48
| Date post: | 06-Feb-2016 |
| Category: |
Documents |
| Upload: | vlasin-bogdan |
| View: | 36 times |
| Download: | 5 times |
GRUPURI LIE. ALGEBRE LIE.APLICA�II ÎN FIZICA
PARTICULELOR ELEMENTARE
Adrian Palcu
7 ianuarie 2015
Prefaµ
Cartea de faµ nu e un tratat exhaustiv al domeniului enunµat în titlu. Ea s-an scut din necesit µi pragmatice imediate ³i cuprinde mare parte din materialulpredat - în anul I, pe durata primului semestru - masteranzilor programului destudiu �Modele Matematice în Cercetare ³i Didactic � la Facultatea de �tiinµeExacte a Universi µii �Aurel Vlaicu� din Arad. A fost, a³adar, conceput cainstrument de lucru complementar notiµelor de curs, ca manual pus la dispo-ziµia masterandului în vederea sitematiz rii ³i acumul rii temeinice a temelorabordate.
Din vastul domeniu al grupurilor ³i algebrelor Lie, autorul s-a v zut nevoit s opereze o sintez inevitabil restrictiv . S-a rezumat la prezentarea sistematic aprincipalelor noµiuni ³i teoreme, absolut necesare înµelegerii tehnicilor furnizatede acest complex aparat matematic ³i a modului de utilizare a lor în problema-tica modern a �zicii particulelor elementare. Abordarea este una esenµialmentedidactic oferind pe lâng textul propriu-zis ³i un num r de exerciµii ³i problemela �nalul �ec rei secµiuni. Rezolvarea acestora e util aprofund rii ³i �x rii ma-terialului predat. Înµelegerea ³i asimilarea întregului conµinut al acestui volumconstituie precondiµia parcurgerii cursului de �Modele gauge� prev zut pentrusemestrul al treilea al aceluia³i program de studiu.
Dar cartea nu se adreseaz doar acestui public de masteranzi, fatalmenterestrâns, ci poate � utilizat de c tre matematicieni, �zicieni, ingineri sau sim-pli pasionaµi de sclipitoarele aventuri ale minµii umane posesori ai unui solidbackground matematic, ca un concis ghid introductiv pe teritoriul aplicativ alAlgebrelor Lie în �zica patriculelor.
Autorul î³i exprim speranµa c prin confruntarea memijlocit cu destinatariiprincipali, în cadrul orelor de curs ³i seminar, materialul prezentat aici va putea� semni�cativ îmbun t µit într-o ediµie viitoare. Orice observaµie, semnalare deerori, sugestie ori comentariu privind conµinutul sau forma c rµii de faµ suntbinevenite.
Adrian Palcu,Arad, 5 ianuarie 2015
1
Cuprins
1 Grupuri �nite 51.1 Grup - de�niµii ³i exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Subgrup invariant. Clas lateral (coset) . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Clase laterale. Grup factor . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.2 Homomor�sme de grupuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Reprezent ri de grupuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.1 Spaµiu vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.2 Reprezent ri pe spaµii liniare . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 Reprezent ri unitare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.5 Lemele lui Schurr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.6 Ortogonalitate ³i completitudine . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6.1 Ortogonalitatea matricilor reprezent rilor . . . . . . . . . 211.6.2 Ortogonalitatea caracterelor . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.7 Reprezent ri regulate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.8 Coe�cienµii Clebsch-Gordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2 Algebr grupal 322.1 Structura de algebr liniar . Algebr Lie . . . . . . . . . . . . . 322.2 Algebra grupal - propriet µi generale . . . . . . . . . . . . . . . 332.3 Operatori idempotenµi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.4 Vectori ireductibili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.5 Operatori ireductibili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.6 Teorema Wigner-Eckart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.7 Reprezent rile grupului simetric Sn. Tablouri Young . . . . . . . 40
2.7.1 Reprezent rile 1-dimensionale ale grupului Sn . . . . . . . 412.7.2 Partiµii ³i diagrame Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.7.3 Simetrizori ³i antisimetrizori . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.7.4 Reprezent rile ireductibile ale grupului Sn . . . . . . . . . 432.7.5 Clase de simetrie ale tensorilor . . . . . . . . . . . . . . . 44
3 Grupuri Lie. Algebre Lie asociate 483.1 Variet µi diferenµiabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.2 Grup continu - de�niµii ³i exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.3 Grup Lie - generatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2
3.4 Generatori ai grupurilor Lie de transform ri . . . . . . . . . . . . 533.5 Generatori ai grupurilor Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.6 Generatori ai grupurilor de matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.7 Relaµii de comutare - algebra Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.8 Prima teorem a lui Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.9 A doua teorem a lui Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.10 A treia teorem a lui Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.11 Reprezentarea adjunct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.12 Reciprocele teoremelor lui Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.13 Teorema lui Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.14 Grupul SU(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.14.1 Reprezent rile grupului SU(n) . . . . . . . . . . . . . . . 553.14.2 Reprezentarea fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . 553.14.3 Algebra Lie su(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.14.4 Reprezentarea adjunct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.14.5 Parametrizarea algebrei Lie su(n) . . . . . . . . . . . . . 583.14.6 Reprezent ri ireductibile ale grupului SU(n)⊗ U(1)c . . 59
4 Aplicaµii în �zica particulelor 614.1 Grupul SU(2) - spinul particulelor . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.1.1 Algebra Lie su(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.1.2 Operatori de urcare ³i coborâre pe spectru . . . . . . . . . 614.1.3 Reprezentarea j = 1
2 . Matricile Pauli . . . . . . . . . . . . 624.1.4 Compunerea momentelor cinetice. . . . . . . . . . . . . . 62
4.2 Grupul SU(3) - chromodinamica cuantic . . . . . . . . . . . . . 624.2.1 Matricile Gell-Mann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.2.2 Modelul quark-urilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.2.3 Chromodinamica cuantinc�u . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.3 Grupul SL (2,C)sT4 - simetria teoriei relativit µii restrânse . . 624.3.1 Cvadrivectori - spaµiul Minkowski . . . . . . . . . . . . . 624.3.2 Grupul Lorentz propriu ³i ortocron L↑+ . . . . . . . . . . . 624.3.3 Generatori - boost-uri ³i rotaµii . . . . . . . . . . . . . . . 624.3.4 Grupul mic - rotaµii Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.3.5 Grupul Lorentz-Poincaré L↑+sT4 . . . . . . . . . . . . . . 624.3.6 Operatori Casimir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3
Introducere
4
Capitolul 1
Grupuri �nite
Primul capitol se dore³te a � o panoramare rapid , introductiv , a principalelornoµiuni ³i teoreme din teoria grupurilor ³i a reprezent rilor lor pe spaµii vecto-riale. Exempli�c rile ³i rezultatele obµinute aici sunt date pornind de la cazulconcret al grupurilor �nite, dar înµelegerea ³i st pânirea tehnicilor prezentateeste absolut necesar utili rii lor în abordarea ³i studiul ulterior al grupurilorcontinue. Materialul este prezentat de o manier didactic , în succesiune logic gradual , putând � asimilat relativ u³or de cititorul cu minime cuno³tiinµe dealgebr liniar elementar .
1.1 Grup - de�niµii ³i exemple
De�niµie: Se nume³te grup - ³i se noteaz (G, ◦)- o mulµime împreun cuoperaµia multiplicativ între elementele sale, dac sunt satisf cute urm toareleaxiome (axiomele grupului):
G1 : ∀ a, b ∈ G ⇒ a ◦ b ∈ G
G2 : ∀ a, b, c ∈ G ⇒ (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c)
G3 : ∃ ! e ∈ G a.i. a ◦ e = e ◦ a ∀ a ∈ G
G4 : ∀ a ∈ G ∃ ! a−1 ∈ G a.i. a ◦ a−1 = a−1 ◦ a = e
(1.1)
Cele patru axiome exprim de fapt cele patru propriet µi fundamentale pecare orice grup trebuie s le prezinte pentru a se structura ca atare, ³i anume:închiderea (G1) ³i asociativitatea operaµiei de compunere (G2), existenµa ³i uni-citatea elementului neutru faµ de aceasta (G3), respectiv existenµa ³i unicitateainversului pentru �ecare element al grupului (G4).
5
Dac , în plus, este satisf cut ³i o a cincea cerinµ (G5), anume comutativi-tatea operaµiei de compunere,
G5 : ∀ a, b ∈ G ⇒ a ◦ b = b ◦ a (1.2)
atunci grupul se zice comutativ sau abelian.
Chiar dac grupurile abeliene par - la o prim vedere - mai speciale, compli-când un pic de�niµia general prin cerinµa restrictiv a comutativit µii legii decompunere, partea cu adev rat interesant ³i spectaculoas a teoriei grupuriloro constituie grupurile ne-abeliene. Majoritatea grupurilor de interes - �e ele�nite, discrete sau continue - pentru �zica teoretic sunt din aceast a douacategorie.
De�niµie: Se nume³te subgrup al grupului (G, ◦) o mulµime H ⊂ G îm-preun cu aceea³i operaµie de compunere ◦ dac ³i numai dac (H, ◦) satisfaceaxiomele grupului.
Orice grup admite dou subgrupuri triviale, anume: elementul neutru (e, ◦) ³iîntregul grup (G, ◦). Toate celelalte subrgupuri se numesc ne-triviale.
De�niµie: Se nume³te grup �nit un grup cu un num r �nit de elemente.
De�niµie: Num rul de elemente ale unui grup �nit se nume³te ordinulgrupului.
În mod uzual - de câte ori structura concret a grupului o permite, adic atuncicând avem de-a face cu un grup discret - se poate reprezenta în detaliu tabela decompunere a grupului (Tab. 1.1). Regula de compunere (sau de multiplicare)a grupului este speci�c acestuia, individualizându-l ³i determinându-i în modesenµial propriet µile speci�ce. Pe nicio coloan ³i pe niciun rând nu poate s apar de dou ori acela³i element ca rezultat al operaµiei de compunere. Un altam nunt de care trebuie µinut seama este ordinea în care se efectueaza operaµiade compunere v zut ca înmulµire succesiv , pentru c în general a ◦ b 6= b ◦ a.Pentru grupurile abeliene, se poate observa c tabela de compunere are un
aspect simetric faµ de diagonala principal . În cazul grupurilor abeliene avemsingura situaµie în care ordinea efectu rii operaµiei de compunere nu conteaz .Operaµia �ind comutativ rezultatul compunerii va � acela³i.
Exemple de grupuri �nite: Pentru a exempli�ca noµiunile introduse pân acum, e util s trecem la prezentarea câtorva grupuri concrete:
• G = {e} - grupul trivial.
• G = Z2 ={e, a | a−1 = a
}- grupul ciclic de ordinul 2.
6
Tabela 1.1: Tabela de compunere a grupului
−→ ↑ e a b c · · ·e e a b c · · ·a a a ◦ a a ◦ b a ◦ c · · ·b b b ◦ a b ◦ b b ◦ c · · ·c c c ◦ a c ◦ b c ◦ c · · ·...
......
......
. . .
• G = Z3 ={e, a, b | b = a2 ∧ e = a3
}- grupul ciclic de ordinul 3.
• G = Cn ={e, a, a2, ..., an = e
}- grupul ciclic de ordinul n.
• G = D2 = {e, a, b, c} - grupul diedral. Acest grup const din patru ele-mente identi�cate ca cele patru operaµii geometrice ce pot � efectuateasupra unui dreptunghi pentru a constitui o structur de grup: identita-tea (e), re�exii faµ de cele dou axe de simetrie ale dreptunghiului (a, b)³i rotirea cu 180◦(c).
• G = S3 = {e, (12), (23), (31), (123), (312)} - grupul triunghiului. Acestgrup const din ³ase elemente identi�cate ca cele ³ase opera µii ce pot �efectuate asupra unui triunghi echilateral pentru a constitui o structur de grup: identitatea (e), 3 re�exii faµ de axele de simetrie ale triunghiului(12), (23), (31), rotaµii cu 120◦ (123) respectiv 240◦ (312) în jurul centruluide simetrie.
• G = Sn- grupul simetric sau grupul permut rilor de n elemente.
Lema de rearanjare: Pentru ∀ p, a, b ∈ G dac avem c p◦a = p◦ b atuncirezult c a = b.
Demonstraµia - este imediat prin simpla înmulµire la stânga cu p−1.
De�niµie: Dou grupuri se numesc izomorfe ³i se noteaz (G, ◦) ' (G′, •)dac exist o funcµie bijectiv f : G→ G′ cu proprietatea f(a ◦ b) = f(a) • f(b),∀ a, b ∈ G.
Cu alte cuvinte, izomor�smul de grupuri este o aplicaµie liniar 1-la-1 între elece prezerv legea de compunere a elementele lor. Lema de rearanjare împreun cu de�niµia izomor�smului de grupuri ne duc direct la formularea unei teoremede mare importanµ pentru analiza propriet µilor grupurilor �nite.
Teorema lui Cayley: Orice grup de ordin n este izomorf cu un subgrup algrupului simetric Sn.
