Post on 21-Feb-2016
description
transcript
Apr 22, 2023 1
Conf. Dr. Ing. LIGIA PETRESCU
DESEN ŞI GRAFICÀ INGINEREASCÀ
Curs No. 2
2Apr 22, 2023
DREAPTA ÎN DEOMETRIA DESCRIPTIVĂ
y
x
z
[V]
[H]
[L]
0
H=h h”
h’ v
d
D
d’
V=v’
L=l”
v”
l
d”
l’
Fig. 3.1
);;;0(;][);;0;(;][)0;;(;][
zyLLLDzxVVVDyxHHHD
∩∩∩
3Apr 22, 2023
3.1 URMELE DREPTEI. PUNCT SITUAT PE O DREAPTĂ.
;"d"m;'d'm;dm
DM
Fig. 3.2
);;;0(;][);;0;(;][)0;;(;][
zyLLLDzxVVVDyxHHHD
∩∩∩
y
x
z
[V]
[H]
[L]
0
m’
xm
zm
m
m”
ym1
ym
y1
L=l”
V=v’
l’
v”
l
vh’
h”
H=h
d’d”
dy=0x=0
x=0
z=0z=0
y1=0
4Apr 22, 2023
3.2 POZIŢII PARTICULARE ALE DREPTEI
Se disting două categorii de poziţii particulare ale dreptei:
• drepte paralele cu un plan de proiecţie;• drepte paralele cu două plane de proiecţie, adică perpendiculare pe al treilea plan de proiecţie.
5Apr 22, 2023
DREAPTA PARAPELĂ CU PLANUL ORIZONTAL [H], se numeşte dreaptă orizontală sau de nivel şi are toate punctele egal depărtate de planul [H]:
;y0||"n
;x0||'n
1
]H[||)"n;'n;n(N z = const.
Fig. 3.3
z
n’ v’ a’ b’ v” l’ a” b” l” n”
x v 0 y1
a
b l n y
marimeadev
marimeadev
yn
xn
ABab
.
.
;0||"
;0||'
1
6Apr 22, 2023
DREAPTA PARALELĂ CU PLANUL VERTICAL [V], se numeşte dreaptă de front şi are toate punctele egal depărtate de planul [V]:
]V[||)"f;'f;f(F
;z0||"f
;x0||f y = const.
z
f’ l’ l”
b’ b” a’ a” x h’ 0 h” y1
f” h a b l
f y
Fig. 3.4
marimeadev
marimeadev
zf
xf
ABba
.ˆ
.ˆ
;0||"
;0||
''
7Apr 22, 2023
DREAPTA PARALELĂ CU PLANUL LATERAL [L], se numeşte dreaptă de profil şi are toate punctele egal depărtate de planul [L]:
]L[||)"d;'d;d(D
;y0||d
;z0||'d x = const.
Fig. 3.5
z d’ v’ v”
a’ a”
b’ b” x v h’ 0 h” y1
a d”
b h d y
rimeam.adˆ
rimeam.adˆ
;y0||d
;z0||'d
AB"b"a
8Apr 22, 2023
a”
z
h’
b”x
y1
yFig. 3.6
a’b’
h”
DREAPTA PERPENDICULARĂ PE PLANUL ORIZONTAL [H], este simultan paralelă cu planele [V] şi [L], deci însumează proprietăţile dreptelor de front şi de profil Această dreaptă se numeşte dreaptă verticală.
.][][||][)";';(
constx
constyLVH
Hhba
yba
xba
ABbaba
bazba
10"""
0'''
""''
"""||0||'''
a b h
"'
9Apr 22, 2023
DREAPTA PERPENDICULARĂ PE PLANUL VERTICAL [V], este simultan paralelă cu planele [H] şi [L], deci însumează proprietăţile dreptelor de nivel şi de profil. Această dreaptă se numeşte dreaptă de capăt (în proiecţia verticală i se vede “capătul”).
