AlgebreLie(1 2)

transcript

GRUPURI LIE. ALGEBRE LIE.APLICA�II ÎN FIZICA

PARTICULELOR ELEMENTARE

Adrian Palcu

7 ianuarie 2015

Prefaµ

Cartea de faµ nu e un tratat exhaustiv al domeniului enunµat în titlu. Ea s-an scut din necesit µi pragmatice imediate ³i cuprinde mare parte din materialulpredat - în anul I, pe durata primului semestru - masteranzilor programului destudiu �Modele Matematice în Cercetare ³i Didactic � la Facultatea de �tiinµeExacte a Universi µii �Aurel Vlaicu� din Arad. A fost, a³adar, conceput cainstrument de lucru complementar notiµelor de curs, ca manual pus la dispo-ziµia masterandului în vederea sitematiz rii ³i acumul rii temeinice a temelorabordate.

Din vastul domeniu al grupurilor ³i algebrelor Lie, autorul s-a v zut nevoit s opereze o sintez inevitabil restrictiv . S-a rezumat la prezentarea sistematic aprincipalelor noµiuni ³i teoreme, absolut necesare înµelegerii tehnicilor furnizatede acest complex aparat matematic ³i a modului de utilizare a lor în problema-tica modern a �zicii particulelor elementare. Abordarea este una esenµialmentedidactic oferind pe lâng textul propriu-zis ³i un num r de exerciµii ³i problemela �nalul �ec rei secµiuni. Rezolvarea acestora e util aprofund rii ³i �x rii ma-terialului predat. Înµelegerea ³i asimilarea întregului conµinut al acestui volumconstituie precondiµia parcurgerii cursului de �Modele gauge� prev zut pentrusemestrul al treilea al aceluia³i program de studiu.

Dar cartea nu se adreseaz doar acestui public de masteranzi, fatalmenterestrâns, ci poate � utilizat de c tre matematicieni, �zicieni, ingineri sau sim-pli pasionaµi de sclipitoarele aventuri ale minµii umane posesori ai unui solidbackground matematic, ca un concis ghid introductiv pe teritoriul aplicativ alAlgebrelor Lie în �zica patriculelor.

Autorul î³i exprim speranµa c prin confruntarea memijlocit cu destinatariiprincipali, în cadrul orelor de curs ³i seminar, materialul prezentat aici va putea� semni�cativ îmbun t µit într-o ediµie viitoare. Orice observaµie, semnalare deerori, sugestie ori comentariu privind conµinutul sau forma c rµii de faµ suntbinevenite.

Adrian Palcu,Arad, 5 ianuarie 2015

Cuprins

1 Grupuri �nite 51.1 Grup - de�niµii ³i exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Subgrup invariant. Clas lateral (coset) . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.1 Clase laterale. Grup factor . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.2 Homomor�sme de grupuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 Reprezent ri de grupuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.1 Spaµiu vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.2 Reprezent ri pe spaµii liniare . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4 Reprezent ri unitare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.5 Lemele lui Schurr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.6 Ortogonalitate ³i completitudine . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.6.1 Ortogonalitatea matricilor reprezent rilor . . . . . . . . . 211.6.2 Ortogonalitatea caracterelor . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.7 Reprezent ri regulate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.8 Coe�cienµii Clebsch-Gordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2 Algebr grupal 322.1 Structura de algebr liniar . Algebr Lie . . . . . . . . . . . . . 322.2 Algebra grupal - propriet µi generale . . . . . . . . . . . . . . . 332.3 Operatori idempotenµi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.4 Vectori ireductibili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.5 Operatori ireductibili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.6 Teorema Wigner-Eckart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.7 Reprezent rile grupului simetric Sn. Tablouri Young . . . . . . . 40

2.7.1 Reprezent rile 1-dimensionale ale grupului Sn . . . . . . . 412.7.2 Partiµii ³i diagrame Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.7.3 Simetrizori ³i antisimetrizori . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.7.4 Reprezent rile ireductibile ale grupului Sn . . . . . . . . . 432.7.5 Clase de simetrie ale tensorilor . . . . . . . . . . . . . . . 44

3 Grupuri Lie. Algebre Lie asociate 483.1 Variet µi diferenµiabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.2 Grup continu - de�niµii ³i exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.3 Grup Lie - generatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.4 Generatori ai grupurilor Lie de transform ri . . . . . . . . . . . . 533.5 Generatori ai grupurilor Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.6 Generatori ai grupurilor de matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.7 Relaµii de comutare - algebra Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.8 Prima teorem a lui Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.9 A doua teorem a lui Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.10 A treia teorem a lui Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.11 Reprezentarea adjunct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.12 Reciprocele teoremelor lui Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.13 Teorema lui Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.14 Grupul SU(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.14.1 Reprezent rile grupului SU(n) . . . . . . . . . . . . . . . 553.14.2 Reprezentarea fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . 553.14.3 Algebra Lie su(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.14.4 Reprezentarea adjunct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.14.5 Parametrizarea algebrei Lie su(n) . . . . . . . . . . . . . 583.14.6 Reprezent ri ireductibile ale grupului SU(n)⊗ U(1)c . . 59

4 Aplicaµii în �zica particulelor 614.1 Grupul SU(2) - spinul particulelor . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.1.1 Algebra Lie su(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.1.2 Operatori de urcare ³i coborâre pe spectru . . . . . . . . . 614.1.3 Reprezentarea j = 1

2 . Matricile Pauli . . . . . . . . . . . . 624.1.4 Compunerea momentelor cinetice. . . . . . . . . . . . . . 62

4.2 Grupul SU(3) - chromodinamica cuantic . . . . . . . . . . . . . 624.2.1 Matricile Gell-Mann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.2.2 Modelul quark-urilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.2.3 Chromodinamica cuantinc�u . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.3 Grupul SL (2,C)sT4 - simetria teoriei relativit µii restrânse . . 624.3.1 Cvadrivectori - spaµiul Minkowski . . . . . . . . . . . . . 624.3.2 Grupul Lorentz propriu ³i ortocron L↑+ . . . . . . . . . . . 624.3.3 Generatori - boost-uri ³i rotaµii . . . . . . . . . . . . . . . 624.3.4 Grupul mic - rotaµii Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.3.5 Grupul Lorentz-Poincaré L↑+sT4 . . . . . . . . . . . . . . 624.3.6 Operatori Casimir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Introducere

Capitolul 1

Grupuri �nite

Primul capitol se dore³te a � o panoramare rapid , introductiv , a principalelornoµiuni ³i teoreme din teoria grupurilor ³i a reprezent rilor lor pe spaµii vecto-riale. Exempli�c rile ³i rezultatele obµinute aici sunt date pornind de la cazulconcret al grupurilor �nite, dar înµelegerea ³i st pânirea tehnicilor prezentateeste absolut necesar utili rii lor în abordarea ³i studiul ulterior al grupurilorcontinue. Materialul este prezentat de o manier didactic , în succesiune logic gradual , putând � asimilat relativ u³or de cititorul cu minime cuno³tiinµe dealgebr liniar elementar .

1.1 Grup - de�niµii ³i exemple

De�niµie: Se nume³te grup - ³i se noteaz (G, ◦)- o mulµime împreun cuoperaµia multiplicativ între elementele sale, dac sunt satisf cute urm toareleaxiome (axiomele grupului):

G1 : ∀ a, b ∈ G ⇒ a ◦ b ∈ G

G2 : ∀ a, b, c ∈ G ⇒ (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c)

G3 : ∃ ! e ∈ G a.i. a ◦ e = e ◦ a ∀ a ∈ G

G4 : ∀ a ∈ G ∃ ! a−1 ∈ G a.i. a ◦ a−1 = a−1 ◦ a = e

Cele patru axiome exprim de fapt cele patru propriet µi fundamentale pecare orice grup trebuie s le prezinte pentru a se structura ca atare, ³i anume:închiderea (G1) ³i asociativitatea operaµiei de compunere (G2), existenµa ³i uni-citatea elementului neutru faµ de aceasta (G3), respectiv existenµa ³i unicitateainversului pentru �ecare element al grupului (G4).

Dac , în plus, este satisf cut ³i o a cincea cerinµ (G5), anume comutativi-tatea operaµiei de compunere,

G5 : ∀ a, b ∈ G ⇒ a ◦ b = b ◦ a (1.2)

atunci grupul se zice comutativ sau abelian.

Chiar dac grupurile abeliene par - la o prim vedere - mai speciale, compli-când un pic de�niµia general prin cerinµa restrictiv a comutativit µii legii decompunere, partea cu adev rat interesant ³i spectaculoas a teoriei grupuriloro constituie grupurile ne-abeliene. Majoritatea grupurilor de interes - �e ele�nite, discrete sau continue - pentru �zica teoretic sunt din aceast a douacategorie.

De�niµie: Se nume³te subgrup al grupului (G, ◦) o mulµime H ⊂ G îm-preun cu aceea³i operaµie de compunere ◦ dac ³i numai dac (H, ◦) satisfaceaxiomele grupului.

Orice grup admite dou subgrupuri triviale, anume: elementul neutru (e, ◦) ³iîntregul grup (G, ◦). Toate celelalte subrgupuri se numesc ne-triviale.

De�niµie: Se nume³te grup �nit un grup cu un num r �nit de elemente.

De�niµie: Num rul de elemente ale unui grup �nit se nume³te ordinulgrupului.

În mod uzual - de câte ori structura concret a grupului o permite, adic atuncicând avem de-a face cu un grup discret - se poate reprezenta în detaliu tabela decompunere a grupului (Tab. 1.1). Regula de compunere (sau de multiplicare)a grupului este speci�c acestuia, individualizându-l ³i determinându-i în modesenµial propriet µile speci�ce. Pe nicio coloan ³i pe niciun rând nu poate s apar de dou ori acela³i element ca rezultat al operaµiei de compunere. Un altam nunt de care trebuie µinut seama este ordinea în care se efectueaza operaµiade compunere v zut ca înmulµire succesiv , pentru c în general a ◦ b 6= b ◦ a.Pentru grupurile abeliene, se poate observa c tabela de compunere are un

aspect simetric faµ de diagonala principal . În cazul grupurilor abeliene avemsingura situaµie în care ordinea efectu rii operaµiei de compunere nu conteaz .Operaµia �ind comutativ rezultatul compunerii va � acela³i.

Exemple de grupuri �nite: Pentru a exempli�ca noµiunile introduse pân acum, e util s trecem la prezentarea câtorva grupuri concrete:

• G = {e} - grupul trivial.

• G = Z2 ={e, a | a−1 = a

}- grupul ciclic de ordinul 2.

Tabela 1.1: Tabela de compunere a grupului

−→ ↑ e a b c · · ·e e a b c · · ·a a a ◦ a a ◦ b a ◦ c · · ·b b b ◦ a b ◦ b b ◦ c · · ·c c c ◦ a c ◦ b c ◦ c · · ·...

......

• G = Z3 ={e, a, b | b = a2 ∧ e = a3

}- grupul ciclic de ordinul 3.

• G = Cn ={e, a, a2, ..., an = e

}- grupul ciclic de ordinul n.

• G = D2 = {e, a, b, c} - grupul diedral. Acest grup const din patru ele-mente identi�cate ca cele patru operaµii geometrice ce pot � efectuateasupra unui dreptunghi pentru a constitui o structur de grup: identita-tea (e), re�exii faµ de cele dou axe de simetrie ale dreptunghiului (a, b)³i rotirea cu 180◦(c).

• G = S3 = {e, (12), (23), (31), (123), (312)} - grupul triunghiului. Acestgrup const din ³ase elemente identi�cate ca cele ³ase opera µii ce pot �efectuate asupra unui triunghi echilateral pentru a constitui o structur de grup: identitatea (e), 3 re�exii faµ de axele de simetrie ale triunghiului(12), (23), (31), rotaµii cu 120◦ (123) respectiv 240◦ (312) în jurul centruluide simetrie.

• G = Sn- grupul simetric sau grupul permut rilor de n elemente.

Lema de rearanjare: Pentru ∀ p, a, b ∈ G dac avem c p◦a = p◦ b atuncirezult c a = b.

Demonstraµia - este imediat prin simpla înmulµire la stânga cu p−1.

De�niµie: Dou grupuri se numesc izomorfe ³i se noteaz (G, ◦) ' (G′, •)dac exist o funcµie bijectiv f : G→ G′ cu proprietatea f(a ◦ b) = f(a) • f(b),∀ a, b ∈ G.

Cu alte cuvinte, izomor�smul de grupuri este o aplicaµie liniar 1-la-1 între elece prezerv legea de compunere a elementele lor. Lema de rearanjare împreun cu de�niµia izomor�smului de grupuri ne duc direct la formularea unei teoremede mare importanµ pentru analiza propriet µilor grupurilor �nite.