7
Demonstraµie - Lema de rearanjare furnizeaz corespondenµa dintre G ³i Sn.
a ∈ G → pa =(
1 2 · · · na1 a2 · · · an
)∈ Sn
Dac se iau dou elemente b, c ∈ G ele vor putea � exprimate tot cu ajutorullemei de aranjare în maniera:
pb =(
a1 a2 · · · anba1 ba2 · · · ban
)pc =
(ba1 ba2 · · · ban
c (ba1) c (ba2) · · · c (ban)
)Pentru a proba izomor�smul, mai r mâne de ar tat doar c pbpc = pbc, ceea
ce înseamn c înmulµirea elementelor grupului duce la înmulµirea permut rilorcorespunz toare din Sn.
pbpc =(
a1 a2 · · · anba1 ba2 · · · ban
)(ba1 ba2 · · · ban
c (ba1) c (ba2) · · · c (ban)
)Prin calcul simplu, se ajunge la rezultatul evident:
pbpc =(
a1 a2 · · · an(cb) a1 (cb) a2 · · · (cb) an
)= pbc
Acesta con�rm c ∀ a ∈ G permut rile pa formeaz un subgrup al lui Snizomorf cu G. QED.
Exerciµii ³i probleme
1. S se scrie explicit tabelele de compunere pentru grupurile Z2, Z3, D2 siS3 de�nite mai sus.
2. Pe baza tabelelor de compunere s se identi�ce subgrupurile grupurilorZ2, Z3, D2 si S3.
1.2 Subgrup invariant. Clas lateral (coset)
Odat de�nite noµiunile primare ale teoriei grupurilor, se poate merge mai de-parte exploatând diversele moduri cum pot � partiµionate elementele unui grupîn funcµie de anumite similitudini în comportamentul lor faµ de legea de com-punere. Astfel se ajunge la noµiuni ca subgrup invariant, clas de echivalenµ sau clas lateral (coset), foarte utile în studiul structurii grupului ca ³i în teoriareprezent rilor de grupuri care va face obiectul urm toarelor capitole. Pentrusimplitatea expunerii, de aici încolo, vor renunµa la scrierea explicit a legiide compunere a grupului ca �◦� înµelegând c avem de-a face cu compunereaelementelor grupului oriunde ele apar înmulµite simplu. Doar acolo unde aparmenµionate expres mai multe legi de compunere notaµia explicit va reaparea.
8
1.2.1 Clase laterale. Grup factor
De�niµie: Fie a, b ∈ G, ele se numesc elemente echivalente (sau conjugate)dac exist h ∈ G astfel încât b = hah−1.
De�niµie: Toate elementele echivalente (sau conjugate) ale unui grup for-meaz o clas de echivalenµ .
Aici se impun câteva observaµii legate de clasele de echivalenµ . Întotdeaunaelementul neutru al unui grup formeaz el singur o clas de echivalenµ (sepoate demonstra relativ usor). Clasele de echivalenµ ale unui grup sunt �eidentice, �e disjuncte.
De�niµie: Dac ∀ g ∈ G ³i ∀h ∈ H - unde H este subgrup al lui G - avem c ghg−1 ∈ H atunci H se nume³te subgrup invariant.
Este evident din de�niµia de mai sus c toate subgrupurile unui grup abeliansunt subgrupuri invariante.
De�niµie: Se nume³te grup simplu un grup care nu admite niciun subgrupinvariant ne-trivial.
De�niµie: Se nume³te grup semi-simplu un grup care nu admite niciunsubgrup invariant abelian.
De�niµie: Fie G un grup ³i H ⊂ G un subgrup al s u ³i �e p ∈ G p /∈ H.Se nume³te clas lateral la stânga (left coset) mulµimea pH, iar clas lateral la dreapta (right coset) mulµimea Hp unde prin pH (respectivHp) se înµelege c elementul p înmulµe³te la stânga (respectiv la dreapta) toateelementele subgrupului H.
Legat de clasele laterale se pot demonstra câteva a�rmaµii de interes.
• Lema 1: O clas lateral nu e subgrup (din moment ce e ∈ H dar pe /∈ H).
• Lema 2: Dou clase laterale sunt sau identice, sau disjuncte.
Aceasta se poate demonstra u³or. Alegem dou clase laterale la stânga pH³i qH pentru un subgrup H ⊂ G. Presupunem c avem hi, hj ∈ H pentrucare phi = qhj . De aici rezult imediat c pq−1 = hjh
−1i ceea ce con�rm c
pq−1 ∈ H ³ conduce la concluzia c pq−1H coincide cu întregul subgrup H,adic pq−1H = H de unde rezult pH = qH. QED.
Teorema lui Lagrange: Ordinul unui grup �nit este întotdeauna multiplual ordinelor oric rui subgrup al s u.
Demonstraµie - r mâne s o demonstreze cititorul.
9
De�niµie: Fie H un subgrup invariant al unui grup G. Mulµimea claselorlaterale {pH, qH, ...} împreun cu operaµia de înmulµire a claselor laterale -de�nit ca (pH) (qH) = pqH - formeaz o structur de grup. Acesta se nume³tegrup factor (sau quotient) ³i se noteaz G/H.
• Lema 3: Ordinul grupului factor este ord(G/H) = n/r unde n = ord(G)iar r = ord(H) (ca o consecinµ direct a teoremei lui Lagrange).
1.2.2 Homomor�sme de grupuri
De�niµie: Fie dou grupuri (G, ◦)si (G′, •). Aplicaµia f : G→ G′ se nume³tehomomor�sm de grupuri dac f(a ◦ b) = f(a) • f(b), ∀a, b ∈ G.
De�nit anterior, izomor�smul de grupuri poate � privit acum ca un caz parti-cular de homomor�sm, ³i anume: izomor�smul de grupuri este homomor�smulbijectiv între cele dou grupuri.
De�niµie: Fie f : G → G′ un homomor�sm între dou grupuri. Se nume³tenucleu al homomor�smului mulµimeaK ⊂ G cu proprietatea c f(K) = e′ ∈ G′unde e′ este elementul neutru al grupului G′.
Propoziµie: Nucleul K = Ker(f) al unui homomor�sm f : G → G′ estesubgrup invariant al grupului G.
Demonstraµie - mai întâi se veri�c faptul c K este subgrup, prin veri�careadirect a axiomelor grupului. Fie a ³i b dou elemente din K, ceea ce înseamn c f(a) = e′ ³i f(b) = e′ adic f(a)f(b) = e′. Dar de�niµia homomor�smuluif(a)f(b) = f(ab) adic ab ∈ K - am veri�cat închiderea. Asociativitatea eautomat veri�cat , pentru c legea de compunere e aceea³i cu cea a grupuluiG. Elementul neutru e se a� evident în K, r mâne doar de ar tat c pentru∀ a ∈ K ⇒ a−1 ∈ K. Homomor�smul asigur c f
(aa−1
)= f(a)f
(a−1
)=
e′f(a−1
). E clar, pe de alt parte, c f
(aa−1
)= f(e) = e′. Comparând cele
dou rezultate e evident c f(a−1
)= e′ ceea ce con�rm faprul c a−1 ∈ K.
Este acest subgrup ³i invariant? Cu alte cuvinte, ∀ g ∈ G rezult c gKg−1 ⊂K? S lu m un element a ∈ K. Vom avea f(gag−1) = f(g)f(a)f
(g−1
)=
f(g)e′f(g−1
)= f(g)f
(g−1
)adic f
(gg−1
)= f(e) care, evident, este e′. Deci
elementul gag−1 este din nucleul homomor�smului. QED.
Teorema: Fie f : G→ G′ un homomor�sm între dou grupuri ³iK = Ker(f).Atunci grupul factor G/K este izomorf cu G′.
Demonstraµie - Aleg dou clase laterale (la stânga) distincte pK 6= qK dingrupul factor G/K. Prin homomor�smul f avem corespondenµele p ∈ G →p′ ∈ G′ ³i q ∈ G → q′ ∈ G′. Acum vom considera aplicaµia ρ : G/K → G′
care face jobul pK ∈ G/K → p′ ∈ G′. Astfel, ρ(pK) = p′ ³i ρ(qK) = q′.Prin calcul imediat se obµine c ρ(pK)ρ(qK) = p′q′. Dar cum )p′q′ = ρ(pqK)rezult c ρ este un homomor�sm între G/K ³i G′. Este el bijectiv? Altfel
10
spus, dac ρ(pK) = ρ(qK) rezult automat c qK = qK? Alegem s exprim mρ(q−1pK
)= ρ
(q−1KpK
)= ρ
(q−1K
)ρ (pK) = ρ−1 (qK) ρ (pK) = e′. De aici
e evident c q−1pK = K adic pK = qK deci homomor�smul ρ e bijectiv ⇔ ρizomor�sm. QED.
De�niµie: Fie G un grup, iar H1 ³i H2 dou subgrupuri ale sale. G esteprodusul direct al subgrupurilor H1 si H2 notat G = H1 ⊗ H2 dac suntîndeplinite simultan urm toarele condiµii:
1. h1h2 = h2h1∀h1 ∈ H1 si ∀h2 ∈ H2
2. ∀ g ∈ G ∃ !h1 ∈ H1 ³i ∃ !h2 ∈ H2 astfel încât g = h1h2
Teorema: Dac G = H1 ⊗ H2 ⊗ ... ⊗ Hn atunci Hi ∀ i = 1, n este subgrupinvariant al grupului G.
Demonstraµie - Orice element al grupului G, conform de�niµiei produsuluidirect, poate � scris în mod unic ca g = h1h2...hn.
S calcul m gh′ig−1 pentru a vedea dac subgrupul Hi este într-adev r in-
variant.
gh′ig−1 = (h1h2...hi−1hihi+1...hn)h′i (h1h2...hi−1hihi+1...hn)−1
Cum subgrupurile Hi comut dou câte dou vom avea
gh′ig−1 =
(h1h
−11 h2h
−12 ...hnh
−1n
) (hih′ih−1i
)= hih
′ih−1i
E evident c hih′ih−1i ∈ Hi. QED.
Exerciµii ³i probleme
1. S se g seasc toate clasele de echivalenµ ale grupului S3.
2. S se g seasc toate subgrupurile invariante ale grupului C4.
3. S se g seasc toate subgrupurile invariante ale grupului S3.
4. S se veri�ce c înmultirea claselor laterale determin o structur de grup.
5. S se g seasc grupurile factor al grupului C4.
6. S se g seasc grupurile factor al grupului C4.
7. S se demonstreze c dac G = H1 ⊗ H2 atnci G/H1 ' H2 ³i G/H2 'H1(izomorfe).
8. Fie un grup G, H un subgrup invariant al s u iar F = G/H grupul factordeterminat de acesta. S se arate c în general a�rmaµia G = F ⊗H estefals .
11
1.3 Reprezent ri de grupuri
Teoria grupurilor - spectaculoas ³i frumoas în sine - r mâne un exerciµiu auto-su�cient în absenµa unui domeniu de nemijlocit aplicabilitate practic . Fizica,se ³tie, are nevoie permanent de un aparat matematic din ce in ce mai so�s-ticat pentru a µine pasul cu nevoia de explicare a propriet µilor ³i a dinamiciidiverselor sisteme �zice. Iar, cum unul din conceptele fundamentale în expli-carea fenomenelor la nivelul �zicii cuantice este acela de simetrie, recursul lateoria grupurilor a p rut un demers cât se poate de natural. Soluµiile ecuaµiilordiferenµiale ori integrale ale �zicii matematice se constituie de regul ca spaµiiliniare. De aici interesul special pentru teoria grupurilor ³i mai cu seam pentrurealizarea transform rilor de grup ca transform ri liniare - le vom numi operatoriliniari - ce acµioneaz pe divrsele spaµii vectoriale ale �zicii clasice sau cuantice.Dac vorbim de sisteme cuantice (atomice sau subatomice) întreaga problema-tic se va centra pe spaµiul Hilbert al st rilor sistemului respectiv. Acestea pot� subiect al diverselor trasnsform ri de simetrie, dup cum vom vedea în cursulcapitolelor ce urmeaz . Acµiunea operatorilor liniari este în general asociativ dar nu neap rat comutativ , ceea ce sugereaz imediat analogia cu structura degrup ³i face dezvoltarea domeniului ³i mai interesant . Elementului neutru i-arcorespunde în mod �resc operatorul identitate care exist întotdeauna, �e c vorbim de spaµii vectoriale �nite sau in�nite. Probleme interesante pot ap reaîn anumite situaµii când se pune problema determin rii inversului unui operator,nu toµi �ind inversabili, dar s nu anticip m...
Pentru c suntem înc în zona construcµiilor teoretice din cadrul teoriei gru-purilor, s facem un pas mai departe ³i s trecem la introducerea notµunii dereprezentare a grupului pe un spaµiu vectorial. Presupunând c cititorul este fa-miliarizat cu noµiunile fundamentale din domeniul spaµiilor liniare vom prezentasuccint principalele propriet µi ale acestora, notaµiile ³i convenµiile uzuale.