.][][||][)";';(
constx
constzLHV
0
Fig. 3.7
y1
z
v
v”
x
y
'v'b'a'
"
a” b”
a
b
Vvba
zba
xab
ABbaab
ybayab
''''
0"""
0
""
0||""";0|| 1
10Apr 22, 2023
DREAPTA PERPENDICULARĂ PE PLANUL LATERAL [L], este simultan paralelă cu planele [V] şi [H], deci cu axa , însumând proprietăţile dreptelor de front şi de nivel. Această dreaptă se numeşte dreaptă fronto-horizontală.
..
][][||][)";';(constzconsty
HVL
y1
l’
b
z
l
0
x
y
a
Fig. 3.8
' "l"b"a"
a’ b’
Vvba
zba
xab
ABbaab
ybayab
''''
0"""
0
""
0||"";0|| 1
0x
11Apr 22, 2023
3.3 POZIŢIA RELATIVĂ A DOUĂ DREPTEÎn spaţiu, două drepte se pot găsi în trei categorii de relaţii reciproce, definite prin proprietăţi şi caracteristici specifice, ce le diferenţiază în mod categoric.
drepte paralele; drepte concurente; drepte disjuncte.
DREPTE CONCURENTE DREPTE PARALELE
"||"'||'
||||
ddd
D
"""'''ididid
ID
i
i’ i”
0
d
z z d’ d” d’ d” ’ ” ’ ” x y1 x y1
0 d y ya). b).
Fig. 3.9
12Apr 22, 2023
DREPTELE PERPENDICULARE sunt un caz particular de drepte concurente. În general perpendicularitatea se deformează prin proiecţii. Numai atunci când una dintre cele două drepte este particulară, perpendicularitatea se păstrează în una dintre proiecţii. Conform teoremei unghiului drept a două drepte, acesta se proiectează în adevărată mărime, pe planul de proiecţie cu care dreapta particulară este paralelă. Astfel:
11 nN ''fF 22 ""dD 33
Fig. 3.10 a). b). c).
3'
i
0 h’ = v
d'
3
d
d" 3"
i” i’
i
'1'n
n
1
'f
'2
2f
i
i’ i’
13Apr 22, 2023
Dacă dreapta particulară face parte din categoria drepte perpendiculare pe un plan de proiecţie (grad dublu de particularitate - fig. 3.6; 3.7; 3.8), atunci automat dreapta perpendiculară pe o astfel de dreaptă este la rândul ei particulară, iar perpendicularitatea se pune în evidenţă în două proiecţii (cele ce evidenţiază adevărate mărimi) şi anume:
- O dreaptă verticală:
- O dreaptă de capăt:
- O dreaptă fronto-orizontală:
""
''
33
33333
d
dprofildedreaptaD
""
''
22
22222
d
dFfrontdedreaptaD
""
''
11
11111
d
dNniveldedreaptaD
14Apr 22, 2023
DREPTELE DISJUNCTE nu sunt nici paralele, nici concurente. Aparent, ele par concurente, deoarece proiecţiile lor sunt concurente, dar proiecţiile punctului de “concurenţă” nu sunt situate pe aceeaşi linie de ordine, deci aceste proiecţii sunt puncte duble.
1=2
4
3
2’
3’=4’
1’
0x
Fig. 3.11
15Apr 22, 2023
4 REPREZENTAREA PLANULUI
Fig. 4.1
x
z
y
[V]
[H]
[L]
Pz
Px
Py
[P]
0
PH
PL
PV
Fig. 4.2
x
z
y
[H]
y1
Pz
Py1
PL pl”PV pv’
PH ph
Px
Py
pl ph”
pl’pv”
pv ph’
ph”
0
pl
[L][V]
lateralaurmaPLP
verticalaurmaPVPorizontalaurmaPHP
L
V
H
;][;][;][
∩∩∩
16Apr 22, 2023
4.1 DREAPTĂ ŞI PUNCT SITUATE IN PLAN
'p'v
phPDv
h
""'';
dmdmdm
PDMPM
Fig. 4.3
x
z
y
PH ph
H h
PL pl”
[V]
[H]
[L]
Pz
Px
Py
PV pv’
V v’
0
[P]
v h’
v”
Mm’
m
m”
h”
Fig. 4.4
x
z
[V]
[H]
y
y1
0
d’m’
v
v”
h’
md
ph
H h
pl”
d”m”
h” Py1
Py
Pz
Px
pv’
V v’
[L]
17Apr 22, 2023
4.2 MODALITĂŢI DE DEFINIRE A PLANULUI
• două drepte paralele;• două drepte concurente; • o dreaptă şi un punct exterior ei (care se reduce la unul din cazurile anterioare);• trei puncte necoliniare (care se reduce la unul din cazurile anterioare); există un astfel de caz particular, când cele trei puncte sunt punctele ce aparţin urmelor planului;
• o “linie de cea mai mare pantă” a planului faţă de planul [H];• o “linie de cea mai mare pantă” a planului faţă de planul [V].