Teorema lui Cayley: Orice grup de ordin n este izomorf cu un subgrup algrupului simetric Sn.

Demonstraµie - Lema de rearanjare furnizeaz corespondenµa dintre G ³i Sn.

a ∈ G → pa =(

1 2 · · · na1 a2 · · · an

)∈ Sn

Dac se iau dou elemente b, c ∈ G ele vor putea � exprimate tot cu ajutorullemei de aranjare în maniera:

a1 a2 · · · anba1 ba2 · · · ban

(ba1 ba2 · · · ban

c (ba1) c (ba2) · · · c (ban)

)Pentru a proba izomor�smul, mai r mâne de ar tat doar c pbpc = pbc, ceea

ce înseamn c înmulµirea elementelor grupului duce la înmulµirea permut rilorcorespunz toare din Sn.

pbpc =(

a1 a2 · · · anba1 ba2 · · · ban

)(ba1 ba2 · · · ban

c (ba1) c (ba2) · · · c (ban)

)Prin calcul simplu, se ajunge la rezultatul evident:

pbpc =(

a1 a2 · · · an(cb) a1 (cb) a2 · · · (cb) an

)= pbc

Acesta con�rm c ∀ a ∈ G permut rile pa formeaz un subgrup al lui Snizomorf cu G. QED.

Exerciµii ³i probleme

1. S se scrie explicit tabelele de compunere pentru grupurile Z2, Z3, D2 siS3 de�nite mai sus.

2. Pe baza tabelelor de compunere s se identi�ce subgrupurile grupurilorZ2, Z3, D2 si S3.

1.2 Subgrup invariant. Clas lateral (coset)

Odat de�nite noµiunile primare ale teoriei grupurilor, se poate merge mai de-parte exploatând diversele moduri cum pot � partiµionate elementele unui grupîn funcµie de anumite similitudini în comportamentul lor faµ de legea de com-punere. Astfel se ajunge la noµiuni ca subgrup invariant, clas de echivalenµ sau clas lateral (coset), foarte utile în studiul structurii grupului ca ³i în teoriareprezent rilor de grupuri care va face obiectul urm toarelor capitole. Pentrusimplitatea expunerii, de aici încolo, vor renunµa la scrierea explicit a legiide compunere a grupului ca �◦� înµelegând c avem de-a face cu compunereaelementelor grupului oriunde ele apar înmulµite simplu. Doar acolo unde aparmenµionate expres mai multe legi de compunere notaµia explicit va reaparea.

1.2.1 Clase laterale. Grup factor

De�niµie: Fie a, b ∈ G, ele se numesc elemente echivalente (sau conjugate)dac exist h ∈ G astfel încât b = hah−1.

De�niµie: Toate elementele echivalente (sau conjugate) ale unui grup for-meaz o clas de echivalenµ .

Aici se impun câteva observaµii legate de clasele de echivalenµ . Întotdeaunaelementul neutru al unui grup formeaz el singur o clas de echivalenµ (sepoate demonstra relativ usor). Clasele de echivalenµ ale unui grup sunt �eidentice, �e disjuncte.

De�niµie: Dac ∀ g ∈ G ³i ∀h ∈ H - unde H este subgrup al lui G - avem c ghg−1 ∈ H atunci H se nume³te subgrup invariant.

Este evident din de�niµia de mai sus c toate subgrupurile unui grup abeliansunt subgrupuri invariante.

De�niµie: Se nume³te grup simplu un grup care nu admite niciun subgrupinvariant ne-trivial.

De�niµie: Se nume³te grup semi-simplu un grup care nu admite niciunsubgrup invariant abelian.

De�niµie: Fie G un grup ³i H ⊂ G un subgrup al s u ³i �e p ∈ G p /∈ H.Se nume³te clas lateral la stânga (left coset) mulµimea pH, iar clas lateral la dreapta (right coset) mulµimea Hp unde prin pH (respectivHp) se înµelege c elementul p înmulµe³te la stânga (respectiv la dreapta) toateelementele subgrupului H.

Legat de clasele laterale se pot demonstra câteva a�rmaµii de interes.

• Lema 1: O clas lateral nu e subgrup (din moment ce e ∈ H dar pe /∈ H).

• Lema 2: Dou clase laterale sunt sau identice, sau disjuncte.

Aceasta se poate demonstra u³or. Alegem dou clase laterale la stânga pH³i qH pentru un subgrup H ⊂ G. Presupunem c avem hi, hj ∈ H pentrucare phi = qhj . De aici rezult imediat c pq−1 = hjh

−1i ceea ce con�rm c

pq−1 ∈ H ³ conduce la concluzia c pq−1H coincide cu întregul subgrup H,adic pq−1H = H de unde rezult pH = qH. QED.

Teorema lui Lagrange: Ordinul unui grup �nit este întotdeauna multiplual ordinelor oric rui subgrup al s u.

Demonstraµie - r mâne s o demonstreze cititorul.

De�niµie: Fie H un subgrup invariant al unui grup G. Mulµimea claselorlaterale {pH, qH, ...} împreun cu operaµia de înmulµire a claselor laterale -de�nit ca (pH) (qH) = pqH - formeaz o structur de grup. Acesta se nume³tegrup factor (sau quotient) ³i se noteaz G/H.

• Lema 3: Ordinul grupului factor este ord(G/H) = n/r unde n = ord(G)iar r = ord(H) (ca o consecinµ direct a teoremei lui Lagrange).

1.2.2 Homomor�sme de grupuri

De�niµie: Fie dou grupuri (G, ◦)si (G′, •). Aplicaµia f : G→ G′ se nume³tehomomor�sm de grupuri dac f(a ◦ b) = f(a) • f(b), ∀a, b ∈ G.

De�nit anterior, izomor�smul de grupuri poate � privit acum ca un caz parti-cular de homomor�sm, ³i anume: izomor�smul de grupuri este homomor�smulbijectiv între cele dou grupuri.

De�niµie: Fie f : G → G′ un homomor�sm între dou grupuri. Se nume³tenucleu al homomor�smului mulµimeaK ⊂ G cu proprietatea c f(K) = e′ ∈ G′unde e′ este elementul neutru al grupului G′.

Propoziµie: Nucleul K = Ker(f) al unui homomor�sm f : G → G′ estesubgrup invariant al grupului G.

Demonstraµie - mai întâi se veri�c faptul c K este subgrup, prin veri�careadirect a axiomelor grupului. Fie a ³i b dou elemente din K, ceea ce înseamn c f(a) = e′ ³i f(b) = e′ adic f(a)f(b) = e′. Dar de�niµia homomor�smuluif(a)f(b) = f(ab) adic ab ∈ K - am veri�cat închiderea. Asociativitatea eautomat veri�cat , pentru c legea de compunere e aceea³i cu cea a grupuluiG. Elementul neutru e se a� evident în K, r mâne doar de ar tat c pentru∀ a ∈ K ⇒ a−1 ∈ K. Homomor�smul asigur c f

(aa−1

)= f(a)f

(a−1

e′f(a−1

). E clar, pe de alt parte, c f

(aa−1

)= f(e) = e′. Comparând cele

dou rezultate e evident c f(a−1

)= e′ ceea ce con�rm faprul c a−1 ∈ K.

Este acest subgrup ³i invariant? Cu alte cuvinte, ∀ g ∈ G rezult c gKg−1 ⊂K? S lu m un element a ∈ K. Vom avea f(gag−1) = f(g)f(a)f

(g−1

f(g)e′f(g−1

)= f(g)f

(g−1

)adic f

(gg−1

)= f(e) care, evident, este e′. Deci

elementul gag−1 este din nucleul homomor�smului. QED.

Teorema: Fie f : G→ G′ un homomor�sm între dou grupuri ³iK = Ker(f).Atunci grupul factor G/K este izomorf cu G′.

Demonstraµie - Aleg dou clase laterale (la stânga) distincte pK 6= qK dingrupul factor G/K. Prin homomor�smul f avem corespondenµele p ∈ G →p′ ∈ G′ ³i q ∈ G → q′ ∈ G′. Acum vom considera aplicaµia ρ : G/K → G′

care face jobul pK ∈ G/K → p′ ∈ G′. Astfel, ρ(pK) = p′ ³i ρ(qK) = q′.Prin calcul imediat se obµine c ρ(pK)ρ(qK) = p′q′. Dar cum )p′q′ = ρ(pqK)rezult c ρ este un homomor�sm între G/K ³i G′. Este el bijectiv? Altfel

spus, dac ρ(pK) = ρ(qK) rezult automat c qK = qK? Alegem s exprim mρ(q−1pK

(q−1KpK

(q−1K

)ρ (pK) = ρ−1 (qK) ρ (pK) = e′. De aici

e evident c q−1pK = K adic pK = qK deci homomor�smul ρ e bijectiv ⇔ ρizomor�sm. QED.

De�niµie: Fie G un grup, iar H1 ³i H2 dou subgrupuri ale sale. G esteprodusul direct al subgrupurilor H1 si H2 notat G = H1 ⊗ H2 dac suntîndeplinite simultan urm toarele condiµii:

1. h1h2 = h2h1∀h1 ∈ H1 si ∀h2 ∈ H2

2. ∀ g ∈ G ∃ !h1 ∈ H1 ³i ∃ !h2 ∈ H2 astfel încât g = h1h2

Teorema: Dac G = H1 ⊗ H2 ⊗ ... ⊗ Hn atunci Hi ∀ i = 1, n este subgrupinvariant al grupului G.

Demonstraµie - Orice element al grupului G, conform de�niµiei produsuluidirect, poate � scris în mod unic ca g = h1h2...hn.

S calcul m gh′ig−1 pentru a vedea dac subgrupul Hi este într-adev r in-

variant.

gh′ig−1 = (h1h2...hi−1hihi+1...hn)h′i (h1h2...hi−1hihi+1...hn)−1

Cum subgrupurile Hi comut dou câte dou vom avea

gh′ig−1 =

−11 h2h

−12 ...hnh

) (hih′ih−1i

)= hih

′ih−1i

E evident c hih′ih−1i ∈ Hi. QED.

1. S se g seasc toate clasele de echivalenµ ale grupului S3.

2. S se g seasc toate subgrupurile invariante ale grupului C4.

3. S se g seasc toate subgrupurile invariante ale grupului S3.

4. S se veri�ce c înmultirea claselor laterale determin o structur de grup.

5. S se g seasc grupurile factor al grupului C4.

6. S se g seasc grupurile factor al grupului C4.

7. S se demonstreze c dac G = H1 ⊗ H2 atnci G/H1 ' H2 ³i G/H2 'H1(izomorfe).

8. Fie un grup G, H un subgrup invariant al s u iar F = G/H grupul factordeterminat de acesta. S se arate c în general a�rmaµia G = F ⊗H estefals .

1.3 Reprezent ri de grupuri

Teoria grupurilor - spectaculoas ³i frumoas în sine - r mâne un exerciµiu auto-su�cient în absenµa unui domeniu de nemijlocit aplicabilitate practic . Fizica,se ³tie, are nevoie permanent de un aparat matematic din ce in ce mai so�s-ticat pentru a µine pasul cu nevoia de explicare a propriet µilor ³i a dinamiciidiverselor sisteme �zice. Iar, cum unul din conceptele fundamentale în expli-carea fenomenelor la nivelul �zicii cuantice este acela de simetrie, recursul lateoria grupurilor a p rut un demers cât se poate de natural. Soluµiile ecuaµiilordiferenµiale ori integrale ale �zicii matematice se constituie de regul ca spaµiiliniare. De aici interesul special pentru teoria grupurilor ³i mai cu seam pentrurealizarea transform rilor de grup ca transform ri liniare - le vom numi operatoriliniari - ce acµioneaz pe divrsele spaµii vectoriale ale �zicii clasice sau cuantice.Dac vorbim de sisteme cuantice (atomice sau subatomice) întreaga problema-tic se va centra pe spaµiul Hilbert al st rilor sistemului respectiv. Acestea pot� subiect al diverselor trasnsform ri de simetrie, dup cum vom vedea în cursulcapitolelor ce urmeaz . Acµiunea operatorilor liniari este în general asociativ dar nu neap rat comutativ , ceea ce sugereaz imediat analogia cu structura degrup ³i face dezvoltarea domeniului ³i mai interesant . Elementului neutru i-arcorespunde în mod �resc operatorul identitate care exist întotdeauna, �e c vorbim de spaµii vectoriale �nite sau in�nite. Probleme interesante pot ap reaîn anumite situaµii când se pune problema determin rii inversului unui operator,nu toµi �ind inversabili, dar s nu anticip m...