1.3.1 Spaµiu vectorial
Defuiµie: Se nume³te spaµiu liniar sau vectorial (peste corpul real R saupeste corpul complex C) o mulµime V de obiecte - numite vectori - împreu cu(i) operaµia intern de adunare a lor ³i (ii) înmulµirea cu scalari din corpul pestecare este de�nit spaµiul, dac sunt îndeplinite urm toarele condiµii:
A Adunarea vectorilor (V,+) - determin o structur de grup abelian
1. ∀ v1, v2 ∈ V ⇒ v1 + v2 ∈ V
2. ∀ v1, v2, v3 ∈ V ⇒ (v1 + v2) + v3 = v1 + (v2 + v3)
3. ∃ ! 0 ∈ V a.i. v + 0 = 0 + v = v ∀v ∈ V
4. ∀ v ∈ V ∃ ! (−v) ∈ V a.i. v + (−v) = (−v) + v = 0
5. ∀ v1, v2 ∈ V ⇒ v1 + v2 = v2 + v1
12
B Înmulµirea cu scalari (vom omite semnul ·)
1. ∀α ∈ C ∀ v ∈ V ⇒ αv ∈ V
2. ∀α, β ∈ C ∀ v ∈ V ⇒ (αβ) v = α (βv)
3. ∃ ! 1 ∈ C a.i. v1 = 1v = v1 = v ∀ v ∈ V
4. ∀α, β ∈ C ∀ v ∈ V ⇒ (α+ β) v = αv + βv
5. ∀α ∈ C ∀ v1, v2 ∈ V ⇒ α (v1 + v2) = αv1 + αv2
Am preferat de�nirea de la început a spaµiilor vectoriale complexe întrucât aces-tea au un grad mai mare de generalitate ³i vor � de interes demersului nostruulterior. Spaµiile vectoriale reale sunt incluse ca un caz particular (mai simplu)al spaµiilor vectoriale complexe. Toate rezultatele obµnute în cazul spaµiilor vec-toriale complexe pot � transferate cu minime ajust ri spaµiilor vectoriale reale,pentru c R ⊂ C.
De�niµie: O submulµime V ′ ⊂ V se nume³te subspaµiu vectorial (al lui V )dac împreun cu operaµiile de adunare a vectorilor, respectiv de înmulµire cuscalarii se structureaz ca spaµiu vectorial.
De�niµie: Vectorii v1, v2, ..., vn ∈ V se numesc liniar idependenµi dac ∑i
αi vi = 0 ⇒ αi = 0, ∀ i = 1, 2, ..., n
De�niµie: Num rul maxim de vectori liniar independenµi ce pot � g siµi într-un paµiu vectorial se nume³te dimensiunea spaµiului vectorial respectiv. No-taµie: dimV = n sau Vn cu observaµia c n poate � �nit sau in�nit.
În spaµiile vectoriale se pot de�ni o mai multe operaµii între vectori. Una dincele mai importante este produsul scalar a doi vectori.
De�niµie: Se nume³te produs scalar a doi vectori v1 , v2 ∈ V un num r com-plex s = v1v2 cu propriet µile:
S1 : v1v2 = (v2v1)∗ ∀ v1, v2 ∈ V
S2 : v1 (αv2 + βv3) = α (v1v2) + β (v1v3) ∀ v1, v2, v3 ∈ V α, β
S3 : vv ≥ 0 ∀v ∈ V ∧ vv ≥= 0 ⇔ v ≡ 0 ∈ V
∈ C
unde prin ∗se înµelege conjugarea complex . Se observ c produsul scalar esteliniar în termenul al doilea ³i se poate demonstra u³or c e antiliar în primul.
13
Cu ajutorul produsului scalar se pot de�ni normele vectorilor, spaµul dual,ortogonalitatea, completitudinea. Aici e momentul s reamntim notaµia Diracpentru vectorii unui spaµiu liniar complex.
v1 = |v1〉 , v2 = |v2〉 , v3 = |v3〉 , ..., vn = |vn〉 ∈ VnCu acest formalism, vectorii spaµiului dual vor �:
〈v1| , 〈v2| , 〈v3| , ..., 〈vn| ∈ Vniar produsul scalar se va scrie: 〈v1 | v2〉.
De�niµie: Se nume³te norma vectorului v num rul real pozitiv:
|v| =√〈v | v〉
De�niµie: Doi vectori sunt ortogonali dac ³i numai dac produsul lor scalareste nul.
〈v1 | v2〉 ≡ 0
De�niµie: Pentru un spaµiu liniar n-dimensional se poate de�ni o baz orto-normat ca un sistem de vectori liniar independenµi {|e1〉 , |e2〉 , |e3〉 , ..., |en〉} ∈Vn cu proprietatea: 〈ei | ej〉 = δij .
Orice vector |v〉 al spaµiului liniar complex Vn se poate scrie în mod unic ca:
|v〉 = v1 |e1〉+ v2 |e2〉+ v3 |e3〉+ ...+ vn |e1〉
unde numerele complexe vi, cu i = 1, 2, ..., n se numesc proiecµiile (sau com-ponentele) vectorului pe direcµia versorului |ei〉 iar operatorii Λi = |ei〉 〈ei|sunt proiectorii pe direcµia respectiv . Anticipând un pic, vom da mai joscondiµia de completitudine a unei baze ortonormate:
I =∑i
|ei〉 〈ei|
Aceast cerinµ este îndeplinit în mod natural în spaµiile vectoriale �nitdimensionale. În spaµiile vectoriale in�nit dimensionale îndeplinirea acestei con-diµii nu este trivial .
Încheiem secµiunea dedicat spaµiilor liniare prezentând convenµia de sumarea indicilor �muµi� (Einstein): dac un indice apare succesiv în poziµie superioar respectiv inferioar atunci se subînµelege sumare dup el peste toate valorile pecare le poate lua.
14
1.3.2 Reprezent ri pe spaµii liniare
De�niµie: Fie G un grup. Se nume³te reprezentare a grupului G pestespaµiul vectorial V un homomor�sm U : G→ End(V ), unde am notat End(V )mulµimea endomor�smelor pe spaµiul vectorial V .
Este evident c reprezentarea U va satisface condiµiile:
U(e) = 1 U(a)U(b) = U(ab) (1.3)
Cu aceast de�niµie devine clar c reprezentarea unui grup este de fapt apa-ratul prin care se vor realiza propriet µile abstracte ale grupului în mulµimeaendomor�smelor inversabile pe un anume spaµiu vectorial (în �ecare caz concret,altul). Cu alte cuvinte, �rolurile� pe care elementele grupului le au în �piesa�compunerii din interiorul grupului vor � �interpretate� pe �scena� spaµiului vec-torial al st rilor de c tre �actorii� - operatori liniari.
g ∈ G → U(g) (1.4)
De�niµie: Dimensiunea reprezent rii este dimensiunea spaµiului vectorial pestecare ea este de�nit .
Dac reprezentarea este un izomor�sm, atunci ea se va numi �faithful� saureprezentare 1-la-1. Daca r mânem în cadrul general al homomor�semelorcare nu sunt 1-la-1 atunci ea se zice degenerat . S ne focaliz m acum perealizarea concret a unei reprezent ri de grup peste un spaµiu vectorial V �nitdimensional (dim(V ) = n) a carui baz ortonormat ³i complet este dat devectorii: |e1〉,|e2〉,...,|en〉.
Reprezentarea U se va realiza prin matricile D asociate operatorilor care auurm toarea form în baza dat :
[D (g)]ij = 〈ei | D (g) | ej〉 (1.5)
De aici, exploatând de�nirea reprezent rii ³i completitudinea bazei spaµiuluiliniar în care ea acµioneaz , se va obµine regula de înmulµire a operatorilor cede�nesc reprezentarea.
[D (g1g2)]ij = [D (g1)D (g2)]ij
= 〈ei | D (g1)D (g2) | ej〉
=∑k
〈ei | D (g1) | ek 〉〈 ek | D (g2) | ej〉
=∑k
[D (g1)]ik [D (g2)]kj
15
Se observ c aceast regul se reduce de fapt la regula de înmulµire a ma-tricelor complexe n× n.
Într-o scriere echivalent , se poate da regula de acµiune a operatorilor repre-zent rii pe vectorii bazei
U(g) |ei〉 = |ej〉D(g)ji (1.6)
unde primul indice (cel superior) reprezint num rul coloanei matricei, iar aldoilea (cel inferior) num rul liniei corespunzatoare. Indici care se repet înpoziµie inferioar respectiv superioara sunt �indici muµi� subînµelegându-se c se sumeaz dup toate valorile lor 1, 2, ..., n (convenµia Einstein).
Exemple
1. Orice grup G admitee reprezentarea trivial 1-dimensional U(g) = 1pentru ∀ g ∈ G.
2. Pentru grupul matricilor n × n se poate da o reprezentare prin determi-nantul �ec rei matrici: U(g) = det(g).
Teorema: Fie un grup G si H un subgrup invariant netrivial al s u. Atunci:1. Orice reprezentare a grupului factor K = G/H este o reprezentare ³i
pentru grupul G.2. Dac U(G), o reprezentare a grupului G, este degenerat , atunci el admite
cel puµin un subgrup invariant netrivial.Demonstraµie - 1. Prima a�rmaµie este evident întrucât elementele grupului
factor sunt de fapt clasele de echivalenµ ale elementelor sale. Se poate construio aplicaµie φ : G → K care s fac job-ul pH → p′ ∈ G/H respectiv qH →q′ ∈ G/H . O reprezentare a grupului factor G/H pe un spaµiu vectorial Vva asigura U (p′)U (q′) = U (p′q′). Dar cum orice element din clasa pH poate� reprezentat de U (p′) concluzia e imediat . QED. 2. A doua a�rmaµie ned informaµia c aplicaµia care duce de la elementele grupului endomor�smul(reprezentarea) pe V nu este injectiv . Aceasta conduce la faptul c nucleulacestei aplicaµii nu este format doar din elementul neutru al grupului e, adic am g sit subgrupul invariant trivial. QED.
Corolar: Reprezent rile grupurilor simple sunt întotdeauna 1-la-1.
Ceea ce face reprezent rile de grupuri atât de atractive din perspectiva �zicia-nului teoretician este faptul c prin intermediul lor propriet µile grupului (de-terminate esenµial de regula de compunere ³i de ordinul acestuia) sunt preluatetelle-quelle de operatorii liniari ce acµioneaz pe vectorii spaµiului de reprezen-tare. Pentru �ecare problem speci�c se pot alege în modul cel mai convenabilace³ti vectori. Se poate trece de la un set de vectori la altul prin simpla acµiunea unor transform ri liniare - s le numim de similaritate - în general inversabile,care permit construirea unor reprezent ri similare absolut echivalente dar multmai u³or de manipulat.
16
De�niµie: Dou reprezent ri U ³i U ′ ale aceluia³i grup G se numesc echi-valente (sau similare) dac exist un endomor�sm inversabil S care satisfacerelaµia:
U ′ (g) = SU (g)S−1 (1.7)
De�niµie: Fie un grup G si g ∈ G iar U (g) o reprezentare a sa. Se nume³tecaracterul lui g urma reprezent rii:
χ (g) = TrU (g) (1.8)
Pentru o reprezentare prin matrici, caracterul se exprim , conform de�niµieiurmei ca sum a tuturor elementelor diagonale ale matricii respective.
χ (g) =∑i
[D (g)]ii (1.9)
Corolar: Caracterul este o etichet de clas .Demonstraµie - Alegem dou elemente g ³i g′ echivalente (aparµinând acele-
ia³i clase). Atunci va exista un element p ∈ G astfel încât g = pg′p−1. Carac-terul lui g va � χ (g) = TrD (g) = TrD
(pg′p−1
)= TrD
(gp−1p
)= TrD (g′) =
χ (g′) . QED.
De�niµie: Se nume³te reprezentare reductibil o reprezentare ce admite unsubspaµiu invariant netrivial.
O astfel de reprezentare poate � exprimat de o matrice de forma:
D (g) =
D1 (g) D′ (g)
0 D2 (g)
(1.10)
cu D′ (g) în principiu nenul.Fie P proiectorul pe un subspaµiu al spaµiului de reprezentare. Subspaµiul
determinat de acest proiector este invariant la acµiunea unei reprezent ri D (g)dac acµiunea reprezent rii pe acest subspaµiu duce tot la vectori din subspaµiulrespectiv. Formal, acest fapt se exprim prin relaµia:
PD (g)P = D (g)P, ∀ g ∈ G (1.11)
De�niµie: Dac spaµiul de reprezentare nu admite subspaµii invariante ne-triviale el se zice minimal.
De�niµie: O reprezentare se zice ireductibil dac nu este reductibil .
17
De�niµie: O reprezentare este complet reductibil dac este echivalent cuo reprezentare a c rei matrice poate � scris în forma bloc diagonal .
D (g) =
D1 (g) 0 · · ·0 D2 (g)...
. . .
(1.12)
O reprezentare în forma bloc diagonal este o sum direct de subreprezen-t ri ireductibile Di (g) notat :
D (g) = D1 (g)⊕D2 (g)⊕ · · · (1.13)
Plecând de la aceast descompunere, se poate rede�ni noµiunea de reducti-bilitate. O reprezentare este complet reductibil dac ea poate � descompus într-o sum direct de reprezent ri ireductibile.
