Apr 22, 2023 1

Conf. Dr. Ing. LIGIA PETRESCU

DESEN ŞI GRAFICÀ INGINEREASCÀ

Curs No. 2

2Apr 22, 2023

DREAPTA ÎN DEOMETRIA DESCRIPTIVĂ

y

x

z

[V]

[H]

[L]

0

H=h h”

h’ v

d

D

d’

V=v’

L=l”

v”

l

d”

l’

Fig. 3.1

);;;0(;][);;0;(;][)0;;(;][

zyLLLDzxVVVDyxHHHD

∩∩∩

3Apr 22, 2023

3.1 URMELE DREPTEI. PUNCT SITUAT PE O DREAPTĂ.

;"d"m;'d'm;dm

DM

Fig. 3.2

);;;0(;][);;0;(;][)0;;(;][

zyLLLDzxVVVDyxHHHD

∩∩∩

y

x

z

[V]

[H]

[L]

0

m’

xm

zm

m

m”

ym1

ym

y1

L=l”

V=v’

l’

v”

l

vh’

h”

H=h

d’d”

dy=0x=0

x=0

z=0z=0

y1=0

4Apr 22, 2023

3.2 POZIŢII PARTICULARE ALE DREPTEI

Se disting două categorii de poziţii particulare ale dreptei:

• drepte paralele cu un plan de proiecţie;• drepte paralele cu două plane de proiecţie, adică perpendiculare pe al treilea plan de proiecţie.

5Apr 22, 2023

DREAPTA PARAPELĂ CU PLANUL ORIZONTAL [H], se numeşte dreaptă orizontală sau de nivel şi are toate punctele egal depărtate de planul [H]:

;y0||"n

;x0||'n

1

]H[||)"n;'n;n(N z = const.

Fig. 3.3

z

n’ v’ a’ b’ v” l’ a” b” l” n”

x v 0 y1

a

b l n y

marimeadev

marimeadev

yn

xn

ABab

.

.

;0||"

;0||'

1

6Apr 22, 2023

DREAPTA PARALELĂ CU PLANUL VERTICAL [V], se numeşte dreaptă de front şi are toate punctele egal depărtate de planul [V]:

]V[||)"f;'f;f(F

;z0||"f

;x0||f y = const.

z

f’ l’ l”

b’ b” a’ a” x h’ 0 h” y1

f” h a b l

f y

Fig. 3.4

marimeadev

marimeadev

zf

xf

ABba

.ˆ

.ˆ

;0||"

;0||

''

7Apr 22, 2023

DREAPTA PARALELĂ CU PLANUL LATERAL [L], se numeşte dreaptă de profil şi are toate punctele egal depărtate de planul [L]:

]L[||)"d;'d;d(D

;y0||d

;z0||'d x = const.

Fig. 3.5

z d’ v’ v”

a’ a”

b’ b” x v h’ 0 h” y1

a d”

b h d y

rimeam.adˆ

rimeam.adˆ

;y0||d

;z0||'d

AB"b"a

8Apr 22, 2023

a”

z

h’

b”x

y1

yFig. 3.6

a’b’

h”

DREAPTA PERPENDICULARĂ PE PLANUL ORIZONTAL [H], este simultan paralelă cu planele [V] şi [L], deci însumează proprietăţile dreptelor de front şi de profil Această dreaptă se numeşte dreaptă verticală.

.][][||][)";';(

constx

constyLVH

Hhba

yba

xba

ABbaba

bazba

10"""

0'''

""''

"""||0||'''

a b h

"'

9Apr 22, 2023

DREAPTA PERPENDICULARĂ PE PLANUL VERTICAL [V], este simultan paralelă cu planele [H] şi [L], deci însumează proprietăţile dreptelor de nivel şi de profil. Această dreaptă se numeşte dreaptă de capăt (în proiecţia verticală i se vede “capătul”).