Pentru c suntem înc în zona construcµiilor teoretice din cadrul teoriei gru-purilor, s facem un pas mai departe ³i s trecem la introducerea notµunii dereprezentare a grupului pe un spaµiu vectorial. Presupunând c cititorul este fa-miliarizat cu noµiunile fundamentale din domeniul spaµiilor liniare vom prezentasuccint principalele propriet µi ale acestora, notaµiile ³i convenµiile uzuale.

1.3.1 Spaµiu vectorial

Defuiµie: Se nume³te spaµiu liniar sau vectorial (peste corpul real R saupeste corpul complex C) o mulµime V de obiecte - numite vectori - împreu cu(i) operaµia intern de adunare a lor ³i (ii) înmulµirea cu scalari din corpul pestecare este de�nit spaµiul, dac sunt îndeplinite urm toarele condiµii:

A Adunarea vectorilor (V,+) - determin o structur de grup abelian

1. ∀ v1, v2 ∈ V ⇒ v1 + v2 ∈ V

2. ∀ v1, v2, v3 ∈ V ⇒ (v1 + v2) + v3 = v1 + (v2 + v3)

3. ∃ ! 0 ∈ V a.i. v + 0 = 0 + v = v ∀v ∈ V

4. ∀ v ∈ V ∃ ! (−v) ∈ V a.i. v + (−v) = (−v) + v = 0

5. ∀ v1, v2 ∈ V ⇒ v1 + v2 = v2 + v1

B Înmulµirea cu scalari (vom omite semnul ·)

1. ∀α ∈ C ∀ v ∈ V ⇒ αv ∈ V

2. ∀α, β ∈ C ∀ v ∈ V ⇒ (αβ) v = α (βv)

3. ∃ ! 1 ∈ C a.i. v1 = 1v = v1 = v ∀ v ∈ V

4. ∀α, β ∈ C ∀ v ∈ V ⇒ (α+ β) v = αv + βv

5. ∀α ∈ C ∀ v1, v2 ∈ V ⇒ α (v1 + v2) = αv1 + αv2

Am preferat de�nirea de la început a spaµiilor vectoriale complexe întrucât aces-tea au un grad mai mare de generalitate ³i vor � de interes demersului nostruulterior. Spaµiile vectoriale reale sunt incluse ca un caz particular (mai simplu)al spaµiilor vectoriale complexe. Toate rezultatele obµnute în cazul spaµiilor vec-toriale complexe pot � transferate cu minime ajust ri spaµiilor vectoriale reale,pentru c R ⊂ C.

De�niµie: O submulµime V ′ ⊂ V se nume³te subspaµiu vectorial (al lui V )dac împreun cu operaµiile de adunare a vectorilor, respectiv de înmulµire cuscalarii se structureaz ca spaµiu vectorial.

De�niµie: Vectorii v1, v2, ..., vn ∈ V se numesc liniar idependenµi dac ∑i

αi vi = 0 ⇒ αi = 0, ∀ i = 1, 2, ..., n

De�niµie: Num rul maxim de vectori liniar independenµi ce pot � g siµi într-un paµiu vectorial se nume³te dimensiunea spaµiului vectorial respectiv. No-taµie: dimV = n sau Vn cu observaµia c n poate � �nit sau in�nit.

În spaµiile vectoriale se pot de�ni o mai multe operaµii între vectori. Una dincele mai importante este produsul scalar a doi vectori.

De�niµie: Se nume³te produs scalar a doi vectori v1 , v2 ∈ V un num r com-plex s = v1v2 cu propriet µile:

S1 : v1v2 = (v2v1)∗ ∀ v1, v2 ∈ V

S2 : v1 (αv2 + βv3) = α (v1v2) + β (v1v3) ∀ v1, v2, v3 ∈ V α, β

S3 : vv ≥ 0 ∀v ∈ V ∧ vv ≥= 0 ⇔ v ≡ 0 ∈ V

unde prin ∗se înµelege conjugarea complex . Se observ c produsul scalar esteliniar în termenul al doilea ³i se poate demonstra u³or c e antiliar în primul.

Cu ajutorul produsului scalar se pot de�ni normele vectorilor, spaµul dual,ortogonalitatea, completitudinea. Aici e momentul s reamntim notaµia Diracpentru vectorii unui spaµiu liniar complex.

v1 = |v1〉 , v2 = |v2〉 , v3 = |v3〉 , ..., vn = |vn〉 ∈ VnCu acest formalism, vectorii spaµiului dual vor �:

〈v1| , 〈v2| , 〈v3| , ..., 〈vn| ∈ Vniar produsul scalar se va scrie: 〈v1 | v2〉.

De�niµie: Se nume³te norma vectorului v num rul real pozitiv:

|v| =√〈v | v〉

De�niµie: Doi vectori sunt ortogonali dac ³i numai dac produsul lor scalareste nul.

〈v1 | v2〉 ≡ 0

De�niµie: Pentru un spaµiu liniar n-dimensional se poate de�ni o baz orto-normat ca un sistem de vectori liniar independenµi {|e1〉 , |e2〉 , |e3〉 , ..., |en〉} ∈Vn cu proprietatea: 〈ei | ej〉 = δij .

Orice vector |v〉 al spaµiului liniar complex Vn se poate scrie în mod unic ca:

|v〉 = v1 |e1〉+ v2 |e2〉+ v3 |e3〉+ ...+ vn |e1〉

unde numerele complexe vi, cu i = 1, 2, ..., n se numesc proiecµiile (sau com-ponentele) vectorului pe direcµia versorului |ei〉 iar operatorii Λi = |ei〉〈ei|sunt proiectorii pe direcµia respectiv . Anticipând un pic, vom da mai joscondiµia de completitudine a unei baze ortonormate:

I =∑i

|ei〉〈ei|

Aceast cerinµ este îndeplinit în mod natural în spaµiile vectoriale �nitdimensionale. În spaµiile vectoriale in�nit dimensionale îndeplinirea acestei con-diµii nu este trivial .

Încheiem secµiunea dedicat spaµiilor liniare prezentând convenµia de sumarea indicilor �muµi� (Einstein): dac un indice apare succesiv în poziµie superioar respectiv inferioar atunci se subînµelege sumare dup el peste toate valorile pecare le poate lua.

1.3.2 Reprezent ri pe spaµii liniare

De�niµie: Fie G un grup. Se nume³te reprezentare a grupului G pestespaµiul vectorial V un homomor�sm U : G→ End(V ), unde am notat End(V )mulµimea endomor�smelor pe spaµiul vectorial V .

Este evident c reprezentarea U va satisface condiµiile:

U(e) = 1 U(a)U(b) = U(ab) (1.3)

Cu aceast de�niµie devine clar c reprezentarea unui grup este de fapt apa-ratul prin care se vor realiza propriet µile abstracte ale grupului în mulµimeaendomor�smelor inversabile pe un anume spaµiu vectorial (în �ecare caz concret,altul). Cu alte cuvinte, �rolurile� pe care elementele grupului le au în �piesa�compunerii din interiorul grupului vor � �interpretate� pe �scena� spaµiului vec-torial al st rilor de c tre �actorii� - operatori liniari.

g ∈ G → U(g) (1.4)

De�niµie: Dimensiunea reprezent rii este dimensiunea spaµiului vectorial pestecare ea este de�nit .

Dac reprezentarea este un izomor�sm, atunci ea se va numi �faithful� saureprezentare 1-la-1. Daca r mânem în cadrul general al homomor�semelorcare nu sunt 1-la-1 atunci ea se zice degenerat . S ne focaliz m acum perealizarea concret a unei reprezent ri de grup peste un spaµiu vectorial V �nitdimensional (dim(V ) = n) a carui baz ortonormat ³i complet este dat devectorii: |e1〉,|e2〉,...,|en〉.

Reprezentarea U se va realiza prin matricile D asociate operatorilor care auurm toarea form în baza dat :

[D (g)]ij = 〈ei | D (g) | ej〉 (1.5)

De aici, exploatând de�nirea reprezent rii ³i completitudinea bazei spaµiuluiliniar în care ea acµioneaz , se va obµine regula de înmulµire a operatorilor cede�nesc reprezentarea.

[D (g1g2)]ij = [D (g1)D (g2)]ij

= 〈ei | D (g1)D (g2) | ej〉

〈ei | D (g1) | ek 〉〈 ek | D (g2) | ej〉

[D (g1)]ik [D (g2)]kj

Se observ c aceast regul se reduce de fapt la regula de înmulµire a ma-tricelor complexe n× n.

Într-o scriere echivalent , se poate da regula de acµiune a operatorilor repre-zent rii pe vectorii bazei

U(g) |ei〉 = |ej〉D(g)ji (1.6)

unde primul indice (cel superior) reprezint num rul coloanei matricei, iar aldoilea (cel inferior) num rul liniei corespunzatoare. Indici care se repet înpoziµie inferioar respectiv superioara sunt �indici muµi� subînµelegându-se c se sumeaz dup toate valorile lor 1, 2, ..., n (convenµia Einstein).

Exemple

1. Orice grup G admitee reprezentarea trivial 1-dimensional U(g) = 1pentru ∀ g ∈ G.

2. Pentru grupul matricilor n × n se poate da o reprezentare prin determi-nantul �ec rei matrici: U(g) = det(g).

Teorema: Fie un grup G si H un subgrup invariant netrivial al s u. Atunci:1. Orice reprezentare a grupului factor K = G/H este o reprezentare ³i

pentru grupul G.2. Dac U(G), o reprezentare a grupului G, este degenerat , atunci el admite

cel puµin un subgrup invariant netrivial.Demonstraµie - 1. Prima a�rmaµie este evident întrucât elementele grupului

factor sunt de fapt clasele de echivalenµ ale elementelor sale. Se poate construio aplicaµie φ : G → K care s fac job-ul pH → p′ ∈ G/H respectiv qH →q′ ∈ G/H . O reprezentare a grupului factor G/H pe un spaµiu vectorial Vva asigura U (p′)U (q′) = U (p′q′). Dar cum orice element din clasa pH poate� reprezentat de U (p′) concluzia e imediat . QED. 2. A doua a�rmaµie ned informaµia c aplicaµia care duce de la elementele grupului endomor�smul(reprezentarea) pe V nu este injectiv . Aceasta conduce la faptul c nucleulacestei aplicaµii nu este format doar din elementul neutru al grupului e, adic am g sit subgrupul invariant trivial. QED.

Corolar: Reprezent rile grupurilor simple sunt întotdeauna 1-la-1.

Ceea ce face reprezent rile de grupuri atât de atractive din perspectiva �zicia-nului teoretician este faptul c prin intermediul lor propriet µile grupului (de-terminate esenµial de regula de compunere ³i de ordinul acestuia) sunt preluatetelle-quelle de operatorii liniari ce acµioneaz pe vectorii spaµiului de reprezen-tare. Pentru �ecare problem speci�c se pot alege în modul cel mai convenabilace³ti vectori. Se poate trece de la un set de vectori la altul prin simpla acµiunea unor transform ri liniare - s le numim de similaritate - în general inversabile,care permit construirea unor reprezent ri similare absolut echivalente dar multmai u³or de manipulat.

De�niµie: Dou reprezent ri U ³i U ′ ale aceluia³i grup G se numesc echi-valente (sau similare) dac exist un endomor�sm inversabil S care satisfacerelaµia:

U ′ (g) = SU (g)S−1 (1.7)

De�niµie: Fie un grup G si g ∈ G iar U (g) o reprezentare a sa. Se nume³tecaracterul lui g urma reprezent rii:

χ (g) = TrU (g) (1.8)

Pentru o reprezentare prin matrici, caracterul se exprim , conform de�niµieiurmei ca sum a tuturor elementelor diagonale ale matricii respective.

χ (g) =∑i

[D (g)]ii (1.9)

Corolar: Caracterul este o etichet de clas .Demonstraµie - Alegem dou elemente g ³i g′ echivalente (aparµinând acele-

ia³i clase). Atunci va exista un element p ∈ G astfel încât g = pg′p−1. Carac-terul lui g va � χ (g) = TrD (g) = TrD

(pg′p−1

)= TrD

(gp−1p

)= TrD (g′) =

χ (g′) . QED.

De�niµie: Se nume³te reprezentare reductibil o reprezentare ce admite unsubspaµiu invariant netrivial.