Exerciµii ³i probleme
1. S se demonstreze inegalitatea Cauchy-Buniakowski-Schwarz
2. S se demonstreze c determinantul poate funcµiona ca o reprezentare aunui grup de matrici (exemplul 2)
3. S se demonstreze c pentru orice grup, caracterul este el insu³i o repre-zentare.
1.4 Reprezent ri unitare
Spaµiile vectoriale de care ne vom ocupa atunci când studiem reprezent rilediverselor grupuri de simetrie din �zic sunt spaµii vectoriale, de cele mai multeori in�nit dimensionale cum sunt spaµiile Hilbert speci�ce mecanicii cuantice.Într-un astfel de spaµiu vectorial are sens s de�nim o categorie special dereprezent ri, reprezent rile unitare.
De�niµie: O reprezentare U (g) se nume³te unitar dac satisface relaµia:
U† (g)U (g) = 1, ∀ g ∈ G (1.14)
Teorema: O reprezentare unitar reductibil este complet reductibil .Demonstraµie - este imediat . Fie spaµiul de reprezentare V ³i V1 ⊂ V
un subspaµiu invariant. Atunci V = V1 + V2 (cu vectorii bazei ortonormaµi⟨ej∣∣ ei〉 = 0 pentru ∀ |ei〉 ∈ V1 ∀ |ej〉 ∈ V2 ), ³i în mod obligatoriu V2 va �
³i el subspaµiu invariant. Reprezentarea unitar U (g) |ei〉 = |ei (g)〉 ∈ V1. eaacµioneaz pe vectorii din V2 U (g) |ej〉 = |ej (g)〉dar de unde vor � vectorii|ej (g)〉? Introducând în relaµia de ortonormare identitatea I = U† (g)U (g)vom avea
⟨ej∣∣U† (g)U (g) ei〉 = 0 adic
⟨ej (g)
∣∣ ei (g)〉 = 0. QED.
18
Teorema: Orice reprezentare a unui grup de ordin �nit este echivalent cuo reprezentare unitar
Demonstraµie - Fie G un grup de ordin �nit, V un spaµiu de reprezentaren-dimensional, iar D(g) o reprezentare a acestui grup peste spaµiul liniar consi-derat. Constrium operatorul
S =∑g∈G
D† (g)D(g)
care este hermitic S† = S ³i semipozitiv de�nit, astfel c el poate � diagonalizatiar valorile propri sunt nenegative d1 ≥ 0 ∀i.
d =
d1 0 · · ·0 d2 · · ·...
.... . .
Se poate ar ta c toate valorile propri sunt de fapt strict pozitive d1 > 0 ∀i.
Dac o singur valoare proprie ar � nul ar însemna c avem un vector |λ〉 pentrucare S ar avea valoarea proprie zero S |λ〉 = 0. Asta ar însemna c
〈λ|S |λ〉 =∑g∈G〈λ|D† (g)D(g) |λ〉
adic ar exista un |λ〉 care ar face ca D(g) |λ〉 s se anuleze pentru toµi g ∈ G,ceea ce ar contraveni D(e) = I.
Se poate construi reprezentarea unitar U(g)
U(g) = XD(g)X−1
unde operatorul inversabil X este
X =
√d1 0 · · ·0
√d2 · · ·
......
. . .
U† (g)U(g) =
(X−1
) †D† (g)X†XD(g)X−1
=(X−1
) †D† (g)SD(g)X−1
=∑g′∈G
D† (g)D† (g′) (g′)D (g)
=∑g′′∈G
D† (g′′)D (g′′)
Tocmai am obµinut c orice reprezentare a unui grup �nit este echivalent cu o reprezentare unitar ! QED.
19
Corolar: Orice grup �nit dac admite reprezent ri reductibile acestea suntcomplet reductibile.
Demonstraµia - este imediat pe baza teoremei anterioare. Reprezent rileoric rui grup �nit sunt echivalente cu reprezent ri unitare care dac sunt reduc-tibile sunt complet reductibile. QED.
1.5 Lemele lui Schurr
Lema Schurr 1: Fie dou reprezen ari ireductibile U (g) ³i U ′ (g) ale unuigrup G peste dou spaµii vectoriale V ³i V ′ ³i o transformare liniar A : V → V ′
cu proprietatea c AU (g) = U ′ (g)A, ∀ g ∈ G. Atunci este adevarat una dina�rmaµiile:
(1) A = 0(2) A 6= 0 ⇒ U ′ (g) ∼ U (g) reprezentarile sunt echivalente.Demonstraµie - Presupun c exist un vector |λ〉 ∈ V pentru care A |λ〉 = 0.
Atunci proiectorul pe subspaµiul Vλ ⊂ V subîntins de |λ〉 va � Pλ = |λ〉 〈λ|³ivom avea c :
AU (g)P = U ′ (g)AP = 0
rezult c U (g) |λ〉 ∈ Vλ, adic Vλ este subspaµiu invariant al reprezent rii U (g),dar pentru c reprezentarea U (g) am considerat-o de la început ireductibil rezult c Vλ ≡ V . În aceste condiµ �e A ≡ 0 pe tot spaµiul V �e este omatrice (cu num r de coloane egal cu num rul de linii) inversabil / Atuncirezult imediat c
AU (g)A−1 = U ′ (g)
ceea ce nu e altceva dec t echivalenµa celor dou reprezent ri. QED.
Lema Schurr 2: Fie un grup G ³i U (G) o reprezentare �nit dimensional ireductibil peste un spaµiu vectorial Vn în care acµioneaz un operator liniararbitrar A (un edomor�sm). Dac A comut cu toµi operatorii U (g) ∀g ∈ Garunci A este multiplu al operatorului identitate.
AU (g) = U (g)A, ∀ g ∈ G ⇒ A = λI (1.15)
Demonstraµie - Presupun c operatorul A admite un subspaµiu invariantVλ determinat de vectorul |λ〉. Dac scriem problema de valori propri pentruoperatorul A: A |λi〉 = λi |λi〉
AU (g) |λi〉 = U (g)A |λi〉 = λiU (g) |λi〉
Vectorul U (g) |λi〉 ∈ Vλadic aacest spaµ este subspaµiu invariant ³i pentrureprezentarea U (g). Cum reprezentarea U (g) este ireductibil singura posibili-tate este ca Vλ ≡ V . Pe cale de consecinµ λi este unic pentru întreg spaµiul dereprezentare. A = λI. QED.
20
Corolar: Grupurile abeliene admit reprezent ri ireductibile 1-dimensionale.Demonstraµie - Fie G un grup abelian ³i un element p ∈ G. Comutativitatea
grupului asigur egalitatea: pg = gp,pentru ∀g ∈ G. Trecând la reprezent rilegrupului G vom avea c U (p)U (g) = U (g)U (p), ∀g ∈ G. Din lema 2 a luiSchurr va rezulta c U (p) = λpI.
Exerciµii ³i probleme
1. S se demonstreze c un set de operatori liniari A ³i B care comut întreei [A , B] = 0 admit un sistem de vectori propri comuni.
1.6 Ortogonalitate ³i completitudine
Pentru început d m câteva notaµii utile ale unor m rimi ce vor face obiectul maimultor teoreme ³i relaµii remarcabile pentru teoria reprezent rilor de grupuri.Pentru un grup G avem:
• nG - ordinul grupului
• µ , ν , ... - reprezent ri ireductibile neechivalente
• nµ - dimensiunea reprezent rii µ
• Dµ(g) - matricea elementului g în reprezentarea µ
• χµi - caracterul clasei de echivalenµ ςi în reprezentarea µ
• ni - num rul de elemente ale clasei ςi
• nC - num rul de ale clase ale grupului
1.6.1 Ortogonalitatea matricilor reprezent rilor
Teorma: Cu notsµiile de mai sus, avem urm toarea relaµie de ortonormalitatepentru reprezent rile ireductibile neechivalente Dµ(g) ale unui grup G:
nµnG
∑g
[D†µ(g)
]ki
[Dν
(g)]jl
= δνµδji δkl (1.16)
unde am notat[D†µ(g)
]ki
=[[Dν
(g)]jl
]∗.
Demonstraµie - Fie X o matrice complex nµ × nν . Cu ajutorul ei se poateconstrui matricea:
M =∑g
D†µ(g)XDν
(g)
Se veri�c u³or c Dµ(g)M = MDν(g), ∀g ∈ G. Calcul m
21
MDν(p) =∑g
D†µ(g)XDν
(gp)
care prin lema de rearanjare devine succesiv:
=∑g1
D†µ(g1p−1)XD
ν
(g1)
=∑g1
D†µ(p−1)D†µ (g1)XD
ν
(g1)
= Dµ(p)M
Conform lemei lui Schurr aici avem dou posibilit µi. Dac µ 6= ν atunciobligatoriu M ≡ 0 sau dac µ = ν atunci M = λI. Ambele posibilit µi pot �puse sub forma M = λδνµ.
Aleg o familie de matrici(Xkl
)ji
= δki δjl ³i calcu m:(
Mkl
)mn
=∑g
∑i,j
D†µ (g)mj(Xkl
)jiDµ (g)in
=∑g
∑i,j
D†µ (g)mj δki δjlD
µ (g)in
=∑g
D†µ (g)ml Dµ (g)kin
Cum(Mkl
)mn
= λki δmn rezult c vom avea λki δ
mn =
∑gD†µ (g)ml D
µ (g)kin.Aplicând Trace se va obµine:
Tr(λki δ
mn
)= λki
∑n
δmn = λki nµ
=∑g
∑n
D†µ (g)ml Dµ (g)kin
=∑g
[D†µ (g)Dµ (g)
]kl
=∑g
δkl = nGδkl .
Ceea ce am obµinut este c
λki =nGnµ
δkl
Combiunând rezultatele obµinute, se ajunge exact la formula enunat înteorem . QED.
22
Observaµie Dac rede�nim reprezent rile ireductibile neechivalente prin nor-malizare adecvat
Dµ (g) →√nµnG
Dµ (g)
atunci acestea vor � funcµii ortonormate de elementele grupului. Mai mult,aceste reprezent ri ireductibile vor forma un set complet de �funcµii� în care seva putea dezvolta orice funcµie arbitrar de elementele grupului F (g).
Teorema: Pentru reprezent rile ireductibile ale unui grup avem urm toarelerelaµii:
1. Dimensiunile reprezent rilor ireductibile neechivalente satifsfac:∑µ
n2µ = nG (1.17)
2. Pentru elementele de matrice avem:∑µ,l,k
nµ [Dµ(g)]kl[D†µ (g′)
]lk
= nGδgg′ (1.18)
Demonstraµie - Plecând de la relaµia (1.16) se observ c ea devine∑g
nµ[D†µ(g)
]ki
[Dν
(g)]ik
= nGδνµ
iar mai departe când se impune condiµia ca reprezent rile µ ³i ν s coincid ³i seaplic urma, avem: Tr
∑g
[D†µ(g)
]ki
[Dν
(g)]ik
= nG adic exact relaµia (1.17).QED. (Formula (1.18) r mâne s o demonstreze cititorul.
1.6.2 Ortogonalitatea caracterelor
Lema: Pentru caracterele reprezent rilor ireductibile Uµ(g)∑h∈ςi
Uµ(h) =ninµχµi I (1.19)
Demonstraµie - Construiec operatorul Ai =∑h∈χi U
µ(g) ³i veri�c c elcomut orice reprezentare Uµ(g).
Uµ(g)Ai [Uµ(g)]−1 =∑h∈ςi
Uµ(g)Uµ(h)Uµ(g−1
)=∑h∈ςi
Uµ(ghg−1
)= Ai
pentru c ghg−1 ∈ ςh, astfel c din lema lui Schurr va rezulta forma operatoruluiAi = λiIµ. Dac se calculeaz urma în ambele p rµi ale egalit µii, se ajunge la
23
Tr (λiIµ) =∑h∈ςi
Tr [Uµ (g)] = niχµi
de unde rezult c λinµ = niχµi care duce direct la relaµia din enunµul teoremei.
QED.
Teorema: Ortonormarea ³i completitudinea caracterelor unui grup se exprim :∑ininG
(χ†)iµχνi = δνµ
ninG
∑µ χ
µi
(χ†)jµ
= δji
(1.20)
unde(χ†)jµ
=(χµj)∗.
Demonstraµie -(i) Pornim de la
nµnG
∑g
[D†µ(g)
]ki
[Dν
(g)]jl
= δνµδji δkl
care pentru k = i ³i j = l duce la urmele reprezent rilor, adic la caracterelecorespunz toare. χ†iµ (g) =
[D†µ(g)
]iiiar χνj =
[Dν
(g)]jj.
nµnG
∑g
[D†µ(g)
]ii
[Dν
(g)]jj
= δνµIµδji
Aici se aplic urma:
nµnG
∑g
χ†µχν = δνµnµ
1nG
∑i
χ†iµ χνi = δνµ
(ii) Pornim de la ecuaµia (1.19) ³i avem∑h∈ςi
Uµ(h) =ninµχµi I ⇒
∑h∈ςi
[Uµ(h)]kl =ninµχµi δ
kl
∑µ,k,l
∑g∈ςi
∑g′∈ςj
nµnG
[Dµ (g)]lk[D†µ (g′)
]kl
=∑µ,k,l
[(nµnG
)(ninµχµi δ
kl
)(ninµχ †jµ δkl
)]
=∑µ,i,j
ninjnG
χµi χ†jµ = niδ
ij
pentru c ∑g∈ςi
∑g′∈ςj δgg′ = niδ
ij ³i se ajunge la rezultatul dorit. QED.
