componentele după normala și tangenta la fața ABC sunt

nn , .

Cu aceste notaţii, pentru volumul elementar din fig. I.4, se scriu ecuaţiile de echilibru (I.1),

prima ecuație 0X conducând la:

06

dzdydxXdApdydx

2

1dzdx

2

1dzdy

2

1nxzxyxx . (I.8)

Dacă se neglijează infiniţii mici de ordinul al treilea (forţele masice 6

dzdydxX ), ţinând cont de

(I.7), relația devine:

dA0dApdAdAdA nxzxyxx :coscoscos ,

Prin scrierea și a celorlalte două ecuaţii de proiecţii de forţe, rezultă:

coscoscos

coscoscos

coscoscos

zyzxznz

zyyxyny

zxyxxnx

p

p

p

. (I.9)

Așadar, proiecţiile pe axe ale tensiunii totale sunt funcţii liniare de componentele stării de tensiune.

Între aceste proiecții avem și relația:

2nz

2ny

2nx

2n pppp . (I.10)

Pentru scrierea ecuaţiilor de momente se alege un sistem de axe paralel cu primul, având

originea în centrul G al suprafeţei înclinate dA (fig. I.5), de coordonate

3

dz

3

dy

3

dx,, . Proiecţiile

punctului G pe planele de coordonate sunt centrele de greutate ale feţelor laterale.

7

Fig. I.5

În acest alegere a sistemului de coordonate, nu toate componentele tensiunilor produc momente

faţă de axele ,,, ,, zyx ; de exemplu pentru ecuaţia de momente în raport cu axa ,z rămân diferiţi

de zero doar doi termeni (fig. I.5):

03

dxdzdy

2

1

3

dydzdx

2

10M xyyxz

, (I.11)

xyyx (I.12)

obţinându-se în final relaţia care exprimă principiul dualităţii tensiunilor tangenţiale. Din celelalte

două ecuaţii de momente rezultă relaţiile xzzxzyyz , .

În concluzie, relaţiile (I.9) permit determinarea tensiunilor care lucrează pe un element de

suprafaţă înclinat faţă de axele de coordonate, dacă se cunosc tensiunile care lucrează pe trei

elemente de suprafaţă ortogonale care trec prin punctul considerat.

Starea de tensiune dintr-un punct al unui corp solicitat, definită de tensiunile din planele de

coordonate (componentele stării de tensiune), reprezintă o mărime tensorială, denumită în

mecanica solidului deformabil tensorul tensiunilor:

zyzxz

zyyxy

zxyxx

T (I.13)

8

Fiecare coloană a tensorului este formată din componentele tensiunii totale de pe unul din

planele de coordonate, iar fiecare linie a tensorului este compusă din tensiunile paralele cu una din

axele de coordonate.

Acest tensor simetric se descompune în două componente: tensorul sferic al tensiunilor m

T

şi deviatorul tensiunilor D :

m

m

m

m

00

00

00

T ;

mzyzxz

zymxxy

zxyxmx

D (I.14)

DTTm

(I.15)

unde 3zyxm / este valoarea medie a tensiunilor normale care lucrează pe planele

de coordonate. Aşadar, starea de tensiune într-un punct dat al unui solid poate fi considerată ca

rezultatul însumării a două stări de tensiune: una reprezentând o întindere sau compresiune

triaxială uniformă, iar cea de-a doua caracterizând abaterea stării de tensiune faţă de întinderea sau

compresiunea uniformă triaxială (fig. I.6). Pentru deviatorul tensiunilor suma algebrică a

tensiunilor normale ce acţionează pe planele de coordonate este egală cu zero.

Fig. I.6

Relaţiile (I.9) sugerează şi forma analitică a condiţiilor la limită în tensiuni, adică a legăturii

dintre sarcinile exterioare aplicate şi tensiunile care lucrează pe plane paralele cu planele de

coordonate, din vecinătatea suprafeţei exterioare înclinate aparţinând solidului. Astfel, se împarte

solidul în elemente de volum (fig. I.7) şi se izolează un tetraedru elementar a cărui faţa înclinată

aparţine suprafeţei corpului. Atunci, pentru proiecţiile forţelor exterioare raportate la unitatea de

suprafaţă zyx q,q,q sunt valabile relaţiile:

9

Fig. I.7

.coscoscosq

coscoscosq

coscoscosq

zyzxzz

zyyxyy

zxyxxx

(I.16)

Observaţie. Tensiunea totală np care acţionează pe un element de suprafaţă înclinat se poate

descompune şi în perechea de tensiuni nn , , adică după normala n şi o direcţie tangentă la

secţiune. Tensiunea n se va scrie în funcţie de componentele tensiunii totale după cele trei axe.