O astfel de reprezentare poate � exprimat de o matrice de forma:

D (g) =

D1 (g) D′ (g)

0 D2 (g)

(1.10)

cu D′ (g) în principiu nenul.Fie P proiectorul pe un subspaµiu al spaµiului de reprezentare. Subspaµiul

determinat de acest proiector este invariant la acµiunea unei reprezent ri D (g)dac acµiunea reprezent rii pe acest subspaµiu duce tot la vectori din subspaµiulrespectiv. Formal, acest fapt se exprim prin relaµia:

PD (g)P = D (g)P, ∀ g ∈ G (1.11)

De�niµie: Dac spaµiul de reprezentare nu admite subspaµii invariante ne-triviale el se zice minimal.

De�niµie: O reprezentare se zice ireductibil dac nu este reductibil .

De�niµie: O reprezentare este complet reductibil dac este echivalent cuo reprezentare a c rei matrice poate � scris în forma bloc diagonal .

D (g) =

D1 (g) 0 · · ·0 D2 (g)...

(1.12)

O reprezentare în forma bloc diagonal este o sum direct de subreprezen-t ri ireductibile Di (g) notat :

D (g) = D1 (g)⊕D2 (g)⊕ · · · (1.13)

Plecând de la aceast descompunere, se poate rede�ni noµiunea de reducti-bilitate. O reprezentare este complet reductibil dac ea poate � descompus într-o sum direct de reprezent ri ireductibile.

1. S se demonstreze inegalitatea Cauchy-Buniakowski-Schwarz

2. S se demonstreze c determinantul poate funcµiona ca o reprezentare aunui grup de matrici (exemplul 2)

3. S se demonstreze c pentru orice grup, caracterul este el insu³i o repre-zentare.

1.4 Reprezent ri unitare

Spaµiile vectoriale de care ne vom ocupa atunci când studiem reprezent rilediverselor grupuri de simetrie din �zic sunt spaµii vectoriale, de cele mai multeori in�nit dimensionale cum sunt spaµiile Hilbert speci�ce mecanicii cuantice.Într-un astfel de spaµiu vectorial are sens s de�nim o categorie special dereprezent ri, reprezent rile unitare.

De�niµie: O reprezentare U (g) se nume³te unitar dac satisface relaµia:

U† (g)U (g) = 1, ∀ g ∈ G (1.14)

Teorema: O reprezentare unitar reductibil este complet reductibil .Demonstraµie - este imediat . Fie spaµiul de reprezentare V ³i V1 ⊂ V

un subspaµiu invariant. Atunci V = V1 + V2 (cu vectorii bazei ortonormaµi⟨ej∣∣ ei〉 = 0 pentru ∀ |ei〉 ∈ V1 ∀ |ej〉 ∈ V2 ), ³i în mod obligatoriu V2 va �

⟨ej∣∣U† (g)U (g) ei〉 = 0 adic

⟨ej (g)

∣∣ ei (g)〉 = 0. QED.

Teorema: Orice reprezentare a unui grup de ordin �nit este echivalent cuo reprezentare unitar

Demonstraµie - Fie G un grup de ordin �nit, V un spaµiu de reprezentaren-dimensional, iar D(g) o reprezentare a acestui grup peste spaµiul liniar consi-derat. Constrium operatorul

S =∑g∈G

D† (g)D(g)

care este hermitic S† = S ³i semipozitiv de�nit, astfel c el poate � diagonalizatiar valorile propri sunt nenegative d1 ≥ 0 ∀i.

d1 0 · · ·0 d2 · · ·...

.... . .

Se poate ar ta c toate valorile propri sunt de fapt strict pozitive d1 > 0 ∀i.

Dac o singur valoare proprie ar � nul ar însemna c avem un vector |λ〉 pentrucare S ar avea valoarea proprie zero S |λ〉 = 0. Asta ar însemna c

〈λ|S |λ〉 =∑g∈G〈λ|D† (g)D(g) |λ〉

adic ar exista un |λ〉 care ar face ca D(g) |λ〉 s se anuleze pentru toµi g ∈ G,ceea ce ar contraveni D(e) = I.

Se poate construi reprezentarea unitar U(g)

U(g) = XD(g)X−1

unde operatorul inversabil X este

√d1 0 · · ·0

√d2 · · ·

......

U† (g)U(g) =

(X−1

) †D† (g)X†XD(g)X−1

=(X−1

) †D† (g)SD(g)X−1

=∑g′∈G

D† (g)D† (g′) (g′)D (g)

=∑g′′∈G

D† (g′′)D (g′′)

Tocmai am obµinut c orice reprezentare a unui grup �nit este echivalent cu o reprezentare unitar ! QED.

Corolar: Orice grup �nit dac admite reprezent ri reductibile acestea suntcomplet reductibile.

Demonstraµia - este imediat pe baza teoremei anterioare. Reprezent rileoric rui grup �nit sunt echivalente cu reprezent ri unitare care dac sunt reduc-tibile sunt complet reductibile. QED.

1.5 Lemele lui Schurr

Lema Schurr 1: Fie dou reprezen ari ireductibile U (g) ³i U ′ (g) ale unuigrup G peste dou spaµii vectoriale V ³i V ′ ³i o transformare liniar A : V → V ′

cu proprietatea c AU (g) = U ′ (g)A, ∀ g ∈ G. Atunci este adevarat una dina�rmaµiile:

(1) A = 0(2) A 6= 0 ⇒ U ′ (g) ∼ U (g) reprezentarile sunt echivalente.Demonstraµie - Presupun c exist un vector |λ〉 ∈ V pentru care A |λ〉 = 0.

Atunci proiectorul pe subspaµiul Vλ ⊂ V subîntins de |λ〉 va � Pλ = |λ〉〈λ|³ivom avea c :

AU (g)P = U ′ (g)AP = 0

rezult c U (g) |λ〉 ∈ Vλ, adic Vλ este subspaµiu invariant al reprezent rii U (g),dar pentru c reprezentarea U (g) am considerat-o de la început ireductibil rezult c Vλ ≡ V . În aceste condiµ �e A ≡ 0 pe tot spaµiul V �e este omatrice (cu num r de coloane egal cu num rul de linii) inversabil / Atuncirezult imediat c

AU (g)A−1 = U ′ (g)

ceea ce nu e altceva dec t echivalenµa celor dou reprezent ri. QED.

Lema Schurr 2: Fie un grup G ³i U (G) o reprezentare �nit dimensional ireductibil peste un spaµiu vectorial Vn în care acµioneaz un operator liniararbitrar A (un edomor�sm). Dac A comut cu toµi operatorii U (g) ∀g ∈ Garunci A este multiplu al operatorului identitate.

AU (g) = U (g)A, ∀ g ∈ G ⇒ A = λI (1.15)

Demonstraµie - Presupun c operatorul A admite un subspaµiu invariantVλ determinat de vectorul |λ〉. Dac scriem problema de valori propri pentruoperatorul A: A |λi〉 = λi |λi〉

AU (g) |λi〉 = U (g)A |λi〉 = λiU (g) |λi〉

Vectorul U (g) |λi〉 ∈ Vλadic aacest spaµ este subspaµiu invariant ³i pentrureprezentarea U (g). Cum reprezentarea U (g) este ireductibil singura posibili-tate este ca Vλ ≡ V . Pe cale de consecinµ λi este unic pentru întreg spaµiul dereprezentare. A = λI. QED.

Corolar: Grupurile abeliene admit reprezent ri ireductibile 1-dimensionale.Demonstraµie - Fie G un grup abelian ³i un element p ∈ G. Comutativitatea

grupului asigur egalitatea: pg = gp,pentru ∀g ∈ G. Trecând la reprezent rilegrupului G vom avea c U (p)U (g) = U (g)U (p), ∀g ∈ G. Din lema 2 a luiSchurr va rezulta c U (p) = λpI.

1. S se demonstreze c un set de operatori liniari A ³i B care comut întreei [A , B] = 0 admit un sistem de vectori propri comuni.

1.6 Ortogonalitate ³i completitudine

Pentru început d m câteva notaµii utile ale unor m rimi ce vor face obiectul maimultor teoreme ³i relaµii remarcabile pentru teoria reprezent rilor de grupuri.Pentru un grup G avem:

• nG - ordinul grupului

• µ , ν , ... - reprezent ri ireductibile neechivalente

• nµ - dimensiunea reprezent rii µ

• Dµ(g) - matricea elementului g în reprezentarea µ

• χµi - caracterul clasei de echivalenµ ςi în reprezentarea µ

• ni - num rul de elemente ale clasei ςi

• nC - num rul de ale clase ale grupului

1.6.1 Ortogonalitatea matricilor reprezent rilor

Teorma: Cu notsµiile de mai sus, avem urm toarea relaµie de ortonormalitatepentru reprezent rile ireductibile neechivalente Dµ(g) ale unui grup G:

[D†µ(g)

(g)]jl

= δνµδji δkl (1.16)

unde am notat[D†µ(g)

=[[Dν

(g)]jl

Demonstraµie - Fie X o matrice complex nµ × nν . Cu ajutorul ei se poateconstrui matricea:

M =∑g

D†µ(g)XDν

Se veri�c u³or c Dµ(g)M = MDν(g), ∀g ∈ G. Calcul m

MDν(p) =∑g

D†µ(g)XDν

care prin lema de rearanjare devine succesiv:

=∑g1

D†µ(g1p−1)XD

=∑g1

D†µ(p−1)D†µ (g1)XD

= Dµ(p)M

Conform lemei lui Schurr aici avem dou posibilit µi. Dac µ 6= ν atunciobligatoriu M ≡ 0 sau dac µ = ν atunci M = λI. Ambele posibilit µi pot �puse sub forma M = λδνµ.

Aleg o familie de matrici(Xkl

= δki δjl ³i calcu m:(

∑i,j

D†µ (g)mj(Xkl

)jiDµ (g)in

∑i,j

D†µ (g)mj δki δjlD

µ (g)in

D†µ (g)ml Dµ (g)kin

Cum(Mkl

= λki δmn rezult c vom avea λki δ

∑gD†µ (g)ml D

µ (g)kin.Aplicând Trace se va obµine:

Tr(λki δ

)= λki

δmn = λki nµ

D†µ (g)ml Dµ (g)kin

[D†µ (g)Dµ (g)

δkl = nGδkl .

Ceea ce am obµinut este c

λki =nGnµ

Combiunând rezultatele obµinute, se ajunge exact la formula enunat înteorem . QED.

Observaµie Dac rede�nim reprezent rile ireductibile neechivalente prin nor-malizare adecvat

Dµ (g) →√nµnG

Dµ (g)

atunci acestea vor � funcµii ortonormate de elementele grupului. Mai mult,aceste reprezent ri ireductibile vor forma un set complet de �funcµii� în care seva putea dezvolta orice funcµie arbitrar de elementele grupului F (g).

Teorema: Pentru reprezent rile ireductibile ale unui grup avem urm toarelerelaµii:

1. Dimensiunile reprezent rilor ireductibile neechivalente satifsfac:∑µ

n2µ = nG (1.17)

2. Pentru elementele de matrice avem:∑µ,l,k

nµ [Dµ(g)]kl[D†µ (g′)

= nGδgg′ (1.18)

Demonstraµie - Plecând de la relaµia (1.16) se observ c ea devine∑g

nµ[D†µ(g)

(g)]ik

= nGδνµ

iar mai departe când se impune condiµia ca reprezent rile µ ³i ν s coincid ³i seaplic urma, avem: Tr

[D†µ(g)

(g)]ik

= nG adic exact relaµia (1.17).QED. (Formula (1.18) r mâne s o demonstreze cititorul.

1.6.2 Ortogonalitatea caracterelor

Lema: Pentru caracterele reprezent rilor ireductibile Uµ(g)∑h∈ςi

Uµ(h) =ninµχµi I (1.19)

Demonstraµie - Construiec operatorul Ai =∑h∈χi U

µ(g) ³i veri�c c elcomut orice reprezentare Uµ(g).

Uµ(g)Ai [Uµ(g)]−1 =∑h∈ςi

Uµ(g)Uµ(h)Uµ(g−1

)=∑h∈ςi

Uµ(ghg−1

pentru c ghg−1 ∈ ςh, astfel c din lema lui Schurr va rezulta forma operatoruluiAi = λiIµ. Dac se calculeaz urma în ambele p rµi ale egalit µii, se ajunge la

Tr (λiIµ) =∑h∈ςi

Tr [Uµ (g)] = niχµi

de unde rezult c λinµ = niχµi care duce direct la relaµia din enunµul teoremei.

Teorema: Ortonormarea ³i completitudinea caracterelor unui grup se exprim :∑ininG

(χ†)iµχνi = δνµ

∑µ χ

(χ†)jµ

= δji

(1.20)

unde(χ†)jµ

=(χµj)∗.