.][][||][)";';(

constx

constzLHV

0

Fig. 3.7

y1

z

v

v”

x

y

'v'b'a'

"

a” b”

a

b

Vvba

zba

xab

ABbaab

ybayab

''''

0"""

0

""

0||""";0|| 1

10Apr 22, 2023

DREAPTA PERPENDICULARĂ PE PLANUL LATERAL [L], este simultan paralelă cu planele [V] şi [H], deci cu axa , însumând proprietăţile dreptelor de front şi de nivel. Această dreaptă se numeşte dreaptă fronto-horizontală.

..

][][||][)";';(constzconsty

HVL

y1

l’

b

z

l

0

x

y

a

Fig. 3.8

' "l"b"a"

a’ b’

Vvba

zba

xab

ABbaab

ybayab

''''

0"""

0

""

0||"";0|| 1

0x

11Apr 22, 2023

3.3 POZIŢIA RELATIVĂ A DOUĂ DREPTEÎn spaţiu, două drepte se pot găsi în trei categorii de relaţii reciproce, definite prin proprietăţi şi caracteristici specifice, ce le diferenţiază în mod categoric.

drepte paralele; drepte concurente; drepte disjuncte.

DREPTE CONCURENTE DREPTE PARALELE

"||"'||'

||||

ddd

D

"""'''ididid

ID

i

i’ i”

0

d

z z d’ d” d’ d” ’ ” ’ ” x y1 x y1

0 d y ya). b).

Fig. 3.9

12Apr 22, 2023

DREPTELE PERPENDICULARE sunt un caz particular de drepte concurente. În general perpendicularitatea se deformează prin proiecţii. Numai atunci când una dintre cele două drepte este particulară, perpendicularitatea se păstrează în una dintre proiecţii. Conform teoremei unghiului drept a două drepte, acesta se proiectează în adevărată mărime, pe planul de proiecţie cu care dreapta particulară este paralelă. Astfel:

11 nN ''fF 22 ""dD 33

Fig. 3.10 a). b). c).

3'

i

0 h’ = v

d'

3

d

d" 3"

i” i’

i

'1'n

n

1

'f

'2

2f

i

i’ i’

13Apr 22, 2023

Dacă dreapta particulară face parte din categoria drepte perpendiculare pe un plan de proiecţie (grad dublu de particularitate - fig. 3.6; 3.7; 3.8), atunci automat dreapta perpendiculară pe o astfel de dreaptă este la rândul ei particulară, iar perpendicularitatea se pune în evidenţă în două proiecţii (cele ce evidenţiază adevărate mărimi) şi anume:

- O dreaptă verticală:

- O dreaptă de capăt:

- O dreaptă fronto-orizontală:

""

''

33

33333

d

dprofildedreaptaD

""

''

22

22222

d

dFfrontdedreaptaD

""

''

11

11111

d

dNniveldedreaptaD

14Apr 22, 2023

DREPTELE DISJUNCTE nu sunt nici paralele, nici concurente. Aparent, ele par concurente, deoarece proiecţiile lor sunt concurente, dar proiecţiile punctului de “concurenţă” nu sunt situate pe aceeaşi linie de ordine, deci aceste proiecţii sunt puncte duble.

1=2

4

3

2’

3’=4’

1’

0x

Fig. 3.11

15Apr 22, 2023

4 REPREZENTAREA PLANULUI

Fig. 4.1

x

z

y

[V]

[H]

[L]

Pz

Px

Py

[P]

0

PH

PL

PV

Fig. 4.2

x

z

y

[H]

y1

Pz

Py1

PL pl”PV pv’

PH ph

Px

Py

pl ph”

pl’pv”

pv ph’

ph”

0

pl

[L][V]

lateralaurmaPLP

verticalaurmaPVPorizontalaurmaPHP

L

V

H

;][;][;][

∩∩∩

16Apr 22, 2023

4.1 DREAPTĂ ŞI PUNCT SITUATE IN PLAN

'p'v

phPDv

h

""'';

dmdmdm

PDMPM

Fig. 4.3

x

z

y

PH ph

H h

PL pl”

[V]

[H]

[L]

Pz

Px

Py

PV pv’

V v’