Astfel, rezultă, utilizând şi relaţiile I.9, cele două componente:

)a9.I(p

coscos2coscos2coscos2coscoscos

cospcospcospz,ncospy,ncospx,ncosp

2n

2nn

zxyzxy2

z2

y2

x

nznynxnznynxn

10

I.2.3. Tensiuni normale principale

Revăzând relaţiile (I.9), se observă că tensiunile de pe suprafaţa înclinată ABC din fig. I.4

depind de cosinuşii directori ai normalei la această suprafaţă.

coscoscos

coscoscos

coscoscos

zyzxznz

zyyxyny

zxyxxnx

p

p

p

(I.17)

Astfel, pornind de la această observaţie, se pune problema existenţei unor suprafeţe înclinate

(din infinitatea de elemente de suprafaţă ce se pot duce prin punctul M) pe care tensiunile care

lucrează să aibă valori extreme (maxime sau minime).

În fiecare punct al unui solid deformabil există trei plane ortogonale, numite plane principale,

pe care tensiunile normale au valori extreme, numite tensiuni normale principale. Pe aceste plane

principale tensiunile tangenţiale sunt nule. Direcțiile normale la planele principale se numesc

direcţii principale.

Pentru început, se consideră cunoscută starea de tensiune din punctul M, adică este cunoscut

tensorul tensiunilor T (relaţia I.13). Admitem că elementul de volum MABC se alege astfel încât

suprafaţa înclinată ABC coincide cu unul din planele principale. În consecinţă, pe suprafaţa

înclinată lucrează numai o tensiune normală , tensiunile tangenţiale fiind nule (fig. I.8).

Fig. I.8

11

Proiecţiile tensiunii normale după cele trei axe sunt:

,cosp

cosp

cosp

nz

ny

nx

(I.18)

Se exprimă aceste proiecții ale tensiunii normale în funcţie de componentele stării de tensiune

din punctul considerat M cu relaţiile (I.17). Prin scăderea (I.18) din (I.17) se obţine:

.0coscoscos

0coscoscos

0coscoscos

zyzxz

zyyxy

zxyxx

(I.19)

cu relația cunoscută dintre cosinușii directori: .1coscoscos 222 (I.20)

Relaţiile (I.19) reprezintă un sistem liniar şi omogen cu necunoscutele cos,cos,cos .

Pentru ca sistemul să admită o soluţie diferită de cea banală, este necesar ca determinantul

sistemului să fie egal cu zero, adică:

.0

zyzxz

zyyxy

zxyxx

(I.21)

Prin dezvoltarea determinantului de ordinul trei se obţine o ecuaţie de gradul trei în tensiunea

0III 322

13 (I.22)

denumită ecuaţia caracteristică a stării de tensiune, coeficienţii reali ai acesteia reprezentând

invarianţii stării de tensiune (aceste mărimi rămân neschimbate la schimbarea sistemului de

coordonate):

23.I.const2I

.constI

.constI

zxyzxy2xyz

2zxy

2yzxzyx

zyzxz

zyyxy

zxyxx

3

2zx

2yz

2xyxzzyyx

xzx

xzz

zyz

zyy

yxy

yxx2

zyx1

Ecuaţia (I.22) are trei rădăcini reale, notate cu 321 ,, care sunt tocmai tensiunile normale

principale. Starea de tensiune din punctul considerat este determinată de tensiunile 321 ,, ,

12

care nu depind de sistemul de coordonate ales, ecuaţia caracteristică având aceiaşi coeficienţi în

oricare sistem de axe. Cu 1 se notează cea mai mare dintre tensiunile normale principale în sens

algebric, iar cu 3 cea mai mică dintre ele:

.321 (I.24)

Pentru a stabili poziţia planelor principale, se consideră că planul principal 1, pe care

acţionează tensiunea principală 1 , are normala 1111 ,,n . Deoarece 1 anulează

determinantul (I.21), sistemul (I.19) devine compatibil pentru valorile 111 ,, ale unghiurilor

pe care normala le face cu axele de coordonate, adică:

,0coscoscos

0coscoscos

0coscoscos

11z1yz1xz

1zy11y1xy

1zx1yx11x

(I.25)

şi în plus se cunoaște relația:

.1coscoscos 12

12

12 (I.26)

Cu notațiile:

11

11

1

1 bcos

cos;a

cos

cos

(I.27)

din primele două ecuaţii ale sistemului (I.25) se obține:

.ba

ba

zy11y1xy

zx1yx11x

(I.28)

Din sistemul (I.28) se obţin valorile pentru 1a şi 1b , care apoi înlocuite în (I.26) conduc la soluția:

1ba

1cos

21

21

1

(I.29)

celelalte două cosinusuri directoare rezultând din (I.27). După același raționament, se determină

cosinusurile directoare pentru normalele 2n şi 3n la celelalte două plane principale.