Demonstraµie -(i) Pornim de la

[D†µ(g)

(g)]jl

= δνµδji δkl

care pentru k = i ³i j = l duce la urmele reprezent rilor, adic la caracterelecorespunz toare. χ†iµ (g) =

[D†µ(g)

]iiiar χνj =

(g)]jj.

[D†µ(g)

(g)]jj

= δνµIµδji

Aici se aplic urma:

χ†µχν = δνµnµ

χ†iµ χνi = δνµ

(ii) Pornim de la ecuaµia (1.19) ³i avem∑h∈ςi

Uµ(h) =ninµχµi I ⇒

∑h∈ςi

[Uµ(h)]kl =ninµχµi δ

∑µ,k,l

∑g∈ςi

∑g′∈ςj

[Dµ (g)]lk[D†µ (g′)

=∑µ,k,l

[(nµnG

)(ninµχµi δ

)(ninµχ †jµ δkl

=∑µ,i,j

ninjnG

χµi χ†jµ = niδ

pentru c ∑g∈ςi

∑g′∈ςj δgg′ = niδ

ij ³i se ajunge la rezultatul dorit. QED.

Tabela 1.2: Tabela caracterelorµ \ i ς1 ς2 ς3 · · · ςnC

1 χ11 χ1

2 χ13 · · · χ1

2 χ21 χ2

2 χ23 · · · χ2

3 χ31 χ3

2 χ33 · · · χ3

......

.... . .

...µ χν1 χν2 χν3 · · · χνnC

De�niµie: Se nume³te caracter normalizat χνi exprimat ca

χνi =√ninG

χνi (1.21)

De�niµie: Se nume³te tabela de caractere reprezentarea sub form detabel în care pe linii se pun reprezent rile iar pe coloane clasele

Teorema: În reducerea unei reprezent ri U(G) a unui grup dat G la o sum de reprezent ri ireductibile, num rul de câte ori apare reprezentarea ireductibil Uν (G) este dat de

aν = χ†ν χ (1.22)

Demonstraµie - Scriem reprezentarea U(G) ca o sum direct de reprezent riireductibile:

U(g) =∑µ

Uµ(g) Uµ(g) · · · Uµ(g)︸︷︷︸de aµ ori

Se calculeaz caracterul reprezent rii ca urm a matricei reprezent rii, echi-valent cu suma caracterelor reprezent rilor ireductibile :

χ(g) = TrU(g) =∑µ

χµ(g) χµ(g) · · · χµ(g) =∑µ

aµχµ(g)

Evident, χ(g) = χi este caracterul clasei de echivalenµ a elementului g .Trecem la caractere normalizate

∑µ aµχ

νi = χi astfel c dac acum aplic m la

stânga înmulµirea cu caracterul χ†ν ³i sum m dup i. Vom avea∑i

χ†iν χi =∑i

aµχ†iν χ

aµδµν

iar pentru c χ =∑i χi rezult imediat c aν = χ†ν χ. QED.

Teorema: Condiµia necesar ³i su�cient pentru ca o reprezentare U(G) s �e ireductibil este

χ†χ = 1 (1.23)

Demonstraµie - Exprimând χ = (∑ν aνχ

ν) ³i χ† =(∑

µ aµχ†µ

)vom avea c

χ†χ =∑µ

• implicaµia �⇒�

Dac U(G) este reprezentare ireductibil înseamn c singura reprezentare carecare va ap rea în suma direct va � Uµ(G) iar asta implic aµ = 1 ³i aν =0 , ∀ν 6= µ, ceea ce echivaleaz cu

∑µ a

2µ = 1, adicde mai sus, adic χ†χ = 1.

• implicaµia �⇐�

Dac relaµia χ†χ = 1 are loc, atunci e imposibil ca în suma∑µ a

2µ s mai apar

vreun alt termen nenul în afar de aµ care, el singur, va avea valoarea 1. Deunde rezult c U(G) = Uµ(G), adic reprezentarea U(G) este ireductibil .QED.

1. S se deomnstreze c pentru grupurile abeliene relaµia de ortogonalitate areprezent rilor se va scrie:

d†µ(g)dν(g) = δνµ

2. S se construiasc tabela de caractere pentru grupul Z2.

3. S se construiasc tabela de caractere pentru grupul D2.

4. S se construiasc tabela de caractere pentru grupul S3.

1.7 Reprezent ri regulate

De�niµie: Se numete reprezentare regulat (∆) pentru un grup �nit deelemente {g1 , g2 , ... , gn} cu legea de compunere gigj = gk

gigj = gk (∆i)kj cu (∆i)

1 , pt. k = j

0 , pt. k 6= j(1.24)

Demonstraµie - S veri�c m c ∆ de�nit mai sus este într-adev r o repre-zentare. Pentru aceasta lu m trei elemente din grupul G: a , b , c astfel încâtab = c. Dac ∆ este o reprezentare atunci ∆a∆b = ∆c.

Conform de�niµiei avem c

(ab) gi = cgi ⇒ (ab) gi = gm (∆c)mi

dar pe de alt parte

a (bgi) = agk (∆b)ki ⇒ a (bgi) = gm (∆a)mk (∆b)

Din cele dou relaµii de mai sus rezult imediat c :

(∆c)mi = (∆a)mk (∆b)

ki ⇒ ∆c = ∆a∆b

Observaµie: Este important de atras atenµia aici asupra faptului c de�niµiareprezent rii regulate gigj = gk (∆i)

kj este o form nou sub care reg sim

teorema lui Cayley a ∈ G → pa ∈ Sn.

a ∈ G → pa =(

1 2 · · · nGa1 a2 · · · anG

)∈ Sn

agi = gk (∆a)kjadic

(∆a)kj = δkai (1.25)

³i devine banal de veri�cat:

(∆a)mk (∆b)ki = δmakδ

kbi = δmabii = (∆ab)

Teorema: Reprezentarea regulat conµine toate reprezent rile ireductibile ne-echivalente µ, �ecare reprezentare ireductibil neechivalent ap rând de un nu-m r de ori egal cu dimensiunea reprezent rii ireductibile respective nµ ³i în plusare loc egalitatea

∑µ n

2µ = nG.

Demonstraµie - Fie UR(g) reprezentarea regulat a grupului G ³i aRµ num rulde câte ori apare reprezentarea ireductibil µ în reprezentarea regulat UR(g) =∆.

∆(g) =∑µ

Uµ(g) Uµ(g) · · · Uµ(g)︸︷︷︸de aRµ ori

Conform teoremei de reducere a unei reprezent ri la suma direct a repre-zent rilor sale ireductibile avem c aRµ = χ†νχ

R =∑ininGχ†iµ χ

Ri , adic

aRµ =n1

nGχ†1µ χ

nGχ†2µ χ

R2 + · · ·

Dar, în reprezentarea regulat , caracterele tuturor claselor de echivalenµ - cuexcepµia clasei de echivalenµ a identit µii e - se vor anula pentru c (∆g)

kj = δkgi

(care are elemente diagonale nenule numai dac g = e).Deci suma care d num rul aRµ conµine un singur element, corespunz tor

identitat µii cu n1 = 1

aRµ =1nG

χ†1µ χRe =

χ†1µ nG = nµ

Partea a doua a teoremei se demonstreaz plecând de la reprezentarea regulat corespunz toare elementului identitate

∆(e) = InG×nG

Pe de alt parte ∆(e) se poate scrie ca sum a reprezent rilor ireductibileneechivalente µ �ecare ap rând de nµori. astfel c I =

∑µD

µ(e) Dµ(e) · · · Dµ(e). Atunci când se calculeaz urma identit µii se obµine nG iar, pen-tru c suma reprezent rilor ireductibile neechivalente conµine de nµori �ecarereprezentare de dimensiune nµ, urma acestei sume va �

∑µ n

2µ. QED.

1. S se precizeze reprezentarea regulat a grupului D2.

2. S se g seasc reprezent rile regulate ale grupului Z2.

1.8 Coe�cienµii Clebsch-Gordan

Fie dou spaµii vectoriale U ³i V . Pentru acestea vom avea bazele ortonormate{|ui〉 i = 1, nU

}respectiv

{|vj〉 j = 1, nV

}. Construim spaµiul produs direct al

celor dou spaµii notat cu W = V ⊗ V . Vectorii |wk〉 = |ui〉 ⊗ |vj〉 acestui nouspaµiu vor � indexaµ de k = ij.

Presupunem c avem operatorii liniari A ³i B ce acµioneaz pe spaµiile U ³irespectiv V .

A : U → U A |ui〉 = |ui′〉Ai′

B : V → V B |vj〉 = |vj′〉Aj′

Cu ajutorul lor putem construi operatorul D = A ⊗ B care va acµiona pevectorii spaµiului produs direct W .

D : W →W D |wk〉 = |wk′〉Dk′

unde vom avea Dk′

k = Ai′

iBj′

j - produs Kronecker de operatori.Problematica produselor directe de spaµii vectoriale este strâns legat de teo-

ria reprezent rilor de grupuri. S lu m, spre exemplu, reprezentarea matricial D (G) a unui grup ³i �e dou realiz ri µ ³i ν ale ei pe spaµii de dimensiuninµ ³i nν . Reprezentarea produs direct va � Dµ×ν (G) = Dµ (G) ⊗ Dν (G).Pentru aceasta s calcul m caracterul χµ×ν . El va � χµ×ν = TrDµ×ν (g) =Dµ×ν (g)kk = Dµ (g)iiD

ν (g)jj = TrDµ (g) · TrDν (g) = χµχν . Cu alte cuvinte,caracterul produsuluid e reprezent ri este egal cu produsul caracterelor �ec reireprezent ri în parte. Evident, dimensiunea reprezent rii produs direct va �n2µn

2ν .O problem fundamental apare aici. Cum putem �sparge� o reprezentare

produs direct în sum direct de reprezent ri ireductibile neechivalente? Adic

Dµ×ν (G) =∑λ

⊕aλDλ (g)

Conform teoremei vom avea aλ = χ†λχµ×ν adic

aλ =∑i

χ†iλ (χµi χνi )

Cu aceste preliminarii s ad ug m c în spaµiul produs direct W vom aveavectorii bazei produs direct

{|i j〉 , i = 1, nµ , j = 1, nν

}. Pe de alt parte, în

noua baz vom avea vectorii{|(µν)λα l〉 , λ = 1, 2, ... , α = 1, aλ , l = 1, nλ

Aceasta este baza descompunerii în sum direct . Semni�caµia �ec rui indiceeste clar : λ va da num rul de reprezent ri ireductibile neechivalente, α de câteori apare �ecare reprezentare ireductibil neechivalent în suma direct , iar ldimensiunea �ec rei reprezent ri ireductibile neechivalente.

Evident c cele dou baze ortonormate sunt legate printr-o transformareunitar - aceasta �ind dat chiar de coe�cienµii Clebsch-Gordan.

De�niµie: Se numesc coe�cienµi Clebsch-Gordan:

|(µν)λα l〉 =∑i,j

|i j〉〈i j |(µν)λα l〉 (1.26)

Teorema (ortonormarea ³i completitudinea Clebsch-Gordan): Pentrucoe�cienµii Clebsch-Gordan ai unei descompuneri în sum direct de reprezen-t ri ireductibile neechivalente a unei reprezent ri produs direct avem urm toa-rele relaµii de ortogonalitate ³i completitudine:∑

λ,α,l

〈i j |(µν)λα l 〉〈 (µν)λα l| i′ j′〉 = δii′δjj′ (1.27)

∑i,j

〈(µν)λα l |i j 〉〈 i j| (µν)λ′ α′ l′〉 = δλλ′δαα′δll′ (1.28)

Demonstraµie - este imediat datorit ortonorm rii bazelor din spaµiul pro-dus direct.

Teorema (descompunerea reprezent rii produs direct): Au loc urm -toarele relaµii:

Dµ (g)i′

i Dν (g)j

j = 〈i′ j′ |(µν)λα l′〉Dλ (g)l′

l 〈(µν)λα l| i j〉 (1.29)

Dλ (g)l′

l δλ′

λδα′

α =⟨

(µν)λ′ α′ l′∣∣∣i′ j′ ⟩Dµ (g)i

i Dν (g)j

⟨i j∣∣∣ (µν)λα l

⟩(1.30)

(i) Fie reprezentarea matricial Dµ×ν(g). Ea va acµiona pe vectorii bazei astfel:

U(g) |i j〉 = |i′ j′〉Dµ (g)i′

i Dν (g)j

U(g) |(µν)λα l〉 = |(µν)λα l′〉Dλ (g)l′

la care se adaug coe�cienµii Clebsch-Gordan

|i j〉 =∑λ,α,l

|(µν)λα l 〉〈 (µν)λα l| i j〉

Cu aceste preliminarii trecem la calculul acµiunii reprezent rii pe ace³ti vec-tori pentru a obµine regula de descompunere în reprezent ri ireductibile neechi-valente.