0

[P]

v h’

v”

Mm’

m

m”

h”

Fig. 4.4

x

z

[V]

[H]

y

y1

0

d’m’

v

v”

h’

md

ph

H h

pl”

d”m”

h” Py1

Py

Pz

Px

pv’

V v’

[L]

17Apr 22, 2023

4.2 MODALITĂŢI DE DEFINIRE A PLANULUI

• două drepte paralele;• două drepte concurente; • o dreaptă şi un punct exterior ei (care se reduce la unul din cazurile anterioare);• trei puncte necoliniare (care se reduce la unul din cazurile anterioare); există un astfel de caz particular, când cele trei puncte sunt punctele ce aparţin urmelor planului;

• o “linie de cea mai mare pantă” a planului faţă de planul [H];• o “linie de cea mai mare pantă” a planului faţă de planul [V].

Linia de cea mai mare pantă a unui plan este o dreaptă ce aparţine planului şi formează unghiul cel mai mare cu unul din planele de proiecţie şi anume cu cel faţă de care este definită ca linie de cea mai mare pantă”.

18Apr 22, 2023

Planul definit de două drepte paralele;

Px

v2’

v1’

v2h2’ v1

h1’

x 0

h1

h2

''d

d

hp

'pv

Fig. 4.5

Planul definit de trei puncte necoliniare :Px , H1 şi V1.

PpvPphP

vx

hx

''11

h

h

phPdarHHphPDdarHHD

22

11

hphh

21

''

''

22

11

v

v

pvPdarVVpvPDdarVVD

''' 21 vpvv

19Apr 22, 2023

Planul definit de două drepte concurente;

Planul definit de trei puncte necoliniare :Px , H1 şi V1.

h2’x

Px

v2’

v1’

i’

h1’ v2v1

0

h2

i

h1

'pv

hp

''d

d

PpvPphP

vx

hx

''11

Fig. 4.6

h

h

phPdarHHphPDdarHHD

22

11

hphh

21

''

''

22

11

v

v

pvPdarVVpvPDdarVVD

''' 21 vpvv

20Apr 22, 2023

4.3 DREPTE PARTICULARE ALE PLANULUI

Dreptele de front ale unui plan

Dreptele de nivel ale unui plan

ihh

v

npnpnhpnv

PNHN||||

'''||

'||'||''''

||ivv

h

fpfpfvpfh

PFVF

Fig. 4.11

h

h1

h1’h’Px

x 0

'pv

hp

f1

f 1'

f '

f

Px

v1’

v’

v1v

x 0

'n

1n

'n1

'pv

hp

n Fig. 4.10

21Apr 22, 2023

4.4 POZIŢII PARTICULARE ALE UNUI PLAN

Se disting două categorii de poziţii particulare ale unui plan, similar cu poziţiile particulare ale dreptei:

- plane paralele cu un plan de proiecţie, deci perpendiculare pe celelalte două (grad dublu de particularitate);

- plane perpendiculare pe planele de proiecţie .

22Apr 22, 2023

PLAN PARALEL CU PLANUL ORIZONTAL [H] ≡ PLANUL DE NIVEL [N] are toate punctele egal depărtate de planul [H]: z = const.

z

y

x

[V]

[H]

[L]b’c’a’NV nv’

b”Nz

b

a”

a

c”

c

BA

CNL nl”[N]

0

Fig. 4.12

Fig. 4.13

za” c”b”a’ b’c’

Nz

x y10

c

a

b

y

'vn "ln

23Apr 22, 2023

PLAN PARALEL CU PLANUL VERTICAL [V] ≡ PLANUL DE FRONT [F] are toate punctele egal depărtate de planul [V]: y = const.

z0||"f"c"b"a

x0||fabc

ABC'c'b'aconsty

V||F

l

hFig. 4.14

z

y

x

[V]

[H]

[L]

Fy

a cb

b”a”c”

FL fl”

[F]

AC

b’

c’a’

B

F fH h

b”

c’

z

a”

c”

a’

b’