24
Tabela 1.2: Tabela caracterelorµ \ i ς1 ς2 ς3 · · · ςnC
1 χ11 χ1
2 χ13 · · · χ1
nC
2 χ21 χ2
2 χ23 · · · χ2
i
3 χ31 χ3
2 χ33 · · · χ3
nC...
......
.... . .
...µ χν1 χν2 χν3 · · · χνnC
De�niµie: Se nume³te caracter normalizat χνi exprimat ca
χνi =√ninG
χνi (1.21)
De�niµie: Se nume³te tabela de caractere reprezentarea sub form detabel în care pe linii se pun reprezent rile iar pe coloane clasele
Teorema: În reducerea unei reprezent ri U(G) a unui grup dat G la o sum de reprezent ri ireductibile, num rul de câte ori apare reprezentarea ireductibil Uν (G) este dat de
aν = χ†ν χ (1.22)
Demonstraµie - Scriem reprezentarea U(G) ca o sum direct de reprezent riireductibile:
U(g) =∑µ
Uµ(g) Uµ(g) · · · Uµ(g)︸ ︷︷ ︸de aµ ori
Se calculeaz caracterul reprezent rii ca urm a matricei reprezent rii, echi-valent cu suma caracterelor reprezent rilor ireductibile :
χ(g) = TrU(g) =∑µ
χµ(g) χµ(g) · · · χµ(g) =∑µ
aµχµ(g)
Evident, χ(g) = χi este caracterul clasei de echivalenµ a elementului g .Trecem la caractere normalizate
∑µ aµχ
νi = χi astfel c dac acum aplic m la
stânga înmulµirea cu caracterul χ†ν ³i sum m dup i. Vom avea∑i
χ†iν χi =∑i
∑µ
aµχ†iν χ
µi =
∑µ
aµδµν
iar pentru c χ =∑i χi rezult imediat c aν = χ†ν χ. QED.
25
Teorema: Condiµia necesar ³i su�cient pentru ca o reprezentare U(G) s �e ireductibil este
χ†χ = 1 (1.23)
Demonstraµie - Exprimând χ = (∑ν aνχ
ν) ³i χ† =(∑
µ aµχ†µ
)vom avea c
χ†χ =∑µ
a2µ
• implicaµia �⇒�
Dac U(G) este reprezentare ireductibil înseamn c singura reprezentare carecare va ap rea în suma direct va � Uµ(G) iar asta implic aµ = 1 ³i aν =0 , ∀ν 6= µ, ceea ce echivaleaz cu
∑µ a
2µ = 1, adicde mai sus, adic χ†χ = 1.
QED.
• implicaµia �⇐�
Dac relaµia χ†χ = 1 are loc, atunci e imposibil ca în suma∑µ a
2µ s mai apar
vreun alt termen nenul în afar de aµ care, el singur, va avea valoarea 1. Deunde rezult c U(G) = Uµ(G), adic reprezentarea U(G) este ireductibil .QED.
Exerciµii ³i probleme
1. S se deomnstreze c pentru grupurile abeliene relaµia de ortogonalitate areprezent rilor se va scrie:
1nG
∑g
d†µ(g)dν(g) = δνµ
2. S se construiasc tabela de caractere pentru grupul Z2.
3. S se construiasc tabela de caractere pentru grupul D2.
4. S se construiasc tabela de caractere pentru grupul S3.
1.7 Reprezent ri regulate
De�niµie: Se numete reprezentare regulat (∆) pentru un grup �nit deelemente {g1 , g2 , ... , gn} cu legea de compunere gigj = gk
gigj = gk (∆i)kj cu (∆i)
kj =
1 , pt. k = j
0 , pt. k 6= j(1.24)
26
Demonstraµie - S veri�c m c ∆ de�nit mai sus este într-adev r o repre-zentare. Pentru aceasta lu m trei elemente din grupul G: a , b , c astfel încâtab = c. Dac ∆ este o reprezentare atunci ∆a∆b = ∆c.
Conform de�niµiei avem c
(ab) gi = cgi ⇒ (ab) gi = gm (∆c)mi
dar pe de alt parte
a (bgi) = agk (∆b)ki ⇒ a (bgi) = gm (∆a)mk (∆b)
ki
Din cele dou relaµii de mai sus rezult imediat c :
(∆c)mi = (∆a)mk (∆b)
ki ⇒ ∆c = ∆a∆b
QED.
Observaµie: Este important de atras atenµia aici asupra faptului c de�niµiareprezent rii regulate gigj = gk (∆i)
kj este o form nou sub care reg sim
teorema lui Cayley a ∈ G → pa ∈ Sn.
a ∈ G → pa =(
1 2 · · · nGa1 a2 · · · anG
)∈ Sn
agi = gk (∆a)kjadic
(∆a)kj = δkai (1.25)
³i devine banal de veri�cat:
(∆a)mk (∆b)ki = δmakδ
kbi = δmabii = (∆ab)
mi
.
Teorema: Reprezentarea regulat conµine toate reprezent rile ireductibile ne-echivalente µ, �ecare reprezentare ireductibil neechivalent ap rând de un nu-m r de ori egal cu dimensiunea reprezent rii ireductibile respective nµ ³i în plusare loc egalitatea
∑µ n
2µ = nG.
Demonstraµie - Fie UR(g) reprezentarea regulat a grupului G ³i aRµ num rulde câte ori apare reprezentarea ireductibil µ în reprezentarea regulat UR(g) =∆.
∆(g) =∑µ
Uµ(g) Uµ(g) · · · Uµ(g)︸ ︷︷ ︸de aRµ ori
Conform teoremei de reducere a unei reprezent ri la suma direct a repre-zent rilor sale ireductibile avem c aRµ = χ†νχ
R =∑ininGχ†iµ χ
Ri , adic
27
aRµ =n1
nGχ†1µ χ
R1 +
n2
nGχ†2µ χ
R2 + · · ·
Dar, în reprezentarea regulat , caracterele tuturor claselor de echivalenµ - cuexcepµia clasei de echivalenµ a identit µii e - se vor anula pentru c (∆g)
kj = δkgi
(care are elemente diagonale nenule numai dac g = e).Deci suma care d num rul aRµ conµine un singur element, corespunz tor
identitat µii cu n1 = 1
aRµ =1nG
χ†1µ χRe =
1nG
χ†1µ nG = nµ
Partea a doua a teoremei se demonstreaz plecând de la reprezentarea regulat corespunz toare elementului identitate
∆(e) = InG×nG
Pe de alt parte ∆(e) se poate scrie ca sum a reprezent rilor ireductibileneechivalente µ �ecare ap rând de nµori. astfel c I =
∑µD
µ(e) Dµ(e) · · · Dµ(e). Atunci când se calculeaz urma identit µii se obµine nG iar, pen-tru c suma reprezent rilor ireductibile neechivalente conµine de nµori �ecarereprezentare de dimensiune nµ, urma acestei sume va �
∑µ n
2µ. QED.
Exerciµii ³i probleme
1. S se precizeze reprezentarea regulat a grupului D2.
2. S se g seasc reprezent rile regulate ale grupului Z2.
1.8 Coe�cienµii Clebsch-Gordan
Fie dou spaµii vectoriale U ³i V . Pentru acestea vom avea bazele ortonormate{|ui〉 i = 1, nU
}respectiv
{|vj〉 j = 1, nV
}. Construim spaµiul produs direct al
celor dou spaµii notat cu W = V ⊗ V . Vectorii |wk〉 = |ui〉 ⊗ |vj〉 acestui nouspaµiu vor � indexaµ de k = ij.
Presupunem c avem operatorii liniari A ³i B ce acµioneaz pe spaµiile U ³irespectiv V .
A : U → U A |ui〉 = |ui′〉Ai′
i
B : V → V B |vj〉 = |vj′〉Aj′
j
Cu ajutorul lor putem construi operatorul D = A ⊗ B care va acµiona pevectorii spaµiului produs direct W .
D : W →W D |wk〉 = |wk′〉Dk′
k
28
unde vom avea Dk′
k = Ai′
iBj′
j - produs Kronecker de operatori.Problematica produselor directe de spaµii vectoriale este strâns legat de teo-
ria reprezent rilor de grupuri. S lu m, spre exemplu, reprezentarea matricial D (G) a unui grup ³i �e dou realiz ri µ ³i ν ale ei pe spaµii de dimensiuninµ ³i nν . Reprezentarea produs direct va � Dµ×ν (G) = Dµ (G) ⊗ Dν (G).Pentru aceasta s calcul m caracterul χµ×ν . El va � χµ×ν = TrDµ×ν (g) =Dµ×ν (g)kk = Dµ (g)iiD
ν (g)jj = TrDµ (g) · TrDν (g) = χµχν . Cu alte cuvinte,caracterul produsuluid e reprezent ri este egal cu produsul caracterelor �ec reireprezent ri în parte. Evident, dimensiunea reprezent rii produs direct va �n2µn
2ν .O problem fundamental apare aici. Cum putem �sparge� o reprezentare
produs direct în sum direct de reprezent ri ireductibile neechivalente? Adic
Dµ×ν (G) =∑λ
⊕aλDλ (g)
Conform teoremei vom avea aλ = χ†λχµ×ν adic
aλ =∑i
ninG
χ†iλ (χµi χνi )
Cu aceste preliminarii s ad ug m c în spaµiul produs direct W vom aveavectorii bazei produs direct
{|i j〉 , i = 1, nµ , j = 1, nν
}. Pe de alt parte, în
noua baz vom avea vectorii{|(µν)λα l〉 , λ = 1, 2, ... , α = 1, aλ , l = 1, nλ
}.
Aceasta este baza descompunerii în sum direct . Semni�caµia �ec rui indiceeste clar : λ va da num rul de reprezent ri ireductibile neechivalente, α de câteori apare �ecare reprezentare ireductibil neechivalent în suma direct , iar ldimensiunea �ec rei reprezent ri ireductibile neechivalente.
Evident c cele dou baze ortonormate sunt legate printr-o transformareunitar - aceasta �ind dat chiar de coe�cienµii Clebsch-Gordan.
De�niµie: Se numesc coe�cienµi Clebsch-Gordan:
|(µν)λα l〉 =∑i,j
|i j〉 〈i j |(µν)λα l〉 (1.26)
Teorema (ortonormarea ³i completitudinea Clebsch-Gordan): Pentrucoe�cienµii Clebsch-Gordan ai unei descompuneri în sum direct de reprezen-t ri ireductibile neechivalente a unei reprezent ri produs direct avem urm toa-rele relaµii de ortogonalitate ³i completitudine:∑
λ,α,l
〈i j |(µν)λα l 〉〈 (µν)λα l| i′ j′〉 = δii′δjj′ (1.27)
∑i,j
〈(µν)λα l |i j 〉〈 i j| (µν)λ′ α′ l′〉 = δλλ′δαα′δll′ (1.28)
29
Demonstraµie - este imediat datorit ortonorm rii bazelor din spaµiul pro-dus direct.
Teorema (descompunerea reprezent rii produs direct): Au loc urm -toarele relaµii:
Dµ (g)i′
i Dν (g)j
′
j = 〈i′ j′ |(µν)λα l′〉Dλ (g)l′
l 〈(µν)λα l| i j〉 (1.29)
Dλ (g)l′
l δλ′
λδα′
α =⟨
(µν)λ′ α′ l′∣∣∣i′ j′ ⟩Dµ (g)i
′
i Dν (g)j
′
j
⟨i j∣∣∣ (µν)λα l
⟩(1.30)
(i) Fie reprezentarea matricial Dµ×ν(g). Ea va acµiona pe vectorii bazei astfel:
U(g) |i j〉 = |i′ j′〉Dµ (g)i′
i Dν (g)j
′
j
U(g) |(µν)λα l〉 = |(µν)λα l′〉Dλ (g)l′
l
la care se adaug coe�cienµii Clebsch-Gordan
|i j〉 =∑λ,α,l
|(µν)λα l 〉〈 (µν)λα l| i j〉
Cu aceste preliminarii trecem la calculul acµiunii reprezent rii pe ace³ti vec-tori pentru a obµine regula de descompunere în reprezent ri ireductibile neechi-valente.