U (g) |i j〉 = U (g)∑λ,α,l

|(µν)λα l 〉〈 (µν)λα l| i j〉

=∑λ,α,l

∣∣∣(µν)λα l′⟩Dλ (g)l

⟨(µν)λα l

∣∣∣ i j〉=∑λ,α,l

∑i′,j′

|i′ j′ 〉〈 i′ j′| (µν)λα l′〉Dλ (g)l′

l 〈(µν)λα l |i j〉

Identi�când relaµiile ajungem la

Dµ (g)i′

i Dν (g)j

j =∑λ,α,l

〈i′ j′| (µν)λα l′〉Dλ (g)l′

l 〈(µν)λα l |i j〉

= 〈i′ j′|

∑λ,α,l

|(µν)λα l′〉Dλ (g)l′

l 〈(µν)λα l|

|i j〉adic la relaµia dintre reprezent rile produs direct în funcµie de reprezent rilesum direct . QED.

(ii) Pe de alt parte calcul m acµiunea reprezent rii pe vectorii bazelor des-compunerii:

U(g) |(µν)λα l〉 = U(g)∑i,j

|i j〉〈i j |(µν)λα l〉

= |i′ j′〉Dµ (g)i′

i Dν (g)j

j 〈i j |(µν)λα l〉

λ′,α′,l′

|(µν)λ′ α′ l′〉〈(µν)λ′ α′ l′ |i′ j′〉Dµ (g)i′

i Dν (g)j

j 〈i j |(µν)λα l〉

de unde rezult

Dλ (g)l′

l δλ′

λδα′

α =⟨

(µν)λ′ α′ l′∣∣∣i′ j′ ⟩Dµ (g)i

i Dν (g)j

⟨i j∣∣∣ (µν)λα l

⟩care este chiar regula de obµinere a reprezent rilor ireductibile neechivalente aleunei reprezent ri produs direct. QED.

Capitolul 2

Algebr grupal

2.1 Structura de algebr liniar . Algebr Lie

Dac în secµiunile capitolului precedent am alocat spaµiu prezent rii a dou dinstructurile algebrice fundamentale - grupul ³i spaµiul vectorial - , consider m utilde a recapitula frugal aici modul de de�nire al celei de-a treia structuri implicateîn studiul grupurilor ³i algebrelor Lie, anume structura de algebr îns ³i.

De�niµie: O algebr liniar (complex ) const dintr-un spaµiu liniar V încare se de�ne³te înmulµirea vectorilor (�) care satisface urm toarele postulate:

A1 : ∀ a , b ∈ V ⇒ a� b ∈ V

A2 : ∀ a , b, c ∈ V ⇒ (a+ b) � c = a� c+ b� c

A3 : ∀ a , b , c ∈ V ⇒ a� (b+ c) = a� b+ a� c

Mai departe, se pot postula adiµional o serie de alte criterii pe lâng A1 -A3 în funcµie de tipul de algebr ce se dore³te a � construit .

A4 : ∀ a , b , c ∈ V ⇒ a� (b� c) = (a� b) � c

A5 : ∃ ! 1 ∈ V a.i a� 1 = 1� a = a ∀ a ∈ V

A6 : ∀ a , b ∈ V ⇒ a� b = ± b� a

A7 : ∀ a , b , c ∈ V ⇒ a� (b� x) = (a� b) � c+ b� (a� c)

A4 conduce la o algebr asociativ , A5 vizeaz algebrele cu element neutru(care, în general, este diferit de elementul neutru de la înmulµirea cu scalari sau

de la adunarea vectorilor), A6 de�ne³te algebrele simetrice, respectiv antisime-trice, iar A7 pe cele de tip �derivativ�.

Un exemplu la îndemân de algebr asociativ cu element neutru este spaµiulmatricilor n×n reale (complexe) pentru care sunt de�nite adunarea matricilor,înmulµirea cu scalari ³i operaµia de înmulµire a matricilor.

De�niµie: Se nume³te algebr Lie o algebr a c rei lege multiplicativ anti-simetric este dat prin relaµii de comutare:

A�B = [A , B] = AB −BA (2.2)

O astfel de algebr - se veri�c relativ u³or - nu are nici element neutru, nicinu este asociativ , deci postulatele A4 ³i A5 nu se aplic în cazul ei. În schimbatât A6 cât ³i A7 sunt veri�cate. Mai mult, A7 permite deducerea identit µiiJacobi. S explicit m expresiile [A, [B , C]], [B , [C , A]] , respectiv [B , [C , A]]

[A , [B , C]] = ABC −ACB −BCA+ CBA

[B , [C , A]] = BCA−BAC − CAB +ACB

[C , [A , B]] = CAB − CBA−ABC +BAC

Îrsumând membru cu membru cele trei expresii de mai sus vom identi�cacelebra identitate Jacobi:

[A , [B , C]] + [B , [C , A]] + [C , [A , B]] = 0 (2.3)

Mai multe propriet µi ale algebrelor Lie vor � prezentate în capitolul urm torunde acestea vor � asociate într-o manier speci�c grupurilor Lie.

1. S se arate c spaµiul vectorial al matricilor reale, simetriceMij = Mji nuformeaz o structur de algebr liniar .

2. Cum ar trebui de�nit legea de multiplicare a algebrei pentru ca matricilereale simetrice s se organizez într-o algebr liniar ?

2.2 Algebra grupal - propriet µi generale

De�niµie: Fie un grup �nit dimensional - cu elementele {g1 , g2 , · · · , gnG} -de ordin nG împreun cu legea multiplicativ ◦ intern a grupului. Mulµimeacombinaµiilor liniare formal contruite ca r = gir

i - cu ri ∈ C, gi ∈ G ³i sumaredup indicele �mut� - se nume³te algebra grupal asociat grupului G., notat G .

Dac ne referim la de�niµia (2.1) a algebrei liniare generale vom identi�ca spa-µiul vectorial nG-dimensional al vectorilor r = ‖gi〉 ri împreun cu operaµi-ile sale speci�ce de adunare (+) a vectorilor ³i înmulµire cu scalari din cor-pul complex (·), iar compunerea vectorilor (◦) este operaµia speci�c de al-gebr liniar . Produsul scalar în acest spaµiu liniar este de�nit natural carq = r∗i qj

⟨gi ‖gj

⟩= r∗1q1 + · · ·+ r∗nGqnG pentru c în acest spaµiu liniar elemen-

tele grupului - vectorii ‖gi〉 - joac rol de baz ortonormat ⟨gi ‖gj

⟩= δij .

De�niµie: Se nume³te reprezentare a algebrei G peste un spaµiu liniararbitrar V un endomor�sm U al acestuia U : G → End(V ) astfel încâtU (αr + βq) = αU(r) + βU(q) ³i U (rq) = U(r)U(q) pentru ∀ r , q ∈ G.

De�niµie: O reprezentare a algebrei G peste spaµiul liniar arbitrar V se ziceireductibil dac ea nu admite niciun subspaµiu invariant netrivial în V .

Teorema: Orice reprezentare a algebrei G este reprezentare ³i pentru grupulG.

Demonstraµie - Este o consecinµ direct a de�niµiei anterioare. Dac ele-mentele grupului formeaz o baz pentru algebra grupal e evident c aceast corespondenµ 1-la-1 între reprezent rile algebrei grupale ³i cele ale grupuluieste valid .

De�niµie: Dac spaµiul de reprezentare G al algebrei G este chiar algebraîns ³i atunci reprezentarea se zice regulat .

Atunci r poate � v zut ca un endomor�sm r : G → G. Acµiunea sa asupravectorilor bazei va � rgi = rkgkgi = rkgm (∆k)mi adic rgi = rkgki pentru c (∆k)mi = δmki.

Aici se poate pune problema g sirii de subspaµii invariante ale lui G la acµiuneaelementelor grupului. Cu alte cuvinte se pot gasi spaµii Lµa ⊂ G astfel încâtG =

∑µ,a⊕Lµa ?

De�niµie: Se nume³te ideal la stânga al algebrei G un subspaµiu Lµa ⊂ Ginvariant la acµiunea grupului G

∀ p ∈ G ⇒ pLµa ⊆ Lµa p |q〉 = |pq〉 ∈ Lµa ∀ |q〉 ∈ Lµa (2.4)

Practic, cu aceast de�niµie problema g sirii reprezent rilor ireductibile neechi-valente ale unui grup se reduce la a gasi idealurile la stânga ale algebrei grupaleasociate.

De�niµie: Se nume³te proiector pe subspaµiul Lµa operatorul Pµa cu urm -toarele propriet µi:

P1 : Pµa ‖r〉 ∈ Lµa ∀ ‖r〉 ∈ G

P2 : Pµa ‖r〉 = ‖r〉 ∀ ‖r〉 ∈ Lµa

P3 : PµaPνb = δµνδabP

P4 : Pµar = rPµa ∀ r ∈ G

Teorema: Operatorul de proiecµie Pµ este realizat prin înmulµirea la dreaptacu eµa (care este reducµia operatorului identitate la subspaµiul a al reprezent riiµ.

Pµ |r〉 = |reµ〉 (2.6)

Demonstraµie - Se veri�c pe rând pentru acest operator toate propriet µileP1- P4.

2. Pµ duce toµi vectorii din G în idealul la stânga Lµ. Fie |r〉 =∑µ |rµ〉 ∈

G =∑µ⊕Lµ. Dac ne raport m la idealul stâng Lµ atunci elementele

sale se vor scrie r =∑µ rµ = re = r

∑µ eµ de unde rezult c rµ = reµ.

Atunci operatorul Pµ |r〉 = |reµ〉duce chiar la vectorul |rµ〉 ∈ Lµ.

3. Fie eµ ³i eν reducµiile operatorului identitate pe idealurile la stânga Lµ ³iLν . Atunci PµaP

νb |r〉 = Pµa

∣∣rebν⟩ =∣∣rebνeaµ⟩ = δµνδab |r〉.

4. Succesiv se obµine: Pµr |q〉 = Pµ |rq〉 = |rqeµ〉 = r |qeµ〉 = rPµ |q〉

Lµ =nµ∑a=1

⊕Lµa cu proiectorii Pµ =nµ∑a=1

⊕Pµa

Lµ =nµ∑a=1

⊕Lµa iar algebra G =∑µ

⊕Lµ cu proiectorii e =∑µ

2.3 Operatori idempotenµi

De�niµie: Elementele algebrei grupale (operatorii) care satisfac relaµia eµeν =δµνeµ se numesc idempotenµi.

De�niµie: Operatorii care satisfac relaµia eµeν = δµνeµ pân la o constant de normalizare se numesc esenµial idempotenµi.

De�niµie: Operatorul idempotent care genereaz un ideal la stânga minimalse nume³te idempotenµ primitiv.

Teorema: Operatorul idempotent ei e primitiv dac ³i numai dac eirei =λrei pentru ∀ r ∈ G (λ �ind un num ce depinde de r)

Demonstraµie -

Dac ei idempotent primitiv atunci Li ={rei , r ∈ G

}este un ideal stâng

minimal, care în termeni de spaµiu vectorial devine Li = {|rei〉 , r ∈ G}. Con-struiesc operatorul R : G → G în maniera R |q〉 = |qeirei〉 . Asta implic R |q〉 = P i |qeir〉 pentru ∀ |q〉 ∈ G. Acum, pentru orice operator A ∈ G vomavea RA |a〉 = R |Aa〉 = |Aaeirei〉 = A |aeirei〉 = AR |a〉 pentru ∀ |a〉 ∈ G. Decioperatorial vom avea c [A , R] = 0³i conform Lemei lui Schurr operatorul Reste poroporµional cu unitatea, adic tocmai eirei = λrei. QED.

Se porne³te de la faptul c eirei = λrei pentru ∀ r ∈ G . Presupunerea c einu este idempotent primitiv va duce la posibilitatea de a-l scrie ca o sum deidempotenµi ei = e′i + e′′i . Avem c eie′i = e′i ceea ce dup o multiplicare cuei la dreapta duce la eie′iei = e′iei = e′i ceea ce echivaleaz conform ipotezeiimplicaµiei noastre cu e′i = λei adic e′ie

′i = e′i = λ2ei. De aici e evident c

pentru λ2 sunt doar dou posibilit µi: �e λ2 = 1 �e λ2 = 0. În primul caz amajuns la e′i = ei iar în al doilea la e′′i = ei. Rezultatul e c nu este posibil s scriem operatorul ei ca sum de alµi operatori idempotenµi. QED.