13

I.2.4. Tensiuni tangenţiale extreme

În punctul considerat M al solidului deformabil există şi elemente de suprafaţă pe care

tensiunile tangenţiale au valori extreme (maxime sau minime). Pentru a demonstra care sunt aceste

elemente de suprafaţă şi cât de mari sunt tensiunile tangenţiale extreme, din jurul punctului M se

decupează un element de volum astfel încât axele de coordonate să fie orientate după direcţiile

principale. În consecință, elementele de suprafaţă din planele de coordonate sunt chiar planele

principale, iar pe ele nu acţionează decât tensiunile normale principale (fig. I.9).

Fig. I.9

Astfel, expresiile (I.9) devin în acest caz (cu tensiunile tangenţiale nule):

cosp

.coscoscosppppcosp

cosp

33n

223

222

221

23n

22n

21n

2n22n

11n

(I.30)

Tensiunea totală np se descompune în celelalte două componente nn , , care devin prin

simplificarea expresiei (I.9a):

223

22

21

223

222

221

2n

2n

2n

23

22

21n

coscoscoscoscoscosp

coscoscos

. (I.31)

Dar se ştie că între cosinuşii directori ai normalei există relaţia (I.26):

222222 coscos1cos1coscoscos , (I.32)

14

ceea ce înseamnă că valoarea tensiunii tangenţiale totale n , dată de (I.31), variază funcţie numai

de două variabile, în această alegere, doar de cos şi cos . Astfel, înlocuind relaţia (I.32) în

expresia lui n dată de (I.31) rezultă prin gruparea termenilor:

232

322

3123

223

22

223

21

2n coscoscoscos (I.33)

Extremele acestei funcţii se găsesc anulând derivatele ei în raport cu cos şi cos , rezultând

următoarele două ecuaţii, care ne dau nişte cosinuşi directori ce definesc poziţia planelor cu

tensiuni tangenţiale extreme:

0cos2coscos2cos2cos

0cos2coscos2cos2cos

3232

322

3123

22

2n

3132

322

3123

21

2n

.

(I.34)

Soluțiile acestui sistem sunt prezentate în tabelul 1.

Tabelul 1

Cazul

Mărime 1 2 3 4 5 6

cos 0 0 1 0

2

2

2

2

cos 0 1 0

2

2 0

2

2

cos 1 0 0

2

2

2

2 0

n

0 0 0

2

3223

2

3113

max

2

2112

n 3 2 1

2

3223

2

3113

2

2112

Primele trei soluții corespund elementelor de suprafaţă din planele de coordonate , despre care

am admis că sunt planele principale. În aceste plane tensiunile tangenţiale sunt nule (minime).

Ultimele trei soluții corespund planelor care împart în mod egal unghiul diedru dintre două axe

principale şi o conţin pe a treia axă. În aceste plane tensiunile tangențiale au valori maxime (egale

cu semidiferenţa dintre tensiunile normale principale care lucrează pe planele al căror unghi diedru

îl împart în două jumătăți).

15

I.3. Teoria deformaţiilor

I.31. Relaţiile diferenţiale dintre deplasări şi deformaţiile specifice

Se consideră un corp solid deformabil, astfel fixat încât să nu se deplaseze ca solid rigid. Sub

acţiunea forţelor exterioare, punctele solidului suferă deplasări ca urmare a deformării de

ansamblu a corpului. Astfel, punctul M se deplasează în M*, vectorul

MM , cu componentele

w,v,u , reprezintă deplasarea totală a punctului M (fig. I.12). Aceste componente ale deplasării

totale sunt funcţii de coordonatele punctului (funcţii continue de punct), diferitele puncte având

deplasări diferite.

Fig. I.12

z,y,xww

z,y,xvv

z,y,xuu

. (I.37)

Un alt punct N, infinit apropiat de M, ale cărui coordonate înainte de deformarea solidului sunt

dzz,dyy,dxx , va ocupa poziţia N* prin procesul de deformare. Componentele deplasării

totale

NN , notate cu w,v,u , se obţin prin dezvoltarea în serie Taylor a funcţiilor (I.37):

16

dzz

wdy

y

wdx

x

www

dzz

vdy

y

vdx

x

vvv

dzz

udy

y

udx

x

uuu

(I.38)

cu reţinerea doar a derivatelor de ordinul I (pentru a teorie liniară a deformaţiilor).

Pentru a trece de la deplasări (modificarea poziţiei fiecărui punct faţă de sistemul de axe) la

deformaţiile specifice (modificarea distanţelor reciproce dintre puncte şi a unghiurilor dintre

elementele liniare), se va decupa din jurul punctului M un element de volum infinit mic (fig. I.13).

Sub acţiunea forţelor exterioare care deformează corpul, acest element de volum suferă

următoarele transformări:

punctul M se deplasează în M* (o deplasare de solid rigid);

muchiile elementului de volum se lungesc (scurtează) producându-se deformaţiile liniare;

unghiurile diedre dintre feţele elementului de volum se modifică şi se produc deformaţiile

unghiulare.