Fy1

Fy

x y10

ca b y

Fig. 4.15

"lf

hf

24Apr 22, 2023

PLANUL PARALEL CU PLANUL LATERAL [L], ≡PLANUL DE PROFIL [P] are toate punctele egal depărtate de planul [L]: x = const.

z

[V]

y

x

[L]b’

c’a’Px

PV pv’

b”

a”

c”

B

AC

[P]

0

ab

c PH ph[H]

Fig. 4.16

'vp

hp

Fig. 4.17

z

a” c”

b”

a’

b’

c’

Pxx y10

c

a

b

y

25Apr 22, 2023

PLANUL PERPENDICULAR PE PLANUL ORIZONTAL [H] ≡ PLANUL VERTICAL [Q]

Fig. 4.18

z

[V]

y

x

[L]

[H]

Qx

QL ql”

Qy

QV qv’

B

b’

b”

c’

a”a’

c”A C

QH qh

[Q]

0

a b c

26Apr 22, 2023

a”

y

z

y1

b”b’

c’

a’c”

x

ab

c

Qy1

Qy

Qx

0

Fig. 4.19

'vq

"lq

hq

LQVQ

yq

xq

qabc

l

v

h

;ˆ;ˆ

0"

0'

1

27Apr 22, 2023

PLAN PERPENDICULAR PE PLANUL VERTICAL [V] ≡ PLANUL DE CAPĂT [R]

z

y

x

[L]

[H]

b’

c’a’

Rx

RL rl”

RV rv’

B b”

a” c”A

b

ac

C

RH rh

[R]

0

[V]

Rz

Fig. 4.20

28Apr 22, 2023

Fig. 4.21

y

z

y1

a”

b”b’

c’a’c”

x

a

b

c

Rz

Rx 0

'vr

"lr

hr

L;RˆH;Rˆ

z0"r

x0r

'r'c'b'a

l

h

v

29Apr 22, 2023

PLAN PERPENDICULAR PE PLANUL LATERAL [L] ≡ PLANUL PARALEL CU AXA , - [S]

0xz

[V]

y

x

[L]

[H]

SV sv’

SL sl”

Sz

b”

a”c”

Sy

B

b’

c’a’

b

a c

AC

SH sh

[S]

0

Fig. 4.22

30Apr 22, 2023

Fig. 4.23

y

z

y1

a”

b”b’

c’

a’

c” x 0

a

b

c

Sy1

Sy

Sz

"ls

hs

`vs

HSVS

ys

zs

scba

h

v

l

;ˆ;ˆ

0

0'

""""

31Apr 22, 2023

STUDIU INDIVIDUAL SI- 02: DREPTA ŞI PLANUL

1. Construiţi două drepte concurente =I, dacă ele sunt definite de punctele A(110; 30; 20), B(30; 45; 25) şi M(80; 60; -5), N(45; 15; z).

2. Cunoscând punctele A(50; 15; 25), B(10; -10; 60) şi C(70; -15; 40), să se construiască urmele planului [P], definit de cele trei puncte (două drepte concurente).

1 2

D ∩

32Apr 22, 2023

LABORATORUL L- 02: DREPTA ŞI PLANUL

2. Se dau punctele: A(60; 20; 50), B(50; 40; 30) şi C(40; 30; 30). Să se construiască planul [P], definit de cele trei puncte, folosind doua drepte concurente.

1 3

2

3. Se dau punctele M(50; y; 20), A(20; 40; z) şi planul [P] definit de punctele: Px(100; 0; 0), H(30; 80; 0), V(30; 0; 55). Se cere:paralelogramul [ABCD], pentru care M este intersecţia diagonalelor, iar se

află pe o dreaptă de front a planului [P].mmAB 40

1. Fie punctele: A(25; 40; 5) şi B(50; 15; 30), care definesc dreapta şi punctul M(80; 30; 10). Se cere:

să se traseze proiecţiile dreptei ;să se traseze prin M o dreaptă ;să se traseze prin M o dreaptă concurentă cu ;să se determine urmele celor trei drepte.

D

D2

1 ||D