U (g) |i j〉 = U (g)∑λ,α,l
|(µν)λα l 〉〈 (µν)λα l| i j〉
=∑λ,α,l
∣∣∣(µν)λα l′⟩Dλ (g)l
′
l
⟨(µν)λα l
∣∣∣ i j〉=∑λ,α,l
∑i′,j′
|i′ j′ 〉〈 i′ j′| (µν)λα l′〉Dλ (g)l′
l 〈(µν)λα l |i j〉
Identi�când relaµiile ajungem la
Dµ (g)i′
i Dν (g)j
′
j =∑λ,α,l
〈i′ j′| (µν)λα l′〉Dλ (g)l′
l 〈(µν)λα l |i j〉
= 〈i′ j′|
∑λ,α,l
|(µν)λα l′〉Dλ (g)l′
l 〈(µν)λα l|
|i j〉adic la relaµia dintre reprezent rile produs direct în funcµie de reprezent rilesum direct . QED.
30
(ii) Pe de alt parte calcul m acµiunea reprezent rii pe vectorii bazelor des-compunerii:
U(g) |(µν)λα l〉 = U(g)∑i,j
|i j〉 〈i j |(µν)λα l〉
= |i′ j′〉Dµ (g)i′
i Dν (g)j
′
j 〈i j |(µν)λα l〉
=∑
λ′,α′,l′
|(µν)λ′ α′ l′〉 〈(µν)λ′ α′ l′ |i′ j′〉Dµ (g)i′
i Dν (g)j
′
j 〈i j |(µν)λα l〉
de unde rezult
Dλ (g)l′
l δλ′
λδα′
α =⟨
(µν)λ′ α′ l′∣∣∣i′ j′ ⟩Dµ (g)i
′
i Dν (g)j
′
j
⟨i j∣∣∣ (µν)λα l
⟩care este chiar regula de obµinere a reprezent rilor ireductibile neechivalente aleunei reprezent ri produs direct. QED.
31
Capitolul 2
Algebr grupal
2.1 Structura de algebr liniar . Algebr Lie
Dac în secµiunile capitolului precedent am alocat spaµiu prezent rii a dou dinstructurile algebrice fundamentale - grupul ³i spaµiul vectorial - , consider m utilde a recapitula frugal aici modul de de�nire al celei de-a treia structuri implicateîn studiul grupurilor ³i algebrelor Lie, anume structura de algebr îns ³i.
De�niµie: O algebr liniar (complex ) const dintr-un spaµiu liniar V încare se de�ne³te înmulµirea vectorilor (�) care satisface urm toarele postulate:
A1 : ∀ a , b ∈ V ⇒ a� b ∈ V
A2 : ∀ a , b, c ∈ V ⇒ (a+ b) � c = a� c+ b� c
A3 : ∀ a , b , c ∈ V ⇒ a� (b+ c) = a� b+ a� c
(2.1)
Mai departe, se pot postula adiµional o serie de alte criterii pe lâng A1 -A3 în funcµie de tipul de algebr ce se dore³te a � construit .
A4 : ∀ a , b , c ∈ V ⇒ a� (b� c) = (a� b) � c
A5 : ∃ ! 1 ∈ V a.i a� 1 = 1� a = a ∀ a ∈ V
A6 : ∀ a , b ∈ V ⇒ a� b = ± b� a
A7 : ∀ a , b , c ∈ V ⇒ a� (b� x) = (a� b) � c+ b� (a� c)
A4 conduce la o algebr asociativ , A5 vizeaz algebrele cu element neutru(care, în general, este diferit de elementul neutru de la înmulµirea cu scalari sau
32
de la adunarea vectorilor), A6 de�ne³te algebrele simetrice, respectiv antisime-trice, iar A7 pe cele de tip �derivativ�.
Un exemplu la îndemân de algebr asociativ cu element neutru este spaµiulmatricilor n×n reale (complexe) pentru care sunt de�nite adunarea matricilor,înmulµirea cu scalari ³i operaµia de înmulµire a matricilor.
De�niµie: Se nume³te algebr Lie o algebr a c rei lege multiplicativ anti-simetric este dat prin relaµii de comutare:
A�B = [A , B] = AB −BA (2.2)
O astfel de algebr - se veri�c relativ u³or - nu are nici element neutru, nicinu este asociativ , deci postulatele A4 ³i A5 nu se aplic în cazul ei. În schimbatât A6 cât ³i A7 sunt veri�cate. Mai mult, A7 permite deducerea identit µiiJacobi. S explicit m expresiile [A, [B , C]], [B , [C , A]] , respectiv [B , [C , A]]
[A , [B , C]] = ABC −ACB −BCA+ CBA
[B , [C , A]] = BCA−BAC − CAB +ACB
[C , [A , B]] = CAB − CBA−ABC +BAC
Îrsumând membru cu membru cele trei expresii de mai sus vom identi�cacelebra identitate Jacobi:
[A , [B , C]] + [B , [C , A]] + [C , [A , B]] = 0 (2.3)
Mai multe propriet µi ale algebrelor Lie vor � prezentate în capitolul urm torunde acestea vor � asociate într-o manier speci�c grupurilor Lie.
Exerciµii ³i probleme
1. S se arate c spaµiul vectorial al matricilor reale, simetriceMij = Mji nuformeaz o structur de algebr liniar .
2. Cum ar trebui de�nit legea de multiplicare a algebrei pentru ca matricilereale simetrice s se organizez într-o algebr liniar ?
2.2 Algebra grupal - propriet µi generale
De�niµie: Fie un grup �nit dimensional - cu elementele {g1 , g2 , · · · , gnG} -de ordin nG împreun cu legea multiplicativ ◦ intern a grupului. Mulµimeacombinaµiilor liniare formal contruite ca r = gir
i - cu ri ∈ C, gi ∈ G ³i sumaredup indicele �mut� - se nume³te algebra grupal asociat grupului G., notat G .
33
Dac ne referim la de�niµia (2.1) a algebrei liniare generale vom identi�ca spa-µiul vectorial nG-dimensional al vectorilor r = ‖gi〉 ri împreun cu operaµi-ile sale speci�ce de adunare (+) a vectorilor ³i înmulµire cu scalari din cor-pul complex (·), iar compunerea vectorilor (◦) este operaµia speci�c de al-gebr liniar . Produsul scalar în acest spaµiu liniar este de�nit natural carq = r∗i qj
⟨gi ‖gj
⟩= r∗1q1 + · · ·+ r∗nGqnG pentru c în acest spaµiu liniar elemen-
tele grupului - vectorii ‖gi〉 - joac rol de baz ortonormat ⟨gi ‖gj
⟩= δij .
De�niµie: Se nume³te reprezentare a algebrei G peste un spaµiu liniararbitrar V un endomor�sm U al acestuia U : G → End(V ) astfel încâtU (αr + βq) = αU(r) + βU(q) ³i U (rq) = U(r)U(q) pentru ∀ r , q ∈ G.
De�niµie: O reprezentare a algebrei G peste spaµiul liniar arbitrar V se ziceireductibil dac ea nu admite niciun subspaµiu invariant netrivial în V .
Teorema: Orice reprezentare a algebrei G este reprezentare ³i pentru grupulG.
Demonstraµie - Este o consecinµ direct a de�niµiei anterioare. Dac ele-mentele grupului formeaz o baz pentru algebra grupal e evident c aceast corespondenµ 1-la-1 între reprezent rile algebrei grupale ³i cele ale grupuluieste valid .
De�niµie: Dac spaµiul de reprezentare G al algebrei G este chiar algebraîns ³i atunci reprezentarea se zice regulat .
Atunci r poate � v zut ca un endomor�sm r : G → G. Acµiunea sa asupravectorilor bazei va � rgi = rkgkgi = rkgm (∆k)mi adic rgi = rkgki pentru c (∆k)mi = δmki.
Aici se poate pune problema g sirii de subspaµii invariante ale lui G la acµiuneaelementelor grupului. Cu alte cuvinte se pot gasi spaµii Lµa ⊂ G astfel încâtG =
∑µ,a⊕Lµa ?
De�niµie: Se nume³te ideal la stânga al algebrei G un subspaµiu Lµa ⊂ Ginvariant la acµiunea grupului G
∀ p ∈ G ⇒ pLµa ⊆ Lµa p |q〉 = |pq〉 ∈ Lµa ∀ |q〉 ∈ Lµa (2.4)
Practic, cu aceast de�niµie problema g sirii reprezent rilor ireductibile neechi-valente ale unui grup se reduce la a gasi idealurile la stânga ale algebrei grupaleasociate.
34
De�niµie: Se nume³te proiector pe subspaµiul Lµa operatorul Pµa cu urm -toarele propriet µi:
P1 : Pµa ‖r〉 ∈ Lµa ∀ ‖r〉 ∈ G
P2 : Pµa ‖r〉 = ‖r〉 ∀ ‖r〉 ∈ Lµa
P3 : PµaPνb = δµνδabP
µa
P4 : Pµar = rPµa ∀ r ∈ G
(2.5)
Teorema: Operatorul de proiecµie Pµ este realizat prin înmulµirea la dreaptacu eµa (care este reducµia operatorului identitate la subspaµiul a al reprezent riiµ.
Pµ |r〉 = |reµ〉 (2.6)
Demonstraµie - Se veri�c pe rând pentru acest operator toate propriet µileP1- P4.
1. Prima proprietate este evident satisf cut . Acµiunea operatorului Pµ va�: Pµ (α |r〉+ β |q〉) = Pµ (|αr〉+ |βq〉) = Pµ |αr + βq〉 = |(αr + βq) eµ〉.Aceasta devine: |αreµ + βqeµ〉 = |αreµ〉+|βqeµ〉 = α |reµ〉+β |qeµ〉. Ceeace duce direct la αPµ |r〉 + βPµ |q〉 deci operatorul nu scoate vectori dinidealul la stânga pe care acµioneaz .
2. Pµ duce toµi vectorii din G în idealul la stânga Lµ. Fie |r〉 =∑µ |rµ〉 ∈
G =∑µ⊕Lµ. Dac ne raport m la idealul stâng Lµ atunci elementele
sale se vor scrie r =∑µ rµ = re = r
∑µ eµ de unde rezult c rµ = reµ.
Atunci operatorul Pµ |r〉 = |reµ〉duce chiar la vectorul |rµ〉 ∈ Lµ.
3. Fie eµ ³i eν reducµiile operatorului identitate pe idealurile la stânga Lµ ³iLν . Atunci PµaP
νb |r〉 = Pµa
∣∣rebν⟩ =∣∣rebνeaµ⟩ = δµνδab |r〉.
4. Succesiv se obµine: Pµr |q〉 = Pµ |rq〉 = |rqeµ〉 = r |qeµ〉 = rPµ |q〉
Lµ =nµ∑a=1
⊕Lµa cu proiectorii Pµ =nµ∑a=1
⊕Pµa
Lµ =nµ∑a=1
⊕Lµa iar algebra G =∑µ
⊕Lµ cu proiectorii e =∑µ
eµ
2.3 Operatori idempotenµi
De�niµie: Elementele algebrei grupale (operatorii) care satisfac relaµia eµeν =δµνeµ se numesc idempotenµi.
35
De�niµie: Operatorii care satisfac relaµia eµeν = δµνeµ pân la o constant de normalizare se numesc esenµial idempotenµi.
De�niµie: Operatorul idempotent care genereaz un ideal la stânga minimalse nume³te idempotenµ primitiv.
Teorema: Operatorul idempotent ei e primitiv dac ³i numai dac eirei =λrei pentru ∀ r ∈ G (λ �ind un num ce depinde de r)
Demonstraµie -
• implicaµia �⇒�
Dac ei idempotent primitiv atunci Li ={rei , r ∈ G
}este un ideal stâng
minimal, care în termeni de spaµiu vectorial devine Li = {|rei〉 , r ∈ G}. Con-struiesc operatorul R : G → G în maniera R |q〉 = |qeirei〉 . Asta implic R |q〉 = P i |qeir〉 pentru ∀ |q〉 ∈ G. Acum, pentru orice operator A ∈ G vomavea RA |a〉 = R |Aa〉 = |Aaeirei〉 = A |aeirei〉 = AR |a〉 pentru ∀ |a〉 ∈ G. Decioperatorial vom avea c [A , R] = 0³i conform Lemei lui Schurr operatorul Reste poroporµional cu unitatea, adic tocmai eirei = λrei. QED.
• implicaµia �⇐�
Se porne³te de la faptul c eirei = λrei pentru ∀ r ∈ G . Presupunerea c einu este idempotent primitiv va duce la posibilitatea de a-l scrie ca o sum deidempotenµi ei = e′i + e′′i . Avem c eie′i = e′i ceea ce dup o multiplicare cuei la dreapta duce la eie′iei = e′iei = e′i ceea ce echivaleaz conform ipotezeiimplicaµiei noastre cu e′i = λei adic e′ie
′i = e′i = λ2ei. De aici e evident c
pentru λ2 sunt doar dou posibilit µi: �e λ2 = 1 �e λ2 = 0. În primul caz amajuns la e′i = ei iar în al doilea la e′′i = ei. Rezultatul e c nu este posibil s scriem operatorul ei ca sum de alµi operatori idempotenµi. QED.
Teorema: Doi operatori idempotenµ primitivi e1 ³i e2 genereaz reprezent riireductibile echivalente dac ³i numai dac eire2 6= 0 pentru un r ∈ G.