Fig. I.13

A studia direct starea de deformaţie a elementului de volum, în ansamblul său, este însă o problemă

complicată. De aceea, se analizeze pe rând deformaţiile proiecţiilor elementului de volum pe cele

trei plane de coordonate, însumând în final rezultatele din plan. Pentru început, se consideră

proiecţia elementului de volum pe planul xOy, reprezentată de dreptunghiul ABCD.

17

Fig. I.14

Poziţia finală deformată a elementului se obţine prin suprapunerea unei succesiuni de deplasări

şi deformaţii. Iniţial, elementul ABCD suferă o deplasare 1AA (de componente u şi v), după care

muchiile sale se lungesc (poziţia 2221 DCBA ), iar în final muchiile sale se rotesc, adică elementul

ajunge în poziţia finală 3331 DCBA , fig. I.14.

Deformaţia specifică liniară (lungirea specifică) a muchiei AB, în direcția axei x, este:

x

u

dx

dxudxdxx

uu

AB

ABBA 21x

(I.39)

În mod analog se determină lungirea specifică în lungul axei y, respectiv z, din studiul

deformaţiilor pe celelalte plane de coordonate.

Deformaţia specifică unghiulară (lunecarea specifică) în planul xOy, reprezintă unghiul total

cu care se modifică unghiul drept iniţial BAD, aşadar:

y

u

x

vyxxyxy

(I.40)

cu

18

,y

u

y

v1

y

u

vdydyy

vv

udyy

uu

DA

DDtg

x

v

x

u1

x

v

udxdxx

uu

vdxx

vv

BA

BBtg

21

32yxyx

21

32xyxy

(I.41)

unde s-au neglijat termenii .1y

v,1

x

uyx

În acelaşi mod se obţin şi lunecările

specifice din celelalte plane de coordonate.

În concluzie, s-au obţinut şase relaţii diferenţiale (I.42, I.43) care caracterizează starea de

deformaţie într-un punct al unui corp, numite şi ecuaţiile geometrice ale lui Cauchy. Aceste ecuații

leagă între ele deplasările şi deformaţiile specifice, astfel încât dacă se cunosc funcţiile de

deplasare se obţin deformaţiile specifice prin operaţii de derivare.

x

w

z

u

z

v

y

w

y

u

x

v

42.I

z

w

y

v

x

u

zx

yz

xy

z

y

x

(I.43)

19

I.3.2. Ecuaţiile de compatibilitate a deformaţiilor

Se consideră un corp solid elastic, divizat în elemente de volum infinit mici, acestea fiind

supuse deformării. Elementele de volum deformate la reasamblare trebuie să asigure caracterul de

continuitate al corpului, fără discontinuităţi (fisuri, ruperi, goluri) între ele. Prin urmare

deformaţiile trebuie să satisfacă anumite relaţii, care în sensul consideraţiilor precedente, capătă

un sens fizic şi îşi justifică denumirea de relaţii de continuitate a deformaţiilor. Aceste relaţii sunt

de două categorii:

Relaţii între deformaţiile specifice din acelaşi plan. Plecând de la relaţiile (I.42)

y

v

x

u

y

x

derivând prima relaţia în raport cu 22 y/ , respectiv a doua cu 22 x/ , prin adunare rezultă:

.yxx

v

y

u

yxxy

v

yx

u

xy

xy22

2

3

2

3

2

y2

2

x2

(I.44)

Această prima relaţie de compatibilitate arată că dacă sunt date deformaţiille liniare dintr-un

plan, atunci deformaţia specifică unghiulară din planul respectiv nu este arbitrară:

dydxxy 2

y2

2

x2

xy

. (I.45)

Relaţii între deformaţiile specifice din plane diferite. Pornind de la sistemul (I.43), în care

se derivează în raport cu indicii care lipsesc:

z

u

x

w

y

w

z

v

x

v

y

u

zx

yz

xy

y

x

z

yz

u

yx

w

y

xy

w

xz

v

x

zx

v

zy

u

z

22zx

22yz

22xy

1

(I.46)

prin însumare şi apoi derivare în raport cu z

zyx

w2

zyx

2xyzxyz

(I.47)

rezultă:

20

.yx

2zyx

w2

zyxz

z23

xyzxyz

(I.48)

Astfel, dacă sunt date funcţiile deformaţiilor unghiulare specifice în cele trei plane, deformaţia

specifică liniară z nu este arbitrară:

dydx

zyxz2

1 xyzxyzz (I.49)

După același raționament, se obţin celelalte relaţii de compatibilitate:

xz2

yxzy

zy2

xzyx

yx2

zyxz

50.I

xzzx

zyyz

yxxy

y2

zxyzxy

x2

yzxyzx

z2

xyzxyz

zx2

2

x2

2

z2

yz2

2z

2

2

y2

xy2

2

y2

2x

2

(I.51)

Se defineşte tensorul deformaţiilor specifice, un tensor simetric de ordinul al doilea, astfel:

zzyzx

yzyyx

xzxyx

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

T

în care xzzxzyyzyxxy ,, , după principiului dualităţii deformaţiilor specifice

unghiulare.