Teorema: Doi operatori idempotenµ primitivi e1 ³i e2 genereaz reprezent riireductibile echivalente dac ³i numai dac eire2 6= 0 pentru un r ∈ G.

Demonstraµie -

Dac are loc eire2 = s 6= 0 pentru un r ∈ G atunci construiesc un operatorliniar care e aplicat pe idealul la stânga L1³i duce în idealul la stânga L2 astfelc S : L1 → L2 cu L1 3 q1 → q2 = q1s ∈ L2. În termeni de spaµii vectorialeasta înseamn L1 3 |q1〉 → |q2〉 = |q1s〉 ∈ L2. Atunci pentru ∀ p ∈ G vom aveac Sp |q1〉 = S |pqi〉 = |(pq1) s〉 = |p (q1s)〉 = p |q1s〉 = pS |q1〉. Ceea ce duce larelaµia operatorial de comutare Sp = pS. Conform lemei lui Schurr cele dou reprezent ri ireductibile (acµionând pe acela³i spaµiu) sunt echivalente. QED.

Dac cele dou reprezent ri sunt echivalente atunci se poate construi o trans-formare liniar S care SD1(p) = D2(p)S pentru ∀ p ∈ G . În termeni de idealela stânga operatorial S : L1 → L2 vom avea c Sp = pS. În spaµiul vectorial alalgebrei G avem |s〉 = S |e1〉 = e1S |e1〉 = |e1s〉. De unde rezult c s = e1s .Dar pentru c s ∈ L2 poate � scris ca s = se2 . Din cele dou expresii pentru srezult c eis = se2. QED.

1. S se reduc reprezentarea regulat a grupului Z3.

2.4 Vectori ireductibili

De�niµie: Se nume³te set ireductibil de vectori faµ de reprezentarea µorice set de vectori |(µ) i〉 cu i = 1, nµ care la acµiunea grupului G se transform dup

U(g) |(µ) i〉 = |(µ) i′〉Dµ(g)i′

i (2.7)

Teorema: Dac {|(µ) i〉 , i = 1, nµ

}³i{|(ν) j〉 , j = 1, nν

}dou seturi de

vectori ireductibili faµ de reprezent rile ireductibile µ respectiv ν ale grupuluiG atunci subspaµiile subîntinse de cele dou sisteme de vectori sunt ortogonale.

Demonstraµie - Fie U(G) reprezentarea grupului G peste un spaµiu liniarV pe care îl putem scrie ca o sum direct de subspaµii invariante (faµ de G)netriviale V =

∑µ⊕Vµ.

Vectorii de tip{|(µ) i〉 , i = 1, nµ

}vor � constitui o baz a acestor subspaµii.

Ortogonalitatea enunµat de teorem se va veri�ca prin calcul direct:

〈(ν) j |(µ) i 〉 =⟨(ν) j

∣∣U†(g)U(g)∣∣ (µ) i

∑g∈G

⟨(ν) j

∣∣D†(g)D(g)∣∣ (µ) i

⟩1nG

∑g∈G〈(ν) j |(µ) i 〉D†ν(g)jj′D

µ(g)i′

unde aplicând teorema rezult egalit µile succesive

=1nµδνµδ

ij′δ

ji′ 〈(ν) j′ |(µ) i 〉 =

1nµδνµδ

∑〈(ν) i |(µ) i′ 〉

Acum a devenit evident c subspaµiile sunt ortonormate. QED.

Teorema: Fie U(G) o reprezentare a grupului G pe spaµiul liniar V . Dac Dµeste o reprezentare ireductibil atunci (Pµ)ji |x〉 (cu i = 1, nµ ³i ∀ |x〉 ∈ V )este un set ireductibil de vectori faµ de reprezentarea µ.

Demonstraµie - Cum acµioneaz reprezentarea U (g) pe vectorii (Pµ)ji |x〉 ?

U (g) (Pµ)ji |x〉 = U (g)nµnG

∑g′∈G

D†µ (g′)ji U (g′) |x〉

=nµnG

∑g′∈G

D†µ (g′)ji U (gg′) |x〉

=nµnG

∑g′∈G

U (g′′) |x〉D†µ(g−1g′′

=nµnG

∑g′′∈G

D†µ (g′′)jk U (g′′) |x〉D†µ(g−1

= (Pµ)jk |x〉D†µ

(g−1

Rezultatul obµinut probeaz faptul c setul de vectori e unul ireductibil.QED.

Observaµie: vectori nu sunt ortonormaµi.

Teorema: Fie setul de vectori ireductibili |eνk〉 faµ de reprezentarea ν ³i Pµoperatori de proiecµie, atunci

(Pµ)ji |eνk〉 = |eνi〉 δνµδ

jk (2.8)

Demonstraµie -

(Pµ)ji |eνk〉 =

D†µ(g)jiU(g) |eνk〉

= δνµδilδjk |e

νl〉 = δνµδ

νi〉

care în plus duce la (Pµ)ji |eµk〉 = δjk |e

µi〉 QED.

Corolar 1 -(Pµ)ji (Pν)lk = δµνδjk (Pµ)li

Corolar 2 -U(g) =

∑(Pµ)jiD

µ(g)ij

Corolar 3 -U(g) (Pµ)lk =

(Pµ)liDµ(g)ik

Teorema: Se de�nesc proiectorii Pµ =∑nµi=1 Pµi unde am notat prin Pµi =

(Pµ)ii atunci Pµ formeaz un set complet de operatori∑µ

Pµ = E unde E = U(e) (2.9)

Demonstraµie - Calcul m PµiPνk = (Pµ)ii (Pν)kk = δµνδik (Pν)kk = δµνδ

ikPνi.

Mai departe se exprim ∑µ

Pµ |x〉 =∑µ,i

Pµ,i |x〉 = |x〉

de unde rezult c ∑µ Pµ = E. În felul acesta am ajuns la setul complet de

operatori care acµioneaz asupra vectorilor bunei baze |ν α k〉 în spaµiul repre-zent rii astfel:

Pµ |ν α k〉 = δµν |ν α k〉

Pµi |ν α k〉 = δµνδik |ν α k〉

(Pµ)ji |ν α k〉 = δµνδjk |ν α i〉

1. S se demonstreze corolarele 1, 2 ³i 3.

2.5 Operatori ireductibili

De�niµie: Fie G un grup, Dµ(G) o reprezentare a sa peste spaµiul vectorialV ³i

{Θµi i = 1, nµ

}. Dac .

U(g)ΘµiU−1 (g) = Θµ

jDµ (g)ji g ∈ G (2.10)

atunci spunem c familia de operatori este un set de operatori ireductibili.

Lema 1: Dac {∣∣eνj⟩ j = 1, nν

}este o baz a subspaµiului invariant din V

ca vectori ireductibili faµ de reprezentarea ν atunci{

∣∣eνj⟩ i = 1, nµ , j = 1, nν}

este un set de vectori ireductibili faµ de reprezentarea produs direct µ× ν.Demonstraµie -

U (g) Θµi

∣∣eνj⟩ = U (g) ΘµiU−1 (g)U (g)

∣∣eνj⟩= Θµ

i′Dµ (g)i

∣∣eνj′⟩Dν (g)j′

= Θµi′

∣∣eνj′⟩Dµ (g)i′

i Dν (g)j

Lema 2: Regula de scriere pentru operatorii ireductibili este

∣∣eνj⟩ =∑λ,α,l

|(µν)λαl 〉〈 (µν)λαl| i j〉

Demonstraµie -

2.6 Teorema Wigner-Eckart

Teorema (Wigner - Eckart): Fie un set de operatori ireductibili {Θµi}

atunci are loc urm toarea relaµie:⟨elλ |Θ

µi| e

⟩=∑α

〈(µν)λαl ‖ij 〉〈λ |Θµ| ν〉α (2.11)

unde 〈λ |Θµ| ν〉α = 1nλ

⟨ekλ |λα k

⟩este elementul de matrice redus.

Demonstraµie - Se face uz de faptul c subspaµiile invariante generate defamilii de vectori ireductibili corespunzând la reprezent ri ireductibile neechiva-lente sunt subspaµii ortogonale.⟨

elλ |Θµi| e

⟩=∑λ′,α,l′

⟨elλ |(µν)λ′ α l′ 〉〈 (µν)λ′ α l′| i j

⟩= δλλ′δll′

〈 (µν)λα l| i j〉〈λ |Θµ| ν〉α

pentru c ⟨elλ |(µν)λ′ α l′

⟩= δλλ′δll′

⟨elλ |λα l

⟩. QED.

2.7 Reprezent rile grupului simetric Sn. TablouriYoung

Reamintim cum a fost de�nit grupul simetric Sn. El const din toate permu-t rile de n elemente.

1 2 3 · · · n↓ ↓ ↓ ↓p1 p2 p3 · · · pn

Acest grup conµine n ! elemente ³i va juca un rol foarte important în multe

probleme de �zic teoretic ce implic diverse tipuri de simetri. Grupul matrici-lor inversabile GL (n , C) va avea de asemenea o importanµ crucial în studiulreprezent rilor grupului Sn întrucât aceste matrici vor � v zute ca endomor�smeinvertibile pe spaµiile de reprezentare n-dimensionale (Vn).

2.7.1 Reprezent rile 1-dimensionale ale grupului Sn

Propoziµie: Grupul simetric Sn are totdeauna un subgrup invariant An alpermut rilor pare. O permutare par este o permutare echivanet cu un num rpar de transpoziµii.

Demonstraµie - Se ve�ric pe rând axiomele grupului. Închiderea ³i asco-iativitatea înmulµirii permut rilor sunt propriet µi evidente. Elementul neutrue ∈ An iar inversa unei permut ri pare este tot o permutare par .

Teorema: Fie Sn algebra grupal a grupului simetric Sn. Dac de�nim ope-ratorii simetrizator s =

∑p p respectiv antisimetrizator a =

∑p (−1)p p

atunci ace³tia sunt esenµial idempotenµi ³i primitivi.Demonstraµie - Pentru simetrizatorii s vom avea c ∀ q ∈ Sn avem sq =∑p pq =

∑p′ p′ = s = qs (unde am notat p′ = pq). Acest rezultat este con-

secinµ direct a lemei de rearanjare. Urmeaz s exprim m ss = s∑p p =∑

p sp =∑p s = n! s. Acum desigur sqs = ss = n! s ceea ce duce la con-

cluzia ca ei sunt operatori esenµiali idempotenµi ³i primitivi (conform teore-mei...). Pentru antisimetrizatori avem aq =

∑p (−1)p pq. Aici facem nota-

µia p′ = pq de asemenea, numai c vom avea (−1)p′

= (−1)p (−1)q ceea ce

duce la (−1)p = (−1)p′(−1)q. Acum conform lemei de rearanjare va rezulta

c aq =∑p′ (−1)p

′(−1)q p′ = (−1)q a. Cine este aa? aa =

∑p (−1)p ap =∑

p (−1)p (−1)p a =∑p a = n! a. Calcul m acum aqa = (−1)q aa = (−1)q n! a

- deci ei sunt esenµiali idempotenµi ³i primitivi.Dac sqa = 0 pentru ∀ q ∈ Sn atunci reprezent rile sunt neechivalente.

sqa = sa =∑p pa =

∑p ap =

∑p (−1)p a = 0. Bazele corespunz toare acestor

reprezent ri ireductibile 1-dimensionale vor � |qs〉 respectiv |qa〉 . QED.

2.7.2 Partiµii ³i diagrame Young

De�niµie: Se nume³te partiµie λ = {λ1, λ2, ..., λr} a unui num r întreg ndac

∑ri=1 λi = n ³i λi ≥ λi+1.

De�niµie: Dou partiµii λ ³i µ sunt egale dac λi = µi pentru ∀ i = 1, r iarλ > µ dac primul coe�cient λi − µi nenul e pozitiv.

De�niµie: Oric rei partiµii λ i se asociaz o diagram Young. Aceastaconst din n p trate aranjate în r rânduri, al i-lea având λi p trate.

Se poate ar ta c exist o corespondenµ biunivoc între partiµiile num ruluiîntreg n ³i clasele de echivalenµ ale grupului simetric Sn. Cu alte cuvinte,diagramele Young re�ect �del organizarea în clase de echivalenµ a grupulsimetric Sn iar num rul acestora va � precizat de urm toarea teorem .

Teorema: Num rul diagramelor Young distincte pentru un n dat este egalcu num rul claselor de echivalenµ ale lui Sn, adic cu num rul reprezent rilorireductibile neechivalente ale acestuia.