Linia de cea mai mare pantă a unui plan este o dreaptă ce aparţine planului şi formează unghiul cel mai mare cu unul din planele de proiecţie şi anume cu cel faţă de care este definită ca linie de cea mai mare pantă”.
18Apr 22, 2023
Planul definit de două drepte paralele;
Px
v2’
v1’
v2h2’ v1
h1’
x 0
h1
h2
''d
d
hp
'pv
Fig. 4.5
Planul definit de trei puncte necoliniare :Px , H1 şi V1.
PpvPphP
vx
hx
''11
h
h
phPdarHHphPDdarHHD
22
11
hphh
21
''
''
22
11
v
v
pvPdarVVpvPDdarVVD
''' 21 vpvv
19Apr 22, 2023
Planul definit de două drepte concurente;
Planul definit de trei puncte necoliniare :Px , H1 şi V1.
h2’x
Px
v2’
v1’
i’
h1’ v2v1
0
h2
i
h1
'pv
hp
''d
d
PpvPphP
vx
hx
''11
Fig. 4.6
h
h
phPdarHHphPDdarHHD
22
11
hphh
21
''
''
22
11
v
v
pvPdarVVpvPDdarVVD
''' 21 vpvv
20Apr 22, 2023
4.3 DREPTE PARTICULARE ALE PLANULUI
Dreptele de front ale unui plan
Dreptele de nivel ale unui plan
ihh
v
npnpnhpnv
PNHN||||
'''||
'||'||''''
||ivv
h
fpfpfvpfh
PFVF
Fig. 4.11
h
h1
h1’h’Px
x 0
'pv
hp
f1
f 1'
f '
f
Px
v1’
v’
v1v
x 0
'n
1n
'n1
'pv
hp
n Fig. 4.10
21Apr 22, 2023
4.4 POZIŢII PARTICULARE ALE UNUI PLAN
Se disting două categorii de poziţii particulare ale unui plan, similar cu poziţiile particulare ale dreptei:
- plane paralele cu un plan de proiecţie, deci perpendiculare pe celelalte două (grad dublu de particularitate);
- plane perpendiculare pe planele de proiecţie .
22Apr 22, 2023
PLAN PARALEL CU PLANUL ORIZONTAL [H] ≡ PLANUL DE NIVEL [N] are toate punctele egal depărtate de planul [H]: z = const.
z
y
x
[V]
[H]
[L]b’c’a’NV nv’
b”Nz
b
a”
a
c”
c
BA
CNL nl”[N]
0
Fig. 4.12
Fig. 4.13
za” c”b”a’ b’c’
Nz
x y10
c
a
b
y
'vn "ln
23Apr 22, 2023
PLAN PARALEL CU PLANUL VERTICAL [V] ≡ PLANUL DE FRONT [F] are toate punctele egal depărtate de planul [V]: y = const.
z0||"f"c"b"a
x0||fabc
ABC'c'b'aconsty
V||F
l
hFig. 4.14
z
y
x
[V]
[H]
[L]
Fy
a cb
b”a”c”
FL fl”
[F]
AC
b’
c’a’
B
F fH h
b”
c’
z
a”
c”
a’
b’
Fy1
Fy
x y10
ca b y
Fig. 4.15
"lf
hf
24Apr 22, 2023
PLANUL PARALEL CU PLANUL LATERAL [L], ≡PLANUL DE PROFIL [P] are toate punctele egal depărtate de planul [L]: x = const.