Tensorul deformaţiilor specifice se poate descompune într-un tensor sferic m

T şi un deviator

al deformaţiilor D :

DTTm

unde

m

m

m

m

00

00

00

T și

mzzyzx

yzmx

yx

zxxymx

22

22

22

D

Deformația liniară medie este definite astfel:

33

vzyxm

( v este deformaţia

specifică volumică).

21

I.4. Ecuaţiile fizice ale teoriei elasticităţii

I.4.1. Legea lui Hooke generalizată

Determinarea tensiunilor şi deformaţiilor specifice ale unui corp solid în orice punct al său

necesită cunoaşterea legăturii dintre acestea, relaţie ce rezultă din proprităţile fizice ale solidului.

Relațiile dintre tensiuni şi deformaţii pentru starea spaţială de solicitare se stabilesc prin extinderea

legilor lui Hooke din cazul întinderii şi lunecării simple, acceptând suprapunerea efectelor, pe baza

observației: într-un corp elastic, omogen şi izotrop, tensiunile normale nu pot produce deformaţii

specifice unghiulare, iar tensiunile tangenţiale nu pot produce deformaţii specifice liniare.

Pentru început, se decupează dintr-un corp aflat în stare triaxială de tensiune un element de

volum cubic, de latură egală cu unitatea. Conform principiului suprapunerii efectelor, se va

considera că elementul de volum este solicitat succesiv de fiecare componentă a tensorului de

tensiune (în fig. I.15 asupra elementului de volum acţionează numai tensiunea normală x ).

Fig. I.15

Deformaţiile înregistrate de acest element de volum (o lungire specifică în direcţia axei x şi

două contracţii transversale după axele y şi z) , sub acţiunea tensiunii normale x sunt prezentate

în tabelul 2:

22

Tabelul 2

Deformaţie

Tensiune x y z

x E

x'x

E

x'y

E

x'z

y E

y''x

E

y''y

E

y''z

z E

z'''x

E

z'''y

E

z'''z

unde: E este modulul de elasticitate longitudinală (Modulul lui Young),

reprezintă coeficientul de contracţie transversală (coeficientul lui Poisson).

Prin însumarea efectelor se obţin deformaţiile specifice liniare după cele trei direcţii:

yxz'''

z''z

'zz

xzy'''

y''y

'yy

zyx'''

x''x

'xx

E

1

.E

1

E

1

(I.52 a)

La acţiunea tensiunii tangenţiale xy , conform legii lui Hooke pentru forfecarea simplă, se

produc deformaţiile unghiulare:

0,G

'zx

'yz

xy'xy

,

iar în final, sub acţiunea tuturor tensiunilor tangenţiale, lunecările specifice vor fi:

G

,G

,G

zxzx

yzyz

xyxy

(I.52 b)

unde: G este modelul de elasticitate transversală.

Relațiile (I.52 a) şi (I.53 b) reprezintă legea generalizată a lui Hooke pentru un corp solid,

elastic, omogen şi izotrop, şi exprimă dependenţa liniară dintre tensiuni şi deformaţii.

23

I.4.2. Alte exprimări ale legii lui Hooke

Forma în tensiuni. Exprimând din (I.52a) şi (I.52b) tensiunile cu ajutorul deformaţiilor, se

obţin:

zxzxmzz

yzyzmyy

xyxymxx

G;21

3G2

G;21

3G2

G;21

3G2

(I.53)

unde

.3

,12

EG

zyxm

Constantele elastice ale lui Lamé. Legea lui Hooke generalizată se poate scrie în forma

următoare:

zxzxzvz

yzyzyvy

xyxyxvx

G;G2

G;G2

G;G2

(I.54)

unde

12

EGşi

211

E sunt numite constantele elastice ale lui Lamé.

Dintre cele patru constante elastice introduse ,,G,E numai două dintre ele sunt independente.

Forma în valori medii. Dacă se utilizează valorile medii

3

,33

zyxm

vzyxm

se poate scrie relaţia:

mm21

E

(I.55)

sau vm

213

E

, (I.56)

adică, tensiunea medie dintr-un punct este proporţională cu deformaţia volumică din jurul acelui

punct.

24

I.5. Formulări ale problemei fundamentale a teoriei elasticităţii

Problema fundamentală a teoriei elasticităţii constă în cunoaşterea stării de tensiune şi

deformaţie a corpului în oricare punct al său. Această stare de solicitare este reprezentată prin

componentele tensiunilor, componentele deformației și ale deplasării:

şase componente ale tensiunilor zxyzxyzyx

,,,,, ;

şase componente ale deformaţiei zxyzxyzyx

,,,,, ;

trei componente ale deplasării w,v,u .