Demonstraµie -
• implicaµia �⇒�
Dac are loc eire2 = s 6= 0 pentru un r ∈ G atunci construiesc un operatorliniar care e aplicat pe idealul la stânga L1³i duce în idealul la stânga L2 astfelc S : L1 → L2 cu L1 3 q1 → q2 = q1s ∈ L2. În termeni de spaµii vectorialeasta înseamn L1 3 |q1〉 → |q2〉 = |q1s〉 ∈ L2. Atunci pentru ∀ p ∈ G vom aveac Sp |q1〉 = S |pqi〉 = |(pq1) s〉 = |p (q1s)〉 = p |q1s〉 = pS |q1〉. Ceea ce duce larelaµia operatorial de comutare Sp = pS. Conform lemei lui Schurr cele dou reprezent ri ireductibile (acµionând pe acela³i spaµiu) sunt echivalente. QED.
• implicaµia �⇐�
36
Dac cele dou reprezent ri sunt echivalente atunci se poate construi o trans-formare liniar S care SD1(p) = D2(p)S pentru ∀ p ∈ G . În termeni de idealela stânga operatorial S : L1 → L2 vom avea c Sp = pS. În spaµiul vectorial alalgebrei G avem |s〉 = S |e1〉 = e1S |e1〉 = |e1s〉. De unde rezult c s = e1s .Dar pentru c s ∈ L2 poate � scris ca s = se2 . Din cele dou expresii pentru srezult c eis = se2. QED.
Exerciµii ³i probleme
1. S se reduc reprezentarea regulat a grupului Z3.
2.4 Vectori ireductibili
De�niµie: Se nume³te set ireductibil de vectori faµ de reprezentarea µorice set de vectori |(µ) i〉 cu i = 1, nµ care la acµiunea grupului G se transform dup
U(g) |(µ) i〉 = |(µ) i′〉Dµ(g)i′
i (2.7)
Teorema: Dac {|(µ) i〉 , i = 1, nµ
}³i{|(ν) j〉 , j = 1, nν
}dou seturi de
vectori ireductibili faµ de reprezent rile ireductibile µ respectiv ν ale grupuluiG atunci subspaµiile subîntinse de cele dou sisteme de vectori sunt ortogonale.
Demonstraµie - Fie U(G) reprezentarea grupului G peste un spaµiu liniarV pe care îl putem scrie ca o sum direct de subspaµii invariante (faµ de G)netriviale V =
∑µ⊕Vµ.
Vectorii de tip{|(µ) i〉 , i = 1, nµ
}vor � constitui o baz a acestor subspaµii.
Ortogonalitatea enunµat de teorem se va veri�ca prin calcul direct:
〈(ν) j |(µ) i 〉 =⟨(ν) j
∣∣U†(g)U(g)∣∣ (µ) i
⟩=
1nG
∑g∈G
⟨(ν) j
∣∣D†(g)D(g)∣∣ (µ) i
⟩1nG
∑g∈G〈(ν) j |(µ) i 〉D†ν(g)jj′D
µ(g)i′
i
unde aplicând teorema rezult egalit µile succesive
=1nµδνµδ
ij′δ
ji′ 〈(ν) j′ |(µ) i 〉 =
1nµδνµδ
ij
∑〈(ν) i |(µ) i′ 〉
Acum a devenit evident c subspaµiile sunt ortonormate. QED.
37
Teorema: Fie U(G) o reprezentare a grupului G pe spaµiul liniar V . Dac Dµeste o reprezentare ireductibil atunci (Pµ)ji |x〉 (cu i = 1, nµ ³i ∀ |x〉 ∈ V )este un set ireductibil de vectori faµ de reprezentarea µ.
Demonstraµie - Cum acµioneaz reprezentarea U (g) pe vectorii (Pµ)ji |x〉 ?
U (g) (Pµ)ji |x〉 = U (g)nµnG
∑g′∈G
D†µ (g′)ji U (g′) |x〉
=nµnG
∑g′∈G
D†µ (g′)ji U (gg′) |x〉
=nµnG
∑g′∈G
U (g′′) |x〉D†µ(g−1g′′
)ji
=nµnG
∑g′′∈G
D†µ (g′′)jk U (g′′) |x〉D†µ(g−1
)ki
= (Pµ)jk |x〉D†µ
(g−1
)ki
Rezultatul obµinut probeaz faptul c setul de vectori e unul ireductibil.QED.
Observaµie: vectori nu sunt ortonormaµi.
Teorema: Fie setul de vectori ireductibili |eνk〉 faµ de reprezentarea ν ³i Pµoperatori de proiecµie, atunci
(Pµ)ji |eνk〉 = |eνi〉 δνµδ
jk (2.8)
Demonstraµie -
(Pµ)ji |eνk〉 =
nµnG
∑g
D†µ(g)jiU(g) |eνk〉
= δνµδilδjk |e
νl〉 = δνµδ
jk |e
νi〉
care în plus duce la (Pµ)ji |eµk〉 = δjk |e
µi〉 QED.
Corolar 1 -(Pµ)ji (Pν)lk = δµνδjk (Pµ)li
Corolar 2 -U(g) =
∑(Pµ)jiD
µ(g)ij
Corolar 3 -U(g) (Pµ)lk =
∑i
(Pµ)liDµ(g)ik
38
Teorema: Se de�nesc proiectorii Pµ =∑nµi=1 Pµi unde am notat prin Pµi =
(Pµ)ii atunci Pµ formeaz un set complet de operatori∑µ
Pµ = E unde E = U(e) (2.9)
Demonstraµie - Calcul m PµiPνk = (Pµ)ii (Pν)kk = δµνδik (Pν)kk = δµνδ
ikPνi.
Mai departe se exprim ∑µ
Pµ |x〉 =∑µ,i
Pµ,i |x〉 = |x〉
de unde rezult c ∑µ Pµ = E. În felul acesta am ajuns la setul complet de
operatori care acµioneaz asupra vectorilor bunei baze |ν α k〉 în spaµiul repre-zent rii astfel:
Pµ |ν α k〉 = δµν |ν α k〉
Pµi |ν α k〉 = δµνδik |ν α k〉
(Pµ)ji |ν α k〉 = δµνδjk |ν α i〉
QED.
Exerciµii ³i probleme
1. S se demonstreze corolarele 1, 2 ³i 3.
2.5 Operatori ireductibili
De�niµie: Fie G un grup, Dµ(G) o reprezentare a sa peste spaµiul vectorialV ³i
{Θµi i = 1, nµ
}. Dac .
U(g)ΘµiU−1 (g) = Θµ
jDµ (g)ji g ∈ G (2.10)
atunci spunem c familia de operatori este un set de operatori ireductibili.
Lema 1: Dac {∣∣eνj⟩ j = 1, nν
}este o baz a subspaµiului invariant din V
ca vectori ireductibili faµ de reprezentarea ν atunci{
Θµi
∣∣eνj⟩ i = 1, nµ , j = 1, nν}
este un set de vectori ireductibili faµ de reprezentarea produs direct µ× ν.Demonstraµie -
U (g) Θµi
∣∣eνj⟩ = U (g) ΘµiU−1 (g)U (g)
∣∣eνj⟩= Θµ
i′Dµ (g)i
′
i
∣∣eνj′⟩Dν (g)j′
j
39
= Θµi′
∣∣eνj′⟩Dµ (g)i′
i Dν (g)j
′
j
Lema 2: Regula de scriere pentru operatorii ireductibili este
Θµi
∣∣eνj⟩ =∑λ,α,l
|(µν)λαl 〉〈 (µν)λαl| i j〉
Demonstraµie -
2.6 Teorema Wigner-Eckart
Teorema (Wigner - Eckart): Fie un set de operatori ireductibili {Θµi}
atunci are loc urm toarea relaµie:⟨elλ |Θ
µi| e
νj
⟩=∑α
〈(µν)λαl ‖ij 〉〈λ |Θµ| ν〉α (2.11)
unde 〈λ |Θµ| ν〉α = 1nλ
∑k
⟨ekλ |λα k
⟩este elementul de matrice redus.
Demonstraµie - Se face uz de faptul c subspaµiile invariante generate defamilii de vectori ireductibili corespunzând la reprezent ri ireductibile neechiva-lente sunt subspaµii ortogonale.⟨
elλ |Θµi| e
νj
⟩=∑λ′,α,l′
⟨elλ |(µν)λ′ α l′ 〉〈 (µν)λ′ α l′| i j
⟩= δλλ′δll′
1nλ
∑α
〈 (µν)λα l| i j〉 〈λ |Θµ| ν〉α
pentru c ⟨elλ |(µν)λ′ α l′
⟩= δλλ′δll′
1nλ
∑α
⟨elλ |λα l
⟩. QED.
2.7 Reprezent rile grupului simetric Sn. TablouriYoung
Reamintim cum a fost de�nit grupul simetric Sn. El const din toate permu-t rile de n elemente.
pn =
1 2 3 · · · n↓ ↓ ↓ ↓p1 p2 p3 · · · pn
Acest grup conµine n ! elemente ³i va juca un rol foarte important în multe
probleme de �zic teoretic ce implic diverse tipuri de simetri. Grupul matrici-lor inversabile GL (n , C) va avea de asemenea o importanµ crucial în studiulreprezent rilor grupului Sn întrucât aceste matrici vor � v zute ca endomor�smeinvertibile pe spaµiile de reprezentare n-dimensionale (Vn).
40
2.7.1 Reprezent rile 1-dimensionale ale grupului Sn
Propoziµie: Grupul simetric Sn are totdeauna un subgrup invariant An alpermut rilor pare. O permutare par este o permutare echivanet cu un num rpar de transpoziµii.
Demonstraµie - Se ve�ric pe rând axiomele grupului. Închiderea ³i asco-iativitatea înmulµirii permut rilor sunt propriet µi evidente. Elementul neutrue ∈ An iar inversa unei permut ri pare este tot o permutare par .
Teorema: Fie Sn algebra grupal a grupului simetric Sn. Dac de�nim ope-ratorii simetrizator s =
∑p p respectiv antisimetrizator a =
∑p (−1)p p
atunci ace³tia sunt esenµial idempotenµi ³i primitivi.Demonstraµie - Pentru simetrizatorii s vom avea c ∀ q ∈ Sn avem sq =∑p pq =
∑p′ p′ = s = qs (unde am notat p′ = pq). Acest rezultat este con-
secinµ direct a lemei de rearanjare. Urmeaz s exprim m ss = s∑p p =∑
p sp =∑p s = n! s. Acum desigur sqs = ss = n! s ceea ce duce la con-
cluzia ca ei sunt operatori esenµiali idempotenµi ³i primitivi (conform teore-mei...). Pentru antisimetrizatori avem aq =
∑p (−1)p pq. Aici facem nota-
µia p′ = pq de asemenea, numai c vom avea (−1)p′
= (−1)p (−1)q ceea ce
duce la (−1)p = (−1)p′(−1)q. Acum conform lemei de rearanjare va rezulta
c aq =∑p′ (−1)p
′(−1)q p′ = (−1)q a. Cine este aa? aa =
∑p (−1)p ap =∑
p (−1)p (−1)p a =∑p a = n! a. Calcul m acum aqa = (−1)q aa = (−1)q n! a
- deci ei sunt esenµiali idempotenµi ³i primitivi.Dac sqa = 0 pentru ∀ q ∈ Sn atunci reprezent rile sunt neechivalente.
sqa = sa =∑p pa =
∑p ap =
∑p (−1)p a = 0. Bazele corespunz toare acestor
reprezent ri ireductibile 1-dimensionale vor � |qs〉 respectiv |qa〉 . QED.
2.7.2 Partiµii ³i diagrame Young
De�niµie: Se nume³te partiµie λ = {λ1, λ2, ..., λr} a unui num r întreg ndac
∑ri=1 λi = n ³i λi ≥ λi+1.
De�niµie: Dou partiµii λ ³i µ sunt egale dac λi = µi pentru ∀ i = 1, r iarλ > µ dac primul coe�cient λi − µi nenul e pozitiv.
De�niµie: Oric rei partiµii λ i se asociaz o diagram Young. Aceastaconst din n p trate aranjate în r rânduri, al i-lea având λi p trate.
Se poate ar ta c exist o corespondenµ biunivoc între partiµiile num ruluiîntreg n ³i clasele de echivalenµ ale grupului simetric Sn. Cu alte cuvinte,diagramele Young re�ect �del organizarea în clase de echivalenµ a grupulsimetric Sn iar num rul acestora va � precizat de urm toarea teorem .
41
Teorema: Num rul diagramelor Young distincte pentru un n dat este egalcu num rul claselor de echivalenµ ale lui Sn, adic cu num rul reprezent rilorireductibile neechivalente ale acestuia.
Demonstraµie -
Pentru grupul Sn vom de�ni câteva noµiuni de mare uitilitate în studiul repre-zent rilor sale, pornind de la diagramele Young.
De�niµie: Se nume³te tablou Young o diagram Young în care sunt trecuteo singur dat în ordine arbitrar numerele de la 1 la n.