Demonstraµie -

Pentru grupul Sn vom de�ni câteva noµiuni de mare uitilitate în studiul repre-zent rilor sale, pornind de la diagramele Young.

De�niµie: Se nume³te tablou Young o diagram Young în care sunt trecuteo singur dat în ordine arbitrar numerele de la 1 la n.

De�niµie: Se nume³te tablou Young normal un tablou Young în carenumerele de la 1 la n sunt trecute în ordine strict cresc toare (din 1 în 1, de lastânga la dreapta - pe rânduri ³i cresc toare de sus în jos - pe coloane).

De�niµie: Se nume³te tablou Young standard un tablou Young în carenumerele sunt trecute în ordine cresc toare atât pe rânduri cât ³i pe coloane(f r a � ordine stroct neap rat).

Notaµie: Pentru un tablou Young normal corespunz tor partiµiei λ îi asociemnotaµia Θλ.

Un tablou Young arbitrar se obµine în mod unic permutând elementele unuitablou Young normal

Θpλ = pΘλ

prin simpla speci�care a tabloului Young normal ³i a permut rii aplicate lui.qΘp

λ = qpΘλ = Θqpλ .

2.7.3 Simetrizori ³i antisimetrizori

Pentru �ecare tablou Young se pot de�ni idempotenµii primitivi Θpλ ←→ epλ care

genereaz reprezent rile ireductibile ale grupului Sn pe spaµiul algebrei grupale.Problema e cum îi construim?

De�niµie: Dat �ind un tablou Young Θpλ se nume³te permutare orizontal

permutarea hpλ care las invariant mulµimea numerelor de pe o linie.

De�niµie: Dat �ind un tablou Young Θpλ se nume³te permutare vertical

permutarea vpλ care las invariant mulµimea numerelor de pe o coloan .

De�niµie: Dat �ind un tablou Young Θpλ se nume³te simetrizatorul spλ =∑

h hpλ

De�niµie: Dat �ind un tablou Young Θpλ se nume³te antisimetrizatorul

apλ =∑v (−1)v

pλ vpλ

De�niµie: Dat �ind un tablou Young Θpλ se nume³te simetrizator ireduc-

tibil epλ =∑h (−1)v

pλ hpλv

Lema 1: Fie Θλ un tablou Young normal de la care se ajunge la tabloulYoung Θp

λ, iar hpλ, v

pλ, s

pλ, a

pλ, e

pλ asociate lui corespunz toare permut rii p.

Atunci au loc

hpλ = phλp−1 epλ = peλp

−1 vpλ = pvλp−1

spλ = psλp−1 apλ = paλp

Demonstraµie - r mâne ca exerciµiu cititorului.

Lema 2: Fie Θλun tablou Young normal. Atunci {hλ}³i {vλ} sunt subgrupuriale lui Sn.

Lema 3: Dac λ ³i µ sunt etichetele a dou diagrame Young distincte (cuλ > µ). Atunci pentru ∀ p , q ∈ Sn avem

aqµspλ = spλa

qµ = 0 eqµe

qµ = 0

2.7.4 Reprezent rile ireductibile ale grupului Sn

Teorema: Simetrizorii ata³aµi unui tablou Young normal satisfac:

1. sλraλ = ξeλ cu ξ ∈ Z+ pentru ∀ r ∈ Sn

2. eλeλ = ηeλ cu η ∈ Z+

Teorema: Dac dou reprezent ri ireductibile sunt generate de eλ respectivde epλ atunci ele sunt echivalente.

Demonstraµie - ∃ r ∈ Sn astfel încât erλreλ 6= 0 . Aleg r = p cu p ∈ Sn.Atunci epλpeλ = peλp

−1peλ = pηeλ 6= 0 deci reprezent rile sunt echivalente.QED.

Corolar: Dac λ 6= µ avem epλeqµ = 0 pentru ∀ p , q ∈ Sn.

Teorema (reprezent rilor ireductibile ale lui Sn): Idempotenµii ireducti-bili {eλ} ata³aµi tablourilor Young normale {Θλ} genereaz toate reprezent rileireductibile neechivalente ale lui Sn.

2.7.5 Clase de simetrie ale tensorilor

De�niµie: Fie Vm un spaµiu vectorial n-dimensional peste corpul complex ³i{g} ⊂ End (Vm) - mulµimea endomor�smelor inversabile pe acest spaµiu. Atunci({g} ◦) se nume³te grupul general liniar GL (m, C) notat Gm.

Dac {|i〉}este o baz a spaµiului Vmatunci acµiunea elementelor din GL (m, C)pe vectorii bazei va �:

g |i〉 = |j〉 gji unde

)det (g) 6= 0

De�niµie: Se numeµte spaµiu tensorial V nm = Vm⊗· · ·⊗Vm produsul directde n ori al spaµiului vectorial Vmcu sine însu³i.

De�niµie: Se nume³te tensor un vector al spaµiului V nm.

Cum acµioneaz Gm pe spaµiul tensorial V nm? Fie un |x〉 ∈ V nm ³i g ∈ Gmatunci vom avea g |x〉 = |xg〉 = |i〉n x

(i)g = g |i〉x(i) ceea ce devine, utilizân

de�niµia reprezent rii, |j〉nD (g)(j)(i) x(i) unde evident D (g)(j)(i) = gj1i1 · · · g

Cum acµioneaz Sm pe spaµiul tensorial V nm? Fie permutarea Sn 3 p : V nm →V nm atunci ea va acµiona p |x〉 = |xp〉 = |i1 · · · in〉xip1 ···ipn = |i〉n xin ceea ce

devine, utilizân de�niµia permut rii, |j〉nD (p)(j)(i) x(i) de unde evidentD (p)(j)(i) =

D (p)j1···jni1···in = δj1i1 · · · δjnin.

Lema: Fie D(j)(i) una din cele dou reprezent ri D (Gm)sau D (Sn). Atunci

D(j)(i) = D

(ip)∀ p ∈ Sn

unde (ip) = ip1 · · · ipn =(

1 · · · np1 · · · pn

Teorema: Cele dou seturi de matrici {D (g) g ∈ Gm} ³i {D (p) p ∈ Sn}comut .

[D (g) , D (p)] = 0

Demonstraµie - Calcul m acµiunea matricii pg pe vectorii bazei: pg |i〉n =p |j〉nD (g)(j)(i) =

∣∣jp−1

⟩nD (g)(j)(i) = |j〉nD (g)(jp)(i) . Pe de alt parte vom calcula

acµiunea matricii gp pe vectorii bazei: gp |i〉n = g∣∣ip−1

= |j〉nD (g)(jp)(i) . Deunde rezult c cei doi operatori comut . QED.

Acum se pune problema g sirii subspaµiilor ireductibile ale spaµiului V nm faµ deacµiunea grupurilor Sn respectiv Gm. Pentru aceasta vom utiliza simetrizoriiireductibili asociaµi diverselor tablouri Young ale grupului Sn. Pentru un ta-blou Young arbitrar Θp

λ se asociaz un simetrizorul ireductibil epλ care genereaz idealul la stânga Lλ.

De�niµie: Se nume³te tensor de simetrie asociat tabloului Young Θpλ orice

vector de forma epλ |x〉 cu |x〉 ∈ V nm.

De�niµie: Se nume³te clas de simetrie asociat tabloului Young Θλ mulµi-mea vectorilor de forma {reλ |α〉} cu |α〉 ∈ V nm ³i r ∈ Sn. Ace³tia se va spunec aparµin clasei de simetrie λ.

Teorema: Dac Tλ (α) este clasa de simetrie{reλ |α〉 , r ∈ Sn

}pentru un

|α〉 ∈ V nm �xat, atunci Tλ (α) este subspaµiu invariant pentru Sn.Demonstraµie - Lu m un vector |x〉 ∈ Tλ (α) . Atunci pentru ∀ p ∈ Snvom

Teorema: Dac Tλ (α) 6= 0 atunci realiz rile lui Sn pe subspaµiul Tλ (α) suntidentice cu matricile reprezent rilor ireductibile generate de eλ pe algrebra gru-pal .

Demonstraµie - Clasa de simetrie λ corespunde unui eλ care genereaz idealulla stânga Lλ. Atunci {rieλ}va � o baz pentru Lλ. Rezult c {rieλ |α〉} estebaz pentru Tλ (α). Înseamn c ∀ p ∈ Sn vom avea c p |rieλ〉 = |prieλ〉 =|rjeλ〉D (p)ji.

De aici am obµinut c prieλ |α〉 = rjeλ |α〉D (p)ji. QED

Teorema:

1. Dou spaµii tensoriale invariante ireductibile în raport cu Sn aparµinândaceleia³i clase de simetrie sunt sau identice sau disjuncte.

2. Dou subspaµii tensoriale invariante ireductibile în raport cu Sn corespun-z toare la simetrii diferite sunt în mod necesar disjuncte.

Demonstraµie - Fie cele dou subspaµii tensoriale invariante Tλ (α) ³i Tµ (β).

1. Apartenenµa la aceea³i clas de simetrie se exprim λ ≡ µ. Presupun c exist un tensor care aparµine ambelor subspaµii Tλ (α) respectiv Tλ (β),atunci se vor g si q , q′ ∈ Sn astfel încât qeλ |α〉 = q′eλ |β〉 . Dac se aplic un r ∈ Sn pe ecuaµia precedent se ajunge la rqeλ |α〉 = rq′eλ |β〉 . Cândr parcurge Sn se obµin tocmai subspaµiile Tλ (α) = Tλ (β). QED.

2. Dac Tλ (α) ³i Tµ (β) sunt subspaµii tensoriale invariante atunci ³i inter-secia lor va � subspaµi invariant. Dac cele dou subspaµii invariante sunt³i ireductibile atunci intersecµia lor �e e vid �e ea coincide cu �ecaredin Tλ (α) ³i Tµ (β). Dac λ ³i µ corespund la simetrii diferite cea de-adoua posibilitate este exclus . De unde se ajunge la concluzia c cele dou subspaµii sunt disjuncte. QED.

Se pune problema descompunerii spaµiului V nm ca sum direct de subspaµiiinvariante:

V nm =∑λ

⊕Tλ (α)

Atunci vectorii bazelor diferitelor calse de simetrie vor � |λ, α, a〉 unde λdenot clasa de simetrie ³i merge de la 1 la dimensiunea subspaµiului Tλ (α). Sepot alege aceste baze astfel încât acµiunea matricilor din reprezent rilor lui Snpe Tλ (α) s nu depind de vectorul α asociat unei anume simetrii λ. Aceastase exprim

p |λ, α, a〉 = |λ, α, b〉Dλ (p)ba

Teorema: Dac g ∈ Gm ³i {|λ, α, a〉} o baz a reprezent rii construite cuprocedura de mai sus, atunci subspaµiile T ′λ (α) date de vectorii {|λ, α, a〉} cuλ ³ a �xate iar α ∈ V nm vor � invariante în raport cu Gm iar reprezent rile luiGm pe T ′λ (α) nu depind de indicele α.

g |λ, α, a〉 = |λ, β, a〉Dλ (g)βαDemonstraµie - Vom avea reλ |α〉 ∈ T ′λ (α) ³i g ∈ Gm astfel c geλ |α〉 =

reλg |α〉 ³i desigur g |λ, α, a〉 = |λ, β, b〉D (g)βbαa. Cu aceste preliminarii - ³iµinând cont c pg = gp pentru ∀ p ∈ Sn - vom avea

gp |λ, α, a〉 = g |λ, α, c〉Dλ (p)ca = |λ, β, b〉Dλ (g)βbαcDλ (p)caiar

pg |λ, α, a〉 = p |λ, β, c〉Dλ (g)βcαa = |λ, β, b〉Dλ (p)bcDλ (g)βcαa

De unde rezult imediat c pentru un g ∈ Gm reprezent rile Dλ (g)βαcomut cu toate reprezent rile lui p ∈ Sn.

[Dλ (g)βα

][Dλ (p)] = [Dλ (p)]

[Dλ (g)βα

]Iar, conform lemei lui Schurr, reprezent rile

[Dλ (g)βα

= Dλ (g)βα δac ,

adic trebuie s �e proporµionale cu identitatea. QED.

1. S se deseneze toate diagramele Young posibile ale unui grup cu 3 , 4respectiv 6 elemente.

2. S se deseneze toate tablourile Young normale ale grupului S3 ³i s seprecizeze c ror clase de echivalenµ corespund.

3. S se precizeze idempotenµii primitivi ai grupului S3.

4. S se g seasc subspaµiile invariante ale spaµiului tensorial V 32 pentru gru-

purile S3 ³i G2.

AlgebreLie(1 2)

Documents