Ecuaţiile diferenţiale sunt:

ecuaţiile diferenţiale de echilibru ale lui Navier-Cauchy (I.3)

ecuaţiile lui Cauchy care leagă deformaţiile cu deplasările (I.42) şi (I.43)

legea lui Hooke generalizată (I.52 a) şi (I.52 b)

Acestor ecuaţii fundamentale li se adaugă condiţiile la limită (I.16), şi ecuaţiile de compatibilitate

(I.50) şi (I.51).

Teoretic, problema poate fi rezolvată şi soluționarea constă în găsirea a 15 funcţii care să

satisfacă cele 15 ecuaţii diferenţiale, cu condiţiile la limită şi verificarea ecuaţiilor de continuitate.

Pentru rezolvarea problemei, sistemul de ecuaţii se reduce la unele mai simple, cu un număr

mai mic de ecuaţii. Astfel, în teoria elasticităţii s-au dezvoltat două metode:

prima metodă alege drept necunoscute fundamentale deplasările

,z,y,xfw,z,y,xfv,z,y,xfu 321

problema reducându-se la un sistem de 3 ecuaţii diferenţiale cu 3 necunoscute, numite ecuaţiile lui

Lamé; condiţiile la limită se formulează tot în deplasări.

Soluționând deplasările, se pot determina deformaţiile specifice cu ajutorul relaţiilor

geometrice ale lui Cauchy (I.42) şi (I.43), iar în final tensiunile cu legea lui Hooke generalizată

(I.52 a) şi (I.52 b).

cea de-a doua metodă alege drept necunoscute fundamentale tensiunile

z,y,xf,z,y,xf

,z,y,xf,z,y,xf

z,y,xf,z,y,xf

6zx3z

5yz2y

4xy1x

reducând sistemul iniţial la unul format din 6 şase ecuaţii diferenţiale cu 6 necunoscute. În mod

evident, condiţiile la limită se formulează în tensiuni.

25

I.5.1. Ecuațiile lui Lamé. Soluția în deplasări.

În prima ecuaţie diferenţială de echilibru din sistemul (I.3)

,0Xzyx

zxyxx

(I.57)

se înlocuiesc tensiunile prin deplasări, utilizând legea lui Hooke generalizată (I.53), şi ecuaţiile

geometrice (I.42) şi (I.43):

vxvxmxmxx G22112

E2G23

21

G2G2

21

3G2

zx

w

z

uGG

yx

v

y

uGG

xx

uG2G2

zxzx

yxyx

vvxx

,

Rezultă:

0Xzx

wG

z

uG

yx

vG

y

uG

xx

uG

x

uG

2

2

22

2

2v

2

2

2

2

0Xz

w

y

v

x

u

xG

z

u

y

u

x

uG

x 2

2

2

2

2

2v

0XuGx

G 2v

(I.58)

unde s-a introdus operatorul diferenţial al lui Laplace 2

2

2

2

2

22

z

u

y

u

x

uuu

.

Transformând şi celelalte două ecuaţii din sistemul (I.3), rezultă sistemul de ecuaţii diferenţiale în

deplasări (numite ecuaţiile lui Lamé):

0ZwGz

G

.0YvGy

G

0XuGx

G

2v

2v

2v

(I.59)

În mod similar, se transformă şi condiţiile la limită (I.16), prin înlocuirea tensiunilor în funcţie de

deplasări.

26

Cu funcţiile w,v,u obţinute prin integrarea sistemului (I.59), care satisfac condiţiile la limită,

se determină deformaţiile specifice cu ajutorul relaţiilor geometrice ale lui Cauchy (I.42) şi (I.43).

Tensiunile, în final, se determină cu legea lui Hooke generalizată cu (I.52 a) şi (I.52 b).

I.5.2. Ecuaţiile lui Beltrami-Mitchell. Soluția în tensiuni

Alegând drept necunoscute fundamentale tensiunile, ecuaţiile de compatibilitate (I.50) şi (I.51)

se transformă prin exprimarea deformaţiilor în funcţie de tensiuni cu ajutorul legii lui Hooke,

rezultând în final ecuaţiile lui Beltrami-Mitchell:

0xz

I1,0

z

I1

0zy

I1,0

y

I1

0yx

I1,0

x

I1

12

zx2

2

12

z2

12

yz2

2

12

y2

12

xy2

2

12

x2

(I.60)

unde zyx1I reprezintă primul invariant al stării de tensiune. În această soluționare,

condiţiile la limită se formulează în tensiuni.

27

I.6. Cazuri particulare

I.6.1. Starea plană de tensiune

Problemele plane sunt cazuri particulare ale stării triaxiale de solicitare, în care fenomenul se

poate studia într-un singur plan, tensiunile sau deformaţiile fiind nule după una din axele de

coordonate.