z
[V]
y
x
[L]b’
c’a’Px
PV pv’
b”
a”
c”
B
AC
[P]
0
ab
c PH ph[H]
Fig. 4.16
'vp
hp
Fig. 4.17
z
a” c”
b”
a’
b’
c’
Pxx y10
c
a
b
y
25Apr 22, 2023
PLANUL PERPENDICULAR PE PLANUL ORIZONTAL [H] ≡ PLANUL VERTICAL [Q]
Fig. 4.18
z
[V]
y
x
[L]
[H]
Qx
QL ql”
Qy
QV qv’
B
b’
b”
c’
a”a’
c”A C
QH qh
[Q]
0
a b c
26Apr 22, 2023
a”
y
z
y1
b”b’
c’
a’c”
x
ab
c
Qy1
Qy
Qx
0
Fig. 4.19
'vq
"lq
hq
LQVQ
yq
xq
qabc
l
v
h
;ˆ;ˆ
0"
0'
1
27Apr 22, 2023
PLAN PERPENDICULAR PE PLANUL VERTICAL [V] ≡ PLANUL DE CAPĂT [R]
z
y
x
[L]
[H]
b’
c’a’
Rx
RL rl”
RV rv’
B b”
a” c”A
b
ac
C
RH rh
[R]
0
[V]
Rz
Fig. 4.20
28Apr 22, 2023
Fig. 4.21
y
z
y1
a”
b”b’
c’a’c”
x
a
b
c
Rz
Rx 0
'vr
"lr
hr
L;RˆH;Rˆ
z0"r
x0r
'r'c'b'a
l
h
v
29Apr 22, 2023
PLAN PERPENDICULAR PE PLANUL LATERAL [L] ≡ PLANUL PARALEL CU AXA , - [S]
0xz
[V]
y
x
[L]
[H]
SV sv’
SL sl”
Sz
b”
a”c”
Sy
B
b’
c’a’
b
a c
AC
SH sh
[S]
0
Fig. 4.22
30Apr 22, 2023
Fig. 4.23
y
z
y1
a”
b”b’
c’
a’
c” x 0
a
b
c
Sy1
Sy
Sz
"ls
hs
`vs
HSVS
ys
zs
scba
h
v
l
;ˆ;ˆ
0
0'
""""
31Apr 22, 2023
STUDIU INDIVIDUAL SI- 02: DREPTA ŞI PLANUL
1. Construiţi două drepte concurente =I, dacă ele sunt definite de punctele A(110; 30; 20), B(30; 45; 25) şi M(80; 60; -5), N(45; 15; z).
2. Cunoscând punctele A(50; 15; 25), B(10; -10; 60) şi C(70; -15; 40), să se construiască urmele planului [P], definit de cele trei puncte (două drepte concurente).
1 2
D ∩
32Apr 22, 2023
LABORATORUL L- 02: DREPTA ŞI PLANUL
2. Se dau punctele: A(60; 20; 50), B(50; 40; 30) şi C(40; 30; 30). Să se construiască planul [P], definit de cele trei puncte, folosind doua drepte concurente.
1 3
2
3. Se dau punctele M(50; y; 20), A(20; 40; z) şi planul [P] definit de punctele: Px(100; 0; 0), H(30; 80; 0), V(30; 0; 55). Se cere:paralelogramul [ABCD], pentru care M este intersecţia diagonalelor, iar se
află pe o dreaptă de front a planului [P].mmAB 40
1. Fie punctele: A(25; 40; 5) şi B(50; 15; 30), care definesc dreapta şi punctul M(80; 30; 10). Se cere:
să se traseze proiecţiile dreptei ;să se traseze prin M o dreaptă ;să se traseze prin M o dreaptă concurentă cu ;să se determine urmele celor trei drepte.
D
D2
1 ||D