De�niµie: Se nume³te tablou Young normal un tablou Young în carenumerele de la 1 la n sunt trecute în ordine strict cresc toare (din 1 în 1, de lastânga la dreapta - pe rânduri ³i cresc toare de sus în jos - pe coloane).
De�niµie: Se nume³te tablou Young standard un tablou Young în carenumerele sunt trecute în ordine cresc toare atât pe rânduri cât ³i pe coloane(f r a � ordine stroct neap rat).
Notaµie: Pentru un tablou Young normal corespunz tor partiµiei λ îi asociemnotaµia Θλ.
Un tablou Young arbitrar se obµine în mod unic permutând elementele unuitablou Young normal
Θpλ = pΘλ
prin simpla speci�care a tabloului Young normal ³i a permut rii aplicate lui.qΘp
λ = qpΘλ = Θqpλ .
2.7.3 Simetrizori ³i antisimetrizori
Pentru �ecare tablou Young se pot de�ni idempotenµii primitivi Θpλ ←→ epλ care
genereaz reprezent rile ireductibile ale grupului Sn pe spaµiul algebrei grupale.Problema e cum îi construim?
De�niµie: Dat �ind un tablou Young Θpλ se nume³te permutare orizontal
permutarea hpλ care las invariant mulµimea numerelor de pe o linie.
De�niµie: Dat �ind un tablou Young Θpλ se nume³te permutare vertical
permutarea vpλ care las invariant mulµimea numerelor de pe o coloan .
De�niµie: Dat �ind un tablou Young Θpλ se nume³te simetrizatorul spλ =∑
h hpλ
42
De�niµie: Dat �ind un tablou Young Θpλ se nume³te antisimetrizatorul
apλ =∑v (−1)v
pλ vpλ
De�niµie: Dat �ind un tablou Young Θpλ se nume³te simetrizator ireduc-
tibil epλ =∑h (−1)v
pλ hpλv
pλ
Lema 1: Fie Θλ un tablou Young normal de la care se ajunge la tabloulYoung Θp
λ, iar hpλ, v
pλ, s
pλ, a
pλ, e
pλ asociate lui corespunz toare permut rii p.
Atunci au loc
hpλ = phλp−1 epλ = peλp
−1 vpλ = pvλp−1
spλ = psλp−1 apλ = paλp
−1
Demonstraµie - r mâne ca exerciµiu cititorului.
Lema 2: Fie Θλun tablou Young normal. Atunci {hλ}³i {vλ} sunt subgrupuriale lui Sn.
Demonstraµie - r mâne ca exerciµiu cititorului.
Lema 3: Dac λ ³i µ sunt etichetele a dou diagrame Young distincte (cuλ > µ). Atunci pentru ∀ p , q ∈ Sn avem
aqµspλ = spλa
qµ = 0 eqµe
qµ = 0
Demonstraµie - r mâne ca exerciµiu cititorului.
2.7.4 Reprezent rile ireductibile ale grupului Sn
Teorema: Simetrizorii ata³aµi unui tablou Young normal satisfac:
1. sλraλ = ξeλ cu ξ ∈ Z+ pentru ∀ r ∈ Sn
2. eλeλ = ηeλ cu η ∈ Z+
Demonstraµie - r mâne ca exerciµiu cititorului.
Teorema: Dac dou reprezent ri ireductibile sunt generate de eλ respectivde epλ atunci ele sunt echivalente.
Demonstraµie - ∃ r ∈ Sn astfel încât erλreλ 6= 0 . Aleg r = p cu p ∈ Sn.Atunci epλpeλ = peλp
−1peλ = pηeλ 6= 0 deci reprezent rile sunt echivalente.QED.
Corolar: Dac λ 6= µ avem epλeqµ = 0 pentru ∀ p , q ∈ Sn.
Demonstraµie - r mâne ca exerciµiu cititorului.
43
Teorema (reprezent rilor ireductibile ale lui Sn): Idempotenµii ireducti-bili {eλ} ata³aµi tablourilor Young normale {Θλ} genereaz toate reprezent rileireductibile neechivalente ale lui Sn.
Demonstraµie - r mâne ca exerciµiu cititorului.
2.7.5 Clase de simetrie ale tensorilor
De�niµie: Fie Vm un spaµiu vectorial n-dimensional peste corpul complex ³i{g} ⊂ End (Vm) - mulµimea endomor�smelor inversabile pe acest spaµiu. Atunci({g} ◦) se nume³te grupul general liniar GL (m, C) notat Gm.
Dac {|i〉}este o baz a spaµiului Vmatunci acµiunea elementelor din GL (m, C)pe vectorii bazei va �:
g |i〉 = |j〉 gji unde
g =
(gji
)det (g) 6= 0
De�niµie: Se numeµte spaµiu tensorial V nm = Vm⊗· · ·⊗Vm produsul directde n ori al spaµiului vectorial Vmcu sine însu³i.
De�niµie: Se nume³te tensor un vector al spaµiului V nm.
Cum acµioneaz Gm pe spaµiul tensorial V nm? Fie un |x〉 ∈ V nm ³i g ∈ Gmatunci vom avea g |x〉 = |xg〉 = |i〉n x
(i)g = g |i〉x(i) ceea ce devine, utilizân
de�niµia reprezent rii, |j〉nD (g)(j)(i) x(i) unde evident D (g)(j)(i) = gj1i1 · · · g
jnin.
Cum acµioneaz Sm pe spaµiul tensorial V nm? Fie permutarea Sn 3 p : V nm →V nm atunci ea va acµiona p |x〉 = |xp〉 = |i1 · · · in〉xip1 ···ipn = |i〉n xin ceea ce
devine, utilizân de�niµia permut rii, |j〉nD (p)(j)(i) x(i) de unde evidentD (p)(j)(i) =
D (p)j1···jni1···in = δj1i1 · · · δjnin.
Lema: Fie D(j)(i) una din cele dou reprezent ri D (Gm)sau D (Sn). Atunci
D(j)(i) = D
(jp)
(ip)∀ p ∈ Sn
unde (ip) = ip1 · · · ipn =(
1 · · · np1 · · · pn
).
Demonstraµie - r mâne ca exerciµiu cititorului.
44
Teorema: Cele dou seturi de matrici {D (g) g ∈ Gm} ³i {D (p) p ∈ Sn}comut .
[D (g) , D (p)] = 0
Demonstraµie - Calcul m acµiunea matricii pg pe vectorii bazei: pg |i〉n =p |j〉nD (g)(j)(i) =
∣∣jp−1
⟩nD (g)(j)(i) = |j〉nD (g)(jp)(i) . Pe de alt parte vom calcula
acµiunea matricii gp pe vectorii bazei: gp |i〉n = g∣∣ip−1
⟩n
= |j〉nD (g)(jp)(i) . Deunde rezult c cei doi operatori comut . QED.
Acum se pune problema g sirii subspaµiilor ireductibile ale spaµiului V nm faµ deacµiunea grupurilor Sn respectiv Gm. Pentru aceasta vom utiliza simetrizoriiireductibili asociaµi diverselor tablouri Young ale grupului Sn. Pentru un ta-blou Young arbitrar Θp
λ se asociaz un simetrizorul ireductibil epλ care genereaz idealul la stânga Lλ.
De�niµie: Se nume³te tensor de simetrie asociat tabloului Young Θpλ orice
vector de forma epλ |x〉 cu |x〉 ∈ V nm.
De�niµie: Se nume³te clas de simetrie asociat tabloului Young Θλ mulµi-mea vectorilor de forma {reλ |α〉} cu |α〉 ∈ V nm ³i r ∈ Sn. Ace³tia se va spunec aparµin clasei de simetrie λ.
Teorema: Dac Tλ (α) este clasa de simetrie{reλ |α〉 , r ∈ Sn
}pentru un
|α〉 ∈ V nm �xat, atunci Tλ (α) este subspaµiu invariant pentru Sn.Demonstraµie - Lu m un vector |x〉 ∈ Tλ (α) . Atunci pentru ∀ p ∈ Snvom
avea c p |x〉 ∈ Tλ (α). Înseamn c exist un r ∈ Sn pentru care |x〉 = reλ |α〉.Rezult imediat c p |x〉 = preλ |α〉 ∈ Tλ (α). QED.
Teorema: Dac Tλ (α) 6= 0 atunci realiz rile lui Sn pe subspaµiul Tλ (α) suntidentice cu matricile reprezent rilor ireductibile generate de eλ pe algrebra gru-pal .
Demonstraµie - Clasa de simetrie λ corespunde unui eλ care genereaz idealulla stânga Lλ. Atunci {rieλ}va � o baz pentru Lλ. Rezult c {rieλ |α〉} estebaz pentru Tλ (α). Înseamn c ∀ p ∈ Sn vom avea c p |rieλ〉 = |prieλ〉 =|rjeλ〉D (p)ji.
De aici am obµinut c prieλ |α〉 = rjeλ |α〉D (p)ji. QED
Teorema:
1. Dou spaµii tensoriale invariante ireductibile în raport cu Sn aparµinândaceleia³i clase de simetrie sunt sau identice sau disjuncte.
2. Dou subspaµii tensoriale invariante ireductibile în raport cu Sn corespun-z toare la simetrii diferite sunt în mod necesar disjuncte.
45
Demonstraµie - Fie cele dou subspaµii tensoriale invariante Tλ (α) ³i Tµ (β).
1. Apartenenµa la aceea³i clas de simetrie se exprim λ ≡ µ. Presupun c exist un tensor care aparµine ambelor subspaµii Tλ (α) respectiv Tλ (β),atunci se vor g si q , q′ ∈ Sn astfel încât qeλ |α〉 = q′eλ |β〉 . Dac se aplic un r ∈ Sn pe ecuaµia precedent se ajunge la rqeλ |α〉 = rq′eλ |β〉 . Cândr parcurge Sn se obµin tocmai subspaµiile Tλ (α) = Tλ (β). QED.
2. Dac Tλ (α) ³i Tµ (β) sunt subspaµii tensoriale invariante atunci ³i inter-secia lor va � subspaµi invariant. Dac cele dou subspaµii invariante sunt³i ireductibile atunci intersecµia lor �e e vid �e ea coincide cu �ecaredin Tλ (α) ³i Tµ (β). Dac λ ³i µ corespund la simetrii diferite cea de-adoua posibilitate este exclus . De unde se ajunge la concluzia c cele dou subspaµii sunt disjuncte. QED.
Se pune problema descompunerii spaµiului V nm ca sum direct de subspaµiiinvariante:
V nm =∑λ
∑α
⊕Tλ (α)
Atunci vectorii bazelor diferitelor calse de simetrie vor � |λ, α, a〉 unde λdenot clasa de simetrie ³i merge de la 1 la dimensiunea subspaµiului Tλ (α). Sepot alege aceste baze astfel încât acµiunea matricilor din reprezent rilor lui Snpe Tλ (α) s nu depind de vectorul α asociat unei anume simetrii λ. Aceastase exprim
p |λ, α, a〉 = |λ, α, b〉Dλ (p)ba
Teorema: Dac g ∈ Gm ³i {|λ, α, a〉} o baz a reprezent rii construite cuprocedura de mai sus, atunci subspaµiile T ′λ (α) date de vectorii {|λ, α, a〉} cuλ ³ a �xate iar α ∈ V nm vor � invariante în raport cu Gm iar reprezent rile luiGm pe T ′λ (α) nu depind de indicele α.
g |λ, α, a〉 = |λ, β, a〉Dλ (g)βαDemonstraµie - Vom avea reλ |α〉 ∈ T ′λ (α) ³i g ∈ Gm astfel c geλ |α〉 =
reλg |α〉 ³i desigur g |λ, α, a〉 = |λ, β, b〉D (g)βbαa. Cu aceste preliminarii - ³iµinând cont c pg = gp pentru ∀ p ∈ Sn - vom avea
gp |λ, α, a〉 = g |λ, α, c〉Dλ (p)ca = |λ, β, b〉Dλ (g)βbαcDλ (p)caiar
pg |λ, α, a〉 = p |λ, β, c〉Dλ (g)βcαa = |λ, β, b〉Dλ (p)bcDλ (g)βcαa
De unde rezult imediat c pentru un g ∈ Gm reprezent rile Dλ (g)βαcomut cu toate reprezent rile lui p ∈ Sn.
46
[Dλ (g)βα
][Dλ (p)] = [Dλ (p)]
[Dλ (g)βα
]Iar, conform lemei lui Schurr, reprezent rile
[Dλ (g)βα
]ac
= Dλ (g)βα δac ,
adic trebuie s �e proporµionale cu identitatea. QED.
Exerciµii ³i probleme
1. S se deseneze toate diagramele Young posibile ale unui grup cu 3 , 4respectiv 6 elemente.
2. S se deseneze toate tablourile Young normale ale grupului S3 ³i s seprecizeze c ror clase de echivalenµ corespund.
3. S se precizeze idempotenµii primitivi ai grupului S3.
4. S se g seasc subspaµiile invariante ale spaµiului tensorial V 32 pentru gru-
purile S3 ³i G2.
47
![albine 2 (1)[1]](https://static.documente.net/doc/80x56/5571fc084979599169965790/albine-2-11.jpg)