În funcţie de mărimile care sunt nule, deosebim situațiile:

stări plane de tensiune, caracterizate de faptul că tensiunile sunt nule pe planele ale căror

normale au orientarea axei z, adică σz = 0 , τzx = 0 , τzy = 0;

stări plane de deformaţie, care se produc în cazul când deplasarea după o axă este nulă, de

exemplu după axa z, adică w = 0.

Din punct de vedere practic există numeroase situaţii care, cu o bună aproximaţie, pot fi reduse

la stările plane de solicitare.

O stare plană de tensiune se produce dacă pe oricare element de volum izolat din solid,

tensiunile sunt cuprinse într-un singur plan, cu alte cuvinte, sunt paralele cu un singur plan. Este,

spre exemplu, cazul unei plăci subţiri supusă la acţiunea unor forţe aplicate pe conturul ei, paralele

cu planul acesteia şi uniform distribuită pe grosime (fig. I. 16).

Fig. 1.16

Componentele tensiunilor σz , τzx , τzy sunt egale cu zero pe feţele laterale și, datorită grosimii

reduse a plăcii, se poate presupune că acestea sunt nule şi în interiorul plăcii. Din acelaşi motiv, se

presupune că celelalte componente σx , σy , τxy sunt constante pe grosimea plăcii, adică nu variază

de-a lungul axei z. În concluzie, tensiunile satisfac, pentru problema de tensiune plană, condiţiile:

28

0yx

0yx

0yx

yzzyxyxy

xzzxyy

zxx

,

,

,

(I.61)

Rămâne de subliniat că starea de deformaţie a corpului este triaxială în problema plană de

tensiune. Deformaţiile care se produc pe direcţia axei z se determină cu relațiile:

.0;0;1EE

1xzzxzyyzyxyxyxzz

dacă se cunosc tensiunile şi deformaţiile paralele cu planul xOy

În baza celor prezentate, ecuaţiile fundamentale ale teoriei elasticităţii se transformă în cazul

stării plane de tensiune, astfel:

ecuaţiile diferenţiale de echilibru ale lui Navier-Cauchy (I.3)

;

0qyx

0yx

0Zzyx

0Yzyx

0Xzyx

yxy

yxx

zyzxz

zyyxy

zxyxx

(I.62)

În (I.62) s-a presupus că forţele de volum sunt reprezentate numai de greutatea proprie: X = Z =

0, și Yρ = -q, q find greutatea unităţii de volum.

ecuaţiile geometrice ale lui Cauchy (I.42) şi (I.43)

;

y

u

x

v

y

v

x

u

x

w

z

u

z

v

y

w

y

u

x

v

,

z

w

y

v

x

u

xy

y

x

zx

yz

xy

z

y

x

(I.63)

legea lui Hooke generalizată (I.52 a) şi (I.52 b)

.,

xyxy

xy

xyy

yxx

zxzx

yzyz

xyxy

yxzz

xzyy

zyxx

E

12

G

E

1

E

1

G

G

G

E

1

E

1

E

1

(I.64)

Ecuaţiilor fundamentale li se adaugă condiţiile la limită (I.16)

29

;coscosq

coscosq

coscoscosq

coscoscosq

coscoscosq

yxyy

yxxx

zyzxzz

zyyxyy

zxyxxx

(I.65)

şi ecuaţiile de compatibilitate a deformaţiilor (I.50) şi (I.51)

.

).(

,

66I

yxxy

xz2

yxzy

zy2

xzyx

yx2

zyxz

xzzx

zyyz

yxxy

xy2

2

y2

2x

2

y2

zxyzxy

x2

yzxyzx

z2

xyzxyz

zx2

2x

2

2z

2

yz2

2z

2

2

y2

xy2

2

y2

2x

2

Se obține un sistem de 8 ecuaţii diferenţiale cu 8 necunoscute (σx, σy, τxy, εx, εy, γxy, u, v) care

poate fi rezolvat prin una din metodele prezentate în I.5.1.

Metoda de rezolvare în tensiuni, după modelul propus de M. Lévy, transformă ecuaţia de

continuitate (I.66) înlocuind deformaţiile cu expresiile lor în tensiuni date de legile fizice (I.64):

.yx

12xy

xy2

xy2

2

yx2

2

(I.67)

La ecuaţia (I.67) se adaugă cele două ecuaţii de echilibru static (I.62) obţinându-se un sistem de 3

ecuaţii cu 3 necunoscute, adică tensiunile. Pentru o formă mai simplă a ecuaţiei (I.67), se derivează

ecuaţiile de echilibru (I.62), iar rezultatul adunării celor două ecuaţii după derivare

2

y2

2

x2

xy2

2

y2

xy2

yx2

2

x2

yxy

yxx

yxyx2

0yyx

0yxx

y

x

0qyx

0yx

se înlocuieşte în (I.67):

68I0

0yx

yyxxxxxy

yx2

yx2

2

yx2

2

2

y2

2

y2

2x

2

2x

2

2x

2

2

y2

2

y2

2x

2

..

,

,

Această ecuaţie exprimată numai în tensiuni normale este cunoscută ca ecuaţia lui Lévy.

Astfel, în cazul stării plane de tensiune, sistemul ecuaţiilor fundamentale se rezumă la

următoarele 3:

30

.

0

0qyx

0yx

yx2

yxy

yxx

(I.69)

Se observă din (I.69) că starea de tensiune într-o problemă plană nu depinde de constantele elastice

de material, observaţie cu mare aplicabilitate practică. Acest rezultat a permis dezvoltarea unei

metode experimentale (fotoelasticimetria) pentru studiul stării de tensiune dintr-un corp solicitat.

31

I.6.2. Starea plană de deformaţie

Dacă deplasările punctelor solidului solicitat se produc numai după 2 direcţii, adică într-un

singur plan, corpul se găseşte într-o stare de deformaţie plană. Aşadar, una din componentele

deplasării, de exemplu w, este egală cu zero, iar celelalte două u şi v nu depind de coordonata z.

În consecinţă, o stare de deformaţie plană este caracterizată în toate punctele solidului de

următoarele deplasări:

,

,

,

0w

yxvv

yxuu

(I.70)

şi de deformaţiile specifice:

.,

,

,

,

0

0

0

yx

yx

yx

yzzy

xzzx

z

xyxy

yy

xx

(I.71)

Un astfel de exemple este ilustrat în fig. I.17, unde un corp deformabil este fixat între două

plăci rigide şi este solicitat de forţe paralele cu planele plăcii rigide.

Fig. I.17 Fig. I.18

Un alt exemplu este reprezentat de barajul din fig. I.18. Pentru elementul de volum subţire

decupat din corp, deplasările şi deformaţiile după direcţia axei Oz sunt împiedecate de elementele

32

de volum vecine. Ca rezultat al blocării acestor deformaţii, se produc însă pe direcţia Oz tensiunile

σz, starea de tensiune fiind spaţială. Din legea lui Hooke se demonstrează acestă afirmaţie:

00E

1yxzyxzz (I.72)

Cu rezultatul (I.72) ecuaţiile fizice (I.64) se modifică după cum urmează:

,,

xyxy

xy

xyy

yxx

zxzx

yzyz

xyxy

yxzz

xzyy

zyxx

E

12

G

1E

1

1E

1

G

G

G

E

1

E

1

E

1

(I.73)

celelate ecuaţii fundamentale date de (I.62), (I.63) şi condiţiile la limită (I.65) rămân în forma dată

la starea plană de tensiune.

După raționamentul prezentat în I.6.1, ecuaţia de continuitate (pentru forţe de volum constante)

se transformă în condiţia lui Lévy:

.0yx2 (I.74)

Astfel, pentru starea plană de deformaţie, funcţiile tensiunilor sunt de forma:

0yx

0yx

yxyx

yzzyzz

xzzxyy

yxxyxyxx

,

,

,,

(I.75)

unde se observă că toate componentele nenule nu depind de coordonata z.

33

I.6.3. Funcţia de tensiune a lui Airy pentru problemele plane

Soluţia problemei plane în tensiuni, pentru cazul în care forţele de volum sunt reprezentate

numai de greutatea proprie, se obţine prin integrarea sistemului (I.69):

,

0

0qyx

0yx

yx2

yxy

yxx

la care se adaugă condiţiile pe contur. În anul 1862 astronomul G.B. Airy a arătat că problema

poate fi simplificată şi mai mult dacă în locul celor 3 funcţii (σx, σy, τxy) se determină una singură

Φ(x,y), denumită funcţie de tensiune, cu ajutorul căreia se pot calcula prin diferenţiere tensiunile:

.qxyx

;x

;y

2

xy2

2

y2

2

x

(I.76)

Introducând aceste soluţii (I.76) în primele două ecuaţii din sistemul (I.69)

0qyx

qyx

qyx

0yxyxyx

2

3

2

3yxy

2

3

2

3yxx

se demonstrează că ele se transformă în identităţi. Astfel, rămâne o singură ecuaţie din sistemul

(I.69), ecuaţia lui Lévy, care se exprimă prin funcţia Φ şi care permite determinarea acestei funcţii

de tensiune:

77.I,0

0yxyx

yx

422

2

2

2

2

2

2

2

2

yx

2

2

2

2

2

yx

sau transcrisă dezvoltat:

.0yyx

2xyxyyxx 4

4

22

4

4

4

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

(I.78)

Funcţiile care satisfac ecuaţii diferenţiale de tipul (I.78) se numesc funcţii biarmonice, aşadar

funcţia de tensiune Airy este o funcţie biarmonică.